introducción a la teoría de representaciones de grupos...

Introducción a la teoría derepresentaciones de grupos finitos

Rafael Villarroel [email protected]

29 de junio de 2006

Prólogo

. . . it is now more true to say that forfurther advances in the abstract theoryone must look largely to therepresentation of a group as a group oflinear substitutions.

William Burnside, 1911

Este trabajo, que está todavía desarrollándose, surgió como un complemento al cursode Álgebra Moderna IV que impartí en la Facultad de Ciencias de la UNAM, de eneroa mayo de 2003. El curso estaba dirigido a estudiantes de matemáticas en el último añode su carrera. Los prerrequisitos para éste trabajo, por lo tanto, son los cursos de Álge-bra Superior I y II (conjuntos, funciones, operaciones binarias, relaciones de equivalencia,inducción matemática, números complejos, ver por ejemplo [CLRT73]), Álgebra Lineal Iy II (espacios vectoriales, transformaciones lineales, matrices, valores y vectores propios,ver [FIS97]) y Álgebra Moderna I y II (grupos, homomorfismos, teoremas de homomor-fismos, grupos simétricos, el teorema fundamental de grupos abelianos finitos, anillos ycampos, una posible referencia es: [Jac85]).

Un objetivo de este trabajo es mostrar cómo la teoría de representaciones lineales sirvepara demostrar teoremas sobre teoría “pura” de grupos. Durante el curso la idea era llegara la demostración del famoso teorema de Burnside: cualquier grupo G de orden pαqβ essoluble, donde p y q son primos y α y β son números naturales. En este texto incluiremosademás otros dos teoremas cuya primer demostración fue en términos de representaciones:el teorema sobre la normalidad del núcleo de Frobenius y el teorema de Burnside sobregrupos de permutaciones de grado primo.

Además, se pretende familiarizar a los estudiantes con el sistema de cómputo GAP(http://www.gap-system.org). Practicar problemas matemáticos en la computadora ayu-da a comprobar el aprendizaje, pues uno debe de “enseñarle a la máquina” primero. Sepueden comprobar resultados y también puede ayudar a que surjan conjeturas (y a refu-tarlas). Los rudimentos de GAP se explican en el apéndice A, y ya en el texto se explicacómo se pueden practicar los conceptos aprendidos en la computadora.

Como el título lo indica, éste trabajo es solamente una introducción a la teoría derepresentaciones lineales de grupos. Por lo tanto, no se busca enunciar los teoremas y lasdefiniciones en la forma más general posible, sino que se busca la generalidad siempre ycuando no traiga consigo complicaciones significativas. Sólo se hace mención de gruposfinitos, no se toca la teoría de representaciones llamada “modular”, y la teoría de carác-teres únicamente se desarrolla en el campo de números complejos. Por otro lado, se ha

iii

IV Prólogo

tratado de incluir una gran cantidad de ejemplos y de cálculos concretos.

Contenido

Introducción VII

1. Álgebras 11.1. Definición de álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Ejemplos de álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Módulos y representaciones de álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Submódulos y morfismos de módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Módulos simples y semisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. El teorema de Weddeburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7. El radical de un álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Álgebras de grupo y sus módulos 312.1. El producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2. Módulos sobre álgebras de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3. Potencias simétricas y exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4. El teorema de Maschke y sus consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3. Carácteres 453.1. Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2. Las relaciones de ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3. Grupos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4. Grupos abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5. Grupos no abelianos pequeños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.6. Grupos simétricos pequeños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.7. Grupos alternantes pequeños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.8. Tablas de carácteres en GAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4. Carácteres y módulos inducidos 674.1. Más sobre funciones de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2. Carácteres inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3. Módulos inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5. Teoremas de Burnside y Frobenius 755.1. El kernel de un carácter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2. El centro de un carácter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3. Enteros algebraicos y carácteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.4. El teorema de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

v

VI Contenido

6. Representaciones del grupo simétrico 876.1. Particiones y diagramas de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2. Tableros y representaciones irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.3. Módulos de Specht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A. Grupos y campos en GAP 97

Lista de símbolos 103

Bibliografía 105

Índice 106

Introducción

El objetivo principal de este trabajo es presentar resultados sobre representacioneslineales de grupos finitos, que puedan aplicarse para obtener propiedades o demostrarteoremas sobre los grupos mismos. La culminación de todos los resultados será la de-mostración de sendos teoremas de Burnside y Frobenius, fundadores de esta teoría. Paradichos teoremas, no se ha encontrado demostración sin usar representaciones, o bien otrademostración es simplemente menos natural.

Existen dos maneras de pensar en una representación de un grupo G. La primera essimilar al concepto de G-conjunto, en ésta ocasión tenemos una acción de G en un espaciovectorial V. Los teoremas de álgebra lineal restringen de algún modo las acciones posiblesque pueden darse (y las propiedades del campo de escalares también juegan su papel),de modo que las propiedades de tal acción pueden resultar en datos interesantes sobre elgrupo G.

La segunda manera de definir una representación del grupo G en el espacio vectorial V,es como un homomorfismo de grupos G → GL(V), donde GL(V) es el grupo de trans-formaciones lineales invertibles V → V. Si el homomorfismo G → GL(V) es inyectivo,tenemos que G es isomorfo a un subgrupo de GL(V), y en tal sentido, hemos “representa-do” a los elementos G como transformaciones lineales V → V. Aún si el homomorfismoG → GL(V) no es inyectivo, las propiedades de V restringen las posibilidades para talhomomorfismo, de modo que sus propiedades dicen algo sobre G.

El primer concepto lleva a la definición de “módulo sobre G”, el segundo lleva alconcepto de “representación de G”, sin embargo ambos son equivalentes, y en ocasionesalguno será más provechoso que el otro.

Otro objetivo de estas notas es mostrar al alumno un campo de estudio en dondeaplicará prácticamente todos los conocimientos adquiridos en los cursos de Álgebra has-ta ahora, y que en cierto modo tiene el sabor de las matemáticas que se están creando.Por ejemplo, en el primer capítulo podrá comprender la demostración de un teorema declasificación no trivial: la clasificación de todas las álgebras asociativas semisimples dedimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado.

En el capítulo 1, definiremos el concepto de álgebra. Es posible desarrollar la teoríasin él, pero nos parece que es un tema que se enlaza de modo natural como continuaciónde los cursos sobre espacios vectoriales y anillos. Además, al ser una estructura ya algocomplicada, es posible proceder a su clasificación. Nos concretamos desde un principio aálgebras de dimensión finita, y hacemos énfasis en resultados sobre álgebras semisimples,pues son los que nos resultan más útiles en el estudio de la llamada “teoría clásica” derepresentaciones de grupos. Sin embargo, al final del capítulo estudiamos por un momentolas álgebras no semisimples, lo cual será provechoso al lector si desea estudiar la llamada“teoría modular” de las representaciones. En éste capítulo también definimos el concepto

vii

VIII Introducción

de módulo sobre un álgebra. Y damos varios ejemplos de álgebras y de módulos sobreálgebras, entre ellos, el ejemplo más importante para nosotros será, dado un campo F yun grupo finito G, el “álgebra de grupo” FG.

A partir del capítulo 2, todas las álgebras son álgebras de grupo. Construimos ejemp-los de módulos sobre álgebras de grupo y ejemplos de cómo construir nuevos módulos apartir de otros, a saber: el producto tensorial, el producto simétrico y el producto exteri-or, la restricción, conjugación e inflación, los módulos de permutaciones, etc. A partir delteorema de Maschke, todos las álgebras de grupos se toman sobre el campo de númeroscomplejos C. Y con toda la materia prima de ejemplos que hemos construido, definimosun importantísimo concepto para aplicárselo a nuestros módulos: el concepto de carác-ter de un G-módulo. Demostramos las relaciones de ortogonalidad que existen entre loscarácteres y utilizamos todo ésto en la construcción de la “tabla de carácteres” de un grupoG. de tipos de grupos progresivamente más complicados, primero los grupos cíclicos, de-spués todos los grupos abelianos, después la de los dos grupos no abelianos de orden 8 yfinalmente de los grupos simétricos S4 y S5.

En el capítulo 5, se demostrarán los teoremas notables indicados, así como algunosotros hechos interesantes sobre las representaciones mismas. Y en el capítulo 6 se in-troducen herramientas que sirven para clasificar completamente a las representacionesirreducibles de los grupos simétricos Sn, para toda n.

De entre la amplísima literatura sobre representaciones de grupos, los que han influidomayormente en la exposición en este texto son: el libro de Isaacs ([Isa94]) en cuanto ala claridad de las demostraciones y el de Fulton y Harris ([FH91]), en cuanto a la grancantidad de ejemplos.

1Álgebras

En este capítulo estudiamos la noción de álgebra sobre un campo. Este concepto noes estrictamente necesario para estudiar representaciones de grupos, sin embargo nos pro-porcionará un panorama más amplio y facilitará el enunciado de varios teoremas másadelante, además es muy interesante y no nos desviará demasiado de nuestros objetivos.

Generalmente en matemáticas, se le llama un álgebra a un espacio vectorial A juntocon un producto bilineal

A×A→ A, (1.1)

y dependiendo de las propiedades del producto, se definen álgebras asociativas, álgebrasde Lie, álgebras de Jordan, etc. En este trabajo, la palabra álgebra significa exclusivamenteálgebra asociativa con uno.

1.1. Definición de álgebra

1.1 Definición. Sea F un campo. Sea A un espacio vectorial sobre F que también es un anillo con uno,donde la suma del espacio vectorial coincide con la suma en el anillo y el uno de A esdistinto del cero. Si además se tiene que para todo λ ∈ F y a,b ∈ A se cumple que:

(λa)b = λ(ab) = a(λb) (1.2)

decimos que A es una F-álgebra.

En otras palabras, si fijemos el campo F, una F-álgebra se compone de un conjuntoA, junto con tres operaciones, la suma +: A × A → A, el producto × : A × A → A y elproducto por escalares · : F×A→ A, que deben satisfacer ciertas propiedades. Los valoresde las operaciones se denotan del siguiente modo:

1

2 Capítulo 1. Álgebras

1. +(a,b) se denota con a+ b,

2. ×(a,b) se denota con ab,

3. ·(λ,a) se denota con λa.

Aunque denotemos del mismo modo al producto de dos elementos de A y al productopor escalares, el contexto nos dirá a qué operación nos estamos refiriendo. Por lo general,los elementos del álgebra se denotarán con a,b cuando sean dos, y con a1,a2,a3, . . ., etc.,cuando sean más. Y a los elementos de F los denotaremos con λ.

Las operaciones deben de satisfacer las siguientes condiciones:

Axiomas de las operaciones de un álgebra

1. a+ b = b+ a para todos a,b ∈ A,

2. a1 + (a2 + a3) = (a1 + a2) + a3 para todos a1,a2,a3 ∈ A,

3. existe un elemento 0A ∈ A tal que a+ 0A = a para todo a ∈ A,

4. para todo a ∈ A existe un elemento −a ∈ A tal que a+ (−a) = 0A,

5. a1(a2a3) = (a1a2)a3 para todos a1,a2,a3 ∈ A,

6. existe un elemento 1A ∈ A tal que a1A = 1Aa = a para todo a ∈ A, y 1A 6= 0A,

7. a1(a2+a3) = a1a2+a1a3 y (a1+a2)a3 = a1a3+a2a3 para todos a1,a2,a3 ∈ A,

8. si 1F es el neutro multiplicativo del campo F, entonces 1Fa = a para todo a ∈ A,

9. (λ1λ2)a = λ1(λ2a) para todos λ1, λ2 ∈ F y para todo a ∈ A,

10. (λ1 + λ2)a = λ1a+ λ2a para todos λ1, λ2 ∈ F y para todo a ∈ A,

11. λ(a+ b) = λa+ λb para todo λ ∈ F y para todos a,b ∈ A,

12. λ(ab) = (λa)b = a(λb) para todo λ ∈ F y para todos a,b ∈ A.

Desde luego, en la práctica denotamos tanto a 1A como a 1F con el mismo símbolo 1,el contexto nos ilustrará a cuál de los dos nos referimos.

Daremos dos ejemplos sencillos, pero importantes, de álgebras, otros aparecerán en lasección 1.2.

1.1. Definición de álgebra 3

Ejemplo 1.1Para cualquier campo F, sea A = F, el cual tiene estructura de anillo con uno y es un F-espaciovectorial de dimensión 1. Claramente se cumple la condición (1.2), así que F es una F-álgebra,a la cual llamaremos álgebra regular.

El siguiente es de hecho una familia infinita de ejemplos.

Ejemplo 1.2Sea n un entero positivo y F un campo. Sea A = Mn(F) el conjunto de matrices n × n conentradas en F, junto con las operaciones usuales. Es decir:

Mn(F) =

a1,1 · · · a1,n

......

an,1 · · · an,n

∣∣∣∣∣∣∣ai,j ∈ F, i, j = 1, . . . ,n

(1.3)

con suma dada por:a1,1 · · · a1,n

......

an,1 · · · an,n

+

b1,1 · · · b1,n

......

bn,1 · · · bn,n

=

a1,1 + b1,1 · · · a1,n + b1,n

......

an,1 + bn,1 · · · an,n + bn,n

(1.4)

producto:a1,1 · · · a1,n

......

an,1 · · · an,n

b1,1 · · · b1,n

......

bn,1 · · · bn,n

=

∑a1,ibi,1 · · ·

∑a1,ibi,n

......∑

an,ibi,1 · · ·∑an,ibi,n

(1.5)

y producto por escalares:

λ

a1,1 · · · a1,n

......

an,1 · · · an,n

=

λa1,1 · · · λa1,n

......

λan,1 · · · λan,n

(1.6)

Entonces A es una F-álgebra.De hecho, es claro que si A es una F-álgebra, entonces Mn(A) con las operaciones indicadas esuna F-álgebra.

Si A es un álgebra, puesto que es un anillo y un espacio vectorial a la vez, heredatodas las propiedades de éstos, por ejemplo, la unicidad del neutro aditivo o el hechode que 0Fa = 0A para todo a ∈ A. También se heredan todos los conceptos asociadosa los anillos y espacios vectoriales, como ideales, ideales principales, subespacios, bases,dimensión, etc. En particular, es muy fácil definir una función que preserve la estructurade álgebra.


1.2 Definición. Sean F un campo, y A y B F-álgebras. Sea f : A→ B una transformación lineal tal quef(ab) = f(a)f(b) para todos a,b ∈ A y tal que f(1A) = 1B. Decimos entonces que fes un morfismo de álgebras

En otras palabras, un morfismo de álgebras es una transformación lineal que a la vez esun morfismo de anillos con uno. Es inmediato demostrar que la composición de morfismosde álgebras es un morfismo de álgebras, y que la función identidad siempre es un morfismode álgebras. La definición de isomorfismo de álgebras se sigue inmediatamente.

De vez en cuando mostraremos propiedades “nuevas” que se cumplen en cualquierálgebra debido a la interacción entre las dos estructuras. Por ejemplo:

1.3 Proposición. Si A es una F-álgebra, e I es un ideal izquierdo o derecho de A, entonces I es unsubespacio de A.

Demostración. Supongamos que I es un ideal izquierdo de A. Sólo falta probar que I escerrado bajo producto por escalares. Si λ ∈ F y a ∈ I, entonces λa = λ(1Aa) = (λ1A)a ∈I, pues I absorbe productos por la izquierda. En el caso de que I sea ideal derecho elresultado se sigue de la igualdad λa = λ(a1A) = a(λ1A).

Por lo tanto, si I es un ideal (bilateral) de A donde 1A 6∈ I, entonces el conjuntode clases laterales A/I tiene una estructura de anillo con uno (diferente de cero) y de F-espacio vectorial donde se cumple la ecuación (1.2), es decir, tenemos una nueva F-álgebra,llamada el álgebra cociente. No usaremos un nueva terminología para los ideales de unálgebra, los llamaremos simplemente ideales de A.

Por otro lado, si B ⊆ A es a la vez un subanillo con uno (con 1B = 1A ∈ B) ysubespacio vectorial de A, entonces la condición (1.2) se hereda a B, por lo tanto, con lasoperaciones de A restringidas, B es una F-álgebra y diremos que B es una subálgebra deA. Puesto que podemos demostrar que la intersección arbitraria de ideales (subálgebras)de A es un ideal (subálgebra), podemos, dado X ⊆ A, hablar del ideal (subálgebra) de Agenerado(a) por X, que se define como la intersección de todos los ideales (subálgebras) deA que contienen a X.

Para cualquier álgebra A, una subálgebra es el centro:

Z(A) = {a ∈ A | ax = xa para todo x ∈ A } . (1.7)

Más generalmente, si a ∈ A, tenemos que CA(a) = { x ∈ A | ax = xa } (el centralizadorde a) es una subálgebra de A.

1.1. Definición de álgebra 5

El teorema fundamental de isomorfismo se traslada al contexto de F-álgebras sin mayorproblema:

1.4 Teorema. Sea f : A→ B un morfismo de F-álgebras. Entonces

1. ker f = {a ∈ A | f(a) = 0B } es un ideal de A,

2. im f = { f(a) ∈ B | a ∈ A } es una subálgebra de B,

3. El álgebra cociente A/ker f es isomorfa a im f por medio de b+ ker f 7→ f(b).

Frecuentemente será útil la siguiente notación: si A es un álgebra y X, Y ⊆ A, deno-taremos XY al conjunto

XY = { xy | x ∈ X,y ∈ Y } (1.8)

(con lo cual también hemos definido Xn). En el caso de que X = {x}, entonces XY sedenota simplemente con xY. El subconjunto {0A} se denotará simplemente como 0.

Además del proceso de formar álgebras cocientes, otra manera de crear nuevas álgebrasa partir de otras es por medio de la suma directa.

1.5 Proposición. Sean A1,A2, . . . ,An F-álgebras. Sea A la suma directa ⊕ni=1Ai como espacios vecto-

riales. Si definimos en A un producto como:

(a1,a2, . . . ,an)(b1,b2, . . . ,bn) = (a1b1,a2b2, . . . ,anbn), (1.9)

entonces A tiene una estructura de F-álgebra, donde 1A = (1A1 , 1A2 , . . . , 1An), llama-

da la suma directa de las F-álgebras A1,A2, . . . ,An.Por otro lado, supongamos que A es una F-álgebra tal que existen álgebrasA1,A2, . . . ,An, todas ellas contenidas en A como subconjuntos y tales que las op-eraciones en ellas se obtienen restringiendo las correspondientes operaciones en A,tales que:

1. para todo x ∈ A existen elementos xi ∈ Ai tales que x =∑xi.

2. AiAj = 0 si i 6= j.

Entonces A es isomorfa a ⊕ni=1Ai. (En este caso, decimos que A es la suma directa

interna de las álgebras A1,A2, . . . ,An).

Demostración. Ejercicio.

En este trabajo, nos concentraremos la mayor parte del tiempo a estudiar álgebras dedimensión finita.


1.6 Definición. Sea A una F-álgebra. Decimos que A es una álgebra con división si para todo a ∈ A,a 6= 0 existe b ∈ A tal que ab = 1A.

✎ Ejercicios 1.1

1.1.1 Demuestra que la intersección de ideales (subálgebras) de un álgebra A es un ideal (subálgebra)de A.

1.1.2 Demuestra que para todo a ∈ A se tiene que CA(a) es una subálgebra de A y que Z(A) =

∩a∈ACA(a).

1.1.3 Demuestra el teorema 1.4.

1.1.4 Demuestra la proposición 1.5.

1.1.5 Demuestra que si A1,A2, . . . ,An son F-álgebras, entonces Z(⊕ni=1Ai) es una F-álgebra isomorfa

a ⊕ni=1Z(Ai).

1.1.6 Sea A una F-álgebra que es la suma directa interna de las álgebras A1,A2, . . . ,An. Sea I un idealde alguna Ai. Entonces I es un ideal de A.

1.1.7 Sea A una F-álgebra. Sea B ⊆ A tal que B es cerrado bajo sumas, productos y productos porescalares de F. Si existe además un elemento 1B ∈ B tal que b1B = 1Bb = b para todo b ∈ B,demuestra que las operaciones de A restringidas a B dan a B la estructura de F-álgebra.

1.2. Ejemplos de álgebras

Siempre después de una definición es importante contar con muchos ejemplos.

Primero consideremos el álgebra regular sobre F (Ejemplo 1.2). Puesto que {1F} es unabase de F, dada cualquier F-álgebra B existe una única transformación lineal F → B quesatisface 1F 7→ 1B. Tal transformación lineal también preserva el producto, por lo quees un morfismo de álgebras. Más aún, tal morfismo es siempre inyectivo, por lo que suimagen en B:

F1 = { c1B | c ∈ F } (1.10)

es una subálgebra de B isomorfa a F. En ocasiones será conveniente identificar a F con éstasubálgebra.

1.2. Ejemplos de álgebras 7

1.7 Proposición. Sea A una F-álgebra con división de dimensión finita, donde F es algebraicamentecerrado, entonces A = F.


Ejemplo 1.3Sea F = R y A = C. Entonces, bajo las operaciones usuales, A es una R-álgebra. En general, siF es un campo y E es una extensión de F, entonces E es una F-álgebra.

Un teorema de Hopf dice que las únicas R-álgebras con división de dimensión finitaconmutativas son R y C.

Ejemplo 1.4Si A es cualquier F-álgebra, definimos una F-álgebra Aop, llamada el álgebra opuesta a A, comoel álgebra que tiene el mismo espacio vectorial subyacente a A, pero donde el producto ab enAop se define como el producto ba en A.

Ejemplo 1.5Sea F un campo. Recordemos que el anillo de polinomios en una variable F[x] tiene además unaestructura de espacio vectorial de dimensión infinita con base {1, x, x2, x3, . . .} y es por lo tantouna F-álgebra de dimensión infinita.

En el caso del álgebra F[x], la identificación de F con la subálgebra F1 es clara, puesF1 corresponde a los polinomios constantes. Una propiedad importante y conocida dela inclusión F → F[x] es la siguiente: si φ : F → R es un morfismo de anillos y u ∈ R

es cualquier elemento, entonces φ se puede extender de manera única a un morfismo deanillos φu : F[x] → R que cumpla φu(x) = u. Tal morfismo está dado por:

φu(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = φ(a0) + φ(a1)u+ · · ·+ φ(an)un. (1.11)

Por lo tanto, si R es una F-álgebra y φ es un morfismo de álgebras, entonces debe serla inclusión de F en R mencionada en el ejemplo 1.1. Identificando a F con su imagenbajo φ en R, la propiedad universal de la F-álgebra F[x] toma la siguiente forma: dada unaF-álgebra R y u ∈ R, existe un único morfismo de F-álgebras F[x] → R tal que x 7→ u, conregla de correspondencia:

φu(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = a0 + a1u+ · · ·+ anu

n. (1.12)


El siguiente ejemplo es el prototipo de una F-álgebra. Todas las álgebras expuestashasta ahora han sido de dimensión finita, la siguiente familia de ejemplos muestra algunasde dimensión infinita.

Ejemplo 1.6Sea F un campo y V un espacio vectorial sobre F. Si A = L(V), el conjunto de las transforma-ciones lineales V → V junto con operaciones:

1. suma: (T +U)(v) = T(v) +U(v),

2. producto: (TU)(v) = T(U(v)),

3. producto por escalares: (λT)(v) = λ(T(v))

entonces A es una F-álgebra, llamada el álgebra de endomorfismos de V.

Por supuesto, V es de dimensión infinita si y sólo si L(V) es de dimensión infinita.Además, usando álgebra lineal podemos demostrar que si dimV = n, entonces L(V) esisomorfa como álgebra a Mn(F).

Ejemplo 1.7El ejemplo de F-álgebra más importante para nuestros propósitos en éste trabajo es el siguiente.Sea G un grupo y F un campo. Sea FG el espacio vectorial sobre F con base los elementos de G.El producto se define en básicos de FG siguiendo la misma regla que en G y después se extiendelinealmente a los otros elementos de G. Con éste producto, el espacio FG se convierte en unálgebra sobre F, llamada el álgebra de grupo.

El álgebra de grupo tiene una importante propiedad universal.

Propiedad universal del álgebra de grupo

Sean A una F-álgebra y f : G → U(A) un homomorfismo de grupos, donde U(A) esel grupo de unidades de A. Entonces existe un único homomorfismo f : FG → A queextiende a f.

✎ Ejercicios 1.2

1.2.1 ¿Verdadero o falso? Si S es un subespacio de una F-álgebra A, entonces S es un ideal izquierdoo derecho de A.

1.3. Módulos y representaciones de álgebras 9

1.2.2 ¿Verdadero o falso? Si S es un subanillo de una F-álgebra A, entonces S es un subespacio de A.(Compara con la proposición 1.3).

1.2.3 ¿Verdadero o falso? Si A y B son F-álgebras, y f es un morfismo de anillos con f(1A) = 1B,entonces f es un morfismo de álgebras.

1.2.4 Determina Z(Mn(F)).

1.2.5 Demuestra que los únicos ideales deMn(F) son 0 yMn(F). (Si un álgebra A es tal que sus únicosideales son 0 y A, decimos que A es un álgebra simple).

1.2.6 Demuestra que C es una R-álgebra simple.

1.2.7 Demuestra que ningunas dos de las tres siguientes R-álgebras de dimensión 2 son isomorfasentre sí: R⊕ R, C, R[x]/(x2). ¿Es RC2 isomorfa a alguna de éstas? (donde C2 es el grupo cíclicode orden 2).


1.3. Módulos y representaciones de álgebras

1.8 Definición. Sean F un campo, A una F-álgebra, y V un F-espacio vectorial. Una representación deA en V es un morfismo de álgebras Φ : A→ L(V).

La mayor parte del tiempo trabajaremos con representaciones en espacios vectorialesde dimensión finita.

Una representación de A en V da origen a una acción de A en V (es decir, una funciónA × V → V), definiendo av = Φ(a)(v). Notemos que ésta acción tiene las siguientespropiedades, que después usaremos para definir módulos.

Axiomas de módulos sobre álgebras

1. (a+ b)v = av+ bv para todos a,b ∈ A, v ∈ V,

2. a(v+w) = av+ aw para todos a ∈ A, v,w ∈ V,

3. a(bv) = (ab)v para todos a,b ∈ A, v ∈ V,

4. 1Av = v para todo v ∈ V,

5. a(λv) = λ(av) = (λa)v para todos λ ∈ F, a ∈ A, v ∈ V.


