juego y trayectorias de aprendizaje de la aritmÉtica inicial en ambientes de...
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JUEGO Y TRAYECTORIAS DE APRENDIZAJE DE LA ARITMÉTICA INICIAL EN
AMBIENTES DE APRENDIZAJE QUE INCLUYEN ESTUDIANTES EN SITUACIÓN
DE DISCAPACIDAD INTELECTUAL
Elba Azucena Martínez Cárdenas
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática
Bogotá D. C., Colombia
Junio de 2019
JUEGO Y TRAYECTORIAS DE APRENDIZAJE DE LA ARITMÉTICA INICIAL EN
AMBIENTES DE APRENDIZAJE QUE INCLUYEN ESTUDIANTES EN SITUACIÓN
DE DISCAPACIDAD INTELECTUAL
Elba Azucena Martínez Cárdenas
Trabajo de investigación presentado como requisito para optar al título de:
Magíster en Educación con énfasis en Educación Matemática
Directora
Olga Lucía León Corredor
Doctora en Educación con énfasis en Educación Matemática
Línea de investigación didáctica del lenguaje y las matemáticas
Grupo de Investigación Interdisciplinaria en Pedagogía del Lenguaje y las
Matemáticas – GIIPLyM
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Maestría en Educación, Énfasis en Educación Matemática
Bogotá D. C., Colombia
Junio de 2019
Para todos los efectos, declaro que el presente trabajo es original y de autoría propia. En
aquellos casos en los cuales se recurrió al trabajo de otros autores o investigadores, se señalan las
referencias consultadas.
DEDICATORIA
A mi mamita y mi tía que me cuidan desde el cielo y me impulsaron en un camino académico
siempre.
A mis hermanas Martínez por ser un apoyo moral y emocional en este camino de lucha
constante.
A mi amiga hermana Paola que me impulso a luchar por este sueño y ha estado pendiente de
cada paso que he dado en este proyecto.
A mi padre que está orgulloso de mi vocación.
A mi sobrina Diana que viene transitando por su propia Trayectoria caminando hacia la
inclusión educativa.
A Juan Diego, que fue el motivo para desarrollar este proyecto y a sus padres por su
compromiso.
Al grupo 502 que han dado mucha luz a mi vida en estos 3 años juntos.
AGRADECIMIENTOS
Gracias en primera instancia a Dios que me fortalece y que me ha dado la voluntad de luchar
por esta bonita carrera, me ha dado sensibilidad y empatía para reconocer la diversidad no solo
en estudiantes en condición de Discapacidad Intelectual, sino tambien en estudiantes que no
ostentan ninguna discapacidad, pero que son diversos por condiciones económicas, sociales,
culturales o emocionales, me ha dado la necesidad de buscar una salida a problemáticas que se
presentan a diario en las realidades escolares, buscar el modo de realmente aportar a un
aprendizaje de las matemáticas que influya en su trayectoria de vida.
Gracias a mi Directora Olga Lucía León que ha guíado mi propia trayectoria de aprendizaje,
no solo para el desarrollo de este proyecto de investigación, sino para enfrentar los desafios de la
vida y estimular mi vocación, que no me deja tranquila solo con ir al aula cada día a enseñar a
niños, sino que busca caminos para enseñar a padres, enseñar a colegas y aprender con otros,
para mejorar las condiciones de aprendizaje de los niños que en últimas son el motor de este
trabajo.
Gracias a un gran colaborador John Jimenez, mi compañero en esta última etapa, quien
materializo mis ideas en la creación de un diseño accesible para uno de los juegos que conoceran
con este trabajo "Mancalahoria" y ha sido mi polo a tierra, mi apoyo y mi luz al finalizar este
proceso.
Y no menos importante gracias a todos mis niños de quinto grado y a sus padres, que han
participado durante dos años en este proceso, que surgió en mi por ellos y que presenta avances
gracias a su voluntad y colaboración.
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE
CIENCIAS Y EDUCACIÓN MAESTRÍA EN EDUCACIÓN FICHA RAE N° 1
Información general
Tipo de Documento Trabajo de grado de maestría en educación.
Acceso al documento Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Centro de documentación Sede Posgrados
Número Topográfico
Título del documento Juego Y Trayectorias De Aprendizaje De La Aritmética
Inicial En Ambientes De Aprendizaje Que Incluyen
Estudiantes En Situación De Discapacidad Intelectual
Autor Martínez Cárdenas Elba Azucena
Director Olga Lucía León Calderón
Publicación Bogotá, Universidad Distrital Francisco José de Caldas,
2019,
Unidad Patrocinante Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Palabras Claves Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje, Juego como
Dispositivo Didáctico, Accesibilidad en diseños didácticos,
Discapacidad Intelectual.
Descripción
El trabajo de grado de maestría desarrollado en la modalidad de investigación, que se
presenta, surge de la necesidad de atender a una la inclusión en un contexto escolar, de
básica primaria en una institución pública de la ciudad de Bogotá. Se desarrolla en el
trabajo un diseño didáctico de acuerdo a los principios de accesibilidad planteados por
León, Celis, y Guilombo. (2014), la articulación de Trayectorias Hipotéticas de
Aprendizaje de la Aritmética Inicial (Subitización, Conteo, Comparación, Orden y
Estimación y Operaciones Aditivas con estrategia de Conteo), propuestas por Clements
y Sarama (2015), el planteamiento de actividades organizadas desde tres tipos de
dispositivos didácticos: El juego, El taller y El proyecto de Aula, caracterizados por
Calderón y León (2016), reconociendo en particular, las heurísticas del juego que
permiten establecer una relación con los procesos de la Trayectoria Hipotética de
Aprendizaje articulada. La Trayectoria Hipotética de Aprendizaje articulada se ha
implementado con estudiantes del 5º, en los que se encuentran incluidos dos
estudiantes en condición de Discapacidad Intelectual, uno de los cuales tiene 12 años
de edad y está escolarizado con el grupo desde el grado primero y sobre quien se centra
el análisis, se tienen en cuenta las necesidades asociadas a la Discapacidad Intelectual y
se describe en este documento el desarrollo de los cinco primeros niveles de la
Trayectoria Real de Aprendizaje, observando de manera general al grupo y
particularizando en los procesos de Juan Diego.
Fuentes
El documento cuenta con 29 referencias entre libros, capítulos de libros, artículos de
revista, presentaciones en eventos académicos, trabajos de maestría y doctorado,
documentos oficiales, dentro de los cuales se destacan como fundamentales las
siguientes:
Calderón, D. y León, O. (2016). Elementos para una didáctica del lenguaje y las
matemáticas en estudiantes sordos de niveles iniciales. Universidad Distrital
Francisco José de Caldas. Bogotá.
Castiblanco, R. y León, O. (2018). Referente accesibilidad para ambientes de
aprendizaje accesibles. Acacia. Equipo Cultiva. Colombia.
Clements, D. y Sarama, J. (2015). El Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas a
Temprana Edad: El Enfoque de las Trayectorias de Aprendizaje. Traducido por:
León O. y Otros. Learning Tools LLC.
González, E. y Palomá, N. (2014) El desarrollo de procesos del lenguaje y las
matemáticas con incorporación tecnológica. Una apuesta a la diversidad
Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá.
León, O., Bonilla, M., Romero, J., Gil, D., Correal, M., Ávila, C., Bacca, J., Cavanzo,
G., Guevara, J., Saiz, M., García, R., Saiz, B., Rojas, N., Peralta, M., Flores, W., y
Márquez, H. (2014). Referentes curriculares con incorporación de tecnologías
para la formación del profesorado de matemáticas en y para la diversidad.
Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá.
Rodríguez, G. (2018). El juego la escalera como dispositivo para la formulación de
patrones aritméticos. Trabajo de grado para título de Maestría en educación.
Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá. Colombia.
Contenidos
Este documento está estructurado a través de 8 apartados. En el primer apartado
titulado “Contextualización de la Investigación”, se da un acercamiento hacia la
comprensión de un problema curricular que muestra que tanto las políticas, como las
orientaciones curriculares se encuentran en disonancia con la realidad escolar y en
consecuencia a ello, estudiantes en situación de Discapacidad Intelectual se enfrentan a
diario con entornos excluyentes, por lo que se justifica una variación en el diseño que
permita accesibilidad a todos en particular en la clase de matemáticas, para lo cual se
propone trabajar a partir de la articulación de trayectorias hipotéticas de aprendizaje del
número y en ese proceso incorporar juegos que contribuyan al aprendizaje
relacionando las heurísticas del juego con las metas matemáticas y que permitan
dinámicas inclusivas en el aula. El segundo apartado “Fundamentación de Hipótesis”
despliega las dimensiones previas al diseño, a partir de aportes teóricos y de
antecedentes de investigación, tratando: 1. Accesibilidad en diseños, 2. Discapacidad
Intelectual, 3. Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje de la Aritmética inicial y sus
procesos, 4. Dispositivos Didácticos (Juego, Taller y Proyecto de Aula) y 5. Juegos a
incorporar. El tercer apartado, “Aspectos Metodológicos” presenta el proceso de la
Investigación Basada en Diseños y los Experimentos de Enseñanza, las fases de la
investigación y por otro lado, da cuenta de los instrumentos de análisis de información
a-priori desde los que se establecen relaciones entre procesos de las Trayectorias y se
describe la Trayectoria Hipotética de Enseñanza. Desde el cuarto apartado “Análisis
del Desarrollo de la Trayectoria Real de Aprendizaje” se da cuenta del proceso de
desarrollo de los cinco primeros niveles de la Trayectoria Real de Aprendizaje desde
un contexto global, para luego particularizar en el estudiante en Situación de
Discapacidad Intelectual. En el apartado de “Reflexiones y Aportes” se presentan
reflexiones que subyacen del desarrollo de la investigación, de las vivencias, de los
razonamientos que emergen y que no se alcanzaron a plasmar en los cinco niveles
descritos, pero que se desligan de los objetivos específicos del trabajo. Finalmente en
“Conclusiones” se presentan los razonamientos en torno a los objetivos específicos, al
alcance de los desarrollos realizados hasta el momento documentado y la respuesta a la
inquietud que dirigió las intenciones del trabajo. Finalmente se presentan, Bibliografía
y Anexos, en los que se exponen ponencias y otros documentos que fueron
desarrollados a partir de esta investigación.
Metodología
Este trabajo se desarrolló desde la Investigación Basada en Diseños (IBD), que atiende
a la caracterización de Experimentos de Enseñanza, en esta metodología se permite
explorar desde hipótesis teóricas y el desarrollo de experimentos de enseñanza, formas
de mejorar aspectos asociados al aprendizaje de diferentes poblaciones. Con el diseño
del experimento de enseñanza, se desarrolla una IBD que según Rinaudo y Donolo
(2010), busca estudiar problemas de aprendizaje en sus contextos naturales, para en
estos producir modificaciones que lleven a mejores aprendizajes, de esta manera el
investigador busca incidir en la solución de los problemas de aprendizaje identificados.
En el caso de este trabajo, se muestra como fortaleza la fundamentación de hipotesis,
ya que de allí surge todo el proceso de articulación y diseño, atendiendo a contemplar
todas las variables posibles. En este proceso se hace uso de instrumentos de recolección
de información como: video grabaciones, fotos de trabajos, producción de los
estudiantes e instrumentos de organización de información a-priori y a-posteriori.
Conclusiones
En la implementación de la trayectoria se muestra fortaleza en la fundamentación de
las Trayectoria Hipotética de Aprendizaje por procesos y subprocesos, como una
oportunidad para articular varias Trayectoria Hipotética de Aprendizaje, lo que permite
acercar la investigación a escenarios escolares reales, en los que se promueva la
inclusión. Los indicadores que movilizo la parte de la trayectoria documentada,
permiten evidenciar que estudiantes en situación de DI, pueden avanzar en los niveles
de las trayectorias, sin embargo se requiere darle mayor tiempo y experiencias para que
alcancen sus aprendizajes. Por otro lado, la incorporación de los tres dispositivos
didácticos diferentes, el taller, el juego y el proyecto de aula, permitió dinamizar los
ambientes de aprendizaje, lo cual centró la atención que en ocasiones los profesores
manifiestan perdida, además estas experiencias fomentaron interacciones que
mostraron evolución no solo en aspectos coginitivos, sino tambien sociales y afectivos.
Elaborado por: Elba Azucena Martínez Cárdenas
Revisado por: Olga Lucía León Calderón
Fecha de elaboración del resumen: 03 07 2019
1
TABLA DE CONTENIDO
TABLA DE CONTENIDO ...................................................................................................... 1
TABLA ILUSTRACIONES .................................................................................................... 5
RESUMEN EJECUTIVO ....................................................................................................... 8
CONTEXTUALIZACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN ..................................................... 10
OBJETIVO GENERAL .............................................................................................................. 12
OBJETIVOS ESPECÍFICOS ....................................................................................................... 12
FUNDAMENTACIÓN DE HIPÓTESIS ............................................................................. 14
ACCESIBILIDAD EN LOS DISEÑOS DIDÁCTICOS ...................................................... 14
DISCAPACIDAD INTELECTUAL .................................................................................... 16
Caracterización de la DI. ................................................................................................. 17
Condiciones de aprendizaje asociadas al DI. .................................................................. 20
Adaptaciones curriculares en matemáticas para DI. ...................................................... 21
TRAYECTORIAS HIPOTETICAS DE APRENDIZAJE. .................................................. 22
PROCESOS MATEMÁTICOS EN LA ARITMÉTICA INICIAL. ..................................... 22
Subitización. ..................................................................................................................... 23
Subprocesos asociados a la subitización. ........................................................................ 25
S1: Sensibilización al número. ..................................................................................... 25
S2: Nominación. ........................................................................................................... 25
S3: Construcción de colecciones. ................................................................................. 25
S4: Subitización perceptual. ......................................................................................... 26
S5: Subitización conceptual. ........................................................................................ 26
Conteo. ............................................................................................................................. 27
Subprocesos asociados al conteo. .................................................................................... 29
C1: Conteo verbal. (Verbalización). ............................................................................ 29
C2: Conteo de objetos. ................................................................................................. 30
C3: Correspondencia. ................................................................................................... 30
C4: Conteo a saltos, conteo usando patrones. .............................................................. 31
2
C5: Conteo asociado a orden, iniciando desde un número diferente a uno. ................ 31
C6: Conteo mental. ....................................................................................................... 32
C7: Contar unidades cuantitativas, valor posicional. ................................................... 32
Comparación, Ordenamiento Y Estimación. ................................................................... 33
Subprocesos asociados a la comparación, orden y estimación. ...................................... 33
COE1: Correspondencia muchos a uno. ...................................................................... 33
COE2: Correspondencia uno a uno. Comparador por emparejamiento. ...................... 34
COE3: Comparación perceptual. ................................................................................. 34
COE4: Estimar por extensión espacial. ........................................................................ 35
COE5: Conteo ordinal. ................................................................................................. 35
COE6: Ordenar. ............................................................................................................ 36
COE7: Comparar por valor posicional ......................................................................... 36
COE8: Estimar por puntos de referencia ..................................................................... 37
COE9: Estimar por composición. ................................................................................ 37
Operaciones Aditivas Adición Y Sustracción (Enfatizando En Las Estrategias De
Conteo) .................................................................................................................................. 37
Subprocesos asociados a las operaciones aditivas. ......................................................... 38
OA1: Combinar respecto a la percepción. ................................................................... 38
OA2: Comparar ............................................................................................................ 39
OA3: Emparejar. .......................................................................................................... 40
OA4: Modelar con conteo. ........................................................................................... 40
OA5: Resuelve problemas de sustracción mediante separación de objetos. ................ 41
OA6: Conviértalo en N: Sumar desde un punto diferente a uno. ................................. 41
OA7: Establecer el cambio. .......................................................................................... 42
OA8: Conteo con estrategias. ....................................................................................... 43
OA9: +/- Parte todo. ..................................................................................................... 43
OA10: +/- Números en números. ................................................................................. 43
OA11: +/- Derivación usando combinaciones de operaciones. ................................... 44
OA12: +/- Solucionar problemas. ................................................................................ 44
DISPOSITIVOS DIDÁCTICOS. ......................................................................................... 46
3
El proyecto de aula. ......................................................................................................... 46
El taller. ............................................................................................................................ 47
El juego. ........................................................................................................................... 47
Circuito Cerrado. .......................................................................................................... 49
La Escalera. .................................................................................................................. 55
Mancalahoria. ............................................................................................................... 58
ASPECTOS METODOLÓGICOS ....................................................................................... 63
FASES METODOLÓGICAS EN LA IBD ........................................................................... 64
Primera fase: Preparación del diseño. ............................................................................ 64
Segunda fase: Implementación del experimento de diseño. ............................................. 65
Tercera fase: el análisis retrospectivo. ............................................................................ 65
FUENTES DE INFORMACIÓN ......................................................................................... 66
INSTRUMENTOS DE ANÁLISIS A PRIORI ................................................................................ 67
THA (S-C-COE-OA) PRODUCTO DE LA ARTICULACIÓN ..................................................... 72
Instrumento de Análisis .................................................................................................... 73
DESCRIPCIÓN TRAYECTORIA HIPOTÉTICA DE ENSEÑANZA (S-C-COE-OA) ......................... 73
INSTRUMENTOS DE ANÁLISIS A POSTERIORI ........................................................................ 82
Instrumento de recogida de datos. ................................................................................... 82
Instrumentos de análisis. .................................................................................................. 84
ANÁLISIS DEL DESARROLLO DE LA TRAYECTORIA REAL DE APRENDIZAJE
....................................................................................................................................................... 85
NIVEL 1: S1: SENSIBILIZACIÓN AL NÚMERO .......................................................................... 85
NIVEL 2: S2: NOMINACIÓN. C1: CONTEO VERBAL. COE1: CORRESPONDENCIA MUCHOS A
UNO ............................................................................................................................................ 91
NIVEL 3: S3 CONSTRUCCIÓN DE COLECCIONES. C1: CONTEO VERBAL. ................................ 94
NIVEL 4: C2: CONTEO DE OBJETOS. OA1: COMBINAR RESPECTO A LA PERCEPCIÓN ............. 97
NIVEL 5: C3: CORRESPONDENCIA COE2: CORRESPONDENCIA UNO A UNO. COMPARADOR POR
EMPAREJAMIENTO. ................................................................................................................... 101
OTROS NIVELES ................................................................................................................... 103
4
TRA JUAN DIEGO MATALLANA .......................................................................................... 106
REFLEXIONES Y APORTES ........................................................................................... 117
CONCLUSIONES ................................................................................................................ 119
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................. 121
PARTICIPACIÓN EN EVENTOS ............................................................................................... 124
ANEXO 1: JUEGO Y TRAYECTORIAS DE APRENDIZAJE DE LA ARITMÉTICA
EN AMBIENTES DE APRENDIZAJE CON ESTUDIANTES CON DÉFICIT
COGNITIVO ............................................................................................................................. 125
ANEXO 2: ARTICULACIÓN DE TRAYECTORIAS HIPOTÉTICAS DE
APRENDIZAJE UNA EXIGENCIA PARA LA FLEXIBILIZACIÓN CURRICULAR .. 129
ANEXO 3: TRAYECTORIAS HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAJE E
INCORPORACIÓN DE TECNOLOGÍAS UNA ESTRATEGIA DIDÁCTICA PARA
ATENDER A LA DIVERSIDAD ............................................................................................ 142
ANEXO 4: AMBIENTES DE APRENDIZAJE ACCESIBLES Y AFECTIVOS EN
EDUCACIÓN GEOMÉTRICA ............................................................................................... 150
5
TABLA ILUSTRACIONES
Ilustración 1. Esquema Conceptual del Funcionamiento Humano. Tomado de: Verdugo y
Schalock (2010, p. 17) ......................................................................................................... 18
Ilustración 2. Representación como función del proceso de conteo. (Vergnaud. 2003, p.
102). ...................................................................................................................................... 29
Ilustración 3. Esquema partes-todo tomado de Bermejo (2004, p. 54) .................................. 39
Ilustración 4. Descripción situaciones de transformación. Tomada de Batanero, Cid y
Godino (2002, p. 232). ......................................................................................................... 42
Ilustración 5. Estrategias empleadas por los niños para resolver desde cálculo mental.
Tomadas de Chelle y Otros. ............................................................................................... 45
Ilustración 6. Estrategias empleadas por los niños para resolver desde cálculo mental, con
empleo de lápiz y papel. Tomadas de Chelle y Otros. ..................................................... 46
Ilustración 7. Circuito cerrado. León et.al (2014, p.135)........................................................ 49
Ilustración 8. Ejemplo de circuito cerrado con dos fichas. González y Paloma (2014, p.60)50
Ilustración 9. Posición de cada recuadro del tablero. González y Paloma (2014, p.60) ....... 50
Ilustración 10. Descripción simbólica del circuito cerrado de 4 fichas. González y Paloma
(2014, p.60) ........................................................................................................................... 51
Ilustración 11. Representación adaptada para la posición en el tablero. González y Paloma
(2014, p.62) ........................................................................................................................... 51
Ilustración 12. Circuito Cerrado Accesible. Fuente propia (2019) ........................................ 53
Ilustración 13. Circuitos Cerrados. 2, 3, 4, 5 y 6 fichas. Fuente propia (2019) ..................... 54
Ilustración 14. Juego de la escalera accesible. Tomado de Cárdenas (2018) ......................... 56
Ilustración 15. Descripción de las reglas de "la escalera" versión "Sol y Sombra" Tomada
de Corbalán (1996) .............................................................................................................. 56
Ilustración 16. Número de movimientos asociado al número de fichas por color. Tomado de
Cárdenas (2018) .................................................................................................................. 57
Ilustración 17. Máncala Original. (Amazon.com).................................................................... 59
Ilustración 18. Juego MANCALAHORIA Fuente propia. (Martínez, 2019) ........................ 59
Ilustración 19. Captura de sembrado del compañero. ............................................................ 61
Ilustración 20. Máncalahoria Correspondencia uno a uno ..................................................... 62
6
Ilustración 21. Estructura general de una Investigación de Diseño. Molina et al. (2011, p.
76) ......................................................................................................................................... 66
Ilustración 22. Estructura general de la IBD adaptación. Fuente propia (2019). ................. 66
Ilustración 23. Resumen tabla relaciones entre THA de la Aritmética Inicial. ................... 68
Ilustración 24. Instrumento de seguimiento Nivel a Nivel. Fuente Propia. ........................... 83
Ilustración 25. Empleo del Software ELAN, para el análisis de la TRA. Fuente propia. .... 84
Ilustración 26. Tabla de seguimiento Nivel 1. Sensibilización al número. ............................. 85
Ilustración 27. Fichas subitizables actividad 1. ........................................................................ 86
Ilustración 28. Imágenes Instantáneas 1. Momento presentación fichas subitizando. ........ 87
Ilustración 29. Imágenes Instantáneas 1. JD presenta ficha correspondiente. ..................... 87
Ilustración 30. Imágenes Instantáneas. Organización de fichas por cantidad. .................... 88
Ilustración 31. Reparación en forma. ........................................................................................ 88
Ilustración 32. Imágenes Instantáneas asociadas a dibujar lo que ven. ................................ 89
Ilustración 33. Mosaico Circuito Cerrado Coloreado ............................................................ 89
Ilustración 34. Compañero ayuda a JD a escribir las ideas. ................................................... 91
Ilustración 35. Concéntrese Nivel II. ......................................................................................... 92
Ilustración 36. Participación en Concéntrese. .......................................................................... 92
Ilustración 37. Circuito Cerrado Tres fichas. .......................................................................... 93
Ilustración 38. Secuencias Imágenes Instantáneas .................................................................. 94
Ilustración 39. Nivel 3. Construcción de Colecciones con Imágenes Instantáneas. .............. 95
Ilustración 40. Copiando configuraciones del Circuito Cerrado............................................ 96
Ilustración 41. Taller ¿Es circuito Cerrado? ............................................................................ 96
Ilustración 42. Ejemplo de ideas de juguetes con material de reciclaje. Fiesta Matemática.
............................................................................................................................................... 97
Ilustración 43. Juego "la suerte" ............................................................................................... 98
Ilustración 44. Descripción Circuito Cerrado de 5 piezas. ..................................................... 99
Ilustración 45. Circuitos cerrados de dos fichas. ................................................................... 100
Ilustración 46. Elaboración de juguetes. Fiesta matemática................................................. 100
Ilustración 47. Estrategias Circuito Cerrado ......................................................................... 102
Ilustración 48. Organización logística Fiesta Matemática .................................................... 103
7
Ilustración 49. THA Aritmética Inicial. Representación tabular vs. Representación en
gráfico de línea. ................................................................................................................. 106
Ilustración 50. THA vs. TRA ................................................................................................... 107
8
RESUMEN EJECUTIVO
El proyecto de investigación que aquí se presenta, surge de la necesidad de buscar soluciones
para la inclusión real en la clase de matemáticas, en un contexto escolar de quinto grado de
primaria, en el Colegio Tibabuyes Universal IED de la localidad de Suba en la ciudad de Bogotá,
en el que se incluyen estudiantes en situación de Discapacidad Intelectual.
La propuesta se da basada en el enfoque de Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje que
proponen Clements y Sarama, con el fin de atender al desarrollo progresivo de unas metas
matemáticas, desde una ruta previamente definida, en la que particularmente se atiende a
habilidades para desarrollar el pensamiento numérico en su etapa primaria, para lo cual se
considera primordial innovar a través de la articulación de trayectorias (Subitización, Conteo,
Comparación, orden y estimación y Operaciones Aditivas con estrategia de conteo), para atender
a las condiciones de tiempo del contexto escolar y para fortalecer el desarrollo de la aritmética
inicial desde diferentes entradas.
Se incorporan en este trabajo tres dispositivos didácticos propuestos por Calderón y León
(2016), El taller, El juego y El proyecto de aula, que permiten dinámicas variadas e inclusivas,
desarrollando un ambiente de aprendizaje no solo de accesibilidad al aprendizaje, sino que
también moviliza un componente afectivo que permea en la sensibilidad y las relaciones sociales
que se fortalecen para favorecer la inclusión.
El proceso metodológico que se adopto fue el de Investigación Basada en Diseños, que según
Rinaudo y Donolo (2010), busca estudiar problemas de aprendizaje en sus contextos naturales,
para en estos producir modificaciones que lleven a mejores aprendizajes, en este sentido este
enfoque permite interpretar un Experimento de Enseñanza, desde una fundamentación de
hipótesis asociadas a los procesos de las trayectorias de aprendizaje de la aritmética inicial, a las
heurísticas de los juegos asociadas a los procesos de la trayectoria, además de explorar en un
análisis a priori de la información teórica que permite articular las trayectorias de aprendizaje y
posteriormente los dispositivos didácticos, para dar lugar a una Trayectoria Hipotética de
Enseñanza; todas estas relaciones pensadas para favorecer un ambiente de aprendizaje accesible
9
que como plantea Castiblanco y León (2018), debe dar cuenta del alcance de aprendizajes para
todas las personas involucradas en la práctica pedagógica.
Finalmente, se desarrollan y se documentan los primeros niveles de la Trayectoria Real de
Aprendizaje, teniendo en cuenta todas las categorías articuladas en el diseño didáctico,
resaltando la presencia de los indicadores en cada nivel de la Trayectoria y una descripción de la
forma como se manifiestan y cómo se va dando progresión al aprendizaje, atendiendo a la
influencia de los diferentes dispositivos didácticos.
Se resalta el juego Mancalahoria como un proceso intencionado de adaptación para la
accesibilidad de todas las poblaciones, partiendo desde la idea original de un juego de Máncala
de origen africano, incorporando ideas de subitización perceptual y conceptual, considerando
aspectos táctiles para poblaciones ciegas y aspectos visuales para poblaciones sin limitación
visual, además de patrones de forma y cantidad para apoyar los procesos de la Trayectoria
Hipotética de Aprendizaje Articulada.
10
CONTEXTUALIZACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN
Es una necesidad encontrar una forma real de flexibilizar el currículo, para atender de forma
inclusiva a estudiantes en situación de Discapacidad Intelectual, ya que hay una tensión entre los
planteamientos de docentes de apoyo (Educadores Especiales) quienes flexibilizan el currículo a
través del desarrollo de actividades alternas en medio de una clase “normal”; dichas actividades
propuestas para el área de matemáticas, son actividades genéricas que pueden ser las mismas
para un niño año a año, situación que en lugar de desarrollar un proceso de pensamiento, se
asocia a una memorización de la solución de las actividades, además que excluye a los niños
pese a estar en el mismo espacio con todo un grupo.
Al asumir los retos de inclusión desde el área de matemáticas, se encuentra que la mayoría de
docentes no han sido formados para atender a poblaciones diversas, lo que lleva a desarrollar
ambientes excluyentes e incluso discapacitantes, ya que no se está preparado para suplir las
necesidades educativas de todos. Según León, et al. (2014) resultados de investigación, sobre los
currículos de formación del profesorado en América Latina y el Caribe indican que son muy
pocos los espacios de formación que han sido incorporados para dar cuenta del tratamiento de la
diversidad educativa, y que tampoco se han incorporado a ellos formas de promover el uso de
estrategias adaptativas generales que promuevan la inclusión de todos los estudiantes (p. 27).
Desde el artículo 68 de la Constitución Política de Colombia de 1991, se establece que es
obligación especial del Estado propiciar inclusión en las instituciones educativas; sin embargo, a
partir de dicha disposición se han generado cambios más de tipo administrativo, como
obligatoriedad de matrícula de estudiantes con discapacidad, vinculación de docentes de apoyo
(Educadores Especiales), exigencias de flexibilización del currículo y elaboración de PIAR (Plan
Individual de Ajustes Razonables) para estudiantes que lo requieren. Sin embargo, autores como
León et al. (2014), plantean que se debe tener en cuenta una organización curricular diferente,
que permita a los estudiantes elaborar y reelaborar sus experiencias con los otros y con lo otro,
en la que no solo se realice la integración del estudiante al aula, sino también el aprendizaje de
prácticas académicas culturales y sociales. Se requiere reconocer que la diversidad cognitiva,
motora, física, social, cultural, emocional y afectiva, es una característica natural de los
ambientes de aprendizaje.
11
En la práctica educativa del área de matemáticas, los docentes de la primera infancia son
quienes deben ejercer los efectos positivos más fuertes en el aprendizaje de las mismas
(Clements y Sarama, 2015), pero las orientaciones curriculares en Colombia, Lineamientos
Curriculares de 1998, Estándares Básicos en Competencias de 2002 y los más recientes Derechos
Básicos de Aprendizaje Versión 2, no tienen en cuenta los procesos de aprendizaje de forma
natural de los niños, al contrario cada vez más puntualizan una horizontalidad temática, que en
su implementación lleva a ambientes de aprendizaje excluyentes.
De acuerdo a lo anterior, emerge la necesidad de atender a una educación matemática que
permita desarrollar una práctica de enseñanza que sea inclusiva, caracterizando las necesidades
educativas de diversas poblaciones, desde la reflexión sobre la didáctica de las matemáticas que
permita la accesibilidad y trabajar desde actividades en las que interactúen todos los sujetos con
todo lo diverso que cada uno puede aportar.
Centrando la mirada en esta investigación, se busca diseñar una práctica de enseñanza de las
matemáticas en la que se pueda atender a población diversa, revisando particularmente los
progresos en el aprendizaje de estudiantes en situación de Discapacidad Intelectual (en adelante
DI), para reconocer en ellos qué condiciones atienden a sus necesidades y les permiten
interacción con todos en el desarrollo de cada una de las actividades.
Es importante destacar que en la realidad de la organización curricular, se le da más espacio y
relevancia al pensamiento numérico, aún así por ejemplo, para las personas en situación de DI
que se encuentran en el grupo con el cual se desarrolla la investigación, no se hacen evidentes
avances en la comprensión del sentido numérico, por lo que se considera una necesidad para esta
investigación, atender a desarrollar ideas matemáticas asociadas a lo numérico, constituyendo el
aprendizaje natural de la aritmética inicial en una de las categorías principales de este trabajo.
Se considera como otro aspecto relevante, la condición real del escaso tiempo para la
enseñanza de las matemáticas en la institución con la que se lleva a cabo esta investigación y que
su desarrollo se da en un curso de grado quinto, por lo que se hace necesario optimizar los
tiempos y organizar el currículo desde la articulación de varias trayectorias de aprendizaje de la
aritmética inicial, de tal forma que se desarrollen varios procesos de forma simultánea y que el
12
diseño propuesto pueda ser tomado como ejemplo para diseñar un currículo flexible que atienda
a la diversidad, pero que a su vez se enmarque en el contexto real de la práctica educativa.
El diseño didáctico de esta investigación se plantea sobre dos pilares: 1. El juego en tanto
promotor de interacciones y generador de experiencias matemáticas; y 2. Las Trayectorias
Hipotéticas de Aprendizaje (en adelante THA) planteadas por Clements y Sarama (2015), en
tanto estructuras para el desarrollo de procesos aritméticos iniciales, para lo que se propone
articular, cuatro trayectorias asociadas a los procesos de: Subitización, Conteo, Comparación,
Orden y Estimación, y Primeras Adiciones y Sustracciones con estrategias de Conteo.
Teniendo en cuenta las intenciones de esta investigación, se plantea la siguiente pregunta
orientadora:
¿Qué relaciones entre el Juego y las Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje son
heurísticamente pertinentes para el desarrollo de habilidades aritméticas en educación básica
primaria sin exclusión de estudiantes en situación de Discapacidad Intelectual?
En correspondencia a esta pregunta se plantean los siguientes objetivos.
Objetivo General
Explorar relaciones heurísticamente pertinentes entre el Juego y Trayectorias Hipotéticas de
Aprendizaje del número y las operaciones aditivas, para favorecer el desarrollo de habilidades
aritméticas en aulas regulares de la educación básica primaria que incluyen estudiantes en
situación de Discapacidad Intelectual.
