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Ministerio de Educación Pública Dirección de Gestión y Evaluación de la Calidad

Departamento de Evaluación Académica y Certificación

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La prueba nacional de bachillerato de Matemática 2016

El proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática en primaria y secundaria se

enmarca en el currículo nacional, el cual se plasma en el programa de estudio de la

asignatura. Este se considera el sustento fundamental y es el punto de partida para la

construcción de la prueba nacional de bachillerato.

En Costa Rica, en los últimos años, la prueba nacional de bachillerato de Matemática

solo ha tenido ítems de selección única. Las razones de ello, han sido muchas, pero

principalmente se fundamentan en la objetividad de este tipo de ítem y que por ende, es más

fácil de calificar y su costo económico es mucho menor si se compara con otros formatos de

ítems.

Sin embargo, la realidad de la educación matemática ha comenzado a cambiar en la

primaria y la secundaria costarricense, debido principalmente a la aprobación el 21 de mayo

del 2012 por parte del Consejo Superior de Educación de los nuevos programas de

Matemática tanto para primaria como para secundaria, los cuales conllevan diversos cambios

con respecto al programa anterior y buscan el fortalecimiento de capacidades cognoscitivas

superiores de los estudiantes para enfrentar los retos de una sociedad moderna. Estos

nuevos programas empezaron a ser aplicados en los ciclos lectivos 2013, 2014 y 2015

mediante transitorios curriculares y para el ciclo lectivo 2016 (en los colegios académicos), se

pondrán en marcha tal y como fueron aprobados.

Estos nuevos programas de Matemática incorporaron muchos cambios, dentro de

ellos el más destacable, es que las clases de Matemática ahora serán diferentes, pues se

deberán impartir en el marco del enfoque de la resolución de problemas. Se trata en esencia

de una estrategia metodológica para la enseñanza de la Matemática, que supone un impacto

en el planeamiento, la acción de aula y la evaluación de los aprendizajes en todos los

niveles.

En dicho enfoque se propone trabajar durante las clases de Matemática con

problemas contextualizados o puramente matemáticos, los cuales tienen ahora una

presencia fundamental y pasan a ser el motor del aprendizaje, dejan su rol secundario

tradicional de ejercicios o prácticas y se convierten en el principal insumo de la educación



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matemática. Son la chispa que enciende la curiosidad estudiantil por comprender los

conocimientos matemáticos.

Para la implantación eficaz de los nuevos programas se requiere que la prueba

nacional de bachillerato sea consistente con estos. Para lograr esa consistencia la prueba

nacional deberá cambiar, porque deben pasar de medir objetivos y contenidos a habilidades

y conocimientos.

De manera general, el cambio debe darse en la prueba en sus propósitos y diseño. En

cuanto a los propósitos de la prueba, estos deberán medir el domino (uso y aplicación) de los

objetos y métodos matemáticos aprendidos, o mejor aún, medir las capacidades cognitivas

superiores. Respecto al diseño de la prueba, se debe cambiar su estructura y tipos de ítems.

En relación con esto último, por ejemplo, la evaluación de los procesos matemáticos

conviene hacerla por medio de redacciones con secuencias integradas de los procedimientos

y para ello, lo idóneo sería utilizar ítems abiertos o de desarrollo en la prueba nacional.

Tipos de ítems de la prueba

Se propone que la prueba nacional de bachillerato de Matemática tenga ítems de

selección única (SU) y abiertos o de desarrollo. En ambos casos pueden estar precedidos de

un problema o situación del entorno.

Los ítems de selección única serán similares a los planteados hasta este momento en

la prueba nacional, solo que en el marco de la resolución de problemas. Es decir, la

redacción de los ítems de SU estará acorde con la nueva metodología y se orientará hacia la

resolución de problemas contextualizados o puramente matemáticos.

Los ítems abiertos o de desarrollo serán del siguiente tipo:

1. Respuestas cerradas (RC): respuestas numéricas y/o literales y simbólicas brindadas

por el examinado de manera directa, en las cuales las respuestas correctas están bien

definidas y son únicas.

2. Respuestas breves (RB): respuestas breves numéricas y/o literales y simbólicas

brindadas por el examinado, en las cuales hay una variedad de respuestas correctas.

Se codifican con crédito total, crédito parcial y sin crédito. Cabe destacar que estos

créditos estarán asociados a puntajes que forman parte de la prueba.



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3. Respuestas construidas (extensas) (RE): respuestas numéricas y/o literales y

simbólicas o demostraciones matemáticas brindadas por el examinado, en las cuales

se le solicita que muestre el trabajo para las soluciones matemáticas o las soluciones

de problemas. Se codifican con crédito total, crédito parcial y sin crédito, así también

estos créditos estarán asociados a puntajes que forman parte de la prueba.

