la regla del trapecio
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7/23/2019 La Regla Del Trapecio
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MTODOS NUMRICOS
CAPTULO 6: INTEGRACINNUMRICA.
LA REGLA DEL TRAPECIO.
Ing. Willians Medina.
Maturn, Junio de 2015.
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Captulo 6. Integracin Numrica. La regla del trapecio.
Mtodos Numricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1
PRESENTACIN.
La presente es una Gua de Ejercicios de Mtodos Numricos para estudiantes de
Ingeniera, Ciencia y Tecnologa dictada en las carreras de Ingeniera Ambiental, Civil, de
Computacin, Elctrica, Electrnica, Industrial, Mecnica, de Petrleo, de Sistemas y
Qumica de reconocidas Universidades en Venezuela.
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusin de las
respuestas a ejercicios seleccionados y su compilacin en atencin al contenido
programtico de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.
Dicha gua ha sido elaborada tomando como fuente las guas de ejercicios y
exmenes publicados en su oportunidad por Profesores de Mtodos Numricos para
Ingenieros en los ncleos de Monagas y Anzotegui de la Universidad de Oriente, adems
de la bibliografa especializada en la materia y citada al final de cada captulo, por lo que el
crdito y responsabilidad del autor slo consiste en la organizacin y presentacin en forma
integrada de informacin existente en la literatura.
Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con
fines estrictamente acadmicos y su uso y difusin por medios impresos y electrnicos es
libre, no representando ningn tipo de lucro para el autor.
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atencin a esta modesta
contribucin en la enseanza y aprendizaje de los Mtodos Numricos, as como las
sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar
directamente a travs de los telfonos: +58-424-9744352 +58-426-2276504, PIN:
2736CCF1 7A264BE3, correo electrnico: [email protected]
[email protected], twitter: @medinawj personalmente en la seccin de Matemticas,
Universidad de Oriente, Ncleo de Monagas.
Ing. Willians Medina.
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ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina es Ingeniero Qumico, egresado de la Universidad de Oriente,
Ncleo de Anzotegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se
desempe como preparador docente en el rea de Laboratorio de Qumica I y
Termodinmica Aplicada de la carrera de Ingeniera Qumica de la referida Universidad.
En el ao 1996 ingres a la Industria Petrolera Venezolana, Petrleos de Venezuela
(PDVSA), desempeando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Produccin de
Orimulsin, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el ao 1998, momento en el cual
comenz su desempeo en la misma corporacin como Ingeniero de Manejo de Gas en elComplejo Operativo Jusepn, al norte del Estado Monagas hasta finales del ao 2000.
Durante el ao 2001 form parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tom,
Estado Anzotegui, donde recibi cursos de preparacin integral en las reas de produccin
y manejo de petrleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte
del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento
qumico anticorrosivo de gasoductos de la zona de produccin de petrleo y gas hasta
finales del ao 2002. Desde el ao 2006, forma parte del Staff de Profesores de
Matemticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Bsicos del Ncleo
de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas
tales como Matemticas I (Clculo Diferencial), Matemticas II (Clculo Integral),
Matemticas III (Clculo Vectorial), Matemticas IV (Ecuaciones diferenciales), Mtodos
Numricos, Termodinmica y Fenmenos de Transporte para estudiantes de Ingeniera. Es
autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el rea de Matemticas,
Fsica, Qumica, Mecnica Vectorial, Mtodos Numricos, Termodinmica, Estadstica,
Diseo de Experimentos, Fenmenos de Transporte, Mecnica de los Fluidos e Ingeniera
Econmica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
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6.1.- GENERALIDADES.
Con frecuencia surge la necesidad de evaluar la integral definida de una funcin que
no tiene una antiderivada explcita o cuya antiderivada tiene valores que no son fcilmente
obtenibles. El mtodo bsico involucrado para aproximar b
axdxf )( se conoce como
cuadratura numricay usa una suma del tipo
n
i
ii xfa0
)( para aproximar b
axdxf )( .
Los mtodos de cuadratura que discutiremos en esta seccin se basan en los
polinomios interpolantes dados en el captulo 3. Para comenzar, primero seleccionamos un
conjunto de nodos distintos },,,{ 110 nn xxxx de un intervalo a ],[ ba . Si nP es el
polinomio interpolante de Lagrange
n
i
iin xfxLxP0
)()()( (3.14)
Entonces:
!)1(
))(()()()()(
)1(
00
n
xfxxxfxLxf
nn
i
i
n
i
ii
(3.18)
Integramos nP y su trmino de error de truncamiento sobre ],[ ba para obtener la frmula
de cuadratura
b
a
nn
i
i
b
a n
b
axd
n
xfxxxdxPxdxf
!)1(
))(()()()(
)1(
0
b
a
nn
i
i
b
a
n
i
ii xdn
xfxxxdxfxL
!)1(
))(()()()(
)1(
00
b
a
nn
i
i
n
i
ii xdxfxxn
xfa ))(()(!)1(
1)( )1(
00
donde )(x est en ],[ ba para cadaxy b
a ii xdxLa )( , para ni ,,1,0
6.2.- FRMULAS DE INTEGRACIN DE NEWTON COTES.
