introducción a la mecánica de lagrange y de hamilton. t. soldovieri

2013 Actualización # 51 (30/10/13).

Desde el 2009

S O L D O V I E R I

LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA

Introducción a la Mecánica de

Lagrange y Hamilton

Con numerosos ejemplos y una

presentación que facilita la

comprensión del contenido.

(EN CONSTRUCCION Y REVISION)

Copyright© 2013 por Terenzio Soldovieri C.

Todos los derechos reservados.

Impreso en la República Bolivariana de Venezuela.

Artes, dibujos y gráficos: Terenzio Soldovieri C.

Decoraciones y portadas: Terenzio Soldovieri C.

Toda la estructura de este libro ha sido elaborada por el autor, utilizando LaTeX.

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Terenzio Soldovieri

Revised

A mis padres Raffaele Soldovieri Mastursi y Rita Elena Carmona, hijos Terenzio José

Soldovieri Martínez y Marchello Soldovieri Carmona, compañera de vida Yeldri Yolaura

Chourio Herrera, y todos los que fueron mis estudiantes

les dedico el presente texto que con gran esfuerzo he logrado.

Terenzio Soldovieri C. [email protected] [email protected]

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Giuseppe Lodovico Lagrangia ( Joseph Louis Lagrange ) (1736-1813).

Matemático y astrónomo francés nacido en Turín (Italia), en cuya universidad estudió.

Fue nombrado profesor de geometría en la Academia Militar de Turín a los 19 años y en 1758

fundó una sociedad que más tarde se convertiría en la Academia de Ciencias de Turín. En 1766

fue nombrado director de la Academia de Ciencias de Berlín, y 20 años después llegó a París

invitado por el rey Luis XVI. Durante el periodo de la Revolución Francesa, estuvo al cargo de

la comisión para el establecimiento de un nuevo sistema de pesos y medidas. Después de la

Revolución, fue profesor de la nueva École Normale y con Napoleón fue miembro del Senado y

recibió el título de conde. Fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XVIII; creó el

cálculo de variaciones, sistematizó el campo de las ecuaciones diferenciales y trabajó en la

teoría de números. Entre sus investigaciones en astronomía destacan los cálculos de la libración

de la Luna y los movimientos de los planetas. Su obra más importante es Mecánica analítica

(1788).

Sir William Rowan Hamilton (1805-1865).

Matemático y astrónomo británico, conocido sobre todo por sus trabajos en análisis de

vectores y en óptica. Nació en Dublín y estudió en el Trinity College. En 1827, sin haber

obtenido su título, fue nombrado profesor de astronomía, y al año siguiente astrónomo real para

Irlanda. Hamilton pasó el resto de su vida trabajando en el Trinity College y en el observatorio

de Dunsink, cerca de Dublín. En el campo de la dinámica, introdujo las funciones de Hamilton,

que expresan la suma de las energías cinética y potencial de un sistema dinámico; son muy

importantes en el desarrollo de la dinámica moderna y para el estudio de la teoría cuántica.

SOLDOVIERI C., Terenzio

Licenciado en Física

Profesor agregado del Departamento de Física

Facultad de Ciencias - La Universidad del Zulia (LUZ)

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[email protected]


INTRODUCCION A LA MECANICA DE

LAGRANGE Y HAMILTONCon numerosos ejemplos y una presentación que

facilita la comprensión del contenido.

1era edición (preprint)

(EN CONSTRUCCION Y REVISION)Comenzado en el 2009

Actualización # 51 (30/10/2013)

Escrito usando LATEX

Copyright c 2013 por Terenzio Soldovieri C.

República Bolivariana de Venezuela

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Agradecimientos

Agradezco muy especialmente a ANDREA ANGELICA VILLA TORREALBA, AN-DRES ELOY COLINA LEON y CESAR ALEJANDRO RODRIGUEZ CASAS, quienes fueron misalumnos destacados en Mecánica Clásica en el Departamento de Física, Facultadde Ciencias de La Universidad del Zulia (LUZ), Maracaibo - Venezuela, por su valiosaayuda en la corrección del presente texto. Por el mismo motivo agradezco también aSTANLEY SALVATIERRA, estudiante de Ingeniería Eléctrica en la mención de Sistemas dePotencia, Facultad Nacional de Ingeniería (FNI), Oruro - Bolivia.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: I

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: II

Prólogo

La Mecánica Clásica es uno de los pilares fundamentales de la Física, junto conlos Métodos Matemáticos, el Electromagnetismo y la Mecánica Cuántica. La me-cánica introduce al alumno a las técnicas teóricas que son esenciales en todas

las ramas de la Física, como por ejemplo: la Relatividad General, Teoría de Camposy Partículas, Mecánica Cuántica y en Caos y los Sistemas Complejos. En esta materiaexisten varios textos clásicos y de gran impacto, varios de los cuales se citan al finalde este trabajo. Existen tanbién muchísimos textos recientes y que, con respecto a losclásicos, han mejorado la forma de presentar el contenido con la finalidad de hacer-los más didácticos y fáciles de entender. Algunos de estos últimos también son citadosal final.

Por algunos años he sido profesor de Mecánica Clásica en mi universidad. En eltranscurrir de esos años he elaborado los clásicos apuntes de clases que solemos hacerlos profesores, en los cuales ponemos nuestro mejor esfuerzo y dedicación para hacerque nuestros alumnos entiendan lo mejor posible el contenido que se quiere transmitir.Estos apuntes recogen datos valiosos obtenidos durante las clases, originados de laspreguntas y discusiones que a menudo surgen durante las mismas. Involucran tambiénlas soluciones por mi encontradas a las dificultades que los alumnos tenían para podercomprender los distintos puntos tratados, lo cual es muy valioso puesto que permiteajustar la presentación del contenido. Es obvio que el contenido de mis apuntes declases se ajusta al interés particular del curso que he dictado, sin embargo, siempreson de gran utilidad para cualquier curso en general referente a la materia. El presentetexto es un esfuerzo por lograr ordenar todos esos apuntes y hacer público mi trabajopara el disfrute de la comunidad académica.

El objetivo de este texto es presentar la Mecánica de Lagrange y de Hamilton, in-

III

cluyendo la física y matemática necesaria para su estudio, en una forma lo más clara,sencilla y coherente posible sin sacrificar profundidad en el contenido, haciendo queel texto sea de muy fácil comprensión. Para lograr esto en mis apuntes de clases, re-alicé una muy amplia investigación consultando numerosos textos de los que se en-cuentran en el mercado referente a la materia (entre ellos los clásicos) así como variaspublicaciones de revistas científicas y numerosísimas notas de clases encontradas eninternet, sin embargo un gran número de ellas no pudieron ser referenciadas por noposeer los datos de origen suficientes. De todos esos textos fue extraido lo mejor decada uno, siempre buscando la mejor explicación, la mejor definición, las mejores in-terpretaciones, etc., y siempre teniendo en mente que sea lo más claro y fácil deentender para luego ser procesadas y enfocadas en mi particular punto de vista yorden de contenidos.

El texto fue dividido en dos partes. En la primera parte se presentan los fundamen-tos físicos y matemáticos básicos que son indispensables para abordar la Mecánica deLagrange y de Hamilton, como lo son: la dinámica de un sistema de partículas, todolo referente a ligaduras y coordenadas generalizadas, desplazamiento y trabajo virtu-al, principio de los trabajos virtuales y de D’Alembert, principio de Hamilton, cálculovariacional con fronteras fijas y transformación de Legendre.

Lo referente a la dinamica de un sistema de particulas no es muy distinto a lo quese encuentra en el comun de los textos disponibles en el mercado, sin embargo espresentado en una forma detallada en referencia a los cálculos involucrados. Por otrolado, en referencia al concepto de ligadura, que es de gran importancia ya que deuna u otra forma están presentes en los sitemas mecánicos, en el presente texto sehace un amplio estudio que permite fijar con firmeza este concepto mediante unadetallada clasificación, ejemplos y figuras. En el caso de los desplazamientos virtuales,se presenta de forma clara su definición que con muchísima frecuencia en la mayoríade los textos sólo se menciona muy poco al respecto a pesar de ser el punto de partidapara poder comprender todo lo referente al trabajo virtual, principio de los trabajosvirtuales y el principio de D’Alembert que es fundamental en la mecánica y a partirdel cual se puede desarrollar la mecánica de Lagrange.

En el caso del cálculo variacional y la transformación de Legrendre se presentansendos y extensos capítulos con contenido de directa aplicabilidad a la mecánicade Lagrange y de Hamilton que no suele ser tratado con suficiente profundidad enla gran mayoría de los textos de mecánica ya que son dejados para los cursos ded-icados a esa materia en específico. En particular, lo relacionado a la transformación

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: IV

de Legendre, de mucha utilidad al estudiar la Mecánica de Hamilton, es desarrolladocon amplitud.

La segunda parte del texto trata, exclusivamente, sobre la mecánica de Lagrangey de Hamilton, las transformaciones canónicas y la teoría de Hamilton-Jacobi. Todosestos contenidos son presentados de una forma muy coherente donde se hace obviola utilidad e importancia de todo lo estudiado en la primera parte del texto. Todos es-tos puntos son desarrollados de una forma muy fácil de entender, siempre presentandoaquellos tópicos teóricos que son básicos en cualquier curso de este tipo y presentan-do numerosos ejemplos en los cuales se aplican los contenidos estudiados, ayudadoscon figuras ilustrativas.

En fin, aquí les dejo el presente trabajo esperando que sea de gran utilidad a lamayor cantidad de personas interesadas en la materia, en especial, a la multitud dealumnos que la tienen como curso obligatorio en sus respectivas carreras universitarias.

Prof. Terenzio Soldovieri C.Departamento de Física

Facultad de CienciasLa Universidad del Zulia (LUZ)

Maracaibo - Estado ZuliaRepública Bolivariana de Venezuela

ALBERT EINSTEIN

"Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramoslas mismas cosas". "Lo más incomprensible del Universo, es que sea compren-sible". "Lo importante es no dejar de hacerse preguntas". "Nunca consideresel estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetraren el bello y maravilloso mundo del saber". "La alegría de ver y entender esel más perfecto don de la naturaleza".

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: V

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: VI

ÍNDICE GENERAL

I Fundamentos físicos y matemáticos básicos para estudiar Mecáni-ca de Lagrange y Hamilton 1

1 Dinámica de un sistema de partículas 3

1.1. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Clasificación de los sistemas de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Sistemas indeformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Sistemas deformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2. Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Sistemas indeformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Sistemas deformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Fuerzas en un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1. Externas e internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Fuerzas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Fuerzas internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2. Aplicadas y de reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Aplicadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11De reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Centro de masa, centro de gravedad y centroide . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1. Posición del centro de masa de un sistema discreto . . . . . . . . . . 161.4.2. Posición del centro de masa de un sistema continuo . . . . . . . . . 191.4.3. Posición del centro de masa de un sistema compuesto . . . . . . . 23

1.5. Propiedades del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

VII

ÍNDICE GENERAL

1.6. Movimiento del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7. Movimiento de un sistema aislado de dos partículas - Masa reducida . . . 351.8. Momento lineal y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.9. Momento angular y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.10.Energía y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.10.1. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.10.2. Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.10.3. Conservación de la energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.11.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2 Definiciones y principios básicos 67

2.1. El espacio y el tiempo en Mecánica Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.2. Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3. Tipos de ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3.1. Estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3.2. Por modo de activación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.4. Clasificación de las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.4.1. Si son o no desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Bilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.4.2. Si dependen explícita o implícitamente del tiempo . . . . . . . . . . 80Ligaduras reónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Ligaduras esclerónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.4.3. Si son o no una relación bilateral algebraica entre las coordenadas 82Ligaduras Holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Ligaduras No-Holónomas y Semi-Holónomas . . . . . . . . . . . . . . 95

2.5. Fuerza de ligadura y fuerza aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.5.1. Ligaduras lisas o ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062.5.2. Ligaduras rugosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.6. Dificultades introducidas por las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.7. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.7.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.7.2. Tipos de Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.7.3. Ecuaciones de transformación entre las coordenadas ordinarias y

las coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.7.4. Espacio de Configuración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.8. Algunas magnitudes físicas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . . 116

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: VIII

ÍNDICE GENERAL

2.8.1. Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.8.2. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.8.3. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.8.4. Trabajo Mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.8.5. Energía Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.9. Forma general en coordenadas generalizadas de las ligaduras holóno-mas, no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222.9.1. Ligaduras holónomas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . 1222.9.2. Ligaduras no-holónomas y semi-holónomas en coordenadas gene-

ralizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.10.Un método para determinar si una ligadura en forma de diferencial o de

velocidad es holónoma o no-holónoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.11.Ejemplos de determinación de coordenadas generalizadas para algunos

sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.12.Desplazamiento real y virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.12.1. Desplazamiento real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422.12.2. Desplazamiento virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Clasificación de los desplazamientos virtuales . . . . . . . . . . . . . 155

2.13.Trabajo real y trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552.13.1. Trabajo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552.13.2. Trabajo Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

2.14.Algunos principios mecánicos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562.14.1. Principio de los Trabajos Virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562.14.2. Principio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1692.14.3. Principio de Ostrogradski-Hamilton o de Acción Estacionaria . . . . 177

2.15.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

3 Cálculo variacional con fronteras fijas 193

3.1. Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943.1.1. Definición de Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943.1.2. Variación de una funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

3.2. Planteamiento del problema variacional a estudiar . . . . . . . . . . . . . . 2003.3. Función vecina y variación admisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013.4. Cálculo de extremales sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

3.4.1. Para una variable dependiente — Ecuación de Euler . . . . . . . . 2063.4.2. Segunda forma y forma integrada de la Ecuación de Euler . . . . . 212

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: IX

ÍNDICE GENERAL

3.4.3. Para múltiples variables dependientes — Ecuaciones de Euler - La-grange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

3.5. Cálculo de extremales con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2253.5.1. Restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Forma implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Forma explícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

3.5.2. Restricciones del tipo Dl [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 248

3.5.3. Restricciones del tipo D�l =nPj=1

Alj [yi (x) ; x] y0j (x) +Bl [yi (x) ; x] = 0 . . 252

3.5.4. Restricciones del tipo isoperimétricoR x2x1gl [yi (x) ; y

0i (x) ; x] dx = %l . . 265

3.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

4 Transformada de Legendre 293

4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2944.2. Convexidad y concavidad de funciones y propiedades . . . . . . . . . . . 297

4.2.1. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2974.2.2. Funciones cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2994.2.3. Determinación de la convexidad y la concavidad de una función 300

En caso de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301En caso de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . 305

4.2.4. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3104.3. Transformada de Legendre para una variable independiente . . . . . . . 3114.4. Transformada de Legendre para más de una variable independiente . . 3164.5. Variables activas y pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3194.6. Algunas propiedades matemáticas de la transformada de Legendre . . . 325

4.6.1. La inversa de la transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 3254.6.2. Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3294.6.3. Simetrías y relaciones entre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

4.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

II Mecánica de Lagrange y Hamilton 335

5 Mecánica Lagrangiana 337

5.1. Ecuaciones de Lagrange obtenidas partiendo del Principio de D’Alembert 3385.1.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3415.1.2. Para sistemas con ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: X

ÍNDICE GENERAL

Cuando las ligaduras se usan en forma implícita . . . . . . . . . . . . 343

Cuando las ligaduras se usan en forma explícita . . . . . . . . . . . . 344

5.1.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . 349

5.2. Ecuaciones de Lagrange obtenidas a partir del Principio de Ostrogradski-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

5.2.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

5.2.2. Para sistemas con ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

Cuando las ligaduras se usan en forma implícita . . . . . . . . . . . . 357

Cuando las ligaduras se usan en forma explícita . . . . . . . . . . . . 357

5.2.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . 358

5.3. Condición de integrabilidad de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . 360

5.4. Ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . 362

5.4.1. Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en formaimplícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

5.4.2. Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma explícita . . . . 395

5.4.3. Sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . 419

5.5. Propiedades del Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

5.5.1. Invariancia bajo una transformación de Gauge . . . . . . . . . . . . 437

5.5.2. Aditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

5.5.3. Invariancia bajo una transformación de coordenadas . . . . . . . . 441

5.6. Coordenadas cíclicas - Momentos Generalizados y su conservación . . . 442

5.6.1. Coordenadas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

5.6.2. Momentos Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

5.6.3. Conservación de los Momentos Generalizados . . . . . . . . . . . . 444

5.7. Integrales Primeras de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

5.8. Integrales Primeras de Movimiento para un sistema cerrado . . . . . . . . . 447

5.9. Teoremas de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

5.9.1. Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

5.9.2. Conservación del momento lineal y angular . . . . . . . . . . . . . . 451

Conservación del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

Conservación del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

5.10.Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

5.10.1. Forma simplificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

5.10.2. Forma más general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

5.11.Mecánica Lagrangiana vs la Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

5.12.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XI

ÍNDICE GENERAL

6 Mecánica Hamiltoniana 483

6.1. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4856.1.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4866.1.2. Para sistemas con ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

Cuando las ligaduras se usan en forma implícita . . . . . . . . . . . . 489Cuando las ligaduras se usan en forma explícita . . . . . . . . . . . . 490

6.1.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . 4926.2. Construcción de un Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

6.2.1. Pasos para construir un Hamiltoniano para sistemas conservativos yno conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

6.2.2. Construcción de un Hamiltoniano para un sistema natural . . . . . . 4976.2.3. Forma práctica de construir un Hamiltoniano para sistemas conser-

vativos y no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4986.3. Ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . 500

6.3.1. Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en formaimplícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

6.3.2. Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma explícita . . . . 5296.3.3. Sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . 545

6.4. Ecuaciones de Hamilton a partir del Principio de Ostrogradski-Hamilton . . 5576.5. Espacio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5586.6. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5676.7. Forma simpléctica de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . 5766.8. El Método de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5796.9. Dinámica Lagrangiana vs Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5836.10.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

7 Transformaciones canónicas 591

7.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5917.2. Ecuaciones de transformación canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

7.2.1. Caso 1: Función generatriz F1 = F1 (qi; eqi; t) . . . . . . . . . . . . . . . 5947.2.2. Caso 2: Función generatriz F2 = F2 (qi; epi; t) . . . . . . . . . . . . . . . 5957.2.3. Caso 3: Función generatriz F3 = F3 (pi; eqi; t) . . . . . . . . . . . . . . . 5967.2.4. Caso 4: Función generatriz F4 = F4 (pi; epi; t) . . . . . . . . . . . . . . . 597

7.3. Invariante integral universal de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6067.4. Corchetes de Lagrange y Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

7.4.1. Corchetes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XII

ÍNDICE GENERAL

7.4.2. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

7.4.3. Ecuaciones de Hamilton en corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . 617

7.5. Transformaciones canónicas infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

7.6. Forma simpléctica de las transformaciones canónicas . . . . . . . . . . . . 622

7.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

8 Teoría de Hamilton-Jacobi 627

8.1. Ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628

8.2. Solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . 631

8.2.1. Para sistemas con H independiente del tiempo . . . . . . . . . . . . 632

8.2.2. Para sistemas con H independiente del tiempo y alguna coorde-nada cíclica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

8.2.3. Para sistemas con H independiente del tiempo y coordenadas nocíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

8.3. Ejemplos de aplicación de la ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . 635

8.4. Variables acción-ángulo en sistemas con un grado de libertad . . . . . . . 635

8.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

A Teorema de Steiner 637

B Teorema de Euler 639

C Funciones monótonas y continuidad 641

D Lema fundamental del cálculo de variaciones 643

E Propiedades de los determinantes 645

F Identidad de Jacobi 649

F.1. Por transformaciones canónicas infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

F.2. Por cálculo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XIII

ÍNDICE GENERAL

Bibliografía 653

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XIV

ÍNDICE DE FIGURAS

1.1. Frontera de un sitema de partículas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Tipos de fuerzas en un sistema de partículas. Aquí �!r i y �!r j son los vectores

de posición de la i-ésima y j-ésima partícula respectivamente,�!F(int)ij es la

fuerza ejercida por la j-ésima partícula sobre i-ésima,�!F(int)ji es la fuerza

ejercida por la i-ésima partícula sobre j-ésima y las�!F (ext) representan

fuerzas externas ejercidas sobre el sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. (a) Sistema S con tres partículas de masas m1, m2 y m3. (a) Sistema S 0 con

dos partículas de masas m2 y m3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. (a) Sistema de dos bloques de masas m1 y m2, donde m1 se desplaza

sobre la superficie de m2 y éste último sobre una superficie lisa S. Hayfricción entre los bloques. (b) Fuerzas sobre el bloquem1. (c) Fuerzas sobreel bloque m2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Forma fuerte de la tercera ley de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6. Fuerzas interacción electromagnética de entre dos partículas cargadas

qi y qj en movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7. Posición

�!RCG del centro de gravedad de un sistema de partículas. Aquí

M =Pmi y �M�!g es el peso �!w total del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8. Cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra de tamaño no despre-ciable respecto al de la misma, en el cual se han representado varios dmy a los cuales se les han representado las �!g en sus respectivas posiciones. 16

1.9. Posición del centro de masa de un sistema de N partículas. . . . . . . . . . 171.10.Sistema discreto formado por tres partículas situadas en los vértices de un

triángulo rectángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.11.Distribución de mareria continua de masa m y densidad �. . . . . . . . . . 19

XV

ÍNDICE DE FIGURAS

1.12.Aro semicircular homogéneo de radio a y densidad lineal �. . . . . . . . . 201.13.Posición del centro de masa de un cascarón hemisférico homogéneo, de

densidad � y de radio R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.14.Cono sólido homogéneo de altura h y base de radio a . . . . . . . . . . . . 221.15.Sistema S discreto de N partículas subdividido (por completo) en s subsis-

temas S1,S2,S3,...,Ss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.16.Centro de masa de un sistema compuesto por una concha hemisférica y

un hemisferio sólido homogéneo acoplados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.17.Centro de masa de una lámina cuadrada homogénea de densidad � y

lado c con orificio semicircular de radio R < c2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.18.Dos partículas de masas iguales que se deslizan sobre correderas lisas enángulo recto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.19.Sistema aislado de dos partículas interactuantes de masas m1 y m2. . . . 351.20.Vector de posición �!r 0i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.21.Aro homogéneo, de radio a, que rueda sobre una superficie lisa con fre-

cuencia angular constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.22.Vector de posición �!r ij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.23.Problema 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.24.Problema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.25.Problema 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.26.Problema 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.27.Problema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.28.Problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.29.Problema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.30.Problema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.31.Problema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.32.Problema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.33.Problema 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.34.Problema 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.35.Problema 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.36.Problema 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.37.Problema 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.38.Problema 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.39.Problema 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.40.Problema 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.41.Problema 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.42.Problema 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XVI

ÍNDICE DE FIGURAS

1.43.Problema 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.44.Problema 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.45.Problema 38. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.1. Péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.2. Un bloque de masa m que se mueve sobre una superficie inclinada. . . . 73

2.3. Cuerpo rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.4. Dos masas m1 y m2 unidas por una barra rígida de longitud `. . . . . . . . . 74

2.5. Sistema donde una canica con un orificio se desliza a través de un alam-bre rígido y curvo (que pasa a través de su orificio). . . . . . . . . . . . . . . 75

2.6. Movimientos posibles de un péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.7. Movimientos posibles de un péndulo elástico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.8. Masa puntual m en un punto de equilibrio inestable como la cima de unamontaña. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.9. Moléculas de gas encerradas en una esfera de radio R. . . . . . . . . . . . 79

2.10.Partícula que se desliza sobre la superficie de una esfera de radio R. . . . 79

2.11.Una partícula de masa m que se mueve en un aro cuyo radio cambiacon el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.12.Partícula que se mueve sobre un plano inclinado cuyo ángulo de incli-nación varía con el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.13.Partícula de masa m obligada a moverse sobre una superficie S (x; y; z) = 0. 85

2.14.Una partícula de masa m moviéndose sobre una mesa. . . . . . . . . . . . 86

2.15.Partícula de masa m obligada a moverse sobre una curva. . . . . . . . . . 87

2.16.Partícula de masa m moviéndose sobre una recta. . . . . . . . . . . . . . . 87

2.17.(a) Cuerpo rígido plano en su propio plano. (b) Cuerpo rígido en el espacio. 89

2.18.Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene. . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.19.Los 3 grados de libertad de un cuerpo rígido plano, en el plano que locontiene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.20.Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene, con un punto fijo. . . . 91

2.21.El único grado de libertad de un cuerpo rígido plano, en el plano que locontiene, con un punto fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.22.Dos cuerpos rígidos planos, en el mismo plano que los contiene, con unpunto común. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.23.Los 4 grados de libertad de dos cuerpos rígidos planos, en el mismo planoque los contiene, con un punto común. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.24.Cuerpo rígido en el espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XVII

ÍNDICE DE FIGURAS

2.25.(a) Movimiento de un disco homogéneo de masa M rodando sin res-balar sobre el plano xy. (b) Proyección del movimiento sobre el planoxy. La velocidad del centro de masa del disco tiene las componentes��R

�� Sen �;R

��Cos �

�sobre las direcciones x y y. . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.26.Partícula de masam obligada a moverse en el interior de un paralelepípe-do de dimensiones d1, d2 y d3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.27.Movimiento de un disco sólido homogéneo de masa M y radio R que sedesplaza sin resbalar sobre un plano inclinado un ángulo �. . . . . . . . . . 103

2.28.Dos masas m1 y m2 acopladas por un resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.29.(a) Ligadura lisa y (b).ligadura rugosa Para el movimiento permitido por

la ligadura (deslizamiento horizontal) la reacción lisa no realiza trabajo,mientras que en el caso rugoso sí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.30.El historial temporal de un sistema es representado mediante una curvaen el espacio de configuración. Se muestran cuatro posibles. . . . . . . . . 115

2.31.Sistema de dos masas m1 y m2 unidas por un hilo de masa despreciabley de longitud constante `. La masa m1 se mueve a lo largo del eje x conuna velocidad constante �!v impuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

2.32.Péndulo doble formado por dos masas puntuales m1 y m2 unidas entresí por una cuerda de masa despreciable y de longitud constante `2, es-tando m1 a su vez unida a un punto fijo O por medio de otra cuerda demasa despreciable y longitud `1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2.33.Sistema formado por dos partículas de masas m1 y m2, unidas por unabarra rígida de masa despreciable y de longitud constante `. . . . . . . . 138

2.34.Sistema formado por una varilla lisa en la cuale está ensartada una cuen-ta de masa m. La cuenta realiza un movimiento pre-establecido. . . . . . 141

2.35.(a) Desplazamiento real d�!r en presencia de una ligadura reónoma (b)Desplazamiento virtual ��!r , la ligadura se ha dejado çongelada.en el tiem-po. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

2.36.Desplazamiento real d�!r y desplazamiento virtual ��!r . . . . . . . . . . . . . 1442.37.Espacio de fase unidimensional. Coordenada real q (t) y la coordenada

desplazada virtualmente q (t) + �q (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452.38.Partícula de masa m que se mueve sobre una esfera lisa sin separarse de

su superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482.39.Anillo que se desplaza sobre un alambre liso en forma deparábola que

rota con ! constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512.40.Dos partículas de masas m1 y m2 unidas por una barra telescópica de

longitud ` = ` (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XVIII

ÍNDICE DE FIGURAS

2.41.Péndulo en equilibrio estático. (a) Diagrama de cuerpo libre. (b) Diagra-ma con fuerzas y desplazamientos virtuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

2.42.Partícula moviéndose dentro de un cilindro con trayectoria helicoidal. . . 1602.43.Palanca horizontal en equilibrio estático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632.44.(a) Sistema de partículas equivalente al sistema dado. (b) Vectores de

posición y desplazamientos virtuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1642.45.Mecanismo de barras homogéneas en equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . 1662.46.Centros de masa de los componentes del sistema, sus vectores de posi-

ción, los correspondientes desplazamientos virtuales y las fuerzas involu-cradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

2.47.Sistema de dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda que pasa a travésde una polea de diámetro despreciable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

2.48.Dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda que pasa a través de unapolea y donde una de las masas se desliza sobre un plano inclinado. . . . 173

2.49.Problema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802.50.Problema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802.51.Problemas 3 y 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1812.52.Problemas 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822.53.Problema 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822.54.Problema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1832.55.Problema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1842.56.Problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1842.57.Problema 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1852.58.Problema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1862.59.Problema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1862.60.Problema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1872.61.Problema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1882.62.Problema 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1892.63.Problema 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902.64.Problema 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912.65.Problema 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912.66.Problema 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3.1. Superficie de revolución generada por una curva y = y (x). . . . . . . . . . 1963.2. Camino real y camino variado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973.3. La función y (x) es el camino que hace que el funcional J tome un val-

or extremal. Las funciones y (�; x) = y (x) + �� (x) = y (x) + �y (x) son lasfunciones vecinas, donde � (x) se anula en las fronteras del intervalo [x1; x2].202

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XIX

ÍNDICE DE FIGURAS

3.4. Función y (x) = 3x entre los límites de x = 0 y x = 2� y dos de sus variacionesy (�; x) = 3x+ � [Sen (x)� Cos (x) + 1] (Ejemplo 3.1). . . . . . . . . . . . . . . . 203

3.5. Función y (x) = x2 entre los límites de x = �1 y x = 1 y dos de sus varia-ciones y (�; x) = x2 + � (x3 � x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

3.6. Superficie de revolución generada por una curva que une a los puntos(x1; y1).y (x1; y1), haciéndola trasladarse entrono al eje y. . . . . . . . . . . . 211

3.7. Partícula de masam que se desplaza sobre una rampa lisa desde el puntoP1 hasta el punto P2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

3.8. Planteamiento gráfico del problema de la braquistócrona. . . . . . . . . . 2153.9. Camino resultante para que la partícula se mueva desde (x1; y1) = (0; 0)

hasta (x2; y2) = (d;�h) en el menor tiempo posible. . . . . . . . . . . . . . . 2173.10.Película de jabón entre dos anillos concéntricos de radio a y separados

por una distancia 2d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2183.11.Geodésicas sobre una esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.12.Distancia más corta entre dos puntos del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . 2333.13.Geodésicas en un cilindro circular recto de radio R. . . . . . . . . . . . . . 2353.14.Función y (x) cuya área por ella encerrada ha de maximizarse. . . . . . . 2703.15.Cuerda de longitud ` colocada entre las orillas de un río de ancho 2a. . . 2723.16.Problema 70. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

4.1. (a) Representación de la relación fundamental F = F (u). (b) Repre-sentación de una familia de relaciones fundamentales F = F (v). . . . . . 295

4.2. Una curva dada puede representarse igualmente bien como envolventede una familia de líneas tangentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

4.3. (a) Conjunto S convexo, (b) conjunto S no convexo. . . . . . . . . . . . . . 2974.4. Función F (u) convexa en el intervalo [ua; ub]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2984.5. El epigrafo de una función de valor real es la zona "sobre"la curva. . . . . 2984.6. Función F (u) cóncava en el intervalo [ua; ub]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2994.7. Gráfica de la finción F (u) = Cos (u). En el dominio

��2; 3�2

�es una función

estrictamente convexa y en el dominio�3�2; 5�2

�es una función estricta-

mente cóncava. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3004.8. Representación gráfica de la desigualdad (4.8) que expresa la condición

de convexidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3014.9. Gráfica de la función F (u) = 1

upara u > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

4.10.Gráfica de la función F (u) = �e�u para � 6 0 y u > 0. . . . . . . . . . . . . . 3044.11.Gráfica de la función F (u) = au2 + bu+ c con a < 0 y u variable real. . . . . 3044.12.Gráfica de la función F (u) = e�u + u con � > 0 y u variable real. . . . . . . 3054.13.Gráfica de la función F (u1; u2) = u21 + u22 � 2u1u2. . . . . . . . . . . . . . . . . 307

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ÍNDICE DE FIGURAS

4.14.Gráfica de la función F (u1; u2) = u41 + u22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3084.15.Gráfica de la función F (u1; u2) = u41 + u22 � 4u1u2. . . . . . . . . . . . . . . . . 3094.16.Gráfica de la función F (u1; u2) = lnu1 + lnu2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3104.17.(a) Gráfica de una función convexa F = F (u). (b) Gráfica de su tangente

v = v (u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3124.18.Obtención geométrica de la transformada de Legendre para una relación

fundamental de una variable F = F (u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

5.1. Partícula de masa m que se desplaza hacia abajo en un plano inclinadoun ángulo � con respecto a la horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

5.2. Partícula de masa m inmersa en un campo de fuerza conservativo. . . . . 3665.3. La máquina simple de Atwood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3705.4. Anillo de masa m que se desliza por un alambre, de masa despreciable,

que gira uniformemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3725.5. Movimieno de un proyectil de masa m bajo la acción de la gravedad en

dos dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3745.6. Partícula de masa m que está obligada a moverse sobre la superficie

interna de un cono liso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3785.7. Dos partículas de masas m1 y m2 unidas por tres resortes de constantes de

elasticidad k1, k2 y k3 a dos soportes fijos que está a una distancia D entre sí.3805.8. Coordenadas generalizadas del sistema formado por dos masas m1 y m2

unidas por tres resortes de constantes de elasticidad k1, k2 y k3 a dos so-portes fijos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

5.9. Péndulo simple colocado dentro de un vagón que se mueve con unaaceleración constante a en la dirección +x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

5.10.Coordenadas Cartesianas para el pédulo simple de la figura 5.9. . . . . . 3835.11.Cuenta de masa m se desplaza a lo largo de un alambre liso, de masa

despreciable, que tiene la forma de la parábola z = cr2. . . . . . . . . . . . 3875.12.Máquina de Atwood doble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3895.13.Disco sólido de centro O0 y radio R1 que rueda sin resbalar dentro de la

superficie semicircular fija con centro O y radio R2 > R1. . . . . . . . . . . . 3925.14.Coordenadas del centro de masa del disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3935.15.Disco de masa M y radio R rueda, sin resbalar, hacia abajo en un plano

inclinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4025.16.Detalles para encontrar las ecuaciones de ligadura f

(h)4 y f (h)5 para el sis-

tema mostrado en la figura 5.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4035.17.Partícula de masam que comienza a moverse desde el reposo, partiendo

de la parte más alta de un hemisferio fijo y liso. . . . . . . . . . . . . . . . . 413

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XXI

ÍNDICE DE FIGURAS

5.18.Partícula de masa m que se mueve sobre un plano inclinado móvil. . . . . 4165.19.(a) Movimiento de un disco homogéneo de masa M rodando sin res-

balar sobre el plano xy. (b) Proyección del movimiento sobre el planoxy. La velocidad del centro de masa del disco tiene las componentes��R

�� Sen �;R

��Cos �

�sobre las direcciones x y y. . . . . . . . . . . . . . . . . 422

5.20.Carrito rectangular homogéneo de masa M inmerso en un campo eléc-trico uniforme

�!E dirigido a lo largo del eje x. Las ruedas no resbalan, así la

fuerza de fricción estática entre ellas y la superficie proporcionan fuerzas�!F a y

�!F b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

5.21.�!F 1,�!F 2 y

�!F Q son las fuerzas eléctricas ejercidas por el campo eléctrico

�!E

sobre las cargas q1, q1 y Q respectivamente. La fuerza de fricción estáticaentrelas ruedas y la superficie proporcionan fuerzas

�!F a y

�!F b . . . . . . . . 434

5.22.Cambio del vector de posición debido una traslación del sistema. . . . . 4535.23.Variación del vector de posición al rotar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

6.1. Partícula de masa m obligada a moverse sobre la superficie del cilindrox2 + y2 = R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

6.2. Péndulo esférico de masa pendular m y longitud b. . . . . . . . . . . . . . . 5176.3. Coordenadas esféricas de la masa pendular m en un pédulo esférico. . . 5186.4. Partícula de masa m que se mueve a lo largo del eje x sometida a una

fuerza �Kx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5206.5. Partícula de masa m que se mueve en un plano, inmersa en un campo

con energía potencial U = U (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5236.6. Péndulo simple de masa pendular m y longitud `. . . . . . . . . . . . . . . . 5266.7. Coordenadas Cartesianas y cilíndricas para la masa pendular m del pén-

dulo mostrado en la figura 6.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5276.8. Trayectoria de fase en un espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5586.9. Diagrama de fase para la partícula de masa m obligada a moverse sobre

la superficie de un cilindro, mostrada en la figura (6.1). . . . . . . . . . . . . 5606.10.Diagrama de fase para la máquina simple de Atwood de la figura 5.3. . . 5616.11.Partícula de masa m que se desliza bajo la acción de la gravedad y sin

fricción sobre un alambre que tiene forma de parábola y = x2

2. . . . . . . . 561

6.12.Diagrama de fase para el sistema mostrado en la figura (6.11). . . . . . . . 5636.13.Diagrama de fase para el péndulo de la figura 6.2 con

�' = ! = constante.

La figura 6.13(a) es para ! <pg=` y la 6.13(b) es para ! >

pg=`. . . . . . . 565

6.14.Diagrama de fase para el péndulo simple de la figura (6.6). . . . . . . . . . 5676.15.Evolución de una región en el espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . 569

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XXII

ÍNDICE DE FIGURAS

6.16.Proyección del elemento de volumen sobre el plano qipi. . . . . . . . . . . 5716.17.Diagrama de fase para un conjunto de partículas de masammoviéndose

inmersas en un campo gravitacional constante. . . . . . . . . . . . . . . . . 5756.18.Partícula de masa m que se mueve en un plano bajo la influencia de una

fuerza F (r) que se deriva del potencial U (r) = � Crn

. . . . . . . . . . . . . . . 581

D.1. Función arbitraria � (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644

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Parte I

Fundamentos físicos y matemáticosbásicos para estudiar Mecánica de

Lagrange y Hamilton

1

CAPÍTULO 1

Dinámica de un sistema de partículas

Contents1.1. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Clasi�cación de los sistemas de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2. Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Fuerzas en un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1. Externas e internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2. Aplicadas y de reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Centro de masa, centro de gravedad y centroide . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1. Posición del centro de masa de un sistema discreto . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2. Posición del centro de masa de un sistema continuo . . . . . . . . . . . . 19

1.4.3. Posición del centro de masa de un sistema compuesto . . . . . . . . . . 23

1.5. Propiedades del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6. Movimiento del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.7. Movimiento de un sistema aislado de dos partículas - Masa reducida 35

1.8. Momento lineal y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.9. Momento angular y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.10. Energía y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.10.1. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3

CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

1.10.2. Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.10.3. Conservación de la energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.1. Sistema de partículas

Los cuerpos que se observan a simple vista están formados por un gran númerode partículas, macroscópicas, atómicas o subatómicas. Sólo en ciertos casos es váli-da la simplificación que supone el modelo de la masa puntual. En otros casos, por elcontrario, será necesario considerar el sistema como si estuviese formado por variaspartículas.

Se llama Sistema de Partículas, Sistema Mecánico o Sistema Dinámico aun conjunto de varias partículas, de número finito o infinito, de las cuales sequiere estudiar su movimiento.

Por otro lado,

Se llama Configuración de un Sistema a la posición de cada una de suspartículas en un instante dado.

Para definir la configuración se necesita un determinado número de parámetrossegún el sistema de que se trate. Por ejemplo, una partícula libre precisa de tres pa-rámetros (x; y; z) son sus coordenadas Cartesianas. Un sistema de N partículas libresqueda definido por 3N parámetros. Sin embargo, si existen ligaduras (detalles en elcapítulo 2) que restrinjan el movimiento, el número de parámetros preciso para definirla configuración podría ser menor.

Todo sistema está definido por su frontera,

Se llama Frontera del Sistema (ver figura 1.1) a la envoltura imaginariaque lo encierra y separa de su entorno o exterior.

En el exterior o entorno del sistema pueden existir agentes que ejerzan influenciasobre el mismo como: campos gravitacionales o eléctricos originados por otro sistema

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1.2. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS

Figura (1.1): Frontera de un sitema de partículas.

de partículas, sistemas de partículas en contacto él, etc. Puede pensarse que la fron-tera de un sistema de partículas tiene propiedades especiales que sirven para: (a)aislar el sistema de su entorno o para (b) permitir la interacción de un modo específicoentre el sistema y su entorno.

Debe quedar claro que el espesor de la frontera es matemáticamentecero por lo que no puede contener materia ni ocupar algún lugar en elespacio.

El valor de alguna variable física del sistema medida exactamente sobre su fronteradebe ser igual tanto para el interior como para el exterior, ya que el sistema y el entornoestán en contacto en ese punto.

1.2. Clasificación de los sistemas de partículas

Un sistema de partículas puede ser clasificado como:

1.2.1. Discreto

Este modelo considera el cuerpo formado por un número finito de partículasque están localizadas. En un sistema discreto la masa total del sistema se obtienesumando las masas de todas las partículas que lo forman.

Dentro de este modelo se consideran:



Sistemas indeformables

Son los sistemas en los que la distancia relativa entre las partículas que lo constituyenpermanece inalterable en el tiempo.

Sistemas deformables

Son los sistemas en los que puede cambiar la distancia relativa entre las partículasque lo constituyen.

1.2.2. Continuo

Este modelo considera el cuerpo formado por una distribución continua demateria, es decir, por un número infinito de partículas. Las partículas que lo forman nose pueden delimitar, llenando todo el espacio que ocupa.

Al igual que en el caso discreto, dentro de este modelo se consideran:

Sistemas indeformables

Son los sistemas que no sufren deformaciones por efecto de fuerzas externas, es de-cir, son sistemas de partículas contínuos cuyas posiciones relativas no cambian. A estossitemas se les da el nombre de Cuerpo Rígido. Un cuerpo rígido es una idealización yaque, en la naturaleza, todos los cuerpos se deforman en mayor o menor grado bajo laacción de una fuerza externa. Sin embargo, en muchos casos la deformación puedeser tan pequeña que para fines prácticos se puede suponer que no existe. Para el es-tudio del comportamiento de estos sistemas existe la denominada Mecánica de losCuerpos Rígidos.

Sistemas deformables

Son los sistemas que sufren deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir,son sistemas de partículas contínuos cuyas posiciones relativas internas cambian.

En muchos casos prácticos un sistema discreto que tenga un gran número, pero fini-to, de partículas puede tratarse como un sistema continuo. Inversamente, un sistemacontinuo puede tratarse como un sistema discreto con un gran número, pero finito, departículas.


1.3. FUERZAS EN UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

1.3. Fuerzas en un sistema de partículas

En un sistema de partículas están involucradas fuerzas que son ejercidas sobrelas partículas que lo constituyen y que son las causantes de la variación de la can-tidad movimiento lineal o momento lineal �!p de las mismas. A estas fuerzas resultaconveniente clasificarlas ya que las partículas del sistema no sólo están interaccionan-do entre sí, sino con otras partículas que no pertenecen al mismo sistema. Es posibleclasificarlas atendiendo a varios criterios (ver figura 1.2):

Figura (1.2): Tipos de fuerzas en un sistema de partículas. Aquí �!r i y �!r j son los vectores de posición de lai-ésima y j-ésima partícula respectivamente,

�!F(int)ij es la fuerza ejercida por la j-ésima partícula sobre

i-ésima,�!F(int)ji es la fuerza ejercida por la i-ésima partícula sobre j-ésima y las

�!F (ext) representan fuerzas

externas ejercidas sobre el sistema.

1.3.1. Externas e internas

Fuerzas externas

Las Fuerzas Externas son aquellas ejercidas por agentes externos al sis-tema, es decir, son las que están aplicadas a partículas del sistema porpartículas, distribuciones de materia u otros agentes que no pertenecen almismo sistema.



Las fuerzas externas son las responsables del comportamiento externo del sistema yson las únicas que modifican su momento lineal �!p , influyendo sobre una o más partesdel mismo o sobre su totalidad. Estas fuerzas pueden ser los pesos de las partículas delsistema, reacciones causadas por las superficies en contacto con las mismas, fuerzasejercidas externamente mediante cuerdas, etc.

En este texto serán denotadas por:�!F (ext) cuando se trate de la fuerza externa total

o resultante sobre el sistema y por�!F(ext)i cuando se trate de la fuerza externa total

sobre la i-ésima partícula a menos que, para casos particulares, sea indicada otranotación.

A un sistema de partículas sobre el cual no se aplican fuerzas externas sele denomina Sistema Aislado o Sistema Cerrado. Es decir, es un sistema queno interacciona con otros agentes físicos situados fuera de él y, por tanto, noestá conectado en forma “causal” ni en correlación con nada externo a él.

