' C O S I W O L O G I A C U A N T I C A Y

S E C T O R F E R M I Q N I C O

D E L A T E O R I A D E

K A L U Z A - K L E I N

~ L F R E D O MACIAS ALVAREZ

J ~OCTOI2P i30

Universidad Autónoma Afetropolitana-Iztapalapa

Departamento de Física J € B Z

I '

Agradezco sincera y profundamente ai Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología

(CONACYT) y al Servicio Alemán de Intercambio Académico (DAAD) por haber

hecho posible mediante su apoyo la realización de las pdrtes mexicana y alemana respec-

tivamente del presente trabajo.

Agradezco profundamente a 10s Doctores o. Obregón y H. Dehnen por su iiivdualle

supervisión y aseson'% así corno Por SU paciencia Y por la libertad que me dieron para

realizar este trabajo.

Le agradezco profiindamente a Ma. Cristina Ortiz H., SU dedicación, interés y eficien-

cia en el procesado en l)$ de este trabajo.

~ . . . . . . . . ...*......-.I. .....-. ~.'.- ........ ............. 111-4-.1111. ., .- ,__._-__ - . ~ .

I N D I C E

Sector FermiÓiiico de l a Teoría de Kaluza Klein ............................................. 1

. . I. Introduction ......................................................................................................... 2

11. Campo de Dirac en la Teoría 5-dimensional de Kaluza Klein (I) ....... : ................ 13

111 . Campo de Dirac en la Teoría 5-dimensional de Kaluza Klein.(II) ....................... 23

IV . Campo de Dirac en la Teoría 8-dimensional de Kaluza Klein ............................. 32

V. Referencias ........................................................................... : .............................. 51

. . Cocmología Cuantlca ............................................................................................. 53

. . I . Introducclon ........................................................................................................ 54

11 . Cosmología Cuántica: la raiz cua.drada supersimétrica (caso libre) .................... 63

111 . Solución (Super) Cosmológica para el modelo de Kasner .................................... 79

I V . Cosmología Cuántica del Bianchi tipo I); ............................................................ 90

1'. Referencias ......................................................................................................... 110

P A R T E I

S E C T O R F E R M I O N I C O

D E L A T E O R I A D E

K A L 1J Z A - K L E I N

SUPERWSOR

PROF. DR. HEINZ DEHNEN

Fakiiltat fiir Physik

der Universitat Konstanz

1

\

I, INZ'RODUCCION

L~ búsqueda de la unificación en la física es una vieja idea. Ya en el siglo pasado dos

fiierzas básicas de la naturaleza, electricidad y m tgnetismo, fueron unificadas comenzando

con los trabajos de Ampere y Faraday Y culminando con la electrodinámica de Maxwell.

una vez reconocida la invarianza de la teoría de Maxwell bajo las transformaciones de la

relatividad especial, fue evidente a través de los trabajos de Minkowski, que la unificación

de la electricidad y el magnetismo trae consigo la unificación del espacio tridimensional

y el tiempo en un espacio-tiempo continuo de cuatro dimensiones. Existe un paralelismo

entre la unificación de la electricidad y el magnetismo por un lado y la unificación del

espacietiempo por el otro. Así como las coordenadas espaciales y la temporal describen

una variedad cuadridimensional, cantidades tridimensinales como son los campos eléctrico

2 y magnético H , pasan a ser componentes de un solo tensor antisimétrico F,,, de seis

componentes y los potenciales correspondientes 4 y Ase unifican en un solo cuadrivector.

..

Tan pronto se contó con una teoría relativista para la gravitación surgió la idea de

Iniscar su unificación con la teoría de hlaxwell. Gunnar Nordstrom(') propuso una teoría

rclativistn en la cual la gravitación es descrita mcdiante un campo escalar acoplado a

la tra.::i alci tonsor de.energía-momento. En 1914, mtes de qiie la relatividad general

fiicrii publicada, Nordstrom(*f procedió a unificar s u teoría de gravitación con la teoría de

~ I a x w I l de un.a inanera muy imaginativa. Inspirado por la idea de blinkowski del espacie

tiempo cuadridirnensional, Nordstrom añadió una dimensión espacial extra obteniendo un

murido kiimensional. E l introdujo iin campo vectorial abelian0 de 5 componentes para el

cm!. escribió las ecuaciones de hlaxwell incliiyendr; una 5-corriente conservada. E l identificó

3

la qilinta componente del pentavector potencial con la gravedad escalar, mientras que las

ot, vas cuatro representaba el cuadripottncid de Maxwell usual. Con todo ésto, Nordstrom

notó que en el caso cilíndrico (cuando todas las variables dinámicas son independientes de

la quinta coordenada) las ecuaciones d : SU teoría de Maxwell 5-dimensional se reducen a

aquellas de la teoría 4-dimensional electromagnética-gravi tacional de Maxwell-Nordstrom.

Así pués, la idea de unificar en más dimensiones comienza con Nordstrom, quien asumió

que la gravedad escalar en nuestro mundo de cuatro dimensiones es un remanente de una

teoría de norma abeliana en un espacietiempo plano de 5-dimensiones.

El siguiente paso fue dado por el matemático Theodor K a l u ~ a ( ~ ) en 1919 siguiendo la

relatividad general de Einstein. Kaluza propuso pasar a una teoría tipo relatividad general

en 5-dimensiones, de la cual se obtiene la teoría de gravedad de Einstein ordinaria y el

electromagnetismo de Maxwell, tomando la hipótesis de cilindncidad.

En específico, uno comienza con una variedad M en cinco dimensiones, la cual es el

producto M = M4 x S’ de un espacie-tiempo M4 cuadridirnensional con el circulo S’. La

métrica y ~ ~ ( z , y) en la variedad M en cinco dimensiones ( M , N, ... = O, 1 , 2 , 3 , 5 ) es una

fiinción-tanto de las coordenadas d ’ ( p = O, 1 ,2 ,3 ) en M 4 como de y = 2, la coordenada

c.n rl círculo SI. Es conveniente reemplazar las quince variables de campo yhfN = y*v,\/

.;m C ~ I I I I I ~ ~ nuevas variables g,,,, = gUv, Av, d de acuerdo a las siguientes redefinicionrs

y,,” == gcv -+ e Z K Z d A , A v

yp5 == Y5*. = €KdL4, (1.1)

Y55 == 4

Todas las variables de campo, vic:jas y nuevaq, son funciones periódicas de la coorde-

nada Y en el círculo. Si y = PO, doncle 6’ es la coordenada angiilar usual y p el radio del

3

círcu1o, entonces el periodo es 2sp.

Entonces todas las variables de campo F(zy)(gpY, A,, 4, Y M N ) admiten un desarrollo

en serie de Fourier

nz=-m

lcaluza supuso que la dinámica 5-dimensional es determinada por la acción de Einstein-

Hilbert

1 I, = -

16~G5

con y5 = det(yMN), R5 el escalar de curvatura 5-dimensional y G5 la contraparte en 5-

dimensiones de la constante de gravitación. Usando los desarrollos en serie de Fourier, la

dependencia en y se hace explícita, de tal manera que la integración en y puede llevarse a

cabo. En este caso, surge una acción 4-dimensional la cual contiene un número infinito de

campos, es decir, las componentes de Fourier A f ) , g c ) , 4(”). A este nivel Kaluza impuso

la condición de cilindricidad, mediante la cual se trunca la acción, reteniendo tan solo los

modos cero:

.\hí rl iiiento de línea .!-dimensional toma l a forma

donde

ds: = g ~ ? ( x ) d x ” d x “

4

es el elemento de línea cuackidimensional correspondiente. a la métrica gCu ( 0 ) (z). El elemento

de línea (1.5) es invanante bajo las transformaciones

P TP + x

las cuales son las transformaciones de norma abelianas a la Weyl. Aquí, estas transforma-

ciones asumen un significado geométrico como corrimientos en la quinta coordenada por

una cantidad a(zP), la cual depende solo del espacio-tiempo ordinario.

Al hacer la integración sobre la 5a-Dimensión, imponiendo la condición de cilindricidad,

la acción (1.3), la cual es invariante bajo transformaciones generales de coordenadas en

5-dimensiones, se reduce a una acción 4-dimensional invariante ante transformaciones

generales de coordenadas y ante transformaciones de norma abelianas. Dicha acción 4-

dimensional es (módulo un término de superficie).

con

Esta acción contiene un gravitón (qp;), un bosón de norma abelian0 (A?)) y un campo

escalar qj(0).

Kaluza hizo arbitrariamente

d(O) = cte.

5

(1.10)

I I

., en cuyo (.i,so se convierte en la acclon 4-dimensiond de Einstein-Maxwell. A fin de que

la energi:i sea positiva se debe cumplir qiie 4J(O) > I. Esto significa que la 5-dimensión

debe tener un carácter espacialoide. Como veremos más tarde, esta es una característica

eeneral: las dimensiones extras deben ser espacialoides, esto se debe a que tener una más de

una dimensión temporaloide nos permitiría la existencia de curvas tempordoides cerradas,

lo cual no es consistente con el principio de causalidad.

d

Imponer la constricción de Kaluza (1 ':) conduce a dificultades ya que la ecuación para el

campo escalar junto con la traza de las ecuaciones de Einstein implican que

(1.11)

para el campo de Maxwell. Kaluza evadió este problema imponiendo (1.10) desde un

principio y no llevando a cabo variación alguna respecto de 4J(O). La necesidad de incluir

el campo escalar fue señalada independientemente por y después por Thiry('),

los cuales coniideraron la acción (1.8) completa.

La acción (1.8) es también invariante bajo transformaciones globdes de escala:

-1 (0) sip? - spu

Al:O) u - A:) (1.12)

(0 ) . . ,$O) - La., wuaciones de campo de la teoría 5-diincnsior.al original tienen una solución, en la

(ita1 el espaciet.iempo 5-dimensional es un procliict? f!ircxto de un círculo con un espacie

tiempo de hiinkowski 4-dimensional.

Así

gpv = V p u , A,, = 0 3 4 = 1.

6

(1.13)

.-

c.9 la métrica 4-dimensional de Minkowski. Esta solución constituye un estado donde f l ~ y

base natciral, el cual rompe espontáneamente ir. inmiancia de escala (1.12). El

( 0 ) no es masivo y se puede interpretar corn 3 un bosón de Nambu-Goldstone asociado O

con dicho rompimiento espontáneo de simetrk

De esta manera, el espectro del modo cero ncluye campos de norma de espín 2 y ?spin

1 así Como un b o s h de Nambu-Goldstone de espín cero. En la teoría cuántica completa

se espera que este bosón di.' cspín cero adquiera masa.

La teoría clásica completa contiene no solamente los modos cero, sino también los

armónicos n # O (ec. (1.2)). La acción (1.5) determina sus espines, masas y acoplamientos.

Todos ellos tienen espines 5 2 Y son masivos. Los armónicos nGsimos tienen masa

In1 m., = - P

(1.14)

donde p es, como antes, el radio de la 5-dimensión. Los acoplamientos de estos armónicos

con el campo de norma A?) son determinados por la acción (1.3) y dichos armónicos

transportan carga eléctrica. El n-ésimo harmónico tiene una carga eléctrica

4 a gn = n- P

(1.15)

La carga eléctrica está cuantizada('), pfiesto que la 5-dimensión es compacta. La carga

cl(mmtn1 cstá dada por

P

y la correspondiente constante de estructura t1n.t esti dada como

(1.16)

s i a corresponde al p u p u(1) entonces 0 N &j de manera que la circunferencia del

círculo 2Tp N iOO& - lO-"G,V'-'. E: círculo debe ser muy pequeño, un t m & o

de alrededor 100 longitud de Planck difícilmente podría haber sido detectado hasta ahora.

Para hacer todo esto aplicable en un mundo con interacciones electroc'éhil f , wrte es

necesario introducir más de una dimensión extra. En la siguiente sección esta geircr.z!iza:ióU

será presentada..

2. GENERALIZACION PARA GRUPOS NO-ABELIANOS.

NO existió una razón suficientemente fuerte para extender la idea de Kaluza-Klein

allá de las 5-dimensiones hasta el surgimiento de las teorías de norma no-abelianas.

A partir de s u invención por Yang y Mills en 1954 hasta s u gran florecimiento a principios

de la década de los ~ O ' S , estas teorías fueron estudiadas intermitentemente por algunos

cuantos intrépidos pioneros. En 1963, I)eWitt(s) sugirió que una unificación de las teorías

de Yang-Mills y la gravitación podría alcanzarse en el marco de una teoría de Kaluza-

Klein en más dimensiones. Trautmanlg) consideraba independientemente también dicha

posibilidad. Una discusión detallada de la unificación de la gravedad y las teorías de Yang-

~ I i l l s en el marco de la idea de Kaluza-Klein, iiiclri>endo la forma correcta de la métrica

4 T .Y- (litnensional apareció por primera vrz rn cl trabajo . _ . a de Kcrned"). La primera

(IrrivaciOii completa de la teoría 4-dimensional ( I t qravi ación más Yang-Mills más campo

exalar. a partir de una acción de Einstein-Hilbcrt ( 4 + iV)-dimeIisional fue publicada por

Cho y Freund("~12) en 1975.

L a debilidad de este trabajo en más dimensionrs f:ie la ausencia de una buena razón

que justificara el hecho de que toda,s las extra dimmsiones cornpactifiqiien dejando solo

8 . .. ~....*,:.~* .I .

~~ . . .-. . .

,rdiario &dimensional en la teoría efectiva. Esto es, la teoría 5-d' al munJ0 imensiond

adm ite solución de las ecuaciones d- campo la %dimensión compactificada junto

acio de Minkowski, 10 cual no r:s v;dido para las teorías en más dimensiones. con un esP

La razón esencial para esto es que las variedades de más dimensiones, las cuales. dan

origen a teorías de Yang-Mills tienen curvatura. Si una teoría de Einstein <:n 4 + N-

dimensiones debe compactificar en un producto directo del espaci+tiempo 4- dimensiond

-&f4 y un espacio interno cc macto con isornetrías, la métrica Y M N ( Z , y) puede ser escrita

de la siguiente manera en id aproximación de modo cero (a fin de hacer la notación m&

,-ompactti en esta subwcción, no distinguiremos el modo cero de las cantidades mediante

el superindice ( O ) como en la subsección anterior):

(2.1) g w ( x ) -I- 7mn(Y)K,"(y)K8(Y)A:(S)AY(G) Tmmn(Y)K,"(Y)A:(x)

Ymn(Y)Kj(Y)At(Z) Yrn"(Y) 7 M N ( Z 7 Y) =

La métrica ymn(y) es la métrica del espacio simétrico N-dimensional y los vectores de

Killing K:( y) tienen superíndices, los cuales corren sobre las n-dimensiones y subíndices,

los cuales corren sobre la dimensión del grupo de simetría. Ellos satisfacen la relación

donde fi;, son las constantes de estructura.dei g,:-ui)o ,de simetría.

