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ECUACIONES DIFERENCIALES LminaED01

Semestre 2014-1 Ing. Jess Alfredo Zrraga Martnez

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TEMA 1 INTRODUCCIN Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER

ORDEN Objetivo El alumno identificar las ecuaciones diferenciales como modelo matemtico de fenmenos fsicos y resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Definicin: Ecuacin Una ecuacin es una proposicin matemtica que involucra una igualdad entre dos expresiones las cuales contienen uno o varios trminos indefinidos. Estos trminos son expresiones, comnmente llamadas incgnitas, que pueden representar un nmero, un vector, una matriz, una funcin, etc. Definicin: Ecuacin Diferencial

Una ecuacin diferencial ED es una ecuacin en la que se relaciona una variable independiente, una variable dependiente y alguna(s) de sus derivadas.

A la variable dependiente tambin se le conoce como funcin incgnita. Al resolver la ecuacin diferencial, se encuentra la funcin incgnita. Una forma de expresar las ecuaciones diferenciales de forma general es:

, , , ... , 0n

n

dy d yF x ydx dx

Clasificacin de las Ecuaciones Diferenciales Las ED pueden clasificarse de tres formas:

Clasificacin de las Ecuaciones Diferenciales

Por TIPO

Por ORDEN

Por LINEALIDAD

Ecuacin Diferencial Ordinaria Ecuacin Diferencial Parcial

Ecuacin Diferencial de Primer Orden

Ecuacin Diferencialde Segundo Orden

Ecuacin Diferencialde Ensimo Orden

Ecuacin Diferencial Lineal Ecuacin Diferencial No Lineal

.



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Clasificacin por Tipo Definicin: Ecuacin Diferencial Ordinaria EDO Una ecuacin diferencial es una ecuacin diferencial ordinaria si la funcin incgnita depende nicamente de una sola variable independiente. Definicin: Ecuacin Diferencial Parcial EDP Una ecuacin diferencial es una ecuacin diferencial parcial si la funcin incgnita depende de dos o ms variables independientes. Ejercicio # 1 Catalogar las siguientes ecuaciones diferenciales mencionando si son ecuaciones diferenciales ordinarias parciales. Adems mencionar sus variables dependientes e independientes.

Ecuacin Diferencial EDO EDP V. I. V. D.

a) 5 xdy y edx

b) 2

2 6 0d x dx xdt dt

c) 2 2

2 2 0u ux y

d) 2 1r rs t

Solucin:

Ecuacin Diferencial EDO EDP V. I. V. D.

a) 5 xdy y edx

Si No x y

b) 2

2 6 0d x dx xdt dt

Si No t x

c) 2 2

2 2 0u ux y

No Si x, y u

d) 2 1r rs t

No Si s, t r



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Clasificacin por Orden Definicin: Orden de una Ecuacin Diferencial El orden de una ecuacin diferencial es el orden de la mayor derivada que aparece en la ecuacin.

ED de Primer Orden: , , ' 0F x y y ED de Segundo Orden: , , ', '' 0F x y y y ED de Tercer Orden: , , ' , '', ''' 0F x y y y y ED de Ensimo Orden: , , ' , ... , 0nF x y y y

Definicin: Grado de una Ecuacin Diferencial El grado de una ecuacin diferencial es la potencia a la cual esta elevada la derivada de mayor orden, siempre y cuando la ED est dada en forma polinomial. Ejercicio # 2 Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales en cuanto a orden y grado.

Ecuacin Diferencial Orden Grado

a) 3 xdy ey

dx x

b) 3 2

3 2 5 0d x d x xdt dt

c) 2 2

2 2 0u ux y

d) 2 1r rs t

Solucin:

Ecuacin Diferencial Orden Grado

a) 3 xdy ey

dx x 1 3

b) 3 2

3 2 5 0d x d x xdt dt

3 1

c) 2

2 0u ux y

2 1

d) 2 1r rs t

1 1



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Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias Parciales

Lineales No Lineales Lineales

No Lineales

Homogneas

Homogneas

No Homogneas

Coeficientes Constantes

Coeficientes Variables

No Homogneas

Coeficientes Constantes

Coeficientes Variables

Clasificacin por Linealidad Ecuacin Diferencial Lineal Debe cumplir con todas y cada una de las siguientes caractersticas:

La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado. Cada coeficiente de la variable dependiente y sus derivadas depende

solamente de la variable independiente (o tambin pueden ser constantes).