Para el caso de la prueba nacional de Matemática de bachillerato para el 2016 solo

tendrá ítems de selección única y respuesta breve.

Enfoque de los ítems

El enfoque sobre el cual deben versar los ítems de la prueba es la resolución de

problemas. Esto por cuanto en los programas de estudio de Matemática se indica que

“resolución de problemas encuentra un sentido esencial para la enseñanza aprendizaje de

las Matemáticas” (MEP, 2012, p. 28) y en dichos programas tiene un papel modular. Es decir,

los estudiantes se preparan para la prueba nacional en el marco de actividades de

aprendizajes impregnadas de problemas.

La resolución de problemas ha sido concebida a través de los años como un

procedimiento inicialmente sintético, pero en el momento de sugerir alternativas de solución,

se transforma en analítico. Esta es una estrategia metodológica en la cual es necesario que

la persona realice análisis y síntesis durante los procesos de conocimiento.

En los programas de estudio de Matemática se considera la resolución de problemas

como uno de los cinco ejes disciplinarios y se indica que ella es el principal enfoque del

currículo. Además se define problema como “un planteamiento o una tarea que busca

generar la interrogación y la acción estudiantil utilizando conceptos o métodos matemáticos”

(MEP, 2012, p. 29).

Con un problema se persigue que los estudiantes piensen sobre ideas matemáticas

sin que ellas tengan que haber sido detalladamente explicadas con anterioridad y que se

enfrenten a los problemas sin que se hayan mostrado soluciones similares. Lo anterior

demanda que los conceptos o procedimientos matemáticos a enseñar estén íntimamente

asociados a un contexto.



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Sin embargo, los problemas desarrollados pueden ser del entorno o abstractos,

entendidos estos últimos como situaciones matemáticas más generales. Por ejemplo, un

problema puede diseñarse a partir de pasajes de la historia de la Matemática. Los problemas

abstractos estimulan las capacidades cognitivas superiores y ellos “son cruciales para poner

en juego distintas habilidades y procesos” (MEP, 2012, p. 30) indicados en el programa de

estudios de Matemática.

En la prueba nacional, por su naturaleza estandarizada, cuando un ítem contenga un

problema, se debe evaluar al menos uno de los cuatro pasos definidos en el programa de

estudio para la resolución de problemas, a saber:

a) Entendimiento del problema: se debe tener claridad sobre lo que trata el problema

antes de empezar a resolverlo.

b) Diseño: se debe considerar varias formas para resolver el problema y seleccionar un

método específico.

c) Control: se debe monitorear el proceso y decidir cuándo abandonar algún camino que

no resulte exitoso.

d) Revisión y comprobación: se debe revisar el proceso de resolución y evaluar la

respuesta obtenida.

Lo anterior no indica, que siempre se evalúen los cuatro pasos en un solo ítem, pues

dependiendo del interés y del nivel del ítem, se le puede solicitar al estudiante evidenciar que

realiza uno o varios pasos para resolver el problema.

Construcción y juzgamiento de los ítems

Los ítems de SU y abiertos o de desarrollo se deberán construir en total apego a la

propuesta curricular de los programas de estudio de Matemática. Además, para comprobar

su calidad técnica, estos ítems se recomienda que sean probados en aplicaciones piloto a

discentes de bachillerato.

Para el caso de los ítems de RB y RE, se debe construir una guía de codificación, en

la cual se indique una descripción del ítem, las posibles respuestas con sus respectivas

calificaciones y ejemplos de respuestas dadas por los estudiantes. Las respuestas de los

estudiantes en la guía de codificación se recomienda que se agrupen por créditos en tres



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categorías: crédito total, crédito parcial y sin crédito. Al igual que los ítems, esta guía debe

ser probada en una aplicación piloto.

El pago por construcción de los ítems de RB y RE debe ser mayor que el de los ítems

de SU y de RC, porque los primeros deben venir acompañados por una propuesta de la guía

de codificación, en la cual se indique los diferentes códigos para los tres tipos de créditos

(crédito total, crédito parcial y sin crédito). Similarmente el pago por juzgamiento de los ítems

de RB y RE debe ser mayor que el de los ítems de SU y RC, porque en los primeros se

deben validar cuidadosamente la respectiva guía de codificación, de tal forma que de ser

necesario se realicen las sugerencias pertinentes en torno a los posibles códigos.

Ejemplos de ítems para el 2016

Ejemplo # 1

Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 1 y 2:

El taller exploratorio

Un grupo de octavo de un colegio con orientación tecnológica está conformado por 10 mujeres y 16 varones. Como asignatura de taller exploratorio, tienen dos opciones para escoger: artes o educación ambiental. La selección del taller exploratorio se muestra en la siguiente tabla:

Taller exploratorio seleccionado

Estudiantes Artes Educación ambiental Total

Mujeres 5 5 10

Hombres 12 4 16

Total 17 9 26



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Área Estadística y Probabilidad

Habilidad general Emplear las propiedades básicas de la probabilidad en situaciones concretas.

