iviteg texto matematica
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Libro de matemática y álgebra básica.TRANSCRIPT
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Q,
MAT
EMT
ICA
1
TEXT
O DEHOLA. SOY IVIT, EL SIMBOLO
GRAFICO DE IVITEG y te doy la bienvenida al texto y a este
complejo mundo de la...
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1
TEXT
O DE
RIF. J-29473261-5
TEXTO DE MATEMTICALcdo. Oswaldo Enrique Mendoza Araujo
2010 IVITEG, c.a. Prohibida la reproduccin totalo parcial de la obra.Todos los derechos reservadosHecho el Depsito de Ley DEPSITO LEGAL LF07420103704648ISBN 978-980-7399-00-5
Edicin e Impresin:IVITEG, c.a.www.iviteg.com
Direccin General, Comercialy Editorial:Juanpablo Gmez WilchesGerente General IVITEG, c.a.
Correcin:Lcdo. Edgar Marquina
Diseo y diagramacin:Lcdo. Jos Luis Oliveros M.
Impreso en la RepblicaBolivariana de VenezuelaNoviembre 2010Se hicieron 1000 ejemplares
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RACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALESRACIONALES
Tema
N
MER
OS
RA
CIO
NA
LES1
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En este captulo comenzaremos con una idea intuitiva de lo que representa un nmero racional.
Un nmero racional es aquel que se puede representar como un cociente de dos nmeros
enteros de la forma , donde el denominador es distinto de cero. Esto es lo que cono-
cemos como una fraccin. En forma de conjuntos los podemos expresar de la siguiente
manera:
La expresin la llamamos fraccin donde a es el numerador y b es el denominador
Operaciones con los nmeros racionales
Suma:
Para sumar dos nmeros racionales con diferente de-
nominador lo hacemos de la siguiente manera:
dbcbda
dc
ba
+=+
Siendo b y d
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6
Ejemplo:
Resolvamos algunos ejercicios para clarificarlo:
*
Solucin:
Ejemplo:
*
Solucin:
Antes de continuar con el resto de las operaciones debe-mos tener en cuenta la reduccin de fracciones.
Para reducir fracciones debemos dividir tanto el numera-dor como el denominador por nmeros comunes, esto es importante, pues es ms cmodo trabajar con nmeros ms pequeos. Para reducir fracciones debemos tomar en cuenta lo siguiente:
DEFINICIN:
Ejemplo:
*
Solucin:
Esta fraccin es divisible por dos, pues tanto el numerador como el denominador son n-meros pares, as:
Un nmero es divisible por dos (2) cuando termina en un nmero par o 0 (cero)
Dividimos tanto el numerador como el denominador por dos
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DEFINICIN:
Ejemplo:
*
Solucin:
Ejemplo:
*
Solucin:
Estudiemos el numerador:
261, sumamos cada uno de los dgitos
2+6+1=9Como 9 es divisible por tres, entonces 261 es divisible por tres
Veamos ahora el denominador
312, sumamos cada uno de los dgitos:
3+1+2=6Dado que 6 es divisible por tres, entonces 312 es divisible por tres.
Como el numerador y el denominador son divisibles por tres, entonces podemos reducir la fraccin.
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8
Fjate que 87 es divisible por 3, pues 8+7=15 y quince es divisible por 3, pero la fraccin no la podemos reducir puesto que el denominador no es divisible por 3
DEFINICIN:
Ejemplo:
Tomamos el nmero sin la parte de las unidades y luego restamos el doble de las unidades
*
Solucin:
Ahora veamos el denominador
Es fcil notar que 49 es divisible por 7
Ahora si reducimos la fraccin
Fjate la importancia que tiene reducir las fracciones, pues la fraccin es equivalente a 7
Resta:
Para restar dos nmeros racionales de la forma
procedemos as:
Ejemplo:
*
Solucin:
28 es divisible por 7
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9
Ejemplo:
*
Solucin:
Recuerda que la resta es la suma del elemento opuesto
Multiplicacin:
El producto de fracciones lo operamos de la si-guiente forma:
Ejemplo:
*
Solucin:
Ejemplo:
*
Solucin:Es recomendable notar si en primera instancia podemos reducir la fraccin, en este caso:
Es importante: Reducimos la fraccin
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Divisin:
Para dividir nmeros racionales lo hacemos de la si-guiente manera:
Ejemplo:
Solucin:
Ejemplo:
* Solucin:Recuerda que la divisin es la operacin inversa de la multiplicacin, o lo que es lo mismo multiplicar por el inverso, por tanto debes multiplicar primero los signos para evitar confu-siones
Ejemplo:
*
Solucin:
Propiedades de las operaciones de los nmeros racionales:
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Adems de las propiedades descritas es importante tener en cuenta lo siguiente:
Por lo tanto las sumas del tipo pueden representarse como:
Veamos ahora unos ejemplos donde se apliquen las propiedades de suma y producto en Q:
Ejemplo:
*
Solucin:
Aplicamos la propiedad asociativa de la suma
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Ejemplo:Aplica la propiedad distributiva en el siguiente ejercicio: *
Solucin:
y listo!!!!
Una vez conocidas las propiedades de los nmeros racionales, veamos ahora algunas aplicaciones de las operaciones y sus propiedades.
Ejemplo:
Joaqun recorre en bicicleta Km los lunes, Km los mircoles y
Km los sbados cuntos kilmetros recorre en la semana?
Solucin:
Para saber cuntos kilmetros recorre Joaqun semanalmente, sumamos los recorridos de cada da
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Joaqun recorre Km semanalmente
Ejemplo:
El equipo de ftbol Estudiantes de Mrida ha ganado 11 juegos
y perdido 9. Cuntos juegos ha de ganar consecutivamente para
tener de los juegos ganados:
Solucin:
Sea x el nmero de juegos que necesita ganar consecutivamente.
Por tanto, el nmero total de juegos ganados ser que
debe ser igual a del total de los partidos, adems, el total de los
juegos debe ser igual a los ganados ms los empatados, es decir:
Entonces la ecuacin relacionada con el planteamiento es:
Estudiantes de Mrida debe ganar 7 juegos consecutivos
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tus notas14
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DECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALESDECIMALES
Tema
EX
PR
ESI
ON
ES
DEC
IMA
LES
2
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Una expresin decimal es el resultado que se obtiene al dividir una fraccin de la forma
donde a es el numerador y b el denominador diferente de cero. Todo nmero racional
corresponde a una expresin decimal.
Tipos de expresiones decimales
Expresin decimal limitada
Es aquella que tiene un nmero finito de cifras decimales. Esta expresin resulta cuando el resto de la divisin es cero.
Ejemplo:
Solucin:
La podemos expresar en forma de divi-sin as:
Expresin decimal ilimitada
Una expresin decimal es ilimi-tada cuando el nmero de cifras decimal es infinito, es decir, que no tiene fin. stas las clasifica-mos en peridicas (puras y mix-tas) y no peridicas.
Peridicas puras
Son la que su parte decimal se repite hasta el infinito. A esta parte que se repite se le llama PERIODO. Son las de la forma:
2,3333333...
21,6363636363
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0,315315315315315...
Las expresiones peridicas las expresamos de la forma:
2,3333333... =
21,636363636 =
0,315315315315315 =
Expresiones decimales peridicas mixtas
Son las que constan de parte entera, parte decimal peridica y una cantidad entre ambas que se llama ante perodo.
Ejemplo:
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Expresiones decimales no peridicas
En este tipo de expresiones tenemos nmeros conocidos con los cuales poseen la caracterstica de que su parte decimal es infinita y no peridica
Fraccin generatriz
En matemticas es importante trabajar con fracciones para efectos de mayor exactitud, para ello, es necesario convertir expresiones decimales en fracciones. Veamos.
Fraccin generatriz de expresiones decimales limitadas
Para hallar la fraccin generatriz de una expresin decimal limitada, tomamos como nu-merador todas las cifras de la expresin decimal sin considerar la coma y como deno-minador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal, una vez expresada la fraccin, la reducimos si es posible.
