la recta

1 Facultad de Ingeniería y Arquitectura Ciclo 2012-1

SEMANA 11

Tema:

____________________________________________________________________________

LA RECTA

Definición: La recta es el lugar geométrico de los puntos del plano tal que si se toman dos, cualesquiera de ellos, la razón entre la diferencia de sus ordenadas y la diferencia de las

abscisas es constante. Es decir 2 1

2 1

y y

x x

Definición: La pendiente m de una recta es la tangente del ángulo de inclinación , es decir

tanm

Teorema:

La recta que pasa por los 1 1,x y 2 2,x y , donde 1 2x x tiene pendiente

tanm = 2 1

2 1

y y

x x

Ejemplo: Encuentre la pendiente de la línea que une los puntos (1,-3) y (3,7)

Solución: 7 ( 3) 10

53 1 2

m

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

1. Dos puntos: La recta pasa por los puntos 1 1,x y 2 2,x y

2 11 1

2 1

( )y y

y y x xx x

2. Punto-pendiente: La ecuación de la recta que pasa por el punto 1 1,P x y y con

pendiente m

1 1( )y y m x x

3. Pendiente y ordenada al origen: La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b, tiene por ecuación:

y mx b

4. Forma simétrica: la recta cuyas intersecciones con los ejes X e

Y son 0a 0b respectivamente , tiene por ecuación:

1x y

a b

ECUACIÓN GENERAL

Ecuaciones de la Recta y Aplicaciones


Una ecuación de primer grado con dos variables x e y es una ecuación de la forma:

0Ax By C

En donde A, B, C son constantes y A y B no son ceros a la vez.

Observación:

1. Si 0B , 0A , entonces A C

y xB B

, cuya pendiente es A

mB

y ordenada C

B

Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,-3) con pendiente -2

Solución

Por datos del problema 2m , 1 1

( , )5 3x y . Usando la ecuación:

1 1( )y y m x x

( 3) 2( 5)y x

2 7y x

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Dos rectas con pendientes 1m y 2m son paralelas 1 2//L L , si. 1m = 2m

Dos rectas con pendientes 1m y 2m son perpendiculares 1 2L L si 1 2. 1m m

Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,5) y es perpendicular a la

recta 2 6 0x y

Solución

Sea la recta 1L : 2 6 0x y , veamos en su forma

pendiente y ordenada: 1

32

y x , donde la

pendiente es 1

2m

Sea 2L la recta que nos pide es tal que 1 2L L ,

entonces 2

1. 1

2m 2 2m . Luego la recta 2L que

pasa por el punto (2,5) con 2 2m es.

1 1( )y y m x x

5 2( 2)y x

2 1y x

13

2y x


4y 2x

2 1y x

Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,3) y es paralela a la recta

2 10x y

Solución

Dada la recta 1L : 2 10x y ó 2 10y x tiene

pendiente 2m , entonces la recta paralela debe tener también pendiente -2.

Luego utilizando la ecuación punto pendiente

1 1( )y y m x x

3 2( ( 1))y x

2 1y x

RECTAS PARALELAS A LOS EJES

Recta vertical: (paralela al eje y), su ecuación es de la forma x a

Recta Horizontal: (paralela al eje x), su ecuación es de la forma y b . Las rectas verticales y

horizontales no tienen inclinación.

- Calcula la pendiente de la recta con

ecuación 3y

Cualesquiera dos puntos sobre una recta horizontal tiene la misma ordenada

2 1

2 1

y ym

x x

=

3 3 00

2 4 6

NOTA: Una recta horizontal tiene pendiente cero.

- Calcula la pendiente de la recta con

ecuación 4x

2 1y x

2 10x y


Cualesquiera dos puntos sobre una recta vertical tiene la misma abscisa

2 1

2 1

y ym

x x

=

2 3 5

4 ( 4) 0

Como la división por no está definida, decimos que la recta vertical no tiene pendiente

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Si las rectas 1L y 2L tienen pendientes 1m y 2m respectivamente, entonces el ángulo entre las

dos rectas es 2 1

2 1

tan1 .

m m

m m

Ejemplo: Encontrar el ángulo que forma la recta 3 3 5x y con el eje x .

Solución

Primero debemos encontrar la pendiente de la recta : 3 3 5x y

3

2y x

La pendiente de la recta es 1, es decir, tan 1 , entonces 45º

Ejemplo: Encontrar el ángulo de la recta 2 3 6 0x y a la recta 5 10 0x y

Solución

1L : 2 3 6 0x y , entonces 1

2

3m y 2L : 5 10 0x y , entonces 2

1

5m

2 1

2 1

tan1 .

m m

m m

=

1 2

5 31 2

1 .5 3

=

3 10

1515 2

15

=

13

15 113

15

tan 1

135º

INTERSECCIÓN DE RECTAS

Un punto en el plano está en dos rectas si satisface las ecuaciones de ambas rectas. Si tenemos las ecuaciones de dos rectas y queremos encontrar su intersección, lo que debemos hacer es resolverlas simultáneamente.

