la tasa de interÉs como variable … · para lo cual consideraremos dos funciones biométricas(l x...

UNIVERSIDAD DE LA REPÚBLICAFacultad de Ciencias Económicas y de Administración

LA TASA DE INTERÉS COMO VARIABLE ALEATORIA EN EL CONTEXTO ACTUARIAL

Montevideo, Julio 2014.

Prof. Titular Sergio Barszcz

ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIASALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS

Distintos métodos para calcular el costo puro de un seguro vinculado a la vida:

PRIMERO:Una primera forma de cálculo del costo puro de un seguro vinculado a la vida,consiste en utilizar el método euleriano. Se trata de un esquema determinístico,para lo cual consideraremos dos funciones biométricas(lx y dx) y el concepto depara lo cual consideraremos dos funciones biométricas(lx y dx) y el concepto deequivalencia financiera.

Ejemplo 1: Una persona de exactamente x años de edad celebra un contrato porel cual el asegurador se compromete a abonar al o a los beneficiarios $1 en elaniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento, cualquiera sea elmomento en que esto ocurra.

Denotaremos $ CPSMx al costo puro de ese seguro de muerte vida entera parauna persona de edad x, de capital $1 y supondremos que lx contratan el seguro ycada uno paga $ CPSM x .Por otra parte, el asegurador deberá abonar dx dentrode un año, dx+1 dentro de dos y así sucesivamente.


Entonces tendremos para el ejemplo 1

2

1 1

11

0

. 1 . . 1 . . ........... 1 .d .

1.

w x

x x x x w

w xk

x x k

kx

l C PSM d v d v v

CPSM d vl

−+ −

− −+

+=

= + + + ⇒

= ∑

• Ejemplo 2: Una persona de exactamente x años de edad celebra un contrato porel cual el asegurador se compromete a abonar al asegurado $1 al comienzo decada año, mientras el asegurado esté con vida.

• Denotaremos $ CPRVAx al costo puro de esa renta de vida anual, adelantada,inmediata de cuotas de $1 para una persona de edad x, y supondremos que lxcontratan la renta y cada uno paga $ CPRVAx. Por otra parte, el aseguradordeberá abonar lx de inmediato, lx+1 dentro de un año, lx+2 dentro de dos años yasí sucesivamente mientras que haya una persona con vida del grupo.


y para el ejemplo 2

1

1 1

1

. P 1. 1. . ........... 1. .

1.

w x

x x x x w

w xk

l C RVA l l v l v

CPRVA l v

− −+ −

− −

= + + + ⇒

= ∑0

. k

x x k

kx

CPRVA l vl

+=

= ∑


SEGUNDO:Una segunda forma de calcular el costo puro de un seguro vinculado a la vida,consiste en ponderar cada uno de los pagos que deberá efectuar el asegurador alasegurado por la probabilidad de tener que hacer ese pago y hacer la actualizaciónfinanciera correspondiente. La suma de tales importes ponderados es el costo purodel seguro.Si se parte de los ejemplos vistos en el punto anterior, se llegan a los mismosresultados.resultados.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

TERCERO:

Se definen valores de conmutación, en particular:

1 11

0 0

. , , . ,k w x k w x

x x

x x x x k x x x x k

k k

D l v N D C d v M C= − − = − −

++ +

= =

= = = =∑ ∑

ALGUNASALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIASCONSIDERACIONES PREVIAS

Se puede ver muy fácilmente que:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

;x xx x

x x

M NCPSM CPRVA

D D= =

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

CUARTO:En este esquema se produce un salto de calidad en la naturaleza de los planteos,efectivamente: mientras antes solo podíamos calcular el costo puro de las operaciones deseguro, ahora podremos obtener además otros conceptos en base a la definición de tresvariables aleatorias: X (edad de muerte de un recién nacido), T(x) (tiempo de sobrevida deuna persona de edad x) y K(x) (tiempo de sobrevida medida en años enteros de unapersona de edad x).

Las dos primeras son variables aleatorias absolutamente continuas (y por ende tienen unafunción de densidad y una función de distribución)mientras que la última es una variablealeatoria discreta (con función de cuantía y de distribución). Así tendremos:

La función de densidad y de distribución de T(x) son respectivamente:

Por su parte, la función de densidad y de distribución de X son respectivamente:

Y finalmente la función de cuantía y de distribución de K(x)


( ) . ; ( )t x x t t xg t p G t qµ += =

0 0( ) . ; ( )x x xf x p F x qµ= =

( ( ) ) . ; ( ( ) )P K x k p q P K x k q= = ≤ =

TvTvTv

Con estas variables aleatorias, es posible modelizar el valor presente de las

operaciones de seguros vinculados a la vida.