Veamos el procedimiento con un ejemplo:
Buscar la fraccin generatriz de la siguiente expresin decimal:
1,25 =
Solucin: 1,25 =
Ejemplo:
0,32
Solucin:
0,32 =
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Fraccin generatriz de una expresin decimal peridica pura
Para representar la fraccin generatriz de una expresin decimal peridica pura se colo-ca como numerador el numero completo sin la coma y se le resta la parte entera, y como denominador tantos nueves (9) como cifras tenga el periodo.
Ejemplo:
Sea la expresin, convertirla en forma de fraccin generatriz:
Solucin:
=
=
Para comprobar el resultado solo debes dividir la fraccin y te dar la misma expresin decimal
Ejemplo:
Solucin:
=
Fraccin generatriz de una expresin decimal peridica mixta
Para hallar la fraccin generatriz de una expresin decimal peridica mixta colocamos como numerador el nmero completo sin la coma, le restamos la parte entera y decimal sin el periodo y como denominador tantos nueves (9) como cifras tenga el periodo y tantos ceros (0) como cifras tenga el ante perodo.
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Expresemos esta cantidad en forma de fraccin generatriz
=
Solucin
=
=
=
Ejemplo:
Solucin:
=
= =
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ECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONES
Tema
EC
UA
CIO
NES3
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Comencemos este tema dando una relacin de ecuaciones con planteamientos que usa-mos en la vida cotidiana. Fjate en este ejemplo:
En un saln de clases hay 25 estudiantes. Si 8 son hombres, entonces cuantas mujeres hay en el saln?
Este ejemplo es fcil resolver por simple clculo, sin embargo, esto lo podemos expresar en forma de ecuacin de esta forma:
Ahora vamos a dar una definicin formal de lo que es una ecuacin:
Elementos de una ecuacin
Es importante determinar los trminos de una ecuacin, por ejemplo, la ecuacin anterior tiene 4 trminos:
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Ahora fjate en este ejem-plo:
La ecuacin tiene 4 trminos, dos de ellos son fracciones, es importante identificar cada trmino de la ecuacin.
En este tipo de ecuaciones la incgnita tiene exponente uno, y se denominan ecuaciones lineales. Tambin existen otros tipos de ecuaciones que veremos con ms detalle en cap-tulos posteriores, dediquemos este captulo slo a las ecuaciones lineales.
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Principios bsicos para resolver ecuaciones:
Se agrupan todos los trminos que contienen la incgnita en el primer miembro y los trminos constantes en el segundo miembro tomando en cuenta lo siguiente:
Si est en un miembro sumando, pasa al otro lado restando Si est restando en un miembro, pasa al otro lado sumando
Se suman algebraicamente los trminos semejantes en cada miembro de la ecua-cin Se despeja la incgnita tomando en cuenta lo siguiente:
Si un nmero est multiplicando la incgnita, pasa al otro miembro a dividir Si un nmero est dividiendo en un miembro, pasa al otro miembro multiplicando.
Ejemplo:
Despejar la incgnita en la siguiente ecuacin:
Solucin:
Ejemplo:
Hallar el valor de x en la siguiente ecuacin:
Solucin:
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Para resolver ecuaciones con n-meros racionales lo hacemos de la siguiente manera:
Eliminamos los numeradores, para ello multiplicamos cada trmino por el mnimo comn mltiplo de los denominadores.
Una vez eliminados los denominadores, nos queda una ecuacin con trminos enteros y ya eso lo sabemos resolver. Hagamos un ejemplo y veras lo sencillo que es.
Ejemplo:
Solucin:
El mnimo comn mltiplo de los denominadores es 6
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Ejemplo:
Hallar el valor de z en la ecuacin:
Solucin:
Hallamos el mnimo comn mltiplo de los denominadores:
El m.c.m. de (9,4,2,3)=36
Ahora bien, como ya conocemos la manera de despejar la incgnita en una ecuacin, apliqumosla a la resolucin de problemas, para ello, se debe tener en cuenta lo siguiente:
Comprender el problema:
Para ello debes considerar lo siguiente:
Leer detenidamente el enunciado Identificar los datos conocidos y las incgnitas En algunos casos, hacer un grfico que refleje las condiciones del problema
Planteamiento de la ecuacin
Pensar en las condiciones del problema y concebir un plan de accin. Elegir las operaciones y anotar el orden en que deben ser realizadas. Expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones.
Resolucin de la ecuacin
Resolver las operaciones en el orden respectivo
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Despejar la incgnita del problema planteado
Verificar la solucin de la ecuacin Sustituimos el valor de la incgnita en la ecuacin para verificar la igualdad es-tablecida
Ahora veamos unos ejemplos de resolucin de problemas a travs de ecuaciones:
Ejemplo:
Maril pas de sus vacaciones en Choron, en Caracas y en Margarita. Si al final pas 3 das en Trujillo, cuntos das duraron
las vacaciones de Maril?
Solucin:
Intentemos comprender el problema
Se quiere saber los das de vacaciones de Maril, sta ser la incgnita, luego debemos sumar cada fraccin de das que pas en los diferentes sitios y eso ser igual al total de das de vacaciones.
Planteamos la ecuacin:
Resolvemos la ecuacin:
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Ejemplo:
Si al dinero que tengo ahora le agregara la mitad ms 1.000Bs, tendra 10.000Bs. Cunto dinero tengo?
Solucin:
Intentemos comprender el problema:
En el problema se quiere saber la cantidad de dinero, entonces esa ser la incgnita. Llammosla x.
Analizamos las condiciones del problema y planteamos la ecuacin:
Dinero qu tengo + + 1.000 = 10.000
Como la incgnita es la cantidad de dinero la ecuacin quedara de la siguiente forma:
Resolvemos la ecuacin:
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tus notas
Solucin:
El dinero que tiene es 6000 Bs
Verificamos el resultado obtenido
Como x=6000
Se cumple la igualdad, por lo tanto el resultado es correcto!!!!!
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POTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACINPOTENCIACIN
Tema
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Si sabes multiplicar, entonces la potenciacin no te ocasionar muchas dificultades, pues la po-tenciacin no es ms que multipli-car un nmero real (la base) por s mismo, las veces que lo indique un nmero entero (el exponente). Lo podemos representar de la si-guiente manera:
Veamos un ejemplo:
43 = 444 = 64
Veamos ahora:Propiedades de la PotenciacinPara resolver ejercicios relacionados con potenciacin es necesario conocer y aplicar las siguientes propiedades:
Potenciacin con exponen-te negativo:
Cuando te encuen-tres con una potencia con exponente nega-tivo no te preocupes, es fcil de resolver, slo
tienes que invertir la base y cambiarle el signo al ex-ponente:
Un caso particular:
Mira el ejemplo que te presenta-mos a conti-nuacin:
a = aaaaaa...a=bn
n-veces
exponente
base
Hey!!!! Recuerdaque el denominador
no puedeser cero (0)
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Invertimos la fraccin, cambiamos el signo del expo-nente, aplicamos las propiedades y listo!!!!
Invertimos la fraccin, cambiamos el signo del expo-nente, aplicamos las propiedades y listo!!!!
Para convertir un exponente negativo a positivo se invierte la base y se coloca el expo-nente positivo que fcil!!!!
,en general,
Ejemplo:
(Recuerda que todo nmero entero tiene denominador uno)
Veamos otro ejemplo:
Con estos ejemplos queda claro lo que representa un exponente negativo y cmo se re-suelve.
Potenciacin con base negativa:
Cuando la base es negativa se tiene dos casos:
Si el exponente es un nmero entero par y a > 0
Si el exponente es un nmero entero impar y a > 0
Vemoslo mejor con algunos ejercicios
Ejemplo:
* Dado que la base es negativa y el exponente es par
Ejemplo:
*
El resultado es negativo, pues la base es negativa y el exponente es impar
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Potenciacin con exponente 1:
Para todo nmero a se cumple que:
Un ejemplo relacionado con lo anterior es:
Con esto se puede concluir que todo nmero real tiene exponente uno, esto no es la gran cosa, pero mas de uno lo pasa por alto y suele complicarse en algunos ejercicios.
