05.- ayuda 05 introducción a la probabilidad

7/24/2019 05.- Ayuda 05 Introduccin a La Probabilidad

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CONTROL ESTADSTICO DE LA CALIDAD

Mdulo : I

Mag. Ing. Gustavo Manuel Yez Wendorff

INTRODUCCIN A LA PROBABILIDAD


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Experimento aleatorio Su resultado no puede anticiparse aun cuando se repita

bajo las mismas condiciones

Ejemplo:

La medicin de las piezas fabricadas con un mismoproceso

La cantidad de llamadas que recibe un conmutadordurante un lapso de tiempo determinado.

El caudal de un rio



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Para modelar y analizar un experimento aleatorio, en

primer lugar es necesario conocer:

Espacio muestral Es el conjunto de resultados posibles de un experimento

aleatorio.

Espacio muestral de una moneda:

E = {C, X}.

Espacio muestral de un dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.


http://www.youtube.com/watch?v=l_9H48E8fzc


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Para modelar y analizar un experimento aleatorio, en

primer lugar es necesario conocer:

Evento Es un subconjunto del espacio muestral de un

experimento aleatorio.

En muchos experimentos aleatorios los resultados sondirectamente interpretables, es decir, al mismo tiempo son

valores de la variable aleatoria de inters.



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En otros casos, los posibles valores de la variable aleatoriano son directamente los resultados del experimento, sinoque surgen al asociar nmeros a dichos resultados y, dichaasociacin, refleja la caracterstica o aspecto de inters enel experimento.

Es muy claro que el valor que toma la variable en unmomento dado no se puede anticipar, ya que ste se definecon base en el resultado de un experimento aleatorio.



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Variable aleatoria Funcin que asocia un nmero a cada resultado de unexperimento aleatorio.

Si la variable se denota con X, y sus valores con x, el

conjunto de los posibles valores de la variable aleatoriaX recibe el nombre de rango de X.



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Ejemplo de variable aleatoria Tiramos una moneda 3 veces. Representamos cara por c ycruz por z.

W = {ccc, ccz, czc, zcc, czz, zcz, zzc, zzz}

La probabilidad de cada suceso elemental es 1/8.

p(ccc)=1/8, ya que la probabilidad de sacar cara en una tiradaes 1/2 y las tiradas son independeintes.

La variable aaleatoria X: nmero de caras, que puede tomarlos valores {0, 1, 2, 3}.

Se buscan todos los puntos muestrales que dan lugar a cadavalor de la variable y a ese valor se le asigna la probabilidaddel suceso correspondiente.



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Ejemplo de variable aleatoria

A esta funcin se le denomina funcin densidad de probabilidad

(fdp), que desgraciadamente "funciona" de distinta manera en lasvariables discreta que en las continuas. En el caso de las variables discretas, como en el ejemplo, es una

funcin que para cada valor de la variable da su probabilidad.


x Sucesos px

0 {sss} 1/8

1 {css, scs, ssc} 3/82 {ccs, csc, scc} 3/8

3 {ccc} 1/8


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Un diagrama de rbol es un mtodo grfico para identificartodas las partes necesarias para alcanzar algn objetivo final.En mejora de la calidad, los diagramas de rbol se utilizangeneralmente para identificar todas las tareas necesarias paraimplantar una solucin.

Se emplea para descomponer una meta u objetivo en unaserie de actividades que deban o puedan hacerse. A travs dela representacin grfica de actividades se facilita el

entendimiento de las acciones que intervendrn.

DIAGRAMA DEL RBOL


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Permite a los miembros del equipo de trabajo expandir supensamiento al crear soluciones sin perder de vista el objetivoprincipal o los objetivos secundarios.

Ubica al equipo para que se dirija a situaciones reales versustericas. Asimismo, se dimensiona el nivel real de complejidadde algn proyecto y se puede prever el encontrarse consoluciones inviables antes del arranque.

DIAGRAMA DEL RBOL


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Establezca el objetivo que se analizar a travs del Diagramade rbol.

Es muy importante que el objetivo quede claro para todos y

que est expresado de manera activa. Ej: Dismunuir lostiempos de espera en el servicio de consulta externa.