Así pues, en el caso del seguro de muerte que estamos analizando, tendremos que

el valor presente del pago de indemnización a efectuar por el asegurador es VK+1,

mientras que, en el caso de la renta de vida que estamos analizando, el valor

presente de los pagos a efectuar por el asegurador es V(1,K+1,i)

1( ( ) ) . ; ( ( ) )k x x k k xP K x k p q P K x k q+ += = ≤ =

Como se determinan los costos puros en estas situaciones?

Calculando los valores presentes esperados (valores presentes actuariales ,vpa) en

cada una de las situaciones.

Así, por ejemplo, tendremos:


1( ); [ (1, 1, )]K

x xCPSM E v CPRVA EV K i+= = +

En que aspectos esta forma de encarar el tema presenta ventajas?

• en la posibilidad de calcular distintos momentos (por ejemplo, la varianza) de las variables aleatorias valor presente

• en la posibilidad de determinar la distribución de las variables aleatorias valor presente y con ello los percentiles que interesen.

• facilita el cálculo actuarial de seguros sobre varias vidas (noción de estado)

• facilita el trabajo con los modelos de decremento múltiple

Que otros aspectos se desarrollaron simultaneamente con este enfoque?• construir tablas de mortalidad con procedimientos técnicamente superiores• construir tablas de mortalidad específicas para ciertas poblaciones• construir la función de cuantía de K(x) en función de los datos de una tabla demortalidad

• construir modelos para T(x) en base a la K(x) y los supuestos sobre edadesfraccionarias en cada año de edad.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

QUINTO:


Un aspecto que si bien ha sido planteado en trabajos académicos (algunos hace yavarias décadas) ha tenido una difusión más acotada, es el tema de un adecuadotratamiento de la tasa de interés. Efectivamente, es habitual que en textos y trabajossobre matemática actuarial relativamente recientes se suponga que la tasa de interésde largo plazo es no sólo deterministica sino constante. En la práctica, desde unaperspectiva “comercial” se han diseñado productos “flexibles” para atenuar el impactode esta situación.

No obstante, el problema conceptual subsiste. El supuesto de tasa de interésdetermínistica (e incluso constante), a menos situaciones relativamenteexcepcionales, dista mucho de verificarse en la práctica. Para ello basta observarcualquiera de las series de tasas de largo plazo de diversos instrumentos financieros.

Un primer método que puede ser utilizado para reconocer la variabilidad de la tasa deinterés consiste en construir un conjunto de escenarios pre-establecidos. Esteenfoque se encuentra todavía dentro del campo deterministico.

Los escenarios se construyen con secuencias de tasas de interés futuras, indexadaspor el tiempo, que serán utilizados con otros supuestos y el principio de equivalenciapara determinar el premio y efectuar el cálculo de reservas. En modelos máscompletos, cada escenario puede especificar otras variables tales como gastos y tasasde rescisión unilateral de la póliza por parte del asegurado de forma de serconsistente con las tasas de interés utilizadas. Más aún, en estos últimos modelos, las

ANÁLISIS DE SENSIBILIDADANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

consistente con las tasas de interés utilizadas. Más aún, en estos últimos modelos, lastasas de interés en si mismas tal como las tasas de interés entre escenarios, puedenser construidas para satisfacer ciertas necesidades económicas.

Los escenarios pueden ser especificados sin modelizar datos pasados, simplementepara medir la adecuación de las primas y las reservas en diferentes esquemas decondiciones económicas futuras plausibles.

De esta forma, un escenario de tasas de interés se plantea como una secuencia detasas de interés de un único período (i1, i2, i3,DD.) que ha sido determinado por elactuario para su uso en un cálculo actuarial. Los elementos de la secuencia seseleccionan sobre la base de que representan tasas prospectivas futuras plausibles deacuerdo a la visión del actuario.

Un único escenario puede ser suficiente si el actuario está seguro de los retornos defuturas inversiones como resultado de colocaciones pasadas o algún conocimientoespecial. Alternativamente, varios escenarios pueden ser especificados de manera quela sensibilidad de los valores presentes actuariales a cambios del contexto económicopuedan ser estudiados.