Particulamente, un sistema inercial aislado es aquél en el que son válidas las tresLeyes de Newton y tiene las siguientes características:

1. La evolución del sistema es independiente del origen de la coordenada temporal,es decir, el tiempo es homogéneo.

2. La evolución del sistema es idenpendiente del origen de coordenadas del sistemainercial, es decir el espacio es homogéneo.

3. La evolución del sistema es independiente de la dirección de los ejes de sistema decoordenadas escogido, es decir, el espacio es isótropo.

Fuerzas internas

Las fuerzas internas son aquellas ejercidas entre las partículas que cons-tituyen al sistema, es decir, son las que están aplicadas a partículas del sis-tema debidas a otras partículas del mismo sistema.

Las fuerzas internas son las que determinan el grado de rigidez o cohesión de undeterminado sistema y no influyen en su comportamiento externo. Estas pueden ser lasfuerzas de atracción gravitacional entre las partículas del sistema, la fuerza eléctrica silas partículas tienen cargas eléctricas, fuerzas de contacto entre las partículas, etc.



Figura (1.3): (a) Sistema S con tres partículas de masas m1, m2 y m3. (a) Sistema S0 con dos partículas demasas m2 y m3.

En este texto serán denotadas por:�!F (int) cuando se trate de la fuerza interna total

o resultante en el sistema y por�!F(int)i cuando se trate de la fuerza interna total sobre la

i-ésima partícula, a menos que, para casos particulares, sea indicada otra notación.

Como ejemplo para ilustrar los conceptos de fuerza externa y fuerza interna, consid-érense los sistemas mostrados en la figura 1.3. En la figura 1.3(a) se muestra un sistemaS con tres partículas de masas m1, m2 y m3 posicionadas con respecto al origen O delreferencial mostrado mediante los vectores de posición �!r 1, �!r 2 y �!r 3 respectivamente.Sobre estas partículas actuan las siguientes fuerzas:

Fuerzas sobre m1

8><>:�!F 1 fuerza ejercida sobre m1 por un agente externo.�!F 12 fuerza ejercida sobre m1 por m2.�!F 13 fuerza ejercida sobre m1 por m3.

Fuerzas sobre m2


Fuerzas sobre m2


En este sistema las fuerzas�!F 12,

�!F 13,

�!F 21,

�!F 23,

�!F 31 y

�!F 32 son internas y, como se

puede ver, representan las fuerzas de interacción mutua entre las tres partículas. Las



fuerzas�!F 1,�!F 2 y

�!F 3 son externas que representan la interacción del sistema con un

agente externo al mismo.

Figura (1.4): (a) Sistema de dos bloques de masas m1 y m2, donde m1 se desplaza sobre la superficie dem2 y éste último sobre una superficie lisa S. Hay fricción entre los bloques. (b) Fuerzas sobre el bloquem1. (c) Fuerzas sobre el bloque m2.

Por otro lado, en la figura 1.3(b) se muestra el mismo sistema de tres partículas perodonde se ha escogido como objeto de estudio al sistema S 0 formado por las partículasde masas m2 y m3. En este caso, las fuerzas

�!F 23 y

�!F 32 son internas y las fuerzas

�!F 2,�!F 3,�!

F 21 y�!F 31 son externas (estas dos últimas eran internas para S). Las

�!F 1,�!F 12 y

�!F 13, que

en S pertenecían al sistema, ahora nada tienen que ver con S 0 ya que no ejercenninguna influencia sobre él.

Otro ejemplo es el mostrado en la figura 1.4. En la figura 1.4(a) se presenta un sistemaconstituido por dos bloques de masas m1 y m2 que se desplazan el uno sobre el otrohabiendo fricción. El cojunto de bloques, a la vez, se desplaza sobre una superficielisa �, debido a la acción una fuerza

�!F sobre el bloque de masa m2 ejercida por un

agente externo (una persona o una máquina hala al bloque). Las fuerzas involucradasson las siguientes:

Fuerzas sobre m1

8><>:�!w 1 peso de m1.�!N 12 fuerza normal aplicada por m2 sobre m1.�!F f12 fuerza de fricción aplicada por m2 sobre m1.

Fuerzas sobre m2

8>>>>>><>>>>>>:

�!w 2 peso de m2.�!N 21 fuerza normal aplicada por m1 sobre m2.�!F f21 fuerza de fricción aplicada por m1 sobre m2.�!N fuerza normal ejercida por � sobre m2.�!F fuerza aplicada sobre m2 por un agente externo.



En este sistema, compuesto por m1 y m2, las fuerzas �!w 1, �!w 2,�!N y

�!F , son externas.

La fuerza normal�!N es externa ya que es una fuerza que se ejerce sobre m2 por la

superficie �, que es un agente externo al sistema. Las fuerzas�!F f12,

�!F f21,

�!N 12 y

�!N 21 son

internas porque se dan entre m1 y m2.

Por otro lado, si la frontera del sistema se define de tal forma que se tome solamenteuno de los bloques, entonces todas las fuerzas actuantes sobre él serían externas. Lafigura 1.4(b) muestra el caso en que la frotera del sistema sólo considere al bloque 1y la figura 1.4(c) muestra el caso en que se considere al bloque 2. En ambos casostodas la fuerzas mostradas son externas y constituyen los denominados diagramas decuerpo libre.

A partir de la anterior discusión se deduce que cualquier fuerza puedeser externa o interna. Sólo depués de definir las fronteras del sistema departículas objeto de estudio, se sabrán cuáles de las fuerzas presentes en-tran en cada categoría.

1.3.2. Aplicadas y de reacción

Se pueden clasificar también en Aplicadas y de Reacción.

Aplicadas

A este tipo de fuerzas también se les denominan Fuerzas Activas.

Las fuerzas aplicadas son aquellas que actúan a “motus propio” sobreel sistema, es decir, son las fuerzas impuestas.

De reacción

A este tipo de fuerzas también se les denomina Fuerzas Reactivas o tambiénFuerzas de Ligadura.

Son aquellas que actúan como respuesta a un movimiento determina-do que intentan impedir y sólo se dan cuando existe la tendencia a estemovimiento.



Figura (1.5): Forma fuerte de la tercera ley de Newton.

La tercera ley de Newton juega un papel muy importante en la dinámica de unsistema de partículas debido a las fuerzas internas entre las partículas que constituyenel sistema. Dos suposiciones son necesarias referentes a las fuerzas internas:

1. Las fuerzas ejercidas entre dos partículas mi y mj son iguales en magnitudy opuestas en dirección. Si se denota por

�!F(int)ij la fuerza interna ejercida

sobre la i-ésima partícula debido a la j-ésima, entonces la llamada forma“débil” de la tercera ley de Newton se escribe como,

�!F(int)ij = ��!F (int)

ji (1.1)

2. Las fuerzas ejercidas entre dos partículas mi y mj, además de ser igualesy opuestas, deben darse sobre el segmento recta que une las posicionesde ambas partículas, es decir, si

�!F(int)ij es paralela a �!r i � �!r j = �!r ij. Esta

forma más restringida de la tercera ley de Newton, llamada también laforma “fuerte”, es mostrada en la figura 1.5. A las fuerzas que cumplen es-ta forma de la tercera ley de Newton se le denominan Fuerzas Centrales.

Se debe tener cuidado en saber cuándo es aplicable cada una de las formas dela tercera ley de Newton. En verdad, muchas son las fuerzas que obedecen ambasformas de la tercera ley de Newton. Por ejemplo, las fuerza gravitacional y la fuerza


1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

electrostática tienen esta propiedad, conservándose el momento lineal total y el mo-mento angular en estos sistemas. Sin embargo, existen algunas fuerzas que, en gener-al, ¡no cumplen con ambas formas a la vez! y el ejemplo más famoso lo constituye lafuerza de Lorentz que viene dada por,

�!F(int)ij = qi

�!v i ��!B ij (1.2)

que se estudia en el curso de electromagnetismo y donde �!v i es la velocidad de lacarga qi y

�!B ij es el campo magnético sobre la carga qi generado por el movimiento

de la carga qj. Esta fuerza, en general, sólo obedece a la forma débil de la terceraley de Newton. Para visualizar esto, considérense dos partículas cargadas qi y qj quese mueven con velocidades respectivas �!v i y �!v j en el plano de esta página, como semuestra en la figura 1.6.

Figura (1.6): Fuerzas interacción electromagnética de entre dos partículas cargadas qi y qj en movimien-to.

Puesto que�!F(int)ij es perpendicular a ambos �!v i y

�!B ij ( el cual puede apuntar hacia

adentro o hacia afuera del plano de esta página),�!F(int)ij puede ser paralela a

�!F(int)ji

sólo cuando �!v i y �!v j son paralelas, lo cual no es cierto en general.

Cualquier fuerza que dependa de las velocidades de los cuerpos interactuantesno es central, por lo tanto no es aplicable la forma fuerte. La fuerza gravitacionalentre cuerpos en movimiento también depende de la velocidad, pero el efecto espequeño y difícil de detectar. El único efecto observable es la precesión del periheliode los planetas interiores (Mercurio, Venus, Tierra y Marte).

1.4. Centro de masa, centro de gravedad y centroide

En el estudio de la dinámica de sistemas de partículas es de una importantísimautilidad el concepto de Centro de Masa.



El Centro de Masa de un sistema discreto o continuo es el punto ge-ométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicadala resultante de las fuerzas externas al sistema.

Esto será demostrado más adelante en la sección 1.6. De manera análoga, sepuede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro demasas es un sistema equivalente al original.

Por otro lado,

El Centro de Gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual lasfuerzas que ejerce la gravedad sobre los diferentes puntos materiales queconstituyen el cuerpo, producen un momento de fuerza o torque �!� resul-tante nulo.

La figura 1.7 muestra una representación de la posición del centro de gravedadpara un sistema discreto de N partículas. El centro de gravedad no corresponde ne-cesariamente a un punto material del cuerpo. Así, el centro de gravedad de unaesfera hueca homogénea está situado en el centro de la esfera que no pertenece alcuerpo.

Figura (1.7): Posición�!RCG del centro de gravedad de un sistema de partículas. Aquí M =

Pmi y �M�!g

es el peso �!w total del sistema.



La posición�!RCG del centro de gravedad para un sistema continuo puede ser en-

contrada mediante,

�!RCG �M�!g

��!r = �!RCG

�=R �!r ��!g (�!r ) dm (1.3)

En la figura 1.8 se muestra un cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra cuyotamaño no es despreciable con respecto al de ésta última, en el cual se han repre-sentado varios diferenciales de masa dm y a los cuales se les han representado lasintensidades del campo terrestre �!g en sus respectivas posiciones. Se puede observarque �!g es un vector que varía en dirección de punto a punto por estar siempre dirigi-do al centro de la Tierra además de que podría variar también su magnitud. En estecaso, de (1.3), para el cuerpo de masa M resultaría una posición para su centro degravedad distinta a la posición de su centro de masa (cuya determinación se harámás adelante). Ahora, si el tamaño de este cuerpo es pequeño o despreciable conrespecto al de la Tierra ocurriría que los ángulos entre los distintos vectores �!g serían tanpequeños que estos vectores podrían considerarse paralelos entre sí y constantes enmagnitud. En este caso, por el contrario, de (1.3) resultaría una posición para el cen-tro de gravedad igual a la posición del centro de masa. A los efectos prácticos, estacoincidencia se cumple con precisión aceptable para todos los cuerpos que estánsobre la superficie terrestre, aun para una locomotora o un gran edificio; no sucede lomismo con objetos astronómicos como los planetas.

La posición centro de masa�!R coincide con la del centro de gravedad

�!RCG cuando el cuerpo está en un campo gravitatorio uniforme, es decir,cuando el vector aceleración de la gravedad �!g (�!r ) es de magnitud y di-rección constante en todo el interior del cuerpo,

�!g = vector constante

Por último, queda por definir el centroide de un cuerpo geométrico,

El Centroide o Baricentro es un punto que define el centro de un cuer-po geométrico unidimensional, bidimensional o tridimensional, es decir, es elcentro de simetría.

Hay que hacer incapié en que el centroide o baricentro se refiere a cuerpos pura-mente geométricos, es decir, no se refiere a cuerpos materiales ya que son cuerpos



Figura (1.8): Cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra de tamaño no despreciable respecto alde la misma, en el cual se han representado varios dm y a los cuales se les han representado las �!g ensus respectivas posiciones.

sin masa. Todo cuerpo material está definido por un cuerpo geométrico que encierratoda la masa del mismo. La posición del centro de masa de un cuerpo material coin-cide con la posición del centroide del cuerpo geométrico que lo define, si el primero eshomogéneo. Si un cuerpo material es simétrico y homogéneo, se puede hallar su cen-troide fácilmente. Por ejemplo, para el caso de una varilla o segmento homogéneos,el centroide es el punto medio y para una esfera o una circunferencia homogéneas,el centroide también se encuentra en su centro geométrico. El caso de un triángulo seencuentra en la intersección de las medianas1.

Por las anteriores razones y dentro de los límites mecionados, al centro de masasuele llamársele también centro de gravedad o también centroide.

1.4.1. Posición del centro de masa de un sistema discreto

Para definir la posición del centro de masa de un sistema de partículas discreto,pártase de uno formado por N partículas de masas m1;m2; :::;mN cuyos vectores deposición son �!r 1; �!r 2; :::;�!r N respectivamente con relación al origen O del referencialescogido, el cual es inercial (ver figura 1.9). La masa total M del sistema vendrá dadapor,

1Las medianas son las tres rectas que unen cada vértice del triángulo con el centro del lado opuesto.



Figura (1.9): Posición del centro de masa de un sistema de N partículas.

M =NXi=1

mi (1.4)

Ahora bien,

El Centro de Masa de un sistema de partículas se define como el puntocuyo vector de posición

�!R viene dado por,

�!R =

1

M

NXi=1

mi�!r i (1.5)

Como,�!r i = xibex + yibey + zibez

entonces,�!R =

1

M

NXi=1

mixi

!bex + 1

M

NXi=1

miyi

!bey + 1

M

NXi=1

mizi

!bez (1.6)

de donde las componentes Cartesianas (xcm; ycm; zcm) de la posición del centro demasa son,

xcm =1M

NPi=1

mixi ycm =1M

NPi=1

miyi zcm =1M

NPi=1

mizi (1.7)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



EJEMPLO 1.1Sistema discreto bidimensional. Un sistema consta de tres partícu-

las de masas m1 = 2 Kg, m2 = 4 Kg y m3 = 8 Kg, localizadas en los vértices de untriángulo rectángulo como se muestra en la figura 1.10. Encuéntrese la posición delcentro de masa del sistema respecto al referencial dado.

Figura (1.10): Sistema discreto formado por tres partículas situadas en los vértices de un triángulo rectán-gulo.

SOLUCION: la masa del sistema, al usar (1.4), viene dada por,

M =3Xi=1

mi = m1 +m2 +m3 = 2Kg + 4Kg + 8Kg = 14Kg (1.8)

Ahora, al usar (1.7),

xcm =1

M

3Xi=1

mixi =1

M(m1x1 +m2x2 +m3x3)

=1

14Kg[(2Kg) (b+ d) + (4Kg) (b) + (8Kg) (b+ d)] =

5

7d+ b (1.9)

ycm =1

M

3Xi=1

miyi =1

M(m1y1 +m2y2 +m3y3)

=1

14Kg[(2Kg) (0) + (4Kg) (0) + (8Kg) (h)] =

4

7h (1.10)

Entonces, de los resultados (1.9) y (1.10), el centro de masa está en la posición,

�!R =

�5

7d+ b;

4

7h

�=

�5

7d+ b

�bex + 47hbey (1.11)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



1.4.2. Posición del centro de masa de un sistema continuo

Cuando se tiene una distribución de materia continua como la representadapor la región R mostrada en la figura 1.11, las sumatorias presentes en (1.4) y (1.5) seconvierten en integrales y la masa m en un diferencial de masa dm resultando,

�!R = 1

M

RR�!r dm, con M =

RR dm (1.12)

y como,�!r = xbex + ybey + zbex

entonces,�!R =

1

M

ZRxdmbex + 1

M

ZRydmbey + 1

M

ZRzdmbey (1.13)

de manera que las componentes Cartesianas de�!R son,

Figura (1.11): Distribución de mareria continua de masa m y densidad �.

xcm =1M

RR xdm ycm =

1M

RR ydm zcm =

1M

RR zdm (1.14)

La región R puede ser unidimensional, bidimensional o tridimensional, por lo tanto,las integrales presentes en (1.12) podrán ser simples, dobles o triples respectivamente.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 1.2Sistema continuo unidimensional. Encuéntrese el centro de masa

de un aro semicircular homogéneo de radio a y densidad lineal � (ver figura 1.12).



Figura (1.12): Aro semicircular homogéneo de radio a y densidad lineal �.

SOLUCION: en coordenadas polares se tiene que el diferencial de masa viene dadopor,

dm = �rd' = �ad' (1.15)

por lo tanto la masa M del aro es,

M =

ZRdm =

Z �

0

�ad' = ��a (1.16)

Por la simetría mostrada en la figura y debido a que el aro es homogéneo se tieneque la abscisa del centro de masa es,

xcm = 0 (1.17)

A partir de (1.14) la ordenada viene dada por,

ycm =1

M

ZRydm (1.18)

donde,y = r Sen' = a Sen' (1.19)

en coordenadas polares. Por lo tanto, al sustituir (1.15), (1.16) y (1.19) en (1.18),

ycm =

R �0�a2 Sen'd'

��a=a

�

Z �

0

Sen'd' =2a

�(1.20)

Por último, de los resultados (1.17) y (1.20), el centro de masa del aro está en laposición,

�!R =

�0;2a

�

�=2a

�bey (1.21)



Figura (1.13): Posición del centro de masa de un cascarón hemisférico homogéneo, de densidad � y deradio R.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 1.3Sistema continuo bidimensional. Calcular la posición del centro

de masa de la placa homogénea de densidad � mostrada en la figura 1.13.SOLUCION: en coordenadas polares el diferencial de masa viene dado por,

dm = �rdrd' (1.22)

por lo tanto su masa resulta de,

M =

ZRdm =

Z �4

��4

Z RCos(2')

0

�rdrd' =1

8�R2� (1.23)

entonces a partir de (1.14), considerando (1.22) y (1.23), la coordenada xcm del centrode masa es,

xcm =1

M

ZRxdm =

118�R2�

Z �4

��4

Z RCos(2')

0

�r2Cos'drd' =128p2

105�R (1.24)

donde se ha tenido presente que en coordenadas polares x = rCos'.

Por otro lado, debido a la simetría de problema es obvio que,

ycm = 0 (1.25)

entonces, de los resultados (1.24) y (1.25), el centro de masa está en la posición,

�!R =

128p2

105�R; 0

!=128p2

105�Rbex (1.26)



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 1.4Sistema continuo tridimensional. Encuéntrese el centro de masa

de un cono sólido homogéneo de densidad �, altura h y radio de la base a (ver figura1.14).

Figura (1.14): Cono sólido homogéneo de altura h y base de radio a .

SOLUCION: el diferencial de masa en coordenadas cilíndricas viene dado por,

dm = �rdrd'dz (1.27)

por lo tanto la masa M del cono es,

M =

Z 2�

0

Z a

0

Z �har+h

0

�rdzdrd' =1

3�a2h� (1.28)

Por la simetría mostrada en la figura y debido a que el cono es homogéneo se tieneque la abscisa y la ordenada del centro de masa vienen dadas por,

xcm = ycm = 0 (1.29)

La cota del centro de masa es posible encontrarla a partir de (1.14),

zcm =1

M

ZRzdm (1.30)



Por lo tanto, al sustituir (1.27) y (1.28) en (1.30),

zcm =

R 2�0

R a0

R �har+h

0zrdzdrd'

13�a2h

=112�a2h2

13�a2h

=1

4h (1.31)

con respecto a su base. Entonces, de los resultados (1.29) y (1.31), el centro de masaestá en la posición,

�!R =

�0; 0;

1

4h

�=1

4hbez (1.32)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.3. Posición del centro de masa de un sistema compuesto

Dado un sistema de partículas que ha sido subdividido por completo en subsis-temas, el objetivo de esta sección es encontrar la posición

�!R de su centro de masa a

partir de la posición de los centros de masa de cada uno de dichos subsistemas.

En efecto, considérese un sistema S discreto de N partículas y masa M que ha sidosubdividido (por completo) en s subsistemas S1,S2,...,Ss (ver figura 1.15). Si n1, n2,...,nsrepresentan el número de partículas de cada uno de los subsistemas debe cumplirseque,

Figura (1.15): Sistema S discreto de N partículas subdividido (por completo) en s subsistemasS1,S2,S3,...,Ss.

N = n1 + n2 + :::+ ns =sXj=1

nj (1.33)



Cada uno de los subsistemas tiene su centro de masa posicionado en�!R 1,�!R 2,...,

�!R s y

masas totales M1,M2,...,Ms. Para el subsistema 1 se tiene que su masa total viene dadapor,

M1 = m11 +m12 + :::+m1n1 =

n1Xi=1

m1i (1.34)

(el primer índice indica el subsistema y el segundo cada una de las partículas de dichosubsistema),

msubsistema, partícula

y los vectores de posición de cada una de las partículas que lo integran vienen dadospor �!r 11,�!r 12,...,�!r 1n1 . Para los restantes s� 1 subsistemas se hace de forma análoga,

M2 = m21 +m22 + :::+m2n2 =n2Pi=1

m2i

......

...

Ms = ms1 +ms2 + :::+msns =nsPi=1

msi

(1.35)

de manera que la masa total del sistema S viene dada por,

M =M1 +M2 + : : :+Ms =

n1Xi=1

m1i +

n2Xi=1

m2i + : : :+nsXi=1

msi (1.36)

entonces, a partir de (1.5), la posición del centro de masa de cada uno de los s sub-sistemas de S vendrá dada por,

Subsistema 1:�!R 1 =

1M1

n1Pi=1

m1i�!r 1i )M1

�!R 1 =

n1Pi=1

m1i�!r 1i


1M2

n2Pi=1

m2i�!r 2i )M2

�!R 2 =

n2Pi=1

m2i�!r 2i


1M3

n2Pi=1

m3i�!r 3i )M3

�!R 3 =

n3Pi=1

m3i�!r 3i

...

Subsistema s:�!R s =

1Ms

nsPi=1

msi�!r si )Ms

�!R s =

nsPi=1

msi�!r si

(1.37)

Ahora bien, al sumar miembro a miembro las expresiones (1.37) resulta,

M1

�!R 1 +M2

�!R 2 +M3

�!R 3 + : : :+Ms

�!R s =

n1Xi=1

m1i�!r 1i +

n2Xi=1

m2i�!r 2i +

n3Xi=1

m3i�!r 3i + : : :+

nsXi=1

msi�!r si

sXj=1

Mj�!R j =

NXi=1

mi�!r i

sXj=1

Mj�!R j = M

�!R



o,

�!R = 1

M

sPj=1

Mj�!R j (1.38)

que es la posición del centro de masa del sistema original S calculada a partir de lasposisiones

�!R 1;�!R 2;�!R 3; : : : ;

�!R s de los centros de masa de cada uno de los s subsistemas.

En componentes Cartesianas,

xcm =1M

sPi=1

Mixcm;i ycm =1M

sPi=1

Miycm;i zcm =1M

sPi=1

Mizcm;i (1.39)

donde xcm;i, ycm;i y zcm;i son las coordenadas de la posición del centro de masa deli-ésimo subsistema. Por lo tanto,

En los sistemas compuestos, se pueden encontrar los centros de masa delos sistemas parciales o subsistemas y, a partir de ellos, calcular el centrode masa del sistema completo. A esta propiedad del centro de masa se leconoce como Propiedad de Agrupamiento.

Es fácil mostrar que lo mismo ocurre partiendo de un sistema continuo.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 1.5Sistema compuesto. Encuéntrese el centro de masa del sistema

mostrado en la figura 1.16 que consiste en una concha hemisférica de radio externo a

e interno b y un hemisferio sólido de radio a, ambos homogéneos de densidad �.SOLUCION: la posición del centro de masa de la concha hemisférica y el hemisferio

sólido vienen dadas por (se deja como tarea al alumno),

�!R concha =

�!R 1 =

�0; 0;

3

8

a4 � b4a3 � b3

�=3

8

a4 � b4a3 � b3bez, con M1 =

2

3��a3 � b3

�(1.40)

�!R hemisferio =

�!R 2 =

�0; 0;�3

8a

�= �3

8abez, con M2 =

2

3��a3 (1.41)

ya que, por simetría, las coordenadas xcm y ycm son nulas para ambos casos.

Ahora, por la propiedad de agrupamiento del centro de masa (1.38),

�!R =

1

M

Xj

Mj�!R j =

M1

�!R 1 +M2

�!R 2

M1 +M2

=

�43�� (a3 � b3)

� �38a4�b4a3�b3

�bez + �43��a3� ��38abez�

43�� (a3 � b3) + 4

3��a3



Figura (1.16): Centro de masa de un sistema compuesto por una concha hemisférica y un hemisferiosólido homogéneo acoplados.

o,�!R = �3

8

b4

2a3 � b3bez =�0; 0;�3

8

b4

2a3 � b3

�(1.42)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 1.6Sistema compuesto. Encuéntrese el centro de masa de la lámina

homogénea cuadrada de densidad � y lado c mostrada en la figura 1.17, a la cual sele ha recortado un semicículo de radio R < c

2.

SOLUCION: en este cado es sistema dado se descompone en dos. Uno de ellos esla lámina L cuadrada sin orificio y el otro es el orificio O. Se calcula la posición delcentro de masa de la lámina cuadrada completa y del orificio, asignándole a esteúltimo masa negativa por ser una masa faltante. Para hallar el centro de masa de lalámina con el orificio se usa la propiedad de agrupamiento del centro de masa.

Posición del centro de masa de la lámina cuadrada sin orificio: por la simetría delproblema y por ser la lámina homogénea, es obvio que las coordenadas del centrode masa vienen dadas por,

xLcm = 0 (1.43)

yLcm =c

2(1.44)

y su masa viene dada por,ML = �c2 (1.45)



Figura (1.17): Centro de masa de una lámina cuadrada homogénea de densidad � y lado c con orificiosemicircular de radio R < c

2 .

Posición del centro de masa del orificio: por la simetría de problema y por suponerel orificio homogéneo,

xOcm = 0 (1.46)

el diferencial de masa, usando coordenadas, polares viene dado por,

dm = �rdrd' (1.47)

entonces su masa es,

MO =

Zdm =

Z �

0

Z R

0

�rdrd' =1

2�R2� (1.48)

y al usar (1.12),

yOcm =1

MO

Zydm =

112�R2

Z �

0

Z R

0

r2 Sen'drd' =4

3�R (1.49)

donde se ha tenido presente que en coordenadas polares y = r Sen'.

Ahora, por la propiedad de agrupamiento del centro de masa (1.38) la posicióndel centro de masa de la lámina con el orificio se obtiene mediante,

xcm =MLx

Lcm +MOx

Ocm

ML +MO

(1.50)

ycm =MLy

Lcm +MOy

Ocm

ML +MO

(1.51)



y al sustituir los resultados (1.43) a (1.46), (1.48) y (1.49) en (1.50) y (1.51) resulta final-mente,

xcm =(�c2) (0) +

��12�R2�

�(0)

�c2 +��12�R2�

� = 0 (1.52)

ycm =(�c2)

�c2

�+��12�R2�

� �43�R�

�c2 +��12�R2�

� =1

3

�3c3 � 4R32c2 � �R2

�(1.53)

o también,�!R =

�0;1

3

3c3 � 4R32c2 � �R2

�=1

3

�3c3 � 4R32c2 � �R2

�bey (1.54)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5. Propiedades del centro de masa

El centro masa de un sistema de partículas tiene las siguientes propiedades(algunas serán verificadas posteriormente):

1. Permite reducir el estudio de la dinámica de un sistema de partículas (discreto ocontinuo) al de una partícula.

2. Es un punto geométrico que no tiene por qué corresponderse con la posición deuna partícula material del sistema.

3. Su posición está contenida en los elementos de simetría del sistema. Si el cuerpotiene un plano o un eje de simetría éste contiene al centro de masa. Si posee uncentro de simetría, éste será directamente el centro de masa. Lo anterior ocurre siexiste una distribución homogénea de la masa.

4. Es independiente del sistema de referencia inercial empleado para localizarlo. Solodepende de la masa de las partículas y de sus posiciones relativas entre sí.

5. Se mueve como un punto material cuya masa es la masa total del sistema, impul-sado por las fuerzas externas.

6. Todas las fuerzas externas al sistema de partículas se suponen aplicadas en su cen-tro de masa. La aceleración del centro de masa coincide con la aceleración delsistema.

7. La cantidad de movimiento de un sistema de partículas es igual al producto de lamasa del sistema por la velocidad de su centro de masa.


1.6. MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA

8. Si las fuerzas externas que actúan sobre un sistema tienen una resultante y un mo-mento nulos, el centro de masa se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme. Lasfuerzas internas no modifican el movimiento del centro de masa.

9. Si se toma el centro de masa como origen de referencia, la cantidad de movimientodel conjunto de partículas es siempre nula.

10. El movimiento más general que puede tener un sistema de partículas se puede re-ducir a un movimiento de traslación de su centro de masa más una rotación alrede-dor de un eje que pasa por dicho punto.

1.6. Movimiento del centro de masa

Supóngase que se tiene un sistema discreto constituido por N partículas queinteractúan entre sí y sobre el cual actúan fuerzas externas. Entonces, la fuerza resul-tante sobre la i-ésima partícula

�!F i estará compuesta (en general) por dos partes: una

parte es la resultante de todas las fuerzas externas�!F(ext)i y la otra parte es la resultante

de todas las fuerzas internas�!F(int)i que se originan de la interacción de todas las otras

N � 1 partículas con la i-ésima. Por lo tanto,

�!F i =

�!F(ext)i +

�!F(int)i , con i = 1; 2; 3; : : : ; N (1.55)

La fuerza�!F(int)i podrá ser calculada mediante la suma vectorial de todas las fuerzas

individuales�!F(int)ij (como se dijo antes, debe leerse como la fuerza aplicada sobre la

i-ésima partícula debida a la j-ésima),

�!F(int)i =

NXj=1 i6=j

�!F(int)ij , con i = 1; 2; 3; : : : ; N (1.56)

donde i 6= j puesto que cada partícula no interacciona con ella misma, es decir, nohay auto-fuerzas.

Ahora bien, a partir de la segunda ley de Newton, la expresión (1.55) puede es-cribirse como,

�!F i =

��!p i = mi

��!r i =�!F(ext)i +

�!F(int)i (1.57)

donde se ha supuesto que las mi son constantes. O también, en virtud de (1.56),

mi

��!r i =�!F(ext)i +

NXj=1 i6=j

�!F(int)ij (1.58)



Cada una de estas ecuaciones constituye la ecuación de movimiento de cadauna de lasN partículas del sistema y, en conjunto, forman un sistema deN ecuaciones.Este sistema tiene como gran dificultad matemática el hecho de que las fuerzas deinteracción

�!F(int)ij dependen de las posiciones de las dos partículas (la i-ésima y la

j-ésima), esto es,�!F(int)ij =

�!F(int)ij (�!r i;�!r j) (1.59)

Esta dificultad es tan poderosa que se ha demostrado que el sistema de ecuaciones(1.58) no tiene solución analítica general si el número es mayor de dos, que constituyeel famoso problema de los dos cuerpos. Sin embargo, hay casos particulares donde sihay solución. En los casos no analíticos se emplean los métodos numéricos.

Como ya se sabe, el centro de masa de un sistema de partículas discreto es unpunto cuya posición

�!R depende de las coordenadas que posicionan a cada una de

las N partículas que lo constituyen, como efectivamente lo indica (1.5). Si las partícu-las del sistema son tales que sus posiciones permanecen constantes en el tiempo (sis-tema indeformable), entonces la posición del centro de masa del sistema tambiénpermanece constante. Supóngase que se tiene ahora un sistema donde las partículasque lo constituyen están en movimiento, haciendo que las coordenadas de posiciónde cada una de ellas cambien con el tiempo (sistema deformable). Entonces, comoconsecuencia, la posición del centro de masa del sistema también cambia con eltiempo haciendo que éste se mueva.

La pregunta lógica que surge de lo anteriormente expuesto es la siguiente: ¿có-mo se mueve el centro de masa de un sistema de partículas?. La respuesta a estapregunta es suministrada por el siguiente teorema:

Teorema 1 (Movimiento del centro de masa) El centro de masa de un sis-tema de partículas se mueve como si fuese una partícula real, de masaigual a la masa total del sistema y sobre la cual actúa la fuerza externa to-tal; haciéndolo independientemente de la naturaleza de las fuerzas internasy siempre que se cumpla la tercera ley de Newton. Es decir,

M

��!R =

�!F (ext)

Demostración. Continúese considerando el sistema de N partículas mencionado alcomienzo de esta sección. Las N ecuaciones (1.58) pueden ser escritas como,

d2

dt2(mi�!r i) =

�!F(ext)i +

NXj=1 i6=j

�!F(int)ij (1.60)



luego, al sumar sobre i en ambos miembros se obtiene,

d2

dt2

NXi=1

mi�!r i

!=

NXi=1

�!F(ext)i +

NXi=1

NXj=1 i6=j

�!F(int)ij =

�!F (1.61)

que representa la fuerza total�!F =

NPi=1

�!F i sobre el sistema de partículas respecto al

origen O del referencial escogido. Si ahora sustituyeNPi=1

mi�!r i a partir de (1.5) en (1.61)

resulta,d2

dt2

�M�!R�=M

��!R =

�!F (ext) +

NXi;j=1 i6=j

�!F(int)ij (1.62)

donde�!F (ext) =

NPi=1

�!F(ext)i es la resultante de todas las fuerzas externas y se ha hecho el

cambio de notaciónNPi=1

NPj=1 i6=j

=NP

i;j=1 i6=j.

Supóngase ahora que se cumple la tercera ley de Newton (1.1). Entoces del términocon sumatoria en (1.62) resulta,

NXi;j=1 i6=j

�!F(int)ij =

NXi;j=1 i<j

��!F(int)ij +

�!F(int)ji

�=�!0 (1.63)

por lo tanto, al sustituir (1.63) en (1.62) se obtiene,

M

��!R =

�!F (ext) (1.64)

que es justamente la ecuación de movimiento de una partícula de masa M sobre lacual actúa una fuerza resultante

�!F (ext), lo cual demuestra el teorema.

La expresión (1.64) es un resultado muy importante pues no sólo permite combi-nar sistemas más pequeños para formar sistemas más grades y analizar lo que podríallamarse su comportamiento general. Este resultado también permite hacer exacta-mente lo contrario, es decir, dividir los sistemas en partes más pequeñas y estudiar elmovimiento de éstas.

El el caso especial de que el sistema de partículas sea aislado o cerrado (ver sec-ción 1.3.1) se tiene que

�!F (ext) =

�!0 , por lo tanto, a partir de la expresión (1.64) resulta,

��!R =

�!0 (1.65)



El anterior resultado implica que el centro de masa de un sistema aisladoo cerrado se mueve con velocidad constante,

�!V = constante

es decir, realiza un movimiento rectilíneo y uniforme.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 1.7En un sistema aislado, dos partículas de masas m1 = m y m2 = m se

atraen con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de su distancia,

�!F ij = �

k

r2ijber

con k una constante positiva y �!r ij = �!r i � �!r j el vector que posiciona a la i-ésimapartícula con respecto a la j-ésima. Si las partículas se deslizan sobre correderas lisasen ángulo recto (ver figura 1.18), encuentre la aceleración de centro de masa.

SOLUCION: las fuerzas�!F ij son internas ya que son fuerzas de interacción entre las

partículas que constituyen al sistema. De la figura 1.18 se puede observar fácilmenteque las coordenadas de cada partícula vienen dadas por,(

Para la que se mueve verticalmente (partícula 1) �! (x1; y1) = (0; y)

Para la que se mueve horizontalmente (partícula 2) �! (x2; y2) = (x; 0)(1.66)

por lo tanto, al usar (1.7), las coordenadas del centro de masa del sistema viene dadopor,

xcm =1

M

Xi

mixi =m1x1 +m2x2m1 +m2

=m (0) +m (x)

m+m=1

2x) x = 2xcm (1.67)

ycm =1

M

Xi

miyi =m1y1 +m2y2m1 +m2

=m (y) +m (0)

m+m=1

2y ) y = 2ycm (1.68)

de aquí que,�!R =

�1

2x;1

2y

�=1

2xbex + 1

2ybey (1.69)

y,

R =

q�!R � �!R =

1

2

px2 + y2 =

1

2d) d = 2R (1.70)



Figura (1.18): Dos partículas de masas iguales que se deslizan sobre correderas lisas en ángulo recto.

Por otro lado, de (1.58) se puede escribir que,

mi

��!r i =2X

j=1 i6=j

�!F(int)ij

ya que�!F(ext)i =

�!0 por ser el sistema aislado. Entonces,

m1

��!r 1 =2X

j=1 i6=j

�!F(int)1j =

�!F(int)12 ) m1

��x1bex + ��

y 1bey� = � k

r212ber ) m1

��ybey = � k

r212ber

m2

��!r 2 =2X

j=1 i6=j

�!F(int)2j =

�!F(int)21 ) m2

��x2bex + ��

y 2bey� = � k

r221ber ) m2

��xbex = � k

r221ber

o,

m1��ybey = � k

d2ber (1.71)

m2��xbex = � k

d2ber (1.72)

puesto que, de la figura (1.18), r12 = r21 = d.

En (1.71) y (1.72) se debe escribir ber en términos de bex y bey para así poder compararsus miembros. En efecto,

ber =�!r ijrij

=�!r i ��!r j

rij=(xibex + yibey)� (xjbex + yjbey)

rij

=(xi � xj) bex + (yi � yj) bey

rij(1.73)



que, para i = 1 y j = 2 resulta en,

ber = (x1 � x2) bex + (y1 � y2) beyr12

=�xbex + ybey

r12| {z }Por (1.66)

=�xbex + ybey

d| {z }r12=d

(1.74)

y para i = 2 y j = 1 en,

ber = (x2 � x1) bex + (y2 � y1) beyr21

=xbex � ybey

r21| {z }Por (1.66)

=xbex � ybey

d| {z }r21=d

(1.75)

entonces, al sustituir (1.74) en (1.71) y (1.75) en (1.72) se obtiene,

m1��ybey = � k

d2

��xbex + ybey

d

�=kx

d3bex � ky

d3bey (1.76)

m2��xbex = � k

d2

�xbex � ybey

d

�= �kx

d3bex + ky

d3bey (1.77)

Ahora, al comparar componente a componente los vectores presentes en ambosmiembros de las ecuaciones anteriores se obtiene,

m��y = �ky

d3(1.78)

m��x = �kx

d3(1.79)

y al sustituir (1.68) en (1.78) resulta ,

md2

dt2(2ycm) = �

k (2ycm)

d3

o,��y cm = �

kycmmd3

(1.80)

además, al sustituir (1.67) en (1.79) resulta ,

��xcm = �

kxcmmd3

(1.81)

entonces la aceleración del centro de masa vendrá dada por,

�!a cm =

��!R =

��xcmbex + ��

y cmbey = �kxcmmd3| {z }Por (1.81)

bex�kycmmd3| {z }

Por (1.80)

bey = � k

md3(xcmbex + ycmbey)

� k

md3�!R (1.82)

Por último, al usar (1.70), el anterior resultado se puede escribir como

�!a cm = �k

8mR3�!R


1.7. MOVIMIENTO DE UN SISTEMA AISLADO DE DOS PARTÍCULAS - MASA REDUCIDA

o,�!a cm = �

k

8mR2beR (1.83)

donde beR = �!RR

es un vector unitario en la dirección de�!R .

Del resultado (1.83) se puede argüir que el centro de masa es atraído hacia O conuna fuerza que es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia a dichopunto O. Cuando se estudia el movimiento de una partícula en un campo de fuerzacentral se demuestra que, para una fuerza de este tipo, la trayectoria seguida es unacónica. Por lo tanto, centro de masa del sistema sigue este tipo de trayectoria.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7. Movimiento de un sistema aislado de dos partículas -Masa reducida

Supóngase que se tiene un sistema discreto aislado o cerrado, como el mostra-do en la figura 1.19, constituido por dos partículas de masas m1 y m2 que interactúanentre sí.

Figura (1.19): Sistema aislado de dos partículas interactuantes de masas m1 y m2.

Ahora bien, sobre la partículam1 actúa una fuerza�!F(int)12 ejercida por la partículam2

y sobre esta última actúa una fuerza�!F(int)21 ejercida por la partícula m1 que constituyen



las fuerzas internas del sistema. A partir de (1.58) las ecuaciones de movimiento deambas partículas vienen dadas por,

d2

dt2(m1�!r 1) =

�!F(ext)1 +

2Xi;j=1 i6=j

�!F(int)1j ) m1

��!r 1 =�!F(ext)1 +

�!F(int)12 (1.84)

d2

dt2(m2�!r 2) =

�!F(ext)2 +

2Xi;j=1 i6=j

�!F(int)2j ) m2

��!r 2 =�!F(ext)2 +

�!F(int)21 (1.85)

donde en el desarrollo de las sumatorias no se tomaron en cuenta�!F(int)11 y

�!F(int)22 , ya

que no existen autofuerzas. Como el sistema es aislado o cerrado (ver sección 1.3.1)se tiene que

�!F (ext) =

�!0 , por lo tanto, las anteriores ecuaciones de movimiento se

reducen a,

m1

��!r 1 =�!F(int)12 )

��!r 1 =�!F(int)12

m1

(1.86)

m2

��!r 2 =�!F(int)21 )

��!r 2 =�!F(int)21

m2

= ��!F(int)12

m2

(1.87)

donde se ha tenido presente que, a partir de la tercera ley de Newton,�!F 12 y

�!F 21 son

iguales y de sentido opuesto (ver sección 1.3.2).

Es posible reducir este problema de dos cuerpos al problema de un sólo cuerpo.

En efecto, al encontrar la aceleración relativa��!r 12teniendo presentes (1.86) y (1.87)

resulta,��!r 12 =

��!r 1 ��!r 2 =

�!F(int)12

m1

� ��!F(int)12

m2

!o,

�!F(int)12 = �

��!r 12 (1.88)

con,

� = m1m2

m1+m2(1.89)

que se denomina masa reducida del sistema.

A partir del resultado (1.88) se puede deducir que:

Dado un sistema de dos partículas sometidas únicamente a fuerzas deinteracción mutua (fuerzas internas) o sistema aislado, el movimiento relativode las dos partículas es equivalente al movimiento relativo, respecto a unsistema inercial dado, de una partícula de masa igual a la masa reducida �

del sistema sometida a una fuerza igual a la de interacción.


1.8. MOMENTO LINEAL Y SU CONSERVACIÓN

El resultado anterior es muy importante en Física y es, justamente, lo que se usa alestudiar el movimiento planetario.

1.8. Momento lineal y su conservación

Teorema 2 (Momento lineal) El momento lineal de un sistema de partículases el mismo que si fuera una partícula real de masa M localizada en la posi-ción de centro de masa

�!R y que se mueve de la manera en que él lo hace.

Es decir, el momento lineal del sistema de partículas es el mismo de su centrode masa,

�!p =M

��!R

Demostración. El momento lineal de la i-ésima partícula puede escribirse como,

�!p i = mi

��!r i (1.90)

y al sumar sobre i en ambos miembros de esta expresión, se obtiene el momento linealtotal �!p del sistema,

�!p =NXi=1

�!p i =NXi=1

mi

��!r i (1.91)

o también,

�!p = d

dt

NXi=1

mi�!r i

!(1.92)

ahora, si se sustituyeNPi=1

(mi�!r i) a partir de (1.5) resulta,

�!p = d

dt

�M�!R�

(1.93)

o,

�!p =M

��!R (1.94)

demostrándose así lo enunciado en el teorema.

Por otro lado, la condición para que la cantidad de movimiento de un sistema departículas no varíe con el tiempo es enunciada en el siguiente teorema:



Teorema 3 (Conservación del momento lineal) El momento lineal �!p de unsistema de partículas libre de fuerzas externas (

�!F (ext) =

�!0 ) es constante en

el tiempo, es decir, se conserva.

