SEGUNDOPERIODO

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UNIDAD II MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓNObjetivo de Aprendizaje: Que el alumno aplique las medidas de tendencia central y de dispersión para datos no agrupados y agrupados

1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALLas medidas de tendencia central describen las características básicas de un conjunto de datos. Son medidas representativas del conjunto y generalmente se resume mediante un valor numérico que índica la variación entre éstos. El propósito de las medidas de tendencia central es mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo.

Las medidas de tendencia central son:

a) La Media aritmética (X )b) La Moda (Mo) c) La Mediana (Me) d) La Media armónica (H )e) La Media geométrica (G)

Cuando la información ha sido resumida en una tabla de distribución de frecuencias, normalmente se pierde la información de cuáles fueron los datos originales, en tales circunstancias es necesario conocer técnicas que permitan determinar las medidas de tendencia central como la media aritmética, la mediana y la moda, que representen al conjunto de datos que fue categorizado

2. MEDIA ARITMÉTICA (X ) Y ELABORACIÓN DE EJERCICIOS PARA SU COMPRENSIÓN.

La media aritmética es la medida de tendencia central más utilizada y es igual a lo que conocemos como promedio. La media es la suma de los valores de todas las observaciones, dividida entre el número de observaciones realizadas.

Media aritmética para Datos sin agrupar

Sea n el tamaño de una muestra que contiene a las observaciones x1 , x2 , x3 ,. . . , xn, entonces la media aritmética, X , es:

X=∑j=1

n

X j

n=

X1+X2+X3+…+X j

n

Ejemplo 1: La media aritmética de los números: 8, 10, 9, 6, 7, 10 es:

El total de datos es, n=6

X=8+10+9+6+7+106

28

X=506

=8.33

Ejemplo 2: Obtén la media aritmética para los siguientes datos correspondientes al número de ensayos que necesitan 19 estudiantes para memorizar una lista de seis pares de palabras. Los resultados fueron: 8, 3, 9, 6, 7, 10, 6, 7, 4, 6, 9, 5, 6, 7, 9, 4, 6, 8, 7

X=8+3+9+6+7+10+6+7+4+6+9+5+6+7+9+4+6+8+719

=12719

=6.68

Ejercicios para su comprensión

En cada uno de los ejercicios siguientes, determina la ( X ), analiza tus resultados, compáralos y expresa tus observaciones.

1. En el departamento de control de calidad se tomó una muestra al azar de 10 focos para determinar el número de horas de vida de cada foco, obteniéndose los siguientes datos:

2. La producción de tornillos especiales elaborados por un empleado de la fábrica Mecanican Falk en una de las semanas que se toma de muestra, fue la siguiente:

3. Una muestra de 20 empleados de cierto centro comercial obtuvo como salario quincenal, los

siguientes datos:

340 240 330 240 325 240 240 305 240 300240 290 240 280 240 280 255 265 255 265

4. Los datos siguientes corresponden al número de libros prestados por día:

35 47 22 15 13 28 39 41 43 36 24 23

29

17 19 21 31 35 37 41 43 47 5 12 19

Media aritmética para Datos Agrupados

A diferencia de los datos no agrupados, los valores individuales de los datos agrupados no están disponibles, y de esta manera no puedes calcular la suma. Para calcular la media de datos agrupados el primer paso es determinar el punto medio de cada intervalo o clase, lo que se conoce como marca de clase (X i). Estos puntos medios deben entonces ser multiplicados por las frecuencias de las clases correspondientes (F A). La suma de los productos dividida por el número total de valores será el valor de la media, es decir:

X=∑ X iF A

n

Ejemplo 1: La siguiente tabla de distribución de frecuencias refleja la información que el gerente de personal de una empresa recabó de los expedientes sobre los años de antigüedad de los empleados:

N °

intervalo

Intervalos Frecuencia

absoluta

(F A )Límite inferior Límite superior

1 10 – 12 2

2 13 – 15 6

3 16 – 18 10

4 19 – 21 16

5 22 – 24 8

6 25 – 27 5

7 28 – 30 1

48

Solución:

N °

intervalo

Intervalos Frecuencia

absoluta

(F A )

Marca de

clase

(X i) F A ∙X i

Límite inferior Límite superior

1 10 – 12 2 11 22

2 13 – 15 6 14 84

3 16 – 18 10 17 170

4 19 – 21 16 20 320

5 22 – 24 8 23 184

6 25 – 27 5 26 130

7 28 – 30 1 29 29

30

Σ 48 939

X=∑ X iF A

n=93948

=19.56años deantigüedad

Ejemplo 2: Un grupo de 40 alumnos del IT, acumuló en un mes 43 retardos reportados en minutos en la siguiente tabla:

N °

intervalo

Intervalos Frecuencia

absoluta

(F A )Límite inferior Límite superior

1 1 – 3 3

2 4 – 6 5

3 7 – 9 8

4 10 – 12 12

5 13 – 15 6

6 16 – 18 5

7 19 – 21 4

43

a) Encuentra la media aritmética.

