la ecuacion de una recta mate 3011 – presentacion 5
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LA ECUACION DE UNA RECTA
MATE 3011 – PRESENTACION 5
Ya hemos mencionado
• La ecuación en dos variables que representa una recta tiene la forma :
• y = m x + b• Por ejemplo, a la
derecha se muestra la grafica de y = 2x – 1
Nota: La gráfica tiene tres características distintivas:
su inclinaciónintercepto – yintercepto - x
Noción de pendiente Se describe la inclinación de
una recta con una medida llamada pendiente.
A mayor pendiente, mayor inclinación. (En la figura L1 está más inclinada que L2.)
Para calcular la pendiente, tomamos dos puntos y calculamos:
Ejemplo Hallar la pendiente de la recta
que pasa por los puntos (1, 3) y (3, 7).
Utilizando la fórmula:
Observemos la figura 4.2 Nota: La pendiente es
positiva, la recta «sube» en el plano (de izquierda a derecha
Pendiente Positiva y Negativa
Ilustramos ambos casos:
Hallar la pendiente Haz un boceto de la recta que pasa
por los dos puntos dados y halla la pendiente.
a) A(-1, 4) and B(3, 2)
b) A(2, 5) and B(-2, -1)
c) A(4, 3) and B(-2, 3)
d) A(4, -1) and B(4, 4) Ilustramos:
Hallar la pendiente (continuación)
2 4 2 1
(a) 3 1 4 2
m
5 1 6 3(b)
2 2 4 2m
Slope of Line (cont’d)3 3 0
(c) 02 4 6
m
(d) La pendiente no está
definida.
Esbozar una recta dada la pendiente
Esboce la recta que pasa por P(2, 1) y que tiene pendiente igual a
a) 5/3SOLUCION (a) : • Dado que P(2, 1) está en
la recta, podemos obtener otro punto moviendo 3 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia arriba.
• Esto nos da un segundo punto Q(5, 6).
• Esbozamos la recta uniendo los dos puntos con una línea recta.
Esbozar una recta dada la pendiente
Esboce la recta que pasa por P(2, 1) y que tiene pendiente igual a
b) -5/3SOLUCION (b) : • Dado que P(2, 1) está en la
recta, podemos obtener otro punto moviendo 3 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia abajo.
• Esto nos da un segundo punto Q(5, - 4).
• Esbozamos la recta uniendo los dos puntos con una línea recta.
Diagrama de diferentes pendientes
Ejemplo: rectas horizontales y
verticalesHallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3, 4) y que es paralela a(a)el eje de x
(b) el eje de y
SOLUCION:(b)Una recta paralela al eje de x
es una recta horizontal. Su pendiente es 0. Su ecuación es y = 4.
(c)Una recta paralela al eje de y es una recta vertical. Su pendiente NO está definida. Su ecuación es x = -3.
Forma Punto-Pendiente Dada la pendiente
de una recta, m, y un punto sobre la recta, P(x1, y1 ),
usamos
y – y1 = m(x – x1) ,
para hallar la ecuación de la recta.
Ejemplo
SOLUCION:• La figura muestra un boceto de la recta.• Para hallar la ecuación necesitamos,
primeramente hallar la pendiente.• =
Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 7) y B(-3, 2).
Ejemplo (continuación)Se puede utilizar cualquier de los dos puntos en este paso. Aquí usamos:
y – y1 = m(x – x1)
Forma Pendiente-Intercepto
y = mx + b . El número b es el intercepto en y de la
gráfica. La gráfica es una recta con
pendiente m y que pasa por el punto (0, b) .
Ilustramos:
Slope-Intercept (cont’d)
recta con pendiente (inclinación igual a m
EjemploExprese la ecuación 2x – 5y = 8 en la forma pendiente-intercepto.
SOLUCION:
2x – 5y = 8 - 5y = -2x + 8
EjemploDado 2x – 5y = 8 , esboce la gráfica de la ecuación.
SOLUCION: Primeramente, debes clasificar la ecuación. En este caso sabemos que la ecuación es lineal por que el exponente de la variable x y el exponente de la variable y es 1.• Hallar los interceptos:• int-y: (x =0) 2(0) – 5y = 8
• int-x: (y=0) 2x – 5(0) = 8 x = 4
(4, 0)
Rectas paralelas y perpendiculares
Dos rectas, m1 y m2, son paralelas
si y solo si tiene la misma pendiente, m1 = m2 .
Dos rectas, m1 y m2, son
perpendiculares si y solo si m1m2 =
-1 ,
(esto es, que una de las pendientes es el recíproco negativo de la otra. )
Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso. (a) La recta que pasa por (–1, –2) y (1, 2) y la recta que pasa por (–2, 0) y (0, 4).
Hallar y comparar pendientes:
Pendientes iguales; rectas paralelas.
Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso. (b) La recta que pasa por (0, –4) y (-1, -7) y la recta que pasa por (3, 0) y (-3, 2).
Hallar y comparar pendientes:
Una pendiente es el recíproco negativo de la otra; rectas perpendiculares.
Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso. (b) La recta –x + 2y = -2 y la recta 2x = 4y + 3
Convertir cada ecuación a la forma pendiente intercepto:
Pendientes iguales; rectas paralelas
–x + 2y = -2 2y = x – 2
2x = 4y + 32x – 3 = 4y
EjemploHallar la ecuación de la recta que pasa por P(6, -7) y que es perpendicular a 6x + 3y = 4.SOLUCION: • Hallar la forma pendiente intercepto de la
ecuación:• 6x + 3y = 4• 3y = 4 – 6x
• (La pendiente de esta recta es m = -2)• La pendiente de la recta que buscamos es ,
o sea
EjemploHallar la ecuación de la recta que pasa por P(6, -7) y que es perpendicular a 6x + 3y = 4.SOLUCION (continuación): • Con la pendiente de la recta y el punto (6, -
7) podemos hallar la ecuación.• La forma punto-pendiente es y – y1 = m(x –
x1)• Sustituyendo tenemos: y – (-7) = ½ (x – 6)• Simplificando
• 2y – x = -20
Ejemplo (cont.)