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La investigación metateórica en Lógica:

introducción

Es bastante evidente que desde que comenzáramos este curso planteando una

serie de preguntas acerca del objeto de la Lógica se ha logrado dar respuesta ya a

muchas de ellas. Se ha conseguido establecer el tipo universal de la noción de

consecuencia –consecuencia abstracta- y ofrecer, mediante dos grandes grupos de

estrategias –consecuencia semántica y derivabilidad formal- una definición

satisfactoria de la clase de argumentos aceptables definibles en LE. Sin embargo, la

variedad de técnicas e intuiciones desarrolladas para lograr este objetivo puede

amenazar la relativa unidad del proyecto consiste en definir la relación de

consecuencia para uno y el mismo lenguaje. Unidad que es constantemente

reconocida cada vez que se hace referencia a la denominada Lógica de Enunciados

Clásica. Este capítulo está dedicado, al menos en parte, a ofrecer razones a favor de

esa supuesta unidad.

Lo que se ha logrado hasta ahora en el estudio de la consecuencia para LE

puede resumirse en el siguiente cuadro.

Lógica de Enunciados

186

[1] Estudio de la consecuencia:

La investigación de tipo metateórico que se inicia ahora tiene por objeto el

estudio de las relaciones que algunos de estos conceptos fundamentales guardan

entre sí, sin olvidar tampoco algunas de las propiedades más características de cada

uno de ellos. En ocasiones se emplea también el término metalógica para referirnos a

este mismo proyecto. No obstante, y siguiendo aquí lo que me parece una tendencia

más actual, he evitado emplear este término para no dar a entender la existencia de

un tipo de estudio distinto, no perteneciente con propiedad al dominio de la Lógica. En

el momento presente no es posible pensar en ningún tipo de investigación ubicable

dentro del dominio de la Lógica que no preste atención a los problemas que intento

exponer ahora. Tan es así, que muchos de ellos ya han tenido que ser mencionados a

lo largo de capítulos anteriores, aunque sin mucho detalle. En lo que sigue, me

propongo introducir una serie de conceptos y problemas que sólo van a adquirir

A. Abstracta: Relación de consecuencia abstracta R |

Operación de consecuencia C|.

B. Específica:

i. Consecuencia semántica (entrañamiento) √.

ii Derivabilidad formal |

1. Sistemas axiomáticos: |Ax

2. Deducción Natural: |DN

3. Tablas Analíticas: |TA

4. Cálculo de Secuentes: |Sq

La Investigación metateórica en Lógica: introducción

187

auténtica relevancia más adelante. Muchos de los asuntos que aquí se tratan

dependen de demostraciones con las que no merece la pena entretenerse ahora. Por

el momento bastará con que sepamos que hay cosas que no son evidentes por sí

mismas y de paso qué nombre reciben.

En primer lugar, procederé a plantear algunas de las preguntas que más urge

responder en relación al estudio de la derivabilidad. A continuación, afrontaremos una

de las etapas más críticas en toda investigación formal: el estudio del equilibrio entre

derivabilidad formal y la consecuencia semántica en un lenguaje lógico. Haciendo uso

de los resultados previos, analizaré un rasgo notable relativo al modo en que la

consecuencia semántica se comporta con respecto a la cantidad de información

disponible en un argumento. Trataré también una serie de propiedades difíciles de

imputar en concreto a uno de estos posibles modos de analizar la consecuencia: me

refiero, en concreto, a la decidibilidad de un sistema formal, propiedad básica y

fundamental, si alguna lo es. Finalmente, dedicaré algún tiempo a repasar problemas

que parecen específicos de cada uno de los cálculos o sistemas formales discutidos.

Tal vez, no sean del todo privativos de estos, pero sí surgen con mayor fuerza o

claridad en su interior que en el seno de los restantes.

I. El estudio de la derivabilidad. La primera pregunta que surge de forma casi

espontánea al enfrentarse por primera vez a un sistema deductivo es la de si será

capaz de mostrar una conducta razonable. Un sistema de reglas puede resultar una

herramienta muy divertida de emplear, pero también parece haber muchas

probabilidades de que en el fondo resulte absurda. ¿Qué quiere decir que un sistema

deductivo posee una conducta razonable? Responder a esta pregunta, sin salirse de

los estrechos márgenes que fija la noción de derivabilidad, es algo que no deja

muchas opciones. De hecho, sólo pasa por asegurarnos de que el aparato inferencial

introducido no es tan potente como para derivar cualquier fórmula a partir de cualquier

conjunto de premisas dado, ni tan débil como para no derivar nada –aunque esto

último se puede rechazar aquí de manera trivial-. La primera de estas propiedades,


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inicialmente dirigida hacia un sistema deductivo, suele discutirse, no obstante, cuando

se analizan ciertos conjuntos especiales de fórmulas.

[2] Dado un sistema deductivo S, y un lenguaje formal L, decimos que un

conjunto X⊆L es una teoría de S cuando sucede que: A∈X syss X|S A.

Como puede verse, se trata de una noción absolutamente general aplicable a

cualquier sistema deductivo imaginable –en el caso de los sistemas axiomáticos, esta

noción es, obviamente, menos inmediata-.

[3] Una teoría X es consistente syss hay al menos una fórmula A tal que

A∉X.

Y de aquí se llega finalmente a

[4] Un conjunto X de fórmulas es consistente dado un sistema S si Th(X) es

consistente, donde Th(X) es la teoría generada por S a partir de X.

La noción de teoría puede parecer un tanto abstracta, pero responde, en

realidad, a una idea muy simple. Dado un cierto estado informativo inicial representado

mediante las fórmulas de un lenguaje sólo hay dos formas de extender este conjunto a

uno que contenga mayor información. Una es mediante la adición explícita de nuevos

datos. La segunda consiste en añadirle progresivamente todas aquellas fórmulas que

son consecuencia lógica de las consideradas inicialmente. Una teoría indica el límite

de ese proceso de compleción. Una teoría puede ser concebida, por tanto, como un

conjunto en el que se ha hecho uso de todo el potencial que un sistema deductivo

ofrece a la hora de extender estados de información, considerados éstos como

colecciones de fórmulas en un lenguaje. ¿Cómo sabemos que dicho potencial no es ni


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excesivo, ni tampoco demasiado pobre? Una forma de resolver esto es imponer

condiciones de contorno amplias pero razonables:

[5] Dado un lenguaje formal L, decimos que un sistema deductivo S es

consistente si existen teorías Th distintas del propio lenguaje L

considerado.