Mostraremos, por ejemplo, la propiedad 5. Sean c ∈ F, a ∈ A, v ∈ V. Entonces:

a(λv) = Φ(a)(λv) definición

= λΦ(a)(v) pues Φ(a) es lineal

= λ(av) definición

= Φ(λa)(v) pues Φ es lineal

= (λa)v definición

Tenemos entonces la siguiente:

1.9 Definición. Sea V un espacio vectorial (de dimensión finita) sobre F y A una F-álgebra. Decimosque V tiene una estructura de módulo sobre el álgebraA si existe una funciónA×V →V tal que si denotamos sus valor en (a, v) con av, se cumplen los axiomas enlistados.Decimos también que V es un A-módulo.

Recíprocamente, si V es un módulo sobre el álgebra A, entonces definiendo Φ : A →L(V) como Φ(a)(v) = av, se demuestra que Φ es una representación de A en V. Es decir,los conceptos de representaciones de álgebras y módulos sobre álgebras son equivalentesy por lo tanto, dependiendo del contexto podremos usar uno u otro enfoque. A la trans-formación lineal V → V dada por v → av la denotaremos por aV y a la imagen de Φ ladenotaremos con AV , la cual, por supuesto, es una subálgebra de L(V).

A continuación pondremos ejemplos de módulos para las álgebras ya descritas en laanterior sección.

Ejemplo 1.8Sea A = F visto como F-álgebra. Entonces cualquier F-espacio vectorial es un A-módulo.

Ejemplo 1.9Si A es cualquier F-álgebra, entonces tomando V = A, V es un módulo sobre A simplementeusando el producto de A para a ∈ A, v ∈ V. Es decir, A como espacio vectorial tiene unaestructura de A-módulo, llamado el A-módulo regular, al cual denotaremos con AA.

Utilizando el concepto de representaciones, el módulo regular da lugar a una repre-sentación Φ : A→ L(A). Tal morfismo de álgebras es siempre inyectivo, por lo que obten-emos la siguiente proposición, análoga al teorema de Cayley en teoría de grupos, la cualmuestra por qué hemos llamado a las álgebras L(V) el prototipo de todas las álgebras.

1.3. Módulos y representaciones de álgebras 11

1.10 Proposición. Si A es una F-álgebra, entonces A es isomorfa a una subálgebra de L(V), para ciertoespacio vectorial V.

1.11 Corolario. Si dimA = n, entonces A es isomorfo a una subálgebra de Mn(F).

Continuaremos ahora con los ejemplos.

Ejemplo 1.10Sea V un F-espacio vectorial yA una subálgebra de L(V) entonces V es unA-módulo definiendoav como la imagen de v aplicando a.

Ejemplo 1.11Sea V = Fn el F-espacio vectorial de vectores columna con n entradas en F y A = Mn(F). Seaa ∈ A una matriz y v ∈ V un vector columna, entonces av se define del modo usual, es decir, si

a =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

...an1 an2 . . . ann

v =

v1

v2

...vn

(1.13)

entonces

av =

a11v1 + a12v2 + · · ·+ a1nvn

a21v1 + a22v2 + · · ·+ a2nvn

...an1v1 + an2v2 + · · ·+ annvn

(1.14)

Con ésta definición, V es un A-módulo.

Ejemplo 1.12Sea V un F-espacio vectorial y A = F[x]. Sea T : V → V una transformación lineal fija, es decir,un elemento del álgebra L(V). Por la propiedad universal de F[x], existe un único morfismo deálgebras Φ : F[x] → L(V) tal que Φ(x) = T . Obtenemos por lo tanto una representación de F[x]en V, con acción f(x)v = Φ(f(x))(v) = f(T)v.

Ejemplo 1.13


Sean G un grupo y F un campo. Como en el caso de F[x], la propiedad universal de FG nosfacilita definir homomorfismos saliendo de FG, así que para definir un G-módulo definiremosuna representación de FG. Por ejemplo, sea X un G-conjunto y sea V el F-espacio vectorial conbase X, al que se denota con FX. Entonces cada elemento de G puede interpretarse como unapermutación de los elementos de una base de V = FX, y por lo tanto, induce una transformaciónlineal invertible FX → FX. Es decir, se obtiene un homomorfismo de grupos G → U(L(FX)), elcual da origen a un morfismo de álgebras FG→ L(FX), y por lo tanto, le da a FX una estructurade módulo sobre FG. Un módulo obtenido de ésta forma (es decir, a partir de un G-conjunto)se llama un módulo de permutaciones.

Ejemplo 1.14Sea F el campo finito de p elementos donde p es primo y sea G = Cp = 〈g〉 el grupo cíclico conp elementos. Sea V = F2. Fijando la base canónica de V, una transformación lineal V → V estádeterminada por un elemento de M2(F). Tenemos que la regla:

φ(gr) =

(1 0r 1

)(1.15)

está bien definida y determina un homomorfismo de grupos φ : Cp → U(L(V)), de donde seobtiene un morfismo de álgebras φ : FCp → L(V), y por lo tanto, V = F2 resulta un FCp-módulo.

Si V es un A-módulo, en ocasiones es conveniente usar la notación siguiente: si B ⊆ Ay W ⊆ V, entonces

BW = {bw | b ∈ B,w ∈W } ⊆ V. (1.16)

Si B = {b}, en lugar de escribir {b}W escribiremos simplemente bW (análogamente siW = {w}). Decimos que B anula a W si BW = 0.

1.12 Definición. El A-módulo V es cíclico si existe v ∈ V tal que V = Av. En éste caso, decimos que vgenera al A-módulo V.

Considerando ésta definición, nótese que, si v genera a V como espacio vectorial, en-tonces lo genera como A-módulo, pero el recíproco no necesariamente es cierto.

✎ Ejercicios 1.3

1.3.1 Demuestra la afirmación del ejemplo 1.11.

1.4. Submódulos y morfismos de módulos 13


1.3.3 Sea V un A-módulo. Demuestra que el conjunto:

anA V = {a ∈ A | av = 0 para todo v ∈ V } = {a ∈ A | aV = 0 } (1.17)

es un ideal de A, llamado el anulador de V. Demuestra además que A/anA V es un álgebraisomorfa a AV .

1.3.4 Sea I un ideal de A con I 6= A, de modo que A/I es un álgebra. Demuestra que existe unacorrespondencia biyectiva entre los A/I-módulos y los A-módulos anulados por I.

1.3.5 Encuentra tres subálgebras de M2(R) isomorfas a R⊕ R, C, R[x]/(x2), respectivamente.

1.3.6 Sean F un campo y X es un G-conjunto transitivo. Demuestra que FX es un FG-módulo cíclico,generado por cualquier x ∈ X.

1.4. Submódulos y morfismos de módulos

1.13 Definición. Sean V,W módulos sobre el F-álgebra A. Un morfismo de A-módulos (o A-morfismo)φ : V → W es una transformación lineal tal que φ(av) = aφ(v) para todos a ∈ A,v ∈ V.

1.14 Definición. Sea V un A-módulo. Un submódulo de V es un subespacio W de V que es invariantebajo la acción de A, es decir, av ∈ W para todos v ∈ W, a ∈ A, tal que W junto conla acción de A es en sí mismo un A-módulo. Escribiremos en éste caso W 6 V.

Daremos ahora algunos ejemplos de submódulos.

Ejemplo 1.15Si V es cualquier A-módulo, entonces {0} y V son submódulos de V. Cualquier otro submódulose llama un submódulo propio.

Ejemplo 1.16Si V es un módulo sobre A = F, es decir, un espacio vectorial, sus submódulos son precisamentesus subespacios.


Ejemplo 1.17Los submódulos de AA se pueden identificar con los ideales izquierdos de A.

Ejemplo 1.18El módulo V = Fn sobre el álgebraA = Mn(F) definido en el ejemplo 1.11 no tiene submódulospropios.

Ejemplo 1.19Si V es un módulo del álgebra F[x] como en el ejemplo 1.12, entonces los submódulos de V sonprecisamente sus subespacios invariantes bajo T , es decir, W 6 V si y sólo si T(W) ⊆W.

Ejemplo 1.20Si G es un grupo, sea V = FX un FG-módulo obtenido a partir del G-conjunto X, como en elejemplo 1.13. Si Y ⊆ X es un sub-G-conjunto de X, entonces FY es un submódulo de FX. Sin em-bargo, no todos los submódulos de FX son de ésa forma, por ejemploW =

{λ

∑x∈X x | λ ∈ F

}es también un FG-submódulo de FX.

Ejemplo 1.21Consideremos el módulo V = F2 del ejemplo 1.14, el cual es un módulo sobre A = FG donde Fes el campo de p elementos y G es el grupo cíclico de orden p donde p es un primo. Queremosdeterminar si V tiene algún submódulo propio. Como V tiene dimensión 2, un submódulopropio W deberá tener dimensión 1, es decir, sería generado por un elemento diferente decero w =

(xy

). Para que W fuera un A-módulo se necesitaría que para todo a ∈ A exista λa ∈ F

tal que aw = λaw. De hecho es suficiente verificarlo para las a ∈ G, de donde la condiciónqueda: para todo r = 0, 1, . . . ,p− 1 existe λr ∈ F tal que:

gr

(x

y

)=

(1 0r 1

) (x

y

)= λr

(x

y

), (1.18)

de donde se obtiene(

xrx+y

)=

(λrxλry

). Por lo tanto, obtenemos que λr = 1 para toda r y x = 0,

de donde el único A-submódulo propio de V es{ (0

y

)| y ∈ F

}.

Si W es submódulo de V, entonces en el espacio vectorial cociente V/W puede darseuna acción de A como a(v + W) = av + W, la cual está bien definida (pues W es A-invariante), y satisface los axiomas de módulo sobre A, por lo que obtenemos una estruc-tura de A-módulo en V/W llamada módulo cociente.

1.4. Submódulos y morfismos de módulos 15

Tenemos los teoremas de isomorfismo para A-módulos. . .

1.15 Teorema. Sea φ : V →W un morfismo de A-módulos. Entonces

1. kerφ = {a ∈ V | φ(a) = 0 } es un submódulo de V,

2. imφ = {φ(a) ∈W | a ∈ V } es un submódulo de W,

3. El módulo cociente V/kerφ es isomorfo a imφ por medio de v+ kerφ 7→ φ(v).

. . . así como el teorema de correspondencia:

1.16 Teorema. Sea φ : V → W un morfismo de A-módulos. Entonces existe una correspondenciabiyectiva entre los submódulos de imφ y los submódulos de V que contienen a kerφ.

En particular, si W es submódulo de V, considerando la proyección canónica V →V/W, se obtiene que existe una correspondencia biyectiva entre los submódulos de V/Wy los submódulos de V que contienen a W.

1.17 Proposición. Sea V es un A-módulo. Entonces la intersección de cualquier colección de submódulosde V es un submódulo de V.

1.18 Definición. Sean V un A-módulo y X ⊆ V. La intersección de todos los submódulos de V quecontienen a X se llama el submódulo generado por X, y se denota por 〈X〉. Si V = 〈X〉,decimos que X genera a V. Si X es finito y V = 〈X〉, decimos que V es finitamentegenerado.

Dados V y W que sean A-módulos, es posible formar un tercer A-módulo a partir dela suma directa V ⊕W, definiendo la acción como a(v,w) = (av,aw). Podemos inclusoextender por inducción esta definición a cualquier cantidad finita de A-módulos.

Por otro lado, si V es un A-módulo yW1,W2 son submódulos, la intersección de todoslos submódulos de A que contienen a W1 ∪W2 es un submódulo de V por la proposi-ción 1.17, que se llama la suma de W1 y W2 y se denota con W1 +W2. Ésta definición sepuede extender a una colección arbitraria {Wi}i∈I de submódulos de A, es decir,

∑i∈IWi

es la intersección de todos los submódulos de V que contienen a ∪i∈IWi. En el caso deque V =

∑i∈IWi, decimos que V está generado por los submódulos {Wi}.


En el caso de queW1,W2 son submódulos de V conW1∩W2 = 0, tenemos que la sumade W1 y W2 es isomorfa a W1 ⊕W2. Si además se tiene que V = W1 +W2, decimos queW2 es complemento directo de W1. Generalizando a una cantidad finita de submódulosde V, tenemos la siguiente proposición.

1.19 Proposición. Sean W1, W2,. . . ,Wt submódulos del A-módulo V. Si se tiene que Wj ∩ (W1 + · · · +Wj−1 +Wj+1 + · · · +Wt) = 0 para todo j = 1, . . . , t, entonces W1 +W2 + · · · +Wt

es isomorfo a la suma directa W1 ⊕W2 ⊕ · · · ⊕Wt.

En el caso de la hipótesis de la proposición anterior, diremos que la suma W1 +W2 +· · ·+Wt es directa.

La siguiente proposición nos será muy útil en el futuro.

1.20 Proposición. Supongamos que V es un A-módulo que tiene un A-submódulo W y un morfismo deA-módulos φ : V → V tal que φ(v) ∈ W para todo v ∈ V y φ(w) = w para todow ∈ W. Entonces V = W ⊕ kerφ. (En este caso, se dice que el morfismo φ es laproyección en el submódulo W.)

Demostración. Notemos que las hipótesis implican que φ2(v) = v para todo v ∈ V.Ahora, si v ∈ V, tenemos que v = φ(v) + (v−φ(v)), donde φ(v) ∈W y v−φ(v) ∈ kerφ,por lo que V = W + kerφ. Finalmente, si v ∈ W ∩ kerφ, tenemos que v = φ(v) = 0, dedonde W ∩ kerφ = 0, por lo que se demuestra que V = W ⊕ kerφ.

✎ Ejercicios 1.4

1.4.1 ¿Verdadero o falso? Si V es subálgebra de A entonces V es submódulo de AA.

1.4.2 ¿Verdadero o falso? Sea V un A-módulo, donde A es de dimensión finita. Entonces dimV es dedimensión finita si y sólo si V es finitamente generado (como A-módulo).



1.4.5 En el contexto del ejemplo 1.20, demuestra que si Gx es la órbita de x ∈ X, entonces T ={λ

∑y∈Gx y | λ ∈ F

}es un FG-submódulo de FX.

1.4.6 Demuestra que si V es un A-módulo y W 6 V, entonces el A-módulo cociente V/W satisfaceque la función V → V/W dada por v 7→ v+W es un morfismo de A-módulos.

1.4.7 Demuestra el teorema 1.15.

1.5. Módulos simples y semisimples 17

1.4.8 Demuestra que si V y W son A-módulos isomorfos, entonces anA V = anAW.

1.4.9 Demuestra el teorema 1.16


1.4.11 Demuestra que si W1, . . . ,Wn son submódulos de V, entonces

n∑i=1

Wi =

{n∑

i=1

xi ∈ V | xi ∈Wi

}. (1.19)

1.4.12 Si V es un A-módulo y v ∈ V, entonces anA v = {a ∈ A | av = 0 } es un submódulo de AA.

1.4.13 Si A es un álgebra y a ∈ A, la función ρa : AA → AA dada por ρa(x) = xa es un morfismo deA-módulos.

1.4.14 Determina los submódulos de AA, donde A = R[x]/(x2).

1.5. Módulos simples y semisimples

De aquí en adelante, aunque no se mencione explícitamente, todos los módulos y todaslas álgebras serán de dimensión finita.

1.21 Definición. Sea A una F-álgebra y V un A-módulo no trivial. Decimos que V es simple (o irre-ducible) si los únicos submódulos de V son 0 y V.

Por ejemplo, si V es un módulo de dimensión 1, entonces V es simple. El módulo delejemplo 1.18 también es simple.

1.22 Teorema. (Lema de Schur) Si V y W son A-módulos simples, y φ : V →W es un A-morfismo notrivial, entonces φ es un isomorfismo.

Demostración. Tenemos que kerφ es un submódulo de V. Como φ es no trivial, kerφno puede ser igual a V, pero como V es simple, tenemos que kerφ = 0, por lo queφ es inyectiva. Similarmente, imφ es un submódulo de W diferente de 0, por lo tanto,imφ = W y entonces φ es suprayectiva.

Observemos además que, si M es un A-módulo simple y φ es un morfismo de A-módulos con dominio M, entonces imφ es cero o isomorfo a M, pues imφ es un cocientede M por uno de sus submódulos.


1.23 Lema. Sea V unA-módulo con submódulos simplesW1,W2, . . . ,Wt tales que V = W1+W2+· · · +Wt. Si T es cualquier submódulo de V, existe un subconjunto I de {1, 2, . . . , t}tal que la suma de T y los Wi con i ∈ I es directa e igual a V.

Demostración. Escojamos un subconjunto I de {1, 2, . . . , t} que sea maximal con respectoa la condición de que la suma V ′ = T +

∑i∈IWi 6 V es directa. Como I = ∅ tiene tal

propiedad, tal subconjunto maximal existe. Mostraremos que V ′ = V. Si no fuera así,entonces existiría j ∈ I tal que Wj 66 V ′ (si Wj 6 V ′ para toda j, entonces V ′ = V, pues Vestá generado por las Wj). Entonces Wj ∩ V ′ es un submódulo de Wj diferente de Wj, ycomo Wj es simple, tenemos que Wj ∩ V ′ = 0. Por lo tanto, la suma Wj + V ′ es directa,pero ésto contradice la maximalidad de I. Por lo tanto, V ′ = V y la suma V = T+

∑i∈IWi

es directa.

1.24 Corolario. Si V es un A-módulo generado por submódulos simples, entonces1

1. para todo T 6 V existe un complemento directo T ′,

2. V es suma directa de módulos simples.

Demostración. Para el primer enunciado, aplicar la demostración del lema anterior ytomar T ′ =

∑i∈IWi. Para el segundo enunciado, aplicar el lema con T = 0.

1.25 Definición. Sea V un A-módulo.

1. Decimos que V es semisimple si V es suma directa de submódulos simples.

2. Decimos que V es completamente reducible si todo submódulo de V tiene uncomplemento directo.

Claramente, si V y W son A-módulos semisimples, entonces V ⊕ W es semisimple.También es claro que cualquier módulo simple es semisimple.

1.26 Lema. Si V es un A-módulo completamente reducible y W 6 V, entonces W es completa-mente reducible.


1.5. Módulos simples y semisimples 19

1.27 Teorema. Sea V un A-módulo. Los siguientes enunciados son equivalentes:

1. V es semisimple.

2. V =∑

j∈JWj, donde cada Wj es un submódulo simple de V.

3. V es completamente reducible.

Demostración. Si V es semisimple, entonces V es isomorfo a una suma directa de submó-dulos simples, en particular está generado por submódulos simples.

Si V está generado por submódulos simples, entonces es completamente reducible porel corolario 1.24.

Supongamos ahora que V es unA-módulo completamente reducible, queremos mostrarque es semisimple. Usaremos inducción sobre dimV. Si dimV = 0, entonces V es una sumadirecta vacía de módulos simples. Supongamos entonces dimV > 0 y que la implicaciónes válida para A-módulos completamente reducibles de dimensión menor a dimV. Si Ves simple, entonces es semisimple con un solo sumando directo. Si no es simple, tieneun submódulo propio W, y como V es completamente reducible, existe W′ 6 V tal queV = W ⊕W′. Pero W y W′ son módulos completamente reducibles por el lema 1.26, y dedimensión menor a dimV, por lo tanto son semisimples, de donde V es semisimple.

Ejemplo 1.22El módulo del ejemplo 1.21 no es semisimple, pues no es simple, tiene dimensión 2 y un únicosubmódulo propio. Es decir, no es generado por submódulos simples.

1.28 Corolario. Si V es un A-módulo semisimple, cualquier submódulo y cualquier cociente de V essemisimple.


1.29 Definición. Sea A una F-álgebra. Decimos que A es un álgebra semisimple si AA es semisimple.

1.30 Proposición. El álgebra A es semisimple si y sólo si cualquier A-módulo es semisimple.



Si V y W son A-módulos, denotaremos con homA(V,W) el conjunto de A-morfismosde V enW. Claramente puede darse una estructura de F-espacio vectorial a tal conjunto, ysi W = V, existe además un producto en homA(V,V) dado por la composición. Con talesoperaciones, homA(V,V) es una F-álgebra, y de hecho una subálgebra de L(V).

Para terminar ésta sección veremos unas consecuencias más del lema de Schur.

1.31 Corolario. Sea F un campo algebraicamente cerrado, y V un A-módulo simple. Entonces el álge-bra homA(V,V) es isomorfa a F.

Demostración. Mostraremos que cualquier elemento de homA(V,V) es un múltiplo es-calar de la identidad 1V : V → V. Sea φ ∈ homA(V,V). Como φ es en particular unatransformación lineal V → V sobre F que es algebraicamente cerrado, tiene un valor pro-pio λ y un vector propio v. Consideremos la transformación lineal φ − λ1V : V → V.Como (φ− λ1V)(v) = 0 con v 6= 0, tal transformación es un morfismo no invertible entreA-módulos simples, por lo que debe ser trivial, de donde φ− λ1V = 0, es decir, φ = λ1V .Claramente la función homA(V,V) → F dada por φ 7→ λ es un morfismo de álgebras.

En el caso de que F no sea algebraicamente cerrado pero V es un A-módulo simple, loque se obtiene es que cualquier elemento diferente de cero en homA(V,V) es invertible, esdecir, homA(V,V) es un álgebra con división.

✎ Ejercicios 1.5

1.5.1 ¿Verdadero o falso? Si A no es semisimple, entonces ningún A-módulo es semisimple.

1.5.2 ¿Verdadero o falso? Si A es un álgebra simple, entonces AA es un A-módulo simple.

1.5.3 ¿Verdadero o falso? Cualquier módulo simple es cíclico.

1.5.4 Demuestra la ley modular: Sea V un A-módulo tal que V = W1 ⊕W2. Sea T un submódulo deV tal que W1 6 T . Entonces T = W1 ⊕ (W2 ∩ T). Da un ejemplo que muestre que la hipótesisW1 6 T es necesaria.

1.5.5 Demuestra el lema 1.26.

1.5.6 Demuestra el corolario 1.28.

1.5.7 Sea V = ⊕ti=1AA. Muestra que V es unA-módulo libre en su subconjunto X = {e1 = (1A, 0, 0, . . . , 0), e2 =

(0, 1A, 0, . . . , 0), . . . , et = (0, 0, 0, . . . , 0, 1A)} en el sentido de que si W es cualquier A-móduloy w1,w2, . . . ,wt ∈ W son elementos no necesariamente distintos, existe un único A-morfismoφ : V →W tal que φ(ei) = wi para todo i = 1, 2, . . . , t.

1.6. El teorema de Weddeburn 21


1.5.9 Sea V un A-módulo. Demuestra que Z(AV ) = AV ∩ homA(V,V).

1.5.10 Sea I un ideal de A tal que I 6= A. Demuestra que la correspondencia entre los A/I-módulosy los A-módulos anulados por I del ejercicio 1.3.4 preserva submódulos simples y submódulossemisimples.

1.5.11 Demuestra que R[x]/(x2) no es una R-álgebra semisimple.

1.5.12 Demuestra la última afirmación de la sección, esto es, si V es un A-módulo simple donde A esuna F-álgebra y F no es necesariamente algebraicamente cerrado, entonces homA(V,V) es unálgebra con división. Basta mostrar que si φ ∈ homA(V,V), entonces la inversa de φ (comotransformación lineal), que existe por el lema de Schur, es también un A-morfismo.

1.6. El teorema de Weddeburn

1.32 Definición. Sea V un A-módulo semisimple y M un A-módulo simple. Denotaremos con M(V) alsubmódulo de V generado por todos los submódulos de V isomorfos a M.

Claramente, si N es un A-módulo isomorfo a M, entonces M(V) = N(V). Si V notiene submódulos isomorfos a M, definimos M(V) = 0.

1.33 Lema. Sea V un A-módulo semisimple, V = ⊕ti=1Wi donde los Wi son A-módulos simples.

Sea M un A-módulo simple. Entonces:

1. El submóduloM(V) 6 V es invariante bajo cualquier φ ∈ homA(V,V), es decir,φ(M(V)) 6 M(V).

2. M(V) está generado por aquellos Wi que son isomorfos a M.

3. La cantidad de módulos Wi que son isomorfos a M depende solamente de V yno de la descomposición en suma directa escogida.

Demostración. Sea φ ∈ homA(V,V). Basta mostrar que si M′ 6 V es isomorfo a M,entonces φ(M′) 6 M(V). Pero ésto se sigue del hecho de que φ(M′) es cero o isomorfo aM.

Por definición, el submódulo de V generado por los Wi que son isomorfos a M (de-notémoslo con 〈Wi | Wi

∼= M〉) está contenido en M(V), el objetivo es mostrar que es


exactamente M(V). Dado 1 6 j 6 t, sea pj la proyección de V en el sumando directo Wj,la cual es claramente un A-morfismo. Sea M′ 6 V isomorfo a M. Entonces pj(M

′) es Wj

o cero, de donde pj(M′) 6 〈Wi | Wi

∼= M〉 para toda j, de donde se obtiene:

M′ 6t∑

j=1

pj(M′) 6 〈Wi | Wi

∼= M〉, (1.20)

y por lo tanto M(V) 6 〈Wi | Wi∼= M〉, como queríamos demostrar.

Finalmente, si s es la cantidad de módulos Wi que son isomorfos a M, se tiene delpárrafo anterior que dimM(V) = sdimM, de donde s no depende de la descomposiciónescogida.

1.34 Lema. Sea A una F-álgebra. Entonces cualquier A-módulo simple es isomorfo a un módulocociente de AA. Si A es semisimple, cualquier A-módulo simple es isomorfo a unsubmódulo de AA.

Demostración. Si V es un A-módulo simple, tomemos 0 6= v ∈ V y definimos φ : AA→ V

como φ(x) = xv. Claramente φ es F-lineal y si a ∈ A, entonces φ(ax) = (ax)v = a(xv) =aφ(x), por lo que φ es un A-morfismo. Como 0 6= v ∈ imφ 6 V y V es irreducible,tenemos que imφ = V, de donde V es isomorfo al cociente AA/kerφ. Si AA es semisimple,existe T 6 AA con AA = T ⊕ kerφ, de donde V es isomorfo a T .

