INTRODUCIÒN A LOS PENSAMIENTOS EN MATEMÀTICAS

PENSAMIENTO NUMÉRICO

… se refiere a la comprensión en general que tiene una persona sobre los números y las operaciones junto con la habilidad y la inclinación a usar esta comprensión en formas flexibles para hacer juicios matemáticos y para desarrollar estrategias útiles al manejar números y operaciones…(McIntosh, 1992, Lineamientos Curriculares Matemáticas MEN, 1998)

Medida

Ordinalidad

Códigos

Secuencia verbal

Conteo

Cardinalidad

ASPECTOS BÁSICOS PARA DESARROLLAR EL PENSAMIENTO

NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS

Comprensión de los números y numeración, según el contexto

Contar (ordenar y comparar)

Agrupar

Sig

nific

ado

de N

úmer

o

Significado de las operaciones

Modelos usuales y prácticos

Algoritmos informales

Comprensión del concepto de operaciones

Cálculo mental

Aproximación

Estimación

Calculadora

Cálculos con números y

aplicaciones

Propiedades

Efecto y relaciones entre

operaciones

Tecla Valor posicional

Fraccionarios

Sis

tem

as n

umér

icos

Racionales

Reales

Naturales

Complejos

Enteros

Irracionales

Solución de problemas

Así llegaron a la meta los caballos de una carrera.

EJEMPLO 1

¿Cuál es el número del primer caballo en llegar?A. 1 B. 2C. 4 D. 5

EJEMPLO 2Una papelería ofrece la siguiente promoción:

Con $8.000, ¿cuántos cuadernos de la promoción se puede comprar sin que sobre dinero? A. 4 B. 8C. 12 D.16

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS

PRIVILEGIAN EL USO DE ALGUNAS TÉCNICAS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA, EN UNA SECUENCIA QUE VA DESDE LOS DATOS, LA CONSTRUCCIÓN DE TABLAS Y GRÁFICOS (LA MAYORÍA DE LAS VECES HISTOGRAMAS Y PASTELES) , PASANDO AL CÁLCULO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE LA MEDIDAS DE DISPERSIÓN. ESTA SECUENCIA PROPUESTA PRIVILEGIA LOS ASPECTOS INTENCIONALES, VISTOS COMO PRÁCTICAS DE CÁLCULO, QUE SE RELACIONAN MÁS CON LA ARITMÉTICA QUE CON LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS ESTADÍSTICOS.

LOS ESTÁNDARES CURRICULARES, INTEGRA EL CAMPO DE SIGNIFICADO (LOS PROBLEMAS, LAS SITUACIONES) QUE DAN SENTIDO A LOS CONCEPTOS, SIN DESCUIDAR EL ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES ESTRUCTURALES DE DICHOS OBJETOS.

Las prácticas de enseñanza usuales en estadística

EJEMPLO JUEGA CON TUS AMIGOS EN LA PISTA DEL HIPODROMO (NECESITARAS DOS DADOS, FICHAS DE PARQUES Y VARIOS AMIGITOS PARA JUGAR)

REGLAS-ESCOGE TU CABALLO-LANZA LOS DOS DADOS SI LA SUMA DE LOS DADOS COINCIDE CON EL NUMERO DE CABALLO QUE ESCOGISTE PUEDES AVANZAR UN PASO EN LA PISTA.-EL QUE LLEGUE PRIMERO A LA META GANA

Tiene que ver con:El reconocimiento, la percepción, la identificación y caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos.

Así como:La descripción, la modelación y la representación en distintos sistemas ó registros simbólicos (verbales, icónicos, gráficos ó algebraicos)

Papel del P-variacional-resolución de problemas sustentados en el estudio de la variación y el cambio.-modelación de los procesos de la vida cotidiana en cualquier ciencia.

Relación con los otros pensamientos

Requiere de conceptos y procedimientos relacionados con distintos sistemas: numérico, geométrico, de medida y de datos.

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y LOS SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALITICOS

SITUACIONES

El estudio de la variación puede ser iniciado pronto en el currículo de matemáticas. El significado y sentido acerca de la variación puede establecerse a partir de las situaciones problemáticas cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos de cambio y variación de la vida práctica.

