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INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Guía de Trabajos Prácticos

Curso cuatrimestral para Ingeniería Industrial

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CONTENIDO PAGINA 1) Programación Lineal Gráfica 3

2) Modelización y Resolución Gráfica 6

3) Modelización 9

4) Método Simplex y Casos Particulares 16

5) Programación Dual-Introducción al análisis

Post-Optimal 18

6) Programación Lineal - Análisis Post-Optimal 19

7) Modelos de Inventario 28

8) Programación por Camino Crítico 34

9) Teoría de Colas 37

10)Simulación 40

ANEXOS

Solución a los problemas de Programación Lineal

de los Capítulos 1 y 4 46

Solución a los problemas de Programación Lineal

del Capítulo 6 59

Tablas 68

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1) PROGRAMACIÓN LINEAL GRÁFICA Resuelva los siguientes problemas para X1 y X2 no negativas. 1.1) X1 ≤ 3 X2 ≤ 6 6 X1 + 4 X2 ≤ 36 Z = 8 X1 + 3 X2 MAX 1.2) -2 X1 + X2 ≤ 2 X1 - X2 ≤ 2 X1 + X2 ≤ 5 Z = 5 X1 + 2 X2 MAX 1.3) X2 ≤ 3 4 X1 + 6 X2 ≤ 24 4 X1 - 3 X2 ≤ 12 Z = 5 X1 + 2 X2 MAX 1.4) 6 X1 + 5 X2 ≤ 30 X2 ≥ 1 -2 X1 + 2 X2 ≤ 6 Z = 5 X1 + 8 X2 MAX

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1.5) X1 + X2 ≤ 300 2,5 X1 + 4 X2 ≤ 1000 X2 = 200 X1 ≤ 200 Z = 6 X1 + 2 X2 MAX 1.6) X2 ≤ 3 4 X1 + 6 X2 ≤ 24 2 X1 + 2 X2 ≥ 0 Z = -2 X1 + 4 X2 MAX 1.7) X1 ≤ 6 X1 + X2 ≤ 8 X1 + 2 X2 ≤ 12 Z = 4 X1 + 4 X2 MAX 1.8) 2 X1 + 4 X2 ≤ 48 4 X1 + 2 X2 ≤ 60 3 X1 ≤ 45 Z = 6 X1 + 4 X2 MAX 1.9) -5 X1 + 3 X2 ≥ 5 X1 + X2 ≤ 4 2 X1 + X2 ≥ 10 Z = 2 X1 + X2 MAX

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1.10) X2 ≥ 2 4 X1 + 6 X2 ≥ 24 10 X1 - 30 X2 ≥ 30 Z = X1 + 8 X2 MAX 1.11) X1 ≥ 2 2 X1 + X2 ≤ 10 X1 + 2 X2 ≤ 8 X2 ≥ 1 Z = X1 - 2 X2 MIN 1.12) X1 + X2 ≤ 6 2 X1 + 3 X2 ≤ 1 - X1 + 2 X2 ≥ 8 Z = 3 X1 + X2 MAX 1.13) 2 X1 + X2 ≤ 8 X1 + X2 ≤ 6 X1 ≤ 4 Z = 3 X1 + X2 MAX

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2) MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN GRÁFICA 2.1) Es necesario alimentar racionalmente un rebaño de cabezas de ganado. Los alimentos deben contener necesariamente cuatro componentes nutritivos : A,B,C,D. Se encuentran disponibles en el mercado dos alimentos M y N cuyas propiedades son: Un kilogramo de alimento M contiene 100gr. de A, 100gr. de C y 200gr. de D. Un kilogramo de alimento N contiene 100gr. de B, 200gr. de C y 100gr. de D. Cada animal debe consumir como mínimo, por día 400gr. de A, 600gr. de B, 2000gr. de C y 1700gr. de D. El alimento M cuesta 10$/kg. y el N 4$/kg. ¿Qué cantidades de alimento M y N debe suministrarse a cada animal diariamente para que la ración sea la más económica? 2.2) Una pequeña empresa de productos químicos debe consumir más de 40 m3/mes de un determinado alcohol debido a que ha firmado un contrato con la municipalidad de la zona (este alcohol es producido en la misma zona) y en compensación recibe beneficios impositivos. Produce dos tipos de fertilizantes A y B. La tabla siguiente resume la información básica: PRODUCTO A PRODUCTO B CONSUMO DE ALCOHOL 3 m3/unidad 2/3 m3/unidad CONSUMO CICLOHEXANO 1 ton/unidad 2 ton/unidad Disponibilidad de Ciclohexano 20 ton/mes Con estas restricciones y sabiendo que la contribución marginal es de 1200 $/unidad para el producto A y 400 $/unidad para el producto B calcular el plan óptimo de producción. 2.3) Hay dos máquinas disponibles para la producción de dos productos. Cada uno de los productos requiere los tiempos de proceso que se indican en la tabla siguiente (expresados en horas/unidad). PRODUCTO MAQUINA A MAQUINA B 1 2 3 2 4 2 DISPONIBILIDAD 80 hs. 60 hs. El esquema del proceso productivo es el siguiente: Ambos productos deben pasar sucesivamente por las dos máquinas A y B en ese orden, para quedar totalmente terminados. Una máquina puede procesar un solo producto por vez. El precio de venta del producto 1 es 60$/unidad y el del producto 2 es de 50$/unidad. Se planea la operación para el mes próximo. Cuál es el uso óptimo de estos recursos frente al objetivo de maximizar las ventas? ¿Es conveniente conseguir 20 horas adicionales de equipo B?

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2.4) Se desea definir las cantidades a fabricar de dos productos:A y B cuyo procesamiento se realiza en dos centros de máquinas, se conocen los datos referentes a los tiempos de proceso y disponibilidades en los centros. Se sabe además que debe cumplirse con un pedido mínimo de 50 unidades de A, y al mismo tiempo la producción de B debe ser por lo menos cuatro veces superior a la producción de A. Se conocen los márgenes brutos de beneficio de cada producto, y se desea optimizar el beneficio total. Tiempos unitarios Disponibilidad Producto A B MAQUINA I 1 0,4 200 MAQUINA II 0,5 1 200 Margen bruto unitario 12 8 2.5)Dado el siguiente sistema de inecuaciones: 4 X1 - 2 X2 ≤ 4 4 X1 + 2 X2 ≤ 8 X1 + X2 ≥ 1 y el funcional: Z = 8 X1 + 4 X2 a) Encuentre un enunciado compatible con el mismo. b) Resuélvalo gráficamente c) Indique la o las soluciones al problema que hagan óptimo al funcional. d) Dé el valor de las variable débiles, sus unidades y significado en cada uno de los vértices del poliedro. 2.6) Una empresa automotriz está equipada para producir automotores y camiones. Su planta fabril está organizada en cuatro departamentos: Estampado, montaje de motores, línea de montaje de automotores, y línea de montaje de camiones. La capacidad de cada departamento está limitada de la siguiente forma: Estampado puede producir 25.000 autos o 35.000 camiones por año (o cualquier combinación lineal convexa intermedia). Montaje de motores 33.333 autos o 16.667 camiones por año (o cualquier combinación lineal convexa intermedia). Línea de montaje de autos 22.500 unidades por año línea de montaje de camiones 15.000 unidades por año. Se desea producir como mínimo 12.000 autos y 8.000 camiones por año, estimándose asimismo en 18.000 unidades la cantidad demandada máxima de automotores. El margen de beneficios es de 150.000 $/auto y de 125.000 $/camión. Se desea conocer el plan de producción que haga máximo el margen total de beneficios.

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2.7) Dos aditivos "1" y "2" deben ser empleados para mejorar la calidad de una nafta. Se deben cumplir las siguientes condiciones: a) Como los aditivos no producen combustión es conveniente para evitar la formación de depósitos en el carburador, que por cada 10 litros de gasolina no se agregue más de 1/2 litro de aditivos. b) La cantidad de aditivo "2" más dos veces la cantidad de aditivo "1" debe ser como mínimo 1/2 litro por cada 10 litros de gasolina. De ésta forma se logra una nafta de color óptimo. c) Un litro de aditivo "1" por cada 10 litros de nafta significa que a la nafta se le agregan 10 unidades de octanaje y un litro de aditivo "2" por cada 10 litros de nafta, 20 unidades de octanaje. La nafta sin aditivos posee un octanaje de 84 y se requiere que como mínimo posea un número de octano superior a 90. El costo del aditivo "1" es de 153 $/litro y el del aditivo "2" es de 400 $/litro.

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3) MODELIZACIÓN 3.1) Un taller de tejido de pullovers elabora varios modelos que se pueden agrupar desde un punto de vista técnico-económico en tres tipos diferentes de prendas: A, B, y C. El taller posee dos máquinas (I y II), los pullovers A sólo pueden hacerse en la máquina I, los C en la II y los B en la I o en la II. Las dos máquinas trabajan dos turnos de 8 horas de lunes a viernes. La materia prima utilizada es lana de dos calidades distintas M y N. La M se usa en los pullovers tipo A y C. La N se usa en los pullovers tipo B. De la lana tipo M es posible conseguir hasta 20 kilos por semana y de la N hasta 36 kilos por semana. Existe un compromiso con un importante distribuidor de entregar 10 pullovers de tipo B por semana. No es necesario que las prendas que comienzan a fabricarse en una semana se terminen durante la misma, es decir que pueden quedar pullovers a medio hacer de una semana a la siguiente. Los standard de producción, consumo de materia prima y beneficio unitario para cada tipo de pullover se dan en el siguiente cuadro: Standard de Producción Standard de Materia Prima Beneficio Unitario hs/pullover Kgs/pullover $/pullover I II M N A 5 - 1,6 - 1000 B 6 4 - 1,8 1500 C - 4 1,2 - 1800 3.2) Una fábrica de automotores cuenta con un taller propio para la producción de los tableros de los vehículos de la fábrica, tarea que también puede encomendarse a proveedores. El proceso de fabricación de tableros es el siguiente (para cualquier tipo de tablero): COMPRA RECHAZO COMPRA ESTAMPADO ARMADO CABLEADO AJUSTE CONTROL Aprobado CALIDAD RECHAZO PRODUCCIÓN

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Los tableros comprados pasan también por el mismo sector de control de calidad. La fábrica necesita cuatro tipos de tableros A, B, C y D para los que se cuenta con los datos referentes a sus tiempos de proceso en horas/tablero tal como se muestra en la tabla siguiente: TABLERO ESTAMPADO ARMADO CABLEADO AJUSTE CONTROL DE CALIDAD PRODUCCIÓN COMPRA A 0,05 0,10 0,20 0,08 0,02 0,03 B 0,05 0,12 0,25 0,10 0,03 0,05 C 0,05 0,14 0,30 0,06 0,03 0,04 D 0,05 0,18 0,25 0,10 0,03 0,04 DISPO. 1200 3600 5000 3000 3000 En la tabla se ha agregado la disponibilidad en horas de los sectores, y el tiempo de control de calidad de los tableros comprados. La fabrica necesita exactamente 4000 tableros A, 3000 tableros B, 8000 tableros c y 5000 tableros D. Los costos de producción y compra son los siguientes, medidos en $: A B C D Producción 5000 6000 12000 10000 Compra 3000 7500 18000 8000 Un registro estadístico de Control de Calidad indica que el 90% de los tableros producidos por la fábrica son aprobados, y el resto debe repetir la operación de ajuste. Con respecto a los tableros comprados, es aprobado el 80% y el resto es devuelto al proveedor, siendo controlado nuevamente al ser reintegrado por el proveedor. Para un tablero reajustado el porcentaje es el mismo indicado. Se desea definir las cantidades a producir y comprar de cada tablero, para hacer mínimo el costo total de la operación. 3.3) Se fabrican dos productos A y B que requieren dos operaciones de maquinado para estar en condiciones de ser vendidos. Estas operaciones se realizan en tres equipos diferentes según se indica en la tabla adjunta. La operación II puede realizarse en horas normales de equipo 2, en horas extras del mismo equipo o en cambio en el equipo 3. En la tabla también se indican las disponibilidades de cada uno de los equipos expresadas en horas, y la utilidad de cada producto según el método de producción seguido expresado en $ cada 1000 piezas. Se desea establecer el programa de producción que maximice la utilidad de la fábrica. Se aclara que el programa de producción debe establecer la cantidad de producto a fabricar por cada uno de los métodos posibles.