Dada una F-álgebra A, denotaremos con S(A) una clase de A-módulos simples tal quesi M es cualquier A-módulo simple, entonces M es isomorfo a exactamente un móduloen S(A). (Es decir, S(A) es un conjunto de representantes de las clases de isomorfismo deA-módulos simples). Por el lema 1.34, si A es semisimple, podemos construir el conjun-to S(A) mirando únicamente a submódulos de AA. Tenemos el siguiente corolario de ellema 1.33.

1.35 Corolario. Si V es un A-módulo semisimple, entonces

V = ⊕M∈S(A)M(V). (1.21)

Demostración. Escribamos V = W1 ⊕ · · · ⊕Wt, donde los Wi son simples. Para cadaM ∈ S(A), los Wi que son isomorfos a M generan exactamente a M(V).


En particular, obtenemos que si M,N son A-módulos simples no isomorfos, entoncesM(V)∩N(V) = 0. También se deduce que siA es semisimple, entonces S(A) es un conjuntofinito2, pues considerando V = AA, tenemos que M(AA) 6= 0 para cada M ∈ S(A) (por ellema 1.34). Del corolario 1.35 se obtiene que AA = ⊕M∈S(A)M(AA), y entonces S(A) esfinito pues AA es de dimensión finita.

1.36 Teorema. Sea A un álgebra semisimple y sea M un A-módulo simple. Entonces:

1. M(AA) es un ideal minimal de A.

2. Si W es un A-módulo simple, entonces M(AA) anula a W a menos que W seaisomorfo a M (es decir, M 6∼= W implica M(AA) 6 anAW).

3. La restricción de la función A → L(M), x 7→ xM a M(AA) 6 A es inyectiva ysobre AM.

Demostración. Demostraremos primero que M(AA) es un ideal. Puesto que M(AA) 6AA, tenemos que es un ideal izquierdo. Por otro lado, para todo a ∈ A, la funciónρa : AA → AA dada por ρa(x) = xa es un morfismo de A-módulos. Puesto que M(AA)es invariante bajo A-morfismos, tenemos que ρa(M(AA)) 6 M(AA), esto es M(AA)a 6M(AA), y por lo tanto, también M(AA) es ideal derecho. La minimalidad será mostradaen el último párrafo.

Sea W un A-módulo simple que no es isomorfo a M. Entonces M(AA) ∩W(AA) = 0,por lo que M(AA)W(AA) ⊆M(AA)∩W(AA) = 0, ya que W(AA) y M(AA) son ideales.Por el lema 1.34, W es isomorfo a cierto W0 6 AA, de donde W0 6 W(AA), y por lotanto M(AA) anula a W0. Como W es isomorfo a W0, tenemos que W y W0 tienen elmismo anulador, por lo que M(AA) anula a W como queríamos demostrar.

Por el párrafo anterior, se tiene que aW : W → W es la transformación lineal cero sia ∈ M(AA) y M 6∼= W. Por lo tanto, de la descomposición AA = ⊕M∈S(A)M(AA) seobtiene que, dado x ∈ A, si a ∈ M(AA) es la componente de x bajo tal descomposición,entonces xM = aM. De aquí se deduce entonces que la función a 7→ aM es sobre deM(AA) en AM. Ahora, si a ∈ M(AA) y aM = 0, entonces a anula a M y a todos losdemás A-módulos simples, por lo tanto anula a todos los A-módulos semisimples. Enparticular, anula a AA, por lo que a = a1A ∈ a(AA) = 0.

Finalmente, supongamos I < M(AA) un ideal de A. Puesto que M(AA) está generadopor los submódulos de AA isomorfos a M, debe existir M′ 6 AA isomorfo a M tal queM′ 6⊆ I. Como I ∩M′ es entonces un submódulo de AA contenido propiamente en M′ yM′ es simple, tenemos que I∩M′ = 0. Pero entonces IM′ ⊆ I (pues I es ideal) e IM ⊆M′,pues M′ es submódulo. Por lo tanto, IM′ ⊆ I ∩M′ = 0, es decir, I anula a M′ y en

2FiXme: conviene buscar una demostración de este hecho para el caso de que A no sea semisimple aunque side dimensión finita, sin usar Jordan-H.older


consecuencia, también a M. Por lo que, para x ∈ I, se tiene que xM = 0. Pero x 7→ xM

era inyectivo para x ∈ M(AA) y por lo tanto, x = 0, de donde I = 0, como queríamosdemostrar.

1.37 Corolario. Si A es semisimple y M ∈ S(A), entonces M(AA) es un álgebra, donde 1M(AA) esla componente de 1A en M(AA) con respecto a la descomposición en suma directaAA = ⊕M∈S(A)M(AA).

Demostración. Tenemos ya queM(AA) es cerrado bajo sumas, productos y productos porescalares, por ser un ideal de A. Para que sea álgebra basta mostrar que existe un neutromultiplicativo 1M(AA) ∈ M(AA). Supongamos S(A) = {M1,M2, . . . ,Mr} con M = M1,y sea 1A = e1 + e2 + · · · + er la expresión de 1A con respecto a la descomposición AA =⊕r

i=1Mi(AA), (es decir, ei ∈Mi(AA)). Mostraremos que e1 = 1M(AA). Sea m ∈M(AA).Entoncesm = 1Am = e1m+e2m+· · ·+erm. Por el teorema 1.36.2, tenemos que eim = 0si i > 2, de donde m = e1m. Similarmente se demuestra que m = me1.

Usando ahora el teorema 1.36.3 obtenemos que x 7→ xM es un isomorfismo de álgebrasM(AA) → AM.

1.38 Corolario. Si A es semisimple y M ∈ S(A), entonces M(AA) es un álgebra simple.

Demostración. Sea I < M(AA) un ideal. Tomemos x ∈ I y a ∈ A. Sea S(A) = {M1,M2, . . . ,Mr},supongamos M = M1 y sea a = a1 +a2 + · · ·+ar la expresión de a donde ai ∈Mi(AA).Nuevamente por el teorema 1.36.3, se obtiene que aix = 0 si i > 2, de donde ax = a1x ∈I, es decir, I es un ideal izquierdo de A. Similarmente se puede mostrar que I es un idealderecho de A, y como M(AA) es un ideal minimal de A por el teorema 1.36.1, se obtieneque I = 0.

1.39 Corolario. (Weddeburn) Si A es un álgebra semisimple, entonces es suma directa de álgebrassimples.

1.40 Lema. Sea A un álgebra semisimple y M un A-módulo simple. Sea D = homA(M,M).Entonces M es de modo natural un D-módulo (ver ejemplo 1.10) y homD(M,M) =AM.

Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que M 6 AA. Sea I =M(AA), de modo que M 6 I.


Si φ ∈ D ym ∈M, la acción φm es simplemente φ evaluado enm. Ahora, si ψ : M→M está en AM, entonces existe a ∈ A tal que ψ es multiplicación por a, es decir, ψ(m) =am. Entonces ψ(φm) = aφ(m) = φ(am) = φψ(m), por lo que ψ es un D-morfismo,esto es ψ ∈ homD(M,M). Mostraremos ahora la inclusión inversa.

Sea ψ ∈ homD(M,M). Si x ∈ A y m ∈ M, entonces xm ∈ M, pues M es idealizquierdo en A, por lo que la función αm : M → M dada por αm(x) = xm está biendefinida. Para a ∈ A y x ∈M tenemos que αm(ax) = (ax)m = a(xm) = aαm(x), por loque αm ∈ homA(M,M) = D. Es decir, si m,n ∈M tenemos que

ψ(nm) = ψ(αm(n)) = αm(ψ(n)) = ψ(n)m. (1.22)

Ahora, fijemos n 6= 0 en M. Tenemos que el conjunto de elementos de la forma∑ainbi, donde ai,bi ∈ A es un ideal no cero de A (pues n 6= 0), contenido en I (pues

n ∈ I, el cual es un ideal bilateral), por lo tanto, es igual a I. En particular, si e es elelemento unitario en el álgebra I, existen elementos ai,bi ∈ A tales que e =

∑ainbi, de

donde, si m ∈M, se tiene:

m = em = (∑

ainbi)m =∑

(ain)(bim) (1.23)

Dado que ain,bim ∈M para toda i, la ecuación (1.22) nos da, paraψ ∈ homD(M,M),que:

ψ(m) =∑

ψ((ain)(bim)) =∑

(ψ(ain))(bim) = (∑

ψ(ain)bi)m (1.24)

por lo que, si ponemos u =∑ψ(ain)bi ∈ A, tenemos que ψ(m) = uM(m), es decir

ψ = uM ∈ AM, como queríamos demostrar.

1.41 Teorema. Sea A una F-álgebra semisimple donde F es algebraicamente cerrado. Sea M un A-módulo simple y sea nM(A) la cantidad de submódulos isomorfos a M en una de-scomposición de AA en A-módulos simples. Entonces:

1. AM = L(M),

2. dimAM = dimM(AA) = (dimM)2,

3. nM(A) = dimM,

4. dimA =∑

M∈S(A)(dimM)2,

5. |S(A)| = dimZ(A).

Demostración. El corolario 1.31 implica que D = homA(M,M) es isomorfa como F-álgebra a F, por lo que el lema 1.40 nos dice que AM = homF(M,M) = L(M).


Sea d = dimM. Por álgebra lineal sabemos que dim L(M) = d2 = dimAM, y yasabíamos por la observación posterior al corolario 1.38, que M(AA) es isomorfa a AM

como álgebras, por lo que tienen la misma dimensión.

Sabemos que M(AA) es una suma directa de nM(A) copias de M, por lo que d2 =dimM(AA) = nM(A) dimM = dnM(A), de donde nM(A) = d.

La siguiente afirmación es inmediata de tomar dimensiones en la descomposición AA =⊕M∈S(A)M(AA).

Finalmente, notemos que de la descomposición de A en álgebras simples

A = ⊕M∈S(A)M(AA) = ⊕M∈S(A)AM, (1.25)

se obtiene que Z(A) es isomorfo a ⊕M∈S(A)Z(AM). Ahora,

Z(AM) = AM ∩ homA(M,M) = AM ∩ F = F, (1.26)

por lo que dimZ(AM) = 1, de donde dimZ(A) = |S(A)|.

✎ Ejercicios 1.6

1.6.1 Demuestra la primer desigualdad en (1.20).

1.7. El radical de un álgebra

1.42 Definición. Sea A una F-álgebra (no necesariamente semisimple, pero de dimensión finita). Defin-imos el radical de A, radA, como:

radA = ∩M∈S(A) anAM. (1.27)

Tenemos que radA es un ideal de A pues es una intersección de ideales de A.

1.7. El radical de un álgebra 27

1.43 Definición. Sean A un álgebra, V un A-módulo y W 6 V. Decimos que W es un submódulomaximal de V si para todo submódulo V ′ de V tal que W 6 V ′ 6 V se tiene queV ′ = W ó V ′ = V.

Por ejemplo, si V es un A-módulo simple, entonces 0 es un submódulo maximal de V.Mas aún, como consecuencia del teorema de correspondencia se obtiene que el submóduloW de V es maximal si y sólo si W/V es simple.

1.44 Definición. Sea V un A-módulo. Una serie de composición es una sucesión de A-submódulos deV:

0 = V0 6 V1 6 · · · 6< Vn−1 6 Vn = V, (1.28)

tal que Vi/Vi−1 es simple para i = 1, . . . ,n.

No es difícil demostrar que todo A-módulo (de dimensión finita) tiene una serie decomposición.

En la siguiente definición, usaremos la notación introducida en (1.8).

1.45 Definición. Sea N un ideal de A. Decimos que N es un ideal nilpotente de A si existe un númeronatural n tal que In = 0.

Es decir, I es nilpotente si existe n tal que x1x2 · · · xn = 0 para todos x1, x2, . . . , xn ∈ N.

Notemos que, si I y J son ideales nilpotentes de A, entonces I + J también es un idealnilpotente. Primero, I+ J es un ideal pues ideales corresponden a submódulos (izquierdosy derechos). Supongamos que Im = 0 y que Jn = 0. Ahora, si tenemos elementos xi ∈ I,yi ∈ J, para i = 1, . . . ,m+ n, entonces el elemento:

(x1 + y1) · · · (xm+n + ym+n) (1.29)

es una suma de 2m+n términos, cada uno con al menos m factores en I, o bien al menosn factores en J. Pero tanto I como J son ideales, por lo que en cada sumando de (1.29)hay al menos m factores consecutivos de I o al menos n actores consecutivos de J. Por lotanto, cada expresión de la forma (1.29) es cero, de donde (I + J)m+n = 0, es decir, I + Jes nilpotente. De aquí se deduce que cada álgebra tiene un ideal nilpotente máximo.


1.46 Definición. Sea V un espacio vectorial sobre F. Una función f : V × V → F es una forma bilinealsi cumple que f(λv+ v′,w) = λf(v,w) + f(v′,w) y f(v, λw+w′) = λf(v,w) + f(v,w′)para todos λ ∈ F, v, v′,w,w′ ∈ V. Si la forma bilineal f es fija, denotaremos a f(v,w)simplemente como (v,w). La forma bilineal es simétrica si (v,w) = (w, v) para todosv,w ∈ V. El radical de una forma bilineal simétrica es el subespacio:

R = {w ∈W | (v,w) = 0 para todo v ∈ V } . (1.30)

Dada un álgebra A y elementos a,b ∈ A, definimos (a,b)A ∈ F como:

(a,b)A = tr(aA ◦ bA : A→ A) (1.31)

donde tr denota la traza de una transformación lineal. Las propiedades de la traza implicanque la forma bilineal dada por (1.31) es simétrica.

Con éstas definiciones, podemos enunciar el teorema:

1.47 Teorema. Si A es un álgebra, el radical de A es igual a cada uno de los tres siguientes:

1. El ideal nilpotente máximo de A.

2. El submódulo más pequeño de AA con cociente semisimple.

3. La intersección de los submódulos maximales de AA.

4. El radical de la forma bilineal (1.31).

Demostración. Llamemos N al ideal nilpotente mas grande en A. Sea M un A-módulosimple. Sea I cualquier ideal nilpotente. Puesto que IM es un submódulo de M, entoncesIM = 0 o bien IM = M. Pero si IM = M, entonces IrM = M para toda r, lo quecontradice que I es nilpotente. Por lo tanto, IM = 0, es decir, I 6 anAM, de donde sededuce que N 6 radA. Para la inclusión contraria, consideremos

0 = A0 < A1 6 · · · 6 An−1 < An = AA (1.32)

una serie de composición del módulo regular AA. Como radA anula a todos los A-módulos simples, tenemos (radA)(Ai/Ai−1) = 0 para i = 1, . . . ,n, es decir (radA)Ai 6Ai−1 para i = 1, . . . ,n, de donde se llega a que (radA)nA 6 0, es decir (radA)n = 0, porlo que radA es nilpotente y entonces radA = N.

1.7. El radical de un álgebra 29

1.48 Corolario. Si A es un álgebra, entonces:

1. A/radA es un álgebra semisimple.

2. A es semisimple si y sólo si radA = 0.

1.49 Corolario. Sea A una F-álgebra simple donde F es algebraicamente cerrado. Entonces A es iso-morfa a Mn(F), para alguna n.

Demostración. 3.

✎ Ejercicios 1.7

1.7.1 SeanA un álgebra, V unA-módulo yW un submódulo deA. Demuestra queW es un submódulomaximal si y sólo si W/V es un A-módulo simple.

1.7.2 Demuestra que todo A-módulo (de dimensión finita) tiene una serie de composición.

3FiXme: Poner demostración

2

Álgebras de grupo y sus módulos

2.1. El producto tensorial

Antes de especializarnos en representaciones de álgebras de grupo, necesitamos unaimportante definición de álgebra lineal.

2.1 Definición. Sean V, W y Z espacios vectoriales sobre F. Una función f : V ×W → Z es bilineal sicumple que f(λv + v′,w) = λf(v,w) + f(v′,w) y f(v, λw + w′) = λf(v,w) + f(v,w′)para todos λ ∈ F, v, v′ ∈ V, w,w′ ∈W.

Es decir, una función f : V×W → Z es bilineal si y sólo si f(· ,w) : V → Z y f(v, ·) : W →Z son lineales para todos v ∈ V, w ∈W.

2.2 Definición. Sean V y W espacios vectoriales sobre F. Un producto tensorial de V y W es un F-espacio vectorial T junto con una función bilineal t : V ×W → T , tal que, si t′ : V ×W → T ′ es cualquier función bilineal, existe una única transformación lineal l : T → T ′

tal que l ◦ t = t′.

2.3 Proposición. Si V yW son espacios vectoriales sobre F, existe su producto tensorial y es único salvoisomorfismo.

31

32 Capítulo 2. Álgebras de grupo y sus módulos

Demostración. Sea F[V×W] el F-espacio vectorial con base todos los elementos de V×W.Sea S el subespacio de F[V ×W] generado por:

{ (v+ v′,w) − (v,w) − (v′,w) | v, v′ ∈ V,w ∈W }

∪ { (v,w+w′) − (v,w) − (v,w′) | v ∈ V,w,w′ ∈W }

∪ { (λv,w) − λ(v,w) | λ ∈ F, v ∈ V,w ∈W }

∪ { (v, λw) − λ(v,w) | λ ∈ F, v ∈ V,w ∈W } (2.1)

Tomemos T como el cociente F[V × W]/S y sea t : V × W → T la composición de lainclusión de V ×W en F[V ×W] con la proyección canónica en el cociente. Entonces t esbilineal, pues si λ ∈ F, v, v′ ∈ V, w ∈W, tenemos que t(λv+ v′,w) = (λv+ v′,w) + S y

λt(v,w) + t(v′,w) = λ((v,w) + S) + (v′,w) + S (2.2)

= (λ(v,w) + S) + (v′,w) + S (2.3)

= ((λv,w) + S) + (v′,w) + S (2.4)

= (λv,w) + (v′,w) + S (2.5)

= (λv+ v′,w) + S. (2.6)

y similarmente se obtiene que t(v, λw+w′) = λt(v,w) + t(v,w′)

Ahora, sea t′ : V ×W → T ′ bilineal. Entonces t′ puede extenderse de manera única auna transformación lineal t′ : F[V ×W] → T ′. Como t′ es bilineal, tenemos que t′(S) = 0(puesto que todos los generadores de S dados en (2.1) son enviados a cero por t′), por loque existe l : F[V ×W]/S = T → T ′ completando el siguiente diagrama:

V ×W t′ //

��

T ′

F[V ×W]

t′

88qqqqqqqqqqq

��T = F[V ×W]/S

l

AA��

(2.7)

Puesto que t es precisamente la composición de las funciones verticales, tenemos que t′ =l◦t, como queríamos. Además l es única con la propiedad de que t′ = l◦t, ya que la imagende t contiene a los generadores de T (es decir, si existiera l : T → T ′ que t′ = l ◦ t = l ◦ t,entonces l y l coincidirían en un conjunto de generadores de T y por lo tanto, l = l).

Finalmente, si T ′ junto con la función bilineal t′ : V×W → T ′ es otro producto tensorialde V y W, entonces existen únicas transformaciones lineales l : T → T ′ y l′ : T ′ → T talesque t′ = l ◦ t y t = l′ ◦ t′, de donde se tiene que t′ = (l ◦ l′) ◦ t′. Por otro lado, por ser t′

un producto tensorial, la función lineal s : T ′ → T ′ tal que t′ = s ◦ t′ es única, y claramentela identidad 1T ′ : T ′ → T ′ lo satisface, por lo que 1T ′ = l ◦ l′. Similarmente se prueba que1T = l′ ◦ l, por lo que T y T ′ son espacios vectoriales isomorfos.

2.1. El producto tensorial 33

Denotaremos al único (salvo isomorfismo) producto tensorial de V y W como V ⊗W.Si t : V ×W → V ⊗W es la función bilineal de la definición, denotamos a t(v,w) comov⊗w. Puesto que t es bilineal, tenemos las siguientes igualdades:

(v+ v′)⊗w = v⊗w+ v′ ⊗w, (2.8)

v⊗ (w+w′) = v⊗w+ v⊗w′, (2.9)

λ(v⊗w) = λv⊗w = v⊗ λw, (2.10)

para todos λ ∈ F, v, v′ ∈ V, w,w′ ∈W.

2.4 Proposición. Sean V y W espacios vectoriales. Si {v1, v2, . . . , vm} es base de V y {w1,w2, . . . ,wn} esbase de W, entonces { vi ⊗wj | i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,n } genera a V ⊗W.

Demostración. El conjunto { v⊗w | v ∈ V,w ∈W } genera a V ⊗W. Mostraremos queel conjunto { vi ⊗wj | i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,n } genera a los generadores. Sean v ∈ V yw ∈W. Entonces existen λi ∈ F, i = 1, . . . ,m y µj ∈ F, j = 1, . . . ,n tales que v =

∑λivi,

w =∑µjwj, de donde se obtiene:

v⊗w = (∑

i

λivi)⊗ (∑

j

µjwj) (2.11)

=∑i,j

λiµj vi ⊗wj, (2.12)

por lo que se deduce el resultado pedido.

De lo anterior, se deduce que si V yW son de dimensión finita, entonces V⊗W tambiénlo es y dimV ⊗W 6 (dimV)(dimW).

2.5 Proposición. Sea {w1,w2, . . . ,wn} una base de W y τ ∈ V ⊗W. Entonces existen vectores uj ∈V, j = 1, . . . ,n tales que τ =

∑nj=1 uj ⊗wj.

Demostración. El vector τ ∈ V ⊗W se puede escribir en la forma∑t

k=1 xk ⊗ yk paraciertos xk ∈ V, yk ∈W. Sean µj,k ∈ F tales que yk =

∑nj=1 µj,kwj. Entonces,

t∑k=1

xk ⊗ yk =

t∑k=1

xk ⊗ (

n∑j=1

µj,kwj) (2.13)

=

t∑k=1

n∑j=1

µj,k xk ⊗wj (2.14)

=

n∑j=1

(

t∑k=1

µj,kxk)⊗wj, (2.15)


por lo que, definiendo uj =∑t

k=1 µj,kxk, el vector τ es igual a∑n

j=1 uj ⊗ wj, comoqueríamos demostrar.

2.6 Proposición. Si V y W son de dimensión finita, el espacio vectorial V∗ ⊗W es isomorfo al espaciovectorial L(V,W) de transformaciones lineales de V en W.

Demostración. Es inmediato mostrar que la función B : V∗ ×W → L(V,W) dada porB(f,w)(v) = f(v)w es bilineal, por lo que B induce una transformación lineal

l : V∗ ⊗W → L(V,W) (2.16)

definida por l(f⊗w)(v) = f(v)w.

Mostraremos que l es inyectiva. Sea {w1,w2, . . . ,wn} una base de W y∑n

i=1 fi ⊗ wi

un elemento de V∗ ⊗W que es enviado por l a cero, donde fi ∈ V∗. Entonces se tiene que∑ni=1 l(fi ⊗wi)(v) = 0 para todo v ∈ V, lo cual implica que

∑ni=1 fi(v)wi = 0 para todo

v ∈ V. Por independencia lineal de {wi}, tenemos que fi(v) = 0 para todo i y para todo v,de donde fi = 0 para todo i, de donde el elemento escogido

∑ni=1 fi ⊗ wi es cero, y por

lo tanto l es inyectiva.

Mostraremos ahora que l es suprayectiva. Sea {v1, v2, . . . , vm} una base de V y sea{v∗1, v∗2, . . . , v∗m} su base dual. Sea T ∈ L(V,W). Veremos que l(

∑mi=1 v

∗i ⊗ T(vi)) = T . Si

v =∑

j λjvj es un vector en V, entonces:

l(∑

i

v∗i ⊗ T(vi))(∑

j

λjvj) =∑i,j

l(v∗i ⊗ T(vi))(λjvj), (2.17)

=∑i,j

λjv∗i (vj)T(vi), (2.18)

=∑

i

λiT(vi) = T(∑

i

λivi) = T(v), (2.19)

con lo cual termina la demostración.

En los ejercicios veremos que esta última proposición implica que dim(V ⊗ W) =(dimV)(dimW).

✎ Ejercicios 2.1

2.1.1 Demuestra que si T : V → W, T ′ : V ′ → W′ son transformaciones lineales, existe una transfor-mación lineal T ⊗ T ′ : V ⊗ V ′ →W ⊗W′ dada por

(T ⊗ T ′)(v⊗ v′) = T(v)⊗ T ′(v′). (2.20)

2.2. Módulos sobre álgebras de grupo 35

2.1.2 Demuestra que si T : V → W, T ′ : V ′ → W′, S : W → Z, S′ : W′ → Z′ son transformacioneslineales, entonces

(S⊗ S′) ◦ (T ⊗ T ′) = (S ◦ T)⊗ (S′ ◦ T ′). (2.21)

2.1.3 Si 1V : V → V es la transformación lineal identidad en el F-espacio V, demuestra que

1V ⊗ 1W = 1V⊗W . (2.22)

2.1.4 Demuestra que si V ∼= V ′ y W ∼= W′ como F-espacios vectoriales, entonces V ⊗W ∼= V ′ ⊗W′.

2.1.5 Si V y W son espacios de dimensión finita, demuestra que

dim(V ⊗W) = (dimV)(dimW), (2.23)

y que, si B1 = {v1, v2, . . . , vm} es base de V y B2 = {w1,w2, . . . ,wn} es base de W, entonces

{ vi ⊗wj | i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,n } (2.24)

es base de V ⊗W. (Denotaremos esta base como B1 ⊗B2).

2.1.6 Dadas bases B1, B′1, B2, B′

2 de V, V ′, W, W′ respectivamente, y transformaciones linealesT : V → W, T ′ : V ′ → W′, encuentra una expresión para la matriz de T ⊗ T ′ con respecto a

las bases B1 ⊗B2, B′1 ⊗B′

2 en términos de las matrices [T ]B2B1

, [T ]B′

2B′

1.

2.1.7 Demuestra que si V es cualquier F-espacio vectorial

V ⊗ F ∼= V. (2.25)

2.1.8 Demuestra que para todos F-espacios vectoriales V, W

V ⊗W ∼= W ⊗ V. (2.26)

2.2. Módulos sobre álgebras de grupo

De aquí en adelante, todas las álgebras que consideraremos serán del tipo A = FG,donde F es un campo y G es un grupo. En este caso especial podemos enunciar aún másejemplos que los ya expuestos en la sección 1.3.

Recordemos que el espacio vectorial V tiene estructura de FG-módulo si damos unmorfismo de álgebras FG→ L(V). La propiedad universal del álgebra de grupo FG implicaentonces que es suficiente con dar un homomorfismo de grupos G → U(L(V)). El grupoU(L(V)) consta de las transformaciones lineales invertibles V → V bajo composición, y atal grupo se le denota frecuentemente con GL(V), como haremos nosotros.