Si se usan varios escenarios, a efectos de analizar la situación, podemos indexar losescenarios por j = 1,2, D., m donde m es el número de escenarios y (ji1, ji2, ji3D..)denota el escenario j-ésimo de tasas de interés. En este contexto denotaremos,

ANÁLISIS DE SENSIBILIDADANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

1nk −

∑Π

y usando la notación que venimos utilizando:

Nota: V(t,n,i) indica el valor presente en el momento t de una renta cierta de $1 ,con npagos, a una tasa de interés efectiva del periodo (intervalo de tiempo entre dos pagoso cobros consecutivos).Cuando en este trabajo el parámetro i se sustituye por v* elloindica la presencia de una secuencia de tasas de interés.

11

01 0

1, (1 ) y (1, , * )nk

j j k j r j j kr k

v v i V n v v−

−

= =

= = + = ∑Π

1[ ] [ (1, 1, *)] K

x j j x jCPSM E v y CPRVA E V K v+= = +

Al construir un modelo de tasas de interés asuma que el actuario ha formulado mescenarios plausibles de tasa de interés. Como paso siguiente, se puede especificardistribuciones de probabilidad usando métodos para explicitar probabilidadesasignadas de acuerdo a la definición de la probabilidad subjetiva.El símbolo p(j) denotala probabilidad del escenario j.

Las asignaciones de probabilidad deberían reflejar el punto de vista del actuario sobrelos rendimientos de las futuras inversiones. El proceso de explicitación de lasprobabilidades de los escenarios es similar al proceso de explicitación de las funciones

ESCENARIOS ALEATORIOS CON TASAS DETERMINISTICASESCENARIOS ALEATORIOS CON TASAS DETERMINISTICAS

probabilidades de los escenarios es similar al proceso de explicitación de las funcionesde utilidad.

Los valores presentes actuariales son definidos usando la distribución conjunta deltiempo de sobrevida medido en años enteros (K) y el escenario de tasa de interés (J).Asumiremos que K y J son variables aleatorias independientes. El presubíndiceasterisco ha sido agregado para reflejar que los valores presentes actuariales han sidotomados en relación a K y J.

ESCENARIOS ALEATORIOS CON TASAS DETERMINISTICASESCENARIOS ALEATORIOS CON TASAS DETERMINISTICAS

1

* /

1

[ ] [ ] . ( )m

K

x J K J J J j x j x

j

CPSM E E v E CPSM CPSM p j+

=

= = = ∑

* /P [ (1, 1, ]

. ( )

x J K J J

m

C RVA E E V K v

CPRVA p j

= + =

= ∑

ɶ

1

. ( )j x

j

CPRVA p j=

= ∑

En el desarrollo precedente escenarios aleatorios de tasas de interés deterministicasfueron presentados. La asignación de probabilidad fue realizada usando elconocimiento económico del actuario. Consideremos un modelo estadístico para lastasas de interés en el cual la selección del modelo y las estimaciones del parámetrodependen de los datos.

TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTESTASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES

log(1 ) k=1,2,3,........k kI δ ε+ = +

Suponga que el actuario ha decidido modelizar las fuerzas del interés y ha adoptadoel siguiente modelo: donde δ es una constante no negativa y εk son variablesaleatorias i.i.d. con distribuciones N(0,σ2).Este modelo puede ser visto como unafuerza del interés media de largo plazo, sujeta a shocks randómicos. Dado el supuestohecho sobre la distribución de los shocks, fuerzas negativas de interés son posibles.Algunos actuarios ven esta posibilidad como invalidante del modelo. Otros actuariosadoptan el modelo porque parece natural modelizar la fuerza del interés y en lasoperaciones de inversión a veces se dan valores negativos. Por lo tanto las variablesaleatorias log(1+IK) tienen idénticas distribuciones N(δ,σ2) y las variables aleatorias(1+IK) tienen distribuciones log normales


• De esta forma,

• El logaritmo de la variable aleatoria correspondiente a la versión deterministica de la función de acumulación (1+i)n es la variable aleatoria:

( )2

1 exp 12

KE Iσ

δ

+ = + ≥

11

log (1 ) log(1 )n n

k k

kk

I I==

+ = +∑∏

• Considerando la fórmula de la transparencia anterior,esta variable aleatoria tiene una distribución N(nδ,nσ2). Como consecuencia, la función de acumulación de intereses tiene una distribución lognormal con:

• Es instructivo observar que si σ2=0, la acumulación de intereses esperada es enδ

