la lÍnea recta -...

CAPÍTULO III: PORCENTAJES

ANGEL PÉREZ SÁNCHEZ SEDE SAN ANTONIO 1

PORCENTAJES

SDISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANOTANCIA ENTRE DCONCEPTO DE PORCENTAJE

Desde tiempos inmemoriales el hombre ha tratado de cuantificar y de llevarmodelos a escala para un mayor control racional de los fenómenos. Es porello que nace indefectiblemente el tratar de realizar una proporción directaentre las cosas y pretender darles un número referencial de importancia. Deahí nace el porcentaje, que se manifiesta tanto en los ejercicios financieroscomo en las estadísticas de mayor complejidad y en el dominio de las cienciasclásicas y las aplicaciones a las ciencias humanas e incluso a las artes,demografía poblacional, etc.

Hay que ser justos y también mencionar que bajo ciertos parámetros dealgunas ciencias aplicadas (como las descripciones demográficas delcrecimiento o decrecimiento vegetativo) existe el 1.000 como referencia y el“tanto por mil”, que aritméticamente no difiere mucho del cálculo deporcentajes más allá de la potencia en base diez que se ocupa, ya dicho, encontadas ocasiones. Por tanto, es el porcentaje la escala predominante en esteaspecto...y en muchos más.

Porcentaje significa “de cada cien”. Esto quiere decir que lo que busca elporcentaje principalmente tiene que ver con una proporción donde siemprela referencia proporcional directa se hace en base al número cien.

El signo “ % ” acompaña al número porcentual y le da el apelativo alnúmero precedente a él de “ por ciento ” , por lo tanto si hablamos de:

– Veinticinco por ciento, escribimos 25 %– Cuarenta y dos coma veinticinco por ciento escribimos 42,25 %– El cincuenta por ciento de X escribimos 50 % de X



Los tres ejemplos anteriores hacen referencia al número cien respectivamentede la siguiente forma:

– 25 % quiere decir “ veinticinco de cada cien ” .– 24,25 % quiere decir “ cuarenta y dos coma veinticinco de cada cien ” .– 50 % de X quiere decir “ cincuenta de cada cien partes constituyentes de

X ” .

Ejercicios Propuestos:

1. Setenta de cada cien personas que pertenecen a la comuna de Iquiqueson mayores de quince años. Exprese en forma numérico-porcentualesta afirmación.

Solución

Setenta de cada cien significa 70 %, por lo que podemos afirmar que el70 % de la población de Iquique es mayor de 15 años.

2. El Índice de Precios al Consumidor IPC del mes de Mayo de 2011 fuedel 1,72 %. Si sabemos que el IPC tiene que ver con el alza de losprecios en el mes respectivo ¿ Qué podemos afirmar acerca delporcentaje aquí descrito ?

Solución

1,72 % quiere decir 1,72 de cada cien ¿ de cada cien que ? Como lareferencia se hace en torno a los precios de un mes habrá querelacionarlo con las unidades monetarias correspondientes. Como noestá explícitamente descrito en el ejercicio nunca se debe presuponer,por ejemplo, que la unidad monetaria descrita es el peso. Por lo tantoel enunciado del problema quiere decir que 1,72 de cada cien



unidades monetarias ha sido el alza de los precios en el mes de mayode 2011.

3. Se describe en la siguiente tabla el porcentaje de alumnos queobtuvieron notas entre intervalos:

Notas %1 – 2 172 – 3 103 – 4 224 – 5 345 – 6 12

6 – 7 5

Describa conceptualmente a que se refiere esta tabla, tomando en cuentaque el primer intervalo incluye ambos extremos y del segundo haciaadelante incluye sólo los extremos superiores.

Solución

Diecisiete de cada cien alumnos del curso tuvieron nota entre uno y dosincluyendo el uno y el dos; diez de cada cien alumnos tuvieron nota entredos y tres incluyendo el tres; veintidós de cada cien alumnos del cursoobtuvieron nota entre tres y cuatro, incluyendo el cuatro; treinta y cuatrode cada cien alumnos obtuvieron nota entre cuatro y cinco incluyendo elcinco; doce de cada cien alumnos obtuvo nota entre cinco y seisincluyendo el seis ; cinco de cada cien alumnos obtuvo nota entre seis ysiete incluyendo el siete.