Objetivos Específicos
Generar una Trayectoria Hipotética de Aprendizaje de la aritmética inicial que articule
algunas Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje del número y las operaciones aditivas
con momentos de juego que evidencien los procesos de las Trayectorias Hipotéticas de
Aprendizaje y sus hipótesis de desarrollo para incluir a estudiantes en situación de
Discapacidad Intelectual.
Enunciar hipótesis sobre las relaciones entre los momentos de los juegos y las
habilidades que se pueden desarrollar asociadas a cada uno de los niveles de la
Trayectoria Hipotética de Aprendizaje articulada.
13
Identificar en las Trayectorias Reales de Aprendizaje de los niños, las hipótesis sobre
relaciones entre el desarrollo de los juegos y el alcance de los indicadores asociados a
los procesos de cada nivel de la Trayectoria Hipotética de Aprendizaje en todos los
niños incluidos en el ambiente de aprendizaje.
14
FUNDAMENTACIÓN DE HIPÓTESIS
Para el diseño didáctico que requiere este trabajo, se fundamentan hipotesis frente a: 1. Las
condiciones de accesibilidad en los diseño didácticos. 2. Las necesidades y condiciones a tener
en cuenta para el diseño, asociados a la población en condición de DI. 3. Las Trayectorias
Hipotéticas de Aprendizaje de la Aritmética Inicial y su articulación. 4. Los dispositivos
didácticos (El juego, El taller y El proyecto de aula). 5. Los juegos a incorporar (Circuito
Cerrado, La Escalera y Mancalahoria), las heurísticas que pueden surgir en el momento de juego
y sus posibles relaciones con los procesos de las THA.
ACCESIBILIDAD EN LOS DISEÑOS DIDÁCTICOS
En primer lugar cabe resaltar que el concepto de accesibilidad desde la educación tiene que
ver según Rodríguez, Alfonso, Calderón y Arias (2018, p.18) con el tipo de ajustes necesarios
para atender a la diferencia, así lo señala la Sentencia Auto 173 de 2014, cuando menciona los
requerimientos de acceso a la educación, en particular los ajustes diferenciales y de diseño
universal, en la generación de productos, entornos, programas y servicios; de tal manera que se
posibilite el acceso de todas las personas.
Así un ambiente de aprendizaje accesible, está en relación directa con las adecuaciones del
entorno en sus dimensiones urbanísticas, arquitectónicas, funcionales y de equipamiento, según
Rodríguez et al. (2018) estas son fundamentales para establecer una mejor relación con la
información y las distintas experiencias que se asocian a la construcción del conocimiento; en
este sentido el ambiente de aprendizaje debe proveer una infraestructura que facilite el desarrollo
de procesos exitosos de enseñanza-aprendizaje.
Castiblanco y León (2018) consideran que los ambientes de aprendizaje accesibles desde el
Diseño Universal para el Aprendizaje (en adelante DUA), deben dar cuenta del alcance de
aprendizajes para todas las personas involucradas en la práctica pedagógica y en este sentido los
profesores deben responderse preguntas como ¿Dónde se encuentra el estudiante?, ¿Cuál es el
propósito de aprendizaje?, ¿Cuál es la ruta para alcanzar ese propósito de aprendizaje? y en ese
proceso reflexivo, un factor de enunciación y desarrollo a partir de DUA, es que los ambientes de
aprendizaje accesibles tomen como sujeto objetivo al usuario que necesita mayor atención al
respecto (Banco Interamericano de Desarrollo, 2001). Es decir, partir de la búsqueda de acceso
15
para los usuarios que tienen mayor dificultad, así, los diseños se estructurarían dando respuesta a
las condiciones de mayor complejidad en términos de accesibilidad (p. 13).
Por otro lado, Rodríguez et al. (2018, p.21) afirman que un modelo de diseño didáctico
accesible debe tomar en cuenta aspectos afectivos, a través de los cuales sea posible fomentar el
desarrollo profesional, personal y social, además de fortalecer la colaboración constructiva y con
ella la consolidación de una cultura propia a cada centro.
De acuerdo a lo anterior, es importante tener en cuenta un componente de sensibilidad, lo que
considera que para generar diseños accesibles, se requiere reconocer a "la educación inclusiva
como una actividad humana que involucra una actitud ética y empática que proyecta una
necesidad de reconocimiento e inclusión de los otros independiente de su situación" Castiblanco
y León (2018); en este sentido el involucrar una dimensión afectiva, favorece un aspecto
emocional, que se refleja en actitudes positivas y comprometidas de los estudiantes (p,19).
Otro aspecto relevante para el diseño de ambientes de aprendizaje accesibles, es reconocer la
necesidad de establecer cambios en los contenidos, las estrategias, entre otros, Castiblanco et al.,
2018, exponen que:
La UNESCO define la educación inclusiva como el proceso de identificar y responder a la
divesidad de las necesidades de todos los estudiantes, a través de la mayor participación en el
aprendizaje, las culturas y las comunidades… lo que conlleva cambios y modificaciones en
contenidos, aproximaciones, estructuras y estrategias (Lindqvist, B y UN-Rapporteur, 1994,
p.59).
Así para plantear diseños didácticos accesibles, se requiere tener en cuenta los siguientes
principios de acuerdo con León, Celis, y Guilombo (2014): 1. Accesibilidad al manejo de la
información de la situación, trabajando con diferentes registros. 2. Accesibilidad a la situación
por audición, visión, aspectos táctiles o por aspectos perceptuales de otros órdenes. 3.
Accesibilidad a las formas de representar y operar las relaciones y los objetos matemáticos. 4.
Accesibilidad a las formas de comunicar y cooperar en el estudio de la información que propone
la situación (p. 93).
16
DISCAPACIDAD INTELECTUAL
La DI cada vez mejora en su caracterización y provee herramientas que permiten aportar al
desarrollo de una mejor calidad de vida y una verdadera inclusión a las personas en esta
condición. Es importante reconocer en primer lugar que si bien una persona tiene una patología
que se caracteriza como DI, desde un Modelo Socio-Ecológico, se habla también de la condición
que se evidencia en la relación de la persona con el entorno. Cambia la explicación de
discapacidad intelectual, alejándola de la defectuología centrada a la persona hacia el resultado
de un desajuste entre las capacidades de la persona y las demandas de su ambiente. (Verdugo y
Schalock, 2010, p. 10).
En este sentido se hace necesaria la reorganización de los ambientes de aprendizaje, para que
no se discapacite a la persona ante demandas que no se articulen a las posibilidades de las
mismas, ya que según Verdugo y Schalock (2010) citando a (Schalock et al., 2010, p. 1) desde
definición operativa de la DI, la discapacidad intelectual se caracteriza por limitaciones
significativas en el funcionamiento intelectual y en habilidades adaptativas conceptuales,
sociales y prácticas; esta discapacidad aparece antes de los 18 años.
De acuerdo a la definición dada, Verdugo y Schalock (2010) plantean cinco premisas que
permiten poner en contexto la definición e indican, como la misma definición puede ser aplicada
en diferentes ambientes, ya que la DI no es DI por sí sola, requiere tenerse en cuenta en las
prácticas profesionales, en el funcionamiento de equipos interdisciplinares y por otro lado debe
tener repercusión en las normas legales, a la hora de establecer criterios, para brindar apoyos
beneficios u otros.
1. Las limitaciones en el funcionamiento presente se deben considerar en el contexto de
ambientes comunitarios típicos de los iguales en edad y cultura.
2. Una evaluación válida tiene en cuenta la diversidad cultural y lingüística así como las
diferencias en comunicación y en aspectos sensoriales, motores y conductuales.
3. En una persona, las limitaciones coexisten habitualmente con capacidades.
4. Un propósito importante de la descripción de limitaciones es el desarrollo de un perfil de
necesidades de apoyo.
17
5. Si se mantienen apoyos personalizados apropiados durante un largo periodo, el
funcionamiento en la vida de la persona con DI generalmente mejorará. (Schalock et al., 2010,
citado por Verdugo y Schalock 2010. p.12).
En síntesis, 1. Una limitación se puede establecer entre pares, en un ambiente comunitario
típico, sea colegio, parque, hogar, barrio, con una cultura similar. 2. Si se atiende a la diversidad
cultural y lingüística, también se hallaran diferencias en comunicación y aspectos sensoriales,
motores y conductuales, es decir que la diversidad no solo se caracteriza por la limitación del
niño en condición de DI. 3. No es solo plantear una limitante, sino buscar las posibilidades de
desarrollo. 4. Se requiere tener en cuenta la limitación para poder aportar en el reconocimiento
de las necesidades de apoyo que requiere la persona. 5. Si hay apoyos adecuados, se le dará un
mejoramiento al funcionamiento de la vida de la persona con DI.
Caracterización de la DI.
En cuanto a la clasificación de DI, se encuentra un peligro que advierte sobre los sistemas de
clasificación resistentes al cambio, de acuerdo con Florian y McLaughlin (2008) citados por
Navas et al. (2008), lo que comienza como un modo de organizar la información, acaba
convirtiéndose en un modo de comprender y reaccionar ante el fenómeno, siendo inconveniente
que al categorizar a una persona, se dé fin al proceso y a partir de allí, no se lleva a cabo ningún
tipo de cambio, ya sea organizacional o de cara a la intervención, (Gallagher, 1976, citado por
Navas et al., 2008).
Por otro lado, tener en cuenta los sistemas de clasificación, sin llegar al problema de la
etiqueta, favorece una comprensión del ritmo de progreso de la discapacidad, para poder
formular expectativas y metas realistas y apropiadas. (Verdugo, 2003b; Vig, 2005; Volkmar,
Burack y Cohen, 1990, citados por Navas et al., 2008).
Cabe resaltar que la evolución de los sistemas de clasificación, surge en la 10ª edición de
discapacidad intelectual de la AAIDD (American Asociation on Intellectual and Developmental
Disabilities), así que el enfoque multidimensional de la discapacidad, centrado en el individuo,
contempla tanto las capacidades como las restricciones permitiendo a su vez identificar los
apoyos que precisa la persona y en el que conceptos como el de participación o el de entorno
18
adquieren una importancia crucial para comprender el funcionamiento de una persona (Crespo,
Campo y Verdugo, 2003, citados por Navas et al. 2008, p.147).
Para Navas et al. (2008), el enfoque sobre la DI se basa en una perspectiva multidimensional,
que tiene en cuenta: 1. El funcionamiento Intelectual. 2. La conducta adaptativa. 3. Salud. 4.
Contexto e interacción. 5. Participación y roles sociales. Estas dimensiones constitutivas al ser
humano, deben caracterizarse para así poder generar los apoyos necesarios para la persona en
condición de DI.
Ilustración 1. Esquema Conceptual del Funcionamiento Humano. Tomado de: Verdugo y Schalock (2010, p. 17)
De acuerdo a las relaciones que aparecen en la Ilustración 1 y a las definiciones dadas en la
Tabla 1, un ambiente de aprendizaje accesible para personas en situación de DI, debe tener en
cuenta todas las dimensiones asociadas, para proporcionar actividades que:
1. Se ajusten a sus habilidades y limitaciones, respecto a niveles de comprensión de ideas y
solución de problemas, entre otros. 2. Tengan en cuenta el conjunto de habilidades adaptativas
que se tengan aprendidas en su práctica cotidiana y escolar. 3. Reconozcan la salud, respecto a la
corresponsabilidad de organizar el entorno y favorecer ambientes sanos para todos tanto
físicamente como emocionalmente. 4. Permitan en cada momento la participación de todos en las
diferentes actividades, de acuerdo a sus condiciones individuales. 5. Favorezcan el apoyo entre
pares,que les acerque a la exploración del mundo desde diferentes dinámicas, genere un contexto
que fortalezca relaciones sociales sanas y permita progreso en los aprendizajes acordes a las
posibilidades de cada uno.
19
Tabla 1
Descripción de dimensiones del funcionamiento humano.
DIMENSIÓN DEFINICIÓN
Habilidades
Intelectuales Capacidad mental general que incluye razonamiento, planificación,
solución de problemas, pensamiento abstracto, comprensión de ideas
complejas, aprender con rapidez y aprender de la experiencia.
Conducta
Adaptativa Conjunto de habilidades conceptuales, sociales y prácticas que se
aprenden y se practican por las personas en su vida cotidiana.
Salud Estado de completo bienestar físico, mental y social.
Participación Desempeño de la persona en actividades reales en ámbitos de la vida
social que se relaciona con su funcionamiento en la sociedad; la
participación se refiere a los roles e interacciones en el hogar, trabajo, ocio,
vida espiritual, y actividades culturales.
Contexto Condiciones interrelacionadas en las que viven las personas su vida
cotidiana; el contexto incluye factores ambientales (por ejemplo, físico,
social, actitudinal) y personales (por ejemplo, motivación, estilos de
afrontamiento, estilos de aprendizaje, estilos de vida) que representan el
ambiente completo de la vida de un individuo.
Apoyos Recursos y estrategias que se dirigen a promover el desarrollo,
educación, intereses y bienestar personal de un individuo, así como para
mejorar su funcionamiento individual. Un sistema de apoyos es el uso
planificado e integrado de las estrategias de apoyo individualizadas y de los
recursos que acompañan los múltiples aspectos del funcionamiento humano
en múltiples contextos.
Ejemplos de ello son los sistemas organizativos, incentivos, apoyos
cognitivos, instrumentos, ambiente físico, habilidades/conocimiento y
habilidad inherente.
Definiciones de dimensiones (Verdugo y Schalock 2010, p. 17)
20
Condiciones de aprendizaje asociadas al DI.
Al establecer condiciones de la población se tienen en cuenta tanto dificultades como
posibilidades, para establecer un apoyo en los aportes de reorganización curricular, por lo cual se
enuncia a continuación una serie de afirmaciones que pueden permitir un reconocimiento de la
situación particular de los niños en condición de DI:
Los niños con deficiencia mental pasan por los mismos estadios evolutivos que los demás
niños (Pérez y Tomás, 2002, p. 55).
El niño con DI catalogado como medio, estará más limitado en su progreso con escasa
vida independiente y necesitado de mayor supervisión. (Pérez y Tomás, 2002, p. 66)
Los niños con DI pueden alcanzar niveles elevados de aprendizaje si se les suministran
los mediadores pertinentes y entrenamiento adecuado en estrategias específicas. (Pérez y
Tomás, 2002, p. 66)
Cuando las operaciones básicas no se consiguen dominar en la etapa evolutiva
correspondiente, por falta de información o porque no se procesó dicha información, se
inicia el retraso cognitivo que el sujeto no puede superar por sí mismo. Necesita pues una
intervención especialmente diseñada en función de las causas, que le proporcione
experiencias básicas de aprendizaje. (Pérez y Tomás, 2002, p. 57).
Teniendo en cuenta las afirmaciones anteriores, se considera que para el diseño de un
ambiente de aprendizaje accesible, en un contexto escolar regular, en específico para niños
en situación de DI, se debe promover la mediación permanente, se debe considerar además
que el aprendizaje se debe desarrollar desde procesos básicos e ir avanzando ajustado a que
se dote de experiencias a los niños y a su vez ellos puedan establecer cada vez más
relaciones.
21
Adaptaciones curriculares en matemáticas para DI.
La naturaleza abstracta y conceptual de las matemáticas plantea retos particulares a los
estudiantes con DI, principalmente en resolución de problemas (Cawley y Miller, 1989). Estos
retos pueden estar asociados a dificultades en procesos de memoria, en el uso de estrategias
metacognitivas (Gallico, Burns y Grob, 1991), en obstáculos para prestar atención a dimensiones
clave de la tarea y para transferir aprendizajes (Kauffman, 2001). Por lo tanto, necesitan más
oportunidades para utilizar materiales concretos, realizar tareas breves y variadas (Sarama y
Clements, 2009).
Según Sanchez, Maldonado y Berruezo (2010) citando a Hernández, Noblejas y Sotorrío
(1994) para la realización de adaptaciones curriculares, que tengan en cuenta las situación de DI,
se deben priorizar los aspectos procedimentales debido a que son más motivadores y conducen
con mayor frecuencia al éxito, por tanto no debemos centrarnos demasiado en los conceptos y
sus relaciones porque para estos alumnos encierran mayores dificultades (p,281).
De acuerdo a lo anterior se plantean algunos aspectos en cuanto a los objetivos y contenidos,
por ejemplo: 1. Concretar los objetivos y contenidos para el ciclo teniendo en cuenta la
diversidad de los alumnos del aula. 2. Diseñar actividades que tengan diferentes grados de
realización, entre otros. Respecto a lo metodológico por ejemplo: 1. Adecuar el lenguaje según el
nivel de comprensión de los alumnos. 2. Dar prioridad a técnicas y estrategias que favorezcan la
exprerienci y reflexión: el aprendizaje por descubrimiento. En cuanto a las actividades de
enseñanza aprendizaje, se tiene: 1. Diseñar actividades diversas para trabajar un mismo
contenido. 2. Proponer actividades que se lleven a cabo con diferentes tipos de agrupamientos:
gran grupo, pequeño grupo, e individual. (p,282).
Los anteriores indicadores hacen parte de una propuesta realizada por Arnaíz y Garrido
(1999) y citada por Sanchez, Maldonado y Berruezo (2010) para adecuar la programación a la
diversidad, estos indicadores sugieren un diseño por procesos, asociado al nivel del grupo escolar
con el que se va a trabajar, tener en cuenta las diferentes interacciones que se den en el aula,
generar apoyos entre pares en el desarrollo de las actividades, en este sentido se requiere respecto
a los diseños accesibles, tener en cuenta los factores metodológicos que involucren a todos en el
ambiente de aprendizaje.
22
Finalmente, es importante resaltar que según Clements y Sarama (2015) citando a (Dowker
2005; Gervasoni, 2005; Gervasoni et.al., 2007; Ginsburg, 1997) “No hay déficit cognitivo
singular que cause dificultades en matemáticas” y por otro lado, estos niños al ser “calificados de
discapacidades de aprendizaje, sufren por las expectativas bajas de los educadores” p.359. Así,
integrando estos aspectos a la planeación de la enseñanza, se puede proporcionar un contexto no
discapacitante para estos estudiantes y en general para todos los estudiantes.
TRAYECTORIAS HIPOTETICAS DE APRENDIZAJE.
En el diseño didáctico para este trabajo, se incorporan las Trayectorias Hipotéticas de
Aprendizaje (en adelante THA), las cuales permiten de forma natural aprender cada idea
matemática, considerando para su desarrollo, una meta matemática, una ruta de desarrollo y unas
tareas planteadas por niveles de pensamiento, de tal manera que los estudiantes avancen en su
aprendizaje, desde ambientes de aprendizaje accesibles en educación matemática.
Porras (2017) afirma que, “las THA posibilitan trabajar las matemáticas de acuerdo a las
necesidades y características de los estudiantes, lo que permite que el profesor se convierta en un
facilitador, un apoyo para el estudiante en su aprendizaje. Respetando las diferencias
individuales de cada uno y reconociendo que el aprendizaje es personal.” p. 83.
Las THA hacen parte de la vida de cada persona y se dan de forma natural, lo cual no implica
necesariamente que se desarrollen en un contexto escolar, sin embargo se plantean en el diseño
de un ambiente de aprendizaje accesible, porque permiten establecer variados niveles del
conocimiento y del pensamiento matemático y tomando las THA propuestas por Clemenst y
Sarama (2015), se pueden caracterizar procesos de aprendizaje de los niños desde los 0 años
hasta los 8 años aproximadamente, por lo que partir de diferentes entradas matemáticas desde un
primer nivel, apoya el diseño universal.
PROCESOS MATEMÁTICOS EN LA ARITMÉTICA INICIAL.
Los procesos que provienen de las relaciones entre THA, están asociados a las metas de
aprendizaje de las trayectorias que son consideradas como grandes ideas matemáticas, estas son
“agrupaciones de conceptos y habilidades que son matemáticamente centrales y coherentes,
consistentes con el pensamiento de los niños y generadoras del aprendizaje hacia el futuro”
(Clements y Sarama, 2015, p.11).
23
A continuación se describen los procesos y subprocesos asociados a las cuatro grandes ideas
matemáticas, que se quieren articular.
Subitización.
La subitización refiere a “reconocer la numerosidad de un grupo rápidamente” (Clements y
Sarama, 2015, p.19). La subitización constituye un acto de concientización del número, este
hecho es fundamental y es una parte con la que nacemos. De acuerdo a Lakoff y Núñez (2000),
se puede considerar que las matemáticas son difíciles de enseñar a los bebes, pero
investigaciones han mostrado que llegamos a la vida preparados para hacer alguna forma
rudimentaria de aritmética; algunas evidencias sobre las discriminaciones de cantidad que hacen
los bebes de meses e incluso días de nacidos se citan a continuación:
Yet we come into life prepared to do at least some rudimentary form of arithmetic. Recent
research has shown that babies the following numerical abilities:
1. At three or four days, a baby can discriminate between collections of two and three items
(Antell & Keating,1983). Under certain conditions, infants can even distinguish three items from
four (Strauss & Curtis, 1981; van Loosbroek & Smitsman, 1990).
2. By four and half mounts, a baby “can tell” that one plus one is two and that two minus one
is one (Wynn, 1992a).
3. A little later, infants “can tell” that two plus one is three and that three minus one is two
(Wynn, 1995).
4. These abilities are not restricted to visual arrays. Babies can also discriminate numbers of
sounds. At three or four days, a baby can discriminate between sounds of two or three syllables
(Bijeljac-Babic, Bertoncini, & Mehler, 1991).
5. And at about seven months, babies can recognize the numerical equivalence between arrays
of objects and drumbeats of the same number (Starkey, Spelke & Gelman, 1990, Lakoff y Núñez
(2000, p.16).
Sin embargo, llegamos a la vida preparados para hacer al menos una forma rudimentaria de
aritmética. Investigaciones recientes han demostrado que los bebés tienen las siguientes
habilidades numéricas:
24
1. A los tres o cuatro días, un bebé puede discriminar entre colectivos de dos y tres elementos
(Antell y Keating, 1983). Bajo ciertas condiciones, los bebés incluso pueden distinguir tres
elementos de cuatro (Strauss y Curtis, 1981; van Loosbroek y Smitsman, 1990).
2. En cuatro meses y medio, un bebé "puede decir" que uno más uno es dos y que dos menos
uno es uno (Wynn, 1992a).
3. Un poco más tarde, los bebés "pueden decir" que dos más uno son tres y que tres menos
uno son dos (Wynn, 1995).
4. Estas habilidades no están restringidas a arreglos visuales. Los bebés también pueden
discriminar la cantidad de sonidos. A los tres o cuatro días, un bebé puede discriminar entre
sonidos de dos o tres sílabas (Bijeljac-Babic, Bertoncini y Mehler, 1991).
5. Y a los siete meses, los bebés pueden reconocer la equivalencia numérica entre matrices de
objetos y golpes de tambor del mismo número (Starkey, Spelke & Gelman, 1990, Lakoff y
Núñez, 2000, p.16).
En el apartado anterior se evidencia que un bebe puede distinguir progresivamente la
numerosidad de un elemento a la de dos elementos, asumir cambios de cantidad y este proceso se
considera natural al ser humano, de esta manera no debiese considerarse complejo el aprendizaje
de las matemáticas, ya que por lo menos en su expresión inicial como lo es la subitización
perceptual podemos considerar que es innata.
En cuanto a la subitización Lakoff y Núñez (2000, p. 19) consideran que todo ser humano
independientemente de su cultura puede saber instantáneamente de un vistazo si hay uno, dos o
tres objetos, esta habilidad llamada subitización, viene del Latín “Repentino”, de esta habilidad
se puede decir que es un poco más complejo discernir entre cantidades de objetos consecutivas
como ocho de nueve, o trece de catorce, respecto a la subitización de cantidades pequeñas, pero
se puede hacer el paso progresivo, hasta llegar a trabajar cantidades más grandes.
La subitización se puede dar en secuencias o realizando matrices, refiriéndonos no solo a
cantidades de objetos tangibles, sino que también se pueden subitizar golpes, pitos, destellos de
luz, en los cuales se facilitaría subitizar hasta cinco o seis de estos. Según Lakoff y Núñez
(2000), podríamos hablar de este tipo de ejemplos, desde experimentos realizados por
25
Kaufmann, Lord, Reese y Volkmann en (1949), hace más de medio siglo, en los cuales se
observó la subitización como un proceso diferente a contar o estimar y a partir de allí se
considera que el proceso de subitizar es innato.
Subprocesos asociados a la subitización.
S1: Sensibilización al número.
De forma innata los niños son sensibles a diferencias de cantidades en colecciones y a los
cambios de cantidad. Además de establecer regularidades como que uno más uno es dos, o dos
menos uno es uno, de acuerdo a la caracterización que hace Lakoff y Núñez (2000), este proceso
se hace un poco más complejo cuando se trabaja con cantidades más grandes, sin embargo los
bebes hacen estos procesos reversibles con cantidades por lo menos hasta cuatro.
S2: Nominación.
Es un proceso en el cual el niño puede expresar con palabras cantidades. Este proceso “ayuda
a los niños a comprender las palabras que designan números y su significado de cardinal sin
tener que hacer cambios entre los usos ordinales (contar elementos en orden) y cardinales de la
palabras que designan números inherentes al conteo (cf. Fuson, 1992a)” citado por Clements y
Sarama (2015, p. 22). Así el proceso de nominación se puede usar para ayudar a preparar el
conteo con significado a temprana edad.
S3: Construcción de colecciones.
La construcción de colecciones, es el proceso de organización que permite al niño subitizar,
ya sea de forma perceptual o conceptual. Este proceso tiene diferentes niveles y el niño puede
familiarizarse con las cantidades desde diferentes configuraciones siguiendo según Clements y
Sarama (2015) un modelo mental, que no necesariamente es de emparejamiento, así cuando por
ejemplo a un niño de tres años se le muestra una colección de tres elementos, el hace otra
colección con la misma cantidad; este proceso también puede dar al niño herramientas para
establecer por ejemplo, cuántas galletas requiere para repartir de a una a un grupo pequeño de
personas.
26
S4: Subitización perceptual.
Este proceso como tal es el que describe el hecho de percibir la cantidad de elementos de una
colección, integrando la sensibilidad al número, reconociendo la numerosidad, por simple vista,
este proceso tiene diferentes niveles, pero se da solo hasta cuando no sea necesario hacer
operaciones mentales adicionales como agrupar, o modelar la colección a contar, debe ser un
acto netamente sensible a la vista y asociado a la cantidad. Jiménez, (2015) citando a Gelman &
Gallistel (1978) dice que la subitización perceptual es la más cercana a la definición original de
subitización, que se refiere al reconocimiento de la numerosidad sin utilizar procedimientos
matemáticos; los niños de dos años de edad muestran claramente esta capacidad.
S5: Subitización conceptual.
La subitización conceptual es un proceso de subitización elaborado, que nos permite dar
cuenta de la numerosidad de colecciones que tienen más de 6 o 7 elementos, a través de
asociaciones con cantidades subitizables perceptualmente, para lo cual se compone un todo en
partes previamente subitizadas. Lakoff y Núñez (2000), consideran que para subitizar cantidades
cada vez más grandes se requiere hacer operaciones cognitivas adicionales como: agrupación en
cantidades subitizables perceptualmente, para dar cuenta de la cantidad; se puede subitizar
también en secuencias o matrices.
La subitización conceptual, ya permite hacer evidente la idea de número desde su propiedad
de composición, favorece la expresión o representación de un número desde varias
composiciones y el niño no solo determina cantidades, sino que también compone
configuraciones, evidencia patrones y los pone en juego en el trabajo de subitización, nivel a
nivel.
La subitización es una idea matemática muy poderosa que además de ser diferente a las ideas
de conteo o de estimación, hace parte de estas, las constituye y trasciende en todas las
trayectorias aritméticas; una muestra de ello es la incidencia que tiene en las trayectorias
relacionadas por procesos en la Tabla 3.
Finalmente, se requiere tener en cuenta que según Clements y Sarama (2015), la subitización
en poblaciones con necesidades especiales permite subsanar deficiencias de conteo desde los
27
inicios y los profesores no deben subestimar las competencias de subitización en este tipo de
poblaciones.
Conteo.
El conteo es el proceso en el que ya se empieza a consolidar la idea de número al asociar una
cantidad de objetos a la representación numérica, de acuerdo con Calderón y León (2016), el
conteo está asociado a las necesidades primarias de establecer la numerosidad de colecciones de
objetos y darle la posición a un objeto en una colección ordenada.
El conteo se presenta de forma natural en diferentes culturas, haciendo parte de la expresión
de las mismas, este proceso se incorpora a la necesidad primaria de las comunidades de
establecer la numerosidad de un conjunto. Dada la relación entre diferentes culturas y el proceso
de realizar conteos, asociados a representaciones numéricas, se evidencia que dichas
representaciones se dan de forma transversal en las culturas, generando unos principios
planteados por Calderón y León. (2016, p.85-87) que se describen a continuación:
1. Principio de abstracción: cualquier colección de objetos aislables es susceptible
de ser contada.
2. Principio de correspondencia uno a uno: a cada objeto contado de una colección
de objetos debe asignarse un solo término de la colección que cuenta.
3. Principio de la irrelevancia del orden: el objeto por el que se inicie el conteo y el
orden que se siga para los demás objetos es irrelevante para determinar el tamaño
de la colección.
4. Principio de orden estable: los signos del sistema que se use para el conteo deben
producirse con un orden establecido sin omitir ninguno de ellos.
5. Principio de la cardinalidad: el último término usado de la colección que cuenta,
indica el tamaño de la colección, se denomina cardinal de la colección.
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Se destaca la relación que se establece entre la colección de objetos a contar y la colección
contadora, en esta emerge un orden para realizar la asignación del signo del sistema de conteo
(colección contadora) a cada elemento de la colección a contar; siendo irrelevante, el objeto por
el cual se inicia el conteo. Al aplicarse dichos principios de acuerdo con Calderón y León, surgen
técnicas asociadas al conteo como: 1. Asociar objeto-término. 2. Organizar el conteo; establecer
el camino para realizar el conteo. 3. Abreviar el conteo; estableciendo grupos, contando a partir
de un cardinal ya dado, ya sea de forma ascendente o descendente.
Es relevante para el proceso de conteo comprender que este involucra diversos aspectos del
desarrollo de la persona, los cuales son articulados en la actividad de contar (Calderón y León.
2016, p.88):
Aspectos de desarrollo sensorial: visual, táctil, auditivo, olfativo, gustativo,
Aspectos de desarrollo lingüístico-discursivo: interpretación y producción de
signos, producción de significados y de sentidos,
Aspectos cognitivos: diferenciar el conjunto de objetos que se va a contar del
conjunto de objetos con el que se va a realizar el conteo,
Aspectos culturales: formas convencionales de expresar cantidades y usar símbolos
número,
Aspectos matemáticos: relaciones de equinumerosidad, correspondencias
biunívocas de colecciones, relaciones de coordinabilidad de conjuntos, relaciones
de orden, relaciones ternarias.
De acuerdo a los aspectos descritos, se considera la trayectoria de conteo fundamental para el
desarrollo de los niños, ya que además de lo cognitivo, matemático y discursivo, permite
potenciar el desarrollo de la lógica, dada la percepción de orden, la conservación del número
anterior, la seriación, la jerarquía (considerar que un número incluye a los que lo preceden).
Asociado a la seriación y a la jerarquía en particular, Clements y Sarama (2015) plantean que,
“Los niños deben aprender estas ideas para entender los números muy bien. Sin embargo los
29
niños aprenden bastante acerca del conteo y de los números antes de dominar estas ideas.” (p.
34). Lo que significa que es el conteo el proceso que permite las ideas de seriación y
numeración.
Por otro lado, se puede considerar que el conteo es uno de los algoritmos iniciales que el niño
aprende, es el más básico e importante, ya que de este va a depender el desarrollo de otros
procesos que vinculen números o álgebra. El conteo es un algoritmo porque “es un
procedimiento paso a paso que está garantizado para resolver una serie de problemas
específicos.” (Clements y Sarama. 2015, p.37).
De acuerdo con lo anterior Vergnaud G. 2003, considera que el conteo es la primera forma de
función numérica, bastante vaga, que se pueda imaginar y se puede representar así:
Ilustración 2. Representación como función del proceso de conteo. (Vergnaud. 2003, p. 102).
Subprocesos asociados al conteo.
C1: Conteo verbal. (Verbalización).
Se denomina conteo verbal, a la acción de expresar a través de un sistema lingüístico el
proceso del conteo aritmético. Si la lengua tiene expresión oral, entonces se denominará conteo
oral, pero si la lengua tiene una expresión viso-gestual, como es el caso de la lengua de señas, se
denominará conteo gestual. (León, 2018).
En la THA de conteo propuesta por Clements y Sarama (2015), se encuentra el conteo verbal,
desde el que se fundamenta la noción de reconocer el funcionamiento del sistema numérico en el
30
que se realiza el conteo. En el caso del sistema de numeración decimal, encontramos que está
constituido por 10 dígitos, los cuales de acuerdo a un orden establecido permiten seriar de 0 a 9,
luego construir el 10 y volver a iniciar la secuencia verbal hasta agotar los dígitos, llegar al 19 y
necesitar continuar con la secuencia, siendo el conteo verbal un posibilitador para el desarrollo
del pensamiento cuantitativo.
C2: Conteo de objetos.
El conteo de objetos, permite dar respuesta a preguntas como ¿cuántos hay?, dado que ya se
establece una relación entre la colección de objetos a contar y el conocimiento numérico, ya en
este tipo de conteo, el estudiante realiza la correspondencia entre los objetos y el número y
determina el cardinal de los conjuntos a partir de determinar el último número del conteo
realizado.
