La calculadora básica Tomás Ortega

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LA CALCULADORA BÁSICA

Tomás OrtegaDidáctica de la Matemática. Universidad de Valladolidortega@am.uva.es

La calculadora básica es una potenteherramienta de cálculo matemático que,sabiendo matemáticas, permite realizarinfinidad de tareas. De los innumerablesmodelos que hay en el mercado, aquí seconsidera uno de los más sencillos.Véase la figura.

A la vista de la figura es fácil enumerar loselementos que la componen:

Teclado. Conjunto de teclas que permiten dar las instrucciones, consta de:

- Una tecla de conexión ON/OFF

- Diez teclas numéricas: 0, 1, ..., 9.

- Dos teclas de borrado C y CE.

- Tres teclas de memoria M+, M- y MR, y algunos modelos tienen “Min”.

- Cuatro teclas de operaciones aritméticas: +, -, x, :.

- Una tecla del punto decimal.

- Una tecla de igualdad.

- Una tecla de raíz cuadrada.

- La tecla de % es un adorno en algunos modelos.

- Algunos modelos suelen tener la tecla de cambio de signo +/-.

Display. Ventana donde aparecen los números que se teclean y los resultados de los cálculos.

Memoria. Parte de la calculadora donde se ejecutan las órdenes y se guardan números:

- Activa: zona de la memoria destinada a efectuar los cálculos.

- Pasiva: zona de la memoria destinada a guardar un número.

En la actualidad es una de las mejores herramientas de cálculo y sus características más importantes sonlas siguientes:

- Es de fácil transporte.

- Tiene un tamaño muy reducido.

- Es muy barata.

- Tiene una potencia de cálculo enorme.

Figura 6. Calculadora básica

La calculadora básica Tomás Ortega

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Generalidades

La utilización de la calculadora es muy sencilla. Se conecta pulsando la tecla "ON" y se desconecta conOFF (algunos modelos se conectan al pulsar una tecla cualquiera y se desconectan tras un período deinactividad).

1. Para realizar una operación aritmética (suma, resta, producto o cociente) se teclea el primersumando, a continuación la correspondiente tecla de la operación aritmética, después el segundonúmero (sumando, sustraendo, factor -multiplicador-, o divisor) y, por fin, tecla "=".

2. Para hallar una raíz cuadrada se teclea el número y después la tecla .

3. Para hallar un porcentaje se pulsa la tecla "%", después el tanto por ciento, a continuación latecla "=", después la cantidad y, finalmente, se pulsa la tecla "=".

4. Los números decimales (sólo decimales finitos) se escriben pulsando la tecla ".", después dehaber tecleado la parte entera.

Cuando el alumno esté en la fase de aprendizaje de las operaciones aritméticas (sea cualsea la operación) sólo se debe utilizar la calculadora como material de refuerzo: puedeusarla para verificar los resultados que obtiene manualmente y como medio deaprendizaje de tablas numéricas. Sin embargo, conviene señalar que el usoindiscriminado de la calculadora es perjudicial porque crea en el alumno unadependencia tal, que en ocasiones le imposibilita efectuar operaciones muy sencillas,bien porque no sabe, bien porque le parece que manualmente debe realizar un trabajoímprobo. En los siguientes apartados se describe una serie de tareas en las que puede serinteresante el uso de la calculadora en orden creciente de dificultad. El éxito o fracasodepende de múltiples factores que, en ocasiones, pueden pasar inadvertidos: el propioalumno, entorno familiar, profesor, clase, compañeros, momento, etc.

Al comenzar una sesión de trabajo conviene inicializar la memoria (ponerla a cero), esto se hace pulsandoMR y M- o bien MR, la tecla de cambio de signo y M+ (Si tiene la tecla Min se teclea 0 y después Min). Sino se hace esta puesta a cero, todos los cálculos que se hagan utilizando la memoria apareceránincrementados en el valor que figure.