Para analizar la dificultad de una cornpc it.& m ó n realista, introducimos la métrica

(2.1) en la acción de Einstein-Hilbert 4 - - i'i-$liIae,isional

donde es una constante cosmológica. I:i Lagr::ngiaio 4-dimensional resultante es

9

donde &(z) y R N ( ~ ) son los escalares de curvatura y 4- y N - dimensionai respectiva-

El problema con este escenario tan atractivo es que el espacio 4-dimensional no puede

ser plano. En el "vacío", donde todos los campos de norma son cero, las ecuaciones de

Einstein son

donde la curvatura escalar R y el tensor de X c c i R M N son construidos a partir de la

métrica

(2.7)

A

Si el 4-espacio e? plano, RbfN = O para los índices del espacietiempo y R + A = O.

Entonces R l \ f , ~ debe anularse para los índices del espacio interno también y esto no sucede

si el espacio interno es curvo.

Crc ntner y Scherk(13) notaron que la inclusión de campos materiales adicionales tanto

del Yang- híills como escalares en la teoría de más dimen4ones permitiría tener soluciones

clásicas en las cuales el espacio-tiempo es el producto directo del espacio de Minkowski y

un espacio compacto de curvatura constante. Esta compitctificación espontanea se alcanzó

sin pmbargo yendo más c11á del puro marco de Kaluza-Klein e incluyendo campos extras de

manera tal que se induzca la deseada compactificación. Esta biisqiieda de soluciones a las

10

I

ecuaciones combinadas de Einstein-Yang- Milis en 4 + D-dimensiones fue continuada por

otros, en particular Luciani(”) generalizó el trabajo de Cremmer y Scherk(13) a toda ur,a

clase de espacios internos. Luciani anticipó trabajo posterior en supergravedad de Kaluza-

~ < l ~ i ~ al observar que la teoría de Einstein-Yang-Mills aparece en el sector bosónico de una

teoría de supergravedad extendida. Otros enfoques al problema de Kaluza-Klein(’6.19),

por ejemplo la inclusión de torsión fueron también exploradas. La posibilidad de

efectuar la compactificación incluyendo términos con derivadas de orden superior en al

acción de Einstein fue sugerida por Wetterich(”). Una recopilación de la mayoría de este

trabajo en teorías de Kaluza-Klein clásicas y puramente bosónicas fue llevada a cabo por

s a l a y Strathdee(”). En cualquier espacio interno compacto es importante clasificar 10s

campos 4-dimensionales en términos del desarrollo en modos normales apropiado al grip0

de simetría del espacio interno. Salam y Strathdee examinaron dicho desarrollo, incluyendo

tanto los modos no masivos, los cuales pueblan el mundo 4-dimensional, como los modos

masivos, los cuales no son directamnte observables si el tamaño de la variedad compacta

es suficientemente pequeño.

Todo este trabajo en teorías clásicas de Kaluza-Klein en más dimensiones proveen un

trampolín para el estudio tanto de la supergravedad de Kaluza-Klein como de la dinámica

1.SiAntica rlc las teorías de Kaluza-Klein.

El l)ic,lx5sito de este trabajo es estudiar el sector fermiónico de las teorías de Kaluza-

I \ h . acoplando un campo de Dirac al campo métrico en el cual se encuentran incluídos

L E campos de norma como es usual y analiiar la teoría resultante. En específico, se

12

En esta sección investigaremos la teoría 5-dimensional de Kaluza-H(lcia, en la cual un

de Dirac está acoplado al campo métrico. Mostraremos que la teori I ?-.&i-l:cnsioc.d

resultante es una teoría de Einstein-Maxwell-Dirac con un término adicional el cual viola

cp y representa un momento dipolar anómalo del electrón.

Esta sección está organizada como sigue: En la subsección 2 se construye la acción

de Einstein-Dirac en 5-dimensiones. En la subsección 3 llevamos a cabo la reducción

dimensional a 4-dimeniiones y obtenemos ecuaciones de campo; se discuten los resultados

y se calcula el valor del momento dipolar electromagnético anómalo del’ electrón.

2. ACCION DE EINSTEIN-DIRAC EN 5-DIMENSIONES . Comenzamos con un espacietiempo pseudeRiemanniano cuyo elemento de línea es

ds2 = j,ifidxidxú (2.1)

donde ¿jiú es una métrica con signatura (+, -, -, -, -). Indices con gorro fi, C , . . . =

O , 1 , 2 , 3 , 5 ; mientras que p , v, . . . = O, 1,2.3 . Hacirndo la suposición estandard de que el

espacietiempo posee un vector de Killing & (condición de cilindricidad) descomponenios

el elemento de línea de la siguiente manera

ds2 = grv(x)dz”dxY - - (<Ir5 + K A , , ( Z ) ~ X ~ ) ~ (2.2)

donde z5 es la coordenada espacial adicional con rcspecto a la cual el espacio es compac-

tificado, esto es, la coordenada x5 es periódica y s u periodicidad es 2rr. La ecuación (2.2)

es invariante con respecto al grupo de transformaciones usual:

13

(2.2a)

Como es usual, identificaremcs y , , con la métrica del espacio-tiempo &dimensional

A+ con los potenciales electromagnél ;cos. Asumimos que la dinámica 5-dimensional es

gobernada por la acción

donde R es el escalar de curvatura en 5-dimensiones y CD es una generalización directa en

&dimensiones de la bien conocida densidad Lagrangiana de Dirac en 4-dimensiones, ver

ecuación (2.25). Las componentes de la métrica podrían ser tomadas en la base coordenada.

Sin embargo, existe otra elección para la base, la cud es muy conveniente para realizar

cálculos ya que en dicha base la métrica es diagonal. Esta base es la llamada "Horizontal

lift basis" (HLB) y se obtiene tomando - 8" = dx'

e" = dx5 + tcA,dx" como 1-formas base. Con esta elecciím, las componentes de la métrica están dadas por

g . . 'Y - -- (,y . .

Los vectores base Si, los cuales son di-al 3s 5 N', son

(3.5)

ES importante notar que la HLB cs uni, b i s r a iholonómica lo cual quiere decir que algunos

de los conmutadores entre los ve< tores d e la hase dual (2.6) son diferentes de E s

fácil demostrar que

(2.7)

donde FPy = a,A, - &A,. Dado un conjunto de vectores base {+u}, io3 coeficirntei tle

conmutación c,jtb están definirlos como sigue

&, los Únicos coeficientes de conmutación diferentes de Cero son -

Los coeficientes de conexión están definidos como

(2.10) 1 Usando la métrica (2.5) y los vectores base (2.6), se encuentra de (2.10) que

1 2 - 1

rPyx = - (aAgPu + a U g r i A - ~ , S ~ J = rvVx

rPv5 = r,5v -- -- ~ K F ~ ” (2.11)

w n las únicas compont ntes diferenk? de cero. Aquí rHvA denota las componentes de las

conexiones formadas a partir {Le La mtStrica 4-di1nensioxyal gpu en una base coor(lrnda.

El escalar de curvatiira R está d d o por

(3.12)

__.- , . ., . . . .. .. .. ".,...._.I i-^--.4-"-

Las ,-Omponentes requeridas del tensor de curvatura se calculan a partir de la siguiente

(2.13)

hIediante el USO de (2.10) y (2.11) se encuentra que

- RX,,~ es el tensor de curvatura construido a partir de la métrica 4-dimensional gPv y sus

derivadas. .

Contrayendo los índices en (2.14) y substituyendo estos resultados en (2.12) obtenemos

como es usual, R = RP;V es el escalar de curvatura 4-dimensional.

A fin de poder introducir espinores es necesario construir una funfiein (bpierna), la

cual es definida por (A, B,. . . = O, 1 , . . . , 5 ; a, b, . . . = 0, 1,. . . , 3 )

h i d e ?.-in puede ser representada por la matriz <li;.gc,ia! $ . . i ~ = diag(+i , -1, -1, -1, -1).

En la HLB la fünfbein, al ic>;al que la métrica, es rim pl~~mente diagonal

donde e; son las vierbeins (tétradas), las ciidrs ratisfacen

(2.17)

(2.18)

LM conexiones de espín se definen como sigue

(2.19)

con

(2.20) AB 0 - [r",rB] 4

donde y A es una matriz de Dirac, la cual satisface la siguiente relación

(2.21) - A B IrA,rB} = 2r?

-AB = diag(+, -, -, -, -). La derivada covariante espinond es entonces definida por con 'I

v,ri = (e$ + Fb)Q (2.22)

donde $I es un espinor de Dirac en 5-dimensi,ones. El tamaño de los espinores en 5-

dimensiones es el mismo que en 4-dimensiones. Así pues, las matrices de Dirac estandard

y y5 satisfacen (2.21).

Sustituyendo (2.17) en (2.19), se encuentra que

1 . "5 f', = Y , + - tc eaF,," U 4 (2.23)

p7 - -: 1 "enFyo, n b 3 - \ e a E

'L)ii<le I', es la conexión espinorial rorm:icl:t c >n la tCtrada e; en una ba.se coordenada. Las

'.orrcspondientes derivadas espinor,al:s cs. ár tl adas como

(2.21)

L~ t l t . rdad Lagrangians de Dirac en 5-dimensiones está definida como sigue

usando (2.17), (2.23) Y (2.24) en (2.25) se obtiene que

i - CD = 2 [ Qyaez(O, - KA,& f r,) *

(2.25)

Puesto que la 5a.-coordenada es periódica (c.f.(2.2)), escogemos una dependencia

periódica respecto de 2' para el espinoi de Dirac

(2.27)

Mediante este procedimiento se garantiza la independencia del Lagrangian0 con res-

pecto a z5 así como simultáneamente son tomadas en cuenta las transformaciones de fase

rlcl grupo V(i ) en el espinor Q, con respecto a (2.2a). Consecuentemente, la teoría 5-

~1ii:imsional es covariante de norma con respecto del grupo V(1). Sustituyendo (3.27) en

' 2.26 i se encuentra que

C D = -r z -1 [ $ye: (a , , - ie.4, + r,)+ 2

- - - -eb(a,+ + ieA.,G - v r,, 1 7 ~ 1

+ -r 2 -1 KFab$oab-{5~ - r - 2 - -1 - 7,b,r5~ - r mdi$ 2

(2%)

(2.2Sa)

es la carga del electrón. De esta nariera, la acción está dada por (y" = e a @ 70, ~ P V =

ea P e * Y o a b )

1 15 = J d 5 x d {A (R - 4 K 2 F P , F p p

(2.29)

3. REDUCCION Y ECUACIONES DE. CAMPO

El integrando en (2.29) no contiene ninguna dependencia en x5, de tal manera que la

integración sobre x5 puede ser llevada a cabo trivialmente, siendo el resultado

(note que g = -9) . Ahora hacemos la asociación estandar

K' = 1 G T G (3.2)

h i d e G ( s !a constante gravitatoria. OhsCnx11do (3 .1 ) se reconoce inmediatamente las

acciones de Einstein, de Maxwell y de 13irac. Esiktcn (los términos extras, los cuales violar

rp. Efectuando la variación con respecto de g,,"' .-I,, y I+> obtenemos el siguiente sistema de

pcuaciones

il Ecuaciones de Einstein

19

1 i Rpb - p d = 8rG (-5 [ T7(,,Vu)$ - V(,,&Y,.)$] +

) 1 + F,”F,,, - -gpuFupFup + iJ16;;GF,(,,qu;)y5S, ( 4

aquí se usó el hecho de que L D , ecuación (2.28), se anula idénticamente cuando la ecilacidbri

de Dirac (3.5) es satisfecha. Además, la condición de integrabilidad, i.e. e1 hPcho <le O I ~ T

la divergencia del miembro derecho de (3.3) se anula, se satisface cuando las ecuaciones de

campo (3.4) y (3.5) se satisfacen.

ii) Ecuaciones de Maxwell

F Y = 47%) + &py751c,)

:Y -!J

(3.3)

(3.4)

iii) Ecuación de Dirac

i 2 i7” (8, - ieA, + r,) 1c, + - ~ F , , , , ~ ’ ~ 7 ~ 1 c , - r-’y5$ - m$ = O . (3.5)

Debido a la presencia de los términos violadores de cp es útil separar 1c, en sus partes

izquierda y derecha.

De esta manera se obtienen de (3.3) a (3.5) las siguientes ecuaciones

1 R,,, - SgPvR = 8 i ~ G {;-; [ L’:X,Vy)s) - ‘17(uiC.7,,>S)] +

1 4 F,”Fuu - -gpG..FUPF,,,

iy’ (8, - ieA, + I?,,) $L + F,,yInp”+R -

20

(3.7)

Y

donde

(3.8a)

(3.9)

Y

Además de los términos usuales de la teoría de Einstein-% Ivell-Dirac encontramos

en (3.6) hasta (3.9a) un momento dipolar electromagnético anómalo de las partículas de

Dirac, el cual tiene el mismo signo para las partículas izquierda y derecha de acuerdo con

(3.9) y (3.9a). El valor absoluto de este momento anómalo es menor que el magnetón

de Bohr un factor d w para electrones, su valor de unidades 3 , 5 x

gaussianas es h -&E = 6 , 7 x 2c e cm (3.9b)

La interacción de este momento con el campo electromagnético aparece en (3.6) y

(3.8) así como en (3.8a). E n (3.7) produce una corriente de polarización adicional, este

hecho fue señalado por Pauli(z4) en 1933.