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Tiempos de Tiempo Operación Equipos Producción (hs/1000 piezas) Disponible Producto A Producto B I 1 2 2 2 5 5 5 1.000 II 2 3 - - 8 - - 600 2 extra - 3 - - 8 - 200 3 - - 4 - - 10 800 Utilidad ($/1000 piezas) 850 600 700 1600 1400 1300 3.4) Un fraccionador de Whisky importa el licor en tres distintas graduaciones: A, B y C. Mediante la mezcla de estos de acuerdo a sus fórmulas obtiene los Whiskies de calidades comerciales Escocés, Kilt y Tartan. Las citadas fórmulas especifican las siguientes relaciones entre los elementos a mezclar: MARCA ESPECIFICACIÓN PRECIO DE VENTA $/litro Escocés No menos de 60% de A 680 No más de 20% de C Kilt No menos de 15% de A 570 No más de 60% de C Tartan No más de 50% de C 450 Se conocen asimismo las disponibilidades y precios de los licores A, B, C que se indican en el siguiente cuadro: TIPO DISPONIBILIDAD (LITROS) PRECIO DE COSTO ($/LITRO) A 2.000 700 B 2.500 500 C 1.200 400 Se desea definir la composición de cada marca para maximizar el beneficio total. 3.5) Plantear el modelo del problema que se enuncia a continuación, indicando detalladamente: A)Hipótesis y supuestos B)Objetivos del problema C)Variables reales, significado y unidades D)Inecuaciones que constituyen el modelo, aclarando en cada caso a qué restricción corresponde E)Funcional F)Variables slack, significado y unidades

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Una fábrica elabora dos productos químicos P1 y P2 a partir de cuatro materias primas (MP1, MP2, MP3, MP4) siguiendo el proceso que se describe a continuación. X1 X1 X4 X4 MP1 1 4 X3 X11 3 6 P1 5 X2 X13 X5 MP2 2 X14 X15 X17 X9 X7 X16 MP3 7 MP4 X10 X18 8 X12 P2 En el centro 3 se mezclan los resultados de los centros 1 y 2 en la proporción 70/30. A la salida del centro 3, el resultado se separa en la relación 40/60 para ir a los centros 4 y 5 respectivamente. En el centro 5 se mezclan el resultado del centro 3, el resultado del centro 7 y la materia prima 4 en la proporción 60/20/20. En el centro 7 se mezclan X14 y MP3 en la proporción 90/10 En el centro 8 la mezcla se produce en partes iguales. En el centro 7 se produce una merma del 5% de todo lo que ingresa. Al inicio del período de planeamiento se tiene la posibilidad de vender la materia prima que no se empleará a los siguientes precios: MP1: 8$/kg. MP2: 7$/kg. MP3: 2$/kg. MP4: 15$/kg. El costo de almacenamiento por kilogramo de materia prima y por mes es: MP1: 3$/kg.mes MP2: 8$/kg.mes MP3: 10$/kg.mes MP4: 6$/kg.mes Se asume que la materia prima consumida está 1/2 mes en promedio en almacenes. El costo de la materia prima y la disponibilidad es: COSTO DISPONIBILIDAD INICIAL MP1 4 $/kg 2000 kg/mes MP2 5 $/kg 3000 kg/mes MP3 1 $/kg 1700 kg/mes MP4 6 $/kg 2500 kg/mes Los centros procesan a la velocidad de entrada que se indica a continuación. Además se dispone de dicho recurso en la medida siguiente:

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CENTRO VELOCIDAD DE PROCESO DISPONIBILIDAD Kg/hora horas/mes 1 10 300 2 15 150 3 20 180 4 12 250 5 18 240 6 20 120 7 10 100 8 15 280 El producto 1 se vende a 10$/Kg y el producto 2 a 15$/Kg. Existen contratos que exigen que se fabrique al menos 30 Kg de producto 1 y 40 Kg de producto 2. Adicionalmente la cantidad de producto 1 debe ser a lo sumo igual a la mitad de la cantidad del producto 2. 3.6) Dos aleaciones "A" y "B" se forman a partir de cuatro metales: I, II, III, y IV según las siguientes especificaciones: ALEACIÓN ESPECIFICACIÓN "A" Como máximo 50% de I Como máximo 30% de II Como mínimo 50% de IV "B" Entre 40% y 60% de II Como mínimo 30% de III Como máximo 30% de IV Los cuatro metales están contenidos en diferentes minerales cuyos porcentajes de composición, disponibilidad y costo están dados en la siguiente tabla: MINERAL DISPONIBILIDAD % DE METAL COSTO I II III IV OTROS 1 1000 20 10 30 30 10 30 2 2000 10 20 30 30 10 40 3 3000 5 5 70 20 0 50 Los precios de venta de las aleaciones "A" y "B" son respectivamente 200 y 300 $/ton.

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3.7) Una empresa fabrica y vende dos productos "A" y "B" cuyo diagrama de proceso es el siguiente: PRODUCTO A método 1 2 1 4 PRODUCTO B 3 PRODUCTO A método 2 El producto "A" puede seguir cualquiera de los dos procesos alternativos de producción, mientras que para el producto "B" existe un único procedimiento de fabricación. Características y rendimiento de los productos según sus procesos: PRODUCTO CENTROS ENTRADA(l/h) RENDIMIENTO(%) COSTO ($/h) 1 300 90% 1500 2(primera 450 95% 2000 vez) A 4 250 85% 1800 2(segunda 400 80% 2200 vez) 3 350 75% 2500 1 500 90% 3000 B 3 480 85% 2500 4 400 80% 2400 Otros insumos: El centro 1 consume 10 litros de combustible por hora de funcionamiento, y los centros 2, 3 y 4 consumen respectivamente 20, 5 y 5 litros de combustible por hora. Asimismo el centro 1 debe ser atendido por un operario, el centro 2 por dos operarios simultáneamente y los centros 3 y 4 por un operario cada uno mientras están en operación. Se dispone de 800 litros de combustible diario y 48 horas hombre diarias. Costos, precios de venta y demanda máxima de cada producto: PRODUCTO COSTO MATERIA PRIMA PRECIO DE VENTA DEMANDA MÁXIMA $/LITRO $/LITRO LITRO/DÍA A 50 60 1750 B 60 180 1500

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Disponibilidad de equipos: Al realizarse el estudio se verificó que los centros 1 y 4 pueden funcionar como máximo 16 horas netas por día y los centros 2 y 3 solamente 12 horas netas por día. Distribución: Los medios de despacho de la empresa están limitados a una capacidad conjunta para "A" y "B" de 2500 litros diarios. Se pide determinar la mezcla de ventas que maximize el margen de beneficios. Se sugiere plantear el problema adoptando como incógnitas las cantidades de cada producto obtenido al final del proceso (ejemplo: Xk litros de producto "B"). Se puede repetir el planteo adoptando como incógnitas las cantidades de materia prima que ingresan para producir cada producto (ejemplo: Xf litros de materia prima B). 3.8) Una papelera debe cortar 1.000 rollos de papel de 1m de ancho en rollos de 50cm, 30cm, y 20cm. Para ello dispone de una máquina de corte que puede trabajar bajo 4 modos diferentes de operación. La tabla que sigue muestra la cantidad y tipo de rollos que puede obtener en cada uno de los modos de trabajo:

Modo 50cm 30cm 20cm. I 2 0 0 II 0 3 0 III 1 1 1 IV 1 0 2

Se deben obtener al menos 950 rollos de 50cm, 1000 rollos de 30cm y 960 rollos de 20cm. Cada rollo de 50cm se vende en $2, cada rollo de 30cm en $1,5 y cada rollo de 20cm en $1. Cada rollo de 1m cuesta $1,5. Plantear un modelo que permita hallar la programación óptima de la máquina de corte. 3.9)Un hotel planea recibir a los participantes de una convención que dura una semana. Para los banquetes previstos, la empresa organizadora de la convención solicitó que se utilizaran manteles de un color especial. El costo de dichos manteles es de 250 $/mantel. El lavado de dichos manteles toma normalmente 2 días; es decir un mantel sucio, enviado a lavar inmediatamente después de ser utilizado el día 2, es regresado a tiempo para ser utilizado el día 5. Sin embargo, la lavandería tiene también un servicio de mayor costo que regresa los manteles en 1 día. Los gastos de lavandería son de 100 $/mantel y de 150 $/mantel respectivamente. Debe considerarse además, que el hotel no desea (por las caracte-rísticas de estos manteles), comprar más manteles que los necesarios para el día, ni enviar manteles a lavar si no van a ser utilizados durante esta convención. Plantear un modelo que permita calcular como el hotel satisface sus necesidades minimizando gastos. Día (i) 1 2 3 4 5 6 7 Manteles necesarios 5 6 7 8 7 9 10

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4) MÉTODO SIMPLEX Y CASOS PARTICULARES Resolver por el método simplex y gráficamente los siguientes ejercicios. (En todos los casos los valores óptimos de las variables deben ser no negativos). 4.1) X1 ≤ 3 X2 ≤ 6 6 X1 + 4 X2 ≤ 36 Z = 8 X1 + 3 X2 MAX 4.2) -2 X1 + X2 ≤ 2 X1 - X2 ≤ 2 X1 + X2 ≤ 5 Z = 5 X1 + 2 X2 MAX 4.3) X2 ≤ 3 4 X1 + 6 X2 ≤ 24 4 X1 - 3 X2 ≤ 12 Z = 5 X1 + 2 X2 MAX 4.4) 6 X1 + 5 X2 ≤ 30 X2 ≥ 1 -2 X1 + 2 X2 ≤ 6 Z = 5 X1 + 8 X2 MAX Resolver por el método simplex y gráficamente los siguientes ejercicios, explicando el tipo de solución obtenida y cómo se detecta en la tabla final. 4.5) X1 + X2 ≤ 300 2,5 X1 + 4 X2 ≤ 1000 X2 = 200 X1 ≤ 200 Z = 6 X1 + 2 X2 MAX 4.6) X2 ≤ 3 4 X1 + 6 X2 ≤ 24 2 X1 + 2 X2 ≥ 0 Z = -2 X1 + 4 X2 MAX

