invitación a la geometría aritmética (vía las conjeturas de weil) smm tn-2016

Invitación a la Geometría Aritmética (vía las conjeturas de Weil)

Congreso Nacional de la SMM 2016

Dr. J. Rogelio Pérez BuendíaCONACyT-CIMAT Mérida

Teoría de Números

Pero ¿qué es la Geometría Algebraica?

Geometría Analítica:

Lineay = mx+ b

Círculox

2 + y

2 = r

2

y = mx+ b

x

2 + y

2 = r

2

Resolver el sistema:

{

y = mx+ b

x

2 + y

2 = r

2


x

2 + (mx+ b)2 = r

2

{

y = mx+ b

x

2 + y

2 = r

2


x

2 + (mx+ b)2 = r

2

{x

2 + (2mb)x+ (b2 � r

2) = 0

y = mx+ b

x

2 + y

2 = r

2


x

2 + (mx+ b)2 = r

2

{x

2 + (2mb)x+ (b2 � r

2) = 0

x1

x2

Polinomios y su Geometría

Polinomios y su GeometríaEn una variable:

x

3 � x+ 4


Dos variables:

x

3 � x+ 4

2x5 � 3xy2 + y

3


Dos variables:

Tres variables:

x

3 � x+ 4

2x5 � 3xy2 + y

3

x

5 � y

7 + x

2z

8 � xyz + 2


Dos variables:

Tres variables:

Atributos:

x

3 � x+ 4

2x5 � 3xy2 + y

3

x

5 � y

7 + x

2z

8 � xyz + 2

• El número de variables, • Los coeficientes, • El grado • …

En general uno puede usar n variables, en cuyo caso estas son frecuentemente denotadas: x1, . . . , xn

f(x1, . . . , xn) = f(X)

Funciones polinomiales son el único tipo de funciones con las que las computadoras pueden trabajar

¿Geometría en muchas dimensiones?

Esfera en el espacio de 5 dimensiones:

x

21 + x

22 + x

23 + x

24 + x

25 � r

2 = 0,

La importancia de la geometría algebraica se deriva de la notable

interacción entre el álgebra y la geometría y la frecuencia con la

que esto ocurre.

¡La Mayoría de las formas son Algebraicas!


Rectas


Rectas

Planos


Rectas

Planos

Elipses


Rectas

Planos

Elipses

Hipérbolas


Rectas

Planos

Elipses

Hipérbolas

Hiperboloides


Rectas

Planos

Elipses

Hipérbolas

Hiperboloides

Paraboloides


Rectas

Planos

Elipses

Hipérbolas

Hiperboloides

Paraboloides

Elipsoides


Rectas

Planos

Elipses

Hipérbolas

Hiperboloides

Paraboloides

Elipsoides

• Concoide de Durero

No toda figura es algebraica

0


Se puede describir con polinomios:

0 x a y � y b0


Se puede describir con polinomios:

0 x a y � y b

• No se puede describir con polinomios

y = sin(x)0

Aproximación Polinomial

sin(x) ' x� 1

6x

3 +1

20x

5 � 1

540x

7

• Polinomio de Taylor de grado 7:

Teorema de Nash

Teorema de NashTeorema:Toda figura geométrica “razonable” es algebraica si ignoramos lo que pasa lejos del origen.

Teorema de NashTeorema:Toda figura geométrica “razonable” es algebraica si ignoramos lo que pasa lejos del origen.

• ¿Qué es razonable? Fractales NO. Las formas “amables” es lo que se conoce por manifold (variedad diferenciable)

Puntos Reales vs Puntos Complejos

Los puntos reales de la recta y sus puntos complejos:

Espacio ProyectivoLos puntos de están representados por (n+1)-ádas de coordenadas homogéneas no todas nulas tal que:.

PnC

[x0, x1, . . . , xn] = [�x0, . . . ,�xn]

Una variedad proyectiva es un subconjunto de dado por los ceros comunes de polinomios homogéneos.

PnC

Ceros de Polinomios

Ceros de Polinomios

Ceros dex

2 + y

2 � r

2 = 0

Ceros de Polinomios

Ceros de

Ceros de

x

2 + y

2 � r

2 = 0

y �mx� b = 0

Ceros de Polinomios

Ceros de

Ceros de

Ceros comunes:

x

2 + y

2 � r

2 = 0

y �mx� b = 0

2x2 + 3y2 � z

2 � 7 = 0

z � x� y = 0{

Conjuntos Algebraicos

Definición:

Al conjunto de ceros comunes de un sistema de ecuaciones polinomiales, en cualquier número de variables lo llamamos Conjunto Algebraico.