Arme el equipo adecuado. Se sugiere un equipo de 4 a 8participantes. Considere que aquellos que seleccione debernestar involucrados en la problemtica a fondo para aportarsoluciones y que el Diagrama de rbol cuente as con losniveles de anlisis necesarios.

ELABORACIN DEL DIAGRAMA DEL RBOL


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Genere el mayor nmero posible de cabeceras del diagramade rbol Esto es las ideas o sub-objetivos hacia los que seenfocarn las acciones para lograr el objetivo principal.

Puede utilizar la herramienta Tormenta de Ideas o Tcnicade Afinidad para lograrlo.

Como sugerencia puede utilizar tarjetas sobre una mesa quele permitan flexibilidad de movimiento de una idea a otra.



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Descomponga cada cabecera o ttulo principal en mayordetalle. Vaya acomodando las ideas por subtemas llegando atres o cuatro niveles.

Detenga la descomposicin de temas cuando ya se perfilentareas especficas a realizarse.



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Revise el Diagrama de rbol. Asegrese de que tiene un flujolgico y que est lo ms completo posible.

Pregunte al equipo si observa algn punto que sea muy obvio

y se haya olvidado incluir.

Pregntese junto con el equipo si las tareas resultantes sonnecesarias para lograr el objetivo.



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Existe un principio sencillo de los diagramas de rbol que haceque stos sean mucho ms tiles para los clculos rpidos deprobabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata deramas adyacentes (contiguas):

Por ejemplo de alumna de la primera facultad, o bien lassumamos si se trata de ramas separadas que emergen de unmismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno.



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DE DIAGRAMA DEL RBOL

Una universidad est formada por tres facultades:

La 1 con el 50% de estudiantes. La 2 con el 25% de estudiantes.

La 3 con el 25% de estudiantes. Las mujeres estn repartidas uniformemente, siendo un

60% del total en cada facultad.


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http://www.youtube.com/watch?v=z2Qfqg7JU0M

DIAGRAMA DEL RBOL
http://commons.wikimedia.org/wiki/FileDiagramasArbolImagenUno.jpg


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Cul es la probabilidad de encontrar una alumna de la primera

facultad?

P(alumna de la primera facultad = 05. * 0.6 = 0.3

DE DIAGRAMA DEL RBOL
http://commons.wikimedia.org/wiki/FileDiagramasArbolImagenDos.jpghttp://commons.wikimedia.org/wiki/FileDiagramasArbolImagenDos.jpg


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Cul es la probabilidad de encontrar un alumno varn?

P(alumno varn) = 0.5 * 0.4 + 0.25 * 0.4 + 0.25*0.4 = 0.4

DIAGRAMA DEL RBOL
http://commons.wikimedia.org/wiki/FileDiagramasArbolImagenTres.jpg


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Una oficina consta de seis damas y 10 varones. Si se

escoge un comit de tres al azar, hallar la probabilidadde:

EJEMPLO 2 DE DIAGRAMA DEL RBOL

8 varon

14

varon

9 6

15 14 dama

varon

6 9 varon

10 15 14

16 dama

5

14 dama

9 varon

6 14

16 varon

10 515 14 dama

dama

5 10 varon

15 14

dama

4

14 dama


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p(3varones) = 10 * 9 * 8 = 0,214

16 15 14

Cul es la probabilidad de seleccionar 3 varones?



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p(2 varones y 1 dama) = 10 * 9 * 6 * 10 * 6 * 9 * 6 * 10 * 9 = 0,48216 15 14 16 15 14 16 15 14

Cul es la probabilidad de seleccionar exactamente 2 varones yuna dama?



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p(3damas) = 6 * 5 * 4 = 0,0357

16 15 14


Cul es la probabilidad de seleccionar 3 damas?


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Una persona arroja tres monedas al aire


1 cara

2

cara

1 1

2 2 sello

cara

1 1 cara

1 2 2

2 sello

1

2 sello

1 cara

1 2

2 cara

1 1

2 2 sello

sello

1 1 cara

2 2

sello

1

2 sello


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Variable aleatoria discreta Variable a la que se pueden numerar los posibles valores que

toma.