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Las frmulas de Newton Cotes son los tipos de integracin numrica ms
comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una funcin complicada o datos tabulados
por un polinomio de aproximacin que es fcil de integrar:
b
a n
b
axdxPxdxfI )()( (6.1)
donde )(xPn = un polinomio de la forma
n
n
n
nn xaxaxaxaaxP
1
1
2
210)(
donde nes el grado del polinomio. Por ejemplo, en la figura 6.1a se utiliza un polinomio de
primer grado (una lnea recta) como aproximacin. En la figura 6.1b, se emplea una
parbola con el mismo propsito.
(a) (b)Figura 6.1. La aproximacin de una integral mediante el rea bajo a) una sola lnea recta y b) una parbola.
La integral tambin se puede aproximar usando un conjunto de polinomios
aplicados por pedazos a la funcin o datos, sobre segmentos de longitud constante. Por
ejemplo, en la figura 6.2, se usan segmentos de lnea recta para aproximar la integral.
Aunque pueden utilizarse polinomios de grado superior con los mismos propsitos.
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Figura 6.2. La aproximacin de una integral mediante el rea bajo tres segmentos de lnea recta.Existen formas cerradas y abiertas de las frmulas de Newton Cotes. Lasformas
cerradas son aquellas donde se reconocen datos al inicio y al final de los lmites de
integracin (figura 6.3a). Lasformas abiertastienen lmites de integracin que se extienden
ms all del intervalo de los datos (figura 6.3b).
(a) (b)Figura 6.3. La diferencia entre las frmulas de integracin a) cerradas y b) abiertas.
Por lo general, las formas abiertas de NewtonCotes no se usan para integracin definida.
Sin embargo, se utilizan para evaluar integrales impropias y para obtener la solucin de
ecuaciones diferenciales ordinarias. Este captulo se enfatiza las formas cerradas. No
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obstante, se presenta brevemente una introduccin a las formulas abiertas de Newton
Cotes.
Frmulas cerradas de NewtonCotes de grado superior.
Algunas de las frmulas se resumen en la tabla siguiente, junto con el error de
truncamiento.
Segmentos Puntos Nombre FrmulaError truncamiento
1 2Mtododeltrapecio 2
)()()( 10
xfxfab
)(312
1 fh
2 3RegladeSimpson1/3 6
)()(4)()( 210
xfxfxfab
)()4(590
1 fh
3 4RegladeSimpson3/8 8
)()(3)(3)()( 3210 xfxfxfxfab )()4(5803 fh
4 5RegladeBoole 90
)(7)(32)(12)(32)(7)( 43210
xfxfxfxfxfab
()6(7945
8 fh
5 6288
)(19)(75)(50)(50)(75)(19)( 543210
xfxfxfxfxfxfab
()6(7
12096275 fh
Frmulas abiertas de NewtonCotes de grado superior.
Segmentos Puntos Nombre FrmulaError truncamiento
2 1Mtodo
delpuntomedio
)()( 1xfab )(3
31 fh
3 22
)()()( 21
xfxfab
)(34
3 fh
4 33
)(2)()(2)( 321
xfxfxfab
)()4(545
14 fh
5 424
)(11)()()(11)( 4321
xfxfxfxfab
()4(5144
95 fh
6 520
)(11)(14)(26)(14)(11)( 54321
xfxfxfxfxfab
()6(7
14041 fh
As, no slo permite la evaluacin de datos con segmentos desiguales. De esta manera,
representa un algoritmo bsico, para todo propsito en la determinacin de la integral de
datos tabulados.
6.3.- LA REGLA DEL TRAPECIO.
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La regla del trapecio es la primera de las frmulas cerradas de integracin de
NewtonCotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuacin (6.1) es de primer
grado.
b
a
b
axdxPxdxfI )()( 1
Para derivar la regla del trapecio para aproximar b
axdxf )( , sean ax 0 , bx 1 ,
abh . Usando el polinomio de interpolacin de Lagrange de primer grado:
)()()( 101
00
10
11 xf
xx
xxxf
xx
xxxP
(3.16)
Por lo tanto,
1
0
)()()( 101
00
10
1x
x
b
axdxf
xx
xxxf
xx
xxxdxf
Al efectuar la integracin:
1
0
)()(2
)()(
)(2
)()( 1
01
2
0
0
10
2
1
x
x
b
axf
xx
xxxf
xx
xxxdxf
Al aplicar el teorema fundamental del clculo:
)()(2
)()()(2
)()( 0
10
2
101
01
2
01 xfxx
xxxfxx
xxxdxf
b
a
)(2
)(2
0
10
1
01 xfxx
xfxx
)(2
)(2
0
01
1
01 xfxx
xfxx
)]()([2
01
01 xfxfxx
)]()([2
)( 10 xfxfhxdxfb
a (6.2)
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La razn por la cual esta frmula se llama la regla del trapecio es que, cuando f es una
funcin con valores positivos, b
axdxf )( se puede aproximar calculando el rea del
trapecio mostrado en la figura 6.4.