Análisis:Pensamiento ó Componente: Numérico-VariacionalCompetencia ó Proceso: Razonamiento Rta: A

Análisis:Pensamiento ó Componente: Numérico-VariacionalCompetencia ó Proceso: Comunicación Rta: B

RAZONAR EN MATEMÁTICAS• Dar cuenta del como y del porque de los procesos que siguen para llegar a conclusiones.• Justificación de estrategias y los procedimientos puestos en acción en el tratamiento de problemas.• Formular hipótesis, hacer conjeturas y predicciones, encontrar contraejemplos, usar hechos conocidos propiedades y relaciones para

explicar otros hechos.• Encontrar patrones y expresarlos matemáticamente.• Utilizar argumentos propios para exponer ideas, comprendiendo que las matemáticas más que una memorización de reglas y

algoritmos, son lógicas y potencian la capacidad de pensar.

PARA FAVORECER EL DESARROLLO DEL RAZONAMIENTO EN EL AULA SE DEBE:

- Propiciar una atmósfera que estimule a los estudiantes a explorar, comprobar y aplicar ideas. Esto implica que los maestros escuchen con atención a sus estudiantes, orienten el desarrollo de sus ideas y hagan uso extensivo y reflexivo de los materiales físicos que posibiliten la comprensión de ideas abstractas.- Crear en el aula un ambiente que sitúe el pensamiento crítico en el mismo centro del proceso docente. Toda afirmación hecha, tanto por el maestro como por los estudiantes, debe estar abierta a posibles preguntas, reacciones y reelaboraciones por parte de los demás.

PENSAMIENTO ESPACIAL

EL PENSAMIENTO ESPACIAL, SE DEFINE COMO EL CONJUNTO DE LOS PROCESOS COGNITIVOS MEDIANTE LOS CUALES SE CONSTRUYEN Y SE MANIPULAN LAS REPRESENTACIONES MENTALES DE LOS OBJETOS DEL ESPACIO, LAS RELACIONES ENTRE ELLOS, SUS TRANSFORMACIONES, Y SUS DIVERSAS TRADUCCIONES O REPRESENTACIONES MATERIALES, EN ELLO SE CONTEMPLA LAS ACTUACIONES DEL SUJETO EN TODAS SUS DIMENSIONES Y RELACIONES ESPACIALES PARA INTERACTUAR DE DIVERSAS MANERAS CON LOS OBJETOS SITUADOS EN EL ESPACIO, DESARROLLAR VARIADAS REPRESENTACIONES Y, A TRAVÉS DE LA COORDINACIÓN ENTRE ELLAS, HACER ACERCAMIENTOS CONCEPTUALES QUE FAVOREZCAN LA CREACIÓN Y MANIPULACIÓN DE NUEVAS REPRESENTACIONES MENTALES.

PENSAMIENTO ESPACIAL

EL PENSAMIENTO ESPACIAL NECESARIAMENTE INCLUYE AL PENSAMIENTO VISUAL. NUESTRO CEREBRO EVIDENCIA PREPONDERANCIA DE REDES VIDEO ESPACIALES. UN PENSAMIENTO ESPACIAL EFICAZ REQUIERE DE: A) COMPRENDER OBJETOS TRIDIMENSIONALES PARTIENDO DE GRÁFICOS BIDIMENSIONALES, Y VICEVERSA B) HABILIDAD PARA IMAGINAR UNA REPRESENTACIÓN TRIDIMENSIONAL DESDE DISTINTAS PERSPECTIVAS, Y C) HABILIDAD PARA VISUALIZAR – CONCRETAMENTE E IMAGINARIAMENTE - EFECTOS DE REFLEXIÓN E INVERSIÓN DE OBJETOS-IMÁGENES.

EL ÉNFASIS EN ENSEÑAR A PENSAR CIENTÍFICAMENTE PRESUPONE LA APLICACIÓN DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO ESPACIAL, LAMENTABLEMENTE NO SUPONE EL DESARROLLO DE ESTA HABILIDAD TANTO COMO LA UTILIZACIÓN DE TECNOLOGÍA AUXILIAR.

ESTO REQUIERE DEL ESTUDIO DE CONCEPTOS Y PROPIEDADES DE LOS OBJETOS EN EL ESPACIO FÍSICO Y DE LOS CONCEPTOS Y PROPIEDADES DEL ESPACIO GEOMÉTRICO EN RELACIÓN CON LOS MOVIMIENTOS DEL PROPIO CUERPO Y LAS COORDINACIONES ENTRE ELLOS Y CON LOS DISTINTOS ÓRGANOS DE LOS SENTIDOS.