Producto de potencias de igual base:
Para multiplicar potencias de igual base debes colocar la misma base y sumas algebrai-camente los exponentes, en forma general se puede expresar as:
Ahora veamos un ejemplo que clarifique mejor la cuestin:
El ejemplo anterior es compota, veamos otro:
Divisin de potencias de igual base:
Para dividir potencias de igual base colocar la misma base y luego restas el exponente del numerador menos el expo-nente de denominador.
En la suma algebraica signos iguales, se suman, signos opuestos se restan
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Veamos unos ejemplitos:
La expresin es equivalente a: a) b) c) d)
Solucin:
Lo primero que tienes que ver, es cul es la potencia, es decir, cul es la base y cules son los exponentes
base
exponente
base
exponente
Como ya tienes identificado quin es quin, aplicas la propiedad
= =
... Eso es todo!!!!
Potencia de una potencia:
Para elevar una potencia a otra potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes, es decir:
Ilustrmoslo con unos ejemplos:
Ejemplo:
*
Ejemplo:
*
Divisin de potenciasde igual base
en estos ejemplos tambin aplicamos lo de potencias con exponentes negativos
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Potencia de un producto:
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias:
Observa:
Ejemplo:
Lo puedes ver as: si mas de una potencia est elevada a cierto exponente, pues entonces le entregas a cada quien su exponente... y listo!!!
Ejemplo:
Potencia de un cociente:
La potencia de un cociente es igual al cociente de la poten-cia del numerador entre la potencia del denominador, esto es:
Un ejemplo para aclarar:
a cada quien le entregamos su exponente
Ahora bien, vamos a resumir en un cuadro este captulo con las propiedades ms resaltantes:
Viste!!! A cada trmino se le entreg su exponente, y luego potencia de una potencia
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tus notas
Nos encontramos de nuevo ms
adelante
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PRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOSPRODUCTOS
Tema
PR
OD
UC
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Para comprender el concepto de producto notable es importante tener el concepto de factor comn, y la importancia que tiene en matemticas dicho concepto.
Ahora veamos una demostracin geomtrica del asunto:
El siguiente rectngulo tiene como base a+b y altura c
El rea del rectngulo es base por altu-ra, si la base mide a+b y la altura mide c, entonces:
Ahora hallemos las reas de los siguientes rectngulos: el de base a y el de base b, am-bos de misma altura c
Llamemos A1 al rea del rectngulo de base a y A2 el rea del rectngulo de base b
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Dado que y
Si sumamos las reas de los rectngulos obtenemos:
Ahora veamos un ejemplo:
Consideremos la expresin
son dos trminos que se estn sumando.
Ahora bien, como ambos trminos son mltiplos de 2, hacemos lo siguiente:
Como el dos es factor de ambos trminos hacemos lo siguiente:
A esto es lo que llamamos extraer el factor comn de dos trminos, verifiquemos que es la misma expresin inicial:
y tenemos la expresin inicial!!!
Otro ejemplo:
Extraer el factor comn de la siguiente expresin:
Solucin:
Primero observamos cules son los factores que se repiten:
as es mas fcil determinar los factores, 3 y x
se extraen los factores comunes. Y listo!!!!!
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Esto es bsicamente extraer factor comn, lo importante de esto es que podemos conver-tir sumandos en productos, con el fin de simplificar expresiones, las cuales clarificaremos ms adelante.
Una vez explicado lo que es y la importancia que tiene el factor comn, conoceremos ahora los productos notables:
Productos notables
Veamos algunos casos de productos notables:
Cuadrado de una suma o cuadrado de un bino-mio
Veamos una demostracin geomtrica de esta expresin:
Sea el cuadrado:
El rea del cuadrado viene dado por:
Ahora veamos el mismo cuadrado fraccionado
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50
=
Fjate que es el mismo cuadrado, por lo tanto el rea es la misma. De esta forma tenemos:
De esta manera queda demostrada geomtricamente la frmula!!!
Observa los siguientes ejemplos:
Ejemplo:
Desarrollar los siguientes productos notables: Solucin:
Ejemplo:
Solucin:
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-
51
Cuadrado de una resta
Mira estos ejemplos:
Ejemplo:
Solucin:
Ejemplo:
Solucin:
Producto de dos binomios conjugados
Cuando el segundo trmino es negativo la ecuacin que resulta es:
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-
52
Ejemplos:
Desarrollar los siguientes productos de binomios:
Solucin:
Ejemplo:
Solucin:
Producto de dos binomios con un trmino en comn
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-
53
Ejemplo:
Solucin:
Ejemplo:
Solucin:
Cubo de una suma y de una diferencia
Tambin conocido como binomio al cubo se puede representar por medio de las siguien-tes frmulas:
Cubo de una suma
Cubo de una diferencia:
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-
54
tus notas
Ejemplos:
Solucin:
Fjate que el resultado de desarrollar el cubo de una suma es un polinomio ordenado de tercer orden
Ejemplo:
Solucin:
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tus notas55
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POLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOS
Tema
PO
LIN
OM
IOS
6
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59
Hablemos en este captulo sobre polinomios, desde sus expresio-nes ms sencillas hasta las operaciones algebraicas ms com-pletas. Vamos a comenzar dando una definicin de polinomio:
Donde los coeficientes, los subndices indican por lo menos, an es el co-eficiente de xn , an-1 el coeficiente de x
n-1 , a1 el coeficiente de x1; a0 el coeficiente de x0=1
Grado de un polinomio:
El grado del polinomio lo puedes determinar por medio del trmino que posee el valor de la potencia ms alto.
Veamos unos ejemplos:
Ejemplo:El grado del polinomio queda determinado por el mayor exponente de la variable, en este ejemplo el grado del polinomio es 3.
El trmino independien-te es aquel en el que no aparece la variable. En este caso el trmino in-dependiente es 7.
Los coeficientes son los nmeros que acompaan a la variable, en el ejemplo los co-eficientes son 4,-5,2 y 7.
Veamos otro ejemplo:
En el polinomio determina el grado del polinomio y el tr-
mino independiente.
Solucin:
Grado del polinomio: 5; Trmino independiente: -
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-
60
Valor numrico de un polinomio
El valor numrico de un polinomio es el nmero que se obtiene al sustituir la variable por un valor dado y efectuar luego las operaciones indicadas.
Fjate en este ejemplo:
Dado el polinomio hallar
Solucin:
Sustituimos el valor de la variable por 2, as:
Con esto concluimos que el polinomio evaluado en 2 es igual a cero (0).
Trminos semejantes de un polinomio
Diremos que dos trminos de un polinomio son semejantes si tienen la misma parte literal (variable) y el mismo grado.
Ejemplos:
y son polinomios semejantes
y son trminos semejantes:
Resolvamos este ejercicio donde se aplica la igualdad de polinomios:
Cul debe ser el valor de m para que los siguientes polinomios sean iguales?
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-
61
Solucin:
Podemos notar que los polinomios tienen el mismo grado, y que para que sean iguales los coeficientes del x2 deben ser iguales, as:
Polinomios opuestos
Dos o ms polinomios son opuestos si sus coeficientes de igual grado son opuestos.
Ejemplo:
es opuesto a
Los signos de los coeficientes son opuestos
Clasificacin de polinomios
Algunos polinomios poseen un nombre en particular, los ms mencionados y que usare-mos en algunos ejercicios tenemos:
Monomio
Es el polinomio que est formado por un solo trmino.
Ejemplo:
,
Binomio
Es un polinomio formado por dos ( ) trminos.
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62
Ejemplo:
,
Trinomio
Es el polinomio formado por tres trminos.
Ejemplo:
Ejemplo:
Orden de polinomios
Los polinomios se ordenan en forma creciente o de-creciente, este orden lo indican los exponentes de cada trmino del polinomio.
Cuando los trminos se ordenan de mayor a menor decimos que el polinomio est ordenado en forma decreciente, en caso contrario diremos que est or-denado en forma creciente. Referencimoslo con un ejemplo:
Ejemplo:
Sea el polinomio . Ordenarlo en forma decreciente:
Solucin:
Fjate que el orden lo indican los exponentes de cada trmino.
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63
Ordenar un polinomio en forma creciente significa escribir los trminos del polinomio, segn el grado de menor a mayor.
