La medida de g

Péndulo Simple

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del

punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

Si la partícula se desplaza a una posición θ0 (ángulo que hace el hilo con la

vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.

Las fuerzas que actúan sobre la

partícula de masa m son dos

• el peso mg • La tensión T del hilo

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senθ en la dirección tangencial y mg·cosθ en la dirección radial.

• Ecuación del movimiento en la dirección radial

La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia

el centro de su trayectoria circular.

La segunda ley de Newton se escribe

man=T-mg·cosθ

Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular θ

podemos determinar la tensión T del hilo.

• Principio de conservación de la energía

En la posición ?=?0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.

Comparemos dos posiciones del péndulo:

En la posición extrema ?=?0, la energía es solamente potencial.

E=mg(l-l·cos?0)

En la posición ?, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial

La energía se conserva

v2=2gl(cos?-cos?0)

La tensión de la cuerda es

T=mg(3cos?-2cos?0)

La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular ?. Su valor máximo se alcanza cuando ?=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando ?=?0 (la velocidad es nula).

• Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

La aceleración de la partícula es at=dv/dt.

La segunda ley de Newton se escribe

mat=-mg·senθ

La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración

angular α es at=α ·l. La ecuación del movimiento se escribe en

forma de ecuación diferencial

Medida de la aceleración de la gravedad

Cuando el ángulo θ es pequeño entonces, senθ ≈ θ , el péndulo describe

oscilaciones armónicas cuya ecuación es

θ =θ0·sen(ω t+ϕ )

de frecuencia angular ω2=g/l, o de periodo

La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos

cuerpos de masas M y m respectivamente cuyos centros están separados una

distancia r.

La intensidad del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un

punto P situado a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de masa M es

la fuerza sobre la unidad de masa g=F/m colocada en dicho punto.

su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste.

Ejemplo:

Marte tiene un radio de 3394 km y una masa de 0.11 masas terrestres

(5.98·1024 kg). La aceleración g de la gravedad en su superficie es

Tenemos dos procedimientos para medir esta aceleración

• Cinemática

Se mide con un cronómetro el tiempo t que tarda en caer una partícula desde

una altura h. Se supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo

celeste.

• Oscilaciones

Se emplea un instrumento mucho más manejable, un péndulo simple de

longitud l. Se mide el periodo de varias oscilaciones para minimizar el error de

la medida y se calculan el periodo P de una oscilación. Finalmente, se despeja

g de la fórmula del periodo.

De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal.

Se representan los datos "experimentales" en un sistema de ejes:

• P2/(4π2) en el eje vertical y • La longitud del péndulo l en el eje

horizontal.

La pendiente de la recta es la inversa de la

aceleración de la gravedad g.

Otros métodos

Plano inclinado

Si suponemos que el plano inclinado de ángulo ? no presenta rozamiento µ=0

Las fuerzas sobre el cuerpo son:

• El peso mg • La reacción del plano N

Como hay equilibrio en sentido perpendicular al plano inclinado

N=mgcos?

Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento a lo largo del plano

ma= mgsen?, a= gsen?,

Si el cuerpo parte del reposo en la posición A, las ecuaciones del movimiento son:

v= gsen? ·t x= gsen? ·t2/2

Conocido el ángulo ? que forma el plano inclinado con la horizontal, el desplazamiento x del móvil entre A y B y el tiempo t que emplea en desplazarse, despejamos la aceleración de la gravedad g

La máquina de Atwood

La máquina de Atwood es un clásico ejemplo de la aplicación de la segunda ley de Newton. Como vemos en la figura, consta de dos cuerpos de masas m1 y m2 unidos por una cuerda que pasa por una polea. En la versión más simplificada, se supone que la cuerda es inextensible y sin peso, y que la polea tiene masa despreciable y gira sin rozamiento en el eje.