Esta condición es muy amplia y sólo exige que la clausura bajo S de un

conjunto de fórmulas no lleve sistemáticamente a incluir todas las fórmulas de L entre

sus consecuencias. Es decir, que el sistema deductivo no derive en un juego que

permita hacer que cualquier fórmula sea derivable. Es evidente que todos los sistemas

considerados aquí con consistentes en el sentido de anterior.

Existe otra forma de contemplar la consistencia de conjuntos de fórmulas y de

sistemas deductivos que es más común, aunque a mi juicio menos adecuada. Se trata

de lo siguiente:

[6] Un conjunto X es consistente dado un sistema deductivo S syss no

existe una fórmula A para la que sucede que X|S A y X|S¬A.

En otras palabras, un conjunto X es consistente cuando no hay ninguna

fórmula tal que A∈Th(X) y ¬A∈Th(X). ¿Es esta definición más satisfactoria que la

anterior? En realidad no hace falta mucho esfuerzo para mostrar lo siguiente:

[7] Teorema: Considerados los sistemas Ax, DN, TA y Sq para LE las

siguientes afirmaciones son equivalentes:

i. Existe una fórmula A tal que X|SA y X|S¬A.

ii. Th(X)=LE


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Esquema de la demostración: (ii) ⇒ (i) es trivial. Para comprobar (i) ⇒

(ii) basta observar que en todos ellos la presencia de A y ¬A entre las

premisas permite derivar cualquier fórmula B.

Si se hubiera presentado la consistencia de un conjunto sólo en términos de

[6], como es habitual en muchos casos, su correcta interpretación habría dependido

del significado de una determinada constante lógica, el negador en este caso. ¿Por

qué es tan importante que una teoría no contenga una fórmula y su negación?

Obviamente porque entonces es contradictoria. Pero al proceder así estamos

acudiendo, siquiera de forma implícita, a componentes semánticos que no son

realmente necesarios, confundiendo esta propiedad con otra muy próxima, la

corrección, que tiene, pese a todo, un sentido distinto, como veremos más adelante.

Piénsese qué idea nos formaríamos de la consistencia si en lugar de “¬” figurase “*”,

un símbolo cuya función ignoramos.

Pese a que es fácil definir la noción de consistencia para conjuntos de

fórmulas, no lo es tanto para sistemas deductivos: es fácil caer en definiciones

circulares. La que se ofrece en [5] es adecuada, aunque ciertamente, no es muy

informativa.

La segunda pregunta que surge inmediatamente en relación con el análisis del

concepto de derivabilidad formal se refiere a la comparación entre los distintos

sistemas discutidos hasta ahora. Es cierto que todos ellos respondían al formato

básico o abstracto que corresponde a esta noción: en todos se dan variantes de ese

tipo básico de construcción que hemos denominado derivación. ¿Significa eso que son

equivalentes entre sí? Es decir, ¿sucede realmente que todo argumento derivable por

uno de estos procedimientos lo es también por los restantes? Si esto es finalmente

así, no se deberá, desde luego, a que cada uno de ellos suponga un intento de

caracterizar la misma noción abstracta, la de derivabilidad formal: habrá que

demostrarlo con teoremas adecuados a cada caso. Aunque en una etapa introductoria


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a la Lógica como es esta el desarrollo completo de las pruebas que caracterizan la

rigurosa investigación metateórica están, tal vez, fuera de lugar, ello no significa que

no podamos acercarnos a algunas de ellas. ¿Cómo es posible probar que todo

argumento derivable en uno de estos sistemas lo es también en otro de ellos?

Ciertamente no será por enumeración de los argumentos derivables en uno y otro

caso. ¿Cómo entonces? Consideremos dos de estos sistemas, Ax y Dn por ejemplo.

La única opción consiste en describir un modo sistemático de transformar una prueba

aceptable en uno de estos sistemas en una prueba también aceptable en el restante.

[8] Teorema: Sea A una fórmula para la que es posible mostrar que X|Ax A

para un cierto conjunto de premisas X, entonces X|DNA.

Esquema de la prueba: Una prueba en |Ax sólo recurre a los axiomas y a

la regla R1 –cfr. cap. 2.6- y las fórmulas presentes en X. Para reproducir

una de estas demostraciones en DN bastará con probar que los

axiomas de Ax son fórmulas demostrables en DN a partir de cero

premisas para ver, a continuación, qué recursos corresponden a R1.

Esto es trivial, ya que en DN basta con mostrar que dada la cabecera de

una regla es posible obtener su consecuente.

Faltaría mostrar que la conversa también se da. Para ello vamos a introducir un

resultado de considerable interés:

[9] Teorema de Deducción: Para cada uno de los sistemas deductivos

estudiados se cumple lo siguiente:

-Si X,A|SB, entonces X|SA→B.

La demostración sólo es interesante en el caso de Ax –es preciso desarrollar

entonces una tediosa prueba por inducción sobre la longitud de las demostraciones-

siendo trivial en todos los demás casos. Lo que este resultado establece es, en


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cualquier caso, un cierto equilibrio entre la derivabilidad como relación y la conectiva

“→”.

[10] Teorema: Si sucede que X|DNA entonces X|AxA.

Esquema de la prueba: En esta ocasión lo que es preciso es redistribuir

las reglas admitidas en DN en los axiomas y reglas de Ax. La

información requerida por una regla de DN se empaquetará, haciendo

uso del teorema de deducción –TD, de ahora en adelante- en una

expresión que se pondrá en relación con un esquema axiomático de Ax

para mostrar que la conclusión se puede descargar mediante el sólo

uso de R1.

La reunión de [8] y [10] permite identificar la derivabilidad tal y como es

entendida en Ax y en DN, caso realmente crítico al tratarse de orientaciones

considerablemente distintas. Esta prueba, su esquema, al menos, muestra el modo de

proceder en los casos restantes y en general siempre que se hace preciso comparar

dos colecciones infinitas de objetos –argumentos en este caso- que se suponen

ligadas a algún tipo de construcción. Lo que procede es hallar una forma de

transformar una construcción del primer tipo en una del segundo que de lugar, eso sí,

a la obtención del mismo objeto que en el primer caso.

