introducciÓn a la probabilidad 2011
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ALGUNOS TÓPICOS SOBRE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos es de mucha utilidad en el desarrollo de las probabilidades, y es por ello que se debe revisar los conocimientos sobre las operaciones de conjuntos como lo son: la unión, la intersección, el complemento de un conjunto, etc.
Consideraremos a como el conjunto universal el cual posee todos los elementos posibles, así el conjunto A es un subconjunto de si todos los elementos de A son elementos de , y se denota:
A si para todo x A, x
.- Sean A y B dos conjuntos cuales quiera entonces:
la unión se define como: C = A B = { x / x A o x B};
la intersección se define como: C = A B = { x / x A y x B};
el complemento se define como: Ac
El conjunto que no posee elementos se denomina conjunto vacío y se denota por . (Notemos que A Ac = )
Diremos que A y B son disjuntos o mutuamente excluyente si: A B=
Para resolver algunos problemas de probabilidades es necesario conocer el número de elementos que posee cierto conjunto y el conjunto universal, denominado, en probabilidades, espacio muestral, es por ello que se debe saber como determinar el número de elementos de cualquier conjunto, tarea que puede ser algo complicado, sin embargo en algunos casos esto se puede realizar y por ello es que es importante el aprender a calcular este número.
TECNICAS DE CONTEO
En muchas situaciones estaremos interesados solo en el número de elementos que tiene un espacio muestral o un evento particular, en tales situaciones acudiremos a las técnicas de conteo:
1. PRINCIPIO DE MULTIPLICACION: El principio de multiplicación se enuncia como sigue:
TEOREMA 1.1.- Si un experimento aleatorio (u operación) E1 ocurre de n1 formas y si para cada una de estas, un experimento (u operación) E2 ocurre de n2 formas, entonces los dos experimentos juntos ocurren de n1 n2 formas.
Ejemplo 1: ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio “lanzar una moneda y un dado simultáneamente?
Ejemplo 2: Una persona puede viajar de una ciudad A a otra ciudad B de 5 formas y de B a C de 6 formas. ¿De cuantas formas puede ir de A a C pasando por B?.
TEOREMA 1.2.- Si un experimento aleatorio (u operación) E1 ocurre de n1 formas y si para cada una de estas, un experimento (u operación) E2 ocurre de n2 formas, y para cada una de las dos primeras se puede efectuar un tercer experimento E3 ocurre de n3 formas y así sucesivamente, la secuencia de k experimentos (u operaciones) se realizará de n1 n2 …nk formas diferentes.
Ejemplo 3: Un producto se arma en tres partes, para la primera etapa se tienen disponibles 5 líneas de armado, para la segunda 4 y para la tercera 6 líneas de armado. ¿De cuántas maneras puede moverse el producto en el proceso de armado?.
Ejemplo 4: ¿Cuántos números pares de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 1,2,5,6,7,8,9. sí cada dígito puede emplearse una sola vez?
2. PRINCIPIO DE ADICION: El principio de adición se enuncia de la siguiente manera:TEOREMA 2.1.- Si un experimento (u operación) E1 ocurre de n1 formas y un segundo experimento (u operación) E2 ocurre de n2 formas, entonces el experimento (u operación) E, que consiste en realizar E1 ó E2 (“o” en el sentido de exclusión, es decir E1 y E2 no pueden ocurrir juntos) ocurre de n1 + n2 formas, siempre que los espacios muestrales asociados a E1 y E2 respectivamente sean disjuntos.
Ejemplo 5: Consideraremos el experimento de lanzar una moneda o un dado. ¿De cuántas formas ocurre?
Ejemplo 6: Una persona puede viajar de A a B por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 5 líneas aéreas, 6 líneas terrestres. ¿De cuántas formas puede hacer el viaje?
TEOREMA 2.2.- Si un experimento (u operación) E1 ocurre de n1 formas, E2 ocurre de n2 formas, y asi sucesivamente hasta un experimento (u operación) Ek ocurre de nk
formas; entonces el experimento (u operación) E, que consiste en realizar E1 ó E2 ó …….. ó Ek (la partícula “o” en el sentido excluyente). Es decir, los experimentos E1 , E2 , …., Ek no pueden realizarse juntos juntos) ocurre de n = n1 + n2 + ….+ nk
formas, siempre que los espacios muestrales sean disjuntos dos a dos; es decir: .
Ejemplo 7: Un producto se vende en 3 mercados; en el primer mercado se tienen disponibles 5 tiendas, en el segundo 4 y en el tercer mercado, 6 tiendas. ¿De cuántas maneras puede venderse el producto?
En general, si A1 , A2 , …., Ak son conjuntos disjuntos dos a dos, entonces:
3. PERMUTACION: Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos. Interesa el orden.FACTORIAL DE UN NUMERO.- Sea n un número entero positivo, el factorial de n, se denota por n! y se define como el producto de todos los enteros consecutivos de 1 hasta n inclusive. TEOREMA 3.1.- El número de permutaciones de n objetos diferentes es:
Ejemplo 8: Un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el día. A fin de impedir a los operadores que sepan cuando inspeccionará, varía el orden de las visitas. ¿De cuantas maneras puede hacerlo?
Ejemplo 9: En una competencia automovilística, intervienen 40 participantes. ¿De cuántas formas distintas se pueden adjudicar los lugares de largada a los 40 competidores de la competencia?