Al realizar solo conteo verbal, se encuentra el proceso de recitación el cual aunque sea
correcto, no garantiza que el niño está contando, en tanto no realice una correspondencia de la
recitación con un conjunto de objetos.
En el conteo de objetos propiamente dicho, es la recitación de la serie numérica que se
acompaña de gestos manuales y movimientos de los ojos, que muestran que el niño ejerce una
actividad al establecer una correspondencia entre el conjunto de los objetos por una parte y la
serie numérica hablada, por la otra. (Vergnaud, 2003, p. 102).
C3: Correspondencia.
El proceso de correspondencia está asociado a la actividad del conteo, al cómo contar. “Al
contar ponemos en correspondencia cada elemento de un conjunto con otro conjunto (de objetos,
palabras, muescas, etc.). Las noción de cardinal se puede formalizar usando el lenguaje de la
teoría de conjuntos.” (Batanero, Cid y Godino, 2002, p. 20).
Podemos retomar que la correspondencia uno a uno hace parte de principios que subyacen de
las técnicas de contar y de las actividades de conteo de las diferentes culturas, así a cada
elemento a contar se le asigna un único elemento de una colección contadora. Es importante
resaltar que la correspondencia se puede dar no solo con palabras que denotan números, sino que
este proceso cultural, se da con diferentes instrumentos a lo largo de la historia.
31
Tenemos así un muestrario de objetos físicos que sirven como objetos numéricos y que se
clasifican de acuerdo con (Batanero, Cid y Godino, 2002, p. 23) en:
-muescas, palotes;
-objetos ensartados en collares o en varillas, nudos en una cuerda;
-objetos sueltos: guijarros, palitos, conchas, perlas, huesos, etc.
-partes del cuerpo humano.
En general, la correspondencia es un subproceso del conteo, que trata de la relación entre los
elementos de una colección contadora y una colección a contar, donde la colección contadora no
necesariamente está dada en palabras numéricas y este subproceso tiene en cuenta el acto de
coordinación “entre la palabra y la mano o la vista y a veces; se usan técnicas auxiliares,
marcando por ejemplo cada punto contado.” (Batanero, Cid y Godino, 2002, p. 19).
C4: Conteo a saltos, conteo usando patrones.
Este proceso refiere a la habilidad de contar haciendo agrupaciones de igual cantidad de
elementos, los saltos más comunes son de 5 en 5, de 2 en 2 y de 10 en 10. Los niños en los
grados 1º y 2º, según Clements y Sarama (2015), entienden las conexiones entre el conteo y las
operaciones suma y resta apoyados en esta habilidad, dado que asocian por ejemplo, el hecho de
agregar dos a una colección, con la acción de contar de dos en dos.
Para Batanero, Cid y Godino (2002), este proceso también hace parte de una técnica
abreviada de conteo, en la cual el niño aprovecha la capacidad de reconocer directamente los
cardinales de conjuntos pequeños.
C5: Conteo asociado a orden, iniciando desde un número diferente a uno.
Para Batanero, Cid y Godino (2002), este proceso hace parte de una técnica abreviada de
conteo, que permite contar hacia adelante o hacia atrás, desde un cardinal dado; también desde
un cardinal dado hasta otro cardinal también dado. Estos procesos también estan asociados a
adicionar o suprimir una cantidad de objetos dados, mostrando estrecha relación con la solución
de situaciones aditivas. Así se puede decir que este proceso contribuye al desarrollo de
habilidades en los niños para el desarrollo de otras tareas aritméticas.
32
Por ejemplo, los niños que pueden seguir un conteo iniciando con cualquier número son
mejores en todas las tareas relacionadas con números. Los niños aprenden que a partir de los
números, y en su integración en un sistema, se obtiene orden y significado, y aprenden también
un conjunto de relaciones, reglas que permite la generación, no memorización, de la secuencia
apropiada. (Clements y Sarama, 2015, p.36).
C6: Conteo mental.
Es un proceso en el cual los niños pueden decir el cardinal de elementos de un conjunto sin
realizar acciones de enumeración uno a uno, este subproceso integra a C4 y C5, e incluso la
subitización perceptual, debido a que a partir de agrupaciones subitizables, puede hacer por
ejemplo conteo a saltos y hacer un conteo mental.
Es importante que los niños se acostumbren a determinadas configuraciones espaciales
("constelaciones") que permiten conocer el cardinal de un conjunto sin necesidad de contar.
Por ejemplo, ante una constelación de puntos como la siguiente:
los adultos no necesitamos contar para saber que ahí hay cinco puntos, pues estamos
familiarizados con ella a través de los dados, las fichas del dominó y las cartas de la baraja. Las
situaciones de cardinalidad sin recuento fomentan el reconocimiento visual de cardinales,
habilidad necesaria en las tareas iniciales de suma y resta. (Batanero, Cid y Godino, 2002, p. 58).
C7: Contar unidades cuantitativas, valor posicional.
Este es un proceso en el que se cuenta por unidades cuantitativas como lo son las decenas o
las centenas, el niño “entiende el sistema de numeración en base 10 y el concepto de valor
posicional, incluyendo ideas de conteo por unidades y múltiplos de centenas, decenas y
unidades” (Clements y Sarama, 2015, p. 67).
La noción del valor posicional “se va construyendo lentamente y los niños aprenden a escribir
números sin ser enteramente conscientes del valor que representa cada cifra.” Batanero, Cid y
33
Godino (2002, p. 54). Por otro lado, dentro de los conocimientos previos para entender el valor
posicional, está la relación de composición de los números y la adición.
Para entender que el número treinta y cinco se escribe con un tres y un cinco hay que "verlo"
descompuesto en tres decenas y cinco unidades. Pero eso exige saber que "diez más diez son
veinte, y más diez son treinta", es decir, hay que saber contar de diez en diez y que cuando a una
decena se le suma otra se obtiene la decena siguiente. Una vez entendido que tres decenas es lo
mismo que treinta unidades, hay que estar familiarizado con el hecho de que treinta más cinco
son treinta y cinco.
En otras palabras, para que un niño pueda darle sentido a los razonamientos que se organizan
alrededor del valor de posición de las cifras tiene que estar familiarizado con determinadas
técnicas orales de suma. (Batanero, Cid y Godino, 2002, p. 58).
Comparación, Ordenamiento Y Estimación.
Esta trayectoria está integrada por tres conceptos comparación, orden y estimación que se
desarrollan sobre cantidades discretas.
Para Clements y Sarama (2015), la comparación es una habilidad que se empieza a desarrollar
desde el primer año de vida de forma intuitiva, y se desarrolla a medida que los niños asocian la
cantidad a las palabras que designan números desde la subitización y el conteo. Y se observa esta
competencia en sus inicios al resolver tareas entre los dos y los tres años y medio de edad.
La meta de esta trayectoria refiere a “comparar, ordenar y tener en cuenta al menos algunos
aspectos de la estimación” p. 78.
Subprocesos asociados a la comparación, orden y estimación.
COE1: Correspondencia muchos a uno.
Este subproceso articula los subprocesos de subitización y conteo, teniendo en cuenta la
sensibilización al número que permite a un niño identificar la variación en cantidad sin necesidad
de un conteo respecto al proceso de subitización, por otro lado, enmarca la necesidad de
correspondencia que se genera en el subproceso de conteo, considerando que visiblemente en
este subproceso se hace evidente que se presentan colecciones de varios elementos comparadas
34
con un elemento, permitiendo apreciar la diferencia entre cantidades sin la realización como tal
del conteo.
Los niños pueden “comparar cuantitativamente (utilizando el lenguaje como “más que” y
“menos que”) y ordenan los conjuntos de acuerdo al número de objetos que contienen”
(Clements y Sarama, 2015, p.78).
COE2: Correspondencia uno a uno. Comparador por emparejamiento.
Este proceso de correspondencia refiere a establecer relaciones uno a uno entre elementos de
dos conjuntos para hacer procesos de comparación de numerosidad respecto a su cardinal, o de
ordenamiento al tener en cuenta cuál es de mayor o menor tamaño.
Según Clements y Sarama (2015), los niños utilizan la correspondencia uno-a-uno para
solucionar problemas de emparejamiento de conjuntos y la comparación de cantidades
numéricas. En este subproceso se pone en “correspondencia rígida uno-a-uno (edad 2; 0). Usa
palabras para incluir “más,” “menos” o “lo mismo”.” p. 79.
Para Bermejo (2004, p. 21) "el primer requisito que el niño necesita para contar correctamente
consiste en tener la competencia para construir correspondencias uno a uno”. De esta manera, se
interpreta que este subproceso COE2, tiene relación directa con la descripción planteada para el
proceso de correspondencia en el proceso de conteo C3, generando el elemento adicional
asociado a la comparación de cantidades.
COE3: Comparación perceptual.
De acuerdo con la trayectoria planteada por Clements y Sarama (2015, p. 80), un indicador de
este proceso es “Compara colecciones considerablemente diferentes en tamaño (ej., una
colección es por lo menos el doble de la otra).” Este subproceso se diferencia de COE1, en
relación a las cantidades comparadas ya que en este caso las dos colecciones presentan más de un
elemento y el niño realiza la comparación desde su sensibilidad numérica, sin realizar proceso de
conteo ni de correspondencia.
35
COE4: Estimar por extensión espacial.
El niño realiza el proceso de estimación considerando el espacio que ocupa una colección de
elementos, asociada al espacio que ocupa otra colección de menor tamaño, de esta manera puede
partir de una cantidad subitizable y con base en esa imagen mental estimar la numerosidad de la
colección.
Clements y Sarama (2015, p. 93) plantean que la “Estimación de Numerosidad extiende
conjuntos y las categorías de número para incluir “números pequeños” los cuales usualmente son
subitizados, mas no estimados, “números medianos” (ej.10-20) y “números grandes”. El arreglo
de los objetos que se van a estimar afecta la dificultad”. Teniendo en cuenta lo anterior, la
estimación tiende a tener un margen de error más alto cuando la colección tiene mayor
numerosidad.
COE5: Conteo ordinal.
El niño “identifica y usa números ordinales” Clements y Sarama (2015, p. 87), consideran que
para usar los números ordinales se establecen relaciones de orden y se cuentan los elementos
empleando las palabras numéricas que indican orden (primero, segundo, tercero,…).
El conteo ordinal se da ligado a una necesidad de “indicar el lugar que ocupa o debe ocupar
un objeto dentro de una colección ordenada de objetos” (Batanero, Cid y Godino, 2002, p. 171).
Así en el conteo ordinal hay una regla que nos indica la forma de darle orden a la colección, por
ubicación, por tamaño, entre otras características, diferenciándose del conteo cardinal, en el que
no importa el orden en que se cuente siempre y cuando no se cuente más de una vez un mismo
elemento.
Dado un conjunto totalmente ordenado y un elemento de dicho conjunto, podemos usar
diversas técnicas para determinar el número ordinal (Batanero, Cid y Godino, 2002, p. 174):
Se recita una de las sucesiones de palabras numéricas (ordinales o cardinales)
Se adjudican dichas palabras a los elementos del conjunto siguiendo el orden establecido
hasta llegar al elemento en cuestión.
La palabra que le corresponde a dicho elemento es su ordinal.
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Finalmente, cabe resaltar la necesidad de construir el conteo ordinal y el conteo cardinal, estos
dos conteos al relacionarse conforman la noción de número natural; ya que la noción de número
natural surge de la fusión de los conceptos de número cardinal y ordinal, identificación que se
realiza mediante el postulado fundamental de la aritmética: "El número cardinal de un conjunto
coincide con el número ordinal del último elemento, y es siempre el mismo cualquiera que sea el
orden en que se haya efectuado el recuento" (Batanero, Cid y Godino, 2002, p. 179).
COE6: Ordenar.
El subproceso de ordenar se asocia a las situaciones de comparación, de esta manera de
acuerdo con Batanero, Cid y Godino (2002), se comparan números ordinales, para saber quién va
antes o después, también se comparan cardinales para establecer diferencias de cantidad entre
dos conjuntos.
Decimos que cinco es menor que ocho porque si un elemento es el quinto estará antes o será
anterior en el tiempo al octavo (significado del orden entre ordinales). También decimos que
cinco es menor que ocho porque si emparejamos cinco tazas con ocho platos quedarán platos sin
taza (significado del orden entre cardinales) p. 204.
Es importante resaltar que los niños que tienen dominio de la sucesión numérica, tienen
mayor habilidad al ordenar, debido a que puede establecer mayor cantidad de relaciones de orden
entre diferentes cantidades.
Clements y Sarama (2015) consideran que en este subproceso el niño “ordena numerales y
colecciones (primero los números pequeños)”. “Ordena las longitudes marcadas por unidades” p.
91. En este sentido, el niño establece relaciones de orden entre diferentes magnitudes, teniendo
en cuenta que pueda establecer la numerosidad de lo que desea ordenar.
COE7: Comparar por valor posicional
Compara cantidades de acuerdo con la comprensión del valor posicional, de esta manera
puede referir a un número mayor a otro considerando por ejemplo la comparación entre el
número de decenas que tiene el número.
37
“63 es mayor que 59 porque 6 decenas es más que cinco decenas incluso si hay más de tres
unidades” (Clements y Sarama, 2015, p. 93).
COE8: Estimar por puntos de referencia
Considera la cantidad de acuerdo a la cercanía a otra cantidad que toma como referencia, esta
referencia puede estar ligada a imágenes mentales que guarda en su memoria.
“Si se le muestran 11 objetos, dice, “Me pareció más cercano de 10 que de 20, supongo que
son 12” si se le muestran 45 objetos dispersos por un segundo y se le pregunta “¿Cuántos hay?,”
responde, Aproximadamente 5 decenas – cincuenta.” (Clements y Sarama, 2015, p. 95 - 96).
COE9: Estimar por composición.
Inicialmente hace arreglos regulares (de la misma cantidad de elementos y que sean
subitizables), teniendo esos subconjuntos, hace adiciones o multiplicaciones para producir el
estimado. Más adelante puede incluir arreglos irregulares. Finalmente se genera la habilidad de
descomponer o dividir las cosas que se van a estimar en subconjuntos de tamaño conveniente
para luego recomponer la numerosidad basándose en la multiplicación.
“Si se le muestran 87 objetos dispersos y se le pregunta por un estimado, responde, “Eso es
aproximadamente 20- entonces, 20, 40, 60, 80. ¡Ochenta¡” .” (Clements y Sarama, 2015, p. 96).
Operaciones Aditivas Adición Y Sustracción (Enfatizando En Las Estrategias De
Conteo)
Esta trayectoria refiere a la solución de situaciones aditivas, teniendo en cuenta diferentes
niveles de comprensión de los niños, se trabaja inicialmente con números pequeños, se considera
un primer momento asociado a la percepción, se asocia al proceso de subitización, se avanza en
las estrategias, hasta que se llega a desarrollar estrategias más sofisticadas de conteo,
combinaciones y derivaciones, que se dan gracias al uso intuitivo de las propiedades de la
aritmética como las leyes asociativa y conmutativa de la adición.
Según Clements y Sarama (2015), “los niños pequeños usualmente no conocen estas leyes
explícitamente pero pueden usarlas intuitivamente”, aunque citando otros estudios se indica que
los niños si comprenden el concepto de conmutatividad cuando lo usan en estrategias de conteo,
38
ya que por ejemplo al llevar a una caja vacía un grupo de juguetes y otro, no importa el orden en
el que los guardes, siempre vas a tener la misma cantidad total.
Aunque la sustracción no cumple con las mismas propiedades de la suma, también se puede
interpretar a través del conteo, así el niño puede contar hacia atrás para hallar una diferencia.
Para Batanero, Cid y Godino (2002) es relevante el conteo asociado a las operaciones
aditivas, partiendo de una definición de la adición que llaman “recursiva”.
Definición recursiva de adición (basada en los axiomas de Peano): Esta manera de definir la
suma corresponde a uno de los aspectos del aprendizaje de la noción de adición por los niños: "el
seguir contando". En la práctica se puede decir que "Sumar es seguir contando", mientras que
restar consiste en "contar hacia atrás" (descontar), p. 235.
La meta al desarrollar esta trayectoria es la comprensión de las situaciones aditivas y a partir
de esta, el desarrollo de diferentes procesos, asociados al tipo de situación y a las habilidades que
tienen los niños desde el uso del conteo.
Subprocesos asociados a las operaciones aditivas.
OA1: Combinar respecto a la percepción.
Este subproceso refiere a que el estudiante percibe la suma y la resta de forma perceptual, no
realiza ninguna operación formalmente. Se quiere que el niño dirija la atención a las
comparaciones y combinaciones, a partir de acciones de adición de objetos.
De acuerdo con Bermejo (2004), la concepción binaria de la suma y la resta se ajusta al
esquema partes-todo, ya que la combinación de las partes da lugar al todo y, por otro lado, el
todo puede descomponerse en partes.
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Ilustración 3. Esquema partes-todo tomado de Bermejo (2004, p. 54)
De esta manera, el niño realiza una combinación desde la percepción, cuando reconoce por
ejemplo a dos y dos como partes de cuatro, o tres y uno como partes de cuatro, a partir de este
tipo de combinaciones perceptuales, se van generando habilidades para establecer comparaciones
y combinaciones con números más grandes y resolver formalmente las operaciones aditivas.
OA2: Comparar.
El subproceso de comparación refiere a situaciones en las que se establece que una cantidad
es mayor o menor que otra cantidad, en relación a una cantidad por la cual difieren.
Tanto Clements y Sarama (2015) como Bermejo (2004), presentan tres categorías para
situaciones aditivas de comparación, considerando para Bermejo una “diferencia desconocida”,
un “referente desconocido” o una “comparación desconocida”, mientras para Clements y Sarama
se denominan “El más pequeño desconocido”, “Diferencia desconocida” y “El más grande
desconocido”, categorías que se corresponden respectivamente en el orden descrito.
1. (Diferencia desconocida): Ana tiene 5 lápices y Pedro tiene 3 lápices. ¿Cuántos lápices
tiene Ana más que Pedro?
2. (Referente desconocido): Ana tiene 6 lápices. Tiene 2 más que Pedro. ¿Cuántos
lápices tiene Pedro?
3. (Comparación desconocida) Ana tiene 4 lápices. Pedro tiene 3 lápices más que Ana.
¿Cuántos lápices tiene Pedro? (Bermejo, 2004, p. 59).
40
OA3: Emparejar.
Este subproceso refiere a la estrategia que los niños pueden realizar haciendo relaciones con
correspondencia de elementos entre dos conjuntos, por ejemplo: “Si se le pregunta, “Aquí tienes
6 perros y 4 pelotas. Si le damos una pelota a cada perro, ¿Cuántos perros quedan sin pelota?
Cuenta por separado los 6 perros, asigna 4 pelotas a 4 de ellos, entonces cuenta los 2 perros que
no tienen pelota.” (Clements y Sarama, 2015, p. 125).
Para Bermejo (2004), este subproceso se puede asociar con lo que él denomina Problemas
Verbales de Igualación, para los cuales también presenta categorías de acuerdo a lo que se quiere
encontrar en cada problema.
1. (Igualación desconocida): Luis tiene 7 cromos y Ángel tiene 4 cromos. ¿Cuántos
cromos necesita Ángel para tener los mismos que Luis?
2. (Igualar conjunto conocido): Luis tiene 4 cromos. Si le dan 3 cromos más tendría los
mismos que Ángel. ¿Cuántos cromos tiene Ángel?
3. (Igualar conjunto desconocido): Ángel tiene 8 cromos. Si a Luis le diesen 3 cromos
más tendría los mismos que Ángel. ¿Cuántos cromos tiene Luis? p. 59.
OA4: Modelar con conteo.
En general, la modelación de situaciones por conteo refiere a que se den respuesta a
situaciones haciendo uso del conteo, conteo ascendente para completar una cantidad, conteo
descendente, conteo total, entre otros procesos que realizan los niños.
Según Clements y Sarama (2015), inicialmente la mayoría de los niños utilizan el
procedimiento de conteo total, de esta manera, si se le presenta una situación de 5+2, los niños
cuentan los elementos de cada conjunto, y luego cuentan todos los elementos del conjunto unión.
Los niños van variando esta estrategia, por ejemplo haciendo conteo ascendente, partiendo del
cardinal de uno de los conjuntos “¡Ciiiiinco… seis, siete. Siete¡” considerando que tarda en decir
cinco, porque puede estar haciendo el conteo uno por uno. Luego puede que cuente por medio
41
de la estrategia suma-rápida, similar a la estrategia de contar todo, pero solo presenta el conteo
de la unión, “por ejemplo, para resolver 4+3, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y responder 7.” p. 104.
Así pues la modelación por conteo constituye un subproceso para las operaciones aditivas, ya
que se da en diferentes niveles y es muy común su uso entre los niños, de acuerdo a la
comprensión que hacen de las situaciones aditivas que se les plantean.
OA5: Resuelve problemas de sustracción mediante separación de objetos.
Este proceso consiste en que el niño cuenta la cantidad mayor de objetos, luego separa la
cantidad que se indique para que le quede la cantidad que debe encontrar, en este subproceso el
niño cuenta todos los grupos que realiza. Por ejemplo: “Cuando se le pregunta “Natalia tenía 8
calcomanías, le dio unas cuantas a Carmen. Ahora Natalia tiene 5 calcomanías. ¿Cuántas le dio a
Carmen? cuenta 8 objetos, los separa hasta que queden 5, cuenta los objetos que fueron
retirados.” (Clements y Sarama, 2015, p.125).
Este subproceso deriva de las estrategias de conteo, sin embargo se puntualiza en situaciones
de sustracción.
OA6: Conviértalo en N: Sumar desde un punto diferente a uno.
Este subproceso refiere a que se suman objetos para convertir un número en otro y no
necesariamente se inicia desde uno. No necesariamente se pregunta la cantidad que se adiciona,
también se puede plantear la adición para llegar a un total dado.
Ejemplos de problemas que permiten el desarrollo de este subproceso son los siguientes:
“esta mascota tiene 4 pelotas pero debería tener 6. Conviértalas en 6,” extiende 4 dedos de
una mano, inmediatamente cuenta por separado ascendentemente desde el 4 al tiempo que
extiende 2 dedos más, diciendo, “5,6,” o “Los estudiantes comienzan en X dinosaurios en la caja
y suman Y hasta alcanzar un total Z dinosaurios (hasta 10).” (Clements y Sarama, 2015, p.123-
124).
De acuerdo con Bermejo (2004), el niño desde estrategias de conteo puede tomar dos
decisiones, una es contar a partir del primer sumando y la otra seria contar a partir del número
mayor independiente que sea el primer o el segundo sumando.
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Se considera, para este caso que el niño hace uso de la propiedad conmutativa de la suma, sin
tener la formalidad de la misma, pero implícitamente la usa como estrategia para solucionar
situaciones aditivas.
OA7: Establecer el cambio.
En este subproceso el niño debe establecer el sumando faltante, puede ser a través de acciones
como “agregar hasta y contar todos los grupos”, “separar de y contar todos los grupos” o
“emparejar y contar el resto” (Clements y Sarama, 2015, p.124 - 125).
Por su parte Bermejo (2004), caracteriza problemas verbales de cambio partiendo de una
cantidad que se va a modificar por otra para llegar a un resultado, en este caso el niño debe
encontrar como y que tanto cambia la cantidad inicial. “Si la acción presente en el problema
consiste en añadir, estaremos hablando de un problema aditivo; mientras que si la acción implica
un decrecimiento en la cantidad inicial, se trata entonces de un problema de restar.” p.56.
Asociado a las descripciones de los tipos de situaciones aditivas, se encuentran las situaciones
aditivas de transformación, como se ejemplifica a continuación, se parte de un estado y se llega a
otro, considerando que hay una transformación de un estado a otro, la meta de este subproceso es
que el niño encuentre o interprete el cambio en cada situación.
Ilustración 4. Descripción situaciones de transformación. Tomada de Batanero, Cid y Godino (2002, p. 232).
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OA8: Conteo con estrategias.
Este subproceso refiere al desarrollo e implementación de estrategias más sofisticadas de
conteo, entre esas estrategias Clements y Sarama (2015) describen “Conteo-sucesivo” y
“Conteo-hasta”, los cuales se ejemplifican a continuación:
Conteo-sucesivo “¿Cuánto es 4 y 3 más?” “Cuatroooo… cinco, seis, siete, (usa patrones
rítmicos o con dedos para mantener el registro). ¡Siete¡” Conteo-hasta Es posible que resuelva
sumandos faltantes (3+__=7) o compare problemas mediante conteo ascendente; ej., cuenta “4,
5, 6, 7” mientras extiende los dedos; después cuenta o reconoce los cuatro dedos que extendió.
p.126.
Los niños suelen usar frecuentemente las estrategias de conteo hasta, por ejemplo para hacer
sustracciones, porque consideran que es más fácil completar la cantidad, que sustraer.
OA9: +/- Parte todo.
Según Clements y Sarama (2015), cuando en las situaciones se tiene un todo que está
compuesto por partes, en este tipo de problema no hay acciones, son situacines estáticas. Estas
situaciones se relacionan con la Ilustración 3, teniendo en cuenta que los niños en algunas
situaciones deben encontrar la parte y en otras situaciones deben hallar el todo, siendo la
diferencia entre los subprocesos OA1 y OA9, que en este caso ya no se resuelve desde la
percepción, sino con alguna estrategia de conteo.
OA10: +/- Números en números.
Este subproceso lo describen Clements y Sarama (2015) como el reconocimiento de que un
número es parte de un todo y se puede mantener en la mente la parte y el todo simultáneamente y
resolver los problemas empleando estrategias de conteo.
Tiene relación con la comprensión del subproceso anterior, pero en este caso ya la estrategia
de conteo es más sofisticada en la medida en que se retiene la información de la parte y el todo y
se establece la estrategia más adecuada para el niño, ya sea el conteo hasta, el conteo ascendente,
el conteo descendente, entre otros.
44
Si se le pregunta, “Tienes unas cuántas pelotas, después consigues 4 pelotas más, y ahora
tienes 9. ¿Con cuántas pelotas tuviste que empezar? Cuenta, extendiendo dedos, cinco, seis,
siete, ocho, nueve.” Mira los dedos y dice, “¡Cinco¡” p. 131.
OA11: +/- Derivación usando combinaciones de operaciones.
Este subproceso ya tiene una connotación especial, ya que enmarca el uso de resultados que el
niño ya conoce y cómo los deriva para resolver todo tipo de problemas aditivos.
“Los niños son estrategas flexibles; utilizan diferentes estrategias en problemas que ellos
perciben como fáciles o difíciles” Clements y Sarama (2015) De acuerdo a esto por ejemplo si el
niño conoce el valor del doble de un número como 5+5=10, él puede utilizar esta combinación
para derivarla y hallar 6+5=11, teniendo en cuenta que si 6=5+1, entonces 5+6=10+1=1 p.103.
De acuerdo con Batanero, Cid y Godino (2002, p.239), esta es una de las estrategias
intermedias para obtener sumas o restas. “Buscar los dobles. Preguntan "seis más siete" y
pensamos "seis más seis, doce, más uno, trece" o "siete y siete, catorce, menos uno, trece".
No necesariamente se realizan las combinaciones con dobles, sino que es una estrategia muy
utilizada, sin embargo hay memorización de otras combinaciones, como los números que
completan 10 o que completan 20, dependiendo del nivel en el que se encuentran los niños.
OA12: +/- Solucionar problemas.
En este subproceso, que corresponde al nivel más alto de la trayectoria propuesta por
Clements y Sarama (2015) para operaciones aditivas con estrategias de conteo, el niño
“soluciona todo tipo de problemas, con estrategias flexibles y combinaciones conocidas”. En este
caso ya se incrementan las cantidades y se hacen combinaciones respecto a las decenas y
unidades.
“¿Cuánto es 28+35?” El incrementador piensa: 20 + 30 = 50;+8=58; 2 más es 60, 3 más es 63.
Combinando dieces y unos: 20 + 30 = 50. 8 + 5 es como 8 más 2 y 3 más, entonces es 13. 50 +
13 es 63.” p.133.
Chelle y Otros, plantean la incorporación al currículo del cálculo mental y en ella evidencian
la flexibilidad de estrategias que pueden realizar los niños cuando reconocen la composición y
45
descomposición de números, hechos que reconocen por la incorporación temprana del mismo
cálculo mental. Entre estas estrategias, se encuentran ideas muy similares a las descritas por
Clements y Sarama (2015), pero contadas por los niños, como se muestra en la Ilustración 5.
Ilustración 5. Estrategias empleadas por los niños para resolver desde cálculo mental. Tomadas de Chelle y
Otros.
Otras estrategias en las que los niños presentan la necesidad de utilizar lápiz y papel para
plasmar los procesos que realizan mentalmente y no perder el hilo de su razonamiento se
evidencian en la Ilustración 6, y dan cuenta de la flexibilidad de estrategias, cuando se lleva una
trayectoria que involucra diversos procesos que llevan a la comprensión de las propiedades de
los números y las operaciones, desde el trabajo progresivo con estos.
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Ilustración 6. Estrategias empleadas por los niños para resolver desde cálculo mental, con empleo de lápiz y
papel. Tomadas de Chelle y Otros.
DISPOSITIVOS DIDÁCTICOS.
Es importante significar la diversidad de experiencias que se pueden plantear en el contexto
escolar, con el fin de favorecer el diseño de actividades en un ambiente de aprendizaje accesible,
según Clements y Sarama (2015) los niños a quienes se les brinda experiencias matemáticas de
alta calidad son capaces de desarrollar niveles de uno o más años por encima de sus compañeros,
así al trabajar con THA, en el desarrollo de dispositivos didácticos variados se espera no solo el
avance en la THA articulada, sino también múltiples momentos de interacción de todos.
Los dispositivos didácticos que se incorporan en el diseño son: 1. El proyecto de aula, 2. El
taller y 3. El juego, todos estos con un objetivo caracterizado por procesos que se asocian a los
indicadores que sugiere la THA.
El proyecto de aula.
El proyecto de aula es un dispositivo didáctico en el que se aporta a la formación de sujetos
sociales, de acuerdo con Calderón y León (2016) esta opción pedagógica, potencia el proceso de
construcción de conocimiento debido a que su acción moviliza, condiciones cognitivas,
comunicativas, afectivas y volitivas de los sujetos dado el tipo de participación social que le
impone esta dinámica a los estudiantes.
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En general el proyecto de aula permite, aprendizajes de tipo social en su entorno escolar, lo
que da significado al hecho de ir a la escuela, ya que permite el escenario para formarse como ser
social, además estos proyectos permiten una motivación por parte de los estudiantes, ya que se
están involucrando sus intereses en el desarrollo y a su vez este interés favorece el desarrollo de
la autonomía, el trabajo en equipo, en este proceso el currículo pasa a ser organizado por
objetivos del proyecto y no por contenidos. Calderón y León (2016) plantean, "el proyecto de
aula realiza tres tipos de propósitos: los de formación curricular, los del plan de área y los que
pretenden alcanzar los estudiantes mediante el desarrollo de un plan común" p.145.
El taller.
El taller es un dispositivo didáctico que se plantea en diferentes momentos de la enseñanza y
se enmarca en diferentes momentos del aprendizaje, para Freinet (1993) citado por Calderón y
León (2016), el taller se puede clasificar en dos categorías, una centrada en el trabajo manual y la
otra llevada a la actividad intelectual, en la que se reconozca la evolución y socialización del
conocimiento. Estos talleres pueden ser análisis de textos, observación del entorno, actividades
artísticas, así el taller no se centra en una estructura estricta y se puede plantear, para momentos
introductorios, de análisis, de socialización, lo importante es que permita en este caso la
manifestación de los indicadores de la THA y se articule con los otros dispositivos didácticos.
Cabe resaltar que los principios pedagógicos del taller planteados por Calderón y León
(2016), dan fuerza a la necesidad de incluir este dispositivo didáctico en el diseño de ambientes
de aprendizaje accesibles, los principios pedagógicos en resumen son: 1. Se aprende haciendo en
grupo. 2. La metodología es participativa, se enseña y se aprende a través de la experiencia
conjunta, de todos los participantes. 3. La pregunta como factor de aprendizaje, el conocimiento
se produce como respuesta a las preguntas formuladas explícita o implícitamente en el taller. 4.
Carácter interdisciplinario y sistémico; interdisciplinario, en tanto involucra diferentes campos
del conocimiento y sistémico ya que aporta a desarrollar conocimientos más efectivos, más útiles
aplicables a la vida.
El juego.
El juego cobra vital importancia como dispositivo didáctico en este trabajo, ya que se
considera que el juego de forma natural permite generar estrategias, acordar, formular y seguir
48
reglas, manipular tecnologías y además proporciona a los estudiantes diversas experiencias, para
su formación cognitiva, afectiva, social y cultural. De acuerdo con Guzmán (1984), el juego
resulta accesible a una manipulación comparada con la resolución sistemática de problemas
matemáticos, así el juego nos puede llevar a construir ideas matemáticas y nos permite el acceso
de todos los estudiantes a los ambientes de aprendizaje.
El juego como dispositivo didáctico de acuerdo con Vergel, Rocha y León (2006) citados por
Calderón y León (2016), se debe asumir como "la propuesta que busca estimular un tipo de
acción en los estudiantes para favorecer la movilización de sus procesos cognoscitivos y
comunicativos" p.151. En este sentido se reconocen elementos macroestructurales y
microestructurales en el dispositivos juego; macroestructurales relacionadas con la naturaleza del
juego y su vinculo pedagógico y curricular, y microestructurales, en relación con las
posibilidades de acción del juego y su papel en la interacción natural estudiante-saber-profesor.