N °

intervalo

Intervalos Frecuencia

absoluta

(F A )

Marca de

clase

(X i)F A ∙X i

Límite inferior Límite superior

1 1 – 3 3 2 6

2 4 – 6 5 5 25

3 7 – 9 8 8 64

4 10 – 12 12 11 132

5 13 – 15 6 14 84

6 16 – 18 5 17 85

7 19 – 21 4 20 80

43 476

X=∑ X iF A

n=47643

=11.07minutos

31

Ejercicios para su comprensión

En cada uno de los ejercicios siguientes, determina la ( X ), analiza tus resultados, compáralos y expresa tus observaciones.

1. Se aplicó una prueba de aptitud a 100 aspirantes de obrero para la planta de VW de Puebla, habiendo obtenido las siguientes puntuaciones:

60, 25, 47, 61, 54, 78, 36, 67, 40, 51, 49, 53, 44, 94, 51, 65, 55, 61, 48, 70, 42, 58, 69, 40, 51, 88, 54, 83, 79, 14, 13, 72, 57, 27, 46, 62, 43, 51, 82, 45, 64, 52, 71, 82, 53, 41, 65, 62, 75, 60, 49, 64, 40, 61, 73, 80, 71, 53, 36, 90, 60, 59, 41, 29, 86, 57, 61, 85, 44, 92, 27, 56, 39, 43, 54, 35, 59, 59, 89, 60, 61, 71, 53, 58, 26, 77, 68, 62, 62, 57, 48, 69, 76, 52, 49, 45, 54, 41, 77, 85.

N °

intervalo

Intervalos Frecuencia

absoluta

(F A )

Marca de

clase

(X i)F A ∙X i

Límite inferior Límite superior

32

2. El departamento del Distrito Federal recibió varias quejas del público sobre la contaminación que produce la Planta de óxido de sulfuro. El Departamento envió un equipo de expertos para investigar el problema.

Para hacer el estudio de la contaminación, los investigadores se establecieron dentro de la Planta y tomaron una muestra diaria durante 40 días de los humos que ésta despide. Los resultados obtenidos de la emisión promedio de óxido de sulfuro en kg. Por día, son los que se indican a continuación:

N °

intervalo

Intervalos Frecuencia

absoluta

(F A )Límite inferior Límite superior

1 9 – 13 4

2 14 – 18 12

3 19 – 23 13

4 24 – 28 9

5 29 – 33 2

40

a) Obtén la media aritmética

N °

intervalo

Intervalos Frecuencia

absoluta

(F A )

Marca de

clase

(X i)F A ∙X i

Límite inferior Límite superior

1 9 – 13 4

2 14 – 18 12

3 19 – 23 13

4 24 – 28 9

5 29 – 33 2

40

33

X=∑ X iF A

n=¿

3. MEDIANA (Me) Y MODA (Mo) Y ELABORACIÓN DE EJERCICIOS PARA SU COMPRENSIÓN.

LA MEDIANA (Me)

Es el punto medio del total de observaciones, luego de que han sido ordenados y que deja al mismo número de observaciones por debajo de su valor, así como por arriba de él.

En otras palabras, la mediana es el valor central que se localiza en una serie ordenada de datos.

Mediana para datos sin agrupar

Para la determinación de la mediana es necesario que los datos se encuentren previamente ordenados, existen dos posibilidades, cuando el número de observaciones es impar y cuando este número es par.

1° Cuando n es impar. La ubicación del elemento central es directa escogiendo el elemento que ocupa la posición (n+1)/2.

2° Si n es par es necesaria la determinación de dos valores centrales, (n /2) y (n/2+1), una vez determinados se encuentra la media aritmética de estos valores, que a su vez constituye la mediana del conjunto de datos.

