Lectura:

La construcción del significado de las operaciones

En lo concerniente a la construcción del significado de las operaciones es ampliamente conocido el trabajo

de clasificación de problemas con estructura aditiva conocida como PAEV. Este documento no se centra en

el estudio de dicha tipología, sino que la asume conocida por el participante. Si no fuese el caso, o se quisiera

profundizar en este tema se sugiere la lectura de otros documentos como parte de esta unidad, entre ellos

el Informe para el docente Evaluación Censal de Estudiantes 2011 elaborado por la UMC1.

El presente documento enfatiza, más bien, por un lado, el concepto mismo de operación y, por otro lado,

sugiere algunas estrategias y recursos para la resolución de problemas aditivos.

1 http://umc.minedu.gob.pe/?p=230

Concebir a una operación como una transformación en dos sentidos es una idea fundamental para entender

el concepto de estructura aditiva en la que las operaciones matemáticas de adición y sustracción parecen

presentarse al mismo tiempo.

Entender una operación como una transformación permite ampliar este concepto y aplicarlo a una mayor

cantidad de situaciones.

Consideremos, por ejemplo, la transformación:

Por cinco botones blancos obtengo un botón amarillo.

Esta transformación se da en un solo sentido, es decir, transforma cinco botones blancos en un único botón

de color amarillo.

Docentes y acompañantes pedagógicos deben estar de acuerdo que para que esta transformación sea

considerada una operación el estudiante debe ser capaz de revertir la transformación, es decir, debe llegar a

comprender que si tiene un botón amarillo puede transformar a este en los cinco botones blancos iniciales:

Por un botón amarillo obtengo cinco botones blancos.

A dicho proceso se conoce como reversibilidad.

Una operación es una transformación en dos sentidos

Por cinco botones

blancos obtengo

un botón amarillo

Por un botón amarillo

obtengo cinco botones

blancos

Figura 7: Una operación es una transformación en dos sentidos

Figura 8: Saber sumar no es igual a saber “hacer sumas”

¿Cuántos patos hay en esta página?

Muchos docentes confunden la operación con el algoritmo asociado a dicha operación. Como resultado de ello,

muchos estudiantes suelen ser eficientes en el cálculo, pero tienen serias dificultades para resolver un

problema. En ese sentido, dudan entre usar una u otra operación o las ejecutan de forma irreflexiva muchas

veces guiándose de palabras clave.

Comprender una operación implica saber en qué contextos es pertinente utilizar dicha operación; en otras

palabras, conocer qué tipo de problemas me permite resolver. Como es lógico, la manera más idónea en la

que un niño pueda construir el significado de una operación es enfrentándolo a diversas situaciones

problemáticas en donde aplicar la operación tenga sentido.

Saber sumar no es igual a saber “hacer sumas”

2 + 3= 5

Aplicación del algoritmo (“hacer sumas”)

En este caso, para saber

cuántos patos hay en total

(resolver el problema

planteado), la niña agrupa

todos los patos que observa;

es decir, suma.

Docentes y acompañantes pedagógicos reconocen que la dificultad frente a una estructura aditiva es variable

y que ello dependen tanto de la estructura como el lugar que ocupa la incógnita.

A continuación se enumeran las estructuras aditivas de menor a mayor dificultad obtenidas en una investigación

a estudiantes españoles de segundo grado de primaria. El porcentaje entre paréntesis representa la tasa de

éxito, es decir, el porcentaje de niños que respondió correctamente la pregunta.

Enunciado Estructura

aditiva Descripción

Tasa de éxito

En un colegio hay 68 chicas y

52 chicos. ¿Cuántos

estudiantes hay en el colegio?

Combinación 1

Se ofrecen de dato las partes

y se solicita calcular el total

73%

Corinne tiene 37 cromos en

una caja. Pega 12 en su

álbum. ¿Cuántos hay ahora en

la caja?

Cambio 2

Se tiene una cantidad inicial

y una variación (disminución)

y se solicita la cantidad final.

66%

El contador de la

fotocopiadora marca 132. La

maestra hace 16 fotocopias.

Ahora, ¿cuánto marcará el

contador?

Cambio 1

Se tiene una cantidad inicial

y una variación (aumento) y

se solicita la cantidad final.