Habilidad específica

Describir relaciones entre dos o más eventos de acuerdo con sus puntos muestrales, utilizando para ello las operaciones: unión “ ”, intersección “∩” y “complemento” e interpretar el significado dentro de una situación o experimento aleatorio.

Conocimientos

Probabilidades

Reglas básicas de las probabilidades:

- Probabilidad de la unión:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

1) De acuerdo con el contexto anterior El taller exploratorio, ¿cuál es aproximadamente la

probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre o haya seleccionado Artes?

A) 0,40

B) 0,46

C) 0,71

D) 0,81



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Habilidad general Emplear las propiedades básicas de la probabilidad en situaciones

concretas.

Habilidad específica Reconocer eventos mutuamente excluyentes en situaciones

aleatorias particulares.

Conocimientos Probabilidades

Reglas básicas de las probabilidades:

- Probabilidad de la unión:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

2) De acuerdo con el contexto anterior El taller exploratorio, ¿cuál es la probabilidad de que

si se elige una persona al azar y resulta ser hombre, este sea estudiante del grupo de

educación ambiental?

R/ ,



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Ejemplo # 2

Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 3 y 4:

La concentración de cloro

En una piscina municipal, el administrador tiene la duda de si la cantidad de cloro suministrada

en el agua por sus empleados, puede significar ciertos daños a la salud de las personas adultas

que frecuentan dicho lugar. Decide tomar una muestra del agua de la piscina durante los

primeros 22 días del mes de abril para saber cuánta es la concentración de cloro en miligramos

por cada litro de agua. Los datos de las muestras ya ordenados fueron los siguientes:

0,02 0,04 0,05 0,05 0,06 0,08 0,10 0,10 0,15 0,15

0,18

0,20 0,20 0,22 0,25 0,25 0,30 0,45 0,45 0,50 0,50

0,80



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Habilidad general Utilizar las medidas de posición para resumir y analizar la

información proveniente de un grupo de datos cuantitativos.

Habilidades

específicas

Resumir un grupo de datos mediante el uso de la moda, la media

aritmética, la mediana, los cuartiles, el máximo y el mínimo, e

interpretar la información que proporcionan dichas medidas.

Identificar la ubicación aproximada de las medidas de posición de

acuerdo con el tipo de asimetría de la distribución de los datos.

Utilizar la calculadora o la computadora para calcular las medidas

estadísticas correspondientes de un grupo de datos.

Conocimientos Medidas de posición

Moda

Media aritmética

Mediana

Cuartiles

Extremos - Máximo

- Mínimo

Media aritmética Ponderada

3) De acuerdo con el contexto anterior La concentración de cloro, ¿cuál de las siguientes

afirmaciones es verdadera?

A) El promedio es la medida de tendencia central que mejor caracteriza al conjunto de

datos.

B) Hay 14 datos menores que el promedio, el cual se ve afectado por valores muy altos.

C) La distribución de la concentración de cloro tiene con certeza una asimetría negativa.

D) La distribución de la concentración de cloro es aproximadamente simétrica.



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Habilidad general Utilizar las medidas de posición para resumir y analizar la

información proveniente de un grupo de datos cuantitativos.

Habilidades

específicas

Resumir un grupo de datos mediante el uso de la moda, la media

aritmética, la mediana, los cuartiles, el máximo y el mínimo, e

interpretar la información que proporcionan dichas medidas.

Utilizar la calculadora o la computadora para calcular las medidas

estadísticas correspondientes de un grupo de datos.

Conocimientos Medidas de posición

Moda

Media aritmética

Mediana

Cuartiles

Extremos - Máximo

- Mínimo

Media aritmética Ponderada

4) De acuerdo con el contexto anterior La concentración de cloro, determine el valor para

el cual el 25% de las observaciones son menores que dicho valor.

R/ ,



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Ejemplo # 3

Considere el contexto Composición de funciones para responder las preguntas 5 y 6:

Área Relaciones y Algebra

Habilidad general Aplicar el concepto de función en diversas situaciones

Habilidad específica Calcular la composición de dos funciones

Conocimientos Concepto de función y de gráfica de una función, elementos para el

análisis de una función (dominio, imagen, preimagen, ámbito),

análisis de gráficas de funciones. Función lineal, función cuadrática y

composición de funciones.