A pesar de que la masa en las ecuacionrs de Dirac (3.8) y (3.8a) es diferente, la masa

de ins partículas izquierda y derecha es In misma y s u cuadrado tiene el valor m2 + r-', este hecho se hace manifieste al evaluar l as ectiaciones iteradas:

La única diferencia con respecto a la teoría de Einstein-Maxwell-Dirac usual y a

la QED consiste en el momento an¿)nialo (3.9b). Debido a lo pequeño de SIL orden de

31

magnitud no puede ser observable mediante las técnicas presente^(^^-^^). Sin embargo,

una dificultad muy seria que presenta la teoría es el orden de magnitud de la masa, ya que

de acuerdo con (2.28a) Y (3.2) T - ~ = e/= 2 2 , 6 x lO-'g. Desde este punto de vista

la teoría de Kaluza-Klein debe ser descartada puesto que m2 en (3.10) es positiva o cero

con respecto a la densjdad lagrangiana i(2.25).

1. INTRODUCCION.

En la sección. anterior consideramos la teorh de Kaluza-Klein 5-dimeni8ioil;ii s i n incluir

ningún campo escalar en las componentes de 1~ méírica. En ese caso obtu,iin.l.3.; 1,':~ tt.oi';a

4-dimensional del tipo Einstein-Maxwell-Dirac con iin momento dipolar electromagnktico

anómalo paa las partículas de Dirac. Sin embargo, la masa de las partículas de Dirac

cargadas resulta ser del orden de magnitud de la masa de Planck y por tanto no corresponde

a ninguna de las partículas observadas.

La pregunta que surge es: Podría la presencia de un campo escalar en la métrica

5-dimensional resolver este problema?. E l propósito de esta sección es responder a dicha

pregunta. Probaremos que el campo escalar soluciona realmente el problema de la masa.

El plan de esta sección es el siguiente: la subsección 2 provee de la acción 5- dimensional

de Einstein-Dirac; la subsección 3 presenta la reducción dimensional, las ecuaciones de

campo y la discusión de los resultados.

2. ACCION D E EINSTEIN DIRAC EN 5&DI'\IEXSIONES.

La métrica que usaremos tiene la forma

aquí j b v es una métrica, la cual posee la m i w i n 5ignatura de la sección anterior y la

convención para los valores de los índices es t n r i i l i t h la misma de la sección anterior.

Para incluir en la teoría el hecho de qiie las cnrititladcs físicas parecen sólo depender

de las coordenadas x @ del espacio-tiempo iisiial, iiitrodiicimos la condición de cilindricidad

23

en el tensor métrico

Q C k 5 = 0

A fin de satisfacer est a condición en todos los marcos de referencia se exige la condición

usual

respecto al tipo de transformaciones de coordenadas bajo las cuales es invariante el ele-

mento de linea. Así pues la ecuación (2.1) puede escribirse como sigue (z = Z P ) ( ~ O )

, con O 5 5’ 5 2nr, como es usual, identificamos gr iv(z) como la métrica 4-dimensional,

A,(z) como los potenciales electromagnéticos y 4(1) es un campo escalar, r es igual que

en la sección anterior el radio de compactificación de la 5a-dimensión.

Las ecuacions de campo de la teoría se obtienen variando la acción 5-dimensional de

Einstein-Dirac, al igual que antes

= JA& (-R 1 + L ~ ) 1GrGr

Tra1mja.remos así misrno nuevamente rn l a HLB!”’ - 0” := d,rJL

e5 := ds’ + ~.4 , ,dx”

<l»nde la métrica es dia,gonal

(2.5)

(2.6)

(2.7)

---

La t,iise dual es la misma de la sección anterioi

e,, = a,, - K ~ , , a h

e 5 = a,

que los conmutadores de estos vectores base(23) al ig [e, , , ei1 = - KF,, .&

[e , , , 651 = o

LOS coeficientes de conexión distintos de cero son los siguientes

1 6 h = rpyx - -4-l (ayaA4 + s p y 4 - g A y a p 4 )

r py5 = - K 4 ~ p , 1 2

- 1

3 r~~~ = - 3 4

donde P y x es la conexión asociada con la métrica 4-dimensional g,,,,.

El escalar de curvatura R está dado por

(2.10)

(2.11)

donde henios desechado una divergencia total.

La funbein (&pierna) necesaria para la introducción de espinores, está dada por la

siguiente i.x;)resiÓn (en la HLB)

donde satisface que

4 . . - e.A - . ,,u - I, u ')..tu

25

(2.12)

(2.13)

&ag(+l, -1, -1, -1, -1,) y e ; son las tétradas que satisfacen con G A B

La derivada covariante espinorial así como las conexiones espinonales y las matrices de

~i~~~ están definidas exactamente igual que en ]a sección anterior. Es inmediato demostrar

(2.15)

1 1 4

donde f, =I?,, + -n ~ 1 1 2 e B u F , , u 0"' + ; b-le,'eb,, ¿ lu~aab

(2.16) 1 1 4 3

'.s = -K~ealiebwF,,u O a b f - d-'12¿lwde,u oa5

aquí r, es la conexión espinorial en 4-dimensiones. La densidad Lagrangiana de Dirac en

&dimensiones es definida de la misma manera que en la sección anterior, usando (2.15) y

(2.16) en dicha expresión se obtiene para el presente caso que

P:ir., I o que la 5a-coordenada es poriódirn. iiitrodiicimos la siguiente dependcncia res-

: ) ~ ~ ~ ' : o rlv I' en el espinor de Dirac

(2.18)

11ediant.e esta elección, la independencia drl Lagrangian0 respecto de z' está garanti-

/;ida así como las transformaciones de fase tí( i ) <le 10s espinores es tomada en considerarión

76

Q 3). Así pues, la teoría %dimensional es covariante de norma respecto del grupo (

[‘(I).

Introduciendo (2.18) en (2.17) se encuentra que

-1 116 LD = -r 4 [ &“eQ”(a, , - ieA, + r,) $ 2

-e.fi(a,$+ ieA,$ - $r,)-,a*] - T-24-113$75$ (2.19)

+ - T 8 -1 ~4~/~F, , , ,$d‘”y~d9 - r-’rn&+$ 2

donde K

e = - R

es la carga del electrón. Calculando la acción (2.5), usando (2.11) y (2.19) se encuentra

(2.20)

Is = / d 5 x & { & P (.- 4 ~ Z ~ ~ p , , ~ ~ u 1 + -4 1 - 2ap4ap4

+ -r a - 1 4 116 @’y”vp$ - vp&”$’) - mT -1- $11, - 4-lí3T-’-

+-T -1 ~ 4 ~ f ~ F , ~ & 7 ~ ~ 7 ~ $

6

$7 *+ 2

2

En la siguiente subsección presentaremos la reducción dimensional de (2.20) y la

cciiaciones de campo.

.I REDCCCION Y ECUACIONES DE CAMPO.

L;t inkgrnción sobre z5 puede realizarse trivialmente piiesto que el integrando cn

I 1 1 , . ,I<-pcnde de dicha coordenada (note qiie 9 = -94-2/3). Así la acción (2.20) SP 7 .y,

:.:I,:,.,> a -

Reescalando FPy y $ de la siguiente manera

en la acción 4-dimensional obtenemos la siguiente expresión

1 1 \

I d = d 4 x 6 R - - t ~ ~ F , , ~ ~ f i ” ’ + -4-28’&3,,d I +- 6 /

- - - J {A( i :

+ (*yPv,,~ - V,,&P$) - md-’/6v,$ - i - l 4- I D - = SY’Yi+ (3.3)

Ahora hacemos la asociación estandard

K’ = 16rG (3.4)

donde G es la constante gravitatoria. La acción (3.3) incluye las densidades Lagrangimas

usuales de la gravitación 4-dimensional y del electromagnetismo, así como un término

cinético estandard para el campo escalar 4. También están presentes la densidad La-

grangiana de Dirac cuyo término de masa está escalado con un factor 4 y dos términos

extras ambos violadores de cp. Realizando la variación con respecto a g,,,,,A,,,G y 4 se

obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

i) Ecuaciones de Einstein

(3.6)

iíí) Ecuación de Dirac

iv) Ecuación del Campo Escalar

4-l (a”4);, + 16aGr-’475i)4-1/2 =

aquí se usó el hecho de que la ecuación de Diri Satisface. Debido a la presencia de

10s términos violadores de cp, es Úti l separar 4 en sus partes izquierda y derecha. Así, las

ecuaciones (3.5) a (3.8) se reducen a

1 R Iru - -SPUR 2 = 8rG { -i ($7~,Vu,4 - V(u$7p)4) +

+ (#;Fue - i g P u F p ~ F p . ) 1 - ;4-2 (gP4aU4 - 29puae4a.4) 1 + (3.9)

+ 2 F , ( , m ~ , >

donde

(3.13)

Y

1 4 p7 = - -nLeie;[(F’,,.sin$ - F\,cos$)sinB+ F : , c o s ~ ] u ~ ~ +

1 1 4 4

+ -(sine + csce)u68 + -(cose - cot ela6’ (3.16)

(3.17)

Encontramos en (3.9) a (3.11), como en la sección anterior, los términos usuales de una

teoría de Einst.ein-Maxwell-Dirac más un momento dipolar electromagnético anómalo de

Ins partículas de Dirac, el cual interactúit con el campo electromagnético en (3.9). (3.11a)

J- 13.1 lb ) y produce una corriente de pohrizacióri adicional en (3,lO). Su valor en unidades

~aii%si;inas ,:s

h 2c -JlsT;G == 6.7 x e cm (3.15)

i g u d qur: antes. Debido a la presencia di1 campa escalar aparece en (3.9) un tensor

de wcrgía-momento correspmdiente a iin camr,o cscalar sin masa. La ecuación (3.12)

coriespondiente al campo escalar es una ecuación de onda, donde la fuente es la traza del

30

tensor de energía-momento corre:pondiente a la materia más un término extra de m&sa

con el término de Yukawa en la teoría de Yang-Mills.

El término de masa de las partículas de Dirac izquierda y derecha está reescalado con

un factor de 4. Para las part.ícul.Ls libres, se encuentra de ( 3 . 1 1 ~ ~ ) y (3.11b) la ecuación

iterada

(3.16)

El segundo término solo puede ser interpretado como una masa, si tiene un estado

base en el cual sea una constante 4 0 # O , gru = 9rv ,Fry = O,$ = O y TOO = O sea

un mínimo. De acuerdo con (3.9) a (3.14) se concluye que dicho estado base existe y es

degenerado. Cualquier valor constante de 40 satisface las condiciones. Desde este puhto

de vista, la teoría es muy satisfactoria, ya que podemos hacer m = O en (3.16) y escoger un

valor apropiado de $0 para obtener el valor real de l a masa del electrón. Así se encuentra

que

-

(3.17) T - ~ & ' - - me

y por tanto

(3.18)

D r esta manera, la teoría provee la masa del electrón a través del radio de la 5a-

(hncnsión y del estado base del campo escalar, en una forma similar a la teoría de Yang-

\!i1i5(3u.

Concluimos que la presencia de; campo escalar rcsiielve e1 probkma de la masa eii-

contrado en la sección anterior.

31

IV. CAMPO DE DIRAC E N LA TEORIA 8-DIMENSIONAL DE KALUZA-

KLEIN

INTRODUCCION.

En las dos secciones anteriores hemos cor siderado la teoría 5-dimensional de ICaluza-

Klein con y sin un campo escalar contenido en la métrica, en la clial un campo de Dirac

es acoplado al campo métrico. Sin embargo, la introducción de solo una dimensión extra

permite tomar en consideración solamente simetrías V(1) Abelianas.

Para considerar simetrías n w Abelian=, una posibilidad sena tomar las dimensiones

extra como la variedad asociada a un grupo compacto no-Abelian0 G. Por ejemplo, si

deseamos que G contenga el grupo SU(2) x U( I) entonces la variedad asociada al grupo

debe ser al menos 4-dimensional. Al combinar esta variedad con el espaciwtiempo 4-

dimensional, esto nos lleva a una teoría de I<aluza-Klein, la cual es al menos 8-dimensional. I

El elemento de línea toma ahora la forma

ds2 = g,,,(z)dz”dz” - y, , (y ) [dy’ + ~ L - ’ ~ ~ ( y ) A ~ ( z ) d z ~ ] ~ (1.1)

donde ?ij es el tensor métrico en la variedad asociada con el grupo G y las funciones

K:,( y i son los vectores de Killing en G. Los campos AP(z) son los campos de norma del

p i p < > G. D e esta manera es posible ohtcner los campos de norma de un grupo arbitrario

no --\bcliano como componentes del campo gravitatorio en 4 + n dimensiones. .~

Es inmediato checar que bajo transformaciones dc coordcnadas infinitesimales de l a

forma

(zfv’) - ( Z f > Y ’ + ~ * ( L ) 4 Y ) ) (1.2)

33

las cuales son transfonnaciones dv simetría dependientes de I eii la variedad del grupo, los

A;(I) transforman de la manera esperada

. . Así, A", posee realmente la3 propiedades de un campo de norrnii 4.- ..:.~l,:~-i?,,,,n~i o--

dinarb. Estos campos de norma son un remanente de la invariancia original ante trans-

formaciones de coordenads en 4 + 7t dimensiones, la cual es rota espontáneamente en ias

simetrías del grupo 4-dimensional de'transfomaciones de coordenadas y de un grupo de

norma local.

En la presente sección construiremos un espacietiempo 8-dimensional, donde las

nuevas coordenadas yi tienen que ser interpretadas como una parametrización de la varie-

dad asociada al grupo no-Abelian0 SU(2) x (V(1). La variedad asociada al grupo SU(2)

es la esfera S3 (32) y la del grupo (ü( 1) es el círculo S', por lo tanto el espacio S' x S3

tiene la deseada simetría SU(2) x U(1) y constituye la variedad natural asociada a dicho

grupo. En este marco, investigaremos la teoría S-dimensional de Kaluza-Klein, en la cual

un campo de Dirac se acopla al campo métrico. Xíostraremos que la teoría 4-dimensional

resultante no posee chiralidad y no contirnr n i n g í n tipo de mecanismo de Higgs qiie provea

las masas de los bosones de norma, quarks y lrptones así como del ángulo de mezclado. .A

pesar del hecho de que no está presente en la ttnría ningiín tipo de matriz de xmsa prira

diagonalizar mediante la descomposición dc LYviiibrrg, introducimos dicha descomposición

para observar los acoplamientos que resiilt a n (le la teoría.

