la geometria de les formes

Departament de Visual i Plàstica. 1r d’ESO. Institut Martí Dot.

Tema 2. Pàgina 1

Tema 2. La geometria de les formes.

2.1 Formes geomètriques bàsiques. El punt És l’impacta d’un material gràfic. Queda definit per la intersecció de dues línies rectes. El punt no es pot mesurar però té posició. S’anomena amb lletres majúscules preferiblement les primeres de l’abecedari. Exemple: A, B,C...

La línia És la trajectòria d’un punt en moviment (Exemple: La llanterna). Successió de punts col·locats fins l’infinit. Tipus de rectes:Recta, corba, ondulada, mixta, espiral, poligonal i trencada.

La línia recta: És el desplaçament d’un punt en una única direcció. Successió de punts col·locats fins l’infinit en una única direcció. S’anomena amb lletres minúscules preferiblement a partir de la r. Exemple: r, s, t... Les rectes són infinites . Tenen una direcció i dos sentits. Les línies rectes poden ser:

Vertical: Suggereix elevació i equilibri Horitzontal: Suggereix estabilitat, continuïtat, pau i calma. Obliqua: Suggereix dinamisme i moviment.

Dues línies rectes poden ser:

Rectes paral·leles: guarden sempre la mateixa distància, i diem que el punt de tall es troba a l’infinit.

Rectes secants: rectes que es tallen formant un angle qualsevol. o Rectes perpendiculars: rectes secants que formen angles rectes, que

mesuren 90º.

Traçat de rectes paral·leles i rectes perpendiculars amb l’escaire i el cartabó.

El segment Part d’una recta limitada per dos punts, que anomenem extrems. S’anomena de la següent manera: AB


Tema 2. Pàgina 2

L’angle És la porció de superfície plana delimitada per dues semirectes, anomenades costats, i el punt comú a les dues semirectes, que s’anomena vèrtex. S’anomena amb una lletra grega. Exemple: α , β, φ...

Tipus d’angles:

Angles del cartabó i l’escaire:

Construcció d’angles:

15º = ( 45º - 30º )

75º = ( 45º + 30º )

105º = ( 45º + 60º )

120º = ( 90º + 30º )

135º = ( 45º + 90º )

150º = ( 90º + 60º )


Tema 2. Pàgina 3

Transport d’angles:

Tracem una semirecta, l’extrem V´ de la qual serà el vèrtex del nou angle. Sobre l’angle que transportem, dibuixem un arc que determina els punts 1 i 2. Damunt la semirecta nova tracem un arc del mateix radi que el primer, que determina el punt 1´sobre aquesta. Agafem la distància 1-2 amb el compàs i fem centre a 1´per traça l’arc que, en tallar-se amb l’arc anterior, determina el punt 2´. Finalment, dibuixem el costat de l’angle amb origen al vèrtex V´ i que passa pel punt 2´.

El pla Quan una línia es tanca damunt d´ella mateixa es comença a suggerir la idea d’un pla o una superfície. Una línia en moviment descriu un pla. El pla és una superfície plana, conceptualment il·limitada, perquè es tracta de l’espai mateix. Però, per operar de forma pràctica, se l’ha de definir i, si cal, delimitar. En aquest cas el pla és bidimensional, té longitud i amplada.

S’anomena amb una lletra grega: , , …

La mediatriu La mediatriu és una recta perpendicular (forma 90º) que divideix un segment en dues parts iguals. Tots els punts de la mediatriu equidisten, disten el mateix, dels extrems del segment. Per construir la mediatriu d’un segment AB es tracen des de cada extrem del segment arcs de circumferència d’un radi més gran que la meitat del segment. Aixa s’obtenen els punts P i Q. La recta que passa per aquests punts és la mediatriu del segment.

La bisectriu La bisectriu és la semirecta que divideix un angle en dues parts iguals. Tots els punts de la bisectriu equidisten, disten el mateix, dels costats de l’angle.

Fem centre al vèrtex de l’angle i tracem l’arc 1-2. A continuació, amb centre a 1 i 2, fem dos arcs del mateix radi que es tallaran al punt P. La semirecta que uneix P amb el vèrtex és la bisectriu.

El teorema de Tales Quan un feix de rectes paral·leles tallen dues rectes coplanàries, que pertanyen a un mateix pla, aquestes queden dividides en segments amb longituds directament proporcionals. El teorema de Tales permet dividir un segment en parts iguals.


Tema 2. Pàgina 4

La circumferència La circumferència és una corba plana i tancada. Tots els punts de la circumferència equidisten, disten el mateix, d’un mateix punt denominat centre (O). La circumferència és una línia i el cercle és un pla. El cercle és l’espai limitat per la circumferència. Elements notables de la circumferència:

1. Radi: El radi és la distància dels punts de la circumferència al centre d’aquesta.

2. Corda: És el segment que uneix dos punts qualsevol de la circumferència.

3. Diàmetre: És la corda que passa pel centre de la circumferència, i mesura, per tant, el doble que el radi.

4. Arc: És una porció qualsevol de la circumferència.

1.