Ejemplito:
Ordena el polinomio en forma creciente
Solucin:
En este caso el trmino que falta es el de exponente 2 por tanto lo completamos con
Operaciones con polinomios
Suma de polinomios
Para sumar dos o ms polinomios se suman algebraicamente los coeficientes de los trminos de mismo grado.
Ejemplo:
Hallemos la suma de los polinomios
y
Solucin:
Para resolver este tipo de ejercicios debemos orde-nar los polinomios (preferiblemente en forma decre-ciente) para identificar los coeficientes de cada tr-mino y realizar la suma algebraica correspondiente. Hagmoslo as:
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64
Resta de polinomios
Para restar dos polinomios, le sumamos el opuesto del sus-traendo, otra manera de decirlo es, que le cambiamos los sig-nos al sustraendo. Clarifiquemos esto con un ejemplo:
Ejemplo:
Sean los polinomios y
Solucin:
Multiplicacin de polinomios
Para efectuar multiplicaciones con polinomios debemos te-ner presente algunos casos:
Partamos desde lo ms elemental:
Multiplicar una constante por un polino-mio
Para multiplicar una constante por un polinomio, multiplicamos el coeficiente de cada trmino del polinomio por la constante.
Ejemplo:
Si tenemos el polinomio y queremos multiplicar este polino-
mio por la constante k=4, entonces se resuelve de la siguiente manera:
Ejemplo:
Dado el polinomio calcular
Solucin:
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65
Producto de monomios
Para multiplicar monomios de la forma el producto de estos monomios viene dado por:
En otras palabras multiplicamos coeficientes con coeficientes y variable con variable to-mando en cuenta las reglas de potenciacin.
Ejemplo:
Solucin:
Productos de polinomios
Para multiplicar dos polinomios, se multiplican trmino a trmino de uno de ellos por todos y cada uno de los trminos del otro y sumando todos los productos obtenidos, reduciendo trminos semejantes. Usualmente se ordenan los polinomios en orden creciente o decre-ciente. Veamos un ejemplo:
Ejemplo:
Sean los polinomios y .
Calcular
Solucin:
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66
tus notas
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FUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONES
Tema
FU
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ES
7
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71
Antes de empezar con el tema de fun-ciones como tal, comencemos con tener una intuicin del significado de conjunto.
En trminos matemticos definir con-junto es algo ambiguo, pero en trmi-nos generales lo podemos entender como una coleccin o agrupacin bien definida de objetos de cualquier clase. Estos objetos los llamaremos miembros o elementos del conjunto.
Ejemplo:
El conjunto de los nmeros naturales los representamos de la siguiente manera:
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-
72
Relaciones entre conjuntos
Fjate en los siguientes conjuntos:El primer conjunto son capitales y el se-gundo conjunto son pases, cuyas re-spectivas capitales estn en el primer conjunto. Entonces, la relacin que existe entre el primer conjunto al que llamaremos conjunto de partida y el segundo conjunto al que llamaremos conjunto de llegada es la siguiente: es capital de.
Par ordenado
En el caso anterior la relacin entre los conjuntos la podemos ex-presar en forma de par ordenado de la siguiente manera:
= {(Caracas, Venezuela) ; (Roma, Italia) ; (Berln, Alemania) ; (Dakar, Senegal); (Tokio, Japn)}
Producto cartesiano:
Un producto cartesiano de dos conjuntos e lo denotamos como , es el conjunto de todos los pares ordenados en los que la primera componente pertenece a y la se-gunda pertenece a . Lo representamos de la siguiente manera:
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73
Veamos un ejemplo
Ejemplo:
Dados los conjuntos
Representar los pares ordenados del producto cartesiano
Solucin:
Un subconjunto del pro-ducto cartesiano sera:
,es decir,
Otro subconjunto de es:
Representacin sagital de conjuntos
Los subconjuntos S1 y S2 los podemos representar as:
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-
74
Esto es lo que conocemos como una representacin sagital entre conjuntos
Una relacin entre dos conjuntos podra definirse de la siguiente manera:
Una vez comentado en trminos generales algunas definiciones, explicaremos el signifi-cado de funcin:
Elementos de una funcin
Veamos una representacin sagital de una funcin
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75
Veamos algunos ejemplos cuando es funcin y cuando no lo es:
Ejemplo: f(x)
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76
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
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-
77
Veamos la siguiente funcin:
La relacin que existe entre el conjunto de partida y el conjunto de llegada es la mitad de as:
Funcin numrica
Hasta ahora hemos visto ejemplos de funciones donde existen partes literales (letras) y partes nu-mricas. Ahora, veamos funciones donde ambos conjuntos (dominio y codominio) son conjuntos numricos. Por ejemplo, la podemos definir mediante la asociacin de un nmero natu-ral con otro nmero natural o, con ms detalle, que el dominio es el conjunto de los nmeros naturales y el rango tambin pertenece a ese conjunto.
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78
Ejemplo:
Si tenemos la funcin definida por , entonces f es una funcin que
va del conjunto de los naturales (conjunto de partida) al conjunto de los racionales (con-
junto de llegada).
La notacin representa las imgenes de cada elemento del dominio. La letra la llamaremos variable independiente y la letra la llamaremos variable dependiente.
Ahora fjate en el siguiente ejemplo:
Ejemplo:
Hallar las imgenes de los siguientes elementos cuya funcin es
Solucin:Para hallar los valores correspondientes a cada elemento del dominio, sustituimos cada valor en la funcin para obtener di-cho elemento. Esto es:
Si la funcin es , sustituimos cada elemento del dominio en esta ecuacin para obtener las imgenes (recu-erda que los valores del dominio corresponden a la variable independiente )
Hallamos la imagen del primer elemento del dominio:
Para
Sustituimos este valor en la funcin
Ahora para el prximo elemento del dominio:
Para
Para
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-
79
Para
Ahora, si tenemos las imgenes de cada elemento del dominio, la funcin en forma sagi-tal queda de la siguiente manera:
Los pares ordenados que forma la funcin son los siguientes:
Dominio:
Rango:
Cuando tengamos una funcin de la cual conocemos la fr-mula que la determina y deseamos hallar la imagen de cu-alquier elemento del dominio, basta con sustituir cualquier elemento del dominio en la frmula y obtendremos la imagen
correspondiente.
Funcin inyectiva
3
2
5
4
0
-1
2
1
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-
80
Ejemplo:
Ejemplo:
Funcin sobreyectiva
Ejemplo:
Determina si las siguientes funciones son sobreyectivas
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-
81
Ejemplo:
Funcin biyectiva
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-
82
Ejemplo:
Determina si las siguientes funciones son biyectivas
Funciones en plano cartesiano
Conozcamos ahora el plano carte-siano
El plano cartesiano esta forma-do por dos rectas numricas, una horizontal y una vertical que se cortan en un punto lla-mado origen.
La recta horizontal la llamare-mos eje de las abscisas
y a la recta vertical la llamaremos eje de las ordenadas.
El punto donde se cortan las rectas recibe el nombre de origen.
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83
En el eje de la X los nmeros positivos los representa-mos al lado derecho del origen y los nmeros
negativos a la izquierda
En el eje de las Y los nmeros positivos los representa-mos hacia arriba del origen y los nmeros negativos
en la parte inferior del origen
Representacin de puntos en el plano cartesiano
El plano cartesiano tiene como objetivo describir la posicin de puntos, los cuales vamos a representar a travs de sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las X y uno de las Y respectivamente, con lo que indica
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-
84
que un punto lo podemos ubicar en el plano cartesiano en base a sus coordenadas. Un punto cualquiera lo representamos como:
Ejemplo:
Representar el punto en el plano cartesiano
Solucin:
Ejemplo:
Representar los siguien-tes puntos en el plano cartesiano:
, ,, ,
, e indicar en qu cuadrante se encuen-tran.
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-
85
Solucin:
Representacin grfica de fun-ciones
Sabemos que las fun-ciones las podemos representar en forma
de pares ordena-dos de la formadonde la primera componente
pertenece al conjunto del dominio y la segunda
al de las imgenes. Tambin sabemos que para representar puntos en el plano, stos estn expresados en forma de pares ordenados, por transitividad podemos decir entonces que las funciones las podemos representar en el plano cartesiano.