Ejemplo 10: ¿De cuántas maneras se pueden colocar 10 chicas en una fila, de manera que dos chicas, en particular, queden juntas?
TEOREMA 3.2.- El número de permutaciones de n objetos diferentes tomados de r a r es:
En general, si el conjunto tiene n elementos. Una permutación de los n elementos, es una n-upla ordenada; y el número de permutaciones de los n elementos es el número de n-uplas ordenadas que se forman con los n elementos sin repetición.
Las permutaciones de los n-elementos tomados r a r, son r-uplas ordenadas que se pueden formar con los n elementos sin repetición.
Ejemplo 11: Un grupo está formado por 5 personas y desean formar una comisión integrada por presidente y secretario. ¿De cuántas maneras puede nombrarse esta comisión?
Ejemplo 12: Encontrar el numero total de enteros positivos que pueden formarse utilizando los dígitos: 1,2,3,4; si ningún dígito ha de repetirse cuando se forma un número.
TEOREMA 3.3.-El número de permutaciones de n objetos distintos alrededor de un círculo es:
Ejemplo 13: ¿De cuántas formas diferentes pudieron sentarse, en la última cena, alrededor de la mesa, Jesucristo y los 12 apóstoles?
4. PERMUTACION CON REPETICION:Hasta ahora hemos permutado objetos diferentes (esto, es, se pueden distiguir). Sin embargo, este no siempre es el caso. Supongamos por ejemplo, que estamos interesados en el numero de permutaciones distinguibles uno de otro, que se pueden formar con las letras de la palabra “AMAR”.
Si usáramos la palabra “AMOR” en vez de “AMAR”, la permutación estudiada es aplicable directamente y daría el numero de permutaciones distinguibles 4P4 = 4!=24. Sin embargo esperamos que la respuesta al presente problema sea menor que 24, pues tenemos letras repetidas. Así, la permutación “MAOR” y “MOAR” corresponden a las permutaciones distinguibles “MAAR” en nuestro problema. Luego, a cada permutación de las letras de “AMAR” le corresponde permutaciones de “AMOR” que aparecen como permutaciones de las letras , así:OMAR AMOR MAOR MOAR AOMR OAMR
RAOM ROAMMROA MRAO MORA MARO ORMA ARMO
AROM ORAMRMOA RMAO ROMA RAMO OMRA AMOR
AORM OARM
Reemplazando A por O vemos que cada uno de estos pares se vuelve indistinguible en el caso de la palabra “AMAR”. Por lo tanto, hay:
permutaciones distinguibles que se pueden hacer con la palabra “AMAR”.
Un ejemplo simple es el siguiente. Consideremos un conjunto con cuatro elementos diferentes . Luego hay 4!=24 permutaciones distintas. Supongamos ahora que:
a=b=x y c=d=y.Entonces, se puede listar solo las siguientes permutaciones distinguibles:XXYY, XYXY, YXXY, YXYX, XYYX, YYXX.Es decir, tenemos:
Permutaciones distinguibles.
TEOREMA 4.1.- El número de permutaciones distintas de n objetos de los cuales n1 son de una clase, n2 de una segunda clase,…, nk de una k-ésima clase y todos los demás objetos de clase1,
se denota por:
Y está dado por:
Ejemplo 14.- Un estante de una librería tiene capacidad para 10 libros de Matemáticas que tiene pasta verde, 8 de Física de pasta roja y 7 de Química de pasta azul. ¿De cuántas maneras pueden colocarse los libros según los colores?
5. PARTICION DE UN CONJUNTOA menudo se necesita contar el número de formas de particionar un conjunto de n objetos diferentes en r subconjuntos llamados celdas. La partición se hace teniendo en cuenta los siguientes criterios:
Los r subconjuntos son disjuntos dos a dos. La unión de todos los subconjuntos es igual al conjunto original. El orden de los elementos dentro de cada celda no tiene importancia.
Empezaremos considerando un ejemplo simple. Sea el conjunto . Las posibles particiones en dos celdas, en las que la primera celda contenga cuatro elementos y la segunda sólo un elemento, son:
Vemos que hay 5 formas distintas de hacer una partición de un conjunto de cinco elementos en dos celdas (o subconjuntos) que contenga cuatro elementos en la primera y uno en la segunda. El numero de particiones para este ejemplo se puede escribir así:
Ejemplo 15.- Suponga que un hombre tiene 8 bonos financieros diferentes de 8 compañías distintas, y que piensa regalarlos a sus hijos de la siguiente manera: a su hijo mayor, 3; a su segundo hijo, 3; y al menor,2. ¿En cuántas formas puede repartir los bonos?