2( / 2 )

1

nn

k

k

E I e δ σ+

=

=

∏


•El logaritmo del factor de descuento:

•tiene una distribución normal N(-δ,σ2) y (1+IK)-1 tiene una distribución lognormal con

( )

( )( )

21 ( / 2 )1 0kE I e yδ σ− − − + = >

1log[(1 ) ] log(1 )k k kI I δ ε−+ = − + = − −

•Definimos la función de descuento, como la variable aleatoria

( ) ( )( )2 21 21 1 0kV a r I e eσ δ σ− − +

+ = − ≥

1

1

0

( 1 )

1

n

n k

k

v I y

v

−

=

= +

=

∏ɶ

ɶ


•La elección del símbolo ṽn se fundamenta en el uso de la expresión vnen el campo determínistico. Entonces

tiene una distribución N(-nδ,nσ2) y ṽn tiene una distribución lognormalcon

( )

( ) ( )( )

2

2 2

( / 2 )

( 2 )1

n

n

n n

E v e y

Var v e e

δ σ

σ δ σ

− −

− +

=

= −

ɶ

ɶ

( )1

l o g l o g (1 )n

n k

k

v I=

= − +∑ɶ

•Nuevamente, si σ2=0, volvemos a la situación determinística

•Asumiremos que Ik, k =1,2,3, DD., K (tiempo de sobrevida en añosenteros) son mutuamente independientes. Consideremos en estecontexto algunas operaciones de seguros:

( ) ( )( )1nVar v e e= − ɶ

2

* 1 / 1 1

0

( / 2 ) ( 1 )

0

( ) ( ) ( . . )

. .

x K v K v K v k k x x k

k

k

k x x k

k

A E v E E v E v p q

e p qδ σ

∞

+ + + +=

∞− − +

+=

= = = =∑

∑

ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ


•Para medir el riesgo, determinamos la varianza (y haciendo cuentas) se llega a :

•Las fórmulas para el valor presente actuarial de una renta, suponiendo que Ik,

k=1,2,D..,K son mutuamente independientes, requieren definir primero

( ) ( ) ( )2

*

21 2

1

0

( ) .k

K k x x k x

k

Var v e p q Aδ σ∞ − + −

+ +

=

= −∑ɶ

1

( 1 , , )K

V K v v−

= ∑ɶ ɶ

•Entonces

•Y

0

( 1 , , ) s

s

V K v v=

= ∑ɶ ɶ

2( / 2 ) 2

/

0

[ (1, 1, )] (1, 1, / 2 )s K

s

v K

s

E V K v e V Kδ σ δ σ=

− +

=

+ = = + −∑ɶɶ

2

* /[ (1, 1, ) [ (1, 1, )] [ (1, 1, / 2)]x K KV K

a E V K v E E V K v E V K δ σ= + = + = + −ɶ

ɺɺ ɶ ɶ


•Entonces:

•Si quisiéramos calcular Var[(1,K+1,ṽ)] deberíamos hacer un desarrollo queexcede el alcance de este trabajo. El resultado final que se obtiene es:

2

*

0

[ (1, 1, / 2)]. .x k x x k

k

a V K p qδ σ∞

+=

= + −∑ɺɺ

2*( ( 1 , 1 , ) 2 ( )x xa aV a r V K v a a

αα −

+ = + −ɺɺ ɺɺ

ɶ ɺɺ ɺɺ2

2**[ ( 3 / 2 ) ]

2

( ( 1 , 1 , ) 2 ( )1

e s e v a l u a d a a l a f u e r z a d e l i n t e r é s 2 ( - )

x xx x

x

a aV a r V K v a a

e

d o n d e a

α

δ σ

α δ σ

− −

−+ = + −

−

ɺɺ ɺɺɶ ɺɺ ɺɺ

ɺɺ

TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS DEPENDIENTESTASAS DE INTERÉS ALEATORIAS DEPENDIENTES

•En el campo de la economía financiera ha habido una discusióncontinua sobre si las tasas de interés efectivas para varias clases deinversiones pueden ser modelizadas como v.a. i.i.d.•El actuario puede alterar estos métodos.Por ejemplo, la distribuciónde los shocks aleatorios εk puede suponerse distinta a la N(0,σ2)•Si el actuario rechaza la hipótesis de que las tasas efectivas son v.a.i.i.d. entonces puede utilizar, por ejemplo, como modelo el quedesarrollaremos a continuación:

