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Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 1
La Transformada Z
Convergencia de la Transformada Z
Propiedades de La Transformada Z
La Transformada Z inversa
Método de la División Directa
Método de Descomposición en Fracciones
Parciales.
Indice:
Tema 5. La Transformada Z.
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1. La Transformada Z
La transformada Z es la contraparte en tiempo discreto de la transformada de Laplace en tiempo
continuo.
Definición
La transformada Z de una secuencia en tiempo discreto X[n] se define como:
Transformada Z
Donde z es una variable compleja, esta transformada también es llama Transformada Z bilateral
En la práctica aparecen muchas señales de tiempo discreto mediante el muestreo de una señal
de tiempo continuo x(t).
La transformada Z hace posible el análisis de ciertas señales discretas que no tienen
transformada de Fourier en tiempo discreto; pudiéndose demostrar que la transformada Z se
reduce, a la transformada de Fourier de tiempo discreto cuando la variable de transformación
es unitaria ó sea cuando |Z| = 1 .
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1. La Transformada Z
Si la secuencia es causal, la transformada Z se convierte en Transformada Z unilateral, como
sigue:
Ejemplo 1: Dada la secuencia x[n] = d [n] Hallar la Transformada Z bilateral.
La secuencia esta definida por:
X[Z] = 1·Z0 = 1
x[n] = X[z] = d [n]
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1. La Transformada Z
Ejemplo 2: Sea x[n] = e-anT u[n] la secuencia obtenida al muestrear x(t) = e-at u(t) cada T segundos
Hallar la Transformada Z bilateral.
Sabiendo que
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1. La Transformada Z
Convergencia de la Transformada Z
Es el conjunto de valores de la variable compleja z para los cuales existe la serie de potencias
que definen a la transformada Z, es decir, tiene un valor finito.
La convergencia de la transformada Z depende solamente de │z│= 1, lo cual indica un circulo
unitario en el plano complejo z. Lo que muestra que la región de existencia de la Transformada z
bilateral es un anillo cuyo radio r1 depende de x[n].
1
Circulo Unitario
r1 x
ROC
Im(z)
Re(z)
0 < r1 < 1
Im(z)
Re(z)
1
Circulo Unitario
ROC
r1 x
r1 > 1
Si x[n] es la suma de varias secuencias, x [z] solo existe si hay un conjunto de valores de z para
los que la transformada de cada una de las secuencia que forman la suma converge. La ROC es
la intersección de las ROC de cada una de las secuencias.
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1. La Transformada Z
Ejemplo 3: Dada la secuencia x[n] Hallar x[z] y la ROC.
|Z| > 1/3
Sabiendo que
para que X[Z] exista
Por definición
Im (z)
Re (z) 1
3
Region de Convergencia
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2. Tabla de La Transformada Z X[n] con n ≥ 0 X[Z] Radio de Convergencia
d[n] 1 0
Z-m
0
U[n]
1
n
1
n2
1
an
|a|
nan
|a|
(n+1)an
|a|
1
1
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3. Propiedades de La Transformada Z
Linealidad
Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con transformadas X1[Z] y X2[Z], entonces:
(a1X1[n] + a2X2[n]) = a1X1[Z] + a2X2[Z] Siendo a1 y a2 constantes reales
Desplazamiento Temporal
Sea X[n] una secuencia causal con TZ X[Z]. Entonces, dado cualquier entero n0 > 0, se tiene :
ó también
Ejemplo: Considere la ecuación en diferencia y[n] – 1 y[n-1] = δ[n] y la condición inicial y[-1] = 3
Halle y[n] para n ≥ 0. 2
Y[Z] - 1 Z-1 (Y[Z] + y[-1 ] Z) = 1 2
Y[Z] – 1 Z-1 (Y[Z] + 3Z) = 1 2
Y[Z] – 1 Z-1 Y[Z] - 3 = 1 2 2
Usando la tabla Tenemos: y[n] = 5 (1/2)n
2
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3. Propiedades de La Transformada Z
Multiplicación por an (Escalado en Frecuencia)
Si X[Z] es la transformada Z de X[n], entonces:
Ejemplo: Halle la transformada Z de X[n] = anU[n].
Solución
Por tabla sabemos que:
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3. Propiedades de La Transformada Z
Diferenciación con respecto a Z
Sea la transformada Z de una secuencia causal X[n], su derivada será:
De donde se deduce que:
De forma general tenemos:
Ejemplo: Sea y[n] = n(n+1)U[n], halle y[Z].
y[n] = n2U[n] + nU[n]
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3. Propiedades de La Transformada Z
Convolución
Dada las secuencias causales X[n] y y[n] con transformadas Z para ambas secuencias tenemos:
En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante en el tiempo y h[n] es la
respuesta al impulso, entonces se tendrá que:
donde H[Z] es la transformada de h[n]
Ejemplo: Dadas las secuencias X[n] = {1,3,-1,-2} y la respuesta la impulso h[n] = {1,2,0,-1,1} en
un sistema LTI. Hallar y[n] = X[n]*h[n], usando la Transformada Z.
y[Z] = 1+5Z-1+5Z-2-5Z-3-6Z-4+4Z-5+Z-6-2Z-7
y[n] = {1,5,5,-5,-6,4,1,-2}
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3. Propiedades de La Transformada Z
Teorema del Valor Inicial
Dada una secuencia causal X[n] se tiene que
Desarrollando la sumatoria, se tiene :
X[Z] = X[0] + X[1]Z-1 + ... + X[n]Z-n
Se puede observar que cuando Z tiende a infinito, Z-n tiende a cero para todo n, por tanto:
Ejemplo: Halle el valor inicial de una secuencia X[n] cuya transformada Z es:
Se puede observar que X[n] = U[n]
El teorema del valor inicial es una herramienta útil para comprobar la TZ de una secuencia.
