UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ

Sede - Azuero

Facultad de Ingeniería Eléctrica

Ingeniería Electromecánica

I Semestre

Grupo 7IE111

Asignatura:

CÁLCULO 3

“INVESTIGACIÓN #1”

Integrantes:Héctor Delio Riande Gómez 7-710-1244

Dionisio Gallardo 6-720-495

Manuel Díaz 6-720-938

Marcial Quintero 6-719-2214

Luis Núñez 7-703-2027

Profesor: Edwin Pérez

2015

1. MATRIZConcepto.Una matriz es un arreglo rectangular bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n por m (escrito n x m) donde n , m∈N− {0 }. El conjunto de las matrices de tamaño n x m se representa como M nxm ( K ) , donde K  es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después.

Ejemplo #1:

Dada la matriz A∈M 4 x 3 ( R )

A=(9 1 23 8 656

37

14)

Es una matriz de 4x3.

Ejemplo #2:

Dada la matriz B∈M 1 x 7 ( R )

B=(3 2 7 1 4 9 2 ) Es una matriz de tamaño 1 x7.

2. TIPOS DE MATRICES

2.1 Matriz Fila:

Concepto.La matriz Fila es una matriz de dimensiones 1 xn, esto es, una matriz formada por una sola fila de n elementos.

Ejemplo #1:Dada la matriz A∈M 1 x 3 (R )

A=(4 7 1 ) Es una matriz de 1x3.

Ejemplo #2:Dada la matriz I∈M1 x5 ( R )

I=( 4 2 7 1 9 ) Es una matriz de tamaño 1 x5.

.

2.2 Matriz Columna:

Concepto.La matriz columna es una matriz de dimensiones m x 1, esto es, una matriz formada por una sola columna de m elementos

Ejemplo #1:Dada la matriz A∈M 3 x1 (R )

A=(527)Es una matriz columna de 3x1.

Ejemplo #2:Dada la matriz X∈M 6 x1 ( R )

X=(285619) Es una matriz de tamaño 6 x1.

2.3 Matriz Cuadrada:

Concepto.Una matriz de n por m elementos, es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número columnas, es decir, n = m y se dice, entonces que la matriz es de orden n. Las matrices cuadradas son las más utilizadas en álgebra.

Ejemplo #1:

Matriz Cuadrada para n = 3: (4 1 63 8 49 2 3)

Ejemplo #2:

Matriz Cuadrada para n = 2: (3 57 1)

2.4 Matriz Diagonal:

Concepto.

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di, j) es diagonal si:

d i , j=0 , sii ≠ j

Ejemplo #1:

(4 0 00 8 00 0 3)

Ejemplo #2:

(3 00 1)

2.5 Matriz Escalar:

Concepto.Una matriz escalar  es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Ejemplo #1:

(7 0 00 7 00 0 7)

Ejemplo #2:

(4 00 4)

2.6 Matriz Identidad:

Concepto.La matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad (donde dicho producto esté definido) no tiene ningún efecto. La columna  i-ésima de una matriz identidad es el vector unitario   de una base vectorial inmersa en un espacio Euclídeo de dimensión n. Toda matriz representa una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. La matriz identidad se llama así porque representa a la aplicación identidad que va de un espacio vectorial de dimensión finita a sí mismo. Como el producto de matrices sólo tiene sentido si sus dimensiones son compatibles, existen infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones. I n, la matriz identidad de tamaño n, se define como la matriz diagonal que tiene valor 1 en cada una de las entradas de la diagonal principal, y 0 en el resto.

Ejemplo #1: I 1=(1 )

Ejemplo #2:

I 3=(1 0 00 1 00 0 1)

2.7 Matriz Triangular:

Concepto.Una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matrices triangulares son utilizadas en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas y determinantes de matrices. El método de descomposición LU permite descomponer cualquier matriz invertible como producto de una matriz triangular inferior L y una superior U.

Matriz Triangular Superior:

Una matriz cuadrada de orden n se dice que es triangular superior si es de la forma:

Ejemplo #1:

(5 7 40 2 10 0 8)

Ejemplo #2:

(5 30 −1)

Matriz Triangular Inferior:

Una matriz cuadrada de orden n se dice que es triangular superior si es de la forma:

Ejemplo #1:

Ejemplo #2:

I 3=(3 0 07 2 04 9 2)

2.8 Matriz Traspuesta:

Concepto.

Sea   una matriz con m filas y n columnas. La matriz transpuesta, denotada con At .

Está dada por:

En donde el elemento a ij de la matriz original A se convertirá en el elemento a ij  de la matriz transpuesta At .

Ejemplo #1:

(2 85 13 7)=(2 5 3

8 1 7)

Ejemplo #2:

(4 3 92 5 3717

291

612)=(4 2 7 1 7

3 5 2 9 19 3 6 1 2)

2.9 Matriz Simétrica:

Concepto.