•MODELO DE MEDIAS MOVILES•MODELO DE MEDIAS MOVILES•Desarrollaremos a continuación únicamente el siguiente modelo:

•donde δ > 0, y εk, k=1,2,3,D.. son v.a. mutuamente independientes,cada una con distribución N(0,σ2). Adicionalmente supondremos que elvalor absoluto de θ≤1 y ε0 es conocido. Este modelo se llama modelode medias móviles de orden 1 y se denota MA(1)

1log(1 ) k=1,2,3,......k k kI δ ε θε −+ = + −


•La idea del modelo es que la fuerza del interés tiene una media delargo plazo denotada por δ, pero que shocks económicos randómicoscrean desviaciones respecto a la media. El shock para el período k, εk,tiene un impacto moderado y retardado sobre la fuerza del interés enel período k+1 de tamaño –θεk.

•Denotando ṽn

1

1

( )1(1 )

k n

k k

k

k n

n kv I eδ ε θ ε

=

−=

= − + −−

∑= + =∏ɶ

•Entonces

1

(1 )n k

k

v I e=

= + =∏ɶ

( )1

0

1

1

1 0

1 1

(1 )

log (1 ) y

( ) ( )

n

n k

k

n n

n k k n k

k k

n

n

v n

E v E eδ ε θε θ ε

δ ε θε δ ε θε θ ε

−

=

−

−= =

− + − + −

= − + − = − + − + −

∑=

∑ ∑ɶ

ɶ


•Se había supuesto que los términos de shock εk eran mutuamente independientes ycada uno tenía una distribución N(0,σ2). La correspondiente función generatriz demomentos es:

•Este resultado nos permite escribir:

2 2 /2( ) ( )kt tE e e M tε σ= =

0 1

1[ ] ( 1) ( 1) 1,2,3n n n

nE v e M e M C e nθεδ δ

θε

θ ′− − −= − − = =

′

ɶ

•Con estos resultados preliminares calcularemos valores presentes actuariales:

0 1

1 ( 1) ( 1) y log ( 1)donde C M e M Mθε θ δ δ θ− ′= − − = − −

( 1)

* 1 / 1 1 1

0 0

[ ] [ ] k

x K v K v K v k k x x k k x x k

k K

A Ev EE v E v p q C e p qδ∞ ∞

′− ++ + + + +

= =

= = = =

∑ ∑ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ


•Similarmente ,

( )( )

* /

0 1

1 1

0 1 0

[ (1, 1, )] [ (1, 1, )] 1

1 1 0, ,

k

x v K v v s k x x k

k s

ks

k x x k k x x k

k s k

a E V K v E E V K v E v p q

C e p q C V k p qδ δ

∞

+= =

∞ ∞′−

+ += = =

= + = + = + =

′= + = +

∑ ∑

∑ ∑ ∑

ɶ ɶ ɶɺɺ ɶ ɶ ɶ

•El calculo de la varianza excede el alcance del trabajo

IMPLEMENTACIÓN •Se pueden definir otros modelos estadísticos para calcular los momentos de losvalores presentes actuariales incorporando las tasas de interés como variablesaleatorias.

•Otros modelos estadísticos para Xk=log(1+lk) (ejemplos)•A)Autorregresivo de orden 1 (AR1):

1( ) ( )k k kX Xδ δ ε−− =Φ − +

•. B)AR(1) y MA(1)

1 1( ) ( )k k k kX Xδ δ ε θε− −− −Φ − = −

IMPLEMENTACIÓNIMPLEMENTACIÓN

• c. AR(1) en primeras diferencias

•pueden ser objeto de similares desarrollos.

•Cuando las únicas variables aleatorias son las de tiempo futuro de sobrevida, y seasume que son mutuamente independientes, se pueden desarrollar aproximacionespara un portafolio de pólizas que se basan en un tipo de teorema central del límite quese usa para justificar una aproximación normal.•Cuando uno de los componentes de las variables aleatorias valor presente es función

1 1 2( ) ( )k K k k kX X X X ε− − −− = Φ − =

•Cuando uno de los componentes de las variables aleatorias valor presente es funcióndel propio proceso aleatorio las variables aleatorias valor presente ya no son masindependientes .•Consecuentemente la distribución de las pérdidas totales de un portafolio de variablesaleatorioas valor presente ya no se pueden aproximar usanado simplemente unadistribución normal cuando las tasas de interés son tambien variables aleatorias.