Esta secciin está organizada como sigiie. En la subsección 2 se construye el escalar

dc curvatura. En 3 construimos la densidad Lagrangiana de Dirac 8-dimensional. En

33

se lleva a cabo la reducción dimensional y se obtienen las ecuaciones de campo. En

5 introducimos el ángulo de mezclado y descomponemos las ecuaciones de campo. LOS

resultados son discutidos.

9 .1. ESCALAR DE CURVATURA

El elemento de linea de &hza-E<lein generaliz do para el espacio-tiempo produc

n[, x B, donde B es una variedad asociada iin grupo, lo tomaremos como sigue ds 2 = g,,(~)dz’dz” - y , j ( y ) [dy’ + t i L - ’ ~ P ( y ) A ; ( z ) d z f l ] x

O

. . donde p , v . . . = O , 1 , 2 , 3 ; a , 3 , . . . = 5,6,7,8 ; a, p, . . . = índices del grupo.

. Como es usual, identificarnos g,,, con la métrica del espacietiempo 4-dimensional,

-,,](y) es la métrica de Killing en S’ x S3, ti;(y) son los correspondientes vectores de

Killing y A; los campos de norma del grupo Sü(2) x ü(1).

Adoptaremos el análogo 8-dimensional de la acción de Einstein-Dirac

(2.2)

como la acción básica. Aquí R es el escalar dc curvatura 8-dimmsiona1, j\ es la constante

comológica y LO es la generalización a 8-dinimsion~s de la densidad Lagrangiana de

riirric convenciocal.

Si. encoge la HLB(’*)

e } l = d.CP

la cual no contiene referencia alguna al espacio interno y

O’ = dy’ + r c L - ’ ~ b ( y ) - ~ ; : ( ~ . r ) ~ . l . ,

24

(2.3)

(7.4)

o nuestras 1-formas base. Por razones dimensionaies introducimos las escalas de Ion- corn

gitud L-1 y L;' de S3 y s' respectivamente. La métrica en esta base es simplemente

(2.5)

el signo menos frente a YiJ es debido a que la signatuca que se usará es (+, -, __.. , , , , -.

L~ base dual a (2.3) y (2.4) es

Los conmutadores entre estos vectores base son fácilmente evaluados y para ello es

necesario utilizar la siguiente relación entre los vectores de Killing

(2.8)

(2.9)

L ~ S coeficientes de conexión son evaluados de manera análoga a como se hizo en las

secciones anteriores y el resultado es el siguiente

(2.10)

1 i .~ . = - h - ~ - l ~ m ~ K 1

r . . - 2 P a l

- Y] - 0

Pa a rt = - r - 1 p .i

ii ^ . 1

Po f! - .

I rpj = o

r'. J , = K L - ' A ~ , ~ , ~ & ^ .

e:. - r: I k - i k

donde rpp, son los símbolos de Christoffel usuales, formados a partir d la métrica grv y

rijk las correspondientes conexiones formadas con la métrica 7ij.

El escalar de curvatura 8-dimensional está dado por

Las componentes del tensor de Riemann rcqiieridas se calculan como en las secciones

aiitcriores y se encuentra que son

(2.12)

- T donde RAPA, y Rk. 1k1 . son los tensores de Riemann construidos mediante 10s s;m~oioa d, Christoffel rAPV y rkij respectivamente.

Sustituyendo (2.1) en (2.11) se encuentra

(2.13)

donde R es el escalar de curvatura de M4 y Rs3 es el escalar de curvatura de S' x S3, el

1 cual es definido como . .

Rs3 = -y'lRk. I kI . 2.14

de manera que Rs' > O para la esfera.

3. DENSIDAD LAGRANGIANA DE DIRAC 8-DIMENSIONAL

A fin de calcular explícitamente la densidad Lagrangiana de Dirac y el escalar de

curvatura se necesitan los vectores de Killing asociados ai espacio interno S' x S3, los

cuales determinan la métrica yjj.

Como es bien sabido, S' posee un solo vector de Killing

(loride L I es el radio del círculo SI y S3. tiene trrs lectores de Killing los cuales están

dados en términos de los ángulos de Eider (e, ,?, I 1) x: 1,t siguiente expresión(23) - Zl = L[cos $& - sin I/ (cot (la,, - csc @U,)]

Zz = L[sinllae+cosI/(coti)a,. - c : c @ ~ , ) ]

n3 = La,

(3.2)

37

donde L es el radio de s3 y O 5 8 __ <: T , O 5 p 5 271 , O 5 1c, 5 4 ~ .

Y -

fácilmente evaluada.

(Note que

6 - 8, y7 = pi y* = 4). Con esta información la métrica de Killing 7rj para SI x S3, es

Los correspondientes coeficientes de conexión (2.10) son así mismo fácilmente eva-

luados. Ahora podemos calcular la achtbein (8-pierna) necesaria para poder introducir

espinores en la HLB es la achtbein igual que la métrica diagonal por bloques

O L ' O O o O L O O (3.4) o o o L L C O S O

e . - O e j Ii

\ O O O O ~ s i n ~ j

aquí e A satisface (A,. . . , b,. . . = O, 1 , 2 , . . . ,8)

con v i H = diag (+l, - 1 , . . . , -1) y eQ,, son Ins tbtradas (vierbcins) que satisfacen

rqwctiramente.

La derivada covariante espinorial así comn la ronvsión espinorial están definidas de

manera análoga a como se defiiiieron en las secriorivs anteriores

y

con

~1 tamaño de los espinores 8-dinensionales es dieciseis. Sean yA y y k las matrices de

Dirac en M4 y s1 X s3 respectivamente. Entonces podemos considerar a las matrice ,: :

Dirac en M4 x s' x s3 como dadas por 10s siguientes productos tensoriales

r - A-IC37 A

r k = 7 k 8 +5

A = O, 1 , 2 , 3

k = 5 , 6 , 7 , 8 (3.10)

donde y5 es la matriz y5 usual de M4. Las matrices en (3.10) satisfacen la relación

(3.11) (rA,rB) = 2rl A B

.Aquí, son las usuales matrices de Dirac 4-dimensional- y las y k están dadas por

(3.12)

39

Usando estos resultados y la ecuación (3.4) en la expresión (3.8) para las conexiones

f espinoriales es fácil mostrar qiie

f, = T e B 1 ” eDv;,,u B D + - K ~ - A ” F ~ , , U ’ ~ ~ + -neA”(F‘, , , 1 cos$ + F’,,,, sin$)oA6+ - 2 2

1

1 + - K ~ ~ ” ( F ~ , , , , sin$ - FZ,,,,cos$)sinBuA7+ 2 1 1 + - K ~ ~ ” F ~ ~ , , ( C O S ~ - -cot 2 2 1

- -neAY(FIYI1sin$ - F’,, cos$)cosBoA8+ 4 1 + - n e ~ ” F ~ ~ , , ( s i n B + csc0)uA8+ 4

- S ~ L - ’ ( A’ ,, sin $ - A’,, cos $) cot Bo6’+

+ KL-’(A’,, sin$ - A’,, cos $) cscBd8+

1 2

- -KL-’(A’,,cos$ + A ’ , , ~ i n $ ) s i n B a ~ ~

A 1 r5 = - - K L 1 eAeB F,,,,uAB 4

(3.13) -

(3.14)

1 4 1 .

TT = - -r;Le A ”e L[(F:,, sin $ -- F:,” COS $)sin O + F:,, COS @]oAB+

1 (3.16)

4 + z(sin 0 + csc + -(cos O - cot 0 ) 2 7

(3.17)

correspondientes derivadas covariantes de espín son entonces o P Q = {a,, - tiL-'A,,& - nL-'(.A',, cos$ + A', sin$)&+

La5

+ (A', si!i + - A',, cos +) csc 0 & + [(-A1,, sin 4 + A', cos $) cot 8+

+ A3,]& + f'@}*

VI$ = (a, +I?*)*

L~ densidad Lagrangians de Dirac 8-Dimensional está definida como

2 - A CD = -(*r e: V b ~ - e! v+$rAp

I 2

usando (3.4) y (3.13) a (3.19) en (3.20) se obtiene 1

i - -{w i - A e A P {a, + 2eg en,;,, uED - KL-'A,,&+

- KL-'(A'~COSS, +AZ,sinll>)& - ~L- ' (A* , s in$ - A',cos$)csc~&

- 2

- KL-' [( -A1,, sin 11, + A', cos $) cot 0 + A, ,,] a,}@+

+q{~,'~r5a~ + ~ - 1 i r ~ a ~ +r7(a, - Cot 038) + csCgra88]} ik+

- 1 - - e/{a,,* - -e; env;,, q!aBD - KL;'A,&T+ 2

1

(3.18)

(3.19)

(3.20)

Usaremos la siguiente dependencia en y' para el espinor de Dirac en términos de 10s

ángulos de Euler en S3

donde Y es la matriz de hipercarga y .ri son los generadores del griipo Sü(2) y dichas

matrices están dadas como

1 0 O O 0 1 0 0

O O -1/3 O O 0 O . -1/3 O 0

O

(3.23)

aquí, los r' satisfacen el álgebra usual de los generadores del grupo SU(-)

La dependencia de y' (3.22) dota al espino! d I nirac de una estructura Slr(2) x U( 1).

( ~ f c (7s. garantiza la aparición de grados de lib,,rt ad ( 1 ~ 1 iswspín para el espinor. La, forma dc

111 matriz de hipercarga es seleccionada por ccnvcn iwcia para ohtcner los valores conocidos

(le la hipercarga para nuestro multiplete. i i i e s i o qiie 1,rmos construido el espacio interno

Corno una variedad con simetría SU(?) x U(11, 110 :x:st.? chiralidad en la teoría, esto q u i m

decir que ia teoría es válida solamente para part rciJa:; izquierdas; así pues, escogeremos

43

..

\

nuestro multiplete de isoespín el siguiente

Sustituyendo (3.22) en (3.21) y usando el hecho de que

(3.23)

(3.26)

se encuentra que

n

A este nivel, tenemos ya iodos 1cs dr,nmtos ricrr.;arios para calcular la acción (2.2)

Y entonces llevar a cabo la rediicció 1 (iimer,sioncl. E h t o se hará en la sigiiierite suhsección.

4. REDUCCION DIMENSIONAL Y ECUACIONES DE CAMPO.

El elemento de volumen de dv, en términos de .os angulos de Euler para S3 está dado

como sigue

(4.1) dv, == dy5L3 sin B dB dp (/$

1 Usando (4.1) en (2.13) y (3.27) y realizando la integración sobre S’ y S3 la acción

(2.2) se reduce a

1 1 --[R - M - -K~(F””F,, , , + Fa’IIVFa,,,,)]+ 16aG 4

2 2

i4 =

i - A P i R D i J

+ s{+r eA (8, + - e B e~,,;,, u

- e/(a,,$ - Se~eo, , ; , ,yhBD + -gi=l,,?j>Y + Sg2Am,,T,)FA$+

- -g1A,,Y - s~zA~,,T,)++ i i 2

i I

I + i ~ , -1- +r 5 Y+ - ~ e ~ ~ e ~ ’ ~ , , , , & ~ ~ r ~ + } } I

(4.2)

Aquí A = A - $Rs3 juega el papel de la constante cosmológica 4-dimensional. Note !

que se hizo la sustitución

K K Y Q 2 = - L 91 = - L1 (4.3)

donde 91 y g2 son las constantes de acoplanicnto de los grupos U(1) y SU(2) respectiva-

mente.

Observando (4.2), reconocemos inriic<li;it;iiii(.iitr la acción de Einstein-Yang-Llills si

asignamos a K el valor

K = 1G:C; (4.1)

Así como también la acción del modelo dc i\ii.lwrg~-Snlam para fcrmiones izquierdos.

Aparecen los términos extras, un término tipo Paiili y iin Término de masa. Ningtin campo

tipo Higgs está presente.

41

. ._ . . , ~ - .

~ ~~. ~ __I.. . ..” ~ ._.I ~ l-.-..,..... ~. .

ii) Ecuaciones de Yang-Mills

iii) Ecuaciones de Dirac

1 i 2 I 2

- -g1Lle)(‘eiF,,u r ó, ( i b - -L;’rsYOb$b 2 = O

o b iI’*e~(¿&6,b - -g1ApYob - Ggz.q + -e~eDu;,uBD6,“)t)b+ (4 .8 ) 1 A B 5 hi, i

2

tiquí los índices a, b... son índices de isotspíii. Et inmrdiato escribir estas ecuaciones en com-

po11<’ritrs usando (3.10), (3.12), (3.33) y (3.25 ’ . ‘;n l a siguiente siibsección se int,rodiicirA

.?d hoc la descomposición de Weinberg y ir pr.?smtará la forma final de las ecuaciones de

.-

campo.

-4-- T- - -*-

I

Introducimos la siguiente descomposición en las ecuaciones de campo escritas en com-

pnen t es Z, =: Apew 3 + A,s,

3 B, = --'l,~~, + A,c, (5.i)

doilde e,. = cos Buz , s, = sin Ow y 0, es el ángiilo de Weinberg. E, es el cam;io electro-

magnético. Se define como es usual

Z," = z";, - z,;u

BNu = B v ; p - Bp;v

la carga del electrón está dada por

e =- glc, = g2s, (5.3)

En lo que sigue reetiquc remos el campo electromagnético B, como -.ci afin de evitar

confusiones debidas a la nomenclatura estandard utilizada en la literatura.

Las eciiaciones resultantes son:

I El iiariones de Dirac

, I = '

(5.4)

46

donde i !

son las conexiones espinoriales usuales en 4-dimensiones y

I - ’ 2 .f TI,‘ = .4 ,, - /.4 , I . I ’ 8‘: i,ii,n conocidos bosones TV.

b I Eciiaciones de Yang-hlills

1-t F‘””.,, + g2A2,,(CWZ’” - s ~ A ’ ” ) + g2A 2 2 Y(A’”A2” - A2’Ai”

F2”“.,, - g~A1,,(cu,Zp” - swAp”) - g~A1,,(A”A2” - AZ’AiU )+

1 (5.12) - g2FZb”’(cwZ, - sWAy)l = jg2(veYPe + Ey’u, + üypd + &”U )

i (5.13)

2 + g2F1””(cwZY - sWAY) = -gz(Zy’u, -üeype - Üy’d +&”u)

Las ecuaciones diferenciales para W* pueden obtenerse combinando (5.12) y (5.13).

i i i ) Ecuaciones de Einstein

.. . . ~ .. . . . . ~ . . .. ... . . .. ... .

