PENDULO SIMPLE Cesar Barahona 701601 Daniel Quevedo 503189 Nelson Villero 504244 Andrés Nieto 537664 Daniel Ospina 502358

RESUMEN : el desarrollo de este laboratorio se

centra en comprender el comportamiento físico de

un péndulo simple, para ello se debe entender de

manera clara los conceptos tales como periodo,

frecuencia, gravedad, entre otros que influyen o

hacen parte del sistema a analizar bien sea

mediante el análisis conceptual (físico) y por qué

no a partir de cada uno de los datos registrados,

teniendo la capacidad de interpretarlos

describiendo teóricamente lo que cada uno de

estos muestra generados por el comportamiento

general del sistema, en este caso el péndulo

simple. El manejo de la linealizacion de datos

experimentales (medidas directas e indirectas), es

de vital importancia ya que a partir de estos se

puede entender el procedimiento que tiene como

fin predecir el comportamiento del sistema.

I. INTRODUCCION

En el presente laboratorio se evidencia la

capacidad que se tiene de interpretar y relacionar

datos y resultados experimentales, con modelos

teóricos, mediante la realización de prácticas

experimentales para poder determinar la validez y

exactitud de los mismos, con el fin de entender el

comportamiento físico de un péndulo simple y así

identificar sus características tales como su

movimiento periódico, el cual consiste en una

masa suspendida de una cuerda, de masa

despreciable que oscila dentro de un intervalo de

tiempo, determinando tal comportamiento por

método grafico y transitoriamente verificarlo con

los valores teóricos calculados; teniendo en cuenta

características tales como la gravedad, periodo,

longitud (cuerda) y masa; que se encuentran

implícitos en el análisis que se hará en este

sistema (péndulo simple).

Posteriormente categorizar y tabular cada uno de

los datos con sus correspondientes unidades e

incertidumbres y así poder determinar el

comportamiento físico del péndulo que es

básicamente lo que esta explicito paso por paso

en el contenido de este laboratorio y cada una de

las partes, procedimientos, muestras (datos y

gráficos) que lo conforman.

II. OBEJTIVO

Calcular el valor teórico y experimental de la

gravedad generada en este practica.

III. MARCO TEORICO

Aspecto Teórico: Un péndulo simple se define

como una partícula de masa m suspendida del

punto O por un hilo inextensible de longitud l y de

masa despreciable, como muestra la [Figura 1]; si

la partícula se desplaza a una posición x (ángulo

que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta,

el péndulo comienza a oscilar. Naturalmente es

imposible la realización práctica de un péndulo

simple, pero si es accesible a la teoría. El péndulo

simple se denomina así en contraposición a los

péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que

pueden construirse.

[Figura 1]

El péndulo describe una trayectoria circular, un

arco de una circunferencia de radio l. las fuerzas

que actúan sobre la partícula (masa m) son dos el

peso mg (gravedad g) y la tensión (T) del hilo o

cuerda, el ángulo está representado (θ). Como

pauta importante a tener en cuenta a la hora de

analizar el comportamiento del péndulo simple es

que este es un caso de movimiento periódico el

cual presenta un periodo y una frecuencia angular

dados por la expresión que se muestra a

continuación:

Donde W representa a la frecuencia angular y T al

periodo cada uno correspondiente al sistema

péndulo simple, entre tanto la longitud de la

cuerda está representada por L y la gravedad

respectivamente con g. Como se puede observar

en la segunda expresión el periodo T no depende

de la geometría ni de la masa del cuerpo que

oscila o se mueve.

Conceptos

El período de una oscilación (T) es el número de

variaciones necesarias para que dicha oscilación

vuelva a ser representada por cualquiera de los

valores anteriores obtenidos, con un índice de

cadencia regular.

La gravedad (g), es la fuerza de atracción a que

está sometido todo cuerpo que se halle en las

proximidades de la Tierra.

La frecuencia o velocidad angular es una

medida de la velocidad de rotación. Se define

como el ángulo girado por una unidad de tiempo y

se designa mediante (W). Su unidad en el Sistema

Internacional es el radián por segundo (rad/s).

La Frecuencia es una magnitud que mide el

número de repeticiones por unidad de tiempo de

cualquier fenómeno o suceso periódico.

IV. MONTAJE EXPERIMENTAL

[Figura 2] Montaje Experimental (imagen tomada de

http://carolina2010.wordpress.com/laboratorio-de-pendulo-simple/)

Como muestra la [Figura 2] el montaje

experimental está compuesto por un soporte o

pinza, hilo, masa, soporte, base del soporte, regla

que permite medir las distintas longitudes de

cuerdas que se tomaron para cada tiempo u

oscilación diferentes y precisamente se hizo uso

de un cronometro para medir el tiempo. NOTA: los

ángulos para todas las longitudes fueron

equivalentes a 10 grados estos se midieron con un

transportador que fue fijado en la parte superior

del soporte.