�!p = vector constante

Demostración. Al derivar con respecto al tiempo (1.94) y teniendo presente (1.64) seobtiene,

��!p =M

��!R =

�!F (ext) (1.95)

que es lo indicado por el teorema 1. Ahora, al hacer�!F (ext) =

�!0 en (1.95) resulta,

��!p = �!F (ext) =�!0 (1.96)

y al itegrar,�!p = vector constante (1.97)


1.9. Momento angular y su conservación

Teorema 4 (Momento angular) El momento angular total del sistema departículas respecto al origen de un referencial escogido

�!L es igual a la suma

del momento angular del centro de masa del sistema respecto a dicho ori-gen

�!L cm y el momento angular del sistema con respecto a la posición del

centro de masa�!L 0,

�!L =

�!L cm +

�!L 0

Demostración. El momento angular�!L de la i-ésima partícula en torno al origen de un

sistema de referencia dado es,�!L i =

�!r i ��!p i (1.98)

Al sumar sobre i en los dos miembros de (1.98) se obtiene el momento angular total�!L

del sistema de partículas,

�!L =

NXi=1

�!L i =

NXi=1

�!r i ��!p i =

NXi=1

��!r i �mi

��!r i�

(1.99)


1.9. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN

Figura (1.20): Vector de posición �!r 0i.

Si se define ahora un vector de posición �!r 0i, que posicione a la i-ésima partículacon respecto al centro de masa del sistema, de manera que (ver figura 1.20),

�!r i = �!r 0i +�!R (1.100)

entonces, al sustituir (1.100) en (1.99) resulta,

�!L =

NXi=1

"��!r 0i +�!R��mi

��!r0

i +

��!R

!#

=

NXi=1

"mi

�!r 0i �

��!r0

i +�!r 0i �

��!R +

�!R �

��!r0

i +�!R �

��!R

!#

=

NXi=1

��!r 0i �mi

��!r0

i

�+

NXi=1

mi�!r 0i

!�

��!R +

�!R � d

dt

NXi=1

mi�!r 0i

!

+

NXi=1

mi

�!R �

��!R

!(1.101)



pero,

mi

��!r0

i = �!p 0i,NXi=1

mi =M (1.102)

NXi=1

mi�!r 0i =

NXi=1

hmi

��!r i ��!R�i| {z } =Por (1.100)

NXi=1

mi�!r i �

NXi=1

mi

�!R

= M�!R|{z}

Por (1.5)

�M�!R =�!0 (1.103)

esta última indica queNPi=1

mi�!r 0i especifica la posición del centro de masa en el sistema

de coordenadas del mismo centro de masa. Entonces, debido a (1.102) y (1.103), laexpresión (1.101) queda escrita como,

�!L =

�!R � M

��!R|{z}

=�!p por (1.94)

+NXi=1

�!r 0i ��!p 0i =�!R ��!p +

NXi=1

�!r 0i ��!p 0i

o,

�!L =

�!L cm +

�!L 0, con

8<:�!L cm =

�!R ��!p

�!L 0 =

NPi=1

�!r 0i ��!p 0i(1.104)

que es el momento angular total del sistema de partículas respecto al origen O de unreferencial escogido, demostrándose así lo enunciado en el teorema.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 1.8Un aro homogéneo, de radio a, rueda sobre una superficie lisa con

frecuencia angular constante (ver figura 1.21). Encuentre el momento angular total.SOLUCION: el centro de masa del aro coincide con su centro geométrico por ser

homogéneo. Según (1.104),

�!L =

�!L cm +

�!L 0 =

�!R ��!p +�!L 0 (1.105)

Para el presente caso,L0 = I 0! (1.106)

donde I 0 es el momento de inercia en torno al centro de masa y,��!R ��!p �� = Rp = aMv (1.107)



Figura (1.21): Aro homogéneo, de radio a, que rueda sobre una superficie lisa con frecuencia angularconstante.

donde v es la velocidad del centro de masa. Por lo tanto, al sustituir (1.106) y (1.107) en(1.105),

L = aMv + I 0! = a2M!| {z }v=a!

+ I 0!

=�I 0 +Ma2

�! (1.108)

pero2,I 0 +Ma2 = I (1.109)

donde I es el momento de inercia en torno a O, entonces, de (1.108) y (1.109),

L = I!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teorema 5 (Torque externo) El torque externo total sobre un sistema departículas �!� (ext) es igual a la derivada total con respecto al tiempo t delmomento angular del sistema

�!L , siempre que se cumpla la tercera ley de

Newton en su forma fuerte,�!� (ext) =

��!L

Demostración. La derivada temporal del momento angular de la i-ésima partícula es,a partir de (1.98),

��!L i =

��!r i ��!p i| {z }=�!0

+�!r i ��!p i =

�!r i ��!p i =

�!r i � �!F(ext)i +

NXj=1 i6=j

�!F(int)ij

!| {z }

Por (1.56) y (1.57)

(1.110)

2Teorema de Steiner.



y al sumar sobre i en ambos miembros,

��!L =

NXi=1

��!L i =

NXi=1

�!r i ��!F(ext)i +

NXi;j=1 i6=j

�!r i ��!F(int)ij (1.111)

pero,NX

i;j=1 i6=j

�!r i ��!F(int)ij =

NXi;j=1 i<j

��!r i ��!F (int)ij +�!r j �

�!F(int)ji

�| {z }

De forma análoga a (1.63)

=

NXi;j=1 i<j

��!r i ��!F (int)ij ��!r j �

�!F(int)ij

�| {z }

en virtud de (1.1)

=NX

i;j=1 i<j

(�!r i ��!r j)��!F(int)ij (1.112)

y puesto que el vector que posiciona a la i-ésima partícula con respecto a la j-ésimase puede definir como (ver figura 1.22),

Figura (1.22): Vector de posición �!r ij .

�!r ij = �!r i ��!r j (1.113)

de la misma forma como se había hecho mención antes en algunos ejemplos. En-tonces de (1.112) y (1.113) se puede escribir (1.111) como,

��!L =

NXi=1

�!r i ��!F(ext)i +

NXi;j=1 i<j

�!r ij ��!F(int)ij (1.114)



o,

��!L = �!� (ext) +�!� (int), con

8>><>>:�!� (ext) =

NPi=1

�!r i ��!F(ext)i =

NPi=1

�!� (ext)i

�!� (int) =NP

i;j=1 i<j

�!r ij ��!F(int)ij =

NPi=1

�!� (int)i

(1.115)

donde �!� (ext) (la suma de todos los torques externos sobre cada una de las partículas�!� (ext)i = �!r i �

�!F(ext)i ) es el torque externo resultante sobre el sistema de partículas en

torno a un eje dado y �!� (int) (la suma de todos los torques internos sobre cada una delas partículas �!� (int)i ) es el torque interno resultante con respecto al mismo eje.

Si en este momento se limita el estudio a fuerzas que cumplan con la tercera ley deNewton en su forma fuerte entonces, debido a que en este caso

�!F(int)ij va a lo largo

de la misma dirección de ��!r ij, entonces �!� (int)anula,

�!� (int) =NX

i;j=1 i<j

�!r ij ��!F(int)ij =

�!0 (1.116)

y, por lo tanto, (1.115) se reduce a,

�!� (ext) =��!L (1.117)


La condición para que se conserve el momento angular�!L de un sistema de partícu-

las es suministrada por el siguiente teorema:

Teorema 6 (Conservación del momento angular) Si el torque externo resul-tante sobre un sistema de partículas �!� (ext) en torno a un eje dado se anula,entonces el momento angular total del sistema

�!L en torno al mismo eje per-

manece constante en el tiempo, es decir, se conserva,

�!L = vector constante

Demostración. Al hacer �!� (ext) = �!0 en (1.117) resulta,

��!L =

�!0 (1.118)

y al integrar,�!L = vector constante (1.119)




1.10. Energía y su conservación

1.10.1. Energía cinética

Teorema 7 (Energía cinética) El trabajo total W12 realizado sobre un sistemade partículas para pasarlo de una configuración 1 donde la energía cinéticaes T1 a una configuración 2 donde la energía cinética es T2 viene dado por,

W12 = T2 � T1

Demostración. Supóngase que un determinado sistema de partículas pasa de unaconfiguración 1 en la cual todas las coordenadas �!r i se especifican, a una configu-ración 2 en la cual las coordenadas �!r i se especifican de alguna forma diferente. Eltrabajo W12 realizado para pasar de la configuración 1 a la 2 vendrá dado por,

W12 =NXi=1

Z conf. 2

conf. 1

�!F i � d�!r i (1.120)

donde�!F i es la fuerza resultante que actúa sobre la i-ésima partícula. Pero,

�!F i � d�!r i =

�mid�!v i

dt

��d�!r idt

dt

�=

�mid�!v i

dt

�� (�!v idt)

=1

2mi

d

dt(�!v i � �!v i) dt =

1

2mi

d

dt

�v2i�dt = d

�1

2miv

2i

�(1.121)


W12 =

NXi=1

Z conf. 2

conf. 1d

�1

2miv

2i

�=

NXi=1

1

2miv

2i

��conf. 2

conf. 1

=

NXi=1

1

2miv

2i2 �

NXi=1

1

2miv

2i1 (1.122)

o,

W12 = T2 � T1 con

8<: T =NPi=1

Ti

Ti =12miv

2i

(1.123)

demostrándose así lo enunciado en el teorema. Aquí Ti es la energía cinética de cadauna de las partículas del sistema y T es la energía cinética total del sistema.


1.10. ENERGÍA Y SU CONSERVACIÓN

Teorema 8 (Energía cinética) La energía cinética total de un sistema departículas T es igual a la suma de la energía cinética del centro de masarespecto al origen del referencial escogido Tcm y la energía cinética total delas partículas individuales relativas al centro de masa T 0,

T = Tcm + T 0

Demostración. Si se halla la derivada total con respecto al tiempo t de la expresión

(1.100) y se despeja��!r i resulta,

��!r i =��!r0

i +

��!R (1.124)

donde��!r i = �!v i es la velocidad de la i-ésima partícula con respecto al origen del

referencial escogito,��!r0

i =�!v 0i es la velocidad de la i-ésima partícula respecto al centro

de masa y��!R =

�!V es la velocidad del centro de masa como ya se sabía. A partir de

(1.124) se obtiene,

v2i =�r2

i =��!r i �

��!r i =

��!r0

i +

��!R

!�

��!r0

i +

��!R

!

=��!r0

i ��!r0

i +��!r0

i ��!R +

��!R �

��!r0

i +

��!R �

��!R

= v02i + 2��!r0

i ��!R + V 2 (1.125)

Entonces en base a (1.125) se puede escribir T de (1.123) como,

T =NXi=1

1

2mi

v02i + 2

��!r0

i ��!R + V 2

!

=NXi=1

1

2miv

02i +

��!R � d

dt

NXi=1

mi�!r 0i

!+

NXi=1

1

2miV

2 (1.126)

y al usar las expresiones (1.102) y (1.103) se puede escribir este resultado como,

T = Tcm + T 0, con

8<: Tcm =12MV 2

T 0 =NPi=1

12miv

02i

(1.127)

que es la energía cinética total de un sistema de partículas, demostrándose así loenunciado en el teorema.



1.10.2. Energía potencial

Al sustituir (1.56) y (1.55) en (1.120) resulta,

W12 =NXi=1

Z conf. 2

conf. 1

�!F(ext)i +

NXj=1 i6=j

�!F(int)ij

!� d�!r i

=

NXi=1

Z conf. 2

conf. 1

�!F(ext)i � d�!r i| {z }

Término 1

+NX

i;j=1 i6=j

Z conf. 2

conf. 1

�!F(int)ij � d�!r i| {z }

Término 2

(1.128)

Ahora, si se supone que las fuerzas�!F(ext)i y

�!F(int)ij son conservativas, entonces son

derivables a partir de energías potenciales como sigue,

�!F(ext)i = ��!r iU

(ext)i�!

F(int)ij = ��!r iU

(int)ij

)(1.129)

donde U(ext)i y U (int)ij son funciones de energía potencial que no tienen necesariamente

la misma forma. Aquí�!r i significa que la operación gradiente es realizada con respec-

to a las coordenadas de la i-ésima partícula.

Se desarrollarán ahora los términos 1 y 2 de (1.128) con la finalidad de transformarsus integrandos en diferenciales exactas para así efectuar la integración indicada [sesupondrá que se cumple la tercera ley de Newton (1.1)]:

Término 1: al sustituir la primera de las expresiones (1.129) en el término 1 de (1.128)resulta,

Término 1 =NXi=1

Z conf. 2

conf. 1

�!F(ext)i � d�!r i = �

NXi=1

Z conf. 2

conf. 1

��!r iU(ext)i

�� d�!r i (1.130)

pero, ��!r iU(ext)i

�� d�!r i =

3X`=1

ri`U(ext)i dxi` =

3X`=1

@U(ext)i

@xi`dxi` = dU

(ext)i (1.131)

donde ` = 1; 2; 3 representa la coordenada (recuérdese que i representa a la partícu-la). Entonces,

Término 1 = �NXi=1

Z conf. 2

conf. 1dU

(ext)i = �

NXi=1

U(ext)i

��conf. 2

conf. 1

(1.132)



Término 2: de (1.128),

Término 2 =

NXi;j=1 i6=j

Z conf. 2

conf. 1

�!F(int)ij � d�!r i =

NXi;j=1 i<j

Z conf. 2

conf. 1

��!F(int)ij � d�!r i +

�!F(int)ji � d�!r j

�| {z }

De forma análoga a (1.63)

=

NXi;j=1 i<j

Z conf. 2

conf. 1

�!F(int)ij � (d�!r i � d�!r j)| {z }

Por (1.1)

=

NXi;j=1 i<j

Z conf. 2

conf. 1

�!F(int)ij � d�!r ij (1.133)

Puesto que U(int)ij es una función sólo de la distancia entre las partículas mi y mj (el

campo es central) depende, por lo tanto, de 6 cantidades, es decir, las 3 coordenadasde mi (las xi;k) y las 3 coordenadas de mj (las xj;k). Ahora bien, la diferencial total deU(int)ij es, por lo tanto, la suma de 6 derivadas parciales,

dU(int)ij =

3Xk=1

@U

(int)ij

@xi;kdxi;k +

@U(int)ij

@xj;kdxj;k

!(1.134)

(téngase presente que k indica la coordenada x1 = x, x2 = y, x3 = z, y la i y j laspartículas) donde las xj;k son mantenidas constantes en el primer término y las xi;k sonmantenidas constantes en el segundo término. Así,

dU(int)ij =

��!r iU(int)ij

�� d�!r i +

��!rjU(int)ij

�� d�!r j

o también3,dU

(int)ij =

��!r iU(int)ij

�� d�!r i +

��!rjU(int)ji

�� d�!r j (1.135)

ya que,U(int)ij = U

(int)ji (por ser escalar no cambia con la dirección) (1.136)

y como,�!rjU

(int)ji = ��!F (int)

ji| {z }Por (1.129)

=�!F(int)ij| {z }

Por (1.1)

(1.137)

la expresión (1.135) puede escribirse como,

dU(int)ij = ��!F (int)

ij � d�!r i +�!F(int)ij � d�!r j = �

�!F(int)ij � (d�!r i � d�!r j)

= ��!F (int)ij � d (�!r i ��!r j) = �

�!F(int)ij � d�!r ij| {z }Por (1.113)

(1.138)

3Nótese que�!rjU

(int)ij 6= ��!F (int)

ij . Para que sea cierto, el primer índice de U (int) debe ser igual al índice

de�!r en correspondencia con la segunda de las expresiones (1.129).



Ahora, al sustituir (1.138) en (1.133) se obtiene,

Término 2 =NX

i;j=1 i<j

Z conf. 2

conf. 1

�!F(int)ij � d�!r ij = �

NXi;j=1 i<j

Z conf. 2

conf. 1dU

(int)ij

= �NX

i;j=1 i<j

U(int)ij

��conf. 2

conf. 1

(1.139)

Por último,al sustituir (1.132) y (1.139) en (1.128) resulta,

W12 = �NXi=1

U(ext)i

��conf. 2

conf. 1

�NX

i;j=1 i<j

U(int)ij

��conf. 2

conf. 1

= �

NXi=1

U(ext)i +

NXi;j=1 i<j

U(int)ij

!��conf. 2

conf. 1

(1.140)

expresión que fue obtenida suponiendo que las fuerzas externas e internas son deri-vables de energías potenciales. En este caso, la energía potencial total U (externa +interna) del sistema de partículas puede ser escrita como,

U =NXi=1

U(ext)i +

NXi;j=1 i<j

U(int)ij (1.141)

donde el términoNP

i;j=1 i<j

U(int)ij representa la Energía Potencial Interna del sistema de

partículas. Ahora bien, (1.140) puede escribirse ahora como,

W12 = � U��conf. 2

conf. 1= U1 � U2 (1.142)

1.10.3. Conservación de la energía mecánica

Si se igualan (1.122) y (1.142) resulta,

T2 � T1 = U1 � U2 ) T1 + U1 = T2 + U2

) E1 = E2 (1.143)

que expresa la conservación de la energía total del sistema en el cual todas las fuerzasson derivables a partir de energías potenciales que no dependen explícitamente deltiempo. A tales sistemas, como se sabe, se les denominan Sistemas Conservativos:

La energía total de un sistema de partículas se conserva cuando susfuerzas externas e internas son derivables a partir de energías potecialesque no dependen explícitamente del tiempo.



Si el sistema es un cuerpo rígido donde, como se sabe, las partículas que lo cons-tituyen están restringidas a mantener sus posiciones relativas, entonces, en cualquierproceso en el que se involucre el cuerpo, la energía potencial interna permanececonstante. En esta situación, la energía potencial interna puede ser ignorada cuan-do se calcule la energía potencial total del sistema. Esta cantidad contribuye simple-mente a definir la posición cero en la energía potencial, pero esta posición es elegidaarbitrariamente en cualquier caso; es decir, sólo la diferencia de energías potencialeses físicamente significativa. El valor absoluto de la energía potencial es una cantidadarbitraria.



1.11. Problemas

1. Encuentre el centro de masa de una concha semi-esférica homogénea de den-sidad �, de radio interno ri y radio externo re. Posicione el origen del sistema decoordenadas en el centro de la base, de manera tal que ésta quede contenida enel plano xy. Resp.:

�!R = 3

8

�r4e�r4ir3e�r3i

�bez.2. Encuentre el centro de masa de una barra homogénea de densidad �, longitud

` y masa M . Resp.:�!R = 1

2`bex para un referecial cuyo origen está en su extremo

izquierdo.

3. Tres partículas puntuales se encuentran en un cierto instante en los vértices de untriángulo. Las masas, posiciones y velocidades de las partículas son, en el SI,

i mi (Kg)�!r i (m) �!v i

�ms

�1 5

�!0

�!0

2 4 3bi 3bj3 3 4bj �4bi

Las tres partículas están conectadas por resortes con la misma constante k = 30 Nm

y longitud natural nula (No hay fuerzas externas actuando sobre el sistema). Para elinstante indicado:

a) Determinar la aceleración de cada partícula. Resp.:�!a 1 =

�18bi+ 24bj� m

s2

�!a 2 =��45bi+ 30bj� m

s2

�!a 3 =�30bi� 80bj� m

s2

b) Calcular la posición, cantidad de movimiento, velocidad y aceleración del cen-tro de masa. Resp.:

�!R =

�bi+ bj�m�!p =

��12bi+ 12bj�Kgm

s�!V =

��bi+ bj� m

s

�!a = �!0 ms2

c) Posiciones y velocidades de cada una de las partículas respecto del centro demasa. Resp.:

�!r 01 = ��bi+ bj�m �!v 01 =

�bi� bj� ms

�!r 02 =�2bi� bj�m �!v 02 =

�bi+ 2bj� ms

�!r 03 =��bi+ 3bj�m �!v 03 = �

�3bi+ bj� m

s


1.11. PROBLEMAS

d) Calcular el momento angular del sistema respecto al origen y respecto al centrode masa. Resp.: �!L = 84bk Kgm2

s;�!L 0 = 60bk Kgm2

s.

e) Hallar la energía cinética del sistema respecto al origen y respecto al centro demasa. Resp.: T = 42 J ; T 0 = 30 J .

4. Un sistema que está formado por tres partículas de masas m1 = 0; 5 Kg, m2 = 1 Kg ym3 = 1; 5 Kg se ve sometido a la acción de una única fuerza externa conservativa�!F . La cantidad de movimiento total del sistema con respecto a O (origen de unsistema de referencia inercial) en función del tiempo viene dada por �!p = 3t3bi� 6tbj,en Kgms�1.

a) ¿Se conserva la energía total del sistema?. Expresar la velocidad y el vector posi-ción del centro de masa del sistema en función del tiempo, suponiendo que suposición inicial es

�!R o = �bi + 3bj para t = 0, expresado en m. Resp.: Si se conserva

ya que�!F es conservativa;

�!V =

�t3bi� 2tbj� m

s;�!R =

h�t4

4� 1�bi+ (3� t2)bjim.

b) Determinar la fuerza externa�!F y la aceleración del centro de masa del sistema

en función del tiempo. Resp.:�!F =

�9t2bi� 6bj� N ; �!a =

�3t2bi� 2bj� m

s2.

c) Si la energía cinética total del sistema medida en t = 2 s con respecto a O vale200 J , calcular la energía cinética orbital y la energía cinética interna del sistemaen ese mismo instante. Resp.: Torb = 1

2MV 2 = 120 J ; Tint = 80 J .

Figura (1.23): Problema 5.

5. Encuentre la posición del centro de masa de los cuerpos homogéneos planos, dedensidad �, mostrados en la figura 1.23. Resp.: (a)

�!R = 1

2(bbex + hbey), (b)

�!R = 4

3�rbey,

(c)�!R = 1

3hbey.

6. Sean �!r 0i y �!v 0i el vector posición y velocidad, respectivamente, de la partícula i-ésima de un sistema de N partículas con respecto a su centro de masa. Demostrar



que,

(a)NPi=1

mi�!r 0i =

�!0 (b)

NPi=1

mi�!v 0i =

�!0

7. Una placa circular homogénea de radio r tiene un orificio circular cortado en ellade radio r

2como muestra la figura 1.24. Hallar el centro de masa de la placa. Resp.:

�!R = 7

6rbey.


8. Encuentre la posición del centro de masa de un cono sólido homogéneo de densi-dad �, de base con radio r = a y altura h (ver figura 1.25). Resp.:

�!R = �3

4hbez.


9. Encuentre el centro de masa de un cono sólido homogéneo cuya base tiene undiámetro 2a y altura h y un hemisferio sólido homogéneo de radio a, de manera talque ambas bases se tocan (ver figura 1.26). Resp.:

�!R = 1

4

�h2�3a2h+2a

�bez.10. Encuentre la posición del centro de masa de un alambre homogéneo de densidad

�, que substiende un arco circular de radio a como el mostrado en la figura 1.27.Resp.:

�!R = 2a

�Sen

��2

� bex.SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 52

1.11. PROBLEMAS


11. El centro de gravedad de un sistema de N partículas es el punto en torno al cuallas fuerzas externas gravitacionales no ejercen torque. Para un campo gravitacionaluniforme, mostrar que la posición del centro de gravedad

�!RCG es idéntica a la

posición del centro de masa�!R . Ayuda: Establecer un sistema como el mostrado en

la figura 1.28 �!r i;CG indica la posición de la i-ésima partícula con respecto al centrode gravedad.

12. Considere dos partículas de masa m. Las fuerzas sobre las partículas son�!F 1 = Fobex

y�!F 2 = cF 2o bex (c constante positiva). Si las partículas están inicialmente en reposo en

el origen, ¿cuál es la posición, velocidad y aceleración del centro de masa?. Resp.:�!R = Fo

4m(1 + cFo) t

2bex, �!v = Fo2m(1 + cFo) tbex, �!a = Fo

2m(1 + cFo) bex.

13. Encontrar la posición del centro de masa de la lámina triangular mostrada en lafigura 1.29. El triángulo es rectángulo isósceles con cateto c y no es homogéneo,siendo su densidad dada por � (x; y) = k (x2 + y2) (k constante positiva). Resp.:

�!R =

2c5bex + 2c

5bex

14. Encontrar la posición del centro de masa de la lámina mostrada en la figura 1.30.Su densidad es � (x; y) = kx (k constante positiva) Resp.:

�!R = 20

7bex.

15. Hallar la posición del centro de masa de la pirámide homogénea, de densidad �,mostrada en la figura 1.31. Resp.:

�!R = c

4bex + c

4bey + c

4bez.





16. Mostrar que la expresión,NX

i;j=1 i6=j

�!F ij

en verdad se anula para para un sistema de N = 4 partículas si las fuerzas�!F ij

obedecen la forma fuerte de la tercera ley de Newton.

17. Se dispara un proyectil a un ángulo de 45o con energía cinética inicial Eo. El proyec-til explota en el punto más alto de su trayectoria, dividiéndose en dos fragmentos,liberándose una energía adicional Eo. Un fragmento de masa m1 cae verticalmente(ver figura 1.32). Todo ocurre en el plano xy y se conserva la energía.

a) ¿Cuál es la velocidad (magnitud y dirección) del primer fragmento de masa m1


1.11. PROBLEMAS



y del segundo fragmento de masa m2?. Resp.: vde2 =q

Eo(2m2�m1)m1(m1+m2)

, verticalmente

hacia abajo; y vde2 =q

Eo(4m1+m2)m2(m1+m2)

, en la dirección � = tan�1�p

m1(2m2�m1)

m1+m2

�. El su-

períndice de indica que es después de la explosión.

b) ¿Cuánto vale la razón m1=m2 cuando m1 es un máximo?. Resp.: m1

m2= 1

2.

18. Demuestre que la magnitud R del vector de posición del centro de masa conrespecto al origen de un referencial arbitrario viene dado por,

R =1

M

vuutMNXi=1

mir2i �1

2

NXi;j=1

mimjr2ij

para un sistema de N partículas.





19. Un conjunto deN partículas de masasm1,m2,m3, :::,mN , que conforman un sistemade partículas, están situadas en puntos cuyos vectores de posición con respecto aun origen O de un referencial S son �!r (s)1 ;�!r

(s)2 ; : : : ;

�!r N respectivamente (ver figura1.33).Como ya se sabe, la posición del centro de masa del conjunto de partículasse define como el punto en el espacio cuyo vector de posición

�!R viene dado por,

�!R (S) =

1

M

NXi=1

mi�!r (S)i , con M =

NXi=1

mi

Mostrar que si se usara un origen O0 de un referencial S 0 diferente para el mismosistema de partículas, la anterior definición situaría al centro de masa en el mismo


1.11. PROBLEMAS


punto del espacio. Es decir,

�!R (S0) =

1

M

NXi=1

mi�!r (S

0)i

20. Mostrar que para una sola partícula de masa constante m la ecuación de movi-miento implica la siguiente ecuación diferencial para la energía cinética T ,

�T =

�!F � �!v

mientras que si la masa varía con el tiempo la ecuación correspondiente es,

d (mT )

dt=�!F � �!p

21. Las N partículas, en un sistema discreto dado, interactúan mediante fuerzas quesiguen la “forma fuerte” de la tercera ley de Newton. Dada la relación usual entre elvector de posición �!r i de la i-ésima partícula con respecto al origen O del sistemareferencial usado y el vector de posición de la misma partícula �!r 0i con respecto ala posición del centro de masa

�!R ,

�!r i = �!r 0i +�!R

y la fuerza total sobre la i-ésima partícula,

�!F i =

��!p i =�!F(ext)i +

NXj=1 i6=j

�!F(int)ij



mostrar que el torque total �!� ,

�!� =��!L =

NXi=1

��!L i, con

�!L i =

�!r i ��!p i

para una fuerza externa de la forma�!F(ext)i = mi

�!g , es dado por,

�!� = �!R ��!F (ext)

donde�!F (ext) =

NPi=1

�!F(ext)i es la fuerza externa total.

22. Si cada una de las N partículas de un sistema discreto es atraída hacia un puntofijo O con una fuerza proporcional a su masa y a su distancia a dicho punto �kmi

�!r i(k constante positiva), demostrar que el centro de masa se mueve como si fuera unapartícula del sistema. Supóngase que el agente que origina la fuerza de atracciónno pertenece al sistema y que las fuerzas internas presentes son despreciables.

23. Un sistema discreto está formado por N partículas de igual masa m que delizansobre alambres paralelos lisos y se atraen unas a otras con fuerzas proporcionales alproducto de sus masas y a sus distancias �kmimj

�!r ij (k constante positiva), que sesupone mucho mayor que cualquier fuerza externa que pueda existir. Supóngase,además, que las correderas están en la dirección 0X y considere dos de ellas, porejemplo, la i-ésima y la j-ésima (ver figura 1.34). En esta figura, �ij es el ángulo queforma la línea de la fuerza con respecto al eje X.



1.11. PROBLEMAS

a) Muestre que la aceleración de la i-ésima partícula viene dada por,

��x i = km

NXj=1 i6=j

(xj � xi)

b) Muestre que la posición del centro de masa viene dada por,

xcm =1

N

NXi=1

xi

c) Ahora, combinando lo mostrado en (a) y (b), demostrar que las partículas oscilancon igual frecuencia angular dada por,

! =pkmN

donde se ha supuesto que el centro de masa está en reposo. La independenciade i de esta cantidad es lo que indica que es igual para todas las N partículasdel sistema.

24. Dos partículas de masa m se mueven, cada una, sobre las correderas lisas perpen-diculares OX y OY (ver figura 1.35), atrayéndose con una fuerza proporcional a sudistancia �kmi

�!r i. Si inicialmente,

x (t = 0) = a,�x (t = 0) = �Vo

y (t = 0) = a,�y (t = 0) = 0




a) Muestre que,

x (t) = aCos�p

kt�� Vop

kSen

�pkt�

y (t) = aCos�p

kt�

b) Muestre que la ecuación cartesiana de la trayectoria del centro de masa delsistema viene dada por,�

1 +V 2o

a2k

�y2cm � 2xcmycm + x2cm =

4V 2o

k

que representa una elipse.

25. Supóngase que las fuerzas internas de un sistema deN partículas se pueden obten-er de un potencial de la forma (fuerzas conservativas),

Uij (rij) = Uji (rji)

donde,rij = rji =

�(xi � xj)2 + (yi � yj)2 + (zi � zj)2

� 12

es la distancia entre la i-ésima y la j-ésima partícula del sistema. Demostrar que eltrabajo total W (int) realizado por las fuerzas internas viene dado por,

W (int) =NX

i;j=1 i6=j

�!F(int)ij � d�!r j = �

1

2

NXi;j=1 i6=j

dUij

donde�!F(int)ij es la fuerza interna sobre la partícula i-ésima debida a la partícula

j-ésima.

26. El torque total �!� (S) sobre un sistema de N partículas con respecto al origen O deun sistema de coordenadas S viene, como ya se sabe, dado por,

�!� (S) =NXi=1

�!r (S)i ��!F(ext)i

donde �!r (S)i es la posición de la i-ésima partícula respecto a S y�!F(ext)i es la fuerza

externa aplicada sobre dicha partícula. Establecer un nuevo sistema de coorde-nadas S 0 de origen O0 cuya posición respecto de O sea dada por �!r o y donde �!r (S

0)i

sea la posición de la i-ésima partícula respecto a S 0, como se presenta en la figura1.36. Mostrar que el torque total sobre mismo sistema de partículas con respecto a

O0 es el mismo �!� siNPi=1

�!F(ext)i =

�!0 , es decir, que el torque resultante tiene el mismo

valor en cualquier sistema de coordenadas.


1.11. PROBLEMAS


27. Determinar la posición del centro de masa de un cascarón hemisférico homogé-neo, de densidad � y de radio R. Colóquese el origen del sistema de coordenadasen el centro de su base. Resp.:

�!R = R

2bez.

28. Determinar la posición del centro de masa de la placa triangular homogénea yde densidad � mostrada en la figura 1.37. Resp.:

�!R = 2

3(b2 � b1) bex + 1

3hbey.


29. Encuéntrese la posición del centro de masa de una barra de longitud ` de densi-dad � no uniforme, cuya gráfica de muestra en la figura 1.38. Escoja un referencialde tal forma que el origen coincida con el extremo izquierdo de la barra y la barraesté contenida en el eje +x. Resp.:

�!R = 1

3

�2b1+b2b1+b2

�`bex.

30. Encontrar la velocidad del centro de masa de los cuerpos, de masas m1 = 2m ym2 = m, mostrados en la figura 1.39 justo en el instante en que ambos se encuentran




a la misma distancia con respecto al origen O del sistema referencial. El sistemaparte del reposo, la cuerda tiene longitud ` constante con masa despreciable y sedesprecia el diámetro de la polea. No existe fricción alguna. Resp.:

�!V = �1

3

q13ghbey.


31. Una partícula de masa m2 se encuentra a una altura h verticalmente sobre otrapartícula de masam1. En t = 0 se lanzan, a la vez, la partículam1 horizontalmente ha-cia +x con una velocidad inicial �!v o1 = vo1bex y la partícula m2 se lanza verticalmentehacia arriba con una velocidad inicial �!v o1 = vo2bey (ver figura 1.40). Determinar laaceleración, velocidad y trayectoria del centro de masa. Calcular también el tiem-po que transcurre para que el centro de masa llegue al nivel en el que partió m1.

Resp.:��!R = �gbey, �!V = m1

Mvo1bex + �m2

Mvo2 � gt

� bey, �!R = m1

Mvo1tbex + �m1

Mh+ m2

Mvo2t� 1

2gt2� bey,


1.11. PROBLEMAS

ycm = �12g�

Mm1vo1

�2x2cm +

�m2vo2m1vo1

�xcm +

m2

Mh, t = 1

Mg

�m2vo2 +

q(m2vo2)

2 + 2Mgm2h

�.


32. La posición�!RCG del centro de gravedad puede ser encontrada mediante,

�!RCG �M�!g

��!r = �!RCG

�=

Z�!r ��!g (�!r ) dm

Muestre que esta expresión se reduce a la de la posición R del centro de masacuando se considera una intensidad de campo gravitacional �!g constante.

33. Sea una cadena inextensible homogénea, de dendisdad � y longitud `, apoya-da sobre una circunferencia vertical de radio A como se muestra en la figura 1.41.Muestre que la posición de su centro de masa respecto al centro de la circunferen-cia viene dado por,

�!R =

A2

`[Sen (�+ �)� Sen�] bex + A2

`[Cos�� Cos (�+ �)] bey

34. Para el paralelogramo articulado mostrado en la figura 1.42 cuyo lado OA giracon una velocidad angular constante !, hallar: (a) la posición del centro de masay (b) su trayectoria. Las barras OA, AB, BC son homogéneas de igual densidadlineal y las rótulas O y C no cambian de posición. Resp.: (a)

�!R = `

�1 + 3

4Cos (!t)

� bex+34` Sen (!t) bey; (b) (xcm � `)2 + y2cm = 9

16`2 que es una circunferencia de radio 3

4` con

centro en (`; 0).

35. Muestre que las coordenadas del centro de masa del mecanismo mostrado en lafigura figura 1.43 vienen dadas por,





xcm =�4� �2

� w2 + 2w38 (w1 + w2 + w3)

`+w1 + 2w2 + 2w32 (w1 + w2 + w3)

rCos (!t)

+�2w2 + 2w3

8 (w1 + w2 + w3)`Cos (2!t)

ycm =w1 + w2

2 (w1 + w2 + w3)r Sen (!t)

donde, 8>>>>>><>>>>>>:

w1 es el peso de la manivela OA.w2 es el peso de la biela AB.w3 es el peso de la corredera B.OA = r

AB = `

Suponga que la manivela y la biela son homogéneas, que la corredera puede ser

considerada puntual y que r � `. Ayuda: desarrólleseq1� �2 Sen2 (!t), con � = r

`�


1.11. PROBLEMAS


1, despreciándose los términos con potencias superiores a �2.

36. En la figura 1.44 se muestra un sistema cerrado que consiste en dos partículas demasas m1 = m2 = m que se mueven sobre correderas lisas perpendiculares unidasen el punto O. Demuestre que si se atraen con una fuerza

�!F = �Fber y parten del

reposo desde cualquier posición, llegarán a la intersección al mismo tiempo.


37. Muéstrese la propiedad de agrupamiento del centro de masa para un sistema departículas contínuo de masa M y densidad � variable en general.

38. Muestre que la trayectoria del centro de masa del sistema mostrado en la figura1.45 viene dada por la recta,

ycm =m1 Sen'�m2 Sen �

m1Cos'+m2Cos �xcm �

`m2 [m1 Sen (� � ')�m2 Sen (2�)]

(m1 +m2) (m1Cos'+m2Cos �)

La cuerda es indeformable, de masa despreciable y de longitud `.


CAPÍTULO 2

De�niciones y principios básicos

En este capítulo se estudiarán una serie de definiciones y términos que son bási-cos para la comprensión de lo expuesto en los capítulos subsiguientes.

Contents2.1. El espacio y el tiempo en Mecánica Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.2. Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3. Tipos de ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3.1. Estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3.2. Por modo de activación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.4. Clasi�cación de las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.4.1. Si son o no desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.4.2. Si dependen explícita o implícitamente del tiempo . . . . . . . . . . . . 80

2.4.3. Si son o no una relación bilateral algebraica entre las coordenadas . . . 82

2.5. Fuerza de ligadura y fuerza aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.5.1. Ligaduras lisas o ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.5.2. Ligaduras rugosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.6. Di�cultades introducidas por las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.7. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.7.1. De�nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.7.2. Tipos de Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

67

CAPÍTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS

2.7.3. Ecuaciones de transformación entre las coordenadas ordinarias y las co-

ordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.7.4. Espacio de Con�guración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.8. Algunas magnitudes físicas en coordenadas generalizadas . . . . . . . 116

2.8.1. Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.8.2. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.8.3. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.8.4. Trabajo Mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2.8.5. Energía Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.9. Forma general en coordenadas generalizadas de las ligaduras holó-nomas, no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2.9.1. Ligaduras holónomas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . 122

2.9.2. Ligaduras no-holónomas y semi-holónomas en coordenadas generalizadas 123

2.10. Un método para determinar si una ligadura en forma de diferencialo de velocidad es holónoma o no-holónoma . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2.11. Ejemplos de determinación de coordenadas generalizadas para al-gunos sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

2.12. Desplazamiento real y virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.12.1. Desplazamiento real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.12.2. Desplazamiento virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.13. Trabajo real y trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

2.13.1. Trabajo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

2.13.2. Trabajo Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

2.14. Algunos principios mecánicos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

2.14.1. Principio de los Trabajos Virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

2.14.2. Principio de D�Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.14.3. Principio de Ostrogradski-Hamilton o de Acción Estacionaria . . . . . . 177

2.15. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

2.1. El espacio y el tiempo en Mecánica Clásica

El espacio y el tiempo son dos conceptos fundamentales de la Física y particu-larmente de la Mecánica Clásica, por lo tanto, sus propiedades son importantísimas


2.1. EL ESPACIO Y EL TIEMPO EN MECÁNICA CLÁSICA

en el desarrollo de las teorías que la conforman. Aquí se abordarán las propiedadesque tienen el espacio y el tiempo en Mecánica Clásica.

El espacio, y por tanto su métrica, tienen las propiedades siguientes en la MecánicaClásica:

1. El espacio se caracteriza por una métrica Euclídea1, lo que lo convierte en un es-pacio puntual Euclidiano en 3 dimensiones, R3.

2. Independencia de los objetos en él inmersos, es decir, la métrica del espacio no seve afectada por los mismos.

3. Constancia a lo largo del tiempo.

4. Homogeneidad: es igual en todos los puntos, no existiendo puntos privilegiados. Lapropiedad de homogeneidad del espacio significa que las leyes de la Física tienenvalidez en todos los lugares del universo, es decir, las propiedades mecánicas de unsistema dado no son afectadas por las traslación del mismo en el espacio.

5. Isotropía2: es igual en todas las direcciones, no existiendo direcciones privilegiadas.La isotropía del espacio se refiere a que las propiedades mecánicas de un sistemaen particular no son afectadas por la orientación del mismo. Aparece en el hechode que la orientación de los ejes de coordenadas, los cuales sirven de marco dereferencia para analizar un fenómeno físico, es arbitraria. Si un experimento es efec-tuado en un laboratorio donde el equipo experimental tiene una cierta orientaciónespacial, los resultados obtenidos serán los mismos así se modifique la orientaciónde todos los instrumentos, el sistema que se va a analizar y el medio ambiente.

El tiempo se caracteriza, a su vez, por las siguientes propiedades:

1. Homogeneidad: no existen instantes privilegiados. La homogeneidad del tiempo serefiere a la equivalencia entre cualesquiera par de instantes de tiempo, independi-entemente de en qué momento se tomen. Se introduce en forma práctica al utilizar

1Euclides (fl. 300 a.C.), matemático griego, cuya obra principal, Elementos de geometría, es un extensotratado de matemáticas en 13 volúmenes sobre materias tales como geometría plana, proporciones engeneral, propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio. Proba-blemente estudió en Atenas con discípulos de Platón. Enseñó geometría en Alejandría y allí fundó unaescuela de matemáticas.

2Su etimología está en la raíces griegas isos = equitativo o igual y tropos = medio, espacio de lugar,dirección.



marcos de referencia donde el origen de coordenadas puede seleccionarse arbi-trariamente. Una forma equivalente de expresar la homogeneidad del tiempo esplantear que las leyes de la física son las mismas tanto ahora como hace mil años.

2. Anisotropía: fluye constantemente en un sentido por lo que no se puede retrocederni volver al pasado, es decir, no es isótropo por existir un único sentido en el quepuede transcurrir el tiempo. Asimismo, los fenómenos futuros no pueden condicionarlos presentes.

3. Simultaneidad absoluta: los fenómenos considerados simultáneos para dos obser-vadores en sendos sistemas de referencia lo son, asimismo, para cualquier otro ob-servador ligado a cualquier otro sistema de referencia.

4. En Mecánica Clásica el tiempo se considera una variable de naturaleza distinta delas variables espaciales.

Algunos de estos postulados básicos no son aceptados, por ejemplo, en la Mecáni-ca Relativista. La Teoría de la Relatividad Especial establece un referencial en cuatrodimensiones (espacio-tiempo). La Teoría de la Relatividad General establece un es-pacio curvo, con métrica Riemanniana3; donde la presencia de materia condicionadicha métrica, siendo las propiedades del espacio dependiente de los objetos en élinmersos.

2.2. Ligaduras

Al intentar describir el movimiento de las N partículas que constituyen un sis-tema se tiende, con mucha frecuencia, a pensar que sólo es necesario aplicar la

3Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Alemania, 17 de septiembre de 1826 - Verbania, Italia,20 de julio de 1866) fue un matemático alemán que realizó contribuciones muy importantes en análisisy geometría diferencial, algunas de ellas allanaron el camino para el desarrollo más avanzado de laRelatividad General. Su nombre está conectado con la función zeta, la integral de Riemann, el lemade Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la geometría de Riemann.


2.2. LIGADURAS

segunda ley de Newton a cada una de ellas,8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

Partícula 1 m1

��!r 1 (x1;1; x1;2; x1;3) =�!F 1

8><>:m1

��x1;1 = F1x1

m1��x1;2 = F1x2

m1��x1;3 = F1x3

Partícula 2 m2

��!r 2 (x2;1; x2;2; x2;3) =�!F 2

8><>:m1

��x2;1 = F2x1

m1��x2;2 = F2x2

m1��x2;3 = F2x3

Partícula 3 m3

��!r 3 (x3;1; x3;2; x3;3) =�!F 3

8><>:m1

��x3;1 = F3x1

m1��x3;2 = F3x2

m1��x3;3 = F3x3

......

......

...

Ultima partícula mN

��!r N (xN;1; xN;2; xN;3) =�!F N

8><>:mN

��xN;1 = FNx1

m1��xN;2 = FNx2

m1��xN;3 = FNx3

o simplemente,

mi

��!r i (xi;�) =�!F i, con i = 1; 2; 3; : : : ; N y � = 1; 2; 3 (2.1)

(� indica la coordenada xi;1 = xi, xi;2 = yi, xi;3 = zi) e integrar las 3N ecuaciones resul-tantes para obtener las 3N coordenadas xi;� como función del tiempo. Sin embargo,además de ser inviable, es frecuente descubrir que (en la mayoría de las situaciones)el sistema de ecuaciones (2.1) está incompleto. Se necesita algo más, en particular,las coordenadas podrían estar relacionadas o restringidas por Ligaduras.