De acuerdo a lo anterior, se tiene en cuenta que la naturaleza del juego va a permitir un
desarrollo intelectual, afectivo, socio-cultural y lingüistico-discursivo en los estudiantes, de
acuerdo con lo planteado por Calderón y León (2016), así el juego incluido en el currículo,
permite un desarrollo socio-afectivo y a la vez intelectual en los estudiantes.
Respecto a los aspectos microestructurales del juego, se describen las características
particulares de los juegos que se incorporan en este diseño: Circuito Cerrado, La Escalera y
Mancalahoria, para los cuales se consideran las posibilidades que tienen de acción y de estas
cuales les permiten asociarse al desarrollo de la THA.
Se plantean estos juegos desde una dimensión espistemológica, considerando que en su
naturaleza permiten establecer relaciones en el campo de las matemáticas, desde su dimensión
cognitiva, permiten dar una entrada al desarrollo de la aritmética inicial, en tanto a la dimensión
comunicativa, se pueden expresar los procesos, reglas y posibles estrategias en relación al
sentido numérico y estableciendo relaciones asociadas a la THA, bajo las posibilidades
lingúisticas del grupo, finalmente en la dimensión socio-cultural, los juegos son estructurados y
con reglas que favorecen diferentes formas de agrupación (grupal, individual y parejas), que a su
vez permiten diferentes apoyos entre todos los estudiantes.
49
Circuito Cerrado.
Es un juego que consta de un tablero cuadrado dividido en 16 casillas y 16 fichas en forma de
flecha con tres características: 7 fichas son de 3 puntos; 8 fichas son de 2 puntos y 1 ficha es de 1
punto.
El objetivo del juego, es encontrar un camino entre dos o más fichas, con condiciones
determinadas, a este camino se le llama circuito. Según González y Paloma (2014) citando a
Juliá (2013) este material puede ser utilizado como un dispositivo didáctico que permite el
desarrollo de procesos en matemáticas con el que se “refuerza la capacidad organizativa
(secuencia de cadenas cortas a largas de representación), la coherencia, la síntesis, la paciencia,
la concentración y otras" p. 58.
En su trabajo González y Paloma (2014) desarrollan las características estructurales del juego,
adaptaciones para diferentes poblaciones y realizan un ajuste de instrucciones por niveles, esta
serie de adaptaciones se retomarán y tendrán en cuenta para el desarrollo de este juego inmerso
en la THA articulada.
Ilustración 7. Circuito cerrado. León et.al (2014, p.135)
En la Ilustración 7, se observa un circuito cerrado desarrollado en un nivel experto del juego,
para el cual se emplean todas las fichas y se llena el tablero. Un circuito cerrado se puede realizar
utilizando como mínimo dos fichas y para estructurarse se debe tener en cuenta que el número de
puntos en la ficha indica a cuantas casillas se debe ubicar la siguiente ficha, y la dirección en la
50
que se ubique la ficha señala hacia donde se debe dirigir el jugador a colocar su siguiente ficha;
la última ficha del circuito debe señalar a la primera, para poder cerrarlo.
Otras condiciones del circuito son: Las fichas no presentan orientación en diagonal y no se
pueden ubicar dos fichas en el mismo recuadro ni al mismo tiempo, o en el mismo turno en caso
que se juegue en parejas.
Ilustración 8. Ejemplo de circuito cerrado con dos fichas. González y Paloma (2014, p.60)
En la Ilustración 8, se evidencia el circuito cerrado de dos fichas, desde el cual se puede
precisar que para indicar la ubicación de las fichas en el circuito se deben tener en cuenta tres
aspectos asociados a un código de comunicación descrito por González y Paloma (2014): 1.
Referencia: número de puntos que tiene cada ficha (1, 2 o 3). 2. La posición: ubicación en cada
una de las 16 casillas del tablero. 3. Orientación: indica la dirección que señala cada ficha, tiene
4 posibles direcciones: derecha (D), izquierda (I), arriba (A) o abajo (AB).
Ilustración 9. Posición de cada recuadro del tablero. González y Paloma (2014, p.60)
Teniendo en cuenta el código de comunicación descrito, un circuito se podría caracterizar de
acuerdo a lo que representa la Ilustración 9.
51
Ilustración 10. Descripción simbólica del circuito cerrado de 4 fichas. González y Paloma (2014, p.60)
De acuerdo a la Ilustración 10, se observa un nivel de dificultad en la representación de la ruta
en el circuito, motivo por el cual al pensar en atender a poblaciones diversas, González y Paloma
(2014), reestructuraron el código de posición y lo representaron como se muestra en la
Ilustración 11, siendo una representación análoga a las celdas en el programa de Office Excel.
Ilustración 11. Representación adaptada para la posición en el tablero. González y Paloma (2014, p.62)
En cuanto a las reglas del juego González y Paloma (2014) las estructuran por nivel
(principiantes, intermedio y expertos) y por tipo de juego (individual o grupal), para el desarrollo
de este trabajo, se tomará la modalidad de reglas de acuerdo al nivel de principiantes, en tipo de
juego individual y se agregan las instrucciones faltantes cuando los estudiantes vayan avanzando
en su nivel de experticia.
52
Tabla 1
Descripción de reglas por niveles del Circuito Cerrado
INDIVIDUAL
PRINCIPIANTE El juego inicia colocando una ficha en cualquier casilla del
tablero, orientada a la derecha o a la izquierda o hacía arriba o hacia
abajo.
El juego continúa avanzando en la orientación de la primera ficha
(Si está hacia la izquierda se avanza hacia la izquierda, si está hacia la
derecha se avanza hacia la derecha, si está hacia arriba se avanza
hacia arriba y si está hacia abajo se avanza hacia abajo), tantas
casillas como puntos tenga la ficha.
La nueva ficha colocada puede cambiar de orientación.
Se considera no válido un movimiento en el que al avanzar se
cambie la orientación que indica la anterior ficha.
El juego termina cuando la última ficha colocada permite llegar a
la primera ficha, tanto en orientación como en número de puntos.
INTERMEDIO De las 16 fichas seleccionar para el juego de seis a diez fichas.
EXPERTO
Las 16 fichas deben ser utilizadas.
Reglas planteadas por González y Paloma (2014).
El juego Circuito Cerrado cuenta en su desarrollo con elementos en la dimensión cognitiva
que se requieren resaltar, ya que son los que permiten articular este juego a la THA de la
aritmética inicial.
En primer lugar, la infraestructura del juego empleado permite accesibilidad, este diseño
mejorado del Circuito Cerrado, tiene una base metalica, fichas imantadas gruesas cuyos puntos
estan perforados en la ficha, permitiendo su percepción a traves del tacto al igual que las casillas
del juego presentan un relieve que permite distinguir un espacio de otro, considerando esta
adaptación que se muestra en la Ilustración 12 es accesible, ya que atiende a necesidades
particulares de población en situación de discapacidad visual.
53
Ilustración 12. Circuito Cerrado Accesible. Fuente propia (2019)
El primer elemento que incorpora al Circuito Cerrado en la THA, es la posibilidad de subitizar la
cantidad de puntos de las fichas, por lo que se considera articularlo desde el primer nivel de la
THA.
Al pasar a diseñar Circuitos Cerrados, es importante que se realicen con todas las cantidades de
piezas posibles, encontrando en el proceso regularidades que estan asociadas al sentido numérico
y que permiten transitar por varios niveles de la THA dependiendo las preguntas que se
formulen.
Para empezar, se caracteriza el tablero Circuito Cerrardo con una dimsensión de n cuadrados de
lado, siendo n=4, para este caso. De acuerdo, a esto la ficha de mayor cantidad de puntos que
puede tener este tablero es de n-1 puntos (fichas azules), es decir 3 puntos y a su vez tendría
fichas de n-2 y n-3 puntos (fichas verdes y roja respectivamente). Reconocer esta estrucutra
permite hacer preguntas a los estudiantes como: ¿podríamos tener una ficha con más puntos?
¿porqué la ficha con mayor cantidad de puntos tiene 3 puntos?
En el reconocimiento de cómo se forman los circuitos cerrados, se realizan en orden progresivo
circuitos de 2, 3 y 4 piezas , además se pueden diseñar varios circuitos diferentes por cantidad de
fichas, si se tiene en cuenta el codigo asignado a la tabla, ya que cada ubicación genera un
circuito distinto aunque se empleen las mismas fichas. De acuerdo a este hecho se puede
preguntar a los estudiantes: ¿cuántos posibles circuitos se pueden hacer con dos piezas? ¿cuáles?
¿cómo saber que no hay más?.
54
El desarrollo de los circuitos permite establecer que el punto de partida debe ser a su vez el punto
de llegada, de acuerdo a esto, se pueden caracterizar que existen momentos en los que se
manifiesta un avance y en otros un retroceso, en este sentido, si se realiza una estrategia aditiva,
la suma de avances y retrocesos es igual a 0, considerando al 0 un punto de partida, o un punto
donde se anula el movimiento desarrollado en el recorrido.
Ilustración 13. Circuitos Cerrados. 2, 3, 4, 5 y 6 fichas. Fuente propia (2019)
En la Ilustración 13, se muestra que si se toman las cantidades de puntos en las fichas como
sumandos, considerando avances si se dirigen hacia la derecha o hacia abajo y retrocesos si
dirigen hacia la izquierda o hacia arriba teniendo en cuenta el codigo de las celdas, todos los
circuitos cerrados deben sumar 0. De acuerdo a esta estructura, se puede preguntar a los
estudiantes: ¿cuál ficha sigue para concluir el circuito? ¿cómo se sabe cuando devolverse para
cerrar el circuito? ¿qué estrategia se debe emplear para siempre lograr hacer los circuitos
cerrados?
Finalmente, articulando con estrategias como las anteriores, se puede establecer que la forma
para que el circuito cerrado vuelva al punto de inicio, es establecer de acuerdo a la cantidad de
fichas que se empleen, que la suma de sus puntos sea par, ya que debe poder dividirse en dos
partes iguales para avance y retroceso. Así con los estudiantes se puede estudiar la cantidad de
55
espacios que se recorren en cada circuito cerrado, preguntando: ¿cuántos espacios se recorren en
los diferentes circuitos de dos fichas, tres fichas,…? ¿qué características similares tiene las
cantidades de espacios que se recorren en los diferentes circuitos cerrados?
De acuerdo a las anteriores exploraciones del juego, sin llegar a realizar procesos de
generalización con los estudiantes, se hace evidente que el desarrollo del Circuito Cerrado y su
estructura matemática, permite una entrada a la THA de la aritmética inicial articulada, teniendo
en cuenta a su vez la integración de talleres que aborden las posibles preguntas planteadas en la
exploración.
La Escalera.
El juego “La escalera” es también conocido como el “salto de la rana”, se juega en solitario,
esta compuesto por un tablero de 11 casillas o por 11 escalones, junto con 10 fichas, de tal
manera que siempre queda un escalón sin ficha. Por otro lado, las fichas están divididas en dos
grupos de igual cantidad, que se distinguen entre sí por características como el color. Al inicio
del juego cada tipo de fichas se acomoda a cada lado de la escalera, dejando libre el escalón
central de la escalera.
El juego del salto de la rana en la versión original, se desarrollaba en una hoja de papel
usando fichas de dos colores para ser diferenciadas, sin embargo de acuerdo con Cárdenas
(2018), este juego fue adaptado a una versión tridimensional, permitiendo mejor interacción con
cada una de las casillas del juego, pero dicha modificación no era suficiente para que el juego
pudiera ser accesible, por lo que se desarrolló un prototipo que constaba de una escalera
tridimensional con propiedades de sonido, vibración y color que permitiera a todas las
poblaciones reconocer el movimiento a través de cada uno de los escalones, adicional a eso las
fichas no solo se diferenciaron por color, sino también por texturas que se distinguieran a través
del tacto.
56
Ilustración 14. Juego de la escalera accesible. Tomado de Cárdenas (2018)
El objetivo del juego es intercambiar las fichas del lado izquierdo al lado derecho y viceversa,
de tal forma que se cumpla una serie de reglas y que solo se hagan los movimientos necesarios y
suficientes para el intercambio de las fichas, este tipo de restricciones permite establecer patrones
que conducen al desarrollo de una estructura matemática.
Para Corbalán (1996) el juego es caracterizado por diferentes nombres como “Sol y Sombra”,
“Las ranas”, “Sol y Luna”, “Blanco y Negro”, este juego describe una serie de fases y reglas, que
permiten ponerlo en práctica. En primer lugar, plantea iniciar desde un caso sencillo empleando
una o dos fichas de cada color y luego hacer un estudio sistemático de todos los casos posibles y
la utilización de la simetría en su desarrollo. Por otro lado, se considera una estrategia
favorecedora encontrar una notación adecuada para describir las partidas, este trabajo puede que
no se le ocurra a los estudiantes sin instrucción, por lo que se requiere una preparación previa del
estudiante.
Ilustración 15. Descripción de las reglas de "la escalera" versión "Sol y Sombra" Tomada de Corbalán (1996)
57
Al ser analizado el desarrollo del juego e identificar el número mínimo de movimientos en
cada partida, se encuentran regularidades entre cantidad de movimientos asociadas a la cantidad
de fichas que se emplean para el juego, como se muestra en la tabla de la Ilustración 16.
Ilustración 16. Número de movimientos asociado al número de fichas por color. Tomado de Cárdenas (2018)
Cárdenas (2018) describe que el patrón que sigue la fila del número de movimientos es de los
números cuadrados menos 1, entonces la cantidad de movimientos necesarios para tener éxito en
el juego de la escalera con 𝑛 fichas es: (𝒏 + 𝟏)2 − 𝟏 = 𝒏2
+ 𝟐𝒏, en donde 𝑛 es la cantidad de
fichas de una misma clase en la escalera; por ejemplo, para 3 fichas en cada lado, se realizan 15
movimientos en total:
(3 + 1)2 − 1 = (32
+ 2(3) + 12) − 1
(3 + 1)2 − 1 = (9 + 6 + 1) − 1
(3 + 1)2 − 1 = 16 − 1
(3 + 1)2 − 1 = 15
Se puede retomar de Cárdenas (2018), que en el desarrollo del juego “la escalera” encontró
que los aprendices exploraron el juego y buscaron estrategias para salir victoriosos, en estas
exploraciones los niños se acercaron a aprendizajes de tipo aritmético a través del juego en
mención, así en el desarrollo de los razonamientos asociados al juego se involucran de forma
implicita algunos niveles de evolución de la THA de la aritmética inicial.
En Cárdenas (2018) se describe que los aprendices pasaron por niveles de estas THA
reconociendo el número de fichas presentes en el juego y estableciendo el número de escalones
que requerían para jugar con ellas. Durante los momentos del juego se les pregunto a los niños
por el número de movimientos realizados, así los niños realizaron procesos de conteo de
movimientos, usando estrategias como: conteo de todos los movimientos, conteo separando las
fichas por sus características de ubicación, textura o color. Al finalizar el juego los niños
58
lograron determinar el número de movimientos que realizaron durante el juego y si éste es el
menor número posible, poniendo en consideración reflexivamente las reglas del juego para
garantizar su razonamiento.
De acuerdo con Clements y Sarama (2015), el conteo es un proceso indispensable para
establecer el cardinal de un conjunto, así Cárdenas (2018) en relación al juego “la escalera” la
cardinalidad se manifiesta en “el número de movimientos realizados durante el desarrollo del
juego, así durante los primeros diez niveles el aprendiz asocia los nombres de números con la
cantidad de fichas o el número de movimientos, repitiendo la experiencia en varias ocasiones con
la ayuda del juego de la escalera, durante esta asociación los aprendices mueven las fichas para
indicar el cardinal del conjunto, si realizan un movimiento erróneo logran devolver el
movimiento reconociendo el número antecesor, y finalmente el cardinal final del conjunto una
vez finalizado el juego” p.41.
Rodríguez (2018) desarrolla una THA de patrones aritméticos, empleando el juego la escalera
como dispositivo didáctico, llevando el ambiente de aprendizaje accesible a población sorda, en
el desarrollo de su trabajo evidenció que los primeros patrones asociados al juego, son patrones
corporales, que expresan regularidad en movimientos y también en aspectos emocionales, que se
materializan en el uso simultaneo de la lengua de señas.
Es importante reconocer que la dimensión cognitiva del juego La Escalera, es muy amplia, ya
que tambien ha permitido el diseño de una THA sobre el juego, caracterizando niveles de
principiante a experto, articulando este proceso a un trabajo matemático con funciones, propuesta
que se desarrolla en la investigación de Palomá (2018), quien además realiza la incorporación de
tecnologías que van desde un estado de tecnología primaria, hasta el desarrollo del juego en una
tecnología avanzada; estas adaptaciones tecnológicas generan para el juego cada vez mayor
accesibilidad a las poblaciones diversas, pero también facilita el análisis de emociones y del
lenguaje corporal de los jugadores, con formas de medición cada vez más sofisticadas.
Mancalahoria.
El juego corresponde a una idea de Máncala que aparece inicialmente en la descripción de un
juego de solitario Parking propuesto por Corbalán (1996), este dispositivo permitía establecer
59
estrategias de conteo y aditivas, sin embargo no reflejaba un desarrollo de niveles y no se podía
jugar por grupos o parejas, por lo que se atendió a buscar la fuente original.
La Mancalá, un juego africano, que se caracteriza por desarrollarse en un contexto de siembra
e ir regando las semillas bajo unas condiciones dadas y así poder recoger la cosecha.
Ilustración 17. Máncala Original. (Amazon.com)
Los juegos de Máncala disponibles en el mercado son como el que se muestra en la
Ilustración 17, por lo que un análisis preliminar permitió identificar que el juego no es accesible
por ejemplo para población ciega, ya que si bien se puede contar la cantidad de semillas sin
disponer del sentido de la vista, en cada turno cada jugador debiese realizar el proceso de contar
todos los sembrados, para poder establecer la jugada a seguir y eso generaría una brecha entre las
dinámicas del juego y el jugador; bajo esta perspectiva surge la necesidad de realizar una
adaptación preliminar que permita accesibilidad, en este caso sin la incorporación de la
tecnología.
Ilustración 18. Juego MANCALAHORIA Fuente propia. (Martínez, 2019)
60
Para la realización de la adaptación representada en la Ilustración 18, se tiene en cuenta en
primer lugar que los niños ciegos no pueden usar estrategias viso-espaciales para contar objetos,
pero usan su sistema motor-táctil para llevar la cuenta de los objetos ya contados Sicilian (1988)
citado por Clements y Sarama (2015, p. 355). De esta forma se generó una estructura en la que
no se perdiera el contexto de sembrar, de regar y de recoger la cosecha, por otro lado, se ideó la
forma de contar a través del tacto fácilmente, por lo que se generó la estructura de tal forma que
las fichas se pudiesen enterrar y en ese contexto surge el contexto de las zanahorias. Finalmente
se tiene en cuenta que se pueda contar a través del tacto y cada sembrado se diseña con una
estructura de 10 hoyos en dos columnas de 5 hoyos, los cual corresponde a un arreglo figural
subitizable conceptualmente.
De acuerdo con la idea de adaptación se reconoce en el mismo proceso de conteo de piezas
por sembrado estrategias de tipo aditivo asociadas, como establecer la cantidad de zanahorias por
sembrado, contando lo que hay, o lo que falta en cada sembrado, por otro lado, la incorporación
de la subitización conceptual de la cantidad 10 desde agrupaciones de cinco.
Este juego es para parejas, cada uno cuenta con un cultivo dividido en seis sembrados de a 10
hoyos cada uno y una cosecha que cuenta con 24 hoyos. El objetivo del juego es completar la
cosecha antes que el compañero.
Las reglas son: 1. Para iniciar se ubican cuatro zanahorias en cada sembrado. 2. Inicia el
jugador de menor edad. 3. En cada turno un jugador debe tomar todas las zanahorias de un
sembrado y distribuirlas de una en una en sentido antihorario; si pasa por la cosecha del otro
jugador no se deja zanahoria allí y continua en el siguiente sembrado. 4. Si la última zanahoria la
ubica en la cosecha que le corresponde puede repetir turno. 5. Si la última zanahoria la ubica en
un sembrado propio que esta vacio y en el sembrado del frente su compañero tiene zanahorias,
toma la zanahoria colocada y toma las zanahorias que el compañero tiene en el sembrado del
frente, para llevarlas todas a su cosecha. 6. El primer granjero en completar la cosecha, gana.
Rodríguez (2004), describe la Máncala como un juego matemático, estratégico y de conteo,
ya que en cada jugada se debe estar pendiente de las cantidades de semillas que tiene el
contrincante y las propias que son susceptibles de ser capturadas, de esta manera no sólo se
piensa en capturar, sino también en proteger el cultivo propio.
61
Las reglas de Mancalahoria tienen unas adaptaciones que buscan facilitar la comprensión de
los niños y así mejorar su accesibilidad, como proceso de fundamentación del juego se realizaron
jugó con niños de una edad promedio a la población y de este proceso surgen posibles preguntas
a trabajar a modo de taller con este juego. Por ejemplo: ¿cuál es la mejor jugada inicial? ¿qué
estrategias permiten ganar? ¿cuántas zanahorias se necesitan para recoger las zanahorias de un
sembrado específico del oponente?, entre otras.
Se hace evidente en el desarrollo del juego, las relaciones de correspondencia uno a uno, el
conteo, la subitización de las zanahorias en los sembrados, además de las diversas estrategias
aditivas, para determinar cuánto le falta, procesos de comparación continúos asociados a los
sembrados y a las cosechas, en general se considera que este juego puede movilizar varios
niveles de la trayectoria.
Ilustración 19. Captura de sembrado del compañero.
En la Ilustración 19, se recrea no solo el proceso de captura de las zanahorias del oponente,
sino también un componente de emotividad asociado a la idea de completar la cosecha.
62
Ilustración 20. Máncalahoria Correspondencia uno a uno
Un ejemplo de correspondencia uno a uno se plantea en la Ilustración 20, en la cual el niño
observa el sembrado que quiere recoger y señala una zanahoria para cada lugar a donde la va a
llevar y cuando comprueba que su idea funciona coge todas las fichas para realizar su jugada
exitosa, presentada en la Ilustración 20.
63
ASPECTOS METODOLÓGICOS
Para el desarrollo de este trabajo de grado el referente metodológico se enmarca en una
Investigación Basada en Diseños (en adelante IBD), ya que permite explorar desde hipótesis
teóricas y el desarrollo de experimentos de enseñanza, formas de mejorar aspectos asociados al
aprendizaje de diferentes poblaciones.
Para describir la metodología, cabe resaltar que se desarrolla con base en un experimento de
enseñanza que según Molina et al. (2011) citando a Steffe y Thompson (2000), consiste en una
secuencia de episodios de enseñanza en los que los participantes son normalmente un investi-
gador-docente, uno o más alumnos y uno o más investigadores-observadores; por otro lado la
característica principal de estos experimentos de enseñanza es que se rompe con la
diferenciación entre docente e investigador, ya que el investigador quiere reconocer directamente
en los alumnos su razonamiento y aprendizajes.
Los experimentos de enseñanza se hacen para testar y generar hipótesis, durante el
experimento, en general, o durante cada uno de los episodios, siendo en ocasiones necesario
abandonar o reformular hipótesis a la luz de los datos. El objetivo último es elaborar un modelo
del aprendizaje y/o desarrollo de los alumnos, en relación con un contenido específico,
entendiendo este aprendizaje como resultado de la manera de operar y las situaciones puestas en
juego por el investigador-docente. Molina et al. (2011, p. 79).
Con el diseño del experimento de enseñanza, se desarrolla una IBD que según Rinaudo y
Donolo (2010), busca estudiar problemas de aprendizaje en sus contextos naturales, para
producir modificaciones que lleven a mejores aprendizajes, de esta manera el investigador busca
incidir en la solución a los problemas de aprendizaje identificados. De acuerdo con Confrey
(2006) citado por Rinaudo y Donolo (2010), estos son problemas que se ubican en una red de
interrelaciones socioculturales, en las que se reconoce que en las practicas escolares se entrelazan
factores globales como la pobreza, las políticas educativas, concepciones predominantes sobre
educación y otros como la calidad de textos, los contenidos y los modos de evaluación
particulares de una asignatura.
64
Por otro lado, se entiende que no se puede asumir que se controlan todas las variables en el
diseño de una práctica educativa, sin embargo según Rinaudo y Donolo (2010) citando a Collins,
Joseph y Bielaczyc (2004), los investigadores de diseño consideran importante poder identificar
todas las variables o situaciones que afectan los resultados de interés. Así el investigador debe
anticipar la comprensión del modo en que diversos elementos interactúan en la clase que podrían
afectar el curso de los aprendizajes Walker (2006) citado por Rinaudo y Donolo (2010).
FASES METODOLÓGICAS EN LA IBD
Las fases que se plantean se caracterizan de acuerdo a lo explicitado por Rinaudo y Donolo
(2010), de las cuales se define para cada una el papel que juega en la IBD.
Primera fase: Preparación del diseño.
En esta fase se formulan los criterios para tomar las decisiones de diseño, para este trabajo se
fundamentan las THA de la aritmética inicial propuestas por Clements y Sarama (2015), se
establecen relaciones con actividades que se basan en Dispositivos Didácticos como El juego, El
taller y El proyecto de aula propuestos por Calderón y León (2016). Por otro lado, se reconocen
aspectos teóricos que permiten formular hipótesis asociadas a las condiciones de la población en
situación de DI, todos estos aspectos asociados, posibilitan una anticipación a la posible
evolución en el aprendizaje de los estudiantes al llevar a cabo las actividades instructivas. En esta
fase, se definen puntos de partida, metas de aprendizaje, intenciones teóricas del experimento y
desarrollar el diseño instructivo el cual debería llevar al logro de las metas fijadas Gravemeijer y
Cobb (2006) citados por Rinaudo y Donolo (2010).
En esta primera fase se definen entonces: Metas de aprendizaje, Puntos de partida,
Elaboración del diseño instructivo, Definir las intenciones teóricas del estudio; de este último
aspecto se considera que la IBD plantea que se puede convalidar teoría existente y generar nueva
teoría.
Gravemeijer y Cobb (2006) delimitan tres modos posibles en los que se pueden concretar los
aportes teóricos de los estudios de esta naturaleza: 1. Ubicar a los resultados esperados del diseño
como casos de fenómenos más generales que pueden ser considerados en otras investigaciones u
otras situaciones de enseñanza. 2.Ubicar sucesos de las clases dentro de temas o líneas de estudio
más generales que no hayan sido consideradas aún como aspectos centrales en el diseño
65
implementado. 3. Observar y delimitar nuevas categorías científicas que puedan ser útiles para
generar o refinar nuevas alternativas de diseño (innovaciones ontológicas). Rinaudo y Donolo
(2010, p. 15).
Segunda fase: Implementación del experimento de diseño.
En esta fase es claro que se busca llevar a cabo la implementación de la Trayectoria
Hipotética de Enseñanza (en adelante THE) que se ha diseñado, con el propósito de no solo
demostrar su funcionamiento, sino también probar los planteamientos teóricos definidos en la
primera fase, lo que Gravemeijer y Cobb (2006) citados por Rinaudo y Donolo (2010)
consideran un proceso que se da en Microciclos de diseño que conllevan Microciclos de análisis
visibles en el proceso de la implementación de las actividades instructivas y una vez que la clase
ha concluido, el cual tiene como finalidad ir generando ajustes al diseño inicial.
Tercera fase: el análisis retrospectivo.
En esta etapa de acuerdo con Rinaudo y Donolo (2010), se realiza el análisis de todos los
datos obtenidos en las fases anteriores, este proceso implica un trabajo en ciclos iterativos, en los
cuales se revisa episodio a episodio, y se establecen hipotesis en relación con el episodio
siguiente, se plantean conjeturas a partir de interpretaciones que permiten constituir un segundo
ciclo de análisis, así se obtiene un mayor respaldo a los datos y a las hipótesis asociadas. Por otro
lado, se realiza una reconstrucción de la teoría instructiva elaborada durante la preparación del
diseño, esto permite ver a la luz de la Trayectoria Real de Aprendizaje (en adelante TRA), como
se fortalece la teoría con los ajustes y los criterios asociados a la propuesta inicial, lo cual puede
aportar en la preparación de un nuevo proceso, una nueva propuesta de experimento de
enseñanza.
Finalmente, se hace un examen sobre las intenciones teóricas más amplias de la IBD, en este
caso, revisar que aportes se pueden hacer tanto a la teoría respecto a la población en situación de
DI, como a la comunidad educativa frente a la reorganización curricular, que busque atender a la
diversidad.
En resumen, se presenta el esquema de la IBD que evidencia el desarrollo de las diferentes
fases y sus relaciones generales entre episodios, teoría y formas iterativas de análisis.
66
Ilustración 21. Estructura general de una Investigación de Diseño. Molina et al. (2011, p. 76)
Adaptado al trabajo en desarrollo se plantea el siguiente esquema, que vincula el problema de
investigación, los objetivos del trabajo, las categorias de análisis y los alcances que se quieren
tener respecto al proceso de implementación.
Ilustración 22. Estructura general de la IBD adaptación. Fuente propia (2019).
FUENTES DE INFORMACIÓN
Fundamentación Teórica, en esta se toman los aportes de cada una de las categorías del
trabajo: THA propuestas por Clements y Sarama (2015), Caracterización de procesos y
67
subprocesos de cada THA, El Juego como dispositivo didáctico, Caracterización de Juegos,
Ambientes de Aprendizaje Accesibles, Caracterización de población en situación de DI.
Población: Estudiantes en situación de Discapacidad Intelectual, niños escolarizados en aula
regular, de un Colegio Público de la ciudad de Bogotá, en un curso del 5º de educación básica
primaria, que hacen parte del ambiente en la implementación del experimento de enseñanza.
Instrumentos De Análisis A Priori
En la fase de preparación del diseño, teniendo en cuenta las THA de la aritmética inicial
(Subitización, Conteo, Comparación, Orden y Estimación, y Operaciones Aditivas con estrategia
de conteo) se realizó una caracterización de grandes procesos y subprocesos que se constituyeron
en las metas de aprendizaje que se buscan alcanzar de forma articulada. Así teniendo en cuenta el
proceso de caracterización surge el primer instrumento de recogida de datos a priori que presenta
relaciones entre subprocesos de trayectorias asociadas en parejas, como se muestra en la Tabla 2,
que a la vez esta resumida en la Ilustración 23.
68
Ilustración 23. Resumen tabla relaciones entre THA de la Aritmética Inicial.
69
Tabla 2
Relaciones entre procesos asociados a las THA de la Aritmética Inicial
TRAYECTORIAS SUBITIZACIÓN CONTEO COMPARACIÓN, ORDEN Y
ESTIMACIÓN
OPERACIONES ADITIVAS
SUBITIZACIÓN S1: Sensibilización al
número.
S2: Nominación.
S3: Construcción de
colecciones.
S4: Subitización
perceptual.
S5: Subitización
conceptual
S4: Subitización perceptual/ C5:
Conteo a saltos, conteo usando
patrones.
S2: Nominación/C1: Conteo
verbal
S5: Subitización conceptual/C6:
Conteo mental.
S5: Subitización conceptual/C7:
Contar unidades cuantitativas, valor
posicional.
S4: Subitización
perceptual/COE3: Comparación
perceptual.
S4: Subitización
perceptual/COE5: Estimar por
extensión espacial.
S4: Subitización perceptual
/COE1: Correspondencia muchos a
uno.
S2: Nominación / COE4: conteo
ordinal.
S5: Subitización conceptual/ OA1: Combinar
respecto a la percepción.
S4: Subitización perceptual/ OA2: Comparar.
S5: Subitización conceptual/ OA3: Emparejar.
S5: Subitización conceptual/ OA5: Resuelve
problemas de sustracción mediante separación de
objetos.
S5: Subitización conceptual/ OA9: +/- Parte
todo.
S5: Subitización conceptual/ OA10: +/-
Números en números
S5: Subitización conceptual/ OA11: +/-
Derivación usando combinaciones de operaciones.
S5: Subitización conceptual/ OA12: +/-
Solucionar de problemas.
CONTEO C1: Conteo verbal.
(Verbalización)
C2: Conteo de objetos.
C3: Correspondencia.
C4: Conteo asociado a orden,
iniciando desde un número
diferente a uno.
C5: Conteo a saltos, conteo
C2, C6: Conteo de objetos y
conteo mental/ COE2:
Correspondencia uno a uno.
C2, C6: Conteo verbal y Conteo
mental/ COE4: Conteo ordinal.
C5: Conteo a saltos, conteo
usando patrones y Conteo mental /
COE1: Correspondencia muchos a
uno.
C2: Conteo de objetos/ OA4: Modelar con
conteo.
C2: Conteo de objetos/ OA5: Resuelve
problemas de sustracción mediante separación de
objetos.
C5: Conteo a saltos, conteo usando patrones/
OA6: Conviértalo en N: Sumar desde un punto
diferente a uno.
C5: Conteo a saltos, conteo usando
70
usando patrones.
C6: Conteo mental.
C7: Contar unidades
cuantitativas, valor posicional.
C7: Contar unidades cuantitativas,
valor posicional/ COE1:
Correspondencia muchos a uno.
patrones/OA7: Establecer el cambio: Agregar
hasta y contar todos los grupos. Separar de y
contar todos los grupos. Emparejar y contar el
resto.
C5: Conteo a saltos, conteo usando patrones/
OA8: Conteo con estrategias: Conteo sucesivo y
conteo hasta.
C4: Conteo asociado a orden, iniciando desde
un número diferente a uno/ OA6: Conviértalo en
N: Sumar desde un punto diferente a uno.
COMPARACIÓN,
ORDEN Y ESTIMACIÓN
COE1: Correspondencia muchos
a uno.
COE2: Correspondencia uno a
uno.