Verificación de resultados

Bajo este título se agrupan actividades elementales que pueden llevar a cabo los niños en el aula y en sucasa para reforzar el aprendizaje del cálculo. Señalamos éstas:

1. Sumas de dos sumandos menores que 10. Con esta actividad repetitiva el niño puede irmemorizando las tablas de sumar, para ello conviene que repita oralmente los sumandos y elresultado.

2. Sumas de dos sumandos mayores que 10 y sumas con llevadas.

3. Sumas indicadas de varios sumandos. 325+67+1589. Puede comprobar si losresultados son correctos (fallo de colocación o de suma).

4. Restas sin llevadas. Adquisición del concepto de resta quitando del minuendo el sustraendo.

5. Restas El resultado de restar a doce siete es el mismo número que sumado a siete da doce (12-7=__ 7+__=12)...

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6. Filas o series de sumas y restas.7+13-5+10+5-15+2.

7. Verificación de progresiones aritméticas sencillas. 1, 3, 5, 7, ...; 1, 4, 7, 10, ... ¿Son igual deinteresantes esos ejemplos que 2, 4, 6, ...; 3, 6, 9, ...; 4, 8, 12, ...?

8. Producto de dos factores menores que 10. Ejercicio al que se aplican los mismos comentariosque para la suma.

9. Efectuar sumas de sumandos iguales y menores que diez (multiplicando) un número de vecesmenor o igual que diez (multiplicador) para asimilar el concepto de multiplicación.

10. Efectuar restas iteradas de un número para entender el concepto de división exacta: dados D y dencontrar C tal que D=d*C.

11. Obtención del resto: R=D-d*[C]

12. Comprobación de los resultados de divisiones enteras. D=d*C+R.

13. El cálculo mental (o escrito) es muy interesante porque con esta actividad el niño adquieredestreza operativa y desarrolla la capacidad de retención numérica. Si a la vez que va calculandomentalmente (o sobre papel) se teclea el ejercicio en la calculadora, manteniendo tapada la líneade display, al final puede comprobar instantáneamte si su solución coincide con la de lacalculadora.

Verificación de propiedades y cálculos indicados

En este apartado exponemos una series de tareas en las que la calculadora es unaherramienta muy apropiada para comprobar las propiedades y para ordenar los cálculos:

1. Comprobación de las propiedades asociativa y conmutativa de la suma. 7+6=6+7;(2+7)+5=2+(7+5); 7-6=-6+7; (2-7)+5=2+(-7+5); 3.78+0.635=0.635+3.78;(2+0.76)+5.427=2+(0.76+5.427).

2. Verificación de las propiedades asociativa y conmutativa del producto. 7*6=6*7,(2*7)*5=2*(7*5); 7*(-6)=-6*7; (2*(-7))*5=2*((-7)*5); 3.78*0.635=0.635*3.78;(2*0.76)+2*5.427=2+(0.76+5.427).

3. Comprobación de la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. 3*2+3*5=3*(2+5);3*(-2)+3*5=3*(-2+5); 3.7*0.43+3.7*(-2.3)=3.7*(0.43-2.3).

4. Realizar múltiples ejercicios de "sacar factor común". Hasta con la calculadora es máscomplicado efectuar 3*5-3*8+3*7 que 3*(5-8-7), más aún, todavía es más sencillo efectuar (5-8+7)*3 y con ello el alumno ve la utilidad de la propiedad conmutativa (ídem con númerosdecimales).

5. Realizar múltiples ejercicios de reglas aritméticas de signos. 3-(2+5*(3-2*(2+3))-1). (Ídem condecimales)

6. Utilización correcta de paréntesis. Además de sacar factor común, se deben evitar ambigüedadesde divisiones y restas: 2-3-5 es distinto de 2-(3-5) (aquí está implícita la distributiva); 2:3:6 esambiguo y debe escribirse 2:(3:6) ó (2:3):61. Aunque la utilización correcta de paréntesis no esmotivo de estudio aquí, el abuso de los mismos puede ayudar al niño a realizar bien un ejerciciodeterminado pero no a aprender su uso. Ejemplo: 2+(5*8)-7 les ayuda a calcular correctamente2+5*8-7 (=2+40-7=35); sin embargo, no les enseña a calcularlo y cuando tengan que hacerlo

1 Estas dos ambigüedades de la resta y de la división es debido a que éstas noson operaciones, ya que paraalcanzar este estatus, tienen que tener la propiedad asociativa.