Además de los términos usuales de ur a teoría de Weinberg-Salam en espacio-tiempo

curvo encontramos en (5.4) a (5.11) y en (5.14) dos momentos anómalos, los cuales están

asociados con los campos de norma débil 2, y electromagnético A,, respectivamente y CUYO

valor absoluto en unidades gaussianas ec

ii

2c -Jisxif c, E 5.9 x cm

para el momento dipolar anómalo electromagn6tico y

rl

2c -&Z 3, E 3.9 x cm

(5.15)

para el momento anómalo débil. La interacción de cada uno de estos momentos con su

correspondiente campo de norma aparece en (5.4) a (5.7) así como en (5.14).

E n las ecuaciones para los bosones electromagnético y débil dichos momentos anómalos

producen corriente de polarización adicional.

E s interesante notar que el neutrino povr iin momento electromagnético anómalo

(5.12) cuya interacción con el campo electromagnético está presente en (5.4) y da lugar en

(5.10) a una corriente de polarización adicional.

Puesto que la teoría no contiene ningiín ~nrmnismo tipo Higgs para generar la masa,

todos los bosones de norma no son masivos y his valores resultantes para la masa de los

fermiones no concuerdan con los observados. iric1ii.w rrsiilta que el neutrino adquiere masa.

Las cuatro masas fermiónicas resultan srr dc.1 orden de magnitud de lOV7g, sin em-

bargo la masa leptónica (1.45 x m 7 g ) es trrs vrcrh niás grande que la masa de 13s quarks

49

(0.48 x iO-?g) y solamente la 5a-dimensión es responsable de la generación de estas m a s a

se ve en (5.4) a (5.7).

Qiiizá son estas masas resultar-tes ,le la teoría las masas preónicas de les partículas

cuando podamos hacer masivos a los bosones de norma, los fermiones adcluirinan stls

nlasas observadas.

V. REFERENCIAS

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I

P A R T E I 1

C O S M O L O G I A C U A N T I C A

SUPERVISOR

PROF. DR. OCTAVIO OBREGON

Departamento de Física

Universidad Autónoma Metropolitana

Unidad Iztapalapa.

52

!

I. INTRODUCCION

1. BREVE HISTORIA

La historia de la aplicación de la mecánica cuántica a -J cosmologia comienza con la

grave(1ad cuántica de Dirac, Wheeler, Bergmann, DeWitt, Arnowitt, Deser y biisiwr (para

una revisión vea (')), la cual fué aplicada a finales de los &os 60's a l a cosn;, 1i,.)l;( I PI : 1~

trabajos de DeWitt, Misner, Matzner, Ryan, h'íacCalliim y otros.' En dichos trabajos se

aplica la gravedad cuántica a la construcción de modelos mecánicos para Ii, 'iinámica del

universo(*-"). En los 70's con los trabajos de Parker, Davies, Hu, Zel'dovich, Anderson y

otros comenzó el esfuerzo por entender la influencia de los campos materiales cuantizados

en l a evolución del universo en su época temprana('). Sin embargo, éstos esfuerzos se

concentraron en el entendimiento de la dinámica cuántica en general sin considerar est.a-

dos cuánticos particulares. No fue sino hasta principios de los 80's que se comenzaron a

estudiar estados cuánticos específicos para el universo. Aquí encontramos las propuestas

de Penrose('); las cuales si bien son enteramente clásicas fueron muy importantes para

el desarrollo del tema y las propuestas mecánico ciiánticas de Hawking('-') V i l e n k i ~ ~ ( ~ )

y colaboradores. Dichas contribuciones han motivado el resurgimiento del interés en la

cosmología cuántica("), ésto es, en l a geomctrodiiiámica cuánt,ica aplicada a métricas en

las cuales se impone la condición de hornogrriri<ixl antes de realizar la cuantización. Este

iipo de teorías tienen va.rias aplica,ciones: piicrh wr iin modelo de teoría para la, cuant,i-

zacion de la relatividad general, donde ciertos proiilrnias de la gravedad cuántica pueden

ser resueltos al menos en un contexto h i t a d o con la esperanza de poder aplicar estos

resultados en un contexto más amplio eii la teoría Estos modelos pueden también darnos

.- :.. ~ . S :. . .

una idea aproximada del :omportamiento global del universo actual en situaciones donde

la mecánica cuántica es importante(3)

Una de las dificultades originales en la cosmología cuántica, la cual está tamhién pre-

sente en la relatividad general, es el hecho de que el hamiltoniano del sistema es cuadrático

en el mismo sentido que el hamiltoniano de ma partícula relativista (Hz = p z + m2)(11) lo

es. Hamiltonianos cuadráticos conducen automáticamente a ecuaciones tipo Klein-Gordon

(ecuación de Wheeler-DeWitt) para la función de onda que carG+eriza al universo con

todos los problemas inherentes para interpretar estas funciones de estado como densidades

de probabilidad. Como es bien sabido, la ecuación de Klein-Gordon no es consistente con

los principios de la mecánica cuántica yi que presenta segundas derivadas en el tiempo y

permite la posibilidad de tener probabilidades negativas así como también no permite la

conservación de la probabilidad. La primera idea que se ocurre, es tratar de obtener la

raiz cuadrada a la Dirac de dicho hamiltoniano, donde H es lineal en los momenta y s u

cuadrado lleva a la ecuación original tipo Klein-Gordon. Este tipo de raiz cuadrada ha sido

encontrada para las métricas tipo B i a n ~ h i ( ~ ) y al menos para los universos Bianchi Tipo

I la ecuación tipo Dirac resultante ha sido resuelta. El problema fundamental consiste en

que la solución es un vector de la forma (:::) y no existe una interpretación natural de

dichas componentes.

Después de inventada la Supergravedad, Teitelhoim et al('21'3) mostró que esta teoría

provee naturalmente una raiz cuadrada del tipo Dirac para la gravedad. Esta raiz cuadrada

sugiere inmediatemente la ide.r de interpretar las componentes del vector de estado en

términos de estados cuánticos en supergravedad. Sin embargo, puesto que la raiz cuadrada

de Teitelboim es precisamente la extensión natural supersim6trica de la gravedad, consti-

tuye un método general para obtenx raices cuadradas en gravedad y cosmología cuánticas

así como permite la posibilidad de interpretar las funciones de estado resultantes.

2. FORMALISMO DE TEITELBOIM

Existe una estrecha relación entre tomar la raiz cuadrada de las constriccioiies de

tin sistema hamiltoniano, introduciendo grados de libertad de espín en una !:t,oría i!sira

y la idea de supersimetría. Llamamos supersimetría a la invariancia de una teoría bajo

transformaciones que mezclan variables fermiónicas, las cuales. obedecen relacioiles de m-

ticonmutación, con variables bosónicas, las cuales obedecen relaciones de conmutación. El

I ejemplo más simple es el electrón de Dirac, el cual puede ser considerado como un sistema

hamiltoniano constreñido, el cual posee dos constricciones

S = 0,Pp +&m FZ O

Y

donde

estas c nstri

(2.3)

ciones cumplen con un álgebra. la cual es cerrada en el siguiente sentido

'oría cu

por S como por H .

~itica se obtiene dei 1

- [S, S] = -H

[S. HI = O

[H. H ] = O

dmdo que los est

56

(2.4)

(2.5)

( 2 . 6 )

dos físicos sean aniquilados tanto

De (2.4) se deduce que

de manera que la ecuación de Dirac es la raiz cuadrada de la ecuación de Klein-Gordon.

Así pues tomar la raiz cuadrada de las constricciones significa tomar la raiz cuadrada de

Ins ecuaciones cuánticas de movimiento. La transformación generada por la constricción

fermiónica (2.1) obtenida a partir del conmutador (para una variable bosónica) o del an-

ticonmutador (para una variable fermiónica) de las variables dinámkas con S, está dada

Por sxw = € e P bP, = o

- ' W @ 605 = -iem

y claramente mezcla variables de Bose y de Fermi.

La relatividad general se ajusta muy bien y de manera natural al esquema anterior.

El objeto dinámico es ahora una superficie 3-dimensional y los campos dinámicos son las

componentes espaciales de la tétrada e", y sus correspondientes momentos conjugados.

La teoría posee constricciones 311, 3111, J o b asociadas con la libertad de deformar la

superficie normal y tangencialmente a sí misma y con la libertad de realizar rotaciones

localizadas de las tétradas respectivamente. La constricción 1-11 x O es cuadrática en los

momenta en completa analogía con (2.2). Es por tanto natural preguntarse si es posible

tomar la raiz cuadrada de los generadores de las deformaciones superficiales y dotar de

esta manera a cada punto del espacio con un nuevo grado de libertad asociado con una

estructura espinorial intrínseca. La respuesta file dada por Freedman, van Nieuwcnhuizen

y Ferrara('') y por Deser y Zuiriino(''). El campo de espín aparece como una propiedad

fundamental del espacio al mismo nivel que los atributos geométricos, en analogía total

con el rol jugado por el espín del electrón respecto a la partícula puntual. Así, en el

57

mismo sentida en el que uno habla de las “spinning particles”, se puede hablar de que la

supergravedad es la teoría del “spinning space”.

Para mostrar que las constricciones fermiónicas de la super gravedad son la raiz

cuadrada de los generadores de las deformaciones superficiales mostraremos el álgebra com-

pleta. En el caso en consideración las variables canónicas son las componentes espaciales

de la tétrada eai, sus correspondientes momentos conjugados y las componentes espaciales

del vector-espinor $, , definidos en una hipersuperfic pacialoide. Existen tres diferentes

constricciones en el problema: los generadores de translación ‘Ha (funciones bosónicas), los

generadores de rotación Jab (funciones bosónicas) y los generadores de supersimétricos SA

(funciones fermiónicas). Los generadon de translaciones ‘Ha son la proyección a lo largo

de la tétrada de los generadores usuales de las mismas 7i,,(”9”j. Si bien ambas descrip

ciones son equivalentes, es más conveniente en el presente contexto tomar a ‘H. como las

cantidades básicas. Así, las relaciones de conmutación adquieren una forma más simétrica

y el papel desempeñado por los distintos campos en la teoría se muestra claramente.

!

i

Los multiplicadores de Lagrange asociados con translaciones y rotaciones y transfor-

maciones supersimétricas son las componentes covnriantes temporales de los correspondi-

rntes campos de norma. Estos campos son e’,, (tétrada), Wpnb (coeficientes de rotación de

Ricci) y g,, (vector+spinor de Rarita-Schwinger) respectivamente. El hamiltoniano se lee

entonces como sigue

J L

se debe enfatizar que ‘Ha, J“*y S son construidos a partir de las variables canónicas de la

58

!’?

donde

Los tensores H, C, y R tienen la propiedad a I

se transforman horn.!

..e su i wmponente 3 i i lo larks I

8iLirier:te bajc, tra:r! Iitc.:ones I C ) . j

%a ;:I n,piedad inii: .ic;$ que 1:1! i

ilx lz, eiiría y no. i ( I 1,)s mu:.

rpim: [ tttvi del teri;, 11’ (!e Riel:

I tría I (:lcpen.den :3 J r anto I:.’ : -

la tétrada Habi zcab.y

zadas, rotaciones y transformaciones supersim6tric.:

componentes dependen solo de las variables can& : :

cadores de Lagrange. Es importante nota,r quc la i I

se transforman inhomogéneamente hajo s i i r : I

multiplicadores.

La transformación de los multiplicadores bajmi I i , r a r ~ I , u ( ~ i Ó n [“(:E)

:.a p o : i , i i sigiiieiir(: ex!)resióri

wia rot;: ~ 1 ~

~ “ ~ ( 2 ) y una transformación supersimétrica e(x)Ies,. ,

59

------r-- --...A- ,. .. ,. ~ , . ,,., .. -. ._I..-. ---- (I

Así, el álgebra que cumplen los generadores ?ía, J a b y S está dada ccrri,: 3ic;:Ie

[S(5), S(z')] = q5, z')y%, ( 2 . 1 3 ~ )

1 2

'[s(I), ?íc(Z')] = -6(z, 5')CcabJab (2.13b)

[S(z), Jab(z f ) ] = -6(z, z')uabS (2 .13~)

( 2 . 1 4 ~ )

(2.14 b)

La ecuación (2.13a) es la relación, en th i i r i o s de generadores, encontrada por Freed-

man J' van Nieuwenh~izen('~) actuando tlircct;irn<*iite con las transformaciones en ios dis-

tintos campos. Es importantc notar qiie dri~i~lii a la definición (2.10) de una translacitin

localizada, ningún campo aparece explícitamriire cn el miembro derecho de (2.13a). Los

campos aparecen, sin embargo, en las otras rclaciones de conmiitación.

, . ,.,. , ...~ - .-_- *., --*.+---

Los campos &ab, %bed y Hab juegan el papel de formas de curvatura en (2.13) y

(2.14). Si se suprimen, el álgebra se rediice a un número infinito de copias (una para cada

punto del espacio) del álgebra supersimétrica de espacio plano.

La relación (2.13a) muestra que la supergravedad es claramente la raiz cuadrada de

la relatividad general. De hecho, los estados físicos de Ir. teoría cuántica deben satisfacer

SI$ >= o (2.15)

lo cual vía (2.13a) implica que

(SS+SS)l$ > = o (2.16a)

, I y por tanto

“,Is, >=o (2.16b)

Las funciones &ab, f l a b c d y H a b dependen de las variables canónicas de la teoría. Las

constantes de estructura del álgebra no son por tanto constantes sino que dependen de los

campos. Esto hace que el problema del ordenamiento cuántico sea particularmente difícil.

Este problema está presente en la relatividad general ordinaria, donde R a b c d aparece en

el miembro derecho de (2.14a) para el caso correspondiente en términos de ‘Hi y ‘H,; en

lugar de 7-1,. Siempre que se tiene un Algebra cori constantes de estructura dinámica no

cs posible separar el álgebra del hecho de que los generadows deben estar constreñidos a

anularse.