En esta figura, se representan las fuerzas que actúan sobre cada una de las masas, y la aceleración a, suponiendo que m1>m2. Si T es la tensión de la cuerda, la segunda ley de Newton para cada uno de los dos cuerpos se escribe

m1a=m1g-T m2a=T-m2g

En este sistema dos ecuaciones, despejamos la aceleración a

Consideremos m1 > m2 y que m1 cae desde una altura h hasta el suelo

Luego

a = 2 h / t2

2 h / t2 = (m1-m2)/(m1+m2) g

(2 h/g) (m1+m2)/(m1-m2) = t2

y graficando t2 en función de (m1+m2)/(m1-m2) podemos obtener g de la pendiente

La medida de G

G es una de las tres constantes fundamentales de la Física, y por ende, de la

Naturaleza (las otras dos son c, la velocidad de la luz en el vacío, y h, la

constante de Planck). Es la constante que aparece en la Ley de la Gravitación

formulada por Newton:

Su valor es extremadamente pequeño debido a que la fuerza de atracción

gravitatoria es muy pequeña. Cuanto mayor sea la precisión con la que

conocemos su valor mayor será la precisión con la que podremos calcular la

fuerza de atracción entre dos masas, o conociendo la fuerza y una de las

masas, poder calcular con gran precisión la otra masa. Aplicando esto último a

dos masas en la que una de ellas sea la masa de nuestro querido planeta

Tierra, podremos saber la masa de ésta (curioso, pero con cualquier objeto,

por ejemplo un trozo de tiza, podemos "pesar" la Tierra).

La balanza de Cavendish:

El primer científico que midió con precisión la constante G fue Henry

Cavendish hace 200 años con un tipo de balanza que actualmente se conoce

con su nombre (balanza de Cavendish).

Fig.1 Fig.2

Esta balanza consta, en esencia (ver fig1), de una varilla horizontal, ligera, en

cuyos extremos tiene dos pequeñas esferas iguales de masa m, de una

sustancia muy densa y poco alterable como el oro o el platino. Esta varilla se

suspende por su centro con un hilo muy fino, generalmente de cuarzo. Se

colocan enfrente de las masas m, a uno y otro lado de la varilla sendas esferas

grandes de plomo de masa M. Las fuerzas de atracción entre las masas m y M

originan un par de fuerzas que tiende a girar la varilla y a acercar las masas

entre sí. Este movimiento de la varilla retuerce el hilo del que pende la varilla y,

como consecuencia, aparece un par de fuerzas elásticas que se opone al par

de atracción; el giro cesa cuando ambos pares de fuerzas tienen el mismo

módulo. Así pues, en el equilibrio tendremos:

es decir,

en donde, L = longitud de la barra, F = la fuerza de atracción entre m y M, y ϕ =

el ángulo girado; la constante elástica, K, se puede determinar fácilmente.

Sustituyendo en la igualdad anterior F por su expresión dada por la ley de la

Gravitación, tenemos:

de donde podemos despejar G:

Para mayor comodidad y precisión, el ángulo (que es muy pequeño) se mide

proyectando sobre una escala graduada un rayo de luz que se refleja sobre un

espejo unido al hilo de suspensión y que sigue su giro (ver Fig.2).

Después de Cavendish, numerosos científicos han realizado el experimento

con balanzas cada vez más grandes y precisas obteniendo el valor de G =

aceptado como correcto en 1998, dándole un

margen de error del 0.15%.

La masa de la Tierra:

Conocida la constante G y el radio de la Tierra, R, por métodos geodésicos

podemos valernos de la Ley de la Gravitación de Newton para obtener la masa

de la Tierra:

Fgrav =Peso

Si sustituimos los valores, con g = al nivel del mar en el ecuador y R

= 6380 km obtendremos una masa de la Tierra igual a 5,966 1024 kg.

Nueva medida de G:

A finales del mes de abril de 2000, un grupo de investigadores de la

Universidad del Estado de Washington ha presentado en la reunión de la

Sociedad Americana de Física, en California, un valor de G =

con un error del 0,0015%.

Para ello construyeron una versión muy modificada de la balanza de

Cavendish. El aparato mide sólo un metro de altura y está montado sobre una

plataforma giratoria que rota una vez cada 20 minutos aproximadamente entre

las masas atractoras, que son cuatro u ocho esferas de acero inoxidable

fabricadas con gran precisión y que a su vez rotan en sentido contrario y a

mucha mayor velocidad sobre otra plataforma giratoria. Lo que se pretende

con este sistema de plataformas giratorias es que el par de fuerzas originado

por la atracción gravitatoria se compensé con el par que produce el giro de la

plataforma interna de manera que el hilo no se retuerza y evitar, con ello, los

posibles errores debidos a los rozamientos internos del hilo y que son difíciles

de conocer. Lo que se mide, ahora, no es el ángulo girado sino la aceleración

angular de la plataforma interna. El valor obtenido necesita comprobarse con

nuevos experimentos antes de ser aceptado como correcto pero, de ser cierto,

la pequeña variación respecto al valor anterior supone que la masa de la

Tierra es (sustituyendo en la ecuación anterior) de 5,9649·10 kg, es decir,

1.100.000.000.000.000.000.000 kg menos que lo supuesto hasta ahora (esta

cantidad tan enorme, sin embargo, sólo representa el 0,018% de toda la masa

de la Tierra).