Características

SISTEMAS QUE LO SOPORTANSISTEMA GEOMÉTRICO Y DE MEDIDAS

El sistema geométrico y de medidas busca formalizar y potenciar el conocimiento intuitivo que tiene el estudiante de su realidad espacio- temporal, por medio de la identificación de formas y medidas de sólidos.

El tratamiento de la noción de medida favorece la interpretación numérica de la realidad, estimando de manera objetiva las características físicas de distintos elementos y situaciones en su contexto.

Este sistema posibilita el desarrollo de destrezas y habilidades desarrolladas con la comprensión y el manejo de entes matemáticos distintos de los numéricos, mediante el contacto con formas y cuerpos tomados de su entorno.

PENSAMIENTO MÉTRICO

LOS CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS PROPIOS DE ESTE PENSAMIENTO HACEN REFERENCIA A LA COMPRENSIÓN GENERAL QUE TIENE UNA PERSONA SOBRE LAS MAGNITUDES Y LAS CANTIDADES, SU MEDICIÓN Y EL USO FLEXIBLE DE LOS SISTEMAS MÉTRICOS O DE MEDIDAS EN DIFERENTES SITUACIONES.

ACTIVIDADES DE LA VIDA DIARIA RELACIONADAS CON LAS COMPRAS EN EL SUPERMERCADO, CON LA COCINA, CON LOS DEPORTES, CON LA LECTURA DE MAPAS, CON LA CONSTRUCCIÓN, ETC., ACERCAN A LOS ESTUDIANTES A LA MEDICIÓN Y LES PERMITEN DESARROLLAR MUCHOS CONCEPTOS Y DESTREZAS MATEMÁTICAS.

LOS PROCESOS DE MEDICIÓN COMIENZAN “DESDE LAS PRIMERAS ACCIONES CON SUS ÉXITOS Y FRACASOS CODIFICADOS COMO MÁS O MENOS, MUCHO O POCO, GRANDE O PEQUEÑO, EN CLASIFICACIONES SIEMPRE RELACIONADAS EN ALGUNA FORMA CON IMÁGENES ESPACIALES, ESTO ES CON MODELOS GEOMÉTRICOS, AÚN EN EL CASO DEL TIEMPO.”(CARLOS E. VASCO, EL CONSTRUCTIVISMO GENÉTICO, BOGOTÁ, UNIVERSIDAD NACIONAL)

PENSAMIENTO MÉTRICO

ESTE PENSAMIENTO LO SOPORTA EL SISTEMA DE MEDIDAS. EL ESTUDIO DE LA MEDIDA ES IMPORTANTE EN EL CURRÍCULO DE LAS MATEMÁTICAS DESDE PREESCOLAR HASTA EL GRADO UNDÉCIMO DEBIDO A SU PRACTICIDAD EN MUCHOS ASPECTOS DE LA VIDA DIARIA. EL ESTUDIO DE LA MEDICIÓN TAMBIÉN OFRECE UNA OPORTUNIDAD PARA APRENDER A APLICAR LAS OPERACIONES, LAS IDEAS GEOMÉTRICAS, LOS CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA Y LAS NOCIONES DE FUNCIÓN. ESTAS CONEXIONES SE COMPLEMENTAN CON LAS RELACIONES QUE EXISTEN ENTRE LAS MEDIDAS Y LAS CIENCIAS SOCIALES, LA CIENCIA, EL ARTE Y LA EDUCACIÓN FÍSICA. 

SISTEMAS QUE LO SOPORTAN

* LA CONSTRUCCIÓN DE LA MAGNITUD.

* EL DESARROLLO DEL PROCESO DE CONSERVACIÓN.

* LA ESTIMACIÓN DE MAGNITUDES.

* LA APRECIACIÓN DEL RANGO DE LAS MAGNITUDES.

* LA SELECCIÓN DE UNIDADES.

* EL TRASFONDO SOCIAL DE LA MEDICIÓN.

propiedades

SE PROPONE A LOS ESTUDIANTES CONSTRUIR UNA TORRE UTILIZANDO UN ÚNICO TIPO DE MATERIAL (VASOS DESECHABLES) TENIENDO EN CUENTA CIERTAS INDICACIONES DADAS POR EL DOCENTE.