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4.7) X1 ≤ 6 X1 + X2 ≤ 8 X1 + 2 X2 ≤ 12 Z = 4 X1 + 4 X2 MAX 4.8) 2 X1 + 4 X2 ≤ 48 4 X1 + 2 X2 ≤ 60 3 X1 ≤ 45 Z = 6 X1 + 4 X2 MAX 4.9) -5 X1 + 3 X2 ≥ 5 X1 + X2 ≤ 4 2 X1 + X2 ≥ 10 Z = 2 X1 + X2 MAX 4.10) X2 ≥ 2 4 X1 + 6 X2 ≥ 24 10 X1 - 30 X2 ≥ 30 Z = X1 + 8 X2 MAX 4.11) X1 ≥ 2 2 X1 + X2 ≤ 10 X1 + 2 X2 ≤ 8 X2 ≥ 1 Z = X1 - 2 X2 MIN 4.12) X1 + X2 ≤ 6 2 X1 + 3 X2 ≤ 1 - X1 + 2 X2 ≥ 8 Z = 3 X1 + X2 MAX 4.13) 2 X1 + X2 ≤ 8 X1 + X2 ≤ 6 X1 ≤ 4 Z = 3 X1 + X2 MAX

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5) PROBLEMA DUAL - INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS POST OPTIMAL 5.1) Plantear y resolver el problema dual correspondiente al ejercicio 4.2 y 4.8 5.2) Plantear y resolver el problema dual correspondiente al ejercicio 4.9 y 4.13 5.3) Obtener la tabla óptima dual del problema 4.2 a partir de la tabla óptima del problema directo. 5.4) Obtener la tabla óptima dual del problema 4.7 a partir de la tabla óptima del problema directo. 5.5) Obtener la tabla óptima dual del problema 4.11 a partir de la tabla óptima del problema directo 5.6) Obtener la tabla óptima del problema 4.1 si se incorpora al mismo una nueva variable X3 con coeficientes 2, 1, 6 y C3=13 5.7)Obtener la tabla óptima del problema 4.4 si se incorpora la siguiente restricción adicional: 4 X1 + 2 X2 ≤ 8

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6) PROGRAMACIÓN LINEAL - ANÁLISIS POST-OPTIMAL 6.1) Un establecimiento que fabrica dos productos desea planificar su producción haciendo máximo el margen de contribución a gastos generales. Las restricciones con que cuenta son: -Capacidad de despacho máxima 8.000 unidades (en conjunto de A y B) -Capacidad de máquina: 540 hs. disponibles Standard de A: 0,09 hs/unidad Standard de B: 0,06 hs/unidad -Producción mínima: 3.000 unidades (en conjunto de A y B) -Cantidad demandada máxima: 5.000 unidades de A 6.000 unidades de B Los márgenes de contribución unitarios son 60 $/unidad y 120 $/unidad para los productos A y B respectivamente. 1. Resolver el problema gráficamente 2. Hallar gráficamente y graficar las variaciones de:

Funcional. Producción de A y B. Uso de despacho y horas de máquina cuando la cantidad demandada máxima de B varía entre cero e infinito.

3. Ídem punto 2. cuando la restricción de producción mínima varía entre cero e infinito

4. Ídem punto 2. cuando la disponibilidad de horas máquina varía entre cero e infinito.

5. Determinar la curva de oferta del ítem A sabiendo que su costo directo es 65$/unidad.

6.2) Dado el enunciado de un problema de programación lineal y las tablas inicial y final de su resolución por el método simplex se pide: a) Obtener el rango de variación del coeficiente C5 sin que cambie la estructura de la solución óptima. Detallar los cálculos realizados. b) Qué utilidad unitaria mínima deberá tener un producto P7 para que sea conveniente producirlo, sabiendo que por unidad requiere 4 horas hombre de mano de obra, 3 kilos de materia prima y no está incluido dentro de la restricción de producción mínima c) Graficar la variación de X2, Y2 y del funcional al variar la disponibilidades del recurso materia prima entre 0 y 14 Kg por semana. d) Determinar si altera o no la estructura de la solución óptima el hecho de incorporar un nuevo proceso con coeficientes tecnológicos de 4,2,y 3 para A, B, y C respectivamente, con una disponibilidad de 11. e) A qué valor total resulta conveniente vender a una empresa interesada disponibilidades del recurso materia prima en una cantidad de 4 kilos por semana. f) Graficar la curva de oferta del producto B para C2 entre 0 y 100 Enunciado: Una empresa desea establecer el programa de producción para sus tres productos A,B y C sujeto a las restricciones de producción mínima (4 unidades por semana), disponibilidad de mano de obra (24 horas hombre por semana) y disponibilidad de materia prima (10 kilos por semana). Los Cj son $ de utilidad.

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Tabla inicial: Ck Xk Bk A1 A2 A3 A4 A5 A6 U -M U 4 1 1 1 -1 1 X5 24 1 4 2 1 X6 10 1 2 4 1 Z = -4M -M-2 -M-8 -M-6 M Tabla final: Ck Xk Bk A1 A2 A3 A4 A5 A6 U 8 X2 5 0,5 1 2 0,5 X5 4 -1 -6 1 -2 X4 1 -0,5 1 1 0,5 Z = 40 2 10 4 6.3) Dada una serie de datos de un problema de programación lineal y las tablas inicial y final de su resolución por el método simplex se pide: a) Obtener el rango de variación del coeficiente C1 sin que cambie la estructura de la solución óptima. Detallar los cálculos realizados. b) Qué consumo máximo de horas hombre deberá tener un producto P7 para que sea conveniente producirlo sabiendo que por unidad requiere 1Kg de materia prima y tiene un beneficio unitario igual a 4. c) Graficar la variación de X1, del valor marginal de la materia prima y del funcional, al variar la disponibilidad del recurso horas hombre entre cero y doce. Indicar el valor de las pendientes diciendo en qué parte de la tabla se encuentran. d) A qué valor total resulta conveniente vender a una fábrica interesada 9 calorías. e) Determinar si altera o no la estructura de la solución óptima el hecho de incorporar un nuevo proceso para mejorar el resultado operativo de los productos, (empaquetado) que requiere: 1,1, y 3 unidades de empaquetado por cada unidad de producto A, B, y C respectivamente. Se disponen de 100 unidades de empaquetado por mes. f) Graficar la curva de oferta del producto A cuando C1 varía entre 4 y 20. DATOS: R1 Horas hombre disponibles por mes :12 R2 Materia prima disponible por mes :12 R3 Calorías disponibles por mes : 4 C1, C2, C3 Contribución marginal ($/unidad de producto) X1, X2, X3 Unidades de productos A, B y C.

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Tabla inicial Ck Xk Bk A1 A2 A3 A4 A5 A6 0 X4 12 2 1 3 1 0 0 0 X5 12 1 2 3 0 1 0 0 X6 4 1 -2 3 0 0 1 Z = 0 -4 -5 -6 0 0 0 Tabla final 4 X1 4 1 0 1 2/3 -1/3 0 5 X2 4 0 1 1 -1/3 2/3 0 0 X6 8 0 0 4 -4/3 5/3 1 Z = 36 0 0 3 1 2 0 6.4) Dado el enunciado de un problema de programación lineal y las tablas inicial y final de su resolución por el método simplex se pide: a) Obtener el rango de variación del coeficiente C1 sin que cambie la estructura de la solución óptima. b) Qué consumo máximo de vapor deberá tener un producto P7 para que convenga fabricarlo si requiere 10 unidades de materia prima A, y 3 de materia prima B, y tiene un beneficio unitario de $5. c) Graficar la variación de X1, del valor del funcional, y del valor marginal de la materia prima B cuando la disponibilidad de vapor varía entre cero y 200. Indicar el valor de las pendientes señalando en qué parte de la tabla se encuentran. d) A qué valor total resulta conveniente vender a una empresa interesada 25 unidades del recurso materia prima B. e) Determinar si altera o no la estructura de la solución óptima el hecho de incorporar un nuevo proceso (empaquetado) que requiere 2,3,y 15 unidades de empaquetado para cada unidad de producto 1,2, y 3 respectivamente. Se dispone de 100 unidades de empaquetado. f) Graficar la curva de oferta del producto 3 entre los valores de C3 de 0 y 12. Enunciado: Una empresa desea establecer su plan de producción para sus tres productos 1, 2 y 3. Sujeto a restricciones de consumo mínimo de materia prima A (24 Kg/día), disponibilidad máxima de materia prima B (48 Kg/día) y consumo máximo de vapor (24 Kg/día). Los Cj son $ de contribución marginal.

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Tabla inicial 3 4 2 0 0 0 -M Ck Xk Bk A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 M u 24 2 3 7 -1 0 0 1 0 X5 48 6 2 1,4 0 1 0 0 0 X6 24 -1 2 7 0 0 1 0 -2M-3 -3M-4 -7M-2 M 0 0 0 Tabla final 4 X2 96/7 0 1 31/10 0 1/14 3/7 0 3 X1 24/7 1 0 -4/5 0 1/7 -1/7 0 0 X4 24 0 0 7/10 1 1/2 1 -1 Z = 456/7 0 0 8 0 5/7 9/7 M 6.5) Dado el enunciado de un problema de programación lineal y las tablas inicial y final de su resolución por el método simplex se pide: a) Obtener el rango de variación del coeficiente C1 sin que cambie la estructura de la solución óptima. b) Qué utilidad unitaria mínima deberá tener un producto P7 para que sea conveniente producirlo, sabiendo que por unidad requiere 2Kg de materia prima A, y 3hs de máquina. c) Graficar la variación de: la cantidad de producto 1, el valor marginal del recurso hs de máquina, y el funcional, al variar la disponibilidad de materia prima entre 8 y 30 Kg por día. Indicar el valor de las pendientes señalando en qué parte de la tabla se encuentran. d) A qué valor total resulta conveniente vender a una empresa interesada 12 unidades del recurso horas de máquina. e) Determinar si altera o no la estructura de la solución óptima el hecho de incorporar una nueva restricción sobre mano de obra. La disponibilidad diaria es de 40 hs hombre, cada producto utiliza 5, 6 y 1 hs hombre respectivamente por cada unidad. f) Graficar la curva de oferta del producto 2 entre los valores de C2 2 y 10. Enunciado: Una empresa fabrica y vende tres productos 1,2, y 3. Se dispone de 10Kg diarios de materia prima y de 20hs de máquina diaria. Cada producto requiere 1, 2 y 1 kg de materia prima respectivamente y 4, 2, y 2 hs de máquina por unidad. Debido a un contrato firmado con un cliente se debe producir como mínimo 2 unidades diarias de producto 2.

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Tabla inicial Ck Xk Bk A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 X4 10 1 2 1 1 0 0 0 -M u 2 0 1 0 0 -1 0 1 X6 20 4 2 2 0 0 1 0 Z = -2M -4 -M-3 -2 0 M 0 0 Tabla final 0 X5 4/3 0 0 1/3 2/3 1 -1/6 3 X2 10/3 0 1 1/3 2/3 0 -1/6 4 X1 10/3 1 0 1/3 -1/3 0 1/3 Z = 70/3 0 0 1/3 2/3 0 5/6 6.6) Para el ejercicio 3.1 se pide: 1. Definir las variables del problema (directo y dual). 2. Expresar la solución en términos de un programa de

producción, indicando el porcentaje de utilización de los recursos.

3. Determinar los valores marginales y los costos de oportunidad. 4. Calcular el rango de variación de los coeficientes del

funcional y de los valores de las restricciones, dentro de los cuales se conserva la estructura de la solución.

5. Analizar la conveniencia de solicitar un aumento en la provisión de lana tipo "M" si se sabe que dicho aumento solo sería factible reduciendo la provisión de lana tipo "N" a razón de 2Kg de merma en esta última por cada Kg adicional de la primera. Por ejemplo si el proveedor entregara 21 Kg de "M" la entrega máxima de "N" sería de 34 Kg.

