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José Agüera Soriano 2011 1

ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS


• EQUILIBRIO DE UN LÍQUIDO• LÍQUIDO EN REPOSO• LÍQUIDO GIRANDO ALREDEDOR DE EJE VERTICAL• LÍQUIDDO UNIFORMEMENTE ACELERADO • MANÓMETROS • FUERZA SOBRE UNA PARED• PRESAS

ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS


Concepto de equilibrio Cuando no existe movimiento relativo de unas partículasrespecto a otras. No hay pues gradiente de velocidadentre capas: el fluido se comporta como no-viscoso y se mueve como si fuera un sólido.

G

cF

R


Ecuación de equilibrio

F

z

x

y

A d y Ed x

HDd z

B

C G

p M x , y , z( ) p d p+N

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=⋅dzdydxZdzdydxYdzdydxX

dzdydxRdmRρρρ

ρ

),,( zyxXX =

),,( zyxYY =

),,( zyxZZ =


F

z

x

y

A dy Edx

HDdz

B

C G

p M x, y, z( ) p dp+N

),,( zyxpp =

dzzpdy

ypdx

xpdp ⋅

∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=

dyypdp ⋅

∂∂

=

;

Yyp

dzdydxYdzdxdyyp

⋅=∂∂

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∂∂

ρ

ρ

Entre M y N,


ZzpY

ypX

xp

⋅=∂∂

⋅=∂∂

⋅=∂∂ ρρρ ; ;

)( dzZdyYdxXdzzpdy

ypdx

xp

⋅+⋅+⋅⋅=⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂ ρ

)( dzZdyYdxXdp ⋅+⋅+⋅⋅= ρ

0=⋅+⋅+⋅ dzZdyYdxX

Condiciones de equilibrio

Ecuación de equilibrio

Ecuación de las isobaras

F

z

x

y

A dy Edx

HDdz

B

C G

p M x, y, z( ) p dp+N


ap

x

z

y

M

g

SLLLíquido en reposo

X = 0Y = 0Z = − g

0 ;0 ==⋅− dzdzg

Kz =

Ecuación de las isobaras

∫ ⋅−⋅=− 2 112 dzgpp ρ )( 2112 zzpp −⋅=− γ

Diferencia de presión entre dos puntos



)( 2112 zzpp −⋅=− γ

Presión en un punto

: :

⋅=⋅+=

⋅=−hprelativapresión

hppabsolutapresiónhpp a

a γγ

γ

Hzpzp=+=+ 2

21

1

γγ)( 2112 zzpp −⋅=− γ

plano de referencia

z1

h

H

1

SLL

/p γ=1 1

M

2z

2z

2ph =2 γ/

ap

/=h p γ


zgm ⋅⋅

J/kg zg ⋅

EHgzgpzgp=⋅=⋅+=⋅+ 2

21

1

ρρ

Multiplicando por g, los términos resultantes representanenergía por unidad de masa. En el S.I. de Unidades, (N m, ó J); y por kilogramo:

la energía total, suma de la energía de presión y de la de posición, es la misma en todos los puntos de un líquido en reposo.

Hzpzp=+=+ 2

21

1

γγ

zgm ⋅⋅


gZyYxX

2

2

−=⋅=

⋅=

ω

ω

0=⋅+⋅+⋅ dzzdyYdxX

0 22 =⋅−⋅⋅+⋅⋅ dzgdyydxx ωω

KzgrKzgyx =⋅⋅

−=⋅⋅

−+ 22

222 2 y/o 2

ωω

Líquido girando alrededor de un eje vertical

Familia de isobaras: paraboloides de revolución.

x

z

( )

·2 x

gg

r M

2·yy

·2=Fc

x, y, zr


)( dzZdyYdxXdp ⋅+⋅+⋅⋅= ρ

)( 22 dzgdyydxxdp ⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅= ωωρ

( ) ( )21

21

222

12 2zgyxpp ⋅⋅−+⋅⋅=− ρωρ

)()(2 12

21

22

2

12 zzrrpp −⋅−−⋅⋅=− γωρ


máxpp=preferencia

plano de

máx

H

rR

z1

2z2

γ/p1

=p ppa

/12p γ

H


z

y

x

γp/

H zg

-aa

M

gZaY

X

−=−=

=

0


Kygaz +⋅−=

gatg −=α

Líquido uniformemente acelerado Aceleración horizontal

dygadz

dzgdya

⋅−=

=⋅−⋅−

;0

Familia de isobaras: planos inclinados paralelos al eje x.