Para representar gr-ficamente una funcin
lo podemos hacer de la siguiente manera:
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86
Ejemplo:
Dada la funcin representarla grficamente
Solucin:
Escogemos valores arbitrarios para susti-tuirlos en la funcin (preferiblemente nme-ros que faciliten los clculos). Tomamos los siguientes valores: -2,-1,0,1,2 y los expresa-mos en una tabla de valores de la siguiente manera:
Sustituimos cada uno de los valores selec-cionados de x en la funcin para hallar los valores respectivos de y
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87
Una vez representados los pares orde-nados en el plano cartesiano, obtene-mos la grfica de la funcin!!!
Ejemplo:
Representar grficamente la funcin , dados los siguientes valores:
Solucin:
Sustituimos cada valor de x en la funcin
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88
Funcin lineal
Una funcin lineal o afn es la que representamos de la forma
donde y son n m e r o s constantes. El nmero
se llama pendiente de la recta y el nmero representa
la ordenada en el origen. La represen-tacin gr-fica de una funcin lineal es una recta.
Veamos un ejemplo que ilustre esta definicin.
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Ejemplo:
Representemos grficamente la funcin :
Solucin:Fjate que esta funcin es de la forma donde:
y
como la pendiente es positiva, entonces la funcin es creciente y como , entonces la grfica corta en el eje x en el punto .
Tomamos un punto cualquie-ra para evaluarlo en la funcin, por ejemplo: x=1
Para x=1
Ahora s podemos graficar la recta, pues conocemos dos puntos de la misma
,
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FUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCIN
Tema
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La recta real
Comencemos este tema con una nocin elemental de los teoremas ms importantes en el desarrollo de las matemticas: el teorema de Pitgoras
Teorema de Pitgoras
La HIPOTENUSA es el lado mas largo del tringulo
Al cateto que forma el ngulo con la hipotenusa lo llamaremosCATETO ADYACENTE
Al cateto ms lejano al ngulo lo llamaremos CATETO OPUESTO
De esta frmula del teorema derivan:
Hipotenusa
Cateto opuesto
Cateto adyacente
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94
Ejemplo:
Hallar la longitud de de la hipotenusa, sabiendo que el cateto opuesto vale y el cateto adyacente vale
Solucin:
Aplicamos la frmula del teorema de Pitgoras:
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos en el plano la pode-mos hallar a travs del teorema de Pitgoras, to-mando en cuenta las coordenadas de estos puntos. Veamos la siguiente demostracin:
Supongamos que queremos hallar la distancia entre los puntos A de coordenadas y B de coordenadas como se muestra en la siguiente figura:
Ahora bien, apliquemos el teorema de Pitgo-ras al tringulo recto formado por los puntos A, B y C
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95
Aplicando el teorema de Pitgoras tenemos:
Sustituyendo los datos en la ecuacin del teorema tene-mos:
Obteniendo as la frmula para hallar la distancia entre dos puntos, en conclusin diremos entonces:
Ejemplo:
Hallar la distancia entre los puntos y
Solucin:
Aplicamos la frmula de distancia entre dos puntos:
Ahora sustituimos las coordenadas de los puntos dados
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96
Ejemplo:
Hallar la distancia entre los puntos y
Solucin:
Aplicamos la distancia entre dos puntos:
Sustituimos las coordenadas de los puntos dados:
Punto medio de un segmento
Sabemos que dos puntos A y B determinan un segmento, al cual le podemos hallar su longitud a travs de la frmula de la distan-cia, ahora veamos la frmula para hallar el punto medio de dicho segmento:
Ejemplo:
Hallar el punto medio del segmento formado por los puntos y Solucin:
Aplicamos la frmula de punto medio de un segmento
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97
Sustituimos las coordenadas de los puntos
Ahora apliquemos estas frmulas a algo de geometra:
Ejemplo:
Hallar el permetro del tringulo ABC cuyos vrtices tienen las siguientes coordenadas: , y
Solucin:
Sabemos que el permetro de una figu-ra geomtrica es la suma de la longitud de cada uno de sus lados, as, debe-mos hallar la longitud de cada lado del tringulo, las sumamos y listo!!!!!
Hallemos la distancia entre los puntos A y B
Datos:
Sustituimos las coordenadas de cada punto en la ecuacin de distancia:
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98
Ahora hallamos la longitud del lado formado por los puntos B y C
Hallamos la longitud de lado formado por los puntos A y C
Como ya conocemos la longitud de los tres lados, los sumamos y lis-to!!!!!
Sustituimos los valores
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99
Funcin Lineal
Ya habamos mencionado de forma general la funcin lineal, ahora vemosla con ms detalle.
Veamos algunas funciones lineales
a) b) c)
Significado de pendiente y ordenada en el origen:
Pendiente de una recta:
Conocemos como la pendiente de una recta al grado (medida) de inclinacin que sta tiene con respecto a un plano si una recta pasa por dos puntos distintos y entonces la pendiente de la recta esta definida mediante la ecuacin:
Esto es:
Interpretacin geomtrica de la pendiente:
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100
Ejemplo:
Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos y
Solucin:
Es importante determinar las coordenadas correspondientes.Aplicamos la frmula de la pendiente:
Como la pendiente de la recta es negativa, podemos deducir que la recta formada por los puntos dados es decreciente!!!!
Ejemplo:
Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos y
Solucin:
Fjate que no es necesario aplicar la frmula para determinar la pendiente, pues si obser-vamos las coordenadas de y en cada punto son iguales, por lo tanto, la pendiente es cero.
Ecuacin de la recta
La representacin en forma de ecuacin la podemos expresar de varias maneras, veamos las ms elementales:
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101
Ecuacin explicita
Es la ecuacin de la forma:
Donde:
son las coordenadas de los puntos que pertenecen a la recta,
es la pendiente de la recta,
es el valor de la ordenada del punto de corte de la recta con el eje y.
Ecuacin punto pendiente
Es la ecuacin de la forma:
donde:
son las coordenadas de todos los puntos que pertenecen a la recta,
son las coordenadas de los puntos conocidos de la ecuacin,
pendiente de la recta.
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102
tus notas
Ecuacin general de la recta
Es la ecuacin de la forma:
La llamaremos ecuacin general y tiene como grfico una recta en el plano cartesiano donde:
es la pendiente de la recta
es la ordenada en el origen
Ejemplo:
Hallar la ecuacin general de la recta que pasa por el punto y tiene pendiente
Solucin:
Dado que conocemos un punto y la pendiente de la recta, expresamos la ecuacin de la forma punto pendiente
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RADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALESRADICALES
Tema
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107
En este captulo nos encontraremos con un nuevo smbolo, pero no te alarmes, enfocare-mos el tema de radicales en funcin de la potenciacin y veras lo sencillo que es. Defina-mos algunos trminos de potenciacin:
Potenciacin con exponente racional:
La raz ensima de un nmero a se define como:
Aclaremos la cuestin con unos ejemplos:
Tambin lo podemos expresar de esta manera:
Fjate que la cantidad subradical es equivalente a la base de la potencia, el ndice de la raz es el equivalente al denominador del exponente de la cantidad subradical y el ex-ponente de la cantidad subradical es el equivalente al numerador del exponente de la potencia. Esto es:
SABAS QUE:El smbolo fue introducido por el
matemtico Christoph Rudolff en el primer tratado de lgebra en
alemn en 1525. Trataba de una
forma estilizada de la letra r, inicial
del trmino latino radix radical
no se te olvide que todo nmero tiene exponente uno
ahora s se visualiza mejor
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108
Ojo: esto tiene sentido siempre y cuando sea un nmero real
Tambin podemos expresar potencias en forma de raz, mira los siguientes ejercicios:
*
*
*
Con estos ejemplos espero que te quede claro lo que es un radical, ves que no es algo del otro mundo?