El estudio detallado de la derivabilidad tanto como noción abstracta, como del

desarrollo particular que obtiene en cada sistema deductivo, constituye el objeto de

estudio en la denominada Teoría de la Prueba –también Teoría de la Demostración-

disciplina fuertemente desarrollada a partir de los trabajos de Hilbert por un lado y

Gentzen, por otro.

Esta primera parte de nuestro rápido recorrido por la investigación metateórica

de la Lógica concluye mostrando dos resultados de interés. El primero establece que

el modo de analizar la derivabilidad en términos de los sistemas deductivos


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presentados es en principio no trivial: permite generar teorías que retienen la distinción

entre fórmulas que son consecuencias suyas y otras que no lo son. El segundo, poco

comentado las más de las veces, demuestra que todos estos sistemas son, sólo,

formas alternativas de describir una única capacidad lógico-formal expresada en una

única noción general, la de derivabilidad formal. ¿Qué hubiera sucedido si, sobre

supuestos razonables, hubiéramos hallado sistemas deductivos con potencias muy

distintas y resultados diferentes por lo que hace a los argumentos que cada uno de

ellos declara correctos?

Aunque siempre sorprende ver cómo sistemas de muy distinta factura vienen a

describir, en última instancia, la misma clase de objetos, en esta ocasión existe una

especie de entramado que viene a justificar esta coincidencia, poco entendible de otro

modo. Me refiero al compromiso por el cual cada sistema deductivo particular se

construye respetando el significado previamente concedido a las constantes lógicas de

con las que opera. La pregunta que surge inmediatamente a partir de este comentario

es, ¿cuán fielmente ha sido respetado el significado de las constantes a la hora de

caracterizar las manipulaciones que sobre ellas introduce el cálculo? Esto nos lleva al

segundo apartado de nuestra presentación de la investigación metateórica en Lógica.

II. Derivabilidad formal y consecuencia semántica. Del mismo modo que dijimos que

los distintos sistemas deductivos resultan ser caracterizaciones alternativas de la

derivabilidad, es un hecho que desde un principio hemos concebido la consecuencia

semántica y la derivabilidad como dos formas de estudiar la relación de consecuencia.

En esta ocasión sucede, sin embargo, que los recursos cognitivos comprometidos en

uno y otro caso tienen un origen muy distinto que no cabe reducir de ningún modo.

Aunque resultase cierto que todo argumento derivable es válido –semánticamente

aceptable- y viceversa, dudo que estuviésemos muy dispuestos a reconocer por ello

que derivabilidad y entrañamiento son meras presentaciones alternativas de la misma

noción. El análisis del parecido de estas dos definiciones de la consecuencia alcanza

entonces un valor inesperado: nos encontramos ante un genuino análisis formal de

dos habilidades cognitivas en principio distintas e independientes.


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La primera de las propiedades que hace referencia a esta relación es la

siguiente:

[11] Dado un lenguaje formal L para el cual se ha definido la relación de

consecuencia semántica √, decimos que un sistema deductivo S

correcto syss se cumple:

Si X|SA, entonces X√A.

De nuevo es preciso dejar claro que no hay nada que nos exima de una

demostración rigurosa y completa de este extremo para los sistemas analizados. No

es muy difícil apreciar que la demostración que resulta en este caso más directa es la

que corresponde a un sistema axiomático. Estableceremos este resultado recurriendo

a esos esquemas de prueba destinados a dar una cierta idea de lo que sería una

demostración completa.

[12] Corrección de Ax: Si X|AxA, entonces X√EA.

Esquema de prueba: Supongamos que existe una interpretación v∈Iv que

verifica X pero que asigna el valor falso a A. No obstante, vamos a suponer que

efectivamente sucede que X|Ax A. Esto significa que en algún momento Ax es

capaz de derivar alguna fórmula falsa a partir de fórmulas verdaderas. Eso,

obviamente sólo puede ser causado por los axiomas o por un uso de R1. Los

axiomas son todos ellos verdades lógicas: adquieren el valor verdadero en

cada interpretación. Basta desarrollar las cláusulas de sus constantes para

comprobarlo. La regla, por su parte, preserva la verdad: si las fórmulas en su

cabecera son verdaderas, también lo es la que figura en su conclusión. Por

tanto, A no puede ser falsa.


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La corrección de los restantes sistemas se puede establecer tanto de forma

directa, como apelando a la equivalencia que previamente se ha establecido entre

todos ellos. Un sistema deductivo que resulte ser incorrecto con respecto a una cierta

clase de modelos o interpretaciones suele ser inmediatamente descartado de la lista

de sistemas propios de la Lógica: su incorrección cuenta como una refutación de sus

reglas y/o axiomas bastando esto sólo para que nos veamos obligados a una profunda

revisión de sus fundamentos. No hay, por tanto, sistemas deductivos incorrectos en

Lógica. Cosa distinta es la ocasional inexistencia de una clase de interpretaciones con

respecto a la cual medir la corrección de uno de estos sistemas, o la dificultad de

encontrar una suficientemente motivada. Aunque ésta puede parecer una

circunstancia en cierto modo excepcional, la historia de la disciplina muestra la

existencia de suficientes casos de sistemas deductivos con clases de interpretaciones

difíciles de determinar.

¿Podemos hallar una demostración para todo argumento semánticamente

correcto? En otras palabras, ¿coinciden también en extensión la relación de

consecuencia semántica y la de derivabilidad? Caso de ser así, ¿qué consecuencias

de orden epistemológico se siguen de este hecho? Comprobar si todo argumento

válido –semánticamente correcto- es derivable supone un considerable esfuerzo de

análisis que resulta en muchas ocasiones no trivial. El nombre que recibe esta

propiedad se establece en la siguiente definición:

[13] Dado un lenguaje formal L, una clase de interpretaciones admisibles

con la que definir la consecuencia semántica sobre L y un sistema

deductivo S, decimos que:

i. S es fuertemente completo syss para cualquier conjunto X de

fórmulas y cualquier fórmula A sucede que si X√A entonces X|SA.

ii. S es débilmente completo syss para toda fórmula A sucede que

si √A entonces |S A.