En caso de ser conveniente dicho aumento determinar: a) Cual es el máximo beneficio adicional que puede obtenerse b)Cual sería la cantidad de lana de cada tipo a entregar semanal-

mente por cada proveedor. c)Cual sería el reordenamiento de producción necesario para obtener

dicho beneficio máximo. Analizar el cambio a realizar en relación a la utilización de las disponibilidades de los otros recursos.

d) Cuanto habría que aumentar el precio de los pulloverstipo "A" para que su fabricación sea conveniente.

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Las siguientes son las tablas primera y óptima del problema directo: Ck Xk Bk A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 U X5 80 5 6 1 X6 80 4 4 1 X7 20 1,6 1,2 1 X8 36 1,8 1,8 1 -M U 10 1 1 -1 1 Ck Xk Bk A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 U X9 6,66 -0,5 0,166 0,250 -0,833 1 1500 X3 3,33 -1,33 1 0,250 -0,833 1800 X4 16,66 1,33 1 0,833 X8 6 0,9 -0,3 -0,45 1,5 1 1500 X2 13,33 0,83 1 0,166 Z=55000 650 250 375 250 6.7) Una refinería de petróleo produce NAFTAS, GASOIL y FUELOIL. La refinería puede funcionar bajo 3 modos diferentes de operación: A, B ó C. La tabla que sigue muestra la cantidad de cada uno de los productos que la refinería es capaz de producir (en miles de barriles / día) bajo cada uno de los regímenes de operación. Se indican además, los márgenes de beneficio de cada uno de los productos en $/bbl. NAFTAS GASOIL FUELOIL A 14 6 0 B 14 4 2 C 10 6 4 MARGEN 10 5 -2

Se desea programar la operación de la refinería para un mes de 30 días, de modo de hacer máximo el margen de beneficio sabiendo que es necesario abastecer el mercado de FUELOIL que demanda 20 mil barriles/mes, y el de GASOIL que demanda 30 mil barriles/mes. El mercado es capaz de tomar toda la oferta de NAFTAS sin deterioro en el margen. El problema ha sido planteado como uno de Programación Lineal de la siguiente forma:

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Z= 170 X1 + 156 X2 + 122 X3 (MAX) 6 X1 + 4 X2 + 6 X3 ≥ 30 0 X1 + 2 X2 + 4 X3 ≥ 20 1 X1 + 1 X2 + 1 X3 = 30 Se dan además las tablas inicial y final. Tabla inicial: Ck Xk Bk A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 -M u1 30 6 4 6 -1 0 0 0 -M u2 20 0 2 4 0 -1 0 0 -M u3 30 1 1 1 0 0 -1 0 0 X7 30 1 1 1 0 0 0 1 Tabla Final Ck Xk Bk A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 156 X2 10 0 1 2 0 - ½ 0 0 0 X4 130 0 0 -4 1 1 0 6 170 X1 20 1 0 -1 0 ½ 0 1 0 X6 0 0 0 0 0 0 1 1 1) Describa el programa de producción óptimo. Principales variables y unidades. 2)¿Cuánto GASOIL y FUELOIL se produce por encima del mínimo requerido? 3)¿Cómo variará el funcional si se incrementa en un día la operación tipo C? 4)¿Qué beneficio o pérdida generará la reducción de los requerimientos mínimos de FUELOIL en 1 unidad? 5)¿Qué variación sufriría el beneficio si el mes fuera de 31 días? 6)Graficar el valor del funcional, y de la producción de los 3 productos cuando la exigencia de la producción mínima de FUELOIL varía entre 0 y 20 mil barriles/mes. 7)¿Es conveniente la instalación de un nuevo proceso D que es capaz de producir 14 mil barriles/día de NAFTAS, 4 mil de GASOIL y 4 mil de FUELOIL?

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6.8)A continuación se dan el planteo, y las tablas inicial y final de un problema de programación lineal: 1 2 Ck Xk B A1 A2 A3 A4 A5 A6 0 X3 6 1 1 1 0 0 0 Restricción R1 M u1 3 1 1 0 -1 0 0 Restricción R2 M u2 1 1 0 0 0 -1 0 Restricción R3 M u3 1 0 1 0 0 0 -1 Restricción R4 Z = 5M 1 2 Ck Xk B A1 A2 A3 A4 A5 A6 1 X1 2 1 0 0 -1 0 1 2 X2 1 0 1 0 0 0 -1 0 X3 3 0 0 1 1 0 0 0 X5 1 0 0 0 -1 1 1 Z = 4 0 0 0 -1 0 -1 1) Indique los valores numéricos óptimos de las variables fuertes y slack. 2) Calcule los rangos de variación de los coeficientes del funcional dentro de los cuales no se altera la estructura de la solución óptima. Explique qué entiende por “estructura de la solución óptima”. 3) ¿Cómo se modifican los valores de las variables básicas si la restricción “R4” cambia de X2≥1 a X2≥0? ¿ Porqué puede asegurar que las variables básicas siguen siéndolo ? 4) ¿ Qué efecto produciría en el valor del funcional disponer de una unidad adicional de recurso “R1” ? - Explique porqué. 5) ¿ Qué efecto produciría en el valor del funcional modificar las restricción “R2” a: X1 + X2 ≥ 2 ? - Explique porqué. 6) Defina Valor Marginal de un recurso. Explique con un ejemplo sobre la tabla óptima. 7) Defina Costo de Oportunidad de un producto. Explique con un ejemplo sobre la tabla óptima. 8) Se incorpora al sistema un nuevo producto que utiliza 3 unidades de recurso “R1” por unidad de producto. ¿ Cómo debe ser el coeficiente del funcional para que no se altere la solución óptima ? 9) ¿ Se altera la solución óptima si se incorpora la restricción “R5”: 2 X1+X2 ≤ 6 ? 10) El término independiente de “R4” (b4) vale 1 en el problema dado. Grafique el valor de X1, X2, Z y el valor marginal de “R4” cuando b4 varía entre 0 y 7. 6.9) A continuación se muestran las tablas inicial y final (directa y dual) de un modelo lineal. Se dispone de $12, se puede comprar un recurso o venderlo, pero no se pueden hacer ambas cosas al mismo tiempo. Indicar qué es lo más conveniente y justificar la respuesta. a) recurso 3: precio de compra $0,5 ; precio de venta $2,0 b) recurso 2: precio de compra $1,0 ; precio de venta $2,0 c) ambos recursos con los mismos precios de compra y venta que en los dos puntos anteriores; no se puede comprar y vender un mismo recurso, sí distintos.

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Tabla inicial: 3 5 Ck Xk Bk A1 A2 A3 A4 A5 0 X3 4 1 0 1 0 0 0 X4 12 0 2 0 1 0 0 X5 18 3 2 0 0 1 Z=0 -3 -5 Tabla óptima directa: 3 5 Ck Xk Bk A1 A2 A3 A4 A5 3 X1 2 1 0 0 -1/3 1/3 5 X2 6 0 1 0 1/2 0 0 X3 2 0 0 1 1/3 -1/3 Z=36 3/2 1 Tabla óptima dual: 4 12 18 0 0 Bk Yk Ck A1 A2 A3 A4 A5 12 Y2 3/2 -1/3 1 0 1/3 -1/2 18 Y3 1 1/3 0 1 -1/3 0 Z=36 -2 0 0 -2 -6

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7) MODELOS DE INVENTARIO 7.1) Un comerciante realiza con un mayorista un contrato para la provisión de 100.000 cajas en el término de 100 días hábiles a razón de 1.000 cajas por día. El límite de producción por día de trabajo es de 8.000 cajas; el fabricante puede destinar el tiempo disponible para la fabricación de otros artículos de entrega diaria. El costo de mantenimiento en stock es de 1$/unidad cada 25 días. El costo de elaboración es de 15,15 $/unidad, el costo de la orden de producción asciende a 320 $/orden. Se supone que el fabricante no tiene restricciones de espacio para almacenamiento ni de disponibilidad de capital. a)Determinar el tamaño del lote óptimo. b)Determinar el lapso que debe transcurrir entre dos órdenes de producción sucesivas.

c)Calcular el costo total esperado óptimo de la operación. d)Graficar el stock en función del tiempo 7.2) Una compañía manufacturera de aviones utiliza remaches a razón de 5.000 al año en forma aproximadamente constante. Los remaches cuestan 2.000 $/unidad. El personal de la empresa estima que cuesta $20.000 hacer un pedido de estos remaches y que el costo de inventario es del 10% del valor de la pieza por año. ¿Con qué frecuencia deben hacerse pedidos de remaches y qué cantidades deben ordenarse? Si los costos reales son de $60.000 por hacer un pedido y el costo del inventario es del 15% del valor de la pieza por año, el óptimo cambia. ¿Cuanto está perdiendo la empresa anualmente debido a una información incorrecta sobre costos? 7.3) Una empresa celebra un contrato con una mutualidad comprometiéndose a entregarle 120.000 Kg. de fideos a lo largo de un año en forma uniforme. Se establece que en el caso de interrumpirse el aprovisionamiento, se descontará al contratista de sus facturas, una cantidad equivalente al 30% del precio de venta del producto por mes de atraso siempre que la mora no exceda de 15 días. De sobrepasar este límite, la multa será del 50% por mes de atraso. La empresa vende el producto a $120 el Kg. y considera que la producción de un lote lleva asociado un costo indirecto de $9.000. El costo de mantener almacenado un Kg. de producto durante un año es de $60. Se pide: a) Calcular el tamaño del lote óptimo de producción. b) Calcular el stock máximo óptimo que se acumulará. c) Calcular el lapso óptimo entre tandas de producción y el lapso durante el cual permanecerá agotado el producto. d) Calcular el costo total esperado óptimo. 7.4) En el caso del problema anterior se desea evaluar el costo de mantener un stock de protección de 500 unidades que serán entregadas al comprador al finalizar el lapso acordado, por lo cual el stock de la empresa manufacturera debe quedar en cero.

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7.5) Un contratista tiene que proveer 10.000 cojinetes por día a una fábrica de automóviles. Encuentra que cuando inicia un lote de producción puede producir 25.000 cojinetes por día. El costo de mantener un cojinete en stock por año es de $2, y el costo de arranque de un lote de producción es de $1.800. ¿Con qué frecuencia debe fabricar los lotes de producción? 7.6) Un ítem con demanda mensual D = 2.000 unidades, costo de orden $35.000 y tasa de interés 2% mensual, tiene la siguiente división de precios: 0 ≤ q ≤ 500 1.000 $/unidad 500 ≤ q ≤ 4.000 900 $/unidad 4.000 ≤ q ≤ infinito 800 $/unidad Se pide: a) Representar la ley de precios b) Determinar el lote óptimo c) Calcular el CTE de la operación d) Representar el CTE:f(q) 7.7) Un fabricante debe mantener 5 ítems en stock. Conoce sus demandas anuales y costos unitarios respectivos, que se transcriben a continuación: ÍTEM DEMANDA PRECIO 1 1.000 $ 5 2 2.000 $ 10 3 4.000 $ 15 4 10.000 $ 5 5 1.000 $ 10 El costo de reorden es de $50 y la tasa de interés es del 10% anual. Se desea saber: a) El total inmovilizado en inventario (T.I.) medido en $ si su oficina de compras procesa 50 órdenes por año adjudicándolas a razón de 10 por ítem. b) T.I. mínimo con asignación óptima de 50 órdenes. c) T.O. mínimo para tener un T.I. de $9.000. Calcular para todos los casos el tamaño de los respectivos lotes.