El propósito de este trabajo es utilizar el formalismo de Teitelboim para obsener la

raiz cuadrada a la ecuación de Wheeler--DeWitt asociada con las cosmologk Bianchi tipo

I y tipo IX.

61

En la cosmología Bianchi I, el hamiltonirno del sistema resulta ser el de una partícula

libre y es por tanto, un caso completamente soluble. Mientras que en la cosmología Bian&i

IX aparece en el hamiltoniano asociado un potencial de interacción, lo cud hace que 6~

problema sea muy complicado y a la vez interesante pues constituye uin medio para poder

adentrarsr en la complicada estructura cuántica de la cosmología.

El plan es el siguiente: En I1 se analiza el caso libre. En I11 se obtiene uta solución

dicho caso libre. Finalmente en IV se clásica a.las ecuaciones de la supergravedad 1':

estudia el caso más general con interacción.

-

G2

-- .

CA (CASO LIBRE)

1. INTRODUCCION

interpretación natural de las compone 2.j de la función de estado, en términos de eigen

estados de las componentes del campo del gravitino. La diferencia principal será que el

vector de estado tiene ocho componentes en lugar de dos, pero existe una división natur,,l

en cuatro vectores de dos componentes, cada uno satisfaciendo las ecuaci0ne.q de la r i i , L .

i I t

I

I cuadrada naive.

! A fin de llevar a cabo este programa, simplificaremos la supergravedad lo más posible.

Las variables de Campo básicas en la formulación gravitón-gravitino de la supergravedad

.V = l(I9) son la métrica g r i v ( P ) y el vector-espinor del campo del gravitino $J,,~(P) donde

.-i = 1 , . . . , 4 son índices espinoriales, las cuales obedecen el sist.ema de Einstein-Rarita-

Schwinger formulado por Freedman y van Nieuwenhuizen. Para simplificar las cálculos al

iiiixirno posible, supondremos que +,,A puede ser desarrollado en una base anticonmutante

1 1 ~ i d c n dos'"), esto es

$'PA = S>fiAlEI f $p.* E? (1.1)

' h d e las $flAi son funciones ordinarias y las E ; son co9s:ar.tes que obedecen E , C ~ = - E j e ¡ .

i h i o que los grados de libertad que cuantizaremos ion los $,,A;, las cuales escribiremos

cnmo operadores $,,A. La métrica tipo Bianchi que u! aremos es

63

(1.2)' -2fI(t) 28(t) i ds2 = ( N 2 - NJNj)dt2 - 2N,dtwi - e e i j w d

donde Q ( t ) es un escalar y B,,(t) es una matriz 3 x 3 y N ( t ) y N,(t) son las funciones

de lapso y corrimiento respectivamente. Las 1-formas w' son las 1-formas invariantes

apropiadas a un universo tipo Bianchi particular, aquí tomaremos w' = dx' para obtener

el modelo tipo I.

Consideraremos que la cosmología cuántica significa la cuantización del modelo ho-

mogéneo tipo I con $,, = +,,(t) siendo O(t), Bij(t) y +,,A,(t) el conjunto completo de

variables dinámicas. Tomaremos la parametrización de Misner(2') para la Bij en la cual

pij = diag(p+ + hp-,p+ - dip-, -2B+). Para poder hacer comparación escribiremos la

ecuación de movimiento de la raiz cuadrada naive. Es posible escoger una representación

en la cual la ecuación para el vector

piicde ser escrita como

donde o, son las matrices de Pauli ordinarias. El problema principal encontrado en esta cos-

mología cuántica es el bien conocido, de tratar de construir una acción que sea una funcion

sólo de las variables dinámicas mencionadas arriba, la cual contenga toda la dinámica del

sistema completo de las ecuaciones de Einstein-Ranta-Sch~inger(~). Un ejemplo donde

64

,

I

esto falla son los modelos diagonales tipo Bianchi de Ellis-MacCdlm(22), donde las

ciones de Einstein son usualmente nwdiagonales y una integración por partes en la base no-

coordenada que produce una contribución distinta de cero se pierde automátic~ente(23).

El Lagranginao hornogeneizado en Supergravedad para los modelos diagonales tipo I sufre

de este problema debido a que las ecuaciones de Einstein son nwdiagonales. Mostrmemos

que estas ecuaciones no-diagonales se reducen a un conjunto de constricciones algebráicas

en las $,,, las cuales dejaremos como un conjii 7 de constricciones en la solución find.

Otro posible problema, el cual no se presenta, 5 la posibilidad de que no existan solu-

ciones clásicas para los modelos diagonales Bianchi tipo I (ver sección III)(24). Esto no

es necesariamente serio ya que soluciones cuánticas pueden todavía ser encontradas, pero

podrían causar problemas en modelos homogéneos donde soluciones cuánticas no tienen

fluctuaciones inhomogéneas para manejarlas. Este problema no se presenta puesto que las

soluciones clásicas a nuestro problema son conocidas (ver sección 111). Esta sección está or-

ganizada como sigue. En 2 construiremos el Lagrangian0 homogéneo para el modelo. En 3

se compara el sistema exacto de ecuaciones de Einstein-Rarita-Schwinger para la métrica y

el campo del gravitino con las ecuaciones obtenidas a partir de la variación del Lagrangian0

del modelo. De esta comparación se deiivan las constricciones algebráicas resultantes de

las eciiaciones de Einstein nediagonales. Finalmente, en 4 se escriben las ecuacionri

ciiánticas construidas a partir del formaliqmo dr la raiz cuadrada de Teitelboim(”).

.- 2. EL L.4GRANGIANO

Como se mencionó en 1 nos restringimos ai caso

con €1 €2 + e z ~ i = O. El Lagrangian0 de la supergravedad se reduce entonces a

W p n b = ;,<ab f n p a b

donde P O

- 1 wN4b = -[e4"(a,eau - a u e b l l ) + e , e b (aoecp)ec,] - (a ++ a) 2

K , w p = -&p + su,, - SPrv (2.4) 2 -

S P U P = ~ 4 , Y P S > Y

son los coeficientes de rotación de Ricci (sin torsión), los tensores de contorsión y torsión

respectivamente. Nótese que en nuestro Lagrangian0 todos los términos de tercer orden o

mayor han desaparecido debido a (2.1). Para las matrices y usamos la representación real

de Majorana

(2.5)

donde 3 = sTC con C = - iyo .

66

Escritiircinos la métrica de un modelo general tipo Bianchi como

donde C ' j k son las constante,s de estructura del grupo de movimientos asociados con el

modelo tipo Bianchi particular en consideración.

A fin de escribir las ecuaciones de movimiento del gravitino necesitamos una base

ortonormal y por tanto escogemos la sisiente

Estamos interesados en un modelo tipo I con @ diagonal, donde C ' j k = O y /3 puede

paramatrizarse como

Los coeficientes de rotación de Ricei son

(2.10)

donde el punto denota la derivada respecto a tiempo f2 y los índices entre paréntesis se

refieren al espacio tangente.

Queremos ahora calcular el Lagrangian0 (2.2) para este caso. Para eso haremos el

siguiente cambio de variable para el campo del g r a v i t i n ~ ( ~ ~ )

(2.11)

(2.12)

En este nivel no hemos combinado los términos en do y &, en un solo término (esto

podría hacerse mediante la relación 774 = -&q) así conlo tampoco hemos usado la iden-

tidad & ” y ” ~ P í ) = -rjy”y”y”q5 para simplificar los terminos de la forma (boy”y”yP+o.

Hacemos esto para facilitar la comparación dp las ecuaciones dinámicas obtenidas del

6s

Lagrangian0 (2.12) con las ecuaciones de movimiento calculadas directamente de las ecua-

ciones de Einstein-Ranta-Schwinger de la supergravedad N = 1.

3. ECUACIONES D E MOVIMIENTO

Las ecuaciones de Einstein y Rarita-Sdiwinger de la supergravedad AT = 1 son

donde

Para la base (218) con p, dada por (2.9) y para la restricción (2.1) se encuentra para

la norma N = 1, N' = O que (3.1)-(3.3) se reducen a un conjunto de ecuaciones para &, R

y 4t , las cuales están dadas en el apéndice.

'To está automáticamente garantizado que las ecuaciones de movimiento obtenidas

variando el Lagrangian0 (2.12) sean eqiiivalrntes al sistema (3.1)-(3.3), puesto que hemos

impiicsto la condición de homogeneidad en C antes de realizar la variación, lo cual no es . . .

nccesariamentr consistente con variación seguida de hom+gt.neiza,ci(in. Esto significa que

debenios checar las eciiaciones variacionales contra las eriiaciones reales. Si variamos L

respecto de o,, y Ti obtenemos las ecuaciones de Rarita -Schwinger (A17) y (A18). La

ecuación (Al) se sigue si variamos con respecto a :V. La mriación respecto de R, P+ y 13-

da comn resultado

69

- .. ".* .-..--...---+---- -I___----.-

!

Estas ecuaciones son equivalentes a las ecuaciones (AI)-(A4). Si ahora variamos re-

specto de N' obtenemos las ecuacion;es (io) del sistema. Dadas todas estas ecuaciones, i&

ecuaciones (Oi) de Einstein se satisfacen automáticamente. Las ecuaciones variacionales

no son exactamente las ecuaciones de Einstein-Rarita-Schwinger pero forman un sistema

equivalente. Puesto que introdujimos la métrica diagonal (2.10) en el Lagrangiano, hemos

automáticamente perdido todas las ecuaciones de Einstein ( i j ) con i # j . E n muchos

casos en cosmologia estas ecuaciones son identidades así que no se pierde información.

Sin embargo, en nuestro caso esto no se cumple. En nuestro problema estas ecuaciones

constituyen un conjunto de constricciones extra. c: ( ial debe ser considerado de alguna

manera. Es inmediato mostrar que ellas piicdcn ser 1 ZdxicidPs a un conjunto de constric-

ciones algebráicas en las componentes del vectw -?'pi io del campo del gravitino.

4. COShIOLOCIA CUANTICA

Ei Lagrangian0 (2.12) puede ser puesto ":n f o , x a hni!toniana de la manera usual

(dcfiniendo P+ = aL/a,ü+, etc.). Como es usual coa :os Lagrangianos espinoriales, los

70

.. . - . _._,- -I ~ . .. ... ..

momenta conjugados a las di son esencialmente las 4i mismas, de manera que no 1A etiquetaremos de otra forma.

Así, tenemos que

iV, N' y 40 son multiplicadores de Lagrange y %O, %,, y S son las respectivas con-

stricciones asociadas. Esperamos que estas constricciones satisfagan el álgebra descu-

bierta por Teitelboim(") (esto no está aijtomáticamente garantizado para constricciones

hornogeneizadas), o un algebra similar, !a cual no.; permita mantener la propiedad de raiz

ciiadarada para el álgebra completa. Si u: arios la forma homogeneizada de los paréntesis

de DiraC('*I26) =.

{ S A ( Z ) SBIZ')} = YZBH, 6(Z,Z') (4.3)

convertida a relaciones de anticor,m,iti,ci in, e i posible mostrar que en nuestro caso las

constricciones S y %o tienen la propiedad dr r:liz ccadrada

i l

-- . . -

La homogeneización del Lagrangia:. +:reduce la existencia de dos términos extras en

el álgebra, los cuales son proporcionales a S y dependen de las variables canónicas de

la teoría. Puesto que son proporcionales a s son automáticamente débilmente cero y no

añaden ninguna constricción nueva al álgebra.

A fin de cuantizar el problema, convertiremos P,,P+,P- y 4, en operadores, los

cuajes actuan sobre la función de onda del universo, la cual en principio nos dará la

probabilidad de encontrar al universo en un estado con valores dados de 0, /3* y 4,. Las

constricciones S, " 0 , y 7-1, son ahora operadores y la ecuación Sik = O es la ecuación qiie

determina ik. Es inmediato ver que la constricción usual de las cosmologías tipo Bianchi.

'?-to ik = $e3n(PA - P: - P!)Q = O que lleva a una ecuación tipo Klein-Gordon cs una

1-oiivcuencia de SiIi = O a través del álgebra (4.3).

El operador S tiene cuatro componentes espinoria!es similares a

donde hemos escogido arbitrariamente el ordcnamient o. Ahora trataremos de encontrar

una representación para los operadores que forman a S Los momenta PQ, P+ y P- toman

" 12

ia representación usual - l a . Para las 4: encontraremos una representación matricial >aaI la cual dé {'$:Ai 4 J b } = :Z(YJYZ)AB.

Puesto que { S A , S B } = O para A # B podemos considerar que cada S A actúa en

subespacios ortogonales y por tanto podemos escribir SA* = O en la forma

(4.5)

donde cada SA será un operador matricial del rango más pequeño posible consistente con

el áigebra de S.

Cada SA puede ser escrita de la siguiente manera

o en forma de operador

El único anticonmutador diferente de cero qtie contiene a cada SA es

cl ciial iiiiplica la siguiente álgebra para las .if..,i

Para toda A , el rango mínimo posib!e pam i ~ r a ,.qrewntaciÓn matricial de las M A i

es dos. Una representación conveniente es

y la ecuación SAQA = O, donde las * A son los vectores bidimensionales que forman a

G , se reduce a

Nótese que para cada 9~ es ésta la ecuación (1.3), la cual es la ecuación raiz cuaclrda

que resulta por el método naive.

La raiz cuadrada d- supergravedad nos da exactamente lo que el método naive ad hoc

no provee, esto es, una interpretación de los vectores de estado de dos componentes Q A en

términos de estados con diferente probabilidad de encontrar a 4, con distintos valores. En

la Siguiente subsección discutiremos la interpretación.

5. DISCUSION D E SOLUCIONES Y CONCLUSIONES

Para cada Q A la solución de (4.9) es

C ( P - i P - ) . donde PI son constantes y CAI = = - -

Los dos signos de E corresponden P. unii.eisos que expanden ( E > O ) y a universos

que contraen ( E < O). La densidad de p’ot al4idad t c h i

se conserva en el sentido $$ = O.