Se denominan Ligaduras a las restricciones sobre las coordenadas de unsistema (independientes de las fuerzas actuantes), es decir, son condicionesque restringen el movimiento de una partícula o sistema de partículas.

Lo anterior se puede ilustrar con el ejemplo sencillo del péndulo simple (ver figura2.1): una masa m (masa pendular) cuelga de un soporte mediante una cuerda de lon-gitud `, de masa y elasticidad despreciable, en un campo gravitacional de intensidad�!g . La fuerza gravitatoria o peso �!w = m�!g no es la única fuerza que actúa sobre lamasa puesto que la cuerda misma también ejerce una fuerza

�!T sobre m que se sueledenominar tensión4. El problema ahora radica en que, para determinar el movimiento

4En realidad, esta fuerza es la manifestación macroscópica de la infinidad de interacciones que ocurrenentre las partículas de la cuerda con la masa pendular. Es la usada en los cálculos ya que el sistema dela masa pendular y las partículas individuales de la cuerda es inmanejable.



de la masa m a través de la segunda ley de Newton, es necesario conocer tambiénuna expresión para

�!T y, dado que�!T es una fuerza que surge de la interacción de la

cuerda con la masa, no se tiene una expresión para la misma. El efecto de la fuerzadesconocida

�!T es mantener la masa a distancia ` del origen 0, haciendo que el mo-vimiento de la masa esté restringido. Cuando lo anterior ocurre, se dice entonces quela masa está sometida a una restricción o ligadura y a la fuerza que restringe su mo-vimiento (la ejercida por la cuerda) se le llama Fuerza de Ligadura, las cuales seráconsideradas más adelante.

Figura (2.1): Péndulo simple.

Las ligaduras se expresan mediante ecuaciones a las cuales se les de-nominan Ecuaciones de Ligadura, que describen la geometría y/o la cin-emática de las mismas.

Para el ejemplo anterior las ecuaciones de las ligaduras presentes vendrán dadaspor, (

x2 + y2 = `2 = constantez = 0

(2.2)

donde la primera hace que m describa un arco de circunferencia de radio constante` y la segunda restringe el movimiento al plano xy.

En caso de que las ecuaciones de las ligaduras presentes en el sistema permitanrelacionar las coordenadas del mismo (ligaduras que más adelante serán llamadasholónomas), reducen sus Grados de Libertad.


2.2. LIGADURAS

Los Grados de Libertad de un sistema vienen dados por el número s decoordenadas independientes (sin incluir el tiempo) que se requieren paradescribir completamente la posición de todas y cada una de las partículaso partes que componen al sistema, entendiéndose por éstas: una palanca,un disco, un piñón, una plataforma, etc., que deben ser tratadas como uncuerpo rígido y no como una partícula.

Los grados de libertad tienen que ver con los posibles movimientos del sistema,pero no son sólo eso, también tienen que ver con la libertad o independencia delmovimiento.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.1Algunas ligaduras en sistemas sencillos.

1. Un bloque que se desliza sobre un plano inclinado está obligado a moverse sobredicho plano (ver figura 2.2) y las ligaduras pueden expresarse mediante las ecua-ciones de ligadura,

Figura (2.2): Un bloque de masa m que se mueve sobre una superficie inclinada.

(y = �x tan � + b

z = 0(2.3)

donde la primera restringe a la partícula a moverse sobre el plano inclinado y lasegunda restringe a la partícula a moverse sobre el plano xy.

2. Como se vio anteriormente, en un péndulo simple la masa pendular m está obliga-da a moverse en una trayectoria semicircular (ver figura 2.1). En este caso las liga-duras pueden expresarse mediante las ecuaciones de ligadura (2.2).



3. En un cuerpo rígido (ver figura 2.3) las partículas están enlazadas de manera tal quela distancia entre ellas permanece constante. Aquí las ligaduras se pueden expresarmediante la ecuaciones de ligadura,

Figura (2.3): Cuerpo rígido.

j�!r i ��!r jj = rij = constante. (2.4)

donde rij es la distancia entre la partícula i-ésima y la j-ésima. Algo análogo ocurreen un sistema de dos partículas de masas m1 y m2 unidas por una barra (inde-formable y de masa despreciable) de longitud ` (ver figura 2.4), siendo en este casola ligadura expresable mediante mediante la ecuación de ligadura,

Figura (2.4): Dos masas m1 y m2 unidas por una barra rígida de longitud `.

j�!r 1 ��!r 2j = ` (2.5)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


2.3. TIPOS DE LIGADURAS

2.3. Tipos de ligaduras

Las ligaduras pueden ser agrupadas en dos grandes conjuntos:

2.3.1. Estructurales

Son aquellas ligaduras que están determinadas por la forma en que está construidoel sistema, es decir, son propias de la estructura del mismo. Estas ligaduras se dan de-bido a las propiedades de los materiales que constituyen el sistema dado, pudiendoser indeformables, de masa despreciable, etc.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.2Algunas ligaduras estructurales.

1. La ligadura mostrada en la figura 2.4 y expresada por la relación (2.5) es una liga-dura estructural. En este caso la barra imposibilita que las masas m1 y m2 puedanmoverse de forma independiente.

2. La ligadura presente (ver figura 2.5) en un sistema donde una canica con un orificiose desliza a través de un alambre rígido y curvo (que pasa a través de su orificio),también representa una ligadura estructural ya que el alambre sólo le permite a lacanica desplazarse en una trayectoria cuya forma es igual a la del mismo.

Figura (2.5): Sistema donde una canica con un orificio se desliza a través de un alambre rígido y curvo(que pasa a través de su orificio).

3. En el caso de una partícula que se desplaza sobre una superficie también repre-senta una ligadura estructural. Como caso particular se tiene la ligadura expresadapor la relación (2.3).



4. Otro ejemplo es el caso del brazo humano. Aunque el movimiento del conjuntopuede cubrir casi todo el espacio gracias a las articulaciones, cada una de laspartes del brazo sólo pueden realizar una serie de movimientos. Esto es debido aque cada hueso es indeformable y, por tanto, tienen una determinada estructuraque les impide ciertos movimientos.

5. En el caso de un péndulo simple, visto en la sección 2.2, existe una ligadura es-tructural dada por la primera de las ecuaciones (2.2) indicando que el punto desuspensión (soporte) del péndulo es fijo.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2. Por modo de activación

Son aquellas ligaduras que determinan la evolución del sistema y que dependende la forma en que son activadas (puestas en funcionamiento) en el mismo. Es decir,es posible encontrarse con distintas situaciones dependiendo de la forma en que seactive el sistema dado.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.3Algunas ligaduras por modo de activación.

1. El péndulo simple es un sistema donde están presentes las ligaduras por activación.La dinámica del péndulo y su evolución depende de si las condiciones iniciales ha-cen que el péndulo se mueva sólo en el plano zy como en la figura 2.6a, recorriendoarcos de circunferencia (péndulo plano) o que, sin embargo, el sistema se muevahaciendo circunferencias completas (péndulo cónico) en el plano xy como puedeverse en la figura 2.6b.

2. En el caso de una masa puntual suspendida por medio de un resorte (pénduloelástico) también están presentes ligaduras por activación. Dependiendo de lascondiciones iniciales el péndulo puede comportarse como un oscilador en una di-mensión, si la activación es sólo en el eje z (ver figura 2.7a), como un osciladortridimensional al tener la posibilidad de oscilar y girar en las tres dimensiones (verfigura 2.7b) o como un oscilador bidimensional (ver figura 2.7c).

3. Si se supone que una masa puntual m se encuentra inicialmente en un punto deequilibrio inestable, el modo de activación condicionará la evolución del sistema.


2.3. TIPOS DE LIGADURAS

Figura (2.6): Movimientos posibles de un péndulo simple.

Figura (2.7): Movimientos posibles de un péndulo elástico.

Por ejemplo, ese punto inestable podría ser la cima de una montaña (ver figura 2.8)que tiene a los lados dos valles, entonces, la forma en que se perturbe a la piedradeterminará si esta cae al valle A o al valle B.

Figura (2.8): Masa puntual m en un punto de equilibrio inestable como la cima de una montaña.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



2.4. Clasificación de las ligaduras

Las ligaduras se pueden clasificar de variadas formas, a continuación algunasde ellas,

2.4.1. Si son o no desigualdades

Unilaterales

Se denomina Ligadura Unilateral a aquella ligadura que se expresa me-diante una desigualdad.

En forma general, este tipo de ligaduras pueden ser representadas por las ecua-ciones de ligadura,

fl

��!r i;

��!r i;��!r i;

��!r i; : : : ; t

�> 0, con i = 1; 2; 3; :::; N (2.6)

que, en realidad, son inecuaciones. Aquí el índice l indica indica cada una de lasligaduras presentes de este tipo en un sistema de partículas dado de manera que,

l = 1; 2; 3; : : : ; total de ligaduras presentes de este tipo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.4Algunas ligaduras unilaterales.

1. Si se tiene un sistema de moléculas de gas encerrado en una esfera de radio R (verfigura 2.9), las posiciones �!r i de las moléculas deben satisfacer las ligaduras cuyasecuaciones de ligaduras vienen dadas por,

R� ri > 0, con i = 1; 2; 3; :::; N (2.7)

2. Una partícula colocada sobre la superficie de una esfera de radio R está sujeta auna ligadura que se puede escribir como,

r2 �R2 > 0 (2.8)

Así, en un campo gravitacional, una partícula colocada sobre una superficie deuna esfera se deslizará hacia abajo sobre parte de su superficie hasta que, even-tualmente, se desprende de dicha superficie (ver figura 2.10).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


2.4. CLASIFICACIÓN DE LAS LIGADURAS

Figura (2.9): Moléculas de gas encerradas en una esfera de radio R.

Figura (2.10): Partícula que se desliza sobre la superficie de una esfera de radio R.

Bilaterales

Se denomina Ligadura Bilateral a toda aquella ligadura que se expresamediante una igualdad.

En general, este tipo de ligaduras pueden escribirse mediante las ecuaciones deligadura,

fl

��!r i;

��!r i;��!r i;

��!r i; : : : ; t

�= 0, con i = 1; 2; 3; :::; N (2.9)

donde, al igual que antes,

l = 1; 2; 3; : : : ; total de ligaduras presentes de este tipo



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.5Algunas ligaduras bilaterales.

Las ligaduras expresadas por (2.2), (2.3), (2.4) y (2.5) son ligaduras bilaterales.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.2. Si dependen explícita o implícitamente del tiempo

Ligaduras reónomas

Se denomina Ligadura Reónoma a toda aquella ligadura que dependeexplícitamente del tiempo. También se les llaman Ligaduras Móviles o Liga-duras Cinemáticas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.6Algunas ligaduras reónomas.

Son ligaduras reónomas:

1. La ligadura, mencionada antes, presente en un sistema donde una canica conun orificio se desliza a través de un alambre rígido y curvo que pasa a través desu orificio (ver figura 2.5), de manera tal que el alambre se mueve de una formapredeterminada. Es de hacer notar que, si el alambre se mueve como una reacciónal movimiento de la canica, entonces la dependencia de la ligadura respecto altiempo entra en la ecuación de la misma sólo a través de las coordenadas delalambre curvado (las cuales son ahora parte del sistema de coordenadas), poresta razón la ligadura resultante no depende explícitamente del tiempo y por lotanto no es reónoma.

2. La ligadura presente en un sistema de moléculas de gas encerrado en una esferacuyo radio R, a diferencia del ejemplo mencionado antes, depende del tiempo(ver figura 2.9). En este sistema las posiciones �!ri de las moléculas deben satisfacerlas ecuaciones de ligadura,

R (t)� ri > 0, con i = 1; 2; 3; :::; N (2.10)

que, realmente, son inecuaciones.



3. Una de las ligaduras presentes en un sistema donde una partícula de masa m esobligada a moverse en un aro que cambia su radio R con el tiempo t (ver figura2.11). En este caso, las ligaduras pueden ser expresadas mediante las ecuacionesde ligadura, (

r (t) = R (t) =px2 + y2

z = 0(2.11)

Figura (2.11): Una partícula de masa m que se mueve en un aro cuyo radio cambia con el tiempo.

4. La ligadura presente en un sistema donde una partícula de masa m se desplazasobre un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación � varía con el tiempo t como� = !t (! frecuencia angular), ver figura 2.12. Las ligaduras pueden ser expresadasmediante las ecuaciones de ligadura,

Figura (2.12): Partícula que se mueve sobre un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación varía con eltiempo.

(y = x tan � = x tan (!t) (por ejemplo)z = 0

(2.12)



donde aparece explícitamente el tiempo en la primera de ellas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ligaduras esclerónomas

Se denomina Ligadura Esclerónoma a toda aquella ligadura que no de-pende explícitamente del tiempo. También se les llaman Ligaduras Fijas oLigaduras Estacionarias.

Por otro lado, si un sistema tiene todas sus ligaduras esclerónomas entonces se diceque el mismo es esclerónomo, pero si al menos una de sus ligaduras no lo es entoncesse dice que es reónomo.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.7Algunas ligaduras esclerónomas.

Las ligaduras expresadas por (2.2), (2.3), (2.4), (2.5), (2.7) y (2.8) son ligaduras escle-rónomas.

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2.4.3. Si son o no una relación bilateral algebraica entre las coorde-nadas

A las ligaduras aquí presentadas se les pondrá especial atención ya que con-stituirán el conjunto de ligaduras a ser consideradas en la segunda parte del presentetexto, dedicada a la Mecánica de Lagrange y de Hamilton. Dependiendo de si rep-resentan o no una relación bilateral entre las coordenadas, las ligaduras pueden serclasificadas en Holónomas y No-Holónomas.



Ligaduras Holónomas

Se denominan Ligaduras Holónomas a todas aquellas ligaduras bilat-erales que no dependen de las velocidades y que dependen exclusiva-mente de las coordenadas de las partículas (si es esclerónoma) y, posible-mente, del tiempo en forma explícita (si es reónoma). En general, este tipode ligaduras pueden ser representadas mediante las ecuaciones de ligadu-ra,

f(h)l (�!r i; t) = 0, con i = 1; 2; 3; :::; N (2.13)

donde (h) indica que la ligadura es holónoma. Si se denota como K(h) elnúmero total de ligaduras de este tipo presentes en un sistema de partículasdado entonces,

l = 1; 2; 3; :::; K(h)

De las ligaduras holónomas (2.13) se puede afirmar que:

1. También reciben el nombre de Ligaduras Geométricas porque representan curvasy superficies que limitan el movimiento de las partículas de un sistema. Otras de-nominaciones que suelen utilizarse para este tipo de ligaduras es la de Ligaduras deConfiguración y Ligaduras Finitas.

2. Representan un sistema de K(h) ecuaciones algebraicas que relacionan las coor-denadas entre sí, 8>>>>>><>>>>>>:

f(h)1 (�!r 1;�!r 2;�!r 3; : : : ;�!r N ; t) = 0f(h)2 (�!r 1;�!r 2;�!r 3; : : : ;�!r N ; t) = 0f(h)3 (�!r 1;�!r 2;�!r 3; : : : ;�!r N ; t) = 0

...f(h)

K(h) (�!r 1;�!r 2;�!r 3; : : : ;�!r N ; t) = 0

3. Como se expresan mediante ecuaciones que constituyen relaciones algebraicasentre las coordenadas dependientes, es posible (al menos matemáticamente) em-plearlas para eliminar dichas coordenadas y así reducir el número de grados delibertad s del sistema en una cantidad igual al número K(h) de ligaduras existentesde este tipo, es decir, permiten reducir K(h) coordenadas dependientes.

4. Imponen restricciones sobre las posiciones �!r i posibles o permitidas de las partículasdel sistema.



Se llama Sistema Holónomo a aquél sistema donde todas las ligaduraspresentes son holónomas. Como para este tipo de sistemas es posible elim-inar las coordenadas depentientes transformándolo en un sistema equiva-lente sin ligaduras, a estos últimos también se les denominan holónomos.

En un sistema de N partículas donde sólo existen K(h) ligaduras de tipo holónoma,el número de grados de libertad s viene dado por,

s = 3N �K(h), para sistemas holónomos (2.14)

A estos grados de libertad se les denominan Grados de Libertad Configuracionales.

Los Grados de Libertad Configuracionales representan el número de co-ordenadas independientes que, junto con las ecuaciones de ligadura, per-miten de forma inequívoca especificar la configuración de un sistema departículas dado.

Si s = 0, no hay variables independientes y no se tiene dinámica. Sin embargo, silas ligaduras involucradas dependen del tiempo t puede ocurrir que las coordenadascartesianas queden dependiendo del tiempo, teniéndose así cinemática en vez dedinámica.

A este nivel es pertinente hacer referencia al siguiente detalle con respecto a lanotación de las ligaduras holónomas: considérese nuevamente el sistema mostradoen la figura 2.1 en el cual están presentes dos ligaduras holónomas dadas por (2.2),(

x2 + y2 = `2 = constantez = 0

de manera que K(h) = 2 entonces l = 1; 2. Se le asignará la etiqueta l = 1 a la primeray l = 2 a la segunda (pudo ser al contrario, es irrelevante). Para expresarlas en la forma(2.13) es necesario pasar todos los términos del miembro derecho al izquierdo o vicev-ersa de cada una de ellas con la finalidad de hacer nulo uno de sus dos miembros,(

x2 + y2 � `2 = 0z = 0



(es obvio que para la segunda ligadura no es necesario mover términos) de esta ma-nera, (

f(h)1 = x2 + y2 � `2 = 0f(h)2 = z = 0

Esta será la notación a seguir de aquí en adelante para este tipo de ligaduras enel presente texto. El anterior procedimiento será el usado también para las ligadurasno-holónomas a ser estudiadas más adelante, en la siguiente sección.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.8Algunas ligaduras holónomas.

Las ligaduras expresadas por (2.2), (2.3), (2.4) y (2.5) son ligaduras holónomas por serrelaciones bilaterales entre las coordenadas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.9Partícula de masa m obligada a moverse sobre una superficie (ver

figura 2.13).

Figura (2.13): Partícula de masa m obligada a moverse sobre una superficie S (x; y; z) = 0.

Las coordenadas (x; y; z) del punto P que indica la posición de la partícula debencumplir la ecuación de la superficie,

S (x; y; z) = 0) f(h)1 = S (x; y; z) = 0 (2.15)

Se trata de K(h) = 1 ligadura holónoma, quitando 1 grado de libertad. Por lo tanto, apartir de (2.14) la partícula tiene,

s = 3N �K(h) = 3 (1)� 1 = 2 (2.16)



Figura (2.14): Una partícula de masa m moviéndose sobre una mesa.

grados de libertad.Un caso particular es el de una partícula de masa m moviéndose sobre una mesa

(ver figura 2.14). La mesa es una ligadura holónoma simple, que le impide caerse. Eneste caso, la ecuación de la ligadura es,

z = 0) f(h)1 = z = 0 (2.17)

Para definir la posición de la partícula son necesarias sólo dos coordenadas (x; y).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.10Partícula de masa m obligada a moverse sobre una curva (ver

figura 2.15).Las coordenadas (x; y; z) del punto P que indica la posición de la partícula deben

cumplir las ecuaciones de las dos superficies que intersectadas forman la curva,(S1 (x; y; z) = 0) f

(h)1 = S1 (x; y; z) = 0

S1 (x; y; z) = 0) f(h)2 = S2 (x; y; z) = 0

(2.18)

Se trata de K(h) = 2 ligaduras holónomas, quitando 2 grados de libertad. Por lo tanto,a partir de (2.14) la partícula tiene,

s = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (2.19)

grado de libertad.



Figura (2.15): Partícula de masa m obligada a moverse sobre una curva.

Figura (2.16): Partícula de masa m moviéndose sobre una recta.

Un caso particular es el de una partícula de masa m moviéndose sobre una recta(ver figura 2.16). La recta supone una ligadura holónoma doble. Aquí las ecuacionesde ligadura son, (

y = 0) f(h)1 = y = 0

z = 0) f(h)2 = z = 0

(2.20)

Para definir la posición de la partícula sólo es necesaria la coordenada x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.11Partícula de masa m obligada a estar fija en un punto.



Las coordenadas (x; y; z) del punto P donde se encuentra la partícula de masa m

deben permanecer constantes,8><>:x = xo ) f

(h)1 = x� xo = 0

y = yo ) f(h)2 = y � yo = 0

z = zo ) f(h)3 = z � zo = 0

(2.21)

Se trata de K(h) = 3 ligaduras holónomas, quitando 3 grados de libertad. Por lotanto, a partir de (2.14) la partícula tiene,

s = 3N �K(h) = 3 (1)� 3 = 0 (2.22)

grados de libertad.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejemplos de ligaduras holónomas en un cuerpo rígido y cómo afectan sus gradosde libertad:

Uno de los sistemas de interés en Mecánica Clásica son los denominados CuerposRígidos. Ya se había hecho mención antes sobre estos cuerpos.

Un Cuerpo Rígido es un sistema formado por muchas partículas de talforma que las distancias entre ellas permanezcan constantes.

Para definir la posición de un cuerpo rígido plano en su plano (ver figura 2.17a) sólose necesita localizar la posición de dos puntos, pues conocidos esos dos, ya se puedenconocer los demás.

Por ejemplo, si se conocen las coordenadasde los puntos P1 (x1; y1) y P2 (x2; y2) esposible conocer las de otro punto cualquiera P (x; y), teniendo en cuenta que las dis-tancias d1 y d2 son constantes y conocidas (es un cuerpo rígido!),

(x� x1)2 + (x� y1)2 = d21

(x� x2)2 + (x� y2)2 = d22

En el caso de un cuerpo rígido en el espacio (ver figura 2.17b), al igual que antes, sepuede demostrar que para definir su posición en el espacio sólo se necesita localizarla posición de tres puntos, pues conocidos esos tres ya se pueden conocer los demás.

A continuación se presentan algunos ejemplos de ligaduras holónomas en cuerposrígidos:



Figura (2.17): (a) Cuerpo rígido plano en su propio plano. (b) Cuerpo rígido en el espacio.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.12Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene.

Considérense dos puntos de un cuerpo rígido en su plano (ver figura 2.18). Las si-guientes ligaduras holónomas están presentes,(

z1 = 0) f(h)1 = z1 = 0

z2 = 0) f(h)2 = z2 = 0

(2.23)

que posicionan ambos puntos sobre el plano y la ligadura holónoma,

j�!r 1 ��!r 2j = r12 = constante) f(h)3 = j�!r 1 ��!r 2j � r12 = 0 (2.24)

que mantiene la distancia constante entre los puntos, existiendo así K(h) = 3 ligadurasholónomas.

De lo anterior se puede concluir que, según (2.14), el número de grados de libertads del cuerpo rígido plano en su plano viene dado por,

s = 3N �K(h) = (3) (2)� 3 = 3 (2.25)

entonces posee 3 grados de libertad: movimiento vertical (ver figura 2.19a), movimien-to horizontal (ver figura 2.19b) y rotación en su propio plano (ver figura 2.19c).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.13Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene, con un punto

fijo.



Figura (2.18): Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene.

Figura (2.19): Los 3 grados de libertad de un cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene.

Este caso se muestra en la figura 2.20. Aquí se tienen las ligaduras mostradas en elejemplo anterior más las ligaduras holónomas,(

x = xo = constante) f(h)1 = x� xo = 0

y = yo = constante) f(h)2 = y � yo = 0

(2.26)

que posicionan el punto fijo, existiendo así K(h) = 5 ligaduras holónomas. Por lo tanto,según (2.14), el número de grados de libertad s viene dado en este caso por,

s = 3N �K(h) = (3) (2)� 5 = 1 (2.27)

entonces posee 1 grado de libertad: giro en el plano respecto del punto P (x0; y0) fijo(ver figura 2.21).



Figura (2.20): Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene, con un punto fijo.

Figura (2.21): El único grado de libertad de un cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene, con unpunto fijo.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.14Dos cuerpos rígidos planos, en el mismo plano que los contiene,

con un punto común.Este caso se muestra en la figura 2.22. Por cada cuerpo son necesarios dos puntos,

Cuerpo 1

(P (x0; y0) con x0 y y0 constantesP1 (x1; y1)

(2.28)

Cuerpo 2

(P (x0; y0) con x0 y y0 constantesP2 (x2; y2)

(2.29)



Figura (2.22): Dos cuerpos rígidos planos, en el mismo plano que los contiene, con un punto común.

por lo que N = 3 (número de partículas = número de puntos, teniendo 1 en común).Aquí se tienen las K(h) = 5 ligaduras holónomas,8><>:

zo = 0) f(h)1 = zo = 0

z1 = 0) f(h)2 = z1 = 0

z2 = 0) f(h)3 = z2 = 0

los tres puntos están en el plano xy. (2.30)

(ro1 = j�!r o ��!r 1j = constante) f

(h)4 = j�!r o ��!r 1j � ro1 = 0

ro2 = j�!r o ��!r 2j = constante) f(h)5 = j�!r o ��!r 2j � ro2 = 0

por ser cuerpos rígidos.

(2.31)de aquí que el número de grados de libertad s, según (2.14), viene dado en este casopor,

s = 3N �K(h) = (3) (3)� 5 = 4 (2.32)

por lo tanto posee 4 grados de libertad: movimiento vertical (ver figura 2.23a), movi-miento horizontal (2.23b), rotación en el plano del cuerpo 1 (ver figura 2.23c) y rotaciónen el plano del cuerpo 2 (ver figura 2.23c).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.15Cuerpo rígido en el espacio.

Como ya se mencionó, en el caso de un cuerpo rígido en el espacio (ver figura 2.24)sólo se necesita localizar la posición de tres puntos. Las ligaduras holónomas presentesaquí vienen dadas por,



Figura (2.23): Los 4 grados de libertad de dos cuerpos rígidos planos, en el mismo plano que los contiene,con un punto común.

8><>:r12 = j�!r 1 ��!r 2j = constante) f

(h)1 = j�!r 1 ��!r 2j � r12 = 0

r13 = j�!r 1 ��!r 3j = constante) f(h)2 = j�!r 1 ��!r 3j � r13 = 0

r23 = j�!r 2 ��!r 3j = constante) f(h)3 = j�!r 2 ��!r 3j � r23 = 0

por ser un cuerpo rígido.

(2.33)de manera que K(h) = 3. Entonces, según (2.14), el número de grados de libertad s

viene dado por,

s = 3N �K(h) = (3) (3)� 3 = 6 (2.34)

por lo tanto posee 6 grados de libertad: 3 movimientos de traslación (cada uno a lolargo de un eje coordenado) y 3 movimientos de rotación, cada uno en torno de uneje coordenado (ángulos de Euler por ejemplo).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Como ya se sabe las ligaduras establecen restricciones sobre el movimiento delas partículas de un sistema. La pregunta natural ahora sería ¿cuáles son los despla-zamientos permitidos por las ligaduras holónomas?. La respuesta a esta pregunta se



Figura (2.24): Cuerpo rígido en el espacio.

obtiene al hallar el diferencial total de (2.13),

f(hd)l (�!r i; t) = df

(h)l (�!r i; t) =

NPj=1

@f(h)l (

�!r i;t)@�!r j d�!r j +

@f(h)l (

�!r i;t)@t

dt = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K(h)

(2.35)donde (hd) se refiere a que la ligadura es holónoma en forma diferencial. Los desplaza-mientos d�!r j presentes en la sumatoria son aquellos permitidos por (2.13) ya que fueronencontrados a partir de la misma. A estos desplazamientos se les denominan Despla-zamientos Compatibles con las Ligaduras [con las ligaduras (2.13) en este caso]. Estasson las mismas ligaduras holónomas (2.13) sólo que escritas de una forma diferente.

También es posible encontrar cómo (2.13) impone restricciones sobre las veloci-dades de las partículas del sistema. En efecto, al hallar la derivada total con respectoal tiempo t de (2.13) resulta,

f(hD)l (�!r i; t) = d

dtf(h)l (�!r i; t) =

NPj=1

@f(h)l (

�!r i;t)@�!r j

��!r j +@f

(h)l (

�!r i;t)@t

= 0, con l = 1; 2; 3; :::; K(h)

(2.36)donde (hD) se refiere a que la ligadura es holónoma en forma de derivada total. Las

velocidades��!r j presentes en la sumatoria son aquellas permitidas por (2.13) ya que

fueron encontradas a partir de la misma. A estas velocidades se les denominan Ve-locidades Compatibles con las Ligaduras [con las ligaduras (2.13) en este caso]. Aligual que para (2.35), estas son las mismas ligaduras holónomas (2.13) sólo que escritasde una forma diferente.



Para el caso de ligaduras holónomas esclerónomas f (h)l (�!r i) = 0, las expresiones(2.35) y (2.36) se convierten respectivamente en,

f(hd)l (�!r i) = df

(h)l (�!r i) =

NXj=1

@f(h)l (�!r i)@�!r j

d�!r j = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K(h) (2.37)

f(hD)l (�!r i) =

df(h)l

dt(�!r i) =

NXj=1

@f(h)l (�!r i)@�!r j

��!r j = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K(h) (2.38)

Ligaduras No-Holónomas y Semi-Holónomas

Se denominan Ligaduras No-Holónomas a todas aquellas ligaduras queno pueden ser escritas como ligaduras holónomas, es decir, no se puedenescribir en la forma expresada por (2.13). No son integrables, por lo tanto, esimposible emplearlas para eliminar las coordenadas dependientes ya quedichas ecuaciones no son relaciones algebraicas entre las coordenadas.

Todas las ligaduras unilaterales son de este tipo. Pueden haber ligaduras bilateralesno-holónomas. Un caso particularmente importante de este último tipo de ligaduras,por estar frecuentemente presentes en los sistemas mecánicos, lo constituyen aquellas

que pueden ser expresadas en términos de las velocidades��!r i de las partículas que

constituyen el sistema,

fl

��!r i;

��!r i; t�= 0, con i = 1; 2; 3; :::; N y l = 1; 2; 3; :::;K (2.39)

donde K es el número total de ligaduras de este tipo presentes en el sistema departículas dado.

De las ligaduras (2.39) se puede afirmar que:

1. También reciben el nombre de Ligaduras Cinemáticas y de Ligaduras Móviles de-bido a que involucran las velocidades.

2. Representan ligaduras no-holónomas cuando no son integrables y, en caso con-trario, representan ligaduras holónomas.



3. En el caso de ser ligaduras no-holónomas, conforman un sistema no integrable de

K = K(nh) ecuaciones diferenciales lineales en las velocidades��!r i,8>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>:

f(nh)1

��!r 1;�!r 2;�!r 3; : : : ;�!r N ;

��!r 1;��!r 2;

��!r 3; : : : ;��!r N ; t

�= 0

f(nh)2

��!r 1;�!r 2;�!r 3; : : : ;�!r N ;

��!r 1;��!r 2;

��!r 3; : : : ;��!r N ; t

�= 0

f(nh)3

��!r 1;�!r 2;�!r 3; : : : ;�!r N ;

��!r 1;��!r 2;

��!r 3; : : : ;��!r N ; t

�= 0

...

f(nh)

K(nh)

��!r 1;�!r 2;�!r 3; : : : ;�!r N ;

��!r 1;��!r 2;

��!r 3; : : : ;��!r N ; t

�= 0

donde (nh) significa que la ligadura es no-holónoma. Cuando en un sistema sóloestán presentes este tipo de ligaduras, se tendrán 3N coordenadas independientespero habrán K(nh) velocidades dependientes, ya que este tipo de ligaduras hacedependientes las velocidades y no a las coordenadas.

4. En el caso de ser ligaduras holónomas, conforman un sistema integrable de K = K(h)

ecuaciones diferenciales lineales en las velocidades��!r i pudiéndose así encontrar

relaciones algebraicas entre las coordenadas (desaparecen todas las derivadas).

Por la anterior razón, a las ligaduras integrables escritas en la forma fl

��!r i;

��!r i; t�= 0

suelen llamárseles Semi-Holónomas. En realidad son ligaduras holónomas que, envez de estar escritas como relaciones algebraicas entre las coordenadas, están

escritas en forma de ecuaciones diferenciales lineales en las velocidades��!r i. Son

ligaduras holónomas escritas en una forma diferente. Se usará de aquí en adelante

la notación f(sh)l

��!r i;

��!r i; t�= 0 para este tipo de ligadura, donde (sh) significa que

la ligadura considerada es semi-holónoma.

5. Imponen restricciones sobre las velocidades��!r i posibles o permitidas de las partícu-

las del sistema.

Las ligaduras no integrables (2.39) de primer orden en las derivadas no son el únicotipo de ligaduras bilaterales no-holónomas que pueden estar presentes en un sistemade partículas. Las ligaduras pueden involucrar derivadas de orden superior,

fl

��!r i;

��!r i;��!r i;

��!r i : : : ; t

�= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; N y l = 1; 2; 3; : : : ;K

sin embargo, en el presente texto, se considerarán sólo aquellas con derivadas deprimer orden.



Se llama Sistema No-Holónomo a aquél sistema donde al menos una delas ligaduras presentes es no-holónoma.

En un sistema deN partículas donde existen existenK(h) ligaduras holónomas yK(nh)

ligaduras no-holónomas, el número de grados de libertad s viene dado por,

s = 3N �K(h) �K(nh) = 3N �K, para sistemas no-holónomos (2.40)

donde K=K(h) +K(nh) es el número total de ligaduras holónomas y no-holónomas pre-sentes. Es obvio que esta expresión se convierte en (2.14) para sistemas holónomos. Alos grados de libertad (2.40) se les denominan Grados de Libertad Cinemáticos.

Los Grados de Libertad Cinemáticos representan el número de despla-zamientos independientes que son requeridos para que, junto con las ecua-ciones de ligadura, (holónomas y no-holónomas) especifiquen inequívoca-mente un desplazamiento general de un sistema de partículas dado.

Póngase ahora atención en la expresión (2.35). Esta expresión tiene la forma difer-encial general,

f(d)l

��!r i;

��!r i; t�=

NPj=1

Alj (�!r i; t) d�!r j +Bl (

�!r i; t) dt = 0, con l = 1; 2; 3; :::;K (2.41)

donde (d) se refiere a que la ligadura está escrita en la forma de un diferencial y Kes el número total de ellas. Cuando una ligadura está expresada de esta manera, sedice que está escrita en Forma Diferencial o en Forma Pfaffian5


1. Representan un caso menos general de las ligaduras (2.39). Igualmente pueden serholónomas o no-holónomas.

2. Los coeficientes Alj y Bl son funciones dadas que dependen, en general, de losvectores de posición �!r i y del tiempo t.

5Se dice que una ligadura está escrita en la forma Pfaffian cuando está expresada en forma de diferen-ciales.



3. Forman el sistema de K ecuaciones,8>>>>>><>>>>>>:

f(d)1 = A11d

�!r 1 + A12d�!r 2 + A13d

�!r 3 + : : :+ A1Nd�!r N +B1dt = 0

f(d)2 = A21d

�!r 1 + A22d�!r 2 + A23d

�!r 3 + : : :+ A2Nd�!r N +B2dt = 0

f(d)3 = A31d

�!r 1 + A32d�!r 2 + A33d

�!r 3 + : : :+ A3Nd�!r N +B3dt = 0

...f(d)K = AK1d

�!r 1 + AK2d�!r 2 + AK3d

�!r 3 + : : :+ AKNd�!r N +BKdt = 0

4. En el caso no integrable constituyen ligaduras no-holónomas. En estos casos serán

denotadas como f(nhd)l

��!r i;

��!r i; t�= 0, donde (nhd) significa que la ligadura es no-

holónoma escrita en forma de diferencial. El número total de ellas será entoncesK = K(nh).

5. En el caso integrable constituyen ligaduras holónomas exactamente del mismo tipo

(2.35), es decir, con Alj =@f

(h)l (

�!r i;t)@�!r j y Bl =

@f(h)l (

�!r i;t)@t

. En estos casos serán denotadas

como f(shd)l

��!r i;

��!r i; t�= 0, donde (shd) significa que la ligadura es semi-holónoma

escrita en forma de diferencial. El número total de ellas será entonces K = K(h).

6. Imponen restricciones sobre los desplazamientos d�!r j posibles o permitidos de laspartículas del sistema. A estos desplazamientos d�!r j (presentes en la sumatoria) seles denominan Desplazamientos Compatibles con las Ligaduras [con las ligaduras(2.41) en este caso].

Es obvio que, al observar (2.36), las ligaduras (2.41) también pueden ser escritascomo,

f(D)l

��!r i;

��!r i; t�=

NPj=1

Alj (�!r i; t)

��!r j +Bl (�!r i; t) = 0, con l = 1; 2; 3; :::;K (2.42)

donde (D) se refiere a que la ligadura está escrita en forma de derivada. Reciben elnombre de ligaduras en Forma de Velocidad.


1. Son equivalentes a las ligaduras (2.41).



2. Forman un sistema de K ecuaciones,8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

f(D)1 = A11

��!r 1 + A12��!r 2 + A13

��!r 3 + : : :+ A1N��!r N +B1 = 0

f(D)2 = A21

��!r 1 + A22��!r 2 + A23

��!r 3 + : : :+ A2N��!r N +B2 = 0

f(D)3 = A31

��!r 1 + A32��!r 2 + A33

��!r 3 + : : :+ A3N��!r N +B3 = 0

...

f(D)K = AK1

��!r 1 + AK2��!r 2 + AK3

��!r 3 + : : :+ AKN��!r N +BK = 0

3. En el caso no integrable constituyen ligaduras no-holónomas. En estos casos serán

denotadas como f(nhD)l

��!r i;

��!r i; t�= 0, donde (nhD) significa que la ligadura es

no-holónoma escrita en forma de derivada. El número total de ellas será entoncesK = K(nh).

4. En el caso integrable constituyen ligaduras holónomas exactamente del mismo tipo

(2.36), es decir, con Alj =@f

(h)l (

�!r i;t)@�!r j y Bl =

@f(h)l (

�!r i;t)@t

. En estos casos serán denotadas

como f(shD)l

��!r i;

��!r i; t�= 0, donde (shD) significa que la ligadura es semi-holónoma

escrita en forma de derivada. El número total de ellas será entonces K = K(h).

5. Imponen restricciones sobre las velocidades��!r j posibles o permitidas de las partícu-

las del sistema. A estas velocidades��!r j (presentes en la sumatoria) se les denominan

Velocidades Compatibles con las Ligaduras [con las ligaduras (2.42) en este caso].

Las ligaduras del tipo (2.41) o (2.42) son muy frecuentemente encontradas en lossistemas mecánicos y, por esta razón, constituirán las ligaduras no-holónomas y semi-holónomas que serán consideradas en el presente texto.

Para el caso de ligaduras no-holónomas y semi-holónomas esclerónomas las expre-siones (2.41) y (2.42) se convierten respectivamente en,

f(d)l

��!r i;

��!r i�

=

NXj=1

Alj (�!r i) d�!r j = 0, con l = 1; 2; 3; :::;K (2.43)

f(D)l

��!r i;

��!r i�

=NXj=1

Alj (�!r i)

��!r j = 0, con l = 1; 2; 3; :::;K (2.44)

De todo lo anterior es necesario tener bien claro que:



1. Se usará K para representar el número total de ligaduras del tipo (2.39) [ylas del tipo (2.41) y (2.42) como casos menos generales de ésta] cuandono se tenga la certeza de que sean no-holónomas o semi-holónomas.

2. Las expresiones generales (2.41) y (2.42) son válidas tanto si son no-holónomas como semi-holónomas. Para cada caso se agregará la eti-queta nh con K = K(nh) o sh con K = K(h) según corresponda.

3. Las que se denominan semi-holónomas son las expresiones (2.41) y (2.42)que sean integrables.

4. Las semi-holónomas son realmente holónomas, lo que ocurre es que estánescritas en una forma diferente.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.16Algunas ligaduras no-holónomas.

Como ejemplo de ligaduras no-holónomas se tienen los siguientes casos:

1. Las ligaduras representadas por las expresiones (2.7) y (2.8) ya que son unilaterales.

2. Un ejemplo muy conocido de una ligadura no-holónoma diferencial bilateral es elde un disco homogéneo de masa M y radio R que rueda sin resbalar sobre el planohorizontal xy haciendo contacto con éste en el punto P (ver figura 2.25), obligadoa moverse de modo que el plano que lo contiene permanezca siempre perpendic-ular al plano xy (el disco puede ser una de las dos ruedas de un eje). Se puedenescoger como coordenadas de posición del disco las de su centro de masa xcm,ycm y zcm (que coinciden con las de su centro geométrico C por ser homogéneo),el ángulo que forma el eje del disco (perpendicular al mismo y que pasa por C)con el plano xy, al ángulo � que forma este mismo eje con la dirección 0x del planohorizontal y al ángulo � girado por el disco alrededor de su propio eje. El conjuntode coordenadas heterogéneo (obsérvese que no son homogéneas dimensional-mente) anterior constituye un ejemplo de lo que más adelante, en la sección 2.7,se le dará el nombre de Coordenadas Generalizadas.En el sistema mecánico dado



Figura (2.25): (a) Movimiento de un disco homogéneo de masa M rodando sin resbalar sobre el planoxy. (b) Proyección del movimiento sobre el plano xy. La velocidad del centro de masa del disco tiene

las componentes��R

��Sen �;R

��Cos �

�sobre las direcciones x y y.

existen un total de 4 ligaduras,8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

zcm = R) f1 = zcm �R = 0, posición constante del centro de masadel disco respecto al plano xy. = 0) f2 = = 0, disco perpendicular al plano xy.8<: vcmx =

�xcm = �vcm Sen � = �R

�� Sen � ) f3 =

�xcm +R Sen �

�� = 0

vcmy =�ycm = vcmCos � = R

��Cos � ) f4 =

�ycm �RCos �

�� = 0

,

consecuencia de que el disco no resbala.

(2.45)

puesto que la velocidad del disco v = R�� = vcm (velocidad del centro de masa).

Las ligaduras f1 y f2 son holónomas K(h) = 2. Las ligaduras f3 y f4 son en forma dederivada (2.42) que no son integrables y, por lo tanto, son no-holónomasde maneraque K(nh) = 2. Estas ligaduras pueden ser escritas en forma de diferencial como,

f(nhd)3 = dxcm +R Sen �d� = 0 (2.46)

f(nhd)4 = dycm �RCos �d� = 0 (2.47)

que evidentemente son ligaduras diferenciales del tipo (2.41). No pueden ser in-tegradas sin resolver, de hecho, el problema completo. Lo anterior trae como con-secuencia que estas ligaduras no puedan ser reducidas a la forma expresada por



(2.13). Este sistema es no-holónomo, quedando definido por cuatro coordenadas(xcm; ycm; �; �) y dos ecuaciones de ligadura no-holónomas independientes (2.46) y(2.47), teniendo s = 3N �

�K(h) �K(nh)

�= 3 (2) � 2 � 2 = 2 grados de libertad según

(2.40). Recuérdese de la sección anterior que para definir un cuerpo rígido plano senecesitan 2 puntos por lo tanto, sin ligaduras, el número de coordenadas necesariases 3N = 3(2) = 6.

3. Una partícula de masa m obligada a moverse en el interior de un paralelepípedode dimensiones d1, d2 y d3 (ver figura 2.26).

Figura (2.26): Partícula de masa m obligada a moverse en el interior de un paralelepípedo de dimen-siones d1, d2 y d3.

Las coordenadas (x; y; z) de la posición de la partícula de masa m deben satisfacerlas inecuaciones, 8><>:

x < d1 ) f(nh)1 = x� d1 < 0

y < d2 ) f(nh)2 = y � d2 < 0

z < d3 ) f(nh)3 = z � d3 < 0

(2.48)

Se trata de K(nh) = 3 ligaduras no-holónomas. Para determinar la posición de la par-tícula son necesarias 3 coordenadas (x; y; z) ya que las ligaduras no-holónomas noreducen el número de ellas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.17Ligadura semi-holónoma.

Un ejemplo familiar de este tipo de ligaduras (que será desarrollado en un ejemploen el capítulo 5), ver figura 2.27, es el movimiento en dos dimensiones de un disco



sólido homogéneo de masa M que se desplaza sobre un plano inclinado un ángulo �,apoyándose sobre él en el punto P .

Figura (2.27): Movimiento de un disco sólido homogéneo de masa M y radio R que se desplaza sinresbalar sobre un plano inclinado un ángulo �.