Hay enfoques basados en la simulación para estimar los momentos de las variablesaleatorias valor presente o para aproximar la función de distribución o de densidad detales variables aleatorias.

• Si { IK } , denota la secuencia de tasas de interés efectivas aleatorias futuras y K losaños de vida completados se asumen independientes, una función de distribuciónempírica podría usarse como aproximación de la función de distribución de la variablealeatoria perdida individual , de una manera rutinaria.

•Para ilustrar suponga 100 secuencias de tasas de interés futuras generadas usando elmodelo MA(1) visto antes . Para cada una de estas secuencias una observación de lasv.a.K (años de vida completados) podría ser determinada usando la función demodelo MA(1) visto antes . Para cada una de estas secuencias una observación de lasv.a.K (años de vida completados) podría ser determinada usando la función desupervivencia que ha sido asumida.Estos resultados pueden ser utilizados para obtener100 valores muestrales de ṽ k+1. Estos valores pueden ser tratados como una muestraderivada de la distribucion conjunta de { IK } y K y la media y la varianza de estas 100simulaciones serian la estimacion de la media y varianza de la distribucion de ṽ k+1.Lafuncion de distribucion empírica estimaria la funcion de distribucion de ṽ k+1.

•El proceso de simulación puede ser usado para aproximar la función de distribución delvalor presente las perdidas totales de un portafolio con n riesgo individuales. En estecaso hay un set de variables aleatorias de años completados de vida Ki, I=1,2,D,n .Siestas v.a se asumen independientes un conjunto de observaciones para cada v.a Ki,podia ser combinado con un escenario de intereses generados aleatoriamente paraproducir una muestra de los resultados del valor presente de las perdidas .


•Debería quedar claro porque la simulación usando observaciones generadas por elcomputador de variables aleatorias valor presente que pueden ser función de variasvariables aleatorias ha sido ampliamente utilizado para construir funciones dedistribución empíricas. Estas aplicaciones han hecho de la simulación una importanteherramienta en la ciencia actuarialSi hay evidencias de que las v.a. tiempo hasta el decremento y causa de decrementono son independientes de {ik },entonces la generación de v.a. valor presente se tornamás complicada. Por ejemplo acto y tiempo de retiro de un seguro de vida o de un plande pensiones pueden no ser independientes de {Ik}.

•MODELOS ECONÓMICOS FINANCIEROS

•En los modelos desarrollados antes se podía seleccionar uno y estimar los parámetrosusando datos de operaciones de inversión del sistema financiero que está siendomodelizado. Las críticas a este procedimiento afirman que ignoran importanteinformación disponible en los mercados de capital en ese momento.•Para ilustrar la variabilidad en el tiempo de los rendimientos al vencimiento de un tipode acciones, se puede considerar la serie que muestra dichos datos para uninstrumento cualquiera .Los cambios en el precio de los bonos y en los rendimientosreflejan las variaciones en la evolución del mercado.•Hay por supuesto muchas otras inversiones que pueden haber tenido diferentesesquemas de rendimiento en un mismo periodo. Las noticias económicas no afectan losrendimientos de las acciones de la misma forma . Mas aún los bonos del gobierno convencimientos diferentes pueden exhibir evoluciones distintas de los rendimientos endiversos momentos del tiempo .

MODELOS ECONÓMICOS FINANCIEROS

•Informacion de precios y vencimientos

•Para extraer la información acerca de la relación del interés y los vencimientos, sin considerarfactores tales como default (imposibilidad de pago ) y call (vencimiento anticipado como opción delque recibió el préstamo),es usual analizar acciones emitidas por gobiernos centrales. En EEUU sellaman obligaciones del tesoro. Los otros bonos son analizados comparándolos con los bonos deltesoro.

•Para ilustrar los métodos usados para resumir las relaciones entre las tasas de interés y lasfechas de vencimiento se requiere hacer una revisión de las ideas básicas de las matemáticas delas finanzas . Consideremos en primer lugar los bonos de descuento puro que pagan uno alvencimiento y son negociados en el mercado sin costo de transacción. Estos bonos no puedenvencimiento y son negociados en el mercado sin costo de transacción. Estos bonos no puedencaer en default. El numero s denota el tiempo actual y hay disponibles bonos de descuento convencimientos en los momentos s, s+1DD Los precios de un bono en el tiempo s que vence tperiodos en un futuro se denotan como P(s,s+t) . Asumiremos que :