65%

En una clase hay 28 alumnos.

La maestra cuenta los niños.

Hay 12. ¿Cuántas niñas hay

en la clase?

Combinación 2

Se ofrece de dato el total y

una de las partes y se

solicita la otra.

56%

Marcos tiene 38 canicas y

Pedro 25. Marcos tiene más

canicas que Pedro. ¿Cuántas

tiene más?

Comparación 1

Dadas dos cantidades se

solicita determinar cuántas

unidades más tiene una en

relación a la otra.

47%

María tiene 39 años; tiene 23

años más que su hijo Tomás.

¿Cuál es la edad de Tomás? Comparación 5

Dada una cantidad y el

exceso de esta sobre una

segunda, se solicita calcular

la segunda cantidad.

45%

Pablo juega a la oca. Su ficha

está sobre una casilla azul.

Avanza 14 casillas y llega a

una casilla roja marcada con

el número 37. ¿Cuál era el

número de la casilla azul?

Cambio 5

Dada un aumento y la

cantidad final, se solicita

calcular la cantidad inicial.

43%

La maestra tiene 42

cuadernos en el armario. El

director le da una caja de

cuadernos. Ahora tiene 67

cuadernos en total. ¿Cuántos

cuadernos le ha dado el

director?

Cambio 3

Se solicita determinar en

cuánto aumentó una

cantidad inicial para obtener

una cantidad final.

39%

Los valores de la tabla deben entenderse solo como referenciales y no como absolutos puesto que la dificultad

a un problema de estructura aditiva se ve influenciada por otros factores, tales como el ámbito numérico, la

redacción o la familiaridad con el contexto. Sin embargo, brinda información extremadamente útil para graduar

la dificultad de las situaciones problemáticas presentadas en clase.

1. Combinación 1: Es decir, cuando se ofrece de datos las partes y se solicita calcular el total (73%).

2. Cambio 1 y 2: es decir, situaciones en donde dada una cantidad inicial y una variación, se solicita la

El orden de dificultad de las estructuras aditivas

Se ha mencionado en la unidad correspondiente a la construcción del número el uso de material concreto como

contadores para modelar y resolver problemas aditivos simples en un ámbito numérico pequeño. Los esquemas

se muestran a continuación:

Aumentar Disminuir

Juntar Separar

Para situaciones aditivas con un ámbito numérico mayor se recomienda utilizar numerales pero inscritos en

algún tipo de esquema que le aporte significado a cada cantidad. Por ejemplo, en el caso de problemas de

combinación un esquema posible es:

Donde la franja superior corresponde al total y las dos franjas inferiores corresponden a las partes.

Mientras que para los problemas de cambio, se recomienda un esquema del tipo:

El recuadro de la izquierda representará la cantidad inicial y el de la derecha la cantidad final. El recuadro de

arriba en medio representará, por su parte, la variación que dependiendo del sentido de la flecha representará

un aumento o disminución.

Uso de material concreto y estrategias de resolución de problemas

IMPORTANTE: El uso de esquemas tiene un sentido que es necesario precisar. No hacerlo entrañaría el

riesgo de convertir el uso del esquema en un fin en sí mismo y como resultado de ello intentar enseñar

cuál usar en cada situación.

Los esquemas permiten establecer un sistema de códigos que ayudan a identificar las cantidades más

relevantes en un problema y asignarle un lugar en función del rol que ostenta en el enunciado. Un esquema,

en ese sentido, revela el grado de comprensión de las relaciones que surgen en un enunciado y de cómo

el lugar que ocupa el valor desconocido modifica por completo el proceso de resolución.

Los esquemas, por otro lado, se convierten en un sistema de comunicación eficaz con el que se puede

expresar o interpretar relaciones, por ejemplo, cuando se elabora un problema a partir de un esquema.

A continuación se sugiere una secuencia para el uso de estos esquemas en el caso de situaciones aditivas

con el significado de aumentar- disminuir (cambio), reunir y separar (combinación):

SITUACIONES ADITIVAS CON EL SIGNIFICADO “AUMENTAR- DISMINUIR”

Desarrollaremos dos casos:

CASO 1. Cuando la incógnita sea la cantidad final. Por ejemplo: Tenía 12 caramelos y me comí 7. ¿Cuántos

caramelos tengo ahora?