Aprovecharemos los tres ejercicios precedentes para afinar algunasimprecisiones que intencionalmente pusiéronse allí para una mejorcomprensión del concepto de porcentaje. Con toda propiedad el lectorpodrá preguntarse qué sucede con la representación porcentual de las



La representación del todo o la suma de todas las partes determinael número porcentual 100 %

El porcentaje de un valor cualquiera refiérese que de cada cien unidadeso del ciento por ciento del total se toma una cantidad determinada porel valor porcentual y constituye un valor nominal dependiente de unaproporción directa donde cien es el referente principal de la escala

personas que viven en Iquique y que están en el rango de los cero y losquince años inclusive; o en la pregunta 2 ) qué sucede si en la cantidaddevenida para el cálculo del IPC es una unidad monetaria (digamos pesos)distinta a cien o a un múltiplo de cien; o en el ejercicio 3 ) el por qué sedice reiteradamente “ de cada cien alumnos ”, siendo que no existeprecisión en la cantidad de alumnos que hay realmente en el curso.Entonces ¿ Qué estará mal ? ¿ La forma de decir o en cuál “ de cada cien ”nos estamos refiriendo ? Ni lo uno ni lo otro. Necesitamos afinar nuestradefinición y para ello debemos relacionar la totalidad de las partes de unentero y el porcentaje que representa ese todo.

Por tanto, la respuesta a nuestra nueva interrogante en 1) es fácil determinarla:70 % representa los habitantes de Iquique que tienen más de 15 años es 100 –70 = 30 % la cantidad porcentual que determina la cantidad de habitantes quetienen 15 ó menos de 15 años. En la pregunta 2) podemos decir que 1,72representa que de cada cien unidades monetarias o del cien por ciento deltotal 1,72 es la alza que, según el IPC se incrementó el costo de la vida; y enel caso de 3) la respuesta es que diecisiete de cada cien alumnos o de el ciendel total de alumnos no necesariamente cien ( 100 % ) tiene nota entre uno ydos incluyendo el uno y el dos y así sucesivamente

Para ser concluyentes:



Ejercicios Propuestos

1.- Refiérase conceptualmente a los siguientes porcentajes:a ) 25 % b ) 32 % c ) 18,5 % d ) 27 % de A

2.- Un compuesto de sal ( NaCl ) Tiene un 75 % de Cloro ( Cl ) y el resto deSodio ( Na ) ¿ qué representan conceptualmente estas cifras porcentualesrespecto del total del compuesto ? . ¿ Cuál es la cifra porcentual del Cloro ?

3.- De cada cien personas existen doce con algún trastorno de la piel . ¿ Quéquiere decir esto, si por ejemplo, hay en un pueblo de 125 personas unaconfirmación absoluta de la regla ?

Respuestas

1.- a ) Veinticinco de cada cienb ) Treinta y dos de cada cienc ) Dieciocho coma cinco de cada ciend ) 27 de cada cien parte constitutivas de A

2.- Quiere decir quede cada cien partes del compuesto de sal o del cienproporcional al total de sal existen 75 partes que corresponden a Sodio y elresto a Cloro; ese resto constituye 25 de cada cien partes de sal o del cienproporcional al total de sal.

3.- Eso quiere decir que en el pueblo hay por lo menos doce personas conproblemas a la piel más el proporcional a cien del resto constitutivo de laparte del próximo centenar.



X A %B 100 %

X = 100

BA

CÁLCULO DE PORCENTAJES

La pregunta genérica que se hace para poder plantear el cálculo de unporcentaje es:

¿ Cuál es el A % de B ?

La solución, como lo hemos planteado en forma tangencial en la unidadanterior radica en construir una proporción directa para calcular unnumero, digamos X, que es a A, como B es a cien:

Y cuya solución es

El estudiante debería, en cualquier problema asociado al cálculo deporcentajes tratar de platearse siempre el problema como una proporcióndirecta. En las unidades siguientes verá que esta idea quedará mayormentevalidada.