De manera gráfica podemos ver la mediana de la siguiente forma:

Cuando n es impar Cuando n es par

Ejemplo 1: Obtén la mediana para los siguientes datos correspondientes al número de ensayos que necesitan 19 estudiantes para memorizar una lista de seis pares de palabras. Los resultados fueron:

8 3 9 6 7 10 6 7 4 6 9 5 6 7 9 4 6 8 7 34

Como el número de datos n=19 es impar, la ubicación de la mediana será aquel dato que ocupe la posición (n+1)/2, es decir:

No posición=n+12

=19+12

=10

Ordenamos los datos:

3 4 4 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 9 9 9 10 N° Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Me=7Ejemplo 2: Encuentra la mediana de los números: 8, 10, 9, 6, 7, 10.

Como n=6, la mediana es la media aritmética de los datos que ocupen la posición (n /2) y (n/2+1), es decir:

N ° posición=n2=62=3

N ° posición=n2+1=6

2+1=3+1=4

6, 7, 8, 9, 10, 10 N° Posición 1 2 3 4 5 6

Me=8+92

=172

=8.5

35

Ejercicios para su comprensión

En cada uno de los ejercicios siguientes, determina la mediana

1. Obtén la mediana de las edades de todos los alumnos inscritos en tu grupo.

2. Determinar la mediana del siguiente conjunto de datos: 21, 15, 18, 20, 16, 19.

3. Encontrar la mediana de los siguientes datos: 15, 16, 18, 19, 20, 21

36

Mediana para datos Agrupados

Para calcular la mediana en datos agrupados siempre y cuando tengamos un resumen de los datos en una tabla de distribución de frecuencias. Debido a que la mediana es el valor por abajo del cual se encuentran el 50% de los datos y por arriba de él se encuentra también el 50% de los datos, entonces la mediana se debe de encontrar en la clase en la que la frecuencia absoluta acumulada es igual o mayor a n /2.

A esta clase se le llama clase mediana. La mediana se puede calcular con la siguiente formula:

Me=Limediana+(n2−F AAanterior)

F Amediana

∙C

Donde:Me=MedianaLimediana=L í mite inferior de la medianan=totalde datos de lamuestraF AAanterior

=Frecuenciaabsolutaacumuladadel intervalo anterior a laclasemedianaF Amediana

=Frecuenciaabsolutade la clasemedianaC=Amplitud declase

Ejemplo 1: Encuentra la mediana de acuerdo con la siguiente tabla de distribución de frecuencias, que representa la longitud en centímetros de 60 cilindros fabricados por una maquina:

N ° Intervalos Marca de clase

Frecuencia absoluta

(FA)

Frecuencia Absoluta

acumulada

intervalo Límite inferior Límite superior (FAA)

1 234 237 235.5 1 12 238 241 239.5 5 63 242 245 243.5 7 13

4 246 249 247.5 18 315 250 253 251.5 22 536 254 257 255.5 3 567 258 261 259.5 4 60

37

60Solución

n2=30

Por lo tanto, la clase mediana se encuentra en el intervalo número 4, ya que la FAA ≥n /2, la mediana es:

Me=246+ (30−13 )18

∙4=249.77

EJERCICIOS DE APLICACION

Ejercicio 1: En un grupo de 60 alumnos se obtuvieron los siguientes resultados en su examen final que contenía 20 reactivos. Los datos reportados son aciertos y están ordenados ascendentemente.

0 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 1112 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 1313 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 1516 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 1819 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 20

a) Realiza la tabla de distribución de frecuenciasb) Encuentra la mediana de los datos

N ° intervalo

IntervalosMarca de

claseFrecuencia

absoluta (FA)

Frecuencia Absoluta

acumulada(FAA)

Límite inferior

Límite superior

38

Ejercicio 2: En la siguiente tabla se muestran las edades de un grupo de personas

N °intervalo Edades Frecuencia

absoluta (FA)

Frecuencia absoluta

acumulada (FAA)

1 [0 – 10) 3 3

2 [10 – 20) 6 9

3 [20 – 30) 7 16

4 [30 – 40) 12 28

5 [40 – 50) 3 31

31

Obtén:

a) La media aritméticab) La mediana

N ° intervalo

Intervalos

Frecuencia absoluta (FA)

Frecuencia Relativa

acumulada(FAA)

Marca de clase FA*XiLímite

inferiorLímite

superior

1 [0 – 10) 3 3

2 [10 – 20) 6 9

3 [20 – 30) 7 16

4 [30 – 40) 12 28

5 [40 – 50) 3 31

31

39

Ejercicio 3: El peso de 50 trabajadores de una empresa se representan en la siguiente tabla de distribución de frecuencias.