TEOREMA 5.1.- El número de formas posibles, que n objetos diferentes pueden dividirse en r grupos distinguibles conteniendo n1, n2 ,…., nr objetos respectivamente donde n = n1 + n2 + ….+ nk, es
6. COMBINACIÓN:En muchos casos estaremos interesados en el número de formas de seleccionar r objetos de n, sin importar el orden. Estas selecciones se llaman combinaciones.DEFINICION.- Un subconjunto de r elementos de un conjunto que tienen r elementos diferentes, se llama una combinación de los n elementos tomados de r a r. Determinaremos ahora, el número de combinaciones de r elementos que se pueden formar con los n objetos diferentes de un conjunto. Este número se denota por:
En general con un conjunto que tiene n elementos se formará:a) n combinaciones de un elemento (combinaciones de los n elementos tomados uno a
uno); es decir:
b) n combinaciones de n-1 elementos (combinaciones de los n elementos tomados de n-1 a n-1); es decir:
c) Una combinaciones de los n elementos (combinaciones de los n elementos tomados de n a n); es decir:
TEOREMA 6.1.- El número de combinaciones de n objetos diferentes tomados r a la vez, es:
Ejemplo 16.- Se extraen dos cartas de una baraja de 52 cartas. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?Ejemplo 17.- Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen.a) ¿De cuántas maneras puede el estudiante escoger las 8 preguntas?b) Si las tres primeras son obligatorias, ¿De cuántas maneras puede hacerlo?c) Si tiene que contestar 4 de las 5 primeras. ¿De cuántas formas puede hacerlo?
Ejemplo 18.- ¿De cuantas maneras puede seleccionarse una partida de 4 ó más personas, si hay 10 personas disponibles?
Ejemplo 19.-Suponga que queremos formar comisiones de cuatro miembros de un grupo de 4 hombres R,S,T,U y 5 mujeres V,W,X,Y,Z. Si además se especifica que R y S no pueden estar en la misma comisión a menos que la comisión esté formado por lo menos por una mujer. ¿Cuál es el número de comisiones que se puede formar?
7. NOTAS SOBRE MUESTREO CON Y SIN REEMPLAZO:Suponga un conjunto con n objetos. Considere el problema anterior de extraer r objetos de este conjunto. Puede no interesar el orden en que se extraen los objetos. También la extracción se puede hacer con o sin reemplazamiento.DEFINICION 7.1.- Si al extraer los r objetos del conjunto de n objetos, se considera el orden en que son seleccionados los objetos; el conjunto de los r objetos extraídos, se llama una muestra ordenada de tamaño r. DEFINICION 7.2.- Cuando un objeto se extrae y se reemplaza antes de extraer el siguiente objeto, se dice que el muestreo es con reemplazamiento. Calculemos ahora, el número de formas de extraer una muestra ordenada de tamaño r de un conjunto de n objetos, si el muestreo es con reemplazamiento.La primera extracción ocurre de n formas, uno por cada objeto; la segunda extracción también ocurre de n formas, ya que el muestreo es con reemplazamiento. Entonces, el número de formas de extraer dos objetos con reemplazamiento será: n. n=n2.
Igualmente para la extracción de 3 objetos el número de formas es: n2. n=n3 y para cualquier numero r de extracciones, el número de formas será nr.
DEFINICION 7.3.- Si al extraer un objeto no se reemplaza, para extraer el siguiente, se dice que el muestreo es sin reemplazamiento.El número de formas de extraer muestras ordenadas de tamaño r de un conjunto de n objetos, si el muestreo es sin reemplazamiento se obtiene así: la primera extracción ocurre de n formas, la segunda extracción ocurre de n-1 formas. Entonces, el número de formas de extraer dos objetos sin reemplazamiento es n(n-1). Similarmente para la tercera extracción hay n-2 formas. Luego, el numero de formas de extraer 3 objetos es n(n-1)(n-2). Así sucesivamente, el número de formas de extraer una muestra de tamaño r, sin reemplazamiento es:
El cual es equivalente a , número de permutaciones de n objetos tomados r a r. Si no interesa el orden en que se extraen los elementos de la muestra. El número de maneras
de escoger r objetos de los n, esta dado por:
Ejemplo 20.- Considere las placas de automóviles que tiene tres letras seguidas de tres dígitos. Si pueden emplearse todas las combinaciones posibles, ¿Cuántas placas diferentes pueden formarse?
Una vez que sabes determinar el número de elementos de un conjunto podrás calcular las probabilidades de los sucesos que se te pueden presentar, calculando el número de sucesos simples presentes en el espacio muestral y tomando el cociente entre los casos favorables y los posibles.
INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
En el estudio de la probabilidad, necesitamos la presentación de algunos términos como experimento aleatorio, espacio muestral, evento, etc.
Experimento aleatorio Resultados del experimento
Lanzar una moneda Cara, selloTirar un dado 1, 2, 3, 4, 5, 6Jugar un partido de fútbol Ganar, perder, empatarSeleccionar una parte para inspeccionarla Defectuosa, no defectuosaContestar tres preguntas de un cuestionario,sin haber estudiado. Cada pregunta con cuatroalternativas de respuestas. aaa, aab, aba,…, ddd
Se considera como experimento aleatorio a un proceso que genera resultados que no se pueden predecir con certeza. Aun, cuando no podemos predecir los resultados con certeza, sí es posible describir el conjunto de resultados posibles En cualquier repetición de un experimento aleatorio, ocurrirá uno y sólo uno de los posibles resultados experimentales.
Espacio muestral
Espacio muestral, es el conjunto de todos los resultados de un experimento aleatorio.
Cada resultado de un experimento aleatorio se conoce como punto muestral. Asi, los espacios muestrales para el primero y quinto de los experimentos propuestos como ejemplos, son:
{cara, sello}{aaa, aab, aba, baa, …, ddd}
Cara es un punto muestral del primer espacio y, aba, es un punto muestral del segundo espacio.
EventoUn evento es un subconjunto de un espacio muestral.