COE3: Comparación perceptual.
COE4: Conteo ordinal.
COE5: Estimar por extensión
espacial.
COE6: Ordenar.
COE7: Comparar por valor
posicional
COE8: Estimar por puntos de
referencia.
COE9: Estimar por composición.
COE2: Correspondencia muchos a uno/ OA2:
Comparar
COE2: Correspondencia uno a uno/
OA3:Emparejar
COE2: Correspondencia uno a uno/ OA7:
Establecer el cambio: Agregar hasta y contar
todos los grupos. Separar de y contar todos los
grupos. Emparejar y contar el resto.
COE3: Comparación perceptual/ OA9: +/-
Parte todo.
COE3: Comparación perceptual/ OA10: +/-
Números en números
OPERACIONES
ADITIVAS
OA1: Combinar respecto a la percepción
OA2: Comparar
OA3: Emparejar
71
OA4: Modelar con conteo.
OA5: Resuelve problemas de sustracción
mediante separación de objetos.
OA6: Conviértalo en N: Sumar desde un punto
diferente a uno.
OA7: Establecer el cambio: Agregar hasta y
contar todos los grupos. Separar de y contar todos
los grupos. Emparejar y contar el resto.
OA8: Conteo con estrategias: Conteo sucesivo
y conteo hasta.
OA9: +/- Parte todo.
OA10: +/- Números en números
OA11: +/- Derivación usando combinaciones
de operaciones.
OA12: +/- Solucionar problemas.
Relaciones establecidas de acuerdo a la descripción de subprocesos. Fuente propia (2018)
72
THA (S-C-COE-OA) Producto De La Articulación
A partir de la fundamentación de los subprocesos de cada THA, se establecen relaciones
naturales que permiten vincular varias trayectorias, a partir de estas relaciones se genera
una ruta en la que se incorporan uno a uno todos los subprocesos y se plantean 18 niveles
para la THA de la Aritmética Inicial.
Tabla 3.
Articulación de THA de la Aritmética Inicial
NIVEL SUBITIZACIÓN CONTEO COMPARACIÓN,
ORDEN Y
ESTIMACIÓN
OPERACIONES
ADITIVAS
1 S1
2 S2 C1 COE1
3 S3 C1
4 C2 OA1
5 C3 COE2
6 COE3 OA2
7 S4 COE4 OA 3
8 S5 C4
9 C5 COE5 OA4
10 S5 C6 OA5
11 C7 COE6
12 C5 OA6
13 C7 COE7 OA7
14 C7 COE7 OA8
15 S5 OA9
16 S5 COE8 OA10
17 S5 COE9 OA11
73
18 S5 C7 COE9 OA12
THA de la Aritmética Inicial Articulada. Fuente Propia.
Instrumento de Análisis
En el siguiente instrumento entra en relación la propuesta de actividades en las que
empiezan a interactuar la incorporación de los diferentes dispositivos didácticos: Taller,
Proyecto de Aula y Juego, asociados al establecimiento de unos indicadores de proceso
nivel a nivel, siendo este instrumento el insumo para el análisis a posteriori episodio a
episodio, que para este trabajo se realizará tras la implementación de las actividades de
cada nivel. Por otro lado este instrumento que se describe en la Tabla 4, se constituye en el
primer gran resultado de este trabajo, ya que es el resultado de la integración de las
hipótesis fundamentadas.
Descripción Trayectoria Hipotética De Enseñanza (S-C-COE-OA)
Tabla 4
Descripción Trayectoria Hipotética de Enseñanza (S-C-COE-OA)
NIVEL I. S1: Sensibilización al número
INDICADORES:
S11: Diferencia cantidades perceptualmente.
S12: Reconoce en dos colecciones donde hay más y donde hay menos.
S13: Reconoce el aumento de una cantidad respeto a otra.
ACTIVIDADES S11 S12 S13
Taller. Imágenes Instantáneas 1. x x x
Taller. Figura fondo – Circuito cerrado. x x x
Proyecto de Aula. “Fiesta Matemática 1” x x x
NIVEL II.
S2: Nominación. C1: Conteo Verbal. COE1: Correspondencia muchos a uno
74
INDICADORES:
S2: Expresa cantidades con palabras, sin hacer conteo, para uno, dos o tres elementos.
C11: Expresa algunos nombres de números para determinar cantidad, sin secuencia
alguna.
COE11: Aprecia la diferencia entre cantidades sin la realización como tal del conteo.
COE12: Compara cuantitativamente (utilizando el lenguaje como “más que” y “menos
que”) y ordena conjuntos de uno a cinco elementos, de acuerdo al número de objetos que
contienen”.
ACTIVIDADES S2 C11 COE11 COE12
Taller. Imágenes Instantáneas 2. Concéntrese. x x x x
Taller. Secuencias – Imágenes Instantáneas. x x x x
Juego Circuito Cerrado “Reglas y juego
inicial”
x x x x
“Fiesta Matemática 2” Plenaria x x x x
NIVEL III.
S3: Construcción de colecciones. C1: Conteo Verbal.
INDICADORES:
S3: Construye una colección con la misma cantidad de elementos respecto a una
colección presentada.
C12: Cuenta verbalmente con nombres de números en forma separada, no
necesariamente en el orden correcto después de 5.
ACTIVIDADES S3 C12
Imágenes Instantáneas 3. x x
“Fiesta Matemática 3” Materiales x x
Circuito Cerrado “Copiar configuraciones” x x
Taller ¿Es circuito cerrado? x x
NIVEL IV.
C2: Conteo de objetos. OA1: Combinar respecto a la percepción.
75
INDICADORES:
C21: Realiza la correspondencia entre cada objeto a contar y la palabra número,
respondiendo la pregunta “cuántos”, en colecciones de 5 a 10 elementos.
C22: Establece las cantidades que van antes o después, si realiza el conteo iniciando
desde uno.
OA11: Percibe la suma y la resta (hasta 10 elementos) de forma perceptual, no realiza
ninguna operación formalmente.
OA12: Reconoce combinaciones en acciones de adición de objetos (hasta 10 elementos).
ACTIVIDADES C21 C22 OA1
La suerte. ¿Cuántos puntos? Dados. x x x
Circuito cerrado. De más de cinco fichas. x x x
“Fiesta matemática 4” Construyendo juguetes. x x x
Taller Circuito Cerrado. ¿Cuántos circuitos de
2 piezas?
x x x
NIVEL V. C3: Correspondencia COE2: Correspondencia uno a uno. Comparador
por emparejamiento.
INDICADORES:
C3: Establece la relación entre los elementos de una colección contadora y una
colección a contar (tener en cuenta la coordinación, entre la palabra y la mano o la vista, o
el uso de técnicas auxiliares como el hecho de marcar cada punto contado).
COE2: Establece relaciones uno a uno entre elementos de dos conjuntos (de uno a diez
elementos) para comparar u ordenar respecto al cardinal de cada conjunto.
ACTIVIDADES C3 COE2
Parejas que completan 10. Domino. x x
Circuito Cerrado. Buscar estrategias. x x
Taller Circuito Cerrado. Describe el circuito. x x
“Fiesta matemática 5” Organización logística. x x
NIVEL VI. COE3: Comparación perceptual. OA2: Comparar.
76
INDICADORES:
COE3: Compara colecciones considerablemente diferentes en tamaño.
OA2: Establece que una cantidad es mayor o menor que otra cantidad, en relación a una
cantidad por la cual difieren.
ACTIVIDADES COE3 OA2
Imágenes Instantáneas. ¿Quién es mayor? x x
Cartas subitizables estructuradas. Gana el
mayor.
x x
Taller Circuito Cerrado. Estrategias Conjuntas
Espacio Recorrido ida y vuelta.
x x
Fiesta Matemática 6 “Formando delegaciones” x x
NIVEL VII. S4: Subitización perceptual. COE4: Estimar por extensión espacial.
OA3: Emparejar.
INDICADORES:
S4: Reconoce la numerosidad de una colección sin utilizar procedimientos matemáticos.
COE4: Realiza estimaciones de acuerdo al espacio que ocupa una colección de
elementos, asociada al espacio que ocupa otra colección de menor tamaño (toma como
referencia el espacio que ocupa una colección subitizable).
OA3: Aplica la estrategia de emparejamiento haciendo relaciones de correspondencia de
elementos entre dos conjuntos, para solucionar situaciones aditivas.
ACTIVIDADES S4 COE4 OA3
Imágenes Instantáneas. Colecciones
Estructuradas.
x x x
La Escalera. x x x
Taller Circuito Cerrado ¿Cuál circuito recorre
más espacio? ¿Cuántos espacios recorre?
x x x
Fiesta Matemática 7 “Presentación material por
delegaciones”
x x x
NIVEL VIII. S5: Subitización conceptual. C4: Conteo a saltos, conteo usando
77
patrones.
INDICADORES:
S5: Agrupa cantidades subitizables perceptualmente, para dar cuenta del cardinal de una
colección (puede subitizar también en secuencias o matrices).
C4: Contar haciendo agrupaciones de igual cantidad de elementos (los saltos más
comunes son de 5 en 5, de 2 en 2 y de 10 en 10).
ACTIVIDADES S5 C4
Imágenes Instantáneas. Colecciones
Estructuradas.
x x
La Escalera. x x
Taller La Escalera ¿En cuántos pasos y saltos? x x
Fiesta Matemática 8 “Organizando equipos
diversificados”
x x
NIVEL IX. C5: Conteo asociado al orden iniciando desde un número diferente de
uno. COE5: Conteo ordinal. OA4: Modelar con conteo.
INDICADORES:
C5: Cuenta hacia adelante o hacia atrás, desde un cardinal dado.
COE5: Establece relaciones de orden y cuenta elementos empleando las palabras
numéricas que indican orden (primero, segundo, tercero,…).
OA4: Da respuesta a situaciones haciendo uso de conteo (conteo ascendente para
completar una cantidad, conteo descendente, conteo total).
ACTIVIDADES C5 COE5 OA4
Cálculo mental. x x x
La Escalera. 1, 2, 3 y 4 fichas. x x x
Taller La Escalera ¿Cómo cambia la cantidad
de pasos y saltos?
x x x
Fiesta Matemática 9 “Diseño protocolo de la
fiesta”
x x x
NIVEL X. S5: Subitización conceptual. C6: Conteo mental.
78
OA5: Resuelve problemas de sustracción mediante separación de objetos.
INDICADORES:
S5: Agrupa cantidades subitizables perceptualmente, para dar cuenta del cardinal de una
colección (puede subitizar también en secuencias o matrices).
C6: Establece el cardinal de un conjunto sin realizar conteo uno a uno.
OA5: Resuelve situaciones de sustracción, contando la cantidad mayor de objetos,
separa la cantidad que se indica para que le quede la cantidad que debe encontrar (en este
subproceso el niño cuenta todos los grupos que realiza).
ACTIVIDADES S5 C6 OA5
Imágenes instantáneas. Configuraciones
estructuradas.
x x x
Taller La Escalera. Registro. ¿Cómo hacer
menos movimientos?
x x x
Mancalahoria. Introducción y reglas. x x x
Fiesta Matemática 10. “Fiesta Jardines” x x x
NIVEL XI. C7: Contar unidades cuantitativas, valor posicional. COE6: Ordenar.
INDICADORES:
C7: Cuenta por unidades cuantitativas (unidades y decenas), ordena las colecciones
teniendo como punto de referencia si el cardinal es mayor o menor a una decena.
COE6: Compara cardinales para establecer diferencias de cantidad entre dos conjuntos
y ordenarlos.
ACTIVIDADES C7 COE6
Colecciones a contar. Imágenes Estructuradas. x x
Taller la Escalera. Regularidades. x x
Mancalahoria. Juego con estrategia. x x
Fiesta Matemática 11. “Fiesta Jardines -
Reflexión”
x x
NIVEL XII. C5: Conteo asociado al orden iniciando desde un número diferente de
79
uno. OA6: Conviértalo en N: Sumar desde un punto diferente a uno.
INDICADORES:
C5: Cuenta hacia adelante o hacia atrás, desde un cardinal dado hasta otro cardinal
también dado.
OA6: Suma objetos para convertir un número en otro y no necesariamente se inicia
desde uno.
ACTIVIDADES C5 OA6
Lotería Aditiva. ¿Qué falta? x x
Representación de situaciones x x
Taller Mancalahoria. ¿Tips para ganar? x x
Fiesta Matemática 12. “Fiesta Transición” x x
NIVEL XIII. C7: Contar unidades cuantitativas, valor posicional.
COE7: Comparar por valor posicional OA7: Establecer el cambio.
INDICADORES:
C7: Cuenta por unidades cuantitativas (unidades y decenas), acercándose a comprender
el funcionamiento del sistema de numeración en base 10 y el concepto de valor posicional.
COE7: Compara cantidades teniendo en cuenta la cantidad que representa cada cifra en
cada número, iniciando por las cifras de orden superior.
OA7: Establece el sumando faltante, a través de acciones como “agregar hasta y contar
todos los grupos”, “separar de y contar todos los grupos” o “emparejar y contar el resto”.
ACTIVIDADES C7 COE7 OA7
Lotería Sistema de Numeración. x x x
Cuentas Dinero. (Adaptación) x x x
Taller Mancalahoria. Situaciones Estratégicas
1.
x x x
Fiesta Matemática 13. “Fiesta Transición -
Reflexión”
x x x
NIVEL XIV. C7: Contar unidades cuantitativas, valor posicional. COE7:
80
Comparar por valor posicional. OA8: Conteo con estrategias.
INDICADORES:
C7: Cuenta por unidades cuantitativas (unidades y decenas), acercándose a comprender
el funcionamiento del sistema de numeración en base 10 y el concepto de valor posicional.
COE7: Compara cantidades teniendo en cuenta la cantidad que representa cada cifra en
cada número, iniciando por las cifras de orden superior.
OA8: Resuelve problemas aditivos utilizando estrategias de conteo como “Conteo-
sucesivo” y “Conteo-hasta”.
ACTIVIDADES C7 COE7 OA8
Bingo. Preguntas - Sistema de Numeración. x x x
Cuentas Dinero. (Adaptación) x x x
Taller Mancalahoria. Situaciones Estratégicas
2.
x x x
Fiesta Matemática 14. “Fiesta Primero” x x x
NIVEL XV. S5: Subitización conceptual. OA9: +/- Parte todo
INDICADORES:
S5: Agrupa cantidades subitizables perceptualmente, para dar cuenta del cardinal de una
colección (puede subitizar también en secuencias o matrices).
OA9: Resuelve situaciones aditivas en las que debe encontrar la parte o el todo de una
combinación, haciendo uso del conteo.
ACTIVIDADES S5 OA9
Subitización áreas. (Adaptación) x x
Lotería dinero. Situaciones. x x
Mancalahoria. Situaciones estratégicas de
comparación.
x x
Fiesta Matemática 15 “Fiesta Primero –
Reflexión”
x x
NIVEL XVI. S5: Subitización conceptual. COE8: Estimar por puntos de
referencia. OA10: +/- Números en números.
81
INDICADORES:
S5: Agrupa cantidades subitizables perceptualmente, para dar cuenta del cardinal de una
colección (puede subitizar también en secuencias o matrices).
COE8: Toma una cantidad de la cual tenga una imagen mental previamente estimada,
como referencia para acercarse a una cantidad estimada.
OA10: Conserva la información sobre la parte y el todo y selecciona la estrategia más
adecuada para resolver la situación de acuerdo a los datos (conteo hasta, el conteo
ascendente, el conteo descendente).
ACTIVIDADES S5 COE8 OA10
Subitización regletas. x x x
Estimación Áreas. Adaptación. x x x
Mancalahoria. Situaciones estratégicas.
Registro.
x x x
Fiesta Matemática 16 “Fiesta Segundo” x x x
NIVEL XVII. S5: Subitización conceptual. COE9: Estimar por composición.
OA11: Derivación usando combinaciones de operaciones.
INDICADORES:
S5: Agrupa cantidades subitizables perceptualmente, para dar cuenta del cardinal de
una colección (puede subitizar también en secuencias o matrices).
COE9: Considera arreglos subitizables para componer con adiciones o multiplicaciones
y estimar la cantidad de una colección.
OA11: Tiene en cuenta operaciones que ya reconoce o tiene previamente memorizadas,
para combinar con las cantidades dadas en las operaciones aditivas y tomar decisiones
sobre aumento o disminución de la cantidad de acuerdo a la situación.
ACTIVIDADES S5 COE9 OA11
Subitización áreas. Pentómino. x x x
Mancalahoria. ¿Cómo sería el juego para 4
jugadores?
x x x
Mancalahoria. Subitización ¿Quién va
ganando?
x x x
82
Fiesta Matemática 17. “Fiesta Segundo -
Reflexión”
x x x
NIVEL XVIII. S5: Subitización conceptual. C7: Contar unidades cuantitativas,
valor posicional. COE9: Estimar por composición. OA12: +/- Solucionar problemas.
INDICADORES:
S5: Agrupa cantidades subitizables perceptualmente, para dar cuenta del cardinal de una
colección (puede subitizar también en secuencias o matrices).
C7: Cuenta por unidades cuantitativas (unidades, decenas o centenas), desde la
compresión del funcionamiento del sistema de numeración en base 10 y el concepto de
valor posicional
COE9: Descompone o divide la cantidad a estimar en subconjuntos de tamaño
conveniente, de tal forma que se le facilite recomponer para estimar la cantidad.
OA12: Soluciona todo tipo de problemas, con estrategias flexibles y combinaciones
conocidas (composición, descomposición de números, involucran estrategias que surgen
del cálculo mental).
ACTIVIDADES S5 C7 COE9 OA12
Imágenes Instántaneas. Mancalahoria. x x x x
Mancalahoria. ¿Cómo sería el juego para 4
jugadores?
x x x x
Situaciones aditivas variadas. x x x x
Fiesta Matemática 18. “Evaluación general” x x x x
Instrumentos De Análisis A Posteriori
Instrumento de recogida de datos.
De acuerdo a la Trayectoria Hipotética de Enseñanza propuesta, se constituye el
instrumento para realizar un seguimiento del progreso de cada estudiante en el desarrollo de
la Trayectoria Real de Aprendizaje, particularizando en cómo cada actividad lleva a
observar los diferentes indicadores propuestos para cada nivel.
83
Ilustración 24. Instrumento de seguimiento Nivel a Nivel. Fuente Propia.
Por otro lado, para cada nivel se tiene registro de video que permiten reportar hechos
específicos que den cuenta de la inclusión del niño en situación de DI en el ambiente de
aprendizaje y en el desarrollo de la trayectoria de aprendizaje, que presenten evidencia del
progreso en los niveles de la THA y la relación juego y THA.
Se emplea para el análisis de los videos el Software ELAN que aporta una relación entre
marcadores asignados, de acuerdo a las categorías (Subprocesos de la aritmética inicial
asociados al nivel, Procesos de otros niveles de la THA evidentes en un nivel determinado
de la THE, Juego, Accesibilidad de los juegos).
84
Ilustración 25. Empleo del Software ELAN, para el análisis de la TRA. Fuente propia.
Por otro lado, se tiene registro escrito en un portafolio para cada estudiante, en el que se
almacenan las actividades desarrolladas y se reporta el alcance de los indicadores en cada
nivel de la trayectoria.
Instrumentos de análisis.
Se desarrollan tres instrumentos: 1. Presenta descripciones sobre la forma cómo los
estudiantes muestran los indicadores de proceso de cada nivel. 2. Se presentan las
relaciones entre las actividades y los indicadores de nivel de la TRA, que se presentan en su
desarrollo. 3. Presenta el progreso en la TRA del niños en situación de DI, incluido en el
ambiente de aprendizaje, para dar cuenta de la accesibilidad del diseño.
85
ANÁLISIS DEL DESARROLLO DE LA TRAYECTORIA REAL DE
APRENDIZAJE
El análisis de la trayectoria se desarrolla nivel a nivel, teniendo en cuenta si se
evidencian los indicadores propuestos en todos los estudiantes y cómo se manifiestan
dichos procesos en el desarrollo de las actividades caracterizando la TRA.
Para cada nivel se plantearon actividades de acuerdo a los tres diferentes dispositivos
didácticos 1. Taller. 2. Juego. 3. Proyecto de Aula, asociados con los indicadores que se
buscaba evidenciaran los estudiantes.
Nivel 1: S1: Sensibilización al número
Para el primer nivel de la trayectoria se desarrollaron tres actividades asociadas a los
indicadores del proceso: S11: Diferencia cantidades perceptualmente. S12: Reconoce en dos
colecciones donde hay más y donde hay menos. S13: Reconoce el aumento de una cantidad
respeto a otra. En la tabla de seguimiento de nivel I, se registra que las actividades
propuestas permitieron la manifestación de los indicadores del nivel en todos los
estudiantes.
Ilustración 26. Tabla de seguimiento Nivel 1. Sensibilización al número.
La actividad Imágenes Instantáneas 1, es un taller, en el cual se presentó a los
estudiantes unas tarjetas de puntos con cantidades subitizables del 1 al 4 en diferentes
86
arreglos y los estudiantes en dos grupos realizaron dos acciones diferentes: 1. Presentar una
ficha igual a la que presenta la profesora. 2. Dibujar lo que ven. Al finalizar una secuencia
de fichas, se cambia el rol de los grupos, para que todos los estudiantes ejecuten las dos
actividades.
En el proceso de presentación de la ficha correspondiente, se manifiesta la ejecución de
la actividad de manera similar para todos, siendo la variación en este proceso asociada más
al tiempo de respuesta que el reconocimiento de la cantidad, en el transcurso de la actividad
fueron presentadas todas las fichas diseñadas y de estas los estudiantes discriminaban
además de las cantidades de puntos la forma como se distribuían en el espacio de la ficha.
Ilustración 27. Fichas subitizables actividad 1.
En el desarrollo de la actividad los estudiantes diferenciaron cantidades de puntos en
las fichas de forma perceptual y a su vez se manifestó el reconocimiento de coleciones en
las que hay más y menos elementos, además de reconocer la variación de cantidades de una
colección a otra.
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Ilustración 28. Imágenes Instantáneas 1. Momento presentación fichas subitizando.
El instante de la Ilustración 28, se representa la acción del grupo al presentar las fichas
correspondientes y unos segundos despues desde otro ángulo se observa que Juan Diego
(en adelante JD) presenta la ficha correspondiente, como se observa en la Ilustración 29.
Ilustración 29. Imágenes Instantáneas 1. JD presenta ficha correspondiente.
Respecto al nivel 1, para esta actividad se encontró que los estudiantes realizan
subitización perceptual, desde la organización misma de las fichas, que se distinguen los
cambios de cantidad perceptualmente del 1 al 4 y que la actividad es accesible para todos
los estudiantes del grupo, reconociendo la participación autónoma de JD en la misma,
interpretando la acción a realizar y manifestando los indicadores del nivel.
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Ilustración 30. Imágenes Instantáneas. Organización de fichas por cantidad.
Un aspecto a resaltar es que la forma de disposición de los puntos en la ficha permite
manifestar comparaciones, que además de tener en cuenta la cantidad contemplan la forma
o distribución de los puntos, como se observa en la Ilustración 31.
Ilustración 31. Reparación en forma.
En el proceso de dibujar lo que veían la actividad se desarrolla de forma homogénea por
parte de todos los estudiantes del grupo, considerando elementos asociados a la cantidad, a
la posición de los puntos e incluso al manejo del espacio en la hoja.
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Ilustración 32. Imágenes Instantáneas asociadas a dibujar lo que ven.
En la Ilustración 32, se refleja como los indicadores también se hacen visibles en esta
actividad ya que establecen las cantidades perceptualmente, previo a ser dibujadas las
fichas, se diferencia entre más o menos cantidad, finalmente se considera que las
instrucciones asociadas a la actividad para los dos momentos permitieron accesibilidad al
ambiente a todos los estudiantes.
Actividad 2. Figura Fondo Circuito Cerrado. Previo a esta actividad se da a conocer a los
estudiantes el tablero y las piezas del juego Circuito Cerrado, con la finalidad de que
reconozcan los elementos que componen el juego, las piezas, su forma, su textura, sus
colores y a partir de allí se plantea que coloreen un mosaico que ha sido diseñado de tal
forma que las regiones del mismo representen las piezas del Circuito Cerrado, así el
mosaico debe contener los colores correspondientes a las piezas, distinguiendo de estas las
cantidades de puntos que contienen.
Ilustración 33. Mosaico Circuito Cerrado Coloreado
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Como se presenta en la Ilustración 33, este taller de carácter artístico represento la
manifestación de los indicadores de la trayectoria, a través de la distinción de piezas por
cantidad de puntos, con elementos de 1 a 3. Un aspecto a tener en cuenta es que esta
actividad es accesible a todos en el contexto que se desarrolló, sin embargo se requiere un
ajuste o modificación si se propone para un contexto en el que se encuentre población
ciega.
Proyecto de aula “fiesta matemática” – sesión 1. En esta primera actividad del proyecto
de aula, se planteó a los estudiantes la idea de que ellos lideraran un evento llamado “fiesta
matemática” con niños de los cursos jardín, transición, primero y segundo de la institución.
Teniendo en cuenta que el proyecto del colegio tiene un énfasis en recreación se hace esta
propuesta pertinente para el contexto, se les propone la intención de llevar diferentes juegos
y actividades matemáticas, para desarrollar una fiesta temática de “Matemáticas”, así la
primera tarea hacía referencia a una lluvia de ideas para la realización de una fiesta como
estas.
En esta actividad, se hacen menos visibles los indicadores, debido a que es una actividad
de tipo comunicativo, por grupos, manifestando en este proceso los intereses de los
estudiantes y el sentido de colaboración entre ellos, ya que por ejemplo en la interacción
con el estudiante en situación de DI, le ayudan a escribir, le dejan copiar o le deletrean para
que pueda plasmar las ideas en el registro escrito, como se observa en la Ilustración 34.
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Ilustración 34. Compañero ayuda a JD a escribir las ideas.
Las nociones de cantidad que surgen en el desarrollo de esta actividad se asociaron a
otros niveles de la trayectoria, ya que se hicieron presentes en la enumeración de las ideas,
o en el planteamiento de algo que sea más económico, propuestas de hacer actividades con
números, sumas, restas, expresiones que surgieron de los niños asociadas a la idea de hacer
actividades matemáticas.
Nivel 2: S2: Nominación. C1: Conteo Verbal. COE1: Correspondencia muchos a
uno
Para el segundo nivel de la trayectoria se desarrollaron tres actividades asociadas a los
indicadores del proceso S2: Expresa cantidades con palabras, sin hacer conteo, para uno,
dos o tres elementos. C11: Expresa algunos nombres de números para determinar cantidad,
sin secuencia alguna. COE11: Aprecia la diferencia entre cantidades sin la realización
como tal del conteo. COE12: Compara cuantitativamente (utilizando el lenguaje como
“más que” y “menos que”) y ordena conjuntos de uno a cinco elementos, de acuerdo al
número de objetos que contienen”.
Para este nivel se desarrollaron cuatro actividades en las que se manifestaron para todos
los estudiantes todos los indicadores planteados.
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Actividad Concéntrese. Para esta actividad se presenta un tablero que incluye fichas con
cantidades de puntos subitizables, entre 1 al 5, con disposiciones espaciales diferentes, en
esta actividad los estudiantes debían encontrar cantidades iguales independientemente la
disposición en el espacio de los puntos y los códigos para destapar las fichas se establecían
por color y figuras, siendo accesible la interpretación de la actividad.
Ilustración 35. Concéntrese Nivel II.
En esta actividad los estudiantes observaban y decían la cantidad, cuando encontraban la
cantidad diferente establecían relaciones de comparación, identificando que no se cumplía
con la característica para ganar, la manifestación de los indicadores en esta actividad era
simultánea, cuando decían por ejemplo “dos y tres, no”.
Ilustración 36. Participación en Concéntrese.
Un componente importante de esta actividad es la motivación para participar, además de
la accesibilidad, se manifiesta un nivel muy alto de atención de todo el grupo y una
intención de participar todo el tiempo.
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Actividad Juego Circuito Cerrado: En esta aproximación los estudiantes reconocieron
las reglas del circuito y elaboraron circuitos cerrados de 2, 3, 4 y 5 piezas. Los indicadores
se manifiestan empleando las cantidades del circuito y realizando la correspondencia entre
cantidad de puntos en la ficha y de espacios de desplazamiento, por otro lado se identifica
la cantidad de piezas que emplean en el juego. En la Ilustración 35, un estudiante enseña un
Circuito Cerrado con tres fichas.
Ilustración 37. Circuito Cerrado Tres fichas.
Actividad Imágenes Instantáneas Secuencias. En esta actividad se presenta a los
estudiantes una ficha subitizable de las empleadas en la actividad de nivel 1, en este caso,
los estudiantes ubicados en parejas, deben buscar la ficha que corresponde a la que se
presentó y armar una secuencia de tres fichas, empleando las otras fichas que tienen en su
mesa. En este proceso se aprecian las cantidades perceptualmente, se manifiestan los
indicadores S2, C1 y COE11, pero se explicita el proceso de ordenamiento en particular que
establece COE12.
Cabe resaltar que se presentaron secuencias que no necesariamente eran aditivas y estas
dieron cuenta de otros niveles de comprensión de la cantidad como por ejemplo la
secuencia 1, 2, 4, que se presenta en la Ilustración 38.
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Ilustración 38. Secuencias Imágenes Instantáneas
En esta misma Ilustración 38, se muestra en la parte inferior el proceso de clasificación y
ordenamiento de fichas por cantidad de puntos. Con base en este ejercicio, se realiza un
taller escrito en el que se identifican secuencias de forma ascendente o descendente, los
niños completan o arman unas secuencias con base en una ficha dada.
“Fiesta matemática” en esta actividad se realizó una plenaria, la profesora socializó las
ideas que encontró en la lluvia de ideas de todos los niños y se estableció: Los niños
elaboraran juguetes en material de reciclaje para regalarle a los niños asistentes a las fiestas,
elaboraran por grupos actividades para trabajar con los niños y para iniciar el trabajo,
llevaran materiales para elaborar en clase los juguetes que iban a obsequiar.
Nivel 3: S3 Construcción de colecciones. C1: Conteo Verbal.
Para el tercer nivel de la trayectoria se desarrollaron tres actividades asociadas a los
indicadores de proceso S3: Construye una colección con la misma cantidad de elementos
respecto a una colección presentada. C12: Cuenta verbalmente con nombres de números en
forma separada, no necesariamente en el orden correcto después de 5.
Para este nivel se desarrollaron cuatro actividades, desde las que se manifestaron en
todos los estudiantes los indicadores planteados para el nivel.
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Actividad Imágenes Instantáneas 3, los estudiantes debían construir una colección de
palitos con base en la cantidad de puntos que se presentara en la imagen, reflejando en esta
acción el indicador S3, por otro lado al construir la colección manifestaban el proceso de
C12.
Ilustración 39. Nivel 3. Construcción de Colecciones con Imágenes Instantáneas.
En la Ilustración 39, se observa en la vista centrada en los palitos y como están
aplicando también procesos de conteo para la construcción de la colección.
Respecto a la actividad de Circuito Cerrado en la que copiaban configuraciones
propuestas por la profesora, en los tableros del circuito de los que disponían los estudiantes,
se manifiesta el conteo de piezas, la ubicación, la referencia de posición, se establece el
conteo de cantidad de piezas que tiene la configuración. En la Ilustración 38 por ejemplo,
se presenta la réplica de un circuito cerrado de cuatro piezas, en las que tenían que tener en
cuenta la direccionalidad de las piezas, la cantidad de fichas (4) y finalmente de qué color o
cantidad de puntos eran estas fichas.
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Ilustración 40. Copiando configuraciones del Circuito Cerrado
Por otro lado, se realiza un taller en el que los estudiantes deben identificar si la
configuración dada es o no Circuito Cerrado, para lo cual establecen las relaciones que
corresponden en direccionalidad y cantidad de espacios recorridos, además de reconocer si
la ficha final indica la llegada a la ficha inicial. En la Ilustración 41, se ejemplifica el
desarrollo del taller y se muestra que algunos estudiantes escribían explicaciones al porque
no es circuito, por ejemplo para el primer circuito: “porque las cantidades me llevan fuera
del circuito”, en esta refiere a que la flecha 3 indica que se debe ir afuera del tablero, para
mover esa cantidad de espacios.
Ilustración 41. Taller ¿Es circuito Cerrado?
97
En cuanto a la “fiesta matemática” los estudiantes llevan a la clase ideas de juguetes
hechos con material de reciclaje y manifiestan los indicadores de la trayectoria a través del
lenguaje verbal, en particular cuando manifiestan la cantidad de material utilizado o
describen los juguetes que han llevado.
Ilustración 42. Ejemplo de ideas de juguetes con material de reciclaje. Fiesta Matemática.
En la Ilustración 42, se observa el instante en que se describe un juguete del cual se
cuentan las tapas que colocaron en su cabeza, para ojos, nariz y orejas, se establece la
cantidad de tapas en su cuerpo, cantidad de brazos y piernas, procesos correspondientes al
indicador de conteo verbal. Por otro lado, se resalta la atención de los estudiantes sobre un
tema producto de ellos mismos, hay un proceso descriptivo asociado a un elemento visual y
eso genera mayor impacto, además las iniciativas de este trabajo surgen de ellos, así los
componentes afectivo, cultural y social que guían el proyecto de aula se manifiestan en esta
imagen.
Nivel 4: C2: Conteo de objetos. OA1: Combinar respecto a la percepción
Los indicadores propuestos para este nivel son: C21: Realiza la correspondencia entre
cada objeto a contar y la palabra número, respondiendo la pregunta “cuántos”, en
colecciones de 5 a 10 elementos. C22: Establece las cantidades que van antes o después, si
realiza el conteo iniciando desde uno. OA11: Percibe la suma y la resta (hasta 10 elementos)
de forma perceptual, no realiza ninguna operación formalmente. OA12: Reconoce
combinaciones en acciones de adición de objetos (hasta 10 elementos).