Ejemplo: Encontrar la intersección de las rectas 5 11 0x y y 3 1 0x y


Solución:

Resolver simultáneamente:

5 11 0 .................. (1)

3 1 0 ................. (2)

x y

x y

,

multiplicamos a la primera ecuación por 3

15 3 3 0

3 1 0

3x y

x y

Sumando las ecuaciones tenemos:

16 32 0x

2x

Luego sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones. Veamos en la segunda ecuación:

2 3 1 0y

1y

El punto donde se cortan las rectas es (2, 1)P

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

La distancia de un punto P a una recta L está dada por la siguiente fórmula:

22

11),(

BA

CByAxLPd

Ejemplo: Hallar la distancia que separa al punto P (1,-5) de la recta 03125: yxL

Solución:

Sean: A=5 B=12 C=3

11 x 51 y

22

11),(

BA

CByAxLPd

22 125

3)5(12)1(5

413

52

5 11 0x y

3 1 0x y

03125: yxL


Ejemplo: Determinar para que valores de m y n la recta

: ( 2 3) (2 1) (6 9) 0L m n x m n y m es paralela al eje x e intercepta al eje y en

el punto P (0,-3)

Solución

Si L es paralela al eje x su pendiente es cero 0m , entonces 0A

mB

es decir

0A .

2 3 2 1 (6 9) 0

A B

m n x m n y m

2 3 0m n …………………. (1)

El punto P (0,-3) L , entonces : ( 2 3)(0) (2 1)( 3) (6 9) 0L m n m n m

6 3 3 6 9 0m n m

3 6 0n

2n ,

Sustituyendo 2n en (1) Tenemos que: 7m

EJERCICOS PROPUESTOS:

1. Determine las pendientes de las rectas que pasa por los puntos:

a) (2,1) y (5,7) b) (2,-1) y (4,-1) c) (5,-2) y (1.-6)

d) (3,5) y (-1,5) e) (1,2) y (1,5)

2. Determine la pendiente y la ordenada al origen de cada una de las relaciones lineales siguientes.

a) 3 2 6x y

b) 13 4

x y

c) 4 5 20x y

d) 2 3 0y x

e) 3 4 0x

f) 2 3 0y

g) 2 3y x

3. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o de ninguno de estos tipos.

a) 2 3 6x y y 3 2 6x y

b) y x y 1x y

c) 2 3y x y 2 3x y

d) 4 2 1x y y 2 2y x

e) 2 3x y y 2 6 5x y

f) 3 4 1x y y 3 4 1x y


g) 3 0y y 5 0x h) 2 5 0x y 3 0x

4. Encuentre la ecuación de las rectas que satisfagan las condiciones de cada uno de los

ejercicios siguientes. Dibuje la gráfica en cada caso.

a) Pasa por (2,1) y tiene pendiente 5 b) Pasa por (1,-2) y tiene pendiente -3 c) Pasa por (,,4) y tiene pendiente

cero d) Pasa por (2,-3) y no tiene

pendiente e) Pasa a través de los puntos (3,-1)

y (3,7) f) Tiene pendiente -2 y ordenada al

origen 5.

g) Tiene pendiente 1

3 y ordenada al

origen -4. h) Tiene pendiente 3 y ordenada al

origen 0. i) tiene abscisa al origen -1.2 y es

perpendicular a 6 3 1x y

j) Pasa por (1,3) y es paralela a la

recta 2 3 0x y

k) Pasa por (-1,2) y es perpendicular

a la recta 2 3 4 0x y

l) Pasa por (3,4) y es paralela a la

recta 2x m) Pasa por (2,3) y es perpendicular a

la recta que pasa por (-1,-2) y (2,1) n) pasa por (4,-2) y es paralela a la

recta que pasa por (-1,4) y (2,-3) o) Pasa por (2,1) y

a) es paralela

0432 yx

b) perpendicular

0432 yx

5 Encontrar el ángulo de la primera recta a la segunda:

a) 7x , 5 3 4x y

b) 3 0x y , 5 0x y

c) 2 5 0x y 3 10 0x y

d) 3 0y , 2 5 0x y

e) 5 6 7 0x y y

4 3 11 0x y

6. Hallar los valores de k para que la recta 0125: kyxL y el punto ( 3;2)P disten

cuatro unidades.