Resumiendo, dado un morfismo de grupos f : G→ U(L(V)), tenemos que gv = f(g)(v)define una estructura de FG-módulo en V.


2.7 Teorema. Sea V un espacio vectorial y f1, f2 : G → GL(V) morfismos de grupo. Las estructurasdeG-módulo en V dadas por f1, f2 son isomorfas si y sólo si existe una transformaciónlineal invertible T : V → V tal que T ◦ f1(g) = f2(g) ◦ T para todo g ∈ G.

Demostración. Denotamos con Vi la estructura deG-módulo en V dada por fi. Si existierala transformación lineal T indicada, entonces T es una transformación lineal T : V1 → V2.Para g ∈ G y v ∈ V, tenemos que T(gv) = T

(f1(g)(v)

)= f2(g)

(T(v)

)= gT(v), de

modo que T es un isomorfismo de FG-módulos. Recíprocamente, si existe un isomorfismoT : V1 → V2, entonces T satisface la condición requerida.

Ejemplo 2.1Sea V un F-espacio vectorial. Entonces la función constante G → GL(V) con valor 1V es unhomomorfismo de grupos, por lo que define una estructura de FG-módulo en V, tal que gv = v

para todos g ∈ G, v ∈ V. En el caso particular de que V = F es el espacio vectorial dedimensión 1 sobre F, decimos que F con ésta estructura es el FG-módulo trivial.

No debe suponerse que, en el caso del anterior ejemplo, todos los elementos de FGactúan trivialmente en V. Por ejemplo, si g1,g2 ∈ G, v ∈ V, entonces (g1 + g2)v = v+ v =2v 6= v.

Dado que F tiene dimensión 1, el FG-módulo trivial es necesariamente simple. Veamosahora una caracterización de los FG-módulos de dimensión 1.

2.8 Proposición. Los FG-módulos de dimensión 1 pueden identificarse con los homomorfismos degrupo G → F×, donde F× es el grupo multiplicativo de elementos de F diferentesde cero.

Demostración. Primero veamos que los grupos GL(F) y F× son isomorfos por medio deφ 7→ φ(1), ya que una transformación lineal F → F está determinada por su valor en 1, yφ(1) 6= 0 si y sólo si φ es invertible. Según el teorema 2.7, dos homomorfismos f1, f2 : G→F× dan lugar a módulos isomorfos si y sólo si existe a ∈ F× tal que af1(g) = f2(g)a paratodo g ∈ G. Pero ésto ocurre si y sólo si f1 = f2.

Veremos ahora varias maneras de construir nuevos FG-módulos a partir de otros. Enla sección 1.4 ya aprendimos una: por medio de la suma directa. Si g ∈ G y V es un FG-módulo, a la transformación lineal V → V dada por v 7→ gv, la denotaremos simplementecon g, y en caso de ambigüedad, utilizaremos la notación acostumbrada gV .


Ejemplo 2.2Sean V yW dos FG-módulos. Fijemos g ∈ G. Las transformaciones lineales g : V → V y g : W →W inducen una transformación lineal g⊗g : V⊗W → V⊗W dada por (g⊗g)(v⊗w) = gv⊗gwpara v ∈ V, w ∈ W. Denotaremos a g⊗ g con g. Tal transformación es invertible, con inversadada por g−1(v⊗w) = g−1v⊗ g−1w. Además, la función G → GL(V ⊗W) así definida es unhomomorfismo, de donde V ⊗W recibe una estructura de FG-módulo con acción:

g(v⊗w) = gv⊗ gw. (2.27)

Ejemplo 2.3Sean V y W dos FG-módulos. Fijemos g ∈ G, y sea T ∈ L(V,W). Entonces la composición

Vg−1

−−→ VT−→W

g−→W, (2.28)

que denotaremos con gT , es lineal. La función L(V,W) → L(V,W) dada por T 7→ gT es linealtambién, y tiene inversa dada por T 7→ g−1

T . Mas aún, la correspondencia g 7→ (T 7→ gT) esun homomorfismo de grupos G→ GL(L(V,W)), por lo que L(V,W) recibe una estructura deFG-módulo con acción:

gT = gT = g ◦ T ◦ g−1, (2.29)

para g ∈ G, T ∈ L(V,W).

Como un caso particular del ejemplo anterior, si V es un FG-módulo y F es el FG-módulo trivial, entonces el módulo L(V, F) se llama el dual de V y se denota con V∗. Siφ ∈ V∗ y g ∈ G, entonces (gφ)(v) = (g ◦ φ ◦ g−1)(v) = g(φ(g−1(v))) = φ(g−1v).

Ejemplo 2.4Sea V un FG-módulo. Sea H un grupo y f : H→ G un homomorfismo de grupos. Tenemos unacomposición:

Hf−→ G→ GL(V), (2.30)

que induce una estructura de FH-módulo en V. La acción de H en V está determinada por:

hv = f(h)v, (2.31)

para h ∈ H, v ∈ V, donde en el lado derecho de la ecuación hemos utilizado la acción yadefinida de G en V. Es decir, el mismo espacio vectorial V se puede ver como G-módulo o comoH-módulo.Claramente, si W es un FG-submódulo de V, entonces también es un FH-submódulo, pero alrevés no siempre es cierto.

Existen tres casos particulares importantes del ejemplo anterior.


2.9 Definición. Sea H un subgrupo de G y f : H → G el morfismo de inclusión. Sea V un FG-módulo.El H-módulo obtenido por el procedimiento del ejemplo 2.4 se denota con V ↓G

H y sele llama restricción de V de G a H.

Notemos que, si V es un FG-módulo simple no se deduce que necesariamente V ↓GH sea

un FH-módulo simple.

2.10 Definición. Sea K un subgrupo normal de G, y f : G → G/K la proyección canónica. Sea V unF[G/K]-módulo. ElG-módulo obtenido por el procedimiento del ejemplo 2.4 se denotacon infGG/KV y se le llama la inflación del F[G/K]-módulo V a G.

En éste caso, un subespacio de V es invariante bajo G si y sólo si es invariante bajoG/K, por lo que V es simple como F[G/K]-módulo si y sólo si lo es como FG-módulo.

2.11 Definición. Sea V un FH-módulo, dondeH un subgrupo deG. Sea g ∈ G. Existe un homomorfismode conjugación cg : H → gH dado por cg(h) = gh = ghg−1. Tal morfismo tieneinverso cg−1 : gH → H. Al F[gH]-módulo obtenido a partir de V y cg−1 por medio delprocedimiento del ejemplo 2.4 se le llama conjugado del módulo V, y lo denotaremoscomo gV.

Por lo tanto, la acción de h′ ∈ gH en v ∈ V está dada por h′v = cg−1(h′)v, donde a laderecha usamos la estructura dada en V comoH-módulo. Puesto que entonces, para h ∈ Hse tiene que hv = cg(h)v, donde a la derecha tenemos la acción de gH, es claro que unsubespacio W de V es un H-submódulo si y sólo si es un gH-submódulo, es decir, gV es ungH-módulo simple si y sólo si V es un H-módulo simple.

En el ejemplo siguiente nos especializaremos al caso en que G = Sn, el grupo simétricoen n símbolos. Como G actúa en X = {1, 2, . . . ,n}, ya hemos visto antes un ejemplo deFG-módulo en el ejemplo 1.13. Sin embargo, será conveniente, para trabajar con detallecon éste ejemplo, considerar una copia isomorfa. Tomemos V = Fn = {(x1, x2, . . . , xn) |

xi ∈ F, i = 1, . . . ,n} y la acción de G en V está dada por:

σ(x1, x2, . . . , xn) = (xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(n)), (2.32)

lo cual define un homomorfismo de grupos Sn → GL(Fn) que convierte a V = Fn en unFSn-módulo. Un submódulo importante de dimensión n− 1 de Fn es:

E =

{(x1, x2, . . . , xn) ∈ F |

n∑i=1

xi = 0

}. (2.33)


La representación asociada a éste módulo se llama representación estándar.

Otro submódulo de Fn es W = { (a,a, . . . , ) | a ∈ F }. Claramente dimE = n − 1 ydimW = 1, además E ∩W = 0, por lo que E +W = Fn y la suma es directa. Notemosque W es isomorfo a F con acción trivial de Sn, por lo que la suma directa suele escribirsecomo

Fn = E⊕ F. (2.34)

Veremos ahora otra representación de Sn que podemos definir para toda n.

Ejemplo 2.5Sea G = Sn y sea V = F, el espacio vectorial de dimensión 1. Definimos la función signosgn : Sn → GL(F), como:

σ 7→

{1F si σ es par,

−1F si σ es impar.(2.35)

Es inmediato verificar que hemos definido un homomorfismo, por lo que F recibe una estructuramás de G-módulo, con acción:

σx =

{x si σ es par,

−x si σ es impar,(2.36)

para σ ∈ G, x ∈ F. La representación de Sn que hemos definido se llama la representaciónsigno. Cuando pensemos a F con ésta estructura de FSn-módulo lo denotaremos con F.

Notemos que F es simple, por tener dimensión 1.

Veremos ahora que, en el caso particular de los FG-módulos, podemos definir en gen-eral cierto submódulo.

2.12 Definición. Sea V un FG-módulo. Definimos

VG = { v ∈ V | gv = v para todo g ∈ G } . (2.37)

Es inmediato mostrar que VG es un submódulo de V.

2.13 Proposición. Sean V y W dos FG-módulos. Entonces:

L(V,W)G = homFG(V,W). (2.38)


Demostración. Tenemos que φ ∈ L(V,W)G si y sólo si g ◦φ ◦ g−1 = φ para todo g ∈ G,lo cual sucede si y sólo si g◦φ = φ◦g para todo g ∈ G, es decir, si y sólo si gφ(v) = φ(gv)para todo g ∈ G y v ∈ V, finalmente, si y sólo si φ ∈ homFG(V,W).

✎ Ejercicios 2.2

2.2.1 Si n > 2 y la característica de F es diferente de 2, demuestra que F no es isomorfo a F comoFSn-módulos.

2.2.2 Si n = 3 y F es un campo de característica diferente de 2, demuestra que el FS3-módulo definidoen (2.33) es simple.

2.2.3 Demuestra que si H es un subgrupo de G y V es un FG-módulo tal que V ↓GH es simple (como

FH-módulo), entonces V es simple (como FG-módulo).

2.2.4 Sean H C G, g ∈ G y V un FG-módulo. Sea W = V ↓GH. Demuestra que v 7→ g−1v da un

isomorfismo de H-módulos W → gW.

2.2.5 Sean V un FG-módulo, H 6 G, y W un subespacio de V invariante bajo la acción de H (es decirhw ∈W para todos h ∈ H, w ∈W), de modo queW es un FH-módulo. Dado g ∈ G, demuestraque:

gW = {gw | w ∈W } es un subespacio de V,

gW es invariante bajo la acción de gH, de modo que tiene estructura de F[gH]-módulo,

la función w 7→ gw define un isomorfismo de F[gH]-módulos gW → gW.

2.2.6 Si V y W son FG-módulos, muestra que el isomorfismo de espacios vectoriales de la proposi-ción 2.6 es de hecho un isomorfismo de FG-módulos.

2.3. Potencias simétricas y exteriores

En ésta sección usaremos la notación Vn para el conjunto definido inductivamentecomo: V1 = V, Vn = V × Vn−1. Es decir, Vn es un producto cartesiano V × V × · · · × Vcon n factores.

2.14 Definición. Sean V yW dos espacios vectoriales sobre F. Una función f : Vn →W es multilineal si

f(v1, v2, . . . , λvi + v′i, . . . , vn) = λf(v1, v2, . . . , vi, . . . , vn) + f(v1, v2, . . . , v′i, . . . , vn)(2.39)

para todos v1, v2, . . . , vn, v′i ∈ V, λ ∈ F.

2.3. Potencias simétricas y exteriores 41

2.15 Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre F. Una función multilineal f : Vn → W essimétrica si

f(vσ(1), vσ(2), . . . , vσ(i), . . . , vσ(n)) = f(v1, v2, . . . , vi, . . . , vn) (2.40)

para todo σ ∈ Sn.

2.16 Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre F. Una función multilineal f : Vn → W esalternante si

f(vσ(1), vσ(2), . . . , vσ(i), . . . , vσ(n)) = (sgnσ)f(v1, v2, . . . , vi, . . . , vn) (2.41)

para todo σ ∈ Sn.

2.17 Definición. Dado V un espacio vectorial sobre F y n > 1, la n-ésima potencia simétrica de V,denotada Symn V, es un F-espacio vectorial junto con una función simétrica s : Vn →Symn V tal que siW es un F-espacio vectorial y s′ : Vn →W es una función simétrica,existe una única transformación lineal l : Symn V →W tal que l ◦ s = s′.

2.18 Definición. Dado V un espacio vectorial sobre F y n > 1, la n-ésima potencia exterior ∧nV de V,denotada ∧nV, es un F-espacio vectorial junto con una función alternante a : Vn →∧nV tal que si W es un F-espacio vectorial y a′ : Vn → W es una función alternante,existe una única transformación lineal l : ∧n V →W tal que l ◦ a = a′.

Usaremos los siguientes teoremas sin demostración:

2.19 Teorema. Dado V un espacio vectorial sobre F y n > 1, el n-ésimo producto simétrico Symn V

existe y es único salvo isomorfismo. Si s : Vn → Symn V es la función simétrica de ladefinición, denotaremos a s(v1, v2, . . . , vn) simplemente como v1v2 · · · vn. Entonces,si w1,w2, . . . ,wr es una base de V, se tiene que

{wi1wi2 · · ·win| 1 6 i1 6 i2 6 · · · 6 in 6 r } (2.42)

es una base de Symn V.


2.20 Teorema. Dado V un espacio vectorial sobre F y n > 1, el n-ésimo producto exterior ∧nV

existe y es único salvo isomorfismo. Si a : Vn → ∧nV es la función alternante dela definición, denotaremos a a(v1, v2, . . . , vn) como v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vn. Entonces, siw1,w2, . . . ,wr es una base de V, se tiene que

{wi1 ∧wi2 ∧ · · ·∧win| 1 6 i1 < i2 < · · · < in 6 r } (2.43)

es una base de ∧nV.

2.21 Corolario. Si V es un G-módulo y n > 1, entonces el producto simétrico Symn V es un G-módulocon acción:

g(v1v2 · · · vn) = gv1 gv2 · · ·gvn (2.44)

y el producto exterior ∧nV es un G-módulo con acción:

g(v1 ∧ v2 ∧ · · ·∧ vn) = gv1 ∧ gv2 ∧ · · ·∧ gvn. (2.45)

2.4. El teorema de Maschke y sus consecuencias

Veremos un criterio de fácil verificación que garantiza que ciertas álgebras de gruposon semisimples.

2.22 Teorema. (Maschke) Sea F un campo tal que su característica no divide a |G|. Entonces cualquierFG-módulo es completamente reducible.

Demostración. Sea V un FG-módulo y sea W 6 V. Sea W′ un subespacio vectorial de Vtal que V = W ⊕W′ como espacios vectoriales y sea π : V → V la transformación linealtal que π(v) = w si v = w + w′ con w ∈ W, w′ ∈ W′. Claramente se tiene que π(v) = v

si y sólo si v ∈ W. Como la característica de F no divide a |G|, tenemos que |G| 6= 0 en F.Consideremos la función

π′ =1|G|

∑g∈G

gπg−1 : V → V. (2.46)

Tenemos que π′ es lineal, veamos que es de hecho un morfismo de FG-módulos. Sean

2.4. El teorema de Maschke y sus consecuencias 43

h ∈ G y v ∈ V, entonces:

π′(hv) =1|G|

∑g∈G

gπ(g−1hv) (2.47)

=1|G|

∑g∈G

h(h−1g)π(g−1hv) (2.48)

=1|G|

∑k∈G

hkπ(k−1v) = hπ′(v), (2.49)

por lo que π ∈ homFG(V,V), además, se obtiene para w ∈W, que:

π′(w) =1|G|

∑g∈G

gπ(g−1w) (2.50)

=1|G|

∑g∈G

g(g−1w) =1|G|

∑g∈G

w (2.51)

=1|G|

|G|w = w. (2.52)

Como π′ : V → V es un morfismo de FG-módulos tal que π′(v) ∈W para todo v ∈ V yπ′(w) = w para w ∈ W, obtenemos que π′ es proyección en el submódulo W, de donde,por la proposición 1.20 se tiene que V = W ⊕ kerπ′, con kerπ′ 6 V.

2.23 Corolario. Sea F un campo tal que su característica no divide a |G|. Entonces FG es una F-álgebrasemisimple.

Con el fin de poder aplicar el teorema 1.41 y el teorema de Maschke, de ahora enadelante trabajaremos solamente con F = C. Como el campo está ya establecido, usaremosla expresión “G-módulo” cuando queramos decir “CG-módulo”.

Enunciaremos las consecuencias de los teoremas 1.41 y 2.22 en el contexto de álgebrasde grupo sobre C. En lo sucesivo, denotaremos a una suma directa con n sumandos S ⊕S⊕ · · · ⊕ S como Sn.

2.24 Corolario. Sea G un grupo finito, y sea S(CG) = {S1,S2, . . . ,Sr} un conjunto de representantesde las clases de isomorfismo de G-módulos simples. Entonces:

1. CGCG = ⊕rk=1S

dim Sk

k ,

2. |G| = dim CG =∑r

k=1(dimSk)2,

3. r = dimZ(CG).


En particular, éste corolario nos permite determinar que hemos obtenido una listacompleta de CG-módulos simples. Por ejemplo, para G = S3, éstos son: el trivial C, eldado por la representación signo C y el dado por la representación estándar E, pues 6 =|S3| = (dim C)2 + (dim C)2 + (dimE)2 = 12 + 12 + 22.

3Carácteres

3.1. Definición y propiedades

3.1 Definición. Sea V un G-módulo. Definimos el carácter de V como la función χV : G → C dadapor:

χV(g) = tr(gV : V → V), (3.1)

donde tr denota la traza de una transformación lineal.

Por lo tanto, diremos que una función χ : G→ C es un carácter, si existe un G-móduloV tal que χ = χV .

Recordemos que para calcular la traza de una transformación lineal V → V es sufi-ciente fijar una base de V y obtener la matriz de la transformación con respecto a la baseescogida. La traza es entonces la suma de las entradas de la diagonal de la matriz obtenida.

Ejemplo 3.1Sea G = S3. Calcularemos el carácter χV (g) para varios G-módulos V y elementos g ∈ G.Como veremos en la proposición 3.3, basta con calcular χV : G → C en representantes de lasclases de conjugación de G, digamos (1), (12) y (123).Consideremos primero V = C, la representación trivial. El espacio V es de dimensión 1 (por loque χV (g) es en éste caso la traza de una matriz 1 × 1) y tiene 1 ∈ C como base. Tenemos que(1)1 = 1, de donde χV ((1)) es la traza de la matriz 1 × 1 con única entrada igual a 1, por loque χV ((1)) = 1. Como también (12)1 = 1 y (123)1 = 1, el carácter χV (g) es igual a 1 parag = (12) y para g = (123).Sea ahora V = C, la representación signo. Nuevamente dimV = 1, pero ahora (1)1 = 1,(12)1 = −1 y (123)1 = 1, por lo que χV ((1)) = 1, χV ((12)) = −1 y χV ((123)) = 1.

45

46 Capítulo 3. Carácteres

Sea ahora V = E, la representación estándar. Es decir,

E ={

(x1, x2, x3) ∈ C3 | x1 + x2 + x3 = 0}

. (3.2)

En este caso, dimV = 2, y una base de E es B = {(1, −1, 0), (1, 0, −1)}. Si g = (1), entonces lamatriz asociada a gV en la base dada es la matriz identidad 2× 2, por lo que χV ((1)) = 2.Por otro lado, si g = (12), tenemos que:

(12)(1, −1, 0) = (−1, 1, 0) = −1(1, −1, 0) + 0(1, 0, −1), (3.3)

(12)(1, 0, −1) = (0, 1, −1) = −1(1, −1, 0) + 1(1, 0, −1), (3.4)

por lo que

[gV ]B =

(−1 −10 1

), (3.5)

que tiene traza 0, es decir χV ((12)) = 0.Finalmente, si g = (123), tenemos que:

(123)(1, −1, 0) = (0, 1, −1) = −1(1, −1, 0) + 1(1, 0, −1), (3.6)

(123)(1, 0, −1) = (−1, 1, 0) = −1(1, −1, 0) + 0(1, 0, −1), (3.7)

por lo que

[gV ]B =

(−1 −11 0

), (3.8)

que tiene traza −1, es decir χV ((123)) = −1.

Ejemplo 3.2Sea X = {x1, x2, . . . , xn} un G-conjunto, y sea V = CX el CG-módulo de permutaciones corre-spondiente (ver ejemplo 1.13). Entonces X es una base de V. Sea g ∈ G. La matriz de g : V → V

con respecto a la base X es diferente de cero en la entrada j, j si y sólo si gxj = xj y en éste caso,tal entrada es igual a uno. Por lo tanto, χV (g) es igual a la cantidad de puntos fijos en X bajo g.Consideremos el caso particular donde X = G, con acción regular. Entonces V = CG es larepresentación regular de G, denotaremos con ρ su carácter. Puesto que sólo la identidad de Gtiene puntos fijos, obtenemos en este caso que ρ(1) = |G| y que si g 6= 1, entonces ρ(g) = 0.

3.2 Lema. Si V es un G-módulo y g ∈ G, entonces g : V → V es diagonalizable. Además todoslos valores propios de g : V → V tienen norma 1.

Demostración. Sea t el orden del elemento g ∈ G, entonces gt = 1, lo cual implica que elpolinomio mínimo p(x) de la transformación lineal g : V → V divide a xt−1. En particular,p(x) no tiene raíces múltiples, por lo tanto g : V → V es diagonalizable. Como los valorespropios satisfacen la ecuación xt − 1 = 0, tienen norma 1.

3.1. Definición y propiedades 47

La siguiente proposición enumera propiedades básicas de los carácteres.

3.3 Proposición. Sea V un G-módulo, y g,h ∈ G. Entonces:

1. χV(1) = dimV,

2. χV(g−1) = χV(g),

3. |χV(g)| 6 χV(1),

4. χV(ghg−1) = χV(h),

5. si V y W son isomorfos como G-módulos, entonces χV = χW .

Demostración. Tenemos que χV(1) es la traza de la matriz identidad V → V, la cual esdimV.

Si n = dimV, por el lema 3.2 la transformación lineal g : V → V tiene (contandomultiplicidades) n valores propios, digamos λ1, λ2, . . . , λn ∈ C y todos ellos con norma 1.Entonces χV(g) = tr(g) =

∑nk=1 λk. Además, λ−1

1 , λ−12 , . . . , λ−1

n son los valores propios deg−1. Como z−1 = z

|z|2para todo z ∈ C, tenemos que λ−1

k = λk, de donde:

χ(g−1) =

n∑k=1

λ−1k (3.9)

=

n∑k=1

λk = χV(g). (3.10)

Además, de χV(g) =∑n

k=1 λk, se sigue que |χV(g)| 6∑n

k=1 |λk| = n = χV(1).

La siguiente afirmación se deduce inmediatamente del hecho de que la traza es invari-ante bajo conjugación de transformaciones lineales.

Finalmente, sean V y W dos CG-módulos isomorfos y sea φ : V →W un isomorfismo.Entonces para todo g ∈ G se tiene que φ ◦ gV = gW ◦ φ, de donde gV = φ−1 ◦ gW ◦ φ, ypor lo tanto χV(g) = tr(gV) = tr(φ−1 ◦ gW ◦ φ) = tr(gW) = χW(g).

Ejemplo 3.3En la proposición 2.8 se observó que tener un G-módulo de dimensión 1 equivale a tener unhomomorfismo de grupos Φ : G → C×. Puesto que χV (g) = Φ(g) para g ∈ G, tenemos otrademostración que homomorfismos diferentes G→ C× dan lugar a módulos no isomorfos.


Ejemplo 3.4Sea G = S3. Ya hemos observado que una lista completa de G-módulos simples, salvo isomor-fismos, está dada por C, C y la representación estándar E. En el ejemplo 3.1 hemos calculadoel carácter de cada una de éstos módulos en representantes de las clases de conjugación de G.Dispondremos la información en una tabla, llamada la tabla de carácteres del grupo.

S3 1 3 2(1) (12) (123)

χC 1 1 1χC 1 −1 1χE 2 0 −1

En los dos primeros renglones colocamos, respectivamente, la cantidad de elementos en lasclases de conjugación y un representante de cada clase. En los renglones siguientes tenemosrepresentantes de cada una de las clases de G-módulos simples y los valores de los carácteresde tales módulos en los respectivos elementos de G.

En la siguiente proposición mostraremos que la tabla de carácteres es siempre cuadra-da.

3.4 Proposición. Sea G un grupo y g1,g2, . . . ,gr una colección de representantes de las clases de con-jugación de G. Sea gi =

∑h∼gi

h ∈ CG, la suma de los elementos de la clase deconjugación de gi. Entonces g1, g2, . . . , gr es una base de Z(CG).

Demostración. Mostraremos primero que los gi están en Z(CG). Sea x ∈ G. Entonces:

xgi =∑h∼gi

xh =∑h∼gi

(xhx−1)x = gix, (3.11)

pues cuando h recorre los conjugados de gi, también xhx−1 los recorre.

Ahora, supongamos que∑

g∈G λgg ∈ Z(CG). Supongamos que g2 = xg1x−1. En-

tonces, el coeficiente de g2 en x(∑

g∈G λgg)x−1 es λg1 y en

∑g∈G λgg es λg2 . Como∑

g∈G λgg ∈ Z(CG), tenemos que λg1 = λg2 . Por lo tanto, g1, g2, . . . , gr generan a Z(CG).Sin embargo, también son linealmente independientes, pues son combinaciones lineales debásicos diferentes en CG.

3.5 Corolario. Si G es un grupo finito, hay la misma cantidad de G-módulos simples salvo isomorfis-mo que de clases de conjugación en G.

3.1. Definición y propiedades 49

Demostración. En el teorema 1.41 vimos que la cantidad de G-módulos simples es iguala la dimensión de Z(CG) y la proposición previa nos dice que este número es igual a lacantidad de clases de conjugación en G.