Figura 6.4. Representacin grfica de la regla del trapecio.
Error de la regla del trapecio.
Cuando empleamos la integral bajo un segmento de lnea recta para aproximar la integral
bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante (Figura 6.5).
Figura 6.5. Ilustracin de la importancia del error en una sola aplicacin de la regla del trapecio.
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Una estimacin al error de truncamiento local para una sola aplicacin de la regla del
trapecio se deduce a continuacin.
Aplicando el trmino del error para un polinomio interpolante de Lagrange (Ecuacin
3.19):
n
i
i
n
a xxn
xf
0
)1(
)(!)1(
))(( (3.19)
Para un polinomio interpolante de Lagrange de grado 1 ( 1n ).
)()(2
))((10 xxxx
xfa
1
0
x
x
at xdE
1
0
)()(2
))((10
x
xxdxxxx
xf
1
0
)()(2
))((10
x
xxdxxxx
xf
1
0
])([2
))((1010
2x
xxdxxxxxx
xf
1
0
10
2103
2
)(
32
))((x
x
xxxxxxxxf
)()(
2
)(
32
))((0110
2
0
2
1
10
3
0
3
1 xxxxxxxxxxxf
1
2
0
2
101
2
0
3
1
3
0
2
10
3
0
3
1
2222332
))((xxxx
xxxxxxxxxf
22662
))(( 12
0
2
10
3
0
3
1 xxxxxxxf
6
33
2
))(( 12
0
2
10
3
0
3
1 xxxxxxxf
)33(12
))(( 30
2
101
2
0
3
1 xxxxxxxf
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3
01 )(12
))((xx
xfEt
))((12
)( 3xf
abEt
(6.3)
donde est en algn lugar en el intervalo de a a b. La ecuacin (6.3) indica que si la
funcin sujeta a integracin es lineal, la regla del trapecio ser exacta. Ntese que la regla
del trapecio dar el resultado exacto cuando se aplique a cualquier funcin cuya segunda
derivada sea idnticamente cero, o sea, cualquier polinomio de grado uno o menor. De otra
manera, para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior (es decir, con
curvatura), puede ocurrir algn error.Ejemplo 6.1.
[WM] Use la regla del trapecio para aproximar
3
1
2 )( xdex x . Compare la aproximacin
con el valor real y encuentre una cota para el error, si esto es posible.
Solucin.
3
1
2 )( xdex x
1a 3b
xexxf 2)(
Aplicando la ecuacin 6.2.
)]()([2
)( 10 xfxfh
xdxfb
a (6.2)
10 ax
31 bx
213 abh
6321206.01)1()1()( 1)1(20 eefxf
9502129.89)3()3()( 3)3(21
eefxf
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La grfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.6.
Figura 6.6. Representacin grfica del empleo de una sola aplicacin de la regla del trapecio para aproximar
la integral de xexxf 2)( de 1x a 3x .
Valor aproximado de la integral (rea rayada en la figura 6.6).
)9502129.86321206.0(2
2)(
3
1
2 xdex x
5823335.9
Valor exacto de la integral (rea sombreada en la figura 6.6).
3
1
3
31
3
1
2 )( xx exxdex
])1([])3([ )1(331)3(3
31 ee
1
3139 ee
13
326 ee
3485742.8
Error absoluto de aproximacin.
aproximadoValorexactoValor t
5823335.93485742.8
2337593.1
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Cota de error.
))((12
)( 3xf
abEt
(6.3)
La segunda derivada de la funcin xexxf 2)( es xexf 2)( . Al evaluar en 1x
y en 3x tenemos:
6321206.12)1( 1 ef
9502129.12)3( 3 ef
9502129.112
)13( 3
tE
3001420.1
Observamos que la estimacin se encuentra entre los lmites del error.
Clculo de integrales definidas mediante la calculadora.
Algunas calculadoras cientficas modernas disponen de la opcin para calcular
numricamente integrales definidas, tales como la CASIO fx-570ES PLUS. En este sentido
conviene conocer la secuencia de teclas que se deben presionar para obtener el valor
numrico de la integral.
El procedimiento es el siguiente:
Encender la calculadora presionando la tecla ON.
Presionar la tecla . El display muestra:
xd R Math
Ingresar la funcin teniendo en cuenta que la x se ingresa presionando las teclas ALPHA
). Para ingresar la funcin xexxf 2)( , la secuencia de teclas es:
ALPHA , ) , 2x ,, SHIFT , ln , () , ALPHA , ). El display muestra:
xdex x2 R Math
Ingresar el lmite inferior de integracin. Presionar la tecla e introducir el valor 1.
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1
2 xdex x R Math
Ingresar el lmite superior de integracin. Presionar la tecla
e introducir el valor 3.