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Un sistema deductivo correcto y completo con respecto a una cierta clase de

interpretaciones admisibles muestra un perfecto equilibrio entre la satisfacción de un

criterio evaluado sobre una cantidad en principio no finita de instancias –valuaciones- y

la construcción de una secuencia finita de símbolos –conclusión- mediante un proceso

a su vez finito de manipulaciones definidas igualmente sobre símbolos. A mi entender,

un sistema que posea esta propiedad marca una especie de hito en el que dos

habilidades cognitivas muy dispares parecen poseer idéntico alcance. Como veremos

más adelante, este hecho se relaciona estrechamente con la capacidad del lenguaje

formal sobre el que operan consecuencia semántica y derivabilidad formal para

expresar ciertas cosas. Cuesta trabajo pensar que todo ello se deba a una mera

casualidad o a una cadena de definiciones más o menos arbitrarias de las cuales todo

se sigue de manera inexorable. Pero, ¿qué supondría admitir que un sistema

deductivo es incompleto, o simplemente, que se ignora si lo es? Supongamos que

hacemos referencia al caso de la completitud débil. Un sistema incompleto verificaría

más verdades lógicas que aquellas que puede demostrar, salvo contradicción. En este

caso validez y teorematicidad encontrarían divergencias efectivamente constatables

en fórmulas particulares, fórmulas que resultarían verdaderas pero indemostrables.

Uno para el que, simplemente, se ignorara si es o no completo estaría apuntando a

una especie de falta de conexión entre el modo en que la derivabilidad procede a

añadir consecuencias a un conjunto de fórmulas inicialmente dado y la forma en que

esas expresiones describen una cierta realidad cada vez más precisa, alcanzando en

el límite, la descripción de una valuación. Incompletitud y ausencia de una

demostración de completitud no son, como puede verse, fenómenos que deban ser

confundidos. Ambos hacen referencia al equilibrio existente entre la manipulación de

símbolos y el modo en que estos describen una cierta porción de la realidad a través

de su significado, pero mientras que en el primer caso –incompletitud- se trata de una

divergencia constatada, hay una fórmula para la que no se puede afirmar a la vez √A y

|S A, en el segundo caso –inexistencia de una prueba de completitud- se trata de una

falta de adecuación muchas veces asociada a la subdeterminación del significado de

los símbolos de L.


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[14] Completitud (fuerte) de Ax/DN/TA/Sq: Para cualquier conjunto X -

admitiendo el conjunto vacío- y cualquier fórmula A de LE, si X√E A

entonces X|S A, donde S=Ax/DN/TA/Sq.

Pese a que el detalle de esta demostración supera en algo los objetivos de una

mera introducción como esta, sí merece la pena comentar algo de la estrategia

general. Ya habrá tiempo más adelante para discutir la prueba en todo su detalle. Hay

varias formas de abordar una demostración de completitud, no obstante, durante los

últimos años se ha hecho habitual adoptar la que presentase Henkin en 1949 para la

completitud fuerte –la débil se sigue, entonces, como un simple corolario-. No

obstante, hay que aclarar que el método que se va a describir a continuación de

manera informal constituye una reconstrucción muy considerable de los resultados

originales. De hecho, Henkin no probó su resultado sólo para LE, sino para un

formalismo considerablemente más rico en el que su técnica resulta ser nada trivial.

En esta ocasión hablaré sólo de lo que hace referencia a LE y aún así, desde un punto

de vista sólo informal.

El primer paso de esta construcción consiste en invertir el enunciado que se

desea establecer dando lugar a otro equivalente al primero pero más fácil de abordar.

Lo que perseguimos a partir de ahora es demostrar que si no sucede que X|S A,

entonces tampoco sucede que X√A. Que X√A sea falso significa que existe una

valuación que verifica X al tiempo que hace falso a A. Para establecer el resultado

buscado, esta valuación debe ser construida a partir de la información aportada por el

hecho de que A no sea derivable a partir de X. Esto último permite afirmar que el

conjunto de fórmulas que resulta de añadir ¬A a las premisas X es consistente, esto

es, no se sigue de él una fórmula y su negación. Si fuera posible asignar el valor de

verdad verdadero a cada fórmula en ese nuevo conjunto entonces tendríamos la parte

de información que se precisa en la valuación buscada. Una valuación es, sin

embargo, un mapeo que permite asignar a cada expresión de L un valor de verdad, y

parece obvio que Xχ{¬A} no contiene suficiente información como para interpretar la

pertenencia a ese conjunto como la de ser verdadero bajo una valuación v. En otras


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palabras, Xχ{¬A} no constituye aún la descripción completa de una valuación en

términos de L: hay demasiadas fórmulas tales que ni ella ni su negación están en

dicho conjunto.

La idea de Henkin consiste en extender ese conjunto inicial considerando la

adición de nuevas fórmulas siempre y cuando preserven la consistencia del conjunto al

que se añaden. Si este proceso se continúa idealmente hasta el infinito el conjunto que

resulta al unir todos los obtenidos en cada uno de los casos es consistente y para

cada fórmula o bien ella o su negación pertenecen al mismo –este resultado suele

denominarse lema de Lindenbaum-. Un conjunto tal, que a menudo recibe el nombre

de conjunto máximamente consistente, permite, sin duda, construir una valuación con

la información expresada en sus fórmulas. El resultado que muestra cómo construir

realmente ese modelo se duele denominar Lema de Henkin. El modelo resultante

permite mostrar que A es falso mientras que todas las fórmulas en X son verdaderas.

Como se puede ver, se trata de un ejercicio de análisis presidido en más de

una ocasión por elementos ideales de los que no es posible prescindir. ¿Qué conjunto

es ese que resulta de la unión de una cadena infinita de conjuntos? Es cierto que este

tipo de consideraciones transgreden los límites de aquello que nuestra mente puede

construir con sus capacidades finitas, pero muestra también el modo en que podemos

constatar de manera efectiva propiedades que consideramos idealmente incorporadas

en ese tipo de entidades. No podía ser de otro modo si lo que se pretendía era

comparar la infinita variedad que se expresa en una clase de interpretaciones

admisibles y las construcciones finitas en que consiste una derivación.

III. Propiedades de la consecuencia semántica. En teoría éste es el lugar donde se

debería investigar la relación existente entre las expresiones de un lenguaje formal y

las valuaciones que se corresponden –que verifican- con ciertos conjuntos de fórmulas

de ese tal lenguaje. Existe una rama entera de la Lógica dedicada a ese menester que

recibe el nombre de Teoría de Modelos. Sin embargo, rara vez se aplica esta


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denominación en el caso de la Lógica de Enunciados. La razón es que desde el

limitado potencial expresivo que caracteriza este lenguaje son muy pocos los

resultados de interés que pueden obtenerse. De hecho, la noción a la que hace

referencia esa teoría, modelo, no suele presentarse tampoco en este nivel,

reservándose para lenguajes considerablemente más ricos. De todos modos, existe un

resultado que sí es posible presentar aquí, aunque como viene siendo habitual, sin

mucho detalle.

