inversa y determinantes (1).desbloqueado

8/17/2019 Inversa y Determinantes (1).Desbloqueado

1/11

102

23 FORMAT(' ULTIMA DIFERENCIA = ',F8.4,1X,'NUM. ITERAC. = ',I3,1X,'P.

RELAJACION = ',F8.4)

25 FORMAT (' X =',I3,10(F8.4))END

3.7 Cálculo de la inversa de una matriz no singular de orden N

Aunque la división de matrices no está definida, la matriz inversa proporciona elresultado equivalente. Si el producto de dos matrices cuadradas A y B es la matrizidentidad, que en el caso de tener orden tres está dada por:

=

100

010

001

I (3.36)

Diremos que las matrices son inversas entre sí, cuando se cumple que AB = I , seescribe B = A-1; también A = B-1, las inversas conmutan con la multiplicación, lo cual noes cierto para matrices en general, aquí AB = BA = I. No todas las matrices cuadradastienen inversa, es el caso de las matrices singulares.La inversa de una matriz puede calcularse con la técnica de eliminación de Gauss, lacual puede adaptarse a fin de obtener una forma práctica para invertir una matriz.Esto aplicando el algoritmo de eliminación para las N filas de la matriz inversa; en estecaso, los elementos de la matriz de términos independientes coinciden con lascolumnas de la matriz identidad. Un ejemplo sencillo es el de una matriz cuadrada deorden dos.La ecuación a resolver es AB = I, donde B = A-1 y sus elementos se desconocen,entonces escribiendo en notación matricial tenemos:

=

10

01

b b

b b

aa

aa

2221

1211

2221

1211

A . B = I

Desarrollando el producto de matrices se tiene:

=

++

++

10

01

ba ba ba ba

ba ba ba ba

2222122121221121

2212121121121111

Se han generado dos sistemas de dos ecuaciones, que podemos expresarlo como:

1 ba ba

0 ba ba

0 ba ba

1 ba ba

22221221

21221121

22121211

21121111

=+

=+

=+

=+


2/11

103

En este punto es necesario ordenar estos sistemas de modo que nos permitan calcularlos elementos de B, así los nuevos sistemas son:

0 ba ba

1 ba ba

0 ba ba

1 ba ba

22121211

22221221

21221121

21121111

=+

=+

=+

=+

Entonces para calcular la inversa de una matriz cuadrada no singular de orden N,será necesario resolver N sistemas de ecuaciones lineales. La implementación de unprograma computacional requerirá la repetición N veces del método de eliminación deGauss. Para lograr esto utilizamos la matriz ampliada [A:I j], que es la unión detérminos de A y la j-esima columna de I; así, en el caso de un sistema de 3 ecuaciones

lineales con 3 incógnitas y resolviendo para la primera columna de I, se tiene:

→

→

→

=

31

21

11

333231

232221

131211

0

3

0

2

0

1

0

1

I

I

I

aaa

aaa

aaa

][E

][E

][E

]I:[A (3.37)

Por eliminaciones sucesivas, se transforma esta matriz ampliada en otra nueva, demodo que al final se obtenga una matriz triangular superior [A: I1]

N-1, es decir:

[A:I1]0 [A: I1]

1............[A: I1]

N-2 [A: I1]N-1 (3.38)

El método consiste en sustituir los vectores fila [Ei]m secuencialmente en dos pasos:

i)1m

j

m

j ]E[]E[ −= ; (j = 1, 2,….., m)

ii)1

1

11 ][][][ −

−

−

−−=

m

mm

mm

m

imm

i

m

i E

a

a E E ; (i = m+1,……,N) (3.39)

Donde m es el orden de la eliminación y el valor amm es el pivote (primer elemento dela diagonal). Por aplicaciones sucesivas de la ecuación (3.39), se lleva la matrizampliada fila por fila a la representación [A: I1]

N-1, que en el caso de ser una matriztriangular superior de la forma:

=−

−

−

−

−−

−−−

−

1 N

31

1 N

21

1 N

11

1 N

33

1 N

23

1 N

22

1 N

13

1 N

12

1 N

111 N

1

i

i

i

a00

aa0

aaa

]I:A[ (3.40)

Permitirá resolver la ecuación AB1 = I1, que escrita en notación matricial seria:

=

=

=

=

−

−

−

−

−−

−−−

1

31

1

21

1

11

331

221

111

1

33

1

23

1

22

1

13

1

12

1

11

00

0 N

N

N

N

N N

N N N

i

i

i

xb

xb

xb

a

aa

aaa

(3.41)


3/11

104

El subíndice en la ecuación AB1 = I1, indica que estamos trabajando con los elementosde la primera columna de las matrices B e I.