)( dzZdyYdxXdp ⋅+⋅+⋅⋅= ρ)( dzgdyadp ⋅−⋅−⋅= ρ

)()( 212112 zzyyapp −⋅+−⋅⋅=− γρ

Hzpzp=+=+ 2

21

1

γγ


Si los puntos 1 y 2 están en un mismo plano paralelo al x-z (y1 = y2):

en general, la diferencia de presión entre dos puntos de una masa líquida en equilibrio que estén en la misma vertical, viene dada por el producto g · ∆z en todos aquelloscasos en los que, Z = − g.


h

M

MANÓMETROS

Tubos piezométricosPresión positiva

hp ⋅= γM

Presión negativa

⋅+===

=hpp

pppp a

γM2

121

(relativo) 0

hp ⋅−= γM

h

M

1 2

h

M


Manómetros de aire libre

p2 = p3 p3 = p4

hphpp ′⋅+=′⋅+= γγ 24M

hhp m ′⋅+⋅= γγM

que además se deduce directamente.

γ mMγ

h

3

'h

4 2

1


Manómetros diferenciales

hpphpppp

pppmm ⋅+=⋅+=

===

γγ 514354

321 ;

221151NM225N

111M )( hhpppphpphpp

⋅−⋅+−=−

⋅+=⋅+=

γγγγ

2211NM hhhpp m ⋅−⋅+⋅=− γγγ

h

54

γ

1γmγ

N

1 M

1 2 3

2

2h

h


Manómetros metálicos


extensímetro

Manómetros eléctricos

bobinasecundaria nº2

bobinasecundaria nº1

bobina primaria

tubo bourdon


+ s _

altapresión

presiónbaja

potenciómetro

carcasacápsula diafragma

placa basecristal decuarzosoldado

al arco

casquilloal puntosoldado

eléctricoconductor

carcasaconector

Manómetros eléctricos


FUERZA DE UN LÍQUIDO SOBRE UNA PARED

Pared horizontal

pa

h Fap

AhApF ⋅⋅=⋅= γ pa

Para efectos de fuerzas sobreparedes, las presiones que intervienen son lógicamente las relativas, ya que la presión del entorno queda compensadaal actuar por dentro y por fuera.

siendo A el área de la pared.


dAxdAhdApdF ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= αγγ sen

AhApF ⋅⋅=⋅= GG γ

Pared plana inclinada

x

CxG

α

x

CM( )x, y

A

x

αα

G

h hG

hgC

F·sen=h x

xCG

h = ·C senG

·=h x senα

SLLEl plano y-x es el quecontiene a la superficieA (área A), formandoun ángulo α conla SLL.

y

x


Centro de presiones C

x

CxG

α

x

CM( )x, y

A

x

αα

G

h hG

hgC

F·sen=h x

xCG

h = ·C senG

·=h x senα

SLL

y

x

dFxFxA∫ ⋅=⋅C

yAIdAxAxx =⋅=⋅⋅ ∫ 2

GC

AxI

x y

⋅=

GC

)sen( )sen( GC

dAxxAxx

A ⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅

∫ αγαγ

siendo Iy el momento de inercia de la superficie A, respecto al eje y.


