Ley de Fouriery la

Ecuación de difusión del calor

Capítulo Dos

Ley de Fourier

Ley de Fourier• Esta ley permite cuantificar el flux calor conducido

a partir del conocimiento de la distribución de temperatura en el medio

• Su forma más general (vectorial) para una conducción multidimensional es:

q k T→ →′′ = − ∇

Implicaciones:– el calor se transfiere en la dirección en la disminuye la

temperatura (es por esto que aparece el signo menos).

– la dirección en la que fluye el calor es perpendicular a las líneas de temperatura constante (isotérmas).

– a partir de la ley de Fourier se puede determinar el coeficiente de conductividad térmica medio

Tqk∇

−≡ rr"

– el vector de flux de calor puede ser descompuesto en sus componentes ortogonales.

• Coordenadas Cartesianas: ( ), ,T x y z

kzTkj

yTki

xTkq zyx

rrrr

∂∂

−∂∂

−∂∂

−="

• Coordenadas Cilíndricas: ( ), ,T r zφ

• Coordenadas Esféricas: ( ), ,T r φ θ

kr

Tkjr

TkirTkq r

rrrr

φθθ φθ ∂∂

−∂∂

−∂∂

−=sin

"

"xqr "

yqr "zqr

"rqr "

θqr "φqr

kzTkj

rTki

rTkq zr

rrrr

∂∂

−∂∂

−∂∂

−=φφ"

"rqr "

φqr "zqr

• La tasa de calor para una conducción radial en una dimensión, en un cilindro o en una esfera esta dada por:

– Cilindro

o,

– Esfera

"" 2 rrrr rLqqAq π==

""' 2 rrr

r rqqLAq π==

"2" 4 rrrr qrqAq π==

La Ecuación de difusión del Calor• Es una ecuación diferencial, su solución nos da la distribución de temperatura

en un medio en reposo.• Se basa en la aplicar la ley de conservación de la energía a un elemento

diferencial de volumen a través del cual la energía se transfiere exclusivamentepor conducción.

• Coordenadas Cartesianas :

Transferencia Neta de energía térmica al interior del volumen de control (entradas-salidas)

energía térmicagenerada

Cambio en la energíatérmica almacenada

tTcq

zTk

zyTk

yxTk

x p ∂∂

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ ρ&

• Coordenadas Cilíndricas :

tTcq

zTk

zTk

rrTkr

rr p ∂∂

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ ρ

φφ&2

11

• Coordenadas Esféricas :

tTcqTk

rTk

rrTkr

rr p ∂∂

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ ρ

θθ

θθφφθ&sin

sinsin11

2222

2

Ecuación de difusión del calor (casos especiales)

Conduction Uni-Dimensional en un Medio Plano con Propiedades Constantesy Sin Generación Interna de Calor

tT

xT

∂∂

=∂∂

α1

2

2

Difusividad térmica del medio⇒=pc

kρ

α

Condiciones Iniciales y de Frontera• Para conducción transitoria, la ecuación del calor es de primer orden en tiempo,

por lo tanto se debe especificar la distribución inicial de temperatura( ) ( )0, ,0tT x t T x= =

• Como la ecuación del calor es de segundo orden en el espacio, se deben especificar dos condiciones de frontera. Algunos casos representativos son:

Temperatura Superficial Constante :

( ) sTtT =,0

Flux de calor Constante :Flux de calor aplicado Superficie aislada

00

=∂∂

=xxT

"

0s

x

qxTk =∂∂

−=

Convección

( )[ ]tTThxTk

x

,00

−=∂∂

− ∞=

Propiedades térmicas

Propiedades TérmicasConductividad térmica : Es una medida de la capacidad de un material para transferir energía por conducción.

Difusividad térmica: es una medida de la capacidad de un material para responder a los cambio del ambiente.

Tablas de Propiedades:Sólidos: Tablas A.1 – A.3Gases: Tabla A.4Líquidos: Tablas A.5 – A.7

Análisis de Conducción

Metodología para el Análisis de la Conducción• Resolver la forma apropiada de la ecuación del calor para obtener la

distribución de la temperatura.

• Conocida la distribución de temperatura, aplicar la ley de Fourier para obtenerel flux de calor en cualquier instante de tiempo, ubicación y dirección de interés.

• Aplicaciones:

Capítulo 3: Conducción Uni-Dimensional, Estado EstableCapítulo 4: Conducción Bi-Dimensional, Estado Estable Capítulo 5: Conducción en estado Transitorio