A veces también les decimos variedades algebraicas.

Variedades e IdealesUn conjunto algebraico sobre un campo algebraicamente cerrado (irreducible) es una variedad (afín).

V (S) := {x 2 Cn : f(x) = 0, 8 f 2 S}

S ⇢ C[x] = C[x1, . . . , xn]

Ideales y VariedadesDado un subconjunto cualquierale asociamos el conjunto de polinomios que se anulan simultáneamente en Z:

Z ⇢ Cn

I(Z) := {f 2 C[x] : f(z) = 0 8 z 2 Z}


Z ⇢ Cn

I(Z) := {f 2 C[x] : f(z) = 0 8 z 2 Z}

Si I es un ideal generado por un conjunto de polinomios S, entonces:


Z ⇢ Cn

I(Z) := {f 2 C[x] : f(z) = 0 8 z 2 Z}

Si I es un ideal generado por un conjunto de polinomios S, entonces:

V (I) = V (S)

Tenemos una correspondencia que invierte inclusiones:

{Ideales} ⌧ {Variedades}


{Ideales} ⌧ {Variedades}Y tal que:



Z ⇢ V (I(Z))



Z ⇢ V (I(Z))

con igualdad cuando Z es algebraico.



Z ⇢ V (I(Z))

con igualdad cuando Z es algebraico.

Teorema: (Nullstellensatz): La correspondencia es biyectiva cuando nos restringimos a ideales radicales.

Códigos y Geometrías Finitas

Códigos y Geometrías Finitas

x

2 + y

2 = z

2

Códigos y Geometrías FinitasEl cono doble:

x

2 + y

2 = z

2


x

2 + y

2 = z

2

• Ternas Pitagóricas

x

y

z


x

2 + y

2 = z

2

• Ternas Pitagóricas

(3, 4, 5) y (5, 12, 13).

x

y

z

CódigosPongamos atención en la paridad de

La ecuación módulo 2 tiene cuatro soluciones: (0,0,0); (0,1,1); (1,0,1); (1,1,0)

x

2 + y

2 = z

2

3

2+ 15

2y 4

2son ambos pares

3

2+ 15

2 ⌘ 4

2(mod 2)

Fue una sorpresa cuando se descubrió que usando polinomios y sus soluciones módulo 2 es una excelente -posiblemente la mejor- manera de construir códigos correctores de errores.

Espacios Tridimensionales3 - Espacio de Fano:

Es el espacio tridimensional sobre el campo con 2 elementos

tiene 15 puntos, 35 rectas y 15 planos.

Espacios Tridimensionales3 - Espacio de Fano:

Es el espacio tridimensional sobre el campo con 2 elementos

tiene 15 puntos, 35 rectas y 15 planos.

Podríamos trabajar módulo cualquier entero: Si trabajando módulo 7, tenemos 0,1,2,3,4,5,6 como posibles coordenadas, y entonces un

espacio tridimensional módulo 7 tiene 343 puntos.

Problemas Diofantinos

Problemas DiofantinosProblema: Muestra que la ecuación: x

2 + y

2 = 7z2

no tiene soluciones (no triviales) con x,y,z racionales.

Problemas DiofantinosProblema: Muestra que la ecuación:

Problema: Qué podemos decir de:

x

2 + y

2 = 7z2

no tiene soluciones (no triviales) con x,y,z racionales.

x

5 + y

5 = 7z5

Solucion: p = int(raw_input('Ingresa el módulo: '))

lista = range(0,p)

count = 0

for a in lista:

for b in lista:

for c in lista:

if ((a**n)+(b**n) -7*(c**n)) % p == 0:

count = count + 1

print count, (a,b,c)

print 'Hay %d soluciones a la ecuaión a^%d +b^%d = 7c^%d móudlo %d ' % (count, n,n,n,p)

Encontramos que módulo 7 tiene 49 soluciones, módulo 2 tiene 4, módulo 3 tiene 9, módulo 11 tiene 51, módulo 13 tiene 169 etc...

Problemas Diofantinos

Problemas Diofantinos¿Tiene la ecuación soluciones en el anillo de polinomios?


A los problemas de encontrar soluciones de ecuaciones polinomiales en un anillo R se les llama problemas Diofantínos sobre R.


A los problemas de encontrar soluciones de ecuaciones polinomiales en un anillo R se les llama problemas Diofantínos sobre R.

Con una ecuación particular podemos asociar una cantidad infinita de problemas Diofantinos, uno para cada anillo conmutativo R.

¿Campos finitos?