En el capítulo 2.5 se dedicó algún tiempo a establecer que la relación de

consecuencia semántica √E era lo que desde un punto de vista abstracto se había

descrito como una relación de consecuencia clásica. Eso suponía que dicha relación

había de satisfacer las propiedades de reflexividad, monotonía, transitividad,

finitariedad y formalidad. Todas ellas resultaban más o menos fáciles de establecer

para ese caso salvo una, la de finitariedad –que en ocasiones también se denomina de

compacidad-. Dicha propiedad establece que una fórmula A es consecuencia

semántica de un conjunto X syss A es consecuencia semántica de cada subconjunto

finito Xi incluido en X. Resumido simbólicamente esto da lugar a

[15] Finitariedad de la consecuencia semántica:

- X√E A syss existe al menos un Xi⊆X , Xi finito, tal que Xi√E A.

Es un lugar común dentro de la Lógica presentar este resultado como una

consecuencia directa de la completitud de un sistema deductivo que se considera

asociado a una determinada definición de la consecuencia semántica. Y este es

precisamente el caso por lo que hace a √E y |S, donde S es cualquiera de los sistemas

deductivos estudiados para LE. Aunque esta conexión puede parece extraña en

principio, las razones de que exista una fuerte tendencia a presentar las cosas de este

modo es fácil de entender y bastante ilustrativa a un tiempo. Mientras que la

consecuencia semántica no es una noción explícitamente finitaria, salvo que por


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definición así lo establezcamos –lo cual no es razonable en principio-, la derivabilidad

formal sí lo es. Esto permite afirmar lo siguiente:

[16] Teorema: La relación de derivabilidad formal |S es finitaria.

Esquema de la demostración: Basta con observar que A es derivable a

partir de un cierto conjunto X syss existe una cadena finita de fórmulas

tal que cada una de ellas o bien pertenece a X, o bien ha sido obtenida

a partir de fórmulas anteriores mediante las oportunas reglas del

sistema S y A es la última de ellas. Eso implica que sólo se hace uso, a

lo sumo, de una cantidad finita de fórmulas de X.

Que una relación esencialmente finitaria, como la derivabilidad formal se

conecte a través del teorema de completitud fuerte –teorema [14]- con una noción, la

de consecuencia semántica, indiferente en principio a ese rasgo, hace que esta última

acabe siendo también una relación finitaria. En cualquier caso, el auxilio del teorema

de completitud sólo es preciso en una dirección ya que la restante es trivial. Veámoslo

en cualquier caso.

[17] Teorema de finitariedad: X√E A syss existe un subconjunto finito Xi de X

tal que Xi√E A.

Esquema de la demostración: El resultado tiene dos partes.

Parte I. Si X√E A, entonces para todo subconjunto finito Xi de X se tiene

que Xi√E A. Esta es, como resulta evidente, la parte trivial. Si para toda

interpretación admisible v en Iv sucede que cuando v verifica todas las

fórmulas en X también verifica A, entonces sucede a fortiori que cuando

verifica un subconjunto finito de X también verifica A.

Parte II. Si hay al menos un subconjunto Xi de X tal que Xi√E A,

entonces X√E A. El teorema de completitud permite reemplazar √E por |S


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sin merma de propiedades, por lo cual, bastará tomar [16] para obtener

lo que queríamos.

Este teorema suele ser conocido también como teorema de compacidad. No

obstante, hay una cierta tendencia a reservar este nombre para un resultado referido

directamente a conjuntos de fórmulas. Lo que afirma la compacidad así establecida es

lo siguiente:

[18] Teorema de Compacidad: Sea X un conjunto de fórmulas cualquiera. Si

cada subconjunto finito Xi es satisfacible, entonces X es asimismo satisfacible.

La demostración de este resultado, aunque no difiere esencialmente de la del

teorema [16], apela a ciertos detalles de la demostración del teorema de completitud

que aconseja no insistir en ello por ahora.

Existe una cierta tensión entre los expertos a la hora de presentar los teoremas

de finitariedad y compacidad como una consecuencia de la completitud de un cálculo.

Ello es fácil de entender ya que no resulta muy elegante hacer depender un resultado

relativo a la conducta de un lenguaje respecto de sus interpretaciones admisibles de la

conducta de un cálculo que nada tiene que ver, al menos en principio, con este asunto.

Si realmente fuera preciso establecer este punto con la ayuda de un cálculo y con la

demostración de su completitud, la cuestión sería otra, pero es cierto que existen

demostraciones tanto del teorema de finitariedad como del de compacidad que no

apelan a cálculo alguno. Sea como fuere, no creo que quepa tampoco desdeñar el

valor informativo que posee la demostración anterior la cual tiene la virtud, además, de

requerir muy poca información previa.

La importancia de la finitariedad o compacidad de un sistema formal no es algo

que pueda pasar desapercibido. Para apreciar correctamente esa importancia basta

imaginar cómo se comportaría un sistema formal que careciera de estas propiedades.

Habría conjuntos de fórmulas satisfacibles para los cuales existiría siempre una


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interpretación falsadora de cualquiera de sus subconjuntos finitos. Por otra parte es

verdad que un sistema así mostraría una peculiar sensibilidad a la distinción entre

conjuntos finitos y no finitos de fórmulas. Distinción que en un sistema compacto no es

posible expresar. Por último, no quiero abandonar este punto sin mencionar que el

término compacidad procede de la Topología, donde este concepto tenía aplicación a

través de la noción de espacio topológico. Este tipo de préstamos muestra una vez

más la íntima relación entre la Lógica contemporánea y diversas ramas de la

Matemática moderna.

IV. Decidibilidad: propiedades genéricas. Llama la atención que propiedades como las

de corrección y completitud, que en puridad analizan la relación entre los conceptos de

derivabilidad formal y consecuencia semántica, se prediquen sólo de los sistemas

deductivos, como si de una propiedad de éstos últimos se tratase. Se dice, por

ejemplo, que un cierto sistema deductivo o cálculo es correcto y completo con

respecto a cierta clase de interpretaciones admisibles, o incluso, que es correcto y

completo, sin más. Este modo de hablar ha sido denunciado en ocasiones como una

forma confusa de expresión cuyo efecto es conceder subrepticiamente algún tipo de

prioridad epistemológica a la semántica. Con este comentario quiero hacer notar que

la atribución de propiedades a los distintos objetos de la Lógica no es un asunto que

esté suficientemente claro. En este nuevo apartado me voy a ocupar de una propiedad

que no suele adjudicarse a la derivabilidad formal más que a la consecuencia

semántica.