Luego de conocer el montaje experimental se

procede a contabilizar el tiempo para cada una de

las longitudes a medirse, en cuanto a la masa va

ser siempre la misma para toda la práctica

experimental y así se van registrando cada uno de

los datos con sus correspondientes incertidumbres

y unidades.

V. RESULTADOS

Procedimiento: en la tabla No. 1 se registran

cada una de las distintas longitudes de la cuerda y

sus tiempos correspondientes.

I (cm) t1(s) ± t2(s) ± t3(s) ±

43 9,12±0,01 9,06±0,01 9,04±0,01

48 9,63±0,01 9,56±0,01 9,66±0,01

53 10,31±0,01 10,63±0,01 10,09±0,01

58 10,5±0,01 10,59±0,01 10,56±0,01

63 10,94±0,01 10,94±0,01 11±0,01

68 11,5±0,01 11,57±0,01 11,28±0,01

73 11,63±0,01 11,84±0,01 12,02±0,01

Tabla No.1

En la tabla No. 1 se encuentran registrados las

distintas longitudes (verde), entre tanto cada

tiempo evidentemente se tomo en segundos (s) y

su incertidumbre corresponde al cronometro.

En la tabla No. 2 aparece registrado el tiempo

promedio y el valor de los periodos para cada

tiempo y longitud

I (cm) t promedio(s) ± T(S)

43 9,07±0,29 1,30±0,01

48 9,62±0,29 1,37±0,01

53 10,18±0,29 1,45±0,01

58 10,55±0,29 1,51±0,01

63 10,96±0,29 1,57±0,01

68 11,45±00,29 1,64±0,01

73 11,83±0,29 1,69±0,01

Tabla No. 2

De los datos de la tabla No. 2 se observa el tiempo

promedio (s) que fue calculado mediante la

calculadora y su respectiva incertidumbre se

calculo por el método de error cuadrático.

Formula del Error Cuadrático para hallar

la incertidumbre del promedio de los

tiempos calculados.

Entre tanto la incertidumbre del Periodo (T),

corresponde a la misma del tiempo es decir la del

cronometro esto ya que para hallar cada una de

los periodos se utilizo la expresión:

T= (t TOTAL)/ (Nº Oscilaciones)

Donde T corresponde al periodo que va ser

equivalente a t TOTAL que equivale al tiempo total

registrado para cada una de las longitudes, sobre

el número de oscilaciones que en este caso para

todos fue de 7 en total.

En la segunda parte del procedimiento se procede

hallar la gravedad con cada pareja de datos de

longitud y periodo calculados anteriormente y que

se evidenciaron en la tabla No. 2 cada uno con su

correspondiente incertidumbre. En la tabla No. 3

que se muestra a continuación se registra el valor

de la gravedad y su correspondiente

incertidumbre. Para ello se reescribirá en esta

tabla los mismos valores referentes a la longitud

(de la cuerda) y el periodo de las mismas cada

uno también con sus correspondientes

incertidumbres y unidades.

I (cm) T(S) g (cm/s²)

43 1,30±0,01 1010,39±28,20

48 1,37±0,01 1004,03±25,52

53 1,45±0,01 989,97±23,12

58 1,51±0,01 1008,04±21,93

63 1,57±0,01 1014,55±20,67

68 1,64±0,01 1003,35±19,19

73 1,69±0,01 1009,04±18,27

g promedio (cm/s²) 1005,63±8,06

Tabla No. 3

En la tabla se muestra los valores de cada

gravedad calculados para el cálculo de cada valor

se hizo uso de una ecuación o expresión

correspondiente que se muestra a continuación:

La expresión anterior corresponde al cálculo del

periodo (T) que depende de una longitud (L) y el

valor de la gravedad (g), “usada en el péndulo

simple”, pero para el calcular el valor de la

gravedad que se muestra en la tabla No. 3 es

necesario despejar la gravedad (g) de la anterior

expresión luego de ello se obtiene que:

Luego de obtener el despeje correspondiente de la

gravedad (g) se hace el reemplazo en la ecuación

de cada uno de los valores longitud (L) y periodo

(T) que aparecen en la tabla No. 3.

Ejemplo:

I (m) T(S) g (cm/s²)

57 1,30±0,01 1010,39

Tomando cada valor de longitud y periodo

posteriormente reemplazándolos en la expresión

de la gravedad y así obtenemos su valor (esta es

la gravedad experimental), tabla No. 3(a).