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7.8) Un intermediario de productos elaborados debe mantener en stock cantidades de uno de ellos con el objeto de satisfacer una demanda definida. Resolver el problema con las siguientes consideraciones: a) La no existencia de restricciones. b) La existencia de una restricción de espacio máximo de

almacenamiento de 500 m2. c) La existencia de una restricción de dinero disponible por

vez para adquirir el lote de $250.000 d) La existencia simultánea de ambas restricciones. Los datos del problema son: DEMANDA 7.000 u/mes ( constante) K 500 $ b 200 $/u P 2 % mensual Superficie 5 m2/u 7.9) Una compañía fabrica dos productos P1 y P2 para los cuales sus demandas mensuales se suponen aproximadamente constantes. Necesidades de fabricación hacen que estas dos líneas de producción deban elaborarse en lotes, deseándose operar al mínimo costo total. Se conocen los costos directos de fabricación de cada producto y el costo de puesta en marcha de fabricación de cada lote. La compañía estima que el costo de almacenamiento de su producto es del 3% mensual del capital inmovilizado. PRODUCTO 1 PRODUCTO 2 Demanda u/mes 420 550 Costo unitario $/u 7 23 Costo de reorden $/lote 500 120 Determinar:

a)Lotes económicos de fabricación de cada producto b)Gráfico para cada línea de producción del CTE en función de los distintos lotes a fabricar.

c)Gráfico de las curvas de isocosto de producción para distintos pares de valores de lotes a fabricar.

d)Si se considera que la fábrica dispone como máximo de 300 lugares de almacenamiento, y que cada unidad de P1 requiere 12 lugares y cada unidad de P2, 18 se desea saber:

1)¿Cuáles son los nuevos lotes económicos a fabricar? 2)Comparar esta situación con la del punto a) 3)¿Cuánto se puede pagar por cada lugar de almacenamiento que se alquile?

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7.10) Una fábrica debe entregar todos los meses 1.200 unidades de un cierto producto de su manufactura. Los pedidos se distribuyen uniformemente a lo largo del tiempo. Razones de índole técnico obligan a comenzar la producción una vez que se hayan acumulado pedidos por 400 unidades y por motivos económicos de producción, finaliza una vez completado un lote igual a la demanda mensual. La capacidad productiva de fábrica permite producir a razón de 120 unidades diarias. Existe un costo de almacenamiento de 50 $/unidad y por día. Acondicionar las máquinas para comenzar a producir cuesta $180.000. Todo otro gasto se considera despreciable y no se toma en cuenta. Se pide:

a)Graficar la función de stock b)Calcular el costo operativo mensual c)¿Cuál es la capacidad mínima que debe tener el depósito para almacenar el producto?

7.11) Un comerciante recibe mercadería de un distribuidor con el cual ha firmado el siguiente contrato: El comerciante pedirá un lote de mercadería pero el distribuidor le entregará en forma instantánea la mitad del lote pedido y el resto del lote al día siguiente. El comerciante conoce la demanda (D) constante y el costo de mantener un unidad almacenada (C), como también el costo (K) de ordenar un lote. Se pide:

a)Graficar el stock en función del tiempo. b)Plantear la función del costo total esperado. c)Calcular el lote óptimo.

7.12) Una empresa que fabrica dos productos, A y B, desea fijar su política de stock. Conoce la demanda anual de los mismos (32.000 y 135.000 unidades), que supone uniforme. Ha estimado en 10% anual el costo de oportunidad del dinero inmovilizado en stock. Iniciar cada tanda de producción implica costos de $1.000 y $5.000, respectiva- mente. Los costos unitarios de los productos son $40 para A y $60 para B. Las velocidades de producción son tales que se puede suponer la reposición como instantánea. No se desea tener demanda insatisfecha, ni se llevará stock de protección.

Se pide determinar los lotes óptimos para ambos productos y el valor marginal del recurso utilizado en cada uno de los siguientes casos:

1 Los volúmenes requeridos para almacenar cada unidad de producto son: 3 dm3 y 5 dm3 respectivamente, se dispone de 15 m3 de depósito para los mismos.

2 Por razones de seguridad se decide que no puede haber (en promedio), más de 10.000 unidades en stock entre los dos productos.

3 El jefe de producción decide que no se hagan más de 7 tandas de producción por año entre los dos productos.

4 Para obtener ventajas en la contratación del seguro se dispone que el capital máximo inmovilizado en stock no debe exceder de $600.000

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5 La oficina de personal ha decidido reducir la mano de obra indirecta y exige que no se dediquen más de 10 días anuales (de 8 hs.) a preparar las máquinas para iniciar tandas de producción. Cada tanda de A requiere 8 hs, cada una de B,6 hs.

6 El controller solicita que no exceda de $100.000 anuales el costo de preparación.

7 La gerencia financiera dispone que no debe exceder de $40.000 el costo anual del capital promedio inmovilizado en stock.

8 Considere simultáneamente las restricciones 2 y 3. 9 Considere simultáneamente las restricciones 4 y 6. 10 Considere simultáneamente las restricciones 5 y 7. 11 Considere simultáneamente las restricciones 1 y 2.

7.13) Resuélvase nuevamente el problema 12 con la siguiente modificación: no se supone que la reposición sea instantánea y se conocen las respectivas velocidades de producción, 3.000 u/mes para A y 15.000 u/mes para B. 7.14) Resuélvase nuevamente el problema 12 con la siguiente modificación: para el producto A se supone reposición instantánea y se decide mantener un stock de protección igual al 5% de la demanda anual; para el producto B, una velocidad de reposición de 15.000 u/mes y un stock de protección igual al 10% del lote de producción. 7.15) Un almacén opera con dos productos para los que se conocen los siguientes datos: PRODUCTO I PRODUCTO II Demanda anual (constante) 182.500 u 365.000 u Costo de reorden 500 $ 750 $ Costo de almacenamiento 0,5 $/u.día 0,5 $/u. día Costo unitario 10 $/u. 12 $/u. Costo de oportunidad del dinero 10 % anual 10 % anual Espacio ocupado 0,5 m2/unidad 0,5 m2/unidad Reposición Nota 1 Nota 2

Nota 1: Cuando se solicita un nuevo lote el proveedor entrega inmediatamente la mitad del lote pedido y la otra mitad al día siguiente. Nota 2: Cuando se solicita un nuevo lote el proveedor entrega los productos a una tasa de 4.000 u/día. 1)Desarrolle un modelo que le permita calcular los lotes de cada uno de los productos de modo que el costo total sea mínimo, sabiendo que dispone de un espacio total de 500 m2. 2)¿Qué precio estaría dispuesto a pagar por 1 m2 adicional de espacio de almacenamiento? Explique porqué.

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3)¿Qué precio estaría dispuesto a pagar por 500 m2 adicionales de espacio de almacenamiento? ¿y por 600 m2? Explique porqué. 4)Escriba las inecuaciones que utilizaría para incorporar al modelo las siguientes restricciones:

a) Capital inmovilizado máximo inferior a... b) Capital inmovilizado promedio inferior a... c) Costo anual del capital inmovilizado inferior a... d) El total de reórdenes inferior a...

5)Explique conceptualmente las condiciones necesarias de KUHN-TUCKER para funciones sujetas a restricciones de desigualdad.

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8) PROGRAMACIÓN POR CAMINO CRITICO 8.1) Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones corresponden a una red de flechas y cuales a una red de potenciales:

a)Las actividades están representadas por flechas. b)La longitud de la flecha es proporcional a la duración de la tarea.

c)No necesita actividades ficticias. d)Las flechas sólo indican relaciones entre tareas. e)Los nodos representan sucesos. f)Los nodos representan tareas. g)Pueden obtenerse a partir de matrices de precedencia. h)Permiten el cálculo inmediato de Ft y FT de los sucesos de la red.

8.2) Construir la red de relaciones lógicas correspondiente al siguiente proyecto definido por las actividades, sus precedencias inmediatas y sus duraciones. Calcular las fechas tempranas y tardías de los nodos (sucesos). Calcular PFC, PFF, UFC, UFF de las actividades (tareas). Identificar los nodos críticos, las actividades críticas y el camino crítico. Expresar correctamente la duración total del proyecto. Calcular los márgenes total, libre e independiente de tres actividades no críticas de la red y graficarlas en una escala de tiempo. ACTIVIDAD A B C D E F G H I J K L M PRECEDE D E F H I K J L M M INMEDIATAMENTE A: C F G G J DURACIÓN 1 4 2 3 4 6 3 5 3 1 6 5 4 (semanas) 8.3) Ídem 8.2 para el siguiente proyecto: ACTIVIDAD A B C D E F G H Y J K L M N P Q R S T V PRECEDE B D B B E H G D F A J J M L Q P INMEDIATAMENTE C C H E I K V A: DURACIÓN (semanas) 8 8 6 5 4 8 6 6 3 4 6 12 1 12 4 6 12 5 6 4

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8.4) Construir el diagrama calendario en Ft y PFC, y en FT y UFF para la red del ejercicio 8.2 8.5) El proyecto a que hace referencia el ejercicio 8.2 se desea acelerar reduciendo en 2 semanas su duración. Establecer qué actividades deberán ser aceleradas y justificar los motivos. En caso de faltarle información debe señalarlo especificando la razón. Reconstruya la red y el camino crítico para la situación final que obtenga. Clarifique correctamente su propuesta. 8.6) Para una actividad i-j de 4 semanas de duración se tiene conocimiento de las siguientes fechas: Fti:10 FTi:21 Ftj:16 FTj:24 Graficar la situación y deducir si es posible que se cumpla. En caso afirmativo señalar si debería haber por lo menos otra tarea emergente de i u otra concurrente a j. En caso negativo especificar que cambio debería hacerse para obtener un planteo correcto. En ambos casos indicar si la actividad i-j es crítica. 8.7) Sea el proyecto dado por las actividades indicadas a continuación: A precede inmediatamente a D y C, duración 7 semanas B precede inmediatamente a E duración 10 semanas C precede inmediatamente a E tiempo optimista 4 semanas tiempo pesimista 12 semanas tiempo más frecuente 5 semanas D no precede a ninguna duración 4 semanas E no precede a ninguna tiempo optimista 1 semana tiempo pesimista 9 semanas tiempo más frecuente 2 semanas Construir la red de relaciones lógicas y determinar el camino crítico. Establecer la naturaleza de la variable duración total del proyecto. Calcular la probabilidad de cumplimiento de proyecto en 16 semanas. Calcular la probabilidad de que el proyecto se cumpla en no más de 18 semanas. 8.8) Las siguientes son las actividades correspondientes a un proyecto. Se da además de la duración y el costo total, las actividades a las que ellas preceden inmediatamente.

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ACTIVIDAD PRECEDE DURACIÓN COSTO TOTAL INMEDIATAMENTE A (SEMANAS) A C D 10 70 B E F 8 120 C E F 13 60 D G F H 6 80 E J K 5 130 F I 11 50 G I 2 140 H (*) 210 I 12 80 J I 4 110 K 15 100 (*) tiempo optimista 3 semanas tiempo pesimista 11 semanas tiempo más frecuente 4 semanas Se pide: Construir la red de relaciones lógicas completa. Sobre otro diagrama determinar las Ft y FT, determinar el camino crítico. Calcular todos los elementos para poder dibujar los diagramas de presupuesto del proyecto en fecha temprana y en fecha tardía, suponiendo que las tareas se pagan una vez finalizadas las mismas. Dibujar superpuesta la ley de ingresos acumulados los que se producen periódicamente a razón de $200.000 cada 10 semanas y al finalizar el período respectivo. Responder las siguientes preguntas: El proyecto es viable con los recursos económicos disponibles. Si el proyecto no fuera viable, que alternativas propondría. Cuanto costaría el proyecto en cada caso.