3.6 Definición. Sea G un grupo finito. Una función de clase es una función θ : G→ C que es constanteen clases de conjugación de G.

Por ejemplo, para cualquier G-módulo V, su carácter χV es una función de clase.Claramente el conjunto de las funciones de clase forma una subálgebra del álgebra detodas las funciones G → C, en particular, la suma y el producto de funciones de clase esuna función de clase. Si θ es una función de clase, también la función θ que resulta decomponer θ con la operación de tomar complejo conjugado es una función de clase.

En las secciones 2.2 y 2.3 vimos varias maneras de construir G-módulos a partir deotros. Veremos cómo se relacionan los carácteres de los nuevos módulos con los de losprimeros.

3.7 Proposición. Sean V y W dos G-módulos y g ∈ G. Entonces,

1. χV⊕W = χV + χW ,

2. χV⊗W = χVχW ,

3. χV∗ = χV ,

4. χL(V ,W) = χVχW ,

5. χ∧2V(g) = 12 (χV(g)2 − χV(g2)) para todo g ∈ G,

6. χSym2 V(g) = 12 (χV(g)2 + χV(g2)) para todo g ∈ G,

en donde las operaciones de carácteres se toman como las operaciones de funcionesde clase.

Demostración. Sea g ∈ G y sean B1 = {v1, . . . , vm}, B2 = {w1, . . . ,wn} respectivamente,bases de vectores propios de gV y gW , con valores propios λ1, . . . , λm y µ1, . . . ,µn. Por lotanto, χV(g) = λ1 + · · ·+ λm y χW(g) = µ1 + · · ·+ µn.

Para la primera afirmación, tenemos que B1 ∪B2 es una base de V ⊕W, y la matriz degV⊕W con respecto a ésta base es una matriz de bloques:(

[gV ]B1 00 [gW ]B2

), (3.12)


de donde obtenemos que la traza de ésta matriz es la suma de las trazas de gV y gW , esdecir, obtenemos que χV⊕W(g) = χV(g) + χW(g) como queríamos.

Para la segunda afirmación, notemos que

g(vj ⊗wk) = gvj ⊗ gwk = λjvj ⊗ µkwk = λjµk(vj ⊗wk), (3.13)

de donde se obtiene que vj ⊗wk es un vector propio de gV⊗W con valor propio λjµk. Esdecir, { vj ⊗wk | j = 1, . . .m,k = 1, . . . ,n } es una base de vectores propios de gV⊗W , porlo que la traza de ésta última, siendo la suma de sus vectores propios, es:

χV⊗W(g) =

m∑j=1

n∑k=1

λjµk =

m∑j=1

λj

n∑k=1

µk = χV(g)χW(g). (3.14)

Para la tercera afirmación, sea B∗1 = {v∗1, . . . , v∗m} la base de V∗ dual a B. Observemos

quegv∗j (vk) = v∗j (g

−1vk) = v∗j (λ−1k vk) = λ−1

k v∗j (vk), (3.15)

de donde gv∗j = λ−1k v∗j , es decir B∗

1 es una base de vectores propios de V∗. Por lo tanto

χV∗(g) =

m∑k=1

λ−1k =

m∑k=1

λk = χV(g). (3.16)

La cuarta afirmación se sigue de las dos anteriores y del hecho de que L(V,W) esisomorfo a V∗ ⊗W como G-módulos.

Para la quinta afirmación, notemos que de modo similar a la ecuación 3.13, para j < k,se obtiene que vj ∧ vk es un vector propio de g∧2V con valor propio λjλk, y por lo tanto{ vj ∧ vk | j < k } es base de ∧2V formada por vectores propios de g∧2V , por lo que la trazade g∧2V es igual a:

∑j<k

λjλk =(∑

j λj)2 −

∑j λ

2j

2=

12

(χV(g)2 − χV(g2)), (3.17)

dado que los λ2i son exactamente los valores propios de g2

V .

Finalmente, la última afirmación se demuestra de modo similar a la anterior, notandoque siempre que j 6 k, se tiene que vjvk es valor propio de gSym2 V con valor propio λjλk,

y { vjvk | j 6 k } es base de Sym2 V formada por vectores propios de gSym2 V .

3.8 Corolario. La suma, el producto y el conjugado de carácteres son carácteres.

3.2. Las relaciones de ortogonalidad 51

Observemos que si n es un entero positivo, y V es un G-módulo, el carácter de Vn =V⊕· · ·⊕V es χV +· · ·+χV . Denotaremos a éste último como nχV . Por lo tanto, el carácterdel G-módulo Sn1

1 ⊕ · · · ⊕ Snrr es n1χS1 + · · ·+ nrχSr

.

Veamos ahora cómo se comportan los carácteres respecto de la restricción, inflación yconjugación de G-módulos.

Si H es un subgrupo de G, V es un G-módulo y h ∈ H, entonces χV↓GH

(h) es la traza deh : V → V, es decir, precisamente χV(h). Por lo tanto, χV↓G

Hes precisamente la restricción

de χV : G → C a H, la cual denotaremos con χ ↓GH y llamaremos el carácter χ restringido

al subgrupo H.

Si H es un subgrupo normal de G, V es un G/H-módulo y g ∈ G, entonces χinfGG/HV(g)

es la traza de gH : V → V. Por lo tanto, si denotamos con infGG/Hχ al carácter de infGG/HV,

tenemos que (infGG/Hχ)(g) = χ(gH). Diremos que infGG/Hχ es un carácter inflado.

Consideremos H 6 G, V un H-módulo, y g ∈ G. Tenemos el isomorfismo de gru-pos cg : H → gH dado por cg(h) = gh = ghg−1. Si h′ ∈ gH, la acción de h′ en gV sedefinió como la acción de cg−1(h′) en V. Por lo tanto, χgV(h′) = χV(g−1h′g). Nótese queno podemos aplicar la proposición 3.3.4 para concluir que χV(g−1h′g) = χV(h′), puesg−1h′g no es un conjugado en H de un elemento de H (de hecho, posiblemente h′ 6∈ H, yen ese caso la expresión χV(h′) no tiene sentido).

✎ Ejercicios 3.1

3.1.1 Sea G un grupo y χ un carácter de G. Sea g ∈ G tal que g es conjugado a g−1. Demuestra queχ(g) es un número real.

3.2. Las relaciones de ortogonalidad

En adelante, al carácter χV de un G-módulo V se le denotará simplemente con χ. Sesobreentiende que todos los carácteres provienen de algún G-módulo.


3.9 Definición. Sean χ y ψ dos carácteres. Definimos su producto interno como:

〈χ,ψ〉 =1|G|

∑g∈G

χ(g−1)ψ(g). (3.18)

Puesto que χ(g−1) = χ(g), también podemos escribir al producto interno como 〈χ,ψ〉 =1

|G|

∑g∈G χ(g)ψ(g). Además, sustituyendo g−1 por g obtenemos que:

〈χ,ψ〉 =1|G|

∑g∈G

χ(g)ψ(g−1) =1|G|

∑g∈G

χ(g)ψ(g). (3.19)

es decir, 〈χ,ψ〉 = 〈ψ,χ〉. Aún más, tenemos las siguientes igualdades:

〈χ1 + χ2,ψ〉 = 〈χ1,ψ〉+ 〈χ1,ψ〉 (3.20)

〈χ,ψ1 +ψ2〉 = 〈χ,ψ1〉+ 〈χ,ψ2〉 (3.21)

〈χφ,ψ〉 = 〈χ,φ∗ψ〉 (3.22)

donde φ es un carácter y φ∗ el carácter dual, es decir, el carácter de la representación duala la representación asociada a φ.

3.10 Lema. Sea V un G-módulo. Entonces 1|G|

∑g∈G gV es un morfismo de G-módulos V → V

que es proyección en el submódulo VG.

Demostración. Sea π = 1|G|

∑g∈G g. Claramente π es lineal de V en V, veamos que es un

morfismo de G-módulos. Sea h ∈ H y v ∈ V, entonces

π(hv) =1|G|

∑g∈G

g(hv) =1|G|

∑g∈G

(gh)v (3.23)

= π(v) (3.24)

=1|G|

∑g∈G

(hg)v =1|G|

∑g∈G

h(gv) (3.25)

= hπ(v) (3.26)

puesto que al recorrer g los elementos de G, también gh y hg los recorren. Con éstomostramos que π es morfismo de G-módulos y que π(v) ∈ VG para todo v ∈ V.

Por otro lado, si v ∈ VG, entonces

π(v) =1|G|

∑g∈G

gv =1|G|

∑g∈G

v =1|G|

|G|v = v, (3.27)

3.2. Las relaciones de ortogonalidad 53

de donde por la proposición 1.20, se tiene que π es proyección en VG.

En el siguiente teorema ocuparemos el hecho de que si φ : V → V es proyección sobreel subespacio W, entonces trφ = dimW, lo cual se sigue inmediatamente de consideraruna base de W, extenderla a una base de V y considerar la matriz de φ con respecto a talbase.

3.11 Teorema. Si V y W son G-módulos, entonces 〈χV ,χW〉 es un entero no negativo. Si V es unG-módulo simple, entonces 〈χV ,χV〉 = 1. Y si V y W son G-módulos simples noisomorfos, entonces 〈χV ,χW〉 = 0.

Demostración. Tenemos que

dim homCG(V,W) = dim L(V,W)G (3.28)

= tr

1|G|

∑g∈G

gL(V ,W)

, (3.29)

=1|G|

∑g∈G

χL(V ,W)(g), (3.30)

=1|G|

∑g∈G

χV(g)χW(g), (3.31)

= 〈χV ,χW〉. (3.32)

donde las igualdades cumplen para todo par de G-módulos V,W, aunque no sean simples,lo cual demuestra nuestra primera afirmación. Además, si V, W son simples, el lema deSchur (teorema 1.22) nos dice que dim homCG(V,W) es 1 si V es isomorfo a W y es 0 siV no es isomorfo a W.

3.12 Corolario. Sea V un G-módulo y supongamos que

V = Sn11 ⊕ · · · ⊕ Snr

r , (3.33)

donde S1, . . . ,Sr son G-módulos simples no isomorfos entre sí. Entonces nj =〈χV ,χSj

〉. En particular, nj es independiente de la descomposición (3.33) escogida.

Demostración. Inmediata del teorema anterior y del hecho de que χV = n1χS1 + · · · +nrχSr

.

El corolario siguiente muestra que un G-módulo está determinado por su carácter.


3.13 Corolario. Si V y W son G-módulos, entonces V es isomorfo a W si y sólo si χV = χW .

Demostración. Ya sabemos que χV = χW si V es isomorfo aW. Recíprocamente, supong-amos que V y W tienen el mismo carácter. Sabemos que ambos pueden expresarse comosuma directa de módulos simples, y por el corolario anterior, la multiplicidad con que cadamódulo simple aparece en V es la misma que enW, de donde se deduce que V es isomorfoa W.

3.14 Corolario. Si V es un G-módulo y 〈χV ,χV〉 = 1, entonces V es simple.

Demostración. Supongamos V = Sn11 ⊕· · ·⊕Snr

r donde S1, . . . ,Sr son G-módulos simplesno isomorfos entre sí. Entonces 〈χV ,χV〉 =

∑rj=1 n

2j = 1. Se tiene entonces que algún nj

es 1 y los demás son cero, de donde V ∼= Sj y por lo tanto V es simple.

Combinando el teorema 3.11 con el corolario 3.14, obtenemos que el G-módulo V essimple si y sólo si 〈χV ,χV〉 = 1.

En el enunciado del siguiente corolario, denotaremos al centralizador de g ∈ G como:

CG(g) = { x ∈ G | gx = xg } , (3.34)

el cual es el estabilizador de g cuando G actúa en G por conjugación. Por lo tanto, CG(g)es siempre un subgrupo de G, y el tamaño de la clase de conjugación de g es igual a [G :CG(g)] = |G|/|CG(g)|.

3.15 Corolario. Sea g1,g2, . . . ,gr una colección de representantes de las clases de conjugación de G,sea X la tabla de carácteres de G considerada como matriz r × r y sea C la matrizdiagonal

C =

|CG(g1)| 0 · · · 0

0 |CG(g2)|...

. . ....

0 · · · |CG(gr)|

. (3.35)

Entonces, tenemos queX

TX = C, (3.36)

donde XT

denota la conjugada transpuesta de la matriz X.

3.3. Grupos cíclicos 55

Demostración. Ortogonalidad de renglones de X (teorema 3.11) implica que XC−1XT

= I,donde I es la matriz identidad, ya que C−1 es una matriz diagonal con entradas de la forma

tamaño de la clase de g|G|

. (3.37)

Por lo tanto, (XC−1)−1 = XT

= CX−1, de donde se obtiene XTX = C, como queríamos.

3.16 Definición. Si V es un G-módulo simple, decimos que χV es un carácter simple.

3.17 Corolario. (Ortogonalidad de columnas) Si G tiene r clases de conjugación y χ1, . . . ,χr es unalista completa de carácteres simples, entonces:

r∑i=1

χi(g)χi(h) =

{|CG(g)| si g ∼ h,0 si g 6∼ h.

(3.38)

Demostración. El enunciado a demostrar es simplemente una reformulación del coro-lario 3.15.

3.3. Grupos cíclicos

3.18 Proposición. Sea G un grupo cíclico de orden n, G = 〈a〉, y sea ζ ∈ C una raíz n-ésima primitiva dela unidad (es decir, ζn = 1 pero ζm 6= 1 si 0 < m < n). Para cada j = 0, 1, . . . ,n− 1,sea Vj un espacio vectorial de dimensión 1 generado por vj y sea una acción de G enVj definida por:

avj = ζjvj. (3.39)

Entonces, V0,V1, . . . ,Vn−1 es una lista completa de G-módulos simples.

Demostración. De la proposición 2.8, sabemos que los G-módulos simples de dimen-sión 1 se identifican con los homomorfismos G → C×. En el caso particular de que G seaun grupo cíclico de orden n conG = 〈a〉, existen exactamente n tales diferentes homomor-fismos, determinados por a 7→ ζj, j = 0, 1, . . . ,n− 1. Interpretando éstos homomorfismos


como módulos, se obtienen los definidos en (3.39). Todos éstos G-módulos son simples,por tener dimensión 1, son no isomorfos entre sí, como observamos en el ejemplo 3.3,además n = |G| es la suma de los cuadrados de sus dimensiones, por lo que tenemos unalista completa de G-módulos simples.

Con las hipótesis de la proposición 3.18, se tiene que, si avj = ζjvj entonces akvj =ζkjvj. Con ésta observación, podemos construir la tabla de carácteres de cualquier grupocíclico, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.5Sea n = 5 y G = C5 el grupo cíclico de orden 5, supongamos G = 〈a〉. Como G es abeliano,cada clase de conjugación de G tiene exactamente un elemento. Sea ζ ∈ C una raíz primitivaquinta de la unidad. Usando la proposición 3.18 y la observación posterior, construimos latabla de carácteres de G.

C5 1 1 1 1 11 a a2 a3 a4

χV0 1 1 1 1 1χV1 1 ζ ζ2 ζ3 ζ4

χV2 1 ζ2 ζ4 ζ ζ3

χV3 1 ζ3 ζ ζ4 ζ2

χV4 1 ζ4 ζ3 ζ2 ζ

✎ Ejercicios 3.2

3.2.1 ¿Verdadero o falso? La tabla de carácteres de todo grupo cíclico Cn con n > 3 contiene entradasno reales.

3.4. Grupos abelianos

Generalizando el ejemplo 2.2, tenemos que, si V1 es un G1-módulo y V2 es un G2-módulo, dados g1 ∈ G1 y g2 ∈ G2, las transformaciones lineales g1 : V1 → V1 y g2 : V2 →V2 inducen una transformación lineal g1 ⊗ g2 : V1 ⊗ V2 → V1 ⊗ V2, que está dada por

(g1 ⊗ g2)(v1 ⊗ v2) = g1v1 ⊗ g2v2, (3.40)

3.4. Grupos abelianos 57

con lo cual se define un homomorfismo G1 ×G2 → GL(V1 ⊗ V2), es decir, V1 ⊗ V2 recibeuna estructura de G1 × G2-módulo. Para distinguirla de la estructura de módulo en elproducto tensorial definida en el ejemplo 2.2, la denotaremos como V1 � V2, y al carácterχV1�V2 lo denotaremos como χV1 � χV2 .

Procediendo similarmente a la demostración de la proposición 3.7, podemos demostrarque:

χV1�V2(g1,g2) = χV1(g1)χV2(g2), (3.41)

pues si λ1, . . . , λr son los valores propios de (g1)V1 y µ1, . . . ,µs son los valores propios de(g2)V2 , entonces {λjµk}j=1,...,r;k=1,...,s son los valores propios de g1 ⊗ g2.

3.19 Proposición. Sea V1,V2, . . . ,Vm una lista completa de G1-módulos simples y sea W1,W2, . . . ,Wn

una lista completa de G2-módulos simples. Entonces los G1 × G2-módulos Vj �Wk,j = 1, . . . ,m, k = 1, . . . ,n forman una colección completa de G1 × G2-módulossimples.

Demostración. Primero, veremos que cada Vj �Wk es simple usando el corolario 3.14,

〈χVj�Wk,χVj�Wk

〉 =1

|G1 ×G2|

∑(g1,g2)∈G1×G2

χVj�Wk(g1,g2)χVj�Wk

(g1,g2) (3.42)

=1

|G1| |G2|

∑(g1,g2)∈G1×G2

χVj(g1)χVj

(g1)χWk(g2)χWk

(g2) (3.43)

=( 1

|G1|

∑g1∈G1

χVj(g1)χVj

(g1))( 1

|G2|

∑g2∈G2

χWk(g2)χWk

(g2))(3.44)

= 〈χVj,χVj

〉〈χWk,χWk

〉 = 1 (3.45)

Un cálculo similar muestra que, si (j,k) 6= (r, s), entonces 〈χVj�Wk,χVr�Ws

〉 = 0, porlo que los mn módulos de la forma Vr �Ws son no isomorfos entre sí. Para mostrar quetenemos la lista completa de módulos simples, sean dj = dimVj y ek = dimWk, de modoque Vj �Wk tiene dimensión djek y∑

j,k

(djek)2 =∑j,k

(dj)2(ek)2 =

∑j

d2j

∑e2

k = |G1| |G2| = |G1 ×G2|, (3.46)

con lo cual termina la demostración.

Por supuesto, aplicando inductivamente la proposición anterior podemos calcular latabla de carácteres de cualquier grupo abeliano finito, pues cualquier grupo tal es unproducto de grupos cíclicos.


3.20 Corolario. Un grupo G es abeliano si y sólo si todos sus módulos simples tienen dimensión 1.

Demostración. Si G es abeliano, entonces G es producto de grupos cíclicos. Puesto quecualquierG-módulo simple se obtiene formando productos tensoriales de módulos simplesde grupos cíclicos, los cuales todos tienen dimensión 1 por la proposición 3.18, los G-módulos simples tienen todos dimensión 1.

Supongamos ahora que todos los G-módulos simples tienen dimensión 1. Sabemos quesi hay r módulos simples de dimensiones d1, . . . ,dr, entonces |G| =

∑rj=1 d

2j , por lo que si

dj = 1 para toda j se obtiene que |G| = r, ésto es, hay tantas clases de conjugación en Gcomo elementos en G. Por lo tanto, cada elemento es su único conjugado, lo cual implicaque G es abeliano.

3.21 Corolario. Si G es un grupo (no necesariamente abeliano), y V es un G-módulo de dimensión 1,existe un único (salvo isomorfismo) G/G′-módulo W de dimensión 1 tal que V =

infGG/G′W. Por lo tanto, G tiene exactamente |G/G′| módulos simples de dimensión 1.

Demostración. Por la proposición 2.8, basta con dar una correspondencia biyectiva entrelos conjuntos:

{homomorfismos G→ C×}, {homomorfismos G/G′ → C×}, (3.47)

pero éso se sigue del hecho de que C× es abeliano y del teorema de correspondencia engrupos, pues dado un morfismo de grupos G→ C× existe un único morfismo G/G′ → C×

que hace conmutar el diagrama:

G //

��

C×

G/G′

<<yyyyyyyy(3.48)

En la práctica, para construir la tabla de carácteres de un producto G × H, convieneseguir la siguiente estrategia. Supongamos que g1,g2, . . . ,gr son representantes de lasclases de conjugación de G y que h1,h2, . . . ,hs son representantes de las clases de con-jugación de H. Entonces enlistamos representantes de las clases de conjugación de G ×Hcomo:

(g1,h1), (g1,h2), . . . , (g1,hs), (g2,h1), (g2,h2), . . . , (g2,hs), . . . (gr,h1), (gr,h2), . . . , (gr,hs).(3.49)

3.4. Grupos abelianos 59

y similarmente enlistamos los carácteres irreducibles. Si la tabla de carácteres de G tienematrizA = (aij) y la tabla de carácteres deH tiene matriz B, entonces la tabla de carácteresde G×H tiene matriz: a11B a12B · · · a1rB

......

...ar1B ar2B · · · arrB

, (3.50)

y también podemos usar que si la clase de conjugación de g tiene m elementos, y la clasede conjugación de h tiene n elementos, entonces la clase de conjugación de (g,h) tienemn elementos.

Ejemplo 3.6Sea G = C2 × C2 un producto de dos copias del grupo cíclico de 2 elementos C2. Supongamosque la primera copia de C2 está generada por a y la segunda copia por b, de modo que G =

〈a〉 × 〈b〉. Formamos dos copias de las tablas de carácteres de C2.

C2 1 11 a

χ0 1 1χ1 1 −1

C2 1 11 b

ψ0 1 1ψ1 1 −1

de donde, utilizando la proposición 3.19 y la ecuación 3.41, obtenemos la tabla de G:

C2 × C2 1 1 1 1(1,1) (1,b) (a, 1) (a,b)

φ1 = χ0 �ψ0 1 1 1 1φ2 = χ0 �ψ1 1 −1 1 −1φ3 = χ1 �ψ0 1 1 −1 −1φ4 = χ1 �ψ1 1 −1 −1 1

Ejemplo 3.7Consideremos un ejemplo no abeliano, sea G = C2 × S3. Tenemos las respectivas tablas:

C2 1 11 a

χ0 1 1χ1 1 −1

S3 1 3 2(1) (12) (123)

ψ0 1 1 1ψ1 1 −1 1ψ2 2 0 −1

y entonces la tabla de G es:

C2 × S3 1 3 2 1 3 2(1, (1)

) (1, (12)

) (1, (123)

) (a, (1)

) (a, (12)

) (a, (123)

)φ1 = χ0 �ψ0 1 1 1 1 1 1φ2 = χ0 �ψ1 1 −1 1 1 −1 1φ3 = χ0 �ψ2 2 0 −1 2 0 −1φ4 = χ1 �ψ0 1 1 1 −1 −1 −1φ5 = χ1 �ψ1 1 −1 1 −1 1 −1φ6 = χ1 �ψ2 2 0 −1 −2 0 1


3.5. Grupos no abelianos pequeños

Ya hemos calculado antes la tabla de carácteres del grupo S3, el cual es el grupo noabeliano más pequeño, (ejemplo 3.4). Los grupos no abelianos que le siguen en tamañoson dos grupos de orden 8: el grupo diédrico D4 y el grupo de cuaternios Q.

Ejemplo 3.8Sea G = D4. El grupo G puede pensarse más concretamente como el grupo de permutacionesrígidas de un cuadrado, por ejemplo si consideramos el cuadrado:

1

2 3

4

(3.51)

entonces podemos ver a G como el siguiente subgrupo de S4:

G = {(1), (1234), (13)(24), (1432), (12)(34), (14)(23), (13), (24)}. (3.52)

Es inmediato comprobar queH = 〈(13)(24)〉CG. ComoG/H es abeliano, tenemos queG′ 6 H,además G′ 6= 1 pues G no es abeliano. Por lo tanto, G′ = H y G tiene 4 carácteres lineales.Además, G debe tener al menos 5 clases de conjugación.Directamente se comprueba que las clases de conjugación de G son{(1)}, {(1234), (1432)}, {(13)(24)}, {(12)(34), (14)(23)} y {(13), (24)}. Considerando laproyección canónica G → G/G′, los elementos (1) y (13)(24) se identifican en el elementoidentidad de G/G′ y las otras clases de conjugación se colapsan para formar los otros treselementos del cociente. Es inmediato verificar que cada elemento de G/G′ tiene orden 2, porlo que G/G′ es isomorfo a C2 × C2. Del corolario 3.21, se obtiene que G tiene exactamente 4representaciones lineales, por lo que exactamente una, que denotaremos S, es no lineal.Inflando los carácteres simples de C2 × C2 obtenidos en el ejemplo 3.6, llegamos a la siguientetabla parcial:

D4 1 1 2 2 2(1) (13)(24) (1234) (12)(34) (13)

χ1 = infGC2×C2(φ1) 1 1 1 1 1

χ2 = infGC2×C2(φ2) 1 1 −1 1 −1

χ3 = infGC2×C2(φ3) 1 1 1 −1 −1

χ4 = infGC2×C2(φ4) 1 1 −1 −1 1

χS x y z u v

El corolario 2.24 implica entonces que 12+12+12+12+x2 = 8, de donde x = 2. Ortogonalidadde las demás columnas con la primera (ver corolario 3.17), implica que y = −2, z = u = v = 0.Con ésto, completamos la tabla de carácteres del grupo D4.

D4 1 1 2 2 2(1) (13)(24) (1234) (12)(34) (13)

χ1 1 1 1 1 1χ2 1 1 −1 1 −1χ3 1 1 1 −1 −1χ4 1 1 −1 −1 1χS 2 −2 0 0 0

3.5. Grupos no abelianos pequeños 61

En relación al ejemplo 3.8, notemos que hemos sido capaces de calcular el carácter χS

¡sin tener una descripción concreta del módulo S!