3
1
2 xdex x R Math
Presionar la tecla =. Al cabo de unos segundos, la calculadora muestra en el display:
3
1
2 xdex x R Math
8.348574294
De esta manera hemos determinado el valor numrico exacto de la integral.
Ejemplo 6.2.
[WM] Use la tabla de abajo para encontrar una aproximacin a 5.1
1.1xdex .
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5xe 3.0042 3.3201 3.6693 4.0552 4.4817
Compare la aproximacin con el valor real y encuentre una cota para el error, si esto es
posible.
Solucin.
5.1
1.1xdex
1.1a
5.1b
xexf )(
Aplicando la ecuacin 6.2.
)]()([2
)( 10 xfxfh
xdxfb
a (6.2)
1.10 ax
5.11 bx
4.01.15.1 abh
0042.3)1.1()( 0 fxf
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4817.4)5.1()( 1 fxf
La grfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.7.
Figura 6.7. Representacin grfica del empleo de una sola aplicacin de la regla del trapecio para aproximar
la integral de xexf )( de 1.1x a 5.1x .
Valor aproximado de la integral.
)4817.40042.3(2
4.05.1
1.1 xde
x
4971800.1
Valor exacto de la integral.
5.1
1.1
5.1
1.1
xx exde
1.15.1 ee
4775230.1
Error absoluto de aproximacin.
aproximadoValorexactoValor t
4971800.14775230.1
0196570.0
Cota de error.
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))((12
)( 3xf
abEt
(6.3)
La segunda derivada de la funcin xexf )( es xexf )( . Al evaluar en 1.1x y en
5.1x tenemos:
0042.3)1.1( 1.1 ef
4817.4)5.1( 5.1 ef
4817.412
)1.15.1( 3
tE
0239024.0
Observamos que la estimacin se encuentra entre los lmites del error.
Ejemplo 6.3.
[BF, WM] Dada la funcinfen los valores tabulados abajo:
x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6)(xf 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675
Aproxime 6.2
8.1)( xdxf usando la regla del trapecio.
Solucin.
6.2
8.1 )( xdxf
8.1a
6.2b
Aplicando la ecuacin 6.2.
)]()([2
)( 10 xfxfh
xdxfb
a (6.2)
8.10 ax
6.21 bx 8.08.16.2 abh
12014.3)8.1()( 0 fxf
46675.10)6.2()( 1 fxf
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Valor aproximado de la integral.
)46675.1012014.3(2
8.0)(
6.2
8.1 xdxf
4347560.5
Ejercicios propuestos.
1. [BF, CC] Use la regla del trapecio para aproximar las integrales siguientes. Compare la
aproximacin con el valor real y encuentre una cota del error en cada caso, si esto es
posible.
a) 2
1ln xdx b)
1.0
0
3
1
xdx c) 3/
0
2)sen(
xdx
d)
4.0
2.0
3
2cos xdxe x
e)
4/
0 tan
xdx f)
4/3
2/ cot
xdx
g)
5.1
0
1)1( xdx h)
3
0)1( xde x i)
4
2
52 )41( xdxxx
j) 2/
0)sen48(
xdx k) 1
0
215 xdx l)
0)sen35( xdx
2. [CC] Evale la integral 5.0
0)( xdxf de los siguientes datos tabulados usando la regla del
trapecio:
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5)(xf 1 7 4 3 5 2
3. [CC] Evale la integral 11
3)( xdxf de los siguientes datos tabulados usando la regla del
trapecio:
x 3 1 1 3 5 7 9 11)(xf 1 4 9 2 4 2 6 3
La regla del trapecio de aplicacin mltiple.
Una forma de mejorar la precisin de la regla del trapecio consiste en dividir el
intervalo de integracin de aaben varios segmentos, y aplicar el mtodo a cada uno de
ellos (Figura 6.8). Las reas de los segmentos se suman despus para obtener la integral en
todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman frmulas de integracin, de
aplicacin mltipleo compuestas.
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Figura 6.8. Ilustracin de la regla del trapecio de aplicacin mltiple. a) Dos segmentos, b) tres segmentos, c)
cuatro segmentos y d) cinco segmentos.
La figura 6.9 muestra el formato general y la nomenclatura que usaremos para
obtener integrales de aplicacin mltiple.
Hay 1n puntos igualmente espaciados },,,{ 110 nn xxxx . En consecuencia, existen n
segmentos del mismo ancho:
n
abh
(6.4)
-
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Figura 6.9. Formato general y nomenclatura para integrales de aplicacin mltiple.