La propiedad de ser decidible se puede predicar de una propiedad, relación, de

una definición, y, desde luego, de un procedimiento. Posee una vida propia que la

hace independiente de los aspectos específicos que encontramos asociados al estudio

de la derivabilidad y al estudio de la consecuencia. ¿Cuándo decimos que una

propiedad o relación es decidible? En primer lugar, es preciso fijar una colección de

objetos sobre la cual tiene sentido hacerse esa pregunta. Decimos entonces que


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[19] Una propiedad o relación es decidible sobre un dominio particular de

objetos syss existe un procedimiento efectivo que permite responder en

tiempo finito y de forma tanto afirmativa como negativa la pregunta de si

un objeto de ese dominio posee la propiedad o relación en cuestión.

Faltaría ver qué es eso de un procedimiento efectivo. No creo que perdamos

nada si se aclara ya desde este momento que un procedimiento efectivo es uno en el

que nos limitamos a aplicar una serie de instrucciones inequívocas, siempre

realizables en tiempo finito, y que proceden de modo que nunca caben dudas acerca

de qué instrucción corresponde ejecutar a continuación.

Así las cosas, no parece que la decidibilidad, en lo que aquí nos afecta,

corresponda en abstracto a la derivabilidad o la consecuencia semántica, sino más

bien a cada posible descripción concreta de esas nociones. ¿Supone esto que

debemos estar dispuestos a aceptar que un cierto sistema deductivo sea decidible

mientras que otro, equivalente al primero, no lo es? Ya hemos visto que esto es

realmente lo que sucede con la derivabilidad en LE. En tal caso, ¿qué debemos decir

de la derivabilidad para ese lenguaje, que es decidible o que no lo es? Hay sistemas

deductivos cuya estructura les hace de forma explícita malos candidatos a erigirse en

procedimientos de decisión. ¿Cómo responderíamos a la pregunta “¿X|A?” en Ax o en

DN? Consideremos sólo el segundo caso. La única forma de comprobar si X|DNA es

dando inicio a una derivación en la que tras colocar cada una de las fórmulas de X

como premisas intentaríamos hallar la conclusión A. ¿Qué pasa si tras una larga serie

de pasos aún no hemos llegado a A? ¿Debemos confiar en nuestras capacidades y

afirmar que si en k pasos A no ha sido hallada es porque no puede serlo, o debemos

insistir un poco más y prolongar la derivación otros n pasos más? Es obvio que el

Cálculo de Deducción natural no fue concebido como un procedimiento para

responder preguntas acerca de la derivabilidad de un argumento, sino, más bien,

como un procedimiento para construir derivaciones. Algo distinto es lo que sucedía

con el Cálculo de Tablas Analíticas. La posibilidad de alcanzar un punto donde,


204

eventualmente, ya no se pueden seguir aplicando reglas permite pensar en una

detención del procedimiento en un punto que permita juzgar si el argumento en

cuestión es o no derivable. Como se ve, que un sistema deductivo constituya o no un

procedimiento de decisión depende, en primer lugar, de su estructura o arquitectura

general: el cálculo de secuentes no está originalmente orientado a al decisión, pero

una serie de manipulaciones de su arquitectura permiten dar con un procedimiento tal.

Pero también depende del tipo de reglas que nos veamos obligados a admitir. Estas

reglas son resultado, a su vez, de la presencia de ciertas constantes lógicas en el

lenguaje formal que en cada caso se estudia. Con esto llegamos a un hecho

fundamental: la decidibilidad de un sistema deductivo puede depender, en última

instancia, del tipo de constantes lógicas presentes en un lenguaje formal. Si

admitimos que la presencia de constantes lógicas en un lenguaje formal es una forma

de medir su potencia expresiva, ese aserto se transforma en otro algo más vago, pero

mucho más significativo: la decidibilidad de un sistema deductivo puede depender de

la potencia expresiva del lenguaje formal cuya relación de consecuencia se estudia. Si

la decidibilidad afectada es la del único sistema deductivo orientado a la decisión,

entonces aún podemos obtener algo más definitivo hablando no ya de este o aquel

sistema formal, sino de la misma relación de derivabilidad. Es este hecho el que hace

tan importante el estudio de la decidibilidad, ya que parece aludir a una especie de

conexión general entre la textura con que un lenguaje formal representa la estructura

de la inferencia y la capacidad de juicio o control que nos concede. El descubrimiento

de sutiles puntos de equilibrio en un asunto tan fundamental como es ese, nos lleva

una vez más ante la existencia de una especie de materia formal que se manifiesta en

nuestras capacidad cognitivas y que en ocasiones parecemos descubrir más que

legislar.

Hemos hablado sólo de derivabilidad, ¿es que acaso la decidibilidad no se

puede predicar de la relación de consecuencia semántica? Es evidente que la relación

de consecuencia semántica posee una definición en modo alguno orientada a la

decisión. Eso no significa que en determinados casos no se pueda establecerse un

mecanismo de decisión propiamente semántico, pero ello exige un cierto alejamiento

de la definición original de la consecuencia. Sea como fuere, una vez se cuenta con un


205

resultado como el de completitud –fuerte-, parece obvio que lo que pueda establecerse

en el nivel del cálculo afectará a la relación semántica de consecuencia. Anticipando

ahora ya algo de lo que hablaré más tarde, atribuiré la propiedad de la decidibilidad a

toda una lógica, la lógica de enunciados clásica.

[20] Teorema: La Lógica Clásica de Enunciados es decidible.

Esquema de la demostración. El método de Tablas Analíticas constituye

un procedimiento de decisión. Por otra parte, X|TAA es el caso syss ese

mismo argumento es derivable en Ax., Dn, y Sc. Finalmente, TA es

completo con respecto a la relación de consecuencia semántica.