Ejemplo

El nmero de tornillos defectuosos en una muestraaleatoria de tamao 15 Nmero de errores de un operador industrial. Nmero de libros en una biblioteca Nmero de habitantes en una poblacin,

La cantidad de dinero que una persona trae en su bolsillo, Nmero de aves en un gallinero, Nmero de admisiones diarias a un hospital, Nmero de accidentes automovilsticos en una carretera

durante un ao, etc.



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Variable aleatoria continua Si el rango de una variable aleatoria X contiene un intervalo

(finito o infinito) de nmeros reales, entonces X es unavariable aleatoria continua.

Ejemplo Peso Volumen Longitud Voltaje

Presin arterial



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Distribucin de probabilidad de X Es una descripcin del conjunto de los valores posibles

de X con la probabilidad asociada a cada uno de estosvalores.

El evento que est formado por todos los resultadospara los que X = x, se denota por {X = x}, y laprobabilidad de ste por P(X = x).

La distribucin de probabilidad de X o distribucin deuna variable aleatoria X es una descripcin del conjuntode valores posibles de X (rango de X), junto con laprobabilidad asociada a cada uno de estos valores.



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Distribucin de probabilidad de X La distribucin se representa a travs de una tabla que

relaciona resultados con probabilidades, o bien, pormedio de una frmula.

En el caso discreto, la funcin f (x) = P(X = x) que va delrango de X al intervalo [0, 1] recibe el nombre de funcinde probabilidad, y cumple con las siguientespropiedades:



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En el caso discreto, la funcin f (x) = P(X = x) que va delrango de X al intervalo [0, 1] recibe el nombre de funcin deprobabilidad, y cumple con las siguientes propiedades:

f (x) = P(X = x) (la funcin f (x) da la probabilidad).

f (x) 0 para toda x (no hay probabilidades negativas).

f (x)=1 (la suma de las probabilidades de todos losposibles valores de X es = 1).x



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En el caso continuo, estas mismas propiedades seenuncian de la siguiente forma: si f(x) es una funcion dedensidad de probabilidades de la variable aleatoriacontinua X; entonces, para cualquier intervalo de nmerosreales [x1, x2], se cumple:

f (x) 0+

f (x)dx =1 (el rea bajo toda la curva es 1).

x2

P(x1 X x2) =f (u) dux1


(la probabilidad es igual alrea bajo la curva entre losvalores x1y x2).


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Si una distribucin es un buen modelo, entonces a travsde ella se encuentran las principales caractersticas delsistema (poblacin o proceso), tales como su tendenciacentral y variabilidad.

La media de una variable aleatoria discreta que puedetomar los n valores x1, x2, ..., xnest dada por:

donde E(X) = x1p(x1) + x2p(x2) + .... + xnp(xn), se lee comovalor esperado de X.

La varianza de la variable aleatoria X se puede definir entrminos del valor esperado como:

MEDIA O VALOR ESPERADO DE UNAVARIABLE ALEATORIA


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La varianza de la variable aleatoria X se puede definir en

trminos del valor esperado como:

La funcin de distribucin acumulada de una variablealeatoria discreta X, denotada por F(x), es:

En el caso continuo, se sustituye la suma por la integral,

MEDIA O VALOR ESPERADO DE UNAVARIABLE ALEATORIA


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DISTRIBUCIN BINOMIAL

Es frecuente que en control de calidad se den variables deltipo pasa, no pasa.

Por ejemplo, un artculo cumple con especificaciones o no,una pieza resiste cierta fuerza o no, una lmpara enciende ono.



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EXPERIMENTO BERNOULLI

Ensayo aleatorio que slo tiene dos resultados posiblesllamados xito y fracaso.

Un experimento aleatorio que consiste en una secuencia de nensayos Bernoulli donde adems se cumple que:

Los ensayos son independientes.

La probabilidad de xito en cada ensayo, denotada por p,permanece constante.



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Entonces este experimento recibe el nombre deexperimento binomial. La variable aleatoria X, que es igual al nmero de ensayos

donde el resultado es un xito, tiene una distribucinbinomial (n, p).