Ejercicios Resueltos

1.- Calcule el 15 % de 230

Solución230 es el 100 % del 15 % que se debe calcular ( X ):

X 15 %230 100 %



donde

X =100

23015 = 34,5

El 15% de 230 es 34,5

2.- Calcule el 15 % del 12 % de 480

Solución

Primero calculamos el 12 % de 480 y luego el 15 % del resultado anterior

X 12 %480 100 %

X =100

48012 = 57,6

Calculamos ahora el 15 % a 57,6:

X 15 %57,6 100 %

de donde

X =100

6,5715 = 8,64

El 15 % del 12 % de 480 es 8,64



3.- Se reparte una herencia entre tres hermanos, Helena, Carlos y Patricio, demodo que Carlos recibirá el doble de la herencia que Helena y el resto lorecibirá Patricio. Si Helena hereda el 18 % y el total del monto que sereparte entre los tres asciende a la suma de $ 25.000.000 . ¿ Quéporcentaje de la herencia le corresponde a Patricio ? . ¿ Cuánto recibencada uno de ellos ?

Solución

Si Helena recibe el 18 % de la herencia, Carlos recibe el doble de Helena, osea el 36 % .En conjunto suman 18 % + 36 % = 54 % de la herencia.

Entonces Patricio recibirá el 100 % – 54 % = 46 % de la herencia

El Monto de la herencia que recibe Helena es:

X 18 %$25.000.000 100 %

X =100

000.000.2518 = 4.500.000

Helena recibe $4.500.000 de herencia

El Monto de la herencia que recibe Carlos es:

Y 36 %$25.000.000 100 %

Y =100

000.000.2536 = 9.000.000

Carlos recibe $9.000.000 de herencia



El Monto de la herencia que recibe Patricio es:

X 46 %$25.000.000 100 %

X =100

000.000.2546 = 11.500.000

Patricio recibe $11.500.000 de herencia

Nótese que:

Helena recibe 4.500.000 pesosCarlos recibe 9.000.000 de pesosPatricio recibe 11.500.000 pesosQue suman 25.000.000 de pesos

Vale decir, el 100 % de la herencia repartida.

Existen algunas otras técnicas para el cálculo de porcentajes que derivan deconocer ciertos conceptos de aritmética clásica, principalmente acerca de laprioridad de las operatorias básicas:

1 ) Alternativa del cálculo de porcentajes como producto de unarepresentación porcentual como decimal: supongamos que tenemos lafórmula genérica o canónica para el cálculo de porcentajes:

X = 100

BA

Recordemos que cuando existe una operatoria simultánea donde solointervienen productos y cuocientes podemos priorizar de forma arbitraria laoperatoria ( multiplicar o dividir primero ). Si, al contrario de lo que



venimos haciendo, priorizamos primero la división entonces podríamos tenerdos formas de solucionar el cálculo de porcentaje:

X = B100

A ó X = 100

BA

Eligiendo la primera alternativa podemos darnos cuenta que el cálculo deporcentajes se puede solucionar dividiendo nuestro A % por cien ymultiplicarlo por la cifra a sacar el porcentaje


1.- Calcule el 12,5 % de 24

Solución

En este caso, A = 12,5

El valor decimal de este porcentaje de 12,5/100 = 0,125

Entonces X = 0,125 ∙ 24 = 3

El 12,5 % de 24 es 3

Que es lo mismo que hacer la proporción y multiplicar:

X =100

245,12 = 3

Donde la primera forma de resolverlo (transformando a decimal el porcentaje)es más directo y sencillo.



Para calcular el A % de B puede representarse el A % como100

A, realizar la

división y luego multiplicar por B

Formalicemos la nueva forma de cálculo:

2.- Calcule el 13 % de 26

Solución

Siguiendo la misma lógica que en el ejercicio anterior:

X = 0,13 ∙ 26 = 3,38

El 13 % de 26 es 3,38

3.- Calcule el 10 % del 5 % de 500

Solución

Podríamos calcular el 5 % de 500 y luego el 10 % del resultado anterior. Sinembargo con nuestro nuevo método se necesita sólo multiplicar losporcentajes llevados a decimal en forma directa:

