ResumenUna forma práctica de describir objetos en movimiento con-siste en analizat su telocidod o su aceleración.En este capí-

tulo se presentaror diversas aplicaciones que incluyen esas

cantidades físicas.

. La velocidad media es la distancia recorrida por unidadde tiempo- y la aceleracién media es el cambio de veloci-dad por unidad de tiempo

Aceleración gravitacional: los problemas relativos a laaceleració¡ gr¿vitacional pueden resolverse de forma si-milar a otros problemas de aceleración. En este caso, uno

de los pariímetros se conoce de antemano:

a: g:9,8m/s2 o32ftls2

El signo de 1a aceleración gravitacional es * o -, según

se elija la dirección positiva hacia arriba o hacia abajo.

Movimiento de proyectiles: la clave para resolver pro-blemas que incluyen movimiento de proyectiles es tratarel movimiento horizontal y el vertical por separado. La

mayor parte de los problemas de proyectiles se resuelven

utilizando el siguiente procedimiento:. Descomponga la velocidad inicial v0 en sus componen-

tesxy):

xt

Las definiciones de velocidad y aceleración conducen al

esfablecimiento de cinco ecuaciones básicas correspon-dientes al movimiento unifórmemente acelerado:

Dados: a:4mlsz

v-r - Yo

Encontrar: ur: ?

"_(vo+yr),\x/Y¡: iVt) * üt

1^X : vst -t -af

1,x:v,t--at't2

zax: ú - v3

Si se conocen tres de los cinco p.arámetros (vo, v, a, x,y /), los otros dos se determinan a parlir de una de estas

ecuaciones.. Para resolver problemas de aceleración, lea el problema

analizando cuáles son los tres parámetros proporcionadosy cuiíles son los dos desconocidos. Puede escribir colum-nas como éstas:

vox : vo cos 0 ,0,: vo sen 0

Las componentes horizontal y vertical de su posiciónen cualquier instante están dadas por

1.X:r,rt !:voyl+ rqt"

. Las componentes horizontal y vertical de su velocidaden cualquier instante están dadas por

vr: fo" v, : vo, * gl

. Es posible obtener la posición y 1a velocidad finales apartir de sus componenles.

Un aspecto importante que es necesario recordar alaplicar estas ecuaciones es que deben ser congruentes en

su conversiófi de signos y unidades.¡:500m vn:?r:20s

Este procedimiento le ayuda a elegir la ecuación apropia-da. Recuerde que debe elegir una dirección como positivay aplicar sistemáficamente este criterio en toda la resolu-ción del problema.

Conceptos claveaceleraciór 121

aceleracióngrar.itacional l2laceleración uniforme (aceleración

constante) 114

alcance 129

132

desplazamiento l2linercia 12Iproyectil 126rapidez constante l12rapidezinstantánea 113

rapidez media llLvelocidad 121velocidadinstantiínea II3

Preguntas de repasoó.1. Explique con claridad la dilerencia enlre los térmi-

nos rapidez y velocidad. Un piloto de carreras deautomóviles recoffe 500 vueltas en una pista de 1

mi en un tiempo de 5 h. ¿Cuál fue su rapidez media?

¿Cuál fue su velocidad media?6.2. IJn conductor de autobús recorre una distancia de

300 km en 4 h. A1 mismo tiempo, un turista recorrelos mismos 300 km en un automóvil, pero se detie-ne y hace dos pausas de 30 minutos. Sin embargo. elturista llega a su destino en el mismo instante queel conducior del autobús. Compare la rapidez mediade los dos conductores.

ó.3. Presente varios ejemplos de movimiento donde larapidez sea constante pero la velocidad no.