La funcin de probabilidades de X es,

Donde:

Es el nmero de combinaciones de n elementos tomadosde x en x.



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Distribucin binomial (n, p)

Proporciona la probabilidad de observar x xitos en unasecuencia de n experimentos Bernoulli independientescon una probabilidad constante p de xito.

Aqu, p generalmente es la proporcin promedio deartculos defectuosos.

Si X es una variable aleatoria con distribucin binomial

(n, p), entonces su media y varianza:

DISTRIBUCIN BINOMIAL (n,p)


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Para propsitos de interpretacin es ms adecuadotrabajar con la proporcin (X/n), en lugar de con elnmero X (de artculos defectuosos).

Entonces, su distribucin acumulada:

Donde [nr] es igual al entero ms grande que es menor oigual a nr.

La media de p es p y su varianza es p(1 p)/n.



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Ejemplos:

Un proceso produce 5% de piezas defectuosas. SeaX el nmero de piezas defectuosas en las siguientes20 piezas producidas.

En una zona martima se ha determinado que el

porcentaje de incidencia del Vitrio cholerae es de20%. Sea X las muestras positivas en los siguientes15 muestreos.



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Ejemplos:

En la prueba final de artculos electrnicos se tiene unhistorial de que 1% tiene alguna falla que esnecesario reparar antes de liberarlo. Sea X la cantidadde artculos con fallas en los siguientes 50inspeccionados.

De los nacimientos en un hospital, sea X la cantidadde nios varones en los siguientes 10 nacimientos.



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Ejemplo: En un proceso de fabricacin donde se produce una gran

cantidad de artculos, se sabe que en promedio 2% deellos estn defectuosos.

Los artculos son empacados en cajas de 10, y se quieresaber cul es la probabilidad de porque no haya ningnartculo defectuoso en cada caja.

Si X es el nmero de artculos defectuosos por caja,entonces se quiere obtener P(X = 0), lo cual es:



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Ejemplo: Por lo tanto, se espera que 82% de las cajas no tenga

ningn artculo defectuoso, mientras que el restante 18%tendr al menos uno.

Si se quisiera saber cul es la probabilidad de que cadacaja tenga exactamente un artculo defectuosos (P(X = 1)),entonces:

Entonces, se espera que 16.7% de las cajas tengaexactamente un artculo defectuoso.

De manera similar se podra calcular cualquier otra

probabilidad.



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En Excel se pueden evaluar las probabilidades con ladistribucin binomial

DISTR.BINOM(x, n, p, valor lgico)

x = nmero de xitos del que se quiere obtener la probabilidad,n = es el nmero de ensayos independientes o tamao de

muestra,p = es la probabilidad de xito en cada ensayo (proporcin de

artculos defectuosos, por ejemplo) y el valor lgico puede sercero o uno;

Si se pone un uno entonces se calcula la funcin acumuladaP(X x), y si es cero se calcula P(X= x).



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Distribucin geomtrica

Proporciona la probabilidad de requerir X repeticionesindependientes de un experimento Bernoulli para observar elprimer xito.

La media es 1/p,

La varianza es (1 p)/p2.

Ejemplo Supongamos que interesa encontrar un producto

defectuoso en un lote de muchos artculos.

Se sabe que el lote contiene 5% de artculos defectuosos.Cul es la probabilidad de que sea necesario extraer demanera aleatoria a lo ms 20 artculos para encontrar elprimer defectuoso?

DISTRIBUCIN GEOMTRICA


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Distribucin geomtrica

Esta probabilidad es justo la que proporciona ladistribucin geomtrica acumulada ya que ser necesariocalcular la probabilidad de que el primer productodefectuoso salga a la primera extraccin, a la segunda, yas hasta la vigsima.

Por lo tanto, la probabilidad de inters es:

Esto indica que existe una alta probabilidad de1 0.6415 = 0.3585,

Despus de 20 extracciones an no se haya visto undefectuoso.

