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Generacin de los Componentes Principales

Se ha dicho que los componentes principales tienen ciertas caractersticas que son deseables: a) Los componentes principales no estn correlacionados. b) Cada componente principal sintetiza la mxima variabilidad residual contenida en los

datos. Es decir, el primer componente sintetiza la mxima variabilidad posible en el conjunto de datos originales; el segundo componente sintetiza la mxima variabilidad restante, sujeta a la condicin de no correlacin con el primer componente, y as hasta el p-simo componentes.

c) Cada componente contiene informacin de todas las variables pero en diferentes proporciones. Matricialmente se expresa la generacin de los componentes a travs de:

( ) ( ) ( ) ( )1= pxppxpnxpnxp DLXY donde : Y: Matriz cuyas columnas representan las nuevas variables (componentes principales). Estas tienen la propiedad de ser no correlacionadas. X: Matriz de datos originales L: Matriz de vectores propios de: a) XTX, si X es la matriz de datos originales; b) S (matriz de varianzas y covarianzas) si X es centrada; c) R (matriz de correlacin) si X est estandarizada. D: Matriz diagonal con valores en la diagonal iguales a la raiz cuadrada de los valores propios de XTX , S o R. La transformacin lineal para generar los componentes principales (matriz Y) se fundamenta en el proceso de diagonalizacin de una matriz, XTX , S o R., segn el caso, a travs del teorema de descomposicin del valor singular