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9) TEORÍA DE COLAS A continuación se dan 9 enunciados. Para cada uno de ellos se pide: a)Enunciar las hipótesis para modelizar el sistema. Explicitar el valor numérico, unidad, y significado de las variables utilizadas. b)Definir los estados del sistema. c)Construir el grafo de las tasas de transición. d)Construir la matriz D de las tasas de transición y permanencia; justificar el procedimiento para obtener los elementos de la diagonal. e)Explicar por qué la ecuación que utiliza la matriz D no es suficiente para obtener el vector de probabilidades de estado. Indicar que otra ecuación es necesaria. Plantear la ecuación matricial que permite calcular las probabilidades de estado, definiendo claramente las expresiones que aparecen en ella. Explicar sin resolverla numéricamente cómo se obtienen los valores de las incógnitas (probabilidades de estado). f)Plantear en función de las probabilidades de estado, las expresiones que permiten calcular:

I Número promedio de clientes en el sistema. II Número promedio de clientes en la cola. III Número promedio de clientes en cada canal de atención. IV Número promedio de clientes que ingresan al sistema por hora. V Número promedio de clientes que salen del sistema por hora. VI Tiempo promedio que un cliente permanece en el sistema. VII Tiempo promedio que un cliente permanece en la cola. VIII Tiempo promedio que un cliente permanece en cada canal de

atención. IX Probabilidad de que un cliente llegue al sistema y sea

atendido de inmediato. X Probabilidad de que un cliente llegue al sistema y no pueda

ingresar por falta de espacio XI Porcentaje del tiempo que el sistema está vacío. XII Porcentaje del tiempo que el sistema está totalmente ocupado. XIII Porcentaje del tiempo que hay personas en cola. XIV Porcentaje del tiempo que cada canal de atención está en

actividad. XV Porcentaje del tiempo que cada canal de atención no está

ocupado. g) Si cuenta con los datos suficientes, plantear la expresión del funcional que represente el beneficio obtenido por operar el sistema. Suponer en todos los casos que el sistema se encuentra en estado de régimen, que la distribución de la cantidad de clientes arribados por unidad de tiempo es de tipo Poisson y que la distribución del tiempo de servicio de los canales de atención es exponencial.

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9.1) Una pequeña peluquería, instalada en una galería comercial, funciona 8 horas diarias, 22 días por mes. Posee dos sillones para cortar el pelo y dos sillas para esperar. Los clientes llegan en promedio cada 15 minutos. Si las dos sillas están ocupadas no entran y van a otra peluquería. Uno de los peluqueros realiza en promedio un corte cada 20 minutos, el otro cada 30 minutos. El segundo es preferido por los clientes, de modo que, estando ambos desocupados, el 80% opta por cortarse con él. Cada corte de pelo se cobra $4. El sueldo de cada peluquero es de $500. 9.2.) Resuelva el problema anterior suponiendo que no existe preferencia por alguno de los peluqueros. Explicite el significado matemático de la "indiferencia" por uno u otro e interprételo frecuencialmente. 9.3.) Resuelva el primer problema suponiendo que cada uno de los peluqueros tarda, en promedio 20 minutos para realizar un corte de pelo y que no existe preferencia por uno u otro. ¿ Cree necesario definir como estados distintos un cliente con el primer peluquero y un cliente con el segundo ? ¿ o es posible definir un estado "un cliente cortándose" ?. 9.4.) Un cajero automático ubicado en el microcentro requiere, en promedio, 3 minutos para ser utilizado. Sin embargo, el apuro de los clientes y la proximidad de otros cajeros hace que ninguno se quede a esperar si encuentra cuatro personas esperando. El 70% de quienes encuentran 3 personas esperando tampoco se queda. Sólo el 40% de los que encuentran dos personas esperando se incorpora a la cola, y el 30% de los que encuentran una persona esperando se va. Sólo no se retiran los que observan que no hay cola o lo encuentran desocupado. 9.5) Un lavadero automático cuenta con dos secciones: lavado (capacidad de atención 20 coches por hora, en promedio, si funciona ininterrumpidamente) y secado (id. 30 coches por hora). El servicio se cobra $400. Todo automóvil pasa consecutivamente por ambas etapas y no se dispone de espacio para esperar entre ambas, sólo hay lugar para que un coche espere antes del lavado. Los automóviles llegan, en promedio, cada 2 minutos, el 20% de los que no puede atenderse de inmediato se va a otro lavadero. Los costos de lavado y secado son $100 y $60 por hora de funcionamiento, respectivamente. ¿Qué entiende por canal de atención bloqueado? ¿Puede bloquearse el canal de secado? 9.6.) Resuelva el problema anterior suponiendo que el lugar para esperar se coloca entre los sectores de lavado y de secado. ¿Se bloqueará en algún caso el sector de lavado?

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9.7.) Un taller mecánico está formado por tres sectores, cada uno atendido por un operario: en el primero se desarma y revisa el automóvil, en el segundo se lo repara y en el tercero se lo arma y se controla el funcionamiento. No hay lugar para espera entre sectores consecutivos, ni a la entrada. Los tiempos medios de atención son 30, 40 y 20 minutos, respectivamente. Los clientes llegan, en promedio cada 15 minutos. Cada servicio se cobra $200 (más repuestos) y el costo horario de cada operario es de $20. 9.8.) En un pequeño local funciona una agencia de viajes. Los clientes son atendidos por una recepcionista que confecciona una planilla con sus datos y luego los deriva al vendedor de turismo internacional o de turismo nacional, según su interés. Por hora llegan 10 clientes, en promedio. Si observan una persona esperando ser atendido por la recepcionista se van sin esperar. Una vez completada la planilla si el vendedor correspondiente está desocupado el cliente pasa a ser atendido por el mismo. Caso contrario para evitar que la espera lo impaciente y se retire, la recepcionista le ofrece café y bombones y lo entretiene conversando hasta que el vendedor se desocupe. El tiempo medio de atención es de 4, 6 y 8 minutos para la recepcionista, el vendedor nacional y el internacional respectivamente. Se ha comprobado que el 30% de los clientes está interesado en el turismo internacional. 9.9) Una estación de servicio ubicada en una ruta cuenta con un único surtidor. Cada hora pasan, en promedio, 40 automóviles con la intención de cargar, pero los conductores que observan algún automóvil esperando no se detienen. La operación de carga dura un promedio de 3 minutos, a continuación, el único empleado cobra el combustible. Si el pago se realiza en efectivo demora, en promedio un minuto en cobrar. Si se paga con tarjeta, el llenado de formularios y la verificación extienden el período medio de cobro a tres minutos. La experiencia muestra que el 30% de los clientes paga con tarjeta. Observe que, físicamente, el automóvil permanece en el surtidor durante el pago, pero se puede construir el modelo imaginando que pasa a un "canal de pago efectivo" o a un "canal de pago con tarjeta". El hecho de que los tres canales sean atendidos por el mismo empleado ¿qué restricción impone sobre el máximo de clientes que se encontrarán simultáneamente en los canales?

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10) SIMULACIÓN EJERCICIOS PREVIOS Método de la transformada inversa para variables discretas. 10.1) Se desea simular el conjunto de resultados obtenido al revolear 10 veces una moneda.

a)Grafique probabilidades y probabilidades acumuladas de los eventos "cara" y "ceca".

b)Mediante el método de la transformada inversa defina un procedimiento para generar cada resultado a partir de un número aleatorio de distribución uniforme en el intervalo 0-1 ("número al azar").

c)Tome un conjunto de 10 números al azar de una tabla y genere la muestra.

10.2) Se desea simular las características de un conjunto de 20 señoras que llegan a una peluquería. Se sabe que, en promedio, de cada diez señoras que llegan, sólo 3 van a peinarse, 4 a cortarse el pelo y a peinarse, 2 sólo a cortarse el pelo y 1 a hacerse la permanente. El servicio requerido por cada una es independiente del requerido por las otras. Siga los mismos pasos que en el 10.1. 10.3) Se desea simular la cantidad de llamados telefónicos que llegan a una oficina en diez lapsos sucesivos de diez minutos cada uno. La distribución de la cantidad de llamados es Poisson de media 1 llamado cada 5 minutos.

a)Utilice la tabla que da, para una media a=λ .t, la probabilidad de tener x o más llamadas G(x). Tenga presente que el método de la transformada inversa puede usarse también con G en lugar de F.

b)Defina el procedimiento para generar cada resultado (cantidad de llamadas en 10 minutos) a partir de un número al azar.

c)Con un conjunto de diez números al azar tomados de la tabla, genere la muestra.

Método de la transformada inversa para variable continua. 10.4) Una variable aleatoria está uniformemente distribuida en el intervalo 2-6. Se desea generar una muestra de 5 valores de dicha variable.

a)Defina y grafique f(x) b)Defina y grafique F(x) c)Aplique el método de la transformada inversa para obtener la expresión que da el valor de la variable en función de un número al azar.

d)Con un conjunto de cinco números al azar tomados de la tabla, genere la muestra.

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10.5) Ídem 4 para una variable aleatoria cuya función de densidad está dada por 3(x-1)2 en el intervalo 1-2 y 0 para los demás valores reales. 10.6) Ídem 4 y 5 para una variable aleatoria cuya función de densidad está dada por (4/5)((x-3)3) en el intervalo 3-4 y -(2/5)(x-4)+ 4/5 en el intervalo 4-6 y cero para los demás valores. 10.7) Ídem para la variable aleatoria cuya función de densidad es triangular entre 1 y 4 con moda 3. Para encontrar la expresión analítica f(x) tenga presente que f(3) puede obtenerse sabiendo que el área total debajo de f(x) debe ser 1. 10.8) Un canal de un sistema de atención realiza el servicio en un lapso cuya duración es una variable aleatoria continua exponencialmente distribuida, con media igual a 10 minutos. Se desea generar una muestra de 10 valores de los tiempos de servicio del canal.

a)Teniendo en cuenta que la función de densidad de la distribución exponencial tiene por expresión f(x)= µ .e(- µ x) para x>0, compruebe que la media (esperanza matemática) es 1/µ y que la varianza es 1/µ 2.

b)Aplique el método de la transformada inversa para hallar la expresión del tiempo del servicio en función del número al azar.

c)Genere la muestra utilizando 10 números al azar tomados de la tabla.

10.9) La llegada de clientes a un sistema de atención se produce según un proceso de Poisson de parámetro λ =15 clientes/hora. Se desea generar una muestra de los tiempos entre arribos de 5 clientes sucesivos. Partiendo de una "hora inicial" arbitraria por ejemplo h=100 generar la "hora" de llegada de cada uno. Recuerde que si la cantidad de clientes que llegan en un lapso dado tiene distribución Poisson (DISCRETA), los tiempos entre arribos sucesivos tienen distribución exponencial (CONTINUA), cuya función de densidad está dada por f(x)= λ e(- λ x).

a)Repita los pasos del problema anterior para generar los tiempos entre arribos.

b)Obtenga la "hora" de arribo de cada cliente. Observe que se la puede obtener sumando a la hora inicial los lapsos hasta el arribo del cliente dado.

c)¿Puede usarse el método b para generar las "horas" de finalización de servicio de cada cliente en un canal de atención? ¿Por qué?