74

. .

solo resta interpretar las diferentes componentes del %vector Q. Como paradigma

tomaremos *l. El operador Si es

- iM13- OB- ” .

a . a 12 (5.2)

donde

Es obvio que los vectores (1) y (O) son eigenvectores del operador matiicial hermiciano

-

+ $32) o una combinación’de eigenestados de $ 1 1 , $24 y &, puesto que hay doce MA,

y doce 4 ~ i y las matrices que las relacionan no son singulares, la rotación de la base de

eigenestados de AlAi a la base de eigenestados de 4 ~ , es simple. En principio podríamos

reescribir SAQA = O en esta segunda base a fin de simplificar la interpretación ya que la

base de vectores de 8-componentes

4 Mil. Por ejemplo (i) es un eigenestado con eigenvalor fl del operador 4

. , . . w í a 1in.eigenestado de alguna comporente espinoriai d ~ ; de una de las 4i, pero los o-

Wadores SA escritos en términos de estos operadores son menos convenientes qiie (4.7),

‘k manera que no intentaremos hacerl.1. En cualquier caso, cualquier estado con una

i’robahilidad dada de encoiitrar al cni rexso con & teniendo un cierto valor piiede ser

75

e

construido como una combinación lineal de eigenestados de MA, por ejemplo. Así, la

interpretación de las componentes $A, la cual se pierde en el método naive de la raiz

cuadrada de la cosmología cuántica, es que las mmp mentes representan probabilidades de

encontrar al universo al tiempo R con valores dados de y 4,.

APENDICE

Las ecuaciones (3.1)-(3.3) en la base (2.8) con p,, dada por (2.9) y para la suposición

(2.1) en' la norma N = 1, N' = i), $0 = O , se reducen a ~

76

.... .. . .. .. -. . ~ .~

o 1 3 ' o 1 3 + $27 Y Y 4 3 - ,Y Y Y ('21 = 0 11, (211 ( A l l )

-.. I i

donde (A17) y ( A B ) son las eciiacicmes de Rarita-Schwinger y en las ecuaciones de Einstein

(.41)-(A6) los números entre corrhctes r iiiestran de que términos [~(cI)] dichas ecuaciones

provienen.

111. SOLUCION (SUPER) COSMOLOGICA PARA E L MODELO DE KAS-

NER

1. INTRODUCCION

Durante los .Últimos quince años, la supergravedad y las supergravedade:; extendidas

han sido intensamente estudiadas. Originalmente estas teorías fueron consiui're.iia;+ :orni>

serios candidatos para unificar partículas de diferent.e espín y números cuánticos int,ernos

! . supermultipletes. Aquí, no discutiremos la razón de la perdida de interés en dichas

teorías para lograr ese fin. Sin embargo,'se ha estudiado la supergravedad N = 1 como la

versión supersimétrica de la gravedad y es en este espíritu que presentamos este trabajo. I !

Hace algunos años Isham y Nelson(2g) estudiaron los modelos de Friedmann-Robert-

son-Walker con materia constituida por un campo espinorial homogéneo en los regímenes

clásico y cuántico. El resultado más desalentador de ese trabajo fué que los modelos

K = $1 no admiten dicho campo espinorial homogéneo. Modelos más complicados como

los Bianchi tipo IX pueden ser acoplados a campos espinoriales homogéneos(30).

La Cupergravedad N = 1 puede ser considerada como un acoplamiento particular

entre la gravedad y el campo de Rarita-Schwinger y es interesante investigar si una solución

cosmológica para este sistema existe (ver sección 11). Estas soluciones pueden ser útiles para

coristruir el modelo cuántico correspondiente('?). Por esta razón nos proponemos buscar

una solución cosmológica clásica para uno de los casos más simples, el modelo de Kasner

(Bianchi tipo I). Para el campo de Rarita-Ccliwingcr tomaremos el desarrollo en solo dos

nUmeros de Grassmann, el cual es el caso no-trivial mis simple('') $ !I - - e i?1>,1 + 4 p 2 .

Esto elimina todos los términos cúbicos y de orden superior de las ecuaciones de campo.

Además, tomaremos un conjunto espccial de normas (N = 1, N i = O y $o = O).

El método que usaremos permite encmtrar una solución simple, la cual resulta en un

término para el espinor-vector $p (el misriio primer orden en €1 y €2) y dos th:&ms para

los parámetros R, @+ y p- (términos de orden cero y orden dos en ie.1 E:) ':..:t,: i t',r:.ni;ic>s

de orden cero son logarítmicos en el tiempo como en relatividad general, los términos en

€1 €2 contienen una dependencia hiperbólica en el ticmpo. En la sección 2 presentaremos el

formalismo para nuestro modelo. En la. sección 3 se calculan las ecuaciones cosmológicas.

En 4 se muestran las soluciones y en 5 las conclusiones.

2. SUPOSICIONES

Usaremos la pitrametrización siguiente del modelo de Kmner como nuestra métrica

cosmológica

- 2 R ( t ) e28(,0,i , j ds2 = (N2 - NJNj)dt2 - 21V;dtw' - e '3

donde Q(t) es un escalar, @ i j es una matriz 3 x 3 diagonal

Las formas ui son las 1-formas li,s ,.ii:J<-; 1 ari l 1.1 modelo en consideración cumplen

con

(2.2) i k dJ :.= .- - c ,\ &' 5: I

.SO

Nuestra base es la siguiente

donde los índices entre paréntesis representan índices en el espacio Langente. Para el campo

de Rarit a-Schwinger tomaremos el siguiente desarrollo en términos de solo dos números

de Grassman

*ll = EllC>pl + €1*)l2

y usaremos el siguiente cambio de variable para simplificar el c á l ~ u l o ( ~ ~ )

(2.4)

El sistema de ecuaciones de Einstein-Rarita-Schwinger que resolveremos es el siguien-

t e ( l Q J 1 )

con

(2.7)

81

E

RP(4 = e u(B) R , U ( OB )

R = ep(o)R,,(a).

nuestras ecuaciones dinámicas, la itrada, los coefic ntes de rotación de R..ci,

la torsión y la curvatura se desarrollan en términos de los niimeros de Grassmann como

sigue(”)

(2.9)

En la siguiente subsección presentaremos las rciiaciones de campo (2.6) y (2.7) para

la métrica (2.1) bajo la restricción (2.4).

82

3. ECUACIONES D E CAMPO

Para nuestro modelo cosmológico de Kasner bajo la restricción (2.4), las ecuaciones

de campo rvsultan en términos de las variables gravitacionales N, N' , Q , /3+ y /3- y

del campo de Rarita Schwinger qhI y qho (ecuación (2.5). Sin embargo, la supergravedad

admite tres distintas simetrías de norma, las cuales nos permiten fijar catorce funciones de

norma: cuatro están relacionadas con la covarianza general, seis con la invarianza local de

Lorentz (las cuales fueron ya fijadas con la elección de la tétrada) y cuatro más surgen de

las transformaciones de supersimetría.

En las ecuaciones siguientes hemos introducido la norma N = 1, N i = O y 4 0 = O.

Las ecuaciones de Rarita-Sdiwinger (2.6) se reducen a

1 2 7'4, + -(-h + p, , )y i4 , =-O i = 1 , 2 , 3

(2h + jjj)7'$j = o suma sobre j

83

De acuerdo con los desarrollos (2.4) y (2.9), las ecuaciones de Rarita-Schwinger (3.1)

son de primer orden en €1 y €2 y por tanto son las mismas para cada parámetro de

Grassmann c. Las ecuaciones de Einstein (3.2) se dividen en ecuaciones de orden cero

y de orden dos ya que

Q = Qo + E l E 2 Q Z A = 3"i + E , € Z P Z i (3.3)

Las ecuaciones de orden cero pueden csprrsarsc como

' 2 ' 2 R 2 - /?+ - f3- = o

j - - 3np- = o

;it - 3 A j , = o . . (3.4) n - - 3@ -= o

No escribiremos !as ecuacioncs de Einstein de segundo orden, las cuales se obtienen

E> de acuerdo con (2.4) y (3.3). En la siguien- de (3.2) reentendiendo los términos en

s5

te sección presentaremos dichas ecuaciones de segundo orden ya reducidas usando las

soluciones de orden cero (ecuaciones (3.4) y las de orden uno (ecuaciones (3.1)).

4. SOLUCIONES

Las ecuaciones de campo de orden cero a.imiti.n las siguientes soluciorie:

R = - In[H(t - t0)1/2],

P i = ln[&(t -

H = ct ;

&, u* cts. (4.1)

con este resultado podemos resolver (3.1). La suma de las ecuaciones para las 4, da

. . . 3$j . 714. - - J

J - 7 4 j suma sobre j

y la solución a dicha ecuación es

donde 4 j 0 es un espinor vector constante.

(4.4)

La ecuación (4.3) es ahora sustituida e n cada una de las ecuaciones (3.1) para $i y

las soiiiciones correspondientes son

1 í J 0 , o TI41 = - ( i f 3c+ -t 3&7-) + Y l h o , 3 H ( t - t o ) ' / 2

+ Y Z 4 2 0 r 1 r i'djo y242 = -(1+ 3cT+ - 3/30-\ 3 H( t - t n ) 1 / 2

1 -/Jo,o ~ ~ 4 3 = - (1- 6 ~ + ) - i- -?630, 3 H ( t - f o ) i / z

Sustituyendo (4.4) en la ecuación (3.1) restaritr ol>tenemos dos condiciones de com-

patibilidad

56

.~ , .,.*,.-'̂" . ,. ~~ . , *" .. _~:---

. .- ~ ~ . . ..., ~ ~ , . .

4i = 4i0,

3u+ + &u- 3u+ - &u- Y 1 4 i ,

2 Y h = -

2&u- Y 3 4 3 = Y l d l ,

3u+ - &u- 3u+ + &u-

2\/3u- Y3 4 3 ; 2 7 4 2 = -

resultando que' todas las di son constantes y proporcionales entre sí. El vector-espinor

(2.5) del espacio-tiempo curvo es entonces

$0 = o,

410 , B+ B_J" u++& u--l/6 " = "12 (t - t o )

nuec a ilución no-trivial en el sentido D,v # $fi (32) .

Las ecuaciones de segundo orden se reducen al incorporar las soluciones a las ecua-

ciones de d e n cero y de orden uno en las mismas y quedan como sigue

62 -k 3U+,&+ -I- 3U-&- = o,

s7

Estas ecuaciones corresponden 1-1 a las ecuaciones (3.2) en este orden ele2 . Las

soluciones a las ecuacions de segundo orden (4.8) son las siguientes

cl, c2, &, HI constantes.

Nuestro conjunto desoluciones son las soluciones de orden cero (4.1), las soluciones de

orden uno para el vector espinor (4.7) y las soluciones de orden dos (4.9).

La solución completa para las variables gravitacionales R, p+ y p- es

R = - ln[H(t - - €1 €2 [ c1 - c,] , (t - t o )

(4.10)

5. CONCLUSIONES

Extensiones supersimétricas de diferentes teorías de campo han sido recientemente

yomideradas. Aquí hemos presentado una aplicación de la extensión siipersimétrica de la

rc.l;i t ividnd general (siipergravedad) a la cosmología.

E.:(, método de solucidn puede dplicarse a otras mGtricas así como también se pueden

ii*,ii <lift-rentes normas y agrandai la base de Grassniann.

.-\lgiinos autore~(~'> 1 2 , 33) han señalado ya la importancia de las soluciones exactas

cn supergravedad. En particular! la cosmología repwsenta un modelo simplificado de la

gravitación y estudiar su comportamiento tanto clásico como cuántico es útil para aprender

algo del comportamiento de la t e o h completa('. '). Las soluciones clásicas son el punto de

ss

partida de algunos métodos de cuantización, los c d e s generan fluctuaciones o correcciones

a las soiuciones clásicas puramente gravitacional-s. En este sentido, nuestra solución es

un modelo reducido de la supergravedad y su contportamiento clásico puede ser útil como

base para el estudio de su comportamiento cuántico.

IV. COSMOLOGIA CUANTICA DEL BIANCHI TIPO IX

1. INTRODUCCION

En la sección I1 construimos la raiz cuadrada del hamiltoniano para los modelos COS-

mológicos Bianchi tipo I(34). En dicha secc:ón obtuvimos una ecuación tipo Dirac, similx

a la que se obtiene mediante el método naive, siendo la diferencia principal el hecho de que

el vector de estado que caracteriza al uni;rerso tiene ocho componentes en vez de dos, pero

existía una división natural en cuatro vectores de dos componentes, cada uno de los cuales

obedece la ecuación raiz cuadrada naive. Esta es una ecuación tipo Dirac libre debido a

que la ecuación de Wheeler-DeWitt para estos modelos es una ecuación tipo Klein-Gordon

libre en el sentido de que no aparece ninguna función potencial en el hamiltoniano. . i

E l siguiente paso es considerar un modelo más interesante, es decir, uno que contenga

una función potencial en el hamiltoniano y buscar la correspondiente raiz cuadrada. Si el

sistema de ecuaciones acoplado resultante es tipo Dirac, dicha estructura nos permitiría

analizar todos los aspectos físicos relacionados con la teoría de Dirac. Como es bien sabido,

la ecuación de Klein-Gordon (ecuación de Wheeler-DeWitt) para los modelos cosmológicos

diagonales Bianchi tipo IX tiene una función potencial muy complicada y su raiz cuadrada

naive iio ha sido todavía encontrada. Así, la siipcrgravedad constituye una posibilidad

para !ograr obtener las ecuaciones raiz cuadrada corrcspondientes a este caso.