Ejemplo: Si consideramos el experimento aleatorio de lanzar un dado que tiene como espacio muestral a:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Algunos eventos son:
A = {1, 3} B = { 2, 4, 6} C = {3, 4, 5, 6}
Otro ejemplo: Un proyecto tiene como objetivo aumentar la capacidad de generación de una de las plantas de una empresa. El proyecto se divide en dos etapas sucesivas: La etapa 1 (diseño) y la etapa 2 (construcción). Si bien cada etapa se programará y controlará tan cuidadosamente posible, la dirección no puede predecir el tiempo exacto para terminarla. Un análisis de proyectos similares de construcción ha demostrado que los tiempos de terminación de la etapa de diseño son 2, 3 o 4 meses, y los de terminación para la etapa de construcción son 6, 7 u 8 meses. Además, como la necesidad de energía eléctrica adicional es crítica, la dirección ha establecido una meta de 10 meses para terminar todo el proyecto.
Considerando los tiempos de terminación para cada etapa, formule el espacio muestral para la duración del proyecto. Escriba los eventos:
A: la etapa 1 del proyecto dure 2 mesesB: la etapa 2 del proyecto dure 8 mesesC: el proyecto se termine exactamente en 10 mesesD: el proyecto se termine antes de los 10 mesesE: el proyecto no se concluya dentro del plazo establecido.
El espacio muestral puede construirse con ayuda del diagrama de árbol:
El espacio muestral es el conjunto universal en el estudio de conjuntos en tanto que, el evento, es un subconjunto.
Complemento de un evento Dado el evento A, el complemento de A se define como el evento formado por todos los puntos muestrales que no están en A. El complemento de A se representa con .
Unión de dos eventos La unión de A y B es el evento que contiene todos los puntos muestrales que pertenecen a A o a B, o a ambos. La unión de A y B se representa con A B.
Intersección de dos eventosLa intersección de A y B es el evento que contiene los puntos muestrales que pertenecen simultáneamente a A y a B, y se representa como A B
Evento imposible y evento ciertoEl conjunto vacío es el evento imposible y el conjunto S es el evento cierto.
1
2
3
4
6
7
8
6
7
8
6
7
8
DISEÑO CONSTRUCCION
Eventos mutuamente excluyentes
Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen puntos muestrales en común. Esto es, los eventos A y B son mutuamente excluyentes si, cuando ocurre uno, el otro no puede ocurrir. Se puede expresar A B =
Probabilidad de un evento
Es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento.Veremos tres métodos de asignar probabilidades a los resultados de un experimento: el clásico, de frecuencia relativa y el método subjetivo. Sin importar el método que se emplee, las probabilidades asignadas deben satisfacer dos requerimientos básicos de la probabilidad:
1. La probabilidad asignada a cada resultado experimental debe estar entre 0 y 1, inclusive. Si denotamos con Ei el i-ésimo resultado experimental y P(Ei) es su probabilidad, entonces este requerimiento se puede escribir como
0 ≤ P(Ei) ≤ 1 para toda i
2. La suma de las probabilidades para los resultados experimentales debe ser igual a uno. Para n resultados experimentales, tenemos:
= 1
La probabilidad de un evento es la suma de las probabilidades asignadas a los resultados experimentales del evento.
S
A B
A y B eventos mutuamente excluyentes
Método Clásico
Este método es apropiado cuando los resultados experimentales son equiprobables. Si son n resultados experimentales, una probabilidad de 1/n es la que corresponde a cada resultado experimental.Por ejemplo, consideremos el experimento de lanzar un dado,
P({1}) = P({2}= . . . = P({6}) =
La probabilidad del evento A = {2, 4, 6} es
P(A) = P({2}) + P({4}) + P({6}) = + + =
La probabilidad de un evento, según este método, es el cociente del número de elementos del evento y el número de elementos del espacio muestral. Así podemos escribir:
P(A) =
En el proyecto de las dos etapas sucesivas, cuáles son las probabilidades de los eventos A, B, C, D, E, , A B, A B y .
Método de frecuencia relativa
Es apropiado cuando se cuenta con datos para estimar la proporción de veces en que ocurrirá un resultado experimental si el experimento se repite un número grande de veces.Por ejemplo, si al lanzar un dado 360 veces en 64 oportunidades aparece el número cinco, la frecuencia relativa 64/360 puede asumirse como la probabilidad de que ocurra el número cinco. Si el evento A ocurre en nA veces cuando el experimento se repite n veces, la probabilidad del evento A es la frecuencia relativa:
P(A) =
Método Subjetivo
Expresa el grado de creencia de que ocurrirá un resultado experimental. Es personal. Se puede pensar que personas diferentes asignan probabilidades diferentes al mismo resultado experimental.
Axiomas de probabilidad
Es posible construir un sistema útil de teoremas de probabilidad a partir de definiciones y tres axiomas, llamados axiomas de probabilidad.
Axioma 1. Sea S el espacio muestral de un experimento:
P(S) = 1
Axioma 2. P(A) ≥ 0 para cualquier evento A de S.
Axioma 3. Sean A1, A2, A3, . . . una colección finita o infinita de eventos mutuamente excluyentes, entonces
P(A1 A2 A3 .. .) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + . . .
Algunos teoremas que se pueden demostrar a base de estos tres axiomas son:
Teorema. Si es el evento imposible entonces P( ) = 0
Teorema. Sea el complemento del evento A con probabilidad P(A) entoncesP( ) = 1 – P(A)
Teorema. Si A1 y A2 son dos eventos cualesquiera de S entoncesP(A1 A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 A2)
Teorema. Si A1, A2 y A3 son tres eventos cualesquiera de SP(A1 A2 A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1 A2) – P(A1 A3) – P(A2 A3) + P(A1 A2 A3 )
Ejemplos:
1.- Sea P(A) = 0.6, P(B) = 0.4 y P(A B) = 0.2, Se pide:a) P( ) b) P(A B) c) P(A ) d) P( B) e) P( )
Solución:a) P( ) = 1- P(A) = 1 – 0.6 = 0.4b) P(A B) = P(A) + P(B)- P(A B) = 0.6 + 0.4 – 0.2 = 0.8c) P(A) = P(A ) + P(A B) de donde P(A ) = P(A) – P(A B) = 0.6-0.2
= 0.4d) P( B)= P(B)- P(A B) = 0.4 – 0.2 = 0.2e) P( ) = P( = 1 – P(A B) = 1 – 0.8 = 0.2
2.- La probabilidad que Dennos apruebe el curso de física es de 0.38, de que apruebe el curso de matemática es de 0.47 y de que apruebe al menos uno de los dos cursos es de 0.7, cuál es la probabilidad de que Dennos
a) no apruebe el curso de físicab) apruebe sólo el curso de físicac) apruebe sólo el curso de matemáticad) apruebe ambos cursose) no apruebe los dos cursos
Solución:Sea F el evento apruebe el curso de física M el evento apruebe el curso de matemáticaSe tiene:P(F) = 0.38 P(M) = 0.47 P(F M) = 0.7Entonces:
a) P( ) = 1- P(F) = 1 – 0.38 = 0.62b) P(F ) = P(F) – P(F M) = 0.38 – P(F M)c) P( M) = P(M) – P(F M) = 0.47 – P(F M)d) P(F M) = P(F) + P(M) – P(F M) = 0.38 + 0.47 – 0.70 = 0.15e) P( ) = 1 – P(F M) = 1- 0.70 = 0.30
Ejercicios:
1.- Escriba el espacio muestral de cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:a) Lanzar una moneda tres veces sucesivamenteb) Observar cuatro artículos producidos para ver si son defectuosos o no.c) Lanzar primero una moneda. Si sale cara lanzar un dado, si sale sello lanzar nuevamente la moneda. d) En la carta de un restaurante figuran tres platos de entrada: sangresita, tamales, papa a la huancaina; cuatro platos de fondo: cabrito, arroz con pato, tallarines, cau cau; tres postres: gelatina, leche asada, pie de limón. Se trata de elegir al azar un menú integrado por un plato de entrada, un plato de fondo y un postre.e) Con las personas a, b, c, d, e, f. se trata de elegir un directorio formado por presidente, secretario y vocal.f) La biblioteca de una universidad tiene cinco ejemplares de un cierto
texto en reserva. Dos ejemplares (1 y 2) son primeras impresiones, y los otros tres (3, 4 y 5) son segundas impresiones. Un estudiante examina estos libros en orden aleatorio deteniéndose sólo cuando se selecciona una segunda impresión. Un posible resultado es 5, y otro es 213. Escriba el espacio muestral y escriba los eventos:A: exactamente un libro debe ser examinado;B: el libro 5 sea el seleccionadoC: no se examina el libro 1
2.- Para el ejercicio 1 a), obtener los eventos y hallar sus probabilidades:a) en el primer lanzamiento ocurre cara.b) en el tercer lanzamiento ocurre carac) en el primer lanzamiento o en el tercer lanzamiento ocurre carad) en el primer lanzamiento ocurre cara y en el tercer lanzamiento ocurre cara.
3.- Para el ejercicio 1d), escribir los eventos y obtener sus probabilidades:a) el primer plato elegido sea sangresitab) el segundo plato elegido sea arroz con pato c) el tercer plato elegido sea leche asadad) el primer plato elegido sea sangresita y el segundo plato sea arroz con pato.e) el segundo plato elegido sea arroz con plato y el tercero sea gelatina.f) el primer plato elegido sea sangresita o el tercer plato elegido sea
gelatina.
4.- La probabilidad de que Teodosio vaya a misa los domingos es 0.32, de que vaya de paseo es de 0.45 y de que vaya a misa o vaya de paseo es de 0.60.Cuál es la probabilidad de que Teodosio:
a) No vaya de paseob) Vaya a misa y de paseoc) No vaya de misa y vaya de paseod) Vaya a misa y no vaya de paseoe) No vaya a misa o no vaya de paseo.
5.- Los trabajadores de una empresa se clasifican por su edad y su lugar de procedencia:
Lugar de procedenciaEdad Costa Sierra Selva22-<28 32 20 1828-<36 48 22 1236-<44 26 15 644-<52 14 5 4
Se elige un trabajador al azar, cuál es la probabilidad de que:a) Proceda de la costab) Tenga entre 22-< 28 años de edadc) Proceda de la costa y tenga entre 22-< 28 años de edadd) Proceda de la costa o tenga entre 22-< 28 años de edade) Tenga menos de 36 añosf) No sea de la costag) Tenga menos de 36 años y no sea de la costa.