ó.4. Una bola de boliche desciende en una canal con incli-nación de 3ff una distancia cofia y después se nivelaunos cuantos segundos para iniciar finalmente un as-censo en otro framo inclinado 3ff. Comente la acelera-ción de la bola a medida que pasa por cada segmentode su trayecto. ¿La aceleración es la misma cuando lapelota sube por e1 tramo inclinado que cuando baja conesa misma inclinación? Suponga que la bola recibeun impulso inicial en la pafte superior del primer tramoinclinado y después viaja libremente a mayor veloci-dad. ¿Será dilerente la.aceleración en cualquiera de lossegmentos?' ó.5. Una piedra es arrojada verticalmente hacia arriba.Asciende hasta la máxima allura. regresa al puntode partida y continúa descendiendo. Comente lossignos de su desplazamiento. velocidad y acelera-ción en cada punto de su trayectoria. ¿,Cuál es suaceleración cuando la velociiad ff"gu

" cero en el

punto más alto?

ó.ó. Cuando no existe la resistencia del aire, un proyectilrequiere el mismo tiempo para llegar al punto másalto que para regresar al punto de partida. ¿,Seguirásiendo válida esta afirmación si la resistencia delaire no es insignificante? Trace diagramas de cuerpolibre para cada situación.

6.7. ¿Elr movimiento de un proyectil disparado a cier-to iíngulo es un ejemplo de aceleración uniforme?¿Qué sucede si es disparado verticalmente haciaarriba o verticalmente hacia abajo? Explique.

ó.8. ¿En qué ángulo se debe lanzar una pelota de beisbolpara lograr el máximo alcance? ¿Con qué ángulodebe lanzarse para lograr la máxima altura?

ó.9. Un cazador dispara directamente una flecha contrauna ardilla que está en la rama de un iárbol y el ani-mal cae en el instante que la flecha sale del arco.

¿Lesionará la flecha a la ardilla? Trace 1as trayecto-rias que cabe esperar. ¿En qué condiciones no heri-ría la flecha a la ardilla?

ó.10. Un niño deja caer una pelota desde la ventanilla deun automóvil que viaja con una rapidez constantede 60 km/h. ¿Cuál es la velocidad inicial de lapelotaen relación con el suelo? Describa el movimiento.

ó.1 1. Un coche de juguete es anasfrado sobre el suelo con ra-pidez uniforme. Un resorte unido al coche lanza unacanica verticalmente hacia arriba. Describa el movimien-to de la canica en relación con el suelo y con el coche.

ó.12. Explique el ajuste que es necesario realizar en lamira de un rifle cuando la distancia del blanco se vaincrementando.

ó.1 3. Explique el razonamiento en que se basa el uso detrayectorias altas o bajas para realizar las patadas

de despeje en un juego de futbol americano.

ProblemasSección ó.1 Rapidez y velocidad

ó.1 . Un automóvil recoffe una distancia de 86 km a unatapidez media de 8 m/s. ¿Cuántas horas requirió

¿Cuál es la rapidez media y cuál es la magnitud dela velocidad media?

ó.5. Una mujer camina 4 min en dirección al Norte a unavelocidad media de 6 km/h; después camina haciael Este a kmlhdurante 10 min. lCuA "r

su rapidezmedia durante el reconido? Resp. 4.57 km/h

6,6. ¿Cuál es la velocidad media de todo el recorridodescrito en el problema 6.5?

6.7. IJr, automóvil avanza a una rapidez media de 60mi/h durante 3 h y 20 min. ¿Cual fue la di.stancia

para completar el viaje? Resp. 2.99 h6.2. El sonido viaja con una rapidez media de 340 mls.

El relámpago que proviene de una nube causantede una tormenta distanle se observa en forma casiinmediata. Si el sonido del rayo llega a nuestro oído3 s después, ¿a qué distanciaLstá lá tormenta?

ó.3. Un cohete pequeño sale de su plataforma en direc-ción vertical ascendente y recoffe una distancia rle40 m antes de volver.a la Tiéma 5 s después de quefue lanzado. ¿Cuál iue la velocidad media de su re-corrido? Resp. 16mls

ó.4. Un automóvil transita por una curva en iorma de Uy recorre una distancia de 400 m en 30 s. Sin embar-go. su posición final está a sólo 40 m de la inicial.

ó.8. ¿Cuánto tiempo lleva recorrer 400 km si la rapidezmedia es de 90 km/h?