V. Propiedades metateóricas específicas. El estudio metateórico de los sistemas que

estudia la Lógica suele desarrollarse en un nivel que va más allá de cualquier sistema

lógico particular. Esto no quiere decir que no existan problemas de carácter también

metateórico que son específicos de un determinado sistema deductivo, o incluso de

aspectos más concretos del desarrollo de un formalismo. La razón por la que

adquieren valor para este tipo de investigación se debe en buena medida a su utilidad

a la hora de comparar la conducta de distintos lenguajes formales ante un mismo

tratamiento deductivo o modelista, o de interpretaciones distintas de las mismas

constantes lógicas. De la larga lista de problemas de este tipo he elegido como

muestra aquellos que poseen una especial tradición y son recurrentes en la

bibliografía. De todos ellos hemos visto algo ya a lo largo de este curso, por lo cual, lo

que viene a continuación ha de ser entendido más bien como un recordatorio

destinado a poner las cosas en su sitio.

Cuando se seleccionan las fórmulas que van a formar los axiomas de un cierto

sistema hay que tener cuidado de no elegir una colección excesivamente pobre, pero

tampoco debemos elegir una que muestre redundancias. El primer problema se


206

conecta con la completitud de un cálculo de una forma que ya hemos analizado, el

segundo recibe el nombre de independencia axiomática. ¿Cómo sabemos que un

cierto axioma no es, en realidad, un teorema obtenible con mayor esfuerzo a partir de

los restantes axiomas? Este problema, no siempre es fácil de resolver, se relaciona en

buena medida con la distribución de la conducta de las constantes a lo largo de

distintos axiomas. No hay, o no es tan claro, una relación directa entre cada constante

lógica y los principios que regulan su conducta en un sistema axiomático. Esta

situación contrasta con la directa correlación que en el resto de los sistemas

deductivos se presenta entre constantes y reglas. El problema de la independencia

tiene, en cualquier caso, una fama bien ganada a lo largo de la historia. El primer

estudio de este tipo procede ya de la discusión en torno a la independencia del Axioma

V de los Elementos de Euclides, problema que sólo llega resolverse definitivamente

tras la aparición de las llamadas geometrías no-euclídeas.

El segundo problema se refiere a la eliminación de la regla de corte. Se da, por

tanto, en los sistemas secuenciales del tipo de Sq. Afirmar que un sistema secuencial

admite la eliminación de la regla de corte supone demostrar que todo secuente

derivable con su concurso puede ser obtenido mediante una prueba en la que no se

hace uso de dicha regla. Las importancia práctica de esta demostración es que sin ella

resulta imposible obtener a partir de un sistema secuencial un procedimiento efectivo

aplicable a la derivabilidad. Probar la eliminación de la regla de corte no supone dejar

el camino expedito a la elaboración de un procedimiento de decisión, pero es

condición necesaria para ese paso. Existen consecuencias con un profundo contenido

matemático que están igualmente unidas a la eliminabilidad de esta regla. La más

obvia de todas ellas se refiere al modo en que un cierto sistema incorpora algunas de

las propiedades de la consecuencia, transitividad en este caso, mediante reglas más o

menos inmediatas. La presencia de la regla de corte en Sq tiene como efecto

inmediato la incorporación de la transitividad sobre la relación |Sq. Su eliminabilidad no

supone la pérdida de esa propiedad, sino la constatación de que se encuentra

presente ya en el modo de analizar las conectivas.


207

Podía seguir mencionando más problemas relativos al comportamiento de

distintos sistemas deductivos –el del teorema de deducción, por ejemplo- pero es

seguramente más formativo prestar atención a uno que se presenta en un dominio

plenamente semántico. Cuando elegimos las conectivas que forman parte del

vocabulario básico de un lenguaje proposicional –del tipo de LE-, ¿qué criterio

seguimos? Es preciso admitir que éste es, en parte, empírico: optamos por aquellas de

uso más frecuente en el contexto que adoptamos como trasfondo de nuestras

intuiciones. No obstante, una buena investigación lógica no se puede quedar sólo en

esto. Debe investigar si hay merma en la elección de una cierta colección de

conectivas, si por el contrario, éstas bastan para expresar cualquier función veritativa

de entre aquellas que forman los modelos que previamente han sido introducidos. Este

es el problema de la completitud funcional de un conjunto de conectivas. El conjunto

{¬, →, &, v} es funcionalmente completo, pero también lo son otros conjuntos más

reducidos de los que algo habremos de decir más adelante. Si bien el problema de la

completitud funcional no es muy excitante en el contexto actual sí que adquiere mayor

relevancia cuando procedemos a analizar el comportamiento de esas conectivas en

contextos pretendidamente más cercanos a la experiencia cotidiana. En cualquier

caso, sacaremos provecho de este problema cuando discutamos algunas técnicas de

decisión aplicables sobre LE.

El estudio meteórico de la Lógica se resuelve, como hemos podido ver, en una

colección de teoremas sobre la cual he intentado poner algo de orden aunque sólo sea

por motivos pedagógicos. Resumido en una tabla tiene todo ello el siguiente aspecto:


208

[21] Estudio metateórico de la Lógica:

I. Estudio de la derivabilidad.

i. Ax. (DN, TA, Sq) es consistente.

ii. Equivalencia: Ax=DN=TA=Sq.

II. Derivabilidad y entrañamiento.

i. Ax (DN, TA, Sq) es correcto.

ii. Ax (DN,TA, Sq) es fuertemente (débilmente) completo.

III. Propiedades de tipo semántico .

i. Teorema de Compacidad.

IV. Decidibilidad: propiedades genéricas.

i. Procedimientos de decisión.

V. Propiedades metateóricas específicas de cada sistema.

i. Independencia (sistemas axiomáticos)

ii. Eliminación de la regla de corte (Sistemas secuenciales)

iii. Completitud funcional (en relación a las conectivas).

......

El estudio de las propiedades metateóricas de los distintos productos que

ofrece la investigación lógica permite establecer unas relaciones entre ellos que se

suponen en ciertos conceptos de uso frecuente, aunque rara vez se explican de este

modo. Es habitual hacer relación, por ejemplo, a la Lógica de enunciados o a la Lógica

de Primer Orden, o a ésta o aquella lógica como si de una sistema concreto se tratara.