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3. Propiedades de La Transformada Z
Teorema del Valor Final
Sea X[n] una secuencia causal. El valor de X[n] a medida que n tiende a infinito se puede dar por
la siguiente expresión:
Siempre que el valor final exista, o sea que exista X[n] cuando n tiende a infinito.
Ejemplo: Halle el valor final de una secuencia X[n] cuya transformada Z es:
Aplicando el Teorema del Valor final se tiene:
Se puede observar que X[n] = 4-nU[n]
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3. Propiedades de La Transformada Z
Tabla de las Propiedades
Propiedad TZ Función
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4. La Transformada Z inversa
La Inversión de la Transformada Z se utiliza para hallar la secuencia X[n] y se define como: .
Transformada Z Inversa
La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega el mismo papel que la
transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo.
Para que la transformada Z sea útil, se debe estar familiarizado con los métodos para hallar la
transformada Z inversa.
Existen cuatro métodos para obtener la transformada Z inversa y serán:
Método de la División Directa.
Método Computacional.
Método de expansión en fracciones parciales.
Método de la Integral de inversión.
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4. La Transformada Z inversa
Métodos para obtener la Transformada Z inversa
Método de la División Directa
El método de la división directa proviene del hecho de que si X[Z] está expandida en una serie
de potencias de Z-1, esto es sí entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por
consiguiente, los valores de X[n] se pueden hallar por inspección para n= 0, 1, 2,...
Ejemplo 1: Hallar la Transformada Z Inversa de la función
z - 0.1 z
X(z) =
Dividiendo el numerador entre el denominador tenemos:
X(0) = 1, X(1) = 0.1, X(2) = (0.1)2 , X(3) = (0.1)3 ,X(4) = (0.1)4 …….
Inspeccionando tenemos:
X[n] = (0.1)n u(n)
X(z) = 1 + 0.1 z-1 + (0.1)2 z-2 + (0.1)3 z-3 + (0.1)4 z-4 + …
z - 0.1 z
1 + 0.1Z-1 + (0.1)2z-2 -z + 0.1 0.1
-0.1+(0.1)2z-1
(0.1)2z-1
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4. La Transformada Z inversa
Métodos para obtener la Transformada Z inversa
Método de la División Directa
Ejemplo 2: Hallar X[n] para n = 0, 1, 2, 3, 4, dada X(z)
Dividiendo el numerador entre el denominador:
X[Z] = 10Z-1 + 17Z-2 + 18.4Z-3 + 18.68Z-4 + ...
Al comparar esta expansión X[Z] en una serie infinita
X[0]=0, X[1]=10, X[2]=17, X[3]=18.4, x[4]=18.68
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4. La Transformada Z inversa
Métodos para obtener la Transformada Z inversa
Método de Descomposición en Fracciones Parciales.
Es el método mas utilizado, ya que, en vista de la unicidad de la transformada Z, se puede
utilizar la tabla de parejas de transformadas para identificar las secuencias correspondientes a
los términos de la descomposición en fracciones simples. Para aplicarlo debemos colocar X(z)
como una fracción en donde el grado del denominador es mayor al grado del numerador.
Ejemplo 1: Hallar la Transformada Z Inversa de la función siguiente:
Expandiendo en fracciones parciales tenemos:
usando tabla TZ y la propiedad de desplazamiento tenemos:
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
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4. La Transformada Z inversa
Métodos para obtener la Transformada Z inversa
Método de Descomposición en Fracciones Parciales.
Ejemplo 2: Hallar la Transformada Z Inversa de la función siguiente:
Expandiendo en fracciones parciales X(z)/z tenemos:
Usando tabla Transformada Z tenemos:
X[n] = 2n2n u(n) + 3 u(n) - 2n u(n) para n = 0, 1, 2,...
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4. La Transformada Z inversa
Método de Transformada Z para la solución de ecuaciones en diferencias.
Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación en diferencias
X[n+2] + 3X[n+1] + 2X[n] = 0 con X[0]=0, X[1]=1
Tomando la transformadas Z de ambos miembros de la ecuación en diferencias y utilizando la
propiedad de traslación temporal tenemos:
Z2X[Z] - Z2X[0] - ZX[1] + 3ZX[Z] - 3ZX[0] + 2X[Z] = 0
X[n] = [(-1)n - (-2)n]U[n]
Descomponiendo en Fracciones parciales y multiplicando por z
Tema 5. La Transformada Z.