X = 0,1 ∙ 0,05 ∙ 500 = 2,5

El 10 % del 5 % de 500 es 2,5

2) Alternativa a la resolución clásica de porcentajes utilizando el valorporcentual dado como una fracción: para nadie es secreto que el 50% de una cantidad corresponde a la mitad de ella. Pero ¿ Cuál es el



argumento matemático para refrendar tal afirmación ? La respuestanuevamente la encontramos en la fórmula genérica para calcularporcentajes:

X =100

BA

Nuevamente vamos a priorizar la división antes que la multiplicación:

X = B100

A

Pero a diferencia de lo que hicimos en los ejercicios anteriores nodividiremos el valor porcentual A por 100, sino mas bien conservaremos

la fracción100

Ay la transformaremos en fracción irreductible, es decir, la

simplificaremos hasta que ya no pueda ser más simplificable.


1.- ¿ Cuánto es el valor nominal del 50 % de un número cualquiera ?

Solución

50 % se puede escribir como100

50. El 50 % de un número cualquiera es:

X = B100

50 = B

2

1 =

2

B, es decir, la mitad de B , de donde

100

50= 2

1



Entonces, cada vez que se necesite calcular el 50 % de un número basta sóloque se divida el número por 2

Así existen varios casos en los cuales podemos utilizar este tipo deporcentajes, llamados notables por algunos matemáticos.Formalicemos nuestra segunda alternativa de resolución de porcentajes:

Para calcular el A % de B puede representarse el A % como100

A,

transformar esta fracción en irreductible y luego multiplicar por B

2.- Calcule el 25 % de 4.800

Solución

X = 800.4100

25 = 800.4

4

1 =

4

800.4= 1.200

El 25 % de 4.800 es 1.200

En general el 25 % de todo número significa dividir ese número por 4

3.- ¿ Qué valor fraccionario satisface el 333

1% de cualquier número ?

Solución

Primero que todo transformemos a fracción impropia esta cifra, ya quecorresponde a una fracción mixta:



333

1=

3

1333 =

3

100%

Llevándola ala fórmula genérica o canónica:

X = B1003

100

=

(*)

B100

1

3

100 =

3

B

(*) Se opera con propiedades de la división de fracciones y se simplificanlos 100

El 333

1% de un número es un porcentaje notable que representa

3

1de

un número, es decir, se calcula solamente dividiendo el número por tres.

3.- ¿ Cuál es el 50 % del 663

2% de 84 ?

Solución

En este ejercicio podemos utilizar propiedades de la división y de lamultiplicación de fracciones, además de transformar fracciones mixtas aimpropias para luego multiplicar directamente y calcular el valor requerido:

Como hemos visto antes 50 % =2

1

663

2% =

1003

2663

=100

1

3

200 =

3

2de un número cualquiera



Calculando directamente el valor del porcentaje:

843

2

2

12884

3

1

El 50 % del 663

2% de 84 es 28


1.- Calcule usando los dos métodos alternativos:a ) El 15 % de 360b ) el 20 % de 3855c ) El 10 % de cualquier número

2.- En una multitienda se concede la oferta de un artículo que vale $10.000 dela siguiente forma:

– La multitienda abrirá las 24 horas del día. Si usted llega dentro del primer25 % del día desde que se abrió la tienda tendrá un descuento del 12,5 %

– Si usted llega entre el 25 % y el 75 % del día desde la apertura de latienda tendrá un descuento del 5 %

– Si usted llega dentro del último 25 % de la jornada tendrá un 10 % dedescuento.

Si la tienda abrió a las 9 de la mañana, indique:a ) Las horas límite de cada ofertab ) La fracción que determina el porcentaje de descuentoc ) El valor del artículo aplicando el descuento por tramo.

3.- Usted es un esforzado alumno de La Araucana Educación Superior. Si sabeque el arancel anual de su carrera es de $ 940.000 y por ser afiliado a la



A X %B 100 %

Caja de Compensación tiene un 5 % de descuento y además por pagar alcontado se le aplica sobre el descuento aplicado un 15 % más de descuento,calcule el valor del arancel con los descuentos aplicados.