2

3

4

Posicions relatives entre una recta i una circumferència:

1. Recta secant a una circumferència: És la recta que talla la circumferència en dos punts.

2. Recta tangent a una circumferència: La recta tangent i la circumferència tenen un punt en comú. La recta tangent és perpendicular al radi de la circumferència en el punt de tangència.

3. Recta exterior a una circumferència: La recta exterior i la circumferència no tenen cap punt en comú.

1

2

3


Tema 2. Pàgina 5

Construcció de perpendiculars amb regle i compàs Els principals mètodes per traçar rectes perpendiculars a un segment donat són: Que passi pel seu punt mitjà. La recta obtinguda serà la mediatriu del segment donat

Que passi per un extrem del segment

Que passi per un punt exterior al segment

Construcció de paral·leles amb regle i compàs Fixeu-vos que per traçar la recta s, paral·lela a r, hem dibuixat dues rectes perpendiculars a r en dos punts qualsevol d’aquesta i amb l’ajuda del compàs hi hem indicat la mateixa mesura: d. Els punts obtinguts, 1 i 2, ens serviran per dibuixar la recta paral·lela que cercàvem.

2.2 Formes poligonals. Els polígons Un polígon és una figura plana, tancada i limitada per segments (com a mínim 3) que són els seus costats. Els punts extrems són els seus vèrtex.

Si els costats i els angles són desiguals, és un polígon irregular. Si els costats i els angles són iguals, és un polígon regular.

Segons el nombre de costats, els polígons reben el nom de triangles, quadrilàters, pentàgons, hexàgons, heptàgons, octàgons, enneàgons, decàgons i polígons de n costats.

Els triangles Són polígons amb tres costats i tres vèrtex. Els seus angles sempre sumen 180º. Classificació dels triangles segons els seus costats i els seus angles:

Equilàters: amb tres costats i tres angles igual. Angles de 60º, ja que 180/3= 60. Isòsceles: amb dos costats iguals i un de diferent, i, també, amb dos angles

iguals i un diferent. Escalè: amb els tres costats i els tres angles diferents entre si.


Tema 2. Pàgina 6

Classificació dels triangles segons els seus angles:

Acutangle: amb els angles aguts (de menys de 90º). Obtusangle: amb un angle obtús (de més de 90º). Rectangle: amb un angle recte (de 90º).

Per traçar els diferents tipus ens basarem en les dades donades, i en els traçats bàsics d’arcs, de paral·leles i de perpendiculars amb regle i compàs. Exemples de construcció:

Els quadrilàters Són polígons amb quatre costats, i dues diagonals. Els classificarem segons si els seus costats oposats són paral·lels entre si o no. .

Paral·lelograms: tots els costats són paral·lels al seus oposats.

Trapezis: només dos costats són paral·lels.

Trapezoides: cap costat és paral·lel.


Tema 2. Pàgina 7

Per traçar els diferents tipus ens basarem en les dades donades, i en els traçats bàsics d’arcs, de paral·leles i de perpendiculars amb regle i compàs. Exemples de construcció:

2.3 Polígons regulars. Els polígons regulars Són polígons regulars tots els que tenen els costats i els angles iguals. Si tracem una circumferència pels seus vèrtexs, el polígon sempre hi queda inscrit i en comparteix el mateix centre i radi. Posa el nom als següents polígons regulars:

.................. ................ ............. ............... ............... .................... .

..................... ................... ..................... ...................


Tema 2. Pàgina 8

Mètodes particulars Mètodes particulars per construir polígons regulars donat el costat i donat el radi de la circumferència circumscrita.

Construcció d’un triangle donat

el costat.

Construcció d’un triangle donat el radi de la

circumferència circumscrita

Prenem el costat com a base i tracem dos arcs del mateix radi i amb centre a cadascun dels extrems C i B. La intersecció dels dos arcs ens dóna el vèrtex A del triangle equilàter.

Des de l’extrem B d’un diàmetre AB i amb un radi igual que el de la circumferència, tracem un arc, que la tallarà en dos punts, M i N. Si unim els punts A, M i N obtenim el triangle equilàter.

Construcció d’un quadrat donat el costat.

Construcció d’un quadrat donat el radi de la


Tracem dues perpendiculars a i b. Des del punt A tracem un arc del mateix radi que el costat donat. L’arc talla les rectes a i b als punts D i B. Per B tracem la paral·lela al costat a i per D, la paral·lela al costat b.

Donada la circumferència, tracem dos diàmetres perpendiculars, que tallen la circumferència als punts A, B, C, i D. Si unim aquests punts successivament obtenim un quadrat inscrit en la circumferència.


Tema 2. Pàgina 9

Construcció d’un pentàgon

donat el costat.