Una matriz es simétrica si es una matriz cuadrada, la cual tiene la característica de ser igual a su traspuesta. Una matriz de n x m elementos:

Es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y a ij=a ji para todo i, j con i, j =1, 2, 3,.., n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal.

Ejemplo #1:

(2 6 16 3 71 7 9)

Ejemplo #2:

(1 9 39 2 −13 −1 5 )

2.10 Matriz Antisimétrica:

Concepto.

Una Matriz Antisimétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a su negativa, es decir vale la relación AT = -A.

Una matriz de m × n elementos (m = filas, n = columnas):

es antisimétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y a ji=−a ij  para todo i, j =1,2,3,...,n. En consecuencia, a ji=0  para toda i. Por lo tanto, la matriz A asume la forma:

Ejemplo #1:

( 0 −9 39 0 1

−3 −1 0)Ejemplo #2:

( 0 2 −4−2 0 34 −3 0 )

2.11 Matriz Nula:

Concepto.

Una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos iguales a cero.

Ejemplo #1: 01,1=(0 )

Ejemplo #2:

02,3=(0 0 00 0 0)

3. OPERACIONES CON MATRICES

3.1 Igualdad de Matrices:

Algoritmo.

Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y cada elemento de la primera es igual al elemento de la segunda que ocupa su misma posición. Es decir:

Sean A=(aij )p× q , B=( bij )r× s∈M m,n

Se dice que A=B ⇔ p=r , q=s∧ (a ij)m× n=( bij )p ×q ;

∀ i=1,2 , …,m ,∀ j=1,2 , …,n

Es decir

A=(A11 A12 … A1 q

A21 A22 … A2 q

⋮A p1

⋮A p2

⋮ ⋮ ⋮…

⋮A pq

)=(B11 B12 … B1 s

B21 B22 … B2 s

⋮Br1

⋮Br2

⋮ ⋮ ⋮…

⋮B rs

)=B

Ejemplo #1:

A=(4 1 52 −3 0) y B=(1+3 1 2+3

1+1 1−4 6−6)Podemos decir que A=B

Ejemplo #2:

C=(3 98 1) y D=(2+1 6+3

5+3 3−2)En este ejemplo también podemos concluir que C=D

3.2 Adición de Matrices:

Algoritmo.Sean A=aij y B=b ij dos matrices m x n. Entonces la suma de A y B es la matriz m x n, A + B dada por:

A+B=aij+bij=(A11 A12 … A1 q

A21 A22 … A2 q

⋮A p1

⋮Ap 2

⋮ ⋮ ⋮…

⋮A pq

)+(B11 B12 … B1 s

B21 B22 … B2 s

⋮Br 1

⋮Br 2

⋮ ⋮ ⋮…

⋮B rs

)A+B=(

A11+B11 A12+B12 … A1n+B1 n

A21+B21 A22+B22 … A2n+B2 n

⋮Am1+Bm1

⋮Am2+Bm2

⋮ ⋮ ⋮…

⋮Amn+Bmn

)Para sumar matrices deben tener la misma dimensión.

Ejemplo #1:

A=(4 1 52 −3 0) y B=(2 5 7

4 2 6)A+B=(4+2 1+5 5+7

2+4 −3+2 0+6)=(6 6 126 −1 6 )

Ejemplo #2:

C=(3 98 1) y D=(5 2

1 8)

C+ D=(3 98 1)+(5 2

1 8)=(3+5 9+28+1 1+8)

C+ D=(8 119 9 )

3.3 Sustracción de Matrices:

Algoritmo.Sean A=aij y B=b ij dos matrices m x n. Entonces la suma de A y B es la matriz m x n, A - B dada por:

A−B=aij−bij=(A11 A12 … A1q

A21 A22 … A2q

⋮A p 1

⋮Ap 2

⋮ ⋮ ⋮…

⋮A pq

)−(B11 B12 … B1s

B21 B22 … B2s

⋮Br 1

⋮Br 2

⋮ ⋮ ⋮…

⋮Brs

)A−B=(

A11−B11 A12−B12 … A1 n−B1n

A21−B21 A22−B22 … A2 n−B2n

⋮Am1−Bm1

⋮Am2−Bm2

⋮ ⋮ ⋮…

⋮Amn−Bmn

)Ejemplo #1:

A=(3 1 22 −9 0) y B=(9 5 7

1 4 6)A−B=(3−9 1−5 2−7

2−1 −9−4 0−6)=(−6 −4 −51 −5 −6)

Ejemplo #2:

C=(7 98 2) y D=(8 3

2 5)

C−D=(7 98 2)−(8 3

2 5)=(7−8 9−38−2 2−5)

C+ D=(−1 66 −3)

3.4 Producto de un Escalar por una Matriz:

Algoritmo.Si A=aij es una matriz de m x n y si α es un escalar, entonces la matriz m x n, αA está dada por:

αA=(αa ij)=(α A11 Aα 12 … αA1 n

αA21 αA22 … αA2 n

⋮αAm1

⋮αAm2

⋮ ⋮ ⋮…

⋮αAmn

)Esto es A=aij es la matriz obtenida al multiplicar cada componente de A por α . Si αA=(αa ij)=B=( bij ) ,entonces b ij=αaij, ∀ i=1,2 ,…,m ,∀ j=1,2 , …,n