Respuestas

1.- a ) 54 b ) 771 c ) el número dividido por 10.2.- a ) 3 de la tarde, 3 de la mañana, 9 de la mañana

b )8

1,

20

1,

10

1; c ) $ 8.750 , $ 9.500 , $ 9.000

3.- $ 759.050

EL TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD

Si se tiene un número que es una parte constitutiva de otro número, puede serinteresante o indispensable saber qué tanto por ciento representa el primernúmero del segundo. Entonces, saliendo del paradigma de la pregunta yfórmula genérica de la unidad anterior podríamos cambiar la preguntagenérica:

¿ Qué porcentaje es A de B ? ó ¿ A qué porcentaje es de B ?

Como nuestro paradigma ha cambiado, también la forma de construir ahoranuestra fórmula genérica y, por ende, nuestra proporción directa.



X =B

100A

Y cuya solución es

Nótese que lo que se busca ahora es un número porcentual.


1.- ¿Qué porcentaje es 5 de 25?

Solución

25 es a 100 como 5 es a nuestra incógnita X:

5 X %25 100 %

X =25

1005 = 20 %

5 es el 20 % de 25

2.- Una industria contaminante expele residuos de monóxido de carbonoequivalentes a 140 partículas por metro cúbico en el aire, conjuntamentecon 350 partículas por metro cúbico de plomo y 50 partículas por metrocúbico de hidrógeno vaporizado. ¿ Qué porcentaje de partículas de cadaresiduo expele la industria ?



Solución

La industria expele 140 + 350 + 50 = 540 partículas por metro cúbico

Tanto por ciento de partículas de CO (Monóxido de Carbono):140 X %540 100 %

X =540

100140 = 25,925925… %

Tanto por ciento de partículas de Pb (Plomo):350 X %540 100 %

X =540

100350 = 64,814814… %

Tanto por ciento de partículas de H (Hidrógeno):50 X %540 100 %

X =540

10050 = 20,8333333…%

La industria expele un 25,92 % de CO, un 64,81 % de PB y un 20,83 % de H

Nótese que la suma de los porcentajes de emisiones de partículas es el 100 %,como debe ser siempre cuando sumamos los porcentajes de todas las partes deun todo.

3.- El Real Madrid de Pellegrini concretó, en números, la mejor campaña quese ha hecho en la historia de ese club. De 38 partidos jugados ganó 30 ,empató 6 y perdió 2 ¿Cuál fue el tanto por ciento de efectividad delchileno como técnico? ( Cada partido ganado tiene 3 puntos, empatado,



1 punto y perdido, 0 puntos )

Solución

Si Pellegrini hubiese ganado todos los partidos habría alcanzado38 ∙ 3 = 114 puntos

Entre todos los partidos jugados el Real Madrid de Pellegrini sumó30 ∙ 3 + 6 ∙ 1 + 2 ∙ 0 = 96 puntos

Su porcentaje de efectividad se reduce, entonces, a encontrar qué porcentajees 96 de 114:

96 X %114 100 %

X =114

10096 = 84,2105263 2 %

El tanto por ciento de efectividad del Real Madrid de Pellegrini fue de un84,21052632 %


1.- El Producto Interno Bruto ( PIB ) es, a grandes rasgos, lo que un país tienecomo ganancia en un año. Si el año 2009 Chile tuvo un PIB deUS$163.699 millones y luego del terremoto del 27 / 02 / 2010 se anunciaque se gastará en la reconstrucción US$ 30.000 millones ¿ Qué tanto porciento del PIB representa el gasto de la reconstrucción ?

2.- Un niño recibe una mesada de $ 2.000 .Gasta un 25 por ciento de esacantidad en dulces y gasta 1.000 pesos en artículos de aseo ¿ Qué tanto porciento le quedó después de ambos gastos ?



3.- El Peso de una persona en la tierra equivale al valor neto de su masa poruna constante universal llamada aceleración de gravedad que es g=9,8metros por cada segundo al cuadrado. Si una persona pesa 98 kilos ¿A quétanto por ciento ve reducido su peso si es un astronauta que sale de laatmósfera con una aceleración de gravedad igual a 1 metro por segundo alcuadrado ?

Respuestas

1 ) 18,32631843 % 2 ) 25 % 3 ) 10,20408163 %

CÁLCULO DE UNA CANTIDAD RELACIONADA CON UNPORCENTAJE

Siguiendo la lógica del cambio de paradigma podemos abrir paso a una nuevainterrogante acerca del tema. Si tengo un número que es representativo de unporcentaje cualquiera ¿Cuál será el número que represente el 100 % del total?La pregunta que debemos hacernos entonces es:

¿ A es el B % de qué cantidad ?