Si se describe el movimiento del disco en función de su centro de masa con coor-denadas (xcm; ycm; zcm) se tiene que, en este caso, existen las siguientes 5 ligaduras,8>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>:

�xcm = R

�� ) f1 =

�xcm �R

�� = 0, hay rotación en torno al eje z. Esta expresión

proviene del hecho de que el disco no resbala, siendo así la velocidad derotación igual a la velocidad con que se desplaza sobre el plano inclinado.ycm = R) f

(h)2 = ycm �R = 0, ecuación de la trayectoria del centro de masa,

lo que obliga al disco a moverse sobre el plano inclinado.zcm = 0) f

(h)3 = zcm = 0, que limita el movimiento del disco al plano xy

� = 0) f(h)4 = � = 0, no hay rotación en torno al eje x.

� = 0) f(h)5 = � = 0, no hay rotación en torno al eje y.

(2.49)donde �, � y � son los ángulos girados por el disco entorno al eje x, y y z respectiva-mente.

La ligadura f1 es una ligadura del tipo (2.42) que, como puede notarse, es inte-grable. Por lo tanto, constituye una ligadura semi-holónoma en forma de derivada,

f(shD)1 =

�xcm �R

�� = 0 (2.50)



que puede ser escrita en forma de diferencial como,

f(shd)1 = dxcm �Rd� = 0 (2.51)

La integración de esta ligadura resulta en,

f(h)1 = xcm �R� = 0 (2.52)

que es una ligadura holónoma.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Por último, un aspecto que debe ser tomado en consideración sobre las ligadurases que a pequeñas escalas (escala de partículas) los sistemas interactúan en base afuerzas y al describir el movimiento a esa escala no se requiere el uso de ligaduras.Las ligaduras aparecen a escala macroscópica como idealizaciones matemáticas departes del sistema que no se conocen o no se quieren tratar a detalle (como superfi-cies o cuerdas). Imponer ligaduras es un método para tratar con agentes externos queaplican fuerzas, inicialmente desconocidas, al sistema. Generalmente sólo se conoceel efecto geométrico de la acción combinada de estos agentes con las fuerzas cono-cidas.

2.5. Fuerza de ligadura y fuerza aplicada

La introducción de ligaduras en un sistema lleva al concepto de Fuerza de Li-gadura

�!F (lig),

Las Fuerzas de Ligadura son las que aparecen espontáneamente al es-tablecer una ligadura y aseguran su cumplimiento. Actúan tanto si el sistemaestá en reposo o si está en movimiento. También se les denominan Fuerzasde Reacción.

El trabajo realizado por fuerzas de ligadura provenientes de ligaduras holónomas es-clerónomas (independientes del tiempo) es nulo para cualquier desplazamiento posi-ble. En el caso de las provenientes de ligaduras no-holónomas, en general, realizantrabajo.

En general, las fuerzas de ligadura son desconocidas a priori a diferencia de lasllamadas Fuerzas Aplicadas.


2.5. FUERZA DE LIGADURA Y FUERZA APLICADA

Las Fuerzas Aplicadas son aquellas determinadas independientementede cualquier otra fuerza, conociendo sólo las posiciones (a veces tambiénlas velocidades) de las partículas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.18Algunas fuerzas aplicadas.

1. La fuerza que ejerce el resorte sobre una de las partículas en un sistema de dospartículas unidas por un resorte es una fuerza aplicada que, como se sabe, de-pende de la posición de ambas partículas (ver figura 2.28).

Figura (2.28): Dos masas m1 y m2 acopladas por un resorte.

2. El peso, la fuerza eléctrica sobre una partícula cargada, la fuerza magnética (quedepende de la velocidad), etc.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.19Algunas fuerzas de ligadura.

1. La fuerza que ejerce un riel que guía el movimiento de una partícula es una fuerzade ligadura que no puede ser determinada sin conocer las otras fuerzas que ac-túan.

2. La fuerza de reacción normal ejercida sobre una partícula por una superficie lisasobre la cual se mueve.



3. La tensión o compresión existente en una varilla rígida que conecta dos masas deun sistema.

4. La tensión de la cuerda en un péndulo simple y la fuerza normal que ejerce un planohorizontal o inclinado sobre una partícula que se mueve sobre él.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Una condición adicional que se le impone a las fuerzas de ligadura o de reacciónes que puedan ser tan grandes en magnitud como fuera necesario para mantener laligadura, lo que es una idealización de las ligaduras reales ya que los hilos se estiran,las varillas se doblan o se quiebran, etc., pero se trabaja dentro de los límites en lo queesto no pasa o su efecto puede despreciarse.

Un problema con lo dicho anteriormente lo presentan las fuerzas de rozamiento:

Si las condiciones del problema son tales que el rozamiento es sufi-ciente para impedir que haya deslizamiento (rozamiento estático), la fuerzade rozamiento entonces se considera de ligadura. De haber deslizamiento(rozamiento cinético), ya no puede ser considerada como fuerza de liga-dura. En este caso se considera al rozamiento como una Fuerza AplicadaAnómala, ya que no cumple con ser independiente de las otras fuerzas.

Aquí se puede ahora introducir una nueva clasificación de las ligaduras, en estecaso de las geométricas:

2.5.1. Ligaduras lisas o ideales

Las Ligaduras Lisas o Ligaduras Ideales son aquellas donde no está pre-sente el rozamiento (ver figura 2.29a). En este caso, la ligadura no reaccionacontra las fuerzas tangentes a ella y, por lo tanto, la fuerza de ligadura

�!F (lig)

es siempre normal a la ligadura misma.

Lo anterior se puede escribir matemáticamente como,

�!F (lig) = F

(lig)n bn (2.53)


2.5. FUERZA DE LIGADURA Y FUERZA APLICADA

Figura (2.29): (a) Ligadura lisa y (b).ligadura rugosa Para el movimiento permitido por la ligadura (desliza-miento horizontal) la reacción lisa no realiza trabajo, mientras que en el caso rugoso sí.

donde F(lig)n es la componente normal de

�!F (lig) y bn un versor normal a la ligadura. Aquí,

se desconoce el módulo de�!F (lig) y se conoce su dirección. La fuerza

�!F(lig)n = F

(lig)n bn es

la que comúnmente se denomina Fuerza Normal�!N y es la necesaria para compensar

la componente normal de la resultante de las fuerzas aplicadas.

2.5.2. Ligaduras rugosas

Las Ligaduras Rugosas son aquellas donde está presente el rozamiento(ver figura 2.29b). Aquí, debido al rozamiento, la ligadura reacciona contralas fuerzas tangentes a ella y, por lo tanto, la fuerza de ligadura

�!F (lig) ya no

es normal a la ligadura misma.

Lo anterior se puede escribir matemáticamente como,

�!F (lig) = F

(lig)n bn+ F

(lig)tbt (2.54)

donde F(lig)t es la componente tangencial de

�!F (lig) y bt un versor tangencial a la ligadu-

ra. La fuerza�!F(lig)t = F

(lig)tbt es la que comúnmente se denomina Fuerza de Rozamiento

o Fuerza de Fricción�!F f y es la que se debe al rozamiento entre las superficies en

contacto.



2.6. Dificultades introducidas por las ligaduras

Las ligaduras introducen dos tipos de dificultades en la solución de problemasmecánicos:

1. Las 3N coordenadas (xi;1; xi;2; xi;3) no son ahora todas independientes.

2. Existen fuerzas de ligadura�!F(lig)i que son ejercidas por las superficies, curvas, varillas,

etc. sobre las partículas de tal manera que hacen que ellas se muevan de acuerdoa la ligadura. Estas fuerzas no son suministradas a priori y deben ser determinadascomo parte de la solución del problema. Si a las restantes fuerzas se las denominanfuerzas aplicadas

�!F(a)i , las 3N ecuaciones (2.1) toman la forma,

mi

��!r i =�!F(a)i +

�!F(lig)i , con i = 1; 2; 3; :::; N (2.55)

que, en conjunto con las K ecuaciones de ligadura (holónomas + no-holónomas),resultan en un total de 3N +K ecuaciones para las 3N xi;� y F (lig)i;� (componentes de�!F(lig)i ) desconocidas6.

La primera de las dificultades se resuelve (al menos en los casos tratados en elpresente texto) al introducir las denominadas Coordenadas Generalizadas junto conel denominado Método de los Multiplicadores de Lagrange. La segunda dificultades resuelta mediante la introducción de dos nuevas formulaciones generales, ele-gantes y sofisticadas completamente equivalentes a la Mecánica Newtoniana. Estasdos nuevas formulaciones, que serán estudiadas a partir del capítulo 5, son las denomi-nadas Mecánica Lagrangiana y Mecánica Hamiltoniana. En estas formulaciones no sepresenta la dificultad antes mencionada con las fuerzas de ligadura, por el contrario,resultan en forma natural en estos nuevos contextos.

2.7. Coordenadas generalizadas

2.7.1. Definición

Supóngase que se tiene un sistema de N partículas sujeto a K(h) ligaduras holó-nomas y K(nh) ligaduras no-holónomas. Para describir este sistema se necesitan, co-mo se vió en la sección 2.2, un conjunto de 3N variables no independientes xi;� (con

6Como ya se dijo, las fuerzas aplicadas�!F(a)i son conocidas a priori.


2.7. COORDENADAS GENERALIZADAS

i = 1; 2; 3; : : : ; 3N y � indica la coordenada xi;1 = xi, xi;2 = yi, xi;3 = zi) que están rela-cionadas directamente mediante las K(h) ligaduras holónomas e indirectamente me-diante las K(nh) ligaduras no-holónomas. Es posible describir el mismo sistema medianteun nuevo conjunto de � 6 3N variables qi (i = 1; 2; 3; :::; �).

Se denominan Coordenadas Generalizadas a un conjunto de � 6 3N

variables qi (i = 1; 2; 3; :::; �) con las cuales es posible, para cualquier instantede tiempo t, describir la configuración de un sistema de partículas dado.

Estas coordenadas deben ser finitas, univaluadas, continuas y diferenciables conrespecto al tiempo t. Son llamadas también, en algunos textos, Coordenadas La-grangianas.

Las coordenadas generalizadas poseen las siguientes ventajas:

1. Pueden englobar en su propia elección las ligaduras del sistema (todas o al menosuna parte de ellas). De esta forma se consigue una doble ventaja:

a) El número de coordenadas es menor que el correspondiente directamente a lascoordenadas xi;� de todas las partículas

b) El número de ecuaciones de ligadura y el número de ecuaciones necesariaspara describir el sistema se ve igualmente reducido.

2. La introducción de las coordenadas generalizadas obedece al hecho de, que enmuchos sistemas físicos formados por un número N de partículas no es necesarioconocer, en cada instante, las coordenadas de posición de todas y cada una deellas. Las coordenadas generalizadas se refieren al sistema como un todo y no indi-vidualmente a cada una de sus partículas.

3. Pueden ser de variada naturaleza e inhomogéneas en cuanto a dimensiones, sólose exige que puedan describir completamente el sistema para cualquier instantede tiempo t. Dependiendo del problema en específico es probable que algunasde las coordenadas tengan dimensiones de energía, otras dimensiones de área,podrían ser adimensionales y así sucesivamente. De lo anterior se puede deducirque las coordenadas generalizadas qi no siempre tienen significado físico.

4. Proveen la oportunidad de engrandecer el horizonte al poder aceptar, como co-ordenadas, las amplitudes de los desarrollos en series de Fourier o ciertas funcionesde las coordenadas físicas ordinarias, por ejemplo.



5. Facilitan el cambio de énfasis a partir del mundo físico de la Mecánica Vectorial almundo más matemático de la Mecánica Analítica correspondiente a las Mecáni-cas de Lagrange y Hamilton que serán estudiadas a partir del capítulo 5.

En una situación física dada posiblemente existan varios conjuntos decoordenadas generalizadas que permitan describirla, es decir, no son únicaslo que es realmente ventajoso ya que permite una gran flexibilidad en suelección. Sin embargo, una elección apropiada puede simplificar el análisisconsiderablemente.

2.7.2. Tipos de Coordenadas Generalizadas

Se pueden tener dos tipos de coordenadas generalizadas: las propias y las im-propias.

Se da el nombre de Coordenadas Generalizadas Propias o Coorde-nadas Generalizadas Libres a todas aquellas qi que son totalmente inde-pendientes las unas de las otras debido a que no están condicionadas porligadura alguna y cuyo número � es igual al número de grados de libertaddel sistema de partículas dado.

Este tipo de coordenadas generalizadas son las que se tienen cuando se está de-scribiendo:

1. Un sistema de partículas sin ligaduras K(h) = 0 y K(nh) = 0, ya que en estos sistemaslas coordenadas son completamente independientes. Para este caso � = 3N = s.

2. Un sistema de partículas holónomo K(h) 6= 0 y K(nh) = 0, ya que en estos sistemas esposible eliminar (en principio) las coordenadas dependientes mediante las ecua-ciones de ligadura. Las coordenadas así obtenidas ya contienen implícitamente alas ligaduras, por lo tanto, deben satisfacer las ecuaciones que las describen y soncompletamente independientes las unas de las otras. Para este caso � = 3N�K(h) =

s. Recuérdese que los sistemas sin ligaduras también son considerados holónomos.

Como puede verse, en ambos casos el número de coordenadas generalizadas � esigual al número de grados de libertad s del sistema de partículas. A estas coordenadasson las que suelen llamárseles, simplemente, Coordenadas Generalizadas en muchostextos de esta área.



Se da el nombre de Coordenadas Generalizadas Impropias, Coorde-nadas Generalizadas No-libres o Coordenadas Generalizadas Ligadas a to-das aquellas qi que son dependientes las unas de las otras debido a que es-tán condicionadas por las ligaduras presentes en el sistema y cuyo número� es superior al número de grados de libertad del mismo.

Este tipo de coordenadas generalizadas son las que se tienen cuando se está de-scribiendo:

1. Un sistema de partículas no-holónomo en el que sólo existen ligaduras no-holónomasK(h) = 0 yK(nh) 6= 0, ya que en estos sistemas las ecuaciones de ligadura no permiteneliminar las coordenadas dependientes. Para este caso � = 3N > s = 3N � K(nh),es decir, el número de coordenadas generalizadas es superior al número de gradosde libertad. Estas coordenadas pueden ser tratadas como independientes al hacerentrar las ligaduras en forma explícita en la descripción del sistema, utilizando paraello denominado Método de los Multiplicadores de Lagrange. De esta manera sepuede así obtener adicionalmente, a partir de dichos multiplicadores, las fuerzasde ligadura presentes en el sistema de partículas dado como podrá verse en elcapítulo 5.

2. Un sistema de partículas no-holónomo en el cual existen ligaduras holónomas K(h) 6=0 y K(nh) 6= 0, ya que en estos sistemas las ecuaciones de las ligaduras no-holónomaspresentes no permiten eliminar las correspondientes coordenadas dependientes.Aquí es posible tener dos situaciones:

a) Se hacen entrar implícitamente las ligaduras holónomas presentes en la descrip-ción del sistema mediante la eliminación de las correspondientes coordenadasdependientes y las ligaduras no-holónomas se hacen entrar explícitamente me-diante el Método de los Multiplicadores de Lagranje, pudiéndose así realizar ladescripción del sistema mediante un conjunto más reducido de � = 3N �K(h) >

s = 3N �K(h) �K(nh) coordenadas generalizadas que pueden ser consideradasahora totalmente independientes las unas de las otras.

b) Se hacen entrar explícitamente tanto las ligaduras holónomas como las no-holónomaspresentes mediante mediante el uso de los Multiplicadores de Lagrange. En estecaso la descripción del sistema de partículas se realiza mediante un conjunto de� = 3N > s = 3N �K(h) �K(nh) coordenadas generalizadas (coincidiendo con elnúmero de coordenadas ordinarias como si no hubiesen ligaduras) que puedenser consideradas ahora totalmente independientes las unas de las otras.



Como puede verse, en ambos casos el número de coordenadas generalizadas �es superior al número de grados de libertad s del sistema de partículas considerado.

De la discusión anterior se desprende que las ligaduras holónomaspueden entrar en la descripción del sistema de partículas dado tanto enforma implícita como explícita mientras que, las ligaduras no-holónomas só-lo lo pueden hacer en forma explícita debido a su naturaleza.

Por lo tanto, en general, se puede definir el número mínimo e� de coordenadas ge-neralizadas necesarias para fijar la configuración de un sistema como,

e� = 3N �K(h) (2.56)

Entonces, debido a lo antes discutido y teniendo presente que s = 3N �K(h)�K(nh) esposible tener los siguientes casos:

1. Para sistemas holónomos con K(h) = 0 y K(nh) = 0 se tiene que e� = 3N = s.

2. Para sistemas holónomos con K(h) 6= 0 y K(nh) = 0 se tienen dos posibilidades,

a) Las ligaduras entran en la descripción del sistema en forma implícita, entoncese� = 3N �K(h) = s.

b) Las ligaduras entran en la descripción del sistema en forma explícita mediante elMétodo de los multiplicadores de Lagrange, entonces e� = 3N > s.

3. Para sistemas no-holónomos con K(h) = 0 y K(nh) 6= 0 se tiene que e� = 3N > s.

4. Para sistemas no-holónomos con K(h) 6= 0 y K(nh) 6= 0 se tienen dos posibilidades,

a) Las ligaduras holónomas entran en la descripción del sistema en forma implícitay las ligaduras no-holónomas lo hacen en forma explícita mediante el Métodode los Multiplicadores de Lagrange, entonces e� = 3N �K(h) > s.

b) Las ligaduras holónomas entran entran en la descripción del sistema en formaexplícita en conjunto con las no-holónomas mediante el Método de los multipli-cadores de Lagrange, entonces e� = 3N > s.



Finalmente, el número � de coordenadas generalizadas empleadas para la de-scripción de un sistema tomará los siguientes valores,

� =

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

3N !

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

X Si no existen ligaduras.X Si existen únicamente ligaduras holónomas que sonusadas explícitamente.X Si existen únicamente ligaduras no-holónomas.X Si existen ligaduras holónomas y no-holónomas dondelas primeras son usadas explícitamente.

e� = 3N �K(h) !

8>>>>>><>>>>>>:

X Si únicamente existen ligaduras holónomasque son usadas implícitamente.X Si existen ligaduras holónomas yno-holónomas donde las primeras son usadasimplícitamente.

(2.57)

2.7.3. Ecuaciones de transformación entre las coordenadas ordinariasy las coordenadas generalizadas

Supóngase que se tiene un sistema deN partículas donde están presentes ligadurasholónomas y no-holónomas. En general, existirán relaciones entre los N vectores deposición de cada una de sus N partículas y � 6 3N coordenadas generalizadas qipara fijar la configuración del sistema, las cuales están relacionadas mediante,

�!r i = �!r i (qj; t), con i = 1; 2; 3; :::; N ; j = 1; 2; 3; :::; � (2.58)

que conforman el sistema de ecuaciones,8>>>>>><>>>>>>:

�!r 1 = �!r 1 (q1; q2; q3; : : : ; q�; t)�!r 2 = �!r 2 (q1; q2; q3; : : : ; q�; t)�!r 3 = �!r 3 (q1; q2; q3; : : : ; q�; t)

...�!r N = �!r N (q1; q2; q3; : : : ; q�; t)

(2.59)

A los vectores de posición �!r i de cada partícula serán denominados, por extensión,«coordenadas vectoriales». Está claro que éstas son equivalentes a definir las 3N coor-denadas cartesianas correspondientes. Podrá existir dependencia explícita del tiempoen (2.58) cuando se hayan tomado sistemas de coordenadas móviles, o bien cuandohayan ligaduras reónomas.



Las expresiones (2.58) establecen la relación entre las viejas coordenadas �!r i y lasnuevas � coordenadas generalizadas qj. Se suponeque se puede realizar siempre latransformación en sentido contrario o transformación inversa para así obtener cual-quier qj como una función de las coordenadas de la posición �!r i y el tiempo, es decir,

qj = qj (�!r i; t), con i = 1; 2; 3; :::; N ; j = 1; 2; 3; :::; � (2.60)

que representan el sistema de ecuaciones,8>>>>>><>>>>>>:

q1 = q1 (�!r 1;�!r 2;�!r 3; : : : ;�!r N ; t)

q2 = q2 (�!r 1;�!r 2;�!r 3; : : : ;�!r N ; t)

q3 = q3 (�!r 1;�!r 2;�!r 3; : : : ;�!r N ; t)

...q� = q� (

�!r 1;�!r 2;�!r 3; : : : ;�!r N ; t)

(2.61)

Se denomina Sistema Natural a todo aquél en el que los conjuntos deecuaciones (2.58) y (2.60) no dependen explícitamente del tiempo, es decir,( �!r i = �!r i (qj)

qj = qj (�!r i)

, con i = 1; 2; 3; :::; N ; j = 1; 2; 3; :::; � (2.62)

2.7.4. Espacio de Configuración

Como ya se dijo antes, la configuración de un sistema de N partículas sujetoa K(h) ligaduras holónomas y K(nh) ligaduras no-holónomas está completamente de-scrita mediante un número mínimo e� = 3N � K(h) de coordenadas generalizadas ysu número de grados de libertad viene dado por s = 3N � K(h) � K(nh). Se puede,por lo tanto, representar el estado de tal sistema mediante un punto en un espaciodenominado Espacio de Configuración.

Se da el nombre de Espacio de Configuración al espacio abstractoconstituído por cualquier conjunto de � coordenadas generalizadas qi.

La dimensión de este espacio es el número � y cada dimensión de este espaciocorresponde a una de las coordenadas generalizadas qi. Cada punto en este espacio,denominado Punto de Configuración, describe la Configuración del Sistema en un



Figura (2.30): El historial temporal de un sistema es representado mediante una curva en el espacio deconfiguración. Se muestran cuatro posibles.

instante particular y la historia temporal del mismo vendrá representada mediante unacurva. (ver figura 2.30).

A través de cada punto pasa un infinito número de curvas que representan “movimien-tos” posibles del sistema. Cada curva corresponde a un conjunto particular de condi-ciones iniciales. Por lo tanto, se puede hablar del “camino” de un sistema como siéste se “moviese” a través del espacio de configuración, sin embargo, se debe tenercuidado de no confundir esta terminología con aquella aplicada al movimiento deuna partícula a lo largo de un camino en el espacio tridimensional ordinario. A estecamino, en el espacio de configuración, se le denomina Camino Dinámico.

El movimiento de un sistema completo es posible así describirlo me-diante una única trayectoria en el espacio de configuración �-dimensional,en vez de un conjunto de N trayectorias en el espacio de posición 3-dimensional ordinario.

En el caso de existir ligaduras holónomas, el punto de configuración se mueve enun espacio reducido de 3N � K(h) = e� dimensiones debido a que debe permaneceren cada una de las K(h) superficies de ligadura, es decir, en su intersección común.De esta manera, ciertas regiones del espacio de configuración �-dimensional no sonaccesibles.



En contraste, en el caso de ligaduras no-holónomas, son los movimientos diferen-ciales los que están limitados. Puesto que las ecuaciones diferenciales que represen-tan a estas ligaduras no-holónomas no son integrables, no existen superficies de liga-dura finitas en el espacio de configuración y no hay reducción de la región accesible.En otras palabras, mediante la elección apropiada del camino dinámico, es posiblealcanzar cualquier punto en el espacio de configuración a partir de cualquier otro.

Se puede definir un nuevo espacio que involucre a las coordenadas generalizadasqi y sus correspondientes velocidades generalizadas

�qi.

Se da el nombre de Espacio de Estado al espacio abstracto 2� dimen-sional constituído por cualquier conjunto de � coordenadas generalizadasqi y sus correspondientes � velocidades generalizadas

�qi.

Aquí, al contrario de lo que ocurre en el espacio de configuración, las ligaduras no-holónomas limitan la región accesible del espacio de estado. Este espacio guarda unarelación íntima con el Espacio de Fase conformado por � coordenadas generalizadasqi y los correspondientes � momentos generalizados pi a ser estudiado en el 6.

2.8. Algunas magnitudes físicas en coordenadas generali-zadas

Seguidamente serán expresadas, en coordenadas generalizadas, algunas mag-nitudes físicas de uso frecuente.

2.8.1. Desplazamiento

El desplazamiento d�!r i puede ser encontrado al hallar el diferencial total de(2.58). En efecto,

d�!r i =�Xj=1

@�!r i@qj

dqj +@�!r i@tdt, con i = 1; 2; 3; :::; N (2.63)


2.8. ALGUNAS MAGNITUDES FÍSICAS EN COORDENADAS GENERALIZADAS

2.8.2. Velocidad

Nuevamente, partiendo de las transformaciones (2.58) pero ahora hallando suderivada total con respecto al tiempo t resulta que,

��!r i = d�!r idt=

�Xj=1

@�!r i@qj

�qj +

@�!r i@t

, con i = 1; 2; 3; :::; N (2.64)

Aquí a las cantidades�qj se les da el nombre de Velocidades Generalizadas.

Para el caso particular de un sistema natural se puede escribir,

��!r i =d�!r idt

=

�Xj=1

@�!r i@qj

�qj, con i = 1; 2; 3; :::; N (2.65)

puesto que @�!r i@t= 0.

2.8.3. Aceleración

Al derivar con respecto al tiempo (2.65) resulta,

��!r i =d2�!r idt2

=

�Xj=1

d

dt

�@�!r i@qj

�qj

�+d

dt

�@�!r i@t

�

=

�Xj=1

�d

dt

�@�!r i@qj

��qj +

@�!r i@qj

��qj

�+d

dt

�@�!r i@t

�(2.66)

pero,

d

dt

�@�!r i@qj

�=

�Xk=1

@2�!r i@qk@qj

�qk (2.67)

d

dt

�@�!r i@t

�=

�Xk=1

@2�!r i@qk@t

�qk (2.68)

entonces, al sustituir (2.67) y (2.68) en (2.66) resulta,

��!r i =�X

j;k=1

@2�!r i@qk@qj

�qk

�qj +

�Xj=1

@�!r i@qj

��qj +

�Xk=1

@2�!r i@qk@t

�qk (2.69)

y como los índices que suman son mudos en los últimos dos términos es posible escribir,

��!r i =�X

j;k=1

@2�!r i@qk@qj

�qk

�qj +

�Xj=1

�@�!r i@qj

��qj +

@2�!r i@qj@t

�qj

�, con i = 1; 2; 3; :::; N (2.70)



Para el caso particular en el que el sistema considerado sea natural se puede es-cribir,

��!r i =�X

j;k=1

@2�!r i@qk@qj

�qk

�qj +

�Xj=1

@�!r i@qj

��qj, con i = 1; 2; 3; :::; N (2.71)

2.8.4. Trabajo Mecánico

El trabajo mecánico total W realizado sobre un sistema de N partículas vienedado por,

dW =NXi=1

�!F i � d�!r i (2.72)

y al sustituir d�!r i a partir de (2.63) resulta,

dW =NXi=1

�!F i �

�Xj=1

@�!r i@qj

dqj +@�!r i@t

dt

!

=

�Xj=1

NXi=1

�!F i �

@�!r i@qj

!dqj +

NXi=1

�!F i �

@�!r i@t

dt

o,

dW =

�Xj=1

Qjdqj +NXi=1

�!F i � @

�!r i@tdt (2.73)

donde,

Qj =NXi=1

�!F i � @

�!r i@qj

, con j = 1; 2; 3; :::; � (2.74)

son las llamadas Fuerzas Generalizadas. Puesto que las coordenadas generalizadas qjno necesariamente tienen dimensión de longitud, entonces las Qj no necesariamentetienen dimensión fuerza:

1. Si qj es una longitud, entonces Qj es una fuerza.

2. Si qj es un ángulo, entonces Qj es un torque.

3. Si qj es una superficie, entonces Qj es una tensión.

4. Si qj es un volumen, entonces Qj es una presión.



Sin embargo, el producto Qjdqj siempre tiene dimensión de trabajo como lo exige(2.74).

En el caso de un sistema conservativo, las fuerzas�!F i se derivan de una función de

energía potencial U = U (qi),

�!F Ui = �

�!r iU , con i = 1; 2; 3; :::; N (2.75)

donde el superíndice U indica que las fuerzas son derivables de una función de ener-gía potencial o, equivalentemente, de una función potencial. Ahora, al sustituir (2.75)en (2.74) resulta,

QUj =

NXi=1

�!F Ui �

@�!r i@qj

= �NXi=1

�!r iU �@�!r i@qj

(2.76)

pero,


=

�bex @

@xi+ bey @

@yi+ bez @

@zi

�U � @

@qj(xibex + yibey + zibez)

=

�@U

@xibex + @U

@yibey + @U

@zibez� � �@xi

@qjbex + @yi

@qjbey + @yi

@qjbez�

de manera que,


=3X

�=1

ri;�U@xi;�@qj

=3X

�=1

@U

@xi;�

@xi;�@qj

=@U

@qj

donde el índice �, como en la sección 2.2, indica la coordenada xi;1 = xi, xi;2 = yi,xi;3 = zi. Entonces, al sustituir este resultado en (2.76) se obtiene,

QUj = � @U

@qj, con j = 1; 2; 3; :::; � para sistemas conservativos (2.77)

En el caso de una función de energía potencial dependiente de las velocidadesU = U

�qi;

�qi; t�

se tiene que,

QUj

�qi;

�qi; t�= d

dt

�@U

@�qj

�� @U

@qj(2.78)

notándose que cuando U = U (qi) se reduce a (2.77), es decir, el caso para sistemasconservativos. Una energía potencial del tipo U = U

�qi;

�qi; t�

se aplica a un tipo muyimportante de campo de fuerzas: el de las fuerzas electromagnéticas sobre cargasmóviles.



Cuando se está describiendo un sistema natural (2.73) se reduce a,

dW =

�Xj=1

Qjdqj (2.79)

2.8.5. Energía Cinética

Como ya se sabe, la energía cinética total T de un sistema de N partículasviene dada por,

T =1

2

NXi=1

miv2i =

1

2

NXi=1

mi�r2

i =1

2

NXi=1

mi

��!r i ��!r i (2.80)

Ahora, al sustituir aquí la expresión (2.65) resulta,

T =1

2

NXi=1

mi

�Xj=1

@�!r i@qj

�qj +

@�!r i@t

!�

�Xk=1

@�!r i@qk

�qk +

@�!r i@t

!

=1

2

NXi=1

mi

2666666666664

�Xj=1

@�!r i@qj

�qj

!�

�Xk=1

@�!r i@qk

�qk

!| {z }

=

�Xj;k=1

�@�!r i@qj

� @�!r i@qk

��qj�qk

+

nXj=1

@�!r i@qj

�qj

!� @�!r i@t| {z }

=

nXj=1

�@�!r i@qj

� @�!r i@t

��qj

+@�!r i@t�

�Xk=1

@�!r i@qk

�qk

!| {z }

=

�Xk=1

�@�!r i@t

� @�!r i@qk

��qk

+@�!r i@t� @�!r i@t| {z }

=�� @�!r i@t

��2

3777777777775=

1

2

NXi=1

mi

��@�!r i@t

��2 + �Xj=1

"NXi=1

mi

�@�!r i@t� @�!r i@qj

�#+1

2

�Xj;k=1

"NXi=1

mi

�@�!r i@qj� @�!r i@qk

��qj�qk

#

o,

T = ao +

�Xj=1

aj�qj +

�Xj;k=1

ajk�qj�qk = To + T1 + T2 (2.81)



donde ao, aj y ajk son funciones definidas de las �!r i y t y, por lo tanto, de las qi y t dadaspor, 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

ao =12

NXi=1

mi

��@�!r i@t

��2aj =

NXi=1

mi@�!r i@t� @�!r i

@qj

ajk =12

NXi=1

mi@�!r i@qj� @�!r i

@qk

con j; k = 1; 2; 3; :::; � (2.82)

Si el sistema es natural se anulan todos los términos de (2.81) menos el último resul-tando,

T =

�Xj;k=1

ajk�qj�qk (2.83)

y, por lo tanto, T será siempre una forma cuadrática homogénea respecto a las veloci-dades generalizadas7. En efecto, si se halla la derivada parcial de (2.83) con respectoa las velocidades generalizadas

�qr resulta,

@T

@�qr

=

�Xj;k=1

ajk@

@�qr

��qj�qk

�| {z }

ajk no depende de las�qr , ver (2.82).

=

�Xj;k=1

ajk

@�qj

@�qr

�qk + ajk

�qj@�qk

@�qr

!

=

�Xj;k=1

�ajk�jr

�qk + ajk

�qj�kr

�=

�Xk=1

ark�qk +

�Xj=1

ajr�qj, con r = 1; 2; 3; :::; � (2.84)

multiplicando ahora por�qr y sumando sobre r se obtiene,

�Xr=1

�qr@T

@�qr=

�Xk;r=1

ark�qk�qr +

�Xj;r=1

ajr�qj�qr (2.85)

y como en este caso todos los índices son mudos (ya que todos suman), los dos térmi-nos de la derecha son idénticos entonces,

�Xr=1

�qr

@T

@�qr= 2

�Xj;r=1

ajl�qj�qr = 2T (2.86)

7El subíndice de T en (2.80) indica el grado de homogeneidad de la función en su dependencia conrespecto a las velocidades generalizadas.



Este importante resultado es un caso especial del Teorema de Euler (ver apéndiceB), el cual establece que,

Si f (yi) es una Función Homogénea de las yi que es de grado p, es decir,

f (�y1; �y2; :::; �yn) = �pf (y1; y2; :::; yn) (2.87)

siendo � 6= 0, entonces,

nXj=1

�yj@f (yi)

@yj

�= pf (yi) , con i = 1; 2; 3; : : : ; n (2.88)

Al comparar (2.85) con (2.87) finalmente se verifica que, para el caso de un sis-tema natural, T será siempre una forma cuadrática (p = 2) homogénea respecto a lasvelocidades generalizadas.

2.9. Forma general en coordenadas generalizadas de lasligaduras holónomas, no-holónomas y semi-holónomas

En vista de que las ligaduras tienen un rol importantísimo en el estudio de lossistemas mecánicos y de que en los capítulos 5 en adelante, cuando se estudie laMecánica de Lagrange y la Mecánica de Hamilton, estarán involucradas en las ecua-ciones de movimiento escritas en coordenadas generalizadas; se procederá ahora areescribir en estas coordenadas las formas generales de las ligaduras holónomas, noholónomas y semi-holónomas ya estudiadas en la sección 2.4.3.

2.9.1. Ligaduras holónomas en coordenadas generalizadas

La forma general de las ligaduras holónomas (2.13) se puede escribir en coorde-nadas generalizadas como,

f(h)l (qi; t) = 0, i = 1; 2; 3; :::; �; l = 1; 2; 3; :::; K(h) (2.89)

En el particular caso de las ligaduras holónomas en forma diferencial (2.35) y enforma de velocidad (2.36) se tiene que,


2.9. FORMA GENERAL EN COORDENADAS GENERALIZADAS DE LAS LIGADURASHOLÓNOMAS, NO-HOLÓNOMAS Y SEMI-HOLÓNOMAS

f(hd)l (qi; t) = df

(h)l (qi; t) =

�Pj=1

@f(h)l (qi;t)

@qjdqj +

@f(h)l (qi;t)

@tdt = 0, l = 1; 2; 3; :::; K(h) (2.90)

que representan las restricciones sobre los desplazamientos dqj y,

f(hD)l (qi; t) =

ddtf(h)l (qi; t) =

�Pj=1

@f(h)l (qi;t)

@qj

�qj +

@f(h)l (qi;t)

@t= 0, l = 1; 2; 3; :::; K(h) (2.91)

que representan las restricciones sobre las velocidades generalizadas�qj.

En el caso de ligaduras holónomas esclerónomas f (h)l (qi) = 0 se tiene que,8>><>>:f(hd)l (qi) = df

(h)l (qi) =

�Pj=1

@f(h)l (qi)

@qjdqj = 0

f(hD)l (qi) =

ddtf(h)l (qi) =

�Pj=1

@f(h)l (qi)

@qj

�qj = 0

, l = 1; 2; 3; :::; K(h) (2.92)

2.9.2. Ligaduras no-holónomas y semi-holónomas en coordenadas ge-neralizadas

Por otro lado, las ligaduras (2.39) se pueden escribir como,

fl

�qi;

�qi; t�= 0, i = 1; 2; 3; :::; �; l = 1; 2; 3; :::;K =

8>>><>>>:K(nh)

si son holónomasK(h)

si son no-holónomas

(2.93)

sean no-holónomas o semi-holónomas.

Considérese ahora el caso particular de las ligaduras (2.41). Para escribir esta expre-sión en función de las nuevas coordenadas qi se sustituye en ellas la expresión (2.63)



para los desplazamientos d�!r i resultando,

f(d)l

�qi;

�qi; t�=

NXj=1

Alj (�!r i; t)

�Xi=1

@�!r j@qi

dqi +@�!r j@t

dt

!+Bl (

�!r i; t) dt = 0

=

�Xi=1

"NXj=1

Alj (�!r i; t)

@�!r j@qi

#dqi +

"NXj=1

Alj (�!r i; t)

@�!r j@t

+Bl (�!r i; t)

#dt = 0

=

�Xi=1

Ali (qi; t) dqi +Bl (qi; t) dt = 0 (2.94)

donde,

8>><>>:Ali (qi; t) =

NPj=1

Alj (�!r i; t) @

�!r j@qi

Bl (qi; t) =NPj=1

Alj (�!r i; t) @

�!r j@t+Bl (

�!r i; t), i = 1; 2; 3; : : : ; N ; l = 1; 2; 3; :::;K (2.95)

que son las ecuaciones de transformación para los coeficientes Alj y Bl desde las viejascoordenadas �!r i a las nuevas coordenadas qi. De forma análoga se procede con lasligaduras en la forma de velocidades (2.42) obteniéndose estas mismas ecuacionesde transformación. Por lo tanto, en general, se puede escribir ahora,

8<: f(nhd)l

�qi;

�qi; t�

f(shd)l

�qi;

�qi; t� =

�Pj=1

Alj (qi; t) dqj +Bl (qi; t) dt = 0, l = 1; 2; 3; :::;K =(K(nh)

K(h)

(2.96)que representan las restricciones lineales sobre los desplazamientos dqj y,

8<: f(nhD)l

�qi;

�qi; t�

f(shD)l

�qi;

�qi; t� =

�Pj=1

Alj (qi; t)�qj +Bl (qi; t) = 0, l = 1; 2; 3; :::;K =

(K(nh)

K(h)(2.97)

que representan las restricciones lineales sobre las velocidades generalizadas�qj.

En el caso de ligaduras no-holónomas esclerónomas f (nh)l

�qi;

�qi

�= 0 y semi-holónomas


2.10. UN MÉTODO PARA DETERMINAR SI UNA LIGADURA EN FORMA DE DIFERENCIAL ODE VELOCIDAD ES HOLÓNOMA O NO-HOLÓNOMA

esclerónomas f (sh)l

�qi;

�qi

�= 0 se tiene que,8>>>>>><>>>>>>:

8<: f(nhd)l

�qi;

�qi

�f(shd)l

�qi;

�qi

� =�Pj=1

Alj (qi) dqj = 0, l = 1; 2; 3; :::;K =(K(nh)

K(h)8<: f(nhD)l

�qi;

�qi

�f(shD)l

�qi;

�qi

� =�Pj=1

Alj (qi)�qj = 0, l = 1; 2; 3; :::;K =

(K(nh)

K(h)

(2.98)

2.10. Un método para determinar si una ligadura en for-ma de diferencial o de velocidad es holónoma o no-holónoma

Para que las ligaduras del tipo (2.96) o (2.96) puedan ser integrables, es decir,para que puedan representar ligaduras semi-holónomas, deben constituir una diferen-cial exacta o una diferencial inexacta pero que se pueda convertir en exacta median-te el uso de un factor integrante. Supóngase que de todas las K(nh) ligaduras en (2.96),la l-ésima es semi-holónoma. Por lo tanto, al ser integrada debe ser posible encontraruna función fl del tipo (2.89) cuyo diferencial total viene dado por,

df(h)l (qk; t) =

�Xi=1

@f(h)l (qk; t)

@qidqi +

@f(h)l (qk; t)

@tdt = 0 (2.99)

El caso más general de (2.99) se da cuando es dividida por un factor integranteIl (qk), es decir,

df(h)l (qk; t)

Il (qk)=

�Xi=1

@f(h)l (qk;t)

@qi

Il (qk)dqi +

@f(h)l (qk;t)

@t

Il (qk)dt = 0 (2.100)

entonces, al comparar (2.96) con (2.100) resulta,

@f(h)l (qk;t)

@qi

Il (qk)= Ali (qk; t)

@f(h)l (qk;t)

@t

Il (qk)= Bl (qk; t)

o, 8<:@f

(h)l

@qi= IlAli

@f(h)l

@t= IlBl

(2.101)



es decir, para que una ligadura dada por (2.96) sea semi-holónoma, deben existir unafunción f

(h)l (qk; t) y un factor integrante Il (qk) que satisfagan las ecuaciones (2.101) a

la vez.

De la integración de las ecuaciones (2.101), encontrado ya el factorintegrante Il (qk) e identificadas las funciones Ali (qk; t), Bl (qk; t) a partir de lasligaduras dadas, es posible hallar la función fl (qk; t).

Para verificar lo anterior, se procede a derivar parcialmente las ecuaciones (2.101)con respecto a las coordenadas generalizadas,8>>>><>>>>:

@2f(h)l (qk;t)

@qj@qi= @

@qj[Il (qk)Ali (qk; t)]

@2f(h)l (qk; t)

@qi@qj| {z }Permutando

= @@qi[Il (qk)Alj (qk; t)] , con i 6= j (2.102)

8>>>><>>>>:@2f

(h)l (qk;t)

@qj@t= @

@qj[Il (qk)Bl (qk; t)]

@2f(h)l (qk; t)

@t@qj| {z }Permutando

= @@t[Il (qk)Alj (qk; t)] , con i 6= j (2.103)

donde se ha requerido que i 6= j para garantizar que las derivadas sean en paresde coordenadas diferentes. De las anteriores expresiones, al igualar las derivadas par-ciales cruzadas en cada caso, resultan las siguientes expresiones,

(@@qj(IlAli) =

@@qi(IlAlj)

@@qj(IlBl) =

@@t(IlAlj)

, con i 6= j (2.104)

concluyéndose de aquí que, si existe un factor integrante Il (qk) tal que se satisfaganestas relaciones, entonces la l-ésima ligadura es semi-holónoma.

Después de indentificadas las funciones Ali (qk; t) y Bl (qk; t) a partir de lasligaduras dadas, las ecuaciones (2.104) ayudan a encontrar el factor inte-grante Il (qk). Al identificar este factor, se sustituye en las ecuaciones (2.101)pudiéndose encontrar así las función f

(h)l (qk; t) mediante su integración.

Este procedimiento puede tornarse difícil para sistemas mecánicos cuyos gradosde libertad son superiores a 3 ya que no existen directrices generales para encontrar el



factor integrante Il (qk). Este factor suele encontrarse por inspección en algunos casos.Si el único factor integrante posible es I = 0, entonces la ligadura correspondiente esno-holónoma por no poderse integrar. De existir un factor integrante I 6= 0 entonces laligadura es semi-holónoma y, por lo tanto, es posible integrarla.

En resumen, dada una ligadura del tipo (2.96) o equivalentemente del tipo (2.97)se pueden llevar a cabo los pasos siguientes para determinar si es una ligadura semi-holónoma e integrarla:

1. Se determina el número de coordenadas generalizadas qi y el número Kde ligaduras presentes de este tipo.

2. Con los datos del paso 1 se desarrolla la sumatoria presente en (2.96) o(2.97) y se compara con las ligaduras dadas, obteniéndose así los coefi-cientes Ali (qk; t) y Bl (qk; t).

3. Se busca el factor integrante Il (qi) de tal manera que se cumplan lascondiciones dadas por (2.104).

4. Por último, si Il (qi) 6= 0, para integrar la ligadura se usan las ecuaciones(2.101).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.20Supóngase que se tiene un sistema mecánico de coordenadas

generalizadas � y ' en el cual está presente la ligadura diferencial,

f (�; ') = 5'd� +

�15� � 2

'

�d' = 0

Determine si es semi-holónoma o no-holónoma. Si lo es semi-holónoma, intégrela.

SOLUCION:Se determina el número de coordenadas y de ligaduras presentes: en este caso

hay � = 2 coordenadas (q1; q2) = (�; ') de manera que i = 1; 2 y una ligadura K = 1

(no se ha utilizado la etiqueta h o sh en K porque aún no se sabe si la ligadura esintegrable o no) por lo que l = 1.

