INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE TIEMPO

Dr. Luis Miguel Galindo

INTRODUCCIÓN

Los modelos de series de tiempo buscan capturar características empíricas relevantes de los datos observados

ARIMA

Las series de tiempo sirven para validar modelos estructurales a ante su inexistencia.

Modelos estructurales no sirven, a veces, para pronósticos fuera de la muestra

CONCEPTOS GENERALES

Una serie es estrictamente estacionaria en el caso en que la distribución de sus valores se mantienen constantes a lo largo del tiempo de modo que la probabilidad de que Yt se ubique en cierto intervalo se mantiene constante.

F(X1t, X2t,…….., Xnt) = F(X1t+1, X2t+2,…….., Xnt+1)

Una serie estacionaria débil o de covarianza estacionaria se define como:

1.1 E(Yt) = media constante

1.2 E(Yt - ) (Yt - ) = 2 varianza constante

1.3 E(Y1t - ) (Y2t - ) = 12t estructura de la autocovarianza

constante

CONCEPTOS GENERALES

2.1 Cov(Xt, Xt+s) = s = E[(Yt - ) (Yt+n - )] 2.2. coeficiente de autocorrelación

Función de autocovarianzas

2.3 s = Cov(Xt, Xt+s) Acf o correlograma =coeficientes de autocorrelación

)var()var(

),(

stt

stts XX

XXCovP

CONCEPTOS GENERALES

Ruido Blanco:

Un ruido blanco es un proceso que tiene una estructura que puede identificarse:

3.1 E(Yt) =

3.2 Var(Yt) = 2

2 si t = r3.3 t-r =

0 en otro caso

Un ruido blanco tiene media y varianza constante y autocovarianzas cero con excepción del rezago cero.

Cada observación no está autocorrelacionada

CONCEPTOS GENERALES

Bajo el supuesto de distribución normal de Yt entonces los coeficientes de autocorrelación muestral también se distribuyen normalmente:

4. s N(0, 1/T)

1.96 * T

1

CONCEPTOS GENERALES

Box Pierce (1970):

5.1

Ho: 2(m) = coeficientes de autocorrelaciónTodos los coeficientes de autocorrelación son cerom=rezagoLung – Box (1978):

5.2 2(m)

= coeficientes de autocorrelaciónLB mejores propiedades en muestras pequeñas

m

ksTBP

1

2

m

k

k

kT

pTTLB

1

2

)2(

EJERCICIO 1: Ejercicio: Determinar un AR con tasa de interés y discutir sus criterios de selección

PROCESO MA

Una serie con E(ut) = 0 y var(ut) = 2 entonces un MA es:

6. Yt = + ut + 1ut-1 + 2ut-2 + …… + qut-q

6.1

Un MA es una combinación lineal de procesos que son ruido blanco

6.2

6.3

tit

q

iit uuY

1

tt

q

i

iit uuLY

1

tt LuY

PROCESO MA

Características del MA:

7.1 Media constante: E(Yt) =

7.2 Varianza constante: Var(Yt) = 0 = (1 + 21 + 2

2 + …… + 2q)2

(s + 1s+1 + ……… + qq-s)2

7.3 Covarianza = 0 para s > q

PROCESO MA

Teorema de descomposición de Wold indica que toda serie

estacionaria débil que se extrajo el componente determinístico

puede descomponerse en una combinación lineal de una secuencia

de variables aleatorias no correlacionadas

PROCESO AR

AR(p)

8. Yt = + 1Yt-1 + 2Yt-2 + …… + pYt-p + ut

ut = ruido blanco

8.1

8.2

8.3 (L)Yt = + ut

(L) = (1 - 1L - 2L2 - …… - pLp)

tit

p

iit uyY

1

tt

p

i

iit uyLY

1

PROCESO AR

Como:

8.4 (L)Yt = ut

Entonces:

8.5 Yt = (L)-1ut

Las raíces de una ecuación característica caen fuera del círculo unitario

9. (1 - 1Z - 2Z2 - …… - pZp) = 0

PROCESO AR

Serie:

10. Yt = 3Yt-1 – 0.25Yt-2 + 0.75Yt-3 + ut

Entonces:

11. Yt = 3LYt – 0.25L2Yt + 0.75L3Yt + ut

12. (1 - 3L – 0.25L2 + 0.75L3)Yt = ut

La ecuación característica:

12.1 (1 - 3Z – 0.25Z2 + 0.75Z3) = 0

Factorizando:

12.2 (1 - Z) (1 – 1.5Z) (1 - 0.5Z) = 0

Z = 1, Z = 2/3, Z = 2

RAÍZ UNITARIA

tt

ttt

ttt

eYL

eYY

eYY

)1()2.1(

)1.1(

)1(

1

11

11

Dividiendo (1.2) por 1:

L

1

1)3.1(

La raíz de esta ecuación es el valor L (L*) que satisface que:

01

)4.1(1

L

1

1*

L

L* = La raíz de la ecuación

RAÍZ UNITARIA

Un AR(2) puede generar un I(1): Una de las raíces es 1 y la otra tiene un modulo mayor a uno para que el proceso sea estable: Ejemplo:

025.011:

)25.025.11()1.3(

25.025.1)3(

2

21

LLiónFactorizac

eYLL

eYYY

tt

tttt

41 *

2*1 LL

RAÍZ UNITARIA

tt

ttt

tt

YZ

ZZZL

aigualesEllo

eYLL

eloeldoFactorizan

125.025.01)3.3(

:

25.011)2.3(

:mod

La condición necesaria y suficiente para que la estabilidad es que las raíces del polinomio (L) = 1 - 1L - ……. - qL

q deben que tener un modulo mayor que uno.

Estabilidad Estacionariedad

Estacionariedad Estabilidad

RAÍCES Y VALORES CARACTERÍSTICOS

LILA

eYLA

eY

tt

tt

1

11

)(

)(

)1(

Estabilidad es suficiente pero no necesaria para estacionariedad

PROCESO ARMA

13. (L)Yt = + (L)ut

(L) = 1 - 1L - 2L2 - …… - pLp

(L) = 1 + 1L + 2L2 - …… + qLq

Con:

E(ut) = 0; E(u2t) = 2, E(ut us) = 0 t s

• Las características del proceso ARMA es una combinación de los AR y MA

• Condición de invertibilidad: MA || < 1

MODELOS ARMA: BOX – JENKINS

1. Identificación: Determinar el orden del modelo Método: ACF o gráficas

2. Estimación: MCO o Máxima Verosimilitud

3. Pruebas de diagnóstico: Ajuste o diagnóstico de residuales

PRONÓSTICOS EN EW

Estimación de predicciones:

• Método estático: Estima las predicciones una a una utilizando la observación anterior y los valores actuales

• Método dinámico: Estima las predicciones a partir de la primera observación del período de predicción y utiliza valores pronosticados en el caso de que existan valores rezagados de la variable endógena

• El método estructural se utiliza con los errores sistemáticos y ofrece opción estática y dinámica

De no indicarse nada las predicciones se obtienen utilizando sólo la parte estructural del modelo (ignorando las autocorrelaciones)

PRONÓSTICOS EN EW

1. Root Mean Squared Error:

2. Mean Absolute Error:

3. Mean Absolute Percent Error:

T

fRECM

i2

T

fEAM

n

i

ni

1

||

n

i i

i

Y

f

TEAMP

1

1

PRONÓSTICOS EN EW

4. Theil Inequality Coefficient:

Bias proportion

Variance proportion

Covariance proportion

T

Y

T

YT

YY

CDTtt

tt

22

2

ˆ

)ˆ(

EJERCICIO 2: PRONÓSTICOS CON ARMA

Pronóstico con ARMA de tasa de interés

INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE TIEMPO

Dr. Luis Miguel Galindo