DISTRIBUCIN GEOMTRICA


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Distribucin hipergeomtrica

Se aplica en ciertos tipos de experimentos Bernoulli, en loscuales la probabilidad de xito no se mantiene constante, yeso ocurre cuando el tamao de lote es pequeo conrespecto al tamao de la muestra.

Ejemplo

Un conjunto de N objetos contiene: K de ellos clasificadoscomo xitos y N K como fracasos. Se extrae una muestra aleatoria (sin reemplazo) de

tamao n de tal conjunto, n N. Sea X el nmero de xitos en la muestra, entonces X tiene

una distribucin hipergeomtrica

DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICA


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Distr ibucin hipergeomtrica

Cuando el tamao de lote es pequeo con respecto altamao de la muestra, ser necesario aplicar ladistribucin hipergeomtrica en lugar de la binomial.

En Excel se pueden evaluar probabilidades de estadistribucin, para esto se utiliza la funcin:

DISTR.HIPERGEOM(x, n, K, N),

x = Nmero de xitos en la muestra(del que se quiere encontrar la probabilidad) n = tamao de la muestra, K = nmero de xitos en la poblacin N = tamao de la poblacin o lote.



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Distribucin hipergeomtrica

Ejemplo En una empresa industrial, cada da se produce un lote de

N = 50 piezas grandes de cierto tipo. Los registrosmuestran que, de stas, en promedio K = 6 sondefectuosas. Si en forma aleatoria se examinan n = 10

piezas de la produccin de un da, cul es la probabilidadde encontrar x = 0 o x = 1 piezas defectuosas?

Como el tamao de lote es pequeo en relacin al tamaode muestra, es necesario aplicar la distribucinhipergeomtrica.

Con Excel se obtiene que:

= DISTR.HIPERGEOM(0,10,6,50) + DISTR.HIPERGEOM(1,10,6,50)= 0.24 + 0.41

= 0.66



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Distribucin de Poisson

Una situacin frecuente en control de calidad es evaluarvariables como las siguientes:

nmero de defectos por artculo,

nmero de defectos por metro cuadrado de tela, nmero de defectos por unidad de rea, nmero de impurezas en un lquido, nmero de

errores de un trabajador.

Todos los casos anteriores se resumen as: nmero deeventos que ocurren por unidad (por unidad de rea, porunidad de volumen, por unidad de tiempo, etc.).

DISTRIBUCIN DE POISSON


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Distribucin de Poisson

Asimismo, es frecuente que este tipo de variables tenga unadistribucin de Poisson, cuya funcin de distribucin deprobabilidades est dada por:

e = 2.718

! = es el smbolo factorial

La media y la varianza para esta distribucin son:

= 2= .



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Distribucin Poisson

Ejemplo En en una empresa se reciben en promedio 5 quejas

diarias por mal servicio. Si el nmero de quejas por da se distribuye Poisson con

= 5, cul es la probabilidad de no recibir quejas en unda?

Esta probabilidad de 0.007 es muy baja, por lo que enrealidad sera muy raro que en un da no se recibieraninguna queja.



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Distribucin Normal

Es una distribucin continua cuya densidad tiene forma decampana. Es muy importante tanto en la estadstica terica como en la

aplicada. Es probablemente la distribucin continua ms importante,

tanto en estadstica terica como aplicada. Si X es una variable aleatoria normal, entonces su funcin dedensidad de probabilidades est dada por:

= es su media= desviacin estndar.

DISTRIBUCIN NORMAL


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Distr ibucin NormalDISTRIBUCIN NORMAL

Al graficar la funcin f (x) se obtiene una grfica simtrica yunimodal, cuya forma es similar a una campana (Fig. 1).

El centro de sta coincide con , y la amplitud estdeterminada por .

Fig. 1


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Propiedades de la distribucin normal

Si X es una variable aleatoria con distribucin normal conmedia y varianza 2, N(, 2 )

Se cumple que: P( < X


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Estas propiedades sealan la proporcin de la distribucin

normal que se localiza en torno a la media .

Por ejemplo, entre ms menos una desviacin estndar dela media se ubica en 68.27% del rea; y en la media msmenos tres veces se encuentra 99.73% de la distribucin.