Hasta ahora slo hemos visto ejemplos donde la base o cantidad subradical positiva. Fjate en lo siguiente:
Este nmero no existe en el conjunto de los nmeros reales, en ge-neral, ninguna raz con cantidad subradical negativa e ndice par tie-ne sentido en el conjunto de los nmeros reales
Observa este razonamiento:
Pareciera estar correcto peroNO!!!! Se debe respetar el orden de las operaciones, con lo que primero debe efectuarse la potencia cuadrada y luego extraer la raz, o sea, el razonamiento correcto es:
as s es la cuestin!!!!
cuando en el ndice de la raz no aparece ningn n-mero, se asume que el ndice de la raz es 2
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109
Vamos a definir la siguiente regla para que no nos enrollemos con esto:
a) Ejemplo:
b) Si Ejemplo:
Una vez claro lo que es un radical, veamos las propiedades de los mismos, vindolo como potencias vers que es similar:
Raz de un producto:
La raz ensima del producto es igual al producto de la raz ensima de a por la raz ensima de b. esto es:
Ejemplitos:
*
*
Raz de un cociente:
La raz ensima de un cociente de la forma es igual al cociente de la raz ensima de a entre la raz ensima de b. Esto es:
Tiene sentido slo en los siguientes casos:
Propiedad de producto
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110
Observa estos ejemplos:
Ejemplo:
*
Ejemplo:
*
Ejemplo:
Potencia de una raz:
La potencia de una raz la podemos efectuar elevando la cantidad subradical a dicha po-tencia conservando el mismo ndice de la raz. Esto es:
Ejemplo:
*
Aplicamos la propiedad cociente y producto
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111
Ejemplo:
*
Raz de una raz:
Para efectuar la raz de una raz se multiplican los ndices de las races y se conserva la cantidad subradical. As:
Ejemplo:
*
Ejemplo:
*
Ejemplo:
*
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112
Ejemplo:
*
Introduccin y extraccin de radicales:
En muchos ejercicios es necesario introducir o extraer factores de la raz para trabajar de manera simplificada, pues mientras ms reducidas estn las expresiones se facilitan los clculos. Veamos ahora los mtodos para la introduccin y la extraccin de factores de una raz:
Introduccin de un factor en un radical:
Para introducir un factor en un radical se eleva dicho factor a una potencia cuyo exponente es igual al ndice del radical. Esto es:
Aclaremos esto con algunos ejemplos :
Ejemplo:
*
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113
Ejemplo:
*
Ejemplo:
* Introducimos el factor x con exponente igual al ndice de la raz(3)
Extraccin de factores de un radical:
Para extraer un factor de un radical de la forma donde m>n, se divide y luego se expresa el resultado de la divisin de esta forma:
Ummm, tal vez te parezca enredado todo esto, vemoslo con unos ejemplos
Ejemplo:
*
Solucin:
Dividimos el exponente de la cantidad subradical entre el ndice de la raz
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114
Ahora el resto de la divisin ser el exponente de la potencia de la cantidad subradical y el cociente ser el exponente de la potencia extrada del radical
Ejemplo:
* Solucin:
Como los exponentes de las potencias son mayores que el ndice de la raz, podemos extraer factores del radical, entonces realizamos el procedimiento explicado en el ejemplo anterior. Extraemos las potencias de x e y
Para la potencia de x Para la potencia de y
Luego:
Nota: cuando te encuentres con radicales semejantes, es decir, que tengan el mismo ndice y la misma cantidad subradical slo operas los coeficientes de estos con operaciones aritmticas sen-cillas, veamos:
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115
Ejemplo:
* Solucin:En este ejemplo, el ndice de la raz de cada cantidad
subradical es la misma en cada radical, por tanto son radicales semejantes, operando solamente los coeficientes del radical, as:
Simplificacin de radicales:
Para simplificar un radical se haya el mximo comn divisor (M.C.D.) de m y n y luego se divide tanto el ndice de la raz como el exponente de la cantidad subradicalentre el M.C.D.
Ejemplo:
Solucin:
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tus notas116
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FUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCINFUNCIN
Tema
FU
NC
IN
C
UA
DR
T
ICA10
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Funcin cuadrticaUna funcin cuadrtica es aquella que tiene la siguiente forma:
donde A,B y C son nmeros reales con A0.
Ejemplos de funciones cuadrticas:
; ;
Caractersticas de la funcin cuadrticaEl grfico de una funcin cuadrtica es una parbola que:
Abre hacia arriba (cncava) si A >0 (positivo)
Abre hacia abajo (convexa) si A
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120
Corta al eje Y en el punto
El corte con el eje X queda determinado por el discriminante de la siguiente forma:
Si la parbola corta al eje X (abscisas) en dos puntos. Figura 1
Si la parbola corta al eje X (abscisas) en un punto. Figura 2
Si no existen puntos de corte con el eje X (abscisas). Figura 3
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Para hallar el punto de corte con el eje X hacemos
El dominio de la funcin cuadrtica es el conjunto de todos los nmeros reales
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121
El rango de la funcin ser un subconjunto de los nmeros reales
El eje de la parbola, llamado tambin eje de simetra, es la recta que tiene como ecuacin:
El vrtice de la parbola viene dado por:
Ahora, veamos un ejemplo que aclare lo antes visto:
Ejemplo:
Representar grficamente la funcin . Determinar los puntos de cor-tes con los ejes, el vrtice y el eje de simetra.
Solucin:
Como , entonces:
La funcin corta al eje Y en el punto , es decir, corta al eje Y en el punto
Hallamos el vrtice
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Hallemos los puntos de corte con el eje X
Para ello hacemos
As:
o
o
Los puntos de corte con el eje X son:
y
Hallamos el eje de la parbola
Observando la grfica podemos apreciar que:
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Recomendaciones que debes tener en cuenta al momento de graficar funciones cuadr-ticas:
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tus notas124
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ECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONES
Tema
EC
UA
CIO
NES
DE
SEG
UN
DO
GR
AD
O11
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Ecuaciones de segundo grado con una incgnita
Propiedades de las races de una ecuacin cuadrticaEn toda ecuacin cuadrtica de races y se cumplen las siguien-tes condiciones:
EjemploCul es la ecuacin cuadrtica cuyas races son y
Solucin:
Llamemos
Por la propiedad de las races de la ecuacin cuadrtica tenemos:
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Entonces:
Por tanto:
Ahora llamemos
La propiedad de races nos dice:
Por tanto:
Como la ecuacin es de la forma , entonces:
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Resolucin de ecuaciones de segun-do grado
Cuando el trmino lineal es nulo
Ejemplo:
Resolver la siguiente ecuacin cuadrtica
Solucin:
Como el trmino lineal es nulo entonces la solucin viene dada por:
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130
As, la solucin de la ecuacin es:
y
Cuando el trmino independiente es nulo:
Ejemplo:
Hallar las races de la ecuacin:
Solucin:
Como el trmino independiente es cero (0), entonces la solucin viene dada por:
y
Hallamos
y listo!!!!
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Ecuacin cuadrtica completa
Frmula para resolver ecuaciones de se-gundo grado
Ejemplo:
Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado:
Solucin:
Determinamos los valores de A, B y C para sustituir los valores en la ecuacin general
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132
Ahora separamos las soluciones:
y
y
y
Aplicacin de la ecuacin de segundo gradoEl permetro de un rectngulo es de 20 cm. y su rea es de 21 cm2. Hallar su largo y su ancho.
Solucin:
El permetro del rectngulo viene dado por:
Como
Entonces:
El rea del rectngulo viene dado por:
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133
Como , entonces:
Ahora buscamos dos nmeros que sumados den 10 y multiplicados den 21.
Estos nmeros son 3 y 7
Por lo tanto
Como sustituimos el valor de x en esta ecuacin:
Fjate que el valor del coeficiente del y2 es uno, por tanto, podemos factorizar la ecuacin.
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tus notas134
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INECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONES
Tema
INEC
UA
CIO
NES12
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En ocasiones se dan unas condiciones en las que, en lugar de aparecer el signo igual (=), hay que utilizar otros signos llamados de desigualdad y que ahora recordamos:
Ejemplos:
Intervalos
Al hablar de desigualdades, debemos tomar en cuenta que la so-lucin es un conjunto, con lo que debemos manejar el concepto de intervalos.
La expresin se lee: El conjunto de todos los nmeros reales que son mayores que a y menores que b y lo representamos:
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Ahora veamos algunos casos de intervalos:
Intervalos abiertos
.