98
Este nivel se desarrolló en cuatro actividades, que manifestaron los indicadores en todos
los estudiantes.
La suerte, es una actividad que se realizó con dados de seis caras, los estudiantes
lanzaban los dados y debían registrar la cantidad de puntos que completaban con los dos
dados en una tabla, cada grupo jugaba cinco rondas y entre todos establecían el ganador. En
el proceso del juego se manifiestan los indicadores de OA1, a través del establecimiento del
puntaje obtenido y simultáneamente se manifiestan los indicadores de C, aunque hay
momentos de la actividad en las que como tal no se aplica conteo, sino que ya los
estudiantes mentalmente establecen la cantidad total, por medio de procesos aditivos.
Ilustración 43. Juego "la suerte"
En la Ilustración 43, se observa que esta actividad tenía un proceso de interacción que
divertía a los niños, mientras realizaban operaciones mentales, otro indicador asociado a la
cantidad eran expresiones de alegría o decepción con solo observar los dados, notando que
obtenían un mayor o menor puntaje, en una acción perceptual.
En la actividad con el juego circuito cerrado, se manifiestan los indicadores de C, ya
que en el proceso todo el tiempo se deben estar estableciendo relaciones de cantidad,
cantidad de puntos de las fichas, cantidad de espacios de desplazamiento y cantidad de
piezas utilizadas. En la Ilustración 44, el proceso de seguimiento con el dedo refleja el
99
análisis que se requiere para establecer si una configuración cumple con las condiciones de
ser circuito cerrado y proporciona un estímulo continuo en la relación con las cantidades.
Ilustración 44. Descripción Circuito Cerrado de 5 piezas.
Para el taller ¿Cuántos Circuitos de 2 piezas? Se hacen evidentes procesos aditivos,
asociados a OA, ya que en el establecimiento de todas las posibilidades, se van analizando
cantidades que llevan a más de 10 circuitos y los estudiantes van incorporando expresiones
más sofisticadas que el conteo, como “son 16, porque son el doble”. En una fase inicial, los
estudiantes dibujan todas las posibilidades, teniendo en cuenta que cada posición en el
plano representaría un circuito diferente aunque se formara por las mismas fichas, surge de
ellos el establecer un código como el de los tableros de ajedrez, que se asocia con el código
que se tenía previsto en las hipótesis del juego, con letras que marcan de A hasta D las
columnas y de 1 a 4 las filas, dado esas diferencias en el código de las casillas,
reconocieron que la cantidad de circuitos de dos piezas con fichas verdes, era el doble de
los circuitos hechos con fichas azules, debido a que por cada circuito azul, en la misma fila
o columna se podrían hacer dos circuitos con fichas verdes.
100
Ilustración 45. Circuitos cerrados de dos fichas.
En la Ilustración 45, se presenta la representación de los posibles circuitos cerrados y lo
que empieza con dibujos sin orden, luego se van estructurando para determinar, todos los
horizontales, luego todos los verticales, dando un orden al conteo y permitiendo observar
los indicadores del nivel.
En la Construcción de juguetes, las nociones de cantidad van asociadas a los materiales,
que se identifican en la interacción de los estudiantes, como “me das un pedacito de lana”
“Cuántos pelos le pongo”, la relación de cantidad entre una cabeza para un cuerpo, o dos
ojos en una cara.
Ilustración 46. Elaboración de juguetes. Fiesta matemática.
101
Nivel 5: C3: Correspondencia COE2: Correspondencia uno a uno. Comparador
por emparejamiento.
Los indicadores propuestos para este nivel C3: Establece la relación entre los elementos
de una colección contadora y una colección a contar (tener en cuenta la coordinación, entre
la palabra y la mano o la vista, o el uso de técnicas auxiliares como el hecho de marcar cada
punto contado). COE2: Establece relaciones uno a uno entre elementos de dos conjuntos
(de uno a diez elementos) para comparar u ordenar respecto al cardinal de cada conjunto.
Se manifiestan en todos los estudiantes por medio de la realización de cuatro actividades.
Parejas que completan 10, es una actividad en la que los estudiantes jugaban dominó,
cambiando las condiciones tradicionales del juego, de esta manera debían colocar una
cantidad que completará la decena en lugar de colocar una cantidad igual, para los casos en
los que era imposible completar la decena debían colocar una ficha que al juntar sus dos
partes sumará una cantidad que completará la decena. En el proceso de realización de esta
actividad se observaron los dos indicadores correspondientes, al realizar el conteo para
completar, al comparar si alcanzaba o no a completar con la cantidad que tenía de base,
además que simultáneamente manifiesta procesos de OA.
En la actividad de buscar estrategias, se establecen relaciones entre cantidades para
expresar por ejemplo que en un circuito de dos fichas, es necesario colocar dos fichas
iguales en dirección opuesta, de tal forma que una señale a la otra, este tipo de descripción
surge de los niños pero siendo específicos en decir la ficha que se debe utilizar y se busca
en el diálogo profesor-estudiante, que se manifieste la idea de hablar de la “misma
cantidad”, para buscar expresiones más generales.
102
Ilustración 47. Estrategias Circuito Cerrado
En la Ilustración 47, se presenta una de las formas de expresar las estrategias, en donde
aparece la noción de ser lo mismo solo en el de 4 piezas, sin embargo el tratar de transmitir
una idea general de cómo hacer el circuito cerrado, pese a no ser fácil, da cuenta de
dificultades al momento de comunicar en matemáticas que se deben reforzar. En cuanto a
los indicadores del nivel, se cumplen en el proceso de establecimiento de los circuitos de
las diferentes cantidades de fichas y el análisis que requiere para considerarlo circuito
cerrado.
En este nivel se encuentra la particularidad, que la actividad de juego y la del taller del
juego se unieron, ya que los estudiantes tenían la necesidad de manipular el juego para
hablar de estrategias, cuando hablaban de estrategias como eran tan específicas las
estrategias, pasaban era a describir el circuito; los dos procesos a realizar en las actividades
permiten la manifestación de indicadores y develan la dificultad de expresión verbal de los
elementos matemáticos que emergen de la actividad, como lo es por ejemplo: la relación de
comparación entre cantidades de puntos.
103
Ilustración 48. Organización logística Fiesta Matemática
En la Ilustración 48, se presenta uno de los registros de la información recogida por los
estudiantes, quienes fueron a todas las aulas en las que querían hacer la fiesta matemática,
preguntaron cantidad de niñas y de niños, debido a que consideraron lo requerían para
establecer la cantidad de juguetes que debían hacer y caracterizar el tipo de juguete que
llevarían.
Otros niveles
La trayectoria continua en desarrollo, considerando que hasta el nivel 5, la TRA muestra
solidez respecto al diseño y a la secuencialidad de los indicadores articulados, también se
manifiesta que las actividades propuestas permitieron observar indicadores de nivel
superior o de otra trayectoria que no estaba articulada al nivel, por ejemplo en el nivel 1, se
hicieron evidentes indicadores de comparación perceptual, los cuales aún no se integraban a
la trayectoria, de acuerdo a esa idea a continuación se presenta una tabla de actividades que
relaciona la actividad con los indicadores que adicionalmente se manifestaron en su
desarrollo.
104
Tabla 5
Indicadores relacionados con la actividad
Actividad Nivel Indicadores
Esperados
Indicadores
Manifestados
Taller. Imágenes Instantáneas 1. N1 S11 –S12 –S13 S11 –S12 –S13 –
S2 – C1-COE12
Taller. Figura fondo – Circuito
cerrado.
N1 S11 –S12 –S13 S11 –S12 –S13
C11 – C12
Proyecto de Aula. “Fiesta
Matemática 1”
N1 S11 –S12 –S13 C11 – C12
Taller. Imágenes Instantáneas 2.
Concéntrese.
N2 S2 – C11 –
COE11 - COE12
S2 – C11 –
COE11 - COE12
S3 - C12
Taller. Secuencias – Imágenes
Instantáneas.
N2 S2 – C11 –
COE11 - COE12
S2 – C11 –
COE11 - COE12
C22
Juego Circuito Cerrado “Reglas y
juego inicial”
N2 S2 – C11 –
COE11 - COE12
S2 – C11 –
COE11 - COE12
C21
“Fiesta Matemática 2” Plenaria N2 C11 C11
Imágenes Instantáneas 3. N3 S3 - C12 S3 - C12
C21 –C3
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OA11
Fiesta Matemática 3” Materiales N3 S3 - C12 S3 - C12
C21 –C3
Circuito Cerrado “Copiar
configuraciones”
N3 S3 - C12 S3 - C12
C3 - COE2
Taller ¿Es circuito cerrado? N3 S3 - C12 C12
La suerte. ¿Cuántos puntos? Dados. N4 C21 - C22
OA11 – OA12
C21 - C22
OA11 – OA12
C3 – COE2 –
COE3 – OA2
Circuito cerrado. De más de cinco
fichas.
N4 C21 - C22
OA11 – OA12
C21 - C22
“Fiesta matemática 4” Construyendo
juguetes.
N4 C21 - C22
C21 - C22
Taller Circuito Cerrado. ¿Cuántos
circuitos de 2 piezas?
N4 C21 - C22
OA11 – OA12
C21 - C22
OA11 – OA12
OA2 – COE4
Parejas que completan 10. Domino N5 C3 – COE2 C3 – COE2
OA12 -C4
106
Circuito Cerrado. Buscar estrategias. N5 C3 – COE2 C3 – COE2
Taller Circuito Cerrado. Describe el
circuito.
N5 C3 – COE2 C3 – COE2
“Fiesta matemática 5” Organización
logística.
N5 C3 – COE2 C3 – C4 – OA4
Asociación de actividades con indicadores que se manifestaron en la TRA.
TRA Juan Diego Matallana
Previo a dar seguimiento a la TRA de JD se plantea una representación de la THA
propuesta, con el fin de establecer una comparación posterior entre la hipótesis y como se
ven reflejados los progresos en los niveles desarrollados, en el caso particular del estudiante
en situación de DI.
Ilustración 49. THA Aritmética Inicial. Representación tabular vs. Representación en gráfico de línea.
En comparación con la Ilustración 49, se toma la THA vs la TRA desarrollada por JD
hasta el nivel 7, sin embargo la descripción de cómo se manifiestan los procesos, se
realizará hasta el nivel 5.
107
Ilustración 50. THA vs. TRA
En la Ilustración 50, se observa como JD manifiesta diferentes indicadores en cada nivel
de la trayectoria, siendo la THA muy similar a la TRA, pero se distingue en que JD
manifiesta indicadores de conteo en casi todos los niveles, dando cuenta de que este es un
proceso que ha fortalecido en su proceso de aprendizaje. Por otro lado, se requiere en los
niveles posteriores seguir fortaleciendo el proceso de subitización nutriendo las
experiencias asociadas a este de forma constante, para que se puedan alcanzar los demás
niveles de la THA articulada.
En la Tabla 6 se describe la forma cómo se manifiestan los indicadores en JD nivel a
nivel y en cada actividad, para dar cuenta desde una descripción cualitativa del desarrollo
del proceso real, particularizando la situación de DI del estudiante.
108
Tabla 6
TRA Juan Diego
NIVELES Y ACTIVIDADES EVIDENCIAS
Nivel 1: Realiza la actividad
de imágenes instantáneas en
los dos roles, en cuanto a la
actividad de mostrar la ficha,
en ocasiones las presentaba
antes que sus compañeros.
Aplica el coloreado para la
distinción de cantidades
subitizables, asociado al juego
circuito cerrado, en este
proceso inicial repite el color
en dos fichas de diferente
cantidad, sin embargo al
señalarle este detalle el mismo
realiza la reparación
estableciendo el cambio que
consideraba debía realizar.
109
Nivel 2: Realiza un proceso
de subitización asociando la
cantidad a una expresión
gestual en la que emplea sus
manos para comparar
cantidades menores a cinco y
establecer si son iguales,
mayor o menor. No sé
evidencia la presencia del
conteo, sin embargo si se
atribuye la cardinalidad y el
nombre, por ejemplo: tres y
cuatro, como se observa en la
disposición de la cantidad de
dedos en cada mano.
En el proceso de comprensión
de las reglas del juego
Circuito Cerrado, se evidencia
que cumple con condiciones
de cantidad, en varias de las
configuraciones que presenta,
por ejemplo colocar piezas a
dos casillas, o a una casilla,
dependiendo de la cantidad de
puntos que indica la flecha,
aunque no se comprende aún
la noción de cerrar el circuito.
En la actividad de hacer
secuencias, manifiesta la
110
participación en la
identificación de las fichas
por su cantidad, está
pendiente de los movimientos
de los compañeros de grupo y
presentan las secuencias como
grupo. Comprende las
secuencias por sus
compañeros.
En el desarrollo del taller de
secuencias, se muestra la
relación de cantidad de forma
ascendente en la mayoría de
los casos, el establecimiento
de la cantidad 4 regularmente
junto a la cantidad 3,
desconociendo en algunos
casos el resto de la secuencia.
En la parte inferior,
desconoce en algunos casos la
figura modelo, sin embargo
manifiesta la secuencia 1, 2,
3, o 2, 3.
111
Nivel 3: En la actividad de
Imágenes Instantáneas para la
construcción de colecciones,
se manifiesta el indicador y
por ejemplo cuando se opta
por presentarles dos fichas a
la vez, el niño realiza la
acción de tomar las piezas por
separado como lo indican las
imágenes.
En el proceso de replicar las
configuraciones propuestas en
el circuito, se manifestó la
realización de la actividad
bajo las condiciones del
circuito presentado en cada
112
caso.
En el taller se evidencia que
reconoce el que si es o no
circuito, aunque no comunica
una justificación en texto del
porque si o porque no. Para el
desarrollo de la actividad fue
necesario el apoyo del
profesor, revisando junto al
niño los recorridos de cada
circuito para determinar si
cumplía o no con las
condiciones del juego. Es
importante reconocer que en
el desarrollo del análisis en el
taller, se cumplen los
indicadores del nivel, por
ejemplo por el proceso de
conteo que se realiza, la
relación de cantidad puntos y
espacios recorridos.
113
Nivel 4: En la actividad “la
suerte”, es necesario apoyar al
niño, para que entienda como
se establece la cantidad de
puntos a través de una
estrategia aditiva de conteo,
de esta manera se compone la
cantidad partiendo del conteo
desde el cardinal de uno de
los dados y el niño cuenta a
partir de ese punto, se solicita
a sus pares que no le digan la
cantidad y le acompañen el
proceso de conteo. Al
desarrollar la suma para
establecer el total de puntaje
de cada niño, se acompaña en
el proceso de agregar y se
emplea la estrategia de ir
agregando las cantidades con
los dedos, reteniendo el
cardinal inicial en la memoria.
En el trabajo con los circuitos,
se inicia un acompañamiento
personal para la interpretación
de las reglas con el niño,
debido a que el proceso no ha
sido constante, lo que genera
que el olvide las condiciones
114
asociadas al juego.
En el establecimiento de todos
los posibles circuitos cerrados
de dos piezas, el niño los
establece utilizando el
material físico, en el registro
escrito, se observan varios
circuitos de dos piezas, varios
representados en un solo
tablero, pero refleja la
comprensión de lo que debía
buscar y empieza a desarrollar
registros con componentes
asociados al juego.
Es importante resaltar el nivel
de concentración en la
actividad de elaboración de
juguetes, ya que el trabajo
manual, libre y artístico
moviliza los intereses de
todos los niños.
115
Nivel 5: En la organización
logística, Juan Diego se
traslada con sus compañeros a
otros salones, para realizar el
registro de la cantidad de
niños por curso, una de las
intenciones de esta actividad
era que los niños realizaran el
conteo, sin embargo, no fue
posible, debido a que en
algunos casos los niños no se
encontraban en el aula.
En el diseño de estrategias del
circuito, se permanece con el
acompañamiento en el
desarrollo del juego, ya que
aún el niño no cuenta con la
116
solidez suficiente en el
desarrollo del juego como
para brindar estrategias de
forma verbal o gráfica.
En la actividad de completar
10 con las fichas de dominó,
se asigna un par al niño, para
que le acompañe el proceso
de conteo y de interpretación
de las reglas del juego. De
esta manera se desarrolla el
proceso aditivo a través de la
entrada de conteo.
Manifestación de indicadores en la TRA de Juan Diego (12 años)
117
REFLEXIONES Y APORTES
Se requiere sensibilidad en el profesor frente al estudiante para reconocer la diversidad
como natural en el ambiente de aprendizaje, para incidir en la incorporación de diseños
accesibles a las prácticas educativas, que promuevan una cultura de inclusión real, desde el
planteamiento de soluciones curriculares en las cuales se tenga en cuenta los procesos y las
habilidades que son la base de las trayectorias de aprendizaje de cualquier individuo.
El reconocer la Discapacidad Intelectual en particular, permite para el ambiente de
aprendizaje diseñado, apuntar a atender a la persona que tiene más distancia entre las
exigencias del medio y sus capacidades y acortar esa brecha, facilitando el acceso al
ambiente de aprendizaje a todos los estudiantes.
El proceso de búsqueda de juegos para la incorporación a la trayectoria, dio paso a
diseñar un nuevo juego la “Máncalahoria” que se documenta como un aporte y se espera
sea llevado a otros espacios y que esta indagación preliminar promueva el uso de este juego
en contextos escolares y cotidianos, reconociendo que la escuela no es el único ambiente de
aprendizaje, sino que en tanto haya interacción hay aprendizaje y se va fortaleciendo la
trayectoria de aprendizaje de cada persona con cada experiencia que se le proporcione.
El desarrollo de la trayectoria generó impacto en otros espacios escolares, a los cuales
llegaron los niños con el proyecto de aula, para ser líderes y promotores de una cultura de
aprendizaje de las matemáticas y pioneros en llevar a niños de 4 y 5 años actividades de
subitización, que las profesoras de esos niños agradecieron.
En el desarrollo del proyecto surge una reflexión frente al tiempo, ya que este se
convierte en un factor que desvincula los niveles de la trayectoria, cuando por ejemplo pasa
mucho tiempo sin que se interactúe con el material, o con los diferentes dispositivos
didácticos, además se requiere para minimizar los perjuicios de la falta de tiempo en el
entorno escolar, el apoyo de las familias para que se desarrollen más experiencias en casa y
los esfuerzos de los profesores trasciendan a la realidad de los estudiantes.
En cuanto al factor tiempo se puede considerar que cada nivel de la trayectoria ha
requerido en promedio 6 horas de trabajo, que se desarrollan en aproximadamente dos
semanas, en acuerdos iniciales con padres y estudiantes se dedicaría una hora y media a la
118
semana al desarrollo de la trayectoria, pero la realidad escolar, llevo a solicitar otros
espacios con docentes de otras áreas, a establecer otros convenios con los estudiantes, a
desarrollar algunas tareas asociadas al proyecto de aula en casa, entre otros manejos, en
busca de movilizar la trayectoria.
Este proyecto espera aportar desde una realidad escolar con ideas que incidan en los
procesos de flexibilización del currículo en matemáticas, considerando que en general se
debe atender a la diversidad, es decir que el currículo debe ser flexible en sí mismo, no
estandarizado y tematizado, ni que busque normalizar un patrón de aprendizaje en todos los
estudiantes, como parece funcionar el sistema educativo actual.
Quedan pendientes y preguntas al final, ya que no se logra documentar toda la TRA, una
primera inquietud es: ¿Cómo acortar la distancia entre los tiempos escolares y los tiempos
requeridos para llevar a cabo una THE articulada, de forma completa con el uso de todos
los dispositivos didácticos que se proyectaron en este trabajo?. Por otro lado, es importante
seguir indagando sobre la accesibilidad en poblaciones ciegas y sordas, para el desarrollo
de THE articuladas con la incorporación de juegos.
Los avances de este proyecto fueron presentados en eventos Internacionales como el
RELME 32, en julio del 2018 en la ciudad de Medellín – Colombia. En este evento se
realizó una comunicación breve en la que se dio cuenta de la articulación de subprocesos de
las THA, se resaltó la importancia de atender a la diversidad, se fundamentó la necesidad
de incorporación de juegos en el ambiente de aprendizaje inclusivo y se reconoció y dio a
conocer a los asistentes las posibilidades que da la entrada de subitización en diferentes
trayectorias, aritméticas, de patrones, entre otros.
En DIVEREDUTEC en diciembre del 2018 en la ciudad de Cartagena – Colombia, se
presentó este trabajo desde la forma de atender a la diversidad a través del desarrollo de
THA con incorporación de juegos, no solo para población en situación de DI, sino también
para población sorda; aprendiendo en este congreso sobre la oportunidad que este tipo de
trabajo tiene en la comunidad de educación matemática, ya que está buscando la
innovación, la articulación y por encima de todas las categorías, buscando accesibilidad.
119
CONCLUSIONES
En primer lugar, la fundamentación de las THA por procesos y subprocesos, es una
oportunidad para articular varias THA, lo que permite acercar la investigación a escenarios
escolares reales, en los que se promueva la inclusión, reconociendo que el hecho de abordar
el diseño desde las THA ya implica un indicador de accesibilidad, porque manifiesta un
proceso natural de aprendizaje del ser humano; en el caso de este proyecto en cuanto ideas
matemáticas que aportan al desarrollo de habilidades aritméticas.
La fundamentación de hipotesis frente a los momentos de los juegos y la identificación
de sus estructuras matemáticas, permite identificar una trayectoria del juego, para
articularla por medio de talleres y preguntas en la THE, de esta manera se exploraron
algunas de estas relaciones en la TRA, en particular con el Circuito Cerrado que es un
juego que moviliza desde el primer acercamiento nociones asociadas a la cantidad, bajo
todos los procesos de la THA articulada.
El diseño, mostró solidez en la movilización de los niños por la parte de la trayectoria
descrita, los procesos se siguieron al incorporar el juego en los diferentes niveles,
manifestando que esta incorporación funciona en la practica, generando un impacto
adicional sobre el ambiente de aprendizaje como lo es la manifestación de afectividad, de
condiciones emocionales favorables para el aprendizaje de un conocimiento matemático y
un conocimiento social.
La movilización del niño en situación de DI, por varios niveles de la trayectoria, da
cuenta de la posibilidad de diseñar ambientes de aprendizaje accesibles desde el diseño
universal y que una mejor organización del currículo permite dejar atrás los contextos
educativos que discapacitan tanto al niño en una situación de DI como al profesor que no
tiene las herramientas para atenderlo.
Los indicadores que movilizo la parte de la trayectoria documentada, permiten
evidenciar que estudiantes en situación de DI, pueden avanzar en los niveles de las
trayectorias, sin embargo se requiere darle mayor tiempo y experiencias para que alcancen
120
sus aprendizajes, lo que implica que se establezcan vínculos por ejemplo con el ambiente
de aprendizaje familiar y por otro lado, establecer comunicación entre pares educadores
para brindar a los estudiantes todas las posibilidades y no minimizar las expectativas sobre
su aprendizaje.
La incorporación de los tres dispositivos didácticos diferentes, el taller, el juego y el
proyecto de aula, permitió dinamizar los ambientes de aprendizaje, mantener centrada la
atención que en ocasiones los profesores manifiestan perdida, sin embargo se debe tener en
cuenta que tanto en el proyecto de aula como en el juego, se describen THA propias, lo que
implico que no solo se tuviese que articular los juegos a la THA de la aritmética inicial,
sino tambien los procesos a desarrollar con el proyecto de aula.
El juego es un dispositivo didáctico que moviliza interacciones y conocimiento
matemático, siempre y cuando se articule con los talleres, no solo se debe quedar en juego
ya que la reflexión sobre este desde diferentes tipos de preguntas o dinámicas permite que
se construyan las ideas matemáticas, así en la medida en que se gana experticia en el juego,
se puede avanzar en el desarrollo cognitivo.
El proyecto de aula tiene un papel muy importante en la dimensión social y cultural, ya
que impacta en un ejercicio practico de vida, en el cual intervienen y predominan las
intenciones de los estudiantes, generando un factor afectivo a tener en cuenta en los diseños
didácticos accesibles.
Finalmente, desde el reconocimiento de que la diversidad es una realidad en todos los
ambientes de aprendizaje, los diseños didácticos no deben buscar homogenizar los grupos,
sino por el contrario desde las capacidades diversas trabajar, reconociendo que todos los
estudiantes aportan de formas diferentes, muestran los indicadores bajo diferentes
dinámicas, expresiones verbales, textuales o gestuales, entre otros.
121
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124
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Cartagena Colombia. Diciembre 2018.
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para atender a la diversidad. III Congreso de Investigación e Innovación en
Educación. Bogotá Colombia. Mayo 2019.
León, O., Alonso, N., Barbosa, F., Martínez, E., Muñoz, W., Páez, J. y Palomá, N. (2019).
Ambientes de aprendizaje accesibles y afectivos en educación geométrica. Encuentro
de geometría y sus aplicaciones. Bogotá Colombia. Junio 2019.
Martínez, E. (2018). Juego y trayectorias de aprendizaje de la aritmética en ambientes de
aprendizaje con estudiantes con déficit cognitivo. RELME 32. Medellín Colombia.
Julio 2018
Este trabajo se llevó a cabo en el marco del proyecto ACACIA (Apoya, Cultiva, Adapta,
Comunica, Innova y Acoge) desarrollado por la Universidad Distrital Francisco José de
Caldas y otras 13 universidades de América Latina y Europa, con la financiación de la
Unión Europea.
125
ANEXO 1: JUEGO Y TRAYECTORIAS DE APRENDIZAJE DE LA
ARITMÉTICA EN AMBIENTES DE APRENDIZAJE CON ESTUDIANTES CON
DÉFICIT COGNITIVO
Elba Azucena Martínez Cárdenas. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Colombia. [email protected].
Educación Matemática; Maestría; Investigación en Diseño.
Resumen:
El presente es el reporte de una Investigación en Diseño, que se encuentra en proceso
de fundamentación teórica y construcción de instrumentos, desde la cual se busca articular
cuatro Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje asociadas a procesos aritméticos iniciales,
con un sistema de juegos que estructuren el desarrollo de ideas matemáticas, y que
responda a las necesidades de diseño de ambientes de aprendizaje que no marginen
estudiantes con déficit cognitivo moderado en aulas inclusivas, teniendo en cuenta el
contexto, factores de accesibilidad, el diseño universal y propuestas en las que se pueda
favorecer el aprendizaje natural de las matemáticas.
Introducción
La pregunta de investigación ¿Qué relaciones entre el juego y las Trayectorias
Hipotéticas de Aprendizaje son heurísticamente pertinentes para el desarrollo de
habilidades aritméticas, en poblaciones diagnosticadas con déficit cognitivo? Exige la
incorporación de factores políticos, éticos y matemáticos en el diseño de los ambientes de
aprendizaje. .
Desde el artículo 68 de la Constitución Política de Colombia de 1991, se establece que
es obligación especial del Estado generar inclusión en las instituciones educativas; sin
embargo, a partir de dicha disposición se han generado cambios, pero más de tipo
administrativo como obligatoriedad de matrícula de estudiantes con diferentes
discapacidades, vinculación de docentes de apoyo (Educadores Especiales), exigencias de
flexibilización del currículo. Sin embargo, autores como León et al. (2014), plantean que
se debe tener en cuenta una organización curricular diferente, que permita a los estudiantes
elaborar y reelaborar sus experiencias con los otros y con lo otro, en la que no solo se
realice la integración sino también el aprendizaje de prácticas académicas culturales y
sociales. Se requiere reconocer que la diversidad cognitiva, motora, física, social, cultural,
emocional y afectiva, es una característica natural de los ambientes de aprendizaje.
126
Marco teórico
La accesibilidad en los diseños didácticos se incorpora para: 1. El manejo de la
información de la situación de aprendizaje, trabajando con diferentes registros. 2. Percibir
los componentes de la situación de aprendizaje por audición, visión, aspectos táctiles o por
aspectos perceptuales de otros órdenes. 3. El uso de las formas de representar y operar las
relaciones y los objetos matemáticos. 4. El dominio de las formas de comunicar y cooperar
en el estudio de la información que propone la situación (León, Celis y Guilombo, 2014).
En el caso particular de los estudiantes diagnosticados con Déficit Cognitivo, se
considera que son estos estudiantes los que presentan dificultades de accesibilidad en varios
de los aspectos planteados, y sin ignorar que un niño con Discapacidad Intelectual DI
“puede tener una evolución parecida a cualquier otro niño aunque más lenta” (Pérez &
Olivares, 2002, Pág. 54), se puede actualmente afirmar que una mejor organización de la
enseñanza y de los ambientes de aprendizaje, proporcionan un contexto no discapcitante
para estos estudiantes y en general para todos los estudiantes.
En el diseño para esta investigación se consideran como elementos de articulación: el
juego en tanto promotor de interacciones y generador de experiencias matemáticas; y las
Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje THA (Clements D. y Sarama J. 2015), en tanto
estructuras para el desarrollo de procesos aritméticos iniciales (Subitización, Conteo,
Comparación, orden y estimación, y Primeras adiciones y sustracciones).
El juego de forma natural permite generar estrategias, acordar, formular y seguir reglas,
manipular tecnologías, además proporciona a los estudiantes diversas experiencias, para su
formación cognitiva, afectiva, social y cultural. Por otro lado, según Guzmán (1984), el
juego resulta accesible a una manipulación comparada con la resolución sistemática de
problemas matemáticos, así el juego nos puede llevar a construir ideas matemáticas y nos
permite el acceso de todos los estudiantes a los ambientes de aprendizaje.
Las THA permiten de forma natural aprender cada idea matemática, considerando para
su desarrollo, una meta matemática, una ruta de desarrollo y unas tareas planteadas por
niveles de pensamiento, de tal manera que los estudiantes avancen en su aprendizaje, desde
escenarios reales de inclusión en educación matemática.
127
Metodología y resultados preliminares
La metodología de investigación se vincula a Estudios Basados en Diseño, en particular
el Diseño Universal para Todos y los Experimentos de Enseñanza. Se realiza un diseño de
un ambiente de aprendizaje, para estudiantes de 4º de un aula con integración de estudiantes
en situación de DI.
El resultado preliminar es la articulación de las cuatro THA en un diseño instruccional
accesible a poblaciones en situaciones de DI.
Conclusiones preliminares
En el proceso de fundamentación teórica de las THA, se resalta el proceso de
Subitización, como indispensable en el desarrollo del aprendizaje de varias ideas
matemáticas, ya que este proceso en particular se encuentra presente en todas las THA
articuladas en este estudio y se considera que apoya procesos de transición de la aritmética
al algebra, y se observa al respecto que en las orientaciones curriculares vigentes, la
Subitización no tiene la relevancia que merece.
Este proyecto se vincula al proyecto ACACIA cofinanciado por el programa
ERASMUS + de la Unión Europea.
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G., Guevara, J., Saiz, M., García, R., Saiz, B., Rojas, N., Peralta, M., Flores, W., &
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128
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129
ANEXO 2: ARTICULACIÓN DE TRAYECTORIAS HIPOTÉTICAS DE
APRENDIZAJE UNA EXIGENCIA PARA LA FLEXIBILIZACIÓN
CURRICULAR
Mary Luz ALONSO NEIRA, Nancy Johanna ALONSO NEIRA, Elba
Azucena MARTÍNEZ CÁRDENAS
Maestría en Educación. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
[email protected], [email protected],
Línea 3B: Creación de ambientes de aprendizaje accesibles.
Tipo de comunicación: [Ponencia]
Resumen
El presente artículo describe cómo las políticas de cobertura educativa asociadas a
favorecer la inclusión en Colombia, generan tensión entre las necesidades y métodos de
atención que requieren los educandos, el saber del docente, su didáctica y las orientaciones
curriculares que propone el Ministerio de Educación Nacional (MEN). En respuesta a esas
tensiones, se plantean los retos de los docentes y una propuesta de diseño didáctico que
atienda a la articulación de Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje (THA) de la Aritmética
Inicial, a generar diseños didácticos accesibles y a las implicaciones de estos en el trabajo
con la diversidad de los estudiantes, aumentando su participación y reduciendo la exclusión
o marginación, en las cuales están inmersos estudiantes con discapacidad Intelectual y
auditiva entre otros.
Palabras clave: Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje (THA), Articulación, Diseño
Didáctico Accesible, Diversidad.
ABSTRACT
This paper describes how educational coverage policies favor inclusion in Colombia,
generating tension between the needs and methods, attention, students, teacher's
knowledge, and the didactic and curricular guidelines given by the National Education
Ministry. In response to these tensions, teachers' challenges and a didactic design proposal
130
are needed to address the articulation of the Hypothetical Trajectories of Learning (HTL) of
the Initial Arithmetic, to promote accessible didactic and their implications in the work with
the students diversity, increasing participation and reduction of exclusion or
marginalization, in which students with intellectual and hearing disabilities are immersed.
Keywords: Hypothetical Trajectories of Learning (HTL), Articulation, Accessible
Didactic Design, diversity.
1. TEMA DE INVESTIGACIÓN
Desde el artículo 68 de la Constitución Política de Colombia de 1991, se establece que
es obligación especial del Estado propiciar inclusión en las instituciones educativas; sin
embargo, a partir de dicha disposición se han generado cambios más de tipo administrativo,
como obligatoriedad de matrícula de estudiantes con discapacidad, vinculación de docentes
de apoyo (Educadores Especiales), exigencias de flexibilización del currículo y elaboración
de PIAR (Plan Individual de Ajustes Razonables) para estudiantes que lo requieren. Sin
embargo, autores como León et al. (2014), plantean que se debe tener en cuenta una
organización curricular diferente, que permita a los estudiantes elaborar y reelaborar sus
experiencias con los otros y con lo otro, en la que no solo se realice la integración sino
también el aprendizaje de prácticas académicas culturales y sociales. Se requiere reconocer
que responder a la diversidad, es una característica natural de los ambientes de aprendizaje.