La construcción de la proporción directa entonces será:

A B %X 100 %



X = B

100A

Y cuya solución es

Nuestro nuevo B es un valor porcentual y nuestro X evidencia un valor noporcentual .


1.- Calcule qué número representa el total si 5 es el 12 % de ese total

Solución

5 es al 12 % como nuestra incógnita ( X ) es el 100 %:

5 12 %X 100 %

X =12

1005 = 41,666…

5 es el 12 % de 41,666

2.- El porcentaje de mujeres en el total de la población de Chile ( INE 2010 )ascendió al 50,5 % de la población total. Si el número de hombre asciendea la cantidad de 8.461.666 . Calcule la cantidad de mujeres que existe en elpaís en 2010 .

Solución



Si el tanto por ciento de mujeres en Chile es del 50,5 ; entonces el tanto porciento de hombres es de 100 – 50,5 = 49,5

8.461.666 49,5 %X 100 %

X =5,49

1008.461.666 = 17.094.275 habitantes totales ( hombres mas

mujeres )

Entonces, si queremos saber qué cantidad representan las mujeres en su 50,5del total sólo basta restar 17.094.275 – 8.461.666 = 8.632.609 mujeres

La población de mujeres en Chile en el año 2010 es de 8.632.609 habitantes.

Tenga en cuenta que se realizó una aproximación decimal a enteros, puestoque las poblaciones son valores discretos ( sólo pueden ser enteros ) .

3.- Se estima que la empresa minera CODELCO es la empresa de cobre másgrande del mundo. El año 2008 la empresa estimaba que iba a tenerganancias bruto por una cantidad de miles de millones de dólares. Graciasa los precios elevados del metal se obtuvo un excedente mas la gananciaestimada de US$ 24.000 millones, que se constituyó con un 13 % deexcedente ( en tanto por ciento ). Calcule el valor que se estimaba que ibaa ganar y el monto del excedente.

Solución

Los 24 mil millones de dólares son la suma del total estimado más elexcedente, por lo tanto 24.000 es a 113 como nuestra incógnita es a 100:

24.000 113 %X 100 %



X =113

10024.000 = 21.239

El precio estimado para el año 2008 fue de US$ 21.240 millones

El excedente es la resta de 24.000 – 21239 = US$ 2.761 millones


1.- Juan Arrendó un equipo de sonido a Gustavo y pactó que debería pagar elprecio del arriendo en una cuota a final de mes, y si existía mora porparte de él, tendría que pagar un recargo del 17 % por sobre el dineropactado. Si terminó pagando $ 123.000 porque su pago fue moroso¿ Cuánto debería haber pagado si su pago se hubiera efectuado al día ?

2.- Un tenista de renombre mundial tiene una rebelde lesión producto deuna sobrecarga de masa muscular. La nutricionista que lo atiende dice quedebe bajar su índice de masa corporal ( IMC ) en un 35 % del actual paraestar en plenas condiciones y no volver a sufrir lesiones por eseconcepto. Si su IMC actual es de 26 , calcule cuál es el IMC ideal para queel tenista no recaiga en lesiones por sobrecarga muscular.

3.- Un grupo de mineros queda atrapado en una mina durante dos meses. Alos 25 días de sondeo para ubicarlos, los rescatistas hacen contacto conellos y les preguntan como primera medida cuántos se encuentran en

shock. Un minero, amante de los números y las cifras señala que el 333

1%

de ellos tienen ese tipo de problemas y que en cantidad son once ¿ A quénúmero total de mineros ascienden los atrapados ?



Respuestas

1 ) $ 105.128 2 ) IMC=19,259 3 ) 33 mineros

APLICACIONES

i ) Cálculo de Impuesto al Valor Agregado ( IVA ): en nuestro paísasciende al 19 % y es el tributo más importante que tiene tanto para elestado como por los alcances de contribuyentes (todos los chilenos quecompran por cualquier medio de pago). Necesaria contribución para eldesarrollo de las políticas públicas de un país el IVA alcanza en paísesdesarrollados hasta el 23% de la ganancia bruta de las pequeñas y lasmedianas empresas.


