Las competencias profesionales en matemticas y su didctica en la formacin

inicial de profesores de secundaria/bachillerato

Norma Rubio, Vicen Font, Joaquim Gimnez y Vctor Larios

DEPARTAMENTO DE

EDUCACIN

MAESTRA EN

EDUCACIN

DOCTORADO EN

CIENCIAS DE LA

EDUCACIN

CENTRO DE

INVESTIGACIONES

Y SERVICIOS EDUCATIVOS

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INTRODUCCIN

La reforma de los currculos de formacin inicial de los profesores de las enseanzas primaria y secundaria da inicio al debate sobre los principios que debieran de fundamentar dichos currculos formativos.

Esta reforma tiene la tendencia a organizar los currculos para la formacin inicial de profesores en trminos de competencias.

Las competencias del mster FPSM se estructuran en trminos de competencias profesionales:

1) genricas,

2) especficas (matemticas y su didctica en nuestro caso)

3) y las que se desarrollan por medio de la prctica.

Formacin secuencial

GRADO DE MATEMTICAS + Mster profesionalizador (Mster FPSM)

Un primer contexto

EL MSTER de Formacin de Profesor de

Secundaria de Matemticas (FPSM)

PROBLEMA

Los currculos por competencias conllevan el problema de cmo conseguir que los profesores tengan la competencia profesional que les permita la evaluacin de las competencias matemticas sealadas en el currculo.

PREGUNTA

Cules son las competencias profesionales que permiten a los profesores desarrollar y evaluar las competencias, generales y especficas de matemticas, prescritas en el currculo de secundaria?

DOS MACRO COMPETENCIAS 1) La competencia matemtico-epistemolgica 2) La competencia en anlisis didctico de procesos de instruccin matemtica

Competencias

ACCIN + CONTEXTO/CONTENIDO FINALIDAD

OBJETIVOS

1. Determinar el nivel de competencia inicial (profesional) en (a) el anlisis didctico de prcticas, objetos y procesos matemticos que manifiestan los futuros profesores de secundaria/bachillerato y (b) en la evaluacin de las competencias matemticas del currculum

escolar de secundaria/bachillerato.

.

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OBJETIVOS

2. Disear e implementar ciclos formativo-reflexivos multimodales (presencial y online), basado en la reflexin guiada, para desarrollar la competencia de anlisis de prcticas, objetos y procesos matemticos en los futuros profesores de secundaria/bachillerato, como paso previo al desarrollo de la competencia

profesional en la evaluacin de las competencias matemticas.

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MARCO TERICO

Enfoque Ontosemitico del Conocimiento e Instruccin

Matemtica (EOS). Niveles de Anlisis Didctico: 1) Anlisis de las prcticas matemticas

2) Anlisis de objetos y procesos matemticos

3) Anlisis de las trayectorias e interacciones didcticas y de conflictos semiticos

4) Identificacin del sistema de normas y metanormas que condicionan y hacen posible el proceso de estudio

5) Valoracin de la idoneidad didctica del proceso de estudio

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MARCO TERICO

Los niveles de anlisis 1-4 son herramientas para una didctica descriptiva explicativa (para comprender).

Qu est pasando aqu (y por qu)?

El nivel de anlisis 5 pretende ser una herramienta para una didctica prescriptiva (para evaluar y para indicar el camino a seguir)

Qu se debera hacer?

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Figura 2. Constructos tericos en el EOS

METODOLOGA

Para los objetivos tericos, la metodologa ha consistido en el anlisis de fuentes documentales de tipos epistemolgico, cognitivo, semitico y didctico.

El posicionamiento personal adoptado, sobre las diferentes fuentes, se ha producido de forma dialctica con la fase emprica.

Para los objetivos experimentales, la metodologa ha consistido en los diseos e implementacin de experimentos de enseanza: talleres y ciclos formativos.

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METODOLOGA

En relacin con el primer objetivo:

Para determinar el nivel de competencia de los (futuros) profesores sobre el anlisis didctico de objetos y procesos activados en las prcticas matemticas se les propone dos tipos de situaciones. Primero, un episodio de aula y se pregunta a los participantes que lo analicen sin dar ninguna instruccin previa (se pretende que utilicen su conocimiento previo).