•

•

( , ) 1 ,

( , ) 0

P s s

l í m P s t

t

=

=

→ + ∞


El tercer supuesto equivale a asignarle un mayor valor a cobrar el mismo importeantes. La tasa de rendimiento para t periodos se denota como i(s,s+t) que se definecomo :

, ( , ) ( , )y si u t P s t P s u> >

( , ) [1 ( , ) ] tP s s t i s s t −+ = + +El numero i(s,s+t) se llama tasa de posición en el tiempo s de un bono de periodo t. Elnombre deriva del hecho que las tasas pueden ser determinadas en base a la situacióndel mercado y se relacionan con un único pago en una fecha futura . Las tasas deposición i(s,s+t) vistas como una función de t se llama estructura temporal de las tasasde interés en el tiempo s.`Las tasas a futuro son una forma alternativa de estudiar la relación entre vencimientos ytasas de interés. Como el nombre lo sugiere las tasas a futuro son las tasas de interésque serian utilizadas para contratos que concluyen en ese periodo futuro. Se requiereque esas tasas sean consistentes con un conjunto de tasas de posición que seobservan en el mercado en ese momento .

( , ) [1 ( , ) ]P s s t i s s t+ = + +


•La consistencia que se requiere es la no existencia de oportunidades de arbitraje. Unaoportunidad de arbitraje existe en un mercado de capitales si hay dos estrategiasdisponibles para el mismo periodo de inversión de forma que una estrategia resulte encondiciones de certidumbre en una mayor riqueza al final del periodo que la estrategiaalternativa.Para ilustrar el requerimiento de no arbitraje suponga que un inversor paga uno porun bono que vence en el momento s+u por un monto [1+i(s,s+u)]u . Alternativamente elinversor puede comprar un bono de periodo t, t<u, y en el tiempo s+t invertir el valornominal de la primera inversión en un segundo bono que vencerá en el momento s+unominal de la primera inversión en un segundo bono que vencerá en el momento s+upor un importe :

•Donde j (s,s+t,s+u) es la tasa a futuro del tiempo s para un futura transacción con flujosde fondos en s +t y en s+u . Si no existe oportunidad de arbitraje los dos montos finalesde riqueza deben ser iguales :

( ) ( )1 , 1 , ,t u t

i s s t j s s t s u−

+ + + + +

( ) ( ) ( )1 , 1 , 1 , ,u t u t

i s s u i s s t j s s t s u−

+ + = + + + + +


•En el caso especial en que u=t+1

( )( )

( )

1 ,1 , , 0

1 ,

u

u t

t

i s s uj s s t s u t u

i s s t

− + + + + + = ≤ ≤ + +

( )( )

1

1 , 11 , , 1 0

t

i s s tj s s t s t t u

++ + + + + + + = ≤ ≤

•Y si t=0

( )( )( )

1 , 11 , , 1 0

1 ,t

i s s tj s s t s t t u

i s s t

+ + + + + + + = ≤ ≤ + +

( ) ( ), , 1 , 1j s s s i s s+ = +


•Aplicaciones repetidas de la relación anterior, empezando con t=0, da por resultado:

•El precio actual de un bono que paga cupones de importe c al final de cada uno de losn períodos y que luego paga un valor al vencimiento de F puede ser expresado deforma consistente usando tasas de descuento de bonos, tasas de posición o tasasfuturas como se muestra a continuación:

[ ]1 ( , ) [1 ( , , 1)].[1 ( , 1, 2)]....

[1+j(s,s+t-1,s+t)]

ti s s t j s s s j s s s+ + = + + + + +

futuras como se muestra a continuación:•Usando tasas de descuento de bonos,

•Usando tasas de posición1

( , ) . ( , )n

k

c P s s k F P s s n=

+ + +∑

1

[1 ( , ) ] [ (1 ( , ) ]n

k n

k

c i s s k F i s s n− −

=

+ + + + +∑


•Usando tasas a futuro:

•La igualdad de estas tres fórmulas para el precio de un bono descansa en el supuestode inexistencia de arbitraje.

1 11 1

1 0 0

[1 ( , , 1)] [1 ( , , 1)]k nn

k w w

c j s s w s w F j s s w s w− −

− −

= = =

+ + + + + + + + +∑ ∏ ∏

MANEJO DEL RIESGO DE LA TASA DE INTERESMANEJO DEL RIESGO DE LA TASA DE INTERES

•Es acertado construir modelos actuariales para contar con sistemas de seguridadfinanciera para evaluar las promesas hechas, para reportar el status financiero delsistema y para manejar los riesgos inherentes de los sistemas de este tipo.