N °intervalo Edades Frecuencia

absoluta (FA)

Frecuencia absoluta

acumulada (FAA)

1 53 – 57 2 2

2 58 – 62 7 9

3 63 – 67 10 19

4 68 – 72 12 31

5 73 - 77 9 40

6 78 – 82 6 46

7 83 – 87 4 50

50

a) Determina la mediana

40

LA MODA (Mo)

Es el valor de la observación o elemento que tiene la mayor frecuencia.

Sí se tiene dos o más valores con la misma frecuencia máxima, la distribución puede ser multimodal.

Moda para datos Sin Agrupar

Ejemplo 1: Obtén la moda para los siguientes datos correspondientes al número de ensayos que necesitan 19 estudiantes para memorizar una lista de seis pares de palabras. Los resultados fueron:

8 3 9 6 7 10 6 7 4 6 9 5 6 7 9 4 6 8 7

Ordenamos los datos:

3 4 4 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 9 9 9 10

La moda, será aquel dato que tenga la mayor frecuencia, en este caso es: Mo=6

Ejemplo 2: Encuentra la moda de los números: 8, 10, 9, 6, 7, 10

Ordenando los datos:6, 7, 8, 9, 10, 10

Mo=10

Ejemplo 3: La siguiente serie de datos tiene dos modas, ya que el 11 y el 15, se repiten 2 veces, entonces se dice que la distribución de los datos es bimodal.

Ordenando los datos:

4 6 9 11 11 12 13 15 15

41

Ejemplo 4: La siguiente serie de datos es trimodal, ya que el 4, el 11 y el 15 se repiten 3 veces. Ordenando los datos:

4 4 4 6 9 11 11 11 12 13 15 15 15

Si no hay un valor que se repita más veces que los otros, no existe la moda.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Obtén la moda para los siguientes ejercicios:

1. Las ventas realizadas en 10 días de uno de los meses por tres vendedores de una compañía fueron las siguientes:

Ventas de Pedro: 5, 18, 8, 12, 17, 19, 25, 17, 17, 20 Ventas de Andrés: 5, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17 Venta de Carlos: 5, 6, 10, 20, 21, 20, 19, 18, 19, 20

Ordena los datos y calcula la moda de las ventas de cada uno.

2. Calcula la moda de los siguientes datos:

5 5 6 4 4 5 4 5 6 7 4

42

Moda para datos agrupados

Para datos agrupados se debe definir la clase modal, es decir, la clase con el valor que tiene la mayor frecuencia. La moda para datos agrupados la calculamos con la siguiente formula:

Mo=Linf+( ∆1∆1+∆2 ) ∙C

Donde: Linf=límite inferior de la clasemodal .

∆1=diferenciaentre lafrecuencia de la clasemodal y laclaseanterior . ∆2=diferenciaentre la frecuenciade la clasemodal y laclase pos terior . C=Amplitud delintervalo

Ejemplo 1: La siguiente distribución de frecuencias nos muestra las edades de 100 personas elegidas aleatoriamente.

Edades Frecuencia absoluta (FA)

21 – 28 21

29 – 36 15

37 – 44 30

45 – 52 22

53 - 60 12

100

Solución:

Linf=37

43

∆1=30−15=15 ∆2=30−22=8 C=8

Mo=37+( 1515+8 ) ∙8=42.22Por lo tanto, la moda de las edades de 100 personas elegidas aleatoriamente es: 42.22

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Encuentra la moda para los ejercicios 1, 2 y 3 de la paginas 37,38 y 39.

44

4. MEDIA ARMÓNICA (H) Y MEDIA GEOMÉTRICA (G) Y ELABORACIÓN DE EJERCICIOS PARA SU COMPRENSIÓN.

LA MEDIA ARMONICA (H )

Media armónica para datos Sin Agrupar

La media armónica H de un conjunto de N números X1 , X2 , X3 . . . , Xn es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los números.

H= n

∑j=1

n 1X j

= n1X1

+ 1X2

+ 1X3

+…+ 1X j

Esta medida se emplea para promediar variaciones con respecto al tiempo talescomo productividades, tiempos, rendimientos, cambios, etc.,

Ejemplo 1: Hallar la media armónica de los números 4, 5 y 8.