El proceso de sustitución regresiva tiene dos partes:

a) Dado que la última ecuación solo involucra a b31 y siendo que aNNN-1 ≠ 0,

debemos tener:

1

1

11 −

−

= N

NN

N

N

N

a

ib ó

1

33

1

3131

a

i b

−

−

= N

N

(3.42)

b) El segundo paso nos permitirá conocer el valor de las incógnitas restantes:

1 N

uu

N

1ut

tj

1 N

ut

1 N

ujuja

1 bai b

−+=

−−

−= ∑ ; (u = N-1,……, 1) (3.43)

Donde u va desde N-1 hasta 1 y j cambia según sea la columna evaluada de B e I; esdecir, nos indica el numero de sistema que se está solucionando.

Ejemplo:

Mediante el método de eliminación de Gauss y sustitución regresiva, calcular lainversa de la siguiente matriz de orden dos:

=95

67A

Escribimos la ecuación matricial a resolver:

=

10

01

b b

b b

95

67

2221

1211

Dado que la matriz es de orden dos, deben plantearse dos sistemas de dosecuaciones con dos incógnitas, que se pueden escribir en notación matricial como:

1

0

b

b

95

67y

0

1

b

b

95

67

22

12

21

11

=

=

Para solucionar el primer sistema escribimos la matriz ampliada [A: I1].

→

→=

0

1

95

67

]E[

]E[]I:[A

0

2

0

10

1


4/11

105

Los valores de i empiezan en 2, dado que [E1]1 = [E1]

0. Ahora, aplicando la ecuación(3.39), para obtener la segunda fila en primer orden es decir con i = 2 y m = 1 para j =1, tenemos:

]71.071.40[]167[7

5]095[]E[

]E[

a

a]E[]E[

1

2

0

1

11

210

2

1

2

−=−=

−=

La nueva matriz ampliada, que en este caso es triangular superior, queda como:

−→

→=

71.0

1

71.40

67

]E[

]E[]I:[A

1

2

1

11

1

Aplicando la ecuación (3.42), tenemos que:

15.0a

i b

1

22

1

2121 −==

El siguiente elemento se puede determinar empleando la ecuación (3.43), iniciandopara el valor de u = N-1 = 1 hasta 1 con j = 1 y N = 2.

27.07

1)]15.0(61[

a

1] ba1[ b

a

1 bai b

1

11

21

1

1211

1

11

2

11t

t1

1

1t

1

1111

=−−=−=

−= ∑

+=

Entonces la primera columna de B, solución del primer sistema es:

−==

15.0 b27.0 b

21

11

Solucionamos el segundo sistema escribiendo la matriz ampliada correspondiente.

→

→=

1

0

95

67

]E[

]E[]I:[A

0

2

0

10

2

Una vez más sabemos que [E1]1 = [E1]

0 y aplicando la ecuación (3.39), obtendremos lasegunda fila en primer orden es decir para i = 2, m = 1, pero ahora con j = 2, así:

]171.40[]067[7

5]195[]E[

]E[a

a]E[]E[

1

2

0

1

11

210

2

1

2

=−=

−=

La nueva matriz ampliada, que en este caso es triangular superior, queda como:

→

→=

1

0

71.40

67

]E[

]E[]I:[A

1

2

1

11

2


5/11

106

Aplicando la ecuación (3.42), tenemos que:

21.0a

i b

1

22

1

2222 ==

El siguiente elemento se puede determinar empleando la ecuación (3.43), iniciandopara el valor de u = N-1 = 1 hasta 1 con j = 2 y N = 2.

18.07

1)]21.0(60[

a

1] ba0[ b

a

1 baI b

1

11

22

1

1212

1

11

2

11t

t2

1

1t

1

1212

−=−=−=

−= ∑

+=

La segunda columna de B y solución del segundo sistema es:

=

−=

21.0 b

18.0 b

22

12

Finalmente se conocen los elementos de B y por lo tanto de A -1, es decir la matrizinversa de A, entonces:

−

−== −

21.015.0

18.027.0AB 1

Los resultados computacionales con el programa en Fortran son:

CALCULO DE LA I NVERSA DE UNA MATRI Z===================================

I NGRESO DE DATOS ( CALCULO DE LA I NVERSA DE UNA MATRI Z NxN)