Ejemplo #1:

Sea A=(4 1 52 −3 0)entonces 2 A=(2(4) 2 (1) 2(5)

2(2) 2(−3) 2(0))2 A=(8 2 10

4 −6 0 )

Ejemplo #2:

Sea C=(3 98 1)entonces 4C=(4 (3) 4 (9)

4(8) 4(1))

4 C=(12 3632 4 )

3.5 Multiplicación de Matrices:

Algoritmo.Sean A=(aij ) una matriz de p×q , y B=( bij ) una matriz de q× s. Entonces el producto de A y B es una matriz m x p, C=(C ij) en donde:

c ij=(renglon i de A ) (columna j de B )Es decir, el elemento ij de AB es el producto punto del renglón i de A y la columna j de B. Si esto se extiende, se obtiene:

A ∙ B=(A11 A12 … A1q

A21 A22 … A2q

⋮Ai 1

A p 1

⋮A i2

A p 2

⋮ ⋮ ⋮…

⋮A1 n

A pq

)(B11 B12 … B1 j B1 s

B21 B22 … B2 j B2 s

⋮Br 1

⋮Br 2

⋮ ⋮ ⋮…

⋮ ⋮B1q Bqs

)A ∙B=c ij=ai 1 ∙ b1 j+ai 2 ∙ b2 j+⋯+aiq ∙b1 q

Si el número de columnas de A es igual al número de renglones de B, entonces se dice que A y B son compatibles bajo la multiplicación.

Ejemplo #1:

Si A=( 1 3−2 4) y B=(3 −2

5 6 )A es una matriz de 2 x 2 y B es una matriz de 2 x 2, entonces C = AB = (2 x 2) x (2 x 2) también es una matriz de 2 x 2. Si C=(c ij ), ¿cuál es el valor de c11? Se sabe que:

c11 = (1er. renglón de A) x (1a. columna de B)

c11=(1 3 )(35)=3+15=18

De manera similar, para calcular c12 se tiene:

c12=(1 3 )(−26 )=−2+18=16

Siguiendo el procedimiento se encuentra que

c21=(−2 4 )(35)=−6+20=18

c22=(−2 4 )(−26 )=4+24=28

Entonces

C=AB=(18 1614 28)

Ejemplo #2:

Sea A=(2 0 −34 1 5 ) y B=( 7 −1 4 7

2 5 0 −4−3 1 2 3 )

Primero observe que A es una matriz de 2 x 3 y B es una matriz de 3 x 4.Por lo que el número de columnas de A es igual al número de renglones de B. Por lo tanto, el producto AB está definido y es una matriz de 2 x 4. Sea AB = C=(c ij ). Entonces

c11=(2 0 −3 )( 72

−3)=14+0−9=5

c12=(2 0 −3 )(−151 )=−2+0−3=−5

c13=(2 0 −3 )(402 )=8+0−6=2

c14= (2 0 −3 )( 7−4

3 )=14+0−9=5

c21=( 4 1 5 )( 72

−3)=28+2−15=15

c22=( 4 1 5 )(−151 )=−4+5+5=6

c23=( 4 1 5 )(402)=16+0+10=26

c24= (4 1 5 )( 7−43 )=28−4+15=39

Así AB=(23 −5 2 515 6 26 39)

BIBLIOGRAFIA

1. Stanley I. Grossman S., José Job Flores Godoy: Algebra Lineal. México D.F. Séptima

Edición. McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V. 2014.

2. Gilbert Strang: Algebra Lineal y sus Aplicaciones. México. Cuarta edición. Edmundo

Palacios Pastrana. Universidad Iberoamericana. International Thomson Editores, S.A. 2007.

3. Colaboradores de Wikipedia: Matriz [en línea]. Wikipedia, La enciclopedia libre, 2015.

[Fecha de consulta: 8 de agosto del 2015]. Disponible en

https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz

4. F. Ayres Jr., Teoría y problemas de matrices. McGraw-Hill, 1991.

5. J. Rojo e I. Martín, Ejercicios y problemas de álgebra. McGraw-Hill, 1994.

6. F. Granero, Álgebra y geometría analítica. McGraw-Hill, 1992.

7. J. Flaquer y otros, Curso de álgebra lineal. Ediciones Universidad de Navarra, 1996.

8. P. Sanz y otros, Problemas de álgebra lineal. Prentice Hall, 1998.

9. M. Castellet e I. Llerena, Álgebra lineal y geometría. Reverté, 1991.

10. J. Arvesú y otros, Álgebra lineal y aplicaciones. Síntesis, 1999.

11. J. Pérez Vilaplana. Problemas de cálculo de probabilidades. Paraninfo, 1991.

12. S. Lipschutz, M. L. Lipson. Teoría y problemas de probabilidad. McGraw-Hill, 2000.