CASO 2. Cuando la incógnita sea la cantidad relacionada con el cambio o variación. Por ejemplo: Tenía 12

caramelos, me comí algunos. Ahora me quedan 8 caramelos. ¿Cuántos caramelos me comí?

Observación: Es más o menos evidente que el segundo de los casos es mucho más desafiante que el

primero, pero conviene introducirlos desde primer grado con las estrategias adecuadas e ir explorando el

nivel de comprensión de los estudiantes.

SITUACIONES ADITIVAS CON EL SIGNIFICADO “REUNIR-SEPARAR”

Desarrollaremos también dos casos:

CASO 1. Cuando la incógnita sea el total. Por ejemplo: Tengo 7 caramelos de fresa y caramelos de limón.

¿Cuántos caramelos tengo en total?

CASO 2. Cuando la incógnita sea una de las partes. Por ejemplo: Tengo 12 caramelos, algunos son de

fresa y el resto de limón. 7 caramelos son de fresa. ¿Cuántos caramelos son de limón?

Observación: Como en la situación anterior, el segundo caso es más complejo que el primero.

ASPECTOS CLAVES

En cualquiera de los casos mencionados hay 3 aspectos claves sobre los que es preciso prestar atención.

1. La comprensión del problema

El primero de ellos se refiere a que, al ser un enunciado verbal, la comprensión lectora es

fundamental. En ese sentido, una parte importante de las sesiones se debe destinar a favorecer la

comprensión de lo que en el enunciado se describe.

Entre algunos elementos a tomar en cuenta, podemos mencionar:

1. Elementos que intervienen en el problema:

¿De qué personas me hablan? De María y de José.

¿De qué me hablan? ¿De su edad, de su talla? De sus caramelos.

¿Del sabor de los caramelos, de la cantidad de caramelos? De la cantidad de caramelos

de María y de José.

En estas tres primeras preguntas se aborda algo fundamental: la definición de las

“variables” en juego. Nótese que no es suficiente con quedarse al nivel de los nombres

sino que es preciso definir con claridad cuáles son las variables del problema.

2. Relaciones entre dichos elementos y datos relevantes:

¿Qué me dicen de la cantidad de caramelos que tiene María y José? Que María tiene 12

caramelos menos que José. Que María tiene 18 caramelos.

¿Quién tiene más? ¿Por qué?

¿Quién tiene menos? ¿Cuánto menos?

3. Definición de la pregunta:

¿Qué me piden encontrar? La cantidad de caramelos que tiene José.

2. La representación

El segundo de ellos se refiere a las formas de representación, pues en este tipo de problemas las

formas de representación se transforman en sí mismas en estrategias de resolución que facilitan

o complejizan el proceso.

Por ejemplo:

Formar conjuntos con elementos concretos (frejoles, piedritas, botones, etc.), añadir elementos,

quitar elementos, separar elementos, etc., y luego contarlos.

Asimismo, los estudiantes pueden representar gráficamente las cantidades a considerar en el

problema.

Finalmente, está el uso de esquemas como los vistos anteriormente.

3. Las estrategias de cálculo

Estas se pueden clasificar principalmente en estrategias de modelización, de conteo y

determinación y uso de las operaciones matemáticas en juego.

Luego de la modelización, los estudiantes pueden recurrir al conteo o a una operación matemática

dada.

Estrategias de conteo:

En relación al conteo, las estrategias pueden ser:

- Contar todos los elementos desde uno.

- Sobre conteo, es decir, contar a partir de uno de los sumandos.

- Contar hasta. Por ejemplo: ¿12 -9? 10, 11, 12. “Tres”

- Conteo regresivo. Por ejemplo: ¿12 – 9? 11, 10, 9. “Tres”

Estrategias de determinación y uso de operaciones matemáticas:

Consiste en determinar primero la operación que me llevará al resultado. Este

procedimiento implica razonamiento y no el simple uso de palabras claves. Una vez

definida la operación, el estudiante la calcula haciendo uso de alguna estrategia de cálculo

ya sea convencional o no convencional.