Operaciones combinadas.

• Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias operaciones aritméticas para resolver. Para obtener el resultado correcto deben seguirse las siguientes reglas:

• Primero se deben separar los términos y luego resolver cada uno de ellos.

• - Se resuelven las operaciones encerradas entre paréntesis, corchetes y llaves en el siguiente orden:

• 1) Potenciación y radicación 2) Multiplicación y división 3) Suma y resta

- Se resuelven las sumas y las restas que separan los términos.

Expresión Algebraica

• Definición.-Dentro del proceso de solución de un ejercicio, problema o exposición de una teoría, un símbolo (generalmente una letra) que se usa para representar un número real arbitrario se llama variable real.

• Término algebraico: es el producto y/o división de una o más variables (factor literal) y un coeficiente o factor numérico. Por ejemplo:

• En este término algebraico, tenemos que 3 es el factor numérico y el coeficiente literal.

• ; En este término algebraico, tenemos que -1 es el factor numérico y el coeficiente literal.

Expresión algebraica:

• Es el resultado de combinar uno o más términos algebraicos mediante las operaciones de adición y/o sustracción. Por ejemplo:

• Cuando una expresión algebraica tiene un sólo termino algebraico, recibe el nombre de Monomio. Si la expresión algebraica tiene dos términos algebraicos recibe el nombre de Binomio. Si tiene tres términos algebraicos, recibe el nombre de Trinomio. Y en caso contrario si tiene más de tres términos algebraicos, se denomina Multinomio.

• Además, las expresiones algebraicas con exponentes positivos se llaman polinomios.

• Por ejemplo: es un monomio (polinomio), pues tiene un solo término algebraico (con exponentes positivos).

Uso de paréntesis

• En álgebra, al igual que en aritmética, los paréntesis nos sirven para indicar que las operaciones que ellos encierran tienen prioridad ante las demás, o bien para indicar lo que está dentro de ellos debe ser considerado como un todo.

• Para suprimir los paréntesis en una expresión algebraica se siguen las siguientes reglas:

• Si un paréntesis es precedido por un signo positivo, entonces se puede suprimir sin cambiar los signos de los términos que están dentro de ellos.

• En caso contrario, esto es si un paréntesis es precedido por signo negativo, entonces al suprimir el paréntesis los términos que están dentro de él cambian de signo.

• En el caso que a un paréntesis no le preceda ningún signo, entonces se entiende que el paréntesis tiene un signo positivo.

• Por ejemplo, en la siguiente expresión, suprimir los paréntesis y reducir los términos semejantes.

• Para resolver este ejercicio se puede hacer de dos formas, una es eliminar inmediatamente los paréntesis y luego reducir los términos semejantes. La segunda forma es reducir los términos semejantes dentro del paréntesis y luego eliminar los paréntesis, y nuevamente reducir términos semejantes. Aplicaremos la segunda forma:

• Definición: Un polinomio en es una suma de la forma:

• Donde n es un entero no negativo y cada coeficiente de es un numero real. Si es diferente de cero, se dice que el polinomio es de grado.

• El coeficiente de la potencia más alta de es el coeficiente principal del polinomio.

1

1 1 0...n n

n na x a x a x a

Operaciones con Polinomios:

• Suma: Sumamos términos semejantes es decir sumamos aquellos términos cuyas variables y exponentes sean iguales. Los pasos para hacer las sumas son:

• Paso 1: Elimine los paréntesis

• Paso 2. Agrupe términos semejantes

• Paso 3. Sume y reste los términos semejantes.

• Ejemplo: Halla la suma de: 3 2 3 2( 2 5 7) (4 5 3)x x x x x

3 2 3 22 5 7 4 5 3x x x x x3 23 2(2( 54 ) ) 7 )5 ( 3x xx x x

23( ( 3 ) 5 0) 15 ( )x xx

3 25 3 5 10x x x

• Resta: Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes del los paréntesis cambia el signo de los términos dentro del paréntesis.

• Ejemplo: Resta los siguientes polinomios:

3 2 3 2( 2 5 7) (4 5 3)x x x x x

• Paso 1: Si un paréntesis tiene antepuesto o detrás un signo negativo, afecte los signos dentro del paréntesis cambiándolos por el opuesto y reemplaza el signo negativo que se encuentra antes del paréntesis por uno positivo.

3 2 3 2(4 5 3) ( 4 5 3)x x x x

• Paso 2: Elimine los paréntesis. Para hacerlo solo escriba los términos que están dentro del los paréntesis con sus signos correspondientes e ignore el signo + que entre los dos paréntesis.

• Paso 3: Agrupe los términos semejantes es decir los términos con iguales variables e iguales exponentes.

• Paso 4: Sume y reste los términos semejantes.

3 2 3 2( 2 5 7) (4 5 3)x x x x x3 2 3 2( 2 5 7) ( 4 5 3)x x x x x3 2 3 22 5 7 4 5 3x x x x x

3 3 2 24 5 2 5 7 3x x x x x

3 23 7 5 4x x x

=

• Multiplicación:

• Ejemplo 1. Multiplicación de monomio por monomio:

• Multiplicamos las constantes o números y las variables

• La realización de este tipo de cálculos tiene sentido en dos casos: a) para expresar o llevar a cabo cálculos numéricos; y b) para resolver ecuaciones o problemas diversos. Un ejemplo del primer caso es el siguiente: el producto de dos binomios de la forma (x + a) (x – a) se puede expresar como:

• (x + a)(x - a) = x2 – ax + ax – a2 = x2– a2