ENTONCES SE PIDE CONSTRUIR LA TORRE MÁS ALTA POSIBLE UTILIZANDO LA MISMA CANTIDAD DE VASOS DESECHABLES. TODA LA INFORMACIÓN AL RESPECTO SE DEBE REGISTRAR EN DIFERENTES TABLAS (CANTIDAD DE PISOS, TIEMPO QUE TARDÓ EN CONSTRUIRLA, ANCHO, SIN UTILIZAR PATRONES DE MEDIDA CONVENCIONALES).

LUEGO SE LES PIDE CONSTRUIR UN CASTILLO, ESA ACTIVIDAD SI SERÁ DE CONSTRUCCIÓN LIBRE. LOS DATOS TAMBIÉN SERÁN REGISTRADOS.

ACTIVIDADTORRE DE VASOS

INTRODUCIÒN A LOS PROCESOS GENERALES

POLYA, CITADO EN MEN (1998) CONSIDERA QUE:

“RESOLVER UN PROBLEMA ES ENCONTRAR UN CAMINO ALLÍ DONDE NO SE CONOCÍA PREVIAMENTE CAMINO ALGUNO, ENCONTRAR LA FORMA DE SALIR DE UNA DIFICULTAD, ENCONTRAR LA FORMA DE SORTEAR UN OBSTÁCULO, CONSEGUIR EL FIN DESEADO, QUE NO ES CONSEGUIBLE DE FORMA INMEDIATA, UTILIZANDO LOS MEDIOS ADECUADOS”.

Resolución Problemas

COMPRENSIÓN DEL PROBLEMA, ESTÁ RELACIONADA CON LOGRAR UN ENTENDIMIENTO DE LA INTENCIÓN Y EL SENTIDO DEL PROBLEMA. ¿QUÉ SE DESEA AVERIGUAR? ¿POR QUÉ? ¿PARA QUÉ?

DISEÑO DE UN PLAN, ESTA FASE ESTÁ RELACIONADA CON LA CREACIÓN DE ESTRATEGIAS POR PARTE DEL ESTUDIANTE REPRESENTA EL ¿QUÉ HACER? ¿CÓMO HACERLO?

EJECUCIÓN DEL PLAN, CONSISTE EN LA PUESTA EN PRÁCTICA DE LAS ESTRATEGIAS SUGERIDAS POR EL RESOLUTOR. EN ESTA FASE, EL RESOLUTOR HACE USO DE TÉCNICAS Y PROCEDIMIENTOS QUE LE PERMITAN LLEVAR A CABO EL PLAN DISEÑADO PREVIAMENTE

MIRADA RETROSPECTIVA, CONSISTE EN LA VALIDACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS, ES DECIR CONFIRMAR O VERIFICAR SI EL RESULTADO ENCONTRADO CUMPLE CON LAS CONDICIONES DEL PROBLEMA.

Etapas de resolución

proceso de resolución de problemas Vs desempeños

DESEMPEÑO ETAPA

Lectura e interpretación del enunciado del problema.

Lectura de tablas, gráficos, etc.

Lectura de enunciados verbalesEntendimiento del problema

Reconocimiento e identificación de los datos y las incógnitas

del problema Entendimiento del problema

Establecer relaciones, ya sean numéricas, algebraicas,

geométricas, métricas entre los datos y las incógnitas según

el casoDiseñar un plan

Expresar numéricamente o algebraicamente las relaciones

mediante el lenguaje matemático (operaciones matemáticas,

ecuaciones) Diseñar un plan

Realizar las operaciones expresadas para hallar la solución

del problema Ejecutar el plan

Validar la solución del problema Mirada retrospectiva

EL SIGUIENTE ESQUEMA MUESTRA PARTE DEL SISTEMA DE TRANSPORTE DE LA CIUDAD DE MEDELLÍN, CON 3 LÍNEAS DE FERROCARRIL. MUESTRA ADEMÁS DÓNDE SE ENCUENTRA UNA PERSONA Y A DÓNDE TIENE QUE IR:

Sistema de transporte

EL PRECIO DEL BILLETE SE CALCULA EN FUNCIÓN DEL NÚMERO DE ESTACIONES QUE SE RECORREN. CADA ESTACIÓN QUE SE RECORRE CUESTA $1.000 Y EL TIEMPO QUE SE TARDA EN IR DE UNA ESTACIÓN A LA SIGUIENTE ES DE APROXIMADAMENTE 2 MINUTOS, EN LOS TRANSBORDOS DE UNA LÍNEA A OTRA SE TARDA UNOS 5 MINUTOS.