I (cm) T(S) g (cm/s²)

43 1,3 1010,39

48 1,37 1004,03

53 1,45 989,97

58 1,51 1008,04

63 1,57 1014,55

68 1,64 1003,35

73 1,69 1009,04

Tabla No. 3(a)

Posteriormente para obtener el valor de las

incertidumbres de cada una de las gravedades

calculadas es necesario utilizar la propagación de

errores es necesario ya que en un principio se hizo

uso de una expresión o fórmula para calcular la

gravedad por ende es necesario aplicar este

método; para ello utilizando la expresión de la

gravedad (la variable g ya despejada), se procede

a derivar parcialmente con respecto al periodo (T)

y la longitud (L):

De la siguiente manera:

La expresión derivada queda de la siguiente

manera:

Luego de hacer la correspondiente derivada para

encontrar la incertidumbre de cada gravedad se

procede a reemplazar cada valor como el periodo

(T) y la longitud (L); entre tanto el (Δ) corresponde

a las incertidumbres de la longitud y el periodo

para ser más específicos (0,01) y reemplazando

cada valor (tabla No. 3(b)) se tiene:

I (cm) T(S) g (cm/s²)

43 1,30±0,01 1010,39±28,20

48 1,37±0,01 1004,03±25,52

53 1,45±0,01 989,97±23,12

58 1,51±0,01 1008,04±21,93

63 1,57±0,01 1014,55±20,67

68 1,64±0,01 1003,35±19,19

73 1,69±0,01 1009,04±18,27

Tabla No. 3(b)

NOTA: teniendo en cuenta el concepto de análisis

dimensional (representación de medidas) al

calcular cada incertidumbre se hizo la

correspondiente aproximación de los valores eso

para dar prioridad a la regla (análisis dimensional)

de dos cifras significativas después de la coma

eso para el valor e igualmente para su

incertidumbre.

Derivamos con respecto a

cada variable en este caso 2

(T) y (L).

Luego de haber obtenido el valor de las

gravedades y sus incertidumbres se debe hacer el

cálculo de la gravedad promedio como se

mostraba en la tabla No. 3 esa gravedad promedio

se realiza por calculadora, entre tanto para

representar su incertidumbre se hace de nuevo del

error cuadrático:

I (cm) T(S) g (cm/s²)

43 1,30±0,01 1010,39±28,20

48 1,37±0,01 1004,03±25,52

53 1,45±0,01 989,97±23,12

58 1,51±0,01 1008,04±21,93

63 1,57±0,01 1014,55±20,67

68 1,64±0,01 1003,35±19,19

73 1,69±0,01 1009,04±18,27

g promedio (c/s²) 1005,63±8,06

Tabla No. 3

Luego de haber utilizado cada uno de los métodos

(calculadora y erro cuadrático) obtenemos el valor

de la gravedad promedio y su incertidumbre como

se ilustraba anteriormente en la tabla No.3.

En la tercera parte del procedimiento se realizara

graficas de la longitud de la cuerda vs. T y de

longitud vs. T2. Para la primera situación se tienen

en cuenta los valores de longitud (L) y periodo

calculados inicialmente como muestra a

continuacion la tabla No.4:

I (cm) T(S)

43 1,30±0,01

48 1,37±0,01

53 1,45±0,01

58 1,51±0,01

63 1,57±0,01

68 1,64±0,01

73 1,69±0,01

Tabla No. 4

Teniendo en cuenta los datos se realiza la grafica

(Excel) correspondiente longitud vs. Tiempo.

Grafico (1) Longitud vs. Periodo.

Para la segunda situación de longitud vs. T2 es

importante tener en cuenta los siguientes

conceptos para realizar el cálculo respectivo con el

fin de linealizar esta situación.

A partir de esta expresión se dar solución a la

segunda situación (longitud vs. T2), para ello se

debe despejar la variable longitud (L) de la

siguiente manera:

1.3

1.4

1.5

1.6

43 53 63 73

LON

GIT

UD

(C

M)

PERIODO(S)

Series1

Linear (Series1)

Formula del Error Cuadrático para hallar

la incertidumbre del promedio de las

gravedades calculadas.

Para poder representar gráficamente esta

expresión que fue despejada con respecto a la

longitud (L) debemos aplicar logaritmos con el fin

de predecir la ecuación del grafico.

Luego de haber aplicado logaritmos es importante

tener en cuenta que:

Y= ln L.

B= ln (g/4π2).

M= 2.

X= ln T.

Para el cálculo de cada parte de la expresión

obtenida es necesario tener presente que:

10b= g/4π2.

B= log10 (g/4π2).

M= 2.

Se calcula la gravedad g= 10b (4π2).