Ejemplo 3.9El grupo de cuaternios Q tiene como conjunto subyacente a Q = {1, i, j,k, −1, −i, −j, −k},el producto está determinado por las siguientes reglas: x1 = 1x para todo x ∈ Q, x(−1) =

(−1)x = −x para todo x ∈ Q (donde se aplica la regla usual −(−x) = x), (−x)2 = x2 para todox ∈ Q, x2 = 1 si x = 1, −1, x2 = −1 si x = i, j,k, y las reglas restantes se deducen del siguientediagrama:

i

��k

88

jdd

(3.53)

es decir, por ejemplo ij = k, pero kj = −i. Directamente podemos comprobar que Q tiene 5clases de conjugación, que podemos representar con 1, −1, ±i, ±j, ±k. Además H = {1, −1}

es un subgrupo normal de Q y Q/H es un grupo abeliano isomorfo a C2 × C2, de donde sededuce que Q′ = H, y que las 4 representaciones lineales de Q se obtienen, como en el caso deD4, inflando las representaciones de C2 × C2. Queda solamente una representación simple, yel carácter de ésta última está ya determinada por ortogonalidad de columnas. Es decir, que latabla de carácteres de Q se ve idéntica a la tabla de carácteres de D4.

Q 1 1 2 2 21 −1 i j k

infGC2×C2(χ0 � φ0) 1 1 1 1 1

infGC2×C2(χ1 � φ0) 1 1 −1 1 −1

infGC2×C2(χ0 � φ1) 1 1 1 −1 −1

infGC2×C2(χ1 � φ1) 1 1 −1 −1 1S 2 −2 0 0 0

3.22 Corolario. Grupos no isomorfos pueden tener igual tabla de carácteres. Es decir, la tabla decarácteres no caracteriza al grupo.

✎ Ejercicios 3.3

3.3.1 Encuentra subgrupos deM2(C) que sean isomorfos, respectivamente, aD4 y aQ. De éste modo,encontramos las módulos simples S de dimensión 2 que aparecen en las tablas.


3.6. Grupos simétricos pequeños

En ésta sección construiremos las tablas de carácteres de los grupos simétricos S4 y S5.

Ejemplo 3.10El grupo S4 tiene 5 clases de conjugación, representadas por las permutaciones (1), (12),(12)(34), (123), (1234), y tales clases tienen, respectivamente, 1, 6, 3, 8, 6 elementos. Por otrolado, los únicos subgrupos normales de S4 son A4, el subgrupo alternante formado por las per-mutaciones pares, y H = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Puesto que S4/H es isomorfo a S3,que no es abeliano, mientras que S4/A4 tiene dos elementos, concluimos que (S4)

′ = A4. Dedonde se obtiene que S4 tiene solamente dos representaciones lineales, la trivial C y la repre-sentación signo C.Podemos además usar el isomorfismo S4/H ∼= S3 para inflar la representación estándar E3 deS3 de dimensión 2 y obtener otro S4-módulo simple (infS4

S3E3), esta vez de dimensión 2.

Consideremos ahora la representación estándar E = E4 de S4. En éste caso, dimE = 4 − 1 = 3.Además existe un isomorfismo C4 = E⊕C, por lo que χE = χC4 − χC. Utilizando que C4 es unmódulo de permutaciones y la observación del ejemplo 3.2, obtenemos χE(1) = 3, χE(12) =

2 − 1 = 1, χE(123) = 1 − 1 = 0, χE(1234) = 0 − 1 = −1 = χE(12)(34). Entonces,

〈χE,χE〉 =124

(9 + 6 + 6 + 3) = 1, (3.54)

por lo que E es simple. La última S4-representación simple se obtiene formando el productotensorial de E con C, la cual denotaremos con E. De aquí obtenemos la tabla de carácteresde S4:

S4 1 6 3 8 6(1) (12) (12)(34) (123) (1234)

C 1 1 1 1 1C 1 −1 1 1 −1

infS4S3E3 2 0 2 −1 0

E 3 1 −1 0 −1E 3 −1 −1 0 1

Ejemplo 3.11El grupo S5 tiene 7 clases de conjugación, representadas por las permutaciones (1),(12), (12)(34), (123), (123)(45), (1234), (12345), y tales clases tienen, respectivamente,1, 10, 15, 20, 20, 30, 24 elementos. En adelante, si V es un S5-módulo, representaremos a χV

como un vector en C7 donde cada entrada representa el valor de χV en la clase correspondi-ente.Aquí tenemos que (S5)

′ = A5, por lo que sólo hay dos representaciones lineales, la trivial C yla signo C.

3.6. Grupos simétricos pequeños 63

Consideremos ahora la representación estándar E de S5. Como en el caso de S4, podemos usarque C5 = E⊕ C, de donde

χE = χC5 − χC = (5, 3, 1, 2, 0, 1, 0) − (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) = (4, 2, 0, 1, −1, 0, −1). (3.55)

Ahora,

〈χE,χE〉 =1

120(16 + 40 + 20 + 20 + 24) = 1, (3.56)

por lo que E es simple. También E = E⊗ C es simple.Podemos obtener otro S5-módulo simple considerando ∧2E. Utilizando la proposición 3.7, seobtiene el carácter de ∧2E a partir de χE. Obtendremos que χ∧2E = (6, 0, −2, 0, 0, 0, 1) y sepuede verificar inmediatamente que efectivamente es simple. Nótese que ∧2E es isomorfo a∧2E⊗ C.Obtendremos las siguientes representaciones simples considerando Sym2 E. Por medio dela proposición 3.7, llegamos a que χSym2 E = (10, 4, 2, 1, 1, 0, 0). Es inmediato ver que〈χSym2 E,χC〉 = 1 y que 〈χSym2 E,χE〉 = 1, por lo que existe una representación W tal que

Sym2 E = C⊕E⊕W, con carácter χW = χSym2 E −χC −χE = (5, 1, 1, −1, 1, −1, 0). Podemos en-

tonces verificar que 〈χW ,χW〉 = 1, de modo que W es simple. Además W = W ⊗ C es tambiénsimple, y no isomorfa a W. Es decir, hemos completado la tabla de carácteres de S5:

S5 1 10 15 20 20 30 24(1) (12) (12)(34) (123) (123)(45) (1234) (12345)

C 1 1 1 1 1 1 1C 1 −1 1 1 −1 −1 1E 4 2 0 1 −1 0 −1E 4 −2 0 1 1 0 −1

∧2E 6 0 −2 0 0 0 1W 5 1 1 −1 1 −1 0W 5 −1 1 −1 −1 1 0

✎ Ejercicios 3.4

3.4.1 Consideremos S4 = S{1,2,3,4} como un subgrupo de S5. Demuestra que:

E↓S5S4

= C⊕ E = C4,

E↓S5S4

= C⊕ E,

∧2E↓S5S4

= E⊕ E,

W ↓S5S4

= infS4S3E3 ⊕ E,

W ↓S5S4

= infS4S3E3 ⊕ E.


3.7. Grupos alternantes pequeños

En ésta sección construiremos las tablas de carácteres de los grupos alternantes A4 yA5.

El grupo alternante An contiene a las clases de conjugación de elementos de Sn repre-sentadas por permutaciones pares. Sin embargo, es posible que dos permutaciones conju-gadas en Sn no lo sean en An.

Ejemplo 3.12El grupo A4 contiene a las clases de S4 representadas por (1), (12)(34) y (123). Es fácil verdirectamente que los elementos (12)(34), (13)(24) y (14)(23) están en la misma clase de A4.Sin embargo, la clase de (123) en S4 no puede formar clase en A4, pues hay 8 elementos ental clase de S4 y 8 no divide a 12 = |A4|. De hecho, puesto que 8 = 24

|CS4(123)|

, tenemos que

|CA4(123)| = 3, de donde |clase de (123) en A4| = 123 = 4. Un representante de la otra clase de

4-elementos es (132).El subgrupo H = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} es normal en A4 y el cociente es un grupocíclico de orden 3, de modo que H = (A4)

′, y se sigue que A4 tiene 3 módulos lineales simples.Si denotamos los carácteres de C3 como χ0,χ1,χ2 y ζ es una raíz cúbica de la unidad, la tablade A4 empieza como:

A4 1 3 4 4(1) (12)(34) (123) (132)

infA4A4/Hχ0 1 1 1 1

infA4A4/Hχ1 1 1 ζ ζ2

infA4A4/Hχ2 1 1 ζ2 ζ

S x y z w

Como 3 + x2 = 12, tenemos que x = dimS = 3. El resto de las entradas se obtienen porortogonalidad de columnas: y = −1, z = w = 0. Nótese que S también puede obtenerse comola restricción de la representación estándar de S4.

Ejemplo 3.13Similarmente al caso deA4, se puede ver que los 15 conjugados de (12)(34) y los 20 conjugadosde (123) en S5, siguen formando clases de conjugación enA5, sin embargo la clase de (12345) sedivide en dos clases. Por lo tanto, tenemos clases de tamaños 1, 15, 20, 12, 12 con representantes(1), (12)(34), (123), (12345), (12354).Como el grupo A5 es simple, se debe tener (A5)

′ = A5, y por lo tanto la única representaciónlineal simple es la trivial.Si E yW denotan las correspondientes representaciones de irreducibles de S5, resulta inmediatover que E ↓S5

S4∼= E ↓S5

S4y W ↓S5

S4∼= W ↓S5

S4, y además E ↓S5

S4y W ↓S5

S4son simples. Si d1 y d2 son las

dimensiones de los dos A5-móduloes simples restantes, tenemos que 1+16+25+d21 +d2

2 = 60,de donde d2

1 + d22 = 18, es decir d1 = d2 = 3. Tenemos la siguiente tabla:

3.8. Tablas de carácteres en GAP 65

A5 1 15 20 12 12(1) (12)(34) (123) (12345) (12354)

χC 1 1 1 1 1χ

E↓S5S4

4 0 1 −1 −1

χW↓S5

S4

5 1 −1 0 0

χV 3 x1 y1 z1 w1

χV′ 3 x2 y2 z2 w2

Es fácil ver que (12)(34), (123), (12345) y (12354) son conjugados en A5 a su inverso, por loque las entradas restantes en la tabla son números reales (ejercicio 3.1.1). La ortogonalidad decolumnas (corolario 3.17) implica el sistema:

6 + 3x1 + 3x2 = 0, 1 + 1 + x21 + x2

2 =6015

, (3.57)

de donde se obtiene x1 = x2 = −1. De la tercer columna obtenemos:

1 + 1 + 1 + y21 + y2

2 =6020

, (3.58)

por lo que y1 = y2 = 0. Después, llegamos al sistema:

z21 + z2

2 = 3, z1 + z2 = 1, (3.59)

de donde se deduce z1 = 1±√

52 . Sin pérdida de generalidad, ponemos z1 = 1+

√5

2 , entonces

z2 = 1+√

52 , y ésto determina w2 = z1, w1 = z2.

3.8. Tablas de carácteres en GAP

En GAP, el comando Irr da una lista de los carácteres complejos irreducibles delgrupo. Por ejemplo:

gap> g:=SymmetricGroup(4);Sym( [ 1 .. 4 ] )gap> ConjugacyClasses(g);[ ()^G, (1,2)^G, (1,2)(3,4)^G, (1,2,3)^G, (1,2,3,4)^G ]gap> Irr(g);[ Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 1, -1, 1, 1, -1 ] ),Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 3, -1, -1, 0, 1 ] ),Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 2, 0, 2, -1, 0 ] ),Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 3, 1, -1, 0, -1 ] ),Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 1, 1, 1, 1, 1 ] ) ]


nos da las 5 clases de conjugación de S4, sus representantes y sus carácteres.

4Carácteres y módulos inducidos

4.1. Más sobre funciones de clase

Recordemos que una función de clase es una función θ : G → C que es constanteen clases de conjugación de G, y que el conjunto de funciones de clase es una subálge-bra del álgebra de funciones G → C. En particular, es un espacio vectorial, y notemosque el producto interno de carácteres puede extenderse naturalmente a un producto defunciones de clase, es decir, si ψ, θ son funciones de clase, podemos definir 〈ψ, θ〉 como

1|G|

∑g∈Gψ(g)θ(g), el cual es inmediato mostrar que es un producto interno en el sentido

usual de espacios vectoriales (1) en el espacio de funciones de clase.

Supongamos que χ1,χ2, . . . ,χr es una colección completa de los carácteres simples deun grupo G. Puesto que entonces G tiene exactamente r clases de conjugación, el espaciovectorial de funciones de clase tiene dimensión r.

4.1 Proposición. Si χ1,χ2, . . . ,χr es una colección completa de los carácteres simples de un grupo G,entonces también es una base para el espacio de funciones de clase.

Demostración. Por el teorema 3.11, es inmediato que χ1,χ2, . . . ,χr son linealmente inde-pendientes, de donde se deduce que son base, pues ya hemos observado que el espacio defunciones de clase tiene dimensión r.

En particular, χ1,χ2, . . . ,χr forman una base ortonormal para el espacio de funcionesde clase.

1FiXme: poner referencia

67

68 Capítulo 4. Carácteres y módulos inducidos

4.2 Proposición. Una función de clase θ : G → C es un carácter si y sólo si θ 6= 0 y 〈θ,χ〉 es un enterono negativo para todo carácter simple χ de G.

Demostración. Si θ es un carácter, entonces θ(1) > 0, por lo tanto θ 6= 0. Además 〈θ,χ〉es un entero no negativo si χ es simple por el corolario 3.12.

Supongamos ahora 〈θ,χj〉 = aj para j = 1, . . . , r, donde χ1,χ2, . . . ,χr forman unacolección completa de carácteres simples y aj es un entero no negativo. Entonces θ =∑r

j=1 ajχj, de donde θ es el carácter del módulo Sa11 ⊕ · · · ⊕ Sar

r 6= 0.

Ejemplo 4.1Sea G = S3 y θ : G→ C dada por θ(g) = orden de g. Es decir, θ es la función de clase dada porθ((1)

)= 1, θ

((12)

)= 2, θ

((123)

)= 3. Tenemos que 〈θ,χC〉 = 1

6 (1 + 6 + 6), de modo que θno es un carácter de G.

4.2. Carácteres inducidos

4.3 Definición. Sea H 6 G y sea θ : H→ C una función. Definimos la función θ↑GH : G→ C como:

θ↑GH (g) =

1|H|

∑x∈G,

x−1gx∈H

θ(x−1gx). (4.1)

Decimos que la función θ↑GH es inducida por la función θ.

Observemos que si H 6 G, y x,g ∈ G son tales que x−1gx ∈ H, entonces para todoh ∈ H se tiene que (xh)−1g(xh) = h−1(x−1gx)h ∈ H. Si θ es una función de clase, ademástenemos que θ

(h−1(x−1gx)h

)= θ(x−1gx). Sea T una transversal izquierda de H en G, es

decir, una colección de representantes de las clases laterales izquierdas de H, de modo quesi T = {t1, . . . , ts} entonces G = t1H ∪ · · · ∪ tsH. Por lo tanto, si θ : H→ C es una funciónde clase, podemos calcular a θ↑G

H por medio de la fórmula:

θ↑GH (g) =

∑x∈T ,

x−1gx∈H

θ(x−1gx). (4.2)

4.2. Carácteres inducidos 69

4.4 Proposición. Si H 6 G y θ : H → C es una función de clase, entonces θ↑GH : G → C es una función

de clase

Demostración. Para g,y ∈ G tenemos que

θ↑GH (ygy−1) =

1|H|

∑x∈G,

x(ygy−1)x−1∈H

θ(xygy−1x−1) (4.3)

=1|H|

∑x∈G,

(xy)g(xy)−1∈H

θ((xy)g(xy)−1) (4.4)

=1|H|

∑uy−1∈G,ugu−1∈H

θ(ugu−1) (4.5)

=1|H|

∑u∈G,

ugu−1∈H

θ(ugu−1) (4.6)

= θ↑GH (g) (4.7)

en donde hicimos el cambio de variable u = xy, (esto es x = uy−1), y notamos queuy−1 ∈ G si y sólo si u ∈ G.

Ejemplo 4.2Sea G = S4, con su acción natural en X = {1, 2, 3, 4}. Sea H = StabG(4) ∼= S3. Como enel ejemplo 4.1, consideremos la función θ : H → C dada por θ(h) = orden de h. Queremoscalcular θ ↑G

H. Como θ es una función de clase, por la proposición anterior basta determinarθ ↑G

H en representantes de las clases de conjugación de G: (1), (12), (12)(34), (123), (1234).Usaremos la fórmula (4.2), notando que podemos usar la transversal T = {(1), (14), (24), (34)}.Entonces

θ↑GH

((1)

)=

∑x∈T

θ(x−1(1)x

)= |T |θ(1) = 4. (4.8)

Para g = (12), los únicos elementos x ∈ T tales que x−1gx ∈ H = StabG(4) son x = 1 yx = (13), por lo que

θ↑GH

((12)

)= θ

((12)

)+ θ

((23)

)= 4, (4.9)

Para g = (12)(34), no existe x ∈ T tal que x−1gx ∈ H = StabG(4), por lo que θ↑GH

((12)(34)

)=

0, y lo mismo sucede con g = (1234). Finalmente, se puede determinar que θ ↑GH

((123)

)=

θ((123)

)= 3.

El siguiente teorema es más útil que un cálculo directo de la definición, para determinarcarácteres inducidos.


4.5 Teorema. (Reciprocidad de Frobenius) Sea H 6 G, y sean θ : H → C, φ : G → C funciones declase. Entonces

〈θ↑GH,φ〉 = 〈θ,φ↓G

H〉. (4.10)


〈θ↑GH,φ〉 =

1|G|

∑g∈G

θ↑GH (g)φ(g) (4.11)

=1|G|

∑g∈G

( 1|H|

∑x∈G,

xgx−1∈H

θ(xgx−1))φ(g) (4.12)

=1|G|

1|H|

∑{ (g,x)|g∈G, xgx−1∈H }

θ(xgx−1)φ(g), (4.13)

hacemos el cambio u = xgx−1, entonces g = x−1ux,

=1|G|

1|H|

∑{ (x−1ux,x)|x−1ux∈G, u∈H }

θ(u)φ(x−1ux), (4.14)

=1|G|

1|H|

|G|∑u∈H

θ(u)φ(u) (4.15)

pues si u ∈ H, x−1ux ∈ G para todo x ∈ G, además φ(x−1ux) = φ(u)

= 〈θ,φ↓GH〉 (4.16)

4.6 Corolario. Si H 6 G y θ : H→ C es un carácter entonces θ↑GH : G→ C es un carácter.

Demostración. Ya sabemos que θ↑GH : G→ C es una función de clase, así que apliquemos

el criterio de la proposición 4.2. Tenemos que θ↑GH (1) = [G : H]θ(1) > 0 y si χ un carácter

simple de G, entonces〈θ↑G

H,χ〉 = 〈θ,χ↓GH〉, (4.17)

el cual es un entero no negativo, pues es el producto interno de dos carácteres (ver teore-ma 3.11). El resultado se sigue entonces de la proposición 4.2.

4.3. Módulos inducidos 71

4.3. Módulos inducidos

En ésta sección supondremos que G es un grupo,H un subgrupo de G y T = {t1, . . . , ts}una transversal izquierda de H en G fija, donde tj = 1.

Si W un H-módulo, el corolario 4.6 implica que (χW)↑GH es un carácter. Nuestra meta

es encontrar un G-módulo V tal que χV = (χW)↑GH.

4.7 Definición. Sean V un G-módulo, W un subespacio de V tal que {g ∈ G | gW = W } = H (demanera que W es un H-módulo). Decimos que el G-módulo V es inducido por elH-módulo W si V = ⊕s

i=1tiW como espacio vectorial.

Notemos que la definición no depende de la transversal escogida, pues si t = t′h conh ∈ H, entonces tW = t′hW = t′W. Además, la inclusión de W en V puede interpretarsecomo un morfismo de H-módulos W → V ↓G

H.

En el ejercicio 2.2.5 se pidió demostrar que gW ∼= gW como gH-módulos.

Ejemplo 4.3Sea X un G-conjunto transitivo, x ∈ X y H = StabG(x). Entonces un conjunto T con |G|

|H|= |X|

elementos es una transversal de H en G precisamente cuando { tx | t ∈ T } = X. Sea V el módulode permutaciones con base X y W el subespacio vectorial con base x. Entonces W es el H-módulo trivial, y V como G-módulo es inducido por H.

4.8 Proposición. Si el G-módulo V es inducido por el H-módulo W, entonces χV = (χW)↑GH.

Demostración. Si B es base de W, entonces ∪sj=1tjB es base de V, por lo que dado g ∈ G

calcularemos χV(g) usando esa base. Tenemos entonces que:

χV(g) =∑

{ j|gtjW6tjW }

tr(g|tjW), (4.18)

y gtjW 6 tjW si y sólo si t−1j gtjW 6 W, si y sólo si t−1

j gtj ∈ H. Es inmediato que[g]tjB = [t−1

j gtj]B, por lo que tr(g|tjW) = χV(t−1j gtj), y por la ecuación 4.2, terminamos

la demostración.


4.9 Teorema. Dados H 6 G y W un H-módulo, existe un G-módulo V inducido por W.

Demostración. Como espacio vectorial, V es suma directa de s copias de W. Si w ∈ Westá en el j-ésimo sumando de la suma directa, denotaremos al correspondiente elementode V como (w, j).

Definiremos ahora la acción de G en V. Notemos primero que basta definirla en loselementos de la forma (w, j), pues cualquier otro elemento de V es suma de tales elementos.

Primero, definimos la acción de los elementos de H como: h(w, j) = (hw, j). Luego,para tj ∈ T , ponemos tj(w, 1) = (w, j) (ésto es consistente con la definición anterior parat1 = 1 ∈ H). Ésto determina la acción de g ∈ G en (w, j), pues g(w, j) = gtj(w, 1), y siescribimos gtj = tkh con h ∈ H, entonces:

g(w, j) = gtj(w, 1) = tkh(w, 1) = tk(hw, 1) = (hw,k). (4.19)

Para ver que tenemos una acción de G, consideremos g como antes y g′ ∈ G, entonces:

g′(g(w, j)

)= g′(hw,k) = g′tk(hw, 1) = tlh

′(hw, 1) =(h′(hw), l

), (4.20)

donde g′tk = tlh′. Por otro lado, para calcular (g′g)(w, j), tenemos que reescribir g′gtj =

g′tkh = tlh′h, por lo que:

(g′g)(w, j) =((h′h)w, l

), (4.21)

que es igual al resultado en (4.20), de donde V es un G-módulo.

Veamos ahora que V satisface la definición de módulo inducido. Los elementos de laforma (w, 1) forman un subespacio de V que es isomorfo a W como H-módulo, por loque lo identificaremos con W. Claramente V = ⊕s

i=1tiW por la forma como fue definidala acción, y además si g(w, 1) ∈W, entonces g = t1h para algún h ∈ H, pero t1 = 1, conlo que g ∈ H.

El siguiente teorema implica que, dado el H-módulo W, el módulo inducido por W esúnico salvo isomorfismo.

4.10 Teorema. Sean H 6 G, W un H-módulo, V ′ un G-módulo y φ : H → V ′ ↓GH un morfismo de

H-módulos. Sea V el módulo construido en el teorema 4.9. Entonces existe un únicomorfismo de G-módulos Φ : V → V ′ que extiende a φ.

4.3. Módulos inducidos 73

Demostración. Si Φ extiende a φ, debemos tener:

Φ(w, j) = Φ(tj(w, 1)

)= tjΦ(w, 1) = tjφ(w), (4.22)

por lo que basta comprobar que la ecuación (4.22) define un morfismo de G-módulos. Sig ∈ G, tenemos que:

Φ(g(w, j)

)= Φ

(gtj(w, 1)

)= Φ

(tkh(w, 1)

)= Φ(hw,k) = tkφ(hw), (4.23)

donde gtj = tkh con h ∈ H, mientras que:

gΦ(w, j) = gtjφ(w) = tkhφ(w). (4.24)

Como ésta expresión es igual a la de la ecuación (4.23), hemos terminado la demostración.

Dado el H-módulo W, el módulo V inducido por W será denotado como V = W ↑GH.

✎ Ejercicios 4.1

4.1.1 Supongamos H 6 G, y sean W un H-módulo y V ′ un G-módulo. Demuestra que los espaciosvectoriales homCG(W ↑G

H,V ′), homCH(W,V ′ ↓GH) son isomorfos. Explica por qué esto da otra de-

mostración de la reciprocidad de Frobenius (teorema 4.5) en el caso de que θ, φ sean carácteres.

5Teoremas de Burnside y Frobenius

5.1. El kernel de un carácter

En ésta sección, a menos que se indique lo contrario, V denotará un G-módulo, n =dimV, Φ : G→ GL(V) el homomorfismo de grupos asociado y χ su carácter.

5.1 Lema. Sean aj,bj ∈ R, cj ∈ C, j = 1, . . . , r

1. Si aj 6 bj, j = 1, . . . , r y∑r

j=1 aj =∑r

j=1 bj, entonces aj = bj, j = 1, . . . , r.

2. Si |cj| 6 bj, j = 1, . . . , r y∑r

j=1 cj =∑r

j=1 bj, entonces cj = bj, j = 1, . . . , r.

Demostración. Para el primer enunciado, notar que si ak < bk para alguna k entre 1y r, entonces de aj 6 bj para j = 1, . . . , r se obtiene que

∑rj=1 aj <

∑rj=1 bj, lo cual

contradice la hipótesis.

Para el segundo enunciado, denotando con <z la parte real del número complejo z, lashipótesis implican que <cj 6 |cj| 6 bj y que <(

∑rj=1 cj) =

∑rj=1 <cj = <(

∑rj=1 bj) =∑r

j=1 bj. Por el párrafo anterior aplicado a aj = <cj se tiene que <cj = bj para toda j.Puesto que además =cj, la parte imaginaria de cj, satisface |cj|

2 = (<cj)2 + (=cj)

2 6 b2j ,

se llega a que =cj = 0, de donde cj es real y cj = bj.

5.2 Proposición. Para g ∈ G, g ∈ kerΦ si y sólo si χ(g) = χ(1).

75

76 Capítulo 5. Teoremas de Burnside y Frobenius

Demostración. Si g ∈ kerΦ, entonces Φ(g) = I = Φ(1), donde I es la matriz identidad,y por lo tanto, χ(g) = χ(1). Supongamos ahora χ(g) = χ(1). Como se observó en lademostración de la proposición 3.3, χ(g) =

∑nj=1 λj, donde los λj son los valores propios

de Φ(g), los cuales satisfacen |λj| = 1 y n = χ(1) = dimV. Por lo tanto, n =∑n

j=1 λj =∑nj=1 1. Por el lema 5.1, llegamos a que los λj deben ser todos iguales a 1, de donde Φ(g)

es semejante a I, es decir, Φ(g) = I y por lo tanto, g ∈ kerΦ.