¿Campos finitos?Ejemplos de campos finitos son los enteros

módulo un primo: ℤ/pℤ = .Fp

¿Campos finitos?Ejemplos de campos finitos son los enteros

módulo un primo: ℤ/pℤ = .

El campo con 9 elementos no es un campo de congruencias de los enteros.

Fp

F9

Teorema de GaloisTeorema: Para todo número de la forma con p un número primo y n entero positivo, existe un campo finito F con exactamente elementos. Más aún, todo campo finito tiene exactamente elementos para un primo p y un entero n>0. Además cualesquiera dos campos finitos con q elementos son isomorfos.

pn

pn

pn

Teorema:

Teorema: Si fijo una cerradura algebraica de un campo finito. Entonces sólo hay un campo finito con q elementos en la cerradura algebraica.


si n | m, entones el campo finito con pn elementos está contenido en el campo con pm elementos.


si n | m, entones el campo finito con pn elementos está contenido en el campo con pm elementos.

Todo campo finito es un cociente de un anillo de polinomios en una variable con coeficientes en ℤ/pℤ.

La función Z de una variedad sobre un campo finito

⇣(X, s) :=Y

x2X

✓1

1� q(x)�s

◆

Sea X una variedad sobre el campo finito con q elementos:

La función ZCon un poco de manipulación algebraica, se puede demostrar que:

⇣(X, s) = exp

1X

k=1

Nk(q�s)

k

k

!

La función ZCon un poco de manipulación algebraica, se puede demostrar que:

⇣(X, s) = exp

1X

k=1

Nk(q�s)

k

k

!

En donde NK = |X(Fqk)|

Las Conjeturas de Weil

Las Conjeturas de WeilSi X es una variedad proyectiva suave sobre escampo finito . Entonces se debería cumplir que: Fq


ζ(X,s) puede ser escrita como una función racional en .

Si X es una variedad proyectiva suave sobre escampo finito . Entonces se debería cumplir que: Fq

q�s



Si n = dim(X), y si hacemos t = . Entonces:


q�s

q�s

⇣(X, s) =P1(t)P3(t) · · ·P2n�1(t)

P0(t)P2(t) · · ·P2n(t)



Si n = dim(X), y si hacemos t = . Entonces:


q�s

q�s

⇣(X, s) =P1(t)P3(t) · · ·P2n�1(t)

P0(t)P2(t) · · ·P2n(t)

En donde las raíces de Pi son números complejos de norma qi/2

⇣(X, s) =P1(t)P3(t) · · ·P2n�1(t)

P0(t)P2(t) · · ·P2n(t)

Las raíces de Pi(t) son las mismas que las raíces de:

⇣(X, s) =P1(t)P3(t) · · ·P2n�1(t)

P0(t)P2(t) · · ·P2n(t)

tdegP2n�i(1/qnt).

Las raíces de Pi(t) son las mismas que las raíces de:

Si X es la reducción módulo p de una variedad X’ definida sobre un subcampo de los complejos, entonces los bi = grad Pi es el i -ésimo número de Betti de X’ con la topología analítica.

⇣(X, s) =P1(t)P3(t) · · ·P2n�1(t)

P0(t)P2(t) · · ·P2n(t)

tdegP2n�i(1/qnt).

• Weil sugirió que sus conjeturas de deberían seguir de la existencia de una teoría de cohomología adecuada ``una teoría de cohomología de Weil'' para variedades sobre campos finitos, que sea similar a la cohomología usual con coeficientes racionales para variedades complejas.


• Su idea fue que si φ es el automofismo de Frobenius sobre un campo finito, entonces el número de puntos de la variedad X sobre el campo finito de orden q^m es el número de puntos fijos de φm (actuando en todos los puntos de la variedad X definida sobre la cerradura algebraica).



• En topología, el número de puntos fijos de un automorfismo se puede calcular usando la fórmula de puntos fijos de Lefschetz, dando como una suma alternada de las traces en el grupo de cohomología:



• En topología, el número de puntos fijos de un automorfismo se puede calcular usando la fórmula de puntos fijos de Lefschetz, dando como una suma alternada de las traces en el grupo de cohomología:

• |X(k)| = qdimXX

i

(�1)itr��1q |Hi(X,Q`).

La demostración

La demostración

La racionalidad de la función zeta fue probada por B. Dwork en 1960, usando métodos p-ádicos.

La demostración


La ecuación funcional por Grothendieck en 1965

La demostración


La ecuación funcional por Grothendieck en 1965

El análogo a la hipótesis de Riemann por Deligne en 1974.

Camino a la Geometría Aritmética

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