Se encuentran los coeficientes Ali y Bl: al desarrollar (2.96) hasta i = 2 con l = 1

resulta,2Xi=1

A1idqi +B1dt = 0) A11dq1 + A12dq2 +B1dt = 0 (2.105)



Ahora, al comparar esta expresión con la ligadura diferencial dada resulta,8><>:A11 = 5'

A12 = 15� � 2'

B1 = 0

(2.106)

Se busca el factor integrante Il (qi): en el caso de dos variables, de la primera de lascondiciones (2.104) se puede escribir que,

@

@q2(I1A11) =

@

@q1(I1A12)

o,@

@'(I1A11) =

@

@�(I1A12) (2.107)

La segunda de las condiciones (2.104) no es considerada ya que no existe parte tem-poral en la ligadura dada. La condición (2.107) se cumple para un factor integrante,

I1 = '2 (2.108)

En efecto, al sustituir este factor y (2.106) en (2.107) resulta,

@

@'

��'2�(5')

�=

@

@�

��'2��15� � 2

'

��15'2 = 15'2

verificándose así la igualdad. Esto garantiza que la ligadura dada es integrable y, porlo tanto, semi-holónoma.

Se integra la ligadura: de (2.101) para i; j = 1; 2 se tiene que,(@f1@q1= @f1

@�= I1A11 = ('

2) (5') = 5'3

@f1@q2= @f1

@'= I1A12 = ('

2)�15� � 2

'

�= 15�'2 � 2'

(2.109)

que al ser integradas resultan en,(f1 = 5'

3� + C1 (') + c1

f1 = 5�'3 � '2 + C2 (�) + c2

(2.110)

Por último, al comparar las expresiones (2.110) se obtiene,

C1 (') = �'2

C2 (�) = 0

c1 = c2 = c

resultando finalmente,f1 (�; ') = 5�'

3 � '2 + c = 0 (2.111)



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.21Supóngase que se tiene un sistema mecánico de coordenadas

generalizadas � y en el cual está presente la ligadura diferencial,

f (�;) =�1 + 2 Sen�

�d�� 2�

d = 0

Determine si es semi-holónoma o no-holónoma. Si es semi-holónoma, intégrela.


hay � = 2 coordenadas (q1; q2) = (�;) de manera que i = 1; 2 y una ligadura K = 1

(no se ha utilizado la etiqueta h o sh en K porque aún no se sabe si la ligadura esintegrable o no) por lo que l = 1.


resulta,2Xi=1

A1idqi +B1dt = 0) A11dq1 + A12dq2 +B1dt = 0 (2.112)

Ahora, al comparar esta expresión con la ligadura diferencial dada resulta,8><>:A11 = 1 +

2 Sen�

A12 = �2�

B1 = 0

(2.113)

Se busca el factor integrante Il (qi): en el caso de dos variables, de la primera de lascondiciones (2.104) se puede escribir que,

@

@q2(I1A11) =

@

@q1(I1A12)

o,@

@(I1A11) =

@

@�(I1A12) (2.114)

La segunda de las condiciones (2.104) no es considerada ya que no existe parte tem-poral en la ligadura dada. La condición (2.114) se cumple para un factor integrante,

I1 =1

2(2.115)

En efecto, al sustituir este factor y (2.113) en (2.114) resulta,

@

@

��1

2

��1 + 2 Sen�

��=

@

@�

��1

2

��2�

�� 23

= � 23



verificándose así la igualdad. Esto garantiza que la ligadura dada es integrable y, porlo tanto, semi-holónoma.

Se integra la ligadura: de (2.101) para i; j = 1; 2 se tiene que,(@f1@q1= @f1

@�= I1A11 =

�12

�(1 + 2 Sen�) = 1

2+ Sen�

@f1@q2= @f1

@= I1A12 =

�12

� ��2�

�= �2�

3

(2.116)

que al ser integradas resultan en,(f1 =

�2� Cos� + C1 () + c1

f1 =�2+ C2 (�) + c2

(2.117)

Por último, al comparar las expresiones (2.117) se obtiene,

C1 () = 0

C2 (�) = �Cos�c1 = c2 = c

resultando finalmente,f1 (�;) =

�

2� Cos� + c = 0 (2.118)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.22Muestre que la ligadura,

f�q1; q2;

�q1;

�q2;

�q3

�=

�`2 + rCos q1

� �q1 +

�`2 + rCos q2

� �q2 +

�a+ 2

�r2 + `2

�+2`r (Cos q1 + Cos q2)]

�q3 = 0

presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas q1, q2y q3 es no-holónoma.


hay � = 3 coordenadas q1; q2; q3 de manera que i = 1; 2; 3 y una ligadura K(nh) = 1 noholónoma por lo que l = 1.


resulta,3Xi=1

A1i�qi +B1 = 0) A11

�q1 + A12

�q2 + A13

�q3 +B1dt = 0 (2.119)



Ahora, al comparar esta expresión con la ligadura dada resulta,8>>><>>>:A11 = `2 + rCos q1

A12 = `2 + rCos q2

A13 = a+ 2 (r2 + `2) + 2`r (Cos q1 + Cos q2)

B1 = 0

(2.120)

Se busca el factor integrante Il (qi): en el caso de tres variables, de la primera de lascondiciones (2.104) se puede escribir que,

@

@q2(I1A11) =

@

@q1(I1A12) (2.121)

@

@q3(I1A11) =

@

@q1(I1A13) (2.122)

@

@q2(I1A13) =

@

@q3(I1A12) (2.123)

Si realmente la ligadura dada es no-holónoma, el único factor integrante posible seríaI1 = 0. En efecto, de las expresiones (2.121) a (2.123) debido a la dependencia fun-cional de cada una de las Aij se obtiene,

A11@I1@q2

= A12@I1@q1

(2.124)

A11@I1@q3

= A13@I1@q1

+ I1@A13@q1

(2.125)

A12@I1@q3

= A13@I1@q2

+ I1@A13@q2

(2.126)

entonces al sustituir (2.120) en (2.124) a (2.126) resulta,�`2 + rCos q1

� @I1@q2

=�`2 + rCos q2

� @I1@q1

(2.127)�`2 + rCos q1

� @I1@q3

=�a+ 2

�r2 + `2

�+ 2`r (Cos q1 + Cos q2)

� @I1@q1� 2`r Sen q1I1(2.128)�

`2 + rCos q2� @I1@q3

=�a+ 2

�r2 + `2

�+ 2`r (Cos q1 + Cos q2)

� @I1@q2� 2`r Sen q2I1(2.129)

Finalmente, si se despeja @I1@q3

de (2.129), luego se sustituye en (2.128) y de aquí sedespeja @I1

@q2para sustituirla en (2.127) resulta,

� 2`r Sen q2�`2 + rCos q1

�I1 = �2`r Sen q1

�`2 + rCos q2

�I1 (2.130)

siendo así,I1 = 0 (2.131)

el único valor posible para el factor integrante, mostrándose que la ligadura dada esno-holónoma.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



2.11. Ejemplos de determinación de coordenadas genera-lizadas para algunos sistemas

En esta sección se presentarán ejemplos donde se encontrará un conjuntode coordenadas generalizadas y sus ecuaciones de transformación para algunos sis-temas de partículas dados. Es de hacer notar que sólo la ejercitación intensa y con-tínua es la que permitirá, al novicio, adquirir destrezas e intuición a la hora de escogerlas coordenadas generalizadas óptimas para una situación en particular.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.23La figura 2.31 muestra un sistema de dos masas m1 y m2 unidas

por un hilo de masa despreciable y de longitud constante `. La masa m1 se mueve a lolargo del eje x con una velocidad constante �!v impuesta, mientras que m2 permaneceen el mismo plano vertical. Obtener para este sistema: (a) las ligaduras presentes, (b)el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadasnecesarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coordenadas generalizadaspropias, así como la expresión de las coordenadas cartesianas en función de ellas oecuaciones de transformación. Suponer que en el instante inicial to = 0 la posición dem1 es x = xo.

Figura (2.31): Sistema de dos masas m1 y m2 unidas por un hilo de masa despreciable y de longitudconstante `. La masa m1 se mueve a lo largo del eje x con una velocidad constante �!v impuesta.


2.11. EJEMPLOS DE DETERMINACIÓN DE COORDENADAS GENERALIZADAS PARAALGUNOS SISTEMAS

SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas.

(a) Ligaduras: las coordenadas de las masas presentes son,(m1 ! (x1; y1; z1)

m2 ! (x2; y2; z2)(2.132)

donde,

x1 = xo + vt (2.133)

por lo descrito en el enunciado del ejemplo. El sistema tiene 3N = 3 (2) = 6 coorde-nadas Cartesianas correspondientes a los vectores de posición �!r 1 y �!r 2, existiendoúnicamente las siguientes K(h) = 5 ligaduras holónomas (es fácil encontrarlas a partirde un análisis geométrico de la figura dada),8>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>:

x1 = xo + vt) f(h)1 = x1 � xo � vt = 0, que pre-determina el

movimiento de m1.(y1 = 0) f

(h)2 = y1 = 0

z1 = 0) f(h)3 = z1 = 0

, fijan a m1 sobre el eje x.

z2 = 0) f(h)4 = z2 = 0, fija a m2 sobre el plano xy.

(x2 � x1)2 + y22 = `2 ) f(h)5 = (x2 � x1)2 + y22 � `2 = 0, acopla

el movimiento de m2

a m1 y es la trayectoria descrita por m2 con respecto a m1.

(2.134)

por lo que el sistema dado es holónomo reónomo, pues la ligadura f(h)1 depende ex-

plícitamente del tiempo.

(b) Grados de Libertad y número mínimo de coordenadas generalizadas: comoexisten K(h) = 5 ligaduras holónomas entonces, a partir de (2.14), el número de gradosde liberdad es,

s = 3N �K(h) = 3 (2)� 5 = 1 (2.135)

y a partir de (2.56), e� = 3N �K(h) = 3 (2)� 5 = 1 (2.136)

siendo e� = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

(c) Coordenadas Generalizadas y ecuaciones de transformación: del resultado(2.109) se deduce que debe existir 1 coordenada generalizada capaz de describirpor completo la configuración del sistema. Es posible tomar (se infiere de la figura 2.31)



como coordenada generalizada propia al águlo q1 = � de manera que,8>>>>>>>><>>>>>>>>:

x1 = xo + vt

y1 = 0

z1 = 0

x2 = x1 + ` Sen � = xo + vt+ ` Sen �

y2 = �`Cos �z2 = 0

(2.137)

que son las transformaciones �!r i = �!r i (q1), con i = 1. Se observa que la expresión de x2

depende explícitamente del tiempo, esto es debido al ligadura móvil f (h)1 (movimientoimpuesto) de m1. Asimismo, es posible considerar que el sistema de coordenadas ge-neralizadas para definir la posición dem2 es móvil, ya que el origen de las coordenadaspolares está en m1.

Las transformaciones (2.110) deben satisfacer las ligaduras holónomas en (2.107). Enefecto, la segunda, tercera y cuarta son satisfechas ya que en (2.110) y1 = z1 = z2 = 0.La primera y la quinta también son satisfechas,

f(h)1 = 0

0 = (xo + vt)� xo � vt0 = 0

f(h)5 = 0

0 = [(xo + vt+ ` Sen �)� (xo + vt)]2 + (�`Cos �)2 � `2

0 = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.24La figura 2.32 muestra un péndulo doble formado por dos masas

puntuales m1 y m2 unidas entre sí por una cuerda de masa despreciable y de longitudconstante `2, estando m1 a su vez unida a un punto fijo O por medio de otra cuerda demasa despreciable y longitud `1. El conjunto se mueve en un plano vertical. Obtenerpara este sistema: (a) las ligaduras presentes, (b) el número de grados de libertad y elnúmero mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuracióndel sistema y (c) las coordenadas generalizadas propias, así como la expresión de lascoordenadas cartesianas en función de ellas o ecuaciones de transformación.

SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas.



Figura (2.32): Péndulo doble formado por dos masas puntuales m1 y m2 unidas entre sí por una cuerdade masa despreciable y de longitud constante `2, estandom1 a su vez unida a un punto fijo O por mediode otra cuerda de masa despreciable y longitud `1.

(a) Ligaduras: las coordenadas de las masas presentes son,(m1 ! (x1; y1; z1)

m2 ! (x2; y2; z2)(2.138)

El sistema tiene 3N = 3 (2) = 6 coordenadas Cartesianas correspondientes a losvectores de posición �!r 1 y �!r 2, existiendo únicamente las siguientes K(h) = 4 ligadurasholónomas (es fácil encontrarlas a partir de un análisis geométrico de la figura dada),8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:



x21 + y21 = `21 ) f(h)3 = x21 + y21 � `21 = 0, acopla a m1 con el punto O,

manteniendo la distancia `1 de ésta al punto 0 constante.(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2 = `22 ) f

(h)4 = (x2 � x1)2 + (y2 � y1)2 � `22 = 0,

que acopla a m1 con m2, manteniendo la distancia `2 entre ellasconstante.

(2.139)

por lo que el sistema dado es holónomo esclerónomo.

(b) Grados de Libertad y número mínimo de coordenadas generalizadas: comoexisten K(h) = 4 ligaduras holónomas entonces, a partir de (2.14), el número de gradosde liberdad es,

s = 3N �K(h) = 3 (2)� 4 = 2 (2.140)

y a partir de (2.56), e� = 3N �K(h) = 3 (2)� 4 = 2 (2.141)




(c) Coordenadas Generalizadas y ecuaciones de transformación: del resultado(2.141) se deduce que deben existir 2 coordenadas generalizadas capaces de de-scribir por completo la configuración del sistema. Es posible tomar como coordenadasgeneralizadas propias q1 = x1 y q2 = x2 de manera que,8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

x1 = x1

y1 = �p`21 � x21

z1 = 0

x2 = x2

y2 = �q`22 � (x2 � x1)

2 �p`21 � x21

z2 = 0

(2.142)

que son las transformaciones �!r i = �!r i (q1; q2), con i = 1; 2.

Las transformaciones (2.142) deben satisfacer las ligaduras holónomas en (2.139). Enefecto, las primeras dos son satisfechas automáticamente ya que en (2.142) z1 = z2 = 0.La tercera y cuarta también son satisfechas,

f(h)3 = 0

0 = x21 +

��q`21 � x21

�2� `21

0 = 0

f(h)4 = 0

0 = (x2 � x1)2 +��q`22 � (x2 � x1)

2 �q`21 � x21 �

��q`21 � x21

��2� `22

0 = 0

En el caso de usar coordenadas esféricas, se tendrían las siguientes K(h) = 4 ligadu-ras holónomas,8>>>>>><>>>>>>:

�1 =�2) f

(h)1 = �1 � �

2= 0,

�2 =�2) f

(h)1 = �2 � �

2= 0,

r1 = `1 ) f(h)1 = r1 � `1 = 0, fija a m sobre el plano yz.

j�!r 2 ��!r 1j = `2 ) f(h)2 = j�!r 2 ��!r 1j � `2 = 0, mantiene la

masa m a una distancia ` constante respecto del origen 0.

(2.143)



Ahora es posible tomar como coordenadas generalizadas propias q1 = �1 y q2 = �2

de manera que,

8>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>:

x1 = r1 Sen �1Cos'1 = `1 Sen�2Cos

�3�2+ �1

�= `1 Sen�1

y1 = r1 Sen �1 Sen'1 = `1 Sen�2Sen

�3�2+ �1

�= �`1Cos�1

z1 = r1Cos �1 = r1Cos�2= 0

x2 = x1 + ex2 = `1 Sen�1 + er2 Sen �2Cos'2 = `1 Sen�1 + `2 Sen�2Cos

�3�2+ �2

�= `1 Sen�1 + `2 Sen�2

y2 = y1 + ey2 = �`1Cos�1 + er2 Sen �2 Sen'2 = �`1Cos�1 + `2 Sen�2Sen

�3�2+ �2

��`1Cos�1 � `2Cos�2z2 = z1 + ez2 = 0 + er2Cos �2 = `2Cos

�2= 0

(2.144)

donde ex2, ey2 y ez2 son las coordenadas de m2 tomando como origen m1 y f�!r 2 (conmódulo er2 = `2) su vector de posición con respecto al mismo origen. Las coordenadasex2, ey2 y ez2 están desplazadas x1, y1 y z1 respectivamente con respecto al origen 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.25En la figura 2.33 se muestra un sistema formado por dos partículas

de masas m1 y m2, unidas por una barra rígida de masa despreciable y de longitud `. Elconjunto se mueve sobre un plano horizontal liso, existiendo en m1 un pequeño cuchilloque obliga a que ese punto se mueva según la dirección de la varilla. Determinar (a)las ligaduras presentes en el sistema, (b) el número de grados de libertad y el númeromínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sis-tema y (c) las coordenadas generalizadas, así como la expresión de las coordenadascartesianas en función de ellas o ecuaciones de transformación.

SOLUCION:

(a) Ligaduras: las coordenadas de las masas presentes son,

(m1 ! (x1; y1; z1)

m2 ! (x2; y2; z2)(2.145)

El sistema tiene 3N = 3 (2) = 6 coordenadas Cartesianas correspondientes a losvectores de posición �!r 1 y �!r 2. Sin embargo, existen las siguientes K(h) = 3 ligaduras ho-lónomas y K(nh) = 1 ligadura no-holónoma (es fácil encontrarlas a partir de un análisis



Figura (2.33): Sistema formado por dos partículas de masasm1 ym2, unidas por una barra rígida de masadespreciable y de longitud constante `.

geométrico de la figura dada),8>>>>>>>><>>>>>>>>:



(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2 = `2 ) f(h)3 = (x2 � x1)2 + (y2 � y1)2 � `2 = 0, que

acopla a m1 con m2.�!v 1 �

�!N = 0) f(nh)4 = �!v 1 �

�!N = 0, con�!N un versor normal a la barra. Esta

obliga a que la velocidad �!v 1 de la masa m1 esté a lo largo de la barra.

(2.146)

por lo que el sistema dado es no-holónomo esclerónomo.

Póngase atención en la ligadura f4. La velocidad�!v 1 debe tener la misma direcciónque la barra, por lo tanto, un vector perpendicular a �!v 1 también lo será a la recta quecontiene a la barra. La ecuación de dicha recta viene dada por,

� (y2 � y1)| {z }A

x+ (x2 � x1)| {z }B

y + x1y2 � x2y1| {z }C

= 0 (2.147)

Se sabe, a partir de la Geometría Analítica, que un vector perpendicular a la rectaAx+By + C = 0 viene dado por

�!N = Abex +Bbey. En este caso se tiene que,

�!N = � (y2 � y1) bex + (x2 � x1) bey (2.148)

por lo tanto,

f(nh)4 = �!v 1 �

�!N =��x1bex + �

y1bey� � [� (y2 � y1) bex + (x2 � x1) bey] = 0SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 138


o,f(nh)4 = ��

x1 (y2 � y1) +�y1 (x2 � x1) = 0 (2.149)

que es una ligadura no-holónoma ya que no es integrable. Más adelante, en la sec-ción 2.9, se estudiará la integrabilidad de este tipo de ligaduras.

(b) Grados de Libertad y número mínimo de coordenadas generalizadas: comoexisten K(h) = 3 ligaduras holónomas y K(nh) = 1 ligadura no-holónoma entonces, apartir de (2.40), el número de grados de liberdad es,

s = 3N �K(h) �K(nh) = 3 (2)� 3� 1 = 2 (2.150)

y a partir de (2.56), e� = 3N �K(h) = 3 (2)� 3 = 3 (2.151)

siendo e� > s como era de esperarse para un sistema no-holónomo.

(c) Coordenadas Generalizadas y ecuaciones de transformación: del resultado(2.151) se deduce que deben existir 3 coordenadas generalizadas capaces de de-scribir por completo la configuración del sistema, debido a que la ligadura no-holónomaf(nh)4 presente no reduce el número de coordenadas mínimas necesarias. Podrían es-

cogerse coordenadas generalizadas que eliminen las ligaduras holónomas pero no lasno-holónomas. Es posible escoger como coordenadas generalizadas las del centro demasa q1 = xcm, q2 = ycm y el ángulo q3 = � formado por la barra respecto al eje x, untotal de tres coordenadas generalizadas.

Es fácil mostrar, a partir de la figura 2.33, que las escuaciones de transformaciónvienen dadas por, 8>>>>>>>><>>>>>>>>:

x1 = xcm � `2Cos �

y1 = ycm � `2Sen �

z1 = 0

x2 = xcm +`2Cos �

y2 = ycm +`2Sen �

z2 = 0

(2.152)

que son las transformaciones �!r i = �!r i (q1; q2; q3), con i = 1; 2. En estas nuevas coorde-nadas la ligadura no-holónoma (2.149) se puede escribir como,

f(nh)4 = ��

xcm Sen � +�ycmCos � �

`

2

�� = 0 (2.153)

De esta forma, el sistema queda definido por tres coordenadas generalizadas q1 =xcm, q2 = ycm y q3 = � sujetas a la ecuación de ligadura no-holónoma (2.153). A pesar de



que el sistema dado tiene 2 grados de libertad, debido a la naturaleza de esta ligadu-ra, no es posible definir explícitamente un conjunto de dos coordenadas generalizadaspropias.

Las transformaciones (2.152) deben satisfacer las ligaduras holónomas en (2.146). Enefecto, las primeras dos son satisfechas automáticamente ya que en (2.152) z1 = z2 = 0.La tercera también es satisfecha,

f(h)3 = 0

0 =

��xcm +

`

2Cos �

��xcm �

`

2Cos �

��2+

��ycm +

`

2Sen �

��ycm �

`

2Sen �

��2� `2

0 = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.26La figura 2.34 muestra un sistema formado por una varilla (de

masa despreciable) lisa y fija en la que está ensartada una cuenta de masa m que semueve libremente por ella. Suponiendo que la posición de la cuenta viene dada por,

y = A Sen (!t)

Obtener para este sistema: (a) las ligaduras presentes, (b) el número de grados delibertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para fijar laconfiguración del sistema y (c) las coordenadas generalizadas propias, así como laexpresión de las coordenadas cartesianas en función de ellas o ecuaciones de trans-formación.

SOLUCION:(a) Ligaduras: las coordenadas de la masa presente son,

m! (x; y; z) (2.154)

El sistema tiene 3N = 3 (1) = 3 coordenadas Cartesianas correspondientes al vector deposición �!r , existiendo únicamente las siguientes K(h) = 3 ligaduras holónomas,8>>>>>><>>>>>>:

(x = 0) f

(h)1 = x = 0

z = 0) f(h)2 = z = 0

, que fijan el movimiento de m sobre

el eje y.y = A Sen (!t)) f

(h)3 = y � A Sen (!t) = 0, debida al movimiento

pre-establecido de m.

(2.155)



Figura (2.34): Sistema formado por una varilla lisa en la cuale está ensartada una cuenta de masa m. Lacuenta realiza un movimiento pre-establecido.

por lo que el sistema dado es holónomo esclerónomo (f (h)3 depende explícitamentedel tiempo t).

(b) Grados de Libertad y número mínimo de coordenadas generalizadas: comoexisten K(h) = 2 ligaduras holónomas entonces, el número de grados de liberdad s es,

s = 3N �K(h) = 3 (1)� 3 = 0 (2.156)

y debido a este resultado en el sistema dado no existe dinámica alguna, sólo cin-emática. El número mínimo e� de coordenadas necesarias para fijar la configuracióndel sistema es, e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 3 = 0 (2.157)


(c) Coordenadas Generalizadas y ecuaciones de transformación: del resultado(2.157) se deduce que no existen coordenadas generalizadas para este sistema. En-tonces, 8><>:

x = 0

y = A Sen (!t)

z = 0

(2.158)

observándose, efectivamente, que no aparece coordenada alguna del lado dere-cho en (2.158). Recuérdese que, en Mecánica Clásica, el tiempo t no es consideradocomo coordenada.

Las expresiones (2.158) deben satisfacer las ligaduras holónomas en (2.155). En efec-to, f (h)1 y f (h)2 son satisfechas ya que en (2.158) x = z = 0. La f

(h)3 también es satisfecha,

A Sen (!t)� A Sen (!t) = 0

0 = 0



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.12. Desplazamiento real y virtual

El objetivo de la presente sección es la de establecer las definiciones de des-plazamiento virtual y trabajo virtual de la forma más clara posible. Ambas definicionesconstituyen piezas claves para establecer, más adelante, el Principio de los TrabajosVirtuales y el Principio de D’Alembert. El Principio de D’Alembert va a ser el punto departida para formular la Mecánica de Lagrange a ser estudiada en el capítulo 5.

2.12.1. Desplazamiento real

Se le dará el nombre de Desplazamiento Real d�!r i a todo aquel des-plazamiento que puede realizar una partícula o un conjunto de ellas en unsistema de partículas, empleando para ello un determinado tiempo t y, porende, realizado a una velocidad finita �!v i.

En coordenadas generalizadas estos desplazamientos son los dqi y las velocidadesson las generalizadas

�qi. No se está agregando nada nuevo desde el punto de vista

físico pues estos desplazamientos son los que comúnmente se encuentran en el es-tudio del movimiento de las partículas. Sólo se ha agregado el calificativo de “real”para hacer incapié en que son desplazamientos que realmente pueden realizar laspartículas, calificativo que será muy útil a la hora de distinguirlos de otro tipo de des-plazamientos que serán introducidos más adelante.

Si estos desplazamientos cumplen con las ligaduras presentes en el sistema, en-toces se dice que son Desplazamientos Reales Compatibles con las Ligaduras. Losdesplazamientos d�!r i presentes en las ligaduras holónomas (2.90) y en las ligadurassemi-holónomas (2.91) y los dqi presentes en sus correspondientes en coordenadas ge-neralizadas (2.96) y (2.97), son de este tipo.

2.12.2. Desplazamiento virtual

Se introducirá ahora otro tipo de desplazamiento denominado DesplazamientoVirtual.


2.12. DESPLAZAMIENTO REAL Y VIRTUAL

Definición

Se da el nombre de Desplazamiento Virtual a un desplazamiento infini-tesimal de la posición de una partícula realizado instantáneamente. Es de-cir, es llevado a cabo con velocidad infinita y, por ende, sin que transcurraningún tiempo durante su realización. De lo anterior proviene la condiciónde virtual, ya que no es posible realizarlo efectivamente.

Es un desplazamiento puramente geométrico, ficticio, no dinámico, que es útil co-mo herramienta para resolver problemas mecánicos y se representará por la diferen-cial de primer orden ��!r en vez de d�!r que es el usado para los desplazamientos reales.También puede ser un desplazamiento virtual un desplazamiento angular provenientede la rotación de un cuerpo, por ejemplo.

La diferencia entre un desplazamiento virtual ��!r i y un desplazamiento real d�!r i esposible verla a partir de (2.63). En efecto los desplazamientos reales vienen dados por,

d�!r i =�Xj=1

@�!r i@qj

dqj +@�!r i@t

dt, con i = 1; 2; 3; : : : ; N (2.159)

donde los dqj son los desplazamientos reales de las coordenadas generalizadas. Comoen la realización de los desplazamientos virtuales no transcurre ningún tiempo @�!r i

@t=�!0 ,

entonces resulta que8,

Figura (2.35): (a) Desplazamiento real d�!r en presencia de una ligadura reónoma (b) Desplazamientovirtual ��!r , la ligadura se ha dejado çongelada.en el tiempo.

8Por ser @�!r i@t = 0, aquí las ligaduras pueden cosiderarse esclerónomas.



��!r i =�Xj=1

@�!r i@qj

�qj, con i = 1; 2; 3; : : : ; N (2.160)

donde los �qj son los desplazamientos virtuales de las coordenadas generalizadas y��!r i representa el desplazamiento virtual de la i-ésima partícula. En el caso de haberligaduras reónomas o móviles (ver figura 2.35), éstas quedarían “congeladas” ya queel tiempo no transcurre para los desplazamientos virtuales. Por el contrario, en un des-plazamiento real d�!r i transcurriría un tiempo dt en el cual las fuerzas y las ligaduras delsistema podrían variar.

Figura (2.36): Desplazamiento real d�!r y desplazamiento virtual ��!r .

De esta expresión puede observarse que los desplazamientos virtuales son vectorestangenciales en el espacio de configuración. Los vectores ��!r i apuntan a diferentestrayectorias geométricamente posibles de la i-ésima partícula en un instante de tiem-po dado. Por ejemplo ver figura 2.36, una determinada trayectoria de la i-ésima partí-cula puede llevarse a cabo partiendo de unas condiciones iniciales dadas, pero ��!r ipuede también apuntar hacia otras trayectorias imaginarias. En la figura 2.37 puedeobservarse la trayectoria real q (t) en el espacio de configuración para un determina-do sistema unidimensional, en la cual se representa un posible desplazamiento virtualde dicha trayectoria.

Los desplazamientos virtuales, aparte de ser instantáneos, pueden ser arbitrarios yno relacionados con el movimiento real de la partícula en el instante considerado. Aestos desplazamientos se les denominan Desplazamientos Virtuales Arbitrarios. Existenciertos tipos de desplazamientos virtuales que son los más útiles y que serán de interésmás adelante, estos son los denominados Desplazamientos Virtuales Compatibles conlas Ligaduras9, de la misma forma como existen los deplazamientos reales compatibles

9D’Alembert fue el primero en proponer la consideración de un desplazamiento de este tipo.



Figura (2.37): Espacio de fase unidimensional. Coordenada real q (t) y la coordenada desplazada vir-tualmente q (t) + �q (t).

con las ligaduras mencionados en la sección 2.12.1.

Los Desplazamientos Virtuales Compatibles con las Ligaduras son aque-llos en los que se han incluido las ligaduras, es decir, son aquellos que re-spetan las ligaduras. Después de realizado un desplazamiento virtual de estetipo, se mantienen las relaciones de ligadura del sistema.

Los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras holónomas se obtienena partir de (2.90). Efectivamente, si en esta expresión se impone la condición de queel tiempo no transcurra resulta,

�Pj=1

@f(h)l (qi;t)

@qj�qj = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K(h) (2.161)

donde aquí los �qj son los desplazamientos virtuales compatibles buscados. Al hacerlo mismo con las ligaduras no-holónomas o semi-holónomas (2.96) resulta,

�Pj=1

Alj (qi; t) �qj = 0, con l = 1; 2; 3; :::;

(K(nh)

K(h)(2.162)

siendo ahora los �qj presentes aquí los desplazamientos virtuales compatibles con estasligaduras en particular.



¿Cómo encontrar los desplazamientos virtuales?. La respuesta a esta pregunta yafue dada al pasar de (2.159) a (2.160).

Los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras se obtienena partir de los desplazamientos reales compatibles con las ligaduras, “con-gelando” estas últimas en el caso de ser reónomas. Obviamente, tambiénes cierto para las ligaduras esclerónomas, con la diferencia de que estasúltimas ya son inmóviles.

En resumen, los requerimientos para un desplazamiento virtual son los siguientes:

1. El tiempo es mantenido fijo (no hay cambio en las derivadas temporales), de allí sucalificativo de virtual.

2. Es un desplazamiento puramente geométrico.

3. Son infinitesimales al igual que los desplazamientos reales dqi.

4. Existen tantos desplazamientos virtuales posibles como variables necesarias paradescribir el movimiento al igual que para los desplazamientos reales.

5. Si son compatibles con las ligaduras, las obedecen.

Adicionalmente, desde el punto de vista matemático, el símbolo diferencial � tienelas mismas propiedades que el símbolo diferencial d de la diferenciación ordinaria. Porejemplo,

��x2�=

� (x2)

�x�x = 2x�x

� (Senx) = Cosx�x

� (tanx) = sec2 x�x

esto es debido a que provienen de los desplazamientos reales, conservando sus pro-piedades matemáticas.

Para obtener los desplazamientos virtuales arbitrarios y los compatibles con las liga-duras se procede como sigue:

1. Se encuentran los desplazamientos reales d�!r i, los cuales se obtienen al diferenciarel vector de posición�!r i (en coordenadas Cartesianas, esféricas, etc.) de cada una



de las partículas del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras presentes. Los despla-zamientos así obtenidos son todos aquellos posibles para las partículas del sistemasin tomar en cuenta las ligaduras presentes, es decir, son los desplazamientos realesarbitrarios.

2. Se identifican las ligaduras presentes, se determina el número de grados de liber-tad y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para describir elsistema.

3. Se encuentran los desplazamientos reales compatibles con las ligaduras, los cualesse obtienen: (a) al introducir las ligaduras encontradas en el paso 2 (de ser holóno-mas) en los desplazamientos obtenidos en el paso 1, (b) en el caso de que se hagamatemáticamente engorrosa dicha sustitución debido a la forma en la que estánexpresadas las ligaduras (todas o parte de ellas), alternativamente se procede aencontrar un conjunto de coordenadas generalizadas para el sistema dado y seescriben las ecuaciones de transformación correspondientes para luego encontrarlos desplazamientos reales a partir de éstas. Esto es equivalente a lo descrito en (a)ya que, como se sabe, las transformaciones contienen las ligaduras holónomas.

4. Por último, los desplazamientos reales d�!r i se convierten en virtuales ��!r i cuando seimpone la condición de que el tiempo no transcurra. De aquí se desprende que silas ligaduras involucradas dependen explícitamente del tiempo t (reónomas) éstasquedarán congeladas o inmóviles, permaneciendo en el estado en que se encon-traban en el instante del desplazamiento. Obviamente, si las ligaduras involucradasno dependen explícitamente del tiempo t (esclerónomas) o si no existen ligaduras,entonces los desplazamiento virtuales coinciden completamente con los desplaza-mientos reales encontrados en el paso 1 (de no existir ligaduras) o en el 3 (de existirligaduras). Finalizado esto, los desplazamientos virtuales obtenidos son compatiblescon las ligaduras.

Los pasos anteriores sólo son una simple guía, no pretenden ser una receta de es-tricto cumplimiento.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.27Partícula sobre una esfera lisa. Se tiene el caso de una partícula

de masa m que se mueve sobre una esfera, centrada en el origen del referencial, sinfricción (ver figura 2.38) y que no se separa de su superficie. Encuentre: (a) las condi-ciones que deben cumplir los desplazamientos reales para ser compatibles con la li-gadura, (b) lo mismo para los desplazamientos virtuales, (c) los desplazamientos reales



compatibles con la ligadura, (d) los desplazamientos virtuales compatibles con la liga-dura y (e) chequear que los desplazamientos reales y los virtuales encontrados antescumplen con las condiciones encontradas en (a) y (b) respectivamente.

Figura (2.38): Partícula de masa m que se mueve sobre una esfera lisa sin separarse de su superficie.

SOLUCION: antes de responder a las preguntas planteadas en el enunciado delejemplo, se procederá a encontrar los desplazamientos reales y virtuales siguiendo lospasos antes descritos.

Desplazamientos reales arbitrarios: en coordenadas esféricas el vector de posiciónde la partícula viene dado por,

�!r = (r Sen �Cos'; r Sen � Sen'; rCos �) (2.163)

de manera que, 8><>:x = r Sen �Cos'

y = r Sen � Sen'

z = rCos �

(2.164)

Los desplazamientos reales arbitrarios se obtienen diferenciar (2.164). En efecto,8><>:dx = Sen �Cos'dr + rCos �Cos'd� � r Sen � Sen'd'dy = Sen � Sen'dr + rCos � Sen'd� + r Sen �Cos'd'

dz = Cos �dr � r Sen �d�(2.165)



Ligaduras, grados de libertad y número mínimo de coordenadas generalizadas: eneste caso existe K(h) = 1 ligadura holónoma cuya ecuación en coordenadas Carte-sianas viene dada por,

x2 + y2 + z2 = R2 ) f(h)1 = x2 + y2 + z2 �R2 = 0 (2.166)

que es una esfera de radio R centrada en el origen del sistema de referencia. Estaligadura es holónoma esclerónoma y en coordenadas esféricas se escribe como,

r = R) f(h)1 = r �R = 0 (2.167)

Como existe K(h) = 1 ligadura holónoma entonces, a partir de (2.14), el número degrados de liberdad es,

s = 3N �K(h) = 3 (1)� 1 = 2 (2.168)

y a partir de (2.56), e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 1 = 2 (2.169)


Desplazamientos reales compatibles con las ligaduras: para hacer que los despla-zamientos (2.165) sean compatibles con la ligadura (2.167) simplemente se sustituye enellos resultando (en este caso es sencillo hacerlo),8><>:

dx = RCos �Cos'd� �R Sen � Sen'd'dy = RCos � Sen'd� +R Sen �Cos'd'

dz = �R Sen �d�(2.170)

que son los desplazamientos reales de la partícula compatibles con la ligadura.

Desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras: los desplazamientos vir-tuales compatibles con la ligadura son idénticos a los desplazamientos reales compat-ibles con la ligadura encontrados en (c), ya que la ligadura involucrada es escleróno-ma. Por lo tanto, 8><>:

�x = RCos �Cos'�� R Sen � Sen'�'�y = RCos � Sen'�� +R Sen �Cos'�'

�z = �R Sen ��(2.171)

Se procederá ahora a responder las preguntas formuladas en el enunciado delejemplo:

(a) Al diferenciar (2.166) resulta,

df(h)1 (x; y; z) = 2xdx+ 2ydy + 2zdz = 0 (2.172)



que es la condición que deben cumplir los desplazamientos reales dx, dy y dz para sercompatibles con la ligadura (2.166).

(b) Como la ligadura dada es esclerónoma entonces la condición que debencumplir los desplazamientos virtuales es idéntica a (2.172) cambiando el símbolo difer-encial d por �. En efecto,

�f(h)1 (x; y; z) = x�x+ y�y + z�z = 0 (2.173)

(c) Los desplazamientos reales compatibles con la ligadura son los dados por (2.170).

(d) Los desplazamientos virtuales compatibles con la ligadura son los dados por(2.171).

(e) En el caso de los desplazamientos reales, al sustituir (2.170) en (2.172) resulta,

0 = 2xdx+ 2ydy + 2zdz

0 = 2x (RCos �Cos'd� �R Sen � Sen'd') + 2y (RCos � Sen'd� +R Sen �Cos'd')

+2z (�R Sen �d�) (2.174)

y al sustituir aquí (2.164) con r = R en el anterior resulatdo se obtiene,

0 = (R Sen �Cos') (RCos �Cos'd� �R Sen � Sen'd')+ (R Sen � Sen') (RCos � Sen'd� +R Sen �Cos'd')

+ (RCos �) (�R Sen �d�)0 = 0

satisfaciéndose así la condición (2.172).

Por último, en el caso de los desplazamientos virtuales, al sustituir (2.171) y (2.164)con r = R en (2.173) análogamente resulta,

0 = 0

satisfaciéndose así la condición (2.173).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.28Partícula que se mueve sobre una parábola que gira. En la figura

2.39 se muestra un alambre liso y rígido en forma parabólica z = r2 (en coordenadascilíndricas) que gira alrededor de su eje de simetría con velocidad angular constante



Figura (2.39): Anillo que se desplaza sobre un alambre liso en forma deparábola que rota con ! cons-tante.

!, y un anillo de tamaño despreciable y masa m que se desplaza por él. Determínenselos desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras presentes.

SOLUCION: se usarán coordenadas cilíndricas.

Desplazamientos reales arbitrarios: en coordenadas cilíndricas el vector de posiciónde la partícula viene dado por,

�!r = (r0Cos'; r0 Sen'; z) r0 ' x y z m 0 �!r z = r02 (2.175)

donde se ha usado la prima en la coordenada cilíndrica r para distinguirla del módulor del vector de posición �!r del anillo. De esta manera,8><>:

x = r0Cos'

y = r0 Sen'

z = z

(2.176)

Los desplazamientos reales arbitrarios se obtienen diferenciar (2.176). En efecto,8><>:dx = Cos'dr0 � r0 Sen'd'dy = Sen'dr0 + r0Cos'd'

dz = dz

(2.177)



Ligaduras, grados de libertad y número mínimo de coordenadas generalizadas: eneste caso existen K(h) = 2 ligaduras holónomas,8><>:

z = r02 ) f(h)1 = z � r02 = 0, que obliga a la partícula a moverse

por el alambre.' = !t) f

(h)2 = '� !t = 0, introduce la rotación del alambre.

(2.178)

de manera que el sistema es reónomo (f (h)2 depende explícitamente del tiempo t).

Como existen K(h) = 2 ligaduras holónomas entonces, a partir de (2.14), el númerode grados de liberdad es,

s = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (2.179)

y a partir de (2.56), e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (2.180)


Desplazamientos reales compatibles con las ligaduras: para hacer que los despla-zamientos (2.177) sean compatibles con las ligaduras (2.178) simplemente se sustituyenen ellos resultando (en este caso es sencillo hacerlo),8><>:

dx = Cos (!t) dr0 � r0! Sen (!t) dtdy = Sen (!t) dr0 + r0!Cos (!t) dt

dz = 2r0dr0(2.181)

que son los desplazamientos reales de la partícula compatibles con las ligaduras.

Desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras: por último, los desplaza-mientos virtuales compatibles con las ligaduras se obtienen al congelar la ligadurareónoma. Por lo tanto, al hacer dt = 0 en (2.181) se obtiene finalmente,8><>:

�x = Cos (!t) �r0

�y = Sen (!t) �r0

�z = 2r0�r0(2.182)

que son los desplazamientos virtuales pedidos.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Figura (2.40): Dos partículas de masas m1 y m2 unidas por una barra telescópica de longitud ` = ` (t).

EJEMPLO 2.29Se tienen dos partículas de masas m1 y m2 que están unidas por

una barra telescópica, de longitud ` = ` (t), como se muestra en la figura 2.40. Deter-minar los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras presentes. Aquí � esun ángulo variable.

SOLUCION: se utilizarán coordenadas Cartesianas.

Desplazamientos reales arbitrarios: las posiciones �!r 1 y �!r 2 de las partículas vienendadas en coordenadas Cartesianas por,( �!r 1 = (x1; y1; z1)

�!r 2 = (x2; y2; z2)(2.183)

de manera que, (d�!r 1 = (dx1; dy1; dz1)d�!r 2 = (dx2; dy2; dz2)

(2.184)

son los desplazamientos reales arbitrarios de las partículas m1 y m2.

Ligaduras, grados de libertad y número mínimo de coordenadas generalizadas: en



el sistema dado están presentes K(h) = 3 ligaduras holónomas dadas por,

8>>><>>>:z1 = 0) f

(h)1 = z1 = 0, que fija a m1 sobre el plano xy.

z2 = 0) f(h)2 = z2 = 0, que fija a m2 sobre el plano xy.

(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2 = `2 (t)) f(h)3 = (x2 � x1)2 + (y2 � y1)2 � `2 (t) = 0,

que fija la posición de m1 con respecto a m2 o viceversa.

(2.185)

La ligaduras f (h)1 y f (h)2 son esclerónomas mientras que f(h)3 es reónoma por ser ` = ` (t),

de manera que el sistema es reónomo.

Como existen K(h) = 3 ligaduras holónomas entonces, a partir de (2.14), el númerode grados de liberdad es,

s = 3N �K(h) = 3 (2)� 3 = 3 (2.186)

y a partir de (2.56), e� = 3N �K(h) = 3 (2)� 3 = 3 (2.187)


Desplazamientos reales compatibles con las ligaduras: en este caso no es fácil susti-tuir la ligadura f

(h)3 en (2.184) para hacer que los desplazamientos sean compatibles

con las ligaduras. En este caso procede a encontrar un conjunto de coordenadasgeneralizadas para el sistema dado y se escriben las ecuaciones de transformacióncorrespondientes para luego encontrar los desplazamientos reales a partir de éstas. Sepueden tomar como coordenadas generalizadas las coordenadas de la posición dem1 y el ángulo � (pueden tomarse las de m2 y �). Las ecuaciones de transformación sepueden obtener fácilmente a partir de la figura 2.40 resultando,8>>>>>>>><>>>>>>>>:

x1 = x1

y1 = y1

z1 = 0

x2 = x1 + ` (t) Cos �

y2 = y1 + ` (t) Sen �

z2 = 0

(2.188)

Es fácil verificar que estas transformaciones satisfacen las ligaduras (2.185), lo cualindica que ya estas transformaciones las contienen. También es posible tomar como



coordenadas generalizadas x1,y1 y y2 de manera que,8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

x1 = x1

y1 = y1

z1 = 0

x2 = x1 +q`2 � (y2 � y1)2

y2 = y2

z2 = 0

(2.189)

Se usarán las transformaciones (2.188). Ahora, al sustituir éstas en (2.184) resulta,8<: d�!r 1 = (dx1; dy1; 0)

d�!r 2 =�dx1 � ` Sen �d� +

�`Cos �dt; dy1 + `Cos �d� +

�` Sen �dt; 0

�(2.190)

ya que d` =�`dt. Estos son los desplazamientos reales compatibles con las ligaduras de

las partículas m1 y m2.

Desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras: por último, los desplaza-mientos virtuales compatibles con las ligaduras se obtienen al congelar la ligadurareónoma. Por lo tanto, al hacer dt = 0 en (2.190) se obtiene finalmente,(

��!r 1 = (�x1; �y1; 0)��!r 2 = (�x1 � ` Sen ��; �y1 + `Cos ��; 0)

(2.191)

que son los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras pedidos.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Clasificación de los desplazamientos virtuales

Los desplazamientos virtuales se pueden clasificar en reversibles e irreversibles.

1. Reversibles: Son reversibles aquellos desplazamientos virtuales que pueden realizarseen un cierto sentido (�ri) y en su opuesto (��ri).

2. Irreversibles: Son irreversibles aquellos desplazamientos virtuales que se pueden re-alizar en un cierto sentido pero no en su opuesto, por impedirlo las ligaduras.

Las ligaduras bilaterales sólo permiten desplazamientos reversibles, mientras que lasligaduras unilaterales permiten desplazamientos virtuales reversibles e irreversibles.



2.13. Trabajo real y trabajo virtual

2.13.1. Trabajo Real

Desde los cursos básicos de Física se sabe que el trabajo mecánico dW

realizado por una fuerza�!F para desplazar a un cuerpo de masa m una

distancia d�!r viene dado por,

dW =�!F � d�!r = FdrCos� (2.192)

donde F y dr son los módulos de la fuerza�!F y el desplazamiento virtual d�!r

respectivamente, mientras que � es el ángulo entre ambos vectores. Estetrabajo dW será denominado, de aquí en adelante, como Trabajo Real.

Se le da este nombre puesto que el desplazamiento d�!r es un desplazamiento realde la partícula involucrada. Para un sistema de N partículas, como ya fue estudiadoen el capítulo 1, el trabajo real viene dado por,

Trabajo real

8<: dWi =�!F i � d�!r i para la i-ésima partícula

dW =NPi=1

dWi =NPi=1

�!F i � d�!r i para el sistema de partículas

(2.193)

2.13.2. Trabajo Virtual

Ahora bien, el Trabajo Virtual se define de la siguiente manera:

El trabajo virtual �W realizado por una fuerza�!F para desplazar una par-

tícula de masa m un desplazamiento virtual ��!r viene dado por,

�W =�!F � ��!r = F�rCos� (2.194)

donde F y �r son los módulos de la fuerza�!F y el desplazamiento virtual ��!r

respectivamente, mientras que � es el ángulo entre ambos vectores.

El trabajo virtual que efectúa un par�!C durante un desplazamiento virtual �

�!� del

cuerpo viene dado por,

�W =�!C � ��!� = C��Cos� (2.195)


2.14. ALGUNOS PRINCIPIOS MECÁNICOS BÁSICOS

donde C y �� son los módulos del par�!C y el desplazamiento virtual �

�!� respectiva-

mente, mientras que � es el ángulo entre ambos vectores.

Es importante hacer notar que, como los desplazamiento virtuales �r y �� en lasexpresiones (2.194) y (2.195) corresponden a movimientos ficticios, dichas expresionesno se podrán integrar.

2.14. Algunos principios mecánicos básicos

2.14.1. Principio de los Trabajos Virtuales

Si un sistema está en equilibrio traslacional significa que es nula la resultantede las fuerzas que actúan sobre cada partícula,

�!F i =

�!0 . Es obvio que en tal caso se

anulará también el producto escalar�!F i � ��!r i que es el trabajo virtual de la fuerza

�!F i

en el desplazamiento virtual ��!r i. La suma de estos productos nulos extendida a todaslas partículas será,

�W =

NXi=1

�!F i � ��!r i = 0 (2.196)

Hasta ahora nada se ha dicho que posea un contenido físico nuevo. Si se escribe�!F i como la suma de la fuerza aplicada

�!F(a)i y la de ligadura

�!F(lig)i ,

�!F i =

�!F(a)i +

�!F(lig)i (2.197)

la expresión (2.196) adopta la forma,

NXi=1

�!F(a)i � ��!r i +

NXi=1

�!F(lig)i � ��!r i = 0 (2.198)

Pueden existir sistemas en los que el trabajo virtual de las fuerzas de ligadura sea nu-lo. La ligadura del sólido rígido, los contactos sin rozamiento y la rodadura son algunasde las que tienen esta característica.

A la ligadura cuya fuerza de ligadura correspondiente no realiza trabajoen los desplazamientos virtuales se le denomina Ligadura Ideal.

Estas ligaduras son las ligaduras lisas estudiadas en la sección ??. De este modo,si una partícula se ve obligada a moverse sobre una superficie, la fuerza de ligaduraserá perpendicular a la misma, en tanto que el desplazamiento virtual deberá ser tan-gente y, por lo tanto, el trabajo virtual será nulo. Lo anterior deja de cumplirse si existen



fuerzas de rozamiento. Entonces, para sistemas de este tipo, la expresión (2.198) puedeescribirse como,

�W =NXi=1

�!F(a)i � ��!r i = 0 (2.199)

que suele denominarse Principio de los Trabajos Virtuales.

El Principio de los Trabajos Virtuales puede enunciarse de la manera siguiente,

Para que un sistema mecánico sometido a ligaduras lisas permanezcaen equilibrio debe cumplirse como condición necesaria y suficiente que seanule el trabajo del conjunto de fuerzas aplicadas sobre dicho sistema, paracualquier conjunto de desplazamientos virtuales compatibles con las ligadu-ras.

Se debe tener presente, además, que:

1. Los coeficientes de ��!r i no son ya nulos, es decir, en general�!F(a)i 6=

�!0 . En esencia,

esto se debe a que las ��!r i no son completamente independientes, sino que estánrelacionadas por las ligaduras. Es decir, para una fuerza total

�!F i sobre un punto

dado, se verifica que�!F i � ��!r i = 0 8i (no sumado); sin embargo, para la fuerza

aplicada correspondiente�!F(a)i en general es,

�!F(a)i � ��!r i 6= 0

En otras palabras, los términos individuales del trabajo virtual de las fuerzas apli-cadas no tienen por qué anularse, aunque la suma sí es siempre nula,

NXi=1

�!F(a)i � ��!r i = 0

2. Las fuerzas aplicadas�!F(a)i deben incluir tanto las externas como las internas que, en

un caso general, sí realizan trabajo virtual. Por el contrario, las fuerzas aplicadas�!F(a)i

excluyen a las fuerzas de reacción, que no desarrollan trabajo virtual. Sin embargo,a la hora de realizar los cálculos, las reacciones pueden ser incluidas en

�!F(a)i sin

producir alteración alguna ya que su trabajo virtual se anulará.



Por último, conviene notar que la ventaja del Principio de los Trabajos Virtuales esque plantea las condiciones para el equilibrio global del sistema sin emplear las reac-ciones de las ligaduras lisas, las cuales no hacen falta calcular en ningún momento.También pueden tratarse problemas con ligaduras no lisas usando (2.198).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.30Encuentre la relación entre las cantidades mostradas en la figura

2.41a para que el péndulo permanezca en equilibrio estático.

Figura (2.41): Péndulo en equilibrio estático. (a) Diagrama de cuerpo libre. (b) Diagrama con fuerzas ydesplazamientos virtuales.

SOLUCION: las reacciones, como la tensión de la cuerda, no realizan trabajo. Sinembargo, en los casos en los cuales no se tenga la seguridad de conocer las fuerzasque no realizan trabajo, todas estas pueden ser consideradas como aplicadas. En estecaso las fuerzas aplicadas son �!w y

�!F (no existen fuerzas inerciales) y la tensión

�!T esuna fuerza de reacción. Se resolverá el presente problema considerando la tensióncomo fuerza aplicada, aunque es obvio que no realiza trabajo. Supóngase un des-plazamiento virtual donde el ángulo � se incrementa una pequeña cantidad ��. Por lotanto, a partir del Principio de los Trabajos Virtuales (2.199) para N = 1 (una partícula),

N=1Xi=1

�!F(a)i � ��!r i =

�!F(a)1 � ��!r 1 = 0 (2.200)



pero,�!F(a)1 =

�!F +�!w +�!T (2.201)

entonces al sustituir (2.201) en (2.200) y observando los ángulos formados por los vec-tores involucrados a partir de la figura 2.41b,

�!F � ��!r 1| {z }

Trabajo virtual de�!F

+ �!w � ��!r 1| {z }Trabajo virtual de �!w

+�!T � ��!r 1| {z }

Trabajo virtual de�!T

= 0

F�r1Cos � + w�r1Cos��2+ ��+ T �r1Cos

�

2| {z }Ver figura 2.41b

= 0

F Cos ��r1 � w Sen ��r1 = 0

y finalmente,F = w tan � (2.202)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.31Una partícula de masa m unida elásticamente al origen 0 me-

diante la fuerza�!F e = �k�!r como se muestra en la figura 2.42, se desplaza sobre la

pared interna de un cilindro de radio R y altura H (el origen 0 está en el eje del cilin-dro) describiendo una trayectoria en forma de hélice circular de eje vertical z = � H

2�'.

Muestre que,

' =2�mg

kH

al alcanzarse el equilibrio, usando el Principio de los Trabajos Virtuales.SOLUCION: se usarán coordenadas cilíndricas con una prima en la coordenada ra-

dial para distinguirla del módulo r del vector de posición. En el sistema están presenteslas ligaduras siguentes K(h) = 2 ligaduras holónomas esclerónomas,8>>><>>>:

r0 = R) f(h)1 = r0 �R = 0, que es la superficie sobre la

cual se mueve la partícula (ecuación del cilindro).z = � H

2�') f

(h)2 = z + H

2�' = 0, que fija la trayectoriade

la partícula (ecuación de la hélice circular).

(2.203)

Nótese que ' es una de las coordenadas cilíndricas. En coordenadas cilíndricas laposición de la partícula viene dada por,8><>:

x = r0Cos'

y = r0 Sen'

z = z

(2.204)



Figura (2.42): Partícula moviéndose dentro de un cilindro con trayectoria helicoidal.

o,�!r 1 = r0Cos'bex + r0 Sen'bey + zbez (2.205)

donde el subíndice 1 indica que es el vector de posición de la partícula 1 del sistema(la partícula de masa m que es la única existente).

A partir de (2.204) los desplazamientos reales dx, dy y dz de la partícula vienen dadospor,

d�!r 1 = (Cos'dr0 � r0 Sen'd')| {z }dx

bex + (Sen'dr0 + r0Cos'd')| {z }dy

bey + dz|{z}dz

bez (2.206)

Los correspodientes desplazamientos reales compatibles con las ligaduras se obtienenal sustituir (2.203) en (2.206). En efecto,8><>:

dx = Cos'd (R)� (R) Sen'd' = �R Sen'd'dy = Sen'd (R) + (R) Cos'd' = RCos'd'

dz = d�� H2�'�= � H

2�d'

o,d�!r = �R Sen'd'bex +RCos'd'bey � H

2�d'bez (2.207)

y como ambas ligaduras presentes son esclerónomas, los desplazamientos viertualescoinciden con los desplazamientos reales,

��!r 1 = �R Sen'�'bex +RCos'�'bey � H

2��'bez (2.208)



Por otro lado, la fuerza total aplicada�!F(a)1 sobre la bolita viene dada por,

�!F(a)1 =

�!F(int)1 +

�!F(ext)1 = �k�!r 1 +m�!g (2.209)

donde, como ya se sabe del capítulo 1,�!F(int)1 es la resultante de las fuerzas internas

sobre la partícula 1 y�!F(ext)1 es la resultante de las fuerzas externas sobre la misma par-

tícula. Ahora, al introducir (2.205) en esta expresión teniendo presentes las ligaduras(2.203) y que �!g = �gbez resulta,

�!F(a)1 = �k

�RCos'bex +R Sen'bey � H

2�'bez�+m (�gbez)

= �kRCos'bex � kR Sen'bey + �kH2�

'�mg�bez (2.210)

que es la fuerza aplicada sobre la única partícula del sistema.

Finalmente, al sustituir (2.208) y (2.210) en la expresión (2.199) del Principio de losTrabajos Virtuales para N = 1 (una partícula) resulta,

N=1Xi=1

�!F(a)i � ��!r i = 0)

�!F(a)1 � ��!r 1 = 0

0 =

��kRCos'bex � kR Sen'bey + �kH

2�'�mg

�bez� � (�R Sen'�'bex +RCos'�'bey�H2��'bez�

0 =kH

2�'�mg

o,' =

2�mg

kH(2.211)

como se pedía mostrar.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

El Principio de los Trabajos Virtuales, tal cual fue formulado en el presente texto, es-tablece que la sumatoria de los trabajos virtuales realizados por las fuerzas presentessobre cada una de las partículas del sistema es nula. En el caso de un sistema forma-do por cuerpos rígidos, se procede primero a transformar el sistema dado a uno departículas mediante el cálculo del centro de masa de cada uno de los cuerpos rígidospresentes, de esta manera las fuerzas estarían ahora aplicadas sobre partículas. Conmucha frecuencia existen fuerzas que no quedan aplicadas sobre los centros de masa



y, por consiguiente, no quedan aplicadas sobre partícula alguna. Sin embargo, es posi-ble colocar más masas puntuales sin que la posición del centro de masa del sistemaconjunto se altere. La manera de lograr esto es suponer que las masas agregadasson despreciables, siendo tan pequeñas como se quiera. Esto no afecta el cálculo delos trabajos virtuales realizados por las fuerzas presentes ya que en su cálculo no estápresente la masa. Estas masas despreciables se colocarán en aquellos puntos dondehayan quedado fuerzas que no estén aplicadas sobre alguna partícula. Después dehecho todo esto, se procede a aplicar el Principio de los Trabajos Virtuales tal cual fueformulado anteriormente.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.32Una palanca horizontal de masa despreciable está en equilibrio

estático bajo la aplicación de las fuerzas verticales�!F 1 a una distancia `1 del punto de

apoyo y�!F 2 a una distancia `2 del mismo como se muestra en la figura 2.43. Utilizando

el Principio de los Trabajos Virtuales, encuentre cuál debe ser la relación entre estascantidades para que se mantenga el equilibrio.

SOLUCION: este sistema no es de masas puntuales. Para convertirlo en uno demasas puntuales se encuentra la posición del centro de masa de la barra (su masaes despreciable pero no nula). Supóngase que sea homogénea (si no lo es, se com-portará así debido a que su masa es despreciable), entonces su centro de masa estaráposicionado en su centro geométrico, es decir, en `1+`2

2.

Figura (2.43): Palanca horizontal en equilibrio estático.

Aquí las fuerzas aplicadas son el peso �!w = m�!g de la barra (despreciable) que esaplicado en el centro de masa de misma,

�!F 1 y

�!F 2. Se tiene, además, la fuerza de

reacción�!R en el punto de apoyo de la barra. Estas tres últimas fuerzas no quedan

aplicadas sobre una partícula después de haber hallado los centros de masa de ca-da uno de los cuerpos que componen al sistema (en este caso es sólo uno), entonces



en el lugar donde están aplicadas se colocarán masas despreciables adicionales,no alterándose con esto el sistema original. En la figura 2.44a se muestran las masasdespreciables agregadas: la masa despreciable m1 se posicionó en el punto de apli-cación de

�!F 1, la m2 en el punto de aplicación de

�!F 2 y m3 en el punto de aplicación

de�!R. La masa M (que también es despreciable debido a la información dada en el

enunciado) representa la masa de la barra. El sistema dado se ha convertido ahoraen un sistema de 4 partiículas de masas m1 posicionada en �!r 1, m2 posicionada en �!r 2,m3 posicionada en �!r 3 y m4 =M posicionada en �!r 3 =

�!R (centro de masa). En la figura

2.44b se muestran sus vectores de posición, los desplazamientos virtuales y las fuerzasinvolucradas.

Figura (2.44): (a) Sistema de partículas equivalente al sistema dado. (b) Vectores de posición y despla-zamientos virtuales.

Las fuerza de reacción�!R no realiza trabajo. Sin embargo, en los casos donde no

se esté seguro de cuáles fuerzas no realizan trabajo, las fuerzas de reación se puedenconsiderar dentro de las aplicadas. En este caso se tomarán todas las fuerzas existentescomo aplicadas.

Cálculo de los desplazamientos virtuales: para encontrar los desplazamientos vir-tuales primero es necesario encontrar los desplazamientos reales. Supóngase que lapalanca realiza un desplazamiento infinitesimal d�!r (ver figura 2.44b), rotando en elsentido horario con respecto a su punto de apoyo un ángulo infinitesimal d� de mane-



ra que, 8>>><>>>:dr1 = `1d�

dr2 = `2d�

dr3 = 0

dr4 = dR = 12(`1 + `2) d�

(2.212)

donde dR es el módulo del desplazamiento real del vector de posición�!R del centro

de masa. Estos son los desplazamientos reales compatibles con la ligadura puesto quela contienen. Como la ligadura presente es esclerónoma, los desplazamientos realescoinciden con los virtuales. Por lo tanto,8>>><>>>:

�r1 = `1��

�r2 = `2��

�r3 = 0

�r4 = �R = 12(`1 + `2) ��

(2.213)

que son los desplazamientos virtuales compatibles con la ligadura presente.

Fuerzas involucradas: las fuerzas presentes en el sistema son,8>>>><>>>>:

�!F(a)1 =

�!F 1�!

F(a)2 =

�!F 2�!

F(a)3 =

�!R�!F(a)4 = �!w =M�!g ' �!0 por ser despreciable

(2.214)

Aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales: a partir del Principio de los Traba-jos Virtuales (2.199) con N = 4 (cuatro partículas),

N=4Xi=1

�!F(a)i � ��!r i =

�!F(a)1 � ��!r 1 +

�!F(a)2 � ��!r 2 +

�!F(a)3 � ��!r 3 +

�!F(a)4 � ��!r 4 = 0 (2.215)

Ahora, al sustituir (2.214) en (2.215) resulta,

��!F 1

�� !r 1| {z }

Trabajo virtual de�!F 1

+��!F 2

�� !r 2| {z }

Trabajo virtual de�!F 2

+��!R� � ��!r 3| {z }

Trabajo virtual de�!R

+��!0�� !r 4| {z }

Trabajo virtual de �!w

= 0

F1�r1Cos � + F2�r2Cos 0 +R�r3Cos��!R;�!r 3�| {z }

Ver figuras 2.44a y b para visualizar los ángulos involucrados

= 0

�F1�r1 + F2�r2 +R�r3Cos��!R;�!r 3� = 0 (2.216)



donde��!R;�!r 3� representa el ángulo entre los vectores

�!R y �!r 3. Al sustitituir aquí losdesplazamientos virtuales (2.213) resulta finalmente,

�F1 (`1��) + F2 (`2��) +R (0)Cos��!R;�!r 3� = 0

(�F1`1 + F2`2) �� = 0

o,F1`1 = F2`2 (2.217)

resultado conocido de los cursos básicos de Física General.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.33Encuentre el valor del ángulo � para que el sistema mostrado en

la figura 2.45 permanezca en equilibrio. Las dos barras mostradas son homogéneas,de masa m y longitud A. La masa y el radio de la rueda son despreciables.

Figura (2.45): Mecanismo de barras homogéneas en equilibrio.

SOLUCION: lo primero que se debe hacer es transformar el sistema dado en unsistema equivalente formado sólo por masas puntuales. Con este fin se encuentranlos centros de masa de las barras y de la rueda. Como las barras son homogéneas,sus centros de masa se ecuentran en sus respectivos centros geométricos, es decir, a12A. El centro de masa de la rueda será el punto que la representa. En la figura 2.46

se muestran los centros de masas involucrados y sus vectores de posición respecto alreferencial indicado. Se han agregado las masas despreciables m3 en el soporte fijo ym4 en el lugar de la rueda. Ahora el sistema dado se a reemplazado por un sistema de4 partículas.



Figura (2.46): Centros de masa de los componentes del sistema, sus vectores de posición, los correspon-dientes desplazamientos virtuales y las fuerzas involucradas.

Esta vez, en vez de encontrar los ángulos formados entre los desplazamientos vir-tuales y las fuerzas como en los ejemplos anteriores, todo será desarrollado en formade componentes.

Cálculo de los desplazamientos virtuales: para encontrar los desplazamientos vir-tuales primero es necesario encontrar los desplazamientos reales. De la figura 2.46 esfácil deducir que,

8>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>:

x1 = xcm1 =12A Sen

��2

�y1 = ycm1 = �1

2ACos

��2

�x2 = xcm2 =

32A Sen

��2

�y2 = ycm2 = �1

2ACos

��2

�x3 = 2A Sen

��2

�y3 = 0

x4 = 0

y4 = 0

(2.218)

por lo tanto, 8>>>><>>>>:�!r 1 =

�!R 1 = xcm1bex + ycm1bey = 1

2A Sen

��2

� bex � 12ACos

��2

� bey�!r 2 =

�!R 2 = xcm2bex + ycm2bey = 3

2A Sen

��2

� bex � 12ACos

��2

� bey�!r 3 = x3bex + y3bey = 2A Sen ��2 � bex�!r 4 = x4bex + y4bey = �!0

(2.219)



entonces, 8>>>><>>>>:d�!R 1 =

14ACos

��2

�d�bex + 1

4A Sen

��2

�d�bey

d�!R 2 =

34ACos

��2

�d�bex + 1

4A Sen

��2

�d�bey

d�!r 3 = ACos��2

�d�bex

d�!r 4 =�!0

(2.220)

Como las ligaduras presentes son esclerónomas entonces los desplazamientos realescoinciden con los virtuales. Por lo tanto,8>>>><>>>>:

��!R 1 =

14ACos

��2

��bex + 1

4A Sen

��2

��bey

��!R 2 =

34ACos

��2

��bex + 1

4A Sen

��2

��bey

��!r 3 = ACos��2

��bex

��!r 4 =�!0

(2.221)

Fuerzas involucradas: las fuerzas expresadas en componentes vienen dadas por,8>>>><>>>>:

�!F(a)1 = �!w 1 = �w1bey�!

F(a)2 = �!w 2 = �w2bey�!

F(a)3 =

�!F +

�!R3 = Fbex +R3bey�!F(a)4 =

�!R4 = R4bey(2.222)

donde las reacciones�!R1 y

�!R2 fueron consideradas dentro de las fuerzas aplicadas apesar de no serlo, como se ha venido haciendo desde los anteriores ejemplos.

Aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales: a partir del principio de los traba-jos virtuales (2.199) con N = 4 (cuatro partículas),

N=4Xi=1

�!F(a)i � ��!r i =

�!F(a)1 � ��!r 1 +

�!F(a)2 � ��!r 2 +

�!F(a)3 � ��!r 3 +

�!F(a)4 � ��!r 4 = 0 (2.223)

Ahora, al sustituir (2.221) y (2.222) en (2.223) resulta,

0 = (�w1bey) � �14ACos

��2

��bex + 1

4A Sen

��2

��bey�+ (�w2bey) � �3

4ACos

��2

��bex

+1

4A Sen

��2

��bey�+ (Fbex +R3bey) � hACos��

2

��bexi+ (R4bey) � ��!0 �

0 =

��w1

1

4A Sen

��2

�� w2

1

4A Sen

��2

�+ FACos

��2

��

0 = �w11

4Sen

��2

�� w2

1

4Sen

��2

�+ F Cos

��2

�(2.224)

pero w1 =M1g = mg y w2 =M2g = mg entonces,

� 12mg Sen

��2

�+ F Cos

��2

�= 0

tan��2

�=

2F

mg(2.225)



o,

� = 2 tan�1�2F

mg

�(2.226)

que es el águlo pedido. Nótese que es independiente de la longitud de las barras.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.14.2. Principio de D’Alembert

Se extenderá el principio de los trabajos virtuales (que se refiere a sistemas es-táticos) a sistemas dinámicos. Para realizar esto, se recurrirá a un artificio ideado ini-cialmente por Bernoulli10 y perfeccionado después por D’Alembert11.

La segunda ley de Newton establece que,

�!F i =

��!p i (2.227)

de donde se tiene que,�!� i =

�!F i �

��!p i =�!0 (2.228)

Es decir, que si cada partícula i-ésima estuviera sometida a una fuerza neta dada por�!� i el sistema estaría en equilibrio estático instantáneamente (las partículas del sistemaestarán en equilibrio bajo los efectos de la fueza real

�!F i y de otra “fuerza efectiva

invertida” ��!p i). Considerada desde este punto de vista, la dinámica se reduce a la

estática.

La fuerza�!� i debe cumplir con lo establecido en el principio de los trabajos virtuales

(2.199), por lo tanto,NXi=1

�!� i � ��!r i = 0 (2.229)

entonces,NXi=1

��!F i �

��!p i

�� !r i = 0 (2.230)

10Daniel Bernoulli ( 8 de febrero de 1700 - 17 de marzo de 1782) fue un matemático, estadístico, físicoy médico holandés/suizo. Destacó no sólo en matemática pura, sino también en las aplicadas. Hizoimportantes contribuciones en hidrodinámica y elasticidad.

11Jean le Rond D’Alembert (París, 16 de noviembre 1717 - ídem, 24 de octubre 1783) matemático y filósofofrancés. Uno de los máximos exponentes del movimiento ilustrado, concibe las Ciencias como un todointegrado y herramienta para el progreso de la Humanidad.



pero de (2.197),�!F i =

�!F(a)i +

�!F(lig)i (2.231)

donde�!F(a)i es la fuerza aplicada y

�!F(lig)i es la de ligadura, entonces,

NXi=1

��!F(a)i +

�!F(lig)i �

��!p i

�� !r i =

NXi=1

��!F(a)i �

��!p i

�� !r i +

NXi=1

�!F(lig)i � ��!r i = 0 (2.232)

Ahora, considerando sistemas en los que el trabajo virtual de las fuerzas de ligaduraes nulo resulta,

NXi=1

��!F(a)i �

��!p i

�� !r i = 0 (2.233)

que suele llamarse Principio de D’Alembert. Aquí las��!p i, como ya se mencionó, son las

fuerzas inerciales dadas por,��!p i = mi

��!r i (2.234)

si las mi no varían.

El Principio de D’Alembert puede enunciarse de la manera siguiente:

En un sistema mecánico sometido a ligaduras lisas, la evolución dinámi-ca del sistema está determinada, como condición necesaria y suficiente,por la anulación en todo instante del trabajo de las fuerzas aplicadas más eltrabajo de las fuerzas inerciales para cualquier conjunto de desplazamientosvirtuales compatibles con las ligaduras.

En el principio de D’Alembert las fuerzas inerciales12 d�!p idt=

��!p i aparecen al mismonivel de la fuerzas aplicadas

�!F i, reduciendo el problema dinámico a un problema

estático.

Se debe tener presente, además, que:

1. Para una partícula dada (por ejemplo la i-ésima) sería, en general,��!F(a)i �

��!p i

�� !r i 6= 0

12Todos los cuerpos tienen una tendencia a permanecer en su estado de reposo o de movimiento rectilí-neo y uniforme. Se puede pensar en esto como una resistencia inercial al cambio o, en otras palabras,en una fuerza inercial. La forma más conocida de la fuerza inercial es la fuerza centrífuga.



es decir, que el sumando individual del trabajo virtual no se anula necesariamente,aunque la suma extendida a todo el sistema sí se anula siempre.

2. Aplica la misma observación realizada arriba para el principio de los trabajos vir-tuales sobre la naturaleza de las fuerzas

�!F(a)i .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.34Encuentre, usando el Principio de D’Alembert, la aceleración del

sistema de dos masas m1 y m2 mostrado en figura 2.47(a). Las masas están unidas poruna cuerda de longitud ` que pasa a través de una polea (de diámetro despreciable).Suponga que la cuerda es indeformable y que no existe fricción alguna.

Figura (2.47): Sistema de dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda que pasa a través de una polea dediámetro despreciable.

SOLUCION: en la figura 2.47(b) se muestran los vectores de posición de cada masay las fuerzas presentes, mientras que en la figura 2.47(c) se muestran los vectores deposición y los correspondientes desplazamientos virtuales. Aquí las fuerzas aplicadasson los pesos �!w 1 = m1

�!g , �!w 2 = m2�!g de cada masa. La tensión

�!T , que es una fuerzade reacción, va a ser considerada dentro de las aplicadas. Las fuerzas inerciales sonel producto de cada masa por su correspondiente aceleración. Al aplicar el principiode D’Alembert (2.233) para N = 2 (dos partículas) resulta,

N=2Xi=1

��!F(a)i �

��!p i

�� !r i = 0�

�!F(a)1 �

��!p 1�� !r 1 +

��!F(a)2 �

��!p 2�� !r 2 = 0 (2.235)



pero,

�!F(a)1 = m1

�!g +�!T 1 (2.236)�!F(a)2 = m2

�!g +�!T 2 (2.237)

entonces de (2.235) resulta,�m1�!g +�!T 1 �m1

��!r 1�� !r 1 +

�m2�!g +�!T 2 �m2

��!r 2�� !r 2 = 0 (2.238)

y al desarrollar los productos escalares resulta,

m1�!g � ��!r 1 +

�!T 1 � ��!r 1 �m1

��!r 1 � ��!r 1 +m2�!g � ��!r 2 +

�!T 2 � ��!r 2 �m2

��!r 2 � ��!r 2 = 0

m1g�r1Cos 0 + T1�r1Cos � �m1��r 1�r1Cos 0 +m2g�r2Cos 0 + T2�r2Cos � �m2

��r 2�r2Cos 0| {z }

Ver figura 2.47(c)

= 0

m1g�r1 � T1�r1 �m1��r 1�r1 +m2g�r2 � T2�r2 �m2

��r 2�r2 = 0 (2.239)

pero, de la figura 2.47,r1 + r2 = ` (2.240)

de manera que,

r1 + r2 = `)(�r1 + �r2 = 0) �r2 = ��r1��r 1 +

��r 2 = 0)

��r 2 = �

��r 1

(2.241)

Entonces, al sustituir (2.241) en (2.239) y teniendo presente que T2 = T1 (cuerdaindeformable) resulta,

m1g�r1 � T1�r1 �m1��r 1�r1 +m2g (��r1)� (T1) (��r1)�m2

��r 1

�(��r1) = 0�

m1g �m1��r 1 �m2g �m2

��r 1

��r1 = 0

m1g �m1��r 1 �m2g �m2

��r 1 = 0

o,��r 1 =

g (m1 �m2)

m1 +m2

(2.242)

y al usar la seguda de las expresiones (2.241),

��r 2 =

g (m2 �m1)

m1 +m2

(2.243)

El resultado (2.242) indica la aceleración si el sistema se mueve en la dirección de�!r 1 y el (2.243) si lo hace en la dirección de �!r 2. Estos son los resultados conocidos, paraeste sistema de partículas, del curso de Física elemental.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 2.35Encuentre la aceleración del sistema que se muestra en la figura

2.48(a), usando el Principio de D’Alembert. Suponga que no existe fricción y que lacuerda es indeformable, de longitud `.

Figura (2.48): Dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda que pasa a través de una polea y donde unade las masas se desliza sobre un plano inclinado.

SOLUCION: en la figura 2.48(b) se muestran los vectores de posición de cada masay las fuerzas presentes, mientras que en la figura 2.48(c) se muestran los vectores deposición y los correspondientes desplazamientos virtuales. Aquí las fuerzas aplicadasson los pesos �!w 1 = m1


�!T y la normal�!N , que

son fuerzas de reacción, van a ser consideradas dentro de las aplicadas. Las fuerzas in-erciales son el producto de cada masa por su correspondiente aceleración. Al aplicarel principio de D’Alembert (2.233) para N = 2 (dos partículas) resulta,

N=2Xi=1

��!F(a)i �

��!p i

�� !r i = 0�

�!F(a)1 �

��!p 1�� !r 1 +

��!F(a)2 �

��!p 2�� !r 2 = 0 (2.244)

pero,

�!F(a)1 = m1

�!g +�!T 1 +�!N (2.245)

�!F(a)2 = m2

�!g +�!T 2 (2.246)



de manera que, al sustituir (2.245) y (2.246) en (2.244) resulta,

0 =

�m1�!g +�!T 1 +

�!N �m1

��!r 1�� !r 1 +

�m2�!g +�!T 2 �m2

��!r 2�� !r 2

0 = m1�!g � ��!r 1 +

�!T 1 � ��!r 1 +�!N � ��!r 1 �m1

��!r 1 � ��!r 1 +m2�!g � ��!r 2 +

�!T 2 � ��!r 2

�m2

��!r 2 � ��!r 2

0 = m1g�r1Cos��2� �

�+ T1�r1Cos � +N�r1Cos

�

2�m1

��r 1�r1Cos 0 +m2g�r2Cos 0

+T2�r2Cos � �m2��r 2�r2Cos 0

0 = m1g�r1 Sen�� T1�r1 �m1��r 1�r1 +m2g�r2 � T2�r2 �m2

��r 2�r2 (2.247)

pero, de la figura 2.48,

r1 + r2 = ` (2.248)

de manera que,

r1 + r2 = `)(�r1 + �r2 = 0) �r2 = ��r1��r 1 +

��r 2 = 0)

��r 2 = �

��r 1

(2.249)

entonces, al sustituir (2.248) y (2.249) en (2.247) y teniendo presente que T2 = T1 (cuerdaindeformable) resulta,

m1g�r1 Sen�� T1�r1 �m1��r 1�r1 +m2g (��r1)� T1 (��r1)�m2

��r 1

�(��r1) = 0�

m1g Sen��m1��r 1 �m2g �m2

��r 1

��r1 = 0

m1g Sen��m1��r 1 �m2g �m2

��r 1 = 0

o,��r 1 =

g (m1 Sen��m2)

m1 +m2

(2.250)

y al usar la seguda de las expresiones (2.249),

��r 2 =

g (m2 �m1 Sen�)

m1 +m2

(2.251)

El resultado (2.250) indica la aceleración si el sistema se mueve en la dirección de�!r 1 y el (2.251) si lo hace en la dirección de �!r 2. Estos son los resultados conocidos, paraeste sistema de partículas, del curso de Física elemental.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



EJEMPLO 2.36Encuentre la aceleración del sistema que se muestra en la figu-

ra 2.14.2(a), usando el Principio de D’Alembert. Suponga que existe fricción y que lacuerda es indeformable, de longitud `.

SOLUCION: en la figura 2.14.2(b) se muestran los vectores de posición de cadamasa, los desplazamientos virtuales y las fuerzas presentes. Aquí las fuerzas aplicadasson los pesos �!w 1 = m1


�!T , la normal�!N y la

fricción�!F f , que son fuerzas de reacción, van a ser consideradas dentro de las apli-

cadas. Las fuerzas inerciales son el producto de cada masa por su correspondienteaceleración. Al aplicar el principio de D’Alembert (2.233) para N = 2 (dos partículas)resulta,

N=2Xi=1

��!F(a)i �

��!p i

�� !r i = 0�

�!F(a)1 �

��!p 1�� !r 1 +

��!F(a)2 �

��!p 2�� !r 2 = 0 (2.252)

pero,

�!F(a)1 = m1

�!g +�!T 1 +�!N +

�!F f1 (2.253)

�!F(a)2 = m2

�!g +�!T 2 +�!F f2 (2.254)

de manera que, al sustituir (2.253) y (2.254) en (2.252) resulta,

0 =

�m1�!g +�!T 1 +

�!N +

�!F f1 �m1

��!r 1�� !r 1 +

�m2�!g +�!T 2 +

�!F f2 �m2

��!r 2�� !r 2

0 = m1�!g � ��!r 1 +

�!T 1 � ��!r 1 +�!N � ��!r 1 +

�!F f1 � ��!r 1 �m1

��!r 1 � ��!r 1 +m2�!g � ��!r 2 +

�!T 2 � ��!r 2

+�!F f2 � ��!r 2 �m2

��!r 2 � ��!r 20 = m1g�r1Cos

��2� '

�+ T1�r1Cos � +N�r1Cos

�

2+ Ff1�r1Cos �f1 �m1

��r 1�r1Cos 0

+m2g�r2Cos��2� ��+ T2�r2Cos � + Ff2�r2Cos �f2 �m2

��r 2�r2Cos 0



donde �f1 y �f2 son los ángulos que forman�!F f1 y

�!F f2 con ��!r 1 y ��!r 2 respectivamente,

los cuales tomarán valores de 0 o � dependiendo en qué sentido se mueva el sistema(debe recordarse que la fuerza de fricción siempre es opuesta al sentido del movi-miento). Por lo tanto,

0 = m1g�r1 Sen'� T1�r1 + Ff1�r1Cos �f1 �m1��r 1�r1 +m2g�r2 Sen � + Ff2�r2Cos �f2

�T2�r2 �m2��r 2�r2 (2.255)

pero, de la figura 2.14.2,r1 + r2 = ` (2.256)

de manera que,

r1 + r2 = `)(�r1 + �r2 = 0) �r2 = ��r1��r 1 +

��r 2 = 0)

��r 2 = �

��r 1

(2.257)

entonces, al sustituir (2.256) y (2.257) en (2.255) y teniendo presente que T1 = T2 (cuerdaindeformable) resulta,

0 = m1g�r1 Sen'� T1�r1 + Ff1�r1Cos �f1 �m1��r 1�r1 +m2g (��r1) Sen �

+Ff2 (��r1) Cos �f2 � (T1) (��r1)�m2

��r 1

�(��r1)

0 =�m1g Sen'+ Ff1Cos �f1 �m1

��r 1 �m2g Sen � � Ff2Cos �f2 �m2

��r 1

��r1

0 = m1g Sen'+ Ff1Cos �f1 �m1��r 1 �m2g Sen � � Ff2Cos �f2 �m2

��r 1 (2.258)

que da la aceleración si el sistema se mueve en la dirección de �!r 1. En este caso lafuerza de fricción

�!F f1 formará un ángulo �f1 = � con respecto a �!r 1 y la fuerza de

fricción�!F f2 formará un ángulo �f2 = 0 con respecto a �!r 2. Por esta razón, la expresión

(2.258) se puede escribir ahora como,

m1g Sen'� Ff1 �m1��r 1 �m2g Sen � � Ff2 �m2

��r 1 = 0

o,��r 1 =

g (m1 Sen'�m2 Sen � � Ff1 � Ff2)m1 +m2

(2.259)

Por otro lado, al sustituir (2.257) en (2.255) de tal manera que sólo aparezca��r 2y

teniendo presente que T2 = T1,

0 = m1g�r1 Sen'� T1�r1 + Ff1�r1Cos �f1 �m1

��r 2

��r1 +m2g (��r1) Sen �

+Ff2 (��r1) Cos �f2 � (T1) (��r1)�m2��r 2 (��r1)

0 =�m1g Sen'+ Ff1Cos �f1 +m1

��r 2 �m2g Sen � � Ff2Cos �f2 +m2

��r 2

��r1

0 = m1g Sen'+ Ff1Cos �f1 +m1��r 2 �m2g Sen � � Ff2Cos �f2 +m2

��r 2 (2.260)



que da la aceleración si el sistema se mueve en la dirección de �!r 2. En este caso lafuerza de fricción

�!F f1 formará un ángulo �f1 = 0 con respecto a �!r 1 y la fuerza de

fricción�!F f2 formará un ángulo �f2 = � con respecto a �!r 2. Por esta razón, la expresión

(2.260) se puede escribir ahora como,

��r 2 =

g (m2 Sen � �m1 Sen'� Ff1 � Ff2)m1 +m2

(2.261)

El resultado (2.259) indica la aceleración si el sistema se mueve en la dirección de�!r 1 y el (2.261) si lo hace en la dirección de �!r 2. Estos dos resultados son los conocidos,para este sistema de partículas, del curso de Física elemental.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

El Principio de D’Alembert (2.233) debe considerarse como un principio básico dela Dinámica, alternativo a las leyes de Newton. Como caso particular, el Principio deD’Alembert da lugar al Principio de los Trabajos Virtuales estudiado en la sección an-terior.

Al igual que el Principio de los Trabajos Virtuales, el Principio de D’Alembert permiteexpresar la dinámica global del sistema en forma compacta, eliminando las fuerzasde reacción de las ligaduras lisas.

Cuando lo que se busca es precisamente calcular el valor de alguna reacción,es posible realizarlo mediante trabajos virtuales empleando un artificio. Para ello, seconsidera esta ligadura “liberada” y la fuerza de reacción como una fuerza aplicadanormal, que tendría el efecto precisamente de la ligadura, lo cual permite tomar ��!r ivulnerando la ligadura. De esta manera, la reacción correspondiente sí realiza trabajovirtual y la expresión de los trabajos virtuales (2.199) o (2.233) permite calcular al finaldicha reacción.

La importancia de los métodos basados en los trabajos virtuales radica en que per-miten obtener formulaciones prácticas muy generales para la estática o la dinámicade sistemas con varias partículas (las ecuaciones de Lagrange, por ejemplo, que seránestudiadas en el capítulo 5). Asimismo son la base de métodos numéricos, muy exten-didos en la práctica, para la resolución de problemas con numerosos grados de liber-tad como es el caso del Método de los Elementos Finitos. Estos métodos son de unagran importancia en la Mecánica Computacional y en el cálculo de las estructuras.



2.14.3. Principio de Ostrogradski-Hamilton o de Acción Estacionaria

Antes de establecer el Principio de Ostrogradski-Hamilton es necesario aclararla definición de Acción,

En la Física, la Acción S es la magnitud que expresa el producto de laenergía implicada en un proceso por el tiempo que dura este proceso.

Se puede clasificar según el lapso de tiempo considerado en acción instantánea,acción promedio, etc. La acción es una magnitud física que no es directamente me-dible, aunque puede ser calculada a partir de cantidades medibles. Entre otras cosas,eso significa que no existe una escala absoluta de la acción, ni puede definirse sin am-bigüedad un cero u origen de esta magnitud. La constante de Planck es el cuanto deacción.

A pesar de lo diferentes que resultan tanto en sus aplicaciones como en algunosde sus principios la mecánica clásica, la mecánica relativista o la mecánica cuántica,todas las ecuaciones de evolución de los sistemas dentro de las mismas parecen deri-vables del principio de mínima acción aplicado a una acción de la forma adecuada,escogiendo bien el lagrangiano. Eso ha hecho que la acción sea vista como uno delos principios físicos más esenciales y de mayor generalidad conocida.

La primera formulación del principio de Ostrogradski-Hamilton se debe a Pierre-LouisMoreau de Maupertuis (1744)13, que dijo que la "naturaleza es económica en todas susacciones"(D’Alembert había formulado un año antes el principio que lleva su nombregeneralizando las leyes de Newton). Entre los que desarrollaron la idea se incluyenEuler y Leibniz14. Anteriormente, Pierre de Fermat había introducido la idea de que losrayos de la luz, en situaciones ópticas tales como la refracción y la reflexión, seguíanun principio de menor tiempo.

El Principio de Hamilton o de acción estacionaria condujo al desarrollo de las for-mulaciones Lagrangiana y Hamiltoniana de la Mecánica Clásica. Aunque sean al prin-cipio más difíciles de captar, tienen la ventaja que su cosmovisión es más transferiblea los marcos de la Teoría de la Relatividad y la Mecánica Cuántica que la de las leyesde Newton.

13Pierre Louis Moreau de Maupertuis (7 de julio de 1698, Saint-Malo — 27 de julio de 1759) Filósofo,matemático y astrónomo francés.

14Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue unfilósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán. Fue uno de los grandes pensadores del sigloXVII y XVIII, y se le reconoce como el "último genio universal".



El Principio de Ostrogradski-Hamilton puede enunciarse así:

De todas las trayectorias posibles (compatibles con las ligaduras) quepuede seguir un sistema dinámico para desplazarse de un punto a otro enun intervalo de tiempo determinado, la trayectoria verdaderamente segui-da es aquella que hace mínima la acción dada por la integral temporal dela diferencia entre las energías cinética T y potencial U .

S =

Z t2

t1

(T � U) dt (2.262)

Más adelante, en el capítulo 3, se estudiarán las herramientas matemáticas quepermiten hallar los valores extremales (máximos y mínimos) de expresiones integralescomo la (2.234), llamadas Funcionales Integrales.