Construcció d’un pentàgon donat el radi de la


Per l’extrem B del costat a alcem una perpendicular igual que el costat. Unim el punt mitjà M del costat a amb l’extrem S de la perpendicular, i amb el centre a M es fa baixar el radi MS sobre la prolongació del costat AB. La longitud AT és la diagonal del pentàgon; per això els arcs traçats amb centres A i B i radis AT i a donen el vèrtex C, D i E..

Donada la circumferència, tracem dos diàmetres perpendiculars. Des de l’extrem D tracem un arc de radi igual que el de la circumferència. Aquest arc talla la circumferència en dos punts que determinen una recta, que alhora talla el diàmetre CD al punt N. Amb el centre N i amb radi NA tracem un arc que talla el diàmetre CD al punt S. La longitud AS és el costat del pentàgon; per obtenir-lo,doncs, portem aquesta distància 5 vegades sobre la circumferència..


Tema 2. Pàgina 10

Els polígons estrellats Es dibuixen unint divisions no consecutives dels polígons regulars. Segons el polígon hi ha més d’una solució. En la natura també podem trobar aquesta forma poligonal estrellada en fruites com la carambola i flors com l’aquilègia.

Les xarxes poligonals Estan formades per un polígon regular que, com un mòdul, es repeteix sense deixar cap espai buit. Per construir la xarxa cal que els angles que formen els polígons en cada vèrtex sumin 360º.

Les xarxes poligonals bàsiques Són les xarxes construïdes per triangles equilàters (que permeten formar hexàgons) o per quadrats (quadrícula).

Altres xarxes poligonals També podem formar xarxes combinant diferents polígons. Per exemple:


Tema 2. Pàgina 11

Activitats tema 2: La geometria de les formes.

Làmines tema 2: La geometria de les formes.

Làmina 1: El punt. Tema: Lliure. Tècnica: retoladors de colors. Format: DIN A4

Es tracta de fer un dibuix de temàtica lliure fet exclusivament amb punts i intentant aconseguir la sensació de volum mitjançant el procediment del clarobscurs. Si es vol aconseguir una zona d’ombra els punts s’han de fer més gran i uns a prop dels altres. Si es tracta d’una zona de llum els punts tenen una mida inferior i queden més disgregats( separats).

Làmina 2: La línia

Tema: Plantes o insectes. Tècnica: retoladors calibrats (0’8, 0’4 i 0’2). Format: DIN A4

El dibuix s’ha de traçar emprant diferents gruixos de línia. S’ha de crear trames visuals.

Làmina 3: La mediatriu, la bisectriu, circumferència i elements notables

Material: Dibuix tècnic. Format: DIN A4

Làmina 4: Construcció de perpendiculars i de paral·leles amb regle i compàs


El dibuix s’ha de traçar emprant diferents gruixos de línia. S’ha de crear trames visuals.


Tema 2. Pàgina 12

Làmina 5: Construcció amb angles i teorema de Tales


S’ha de dibuixar un angle recte, un angle agut i un l’angle obtús. També s’ha de traslladar un angle, fer el teorema de Tales i una bisectriu.

Làmina 6: Construcció de triangles


1. Construcció d’un triangle isòsceles del qual

coneixem la base i l’altura.

2. Construcció d’un triangle, donats els catets.

3. Construcció d’un triangle escalè, donats els costats.

Làmina 7: Construcció de triangles


Làmina 8: Construcció de quadrilàters. Material: Dibuix tècnic. Format: DIN A4

1. Construcció d’un rectangle del qual coneixem la

mida dels costats.

2. Construcció d’un rombe del qual coneixem les diagonals.

3. Construcció d’un trapezi isòsceles, donades les bases i l’altura.

4. Construcció d’un romboide, donats els costats i

l’angle que comprèn.


Tema 2. Pàgina 13

Làmina 9: Construcció bàsiques: quadrat i triangle. Material: Dibuix tècnic. Format: DIN A4

1- Construcció d’un triangle equilàter donat un

costat.

2- Construcció d’un triangle donat el radi de la circumferència.

3- Construcció d’un quadrat donat un costat.

4- Construcció d’un quadrat donat el radi de la circumferència.

Triangle donat el costat Triangle donat el radi

Quadrat donat el costat Quadrat donat el radi

Làmina 10: El pentàgon. Material: Dibuix tècnic. Format: DIN A4

1. Construcció d’un pentàgon regular donat un costat.

2. Construcció d’un pentàgon regular donat el

radi de la circumferència.

Pentàgon donat el costat Pentàgon donat el radi

Làmina 11: La xarxa i el mòdul Material: retolador, escaire i cartabó. Tècnica: retoladors de colors. Format: DIN A4

S’ha de crear una xarxa poligonal bàsica o una xarxa combinat diferents polígons. Es tracta de practicar el traçat de paral·leles i perpendiculars amb l’escaire i el cartabó.

la geometria de les formes

Documents