6.- Según una encuesta de una oficina de negocios, 14% de los adultos creía muy posible un colapso bursátil durante 1998, y 43% lo creía poco probable. Si se preguntara a un adulto al azar,¿cuál es la probabilidad de que responda que no es probable un colapso bursátil durante 1998?
7.- Una encuesta entre suscriptores indicó que 45.8% habían rentado un automóvil durante los 12 últimos meses por motivos de negocios, 54% por motivos personales y 30% por motivos de negocios y personales a la vez.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor rente un automóvil durante los 12 últimos meses por motivos de negocios o personales?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor no rente un automóvil durante los últimos 12 meses por motivos de negocios o personales?
8.- La experiencia muestra que el 25% de las quejas concernientes a las líneas telefónicas domésticas se origina por la presencia de estática en la línea. En 50% de los casos, hay deterioro de la línea. En 35% sólo ocurre tal deterioro. Cuál es la probabilidad de que
a. una queja seleccionada aleatoriamente comprenda ambos problemas?
b. no abarque alguno de los dos?
9.- Se ha observado que 80% de los accidentes en fundidoras se debe a errores humanos, y 40%, a falla de equipos. En 35% participan ambos problemas. Se investiga un accidente en una fundidora. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo haya resultado de errores humanos?
10.- Pruebe que P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) siendo A y B dos eventos cualesquiera de S.
Probabilidad Condicional
Muchas veces es de interés determinar la probabilidad de que ocurra un evento B dado que ha ocurrido el evento A. Por ejemplo, de que salga 6 en el segundo lanzamiento de un dado sabiendo que en el primer lanzamiento salió un número par, o de que se pida como segundo plato cabrito dado que como primer plato se pidió papa a la huancaina. A la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ocurrió el evento A se la denota P(B/A) y se define como:
P(B/A) = donde P(A) > 0
Análogamente,
P(A/B) = donde P(B) > 0
Por ejemplo, al lanzar tres veces una moneda: la probabilidad de que en tercer lanzamiento salga cara dado que en el primer lanzamiento salió cara es
A: salga cara en el primer lanzamiento de la moneda
A = {ccc, ccs, csc, css } P(A) =
B = salga cara en el tercer lanzamientoB = {ccc, scc, csc, ssc}
A B = {ccc, csc} P(A =
Asi
P(B/A) = = =
La probabilidad que se obtenga exactamente una cara dado que se obtiene al menos una cara:
S: se obtiene exactamente una cara S = {css, scs, ssc}R: se obtiene al menos una cara R = {css, scs, ssc, ccs, csc, scc, ccc}
Entones
P(S/R) = = = 3/7
En el ejercicio 1 d), cuál es la probabilidad de elegir cabrito como segundo plato dado que se eligió sangresita como primer plato?
Ley de la Multiplicación
De las definiciones de probabilidad condicional
P(B/A) = y P(A/B) =
Se obtienen:
PA = P(A) P(B/A) y P(A = P(B) P(A/B)
Si se extiende a tres eventos:
P(A = P(A)P(B/A) P(C/(A
P(A = P(A)P(C/A)P(B/(A
P(A = P(B)P(A/B)P(C/(A
Escriba las tres expresiones restantes de P(A
Ejemplos.
1. La probabilidad de que un avión se retrace por fallas mecánicas en el aeropuerto “El Saucesito” es de 0.35, la probabilidad de que el avión se retrace por nubosidad del cielo dado que tuvo fallas mecánicas es de 0.40, y la probabilidad que se retrace por fallas mecánicas o nubosidad del cielo es de 0.63. Cuál es la probabilidad de que el avión se retrace por:
a) fallas mecánicas y nubosidad del cielo?b) sólo por nubosidad del cielo?
Sean los eventos A: el avión se retrace por fallas mecánicasB: el avión se retrace por nubosidad del cielo
Se tiene queP(A) = 0.35P(B/A) = 0.40P(A = 0.63
Entonces
a) P(A = P(A)P(B/A) = 0.35x 0.40 = 0.14
b) P( B) = P(B) – P(A = 0.42 – 0.14 = 0.28
2.- Una urna contiene cuatro fichas blancas y seis fichas rojas. Se eligen dos fichas al azar sin reposición. Cuál es la probabilidad de que
a) la primera ficha elegida sea blancab) la segunda ficha elegida sea roja dada que la primera fue rojac) ambas fichas sean rojasd) la segunda sea rojaSea B1: la primera ficha elegida sea blanca B2: la segunda ficha elegida sea blanca R1: la primera ficha elegida sea roja R2: la segunda ficha elegida sea rojaEntones
a) P(B1) =
b) P(R2/R1) =
c) P(R1 R2) = P(R1) P(R2/R1) = x =
d) P(R2) = P[(B1 R2)U(R1 R2) = P (B1 R2) + P(R1 R2) =?
3.- Se sabe que en un lote de 200 componentes 10 son defectuosos y el resto son buenos. Se extraen al azar tres componentes sin reposición. Cuál es la probabilidad de que
a) las tres sean defectuosos?b) exactamente dos sean defectuosos?c) por lo menos uno sea defectuoso?Denotemos con:D1: el primer componente elegido sea defectuosoD2: el segundo componente elegido sea defectuosoD3: el tercer componente elegido sea defectuoso.Entonces:
a) P(D1 D2 D3) = P(D1) P(D2/D1) P(D3/(D1 D2) = x x =?
b) P(D1 D2 B3) + P(D1 B2 D3) +P(B1 D2 D3) =?
c) P(D1 D2 D3) = 1 – P(B1 B2 B3) = ?