5.3 Definición. Si χ es el carácter de algún G-módulo, definimos kerχ = {g ∈ G | χ(g) = χ(1) }.

Desde luego, la proposición 5.2 implica que kerχ es siempre un subgrupo normal deG.

5.4 Proposición. Sea G un grupo finito y N C G. Entonces existe una correspondencia biyectiva entrelos carácteres de G/N y los carácteres de G tales que N 6 kerχ. Tal correspondenciapreserva carácteres simples.

Demostración. Sea χ un carácter de G con N 6 kerχ y sea Φ : G→ L(V) el homomorfis-mo asociado. Como N 6 kerχ = kerΦ, existe un único morfismo Φ : G/N → L(V) quehace conmutar el diagrama:

G //

��

G/N

Φ{{xxxxxxxx

L(V)

. (5.1)

Definimos entonces la correspondencia χ 7→ χ, donde χ es el carácter correspondiente aΦ. Notemos que χ(gN) = χ(g).

Recíprocamente, si ψ es un carácter de G/N con homomorfismo correspondiente

Ψ : G/N → L(W), sea Ψ la composición G → G/NΨ−→ L(W) con carácter ψ. Clara-

mente N 6 kerΨ = kerψ, por lo que definimos la correspondencia ψ 7→ ψ. En este caso,tenemos que ψ(gN) = ψ(g).

De los dos párrafos anteriores, tenemos que ˆχ(g) = χ(gN) = χ(g), y que ¯ψ(gN) =

ψ(g) = ψ(gN), por lo que se establece la correspondencia biyectiva entre los conjuntosdados. La correspondencia preserva los carácteres simples, pues claramente un subespaciode V es un G-submódulo si y sólo si es un G/N-submódulo.

En lo sucesivo, utilizaremos Irr(G) = {χ1, . . . ,χr} para denotar una colección completade carácteres simples de G.

5.1. El kernel de un carácter 77

5.5 Proposición. Sea χ =∑r

j=1 njχj. Entonces kerχ = ∩nj>0 kerχj.

Demostración. Sea g ∈ kerχ, entonces se tiene que χ(g) = χ(1), de donde χ(g) =∑rj=1 njχj(g) =

∑nj>0 njχj(g) es igual a χ(1) =

∑nj>0 njχj(1). Aplicando el lema 5.1,

recordando de la proposición 3.3, que |χj(g)| 6 χj(1) para toda j = 1, . . . , r, obtenemosque χj(g) = χi(j) para todo j tal que nj > 0, esto es, g ∈ ∩nj>0 kerχj.

Por otro lado, si g ∈ ∩nj>0 kerχj, entonces claramente njχj(g) = njχj(1) para toda j,por lo que χ(g) = χ(1), es decir, g ∈ kerχ.

5.6 Proposición. Sea G un grupo finito y NCG. Entonces

1. ∩χj∈Irr(G) kerχj = 1,

2. ∩χj∈Irr(G), N6ker χjkerχj = N,

3. ∩χj∈Irr(G), χj(1)=1 kerχj = G′.

Demostración. Si ρ es el carácter de la representación regular de G, entonces ker ρ =1 (ver ejemplo 3.2). Además ρ =

∑rj=1 χj(1)χj y χj(1) > 0 para toda j. Aplicando la

proposición 5.5 a ρ obtenemos el primer resultado.

Para el segundo enunciado, aplicamos el primer párrafo al grupo G/N. Pero por laproposición 5.4, los carácteres simples de G/N se identifican con los carácteres simples deN tales que su kernel contiene a N.

Para el tercer enunciado, recordemos que si χ es un carácter lineal, entonces χ : G →C× es un homomorfismo, y como χ(1) = 1, el kernel de χ como carácter es el mismoque como homomorfismo. Como G/kerχ es isomorfo a un subgrupo de C×, es abeliano,por lo que G′ 6 kerχ, de donde G′ 6 ∩χj∈Irr(G), χj(1)=1 kerχj. Para probar la contencióninversa, del segundo enunciado obtenemos que G′ = ∩χj∈Irr(G), G′6ker χj

kerχj. Puesto queχj(1) = 1 implica que G′ 6 kerχj, en la intersección ∩χj∈Irr(G), χj(1)=1 kerχj participan,al menos los mismos intersectandos, por lo que ésta última está contenida en G′, con loque se concluye la demostración.


5.2. El centro de un carácter

5.7 Lema. Si H es un subgrupo finito del grupo multiplicativo de los complejos C×, entonces Hes cíclico.

Demostración. En general, si F es cualquier campo y H es un subgrupo finito del grupoF× = F− {0}, se tiene que H es cíclico. Ver por ejemplo...1.

5.8 Lema. Sea V un G-módulo simple yΦ : G→ GL(V) el homomorfismo asociado. Sea U : V →V lineal tal que UΦ(g) = Φ(g)U para todo g ∈ G. Entonces existe c ∈ C tal queU = c1V .

Demostración. La condición UΦ(g) = Φ(g)U implica que U ∈ homCG(V,V), y el coro-lario 1.31 nos da que este último conjunto está formado solamente por múltiplos escalaresde la transformación identidad.

5.9 Definición. Sea χ un carácter de G. Definimos el centro de χ como:

Z(χ) = {g ∈ G | |χ(g)| = χ(1) } . (5.2)

Dado un carácter χ de G, al carácter de la restricción de la representación de χ a unsubgrupo H 6 G (ver definición 2.9) se le denotará con χ↓G

H.

5.10 Proposición. Sea V un G-módulo con carácter χ, Φ : G → GL(V) el homomorfismo asociado yn = dimV = χ(1). Entonces:

1. Z(χ) = {g ∈ G | Φ(g) = c1V para algún c ∈ C },

2. Z(χ) 6 G,

3. χ↓GZ(χ)= nψ para algún carácter lineal ψ de Z(χ),

4. Z(χ)/kerχ es cíclico,

5. Z(χ)/kerχ 6 Z(G/kerχ).

6. Si V es un G-módulo simple, entonces Z(χ)/kerχ = Z(G/kerχ).

1FiXme: PONER REFERENCIA

5.2. El centro de un carácter 79

Demostración. Para la primera afirmación, recordemos del lema 3.2, que para todo g ∈ Gse tiene que Φ(g) : V → V es diagonalizable, y todos sus valores propios tienen norma 1,por lo tanto, χ(g) =

∑nk=1 λk, con |λk| = 1. Tomemos g ∈ Z(χ), entonces |χ(g)| = n, de

donde |∑n

k=1 λk| =∑n

k=1 |λk|. Del resultado en [Ahl78, p. 10], obtenemos que λk/λl =εk,l es un real positivo para 1 6 k, l 6 n. Pero εk,l = |εk,l| = |λk|/|λl| = 1, de dondeλk = λl para 1 6 k, l 6 n. Sea c el valor común de las λk. Entonces existe una base de VdondeΦ(g) tiene matriz cIn. Pero entonces eso sucede para toda base de V (pues cualquiermatriz conjugada a cIn es igual a ella misma), por lo que Φ(g) = c1V . Recíprocamente, siΦ(g) = c1V , entonces |χ(g)| = |nc| = n|c| = n = |χ(1)|, es decir g ∈ Z(χ).

Para el segundo enunciado, sean g1,g2 ∈ Z(χ). Entonces existen c1, c2 ∈ C conΦ(g1) = c11V y Φ(g2) = c21V , de donde Φ(g1g2) = (c11V) ◦ (c21V) = c1c21V , dedonde g1g2 ∈ Z(χ). Como G es finito, esto es suficiente para mostrar que Z(χ) 6 G.

Para el tercer enunciado, definimos ψ : Z(χ) → C por medio de la ecuación Φ(g) =ψ(g)1V . Hemos visto en el párrafo anterior que ψ(g1)ψ(g2)1V = Φ(g1g2) = ψ(g1g2)1V ,de donde se obtiene que ψ : Z(χ) → C es un homomorfismo, es decir, un carácter lineal.También hemos visto que si g ∈ Z(χ) se tiene que χ(g) = nψ(g), de donde χ↓G

Z(χ)= nψ.

Para demostrar el cuarto enunciado, primero observemos que para el homomorfismodel párrafo anterior ψ : Z(χ) → C se tiene que kerχ = kerψ, dado que ambos son sub-conjuntos de Z(χ) y para g ∈ Z(χ), χ(g) = nψ(g), de donde claramente χ(g) = n = χ(1)si y sólo si ψ(g) = 1. Por lo tanto Z(χ)/kerχ = Z(χ)/kerψ es isomorfo a imψ 6 C×.Por el lema 5.7, este grupo es cíclico.

Para el siguiente enunciado, recordemos de la proposición 5.2, que kerχ = kerΦ, porlo que obtenemos isomorfismos

G/kerχ = G/kerΦ ∼= Φ(G), (5.3)

y bajo este isomorfismo tenemos que Z(G/kerΦ) se corresponde con Z(Φ(G)). Por otrolado, del primer enunciado aquí demostrado, se deduce que Φ(Z(χ)) 6 Z(Φ(G)), puesΦ(g) es un múltiplo de la transformación identidad para g ∈ Z(χ). Por lo tanto, el sub-grupo de G/kerΦ correspondiente a Φ(Z(χ)), es decir Z(χ)/kerΦ = Z(χ)/kerχ, es dehecho un subgrupo de Z(G/kerΦ).

Finalmente, para el último enunciado basta mostrar que en el caso de que V sea simplese tiene la inclusión Z(G/kerχ) 6 Z(χ)/kerχ. Supongamos que gkerχ ∈ Z(G/kerχ).Por la observación después de la ecuación 5.3, se tiene que Φ(g) ∈ Z(Φ(G)). Por ellema 5.8, Φ(g) = c1V para alguna c ∈ C, de donde g ∈ Z(χ).

Como una consecuencia inmediata del último enunciado y del teorema de correspon-dencia en teoría de grupos, obtenemos que si χ es simple, Z(χ) CG.


5.11 Corolario. Sea G un grupo finito. Entonces Z(G) = ∩χ∈Irr(G)Z(χ).

Demostración. Sea χ ∈ Irr(G). Si a ∈ Z(G) es inmediato que akerχ ∈ Z(G/kerχ). PeroZ(G/kerχ) = Z(χ)/kerχ, de donde a ∈ Z(χ).

Recíprocamente, supongamos que a ∈ Z(χ) para todo χ ∈ Irr(G). Entonces gkerχ ∈Z(G/kerχ) para todo χ ∈ Irr(G). Y para todo x ∈ G y todo akerχ ∈ Z(A/kerχ) tenemosentonces (akerχ)(xkerχ) = (xkerχ)(akerχ), es decir, [a, x] = a−1x−1ax ∈ kerχ. Por lotanto, para todo x ∈ G tenemos [a, x] ∈ ∩χ∈Irr(G) kerχ = 1, es decir [a, x] = 1, de dondea ∈ Z(G).

5.12 Lema. Sea H 6 G, y sea χ un carácter de G. Entonces

〈χ↓GH,χ↓G

H〉 6 [G : H]〈χ,χ〉, (5.4)

en donde la igualdad se da si y sólo si χ(g) = 0 para g ∈ G−H.


|H|〈χ↓GH,χ↓G

H〉 =∑h∈H

|χ(h)|2 6∑g∈G

|χ(g)|2 = |G|〈χ,χ〉, (5.5)

de donde se deduce el resultado.

5.13 Corolario. Sea χ ∈ Irr(G). Entonces χ(1)2 6 [G : Z(χ)], donde la igualdad se cumple si y sólo siχ se anula en G− Z(χ).

Demostración. Sabemos que χ ↓GZ(χ)= χ(1)ψ, donde ψ es un carácter lineal de Z(χ). Por

lo tanto, 〈χ↓GZ(χ),χ↓

GZ(χ)〉 = χ(1)2〈ψ,ψ〉 = χ(1)2, y por el lema 5.12 se tiene que

χ(1)2 6 [G : Z(χ)]〈χ,χ〉 = [G : Z(χ)] (5.6)

y la igualdad se cumple si y sólo si χ se anula en G− Z(χ).

Puesto que Z(G) 6 Z(χ) si χ ∈ Irr(G), para tal χ se tiene además que χ(1)2 6 [G :Z(G)].

5.3. Enteros algebraicos y carácteres 81

5.14 Proposición. Sea χ ∈ Irr(G) con G/Z(χ) abeliano. Entonces [G : Z(χ)] = χ(1)2.

Demostración. Basta mostrar que χ se anula en G − Z(χ). Sea g ∈ G − Z(χ). Entoncesgkerχ 6∈ Z(G/kerχ), por lo que existe h ∈ G con ghkerχ 6= hgkerχ, esto es z =g−1h−1gh = [g,h] 6∈ kerχ. Pero como G/Z(χ) es abeliano, tenemos que G′ 6 Z(χ), enparticular, z ∈ Z(χ). Sea V un G-módulo con χV = χ y Φ : G→ GL(V) el homomorfismode grupos asociado. Entonces Φ(z) = c1V , donde c 6= 1 pues z 6∈ kerΦ = kerχ. Tenemosque Φ(gz) = Φ(g)Φ(z) = cΦ(g), por lo que tomando trazas llegamos a que χ(gz) =cχ(g). Pero gz = h−1gh, por lo que χ(gz) = χ(g), esto es χ(g) = cχ(g). Como c 6= 1,entonces χ(g) = 0, como queríamos demostrar.

5.15 Definición. Un carácter χ de G es fiel si kerχ = 1.

5.16 Teorema. Sea G un grupo finito, entonces:

1. Si G tiene un carácter simple y fiel, entonces Z(G) es cíclico.

2. Si G es un p-grupo y Z(G) es cíclico, entonces G tiene un carácter simple y fiel.

Demostración. Tenemos que para todo carácter χ, Z(χ)/kerχ es cíclico. Si χ es ademássimple, éste grupo es igual a Z(G/kerχ), por lo que si χ es además fiel, se tiene que Z(χ)es cíclico y Z(χ) = Z(G).

Para el segundo enunciado, recordemos de la teoría de grupos que si G es un p-grupoy 1 6= H 6 G, entonces H∩Z(G) 6= 1. Si Z(G) es cíclico, entonces tiene un único subgrupoP de orden p. Observemos que si N es un subgrupo normal no trivial de G, puesto queN ∩ Z(G) es un p-grupo no trivial, tal intersección debe tener subgrupos de orden p. Peroel único subgrupo de orden p de Z(G) es P, por lo que se deduce que P 6 N para todo1 6= N 6 G. Por otro lado, sabemos que ∩χ∈Irr(G) kerχ = 1, de donde P 66 kerχ paraalgún χ ∈ Irr(G), por lo que debemos tener kerχ = 1.

5.3. Enteros algebraicos y carácteres


5.17 Definición. Un entero algebraico es un elemento del campo C que es raíz de algún polinomiomónico con coeficientes enteros.

Es decir, z ∈ C es un entero algebraico si existen an−1, . . . ,a1,a0 ∈ Z tales que

zn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z+ a0 = 0. (5.7)

5.18 Proposición. Sea z ∈ C. Entonces z ∈ C es un entero algebraico si y sólo si z es valor propio dealguna matriz A ∈Mn(Z) para alguna n ∈ N.

Demostración. Supongamos que zn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z+ a0 = 0, donde a0, a1, . . .,

an−1 son enteros. Entonces z es raíz del polinomio característico de la matriz n× n:

A =

0 0 0 · · · 0 −a0

1 0 0 · · · 0 −a1

0 1 0 · · · 0 −a2...

. . ....

0 1 −an−1

. (5.8)

Por otro lado, si Au = zu para A ∈ Mn(Z) y u ∈ Cn, entonces z es raíz del polinomiocaracterístico de A, el cual es mónico y tiene coeficientes enteros.

Por lo tanto, z ∈ C es un entero algebraico si y sólo si es valor propio de algunatransformación lineal T : V → V tal que V tiene una base B donde [T ]B consta de númerosenteros.

5.19 Proposición. El conjunto de enteros algebraicos es un subanillo de C.

Demostración. Es suficiente mostrar que suma y producto de enteros algebraicos es unentero algebraico. Sean z1, z2 enteros algebraicos. Supongamos que son valores propios delas transformaciones lineales T1 : V → V, T2 : W →W respectivamente, y que existen basesB1, B2 de V, W tales que [T ]B1 , [T ]B2 consta de enteros. Supongamos que T1u1 = z1U1,T2u2 = z2u2. Entonces se tiene que (T1 ⊗ T2)(u1 ⊗ u2) = z1z2(u1 ⊗ u2), y la matriz deT1 ⊗ T2 con respecto a B1 ⊗ B2 consta solamente de enteros, y puesto que z1z2 es valorpropio de T1 ⊗ T2, es un entero algebraico. Similarmente, z1 + z2 es valor propio de latransformación T1 ⊗ 1V2 + 1V1 ⊗ T2, por lo que también es un entero algebraico.

5.3. Enteros algebraicos y carácteres 83

5.20 Corolario. Sea χ un carácter del grupo finito G. Entonces χ(g) es un entero algebraico para todog ∈ G.

Demostración. Sabemos que χ(g) es suma de valores propios de g : V → V, cada uno delos cuales es raíz del polinomio xn − 1, y por lo tanto, un entero algebraico.

De la demostración del corolario 5.20, de hecho se ve que todos los carácteres deun grupo G de orden n están en la extensión Q(ζ) de los racionales, donde ζ es una raízprimitiva n-ésima de la unidad. En GAP, el comando CyclotomicField crea una extensióntal, por ejemplo:

gap> CyclotomicField(12);CF(12)

Consideremos un grupo finito G, sea V un G-módulo simple, sea χ = χV y Φ : G →GL(V) el homomorfismo de grupos asociado. Recordemos que por la propiedad universaldel álgebra de grupo, el homomorfismo de grupos Φ induce un morfismo de álgebrasΦ : CG→ L(V). Si z ∈ Z(CG) y U = Φ(z), entonces tenemos que:

UΦ(g) = Φ(z)Φ(g) = Φ(gz) = Φ(zg) = Φ(g)Φ(z) = Φ(g)U, (5.9)

es decir, U conmuta con todas las transformaciones lineales de la forma Φ(g) para g ∈ G.Por el lema 5.8, tenemos que Φ(z) = U = c1V para algún c ∈ C. Definamos la funciónωχ : Z(CG) → C por medio de la ecuación

Φ(z) = ωχ(z)1V . (5.10)

Puesto que Φ es un morfismo de álgebras, es inmediato que también ωχ lo es. Enparticular, ωχ es una transformación lineal, y está determinada por sus valores en unabase de Z(CG). Recordemos, de la proposición 3.4, que si g1,g2, . . . ,gr una colecciónde representantes de las clases de conjugación de G y definimos gj =

∑h∼gj

h ∈ CG,tenemos que g1, g2, . . . , gr es una base de Z(CG). Sean Cj = {h | h ∼ gj } y cj = |Cj|.Entonces, tomando trazas en ambos lados de la ecuación:∑

x∈Cj

Φ(x) = Φ(∑

x∈Cj

x) = ωχ(∑

x∈Cj

x)1V = ωχ(gj)1V , (5.11)

obtenemos: ∑x∈Cj

χ(x) = cjχ(gj) = ωχ(gj)χ(1), (5.12)


de donde

ωχ(gj) =cjχ(gj)

χ(1), (5.13)

en particular, los valores de ωχ se pueden determinar a partir de la tabla de carácteres.

5.21 Lema. Si gjgk =∑r

l=1 ajklgl, los números ajkl son enteros no negativos.


ajkl = coeficiente de gl en gjgk = | { (x,y) | x ∼ gj,y ∼ gk, xy = gl } |, (5.14)

por lo que es un número entero no negativo.

5.22 Proposición. Cada ωχ(gj) es un entero algebraico.

Demostración. 2.

✎ Ejercicios 5.1

5.1.1 Encuentra un polinomio mónico con coeficientes enteros del cual√

2 +√

3 sea raíz.

5.4. El teorema de Burnside

5.23 Teorema. Sean χ un carácter simple del grupo G, g ∈ G, C = {h | h ∼ g } y c = |C|. Supongamosque (χ(1), c) = 1. Entonces g ∈ Z(χ) ó χ(g) = 0.

2FiXme: Incluir demostración

5.4. El teorema de Burnside 85

Demostración. Sabemos que χ(g)cχ(1) es un entero algebraico. Como (χ(1), c) = 1, existen

u, v ∈ Z tales que uχ(1) + vc = 1. Por lo tanto

vχ(g)c

χ(1)=χ(g)(1 − uχ(1))

χ(1)=χ(g)

χ(1)− uχ(g), (5.15)

es una igualdad entre enteros algebraicos. Como uχ(g) es un entero algebraico, α =χ(g)χ(1)

es un entero algebraico.

Supongamos que g 6∈ Z(χ), es decir |χ(g)| 6= χ(1). Como |χ(g)| 6 χ(1), debemos tener|χ(g)| < χ(1), es decir, |α| < 1.

Seam el orden de g ∈ G. Sea E el subcampo de C que es campo de descomposición delpolinomio xm−1 ∈ Q[x]. Entonces α ∈ E, pues χ(g) es suma de raíces de dicho polinomio.Para cada σ ∈ Gal(E, Q), tenemos que σ envía raíces de xm − 1 en raíces de xm − 1, porlo que σ(χ(g)) es suma de raíces de xm − 1. En particular, |σ(χ(g))| 6 χ(1) para todoσ ∈ Gal(E, Q), por lo que |σ(α)| 6 1 para todo σ ∈ Gal(E, Q). Sea β =

∏σ∈Gal(E,Q) σ(α).

Entonces |β| < 1 y β es un entero algebraico, pues es un producto de raíces de xm − 1.Sin embargo σ(β) = β para todo σ ∈ Gal(E, Q), por lo que β ∈ Q. Siendo un enteroalgebraico racional, debemos tener β ∈ Z, y de la desigualdad |β| < 1, llegamos a queβ = 0. Por lo tanto σ(α) = 0 para alguna σ ∈ Gal(E, Q), pero como σ es un automorfismo,obtenemos que α = 0. Como α =

χ(g)χ(1) , concluimos que χ(g) = 0.

5.24 Teorema. Sea G un grupo simple y no abeliano. Entonces {1} es la única clase de conjugación deG cuyo tamaño es una potencia de un primo.

Demostración. Supongamos lo contrario, y sea g ∈ G tal que | {h | h ∼ g } | = pa, cong 6= 1. Sea χ un carácter simple de G tal que χ(1) > 1, el cual existe pues G es no abeliano.Entonces kerχ = 1, pues G es simple, y Z(χ) = Z(G) = 1, ya que G no es abeliano (y dadoque Z(G) C G, las únicas posibilidades eran Z(G) = 1 o Z(G) = G). Por el teorema 5.23,tenemos que en caso de que p 6| χ(1), entonces χ(g) = 0. Consideremos ρ : G → C elcarácter de la representación regular. Tenemos que:

0 = ρ(g) =∑

χ∈Irr(G)

χ(1)χ(g) = 1 +∑

χ∈Irr(G),p|χ(1)

χ(1)χ(g) = 1 + p∑

χ∈Irr(G),p|χ(1)

χ(1)

pχ(g). (5.16)

Sea α =∑

χ∈Irr(G), p|χ(1)χ(1)

p χ(g). Entonces α es un entero algebraico, pero por otro lado

1 + αp = 0, es decir, α = − 1p , lo cual es una contradicción.

5.25 Teorema. (Burnside) Sea G un grupo tal que |G| = paqb, donde p,q son números primosdistintos. Entonces G es soluble.


Demostración. Supongamos que el teorema es falso, y sea G un grupo de orden mínimotal que |G| = paqb y G no es soluble.

Entonces G es simple, pues si tuviéramos 1 6= NCG, para algún N 6 G, entonces N yG/N tendrían ambos orden de la forma pa′

qb′pero menor a |G|. Por construcción ambos

serían solubles y por lo tanto G también, contrario a la hipótesis.

Supongamos (sin pérdida de generalidad) que a > 1. Sea P un p-subgrupo de Sylowy sea g ∈ Z(P), g 6= 1. Entonces P 6 CG(g) y como | {h | h ∼ g } | =

|G||CG(g)| , la clase de

g tiene una cantidad de elementos que es una potencia prima (no trivial, pues g 6= 1), locual contradice el teorema 5.24. Por lo tanto, G es soluble.

6Representaciones del grupo simétrico

En éste capítulo consideraremos un método para construir las representaciones irre-ducibles del grupo simétrico Sn.

6.1. Particiones y diagramas de Young

Ya sabemos que las representaciones irreducibles de cualquier grupo finito están encorrespondencia biyectiva con las clases de conjugación de sus elementos. En el caso delgrupo simétrico, dos elementos son conjugados si y sólo si tienen la misma estructuracíclica. Las posibles estructuras cíclicas en Sn se pueden a su vez corresponder con lasparticiones de n, es decir, las diferentes maneras de escribir n como una suma de enteros.Por ejemplo, en S4:

(1) 4 = 1 + 1 + 1 + 1 (14)

(12) 4 = 2 + 1 + 1 (2, 12)

(12)(34) 4 = 2 + 2 (22)(123) 4 = 3 + 1 (3, 1)(1234) 4 = 4 (4)

es decir, dado un elemento σ de Sn, escribimos n como una suma con tantos sumandosiguales a i como ciclos ajenos de tamaño i hay en una descomposición de σ.

Hacemos el convenio de denotar a las particiones con las letras λ y µ, de modo quelos escalares complejos se denotarán con c. Escribiremos siempre a la partición λ : n =n1 + n2 + · · ·+ nk de forma que: n1 > n2 > · · · > nk.

Una partición de n como la indicada se representa gráficamente con un arreglo de n ca-jitas distribuidas en k renglones, donde el renglón i tiene ni cajitas. El diagrama obtenidose llama diagrama de Young. Por ejemplo, para n = 4, tenemos:

87

88 Capítulo 6. Representaciones del grupo simétrico

1 + 1 + 1 + 1

2 + 1 + 1

2 + 2

3 + 1

4

Definiremos dos relaciones de orden en el conjunto de particiones de n. Sean λ : n =n1 + n2 + · · · + nk y µ : n = m1 + m2 + · · · + ml. Decimos que λ < µ si existe r con0 6 r 6 mın{k, l} tal que ni = mi para i < r y nr < mr. Éste es el orden lexicográfico,y es un ejercicio mostrar que cualesquiera dos particiones de n son comparables entre sícon respecto a éste orden. Por ejemplo, las particiones de 4 fueron enlistadas en el ordenlexicográfico.