ó.9. Una canica rueda hácia arriba una clistancia de 5 m enuna rampa inclinada y luego se detiene y vuelve has-ta un punto localizado 5 m más abajo de su puntode partida. Suponga que r : 0 cuando t : 0. Todo

recorrida? Resp. 200 mi

Capítulo ó Resumen y repaso 133

el recorrido lo realiza en solamente 2 s. ¿,Cuál fue larapidez media y cuál fue la velocidad media?

Resp. 7.5 mf s, -Z.S m/s

Sección ó.3 Aceleración uniforme

ó.10. El extremo de un brazo robótico se mueve hacia laderecha a 8 m/s. Cuatro segundos después, se mue-ve hacia la izquierda a2 m/s. ¿Cuál es el cambio develocidad y cuál es 1a aceleración?

ó.11. Una flecha se acelera de cero a 40 m/s en 0.5 s queperrnanece en contacto con la cuerda del arco. ¿Cuál

Sección ó.7 Gravedad y cuerpos en caída libre

ó.20. Una pelota en estado de reposo se suelta y se dejacaerduranteS s :¿eiriilessonsuposiciónysuvelocidadeneseinstante?

ó.21. Se dejacaer una piedra a partirdel estado de reposo.

¿Cuándo alcanzará un desplazamiento cle l8 m pordebajo del punto de partida? ¿Cuál es su velocidaden ese momento? Resp. 1 .92 s, -18.8 m/s

ó.22. I-Ina mujer suelta una pesa desde la parte más alta deun puente y un amigo. que se encuentra abaio, me-dirá el tiempo que ocupa el objero en llegar al aguaen la parte inferior. ¿Cuál es la altura del puente siese tiempo es de 3 s?

6.23. A^ un ladrillo se le imparte una velocidad inicial de óm/s en su trayectoria hacia abajo. ¿Cuií1 será su velo-cidad final después de_caer una distancia de 40 m?

6.24. TJnproyecr' * r*",Jil[#L'"9;l"1: ffi?:j;regresa a su posición inicial en 5 s. ¿Cuál es su ve-locidad inicial y hasta qué altura llega?

ó.25. Una flecha se dispara verticalmente ñacia aniba conuna velocidad inicial de 80 ft/s. ¿Curál es su altura

es la aceleración media? Resp. B0 m/s26.'l?. Un automévil se desplaza inicialmente a 50 km/h

y acelera a razón de 4 mf s2 durante 3 s. ¿Cuál es larapidez final?

ó.1 3. Un camión que viaja a 60 mi /hfrena hasta detener-se po.

"ompieto enun tramo de 180 ft. ¿,Cuáles fue-

ron la acelelacién media y el tiempo dJfrenado?Resp. -21.5 ft/s2, 4.09 s

ó.14. En la cubierta de un pofaaviones, un dispositivo defrenado permite detener un avión en 1.5 s. La acele-ración media fue de 49 m/s2. ¿Cuál fue la distanciade frenado? ¿Cuál fue la rapidez inicial?

ó.15. En una prueba de frenado, un vehículo que viaja a60 km/h se detiene en un riempo de 3 s. ¿Cuálesfueron la aceleración y la distancia de frenado?

Resp. -5.5ó m/s2,25.0 mó.'l ó. Una bala sale del cañón de un riffe de 28 in a2i00

ft/s. ¿Cuáles son su aceleración y su tiempo dentrodel cañón?

6.17. A la pelota de la figura 6.13 se le imparte una ve-locidad inicial de l6 m/s en la parle más ba.ia deun plano inclinado. Dos segundoi más tarde iiguemoviéndose sobre el plano, pero con una velocidadde sólo 4 mls. ¿Cuál es la aceleración?

Resp. -ó.00 m/s2

ó.18. En el problema 6.17. ¿cuál es el desplazamienromáximo desde la parte inferior y cuál es la veloci-dad 4 s después de salir de la parte inferior?

ó.19. Un tren monorriel que viaja a22m/s tiene que de-tenerse en una distancia de 120 m. ¿,Qué aceleraciónmedia se requiere y cuál es el tiempo de frenado?