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METODOLOGA

Se trata de observar si ponen el nfasis en la valoracin o en la descripcin y, con respecto a esta ltima, si son capaces de describir prcticas matemticas y objetos y procesos activados en dichas prcticas (anlisis del otro). Despus se les propone resolver algunos problemas y se les pregunta que analicen las prcticas y procesos activados en su resolucin (anlisis de uno mismo).

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Prcticas y objetos

matemticos

A continuacin se muestra una parte del anlisis didctico del

episodio realizado por diversos alumnos, donde se muestran

los diferentes niveles de anlisis didctico matemtico.

Procesos

matemticos

Gestin de la

interaccin

A continuacin se muestra una parte del anlisis didctico del

episodio realizado por diversos alumnos, donde se muestran

los diferentes niveles de anlisis didctico matemtico.

Valoracin

Normas

METODOLOGA

En relacin con el segundo objetivo:

El diseo de un ciclo formativo consiste en (1) seleccin y transcripcin de diferentes episodios de aula, (2) anlisis didctico experto de dicho proceso aplicando los cinco niveles propuestos en el EOS (3) seleccin de los episodios que se consideren potencialmente ms ricos, (4) diseo de hojas de trabajo que permitan guiar a los alumnos en la aplicacin de los 5 niveles de anlisis del anlisis didctico (EOS).

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Se consideran los 16 procesos asociados a las configuraciones y

a las facetas duales, presentndose ejemplos de cada uno de

ellos.

Objetos Matemticos

Procesos

Lenguaje Situacin Problema

Definiciones Proposiciones Procedimientos Argumentos

Algoritmizacin

Argumentacin

Particularizacin

Generalizacin

Idealizacin

Materializacin

Representacin

Significacin

Reificacin

Descomposicin

Personalizacin

Institucionalizacin

Comunicacin

Significacin

Enunciacin

Problematizacin

Procesos y objetos matemticos en el EOS

Ejemplos de procesos asociados a las configuraciones y a las facetas duales

Fuente: Font, Rubio y Contreras (2008)

Objetos

Matemticos

PROCESOS

Lenguaje:

Verbal,

simblico,

grfico...

Situacin

Problema

Definiciones

Conceptos previos y/o

emergentes

Propiedades

Proposiciones

Teoremas

Procedimientos

Tcnicas

Mtodos

Argument

os

Algoritmitzacin / Mecanizacin / Prctica (en el sentido de

repeticin) / Trabajo de tcnica / . . .

Particularizacin /Ejemplificacin/ Identificacin/ Distincin

Aplicacin / Contextualizacin /Reconocimiento/Deteccin/

. . .

Generalizacin

Idealizacin / Esquematizacin / Abstraccin

Materializacin / Representacin externa (grfica, expresin

simblica, etc., realizada en papel, pizarra, ordenador, etc.)

Significacin/ Comprensin/Interpretacin

Sntesis/ Reificacin/ Unificacin/Encapsulacin

Anlisis/ Descomposicin/ Desencapsulacin

Personalizacin / Construccin/Representacin interna

Institucionalizacin

Enunciacin

(expresar conjeturas, propiedades, dar definiciones,...)

Problematizacin

Argumentacin/ Justificacin/ Demostracin/ Explicacin

MEGAPROCESOS

Procesos de conexin

(Procesos de analoga, Procesos metafricos, Procesos de

comparacin, Procesos de relacin, ...)

Resolucin de problemas

Comunicacin

Modelizacin

Procesos y megaprocesos

METODOLOGA

El material fue elaborado para su uso presencial y tambin online. Ahora bien, en este objetivo se insiste en especial en el anlisis de la idoneidad epistmica y en sacar conclusiones de lo que se debe mejorar, con el objetivo de que el futuro profesor disee una mejora de la secuencia que ha analizado.

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METODOLOGA

Participantes

Un grupo de docentes de Matemtica de educacin secundaria en ejercicio (Per).

Un grupo de estudiantes de Matemticas de un curso de Didctica de las Matemticas (Barcelona)

Un grupo de estudiantes de maestra en enseanza de las Matemticas (PUCP).

Un grupo de estudiantes del Mster de Formacin del profesorado (UB)

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RESULTADOS

En el taller (piloto) con profesores de secundaria del Per, se puso de manifiesto:

1) La necesidad de que el profesor tenga competencia matemtica y (2) la ambigedad de los constructos PISA 2003 cuando un profesor los quiere aplicar al anlisis de la actividad matemtica necesaria para resolver una tarea.

