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José Agüera Soriano 2012 2
• EXPERIMENTACIÓN EN MECÁNICA DE FLUIDOS
• ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS
• SEMEJANZA DE MODELOS
• Ensayos con modelos
• Leyes de semejanza
• Semejanza de Froude
• Semejanza de Reynolds
• Semejanza de Mach
ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA
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Las ecuaciones fundamentales de un flujo son generalmente
insuficientes para la solución completa de un problema.
Habría que recurrir a la experimentación.
Pueden intervenir hasta 9 magnitudes físicas, por lo que
parece imposible la experimentación. Afortunadamente, en
un problema concreto, no influirán más de 6; pero todavía
es excesivo.
EXPERIMENTACIÓN EN MECÁNICA DE FLUIDOS
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Mediante el análisis dimensional podemos formar
agrupaciones adimensionales y trabajar con ellas en lugar
de con las magnitudes físicas reales. Con ello se reduce
el número de variables a (n - m):
n = número de magnitudes físicas que intervienen
m = número de magnitudes básicas que intervienen
(masa, longitud y tiempo, como mucho)
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Cuantas menos agrupaciones resulten, menos experiencias
hay que hacer: una agrupación requeriría una experiencia;
dos agrupaciones varias experiencias (10 por ejemplo) para
construir una curva, y tres nos llevaría a varias (10 curvas
y/o 100 experiencias, por ejemplo).
Una ventaja adicional que nos proporciona la teoría
dimensional es la de predecir los resultados de un proyecto,
en base a los obtenidos ensayando con un modelo a escala.
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ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS
Para establecer los posibles adimensionales, supongamos
que intervienen a la vez todas las posibles fuerzas sobre el
flujo: de presión, de gravedad, de fricción, de elasticidad y
de tensión superficial.
),( F ),( iFExpresemos la resultante o fuerza de inercia que
provoca la aceleración del flujo, en función de la velocidad
u:
22212
23
)(
)()(
ultll
tllamFF i
-
-
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Fuerza de presión (p):
Fuerza elástica (K):
)(Fuerza tensión superficial
Fuerza de gravedad (g):
Fuerza viscosa ( ):
Fp = l 2 · p
Fg = l 3 · ·g
Fr = l 2 ·t l · u ·
F = l ·
FK = l 2 · K
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Sumando las cinco fuerzas e igualándolas a la de inercia:
22232 ullKlulglpl
Expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:
Si hubiera dos longitudes características, lo que ocurre con
frecuencia, resultarían 9 magnitudes físicas en lugar de 8.
f (l, p, , g, u, , K, ) = 0
Dividamos la primera ecuación por la fuerza de inercia:
en la que intervienen 5 variables (adimensionales), en lugar
de las 8 (dimensionales).
0 , , , , 2222
ulu
K
ulu
gl
u
p
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Coeficiente de presión
0 , , , , 2222
ulu
K
ulu
gl
u
p
22u
p
Los cuatro restantes cambiémoslos de manera que la
velocidad u quede en el numerador con exponente uno.
Estos adimensionales suelen expresarse de la siguiente
forma:
0 2
2
l
u,
K
u,
ul,
gl
u,
u
p
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Número de Froude
gl
u
Fr
Número de Reynolds
ulul
Re
Número de Mach a
u
K
u
Ma
Número de Weber
l
u
We
0 2
2
l
u,
K
u,
ul,
gl
u,
u
p
osupersónic 1,Ma Si sonido). del (velocidad aK
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22u
p
En cada caso se eliminarán aquellos adimensionales
cuya intervención sea nula o poco importante.
f (Fr, Re, Ma, We)
Si hubiera dos longitudes características en el problema, l
y l', el cociente l/l', ó l'/l, sería otra variable adimensional:
22u
p f (Fr, Re, Ma, We, l/l’)
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Ensayos con modelos
Los modelos se hacen de materiales muy diversos: madera,
escayola, metales, hormigón, plástico, etc.
No es necesario ensayar con el mismo fluido que utilice el
prototipo. El agua y el aire son los fluidos que generalmente
se utilizan, por su disponibilidad.