Si aybse designan como 0x y nx , respectivamente, la integral completa se representar
como
n
n
x
x
x
x
x
x
b
axdxfxdxfxdxfxdxf
1
2
1
1
0
)()()()(
Sustituyendo la regla del trapecio en cada integral se obtiene
2
)()(
2
)()(
2
)()()( 12110 nn
b
a
xfxfh
xfxfh
xfxfhxdxf
(6.5)
o, agrupando trminos,
)]()(2)([2
)(1
1
0 n
n
i
i
b
axfxfxf
hxdxf
(6.6)
o, usando la ecuacin 6.4
)]()(2)([2
)(1
1
0 n
n
i
i
b
axfxfxf
n
abxdxf
promedioAltura
1
1
0
Ancho2
)()(2)(
)()(n
xfxfxf
abxdxf
n
n
i
ib
a
(6.7)
Como la sumatoria de los coeficientes de )(xf en el numerador dividido entre n2 es igual
a 1, la altura promedio representa el promedio ponderado de los valores de la funcin. De
-
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acuerdo con la ecuacin (6.7), a los puntos interiores se les da el doble de peso que a los
dos puntos extremos )( 0xf y )( nxf .
Algoritmo de la regla del trapecio de aplicacin mltiple.Para aproximar
b
axdxfI )( :
ENTRADA: puntos extremos a, b; entero positivo n.
SALIDA: aproximacinXIdeI.
Paso 1 Tomarn
abh
Paso 2 Tomar )()(0 bfafXI
).)(deSuma(;01 ixfXI Paso 3 Para 1,,1 ni seguir los pasos 4 y 5.
Paso 4 Tomar hiax
Paso 5 )(11 XfXIXI
Paso 6 Tomar 2/)120( XIXIhXI
Paso 7 SALIDA (XI )
PARAR.
Error de la regla del trapecio de aplicacin mltiple.
Se tiene un error con la regla del trapecio de aplicacin mltiple al sumar los errores
individuales de cada segmento, as
n
i
t xfn
abE
13
3
))((12
)( (6.8)
donde ))(( xf es la segunda derivada en un punto i , localizado en el segmento i. Este
resultado se simplifica al estimar la medida o valor promedio de la segunda derivada en
todo el intervalo comon
xf
f
n
i
1))((
.
Por lo tanto, la ecuacin 6.8 se escribe como
-
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fn
abEa
2
3
12
)( (6.9)
El valor promedio de la segunda derivada en todo el intervalo se puede escribir como
ab
xdxff
b
a
)(
Ejemplo 6.4.
[WM] Use la regla del trapecio compuesta con 8n para aproximar
3
1
2 )( xdex x .
Compare la aproximacin con el resultado exacto.
Solucin.
3
1
2 )( xdex x
1a
3b
xexxf 2)(
Aplicando la ecuacin 6.7.
n
xfxfxf
abxdxf
n
n
i
ib
a 2
)()(2)(
)()(
1
1
0
(6.7)
10 ax
3bxn
25.08
13
n
abh
Se debe evaluar la funcin desde 1x hasta 3x con un paso de 25.0h . Los resultados
se muestran en la tabla siguiente:
i x xexxf 2)( 0 1.00 0.63212061 1.25 1.27599522 1.50 2.02686983 1.75 2.8887261
-
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4 2.00 3.86466475 2.25 4.95710086 2.50 6.16791507 2.75 7.49857218 3.00 8.9502129
La grfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.10.
Figura 6.10. Representacin grfica del empleo de la regla del trapecio de aplicacin mltiple con n = 8 para
aproximar la integral de xexxf 2)( de 1x a 3x .
La tabla anterior se completa con una columna que incorpore el doble del valor de la
funcin en los puntos intermedios:
i x xexxf 2)( )(2 xf
0 1.00 0.63212061 1.25 1.2759952 2.55199042 1.50 2.0268698 4.05373973 1.75 2.8887261 5.77745214 2.00 3.8646647 7.72932945 2.25 4.9571008 9.91420166 2.50 6.1679150 12.3358300
7 2.75 7.4985721 14.99714438 3.00 8.9502129Total 57.3596875
Valor aproximado de la integral.
-
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)8(2
9502129.83596875.576321206.0)13()(
3
1
2 xdex x
16
66.9420210
2
3677526.8
Error absoluto de aproximacin.
aproximadoValorexactoValor t
3677526.83485742.8
0191784.0
El error de aproximacin es menor que cuando se utiliza la regla del trapecio en un solo
intervalo.
Ejemplo 6.5.
[WM] Use la tabla de abajo para encontrar una aproximacin a 5.1
1.1xdex .
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5xe 3.0042 3.3201 3.6693 4.0552 4.4817
Use la regla del trapecio con 2n y 4n . Compare la aproximacin con el resultado
exacto.
Solucin.
5.1
1.1xdex
1.1a
5.1b
xexf )(
Aplicando la ecuacin 6.7.
n
xfxfxf
abxdxfn
n
i
ib
a 2
)()(2)(
)()(
1
1
0
(6.7)
1.10 ax
-
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5.11 bx
Aplicacin de la regla del trapecio con 2n .
2.02
1.15.1
nabh
Se debe evaluar la funcin desde 1.1x hasta 5.1x con un paso de 2.0h . Los
resultados estn mostrados en la tabla siguiente.
x 1.1 1.3 1.5xe 3.0042 3.6693 4.4817
Obsrvese que se han tomado de la tabla dada en el planteamiento del problema slo los
valores de x espaciados en 0.2 que delimitan 2 intervalos dentro de los lmites de
integracin (1.1 1.5). En caso de no disponerse de la tabla, procederamos como en elejemplo 6.5 puesto que es conocida la funcin que genera los datos de la tabla, xexf )( .
La grfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.11.
Figura 6.11. Representacin grfica del empleo de la regla del trapecio de aplicacin mltiple con n = 2 para
aproximar la integral de xexf )( de 1.1x a 4.1x .
Valor aproximado de la integral.
Utilizando los datos seleccionados:
)2(2
4817.4)6693.3(20042.3)1.15.1(
5.1
1.1
xde
x
-
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4
14.82454.0
4824500.1
Error absoluto de aproximacin.
aproximadoValorexactoValor t
4824500.14775230.1
0049270.0
Aplicacin de la regla del trapecio con 4n .
1.04
1.15.1
n
abh
Se debe evaluar la funcin desde 1.1x hasta 5.1x con un paso de 1.0h . Los
resultados estn mostrados en la tabla proporcionada.
La grfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.12.
Figura 6.12. Representacin grfica del empleo de la regla del trapecio de aplicacin mltiple con n = 4 para
aproximar la integral de xexf )( de 1.1x a 4.1x .
Valor aproximado de la integral.
Utilizando los datos de la tabla proporcionada:
)4(2
4817.4)0552.46693.33201.3(20042.3)1.15.1(
5.1
1.1
xde
x
-
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8
4.4817(11.0446)23.00424.0
8
29.5751
4.0
4787550.1
Error absoluto de aproximacin.
aproximadoValorexactoValor t
4787550.14775230.1
0012320.0
Obsrvese que al aumentar el nmero de segmentos, disminuye el error absoluto de
aproximacin.
Existen infinitas posibilidades en cuanto al nmero de segmentos para determinar el valor
de la integral 5.1
1.1xdex , puesto que se conoce la funcin y no estamos limitados a los datos
proporcionados en la tabla dada en el planteamiento del problema. En caso de especificarse
por ejemplo, 5n procederamos como en el ejemplo 6.5 con la funcin xexf )( ,
1.1a , 5.1b y 5n .
Ejemplo 6.6.[BF, WM] Dada la funcinfen los valores tabulados abajo:
x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6)(xf 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675
Aproxime 6.2
8.1)( xdxf usando la regla del trapecio compuesta.
Solucin.
6.2
8.1)( xdxf
8.1a
6.2b
Puesto que los extremos (1.8 2.6) incluyen entre ellos tres puntos, tenemos un total de
cinco puntos. La subdivisin es entonces de cuatro intervalos, por lo cual 4n .
-
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Adicionalmente observamos que el paso en este caso es 2.0h , pues es la diferencia
constante entre dosxconsecutivos.
Aplicando la ecuacin 6.7.
n
xfxfxf
abxdxfn
n
i
ib
a 2
)()(2)(
)()(
1
1
0
(6.7)
8.10 ax
6.2bxn
Se debe evaluar la funcin desde 8.1x hasta 6.2x con un paso de 2.0h . Los
resultados estn mostrados en la tabla proporcionada.
Valor aproximado de la integral.
Utilizando los datos:
)4(2
46675.10)03014.804241.642569.4(212014.3)8.16.2()(
6.2
8.1
xdxf
8
10.46675(18.49824)23.120148.0
8
50.583378.0
058337.5
Para resolver este ejemplo 6.6, se pudieron tomar tambin 2 intervalos con 4.0h y los
puntos que se indican a continuacin:
x 1.8 2.2 2.6)(xf 3.12014 6.04241 10.46675
En cuyo caso el valor de la integral, de acuerdo con la ecuacin 6.7 es:
)2(2
46675.10)04241.6(212014.3)8.16.2()(
6.2
8.1
xdxf
4
25.671718.0
134342.5
-
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No existe otra posibilidad en cuanto al nmero de segmentos para determinar el valor de la
integral 6.2
8.1)( xdxf , puesto que no se conoce la funcin y estamos limitados a los datos
proporcionados en la tabla dada en el planteamiento del problema.
Como regla general, si se debe utilizar la regla del trapecio de aplicacin mltiple, cuando
se da una tabla de valores sin especificar la funcin a integrar (integrando), el nmero de
segmentos indicados para aproximar b
axdxf )( debera ser un mltiplo del nmero de
segmentos que dividen los datos de la tabla dada en el intervalo ],[ ba , a menos que se
deseen aplicar mtodos de interpolacin como los indicados en el captulo 5, lo cual
representa un trabajo laborioso, ajeno a los objetivos de este manual. Como ejemplo, si
tenemos 11 datos incluyendo los lmites de integracin, stos proporcionan 10 segmentos.
Podramos aplicar el mtodo de los trapecios en 1, 2, 5 y 10 segmentos. Evidentemente, los
lmites de integracin son los mismos, pero el espaciamiento (h) es diferente en cada caso.
Ejemplo 6.7.