Pese a la ambigedad en la asignacin de los niveles de complejidad a un problema, la moda coincida con el nivel de complejidad asignado a los problemas propuestos PISA 2003 (Carpintero y Chatear).

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RESULTADOS

Los estudiantes (UB), con mucha competencia matemtica, con nula experiencia docente y sin estudios de postgrado en Didctica de las Matemticas, mostraron (1) tener competencia matemtica, al resolver los problemas PISA 2003 propuestos y (2) se corrobor otra vez la ambigedad de los constructos PISA ya que los participantes no coincidieron en las competencias activadas que se inferan de una solucin a uno de los problemas propuestos, ni en los niveles de complejidad asignados en dicho informe a los mismos problemas. En este caso, la moda no coincidi con el nivel de complejidad asignado en el informe PISA 2003 en tres de los cinco problemas propuestos.

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RESULTADOS

Los profesores de secundaria del Per, con competencia matemtica, con experiencia docente y con estudios de postgrado en Didctica de las Matemticas:

(1) desconocan inicialmente y en su mayora los constructos PISA 2003, (2) tuvieron dificultad para aplicar las matemticas que conocan a problemas de contexto extramatemtico, (3) se evidenci que una condicin necesaria para la evaluacin de competencias matemticas, es el tener competencias matemticas, (4) Se corrobor la ambigedad de los constructos PISA. En este caso, la moda no coincidi con el

nivel de complejidad asignado en el informe PISA 2003 en tres de los siete problemas propuestos.

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RESULTADOS

A pesar de la ambigedad que se produce al inferir procesos, la moda de las respuestas de los alumnos del Mster de FPSM de la UB coincide con la inferencia de procesos que se realiza utilizando el EOS.

En nuestra opinin, se trata de un resultado que permite ser optimista con relacin a la enseanza de procesos ya que, dentro de la ambigedad inevitablemente asociada a la enseanza de este tipo de contenido, es posible llegar a un cierto consenso sobre su terminologa y conceptualizacin.

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RESULTADOS

Un aspecto que nos pareci muy relevante en la experimentacin del CF es que hay alumnos, con competencia matemtica que, por propia iniciativa, infieren competencias a partir del APOPM realizado para describir la actividad matemtica desarrollada por un alumno.

Se trata de un caso relevante para la investigacin que se presenta ya que metafricamente se puede considerar como un teorema de existencia para este objetivo.

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RESULTADOS

En el CF implementado se ense a los alumnos a realizar una evaluacin analtica de competencias a partir del APOPM.

Los futuros profesores mayoritariamente consideraron que este tipo de evaluacin poda ser til.

Adems, manifestaron considerarse competentes para poder realizarla.

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Competencia matemtica y competencia en anlisis didctico

Fuente: Rubio, N. (2012)

1) Resolver el problema 2) Hacer un anlisis del problema destacando algunas acciones, objetos y procesos. 3) Para cada una de las competencias (PISA) decidir, a partir del anlisis realizado en el punto 2, si la competencia es de reproduccin, conexin y reflexin 4) Asignar el problema a uno de los tres grupos, segn el nivel que hayamos asignado a las diferentes competencias, 5) Retroalimentacin al alumno.

Tomada de Competencias del profesorado en el anlisis didctico de prcticas, objetos y procesos matemticos, Rubio, N. (2012) . Tesis doctoral no publicada. Universitat de Barcelona, Espaa.

PROPUESTA DE MTODO DE EVALUACIN ANALTICO, A POSTERIORI Y GLOBAL DE COMPETENCIAS MATEMTICAS

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

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Nuestra conclusin despus de toda la experimentacin realizada es que podemos confirmar si los profesores no son competentes en el anlisis de prcticas, procesos y objetos matemticos, no lo sern en la evaluacin de competencias.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

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En la implementacin de los dos CF, se ha puesto de manifiesto que el modelo de anlisis de prcticas, objetos y procesos matemticos (APOPM), basado en el EOS (propuesto en el captulo 5) es el elemento esencial del mtodo de evaluacin analtica y global de competencias matemticas del informe PISA 2003 propuesto en esta memoria de investigacin.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

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El APOPM es un modelo de anlisis no exento de ambigedades, tal como se ha visto a lo largo de la experimentacin, pero si a los alumnos se les ensea dicho mtodo de manera muy pautada, se trata de una ambigedad con la que se puede convivir ya que se consigue que el grupo mayoritario llegue a los mismos resultados en la evaluacin de competencias.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Los currculos de secundaria por competencias son currculos ambiciosos, ya que desarrollar y evaluar competencias son tareas complejas que exigen al profesor una formacin muy cualificada.