En este ejemplo, los elementos a y b no pertenecen al conjunto
Intervalos cerrados
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139
Intervalo semiabierto o semicerrado
En el grfico anterior podemos deducir que el elemento a pertenece al conjunto y el elemento b no pertenece
Veamos ahora algunos ejemplos que clarifiquen lo que hasta ahora se ha expuesto:
ax b
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140
Ejemplo:
Hallar el conjunto solucin de la siguiente inecuacin:
Solucin:
Ahora representamos el conjunto solucin en forma grfica
Ahora representamos la solucin en forma de intervalo:
Dado que la solucin es todos los nmeros menores o iguales a tres (3) se incluye el 3, tenemos:
Ejemplo:
Solucin:
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141
Ahora representamos la solucin en forma grfica en la recta real y en forma de intervalo.
En la recta real tenemos:
En forma de intervalo:
Resolucin de inecuaciones con valor absoluto
La distancia entre un nmero real a y cero es igual a la distancia entre a y cero. Esta distancia se llama valor ab-soluto de a y se representa:
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Al hablar de valor absoluto nos referimos a distancia. Como la distancia no es negativa, entonces diremos que el valor absoluto de un nmero siempre es positivo, as:
Propiedades de valor absoluto
El valor absoluto de cero es cero.
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Ejemplo:
Resolver la siguiente inecuacin con valor absoluto
Solucin:
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144
y
La solucin de la inecuacin con valor absoluto es
Sistema de inecuaciones linealesUn sistema de inecuaciones lineales con una incgnita es la reunin de dos o ms inecuaciones lineales y coeficientes reales.
Ejemplos de sistema de inecuaciones:
; ;
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:
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Solucin:
Resolvemos cada inecuacin de forma independiente
Solucin: Solucin:
Ahora graficamos las soluciones.
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tus notas146
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LOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOSLOGARITMOS
Tema
LO
GA
RIT
MO
S13
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-
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149
Entremos ahora con un tema que en principio a muchos les resulta algo complicado, pero en esencia es muy sencillo, hablemos de logaritmos. Si tienes consolidado los conoci-mientos sobre potenciacin, este tema se har mucho ms sencillo an. Vamos a dar una definicin sobre logaritmo:
Definimos logaritmo como el nmero al cual hay que elevar otro llamado base, para obtener una cantidad conocida. En cuestin, los logaritmos estn relacionados con la potenciacin y las funciones exponenciales, la relacin es la siguiente:
*El logaritmo de la expresin es:
Solucin:
pues
* El logaritmo de la expresin es:
Solucin: pues
* El valor de x en la expresin es:
Solucin:
lo podemos expresar as:
sabas que:j. napier
public sus trabajos
sobre logaritmos a tres aos de
su muerte
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150
*
Solucin:
* Hallar el valor de x en la ecuacin
Solucin:
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151
Propiedades de los logaritmos:
Veamos algunos ejemplos:
* Hallar el en la ecuacin
Solucin:
Otro ejemplo:
* Hallar en la ecuacin
Solucin:
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152
tus notas
Ecuaciones que resuelven aplicando logaritmos
Cuando los miembros de la ecuacin no se pueden llevar a la base comn se toma loga-ritmo a ambos miembros.
Veamos:
* Hallar el valor de x en
Solucin:
y listo!!!
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tus notas153
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tus notas154
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NGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOSNGULOS
Tema
N
GU
LO
S14
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Definamos lo que es un ngulo:
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Medidas de los ngulos
Sistema sexagesimal
Es aquel en el cual el crculo se fracciona en 360 divisiones iguales llamadas grados; stos, a su vez, se subdividen en 60 minutos cada uno y cada minuto se subdivide en 60 segun-dos.
Sistema radin
Es aquel en el cual el crculo se fragmenta en radianes.
Pi es la relacin que existe entre el permetro de la circunferencia y su dimetro
ngulo positivo ngulo negativo
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159
Ejemplo:
Expresar los siguientes ngulos en radianes: a) b) c) Solucin:
a)
b)
c)
Ejemplo:
Expresar en grados los siguientes ngulos: a) b) c)
Solucin:
a)
b)
c)
Relacin de algunos ngulos de grados a radianes
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160
Tipos de ngulos
ngulo agudo
Es el ngulo que tiene una amplitud mayor a 0 y menor a 90
ngulo recto
Es el ngulo que mide 90, se forma con dos rectas perpendiculares entre s.
ngulo obtuso
Es el ngulo que tiene una amplitud mayor a 90 y menor a 180
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ngulo llano
Es el anglo de amplitud igual a 180
ngulo completo
Es el que tiene una amplitud de 360, es decir, una vuelta completa
Parejas de ngulos
ngulos adyacentes
Son ngulos que tienen un ngulo en comn, y los otros dos pertenecen a la misma recta
ngulos consecutivos
Son ngulos que tienen un lado en comn y tienen el mismo vrtice
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ngulos opuestos por el vrtice
Dos lneas que se interceptan forman n-gulos opuestos por el vrtice
En la figura, es opuesto por el vrtice a y es opuesto por el vrtice
ngulos complementarios
Son dos ngulos consecutivos con la particularidad que la suma de sus ngulos es 90
ngulos suplementarios
Son dos ngulos adyacentes con la particularidad que la suma de sus n-gulos es 180
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163
ngulos formados por rectas paralelas cortadas por una trans-versal
ngulos correspondientes
Cuando tenemos dos rectas paralelas y otra que corta a di-chas rectas, existe la siguiente relacin entre los ngulos que se forman:
ngulos alternos entre rectas paralelas
Recordando el con-cepto de ngulos opuestos por el vr-tice, lo aplicamos en esta relacin:
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tus notas164
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R A Z O N E ST R I G O N O -M T R I C A SR A Z O N E ST R I G O N O -M T R I C A SR A Z O N E ST R I G O N O -M T R I C A SR A Z O N E ST R I G O N O -M T R I C A SR A Z O N E ST R I G O N O -M T R I C A SR A Z O N E ST R I G O N O -M T R I C A SR A Z O N E ST R I G O N O -M T R I C A SR A Z O N E ST R I G O N O -M T R I C A SR A Z O N E S
Tema
TR
IGO
NO
MET
RA15
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167
Para el estudio de las razones trigonomtricas debemos conocer previamente el tringulo rectngulo:
De temas anteriores, sabemos que el teorema de Pitgoras se aplica en los tringulos rectngulos. Segn el teorema de semejanza de tringulos, dos tringulos rectngulos que tengan un ngulo agudo de la misma medida son semejantes; es decir, los cocientes entre los lados correspondientes son iguales.
El valor de estos cocientes no depende de los lados del tringulo, slo depende del valor del ngulo. Al ngulo agudo en cuestin lo llamaremos , y a estos cocientes los llama-mos razones trigonomtricas del ngulo .
Seno de un nguloEs el cociente entre la longitud del cateto opues-to y la longitud de la hipotenusa. Esto es:
sen de a =cateto opuesto
hipotenusa
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168
Lo podemos expresar de forma abreviada:
Coseno del nguloEs el cociente entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa.
Tangente del nguloEs el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa
Veamos algunos ejemplos donde apliquemos es-tas relaciones:
cos de a =cateto adyacente
hipotenusa
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169
Ejemplo:
Hallar el sen , cos y tg en el siguiente tringulo:
Solucin:
Para hallar cada una de las razones trigonomtricas necesitamos conocer los tres lados del tringulo rectngulo y para hallar el lado que no conocemos (hipotenusa) aplicamos el teorema de Pitgoras.
Datos del ejercicio:
(Hipotenusa)
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170
Ahora s, ya conocemos los tres lados del tringulo, aplicamos ahora las frmulas corres-pondientes:
Hallamos el seno:
Hallamos el coseno:
Hallamos la tangente:
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Razones trigonomtricas inversasAl tomar los cocientes recprocos de los que hasta ahora hemos calculado obtenemos tres razones trigonomtricas a las que llamaremos razones trigonomtricas inversas.
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Por ser inversas, estas razones trigonomtricas las podemos expresar de la siguiente forma:
Ejemplo:
Si la y el cateto adyacente a es , entonces el valor del y son:
Solucin:
Los datos que tenemos son:
Dado que
De ac podemos despejar el cateto opuesto (x)
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Como ya conocemos los catetos, aplicamos el teorema de Pitgoras para hallar el valor de la hipotenusa.