==========================================================

I NGRESE LA DI MENSI ON DE LA MATRI Z

2

I NGRESE ELEMENTOS DE LA MATRI Z

ELEMENTOS DE LA FI LA: 1

7 6

ELEMENTOS DE LA FI LA: 2

5 9

============================================================

RESULTADO MATRI Z I NGRESADA

==========================

7. 0000 6. 0000

5. 0000 9. 0000

RESULTADO MATRI Z I NVERSA

========================

. 2727 - . 1818

- . 1515 . 2121


6/11

107

Codificación:

La codificación que genera los resultados mostrados del ejemplo anterior es lasiguiente:

PROGRAM INVERSA

REAL(4) A(100,100),A1(100,100),XSOL(100),D(100,100),RES(100,100)

10 WRITE (*,*)''

WRITE (*,*)' CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ'

WRITE (*,*)' ==================================='WRITE (*,*)''

WRITE (*,*)' INGRESO DE DATOS (CALCULO DE LA INVERSA DE UNAMATRIZ NxN)'

WRITE (*,*)' ==================================================='

WRITE (*,*)' INGRESE LA DIMENSION DE LA MATRIZ 'READ (*,*)M1

WRITE (*,*)' INGRESE ELEMENTOS DE LA MATRIZ'

DO I=1,M1

WRITE(*,11)IREAD(*,*)(A(I,J),J=1,M1)

END DO

11 FORMAT(' ELEMENTOS DE LA FILA: ',I3)WRITE (*,*)' =================================================='

20 DO I=1,M1D(I,I)=1.0

END DO

!INICIO DE CICLODO JJJ=1,M1LP=2

LN=LP-1

! COPIANDO EN LA MATRIZ DE PASODO I=1,M1

DO J=1,M1A1(I,J)=A(I,J)

END DOEND DO

DO I=1,M1

A1(I,M1+1)=D(I,JJJ)END DO

! FIN DEL COPIADO! HACIENDO LA ELIMINACION

21 DO I=LP,M1

WPASO1=A1(I,LN)WPASO2=A1(LN,LN)

DO J=1,M1+1A1(I,J)=A1(I,J)-(WPASO1/WPASO2)*A1(LN,J)

END DOEND DO

! FIN DE LA ELIMINACION

! REPITIENDO EL PROCESOLP=LP+1


7/11


8/11

109

3.8 Cálculo del determinante

El método usual para calcular el determinante de una matriz, resulta ineficiente cuandotratamos con sistemas grandes, así en el caso de una matriz de orden 10 seránnecesarias 7x107 multiplicaciones y sustracciones, mientras que con el método deeliminación de Gauss se requieren alrededor de 380; esto se deriva del hecho de queel determinante de una matriz triangular (ya sea triangular superior ó inferior) essimplemente el producto de sus elementos diagonales, esto puede verse fácilmente aldesarrollar por menores respecto a la primera columna en cada paso. El cálculo parael determinante de una matriz triangular superior de orden tres, resulta:

332211

33

23

13

22

12

33

2322

11

33

2322

131211

aaaa0

a0a

00

a0a

a0

aaa

a00

aa0

aaa

=+−=

Llevar una matriz a una representación triangular superior no altera el resultado yaque sumar un múltiplo de un renglón a otro de una matriz no cambia el valor de sudeterminante.

Las otras transformaciones de renglones cambian el valor de forma predecible,así: intercambiar dos renglones cambia el signo, y multiplicar un renglón por unaconstante multiplica el valor del determinante por la misma constante. Si se permitenestos cambios, el empleo del procedimiento de eliminación de Gauss para convertir lamatriz a triangular superior es una forma sencilla de evaluar el determinante.

Ejemplo:

Mediante el método de eliminación de Gauss, calcular el determinante de lasiguiente matriz:

=

456

942

753

A

En este caso la matriz A, actúa como muestra matriz ampliada, entonces dado que[E1]

1 = [E1]0, aplicamos la ecuación (3.39), para obtener la segunda fila en primer orden

es decir con i = 2 y m = 1, así:

]3.467.00[]753[3

2]942[]E[

]E[a

a

]E[]E[

1

2

0

111

210

2

1

2

=−=

−=

Aplicamos el mismo procedimiento a la tercera fila.