E n este trabajo utilizaremos el mismo procedimiento que en la sección 11. construire-

mos modelos cosmológicos cuánticos Bienchi tipo I S diagonal en supergravedad a partir

del formalismo canónico clásico y mostraremo; que UP sistema de ecuaciones raiz cuadrada

tipo Dirac resulta, en el c i d un acoplamien o no-m'nimo está presente. Uno esperaría

una raiz cuadrada de la forma -+’(a,, - EA,,)$ = O conlo sucede en la teoría clásica, donde

un campo externo es introducido a través de un acoplamiento m’nimo. En nuestro caso,

lo que se obtiene semeja más bien al oscilador de D i r a ~ , ( ~ ~ ) donde un acoplamiento no--

mínimo (Pt -+ P, - irnwb’r; con P una matriz) es introducido a fin de obtener UII osciladcr

linealizado. Encontraremos un sistema de cuatro ecuaciones acopladas tipo DTrrc con ur i

potencial que resulta ser un operador. El vector de estado tendrá 32 componciiles, COIL

una división natural en cuatro vectores de 8 componentes. Además, el álgebra entre SA y

H cierra, existen sin embargo términos extras, los cuales son proporcionales a S y depea-

den solo de las variables canónicas de la teoría de manera que son débilmente cero y no

introducen nuevas constricciones en la teoría. El vector de estado puede ser escrito de la

siguiente manera.

la estructura de las ecuaciones raiz cuadrada es tal que si cambiamos el signo del operador

potencial el correspondiente vector de estado es

( i;:;) ~ 1 1

así, l a s soluciones a las ecuaciones de onda con energía poeitiva y negativa pueden ser rela-

cionadas cambiando el signo de potencial. Esto siigiere un comportamiento tipo electrón-

positrón (universeantiuniverso).

Dudamos en usar la palabra espinor para el vector de estado $,, puesto que esto

91

implicaria ideas acerca de las propiedades d(s transformación bajo rotaciones en el minisu-

perespacio. Sin embargo la estructura tipo Dirac del modelo raiz cuadrada puede llevar

a consecuencias respecto a la existencia cuando menos formal de un espín del universo, el

cual en principio puede ser calculado e icterpretado. Nosotros buscamos primeramente,

conocer el acoplamiento que aparece en un modelo con interacción como lo es el Bianchi

tipo IX. Como en la sección 11, simplificaremos la supergravedad al máximo. Las variables

de campo básico de la formulación graviton-gravitino de la supergravedad N = 1 son

la métrica qrv y el vector-espinor del campo del gravitino $,,A, donde A = 1 , . . . , 4 son

i. indices espinoriales Desarrollaremos $,,A nuevamente como sigue(")

donde $ , , A , ( z ~ ) son funciones ordinarias y las E, son constantes que cumplen con E , E ~ =

-Ejer. La métrica tipo Bianchi que usaremos es

I t

z í ¿ ( t ) Z N t ) i j ds2 = ( N Z - N3Nj)dtZ - 2N, dt wi - e- e i j w w

donde Q ( t ) es un escalar, P, j ( t ) es una matriz 3 x 3 y N ( t ) y N ' ( t ) son las funciones de

lapso y corrimiento respectivamente. Las u' son las 1-formas invariantes apropiadas al

c a w cn consideración, aquí tomaremos las siguientes para el Bianchi tipo IX

w1 = -sinx3dx' + s i r z r ' c o s ~ ~ d ~ ~

(1.3) w 2 = cosx3ds' + . . ; z~: s ' s~nx~dx~

w3 = cosx'dr2 + dx

Cosmología cuántica significará la cuantizz ción dcl inodelo homogéneo tipo IX con

$,, = $,,(t). El conjunto completo de variables dinámicas es Q ( t ) , B,,(t) y $,,A,. Usaremos

93

la parametrización de Misner(”) parala pi> = diag (p++&?-,p+-&p-, -2p+). Encon:

trzremos nuevamente el conocido problema en cosmología cuántica de tratar de construir

una acción función solo de las variables dinámicas mencionadas arriba que contenga tocia

la dinámica del sistema completo de ecuaciones de Einstein-Rwita-Schwinger, puesto que

imponemos la condición de homogeneización antes de llevar a cabo la variación. Al igual

que antes, debemos incluir las ecuaciones de Einstein ( i j ) con i # j como constricciones

en la solución final. Dichas ecuaciones pueden ser reducidas a constricr‘ones algebráicas

en el vector+spinor. Procederemos en esta sección como sigue: En 2 presentamos el La-

grangiano homogéneo del modelo. E n 3 se comparan las ecuaciones obtenidas al variar el

Lagrangian0 del modelo con las ecuaciones del sistema Einstein-Rarita-Schwinger. En 4

escribiremos las ecuaciones cuánticas construidas a partir del formalismo de Teite1boim(l2).

En 5 se interpreta la función de estado $.

2. LAGRANGIAN0 DEL BIANCHI TIPO IX

Para la restricción

(2.1)

.-

con €1 €2 + € 2 ~ 1 = O, el lagrangiano di: la supergrawdad se reduce a

93

donde

(2.3)

Y " 1

W p o b = s{e,Y (a,ebu - auebll) + eDeg < % e c p ) e ~ } - (a ++ a)

K P U P = -s,up + s u p , - Spp (2.4)

1 .-* S P V P = 4~S>,YP~)Y

son los coeficientes de rotación de Ricci (sin torsión) y los tensores de contorsión y torsión

respectivamente. Emplearemos la representación real de Majorana para las matrices y

o o o i 0 - 2 0 0 O 0

- a

dondc = $TC y C = -iyo. La métrica que usarmios PS

donde n(t) es un escalar, P,] ( t ) una matriz 3 x 3 y .V(t) , N , ( t ) las funciones de lapso y

corrimiento respectivamente. w1 son Ins 1-formas del modelo en cuestión y cumplen con

(2.7) k ,k W' A d &' = --(y

94

1 2

donde C,jk ='eijk son las constantes de estrxtura del grupo de movimientos asociados

con el modelo Bianchi tipo IX.

Para escribir las ecuaciones de movimiento del gravitino necesitamos una tétrada

ortonormal

(2.8)

e(3) I = e-" e'33[cosz1 ój' + 6131

donde Pjj está parametrizada por

PI, = ding(@+ + &-, D+ - h a - , -2ij'+) (2.9)

Los coeficientes de rotación de Ricci (2.4) ii~ando (7.8) y (2.9) se reducen a (Gobe =

(7.10) (no sum)

(no sum)

i. j . k cyclic order

donde el punto significa derivada respecto ai tiempo R y todos los índices se r ~ f i ~ r r n al

espacio tangente.

;üi 40 = e 2 4 0 + e+ N' 2,' di,

+, = e 2 e i i 4;. Q B

Así, el Lagrangian0 (2.2) toma la forma

(2.11)

+ ( -3 j+ + J3b-)d;,Y 2 0 3 Y Y 4 3 1 .

(2.12)

96

A este nivel no hemos combinado los términos en 40 y - 4o en un solo término (Tjy4 = -&),

así como tampoco hemos simplificado términos de la forma ~~y’yyyP4p(~,yLyyyp? =

?jyPy”r’g4) para facilitar la comparación de las ecuaciones dinámicas obtenidas I partir de

(2.12) con las ecuaciones exactas del sistema Einstein-Rzuita-Schwinger.

3. EQUIVALENCIA DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO.

Las ecuaciones de Einstein-Rarita-Schwinger de la supergravedad N = 1 son

1 2

R,, - -e,,R = T,,

donde

(3.3)

Para la base (2.8) con P i j dada por (2.9) y para la suposición (2.1) en Ins variables (2.11)

tenemos que (3.1)-(3.3) se reduce a un conjunto de ecuaciones para, P*, R and 4,. No está

automáticamente garantizado que las ecuaciones de movimiento obtenidas de (2.12) sean

cqiiivalentes al sistema (3.1)-(3.3) puesto que impusimos la condición de homogeneidad

en L antes de hacer la variación, lo ciial no es ncresariamente consistente con variación

segitida de homogeneización. Por eso debemos checar las ecuaciones variacionales con las

exactas. En’el apéndice se encuentra la expresión explícita del conjunto de ecuaciones

(3.1)-(3.3) para la N = 1, N i = O, 00 = O , 7’4, = O. Variando L respecto de

do y Ti obten2mos las ecuaciones de Rarita-Srhwinger (A17)-(A20). La ecuacón ( A l ) SI:

sigue de variar L respecto de N . La variación respecto de R, b+ y p- da

-

97

e s h s ecuaciones son equivalent.es a las eciiacionps (A?)-( 4 4 ) . Varia,ndo respecto de N i

arribamos a las ecuaciones (io) (AS)-(AlO). Dadas todas estas ecuaciones, las ecuaciones

de Einstein (02) se satisfacen autom.ática,mente. Si bien, las eciiaciones variaciona.les no son

98

4. L'IODELO CUANTICO.

El Lagrangiano (2.12) puede ser transformado a la forma canónica de Ir manera usual.

Como sucede con los Lagrangianos espinonales, los momenta conjugados a las 4, son

esencialmente las 4, mismas, de manera que no las llamaremos de otra manera. Así i

completa.

Usando la forma homogénea de 10s paréntesis de Dirac convertidos en relacioriCs de

es posible mostrar que para este caso, las constricciones S y EO tienen la propiedad raiz

cuadrada, por ejemplo veamos [S1,34]

3 1 --{s1,34} = {Sl,Si} = g,e3'(ro)14[% + 18(Jj7'70)1 Si

+ 54i e-'' 317 o (e 28++2i138- Y Y Y h 2 o 3 (4.3)

2&-2J38- 3 o 1 4@+ 1 o 2 + e Y Y Y 4 2 +e- 7 7 Y h)].

Al igual que para el caso libre (Bianchi I), la homogeneización del Lagrangian0 pro-

duce t,érminos extras en el álgebra, los cuales son proporcionales a S y dependen de las

mrinhies canónicas de la teori'a y son por csta razón débilmente cero y no añaden niiens

coristricciones en el álgebra,. El resto de {SA, S,A} cumplen relaciones similares a (4.3) y

toc!os los paréntesis { S A , S B } para A # B son proporcionales a S y por tanto déhilnieiite

.* cero.

Para cuantizar el problema en consideración convertiremos PQ, P+, P- y dl , en

operadores, de manera que S , 'Ha and Xi so:i ahora también operadores que actúan en la

función de onda $ del universo, lo cual nos da en principio la probabilidad de encontrar a l

1r)O

universo en un estado con valores dados de R, & y 4,. La ecuación S II, = O determina a

la li,. La constricción usual de las cosmologías Bianchi tipo TX

3- 3n 2 3io i, = -e [(P, - P: - PZ) (4.4) 12

+ e-4n{-e-8p+ 1 + -e4fl+[co3h(4&$-) 2 - 11 - 4 -e-2fl+co~/t(2J3~-.)}]1; - i I ) 3 3 3

que genera una ecuación tipo Klein-Gordon es una cop?-cuencia de S $ = O vía el álgebra

(4.3).

Las componentes del operador S están dadas como sigue

donde el factor de orden ha sido escogido arhitrari;rIIi<,iitc. La representación de los opera-

dores que forman a S es la siguiente, los momenta Pn, P+, P- toman la forma usual is, - i a respectivamente. Debemos encantrar una representación matricial de las d t ~ la cual aa+

de

Puesto que {SA, S B } x O para A # B podemos considerar que cada SA opera en subes

pacios ortogonales y por tanto para cada SA escribimos SA +,% = O donde SA será una

matriz del menor rango posible que produce el álgebra apropiada para la S y +A son las

componentes que constituyen a II,

Es posible escoger otra representacith ;a las + , A , como por ejemplo, en términos de

operadores diferenciales. Sin embargo, no intentaremos utilizarla. En nuestro esquema, el

límite clásico de las matrices de Dirac son variables de Grassman. Debido a la restricción

(1.1) toda la dependencia de Grassman de SA está contenida en las di^ y queremos en la

medida de lo posible ecuaciones raiz cuadrada tipo Dirac.

De (4.5) escribimos como ejemplo SI y S2, el resto de las SA puede escribirse en la

misma forma

Las matrices que aparecen en la parte libre de SI aparecen también en el término de

interaccón de S2 como combinaciones lineales y vicever:a. 5’3 y S, están acopladas de

manera análoga.

102

De acuerdo con (4.3) {SA, SA} son los únicos anticonmutadores distintos de cero.

En (4 7a) tenemos seis matrices &fAi, preservar el áigebra entre las mismas, l a cual está

determinada por el álgebra entre las dIA, implica que el rango m’nimo posible pap, una re-

presentación matrícial para las .I.J,, es ocho. Así 4, son ahora vectores de 8-componeiites

y las ecuaciones SA 4, = O se reducen a

doiirie las matrices l? asumen la siguiente rcprescntación

u L = ( l , -2) u; =(l, o’)

10.3

escribirse como

-

donde cada $A es un vector con 8-componentes. La estructura de las ecuaciones es tal que

si se cambia el signo del operador potencial, el correspondiente vector de estado sería

así pues, las soluciones a los ecuaciones de onda con energías positiva y negativa están

relacionadas mediante el cambio de signo del potencial. Esto sugiere un comportamiento

rlrctrón-positrón (universo-antiunivero).

El sistema de ecuaciones es bastante complicado y no se encontraron soluciones en

contraste ccn el caso libre.

5. DISCUSION DE RESULTADOS

Para ir,terp!-etar Ins ciiferentes componentes del vector de 32-componentes u5 exami-

narrmos $1. El operador Si es

104

donde

(5.lb)

Un eigenestado del operador AM11 representa una combinación de eigenestados de

gZ4, $32. Puesto que hay doce M A , y doce 4.4, y las matrices que las conectan

son no-singulares, la rotación de la base de eigenestados de MA, a la de eigenestados

de dAi es simple. En principio podríamos escribir SA $A = O en esta segunda base

a fin de simplificar la interpretación, pero los operadores SA escritos en estos términos

son menos convenientes, de manera que no lo haremos. En cualquier caso, un estado

con cierta probabilidad de encontrar al universo con $* teniendo cualquier valor puede

ser construido como una combinación lineal tlc eigrnestados de -VA, por ejemplo. De

esta manera, la interpretación de la funcion de cstado $ cs que las varias componentes

representan probabilidades de encontrar al universo al tiempo R con valores dados and

h.

A

A

1 o5

APENDICE

Las ecuaciones (3.1)-(3.3), en la base (2.8), coil Bij dadii. por (2.9) con la restricción

(2.i), en la norma N = 1 , Ni = O , 40 = O, yi4i =: O se reducen a la siguiente expresión

(todos los índices se refieren al espacio tangente).

[3, o1 (-410) 1 3 2 ' 2 3 1 ' + & Y Y Y 4 2 +32Y Y Y 4 1

+ - p b l Y O d z { - e ' R re - 2PtS2J38- - e2P t -2J38-+ + e -4P t} = 0

109

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