1.- El dueño de un negocio familiar necesita descontar el IVA de sunegocio para que le quede una ganancia neta de $400.000. Calcule laganancia bruta para realizar dicho descuento

Solución

El tanto por ciento descontando el IVA debe ser de $400.000, entonces estevalor es a el 100 – 19 = 81 como nuestra incógnita ( X ) es a 100

400.000 89 %X 100 %

X =81

100400.000= $ 493.827,1605



El valor de la ganancia bruta para descontar el IVA es de $ 493.827,1605

Puede corroborar el resultado calculando el valor del IVA ( calcular el 19% )y descontarlo del valor anteriormente calculado.

2.- Un artículo importado tiene un valor neto sin IVA incluido de $ 278.000 .Calcule el valor de IVA a pagar y el valor total que debe ser cancelado porel producto.

Solución

Calculando el valor total 278.000 es al 100 como nuestra incógnita es a 119

278.000 100 %X 119 %

X =100

119278.000 = $ 338.820

El valor Total para vender el producto es de $ 338.820

El valor del IVA es $ 338.820 - $ 278000 = $ 52.820

ii ) Resolución de Problemas Comerciales de Descuentos y Recargos: Unaaplicación comúnmente utilizada en el que los porcentajes se vendirectamente involucrados son en las transacciones comerciales y enparticular en los descuentos de distinta naturaleza ( por pronto pago,por ofertas etc.) y en los recargos ( intereses por mora, comisiones,reajustes, etc.)




1.- Un pantalón tiene un descuento de un 5 % de interés por la primeracompra de un cliente. ¿ Cuál es el valor original de la prenda si con eldescuento aplicado quedó en $ 19.000 ?

19.000 95 %X 100 %

X =95

10019.000 = $ 20.000

El valor original del pantalón es de $ 20.000

2.- Un fanático de las revistas de anime importa de Japón una revista decolección que le cuesta en ese país 1.250 dólares. Si la compra víaInternet es esa cantidad, pero al ir a buscarla le cobran 1.500 dólarespor traslado en avión ¿ Cuánto fue el tanto por ciento de recargo poreste concepto ?

1.250 100 %1.500 X %

X =250.1

1001.500 = 120 %

Respuesta: El tanto por ciento por traslado que se pagó fue del 20%



iii ) Intereses Calculados Usando Porcentajes: Tiene relación con el puntoanterior. Muchos de estos problemas están relacionados con montos yanualidades de distintos tipos, con intereses simples y compuestos,amortizaciones etc., siempre desde el punto de vista de los interesesdevenidos en estas operaciones financieras. Importante mencionar esque en gran número de estas resoluciones, las tasas de interés estándadas porcentualmente como un decimal ( primera unidad ), por loque en frecuentes ocasiones habrá que multiplicar el número asociadoa la tasa por cien si se quiere calcular dicha tasa o dividirla por ciensi es que se desea ocurra la tasa para montos y/o intereses


1.- Calcule el monto y el interés simple de un capital de $ 1.000.000puesto en un banco a una tasa de interés simple del 17,5 % durante unperíodo.

Solución

El interés simple se calcula como I = C ∙ i ∙ n donde C es el capital inicial,i es la tasa de interés simple ( dividida en 100 ) y n el número de períodosen que el capital obtiene dicho interés. El monto M a interés simple es

M = C + I

I = 1.000.000 ∙ 0,175 ∙ 1 = $ 175.000

El interés es de $ 175.000El monto simple es de 1.000.000 + 175.000 = $ 1.175.000