Eventos Independientes
Dos eventos A y B son independientes si y sólo si P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B)
Utilizando la Ley Multiplicativa, dos eventos A y B son independientes si
P(A B) = P(A) P(B)
La Ley Multiplicativa se puede extender a más de dos eventos independientes:
Los eventos A, B, C y D son independientes si P(A B C D) = P(A) P(B) P(C) P(D)
Teorema. Si los eventos A y B son independientes entonces:a) los eventos A y son independientesb) los eventos y B son independientesc) los eventos y son independientes.
Ejemplos:
1.- El experimento aleatorio consiste en extraer una carta de una baraja de naipes. Sean los eventos:
A : salga carta alta (10, 11, 12, 13, as)B : salga una carta de diamantes¿Son los eventos A y B independientes?
Se tiene:
P(A) = = P(B) = P(A B) =
P(A/B) = = = = P(A)
Luego los eventos A y B son independientes.
2.- Durante un lanzamiento espacial, el sistema de cómputo primario está respaldado por dos sistemas secundarios. Funcionan uno con independencia de los otros y cada uno es 90% confiable.¿Cuál es la probabilidad de que los tres sistemas sean funcionales en el momento del lanzamiento?Sean los eventos:
A1: el sistema principal funcionaA2: el primer sistema de respaldo funcionaA3: el segundo sistema de respaldo funciona
Se sabe que P(A1) = P(A2) = P(A3) = 0.9Puesto que se supone que estos eventos son independientes, se tiene:
P(A1 A2 A3) = P(A1) P(A2) P(A3) = 0.9x0.9x0.9 = 0.729
3.- La probabilidad de que Dionisio viva 20 años más es 0.7, y la probabilidad de que Domitila viva 20 años más es 0.80. Si se supone independencia para ambos, cuál es la probabilidad de que:
a) Sólo Dionisio viva 20 años más?b) Ninguno viva 20 años más?
Sean los eventos:A1: Dionisio viva 20 años más
A2: Domitila viva 20 años más
a) P(A1 ) = P( A1) P( ) = 0.7x 0.20 = 0.140b) P( ) = p( ) P( ) =?. ¿Por qué?
Teorema de la Probabilidad Total
Problema. La urna 1 contiene 4 bolillas blancas y seis bolillas negras, la urna 2 contiene 3 bolillas blancas y 5 bolillas negras. Se extrae al azar una bolilla de la urna 1 y se deposita en la urna 2, luego de la urna 2 se extrae al azar una bolilla. ¿Cuál es la probabilidad de que la bolilla extraída de la urna 2 sea blanca?Sean los eventos:
A1: la bolilla extraída de la urna 1 sea blancaA2: la bolilla extraída de la urna 1 sea negraB : la bolilla extraída de la urna 2 sea blanca
Se pide:P(B) = [(A1 B) (A2 B)] = P(A1 B) + P(A2 B)
= P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) = x + x = =
= ?Teorema. Sea A1, A2, A3, . . ., An una partición de S y B otro evento de S, entonces
P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) + P(A3) P(B/A3) + . . . P(An) P(B/An)
=
Teorema de Bayes. Bajo las condiciones de la probabilidad total
P(Ak/ B) = =
=
A la probabilidad P(Ai) se le llama probabilidad “a priori” y a la probabilidad P(Ai/B) se le llama probabilidad “aposteriori” o la probabilidad de A i conocida o dada la ocurrencia de B.Ejemplo. La probabilidad de que la bolilla extraída de la urna 1 sea blanca sabiendo que de la segunda urna salió blanca es:
P(A1/B) = = = =?
Ejemplo. La policía planea reforzar los límites de velocidad mediante el uso de un sistema de radar en cuatro diferentes puntos dentro de la ciudad. Las trampas de radar en cada uno de los sitios L1, L2, L3, L4 operan 40%, 30%, 20% y 30% del tiempo, y si una persona que maneja a gran velocidad cuando va a su trabajo tiene de probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5 y 0.2, respectivamente, de pasar por esos lugares,
a) ¿cuál es la probabilidad de que reciba una multa por conducir con exceso de velocidad?
b) si la persona es multada por conducir con exceso de velocidad en su camino al trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que pase por el sistema de radar que se ubica en L2?Se tienen los eventos:
A1 : persona que maneja a gran velocidad pasa por L1
A2: persona que maneja a gran velocidad pasa por L2
A3: persona que maneja a gran velocidad pasa por L3
A4: persona que maneja a gran velocidad pasa por L4
B: persona recibe multa por exceso de velocidady las probabilidades:
P(A1) = 0.2, P(A2) = 0.1, P(A3) = 0.5, P(A4) = 0.2P(B/A1) = 0.40, P(B/A2) = 0.30, P(B/A3), P(B/A3) = 0.20, P(B/A4) = 0.30
entonces:a) P(B) = P[(A1 B) (A2 B) (A3 B) (A4 B)] = P(A1) P(B/A1) + P(A”) P(B/A2) + P(A3) P(B/A3) + P(A4) P(B/A4) = ?b) P(A2/B) = ?