No existen productos entre la variable dependiente y sus derivadas. Ecuacin Diferencial No Lineal Son aquellas que no cumplen por lo menos una de las caractersticas de una ecuacin diferencial lineal. Clasificacin de las Ecuaciones Diferenciales Soluciones de una Ecuacin Diferencial Definicin: Solucin de una Ecuacin Diferencial La solucin de una ecuacin diferencial con funcin desconocida y y variable independiente x en un intervalo I es una funcin (x) que satisface la ecuacin diferencial para todos los valores de x en el intervalo. Ejercicio # 3 Mostrar que 2 1( )x x x es una solucin de la ecuacin diferencial

2

2 2

2 0d y ydx x

en el intervalo 0x .



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Tipos de Soluciones de una Ecuacin Diferencial Para las soluciones de las ecuaciones diferenciales trabajamos dos clasificaciones:

Clasificacin por Tipo de Solucin Clasificacin por la Forma de la Solucin.

Clasificacin por Tipo de Solucin Definicin: Solucin General de una Ecuacin Diferencial Una solucin general de una ecuacin diferencial es una solucin de tipo genrico expresada con uno o ms parmetros arbitrarios, los cuales corresponden en nmero, al orden de la ecuacin diferencial. Tambin se le conoce como la familia de soluciones de una ecuacin diferencial, grficamente, como la familia de curvas solucin de la ecuacin diferencial. Definicin: Solucin Particular de una Ecuacin Diferencial Es una solucin de una ecuacin diferencial que esta libre de parmetros arbitrarios. Las soluciones particulares se obtienen de la solucin general en base a condiciones asignadas al problema en cuestin, es decir, en base a las condiciones se da un valor a los parmetros arbitrarios obteniendo una solucin particular que debe satisfacer tanto las condiciones, como a la ecuacin diferencial. Grficamente, una solucin particular es una curva que pertenece a la familia de soluciones de la ecuacin diferencial. Definicin: Solucin Singular de una Ecuacin Diferencial A veces una ecuacin diferencial posee una solucin que no es un miembro de una familia de soluciones de la ecuacin, es decir, una solucin que no se puede obtener al especificar alguno de los parmetros de la familia de soluciones; a esta clase de solucin extra se le llama solucin singular.

Clasificacin de las Soluciones de una

Ecuacin Diferencial

Por TIPO de SOLUCIN Por la FORMA de la SOLUCIN

Solucin General

Solucin Particular

Solucin Singular

Solucin Implcita

Solucin Explcita



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Ejercicio # 4

a) Obtenga la ecuacin diferencial que tiene por solucin general a 2 1y x c , donde c=constante

b) Determine cuales de las siguientes funciones son solucin de la ecuacin obtenida, indicando, en su caso, que tipo de solucin es.

2 21 2 3; 1 ; 2y x y y x x

Solucin:

a) La ecuacin diferencial es 2 4 1dy ydx

b) * y1 no es solucin

* y2 es Solucin Singular. * y3 es Solucin Particular.

.. Pero qu pasa grficamente? Veamos:

Definicin: Infinidad de Soluciones de una Ecuacin Diferencial Una sola ecuacin diferencial puede poseer un nmero infinito de soluciones que corresponden al nmero ilimitado de elecciones para los parmetros arbitrarios.



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Ejercicio # 5 Dada la ecuacin diferencial 2' 2 ' 4 4 0y y x y cuya solucin general es

2y x c c : a) Determine, si existe, la ecuacin de una solucin singular. b) Construya una grfica de la familia de soluciones.

Solucin:

La solucin singular es 4 4 1x y .

Clasificacin por la Forma de la Solucin Definicin: Solucin Explcita de una Ecuacin Diferencial Una solucin explcita de una ecuacin diferencial es una funcin (x) tal que al sustituirla en lugar de y en la ecuacin diferencial, satisface la ecuacin para toda x en un intervalo I. sta solucin se caracteriza porque en ella tenemos a la variable dependiente despejada. Definicin: Solucin Implcita de una Ecuacin Diferencial Se dice que una relacin G(x, y)=0 es una solucin implcita de una ecuacin diferencial en el intervalo I si define una o ms soluciones explcitas en I. sta solucin se caracteriza porque en ella NO tenemos a la variable dependiente despejada.



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Ejercicio # 6 Mostrar que la relacin 2 3 8 0y x define de manera implcita una solucin de la ecuacin diferencial

232

dy xdx y

en el intervalo 2, . .Solucin:

Es implcita porque define 2 soluciones explicitas 31 8y x y 3

2 8y x en el intervalo 2, .

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