Para conseguir este tipo de formacin se ha de modificar tanto la formacin inicial de profesores de secundaria como la continua.

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CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Ahora bien, esta nueva formacin debera estar orientada por investigaciones como la que estamos presentando.

Nuestra investigacin muestra que el anlisis de prcticas, objetos y procesos matemticos (APOPM) es un componente esencial de la competencia en anlisis didctico y se han diseado e implementado ciclos formativos para su desarrollo.

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PUBLICACIONES ASOCIADAS

Font, V., Rubio, N y Contreras, A. (2008). Procesos en matemticas. Una perspectiva ontosemitica., en Lestn P. (ed.), Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa, Vol. 21 (pp. 706-715). Mxico D. F.: Colegio Mexicano de Matemtica Educativa A. C. y Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa A. C.

Font, V. y Rubio, N. (2012). El paso de la argumentacin informal a la deduccin, un aspecto clave en el desarrollo de la competencia argumentativa. El desarrollo de competencias en las clases de ciencias y matemticas. pp. 207 - 225. Venezuela: Talleres Grficos Universitarios.

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PUBLICACIONES ASOCIADAS

Font, V.; Rubio, N. (2011). El Anlisis Didctico en el marco del Enfoque Ontosemitico. En S. E. Ibarra y M. C. Villalva (Eds.), Memorias de la XX Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas (197 199) Sonora (Mxico): Universidad de Sonora.

Font, V. y Rubio, N. (2011). Competencia profesional de los futuros profesores en la evaluacin de competencias matemticas. Actas del VI Congreso Internacional de Docencia Universitaria e Innovacin (VI CIDUI) (1-25). Barcelona: UPC.

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PUBLICACIONES ASOCIADAS

Font, V. y Rubio, N. (2012). El paso de la argumentacin informal a la deduccin, un aspecto clave en el desarrollo de la competencia argumentativa. El desarrollo de competencias en las clases de ciencias y matemticas. pp. 207 - 225. Venezuela: Talleres Grficos Universitarios.

Rubio, N. (2012) Competencia del profesorado en el anlisis didctico de prcticas, objetos y procesos matemticos. Tesis doctoral. Universitat de Barcelona. Espaa.

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PUBLICACIONES ASOCIADAS

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Rubio, N. y Font, V. (2009). Evaluacin de las competencias matemticas en las pruebas PISA 2003. Actas IV Coloquio Internacional sobre la Enseanza de las Matemticas. En C. Gaita (Ed.). Per: Pontificia Universidad Catlica del Per.

Rubio, N. y Font, V. (2012). Competencia inicial de futuros profesores en la evaluacin de competencias matemticas. En V. Font, J. Gimnez, V. Larios y L. F. Zorrilla (Eds.). Competencias del profesor de matemticas de secundaria y bachillerato. Barcelona: Publicaciones de la Universitat de Barcelona.

PUBLICACIONES ASOCIADAS

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Rubio, N., Font, V. y Gimnez, J. (2010). Professional competence of future teachers in the assessment of Mathematical competencies. In Pinto, M.M.F.& Kawasaki, T.F.(Eds.). Proceedings of the 34th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 2, pp. 100. Belo Horizonte, Brazil: PME

Rubio, N., Font, V. y Planas, N. (2008). Anlisis didctico, una mirada desde el enfoque Ontosemitico. Actas III Coloquio Internacional sobre la Enseanza de las Matemticas. En C. Gaita (Ed) .pp. 159 - 181. Per: Pontificia Universidad Catlica del Per.

Prcticas matemticas

El trmino prctica matemtica tiene un territorio compartido con otros

trminos tambin utilzados en la Matemtica Educativa

Qu se entiende por prctica matemtica?

Lo primero que hay que resaltar es que la realizacin de una prctica por una persona tienen un componente observable y un componente no observable directamente.