“Necesitamos individualizar la enseñanza” (Clements & Sarama, 2015, p.383), es decir
responder a las necesidades de todos los niños, eliminando barreras para aumentar la
accesibilidad.
Las condiciones de accesibilidad en los diseños didácticos, de acuerdo con León, O.
Celis, F. y Guilombo, M. (2014), deben atender a:
1. La accesibilidad al manejo de la información de la situación, trabajando con diferentes
registros. 2. La accesibilidad a la situación por audición, visión, aspectos táctiles o por
aspectos perceptuales de otros órdenes. 3. La accesibilidad a las formas de representar y
operar las relaciones y los objetos matemáticos. 4. La accesibilidad a las formas de
comunicar y cooperar en el estudio de la información que propone la situación (p. 93).
131
Al observar la práctica de los sistemas educativos, se identifica una tendencia a
implementar propuestas curriculares de otros países, sin considerar el desarrollo natural
que se requiere organizar con los profesores de matemáticas, no se pueden desconocer que
las realidades de cada país exigen que las prácticas educativas deben construirse partiendo
del contexto en el que se emplearán. Skliar (2003) menciona: “Ninguna práctica educativa
es exportable o importable”. Freire (1992, citado en Skliar, 2003) resalta que la
intervención es histórica, cultural y política, por lo tanto, las experiencias no podían ser
trasplantadas. En consecuencia, el tratar de homogenizar el currículo colombiano de
acuerdo a las propuestas internacionales desatiende la realidad social, económica y cultural
en nuestro país, generando un obstáculo más a los maestros, quienes deben responder a una
flexibilización curricular y además atender al cumplimiento de las metas establecidas por
las orientaciones curriculares del MEN que parecen estar en permanente variación.
Al asumir los retos de inclusión desde el área de matemáticas, encontramos que la
mayoría de docentes no son formados para responder a la diversidad de los estudiantes, lo
que lleva a desarrollar exclusión, discriminación o marginación al interior del sistema
educativo. Según León, et. al (2014) menciona que:
Una revisión general a los resultados de investigación y a los currículos de formación
del profesorado en América Latina y el Caribe indica que son muy pocos los espacios de
formación que han sido incorporados para dar cuenta al tratamiento de la diversidad
educativa, y que tampoco se han incorporado a ellos formas de promover el uso de
estrategias adaptativas generales que promuevan la inclusión de todos los estudiantes (p.
27).
De acuerdo a lo anterior, se genera la necesidad de atender a una educación para
diversos estudiantes, desarrollar una práctica de enseñanza que sea inclusiva,
caracterizando las diferentes necesidades educativas desde la reflexión sobre la didáctica,
en este caso las matemáticas, que permita la accesibilidad y trabajar desde actividades en
las que interactúen todos los sujetos con todo lo diverso que cada uno puede aportar.
1.1. Propuesta hacia una Flexibilización Curricular.
132
Se reconoce que para un docente es necesario realizar una planeación previa al
desarrollo de actividades de enseñanza, lo que implica que cada docente genere una ruta de
trabajo, una THA de sus estudiantes, que según observamos en los planteamientos
realizados en la fundamentación teórica de los DBA (Derechos Básicos de Aprendizaje),
todavía no se contemplan aspectos como la atención a la diversidad, afirma el MEN (2016)
“aún quedan temas pendientes por resolver, tales como la inclusión y la diversidad, la
integración curricular, la adecuación a las condiciones locales y regionales”(p.4).
Para responder a la realización de un diseño didáctico para la diversidad, se involucra el
enfoque de desarrollo de THA, en tanto que pretenden un desarrollo progresivo en el
aprendizaje vinculado una ruta de desarrollo según niveles de pensamiento, de tal manera
que los estudiantes avancen en su aprendizaje, desde escenarios reales de inclusión en
educación matemática.
Por lo tanto, se plantea la articulación de THA de la Aritmética Inicial planteadas por
Clements y Sarama (2015), para responder a tres factores: 1. La articulación de procesos de
pensamiento asociados a diferentes THA. 2. Fortalecer el sentido numérico en los
estudiantes, ya que presentan dificultades para alcanzar los aprendizajes numéricos, debido
a que no han tenido una entrada al sentido numérico desde procesos tan necesarios como la
subitización. 3. El manejo del tiempo en la escuela que no permite trabajar las THA por
separado. Finalmente, esta articulación de procesos se complementa con un sistema de
juegos que acompañe el desarrollo de un diseño didáctico flexible y accesible.
Las THA para articular en este estudio son: 1. THA de subitización que trabaja la
habilidad de reconocer la numerosidad de un conjunto sin realizar conteo, esta se puede dar
de forma perceptiva o conceptual. 2. THA de conteo hace referencia a la primera operación
matemática, considerando que se realiza paso a paso y permite responder preguntas
asociadas a cardinalidad. 3. THA de comparación, orden y estimación, desarrolla tres
procesos diferentes pero conectados, en los que se puede determinar diferencias, igualdades
y desde los que se estima la numerosidad de conjuntos, asociado también a nociones de
muchos, pocos, varias veces, mayor, entre otros. 4. THA de primeras adiciones y
133
sustracciones, permite vincular diversos elementos de conteo y en particular lleva a los
niños a establecer las relaciones entre adición y sustracción. (Clements y Sarama. 2015).
2. DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS
Este diseño se está desarrollando paralelamente en dos investigaciones que cumplen con
unas características diferentes en cuanto a población, pero que están basadas en los mismos
principios de articulación del desarrollo del pensamiento matemático por procesos, el
trabajo con juegos y la atención a la diversidad. De esta manera, en las dos investigaciones
se parte de las THA que se desean articular, las cuales definen unas rutas de aprendizaje de
forma natural, pero a su vez tienen relaciones naturales entre los procesos asociados a
diferentes niveles de cada THA, que permiten organizar una nueva THA articulada que
contemple acciones que permitan ir avanzando a la vez las cuatro THA, mediadas por
actividades que permitan su desarrollo, entre las cuales se tiene el juego como un
dispositivo didáctico fundamental.
2.1. Descripción de las investigaciones asociadas al diseño didáctico.
2.1.1. Juego y Trayectorias de Aprendizaje de la aritmética inicial en ambientes de
aprendizaje que incluyen estudiantes en situación de Discapacidad Intelectual.
Esta investigación se desarrolla en un aula regular de estudiantes de grado quinto, en la
que por políticas de inclusión se encuentran inmersos estudiantes con diagnóstico de déficit
cognitivo moderado, en esta investigación, se busca diseñar una práctica de enseñanza para
atender a población diversa, observando en particular estudiantes en situación de
Discapacidad Intelectual, para reconocer en ellos qué condiciones atienden a sus
necesidades y les permiten interactuar con todos y todas. Encontrando en el proceso de
diseño el reto de favorecer el proceso de inclusión en el aula, para lo cual se necesita
reconocer, que según Clements y Sarama (2015) citando a (Dowker 2005; Gervasoni, 2005;
Gervasoni et.al., 2007; Ginsburg, 1997) “No hay déficit cognitivo singular que cause
dificultades en matemáticas” y por otro lado, estos niños al ser “calificados de
discapacidades de aprendizaje, sufren por las expectativas bajas de los educadores”.
Pág.359. Así, al tener en cuenta estos aspectos, se considera que una mejor organización de
134
la enseñanza y de los ambientes de aprendizaje, proporciona un contexto no discapacitante
para estos estudiantes y en general para todos los estudiantes.
2.1.2. Articulación de Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje de la aritmética para
población sorda en niveles iniciales
Esta investigación se desarrolla en un aula exclusiva para 14 estudiantes sordos entre los
8 y 15 años. La investigación busca explorar las relaciones entre las tecnologías, los juegos
y el desarrollo de los niveles de las trayectorias de aprendizaje en estudiantes sordos. Se
quiere identificar las Trayectorias Reales de Aprendizaje (TRA) y observar el efecto del
uso de materiales didácticos en el desarrollo de las trayectorias y del lenguaje en esta
población. Este estudio será desarrollado con población sorda pero con la intención de
responder a las características de los diseños universales. Es necesario tener una visión
precisa sobre la formación matemática de la cual se busca abordar y los diferentes procesos
de formación que se pueden evidenciar en los niveles iniciales (León & Calderón, 2008)
además se requiere tener diferentes estrategias para lograr que los estudiantes puedan
resolver situaciones problema a través de didácticas que potencialicen su pensamiento y
mejoren el rendimiento analítico por medio de la LSC.
2.2. Caracterización de subprocesos de THA.
Para cada THA se encontraron varios subprocesos, de los cuales se establecieron unos
niveles e indicadores de cada nivel que se relacionaron entre sí, para desarrollar la
articulación de las cuatro THA. Los procesos y sub-procesos mencionados son:
2.2.1. Subitización
Está caracterizada por cinco subprocesos, S1. Sensibilización al número: Diferencia
cantidades perceptualmente. Reconoce en dos colecciones donde hay más y donde hay
menos. Reconoce el aumento de una cantidad respecto a otra. S2. Nominación: Expresa
cantidades con palabras, sin hacer conteo, para uno, dos o tres elementos. S3. Construcción
de Colecciones: Construye una colección con la misma cantidad de elementos respecto a
una colección presentada. S4. Subitización perceptual: Reconoce de la numerosidad de una
135
colección sin utilizar procedimientos matemáticos. S5. Subitización Conceptual: Agrupa
cantidades subitizables perceptualmente, para dar cuenta del cardinal de una colección
(puede subitizar también en secuencias o matrices).
2.2.2. Conteo
Está caracterizada por siete subprocesos: C1: Conteo verbal. (Verbalización): Expresa
algunos nombres de números para determinar cantidad, sin secuencia alguna. Cuenta
verbalmente con nombres de números en forma separada, no necesariamente en el orden
correcto después de 5. C2: Conteo de objetos: Realiza la correspondencia entre cada objeto
a contar y la palabra número, respondiendo la pregunta “cuántos”, en colecciones de 5 a 10
elementos. Establece las cantidades que van antes o después, si realiza el conteo iniciando
desde uno. C3: Correspondencia: Establece la relación entre los elementos de una colección
contadora y una colección a contar (tener en cuenta la coordinación, entre la palabra y la
mano o la vista, o el uso de técnicas auxiliares como el hecho de marcar cada punto
contado). C4: Conteo asociado a orden, iniciando desde un número diferente a uno: Contar
haciendo agrupaciones de igual cantidad de elementos (los saltos más comunes son de 5 en
5, de 2 en 2 y de 10 en 10). C5: Conteo a saltos, conteo usando patrones: Cuenta hacia
adelante o hacia atrás, desde un cardinal dado. C6: Conteo mental: Establece el cardinal de
un conjunto sin realizar conteo uno a uno. C7: Contar unidades cuantitativas, valor
posicional: Cuenta por unidades cuantitativas (unidades y decenas), acercándose a
comprender el funcionamiento del sistema de numeración en base 10 y el concepto de valor
posicional.
2.2.3. Comparación, Orden y Estimación (COE).
Está caracterizada por nueve subprocesos: COE1: Correspondencia muchos a uno:
Aprecia la diferencia entre cantidades sin la realización como tal del conteo. Compara
cuantitativamente (utilizando el lenguaje como “más que” y “menos que”) y ordena
conjuntos de uno a cinco elementos, de acuerdo al número de objetos que contienen”.
COE2: Correspondencia uno a uno. Comparador por emparejamiento: Establece relaciones
uno a uno entre elementos de dos conjuntos (de uno a diez elementos) para comparar u
ordenar respecto al cardinal de cada conjunto. COE3: Comparación perceptual: Compara
136
colecciones considerablemente diferentes en tamaño. COE4: Estimar por extensión
espacial. Realiza estimaciones de acuerdo al espacio que ocupa una colección de elementos,
asociada al espacio que ocupa otra colección de menor tamaño (toma como referencia el
espacio que ocupa una colección subitizable). COE5: Conteo ordinal. Establece relaciones
de orden y cuenta elementos empleando las palabras numéricas que indican orden (primero,
segundo, tercero,…). COE6: Ordenar. Compara cardinales para establecer diferencias de
cantidad entre dos conjuntos y ordenarlos. COE7: Comparar por valor posicional. Compara
cantidades teniendo en cuenta la cantidad que representa cada cifra en cada número,
iniciando por las cifras de orden superior. COE8: Estimar por puntos de referencia. Toma
una cantidad de la cual tenga una imagen mental previamente estimada, como referencia
para acercarse a una cantidad estimada. COE9: Estimar por composición. Considera
arreglos subitizables para componer con adiciones o multiplicaciones y estimar la cantidad
de una colección. Descompone o divide la cantidad a estimar en subconjuntos de tamaño
conveniente, de tal forma que se le facilite recomponer para estimar la cantidad.
2.2.4. Operaciones aditivas - adición y sustracción (enfatizando en las estrategias de
conteo) (OA).
Está caracterizada por doce subprocesos: OA1: Combinar respecto a la percepción.
Percibe la suma y la resta de forma perceptual, no realiza ninguna operación formalmente.
Reconoce combinaciones en acciones de adición de objetos. OA2: Comparar. Establece que
una cantidad es mayor o menor que otra cantidad, en relación a una cantidad por la cual
difieren. OA3: Emparejar. Aplica la estrategia de emparejamiento haciendo relaciones de
correspondencia de elementos entre dos conjuntos, para solucionar situaciones aditivas.
OA4: Modelar con conteo. Da respuesta a situaciones haciendo uso de conteo (conteo
ascendente para completar una cantidad, conteo descendente, conteo total). OA5: Resuelve
problemas de sustracción mediante separación de objetos. Resuelve situaciones de
sustracción, contando la cantidad mayor de objetos, separa la cantidad que se indica para
que le quede la cantidad que debe encontrar (en este subproceso el niño cuenta todos los
grupos que realiza). OA6: Conviértalo en N. Sumar desde un punto diferente de uno. Suma
objetos para convertir un número en otro y no necesariamente se inicia desde uno. OA7:
Establecer el cambio. Establece el sumando faltante, a través de acciones como “agregar
137
hasta y contar todos los grupos”, “separar de y contar todos los grupos” o “emparejar y
contar el resto”. OA8: Conteo con estrategias. Resuelve problemas aditivos utilizando
estrategias de conteo como “Conteo-sucesivo” y “Conteo-hasta”. OA9: +/- Parte todo.
Resuelve situaciones aditivas en las que debe encontrar la parte o el todo de una
combinación, haciendo uso del conteo. OA10: +/- Números en números. Conserva la
información sobre la parte y el todo y selecciona la estrategia más adecuada para resolver la
situación de acuerdo a los datos (conteo hasta, el conteo ascendente, el conteo
descendente). OA11: Derivación usando combinaciones de operaciones. Tiene en cuenta
operaciones que ya reconoce o tiene previamente memorizadas, para combinar con las
cantidades dadas en las operaciones aditivas y tomar decisiones sobre aumento o
disminución de la cantidad de acuerdo a la situación. OA12: +/- Solucionar problemas.
Soluciona todo tipo de problemas, con estrategias flexibles y combinaciones conocidas
(composición, descomposición de números, involucran estrategias que surgen del cálculo
mental).
2.3. Asociación de subprocesos de las THA
Teniendo como referencia la caracterización de cada subproceso y los niveles de
desarrollo de cada uno en las diferentes THA, se encuentran sus relaciones y se conectan
entre sí en pares de THA. Ejemplo: procesos de subitización con conteo, procesos de
subitización con comparación orden y estimación y procesos de subitización con
operaciones aditivas; y de la misma forma se realizó con cada THA, y se ilustra de mejor
manera en el esquema presentado en la Figura 1.
138
Figura 1. Esquema de relación de subprocesos de las THA de Aritmética Inicial
Teniendo como punto de partida las relaciones establecidas en el esquema, se
caracterizan de forma más explícita las relaciones entre subprocesos nivel a nivel, con la
intención de diseñar una THA articulada que realmente se desarrolle de forma natural y que
no genere dificultades en el desarrollo de ningún subproceso, esta THA es el producto
preliminar y de estas investigaciones y se representa en la Tabla 1.
Tabla 1. Trayectoria Hipotética de Aprendizaje de la Aritmética Inicial
2.3. El juego
Finalmente, el juego busca incorporar al desarrollo de la THA articulada considerando
que este de forma natural permite generar estrategias, acordar, formular y seguir reglas,
manipular tecnologías, además proporciona a los estudiantes diversas experiencias, para su
formación cognitiva, afectiva, social y cultural. Por otro lado, según Guzmán (1984), el
juego resulta accesible a una manipulación comparada con la resolución sistemática de
problemas matemáticos, así el juego nos puede llevar a construir ideas matemáticas y nos
permite el acceso de todos los estudiantes a los ambientes de aprendizaje.
139
Se tendrá en cuenta el juego como Dispositivo Didáctico que de acuerdo con Calderón y
León (2016) citando a (Vergel, Rocha y León, 2006:1) implica asumirlo como “la
propuesta didáctica que busca estimular un tipo de acción en los estudiantes para favorecer
la movilización de sus procesos cognoscitivos y comunicativos”. Pág. 151. En este sentido
se consideraran las posibilidades de acción del juego y la interacción natural que se puede
dar entre estudiante-saber-profesor a través del mismo.
3. CONCLUSIONES
Las dos investigaciones relacionadas, se encuentran en proceso de desarrollo, se develan
desde el rol de investigadoras y docentes, algunos retos en los que se puede ver reflejado un
docente al aplicar la propuesta a su práctica pedagógica:
La propuesta realizada nos lleva a reflexionar sobre las modificaciones que se deben
realizar en los currículos de educación matemática, es muy importante para los docentes
responder al contenido matemático ya que muchas de las evaluaciones estandarizadas o
pruebas de estado se basan en los contenidos matemáticos y el estudiante debe estar
preparado para responder a ellas; pero si solo desarrollamos la actividad de enseñanza para
atender a las pruebas, nos encontramos con el desconocimiento de las diversas necesidades
de nuestros estudiantes y generamos ambientes excluyentes e incluso discapacitantes, ya
que no permiten la accesibilidad de todos al aprendizaje.
Es importante implementar en la construcción de los currículos los procesos aritméticos,
cognitivos, lingüísticos y lograr que los niños desarrollen el pensamiento de forma natural
identificando sus niveles de desarrollo, esto le permite al docente construir una ruta de
trabajo que responda a las características de los estudiantes y que les deje avanzar de forma
natural haciendo construcciones con bases más fuertes que serán efectivas en su futuro
aprendizaje. El reto para el maestro es comprender las trayectorias de aprendizaje que tiene
un niño y vincular sus prácticas a fomentar estas, de tal forma que respondan a una
educación para todos y todas.
Otro reto para el maestro es realizar la articulación de las trayectorias con base en la
población que tiene en el aula, vinculando los procesos que se manejan en cada una para ser
trabajadas de forma simultánea en el aprendizaje de las matemáticas, identificando el nivel
140
en el que cada estudiante se encuentra y apuntando a secuencias didácticas que lleven al
niño a avanzar en su proceso.
Los aportes asociados a estas dos investigaciones, dan cuenta de la necesidad de
reorganizar el diseño para generar la accesibilidad de todos, entendiendo que lo
discapacitante es la situación que da el ambiente de aprendizaje que no tiene en cuenta la
diversidad en su diseño, de esta manera la culpa de la desigualdad en el aprendizaje no
depende de la condición de discapacidad que ostentan algunos estudiantes, sino de la falta
de formación de los docentes para realizar diseños universales, ya que tampoco reconocen
las necesidades educativas asociadas a diferencias sociales, emocionales, económicas, entre
otras.
La articulación de las trayectorias hipotéticas de aprendizaje con el juego como
dispositivo didáctico, permite reconocer el juego como facilitador del alcance de las
habilidades aritméticas propias de las trayectorias, además de ser el medio para generar un
ambiente de aprendizaje inclusivo, ya que en la dinámica de juego se permite el acceso de
todos, por otro lado, es importante dar cuenta del desarrollo de los juegos que se emplearan
con las modificaciones de accesibilidad para poblaciones sordas, que además requieren para
su implementación un diseño asociado a la lengua de señas que facilite la comunicación en
el ambiente.
4. AGRADECIMIENTOS
Estas investigaciones se desarrollan en el marco de la formación de Maestría en
Educación Matemática de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, bajo la
dirección de la Dra. Olga Lucía León, en la línea de investigación de Didáctica de las
Matemáticas adscrita al Grupo de Investigación Interdisciplinaria en Pedagogía del
Lenguaje y las Matemáticas GIIPLyM. También se vinculan al proyecto ACACIA
cofinanciado por el programa ERASMUS + de la Unión Europea.
5. REFERENCIAS
Calderón, D., &. León, O. (2016). Elementos para una didáctica del lenguaje y las
matemáticas en estudiantes sordos de niveles iniciales. Universidad Distrital Francisco José
de Caldas. Bogotá.
141
Clements, D. & Sarama, J. (2015). El Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas a
Temprana Edad: El Enfoque de las Trayectorias de Aprendizaje. Traducido por: León O. &
Otros. Learning Tools LLC.
Constitución Política de la República de Colombia (1991).
León, O., Bonilla, M., Romero, J., Gil, D., Correal, M., Ávila, C., Bacca, J., Cavanzo,
G., Guevara, J., Saiz, M., García, R., Saiz, B., Rojas, N., Peralta, M., Flores, W., &
Márquez, H. (2014). Referentes curriculares con incorporación de tecnologías para la
formación del profesorado de matemáticas en y para la diversidad. Universidad Distrital
Francisco José de Caldas. Bogotá.
León, O., & Calderón, D. (2008). Procesos de formación matemática en niveles iniciales
en estudiantes sordos. Bogotá: Colciencias.
León, O., Díaz, F., & Guilombo, M. (2014). Diseños didácticos con incorporaciones
tecnológicas para el aprendizaje de las formas geométricas, en primeros grados de
escolaridad de estudiantes sordos. Revista Científica, 91-104. Bogotá.
Ministerio de Educación Nacional, MEN. (2016). Documento Fundamentación Teórica
de los Derechos Básicos de Aprendizaje (V2) y de las Mallas de Aprendizaje para el Área
de Matemáticas
Skliar, C. (2003). La educación de los sordos. Obtenido de
http://modalidadespecial.educ.ar/datos/recursos/pdf/skliar-educacion-sordos-2003.pdf
142
ANEXO 3: TRAYECTORIAS HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAJE E
INCORPORACIÓN DE TECNOLOGÍAS UNA ESTRATEGIA DIDÁCTICA PARA
ATENDER A LA DIVERSIDAD
Nancy Johanna ALONSO NEIRA, Elba Azucena MARTÍNEZ
CÁRDENAS, Olga Lucía LEÓN CORREDOR, Natalia Andrea PALOMÁ
BARRERA, Gloria Esperanza RODRÍGUEZ PEDRAZA
Maestría en Educación. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Eje temático: Educación y Aprendizaje
Mesa de trabajo
RESUMEN
En este documento se presenta una propuesta de mesa de trabajo en la que se
exponen diferentes situaciones y retos que se deben tener en cuenta para atender a la
diversidad en la educación. En particular se plantea exponer que para ofrecer ambientes de
aprendizaje que favorezcan la atención a la diversidad y el aprendizaje de las matemáticas,
se debe atender a diseños didácticos que se pueden estructurar teniendo en cuenta el
desarrollo Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje, la incorporación de Tecnologías y la
atención a las situaciones particulares, de población sorda, población ciega o población en
situación de discapacidad intelectual, así estos diseños didácticos deben cumplir
condiciones de accesibilidad y promover una organización curricular diferente que ofrezca
espacios no discapacitantes para los estudiantes.
Palabras clave: Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje, Incorporación de Tecnologías,
Diseño Didáctico Accesible, Poblaciones diversas.
TEMA GENERAL
La educación para la diversidad es una realidad en Colombia y una exigencia del Estado
que además el mismo debe garantizar, de acuerdo con el artículo 68 de la Constitución
Política de Colombia de 1991, se establece que es obligación especial del Estado propiciar
inclusión en las instituciones educativas; sin embargo, a partir de dicha disposición se han
143
generado cambios más de tipo administrativo, como obligatoriedad de matrícula de
estudiantes con discapacidad, vinculación de docentes de apoyo (Educadores Especiales),
exigencias de flexibilización del currículo y elaboración de PIAR (Plan Individual de
Ajustes Razonables) para estudiantes que lo requieren. Sin embargo, autores como León et
al. (2014), plantean que se debe tener en cuenta una organización curricular diferente, que
permita a los estudiantes elaborar y reelaborar sus experiencias con los otros y con lo otro,
en la que no solo se realice la integración sino también el aprendizaje de prácticas
académicas culturales y sociales. Se requiere reconocer además que la diversidad
cognitiva, motora, física, social, cultural, emocional y afectiva, es una característica natural
de los ambientes de aprendizaje, que no solo se debe atender en respuesta a una política,
sino que genera un deber de reorganización curricular para el profesor y para la formación
de profesores.
De manera general, las condiciones de accesibilidad en los diseños didácticos de acuerdo
con León, O. Celis, F. y Guilombo, M. (2014), deben atender a:
1. La accesibilidad al manejo de la información de la situación, trabajando con diferentes
registros. 2. La accesibilidad a la situación por audición, visión, aspectos táctiles o por
aspectos perceptuales de otros órdenes. 3. La accesibilidad a las formas de representar y
operar las relaciones y los objetos matemáticos. 4. La accesibilidad a las formas de
comunicar y cooperar en el estudio de la información que propone la situación (p. 93).
Al asumir los retos de inclusión desde el área de matemáticas, encontramos que la
mayoría docentes no hemos sido formados para atender a poblaciones diversas, lo que lleva
a desarrollar ambientes excluyentes e incluso discapacitantes, ya que no estamos
preparados para suplir las necesidades educativas de todos. Según León, et. al (2014),
resultados de investigación, sobre los currículos de formación del profesorado en América
Latina y el Caribe indican que son muy pocos los espacios de formación que han sido
incorporados para dar cuenta al tratamiento de la diversidad educativa, y que tampoco se
han incorporado a ellos formas de promover el uso de estrategias adaptativas generales que
promuevan la inclusión de todos los estudiantes (p. 27)
144
De acuerdo a lo anterior, se considera que la educación matemática debe atender a
poblaciones diversas, desarrollar una práctica de enseñanza inclusiva, caracterizar
necesidades educativas de diversas poblaciones, desde la reflexión sobre la didáctica de las
matemáticas que permita la accesibilidad y trabajar desde actividades en las que interactúen
todos los sujetos con todo lo diverso que cada uno puede aportar.
En la mesa de trabajo se propone hablar sobre la educación y el aprendizaje en particular
de las matemáticas, desde los resultados de varias investigaciones asociadas, que exponen
diferentes retos y posibilidades de trabajo, que además tienen en común el desarrollo de
Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje (en adelante THA):
Ponente 1: THA con incorporación de tecnologías.
Ponente 2: THA de formulación de patrones con el juego La Escalera.
Ponente 3: THA de la aritmética inicial articulada con procesos de juego, para atender a
estudiantes en situación de Discapacidad Intelectual.
Ponente 4: THA de la aritmética inicial en relación con Lengua de Señas Colombiana,
para atender a población sorda.
Dado que las ponentes tienen en común el desarrollo de THA, se caracteriza esta
propuesta de forma concreta:
En el proceso de construcción de diseños didácticos se toman las THA como teoría
didáctica de referencia, las cuales se convierten en rutas de aprendizaje que establece el
profesor para la comprensión de algún aspecto de las matemáticas. Estas trayectorias se
diseñan a partir de tres grandes componentes que proponen Clements & Sarama (2009): las
metas matemáticas, las rutas del desarrollo del aprendizaje y el conjunto de actividades. De
esta manera, las THA ayudan a generar procesos naturales de desarrollo en el aprendizaje
de las grandes ideas de las matemáticas, compuestos por unos niveles de pensamiento, cada
uno superior al anterior.
A continuación se caracterizan las propuestas específicas de cada investigación:
THA con incorporación de tecnologías: En la investigación se trabaja una THA de las
funciones se busca determinar qué hipótesis y niveles de desarrollo se asocian a una
145
Trayectoria Hipotética y Real de Aprendizaje (THA y TRA). Para su construcción se toma
la Trayectoria de las Operaciones (suma y resta) propuesta por Clements y Sarama (2009)
como base para considerar elementos de la variación en la que las variables son números
enteros o números racionales y sus posibilidades de operación. En este proceso se
contempla un estudio para la construcción de niveles que gestan la trayectoria de la
formulación de relaciones matemáticas de tipo cuadrático, donde la variación participa
como gran proceso de la trayectoria y el juego La Escalera, participa como elemento
potencial dentro del conjunto de actividades.
Esta trayectoria de Operaciones se complementa con la noción matemática de función,
vista como un objeto en el campo de las matemáticas que tiene vías de acceso que se
estudian a partir del concepto de Relación, Operación y Función y que posee características
aritméticas, geométricas y algebraicas.
Al incorporar tecnologías cada vez más avanzadas al diseño del juego la escalera, se
generó un dispositivo que permitió directamente registrar los movimientos en un archivo
de Excel, favoreciendo el análisis de información para llevar a las nociones asociadas a la
THA de la función, por otro lado, dada una tecnología aumentada, se genera un diseño del
juego, con texturas, tamaños accesibles, entre otros en asociación a las necesidades de
poblaciones diversas y finalmente gracias a esta tecnología se experimentó con un software
que permitió visualizar los patrones corporales asociados a los diferentes niveles de
jugador, en el que se escaneaba cada movimiento del jugador y se da una función del
jugador experto y un comparativo con jugadores en diferentes niveles de experticia.
THA de formulación de patrones con el juego La Escalera: La THA de formulación de
patrones, genera indicadores de progreso frente a patrones perceptuales, patrones en las
palabras, el patrón de conteo, los patrones numéricos, patrones aritméticos y patrones
espaciales. Pero esto no sugiere que el estudiante logre “hacer patrones” esto apunta más
allá de los patrones secuenciales repetitivos. “Crear patrones es buscar regularidades y
estructuras matemáticas. […] los patrones son más que un contenido: son un proceso, un
dominio de estudio y un habito de la mente” (Clements y Sarama, 2015, p. 304).
146
Una de las potencialidades de trabajar actividades relacionadas con los patrones es la
creación de nuevos patrones, que vinculan la memoria visual de los estudiantes debido a
que necesita observar, recordar y representar para encontrar el patrón.
Dada la potencialidad del juego La Escalera, este ha permitido accesibilidad a la
población sorda, la cual ha generado patrones no solo corporales, sino también de lenguaje
y regularidades emocionales, que dan cuenta del progreso en el aprendizaje asociado a las
ideas matemáticas y la pertinencia de incorporar un juego como dispositivo didáctico en el
ambiente de aprendizaje; por otro lado, el juego presento evolución en cuanto a las
tecnologías empleadas que se han desarrollado atendiendo a necesidades de población
sorda y de población ciega, en busca de propiciar un diseño universal asociado al juego.
THA de la aritmética inicial articulada con procesos de juego, para atender a estudiantes
en situación de Discapacidad Intelectual: En este trabajo se plantea la articulación de THA
de la Aritmética Inicial (Subitización, Conteo, Comparación, orden y estimación, y
Primeras adiciones y sustracciones) planteadas por Clements y Sarama (2015), para
responder a tres factores: 1. La articulación de procesos de pensamiento asociados a
diferentes THA. 2. Fortalecer el sentido numérico en los estudiantes ya que presentan
dificultades para alcanzar los aprendizajes numéricos, debido a que no han tenido una
entrada al sentido numérico desde procesos innatos al ser humano como la subitización. 3.
El manejo del tiempo en la escuela que no permite trabajar las THA por separado.
Finalmente, esta articulación de procesos se complementa con un sistema de juegos que
acompañe el desarrollo de un diseño didáctico flexible y accesible.
Las THA que se articulan en este estudio son: 1. THA de subitización que trabaja la
habilidad de reconocer la numerosidad de un conjunto sin realizar conteo, esta se puede dar
de forma perceptiva o conceptual. 2. THA de conteo hace referencia a la primera operación
matemática, considerando que se realiza paso a paso y permite responder preguntas
asociadas a cardinalidad. 3. THA de comparación, orden y estimación, desarrolla tres
procesos diferentes pero conectados, en los que se puede determinar diferencias, igualdades
y desde los que se estima la numerosidad de conjuntos, asociado también a nociones de
muchos, pocos, varias veces, mayor, entre otros. 4. THA de primeras adiciones y
147
sustracciones, permite vincular diversos elementos de conteo y en particular lleva a los
niños a establecer las relaciones entre adición y sustracción. (Clements y Sarama. 2015).
En este trabajo se involucran diferentes juegos como La Escalera, el Circuito Cerrado y
la Mancalahoria (versión adaptada de la Mancala), para favorecer la interacción de todos en
el ambiente y para dar cuenta a través de momentos del juego, de la progresión en la THA
articulada de la aritmética inicial, con la finalidad de permitir que el ambiente que no
discrimine a ninguna población, que no sea discapacitante en este caso para los niños en
situación de Discapacidad Intelectual incluidos en el aula de estudio.
THA de la aritmética inicial en relación con Lengua de Señas Colombiana, para atender
a población sorda: La investigación busca explorar las relaciones entre las tecnologías, los
juegos y el desarrollo de los niveles de las trayectorias de aprendizaje en estudiantes sordos.