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10.10) Las cantidades de un producto demandadas mensualmente a una empresa se distribuyen normalmente con media 5.000 unidades y desviación standard de 500 unidades. Se desea generar una muestra de las demandas mensuales para un año de operación y con ellas obtener, para cada mes, la demanda acumulada desde principio de año.

a)Explique por qué no puede aplicarse rigurosamente el método de la transformada inversa. Si se dispone un método aproximado de integración ¿Qué requisito debe cumplir la expresión obtenida para que sea aplicable el método de la transformada inversa?

b)Explique cómo encararía la simulación por un camino alternativo, usando una tabla de F(x) o de G(x) y aplicando el método de la transformada inversa como si se tratase de una variable discreta.

c)Para aplicar un tercer método basado en el teorema del límite central:

Demuestre que una variable r, uniforme en (0,1), tiene media 1/2 y varianza 1/12. Demuestre que la variable aleatoria que se obtiene sumando n números al azar tiende, al crecer n, a una variable normal. Obtenga su media y su varianza. Obtenga la expresión estandarizada de la variable normal hallada en b. Cada número obtenido por este procedimiento será un "número aleatorio normal" rn, que puede considerarse muestra de una variable normal de media 0 y varianza 1. Estandarice la variable normal a simular e iguálela a rn: despejando la variable se tendrá la expresión que permite generar cada valor de la variable (demanda) en función de rn.

d)Un cuarto método se basa en utilizar tablas de desviaciones normales, dan directamente valores al azar de una variable normal estandarizada rn. Aplique el último paso del método dado en c y, tomando números aleatorios normales de la tabla, genere la muestra solicitada.

Intervalos de Confianza. Determinación del número de pasos de la simulación. 10.11) Suponga que se ha realizado una simulación de la llegada de clientes a un sistema de atención y que, eliminados los del transitorio, se tienen los datos de 100 clientes para el estado de régimen. Se quiere determinar el tiempo medio de permanencia en el sistema, se ha obtenido el tiempo en el sistema para cada uno de los clientes. La suma de los valores da 317,2 y la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores individuales y la media es 28,3

a)Estime el valor del tiempo medio de permanencia en el sistema. b)Obtenga un intervalo de confianza para la media del tiempo de permanencia en el sistema con un nivel de significación del 10% Determine el ancho del intervalo. Si este procedimiento se reiterase muchas veces ¿En cuantos casos el intervalo incluiría el "verdadero valor" de la media a estimar?

c)Si se desea un intervalo de confianza de ancho 0,06 ¿Cuántas muestras adicionales se deberán obtener?

d)Id c. pero se desea que el ancho del intervalo sea el 10% del valor de la variable estimada.

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10.12) Se dispone de 30 datos obtenidos al azar de la cantidad promedio de clientes en un sistema de atención en estado de régimen, la suma es 125 y la suma de las desviaciones cuadráticas es de 28,3.

a)Estime las media de la cantidad de clientes en el sistema. b)Obtenga un intervalo de confianza con un nivel de significación del 20% para la longitud del sistema. Calcule el ancho del intervalo.

c)Determine el número de observaciones necesario para que el ancho del intervalo sea del 10% del valor de la variable estimada.

EJERCICIOS DE SIMULACIÓN 10.13) Aplicaciones de la Simulación a problemas de colas Los nueve enunciados de teoría de colas se usarán para ser encarados por simulación, con las siguientes modificaciones para los tiempos del servicio: 1 1er peluquero: tiempo de corte uniformemente distribuido entre 15 y

25 minutos. 2o. peluquero: íd normalmente distribuido con media 30 minutos y varianza 9 min2.

2 íd 1. 3 Sin modificaciones. 4 Triangular en el intervalo (2min,5min), la moda corresponde a 3

minutos. 5 Lavado: Función de densidad dada por (2/9)*(x-3) en (3;6)

Secado: Uniforme entre 1 y 3 minutos. 6 id 5. 7 1a etapa: exponencial de media 30 minutos.

2a etapa: normal de media 40 minutos y desviación standard 2 minutos. 3a etapa: triangular en (15;25), la moda corresponde a 25 minutos.

8 Recepcionista: constante=4 minutos.

Vendedor nacional: uniforme entre 5 y 7 minutos. Vendedor internacional: exponencial de media 8 minutos.

9 Carga: 1,2 minutos más un lapso uniformemente distribuido entre 2 y

3 minutos. Cobro en efectivo:

f(x)

1 2 4

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Cobro con tarjeta:

f(x) 1 2 3 4 Para cada uno de los nueve enunciados debe construirse una tabla de simulación que reproduzca el funcionamiento del sistema y permita contestar todas las preguntas formuladas en el punto f) de la Guía de Teoría de Colas. Se recomienda: a) Cada fila de la tabla contendrá los datos de un eventual cliente:

-Número al azar usado para generar la variable aleatoria. -Lapso desde el arribo anterior, "horario" de llegada, "horario" de entrada y de salida de cada canal y de la cola, etc.. -Número al azar usado para cada "sorteo" y resultado del mismo (si entra o no al sistema, si opta por un canal o por el otro, si requiere cierto servicio, etc..) -Indicadores que se calculan, para ese cliente, a partir de los "horarios" registrados (tiempo en el sistema, en cola etc..). -Observaciones del estado del sistema (cantidad de clientes en el sistema, en cola, canales ocupados, vacíos o bloqueados etc...)

b) Se darán, de manera explícita, las expresiones utilizadas para

generar las variables aleatorias detallando el método seguido y la deducción completa.

c) Se generarán los datos de la tabla para una totalidad de 5 a 10

clientes. d) Aunque los valores de la tabla se hayan obtenido de forma

intuitiva, se deberá dar un procedimiento general para calcularlos. Ese procedimiento puede darse verbalmente, pero debe ser suficientemente preciso como para obtener los datos en todos los casos posibles, sin error ni ambigüedad.

e) Se calcularán todas las variables solicitadas en la Guía de Teoría

de colas punto f), usando los valores de la tabla y detallando los procedimientos de cálculo. Es importante explicitar los procedimientos porque los valores obtenidos con muestras tan pequeñas no serán representativos.

f) Se construirá un intervalo de confianza con nivel de significación

del 10% para el tiempo medio de permanencia en el sistema. Se determinará el número de observaciones adicionales para obtener un intervalo de ancho 0,1 minutos.

g) Id. para la longitud del sistema. Determinar la cantidad de

observaciones necesarias para obtener un intervalo de confianza cuyo ancho sea del 15% de la variable estimada.

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10.14) El stock de cierto producto es administrado bajo los siguientes parámetros: Tamaño del lote de reposición: 4.000 unidades Stock mínimo al inicio del día: 1.500 unidades Demanda aleatoria con distribución triangular de: Valor mínimo: 800 unidades/día Moda: 1.000 unidades/día Valor máximo: 1.500 unidades/día Costo de almacenamiento: 0.04 $/unidad.día Costo de reorden: $320 Simular la evolución diaria de los niveles de stock, construir un intervalo de confianza para el costo diario. ¿Cómo procedería para calcular el tamaño óptimo del lote de reposición? 10.15) Se modifican las duraciones de las tareas del problema 8.7 de modo que pasan a ser distribuciones de probabilidad triangulares con los siguientes parámetros: Actividad Duración Mínima Moda Duración Máxima A 5 7 8 B 3 10 20 C 3 5 12 D 3 4 12 E 1 2 9 Diseñar un procedimiento de simulación que permita calcular, para cada una de las actividades, la probabilidad de resultar crítica.

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SOLUCION A LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL DE LOS CAPITULOS 1 Y 4 Las impresiones que siguen fueron obtenidas con el programa L.I.N.D.O. ( Linear, Interactive aNd Discrete Optimizer) Problema 1.1 y 4.1 MAX 8 X1 + 3 X2 SUBJECT TO 2) X1 <= 3 3) X2 <= 6 4) 6 X1 + 4 X2 <= 36 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 37.5000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 3.000000 .000000 X2 4.500000 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) .000000 3.500000 3) 1.500000 .000000 4) .000000 .750000 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 8.000000 INFINITY 3.500000 X2 3.000000 2.333333 3.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 3.000000 3.000000 1.000000 3 6.000000 INFINITY 1.500000 4 36.000000 6.000000 18.000000

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Problema 1.2 y 4.2 MAX 5 X1 + 2 X2 SUBJECT TO 2) - 2 X1 + X2 <= 2 3) X1 - X2 <= 2 4) X1 + X2 <= 5 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 20.5000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 3.500000 .000000 X2 1.500000 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 7.500000 .000000 3) .000000 1.500000 4) .000000 3.500000 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 5.000000 INFINITY 3.000000 X2 2.000000 3.000000 7.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 2.000000 INFINITY 7.500000 3 2.000000 3.000000 5.000000 4 5.000000 INFINITY 3.000000

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Problema 1.3 y 4.3 MAX 5 X1 + 2 X2 SUBJECT TO 2) X2 <= 3 3) 4 X1 + 6 X2 <= 24 4) 4 X1 - 3 X2 <= 12 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 22.6666700 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 4.000000 .000000 X2 1.333333 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1.666667 .000000 3) .000000 .638889 4) .000000 .611111 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 5.000000 INFINITY 3.666667 X2 2.000000 5.500000 5.750000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 3.000000 INFINITY 1.666667 3 24.000000 15.000000 12.000000 4 12.000000 12.000000 15.000000

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Problema 1.4 y 4.4 MAX 5 X1 + 8 X2 SUBJECT TO 2) 6 X1 + 5 X2 <= 30 3) X2 >= 1 4) - 2 X1 + 2 X2 <= 6 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 41.7272700 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.363636 .000000 X2 4.363636 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) .000000 1.181818 3) 3.363636 .000000 4) .000000 1.045455 NO. ITERATIONS= 3 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 5.000000 4.600000 13.000000 X2 8.000000 INFINITY 3.833333 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 30.000000 INFINITY 15.000000 3 1.000000 3.363636 INFINITY 4 6.000000 6.000001 12.333330

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Problema 1.5 y 4.5 MAX 6 X1 + 2 X2 SUBJECT TO 2) X1 + X2 <= 300 3) 2.5 X1 + 4 X2 <= 1000 4) X2 = 200 5) X1 <= 200 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 880.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 .000000 X2 200.000000 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 20.000000 .000000 3) .000000 2.400000 4) .000000 -7.600000 5) 120.000000 .000000 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 6.000000 INFINITY 6.000000 X2 2.000000 INFINITY INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 300.000000 INFINITY 20.000000 3 1000.000000 50.000000 200.000000 4 200.000000 50.000000 33.333330 5 200.000000 INFINITY 120.000000

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Problema 1.6 y 4.6 MAX - 2 X1 + 4 X2 SUBJECT TO 2) X2 <= 3 3) 4 X1 + 6 X2 <= 24 4) 2 X1 + 2 X2 >= 0 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 12.0000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 .000000 2.000000 X2 3.000000 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) .000000 4.000000 3) 6.000000 .000000 4) 6.000000 .000000 NO. ITERATIONS= 1 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 -2.000000 2.000000 INFINITY X2 4.000000 INFINITY 4.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 3.000000 1.000000 3.000000 3 24.000000 INFINITY 6.000000 4 .000000 6.000000 INFINITY