Resp. -2.b2 mf s2,1A.9 s

6.26. En el problema 6.25, ¿cuáles son la posición y lavelocidad de la flecha después de 2 y de 6 s?

6.27. tJn martillo es arrojádo u"rtical*ente hacia arribaen dirección a la cumbre de un techo de 16 m de al-tura. ¿Qué velocidad inicial mínima se requirió para

máxima? Resp. 100 ft

que llegara ahí? Resp. 17.7 m/s

Sección

6.28.

^6.29.

é.9 Proyección horizontal

Una pelota de beisbol sale despedida de un bate conuna velocidad horizontal de 2-0 m/s. En un tiempode 0.25 s, ¿a qué distancia habrá viajado horizontal-mente y cuánto habrá caldo verticalmente?un avión que vueta

" zó *Ut ¿.i";;;;;;^ caja de

provisiones. ¿Qué distancia horizontal recorrerá lacaja antes de tocar el suelo. 340 m más abajo?

Resp. 583 mó.30. En una explotación maderera, los troneos se des-

cargan horizontalmente a l5 m/s por medio de unconducto engrasado que se encuentra 20 m por en-cima de un estanque para contener madera. ¿,Quédistancia recorren horiiontalmente los troncosl

-ó.31. Una bola de acero rueda y cae por el borde de una

mesa desde 4 ft por encima dei piso. Si golpea elsuelo a 5 ft de la base de la mesa. ¿cuál fue su velo-cidad horizonral inicial? Resp. vo* : 10.0 ft/s

ó.32. Una bala sale del cañón de un arma cón una veloci-dad horizontal inicial de 400 m/s. Halle los despla-zamientos horizonlal y vertical después de 3 s.

ó.33. Un proyectil tiene una velocidad horizontal inicialde 40 m/s en el borde de un tejado. Encuentre lascomponentes horizontal y vertical de su velocidad

Figura ó.13

134 Capítulo ó Resumen y repaso

después de 3 s, Resp. 40 m/s, -29.4 m/s

Sección ó.'10 El problema másgeneral de las trayectorias

ó.34. A una piedra se le imprime una velocidad inicial de2A m/s a un ángulo de 58o. ¿Cuáles son sus despla-zamientos horizontal y vertical después de 3 s?

ó.35. Una pelota de beisbol sale golpeada por el bate conuna velocidad de 30 m/s a un ángulo de 3ff. ¿Cuiílesson las componentes horizontal y vertical de su veloci-dad después de 3 s? Resp. 2ó.0 m/s, -14.4 m/s

ó.3ó. En el caso de la pelota de beisbol del problema 6.35,¿cuál es la altura máxima y cuál es el alcance?

ó.37. Una flecha sale del arco con una velocidad inicial del2O ft/s a un ángulo de 37o respecto a la horizontal.¿Cuiiles son las componentes horizontal y verticalde su desplazamiento al cabo de dos segundos?

Resp. x = 208 ft, y :5ó.0 ft

*ó.38. En el problema 6.37, ¿cuiáles son la magnifud y la di-rección de la velocidad de la flecha después de 2 s?

*ó.39. En la figura 6.14, una pelota de golfsale del puntode partida, al ser golpeada, con una velocidad de 40m/s a 65o, Si cae sobre ví green ubicado 10 m másarriba que el punto de partida, ¿cuiíJ fue el tiempoque pennaneció en el aire y cuál fue la distancia ho-nzontal recorrida respecto al palo?

Resp. 7.1 1 s, 1 20 m*ó.40. Un proyectil sale disparado del suelo con una ve-

locidad de 35 m/s a un ángulo de 32i. ¿Cuál es laaltura máxima que alcanza?

*6.4'l . El proyectil del problema 6.40 se eleva y cae, gol-peando una cartelera de anuncios instalaáa 8 m porencima del suelo. ¿Cuál lue el tiempo de vuelo y quédistancia horizontal miixima recorrió el proyectil?

Resp. 3.29 s,97.7 m

Figura ó.14

Problemas adicionales6.42: Ut cohete surca el espacio a 6A mf s y entonces re-

cibe una aceleración repentina. Si su velocidad se

incrementa a 140 m/s en 8 s-, ¿cuál fue su acelera-ción media y qué distancia recorrió en este tiempo?