Por otro lado, escribiremos λ E µ, y diremos que µ domina a λ si n1 +n2 + · · ·+ni 6m1 +m2 + · · ·+mi para todo i 6 max{k, l}. En general, la relación E es simplemente unorden parcial.

✎ Ejercicios 6.1

6.1.1 Encuentra dos particiones λ,µ de n = 5 que sean incomparables con respecto al orden E.

6.1.2 Si λ y µ son particiones de n y λ 6 µ, demuestra que λ E µ.

6.2. Tableros y representaciones irreducibles

En toda ésta sección, λ y µ denotarán particiones del número natural fijo n.

6.2. Tableros y representaciones irreducibles 89

6.1 Definición. Un λ-tablero de Young Tλ se obtiene etiquetando las cajitas del diagrama de Youngde λ con los números del 1 al n. El tablero es estándar si las etiquetas forman unasucesión creciente en cada renglón y en cada columna.

Por ejemplo, en el caso n = 4 los siguientes son algunos tableros:

1234

1 234

1 3 42

3142

2 3 41 2 1 3 4 2 1

4 3(6.1)

En éstos ejemplos, exactamente los tres primeros son tableros estándares.

Definiremos ahora un orden en los tableros de Young correspondientes a particionesde un natural n fijo. Sean Tλ, Tµ tableros distintos. Si λ = µ, sea x ∈ {1, 2, . . . ,n} el númeromayor que no está en la misma casilla en Tλ y Tµ. Diremos que Tλ < Tµ si:

1. λ < µ (orden lexicográfico), o bien si:

2. λ = µ, y (el índice de) la columna de x en Tλ es mayor que (el índice de) la columnade x en Tµ, o bien si:

3. λ = µ, la columna de x en Tλ es igual a la columna de x en Tµ y el renglón de x enTλ es menor a el renglón de x en Tµ.

Por ejemplo, tenemos:

1 32 4

<2 1 34

, 1 32 4

<1 23 4

, 1 42 3

<1 23 4

. (6.2)

El grupo Sn actúa de manera obvia en el conjunto de λ-tableros. Tal acción es transitiva(de hecho es isomorfa a la acción regular de Sn en sí mismo). Usando ésta acción, y dadoel tablero Tλ definimos los siguientes subgrupos de Sn:

R(Tλ): {σ ∈ Sn | σ fija cada renglón de Tλ }

C(Tλ): {σ ∈ Sn | σ fija cada columna de Tλ }

Por supuesto, si λ es la partición n = n1 + n2 + · · · + nk, entonces R(Tλ) es isomorfo aSn1 × Sn2 × · · · × Snk

.

Demostraremos ahora los primeros resultados sobre tableros:


6.2 Proposición. Si Tλ es un tablero estándar, σ ∈ R(Tλ), τ ∈ C(Tλ), entonces σTλ > Tλ y τTλ 6 Tλ.

Demostración. Sea x ∈ {1, 2, . . . ,n} el número mayor movido por σ. Éste es tambiénel número mayor que no está en la misma casilla en Tλ y σTλ. Como Tλ es un tableroestándar, tal entrada es movida por σ a la izquierda. Es decir, x está en una columna deíndice mayor en Tλ que en σTλ, por lo que Tλ < σTλ en éste caso. El otro resultado essimilar, pues la mayor entrada de Tλ movida por τ necesariamente es movida hacia arribaen Tλ.

Diremos que dos λ-tableros Tλ, T ′λ son equivalentes si las entradas en correspondientesrenglones son las mismas. Ésta es claramente una relación de equivalencia, también esclaro que la acción de Sn preserva la relación, es decir, si Tλ, T ′λ son equivalentes y σ ∈ Sn,entonces σTλ y σT ′λ son equivalentes (ambos tableros tienen como conjunto de renglones elconjunto que resulta de aplicar σ al conjunto de renglones de Tλ). Denotaremos con {Tλ} ala clase de equivalencia de Tλ, entonces la acción de Sn en el conjunto de λ-tableros induceuna acción transitiva en el conjunto de clases de equivalencia de λ-tableros. De hecho,R(Tλ) = StabSn

({Tλ}), por lo que el conjunto de clases de equivalencia de λ-tableros tienen!

n1!···nk! elementos.

Ejemplos 6.11. Sea λ = (n), por ejemplo si n = 4, entonces λ tiene diagrama . En este caso es

claro que todos los λ-tableros son equivalentes.

2. Sea λ = (1n), por ejemplo si n = 4, entonces λ tiene diagrama . En este caso cada clase

de equivalencia {Tλ} consta solamente de Tλ, por lo que hay n! clases.

3. Sea λ = (n − 1, 1), por ejemplo si n = 4, entonces λ tiene diagrama . En este

caso la clase de equivalencia {Tλ} está determinada por el número en la cajita en el segundorenglón, es decir, el conjunto de clases de equivalencia de tableros está en biyección con elconjunto {1, 2, . . . ,n}.

6.3 Proposición. Sean Tλ y Tµ dos tableros. Supongamos que λ no domina estrictamente a µ. Entoncessucede exactamente una de las siguientes opciones:

1. hay dos enteros distintos i, j que están en la misma columna de Tλ y en el mismorenglón de Tµ, o bien:

2. λ = µ, y existen σ ∈ R(Tµ), τ ∈ C(Tλ) tales que σTµ = τTλ.

6.3. Módulos de Specht 91

Por ejemplo, si

Tλ =1 23 4

, Tµ =1 2 34

, (6.3)

entonces podemos tomar i = 1, j = 3. Si

Tλ =1 23 4

, Tµ =1 42 3

, (6.4)

entonces no se cumple la condición 1 de la proposición 6.3, pero

(24)1 23 4

= (23)1 42 3

=1 43 2

. (6.5)

Demostración. Supongamos que la condición 1 no se cumple. Entonces las entradas delprimer renglón de Tµ están en diferentes columnas de Tλ, por lo que λ1 > µ1 y existeτ1 ∈ C(Tλ) tal que tales entradas están en el primer renglón de τ1Tλ. También las entradasdel segundo renglón de Tµ están en diferentes columnas de Tλ, por lo que λ2 > µ2, y comolas columnas de Tλ son las mismas que las de τ1Tλ, existe τ2 ∈ C(Tλ) tal que las entradasdel segundo renglón de Tµ están en el segundo renglón de τ2τ1Tλ.

Continuando de éste modo, observamos que λ E µ, pero como por hipótesis la domi-nación no es propia, entonces λ = µ. Si k es la cantidad de renglones de λ, obtenemos quelos renglones de τk · · · τ2τ1Tλ son los mismos que los de Tµ, por lo que existe σ ∈ R(Tµ)con σTµ = τTλ, tomando τ = τk · · · τ2τ1.

6.4 Corolario. Si Tλ, Tµ son tableros estándares con Tµ > Tλ, existen dos enteros distintos i, j queestán en la misma columna de Tλ y en el mismo renglón de Tµ.

Demostración. Como Tµ > Tλ, tenemos que λ no domina estrictamente a µ, por lo quese puede aplicar la proposición 6.3. Si no existieran los enteros i, j con las propiedadesindicadas, tendríamos que λ = µ, y que existen σ ∈ R(Tµ), τ ∈ C(Tλ) tales que σTµ = τTλ.Pero por la proposición 6.2, tendríamos que Tµ 6 σTµ = τTλ 6 Tλ, lo cual contradice lahipótesis de que Tµ > Tλ.

6.3. Módulos de Specht

En ésta sección continuamos suponiendo que λ es la partición n = n1 +n2 + · · ·+nk.


6.5 Definición. Definimos el módulo Mλ como el módulo de permutaciones asociado al Sn-conjuntode clases de equivalencia de λ-tableros.

Ejemplos 6.21. Sea λ = (n). Ya vimos que sólo hay una clase de equivalencia de λ-tableros, por lo que

Mλ = M(n) es el Sn-módulo trivial.

2. Sea λ = (1n). Cada clase de equivalencia de λ-tableros contiene sólo un tablero. Y lostableros están en biyección con los elementos de Sn, asignándole a un λ-tablero la per-mutación que envía i al elemento en el renglón i del tablero. Ésta biyección preserva in-cluso la acción regular de Sn en sí mismo, de manera que Mλ = M(1n) es el módulo depermutaciones correspondiente a la acción regular de Sn.

3. Sea λ = (n − 1, 1). Vimos que hay una biyección entre clases de equivalencia de tableros ylos elementos del conjunto {1, 2, . . . ,n}. La biyección también preserva la acción de Sn, porlo que el módulo Mλ = M(n−1,1) es el Sn-módulo estándar.

Ya hemos visto que dimMλ = n!n1!···nk! . Denotaremos con 〈·, ·〉 el C-producto interno

en el espacio vectorial Mλ que tiene al conjunto de clases de equivalencia de λ-tableroscomo base ortonormal. Como Sn permuta la base, entonces preserva dicho producto in-terno.

Dado el λ-tablero Tλ, definimos ahora el elemento bTλ∈ CSn:

bTλ=

∑τ∈C(Tλ)

(sgn τ)τ, (6.6)

Ejemplos 6.31. Sea λ = (3), supongamos Tλ = 1 2 3 . Entonces C(Tλ) consta solamente de la identidad,

por lo que bTλ= bT(3)

= (1) ∈ CS3. De hecho, bTλ= (1) para cualquier λ-tablero Tλ, y

algo análogo pasa en el caso general λ = (n).

2. Sea λ = (13), supongamos Tλ =123

. Entonces C(Tλ) = S3, por lo que bTλ= bT

(13)=

(1) + (123) + (132) − (12) − (13) − (23) ∈ CS3. Si bT ′λ

es otro tablero, es claro quebT ′

λ= bTλ

ó bT ′λ

= −bTλ, y algo análogo pasa en el caso general λ = (1n).

3. Sea λ = (2, 1), y supongamos Tλ =1 23

. Entonces C(Tλ) = {(1), (13)}, por lo que bTλ=

bT(2,1)= (1) − (13) ∈ CS3.


6.6 Lema. Sea Tλ un tablero, entonces:

1. Si σ ∈ C(Tλ), se tiene que: bTλσ = (sgnσ)bTλ

.

2. Si u, v ∈Mλ, se tiene que 〈bTλu, v〉 = 〈u,bTλ

v〉.

Demostración. Para la primera parte, consideremos que:

bTλσ =

∑τ∈C(Tλ)

(sgn τ)τσ (6.7)

= sgnσ∑

τ∈C(Tλ)

sgn(τσ)τσ = (sgnσ)bTλ(6.8)

Para la segunda parte, tenemos que:

〈bTλu, v〉 = 〈

∑τ∈C(Tλ)

(sgn τ)τu, v〉 (6.9)

=∑

τ∈C(Tλ)

〈u, (sgn τ)τ−1v〉 (6.10)

= 〈u,bTλv〉. (6.11)

Definimos ahora el elemento vTλ∈Mλ como:

vTλ= bTλ

{Tλ}. (6.12)

Ejemplos 6.41. Si λ = (n), hemos visto que sólo hay una clase de equivalencia de tableros y un valor de

bTλ(el elemento (1) ∈ CSn). Por lo que vT(n)

es el básico generador de Mλ.

6.7 Lema. Sean Tλ un tablero y σ ∈ Sn. Entonces:

1. R(σTλ) = σR(Tλ),

2. C(σTλ) = σC(Tλ),

3. bσTλ= σbTλ

σ−1,

4. vσTλ= σvTλ

.


Demostración. Tenemos que τ ∈ R(σTλ) si y sólo si τ{σTλ} = {σTλ}, si y sólo si σ−1τσ{Tλ} ={Tλ}, si y sólo si σ−1τσ ∈ R(Tλ), si y sólo si τ ∈ σR(Tλ), lo cual demuestra la primera afir-mación. La demostración de la segunda es análoga. Para demostrar la tercera ocupamosla segunda:

bσTλ=

∑τ∈C(σTλ)

(sgn τ)τ (6.13)

=∑

τ′∈C(Tλ)

sgn(στ′σ−1)στ′σ−1 (6.14)

= σ(∑

τ′∈C(Tλ)

(sgn τ′)τ′)σ−1 = σbTλσ−1. (6.15)

Finalmente, tenemos que:

vσTλ= bσTλ

{σTλ} = σbTλσ−1σ{Tλ} = σvTλ

. (6.16)

6.8 Definición. El módulo de Specht correspondiente a λ es el Sn-submódulo de Mλ generado por{ vTλ

| Tλ tablero }.

Notemos que la parte 4 del lema 6.7 implica que el conjunto { vTλ| Tλ tablero } ⊆Mλ

es es un Sn-conjunto transitivo, por lo que Sλ es un Sn-módulo cíclico generado porcualquier vTλ

. Nuestra meta es ahora mostrar que cada Sλ es un Sn-módulo simple.

6.9 Lema. Sean Tλ, Tµ tableros, donde λ no domina estrictamente a µ, de modo que tenemosla situación de la proposición 6.3. Si se cumple la opción 1 de dicha proposición,entonces bTλ

{Tµ} = 0. Si se cumple la opción 2, entonces bTλ{Tµ} = ±vTλ

.

Demostración. Supongamos que se cumple la opción 1 de la proposición 6.3, de modoque hay dos enteros distintos i, j que están en la misma columna de Tλ y en el mismorenglón de Tµ. Sea σ ∈ Sn la transposición que intercambia i con j. Entonces σ ∈ C(Tλ), ypor el lema 6.6, se tiene que bTλ

σ = −bTλ. Por otro lado σ ∈ R(Tµ) implica que σ{Tµ} =

{Tµ}, por lo que llegamos a:

bTλ{Tµ} = bTλ

(σ{Tµ}) = (bTλσ){Tµ} = −bTλ

{Tµ} (6.17)

de donde se obtiene que bTλ{Tµ} = 0 en este caso.

Ahora, si se cumple la opción 2 de la proposición 6.3, se tiene que λ = µ, y existenσ ∈ R(Tµ), τ ∈ C(Tλ) tales que σTµ = τTλ. Entonces:

bTλ{Tµ} = bTλ

{σTµ} = bTλ{τTλ} = bTλ

τ{Tλ} = (sgn τ)vTλ. (6.18)


6.10 Teorema. SeaW un submódulo deMλ. Entonces Sλ 6 W o bienW 6 (Sλ)⊥. Por lo tanto, cadaSλ es un Sn-módulo simple.

Demostración. Sea w ∈W. Para todo λ-tablero Tλ, el lema 6.9 implica que bTλw = cvTλ

con c un escalar. Si existen w y Tλ tales que c 6= 0, se tiene que vTλ∈ W, y por lo tanto

Sλ 6 W en éste caso. Supongamos entonces que bTλw = 0 para toda elección de w ∈ W

y λ-tablero Tλ. Entonces:

〈w, vTλ〉 = 〈w,bTλ

{Tλ}〉 = 〈bTλw, {Tλ}〉 = 0, (6.19)

de donde se obtiene que w ∈ (Sλ)⊥.

Por lo tanto, si W 6 Sλ con W 6= Sλ, debemos tener que W 6 (Sλ)⊥, pero entoncesW 6 Sλ ∩ (Sλ)⊥ = 0.

Finalmente, mostraremos que si λ 6= µ, entonces Sλ no es isomorfo a Sµ.

6.11 Lema. Supongamos que existe un morfismo no cero de Sn-módulos φ : Sλ →Mµ. Entoncesµ E λ.

Demostración. Podemos suponer que λ 6= µ, de modo que queremos demostrar que λdomina estrictamente a µ. Como φ 6= 0, existe un básico vTλ

de Sλ tal que φ(vTλ) 6= 0.

Como Mλ = Sλ ⊕ (Sλ)⊥, podemos extender φ a Mλ definiéndola en (Sλ)⊥ como cero.Entonces:

0 6= phi(vTλ) = bTλ

φ({Tλ}), (6.20)

con φ({Tλ}) una combinación lineal de clases de equivalencia de µ-tableros. Si no fueracierto lo que queremos demostrar, entonces λ no domina estrictamente a µ. El lema 6.9implica entonces que la opción 1 de la proposición 6.3 no se puede dar. Pero entoncestendríamos que λ = µ, contra nuestra suposición. Por lo tanto, µ E λ.

6.12 Teorema. Los módulos de la forma Sλ forman una lista completa de Sn-módulos simples.

Demostración. Ya hemos visto que cada Sλ es un módulo simple. Si tuviéramos Sλ ∼= Sµ,tendríamos un morfismo no cero Sλ → Mµ, lo cual implica por el lema 6.11 que µ E λ.Análogamente, λ E µ, por lo que λ = µ.

AGrupos y campos en GAP

GAP es un programa de cómputo que está disponible libremente para su uso (ver http://www.gap-system.org), y que permite hacer cálculos con varias estructuras relacionadascon grupos.

Una sesión de GAP se puede realizar interactivamente. Al ejecutar el programa se ob-tiene, después de la identificación del programa, la señal de que GAP espera un comando:

gap>

GAP puede utilizar variables. Un comando debe terminarse con ;, por ejemplo:

gap> a:=1;1gap> a;1

indica que se le ha asignado a la variable a el valor 1, lo cual se comprueba en el siguientecomando.

En GAP se utilizan abundantemente las listas. Una lista es una “conjunto ordenado”de objetos, cada objeto determinado por su posición. Por ejemplo:

gap> l:=[7,-1,6];[ 7, -1, 6 ]gap> l[3];6

97

98 Capítulo A. Grupos y campos en GAP

Un grupo de permutaciones puede darse en GAP por medio de sus generadores:

gap> g:=Group((1,2)(3,4),(4,5));Group([ (1,2)(3,4), (4,5) ])

es el subgrupo de S5 generado por (12)(34) y (4, 5) (o bien, por la lista de permutacionesGroup([ (1,2)(3,4), (4,5) ])). Podemos preguntar por el tamaño del grupo:

gap> Size(g);12

GAP tiene una base de datos con algunos grupos ya definidos.

gap> SymmetricGroup(5);Sym( [ 1 .. 5 ] )gap> AlternatingGroup(5);Alt( [ 1 .. 5 ] )gap> DihedralGroup(10);<pc group of size 10 with 2 generators>gap> CyclicGroup(5);<pc group of size 5 with 1 generators>

Obsérvese que DihedralGroup(10) es el grupo que en estas notas hemos denotado conD5.

El comando ConjugacyClasses da una lista de las clases de conjugación de elementosde G. Por ejemplo:

gap> ConjugacyClasses(SymmetricGroup(4));[ ()^G, (1,2)^G, (1,2)(3,4)^G, (1,2,3)^G, (1,2,3,4)^G ]

dice que hay 5 clases de conjugación de elementos en S4, con representantes, las permuta-ciones (), (12), (12)(34), (123), (1234). Otros comandos de GAP (como Irr) suponenque las clases se dan en el orden indicado, por lo que es importante ser consistente.

GAP puede trabajar con el campo de números racionales:

gap> f:=Rationals;Rationals

99

y con campos finitos. (Recordemos que para cada potencia pn de un número primo existeun campo finito con pn elementos, único bajo isomorfismo y que se denota como GF(pn)).

gap> GF(16);GF(2^4)gap> GF(27);GF(3^3)

Sabemos que, dado un campo F, el conjunto de elementos diferentes de cero en F,F× = F − {0}, es un grupo bajo el producto. Y cualquier subgrupo finito de F× es cíclico.GAP hace uso de este hecho. En el campo GF(pn) se representan los elementos en términosun generador de GF(pn)×, al cual GAP denota como Z(p^n). Por ejemplo:

gap> Elements(GF(4));[ 0*Z(2), Z(2)^0, Z(2^2), Z(2^2)^2 ]

es decir, si a denota al elemento Z(2^2), los elementos del campo de 4 elementos son0 ∗ a = 0, a0 = 1, a y a2.

100 Capítulo A. Grupos y campos en GAP

Lista de símbolos

anA V Para V un A-módulo, el anulador de V, {a ∈ A | aV = 0 }, página 13

anA v Para V un A-módulo y v ∈ V, {a ∈ A | av = 0 }, página 17

aV Si V es un A-módulo y a ∈ A, la transformación lineal V → V dada porv 7→ av, página 10

Aop El álgebra opuesta al álgebra A, página 7

AV Para V un A-módulo, la imagen del álgebra A bajo el morfismo de álge-bras Φ : A→ L(V) dado por Φ(a)(v) = av, página 10

BW Para V un A-módulo, B ⊆ A, W ⊆ V, es {bw | b ∈ B,w ∈W } ⊆ V,página 12

C El campo de números complejos, página 7

CA(a) El centralizador de a ∈ A en un álgebra A, página 4

CG(g) El centralizador de g ∈ G en el grupo G, página 54

Cn El grupo cíclico de orden n, página 9

F× El grupo multiplicativo de los elementos del campo F diferentes de cero,página 36

F El espacio vectorial F con la estructura de FSn-módulo dada por la fun-ción signo Sn → GL(F), página 39

FG El álgebra del grupo G sobre el campo F, página 8

F[x] El álgebra de polinomios sobre un campo F, página 7

Fn El F-espacio vectorial de vectores columna con n entradas en el campoF, página 11

[G : H] Si G es un grupo yH es un subgrupo de G, el índice deH en G, página 54

g ∼ h Para g,h elementos del grupo G, g y h son conjugados en G, página 48

101

102 Lista de símbolos

|G| Si G es un grupo, el orden de G, página 54

GL(V) Si V es un espacio vectorial, el grupo de transformaciones lineales in-vertibles V → V, página 35

homA(V,W) Si V y W son A-módulos, el conjunto de A-morfismos de V en W, pági-na 20

infGG/KV Inflación del F[G/K]-módulo V a FG., página 38

kerχ Para un carácter χ de un grupo G, el conjunto {g ∈ G | χ(g) = χ(1) },página 76

L(V) El álgebra de las transformaciones lineales V → V, donde V es un espa-cio vectorial, página 8

L(V,W) El espacio vectorial de transformaciones lineales de V en W, página 34

M(V) Si V es unA-módulo semisimple yM unA-módulo simple, el submódulode V generado por todos los submódulos de V isomorfos aM, página 21

Mn(F) El álgebra de matrices cuadradas n × n con entradas en el campo F,página 3

R El campo de números reales, página 7

radA El radical de un álgebra A, página 26

Symn V La n-ésima potencia simétrica del espacio vectorial V, página 41

S(A) Para un álgebra A, un conjunto de representantes de las clases de iso-morfismo de A-módulos simples, página 22

sgn La función Sn → GL(F) que vale 1 en las permutaciones pares y −1 enlas impares, página 39

Sn Si S es un módulo, el módulo suma directa S⊕ · · · ⊕ S con n sumandosdirectos, página 43

tr Traza de una transformación lineal, página 28

tr Traza de una transformación lineal, página 45

U(A) El grupo de unidades del anillo A, página 8

V ↓GH Restricción del FG-módulo V a FH, página 38

v⊗w Si t : V ×W → V ⊗W es la función bilineal de la definición de productotensorial, t(v,w), página 33

V ⊗W El producto tensorial de los espacios vectoriales V, W, página 33

V∗ El espacio vectorial dual al espacio vectorial V, página 34

Lista de símbolos 103

VG Para V un FG-módulo, { v ∈ V | gv = v para todo g ∈ G }, página 39

Vn El producto cartesiano V × V × · · · × V con n factores, página 40

XY {x}Y, página 5

XY Si X, Y ⊆ A con A un álgebra, es { xy | x ∈ X,y ∈ Y }, página 5

|z| Si z ∈ C, la norma de z, página 47

Z(A) El centro de un álgebra A, página 4

χV Carácter del G-módulo V., página 45

z Si z ∈ C, el complejo conjugado de z, página 47

φ∗ Para un carácter φ, el carácter de la representación dual a la repre-sentación asociada a φ, página 52

〈χ,ψ〉 Producto interno de los carácteres χ y ψ, página 52

∧nV La n-ésima potencia exterior del espacio vectorial V, página 41

104 Lista de símbolos

Bibliografía

[Ahl78] Lars V. Ahlfors. Complex analysis. McGraw-Hill Book Co., New York, terceraedición, 1978. An introduction to the theory of analytic functions of onecomplex variable, International Series in Pure and Applied Mathematics.

[CLRT73] Humberto Cárdenas, Emilio Lluis, Francisco Raggi, Francisco Tomás. ÁlgebraSuperior. Editorial Trillas, S. A., México, 1973.

[FH91] William Fulton, Joe Harris. Representation theory, tomo 129 de GraduateTexts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1991. A first course, Read-ings in Mathematics.

[FIS97] Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel, Lawrence E. Spence. Linear algebra.Prentice Hall Inc., Upper Saddle River, NJ, tercera edición, 1997.

[Isa94] I. Martin Isaacs. Character theory of finite groups. Dover Publications Inc.,New York, 1994. Corrected reprint of the 1976 original [Academic Press, NewYork; MR 57 #417].

[Jac85] Nathan Jacobson. Basic algebra. I. W. H. Freeman and Company, New York,segunda edición, 1985.

105

Índice

álgebra, 1axiomas, 2centro, 4cociente, 4de endomorfismos, 8ideal de, 4módulo sobre, 9, 10morfismo, 4radical de, 26regular, 3representación, 9semisimple, 19

álgebra de grupopropiedad universal, 8

anulador, 13

carácter, 45centro, 4complemento directo, 16

forma bilineal, 28radical, 28simétrica, 28

funciónbilineal, 31multilineal, 40

función multilinealalternante, 41simétrica, 41

función de clase, 49

ideal, 4generado, 4nilpotente, 27

inflación, 38

ley modular, 20

módulo, 10cociente, 14completamente reducible, 18conjugado, 38de permutaciones, 12inflación, 38irreducible, 17restricción, 38semisimple, 18simple, 17

módulo sobre álgebra de grupodual, 37

módulo sobre álgebra de grupotrivial, 36

morfismomódulos, 13

potenciaexterior, 41simétrica, 41

producto internode carácteres, 52

producto tensorial, 31

radical, 26regular

módulo, 10representación, 9representación estándar, 39representación del grupo simétrico

estándar, 39signo, 39

representación signo, 39restricción, 38

serie de composición, 27subálgebra, 4

106

Índice 107

generada, 4subespacios

suma de, 15submódulo, 13

maximal, 27propio, 13

submóduloscomplemento directo de, 16suma directa de, 16

suma directa, 16

tabla de carácteres, 48de un grupo cíclico, 56

teorema de correspondencia, 15

introducción a la teoría de representaciones de grupos...

Documents