H= 314+ 15+ 18

= 32340

=12023

=5.22

Ejemplo 2: Un obrero puede pintar una casa en 6 días y otro puede pintarla en 8 días. Hallarel rendimiento promedio que se tendría que tardar en pintar la misma casacualquier obrero, tomando como base el desempeño de estos dos.

H= 216+ 18

= 2724

= 487

=6.85

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

45

1. Encuentra la media armónica de los datos: 18, 23, 21, 24, 9, 16, 16, 21, 15, 11

2. Supóngase que una familia realiza un viaje en automóvil a una ciudad y cubre los primeros 100 km a 60 km/h, los siguientes 100 km a 70 km/h y los últimos 100 km a 80 km/h. Calcular, en esas condiciones, la velocidad media realizada.

Media Armónica para datos Agrupados

La media armónica viene dada por la fórmula:

H= n

∑ FA

X i

Ejemplo 1: Encuentra la media armónica de acuerdo con la siguiente tabla de distribución de frecuencias, que representa la longitud en centímetros de 60 cilindros fabricados por una maquina:

N ° Intervalos Marca de clase

Frecuencia absoluta

(FA)

Frecuencia Absoluta

acumulada

intervalo Límite inferior Límite superior (FAA)

1 234 237 235.5 1 12 238 241 239.5 5 63 242 245 243.5 7 134 246 249 247.5 18 315 250 253 251.5 22 536 254 257 255.5 3 567 258 261 259.5 4 60

60

H= 601

235.5+ 5239.5

+ 7243.5

+ 18247.5

+ 22251.5

+ 3255.5

+ 4259.5

=248.96

LA MEDIA GEOMÉTRICA

La media geométrica G de n números positivos X1 , X2 , X3 . . . , Xn es la raíz n−ésima del producto de los números. La media geométrica es de gran utilidad cuando se quiere establecer el

46

promedio de porcentajes, razones, índices o tasa de crecimiento. Su uso es ampliamente demandado en economía y en demografía.

Media geométrica para datos Sin Agrupar:

G= n√X 1X2 X3 ∙∙ ∙ Xn

Donde:

X1 X2 X3 ∙∙ ∙ Xn=datos

Ejemplo 1: La media geométrica de los números: 8, 10, 9, 6, 7, 10 es:

G= 6√8 ∙10∙9 ∙6 ∙7 ∙10= 6√302400=8.19Ejemplo 2: Calcular la media geométrica 2, 4 y 8:

G= 3√2 ∙4 ∙8= 3√32=3.17

Media Geométrica para datos Agrupados

G=∑ F A√(X1

F 1)(X2F2)(X3

F3)∙ ∙∙ (XnF n)

Ejemplo 1: A continuacion se presenta la siguiente distribucion de frecuencias para el peso de 40 personas. Obtenga la media geometrica:

Edades Marca de Clase

Frecuencia absoluta (FA)

50 – 58 54 6

59 – 67 63 6

68 – 76 72 9

77 – 85 81 9

86 – 94 90 6

95 – 103 99 4

∑ 40

G=40√(546)(636)(729)(819)(906)(994)=74.09

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Calcular la media geométrica de los números 11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,26 ,29 ,332

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2. Obtener la media armónica y la media geométrica de los ejercicios 1, 2 y 3 de las paginas 37, 38 y 39

5. CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES Y ELABORACIÓN DE EJERCICIOS PARA SU COMPRENSIÓN.

Los cuantiles son los valores de la distribución que la dividen en partes iguales, es decir, en intervalos que comprenden el mismo número de valores. Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos o de marcas y se requiere obtener un promedio de una parte de ella. Generalmente, se divide la distribución en cuatro, en diez o en cien partes. Los cuantiles más usados son los percentiles, cuando dividen la distribución en cien partes, los deciles, cuando dividen la distribución en diez partes y los cuartiles, cuando dividen la distribución en cuatro partes.

CUARTILES Los cuartiles se definen como los tres valores que dividen la distribución en cuatro partes iguales. Son valores de la variable que dividen los datos ordenados en cuartos; cada conjunto de datos tiene tres cuartiles.

DECILES Los deciles son números que dividen la sucesión de datos ordenados en diez partes porcentualmente iguales.

PERCENTILES

Los percentiles son números que dividen en 100 partes iguales un conjunto de datos ordenados

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