ó.43. Un vagón de ferrocarril parte del reposo y desciendelibremente por una pendiente. Con una aceleraciónmedia de 4ftls2, ¿cuál será su velocidad al cabo de5 s? ¿Qué distancia habrá recorrido en ese tiempo?

Resp. 20 ftls, 50 ft*ó.44. Un objeto es arrojado horizontalmente a20 m/s. Al

mismo tiempo, otro objeto, ubicado 12 m más aba-jo, se deja caer desde el reposo. ¡,En qué momentochocarán arnbos y a qué distancia se hallarrín abajodel punto de partida?

ó.45. Un camión que transita a una velocidad inicial de30 m/s se detiene por completo en 10 s. ¿Cuál serála aceleración del vehículo y cuál fue la distancia defrenado? Resp. -3.00 mfs2, 150 m

6.46, Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba conuna velocidad inicial de 23 m/s. ¿Cuáles serán sus

. posicionesy susvelocidades después de2,de4y de8s?

6.47. Una piedra se arroja verticalmente hacia abaio des-de la parte más alta de un puente. A1 cabo de 4 se-gundos llega al agua que corre abajo. Si la velocidadfinal fue de ó0 m/s. ¿cuál fue la velocidad inicial dela piedra y cuál es la altura del puente?

Resp. vo : 20.8 m/s hacia abajo; y: 162 mó.48. Una pelota se arroia verticalmente hacia arriba con una

velocidad inicial de 80 ft/s. ¿Cuiíles son su posición ysu velocidad después de (a) I s, (b) 3 s y (c) 6 s?

6.49. Un avión que vuela horizontalmente a 500 mi/hsuelta un paquete. Al cabo de cuatro segundos, el pa-quete llega al suelo. ¿Cuál era la altitud del avión?

Resp. *25ó ftó.50, En el problema 6.49, ¿cuáI fue el alcance horizontal

del paquete arrojado y cuáles son 1as componentesde su velocidad final?

é.51 . El greendeuncampodegolf está a24Ofthorizon-talmente y 64 ft verticalmente del punto donde elpalo golpea una pelota, ¿Cuáles deben ser la magni-tud y la dirección de la velocidad inicial si la pelotallega al green en este lugar después de 4 s?

Resp. 100 ftls, 53.1"

Capítuloó Resumen y repaso 135

Preguntas para la reflexión críticaó.52. Una larga franja de pavimento tiene marcas a inter-va-

los de l0 m. Los esrudiantes usan cronómetros pararegistrar los tiempos en que un automóvil pasa porcada marca. Así han obtenido los datos siguientes:

Distancia.m | 0 | l0 I 20 I 30 I 40 I 50

Dibuje una gráfica que represente las distancias en eleje y y los tienrpos en e1 eje r. ¿Cuál es el significado de

la pendiente de esta cuwa? ¿Cuál es la mpidez mediadel vehículo? ¿Al cabo de cuánto tiempo la distancia es

igual a 34 m? ¿Ctál es la aceleración clel automóvil?Resp. La pendiente es v, 4.76 m/s,7 .14 s, 0

ó.53. Un astronauta intenta determinar la gravedad de laLuna dejando caer una herramienta desde una altu-ra de 5 m. Los datos siguientes fueron registradoselectrónicamente.

Altura.m I 5.00 I 4.00 I 3.00 12.00 I 1.00 r 0Tiempo.s' 0 1.il l l.s0 l l.gz l z.zt l z.+l

Trace una gráfica con estos datos. ¿Es una línea rec-ta? ¿Cuál es la rapidez media durante toda la caída?

¿Cuál es la aceleración? ¿Cómo son estos resultadosen comparación con los de la gravedad de la Tiena?