52 de 52

Problema 1.7 y 4.7 MAX 4 X1 + 4 X2 SUBJECT TO 2) X1 <= 6 3) X1 + X2 <= 8 4) X1 + 2 X2 <= 12 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 32.0000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 4.000000 .000000 X2 4.000000 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 2.000000 .000000 3) .000000 4.000000 4) .000000 .000000 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 4.000000 .000000 2.000000 X2 4.000000 4.000000 .000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 6.000000 INFINITY 2.000000 3 8.000000 1.000000 2.000000 4 12.000000 4.000000 2.000000

53 de 53

Problema 1.8 y 4.8 MAX 6 X1 + 4 X2 SUBJECT TO 2) 2 X1 + 4 X2 <= 48 3) 4 X1 + 2 X2 <= 60 4) 3 X1 <= 45 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 96.0000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 12.000000 .000000 X2 6.000000 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) .000000 .333333 3) .000000 1.333333 4) 9.000000 .000000 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 6.000000 2.000000 4.000000 X2 4.000000 8.000000 1.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 48.000000 72.000000 18.000000 3 60.000000 9.000000 36.000000 4 45.000000 INFINITY 9.000000

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Problema 1.9 y 4.9 MAX 2 X1 + X2 SUBJECT TO 2) - 5 X1 + 3 X2 >= 5 3) X1 + X2 <= 4 4) 2 X1 + X2 >= 10 END NO FEASIBLE SOLUTION AT STEP 2 SUM OF INFEASIBILITIES= 5.12500 VIOLATED ROWS HAVE NEGATIVE SLACK, OR(EQUALITY ROWS) NONZERO SLACKS. ROWS CONTRIBUTING TO INFEASIBILITY HAVE NONZERO DUAL PRICE. OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 4.87500000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 .875000 .000000 X2 3.125000 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) .000000 -.125000 3) .000000 1.375000 4) -5.125000 -1.000000 NO. ITERATIONS= 2

55 de 55

Problema 1.10 y 4.10 MAX X1 + 8 X2 SUBJECT TO 2) X2 >= 2 3) 4 X1 + 6 X2 >= 24 4) 10 X1 - 30 X2 >= 30 END UNBOUNDED SOLUTION UNBOUNDED VARIABLES ARE: SLK 4 SLK 3 X1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 25.0000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 9.000000 .000000 X2 2.000000 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) .000000 11.000000 3) 24.000000 .000000 4) .000000 .100000 NO. ITERATIONS= 3

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Problema 1.11 y 4.11 MIN X1 - 2 X2 SUBJECT TO 2) X1 >= 2 3) 2 X1 + X2 <= 10 4) X1 + 2 X2 <= 8 5) X2 >= 1 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) -4.00000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.000000 .000000 X2 3.000000 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) .000000 -2.000000 3) 3.000000 .000000 4) .000000 1.000000 5) 2.000000 .000000 NO. ITERATIONS= 3 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 1.000000 INFINITY 2.000000 X2 -2.000000 2.000000 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 2.000000 2.000000 2.000000 3 10.000000 INFINITY 3.000000 4 8.000000 6.000000 4.000000 5 1.000000 2.000000 INFINITY

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Problema 1.12 y 4.12 MAX 3 X1 + X2 SUBJECT TO 2) X1 + X2 <= 6 3) 2 X1 + 3 X2 <= 1 4) - X1 + 2 X2 >= 8 END NO FEASIBLE SOLUTION AT STEP 1 SUM OF INFEASIBILITIES= 7.33333 VIOLATED ROWS HAVE NEGATIVE SLACK, OR(EQUALITY ROWS) NONZERO SLACKS. ROWS CONTRIBUTING TO INFEASIBILITY HAVE NONZERO DUAL PRICE. OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) .333333300 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 .000000 2.333333 X2 .333333 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 5.666667 .000000 3) .000000 .666667 4) -7.333333 -1.000000 NO. ITERATIONS= 1

58 de 58

Problema 1.13 y 4.13 MAX 3 X1 + X2 SUBJECT TO 2) 2 X1 + X2 <= 8 3) X1 + X2 <= 6 4) X1 <= 4 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 12.0000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 4.000000 .000000 X2 .000000 .500000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) .000000 1.500000 3) 2.000000 .000000 4) .000000 .000000 NO. ITERATIONS= 1 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 3.000000 INFINITY 1.000000 X2 1.000000 .500000 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 8.000000 .000000 8.000000 3 6.000000 INFINITY 2.000000 4 4.000000 INFINITY .000000

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SOLUCION A LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL DEL CAPITULO 6 Las impresiones que siguen fueron obtenidas con el programa L.I.N.D.O. ( Linear, Interactive aNd Discrete Optimizer) Problema 6.1 MAX 60 X1 + 120 X2 SUBJECT TO 2) X1 + X2 <= 8000 3) 0.09 X1 + 0.06 X2 <= 540 4) X1 + X2 >= 3000 5) X1 <= 5000 6) X2 <= 6000 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 840000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2000.000000 .000000 X2 6000.000000 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) .000000 60.000000 3) .000008 .000000 4) 5000.000000 .000000 5) 3000.000000 .000000 6) .000000 60.000000 NO. ITERATIONS= 4 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 60.000000 60.000000 60.000000 X2 120.000000 INFINITY 60.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 8000.000000 .000090 2000.000000 3 540.000000 INFINITY .000008 4 3000.000000 5000.000000 INFINITY 5 5000.000000 INFINITY 3000.000000 6 6000.000000 2000.000000 .000270

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Problema 6.2 MAX 2 X1 + 8 X2 + 6 X3 SUBJECT TO 2) X1 + X2 + X3 >= 4 3) X1 + 4 X2 + 2 X3 <= 24 4) X1 + 2 X2 + 4 X3 <= 10 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 40.0000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 .000000 2.000000 X2 5.000000 .000000 X3 .000000 10.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1.000000 .000000 3) 4.000000 .000000 4) .000000 4.000000 NO. ITERATIONS= 3 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 2.000000 2.000000 INFINITY X2 8.000000 INFINITY 4.000000 X3 6.000000 10.000000 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 4.000000 1.000000 INFINITY 3 24.000000 INFINITY 4.000000 4 10.000000 2.000000 2.000000

61 de 61

Problema 6.3 MAX 4 X1 + 5 X2 + 6 X3 SUBJECT TO 2) 2 X1 + X2 + 3 X3 <= 12 3) X1 + 2 X2 + 3 X3 <= 12 4) X1 - 2 X2 + 3 X3 <= 4 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 36.0000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 4.000000 .000000 X2 4.000000 .000000 X3 .000000 3.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) .000000 1.000000 3) .000000 2.000000 4) 8.000000 .000000 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 4.000000 6.000000 1.500000 X2 5.000000 3.000000 3.000000 X3 6.000000 3.000000 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 12.000000 6.000000 6.000000 3 12.000000 12.000000 4.800000 4 4.000000 INFINITY 8.000000

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Problema 6.4 MAX 3 X1 + 4 X2 + 2 X3 SUBJECT TO 2) 2 X1 + 3 X2 + 7 X3 >= 24 3) 6 X1 + 2 X2 + 1.4 X3 <= 48 4) - X1 + 2 X2 + 7 X3 <= 24 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 65.1428600 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 3.428571 .000000 X2 13.714290 .000000 X3 .000000 8.000001 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 24.000000 .000000 3) .000000 .714286 4) .000000 1.285714 NO. ITERATIONS= 4 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 3.000000 9.000000 5.000000 X2 4.000000 INFINITY 2.580646 X3 2.000000 8.000001 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 24.000000 24.000000 INFINITY 3 48.000000 INFINITY 24.000000 4 24.000000 24.000000 24.000000

63 de 63

Problema 6.5 MAX 4 X1 + 3 X2 + 2 X3 SUBJECT TO 2) X1 + 2 X2 + X3 <= 10 3) X2 >= 2 4) 4 X1 + 2 X2 + 2 X3 <= 20 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 23.3333300 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 3.333333 .000000 X2 3.333333 .000000 X3 .000000 .333333 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) .000000 .666667 3) 1.333333 .000000 4) .000000 .833333 NO. ITERATIONS= 3 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 4.000000 2.000000 1.000000 X2 3.000000 5.000000 1.000000 X3 2.000000 .333333 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 10.000000 9.999999 2.000000 3 2.000000 1.333333 INFINITY 4 20.000000 8.000000 9.999999

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Problema 6.6 MAX 1000 X1 + 1500 X2 + 1500 X3 + 1800 X4 SUBJECT TO 2) 1.6 X1 + 1.2 X4 <= 20 3) 1.8 X2 + 1.8 X3 <= 36 4) 5 X1 + 6 X2 <= 80 5) 4 X3 + 4 X4 <= 80 6) X2 + X3 >= 10 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 55000.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 .000000 650.000000 X2 13.333330 .000000 X3 3.333334 .000000 X4 16.666670 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) .000000 250.000000 3) 6.000000 .000000 4) .000000 250.000000 5) .000000 375.000000 6) 6.666667 .000000 NO. ITERATIONS= 4 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 1000.000000 650.000000 INFINITY X2 1500.000000 INFINITY 779.999900 X3 1500.000000 300.000000 1500.000000 X4 1800.000000 INFINITY 300.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 20.000000 4.000001 4.000000 3 36.000000 INFINITY 6.000000 4 80.000000 20.000000 40.000000 5 80.000000 13.333330 13.333340 6 10.000000 6.666667 INFINITY

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Problema 6.7 MAX 170 X1 + 156 X2 + 122 X3 SUBJECT TO 2) 6 X1 + 4 X2 + 6 X3 >= 30 3) 2 X2 + 4 X3 >= 20 4) X1 + X2 + X3 = 30 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 4960.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 .000000 X2 10.000000 .000000 X3 .000000 20.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 130.000000 .000000 3) .000000 -7.000000 4) .000000 170.000000 NO. ITERATIONS= 4 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 170.000000 20.000000 14.000000 X2 156.000000 14.000000 10.000000 X3 122.000000 20.000000 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 30.000000 130.000000 INFINITY 3 20.000000 40.000000 20.000000 4 30.000000 INFINITY 20.000000

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Problema 6.8 MIN X1 + 2 X2 SUBJECT TO 2) X1 + X2 <= 6 3) X1 + X2 >= 3 4) X1 >= 1 5) X2 >= 1 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 4.00000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.000000 .000000 X2 1.000000 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3.000000 .000000 3) .000000 -1.000000 4) 1.000000 .000000 5) .000000 -1.000000 NO. ITERATIONS= 3 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 1.000000 1.000000 1.000000 X2 2.000000 INFINITY 1.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 6.000000 INFINITY 3.000000 3 3.000000 3.000000 1.000000 4 1.000000 1.000000 INFINITY 5 1.000000 1.000000 1.000000

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Problema 6.9 MAX 3 X1 + 5 X2 SUBJECT TO 2) X1 <= 4 3) 2 X2 <= 12 4) 3 X1 + 2 X2 <= 18 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 36.0000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.000000 .000000 X2 6.000000 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 2.000000 .000000 3) .000000 1.500000 4) .000000 1.000000 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 3.000000 4.500000 3.000000 X2 5.000000 INFINITY 3.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 4.000000 INFINITY 2.000000 3 12.000000 6.000000 6.000000 4 18.000000 6.000000 6.000000