Se quiere identificar las Trayectorias Reales de Aprendizaje (TRA) y observar el efecto del
uso de materiales didácticos en el desarrollo de las trayectorias y del lenguaje en esta
población. Este estudio será desarrollado con población sorda pero con la intención de
responder a las características de los diseños universales. Se tiene en cuenta en este proceso
una visión precisa sobre la formación matemática de la cual se busca abordar y los
diferentes procesos de formación que se pueden evidenciar en los niveles iniciales (León &
Calderón, 2008) además se requiere tener diferentes estrategias para lograr que los
estudiantes puedan resolver situaciones problema a través de didácticas que potencialicen
su pensamiento y mejoren el rendimiento analítico por medio de la LSC.
En esta investigación se articulan específicamente las THA de subitización, conteo y
comparación, orden y estimación, con un sistema de juegos adaptados para propiciar
procesos de enunciación matemática en lengua de señas colombiana (LSC) en estudiantes
sordos. Su objetivo es explorar las relaciones entre los niveles de las THA y el desarrollo
del lenguaje en niños sordos, a través desde el diseño de actividades que incluyen el juego
como dispositivo didáctico.
Teniendo en cuenta las propuestas expuestas se busca que se responda en la
presentación a las siguientes preguntas:
148
¿Cómo responder a esas diferencias individuales, en cuanto a edad, intereses,
habilidades, experiencias académicas, nivel lingüístico y realidades familiares, de los
estudiantes sordos en la educación matemática?
¿Qué tipo de adaptaciones deben tener los juegos o actividades propuestas para todos sin
marginar poblaciones sordas, ciegas o en situación de Discapacidad Intelectual?
Desde la exploración realizada en las investigaciones ¿Qué necesidades para el diseño
didáctico presenta cada población atendida y en qué medida la propuesta de incorporar
tecnologías y juegos como dispositivos didácticos permite desarrollar diseños didácticos
accesibles?
Finalmente, es importante resaltar que estas investigaciones se desarrollan en el marco
de la formación de Maestría en Educación Matemática de la Universidad Distrital Francisco
José de Caldas, bajo la dirección de la Dra. Olga Lucía León, en la línea de investigación de
Didáctica de las Matemáticas adscrita al Grupo de Investigación Interdisciplinaria en
Pedagogía del Lenguaje y las Matemáticas GIIPLyM y también se vinculan al proyecto
ACACIA cofinanciado por el programa ERASMUS + de la Unión Europea.
REFERENCIAS
Clements, D. & Sarama, J. (2015). El Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas a
Temprana Edad: El Enfoque de las Trayectorias de Aprendizaje. Traducido por: León O. &
Otros. Learning Tools LLC.
Constitución Política de la República de Colombia (1991).
León, O., & Calderón, D. (2008). Procesos de formación matemática en niveles iniciales
en estudiantes sordos. (pág. 4). Bogotá: Colciencias.
León, O., Bonilla, M., Romero, J., Gil, D., Correal, M., Ávila, C., Bacca, J., Cavanzo,
G., Guevara, J., Saiz, M., García, R., Saiz, B., Rojas, N., Peralta, M., Flores, W., &
Márquez, H. (2014). Referentes curriculares con incorporación de tecnologías para la
formación del profesorado de matemáticas en y para la diversidad. Universidad Distrital
Francisco José de Caldas. Bogotá.
149
León, O., Romero, J., Carranza, E., Sanchez, F., Suárez, W., Castro, C., Gil, D., Bonilla,
M. (2017). Arquitectura de validación de diseños didácticos para la formación de
profesores de matemáticas que acojan la diversidad de las poblaciones. Revista Colombiana
de Educación (73), 235-260.
León, O., Díaz, F., & Guilombo, M. (2014). Diseños didácticos con incorporaciones
tecnológicas para el aprendizaje de las formas geométricas, en primeros grados de
Skliar, C. (2003). La educación de los sordos. Obtenido de
http://modalidadespecial.educ.ar/datos/recursos/pdf/skliar-educacion-sordos-2003.pdf
150
ANEXO 4: AMBIENTES DE APRENDIZAJE ACCESIBLES Y AFECTIVOS EN
EDUCACIÓN GEOMÉTRICA
Olga Lucía León Corredor, Nancy Johanna Alonso Neira, Fredy Alejandro Barbosa
Meléndez, Elba Azucena Martínez, Weimar Muñoz Villate, John Páez, Natalia
Andrea Palomá Barrera.
Universidad Distrital Francisco José de Caldas [email protected], [email protected], [email protected], [email protected],
[email protected], [email protected], [email protected]
Este documento tiene como propósito presentar avances de la investigación
sobre ambientes de aprendizajes y accesibilidad en la educación geométrica. En
el primero se presentan fundamentos sobre los ambientes de aprendizaje
accesibles; en el segundo, se destacan la investigación sobre la relación
currículos y comunidades rurales; en el tercero se presenta la relación
geometría-aritmética y accesibilidad. Y finalmente, en el cuarto, se presentan
algunas relaciones históricas entre geometría y cálculo para la no exclusión de
formas para la comprensión del Teorema Fundamental del Cálculo en las
carreras de ingeniería. Los anteriores enfoques destacan la relación
investigación-práctica escolar y accesibilidad como una relación necesaria para
el desarrollo de la educación geométrica en Colombia.
Fundamentos sobre ambientes de aprendizaje accesibles.
La reflexión sobre los ambientes de aprendizaje en la educación tiene diversas fuentes:
la investigación educativa en general (Kaiser & Hester, 1993); la educación matemática en
general (Wittmann, 2013); la didáctica de la matemática (Brousseau, 2010); la
investigación social en educación matemática (Espasadin Lopes & Jaramillo, 2017); la
investigación en las ciencias del diseño y los experimentos de enseñanza (Rico, 1997) y
desde la investigación en redes neuronales e inteligencia artificial (Lahoz-Beltrá, 2007). En
las investigaciones recientes sobre accesibilidad e inclusión en la educación matemática, se
articulan los resultados de fuentes tan diversas como las mencionadas anteriormente para
fomentar la presencia en la educación, de poblaciones marginadas de los procesos
escolares.
Las relaciones entre: accesibilidad, afectividad y ambientes de aprendizaje, se
desarrollan a partir de las caracterizaciones que se presenten sobre los tres componentes
151
mencionados. La accesibilidad puede ser estudiada como un derecho fundamental, como
una característica y compromiso de las prácticas grupales; como un signo de desarrollo
cultural y económico; y en el espacio educativo, como un atributo de los diseños didácticos
(Castiblanco & León Corredor, 2018). La accesibilidad es según el artículo 9 de la
“Convención sobre los derechos de las personas con discapacidad de las Naciones Unidas”:
[…] medidas pertinentes para asegurar el acceso de las personas con discapacidad, en
igualdad de condiciones con las demás, al entorno físico, el transporte, la información y las
comunicaciones, incluidos los sistemas y las tecnologías de la información y las
comunicaciones, y a otros servicios e instalaciones abiertos al público o de uso público,
tanto en zonas urbanas como rurales. (Organización de las Naciones Unidas, 2006).
La presencia de enfoques complementarios al jurídico en el estudio de la accesibilidad
en el campo de la educación, se materializa en el Diseño Universal de Aprendizaje (DUA)
que refiere a: “las condiciones que deben cumplir los entornos, procesos, bienes, productos
y servicios, así como los objetos o instrumentos, herramientas y dispositivos para ser
comprensibles, utilizables y practicables por todas las personas en condiciones de seguridad
y comodidad y de la forma más autónoma y natural posible” (Banco Interamericano de
Desarrollo, 2001; p. 12). De acuerdo con lo anterior, cualquier diseño en educación debe
ser accesible.
La afectividad entendida como: “Capacidad para ser influido por agentes externos o
internos a través de la experimentación de emociones vinculadas con vivencias de la
realidad externa” (León Corredor, Alfonso, Romero, Bravo-Osorio, & López, 2018, p. 23),
es otro de los elementos necesarios en el desarrollo de una educación geométrica para
todos.
En las investigaciones cuyos resultados se presentan en este documento se asumen los
ambientes de aprendizaje como:
[…] lugar, concepto vivo, resultado, e instrumento dinamizador para que ocurran
fenómenos del aprendizaje en una población específica. Es decir, permite crear condiciones
para la participación activa y permanente de estudiantes y profesores desde un ejercicio
interactivo para la co-construcción del conocimiento, lo cual da lugar a la constitución de
152
redes de donde la participación crítica de personas constituye comunidades de aprendizaje
con propósitos y responsabilidades comunes que les permite identificarse como parte de un
colectivo. (León Corredor, Alfonso, Romero, Bravo-Osorio, & López, 2018, pp. 10-11)
Un ambiente de aprendizaje accesible y con afectividad da cuenta del alcance de
aprendizaje para todas las personas involucradas en la práctica pedagógica y didáctica, se
diseña retomando principios del DUA.
La comprensión de la presencia de la accesibilidad y de la afectividad en los ambientes
de aprendizaje requiere investigación que, para el caso de la educación geométrica,
incorpore las relaciones entre: geometría, aritmética, educación, tecnología y formación
profesional.
PROBLEMAS, EMOCIONES, TECNOLOGÍA Y APRENDIZAJE
Tradicionalmente, los ejercicios de investigación en solución de problemas
se han enfocado en las habilidades cognitivas generales, aunque durante los
estados iniciales del proceso de solución de problemas, se han encontrado
relaciones con el proceso de reconocimiento, definición y representación del
problema. Para comprender el proceso de solución de problemas, actualmente
se cuenta con las teorías cognitivas. Desde este campo, la cognición es la
capacidad para procesar información. Los estudios en cognición se han
desarrollado desde dos perspectivas: la psicología cognitiva y la ciencia
cognitiva. La psicología cognitiva estudia los procesos mentales desde la
teoría del procesamiento de información y la teoría evolutiva. Desde la
segunda ola de la revolución cognitiva, la explicación de del funcionamiento
de la mente, no se simplifica en el procesamiento de información, sino como
resultado de la regulación adaptativa que ilustran nuevas características de
atención, categorización, razonamiento, aprendizaje, emoción y motivación.
153
Un problema significa obstáculo, el cual genera una incertidumbre que debe
ser examinada y resuelta. Sin embargo, la forma de solucionarlos depende del
tipo de problema y su complejidad (Mayer et al. 1996). Solucionar un
problema es desarrollar un proceso cognitivo para encontrar un camino que
permita la transición de un estado inicial a un estado meta. Las cuatro
tradiciones son: Gestalt, comportamiento, procesamiento de la información y
psicosométrica. La tradición de la Gestalt propone que la reestructuración es
un proceso esencial en el pensamiento y parte fundamental de la solución de
problemas. Esta tradición busca comprender el insight, el pensamiento
productivo y la reorganización estructural. De los ejemplos m as tradicionales
se encuentra el problema de la vela de Duncker, donde se demuestra como la
presentación de los componentes de un problema incide en la percepción del
sujeto y por lo tanto en su solución. La tradición del estudio del
comportamiento est a asociada a los procesos de estímulo res- puesta. La
tradición del procesamiento de información está basada en la idea de búsqueda
en un espacio del problema, donde sus componentes están asociados a la
entrada de información, proceso, codificación, representación,
almacenamiento y salida de información (Montealegre 2007)
El desarrollo de las nuevas tecnologías permite aumentar las estrategias
para el reconocimiento de los estados emocionales y cognitivos de los
estudiantes durante la solución de problemas. El reconocimiento de los
estados emocionales no solo corresponde a los gestos tradicionales,
actualmente hay un interés en la comunidad académica por reconocer como el
cuerpo, en su totalidad, es utilizado para expresar emociones relacionadas con
154
el aprendizaje. De otra parte, las herramientas tecnológicas brindan la
posibilidad de realizar seguimientos de los estados de la solución del problema
transitados por los estudiantes. Así, la relación entre los datos emocionales y
cognitivos abre nuevas posibilidades en la comprensión del aprendizaje y el
beneficio para promoverlo más asertivamente (Kim et al., 2011).
Las emociones están compuestas de varios códigos que se presentan a lo
largo del aprendizaje y están relacionadas con el proceso y esfuerzo cognitivo
de los estudiantes (Kadar et al., 2016). Los gestos emocionales están
clasificados de acuerdo con los procesos mentales y al uso de diferentes partes
del cuerpo en la intensión de buscar alternativas para acercarse a la
representación y solución del problema (Páez et al., 2017). Los gestos de los
estudiantes pueden ser capturados por sistemas sensoriales que no solo
reconocen las expresiones faciales, sino además las expresiones corporales
asociadas a aspectos cómo: manos en el mentón, manos en la cabeza, mirada
hacia el problema, mirada hacia un punto específico fuera del problema, etc.
Por ejemplo, desde la teoría del fluir, los gestos emocionales están relacionado
con las variables “Habilidades del Aprendiz” y “Desafío del problema de
aprendizaje” y se pueden agrupar en expresiones cómo aburrimiento,
concentración y ansiedad. Cuando un estudiante tiene suficientes habilidades
en relación con el desafío planteado, entonces la reacción emocional es
aburrimiento; por otra parte, cuando las habilidades del estudiante son bajas en
relación con el desafío del problema, entonces la respuesta emocional es
estado de ansiedad. Mediante técnicas de Aprendizaje Automático se han
desarrollados modelos que clasifican las expresiones faciales en gestos
155
emocionales asociados al aprendizaje (Graesser et al., 2014) La entrada de
datos del sistema informático incluye expresiones faciales, el movimiento de
las manos, la posición de las manos y las intenciones expresadas mediante la
combinación de los órganos de cuerpo de acuerdo a estados específicos del
problema. La generación del sistema clasificador se hace mediante técnicas de
agrupamiento como k-means, canopy y redes neuronales. Las perspectivas de
uso de esta tecnología ofrecen nuevas posibilidades en atención al soporte
asertivo durante el aprendizaje en distintas poblaciones.
De otra parte, el reconocimiento del estado cognitivo a través del
seguimiento de los pasos empleados por los estudiantes durante la solución del
problema también brinda nuevas posibilidades en tanto supera las limitaciones
de memoria de los tutores humanos para recordar de manera precisa los
diferentes estados asertivos y no asertivos de los sujetos en la solución. Por
ejemplo, muchos de los juegos matemáticos emplean fichas físicas o bloques
en la solución de problemas de transformación. Juegos como ajedrez, torres de
Hanoi, y la escalera requieren la habilidad de manipulación. Entonces, la
forma en que los estudiantes manipulan las fichas y el orden de las fichas
durante la solución del problema puede ser detallada con sistemas
tecnológicos para determinar aspectos como: errores de los estudiantes,
conceptos errados, conceptos correctos, tendencias a errores, etc. (Pea et al.,
2004). Las nuevas tendencias de herramientas didácticas apoyadas en la
tecnología de Internet de las Cosas, permite hacer seguimientos de fichas y de
esta manera construir, sobre los espacios de los problemas de aprendizaje, el
espacio del estudiante y de esta manera realizar comparaciones sobre el
156
desempeño del estudiante y de otros estudiantes para también mejorar la
asertividad de las intervenciones del docente.
Currículos y accesibilidad: los ambientes de ruralidad
Las reformas curriculares en geometría han jugado un papel preponderante en el
fortalecimiento de la economía colombiana. Ya que, inicialmente, se promovió un currículo
prescrito que varió de un periodo a otro así: Desde 1903 hasta 1956, los currículos se
centraron en la enseñanza de la geometría euclidiana a través de demostraciones, luego a
partir de 1962 se enfatizó en el análisis matemático (León, 2005). Sin embargo, los
currículos no fueron la solución para el progreso científico y tecnológico de la nación, por
ello la Ley General de Educación de 1994 promovió la autonomía curricular que dio
libertad a las instituciones educativas para elaborar su propio currículo y formular los
logros de su trabajo pedagógico.
La literatura en Educación Matemática, en el ámbito internacional, hace énfasis en
incrementar investigaciones para formular currículos en ambientes rurales en los que se
integren: la cultura, la historia y los intereses de las comunidades (Apple, 1994), apoyando
los proyectos de vida de la juventud rural (Howley, Howley, & Huber; 2005),
conectándolos con los conocimientos matemáticos y culturales (William, 2002);
identificando que varía y que permanece en las culturas rurales, en virtud de que, no toda
“cultura” rural es igual, ya que su densidad poblacional y su actividad económica hace que
cambien (Long, Bush, & Theobald, 2003). Y se invita a que los profesores que enseñan en
las escuelas rurales a diseñar currículos en los que los estudiantes puedan: formular y
expresar sus ideas matemáticas articuladas en la articulación teorías matemáticas y los
lugares en los que habitan (A. A. Howley & Hopkins, 2005).
En el ámbito nacional, algunos esfuerzos como los desarrollados por ACACIA1
relacionados con la formación del educador matemático en poblaciones indígenas de
América Latina y el Caribe, invitan a realizar organizaciones curriculares en las que se
1 Este es un proyecto financiado por ERASMUS de la Unión Europea, que está siendo coordinado por la Dra. Olga Lucía León.
157
vincule lo regional (las raíces históricas y las prácticas ancestrales) con las matemáticas
(formales y convencionales) (León et al., 2014; Lipka & Adams, 2004).
En lo que respecta al diseño curricular para la geometría escolar, se enfatiza en que la
geometría es un producto social y cultural de la humanidad; cuyo conocimiento emergió de
algunas actividades rurales como fueron: construir edificios, construir estanques de agua,
canalizar, sembrar, distribuir terrenos, entre otras. Por ejemplo, algunas investigaciones han
reconocido las prácticas de tejedores, alfareros y granjeros, con poca o ninguna escolaridad
y sin influencia de la cultura occidental, y han mostrado las cómo estas comunidades logran
desarrollar distintas representaciones planas del espacio (Mukhopadhyay, 1987; citado en
Hershkowitz, 1990). Reconociendo que, históricamente los conocimientos geométricos
emergen de la exploración que hace el hombre de su cuerpo en relación con espacio que le
circunscribe (Heamon, A. J; 1978).
A nivel internacional, algunos esfuerzos curriculares han tomado como referencia los
NTCM (2000) para mostrar dos maneras de proceder en matemáticas una informal y otra
formal, y con ellas, ofrecer oportunidades para que los escolares rurales puedan acceder al
conocimiento geométrico. Una de las organizaciones representativas de este asunto es
ACCLAIM, que ha fomentado las conexiones entre las matemáticas y la cultura de las
comunidades rurales a través de programas como: la Pedagogía Cultural del Lugar de la
Educación Matemática (PMBE) (Showalter, 2013), y la reforma curricular de Matemáticas
en un Contexto Cultural Math in a Cultural Contexto (MCC) que promueve conexiones
entre las matemáticas y la cultura de las comunidades rurales (A. A. Howley & Hopkins,
2005).
Dentro de esta propuesta se aborda el pensamiento métrico y geométrico, las
investigaciones desarrolladas por Lipka et al. (2012) y Rickard (1980, 1995, 2005, 2010,
2013, 2016) con la cultura Yup'ik ayudan a consolidar el módulo: construyendo un
estanque para pescados: una investigación sobre la demostración, propiedades, perímetro y
área. En ella, se parte de como la cultura construye estanques de pescado para secar el
salmón y luego se articula con la malla curricular de matemáticas propuesta para grado
sexto, con los cuales se enseña a los estudiantes a descomponer los rectángulos que están
158
vinculados a los estantes de peces y en los que se requiere un conjunto de conexiones
matemáticas que deben realizar los estudiantes.
LENGUAJE Y FORMA CON POBLACIONES SORDAS
Un ambiente de aprendizaje afectivo y accesible tiene en cuenta no solo el desarrollo
cognitivo, sino también, el desarrollo emocional, lingüístico y cultural, como parte de la
integralidad del ser humano (Baquero, 2017). En los primeros años de vida un niño utiliza
los gestos deícticos, simbólicos e icónicos, que evolucionan de uno a otro hasta adquirir un
lenguaje “verbal”, (Chamarrita, 2007). En el caso de los niños sordos el gesto va
estrechamente unido a ese desarrollo lingüístico. Gran parte de los sentimientos, emociones
y deseos pueden transmitirse a través de gestos. La imitación y la designación como parte
del desarrollo del lenguaje, en los primeros desarrollos comunicativos son del tipo viso-
gestual y le dan al niño sordo la posibilidad de conocer y comunicar las cosas que le rodean
(Castro, 2002).
El cuerpo como unidad multiestructural de expresión, de cognición, de generación de
emociones y de interacción, se convierte no solo en una mediación para el aprendizaje (es
herramienta), sino también se constituye en un organismo que aprende, produce, transforma
y guarda aprendizaje (Calderón & León, 2016). En la siguiente secuencia que pertenece a
una sesión de un ambiente de aprendizaje del número con poblaciones sordas, (Alonso,
2019) se identifican las relaciones:
Cantidad – Forma: La estudiante no expresa de manera inmediata “cuatro”, presenta la
forma de la cantidad y recupera la cantidad por su forma (ver fotos 1 -5).
Lengua – Forma: La estudiante expresa con su mano derecha parte del signo lingüístico
que designa una forma (el signo lingüístico análogo en español es la palabra “rombo”), con
su mano izquierda expresa el proceso de conteo (movimiento deíctico) (ver fotos1-4) y al
final dos signos lingüísticos, el de la forma y el numeral (ver foto 5).
Cognición – Lengua – Emoción: La estudiante concentra su atención en la cantidad, se
presenta una expresión emotiva neutra, solo percibe concentración no hay signos de
emociones particulares, el estado afectivo parece vincularse al objeto (mirada fija en las
159
manos) (ver fotos 1-4 de la Figura 1), cuando obtiene la doble expresión lingüística donde
se presenta la cantidad identificada, hay una expresión de satisfacción o de alegría (sonrisa
y mirada al interlocutor) (ver foto 5 de la Figura 1).
Figura 1. Fotografías de participación de una estudiante en la representación de cantidad
Los niños utilizan la lengua para designar objetos de su entorno y se acompañan de actos
deícticos y gestos simbólicos que corresponden a las formas que perciben, lo que quieren
expresar de ello e incluso un estado emotivo o afectivo que se vincula al desarrollo
cognitivo. “Para Piaget, los niños no “leen” de su medio ambiente espacial, sino que por el
contrario construyen sus ideas acerca de las formas mediante su manipulación activa en el
entorno” (citado por Clements & Sarama, 2015, pág. 200), existe entonces también un
desarrollo aritmético que pasa por la lengua, forma y espacio, manifestando avance en
diferentes trayectorias de aprendizaje que se complementan entre sí. Las características de
la lengua de señas y la importancia de la información viso-gestual, pueden ser consideradas
como un recurso potente para integrar diferentes enfoques en los procesos de aprendizaje
de la geometría (Duval, 2016).
JUEGO PATRONES Y FORMA
La presencia de estudiantes con capacidades diferentes en la investigación con las
trayectorias de aprendizaje está aportando en la comprensión de procesos de aprendizaje de
las matemáticas en poblaciones diversas, a partir de experiencias con personas sordas y
ciegas. En la investigación llevada a cabo por Palomá (2018) se tuvieron en cuenta aspectos
160
del desarrollo emocional, gestual y corporal de las personas al momento de participar en el
juego, y se analizó la importancia de estos aspectos para el aprendizaje de las matemáticas.
En la Figura 2, se muestran algunos de los participantes del juego La Escalera con quienes
se empezaron a hacer estudios sobre los gestos y emociones frecuentes de los jugadores. En
la investigación participaron diferentes poblaciones como amas de casa, estudiantes de
colegio, universidad y profesores de diferentes asignaturas.
Figura 2. Prototipo del juego La Escalera con adaptaciones a poblaciones.
En la investigación se establecieron niveles de una trayectoria del juego La Escalera en
los que los jugadores van transitando entre los niveles de principiante, intermedio y
experto. En la Figura 3 se observan dos grafos de dos jugadores diferentes, uno intermedio
y otro experto durante la realización del juego.
Figura 3. Algunas emociones del jugador al desarrollar el juego La Escalera
161
Paralelamente, la investigación buscaba articular elementos de las emociones de los
jugadores, tanto a los gestos emitidos por ellos como a las situaciones de juego. En la
Figura 4, se muestra una gráfica con el porcentaje de nueve emociones que un jugador de
La Escalera presentó al desarrollar el juego en las primeras ocho jugadas.
Figura 4. Algunas emociones del jugador al desarrollar el juego La Escalera
En este estudio exploratorio se muestran resultados que indican que al construir patrones
aritméticos simultáneamente se desarrollan procesos como la orientación, localización y
ubicación espacial, que son necesarios para la formulación de patrones aritméticos. Así, en
esta investigación se encontraron los siguientes patrones:
Corporales. Los movimientos orientados de las unidades básicas M: mirada, M: mano, y
C: cabeceo, se consolidan en una secuencia de movimientos que se manifiesta en un ritmo
corporal reiterativo. Es decir, se manifiesta un patrón corporal.
Lingüísticos. La enunciación de las unidades básicas: A: movimiento de amarilla y R:
movimiento de roja, se consolida en una secuencia de enunciaciones que se manifiesta en
un “tarareo tipo canción” reiterativo. Se manifiesta un patrón lingüístico.
Aritmo-geométrico. El registro de cantidades en organizaciones espaciales siguiendo
regularidades para la organización de las cantidades según una forma geométrica. Se
manifiesta un patrón aritmo-geométrico.
162
En la Figura 5 se muestra que en el nivel 8 de la trayectoria de aprendizaje de patrones
estudiada, se encuentran procesos de representación de patrones en el que cada número de
cada fila significa la cantidad de movimientos de una ficha de un color, así en la fila 3: el 1
es un movimiento de la ficha roja, el 2 de la ficha amarilla, y el siguientes 2 de la roja, y así
sucesivamente.
Figura 5. Conteo mínimo de movimientos en el juego La Escalera
El diseño de una trayectoria hipotética para el desarrollo de patrones incorporando un
juego accesible a poblaciones, como el de la escalera, permitió relacionar emociones,
grafos para representar los posibles recorridos de los jugadores y patrones de diversos tipos.
En este tipo de estudio se articulan de manera natural procesos aritméticos y procesos
geométricos.
NÚMERO, FORMA Y ESPACIO Y LA DISCAPACIDAD INTELECTUAL
Dentro de la entrada geométrica como una vía para el desarrollo de trayectorias
hipotéticas de aprendizaje asociadas al número, se encuentra el manejo del espacio, se
puede considerar por ejemplo que dos elementos de una misma naturaleza ocupan más
espacio que uno, un bebe de meses de nacido puede reconocer la diferencia de cantidad al
identificar perceptualmente el espacio que los elementos ocupan (Lakoff y Núñez, 2000).
163
Un factor importante para el diseño de tareas de subitización es el arreglo espacial de los
objetos (Clements y Sarama, 2015). Para los niños pequeños, los objetos puestos en una fila
son los más fáciles, luego vienen los arreglos rectangulares (pares de objetos en filas) y
arreglos de tipo “dado” o “dominó,” seguido por combinaciones de arreglos. Sin embargo,
aclara que estos aspectos pueden potenciar las habilidades o generar obstáculos, si no se
reconoce las conexiones entre la cardinalidad y los arreglos figúrales, es decir que se hace
necesario cuantificar ese espacio.
Para el trabajo con población en condición de Discapacidad Intelectual, se reconoce que
se debe generar un sistema de apoyo continuo que fortalezca las experiencias de
aprendizaje y dote de significado los procesos que va desarrollando. Clements y Sarama
(2015), plantean que con poblaciones que tengan necesidades especiales, los profesores
deben cultivar la familiaridad con los patrones regulares, mediante la realización de juegos,
no se debe subestimar en estas poblaciones las competencias numéricas básicas como la
subitización.
Previo a la cantidad cinco, las cantidades 1, 2, 3 y 4, se trabajan desde distintas
configuraciones y al realizar procesos de subitización con fichas, los niños no solo
discriminan la cantidad, sino también la forma. En la imagen se muestra el grupo de piezas
dado a los niños para un taller de imágenes instantáneas, los modos de organización
asociados a la cantidad y procesos de reparación de forma dada una misma cantidad.
Figura 6. Colocar título.
164
Patrones figurales posteriores a la cantidad cinco, dan cuenta de ideas de composición y
descomposición a través de la subitización conceptual y asociado a la forma se pueden
establecer colecciones estructuradas como las siguientes, en las cuales los niños dicen
cuanto falta para ser cinco o para ser diez, o hacen relaciones como “cinco y dos, siete”.
Estableciendo una relación directa entre las configuraciones, la percepción de cantidad y las
características aditivas del sistema numérico.
Figura 7. Colocar titulo
Por otro lado, cuando se trabaja una trayectoria de conteo, además de presentar patrones
figúrales, se hace necesario proponer diferentes configuraciones espaciales de la cantidad,
ya que se requiere que el niño genere un orden para realizar el conteo y pueda explicitar la
serie numérica acompañada de gestos manuales y movimientos de los ojos; lo que muestra
que el niño ejerce una actividad al establecer una correspondencia entre el conjunto de los
objetos por una parte y la serie numérica hablada, por la otra. (Vergnaud G., 2003, Pg.
102).
LA ACCESIBILIDAD EN LA FORMACIÓN DE INGENIEROS DESDE UN
ENFOQUE GEOMÉTRICO.
165
El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) es una piedra angular dentro de la
estructura, que conocemos hoy en día como, análisis matemático. La forma en la cual se
presenta el TFC actualmente en las universidades, se desarrolla desde un punto de vista a-
histórico. Esta manera es correcta matemáticamente, pero ha ofrecido problemas para su
comprensión. En este escenario, surge la necesidad de ofrecer una manera distinta de
enseñanza del TFC que incorpore diferentes vías de acceso al TFC para disminuir barreras
de acceso a estudiantes en diferentes condiciones de comprensión. En este pequeño
apartado, se propone retomar como vía alterna a la presentación actual, la que recupera
macro argumentos de Leibniz, de carácter geométricos con alto valor explicativo.
En efecto, la idea que desarrolló Gottfried Leibniz para crear su cálculo infinitesimal,
fue que la suma y la resta son operaciones inversas, lo que conlleva a pensar que el TFC es
obvio, (Katz, 2008). Leibniz buscaba hallar el área bajo una curva y para eso, construyó
una curva auxiliar para la cual la pendiente es proporcional a la altura de la curva original
(Bressoud, 2011a), usando herramientas geométricas. Su TFC apareció en 1693 en el Acta
Eruditorum, una revista mensual que él mismo ayudó a fundar, (Struik, 1969).
En la mayoría de textos (salvo pequeños cambios), se suele enunciar el TFC de la
siguiente manera (e.g. Stewart, 2015; p. 326):
Figura 8. Presentación habitual del TFC en textos universitarios.
La presentación del TFC que se dará a continuación, corresponde a la segunda parte del
TFC, el numeral (2) o parte evaluativa. En la siguiente figura (figura 2 en Acta Eruditorum,
166
(Roinila, 2012)), los puntos entre paréntesis (H), (F), (C) y (B) son infinitesimales. La
curva AH(H) es la figura a la que se le quiere hallar el área, y la curva C(C) es la curva
cuya derivada en C es precisamente FH. Se debe tener en cuenta que Leibniz alcanzó su
resultado comparando los triángulos TBC (triángulo característico) y CE(C) (el triángulo
diferencial) de esta figura, de la siguiente manera:
Figura 9. Reconstrucción de la demostración de Leibniz del TFC.
167
Leibniz dio así una forma para encontrar el área bajo una curva. Al igual que Newton,
propone un resultado y da el algoritmo para su uso. En efecto, utilizando nuestra notación
moderna y usando el resultado de Leibniz, se puede concluir (2):
Si se quiere hallar el área bajo una curva con ordenada , lo que se necesita es encontrar
una curva z tal que . Es decir, si , se debe buscar (su
antiderivada) que satisfaga:
. De manera particular, o análogamente,
En estos términos, F(a)=0, entonces Se acaba de
demostrar la siguiente versión del TFC (2), (Lopez, 2011):
Teorema: Sea una función continua y suponga que
es una cuadratrix para f, es decir, F es continua en , diferenciable en y
para todo x en Entonces:
Leibniz llega al TFC empleando el triángulo diferencial y su relación con el triángulo
característico. Esta relación también fue usada en su Teorema de Transmutación (Katz,
2008). Sin embargo, el uso del triángulo diferencial no fue exclusivo de él. Isaac Barrow en
su versión del TFC, ya lo había empleado. ¿Por qué entonces no se dice que Barrow fue el
creador del TFC? Según D.T Whiteside puede ser por la posibilidad de ofrecer un
algoritmo (como sí lo hicieron Newton y Leibniz) para hallar la solución de un problema de
168
áreas, más que mostrar, únicamente, que la derivación e integración son procesos opuestos
(Bressoud, 2011b, pag. 103).
Como datos para el lector, pueden verse las similitudes entre la demostración de Leibniz
y Barrow en Lopez, J., (2011). Para tener una mejor comprensión del teorema de
transmutación, puede referenciarse a la exposición en Mena, R. (n.d.).
REFLEXIONES FINALES
La presencia de la accesibilidad y la afectividad en la educación geométrica además de
generar la articulación de estructuras provenientes desde diversos campos del saber en las
investigaciones que la incorporan, es una oportunidad para desarrollar una postura ética y
política para el sistema educativo colombiano, en donde se reconozca el derecho a la
educación para todas las poblaciones, y en particular el derecho una educación geométrica
desde la primera infancia hasta la educación universitaria.
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen al proyecto ACACIA (561754-EPP-1-2015-1-COEPPKA2-
CBHE-JP) cofinanciado por el programa Erasmus+ ACACIA: Centros de Cooperación
para el Fomento, Fortalecimiento y Transferencia de Buenas Prácticas que Apoyan,
Cultivan, Adaptan, Comunican, Innovan y Acogen a la comunidad universitaria
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