Si nos fijamos en la parte observable podramos considerar la prctica matemtica como la lectura y produccin de textos matemticos , pero conviene matizar esta idea para no confundir prctica con conducta.

Hay que distinguir entre conducta humana, entendida como comportamiento aparente y observable de las personas, y prctica, que en tanto que accin humana orientada a una finalidad tiene un sentido, tanto para quien la realiza como para quien la interpreta. En el caso de las prcticas matemticas su sentido viene determinado por la funcin que esta prctica desempea en los procesos de resolucin de un problema, o bien para comunicar a otro la solucin, validar la solucin y generalizarla a otros contextos y problemas.

Hay que resaltar que esta manera de entender el sentido de las prcticas matemticas implica que se las considera acciones sujetas a reglas.

Una primera manera de conceptualizar las prcticas matemticas es considerarlas como la lectura y produccin de textos matemticos

Una segunda conceptualizacin de prctica matemtica es la que proponen Godino y Batanero (1994, p. 334):

Llamamos prctica a toda actuacin o manifestacin (lingstica o no) realizada por alguien (persona o institucin) para resolver problemas matemticos, comunicar a otros la solucin, validar la solucin y generalizarla a otros contextos y problemas.

Las prcticas matemticas se suceden a largo del tiempo, por tanto una buena manera de describirlas es mediante la narracin de lo sucedido.

De hecho la narracin de prcticas matemticas es el discurso que suele utilizar un profesor cuando quiere explicar con detalle a otro profesor lo que ha explicado en sus clases.

Objetos matemticos De manera amplia se puede entender por objeto matemtico a todo aquello que,

de alguna manera, est formando parte de la prctica matemtica. Por tanto, ser objeto matemtico es estar participando, de alguna manera, en la prctica matemtica.

Objeto matemtico es una metfora que consiste en trasladar una de las

caractersticas de las cosas fsicas (la posibilidad de separacin de otras cosas) a las matemticas. Por tanto, de entrada, todo lo que se pueda individualizar en matemticas ser considerado como objeto (un concepto, una propiedad, una representacin, un procedimiento, etc.).

Hay que resaltar que cuando se entiende de esta manera a los objetos

matemticos se hace un uso muy amplio (dbil) del trmino objeto matemtico ya que de hecho todo puede ser objeto. Este uso general o dbil de objeto es el que se hace tambin en el interaccionismo simblico (Blumer, 1969).

Consideramos til hacer, de entrada, este uso amplio (dbil) de la expresin

objeto matemtico: Objetos matemticos no son solo los conceptos, sino cualquier entidad o cosa a la cual nos referimos, o de la cual hablamos, sea real, imaginaria o de cualquier otro tipo, que interviene de algn modo en las prcticas matemticas.

La afirmacin de que todo lo que est participando en las prcticas matemticas es objeto matemtico se puede ir concretando.

En un primer nivel tenemos una tipologa de entidades que estn participando (por ejemplo, se pueden observar en un texto matemtico) en la prctica matemtica (problemas, definiciones, proposiciones, etc.), que llamaremos objetos primarios.

CONFIGURACIONES DE OBJETOS

La realizacin de una prctica es algo complejo que moviliza diferentes elementos, a saber, un agente (institucin o persona) que realiza la prctica, un medio en el que dicha prctica se realiza (en este medio puede haber otros agentes, objetos, etc.).

Puesto que el agente realiza una secuencia de acciones orientadas a la resolucin de un tipo de situaciones problemas, es necesario considerar tambin, entre otros aspectos, fines, intenciones, valores, objetos y procesos matemticos.

REALIZACIN DE UNA PRCTICA

OBJETOS PREVIOS Y EMERGENTES

Para explicar cmo emergen nuevos objetos primarios a partir de las prcticas, nos ser muy til la metfora subir una escalera.

Cuando subimos una escalera siempre nos estamos apoyando en un pie, pero cada vez el pie est en un escaln superior.

La prctica matemtica la podemos considerar como subir la escalera. El escaln en el que nos apoyamos para realizar la prctica es una configuracin de objetos primarios ya conocida, mientras que el escaln superior al que accedemos, como resultado de la prctica realizada, es una nueva configuracin de objetos en la que alguno (o algunos) de dichos objetos no era conocido antes.