ó.54. Un automóvil se desplaza inicialmente hacia elNorte a 20 mls. Después de lecorrer una distanciade 6 m, el vehículo pasa por e1 punto A, donde suvelocidad sigue siendo en dirección Norte. pero se

ha reducido a 5 m/s. (a) ¿Cuáles son la magnitudy la dirección de la aceleración del vehculo? (b)

¿Cuánto tiempo se requirió? (c) Si la aceleración se

mantiene constante, ¿,cuál será la velocidad del ve-hículo cuando ,.gt.té al punro A?Resp. {a} 31.2m/s2, Sur; (b)0.48 s;(c) -5 m/s

*ó.55. Una pelota que se desliza hacia arriba por una pen-diente se halla inicialmenre a 6 m de 1a parte másbaja de dicha pendiente y tiene una velocidad de 4m/s. Cinco segundos después se encuentra a 3 mde la parte más baja. Si suponemos una aceleraciónconstante, ¿cuál fue la velocidad media? ¿Cuál es elsignificado de una velocidad media negativa? ¿Cuá,les son la aceleración media y la velocidad final?

*ó.5ó. Se ha calculado que la aceleración debida a la grave-dad en un planeta üstante equivale a ia cuarta paÍe delvalor de Ia gravedad en la Tierra. ¿Significa esto que sise deja caer una pelota desde una altura de 4 m en eseplaneta, caetá al suelo en Ia cualta parte del tiempo quedemora en caer en la Tiera? ¿,Cuifles serían los tiem-pos de caída de la pelota en ese planeta y en la Tierra?

Resp. to : 1.81 s, tr: 0.904 s

*ó.57. Considere las dos pelotas A y B que aparecen en lafigura 6.15. La pelotaA tiene una aceleración cons-tante de 4 mf s2 dirigida a la derecha, y la pelota Btiene una aceleración constante cLe 2 mf s2 dirigida ala izquierda. La pelotaA se desplaza inicialmente a iaizquiirda a2 mf s y la pelota B se desplaza inicial-mente a la izquierda a 5 mfs. Encuentre el tiempo ren que las dos pelotas chocan. Además, suponiendoque r : 0 en la posición inicial de la pelota A. ¿cuáles su desplazamiento en común cuando chocan?

,t: 0 ¡: 18 m

Figura ó.15*ó.58. lniciaimente, un camión con una velocidad de 40 lt/s

está a una distancia de 500 ft adelante d. un a,rtomé-vil. Si el automóvil parte del reposo y acelera a l0ft/s2. ¿cuándo alcanzará al camión? ¿A qué distanciade la posición inicial del automóvil está ese punto?

*ó.59. [-lna pelota que está en reposo se deja caer desde eltecho de un edificio de 100 m de alrura. En el mis-mo instante, una segunda pelota se lanza hacia arribadesde la base del edificio, con una velocidad inicialde 50 m/s. ¿Cuándo chocarán las dos pelotas y a quédistancia estarán entonces sobre el nivel de la calle?

*ó. ó 0. un a p ersona ascieno" u"nr"u,To".T,r :"T :t 3*i#una velocidad de 4 m/s y suelta una bolsa de arenaen el momento en que el globo está a ló m sobre elnivel del suelo. Calcule la posición y la velocidadde la bolsa de arena en relacién con el suelo despuésde 0.3 s y 2 s. ¿Cuántos segundos después de habersido solfada llegará al suelo la bolsa de arena?

*ó.ó1. Se dispara verticalmente hacia arriba una flecha conuna velocidad de 40 m/s. Tres segundos después,otra flecha es disparada hacia arriba con una veloci-dad de 60 m/s. ¿En qué riempo y posición se encon-

I

fl

*6.62. Utl.a persona desea incidir en un blanco que tieneun alcance horizontal de l2 km. ¿Cuál debe ser lavelocidad de un objeto proyectado con un ángu1ode 35" para que caiga en el blanco? ¿Cuánto tiempopermanecerá en el ajre?

*ó.ó3. Un jabalí arremete directamente contra un cazadora la velocidad conslante de ó0 ft/s. En el instante enque e1 jabalí está a 100 yardas de distancia, aquélle dispara una ffecha a 30" respecto al suelo. ¿Cuáldebe ser la velocidad de la flecha para que alcance

trarán las dos flechas? Resp. 4.54 s, 80.ó m

Resp. t: 2.0 s, x : *4 m

13ó Capítulo ó Resumen y repaso

,e

su blanco? Resp. 7ó.2 ft/s