El valor de G tiene otras implicaciones; G, según la teoría de la Relatividad

General de Einstein, está relacionada con la curvatura del espacio, del

Universo, determinando si este es plano o curvo.

Hemos considerado que G es una constante, suponiendo que tiene el

mismo valor en cualquier parte del Universo y, a lo largo del tiempo, desde sus

primeros instantes pero, ¿es así?. Los científicos no lo saben con certeza,

aunque todo apunta a que la respuesta es afirmativa.

¿Qué quiere decir que el universo es plano?

Como ya se ha dicho el concepto plano no significa lo mismo en física que en

la vida cotidiana, pero nuestro conocimiento del mundo que nos rodea puede

ayudarnos a intentar comprender lo que quieren decir los físicos. Todos

estamos de acuerdo en que una hoja de papel extendida sobre una mesa

constituye una superficie plana. Mientras que, si cogemos esa hoja y la

deformamos ligeramente da lugar a una superficie curva. La diferencia entre

plano y curvo es fácil de entender para un observador en tres dimensiones

(nosotros) cuando se refiere a una superficie de dos dimensiones (la hoja de

papel). Pero, esta diferencia, ¿estaría igual de clara para un observador que

viviera en ese mundo de dos dimensiones? La respuesta es no. La curvatura

de la superficie de dos dimensiones implica deformación en una dimensión

extra (la tercera dimensión).

Nosotros vivimos en un mundo en tres dimensiones y nuestra observación está

determinada por esas tres dimensiones. Decidir si nuestro mundo es plano o

es curvo, de la misma manera en que lo hemos hecho para la hoja de papel,

implicaría determinar si existe una deformación en una cuarta dimensión. Y,

para ello, necesitaríamos recurrir a un observador que viviera en un mundo de

cuatro dimensiones.

¿Cómo podemos resolver entonces el problema? No es tan difícil, en nuestro

auxilio acude algo tan antiguo como la geometría de Euclides (Grecia, hacia el

300 a de C.). Uno de los postulados de la geometría de Euclides establece

que, en un plano, dos rectas paralelas no llegan nunca a cortarse. Esto se

cumplirá si la superficie es plana, pero no si es curva. Los habitantes de un

mundo de dos dimensiones sólo tendrían que trazar rectas paralelas para

determinar si ese mundo es plano o curvo.

Veamos un ejemplo. ¿Qué ocurre con la superficie de la Tierra? Si nos fijamos

exclusivamente en su superficie lo podemos considerar un mundo en dos

dimensiones y podríamos andar y andar sobre su superficie sin llegar a

determinar si es curva o plana. Se podría poner la pega de que los barcos en

la lejanía parecen desaparecer, pero estaríamos haciendo trampas y

recurriendo a la tercera dimensión para resolver el problema. Sólo nos queda

recurrir a la geometría de Euclides. Si trazamos dos paralelas sobre la

superficie terrestre, tarde o temprano acabarán por cortarse en un punto. Es,

por ejemplo, el caso de los meridianos. Son líneas paralelas que por efecto de

la curvatura de la Tierra se cortan en los polos.

Volviendo al problema de la curvatura de nuestro Universo de tres

dimensiones, puesto que no podemos escaparnos a una cuarta dimensión

para observarlo desde fuera, sólo nos queda hacer experimentos para ver si

cumple los postulados de la geometría euclídea. Podemos trazar paralelas y

ver si llegan a cortarse, pero dado nuestro pequeño tamaño comparado con el

del universo esto resulta muy complicado. Podemos enviar rayos de luz

paralelos y observar si llegan a cortarse, pero esto también es complicado

porque los rayos se desvían por los efectos gravitatorios de planetas estrellas,

etc, lo que obligaría a descontar esos efectos locales. Sólo nos queda idear

experimentos cada vez más ingeniosos que nos ayuden a determinar cuáles

son las propiedades del Universo. Uno de ellos es el que han realizado los

científicos del Proyecto Boomerang.

El descubrimiento de la Ley de la

Gravitación Universal

Un momento culminante en la historia de la Física fue el descubrimiento

realizado por Isaac Newton de la Ley de la Gravitación Universal: todos los

objetos se atraen unos a otros con una fuerza directamente proporcional al

producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

que separa sus centros. Al someter a una sola ley matemática los fenómenos

físicos más importantes del universo observable, Newton demostró que la física

terrestre y la física celeste son una misma cosa. El concepto de gravitación

lograba de un solo golpe:

• Revelar el significado físico de las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.