Considere 4/
0tan
xdx .
a) Use la regla del trapecio extendida con 4n y 8n para aproximar la integral.
b) Encuentre una cota al error en cada caso de a) y compare las aproximaciones con el valorreal.
c) Determine los valores de n y h necesarios para que la aproximacin tenga 108 de
precisin.
Solucin.
4/
0tan
xdx
0a
4b
xxf tan)(
a) Regla del trapecio extendida con 4n .
Aplicando la ecuacin 6.7.
-
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n
xfxfxf
abxdxfn
n
i
ib
a 2
)()(2)(
)()(
1
1
0
(6.7)
00 ax
7853981634.04 bxn
1963495408.04
04
n
abh
Se debe evaluar la funcin desde 0x hasta 7853981634.0x con un paso de
1963495408.0h . Los resultados se muestran en la tabla siguiente:
i x xxf tan)(
0 0.0000000000 0.00000000001 0.1963495408 0.19891236742 0.3926990817 0.41421356243 0.5890486225 0.66817863794 0.7853981634 1.0000000000
La grfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.13.
Figura 6.13. Representacin grfica del empleo de la regla del trapecio de aplicacin mltiple con n = 4 paraaproximar la integral de xxf tan)( de 0x a 4/x .
Valor aproximado de la integral.
Utilizando los datos de la tabla obtenida:
-
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)4(2
1)6681786379.04142135624.01989123674.0(20)07853981634.0(tan
4/
0
xdx
8
1)281304568.1(207853981634.0
8
562609136.37853981634.0
3497583340.0
Regla del trapecio extendida con 8n .
Aplicando la ecuacin 6.7.
n
xfxfxf
abxdxfn
n
i
ib
a 2
)()(2)(
)()(
1
1
0
(6.7)
00 xa
7853981634.04 nxb
20981747704.08
04
n
abh
Se debe evaluar la funcin desde 0x hasta 7853981634.0x con un paso de
20981747704.0h . Los resultados se muestran en la tabla siguiente:
i x xxf tan)( 0 0.0000000000 0.00000000001 0.0981747704 0.09849140342 0.1963495408 0.19891236743 0.2945243113 0.30334668364 0.3926990817 0.41421356245 0.4908738521 0.5345111360
6 0.5890486225 0.66817863797 0.6872233930 0.82067879088 0.7853981634 1.0000000000
La grfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.14.
-
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Figura 6.14. Representacin grfica del empleo de la regla del trapecio de aplicacin mltiple con n = 8 paraaproximar la integral de xxf tan)( de 0x a 4/x .
La tabla anterior se completa con una columna que incorpore el doble del valor de la
funcin en los puntos intermedios:
i x xxf tan)( )(2 xf 0 0.0000000000 0.00000000001 0.0981747704 0.0984914034 0.19698280672 0.1963495408 0.1989123674 0.39782473483 0.2945243113 0.3033466836 0.6066933672
4 0.3926990817 0.4142135624 0.82842712475 0.4908738521 0.5345111360 1.06902227196 0.5890486225 0.6681786379 1.33635727587 0.6872233930 0.8206787908 1.64135758178 0.7853981634 1.0000000000
Total 6.0766651628
Valor aproximado de la integral.
Utilizando los datos de la tabla obtenida:
)8(2
1286.076665160)07853981634.0(tan
4/
0
xdx
16
0766651628.77853981634.0
3473749889.0
-
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Valor exacto de la integral.
4/
0
4/
0)(seclntan
xxdx
)]0[sec(ln)]4/([secln
1ln2ln
3465735903.0
Error absoluto de aproximacin.
aproximadoValorexactoValor t
4n 8n
3497583340.03465735903.0 t 3473749889.03465735903.0 t
3101847.3 4100140.8
b) Cota de error.
fn
abEa
2
3
12
)( (6.9).
Siendo xxf tan)( , entonces xxf 2sec)( y xxxf tansec2)( 2
Valor promedio de la segunda derivada.
ab
xdxff
b
a
)(
0
tansec2
4
4/
0
2
xdxx
7853981634.0
1
273239545.1
4n 8n
)273239545.1()4(12
)0(2
3
4
aE )273239545.1()8(12
)0(2
3
4
aE
3102128.3 4100319.8
-
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c) fn
abEa
2
3
12
)( (6.9)
Al despejar nde la ecuacin anterior.
fE
abn
a
12
)( 3
)273239545.1(1012
)0(8
3
4
25.2267
Se requieren 2268 segmentos como mnimo.
000346295.02268
04
n
abh
000346295.0h
Ejercicios propuestos.
4. [CC] Aproxime las integrales h), i) e j) del problema 1 con la regla del trapecio de
aplicacin mltiple, usando 2n , 4n y 6n .