7. Utiliza pendientes para mostrar que el triángulo con vértices ( 2;7) , (6;9) y (3;4) es un

triángulo rectángulo.

8. ¿Cuánto miden los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son (2;6)A , ( 3; 1)B y

(4; 5)C ?

9. Determina si las rectas 5 6 0x y , 2 17 0x y y 3 7 0x y forman un triángulo. Si

es el caso, encuentra los vértices del triángulo.

11. Encuentra los valores de las constantes a y b tales que las rectas 3 11 0ax y y

8 0x by se cortan en el punto (2;5) .

12. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (3;2)P y por el punto donde se

cortan las rectas 13 2

x y y 1

2 3

x y .


13. Una recta de pendiente 2

5 pasa por el punto (3; 4)P y por ( ; 2)A x y ( 7; )B y .

Hallar la abscisa de A y la ordenada de B .

14. Dadas las ecuaciones de los lados de un rectángulo: 02 yx 0152 yx y la

ecuación de una de sus diagonales: 0157 yx

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Medición de la temperatura. La relación entre los grados Celsius (°C) y los Fahrenheit (°F) para medir la temperatura es lineal. Encuentre una ecuación que relacione °C y °F, si 0°C corresponde a 32°F y 100°C corresponden a 212°F.Utilice la ecuación para hallar la medida Celsius de 70°F.

2. Medición de la temperatura. La escala kelvin (K) para medición de la temperatura se obtiene sumando 273 a la temperatura Celsius. a) Escriba una ecuación que relacione K y °C b) Escriba una ecuación que relacione K y °F.

3. Costo de electricidad. En 1991, la compañía Hidrandina suministro electricidad en los meses de verano a clientes residenciales por un cargo mensual de $9.06 más 10.819 centavos por Kilowatt-hora de consumo. Escriba una ecuación que relacione el cargo mensual C con el número x de kilowatt-hora en el mes. Haga la grafica de esa ecuación. ¿Cuál es el cargo mensual por consumir 300 kilowatts-hora? ¿Por consumir 900 kilowatts-hora?

4. Una presa está construida sobre un río para tener un embalse. El nivel de agua w en el

embalse está dado por la ecuación 4.5 28w t donde t es la cantidad de años desde que la presa se construyó y w se mide en pies. a) Trace una gráfica de esta ecuación. b) ¿Qué representa la pendiente y la intersección con el eje w de esta gráfica?

5. A medida que el aire seco asciende, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es de 20°C y la temperatura a una altura de 1Km es 10°C, exprese la temperatura T (en °C) en

términos de la altura h (en kilómetros). (Suponga que la relación entre T y h es lineal). Dibuje la grafica de la ecuación lineal. ¿Qué representa la pendiente? ¿Cuál es la temperatura a una altura de 2.5Km?

6. Restante de una carretera. Al oeste de Albuquerque, Nuevo México, la carretera 40 con rumbo al este es recta y tiene una fuerte pendiente hacia la ciudad. La carretera tiene un

rasante del 6%, lo cual quiere decir que su pendiente es 6

100 . Al manejar por esta carretera

usted puede ver por los señalamientos que ha viajado 1000 pies ¿Cuál es el cambio en la distancia horizontal?

7. Advertencia mundial. Algunos científicos opinan que la temperatura superficial promedio del mundo está aumentando en forma constante. La temperatura superficial promedio se

expresa mediante 0.02 8.50T t donde T es la temperatura en °C y t es años desde 1900.

a) ¿Qué representan la pendiente y la intersección con el eje T ? b) Utilice la ecuación para predecir la temperatura superficial promedio del mundo en el 2100.

8. Presión y profundidad. En la superficie del mar, la presión del agua es la misma que la presión del aire por arriba del agua, 15lb/pulg2. Debajo de la superficie, la presión del agua aumenta 4.34lb/pulg2 por cada 10 pies que se descienden. a) Determine una ecuación para la


relación entre presión y profundidad debajo de la superficie del mar. b) Trace una grafica de esta ecuación lineal c) ¿Qué representan la pendiente y la ordenada en el origen de la grafica?

9. Distancia velocidad y tiempo. Jason y Debbie salen en automóvil de Detriot a las 2pm y manejan a una velocidad constante viajando hacia el oeste sobre la I-90. Dejan atrás Ann Arbor, a 40 millas de Detroit, a las 2:50pm. a) Exprese la distancia recorrida en términos del tiempo transcurrido b) Trace la gráfica de la ecuación del inciso (a). c) ¿Cuál es la pendiente de la recta? ¿Qué representa?

la recta

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