• Resolver el intrincado problema del origen de las mareas • Dar cuenta de la curiosa e inexplicable observación de Galileo Galilei de que el

movimiento de un objeto en caída libre es independiente de su peso.

La naturaleza cuadrático inversa de la fuerza centrípeta para el caso de órbitas

circulares, puede deducirse fácilmente de la tercera ley de Kepler sobre el

movimiento planetario y de la dinámica del movimiento circular uniforme:

1. Según la tercera ley de Kepler el cuadrado del periodo P es proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse, que en el caso de la circunferencia es su propio radio r, P2=kr3.

2. La dinámica del movimiento circular uniforme, nos dice que en una trayectoria circular, la fuerza que hay que aplicar al cuerpo es igual al producto de su masa por la aceleración normal, F=mv2/r.

3. El tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta completa es el cociente entre la longitud de la circunferencia y la velocidad, P=2π r/v.

Combinando estas expresiones, obtenemos

Vemos que la fuerza F que actúa sobre el

planeta en movimiento circular uniforme es

inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia r desde el centro de fuerzas al centro

del planeta.

Newton comparó la aceleración centrípeta de la Luna con la aceleración de la

gravedad g=9.8 m/s2. La aceleración centrípeta de la Luna es ac=v2/r=4π 2r/P2,

con r=3.84·108 m y P=28 días=2.36·106 s, se obtiene ac=2.72·10-3 m/s2. Por

consiguiente,

Como el radio de la Tierra es 6.37·106 m, y el radio de la órbita de la Luna es

3.84·108 m, tenemos que

Por tanto,

Las aceleraciones de ambos cuerpos están en razón inversa del cuadrado de

las distancias medidas desde el centro de la Tierra.

LAS LEYES DE KEPLER SOBRE LAS ÓRBITAS PLANETARIAS

Usando la teoría de la gravedad de Newton se puede estudiar el movimiento de los planetas en órbitas en torno al Sol:

1) Los planetas se mueven en órbitas de forma elíptica, con el Sol en uno de los focos de la elipse

2) El radio de la órbita barre áreas iguales en tiempos iguales

3) El período (o tiempo en completar una vuelta) de un planeta depende de la distancia al Sol

Movimiento de los planetas

Cuando el momento angular L de un cuerpo que gira atraído por una fuerza

gravitatoria no es nulo, la trayectoria es una cónica.

Para obtener ecuación de la trayectoria r=r(θ) se expresa el momento angular y la energía en coordenadas polares y se integra la ecuación diferencial resultante.

El parámetro ε, denominado

excentricidad, define el tipo de trayectoria

Clase de cónica Descripción geométrica Descripción física

Elipse ε<1 E<0

Parábola ε=1 E=0

Hipérbola ε>1 E>0

Así, una elipse se define en geometría como el tipo de cónica cuya

excentricidad es menor que la unidad. Para que una partícula sometida a una

fuerza central, atractiva, inversamente proporcional al cuadrado de las

distancias al centro de fuerzas, describa dicha trayectoria tiene que tener una

energía total negativa (E<0).

Volviendo a la geometría de la elipse en la primera ley de Kepler, la posición

más cercana al foco r1 se obtiene cuando θ=0 y la posición más alejada r2 se

obtiene cuando θ=π. Es decir,

Los semiejes a y b de la elipse valen

El semieje mayor de la elipse a es independiente del momento angular L, y solamente depende de la energía total E. El semieje menor b depende del momento angular L y de la energía E

Periodo

Se denomina periodo, al tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa.

En la figura vemos que el radio vector que une el Sol con el planeta barre en el

intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt el área de color rojo de forma

triangular.

El ángulo del vértice de dicho triángulo es dθ y la base del triángulo es un arco de longitud rdθ. El área del triángulo es (base por altura dividido por dos)

Integrando la ecuación del momento angular expresado en coordenadas

polares

La primera integral es el área total de la elipse πab, que es igual a la suma de

las áreas de todos triángulos infinitesimales. La integral del segundo miembro

es el periodo P del planeta, por tanto

Poniendo el semieje b en función del semieje a, llegamos a la fórmula que

relaciona el periodo de la órbita de un planeta P y el semieje mayor de la elipse

a, denominada tercera ley de Kepler.