5. [BF] Use la regla del trapecio extendida con el valor indicado de npara aproximar las
siguientes integrales definidas. Compare las aproximaciones con el resultado exacto.
a) 3
1 x
xd ; 4n b) 2
0
3xdx ; 4n c)
3
0
21 xdxx ; 6n
d) 1
0sen xdx ; 6n e)
2
0sen xdxx ; 8n f)
1
0
2 xdex x ; 8n
g) 2
0
2 2
xdex x ; 8n h)
5.1
0
1)1( xdx ; 10n
6. [CC] Integre la siguiente funcin de manera analtica 3
0
2 xdex x . Despus emplee la
regla del trapecio para integrar numricamente la funcin. Use la versin de aplicacin
mltiple con 4n . Calcule el error relativo porcentual del resultado numrico.
7. [CC] Integre la siguiente funcin
2
1
21
xdx
x mediante la regla del trapecio, con
1n , 2n , 3n y 4n . Calcule los errores relativos porcentuales con respecto al
-
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valor verdadero 4.8333 para evaluar la exactitud de las aproximaciones de la regla del
trapecio.
8. Use la regla del trapecio extendida con el valor indicado de h para aproximar las
siguientes integrales definidas. Compare las aproximaciones con el resultado exacto.
a) 3
0
21 xdxx ; 5.0h b) 1
0
2 xdex x ; 125.0h
c)
1
0 1xd
x
e x; 05.0h
9. [CC] Evale la integral 5.0
0)( xdxf de los datos tabulados en el problema 2 usando la
regla del trapecio de aplicacin mltiple. Compare resultados.
10. [CC] Evale la integral 11
3)( xdxf de los datos tabulados en el problema 3 usando la
regla del trapecio de aplicacin mltiple. Compare resultados.
11. [BF] Repetir el ejemplo 6.7 para la integral 4/3
2/cot
xdx .
12. [WM] Determine los valores de ny hnecesarios para aproximar
3
1
2 )( xdex x con
106de precisin usando la regla del trapecio compuesta.
13. [BF] Determine los valores de ny hnecesarios para aproximar 3
1sen xdxex con 104
de precisin usando la regla del trapecio compuesta.
14. [BF] Determine los valores de ny hnecesarios para aproximar 10
1ln xdx con 104de
precisin usando la regla del trapecio compuesta.
15. [CC] Integre la siguiente funcin
1
0
)1(201.0 ]1[)2.1( xdexx x . Observe que el valor
verdadero es 0.602297. Evale esta integral con la regla del trapecio de segmento mltiple.
Use una n lo suficientemente grande para que tenga usted 4 cifras significativas de
exactitud. Analice sus resultados.
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7/23/2019 La Regla Del Trapecio
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Captulo 6. Integracin Numrica. La regla del trapecio.
Mtodos Numricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 34
RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.
6.3.- LA REGLA DEL TRAPECIO.La regla del trapecio de aplicacin simple.
Integral Valor aproximado Valor exacto Error Cota del error.a) 0.3465736 0.3862944 0.0397208 0.0833333b) 0.0232079 0.0348119 0.0116040 0.0008596c) 0.3926991 0.3070924 0.0856067 0.1913968d) 0.3991430 0.4037596 0.0046166 0.0113432e) 0.3926991 0.3465736 0.0461255 0.1614910f) 0.3926991 0.3465736 0.0461255 0.1614910g) 1.0500000 0.9162907 0.1337093 0.5625000h) 1.4253194 2.0497871 0.6244677 2.2500000i) 2736.000000 576.000000 2160.000000 22896.000000j) 15.7079632 16.5663706 0.8584073 1.2919283
k) 113.0000000 41.3581698 71.6418302 550.0151918l) 15.7079632 21.7079632 6.0000000 7.7515692
2. 0.7500000.3.14.0000000La regla del trapecio de aplicacin mltiple.4.
Integral 2n 4n 6n h) 1.8779645 2.0056580 2.0300730i) 1359.0000000 786.9375000 671.0000000j) 16.3586084 16.5148339 16.5434982
5.Integral Valor aproximado Valor exacto
a) 1.1166667 1.0986123b) 4.2500000 4.0000000c) 10.3122012 10.2075922d) 0.6220085 0.6366198e) 5.95683320 6.2831854f) 0.7288902 0.7182818g) 0.4215820 0.4227251h) 0.9178617 0.9162907
6. Valor exacto: 5359919.50441645 e , Valor aproximado: 630.8784809. Error relativo:25.0413%7. Valor exacto: 8333333.4
629
1n : Valor aproximado: 5.1250000; Error: 6.0345%2n : Valor aproximado: 4.9097222; Error: 1.5804%3n : Valor aproximado: 4.8676852; Error: 0.7107%
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4n : Valor aproximado: 4.8527438; Error: 0.4016%8.
Integral n Valor aproximado Valor exactoa) 6 10.3122012 10.207593
b) 8 0.7288902 0.7182818c) 20 0.5388953 0.5386506
9. 2.050000010. 0.0000000.11. Valor exacto:0.3465736a) 4n : 0.3497583, 8n : 0.3473750; b) 3102128.3 tE ,
4100319.8 tE ; c)
2268n .12. 1108n , 001805054.0h .13. 264n , 001805054.0h .14. 247n , 60364372469.0h .