Reemplazando cada uno de los valores en cada

expresión se obtiene los datos correspondientes

para generar el grafico de la longitud vs. T2. Estos

datos se muestran en la tabla No. 5:

b 10^b I (cm) g (cm/s²)

1,41 25,59 43 1010,39

1,41 25,43 48 1004,03

1,40 25,08 53 989,97

1,41 25,53 58 1008,04

1,41 25,70 63 1014,55

1,41 25,42 68 1003,35

1,41 25,56 73 1009,04

Tabla No. 5

Los valores finales que se calcularon se muestran

en la tabla No. 5 y estos satisfacen la ecuación de

la grafica que se muestra a continuacion:

Grafico (2) Longitud vs. T2.

En la cuarta parte del procedimiento se

determinara el valor de la gravedad por método

grafico mediante el ajuste lineal por mínimos

cuadrados dado por la siguiente expresión y

donde se reemplazaran los datos

correspondientes, se debe tener en cuenta que

por el ajuste lineal de mínimos cuadrados

obtenemos el valor de m y b, donde m representa

el valor de la pendiente y aplicamos la siguiente

fórmula:

Luego de aplicar la formula anterior obtenemos

que la ecuación de la recta es:

Y=25,494x - 0,1273.

2.86, 73

43

53

63

73

1.69 2.19 2.69

LON

GIT

UD

(CM

)

T^2(S^2)

LONGITUD VS T^2

Luego de obtener la ecuación de la recta

deducimos el valor de la gravedad y su

incertidumbre por método grafico estos valores se

muestran en la tabla No. 6 (Tabla Comparativa),

pero antes se muestra la grafica de la ecuación de

la recta calculada:

Grafico (3) Ajuste Lineal

Valor Experimental de la Gravedad.

V. Teórico V. Experimental V. Experimental Grafico

9,800 Cm/s2 1005,63±8,06 25,94±0,24

Tabla No. 6 Tabla Comparativa.

VI. Aspecto teórico (análisis de resultados).

Compare el valor teórico de la gravedad (el

reportado por Bogotá) con los valores

experimentales. ¿Qué tan exacto es cada uno de

los valores obtenidos con respecto a la gravedad

teórica? ¿Cuál de los dos métodos son más

precisos?

El valor reportado por Bogotá en cuanto a la

gravedad es de 9,773883709 m/s2, el valor que

presenta más aproximación con respecto al valor

teórico formulado es el valor experimental

calculado ya que su diferencia al teórico es

mínimo y su similitud es casi igual.

En el desarrollo del procedimiento nos

pudimos dar cuenta que cada uno de los datos

calculados representan o deben tener cierto

grado de exactitud bien sean calculados

mediante instrumentos o a partir de

expresiones o ecuaciones (medidas directas e

indirectas) y que implica tener cierta claridad

en el manejo de los conceptos para poder

interpretarlos.

En cuanto a los valores teóricos calculados al final

nos damos cuenta que las diferencias de unos con

otros NO son tan diferentes esto indica que cada

uno de los datos calculados representan cierto

grado de exactitud desde el inicio de la práctica,

durante y después de la misma.

CONCLUSIONES

El presente laboratorio nos ha permitido identificar

el método correcto y adecuado que se debe

utilizar para el registro de los datos experimentales

teniendo en cuenta los criterios provenientes de

allí. (Aspecto teórico).

El análisis y procesamiento de cada uno de los

datos tomados con respecto al montaje

experimental, los tiempos, y cada una de las

longitudes que se marcaron en el procedimiento

(en cuanto al péndulo) y que nos permitieron

identificar de manera clara el concepto de péndulo

y = 25,494x - 0,1273

43

48

53

58

63

68

73

1.69 2.19 2.69

simple y todas sus características que hacen parte

de la temática del presenta laboratorio.

A partir de los datos experimentales que se

obtuvieron en el laboratorio se ha podido

establecer las diferencias entre los conceptos que

intervienen en el momento de analizar el

comportamiento físico de un péndulo o cualquier

otro sistema derivado de este; y a su vez

interpretarlos de manera clara y así evaluar tal

comportamiento de la mejor forma.

BIBLIOGRAFIA

[1] Mecánica Experimental para Ciencias e

Ingeniería, Mario Enrique Álvarez Ramos.

[2] Introducción al análisis de datos

experimentales, Roque Serrano Gallego.

[3]

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo

/pendulo/pendulo.htm.

[4] Física para la ciencia y la tecnología:

Oscilaciones y Ondas. Paull Allen Tipler, Gene

Mosca, 2005.

[5] http://carolina2010.wordpress.com/laboratorio-

de-pendulo-simple/.