Esta ltima es la razn de cmo se obtienen los lmitesreales de un proceso

PROPIEDADES DE LADISTRIBUCIN NORMAL


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Distribucin de Normal

Una de las razones por las que la distribucin normal es tanimportante es debido a este teorema, que en un casoparticular afirma: sea x1, x2,..., xn una muestra aleatoria decualquier poblacin, y sea X la media muestral; entonces,independientemente de cmo sea la distribucin de la

poblacin de donde se extrajo la muestra, la distribucin de Xse aproxima a la normal conforme n crece.

Cuando la distribucin de donde proviene la muestra no searadicalmente distinta a la normal, entonces la aproximacinempieza a ser buena para tamaos de muestra mayores oiguales que n = 4.

En caso de que sea muy diferente se requieren tamaos demuestra mayores.

TEOREMA CENTRAL DEL LMITE


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Si una variable aleatoria X se distribuye normal con media yvarianza 2, y se quiere encontrar la probabilidad de que estavariable tome valores entre dos nmeros cualesquiera, a y bpor ejemplo, entonces lo que se tiene que hacer es calcular elrea bajo la curva entre a y b, y esto se realiza mediantemtodos numricos, ya que la integral de la funcin dedistribucin no tiene solucin analtica.

Cuando es una distribucin normal con parmetros = 0 y 2= 1, entonces a la distribucin se le conoce como distribucinnormal estndar (N(0, 1)).

CLCULO DE PROBABILIDADES


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Tambin se puede utilizar la hoja de clculo de Excel paracalcular las probabilidades con la distribucin normal; para ellose utiliza la funcin:

DISTR.NORM(x, media, desv_estndar, acum)

En la celda x se da el valor de referencia para el clculo de laprobabilidad P(X x),

En media se da el valor de la media, ,de la distribucin normalcon la que se quiere obtener la obtener la probabilidad

desv_estndarse declara el valor de la desviacin estndar de la distribucin normal.

acumes un valor lgico que determina la forma de la funcin: si el argumento acum es VERDADERO (se pone 1), la funcin

DISTR.NORM devuelve la funcin de distribucin acumulada(P(X x)); pero si es FALSO (se pone 0), devuelve el valor(altura) de la funcin de densidad f(x) en el punto x.



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Ejemplo

La dimensin de una pieza se distribuye normal con = 82.0

mm, y = 0.5. Se desea calcular el porcentaje de piezas quecumplen con especificaciones 82 1, lo cual se obtienecalculando la siguiente diferencia de probabilidades

P(81 < X < 83) = P(X < 83) P(X < 81)

Para calcular cada una de estas probabilidades seestandariza:

Se localiza en la Tabla 1 el valor de probabilidad quecorresponde a P(Z > 2.0), que se ubica en la columna de zen el valor de 2.00 y la columna 0.00, donde aparece esta

probabilidad que es 0.023.


Puntos crticos de la distribucin normal


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Puntos crticos de la distribucin normalestndar ( = 0, = 1), P(Z > z).

Tabla 1



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Ejemplo

P(Z < 2.0) = 1 0.23 = 0.977

Para calcular P(X < 81) se procede de la misma manera, peroal restarle la media da un nmero negativo y, en ese caso,para utilizar la tabla A2 se usa una de las propiedades de

simetra de la distribucin normal de la siguiente manera:

P(Z < a)= 1P(Z < a)

Para cualquier nmero a. Al aplicar lo anterior se obtiene queP(X < 81) = P(Z < 2) = 1 P(Z < 2) = 1 0.977 = 0.023

Por lo tanto, la probabilidad de que X est dentro deespecificaciones es (0.977 0.023) = 0.954.

As, se espera que 95.4% de las piezas cumpla con lasespecificaciones.




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Ejemplo

En Excel

P(81 < X < 83) = P(X < 83) P(X < 81)

DISTR.NORM(83, 82, 0.5, 1) DISTR.NORM(81, 82, 0.5, 1)

0.954.


