la integral definida departamento de matemáticas autora: mª soledad vega fernández recintos:...
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LA INTEGRAL DEFINIDA
b
a
dxfÁrea
Departamento de Matemáticas
Autora: Mª Soledad Vega Fernández
Recintos: Solucionario del libro de texto Matemáticas II
Ed. Anaya
ÁREA DEL TRAPECIO MIXTILÍNEO
Si f es una función continua y positiva en el intervalo [a,b]:
iii mxxPfI ·),( 1
SIn n
b
annÁrea dxfPfSlímPfIlím
nn
),(),(Departamento de Matemáticas
ÁREA DEL TRAPECIO MIXTILÍNEO
Si f es una función continua y positiva en el intervalo [a,b]:
iii MxxPfS ·),( 1
b
annÁrea dxfPfSlímPfIlím
nn
),(),(Departamento de Matemáticas
SIGNO DE LA INTEGRAL
+
+
-
b
a
dxfÁrea
b
a
dxfÁrea
b
c
c
a
dxfdxfÁrea
a b
-
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INTEGRAL DEFINIDA: PROPIEDADES
b
c
c
a
b
a
dxfdxfdxf.1
0,.2 a
a
dxfbaSi
a
b
b
a
dxfdxf.3
b
a
b
a
b
a
dxgdxfdxgf.4
b
a
b
a
dxfKdxfK ··.5
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TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL
Si f es una función continua en [a,b], existe un punto c en el interior de este intervalo tal que:
)(·)()( cfabdxxfb
a
ba
M
m
c
f(c)
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DEMOSTRACIÓN
a
M
m
c b
(b-a) · m (b-a) · M b
a
dxxf )(
Sabemos que:
Si dividimos entre b-a quedará:
m M
b
a
dxxfab
)(·1
Al ser f continua, toma todos los valores comprendidos entre el mínimo (m) y el máximo (M).
Luego existe un punto c ]a,b[ tal que :
b
a
dxxfab
cf )(·1
)(
Despejando:
b
a
cfabdxxf )(·)()( c.q.d.
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FUNCIÓN INTEGRAL
Si f es integrable en [a,b], podemos calcular:
],[)( baxdttfx
a
y=f(x)
a bx
Tenemos así una función :
x x
a
dttf )(F
x
a
dttf )(
•F(b) = b
a
dttf )(• F(a) = 0•Si f(x)>0 x, F(x) = Área de:
Esta función, F(x) = , se llama FUNCIÓN INTEGRAL
],[)( baxdttfx
a
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Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Sea f continua en [a,b]. Si x [a,b] y
Entonces:
F es derivable y F´(x) = f(x)
x
a
dttfxF )()(
bax ,
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h
xFhxFxF lím
h
)()()´(
0
h
dttfdttfx
a
hx
a
hlím
)()(
0 h
dttfhx
x
hlím
)(
0
Demostración:
Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Y, por el Teorema del Valor Medio: :/[,] hxxc
h
cfhlímh
)(·
0
)()(0
xfcflímh
c.q.d.
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x x x+hx+h
REGLA DE BARROW
b
aaFbFdxxf )()()(
Sea f una función continua en [a,b], y sea F(x) una primitiva de f(x) en [a,b]; entonces:
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CÁLCULO DE ÁREAS: TIPOS DE RECINTOS
dxfÁreab
a
-2
22 xy
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CÁLCULO DE ÁREAS: TIPOS DE RECINTOS
dxgfÁreab
a
6
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b
c
c
a
dxfdxfÁrea b
a
b
a
dxgdxfÁrea
CÁLCULO DE ÁREAS: TIPOS DE RECINTOS
dxghdxgfÁreab
c
c
a
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CÁLCULO DE ÁREAS: TIPOS DE RECINTOS
xxy 22
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CÁLCULO DE ÁREAS: TIPOS DE RECINTOS
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