Es decir, se usa el término lógica de... para referirse a algo que no parece agotarse en

la mera descripción de un lenguaje formal y que es también más concreto que lo que

aquí he denominado tratamiento abstracto de la consecuencia. Una lógica en sentido

adjetivo, no es ni un lenguaje L, ni el par formado por un lenguaje y una relación


209

(operación de consecuencia abstracta), es decir un par del tipo <L,R|>. ¿Qué hay más

concreto que esto? Tenemos, en primer lugar, lo que hemos denominado sistema

formal. Un sistema formal es un par formado por un lenguaje L y una relación de

consecuencia semántica definida sobre L a partir de una cierta clase de

interpretaciones admisibles. Se trata, entonces, de un par del tipo <L,√ I> -utilizo el

símbolo √ I para indicar que la consecuencia se define a partir de una clase I de

modelos, aunque si esto queda claro por el contexto se puede omitir-. Pero también es

un acto bien concreto el ofrecer la definición de la derivabilidad en términos de alguno

de los sistemas deductivos estudiados aquí. El par formado por <L,|DN> es, por

ejemplo, un objeto formal bien concreto, aunque tal vez demasiado. Una lógica en

sentido adjetivo hace referencia a un conglomerado de entidades en el que parecen

combinarse adecuadamente las descripciones semántica y pruebo-teorética de la

consecuencia. Descripciones que deben satisfacer ciertos mínimos de semejanza para

que puedan contar como descripciones alternativas del mismo objeto. La descripción

que mejor corresponde a esta idea, absolutamente habitual por otra parte, podría ser

la siguiente:

[22] Una lógica en sentido adjetivo viene dada por un triplo <L,[|S], √ I> en el

que:

i. L es un lenguaje formal.

ii. [|S] es la relación de derivabilidad definida sobre L a partir de un

sistema S que es tomado como representante de la clase de

equivalencia formada por todos aquellos sistemas deductivos del

tipo que sean que prueban exactamente los mismos argumentos

de L.

iii. √ I es la relación de consecuencia semántica definida sobre L a

partir de una clase I de interpretaciones admisibles.

iv. La relación [|S] de derivabilidad es demostrablemente correcta

con respecto a la relación de entrañamiento √ I.


210

Es discutible que no deba exigirse también la completitud de la derivabilidad

con respecto a la consecuencia semántica, pero es un hecho que tal decisión dejaría

fuera lógicas que son reconocidas por formar un triplo del tipo descrito y que, no

obstante, no son completas. Esta nueva noción no debe confundirse con otra que ya

hemos empleado aquí. Me refiero al uso del término lógica para referirse a la colección

de todas las lógicas en sentido adjetivo que poseen una cierta propiedad común de

rango superior. Lógica de enunciados –o proposicional– es, por ejemplo, la colección

formada por todas las lógicas adjetivas definidas sobre LE. La que es generalmente

expuesta en todos los manuales introductorios, y que hemos desarrollado aquí en

sesiones precedentes, es lo que en realidad se conoce como Lógica de Enunciados

Clásica, y consiste en un triplo determinado del tipo de los descritos en [22],

concretamente, <LE, [|DN], √E> -queda claro que |DN ha sido elegido como mero

representante canónico de una clase de equivalencia, y por tanto no constituye

decisión que nos comprometa con nada-. Otra opción, también razonable, consiste en

no mencionar un representante para la derivabilidad formal, sino enumerar todos los

cálculos descritos. La Lógica de Enunciados Clásica quedaría asociada entonces al

triplo <LE, {|Ax, |DN, |TA, |Sq}, √E>.

Esta definición debe tomarse como un intento de explicar por qué nos resultan

naturales ciertas agrupaciones de sistemas y técnicas particulares en una unidad que

de cierta manera consideramos justificada. ¿Qué entidad posee la Lógica de

Enunciados Clásica? Supongo que la de describir desde todos los puntos de vista

lógicamente justificados una y la misma relación de consecuencia sobre un mismo

lenguaje. Por otra parte, se trata de reconocer lo que realmente hacemos al construir

un sistema deductivo, o al definir una clase de modelos. Nunca concebimos esas

operaciones como ensayos del todo independientes, sino como el intento de

representar operadores con un cierto significado, si es antes la teoría de modelos, o de

dotar a ciertas operaciones simbólicas de una justificación modelista, si es antes la

derivabilidad.


211

Aunque esta discusión pueda parecer uno de esos tópicos de escuela acerca

de qué es antes, realmente apunta a problemas de cierta entidad que por el momento

escapan a los objetivos de este curso. Pese a que lo que se indica en [22] es un

intento de explicar lo que realmente hacemos cuando hacemos Lógica, existen

suficientes casos en la literatura de sistemas adjetivos que no se ajustan a ese

formato. Hay lógicas sin una clase de interpretaciones que caractericen

razonablemente sus constantes lógicas, por ejemplo. Pero es también cierto que en

tales ocasiones el esfuerzo de la investigación suele destinarse a hallar un tratamiento

semántico que cubra esa deficiencia. Es menos común el caso inverso, una semántica

sin cálculo, pero tampoco es del todo inimaginable: muchos sistemas empiezan como

una construcción semántica para la que es preciso hallar un cálculo. Casos raros se

pueden encontrar y construir, pero lo que me interesa es explicar por qué resultan,

precisamente, casos raros .


212

Orientación bibliográfica.

Esta sesión supone el inicio de la investigación metateórica en Lógica. Ello

supone dar entrada, con toda prudencia, y en la medida de lo posible a los manuales

que prestan especial atención a estos aspectos. Una introducción, para mí inolvidable,

al tipo de problemas que surgen en el estudio metateórico de la Lógica es la que figura

en la secc. 15 de [Kleene, 1952]. Se trata de un auténtico oasis en un texto de muy

difícil lectura. Contiene, además, un planteamiento histórico muy notable. En esta

misma dirección también se puede citar las secc.5 y 6 del cap.1 de [Hunter, 1969], o

también el primer apartado del cap. XV de [Garrido, 1974].

Para la presentación de los conceptos fundamentales hay muchas fuentes.

[Badesa, Jané y Jansana, 1998] cap. 17 es una buena opción, y [Hunter, 1969],

Segunda Parte, otra. [Manzano, 1989] es una buena referencia, aunque presidida por

una orientación modelista.

A parte de estos, disponemos también de obras en lengua inglesa

considerados clásicos en toda bibliografía. De ellos [Boolos y Jeffrey, 1989] cap. 9

me parece especialmente claro. Otros ítems a tener en cuenta, aunque sólo para una

ulterior referencia son [Bell y Machover, 1977] y [Ebbinghaus, Flum y Thomas,

1984].

Para seguir con detalle la equivalencia entre los distintos sistemas deductivos

presentados se puede acudir a [Marraud, 1998].


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la investigación metateórica en lógica: introducciónlogicaww/textos/l%f3gica%20... · responder...

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