]1050[]753[

3

6]456[]E[

]E[a

a]E[]E[

1

3

0

1

11

310

3

1

3

−−=−=

−=


9/11

110

La nueva matriz, aun no es triangular superior y está definida como:

−−→

→

→

=

1050

3.467.00

753

]E[

]E[

]E[

[A]

13

1

2

1

1

1

Nuevamente aplicamos el procedimiento, pero esta vez para la tercera filaúnicamente, veamos:

]4.2200[]3.467.00[67.0

5]1050[][

][][][

2

3

1

21

22

1

321

3

2

3

=−

−−−=

−=

E

E a

a E E

La matriz resultante, es triangular superior y se escribirá como:

→

→

→

=

4.2200

3.467.00

753

][

][

][

[A]2

3

2

2

2

1

2

E

E

E

El determinante de A, se calculara multiplicando los elementos de la diagonal de lanueva matriz triangular [A]2, así:

0.45)4.22)(67.0)(3(456942

753

det === A

Los resultados computacionales con el programa en Fortran son:

CALCULO DEL DETERMI NANTE METODO DE ELI MI NACI ON DE GAUSS

=======================================================

I NGRESE DI MENSI ON DE LA MATRI Z

3

ELEMENTOS DE LA MATRI Z DE COEFI CI ENTES

3 5 7

2 4 96 5 4

=======================================================

MATRI Z TRI ANGULAR SUPERI OR PRELI MI NAR

=====================================

3. 00000 5. 00000 7. 00000

. 00000 . 66667 4. 33333

. 00000 - 5. 00000 - 10. 00000

MATRI Z TRI ANGULAR SUPERI OR PRELI MI NAR

=====================================

3. 00000 5. 00000 7. 00000

. 00000 . 66667 4. 33333

. 00000 . 00000 22. 50000


10/11

111

MATRI Z I NGRESADA

================

3. 00000 5. 00000 7. 00000

2. 00000 4. 00000 9. 00000

6. 00000 5. 00000 4. 00000

MATRI Z TRI ANGULAR SUPERI OR

==========================

3. 00000 5. 00000 7. 00000

. 00000 . 66667 4. 33333

. 00000 . 00000 22. 50000

DETERMI NANTE = 45. 00000

==========================

Codificación:

La codificación que genera los resultados mostrados del ejemplo anterior es lasiguiente:

PROGRAM DETERMINANTE

REAL(4) A(100,100),A1(100,100)

10 WRITE (*,*)''

WRITE (*,*)' CALCULO DEL DETERMINANTE ELIMINACION DE GAUSS'WRITE (*,*)' ==================================================='

WRITE (*,*)' INGRESE DIMENSION DE LA MATRIZ'

READ (*,*)M1WRITE(*,*)' ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES'DO I=1,M1

READ (*,*)(A(I,J),J=1,M1)

END DOWRITE (*,*)' ==================================================='

WRITE (*,*)''

! COPIANDO EN LA MATRIZ DE PASO20 LP=2

LN=LP-1DO I=1,M1

DO J=1,M1

A1(I,J)=A(I,J)END DOEND DO

! FIN DEL COPIADO

! HACIENDO LA ELIMINACION21 DO I=LP,M1

WPASO1=A1(I,LN)WPASO2=A1(LN,LN)

DO J=1,M1A1(I,J)=A1(I,J)-(WPASO1/WPASO2)*A1(LN,J)

END DO

END DO! FIN DE LA ELIMINACION


11/11

112

! REPITIENDO EL PROCESO

WRITE(*,*)''

WRITE(*,*)' MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR PRELIMINAR'WRITE(*,*)' ====================================='

DO MI=1,M1

WRITE(*,100)(A1(MI,MJ),MJ=1,M1)END DO

WRITE(*,*)''LP=LP+1

LN=LP-1IF (LP.GT.M1)THEN

NK=M1GOTO 27

ELSE

GOTO 21END IF

! FIN DE REPETICION! PRESENTACION DE RESULTADOS27 DET=1

DO I=1,M1

DET=DET*A1(I,I)END DO

WRITE(*,*)' MATRIZ INGRESADA'

WRITE(*,*)' ================'DO I=1,M1

WRITE(*,100)(A(I,J),J=1,M1)

END DOWRITE(*,*)''

WRITE(*,*)' MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR'WRITE(*,*)' =========================='

DO I=1,M1WRITE(*,100)(A1(I,J),J=1,M1)

END DOWRITE(*,*)''

WRITE(*,101)DET

WRITE(*,*)' =========================='100 FORMAT (15(3X,F11.5))

101 FORMAT(1X,' DETERMINANTE = ',F9.5)

END

3.9 Valores y vectores propios

Al utilizar la semejanza de matrices para diagonalizar la matriz de latransformación lineal se puede obtener una expresión para calcular los valores yvectores propios.

Por definición se dice que dos matrices B y A son semejantes si existe unamatriz S regular tal que B = S-1 A S. Dos matrices que representan a la mismatransformación lineal son semejantes. La semejanza matricial es una relación deequivalencia sobre el conjunto de matrices cuadradas de orden N, con elementosreales o complejos.

inversa y determinantes (1).desbloqueado

Documents