DISTRIBUCIN JI CUADRADA


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Sean Z1, Z2, ..., Zk variables aleatorias independientes, condistribucin normal estndar (= 0 y 2= 1), entonces la variable

aleatoria

Sigue una distribucin ji-cuadrada con k grados de libertad, y sufuncin de densidad de probabilidad est dada por:

Donde () es la funcin gama que est definida por

DISTRIBUCIN JI-CUADRADA



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Si es un nmero entero, entonces ()= (1)!. La media y lavarianza de una distribucin ji-cuadrada con k grados de libertad

estn dadas por E(X) = k y 2= 2k.

Esta distribucin es relevante para hacer inferencias acerca de ladesviacin estndar, , de una poblacin con distribucinnormal, ya que si se obtiene una muestra de tamao n, entonces

el estadstico:

Tiene una distribucin ji-cuadrada con n 1 grados de libertad

(S2, es la varianza muestral).

En la figura 2 se muestra la grfica de densidades ji-cuadradapara diferentes grados de libertad, y en la tabla 2 se dan valorespara los diferentes cuantiles de esta distribucin.




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Fig. 2

Ejemplos de densidades de la distribucin ji-cuadrada. Conforme crecen los grados de libertad se aproxima a una

distribucin normal.


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Puntos crticos para la distribucin Ji-cuadrada

Tabla 2


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Sea Z una variable aleatoria con distribucin normal estndar y

sea V una variable aleatoria con distribucin ji-cuadrada con kgrados de libertad. Si Z y V son independientes, entonces lavariable aleatoria,

La media y la varianza de esta distribucin estn dadas por, E(X)= 0 y 2= k/(k 2) para k > 2. Una de las principales aplicaciones de la distribucin T de

Student es fundamentar las inferencias sobre la media de unapoblacin.

Debido a que si se obtiene una muestra aleatoria de tamao nde una poblacin cuya distribucin es normal, entonces elestadstico:

DISTRIBUCIN T de Student


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Sigue una distribucin T de Student con n 1 grados de libertad.

En la figura 3 se muestra la grfica de densidades T paradiferentes grados de libertad.

Como se aprecia, esta distribucin es similar a la normal (0, 1),excepto que tiene colas ms pesadas.

En la tabla 3 se dan valores para los diferentes cuantiles opuntos crticos de esta distribucin.

En Excel es posible obtener los cuantiles y reas de la

distribucin T de Student mediante las funciones Distr.T.Inv yDistr.T, respectivamente. Es preciso considerar que la funcin Distr.T.Inv arroja valores considerando las dos colas de la

distribucin.

DISTRIBUCIN T de Student


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Ejemplos de densidades de ladistribucin T de Student

Fig. 3


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Puntos crticos para la distribucin t de Student

Tabla 3


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Sean W y Y variables aleatorias ji-cuadrada independientes con

u y v grados de libertad, respectivamente.

Entonces el cociente:

La media y la varianza de una distribucin F con u y v grados de

libertad, en el numerador y en el denominador, respectivamente,son:E(X) = v/(v 2) para v > 2, y

DISTRIBUCIN F


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En la figura 4 se muestra la grfica de densidades F para

diferentes grados de libertad, en donde se puede observar quetiene una apariencia similar a la distribucin ji-cuadrada, exceptoque la distribucin F se encuentra centrada con respecto a 1, ylos dos parmetros le dan mayor flexibilidad.

En la tabla 4 se dan valores para un par de cuantiles o puntoscrticos de esta distribucin.

La importancia de la distribucin F radica en que es de especialutilidad para hacer inferencia cuando se comparan varianzas, yaque si se tienen dos poblaciones con distribucin normal y

varianzas 1 y 2 , respectivamente, y se toman muestrasaleatorias de cada poblacin, de tamao n1 y n2,respectivamente, entonces la variable aleatoria formada por elcociente

DISTRIBUCIN F


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Sigue una distribucin F con n1 y n2 grados de libertad en elnumerador y denominador, respectivamente, dondeson las varianzas muestrales.

DISTRIBUCIN F


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Ejemplos de densidades de la distribucin F

Fig. 4

Puntos crticos al 5% de la distribucin F, P(X > x) = 0.05.


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Tabla 4

05.- ayuda 05 introducción a la probabilidad

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