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sin los paréntesis unos alumnos darán la solución correcta, otros escribirán 7*8-7=49 y otros2+5*1=7.

7. Comprobación de las operaciones con fracciones utilizando aritmética entera (castillos defracciones).

433:

75

51

35:

139

111

+−

+

Cálculos diversos

En este apartado enumeramos algunos cálculos en los que la calculadora descrita es el útil adecuado.También describimos otros en los que sería más apropiado utilizar otra que tuviera teclas de funciones;sin embargo, lo hacemos con esta para destacar que se trata de una herramienta de cálculo y que, ladeficiencia de la máquina se puede suplir con un conocimiento apropiado de las matemáticas.

1. Cálculos de descuentos sin utilizar la tecla %. El 20% de descuento de la cantidad A es 0.20*A yla cantidad a pagar es 0.80*A. El recargo de un 15% es 0.15*A y la cantidad a pagar es 1.15*A.

2. Reglas de tres simples y compuestas: el computo numérico es muy sencillo una vez que se harealizado el esquema correspondiente.

3. Evaluación de fórmulas matemáticas. El volumen de una esfera es 3·34 rV π= .

4. Las soluciones de la ecuación ax2+bx+c=0 son:a

acbbx2

42 −±−=

5. Buscar números que verifiquen ciertas propiedades: Hallar dos números enteros tales que suproducto sea 759 y su suma 56. Tales números deben de estar cercanos a 28 (56/2) porque28.28=784, que está cerca de 759; esto nos indica la conveniencia de ensayar productos de dosnúmeros que se obtienen sumando y restando una unidad. Otra técnica apropiada consiste endescomponer 759 en factores primos e ir examinando la suma.

6. Obtención de raíces enteras de un polinomio. Las posibles raíces enteras de x4-x3-11x2-x-12 son±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 y de ellas son raíces enteras x=-3 y x=4

7. Obtención de raíces reales de forma aproximada. P(x)=x4+3x3-2x-1 tiene una raíz entre 0 y 1 yaque: P(x) es continua, P(0)=-1<0 y P(1)=1>0. Conviene ver el signo de P(0.5), si es positivo laraíz está entre 0 y 0.5 (se ensaya con x=0.25), si por el contrario P(0.5)<0, la raíz está entre 0.5 y1 (y se ensaya con x=0.75).

8. Evitar "overflow" (rebasamiento) evaluando números combinatorios (Se evalúa lasimplificación).

15·8·17·191·2·3·4·5·6

15·16·17·18·19·20620

==

9. Pasar G grados, M minutos y S segundos a radianes (y el problema recíproco). El mismoalgoritmo sirve para las medidas horarias.

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180360060

SMGRad

++=

10. Cálculos estadísticos.

11. Cálculos en progresiones.

12. Cálculos de interpolación.

13. Evaluación de constantes irracionales. (1+1/n)n y la serie 1+1+1/2!+1/3!+1/5!+... permitenhallar "e". El número π se halla mediante la serie: π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15...

14. Evaluación de funciones trascendentes elementales. ex=1+x+x2/2!+x3/3!+x4/4!+..., log(1+x)=x-x2/2+x3/3-x4/4+...,

sen(x)=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+...,

e0.3=1+0.3+0.32/2!+ 0.33/3!+ 0.34/4!+ ...,

log(1+x)=0,2-0,22/2+0,23/3-0,24/4+ ...,

sen(0,2)= 0,2-0,23/3!+0,25/5!-0,27/7!+ …