Es mejor expresarlo respecto del eje g, paralelo al eje y, y que pasepor el centro de gravedad G de la superficie A (Ig):

AxII gy ⋅+= 2G

AxI

xx g

⋅+=

GGC

)( G AxI g ⋅ GC

0GC =

GC

teorema de Steiner

El término

Si giramos la superficie A alrededor del eje g, la línea de intersección(eje y) con la SLL se aleja a medida que el ángulo α disminuye; es decir, la abscisa xG aumenta y el punto C se iría aproximando a G:

cuando α = 0, y es infinito cuando α = 90º.

xG

y

AG

g

xes igual a


x

xGhG=

Ch =xC

SLL

α

FC

GA

y

x

Pared vertical

AhI

hh g

⋅+=

GGC

Cuanto más sumergida esté la superficie A, mayor será la altura hG y en consecuencia menor la distancia entre G y C.


b

SLL

A

G

C

GhCh

b

h

dz

z

dzbzdApdF

⋅⋅⋅==⋅=

γ

∫ ⋅⋅⋅=h dzzbF

0γ

2

2hbF ⋅⋅= γ

EJERCICIO Calcúlese la fuerza y el centro de presiones sobre un rectángulovertical, cuando el lado superior emerge o coincide con la superficie libre del líquido. Resuélvase: a) sin aplicar las fórmulas (a modo de ejercicio teórico); b) aplicando las fórmulas.

Solución Sin aplicar las fórmulas


b

S L L

A

G

C

GhCh

b

h

d z

z

b

SLL

A

G

C

GhCh

b

h

dz

z

∫ ⋅=⋅h dFzFh

0C

3

2

3

0 2

C

2 hbdzzbhhb h⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ∫ γγγ

hh ⋅=32

C


22

2

GhbhbhAhF ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= γγγ

622/12/

2

3

GGC

hhhhb

hbhhA

Ihh g +=

⋅⋅⋅

+=⋅

+=

hh ⋅=32

C

Aplicando las fórmulas

b

SLL

A

G

C

GhCh

b

h

dz

z


hF

hC

h

SLL

F

dx

Mh

A''

C

A

Fd h

G

2h

B''G

1h

d

Fv

dzN

Bv

z

A M'

b

B'N' '

dxbzdApdFv ⋅⋅⋅=⋅= γ

∫∫ ⋅⋅=⋅⋅⋅=B

A

B

ANN'MM' área bdxzbFv γγ

BB'AA'áreabFv ⋅⋅= γ

Pared curva Componente vertical

fuerza de gravedad de lamasa de líquido que quedasobre la superficie.

A veces es más sencillo utilizar esta característica en superficiesplanas inclinadas.


hF

hC

h

SLL

F

dx

Mh

A''

C

A

Fd h

G

2h

B''G

1h

d

Fv

dzN

Bv

z

A M'

b

B'N' '

Componente horizontal La componente horizontal será la fuerza sobre el rectánguloA”B”, proyección de la pared AB sobre un plano vertical.

Punto de aplicación

G

2

GG

3

GG

GC 1212/

hhh

hbhhbh

AhI

hh g

⋅+=

⋅⋅⋅

+=⋅

+=


21 vvv FFF −=

( )MAA'M'áreaMBB'M'área −⋅⋅= bFv γ

Si la pared curva fuese como la AMB:

GMhF C

A

2Fv

F 1v

B

MSLL ' 'A B'


' SLLBA'

hF BCAF

N

v

F

Fv

v

C

1

M

C

2

2

1

hF

EJERCICIO

Εl principio de Arquímedes dice que todo cuerpo sumergido enun líquido sufre un empuje hacia arriba igual al peso del líquidoque desplaza. Comprobarlo basándose en el epígrafe anterior, y analizar la causa que origina dicho empuje. Solución

plazadoíquido despeso del lerpovolumen cuáreab

áreab-áreabFv

==⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅=

AMBNA

AMBB'A'ANBB'A' γγγγ

SLL

vF


221

mhhahapaE m

+⋅⋅=⋅⋅=⋅= γγ

221

221hhahaEEE −

⋅⋅+⋅⋅=+= γγ

221

2hhakhaE −

⋅⋅⋅+⋅⋅= γγ

Presa de gravedad Fuerzas del agua sobre la presa

SLL

A

h1

γ h1··h2γ

Fh1

e inspección

EE

2

aa mp·=

1E

FrG

BvF 2 2h

2hF

SLL

1vF

galería de drenaje

Fh1, Fh2, Fv1, Fv2, y ademásel empuje E:


SLL

A

h1

γ h1··h2γ

Fh1

e inspección

EE

2

aa mp·=

1E

FrG

BvF 2 2h

2hF

SLL

1vF

galería de drenaje

Fuerza que contrarresta la acción del agua

)( 21 EFFGF vvr −++⋅= µ

El rozamiento de la presa sobre la base: fuerzas verticales multiplicadas por un coeficiente de fricción, µ


A BC A B A AB C BC C

(b)(a) (c) (d)

vR Rv vR

D

Rv

Posibilidad de vuelco

GEFFFFR vvhh +++++= 2121

ha de cortar a la base entre A y B, más aún, en el tercio central de la misma y cuanto más centrado mejor. En efecto:

R R RR


EJERCICIOEstúdiese el deslizamiento y el vuelco de la presa de la figura.Densidad del material: ρm = 2400 kg/m3.Coeficiente de rozamiento: µ = 0,4.Coeficiente: k = 0,5.Solución

G3

SLL

30 m

vF

2GG1

E

A B

21 m5 m

hF

3 m29 m


kN/m 1059,5 N/m 105,1059 2/330240081,9 1

31m1

=⋅=

=⋅⋅⋅=⋅⋅= AG γ

kN/m 6,5313 N/m 106,3531 530240081,91

32m2

=⋅=

=⋅⋅⋅=⋅⋅= AG γ

kN/m 4,4167N/m 104,7416

2/2130240081,913

3m3

=⋅=

=⋅⋅⋅=⋅⋅= AG γ

Fuerza de gravedad de la presa

G3

SLL

30 m

vF

2GG1

E

A B

21 m5 m

hF

3 m29 m


Empuje sobre la base

kN/m 7,21332

30100081,9295,0

221

2

=⋅⋅⋅⋅=

=−

⋅⋅⋅+⋅⋅=hhakhaE γγ

G3

SLL

30 m

vF

2GG1

E

A B

21 m5 m

hF

3 m29 m


kN/m 4414,5 N/m 105,4414

13015100081,93

G

=⋅=

=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= AhFh γ

kN/m 441,5N/m 105,441

2/3031100081,93 =⋅=

=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= áreabFv γ

Fuerza del agua sobre la presa

G3

SLL

30 m

vF

2GG1

E

A B

21 m5 m

hF

3 m29 m


Fuerza de rozamiento de la presa

kN/m 1,4126)7,21335,4415,12007(4,0)(

=−+⋅==−+⋅= EFGF vr µ

Al ser Fr < Fh, la presa deslizaría;habría que poner una cimentaciónadecuada para que esto no ocurra, o bien aumentar las dimensionesde la presa.

G3

SLL

30 m

vF

2GG1

E

A B

21 m5 m

hF

3 m29 m

Fr


G3

SLL

30 m

vF

2GG1

E

A B

21 m5 m

hF

3 m

h

E

A

1GhF

3G

G2

Fv

SLL

BD H C

R

29 m

Estudio del vuelcoLa suma de momentos respecto del punto C, por donde pasa la resultante R, ha de ser nula:

0HB31AHAC

DH21ADAC AD

32AC

AD31ACAB

31AC

3

3

21

=

−−⋅−

−

−−⋅−

−⋅−

−

−⋅−

−⋅+⋅

G

GG

FEhF vh


03218AC4,7416

253AC6,3531

332AC5,1059

33AC5,441

329AC7,2133

3305,4414

=

−−⋅−

−

−−⋅−

−

⋅−⋅−

−⋅−

−

−⋅+⋅

156742AC3,10315 =⋅

m 20,15AC =

m, 29AB =Como el punto C ha quedado casi en el centro, por lo que el reparto de esfuerzos sobre la base es bastante uniforme.

h

E

A

1GhF

3G

G2

Fv

SLL

BD H C

R


F


compuerta

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