•En una primera aproximación (inmunización) presentaremos un conjunto de reglassimples para manejar el riesgo de la tasa de interés desde una perspectivadeterministica. Luego un conjunto de condiciones más generales referidas al tiempo eimporte del flujo de caja para minimizar el riesgo de la tasa de interés se desarrolla enun modelo estocástico.

••INMUNIZACIÓNINMUNIZACIÓN..••INMUNIZACIÓNINMUNIZACIÓN..

•Nuestro modelo plantea:

0

R e s e r v a s o P a s i v o s = L ( i ) = n ( A )

A c t i v o = A ( i ) = ( )

S u p e r á v i t = S ( i ) = A ( i ) - L ( i )

x t x x t

j

j

P a

v a j

+ +

∞

=

−

∑

ɺɺ

INMUNIZACIÓNINMUNIZACIÓN

•Donde:•n = número de pólizas vida entera idénticas contempladas en el modelo.•t = número de años desde que las pólizas supervivientes fueran emitidas. Los activos,

pasivos y superavits son medidos en ese momento.•PX= prima pura al momento de emisión de las pólizas, pero no necesariamente apro-

piada en el momento t para cubrir los pasivos. Esta prima se usa en el cálculo delos flujos de caja bajo el supuesto simplificador de que la carga de gastos essuficiente para atenderlos.

•{a(j)} = una secuencia de flujos de caja, cupones, dividendos y valores al vencimiento•{a(j)} = una secuencia de flujos de caja, cupones, dividendos y valores al vencimientoprovenientes de activos existentes, pagaderos al final de los años futuros de laspólizas. En este contexto simplificado se asume que son deterministicos.

•i= tasa de valoración en el tiempo t . Se asume , de forma poco realista que i nodepende del cronograma de flujos de caja futuros y que cualquier cambio inmediatoen i no cambiara la curva implícita de rendimiento nivelado , considerada ennuestros supuestos acerca de i .


•Claramente este modelo simplificado de decremento único ignora los beneficiosgarantizados , los gastos y su incidencia en las primas fijadas en el contrato. Se asumeque los flujos de caja de entrada y salida son conocidos e independientes de la tasa deinterés . Algunas de las características poco realistas pueden ser cambiadas en unmodelo más amplio. Otros ajustes tales como hacer que los flujos de entrada y salidade caja dependan de situaciones más realistas para el calculo de la tasa de interés devaluación, son más complejos.•En nuestro modelo simple podemos elegir pensar que la secuencia de flujos futuros decaja {a(j)} sea una variable de control. La administración puede elegir entrar enmercados de capitales que le permitan obtener {a(j)} tal que :

•Estas dos condiciones nos dan un valor mínimo de S(i) .Si una secuencia de flujo decaja {a(j)} puede ser encontrada para que satisfaga las dos relaciones ,cualquier cambioen la tasa de interés de valuación generaría un superavit incrementado

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2

2 2

0 y

0

d S i dA i L i

d i d i

d S i dA i L i

d i d i

= − =

= − >


•Las reglas de selección implícitas en las dos relaciones de la transparencia anteriorhan sido llamadas reglas de inmunización porque su implementación inmunizaría oprotegería al valor de S(i) de cambios en i .

MODELOMODELO ESTOCASTICOESTOCASTICO GENERALGENERAL

•Extenderemos las ideas y los símbolos usados en la sección anterior para introducirelementos estocásticos . Tendremos

( ) ( ) ( )= −ɶ ɶɶ ɶ ɶ

• donde ṽ es una secuencia {ṽj } de factores de descuentos aleatorios y

es un vector de n variables aleatorias independientes tiempo de sobrevida en años

enteros

Se continuará suponiendo que la secuencia de flujos de caja {aj } es deterministico.

( ) ( ) ( ), ,S v K A v L v K= −ɶ ɶɶ ɶ ɶ

( )1 2 3, , . . . . , nK K K K K=ɶ

MODELO ESTOCASTICO GENERALMODELO ESTOCASTICO GENERAL

•La inmunización implica minimizar

lo que se logra si

( ) ( ), | 0vV a r A v E L v K v − = ɶ

ɶ ɶɶ ɶ ɶ

( ( , ))Var S v Kɶɶ

la tasa de interÉs como variable … · para lo cual consideraremos dos funciones biométricas(l x...

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