Ejercicios:
1.- En un experimento para estudiar la relación de la hipertensión arterial y los hábitos de fumar en 200 personas se resumen en la tabla:
No Fumadores Fumadores. Fumadores moderados empedernidos Con hipertensión 23 41 33Sin hipertensión 50 30 23
Si se selecciona una de las personas al azar, cuál es la probabilidad de que.a) Sufra de hipertensión?b) Sea fumador empedernido?c) Sufra hipertensión dada que la persona es un fumador empedernido?d) Sea un fumador dado que no sufre de hipertensión
2.- Un lote de 80 circuitos integrados contiene 15 defectuosos. Se eligen dos al azar, sin reemplazo, del lote.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primero en ser seleccionado sea defectuoso?b) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo sea defectuoso dado que el primero es defectuoso?
c) ¿Cómo cambia la respuesta del inciso b) si los circuitos se toman con reemplazo antes de la siguiente selección?
3.- Un lote de 400 contenedores para jugo de naranja congelado contiene cinco que están defectuosos. Se toman del lote dos al azar, sin reemplazo.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo contenedor sea defectuoso sabiendo que el primero lo fue?b) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos contenedores sean defectuosos?c) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos contenedores sean aceptables?
4.- La probabilidad de que un automóvil al que se llena el tanque de gasolina también necesite un cambio de aceite es 0.25, la probabilidad de que necesite un nuevo filtro de aceite es de 0.40 y la probabilidad que necesite cambio de aceite y filtro es 0.14,
a) Si se tiene que cambiar el aceite, ¿cuál es la probabilidad de que se necesite un nuevo filtro?b) Si necesita un filtro de aceite nuevo, ¿cuál es la probabilidad de que se tenga que cambiar el aceite?
5.- En un estudio de las causas de interrupciones del abasto de energía eléctrica, se recopilaron los datos siguientes:- Se debe a falla de transformadores en 5%- Resulta de daño en las líneas de alimentación en 80%- Se involucra a ambos problemas en 1%
A partir de estos porcentajes, calcule la probabilidad aproximada de que una interrupción del abasto de energía eléctrica comprenda:
a) daño de las líneas dado que el daño proviene de los transformadoresb) daño de transformadores, dado que el daño está en las líneasc) daño en los transformadores sin daño en las líneasd) daño en transformadores dada la ausencia de daño en las línease) daño en transformadores o en las líneas
6.- Suponga que existe 50% de probabilidad de daño de disco duro de una computadora si la línea de alimentación eléctrica a la que está conectada es alcanzada por una tormenta eléctrica. Existe una probabilidad de 5% de que ocurra tormenta eléctrica en cualquier día de verano en un área dado. Si la probabilidad de que la tormenta eléctrica afecte a la línea es de 0.1%, ¿cuál es la probabilidad de que la tormenta alcance la línea y ocurra daño del disco duro durante la siguiente tormenta eléctrica en el área?
7.- Una ciudad tiene dos carros de bomberos que operan de forma independiente. La probabilidad de que un carro específico esté disponible cuando se le necesite es 0.92.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno esté disponible cuando se le necesite?b) ¿Cuál es la probabilidad de que un carro de bombero esté disponible cuando se le necesite?
8.- La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazón es de 0.78, cuál es la probabilidad de que:
a) exactamente dos de los siguientes tres pacientes que tienen esta operación sobrevivan?b) los tres pacientes siguientes que tengan esta operación sobrevivan?
9.- Suponga que el 2% de los rollos de tela de algodón son defectuosos, al igual que el 3% de lo rollos de tela de nylon. De los rollos utilizados por un fabricante, 70% son de algodón y 30% son de nylon. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar uno de los rollos éste sea defectuoso?
10.- Las muestras de vidrio de un laboratorio se colocan en empaques pequeños y ligeros o en empaques pesados y grandes. Suponga que el 2% y el 1% de las muestras enviadas empaques pequeños y grandes, respectivamente, se rompen durante el trayecto a su destino. Si el 60% de las muestras se envían en empaques grandes, y el 40% en empaques pequeños en empaques pequeños,¿Cuál es la probabilidad de que muestras se romperán durante el envío?
11.- Un centro de cómputo tiene tres impresoras A, B y C, que imprimen a velocidad distinta. Los programas se envían a la primera impresora disponible. Las probabilidades de que un programa se envíe a las impresoras A, B y C son de 0.01, 0.03 y 0.1, respectivamente. En ocasiones, los impresos se atoran en la impresora y se destruyen. Las probabilidades de que se atore el papel en las impresoras A, B y C son de 0.01, 0.05 y 0.04, en el mismo orden. Un programa escrito por usted se destruye al atorarse el papel en la impresora. ¿Cuál es la probabilidad de que ello haya ocurrido en la impresora A? ¿De que haya ocurrido en la impresora B? ¿De que haya ocurrido en la impresora C?
12.- Suponga que la probabilidad de que los frenos de aire de los camiones fallen en un descenso particularmente largo es de 0.001. Suponga también que los frenos de emergencia de esos camiones pueden detenerlos en el tipo de descenso mencionado con probabilidad de 0.8. Estos sistemas de frenado funcionan independientemente uno respecto del otro, Calcule la probabilidad de que:
a. los frenos de aire fallen y los de emergencia detengan al camiónb. los frenos de aire fallen y los de emergencia no pueden detener al camiónc. los frenos de emergencia no puedan detener al camión, dado que fallaron los frenos de aire.