Ahora s podemos hallar las razones trigonomtricas que nos piden!!!
Hallamos el
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Ahora hallamos el
Definicin:
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Ejemplo:
Sean y ngulos agudos de
un tringulo rectngulo, adems, la suma de las longitu-
des de los catetos es: . Hallar el valor de cada uno de los catetos.
Solucin:
Los datos que tenemos son:
Como y , entonces:
Como y , entonces:
Igualando las ecuaciones 2 y 3
De y , obtenemos:
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Como la suma de los catetos es (ecuacin 1), se tiene:
Sustituyendo el valor de y (ecuacin 4) en la ecuacin 1, obtenemos:
Sustituimos el valor de para hallar el valor de
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De esta manera queda determinado el valor de cada uno de los catetos!!!!
Crculo trigonomtricoEl crculo trigonomtrico lo utilizamos para determinar el signo de las razones trigono-mtricas. Sus caractersticas son:
Su radio vale 1
El centro coincide con el origen de un sistema de coordenadas rectangulares.
Signo de las razones trigonomtricas
Identidad funda-mental de la trigo-nometra o rela-cin Pitagrica:
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De esta frmula se derivan:
Veamos algunos ejercicios donde apliquemos la identidad fundamental de la trigonome-tra.
Ejemplo:
Si el y es un ngulo agudo, hallar el resto de las razones trigonomtricas.
Solucin:
Aplicamos la identidad fundamental:
Dado que conocemos el coseno, despejamos seno.
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Ya conocidos el seno y el coseno, hallamos la tangente y las razones inversas.
Hallamos la tangente:
Hallamos la secante (inversa del coseno):
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Hallamos la cosecante (inversa del seno):
Hallamos la cotangente (inversa de la tangente):
Razones trigonomtricas de los ngulos de 30 y 60
Para ngulos de 60Para tener una intuicin geomtrica sobre las razones trigonomtricas de los ngulos de 30 y 60, veamos lo siguiente:
Construyamos un tringulo equiltero de lado 2.
La altura (h) del tringulo equiltero forma dos tringulos rectngulos como se puede mostrar en la figura, adems divide al lado del tringulo en dos partes iguales.
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Hallemos ahora el valor de h
Tomemos el tringulo ABD. Por ser un tringulo rectngulo podemos aplicar el teorema de Pitgoras:
Conocidos los tres lados del tringulo rectngulo, aplicamos las razones trigonomtricas, de esta forma:
Como y son ngulos complementarios, tenemos:
Razones trigonomtricas para ngulos de 45Veamos el siguiente tringulo cuyos catetos tienen lon-gitud 1.
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Todo tringulo rectngulo, cuyos catetos tengan la misma longitud, for-man el mismo ngulo con la hipotenusa.
Para hallar el valor de la hipotenusa, aplicamos el teorema de Pitgoras
Ahora aplicamos la razones trigonomtricas en el tringulo para el ngulo de 45
En resumen tenemos:
Veamos un ejercicio donde apliquemos estas razones trigonomtricas.
Ejemplo:
Hallar el rea y el permetro del siguiente tringulo sabien-
do que
Solucin:
Comencemos recordando lo siguiente:
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Para hallar el permetro debemos conocer ,
Hallemos
Conocemos el ngulo y el lado , ahora buscamos la frmula que nos relacione los datos conocidos con la incgnita que buscamos
Por tanto:
Como
Entonces:
De esta manera:
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Ahora hallemos el lado
Como el lado es el cateto adyacente del tringulo, entonces:
Ya conocidos los tres lados del tringulo hallamos el permetro:
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Ahora hallamos el rea:
Razones trigonomtricas para ngulos mayores de 90A travs del crculo trigonomtrico podemos determinar los valores de los siguientes n-gulos:
Razones trigonomtricas para ngulos en los distintos cuadrantes:
Si cuadrante :
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Si cuadrante :
Si cuadrante :
Ejemplo:
Hallar , y de los siguientes ngulos:
Solucin:
Como 150 est en el segundo cuadrante, entonces:
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Razones trigonomtricas para ngulos mayores de 360Para hallar ngulos mayores a 360 se divide dicho ngulo entre 360 y se trabaja con el residuo de la divisin.
Ejemplo:
Hallar el
Solucin:
Dividimos el ngulo entre 360
Por tanto, es equivalente al ms seis vueltas .
Frmulas para calcular razones trigonomtricas de sumas y diferencias de ngulos:
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Ejemplo:
Hallar el .
Solucin:
El objetivo de resolver este tipo de ejercicios es expresar el argumento del ngulo en una suma o resta de dos ngulos conocidos.
lo podemos expresar como
Aplicando la frmula de diferencia para el coseno tenemos:
Sustituimos los valores
Por tanto:
Ejemplo:
Hallar
Solucin:
lo podemos expresar como
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Aplicamos la frmula:
Frmulas para calcular razones trigonomtricas del doble de un ngulo
Frmulas para calcular las ra-zones trigonomtricas de la mitad de un ngulo
Hasta ahora hemos visto cmo resolver razones trigonomtricas en tringulos rectngulos, veamos ahora cmo resol-ver razones trigonomtricas en cualquier tipo de tringulos, para ello veamos las siguientes leyes:
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Ley del seno
Ley del cosenoLa ley del coseno es una expresin que te permite conocer un lado de un tringulo cual-quiera si conoces los otros dos y el ngulo opuesto al lado que quieres conocer. Esto es:
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Ejemplo:
Dado el siguiente triangulo, hallar las longitudes de sus lados sabiendo que
, y b = 6
Solucion:
La suma de los lados internos de un tringulo es 180, por consiguiente, po-demos hallar el ngulo que falta por co-nocer.
Como ya conocemos los tres ngulos internos del triangulo, aplicamos la ley del seno para hallar el valor de la longitud de los lados.
Hallamos el lado a
(Racionaliza el denominador)
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tus notas
Hallamos c
Como prctica racionaliza el denominador.
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tus notas193
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tus notas194
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COMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOSCOMPLEJOS
Tema
N
MER
OS
CO
MPLEJO
S16
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Nmeros complejos O IMAGINARIOS
En matemticas hubo la necesidad de ampliar el campo numrico para darle sentido a ecuaciones del tipo:
Pues al despejar la incgnita nos encontramos que no tiene solucin en el campo num-rico hasta ahora conocido. Veamos:
Despejemos la incgnita en la ecuacin anterior:
Este resultado no tiene sentido en el campo de los nmeros reales hasta ahora conocido, es por ello que hubo la necesidad de expandir el campo numrico.
Para seguir dando explicacin y sentido a los fenmenos presentes en la naturaleza se crearon los nmeros complejos o nmeros imaginarios.
Unidad imaginaria
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Veamos:
Ejemplo:
Hallar las siguientes races:
Solucin:
Propiedad de radicales baba =
Ejemplo:
Hallar el valor de la siguiente raz:
Solucin:
Ecuaciones de segundo grado con solucin en el campo imaginarioCuando estudiamos ecuaciones de segundo grado, y el discri-minante era menor que cero, decamos que no tenia solucin real. Esto es:
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Ejemplo:
Hallar las races de la ecuacin
Solucin:
Aplicamos la frmula de ecuacin de segundo grado:
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Potencias de la unidad imaginaria iFjate en lo siguiente:
Fjate que los resultados de las potencias se tornan cclicos, pues el resultado se repite a razn de cuatro, por tanto, para calcular cualquier potencia de i, se procede de la siguiente manera:
Se divide el exponente entre 4
El residuo de la divisin se toma como nuevo exponente
Se busca el resultado de las potencias en la tabla de las primeras potencias
Ejemplo:
Determina las siguientes potencias de i
a) b) c)
Solucin:
a)
b)
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c)
Nmeros complejos en forma de pares ordenados
Ejemplo:
En el siguiente numero com-plejo, definir cul es la parte real y la parte imaginaria:
Solucin:
Parte real: 2 Parte imaginaria: 3
Grfica de un nmero complejoTodo nmero complejo se representa en un punto en el plano, donde la parte real esta representada en el eje de las abscisas y la parte imaginaria se representa en el eje de las ordenadas, veamos:
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