5) De acuerdo con la información del contexto anterior, (g o f) (x) corresponde a

A) (g o f) (x) = 2x2 – 1

B) (g o f) (x) = 4x2 – 1

C) (g o f) (x) = 4x2 + 4x +1

D) (g o f) (x) = 4x2 – 4x + 1

Composición de funciones

Sean f y g dos funciones tales que f(x) = 2x – 1

y g x( ) = x2



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Habilidad general Aplicar el concepto de función en diversas situaciones

Habilidad específica Calcular la composición de dos funciones

Conocimientos Concepto de función. Composición de funciones. Elementos para el

análisis de una función (imagen).

6) De acuerdo con la información del contexto Composición de funciones, ¿cuál es el

valor de (f o g) (−3) ?

R/ ,



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Ejemplo # 4

Considere el siguiente contexto Bola al aire para responder las preguntas 7 y 8:


Habilidad general Plantear y resolver problemas a partir de una situación dada

Habilidad específica Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando las

funciones estudiadas

Conocimientos Función cuadrática, elementos para el análisis de una función

(dominio, imagen, preimagen, ámbito, inyectividad, crecimiento,

decrecimiento, ceros, máximos, mínimos y análisis de gráficas de

funciones).

7) De acuerdo con la información del contexto anterior Bola al aire, ¿cuál es la altura, en metros, de la bola a los 2,5 segundos?

A) 2,88

B) 6,88

C) 13,00

D) 68,13

Bola al aire

Una bola es lanzada desde el suelo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial

de 15 m/s. La altura “h(t)”, en metros, de la bola a los “t” segundos está dada por

2h t 15t 4,9t



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Habilidad general Plantear y resolver problemas a partir de una situación dada

Habilidad específica Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando las

funciones estudiadas

Conocimientos Función cuadrática, elementos para el análisis de una función

(dominio, imagen, preimagen, ámbito, inyectividad, crecimiento,

decrecimiento, ceros, máximos, mínimos y análisis de gráficas de

funciones).

8) De acuerdo con la información del contexto anterior Bola al aire, ¿cuántos segundos,

redondeados al décimo más cercano, deben transcurrir para que la bola toque el suelo?

R/ ,



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Ejemplo # 5

Considere la siguiente información para responder las preguntas 9 y 10:

Área Geometría

Habilidad general Utilizar la geometría analítica para representar circunferencias y

transformaciones.

Habilidad específica Resolver problemas relacionados con la circunferencia y sus

representaciones.

Conocimientos Geometría Analítica

Circunferencia, Centro, Radio

9) De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el centro de la circunferencia C?

A) (3, 1)

B) (1, 4)

C) (2, 8)

D) (6, 2)

En una circunferencia C los extremos de uno de sus diámetros está dado por los puntos A(4, 5) y B (-2, 3).



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Área Geometría

Habilidad general Utilizar la geometría analítica para representar circunferencias y

transformaciones.

Habilidad específica Resolver problemas relacionados con la circunferencia y sus

representaciones.

Conocimientos Geometría Analítica

Circunferencia, Centro, Radio

10) De acuerdo con la información suministrada, ¿cuál es el radio de la circunferencia C?

R/ ,



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Ejemplo # 6

Considere el contexto Lámpara de mi casa para responder las preguntas 11 y 12:

Lámpara de mi casa

La sombra de una lámpara (cono truncado sin tapas), posee las siguientes medidas: 20 cm de altura, 30 cm de diámetro en la circunferencia inferior y 10 cm de diámetro en la circunferencia superior. Además, a la mitad de la altura se le coloca una armazón de alambre, la cual sirve como base para el bombillo y es de forma circular.



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Área Geometría

Habilidad general Visualizar y aplicar características y propiedades de figuras

geométricas tridimensionales.

Habilidades

específicas

Identificar la superficie lateral, la base, la altura, el radio y el diámetro

de la base y el vértice de un cono circular recto.

Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de un

cono circular recto y características métricas de ellas.

Conocimientos Visualización espacial

Base, Superficie lateral, Radio, Diámetro, Sección plana, Cono circular recto, Vértice.,

11) De acuerdo con el contexto Lámpara de mi casa, ¿cuál es la mediada del radio de la circunferencia de la armazón de alambre?

A) 6,67 cm

B) 7,5 cm

C) 10 cm

D) 15 cm



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Área Geometría

Habilidad general Visualizar y aplicar características y propiedades de figuras

geométricas tridimensionales.

Habilidades

específicas

Identificar la superficie lateral, la base, la altura, el radio y el diámetro

de la base y el vértice de un cono circular recto.

Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de

un cono circular recto y características métricas de ellas.

Conocimientos Visualización espacial

Base, Superficie lateral, Radio, Diámetro, Sección plana, Cono circular recto, Vértice.,

11) De acuerdo con el contexto Lámpara de mi casa, ¿cuál es la mediada de la circunferencia de la armazón de alambre?

R/ ,

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