2.- Calcule la tasa de interés de un monto compuesto de $ 2.500.000obtenido con un capital de $ 750.000 con 10 períodos decapitalizaciones.La fórmula para el cálculo de la tasa de interés compuesto es

i = 1C

Mn

Solución

Interés compuesto difiere del simple porque los períodos además soncapitalizaciones, es decir, en el segundo período que deviene intereses elnuevo capital es el capital antiguo mas en interés que adquirió en elperíodo anterior y que a su vez se capitalizará en el tercer período y asísucesivamente. Reemplacemos y el número que resulte de la tasa deinterés debe multiplicarse por 100 para que quede en la nomenclaturaporcentual que conocemos:

i = 1000.750

000.500.210 = 0,127944873 ∙ 100 = 12,7944873 %

La Tasa de interés compuesto es de 12,7944873 %

iv ) Otros problemas de planteo con porcentajes: El cálculo de porcentajessirve universalmente para cuantificar distintas áreas de cienciasfácticas, como la misma matemática, la física y la química, pasandopor aplicaciones como la economía y las finanzas, la cuantificación

de las ciencias humanas, estadística descriptiva y procesosestocásticos, física matemática, Aplicaciones para la ingeniería,biología, etc. Ello permite ver la importancia vital del porcentaje en eldesarrollo de la vida y las actividades humanas.




1.- Una barra de metal de 50 cm se dilata un 10% producto del calor. Porla impureza de su composición sufre, al momento de contraerse bajotemperatura de 18° bajo cero una contracción del 10%. Calcule lanueva longitud de la barra.

Solución

Utilizaremos algunos métodos alternativos descritos en la primera unidadpara resolverlo, que no quita que el estudiante pueda resolverlo pormétodos tradicionales.

La nueva longitud al dilatarse será de 50 + 50 ∙ 0,1 = 55cm.La longitud al contraerse será 55 – 55 ∙ 0,1 = 49,5 cm.

La nueva longitud después de dilatarse y contraerse será de 49,5 cm.

2.- El problema de consumo de alcohol en Chile registra la primera causade muerte en accidentes de tránsito. Si en el año pasado el consumo dealcohol provocó 734 muertes y representó el 64 % de todos los casosfatales del año. ¿ Cuántos fueron los casos fatales en el año y quécantidad no fue por la causa de consumo de alcohol ?

Solución

Problema asociado al cálculo descrito en la cuarta unidad

734 64 %X 100 %



X =64

100734 = 1.147

La cantidad de victimas fatales fue de 1.147La Cantidad de Víctimas fatales no producidas por el alcohol fue de1.147 – 734 = 413


1 ) Calcule el 47 % de 562 ) ¿ Qué tanto por ciento de 15 es 12?3 ) ¿ Cuánto vale una casa cuya primera cuota es de $ 150.000 y

representa el 5,28 % del total del valor ?4 ) ¿ Qué valor fraccionario tienes el 75 % ?5 ) ¿ Qué valor fraccionario tiene el 5% ?6 ) ¿ Qué valor fraccionario tiene el 4% ?7 ) ¿ Qué tanto por ciento representa 0,250 gr en una balanza con relación

a un kilo ?8 ) El día jueves 6 de enero de 2010 se registró un alza de $ 11 en la

bencina. Si el 5 de enero el litro costaba $ 710 ¿ En qué tanto porciento se incrementó el alza ?

9 ) El Síndico de quiebras de una empresa tiene una liquidez de$ 12.000.000. Decide pagar el 20 % de esta cantidad a lostrabajadores; el 40 por ciento de lo que quedó pretende pagar la deudaen servicios básicos y el resto pagarlo en acreedores varios ¿ quéporcentaje en relación al total pagará por este último ítem ?

10 ) De cada 100 gajos de uva de un viñedo se presume que existe unagota que las rocía. Si se estima que la cantidad de gajos de uva queexiste en el viñedo es de $ 3.500.000 ¿ Cuántas gotas se presume queexisten ?

11 ) Un prestador de servicios a honorarios intenta calcular el valor brutoque debe poner en su boleta para que, al descontar el 10 % le quedeun valor a pagar de $ 250.000. Ayúdelo usted a calcular esta cantidad.



12 ) La cantidad de sismos promedio al año que existe en Chile llegaaproximadamente a 2.500 entre mediana a alta intensidad, Despuésdel terremoto esta cantidad se incrementó en un 72 % ¿ Cuántostemblores de mediana a alta intensidad se sintieron el 2010 ?

Respuestas

1 ) 26,32 2 ) 80 % 3 ) $ 2.840.909

4 )4

35 )

20

16 )

25

1

7 ) 25 % 8 ) 1,549 % 9 ) 28 %

10 ) 35.000 gotas 11 ) $ 277.777 12 ) 4.300 sismos

la lÍnea recta -...

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