EN EL ESQUEMA ANTERIOR SE SEÑALA LA ESTACIÓN EN LA QUE CAMILO SE ENCUENTRA EN ESE MOMENTO (DESDE AQUÍ), Y LA ESTACIÓN A DONDE TIENE QUE IR (HASTA AQUÍ).

MARCA EN EL ESQUEMA EL MEJOR TRAYECTO EN TÉRMINOS DE DINERO Y TIEMPO CALCULA EL PRECIO DEL BILLETE A PAGARCALCULA EL TIEMPO APROXIMADO DEL VIAJE.

*LOS ESTUDIANTES DEBEN APRENDER MATEMÁTICAS “HACIENDO MATEMÁTICAS ”, LO QUE SUPONE COMO ESENCIAL LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA VIDA DIARIA.

*LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN UN AMPLIO SENTIDO SE CONSIDERA SIEMPRE EN CONEXIÓN CON LAS APLICACIONES Y LA MODELACIÓN. LA FORMA DE DESCRIBIR LA INTERRELACIÓN ENTRE EL MUNDO REAL Y LAS MATEMÁTICAS ES LA MODELACIÓN.

La Modelación

FIGURA PROPUESTA POR EL MATEMÁTICO HANS FRUEDENTHAL

*LA MODELACIÓN ES UN PROCESO MUY IMPORTANTE EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS, QUE PERMITE A LOS ESTUDIANTES OBSERVAR, REFLEXIONAR, DISCUTIR, EXPLICAR, PREDECIR, REVISAR Y DE ESTA MANERA CONSTRUIR CONCEPTOS MATEMÁTICOS EN FORMA SIGNIFICATIVA.

*HAY QUE TENER EN CUENTA QUE LOS PROCESOS DE MODELACIÓN TIENEN QUE VER CON EL NIVEL DE LENGUAJE DE LOS NIÑOS; A VECES EL LENGUAJE FACILITA O RETARDA LA COMPRENSIÓN DE LA REALIDAD

UN ANTIGUO PERGAMINO DABA, AL DESCRIBIR LA SITUACIÓN DE UN TESORO ENTERRADO EN UNA ISLA DESIERTA, ESTAS INSTRUCCIONES: EN LA ISLA HAY TAN SÓLO DOS ÁRBOLES Y LOS RESTOS DE UNA HORCA. A PARTIR DE LA HORCA SE CUENTAN LOS PASOS NECESARIOS PARA LLEGAR EN LÍNEA RECTA HASTA EL ÁRBOL A. UNA VEZ ALLÍ SE GIRA UN CUARTO DE VUELTA A LA IZQUIERDA Y SE CAMINA AL FRENTE EL MISMO NÚMERO DE PASOS, MARCANDO EL PUNTO ALCANZADO CON UNA ESTACA. VOLVIENDO A LA HORCA, SE CUENTAN LOS PASOS EN LÍNEA RECTA DESDE ELLA HASTA EL ÁRBOL B. CUANDO SE LLEGA AL ÁRBOL SE GIRA UN CUARTO DE VUELTA A LA DERECHA Y SE CAMINA DE FRENTE ESE NÚMERO DE PASOS. SE CLAVA OTRA ESTACA EN EL PUNTO DE DETENCIÓN. CAVANDO EN EL PUNTO SITUADO EXACTAMENTE A MEDIO CAMINO ENTRE LAS ESTACAS SE ENCONTRARÁ EL TESORO.UN JOVEN AVENTURERO DESCUBRIÓ EL PERGAMINO, FLETÓ UN BARCO Y NAVEGÓ HASTA LA ISLA. NO TUVO DIFICULTAD EN ENCONTRAR LOS ÁRBOLES, PERO LA HORCA HABÍA DESAPARECIDO, POR LO QUE NO TUVO FORMA DE ENCONTRAR EL TESORO. ¿SE HABRÁ PERDIDO EL TESORO PARA SIEMPRE O HABRÁ UNA FORMA DE HALLARLO?

LA ISLA DEL TESORO

Propuesta para la modelización: Utilizar regla y compás..Para matematizar:¿Las posiciones de los árboles en el mapa es importante para la modelización de la situación? ¿Qué opinas si la ubicación de los árboles de tu propuesta de modelización se cambian de lugar? ¿podrías de igual forma encontrar el tesoro?¿Cuál serán las herramientas o conceptos matemáticos necesarios para abordar la situación? ¿existe un lenguaje en el enunciado que impide la comprensión del problema?

¡GRACIAS!