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Los ensayos de modelos de aviones, y en general de cuerpos
sumergidos, se hacen en túneles de viento y en túneles de
agua.
Los ensayos de barcos se hacen en los llamados canales
hidrodinámicos.
Los ensayos de canalizaciones, puertos, presas, aliviaderos,
etc, se hacen en laboratorios de hidráulica.
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3
3m
3p2
2m
2p
m
p ; ;
l
l
l
l
l
l
a) Semejanza geométrica
siendo la escala.
Dos corrientes fluidas son semejantes cuando las líneas de
flujo de una lo sean respecto a las homólogas de la otra;
diremos entonces que existe semejanza cinemática. Para
ello es necesario,
Leyes de semejanza
Rep = Rem; Frp = Frm; Map = Mam; Wep = Wem
b) Semejanza dinámica.
Las fuerzas en puntos homólogos del modelo y del prototipo
han de ser semejantes:
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a) Cuando el flujo presenta una superficie libre, la fuerza
predominante es la gravedad: semejanza de Froude,
Frp = Frm
b) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo subsónico, la
fuerza predominante es la viscosidad: semejanza de Reynolds,
Rep = Rem
c) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo supersónico, la
fuerza predominante es la compresibilidad: semejanza de Mach,
Map = Mam
d) En láminas de líquido muy delgadas prima la tensión
superficial: semejanza de Weber,
Wep = Wem
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mp FrFr
mm
m
pp
p
gl
u
gl
u
m
p
m
p
g
g
u
u
21
m
p
u
u
Semejanza de Froude
y si gp = gm, como es lo habitual:
Por ejemplo, si = 25 , up /um = 5.
Relación de velocidades
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)( uSQ
m
p
m
p
m
p
u
u
S
S
Q
Q 25
m
p
Q
Q
)( 3lF
3
m
p
m
p
F
F3
m
p
F
F
Relación de caudales
Para = 25, Qp/Qm = 3125.
Fp/Fm = 15625.
Relación de fuerzas
Si p = m,
Para = 25,
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)( uFP
213
m
p
m
p
m
p
u
u
F
F
P
P
27
m
p
P
P
Relación de potencias
Pp/Pm = 78125.
Si p = m,
Para = 25,
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mp ReRe
mpm
p
m
p
m
mm
p
pp 1 ;
llu
uulul
1
m
p
m
p
u
u
Semejanza de Reynolds
up/um = 1/25.
Relación de velocidades
Por ejemplo, si = 25, p = m, y
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)( uSQm
1
u
u
S
S
m
m2
m
p
m
p
m
p
m
p
m
p
m
p
m
p
m
p
m
p
m
p
m
m
Relación de caudales
Podemos ensayar desde luego con un fluido diferente al del
prototipo, y algo podríamos compensar. Menos mal que lo
frecuente es que sólo intervenga una fuerza.
Con la semejanza de Froude, había que ensayar con una velocidad
5 veces menor, y con la Reynolds con una velocidad 25 veces
mayor, por lo que no es posible que se cumplan las dos a la vez,
a menos que la escala sea la unidad.
.
.
.
.
.
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)( ulF
mm
pp
m
p
m
p
m
p
m
p
m
p 1
u
u
l
l
F
F
m
p
2
m
p
m
p
F
F
Relación de fuerzas
Si se tratara del mismo fluido y en el mismo estado, Fp = Fm:
el mayor esfuerzo cortante en el modelo contrarresta su
menor superficie de rozamiento.
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mp MaMa
mm
m
pp
p
K
u
K
u
mm a
a
u
u pp
)( SuQm
m
p
m
p
m
p
m
p
S
S
u
u
m
m
2
m
p
m
p
m
p
a
a
m
m
Semejanza de Mach
Relación de caudales
Relación de velocidades
X) (capítulo sonido) del (velocidad
Ka
.
.
.
.
.
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)( SKF
X) (capítulo comoy ;m
p
m
p
m
p
m
p
Ka
K
K
S
S
K
K
F
F2
2
2
m
p
m
p
m
p
a
a
F
F
Relación de fuerzas