2.15. Problemas

1. Mostrar que la ecuación de movimiento del péndulo simple de masa m y longitud `

mostrado en la figura 2.49, aplicando el Principio de D’Alembert y suponiendo que� es pequeño, viene dada por,

�� +

g

`� = 0


2. Utilice el Principio de D’Alembert para mostrar que el valor de �, en la posición deequilibrio, de un punto de masa m situado en el interior de una semiesfera huecade radio R que gira con velocidad angular ! constante alrededor del eje vertical(ver figura 2.50) viene dado por,

� =�1Cos

� g

R!2

�Supóngase que no existre fricción alguna y ubíquese el origen del sistema de coor-denadas de referencia en el centro de la base de la semiesfera.

3. Dos partículas de masas m1 y m2 están colocadas sobre un plano inclinado doblesin rozamiento y están unidas por una cuerda indeformable de masa despreciableque pasa sobre una polea liviana (ver figura 2.51). Usar el Principio de los TrabajosVirtuales para mostrar que en el equilibrio,

Sen'

Sen �=m2

m1


2.15. PROBLEMAS


Figura (2.51): Problemas 3 y 4.

En caso de estar en movimiento a velocidad constante, esta condición se cumpletanto si el sistema se mueve hacia la derecha como hacia la izquierda.Ubíquese elorigen del sistema de coordenadas de referencia en el centro de la polea.

4. Usar el Principio de D’Alembert para mostrar que, una vez en movimiento, para elsistema mostrado en la figura 2.51 (ver problema 3) se tiene que las aceleracionesde las partículas vienen dadas por,

��r 1 =

g (m1 Sen'�m2 Sen �)

m1 +m2

��r 2 =

g (m2 Sen � �m1 Sen')

m1 +m2

donde��r 1 es la aceleración del sistema si éste se mueve hacia la izquierda y

��r 2 es la

aceleración si lo hace hacia la derecha.

5. Una cuerda indeformable de masa despreciable y longitud ` que pasa sobre unperno liso en B (ver figura 2.52) conecta una masa m1 sobre un plano inclinado unángulo � sin rozamiento, a otra masam1. Usando el Principio de los Trabajos Virtuales,mostrar que las masas estarán en equilibrio si,

m2 = m1 Sen �



Figura (2.52): Problemas 5.

Supóngase que no existe fricción alguna y ubíquese el origen del sistema de coor-denadas de referencia en el centro de la polea.

6. Una escalera AB, de longitud ` y de masa m, tiene sus extremos apoyados sobreuna pared vertical y sobre el piso (ver figura 2.53). El pie de la escalera está sujetomediante una cuerda indeformable de masa despreciable a la base C de la paredde forma que la escalera hace un ángulo � con el piso. Usando el Principio de losTrabajos Virtuales, mostrar que la tensión T de la cuerda viene dada por,

T = 1

2mg cot�

Ubíquese el origen del sistema de coordenadas de referencia en el punto C.


7. Una bolita de masa m está ensartada en un alambre liso cuya forma es la de unaparábola de ecuación y = 2ax2 y gira con velocidad angular constante ! alrededorde su eje de simetría vertical (ver figura 2.54). Mostrar, usando el Principio de los


2.15. PROBLEMAS

trabajos Virtuales, que el valor de ! para el cual la bolita estará en equilibrio encualquier posición viene dado por,

! = 2pag


8. Mostrar que si el plano inclinado del problema 5 tiene un coeficiente de rozamientoestático �s se tiene que,

m2 = m1 (Sen � � �sCos �)

en el caso de que la tendencia de movimiento del sistema sea hacia la derecha y,

m2 = m1 (Sen � + �sCos �)

en el caso que sea hacia la izquierda.

9. Decidir si la ligadura,f (x; y) = ydx+

�1 + x2

�dy = 0

presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas x yy es semi-holónoma o no-holónoma. Si es semi-holónoma, intégrela. Resp.: es semi-holónoma, f = ln jyj+ tan�1 x+ c = 0, donde c es una constante.

10. La figura 2.55 muestra un péndulo simple formado por una masa puntual m unidaa un punto fijo O por medio de una cuerda de masa despreciable y longitud `. Lamasa se mueve en el plano yz. Obtener para este sistema: (a) las ligaduras pre-sentes, (b) el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas



generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coorde-nadas generalizadas propias, así como la expresión de las coordenadas cartesianasen función de ellas (ecuaciones de transformación).


11. La figura 2.56 muestra una máquina de Atwood simple que consiste en dos masaspuntuales m1 y m2 unidas por una cuerda de longitud ` de masa despreciable quepasa a través de una polea de masa y radio despreciables. Las masas se muevenen el plano xy. Obtener para este sistema: (a) las ligaduras presentes, (b) el númerode grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas nece-sarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coordenadas generalizadaspropias, así como la expresión de las coordenadas cartesianas en función de ellas(ecuaciones de transformación).

12. La figura 2.57 muestra un regulador centrífugo con masas m1 = m2 = m que giracon velocidad angular constante !. Obtener para este sistema: (a) las ligaduras pre-sentes, (b) el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadasgeneralizadas necesarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coorde-nadas generalizadas propias, así como la expresión de las coordenadas cartesianasen función de ellas (ecuaciones de transformación).

13. Muestre que la ecuación de ligadura para el mecanismo biela-manivela mostradoen la figura 2.58 viene dada por,

x�R

0@Cos � +s�

L

R

�2� Sen2 �

1A = 0


2.15. PROBLEMAS


donde x es pa posición del pistón respecto al origen del sistema de referencia. ¿Esholónoma, no holónoma o semi-holónoma?. Explique.

14. Un sistema está formado por dos varillas (de masas despreciables) fijas y lisas L1 yL2 en ángulo recto, una respecto de la otra, unidas entre sí como se muestra en lafigura 2.59.En la barra L1 está ensartada una cuenta de masa m1 que se mueve porella y cuya posición viene dada por,

y1 = ACos (!t)

donde ! y A son constantes. En la barra L2 se encuentra ensartada una cuenta demasa m2 que se mueve por ella y cuya posición viene dada por,

x2 = B Sen (!t)

donde B es una costante. Obtener para este sistema: (a) las ligaduras presentes,(b) el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas gene-ralizadas necesarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coordenadasgeneralizadas propias, así como la expresión de las coordenadas cartesianas enfunción de ellas (ecuaciones de transformación).

15. Para el pédulo doble de la figura 2.60:

a) Muestre que la posición (y1; z1) de la partícula de masa m1 y (y2; z2) pueden ser





escrtas como,

Para m1

(y1 = `1 Sen �1

z1 = �`1Cos �1

Para m2

(y2 = `1 Sen �1 + `2 Sen �2

z2 = �`1Cos �1 � `2Cos �2

donde los ángulos �1 y �2 representan un conjunto de coordenadas generaliza-das propias ¿por qué?.

b) De lo anterior se puede afirmar que las coordenadas generalizadas están, engeneral, asociadas al sistema de partículas y no a alguna de ellas en particular¿por qué?.

c) Encuentre la energía cinética total del sistema en función de �1 y �2. Resp.: T =


2.15. PROBLEMAS


12m1`

21

��2

1 +12m2

�`21��2

1 + `22��2

2 + 2`1`2��1��2Cos (�2 � �1)

�.

d) Encuentre la energía potencial total del sistema suponiendo que el origen depotencial (donde U = 0) está en z = 0. Resp.: U = �g (2`1m1Cos �1 + `2m2Cos �2).

16. Decidir si la ligadura,

f ( ; �) =

�3 Sen � +

�2

+ 2

�d +

� 2Cos � + 2�

�d� = 0

presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas y� es semi-holónoma o no-holónoma. Si es semi-holónoma, intégrela. Resp.: es semi-holónoma, f1 ( ; �) = 3 Sen � + �2 + 2 + c = 0 donde c es una constante.

17. Para los sistemas mostrados en la figura 2.61 que consisten en masas puntualesunidas mediante barras, encuentre: (1) los grados de libertad y (2) el número mínimode coordenadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema.Aquí `1, `2, `3 son constantes y las barras tienen masas despreciables. Resp.: Sistema(a): (1) s = 5 grados de libertad: 3 de traslación del centro de masa + 2 de rotación;(2) e� = 5. Sistema (b): (1) s = 6 grados de libertad: 3 de traslación del centro de masa+ 3 de rotación; (2) e� = 6. Sistema (c): (1) s = 3 grados de libertad: 3 de traslacióndel centro de masa + 3 de rotación + ángulo �; (2) e� = 3.

18. Muestre que la ligadura,

f�x; y;

�x;

�y�=�2x+ Sen y � ye�x

� �x+

�xCos y + Cos y + e�x

� �y = 0





es semi-holónoma e intégrela. Resp.: f1 (x; y) = x2+x Sen y+ye�x+Sen y+ c = 0 dondec es una constante.

19. Muestre que la ligadura,

f��;

�x;

�y�=

�x Sen � � �

yCos � = 0

presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas x yy es no-holónoma.


f�q1; q2;

�q1;

�q2

�=�3q21 + 2q

22

� �q1 + 4q1q2

�q2 = 0

presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas q1 yq2 es semi-holónoma o no. Si es semi-holónoma, intégrela. Resp.: es semi-holónoma,f1 = q31 + 2q

22q1 + c = 0 donde c es una constante.


2.15. PROBLEMAS


f�q1; q2;

�q1;

�q2

�=�4q1 + 3q

22

� �q1 + 2q1q2

�q2 = 0

presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas q1 yq2 es semi-holónoma o no-holónoma. Si es semi-holónoma, intégrela. Resp.: es semi-holónoma, f1 = q41 + q31q

22 + c = 0 donde c es una constante.


f�q1; q2; q3;

�q1;

�q2;

�q3

�= q1

�q1 + q2

�q2 + q3

�q3 = 0

presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas q1,q2 y q3 es semi-holónoma o no-holónoma. Si es semi-holónoma, intégrela. Resp.: essemi-holónoma, f1 (q1; q2; q3) = q21 + q22 + q23 + c = 0 donde c es una constante.

23. Decidir si la ligadura,f�q1;

�q1;

�q2

�=

�q1 � q1

�q2 = 0

presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas q1 yq2 es semi-holónoma o no-holónoma. Si es semi-holónoma, intégrela. Resp.: es semi-holónoma, f1 (q1; q2) = q1e

�q2 + c = 0 donde c es una constante.

24. La figura 2.62 muestra a una partícula de masa m moviéndose dentro de un conoinvertido liso.Obtener para este sistema: (a) las ligaduras presentes, (b) el número


de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas nece-sarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coordenadas generalizadas



propias, así como la expresión de las coordenadas cartesianas en función de ellas(ecuaciones de transformación).

25. La figura 2.63 muestra una partícula de masa m que se desliza sobre un aro circularliso centrado en 0 y radio R, que rota en torno al eje z con una velocidad angular! constante.Obtener para este sistema: (a) las ligaduras presentes, (b) el número


de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas generalizadas nece-sarias para fijar la configuración del sistema y (c) las coordenadas generalizadaspropias, así como la expresión de las coordenadas cartesianas en función de ellas(ecuaciones de transformación).


f�q3;

�q1;

�q2

�=

�q1 � q3

�q2 = 0

presente en un determinado sistema mecánico de coordenadas generalizadas q1,q2 y q3 es semi-holónoma o no-holónoma. Si es semi-holónoma, intégrela. Resp.: esno-holónoma

27. En la figura 2.64 se muestran dos rieles inclinados A0 y 0B lisos unidos en el punto0 que forman ángulos � y ' con respecto a la horizontal respectivamente.Sobredichos rieles se colocan dos masas puntuales m1 y m2 (m1 < m2) unidas medianteuna barra de masa despreciable y longitud `, quedando en equilibrio en la posición


2.15. PROBLEMAS


mostrada. Demostrar, usando el Principio de los Trabajos Virtuales que el sistemaalcanzará el equilibrio cuando la barra forme un águlo � dado por,

� = tan�1�

1

m1 +m2

(m2 cot'�m1 cot �)

�28. Usando el Principio de los Trabajos Virtuales encuentre la condición para el equi-

librio estático del sistema mostrado en la figura 2.65.Se desprecian el radio y masa


de la polea, la masa y la deformación la cuerda, y la fricción en el rodamiento dela polea. Ubíquese el origen del sistema de coordenadas de referencia en el centrode la polea. Resp.: F = 1

2m1g.

29. Usar el Principio de D’Alembert para encontrar la aceleración de la masa m1 en elsistema mostrado en la figura 2.66.Aquí �!a es la aceleración respecto a la Tierra con




que sube la polea. Se desprecian el radio y masa de la polea, la masa y la defor-mación la cuerda, y la fricción en el rodamiento de la polea. Ubíquese el origen delsistema de coordenadas de referencia en el centro de la polea.


CAPÍTULO 3

Cálculo variacional con fronteras �jas

El Cálculo Variacional constituye una herramienta matemática básica para es-tudiar la Mecánica de Lagrange y la Mecánica de Hamilton que serán abordadas enla parte II del presente texto, por esta razón su estudio se hace como capítulo apartea diferencia de no pocos textos de Mecánica Clásica del mismo nivel. El contenidode este capítulo se desarrollará haciéndose énfasis en aquellos aspectos de la teoríade variaciones que tienen una aplicación directa en los sistemas clásicos, omitiendoalgunas pruebas de existencia.

Contents3.1. Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

3.1.1. De�nición de Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

3.1.2. Variación de una funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

3.2. Planteamiento del problema variacional a estudiar . . . . . . . . . . . 200

3.3. Función vecina y variación admisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

3.4. Cálculo de extremales sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

3.4.1. Para una variable dependiente � Ecuación de Euler . . . . . . . . . . . 206

3.4.2. Segunda forma y forma integrada de la Ecuación de Euler . . . . . . . . 212

3.4.3. Para múltiples variables dependientes � Ecuaciones de Euler - Lagrange 219

3.5. Cálculo de extremales con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

3.5.1. Restricciones del tipo Al [yi (x) ;x] = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

3.5.2. Restricciones del tipo Dl [yi (x) ; y0i (x) ;x] = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 248

193

CAPÍTULO 3. CÁLCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS


Alj [yi (x) ;x] y0j (x) +Bl [yi (x) ;x] = 0 . . 252


0i (x) ;x] dx = %l . . . 265

3.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

3.1. Funcional

3.1.1. Definición de Funcional

Se denomina Funcional a una función J que toma funciones como suargumento, es decir, una función cuyo dominio es un conjunto de funciones.

En el caso de las funciones a cada número le corresponde otro número, mientrasque, en el caso de las funcionales a cada función le corresponde un número.

Para los propósitos del presente texto se considerarán sólo funcionales dependi-entes de varias funciones de una variable ya que serán de importancia para estudiosen capítulos posteriores, es decir, las funcionales a considerar tendrán la dependenciageneral,

J = J [y (x)i ; y0 (x)i ;x], con i = 1; 2; 3; : : : ; n (3.1)

donde,

1. n es el número total de funciones y (x)i y el número total de sus derivadas y0 (x)i =dyi(x)dx

,

2. y (x)i y y0 (x)i son las variables dependientes,

3. x es la variable independiente.

4. el punto y coma separa la Variable Independiente de las Variables Dependientes.

En el caso de n = 1 se tendrá la dependencia,

J = J [y (x) ; y0 (x) ; x]

que es el caso dependiente de una función.

De forma análoga, es posible definir también las funcionales dependientes de variasfunciones y las funcionales dependientes de funciones de varias variables.


3.1. FUNCIONAL

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.1Algunos ejemplos de Funcionales.

(a) Sea N = C [0; �] el conjunto de todas las funciones continuas y (x) definidas enel intervalo [0; �], y sea,

J =

Z �

0

y (x) dx (3.2)

una funcional que a cada función y (x) 2 C [0; �] le asocia un valor determinado porJ [y (x)] entonces:

(a.1) Si y (x) = x,

J =

Z �

0

xdx =1

2�2

(b.2) Si y (x) = Cos2 x,

J =

Z �

0

Cos2 xdx =1

2�

(c.3) Si y (x) = e�x2x3,

J =

Z �

0

e�x2

x3dx =1

2

h1�

�1 + �2

�e��

2i

(b) El área A de la superficie de revolución generada al hacer girar una línea queune dos puntos fijos (x1; y1) y (x2; y2) en torno a un eje coplanar con los dos puntos (verfigura 3.1), es una funcional que viene dada por,

A = 2�

Z x2

x1

x�1 + y02

� 12 dx (3.3)

donde y0 (x) = dy(x)dx

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2. Variación de una funcional

Se denomina Variación �y (x) de una función y (x), que será denominada CaminoReal, a la diferencia entre dos funciones y (x) y y0 (x) pertenecientes a una cierta clasede funciones, es decir,

�y (x) = y (x)� y0 (x) (3.4)

donde y0 (x) representa un Camino Variado a partir del Camino Real (ver figura 3.2).



Figura (3.1): Superficie de revolución generada por una curva y = y (x).

La variación �y puede ser interpretada físicamente como un desplazamiento virtual(ya estudiados en el capítulo anterior) a partir del camino y (x) (ver figura 3.2). Para elcaso de funciones k veces diferenciables,

(�y)(k) = �y(k) (x) (3.5)

La variación �J de la funcional J correspondiente a la variación �y de su argumentose define de la siguiente forma,

Se llama Variación de una Funcional J [yi (x) ; y0i (x) ; x] en los puntosyi = yi (x) al valor que toma en � = 0 la derivada de la funcionalJ [yi (x) + ��yi (x) ; y

0i (x) + ��y0i (x) ; x] respecto al parámetro �. Matemática-

mente se escribe,

�J =@

@�J [yi (x) + ��yi (x) ; y

0i (x) + ��y0i (x) ; x]

��=0

(3.6)

A la variación (3.6) se le denomina Primera Variación de la funcional J . Es posiblecalcular una Segunda Variación de la funcional J pero no será considerada en elpresente capítulo.

Matemáticamente el símbolo variacional � tiene las mismas propiedades del sím-bolo diferencial �, al igual que para los desplazamientos virtuales como se había men-


3.1. FUNCIONAL

Figura (3.2): Camino real y camino variado.

cionado en el capítulo anterior. Debe tenerse presente que la variación de la variableindependiente x es nula, es decir, �x = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.2Hallar la variación de la funcional,

J =

Z b

a

(x+ y) dx

donde a y b son fijos.SOLUCION:

�J = �

Z b

a

(x+ y) dx

el que a y b sean fijos permite introducir el símbolo � en la integral, por lo que es posibleescribir,

�J =

Z b

a

� (x+ y) dx =

Z b

a

�ydx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


J =

Z b

a

�y2 + y02

�dx



donde a y b son fijos.SOLUCION:

�J = �

Z b

a

�y2 + y02

�dx

el que a y b sean fijos permite introducir el símbolo � en la integral, por lo que es posibleescribir,

�J =

Z b

a

��y2 + y02

�dx =

Z b

a

(2y�y + 2y0�y0) dx = 2

Z b

a

(y�y + y0�y0) dx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


J = y2 (0) +

Z 1

0

�xy � y02

�dx

SOLUCION:

�J = �

�y2 (0) +

Z 1

0

�xy � y02

�dx

�= �y2 (0) +

Z 1

0

��xy � y02

�dx

= 2y (0) �y (0) +

Z 1

0

(x�y � 2y0�y0) dx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


J =

Z �

0

y0 Sen ydx

SOLUCION:

�J = �

Z �

0

y0 Sen ydx =

Z �

0

� (y0 Sen y) dx =

Z �

0

(Sen y�y0 + y0Cos y�y) dx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


J =

Z b

a

y2dx


3.1. FUNCIONAL

donde a y b son fijos.

SOLUCION:

�J = �

Z b

a

y2dx =

Z b

a

�y2dx =

Z b

a

2y�ydx = 2

Z b

a

y�ydx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


J =

Z b

a

f [yi (x) ; y0i (x) ; x] dx, con i = 1; 2; 3; : : : ; n

donde f es una función continua de sus argumentos y sus derivadas parciales respectoa todos los argumentos son continuas en un recinto acotado G de variación de losmismos. Los límites de integración a, b son fijos, yi (x) = fy1 (x) ; y2 (x) ; y3 (x) ; : : : ; yn (x)g yy0i (x) = fy01 (x) ; y02 (x) ; y03 (x) ; : : : ; y0n (x)g =

dyi(x)dx

.

SOLUCION:

�J = �

Z b

a

f [yi (x) ; y0i (x) ; x] dx =

Z b

a

�f [yi (x) ; y0i (x) ; x] dx

=

Z b

a

�@f

@y1�y1 +

@f

@y2�y2 +

@f

@y3�y3; : : : ;

@f

@yn�yn +

@f

@y01�y01 +

@f

@y02�y02

+@f

@y03�y03; : : : ;

@f

@y0n�0yn

�dx

=

Z b

a

nXi=1

@f

@yi�yi +

nXi=1

@f

@y0i�y0i

!dx =

Z b

a

nXi=1

�@f

@yi�yi +

@f

@y0i�y0i

�dx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



3.2. Planteamiento del problema variacional a estudiar

El problema variacional que se abordará en el presente capítulo es elde determinar las funciones yi (x) = fy1 (x) ; y2 (x) ; y3 (x) ; : : : ; yn (x)g tales quela integral,

J=

Z x2

x1

f [yi (x) ; y0i (x) ; x] dx, con y0i (x) =

dyi (x)

dx; x1; x2 fijos e i = 1; 2; 3; : : : ; n

(3.7)bajo las condiciones de frontera,(

yi (x1) = ai

yi (x2) = bi, con i = 1; 2; 3; : : : ; n; ai y bi constantes (3.8)

tenga un valor estacionario, es decir, que resulte un valor extremal (un máx-imo o un mínimo) considerando sólo las limitaciones que imponen las men-cionadas condiciones de frontera o cuando, adicionales a ellas, se consid-eran restricciones que involucran las yi (x) y sus derivadas y0i (x).

A las funciones yi (x) así obtenidas se les dará el nombre de Funciones Extremales oCaminos Extremales de J . A la J de la forma (3.7) se le denomina también FuncionalIntegral.

Existen leyes de la Física que se apoyan en la afirmación de que una determina-da funcional alcanza su mínimo o su máximo en una determinada situación. Dichasleyes reciben el nombre de Principios Variacionales de la Física. A dichos principiospertenecen el Principio de la Mínima Acción ya mencionado al final del capítulo an-terior, la Ley de Conservación de la Energía, la Ley de Conservación del Impulso, la Leyde Conservación de la Cantidad de Movimiento, el Principio de Fermat en Optica, etc.

El problema variacional que se plantea en este capítulo se diferencia del cálculode los valores extremales estudiado en los cursos de cálculo diferencial e integral, enel cual se tiene que variar una sola variable o un conjunto de ellas, en que ahora loque será variado es una función y (x) o un conjunto yi (x) de ellas. Sin embargo, sepuede aplicar el mismo criterio: cuando la integral (3.7) tiene un valor estacionario,debe permanecer sin cambios hasta el primer orden al hacer una pequeña variaciónen las funciones yi (x). Este es, justamente, el criterio que será usado más adelante.

Como en el cálculo diferencial, la anulación de la primera derivada es una condi-ción necesaria pero no suficiente para un máximo o un mínimo; así en el cálculo varia-


3.3. FUNCIÓN VECINA Y VARIACIÓN ADMISIBLE

cional se habla de Primeras Variaciones y Segundas Variaciones de J , donde las últi-mas se emplean para discriminar entre máximos, mínimos y puntos de inflexión. Comose dijo antes, en este texto sólo se trabajará con la primera variación y se emplearánrazonamientos geométricos o físicos para decidir si se ha encontrado un máximo, unmínimo o un punto de inflexión.

El funcional J depende de la función y (x), y los límites de integración x1 y x2 sonfijos. Sin embargo, no es necesario que los límites de integración sean consideradosfijos de manera que, si se permite que estos límites varíen, el problema se convierteen no sólo determinar y (x) sino también x1 y x2 de manera tal que J tome un valorestacionario. La función y (x) tiene entonces que ser variada hasta que se consiga unvalor estacionario de J , queriéndose decir con esto que si y = y (x) hace que J tomeun valor mínimo entonces cualquier Función Vecina, no importando lo cerca que estéde y (x), hará que J se incremente.

3.3. Función vecina y variación admisible

Se da el nombre de Función Vecina, Función Variada, Camino Vecino oCamino Variado de yi = yi (x) a todas las posibles funciones yi = yi (�; x) conla condición de que, para � = 0, yi (0; x) = yi (x).

Para caminos variados yi = yi (�; x) la funcional (3.7) se puede escribir como,

J (�)=

Z x2

x1

f [yi (�; x) ; y0i (�; x) ; x] dx (3.9)

convirtiéndose así en un funcional del parámetro �. La condición fundamental paraque esta integral tome un valor estacionario es que su primera variación se anule,

@J

@�

��=0

= 0) �J = 0 (3.10)

Ahora, considérese el caso de una sola variable dependiente y (x). En este caso(3.9) se escribe como,

J (�) =

Z x2

x1

f [y (�; x) ; y0 (�; x) ; x] dx (3.11)

manteniéndose inalterada la condición (3.10).

Como caso particular considérese la función variada (ver figura 3.3),

y (�; x) = y (0; x) + �� (x) = y (x) + �� (x)| {z }=�y(x)

(3.12)



donde la variación � (x) es una función auxiliar que introduce la variación y que debeanularse en las fronteras del camino x = x1 y x = x2,

� (x1) = � (x2) = 0) �y (x1) = �y (y2) = 0 (3.13)

debido a que la función variada y (�; x) debe ser idéntica a y (x) en las fronteras delcamino. Por simplicidad, se supondrá que y (x) y � (x) son continuas y no singulares enel intervalo [x1; x2] con primera y segunda derivada continua en el mismo intervalo. y1y2 y (x) + �y (x) x1 x2 x y 0 �y (x) = �� (x)

Se denomina Variación Admisible de la funcional integral J a cualquiervariación que cumpla con la condición (3.13).

Figura (3.3): La función y (x) es el camino que hace que el funcional J tome un valor extremal. Lasfunciones y (�; x) = y (x) + �� (x) = y (x) + �y (x) son las funciones vecinas, donde � (x) se anula en lasfronteras del intervalo [x1; x2].

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.8(a) Dada la función y (x) = 3x, construir funciones y (�; x) vecinas

a ella mediante (3.12) con � (x) = Senx � Cosx + 1 y graficarlas para algunos valoresde � entre x1 = 0 y x2 = 2�, (b) mostrar que � (x) cumple con la condición (3.13),

(c) suponiendo que la función f = f (y; y0;x) viene dada por f =hdy(�;x)dx

i2, encontrar



Figura (3.4): Función y (x) = 3x entre los límites de x = 0 y x = 2� y dos de sus variaciones y (�; x) =3x+ � [Sen (x)� Cos (x) + 1] (Ejemplo 3.1).

J (�) dada por (3.11) en el intervalo antes considerado y (d) mostrar J (�) cumple lacondición (3.10).

SOLUCION:(a) Los caminos vecinos al camino estacionario vendrán dados por,

y (�; x) = y (x) + �� (x) = 3x+ � (Senx� Cosx+ 1) (3.14)

Estos caminos son mostrados en la figura 3.4 para � = 0 y otros dos valores de �.

(b) Es claro que la función � (x) = Sen x � Cosx + 1 cumple con que se anule en lasfronteras x1 = 0 y x2 = 2�,(

� (x = 0) = Sen (0)� Cos (0) + 1 = 0� (x = 2�) = Sen (2�)� Cos (2�) + 1 = 0

(3.15)

cumpliéndose así la condición (3.13).

(d) Para encontar f (y; y0;x) se determina primero,

dy (�; x)

dx=

d

dx[3x+ � (Senx� Cosx+ 1)] = 3 + � (Cosx+ Senx) (3.16)

entonces,

f =

�dy (�; x)

dx

�2= 9 + 6� (Cosx+ Senx) + �2 [Sen (2x) + 1] (3.17)



Ahora, a partir de (3.11) finalmente se obtiene,

J (�) =

Z 2�

0

�9 + 6� (Cosx+ Senx) + �2 [Sen (2x) + 1]

dx = 2�

�9 + �2

�(3.18)

pudiéndose notar que J (�) es siempre mayor que J (0), no importando el valor (positi-vo o negativo) escogido para �.

(d) A partir de (3.18) se tiene que,

@J

@�=@J

@�

�2��9 + �2

��= 4��) @J

@�

��=0

= 4� (0) = 0 (3.19)


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.9(a) Dada la parábola y (x) = x2, construir funciones y (�; x) vecinas

a ella mediante (3.12) con � (x) = x3 � x y graficarlas para algunos valores de � entrex1 = �1 y x2 = 1, (b) mostrar que � (x) cumple con la condición (3.13), (c) suponiendo

que la función f = f (y; y0;x) viene dada por f =hdy(�;x)dx

i2+ x, encontrar J (�) dada por

(3.11) en el intervalo antes considerado y (d) mostrar J (�) cumple la condición (3.10).

Figura (3.5): Función y (x) = x2 entre los límites de x = �1 y x = 1 y dos de sus variaciones y (�; x) =x2 + �

�x3 � x

�.



SOLUCION:(a) Los caminos vecinos al camino estacionario vendrán dados por,

y (�; x) = y (x) + �� (x) = x2 + ��x3 � x

�(3.20)

Estos caminos son mostrados en la figura 3.5 para � = 0 y otros dos valores de �.

(b) Es claro que la función � (x) = x3 � x cumple con que se anule en las fronterasx1 = �1 y x2 = 1, (

� (x = �1) = (�1)3 � (�1) = 0� (x = 1) = (1)3 � (1) = 0

(3.21)

cumpliéndose así la condición (3.13).(d) Para encontar f (y; y0;x) se determina primero,

dy (�; x)

dx=

d

dx

�x2 + �

�x3 � x

��= 2x+ �

�3x2 � 1

�(3.22)

entonces,

f =

�dy (�; x)

dx

�2+ x =

�2x+ �

�3x2 � 1

��2+ x (3.23)

Ahora, a partir de (3.11) finalmente se obtiene,

J (�) =

Z 1

�1

n�2x+ �

�3x2 � 1

��2+ xodx = 8

�1

3+1

5�2�

(3.24)

pudiéndose notar que J (�) es siempre mayor que J (0), no importando el valor (positi-vo o negativo) escogido para �.

(d) A partir de (3.24) se tiene que,

@J

@�=@J

@�

�8

�1

3+1

5�2��

=16

5�) @J

@�

��=0

=16

5(0) = 0 (3.25)


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Por último, es de hacer notar que si J es independiente del camino, entonces elproblema variacional pierde todo sentido. Se sabe, de los cursos básicos de cálculodiferencial e integral, que la integral (3.7) será independiente del camino escogido sila cantidad fdx es una diferencial exacta.

En el caso de que,

fdx =M (x; y; z) dx+N (x; y; z) dy +R (x; y; z) dz (3.26)



será exacta si se cumple que, 8><>:@M@y= @N

@x@M@z= @R

@x@N@z= @R

@y

(3.27)

3.4. Cálculo de extremales sin restricciones

3.4.1. Para una variable dependiente — Ecuación de Euler

En esta sección se determinará la única función y (x) tal que la integral fun-cional J (3.11) tome un valor estacionario sin restricciones adicionales a las ya impues-tas por las condiciones de frontera x = x1(fijo) y x = x2(fijo). Para realizar lo anterior, sedebe calcular la variación de (3.11) para luego aplicar la condición (3.10). En efecto,

�J (�) = �

Z x2

x1

f [y (�; x) ; y0 (�; x) ; x] dx (3.28)

Puesto que los límites de integración son fijos, el símbolo � sólo afecta al integrando(es posible introducir � en la integral) resultando así,

�J = �

Z x2

x1

�fdx =

Z x2

x1

�@f

@y�y +

@f

@y0�y0�dx =

Z x2

x1

�@f

@y�y +

@f

@y0�

�dy

dx

��dx

=

Z x2

x1

�@f

@y�y +

@f

@y0d

dx(�y)

�| {z }

Puesto que �( dydx)=ddx(�y)

dx =

Z x2

x1

@f

@y�ydx+

Z x2

x1

@f

@y0d

dx(�y) dx (3.29)

El segundo término de (3.29) puede ser integrado por partes,Zudv = uv �

Zvdu, con

(u = @f

@y0 ) du = d�@f@y0

�= d

dx

�@f@y0

�dx

dv = ddx(�y) dx) v = �y

(3.30)

de manera que, Z x2

x1

@f

@y0d

dx(�y) dx =

@f

@y0�y

��x2x1

�Z x2

x1

d

dx

�@f

@y0

��ydx (3.31)

pero,@f

@y0�y

��x2x1

= 0 (3.32)

ya que �y debe anularse en x1 y x2 por ser una variación admisible. Entonces (3.31)resulta en, Z x2

x1

@f

@y0d

dx(�y) = �

Z x2

x1

d

dx

�@f

@y0

��ydx (3.33)


3.4. CÁLCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES

así la expresión (3.29) queda finalmente escrita como,

�J =

Z x2

x1

@f

@y�ydx�

Z x2

x1

d

dx

�@f

@y0

��ydx =

Z x2

x1

�@f

@y� d

dx

�@f

@y0

��ydx (3.34)

Ahora, al aplicar la condición (3.10) para encontrar así los valores estacionarios deJ resulta,

�J =

Z x2

x1

�@f

@y� d

dx

�@f

@y0

��ydx = 0 (3.35)

que es independiente de � ya que la anterior expresión está evaluada en � = 0 envirtud de haber aplicado la condición (3.10). Aquí la variación �y es completamentearbitraria.

Por otro lado, en el cálculo variacional existe el llamado Lema1 Fundamental delCálculo de Variaciones (ver apéndice D) que establece lo siguiente:

Si se cumple la expresión,Z x2

x1

M (x)� (x) = 0 (3.36)

para todas las funciones arbitrarias � (x) continuas hasta la segunda deriva-da (al menos), entonces M (x) debe anularse idénticamente en el intervalo(x1; x2).

Ahora bien, al aplicar el anterior lema a la expresión (3.35) resulta,

@f

@y� d

dx

�@f

@y0

�= 0| {z }264 Ecuación de Euler para funcionales

de una variable dependiente.

375

(3.37)

Este resultado es conocido como la Ecuación de Euler2, que constituye la condiciónnecesaria para que J tenga un valor estacionario.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1Proposición que es preciso demostrar antes de establecer un teorema.2Leonhard Paul Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y murió el 18 de septiembre de 1783en San Petersburgo, Rusia. Fue un respetado matemático y físico, y está considerado como el principalmatemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.



EJEMPLO 3.10Hallar las extremales de la funcional,

J =

Z x2

x1

�y2 + y02 + 2yex

�dx

SOLUCION: aquí,f = y2 + y02 + 2yex (3.38)

Ahora bien, al sustituir (3.38) en la ecuación de Euler (3.37) resulta,

@

@y

�y2 + y02 + 2yex

�� d

dx

�@

@y0�y2 + y02 + 2yex

��= 0

y + ex � y00 = 0 (3.39)

La expresión (3.39) es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea concoeficientes constantes, cuya solución es,

y = c1ex + c2e

�x +1

2xex (3.40)

que representa una familia de caminos extremales.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.11Hallar la extremal de la funcional,

J =

Z 2

1

y02

4xdx

que satisfaga las condiciones de frontera y (1) = 5 y y (2) = 11. La extremal encontrada¿maximiza o minimiza a J?

SOLUCION: aquí,

f =y02

4x(3.41)


@

@y

�y02

4x

�� d

dx

�@

@y0

�y02

4x

��= 0

d

dx

�y0

x

�= 0 (3.42)

que al integrarse produce,y0 = c1x (3.43)



Al integrar (3.43) resulta,y =

c12x2 + c2 (3.44)

Si ahora se aplican las condiciones de frontera sobre (3.44) resulta,

Para

(y (1) = 5: c1

2+ c2 = 5

y (2) = 11: 2c1 + c2 = 11(3.45)

de las cuales se obtiene c1 = 4 y c2 = 3. Por lo tanto, al sustituir estos resultados en (3.44)se obtiene finalmente,

y = 2x2 + 3 (3.46)

que es una parábola.

Queda ahora por responder la pregunta: ¿la parábola (3.46) maximiza o minimizaa J?. La extremal hallada puede maximizar, minimizar o no hacer ninguna de las doscosas. Con la teoría mostrada en este texto no es posible, en general, decidir qué eslo que ocurre. Sin embargo existen unos pocos casos simples (este ejemplo es uno deellos) donde se puede decidir muy fácilmente.

Si es cualquier variación admisible (ver sección 3.3) no necesariamente pequeña,entonces la variación que sobre J hace viene dada por (ye = y extremal= 2x2 + 3),

J (ye + )� J (ye) =1

4

Z 2

1

1

x

�d

dx(ye + )

�2dx� 1

4

Z 2

1

1

x

�d

dx(ye)

�2dx

=1

4

Z 2

1

(4x+ 0)2

xdx� 4

Z 2

1

xdx

= 2

��21

+1

4

Z 2

1

02

xdx

y como es una variación admisible debe satisfacer (1) = 0 y (2) = 0, por lo tantose tiene que,

J (ye + )� J (ye) =1

4

Z 2

1

02

xdx � 0 (3.47)

Entonces, ya que la integral de una función positiva debe ser positiva (x es positiva enel intervalo de integración), (3.46) proporciona realmente un mínimo global de J . Elmínimo global de J viene dado al sustituir (3.46) en J y evaluar la integral resultante. Enefecto,

J�2x2 + 3

�=

Z 2

1

1

4x

�d

dx

�2x2 + 3

��2dx = 6 (3.48)

Es de hacer notar que, en el caso de que J provenga de una f obtenida del análi-sis de una situación física en particular, las condiciones físicas del sistema estudiadopueden ayudar a saber si el extremal encontrado para J es un máximo o un mínimo.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.12¿En qué curva puede alcanzar su extremo la funcional,

J =

Z 1

0

�y02 + 12xy

�dx

sabiendo que y (0) = 0 y y (1) = 1?.SOLUCION: aquí,

f = y02 + 12xy (3.49)


@

@y

�y02 + 12xy

�� d

dx

�@

@y0�y02 + 12xy

��= 0

6x� y00 = 0 (3.50)

La ecuación diferencial (3.50) tiene como solución,

y = x3 + c1x+ c2 (3.51)

Para hallar las constantes c1 y c2 se aplican sobre (3.51) las condiciones de fronteradadas. En efecto,

Para

(y (0) = 0: c2 = 0

y (1) = 1: 1 + c1 + c2 = 1) c1 = 0(3.52)

Por último, al sustituir (3.52) en (3.51) resulta,

y = x3 (3.53)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.13Superficie mínima de revolución. Considerar la superficie gener-

ada al hacer girar una línea que une dos puntos fijos (x1; y1) y (x2; y2) en torno a uneje coplanar con los dos puntos. Determinar la ecuación de la línea que une dichospuntos de manera tal que el área de la superficie generada (el área de la superficiede revolución) sea mínima.

SOLUCION: supóngase que la curva que pasa a través de (x1; y1) y (x2; y2) es trasla-dada en torno al eje y, coplanar con los dos puntos. Para calcular el área total de lasuperficie de revolución, primero se encuentra el área dA de una cinta (ver figura 3.6),de manera que,

dA = xdsd' = x�dx2 + dy2

� 12 d' (3.54)



Figura (3.6): Superficie de revolución generada por una curva que une a los puntos (x1; y1).y (x1; y1),haciéndola trasladarse entrono al eje y.

donde se ha supuesto que la curva generatriz está en el plano (x; y). Pudo habersepartído con la curva generatriz en el plano (y; z) sin problema alguno, siendo paraeste caso dA = zdsd'. Al integrar (3.54),

A =

Z (x2;y2)

(x1;y1)

Z 2�

0

x�dx2 + dy2

� 12 d' = 2�

Z x2

x1

x�1 + y02

� 12 dx (3.55)

donde se ha escogido x como variable independiente. Si se hubiese escogido y comovariable independiente se tendría A = 2�

R x2x1x (x02 + 1)

12 dy con x0 = dx

dy.

El área (3.55) es la cantidad que se quiere minimizar, por lo tanto,

f = 2�x�1 + y02

� 12 (3.56)

y como,@f@y= 0 @f

@y0 = 2�xy0

(1+y02)12

(3.57)

entonces, de (3.37) resulta,d

dx

"2�

xy0

(1 + y02)12

#= 0

xy0

(1 + y02)12

= c1, c1 = constante (3.58)

de aquí que,

y0 = � c1

(x2 � c21)12

) y = c1

Zdx

(x2 � c21)12

(3.59)



donde se ha tomado el signo positivo para y en concordancia con el sistema de co-ordenadas de referencia que se está usando. La solución de (3.59) viene dada por,

y = c1 ln

�x+

qx2 � c21

�+ c2 (3.60)

donde c2 es una segunda constante de integración. Las constantes c1 y c2 pueden serdeterminadas requiriendo que la curva pase por los puntos (x1; y1) y (x2; y2).

Como,

cosh�1 x = ln�x+px2 � 1

�la expresión (3.60) puede ser escrita también como,

x = c1Cosh

�y � c2c1

�(3.61)

que es la ecuación de la Catenaria. Las constantes c1 y c2 se encuentran a partir delas condiciones de frontera.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.2. Segunda forma y forma integrada de la Ecuación de Euler

Es posible reescribir la ecuación de Euler (3.37), obteniéndose así una segundaforma de la misma que es muy conveniente para funcionales f que no dependenexplícitamente de la variable independiente x, es decir, donde @f

@x= 0.

Para obtener dicha segunda forma, nótese primero que para cualquier funcionalf (y; y0;x) se tiene,

df

dx=@f

@y

dy

dx+@f

@y0dy0

dx+@f

@x= y0

@f

@y+ y00

@f

@y0+@f

@x(3.62)

y además,d

dx

�y0@f

@y0

�= y00

@f

@y0+ y0

d

dx

�@f

@y0

�(3.63)

ahora, al despejar y00 @f@y0 de (3.62) y sustituirlo en (3.63) resulta,

d

dx

�y0@f

@y0

�=df

dx� @f

@x� y0

�@f

@y� d

dx

�@f

@y0

��| {z }

=0 por (3.37)

(3.64)



donde el último término se anula debido a la ecuación de Euler (3.37). Por lo tanto,

@f

@x� d

dx

�f � y0 @f

@y0

�= 0| {z }264 Segunda forma de la Ecuación de Euler para

funcionales de una variable dependiente.

375

(3.65)

que a menudo se le llama Segunda Forma de la Ecuación de Euler.

Es posible usar (3.65) en casos en los cuales f no depende explícitamente de x, demanera que @f

@x= 0. Entonces,

f � y0 @f@y0

= c; c = constante (para@f

@x= 0)| {z }264 Forma integrada de la Ecuación de Euler para

funcionales de una variable dependiente

375

(3.66)

que es la llamada Forma Integrada de la Ecuación de Euler.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


J =

Z x2

x1

py02 + 1

ydx

SOLUCION: aquí,

f =

py02 + 1

y(3.67)

que no depende explícitamente de x, por lo tanto, es posible usar la forma integradade la ecuación de Euler. En efecto, al sustituir (3.67) en (3.66) resulta,p

y02 + 1

y� y0 @

@y0

py02 + 1

y

!= c

1

ypy02 + 1

= c

o,y0 = � 1

cy

p1� c2y2 (3.68)



que constituyen un par de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y devariables separables. Al integrar (3.68) resulta,

(x� c1)2 + y2 =1

c2(3.69)

donde c1 es una constante de integración. Por lo tanto, las curvas extremales de lafuncional dada son una familia de circunferencias centradas en (c1; 0) y de radio 1

c.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.15El problema de la Braquistócrona3. Supóngase que se tiene una

rampa lisa como la mostrada en la figura 3.7 sobre la cual, y desde el punto P1,se suelta una partícula de masa m que comienza a moverse bajo la acción de lagravedad. El punto P1 se encuentra a una altura h sobre el suelo, mientras que P2 se

Figura (3.7): Partícula de masam que se desplaza sobre una rampa lisa desde el punto P1 hasta el puntoP2.

encuentra a nivel del mismo a una distancia horizontal d. Encontrar la forma que debetener el perfil de esta rampa de manera tal que la mencionada partícula emplee elmenor tiempo posible en viajar desde P1 hasta P2.

SOLUCION: como se muestra en la figura (3.8), el perfil pedido será la curva y = y (x)

que une P1 con P2 de manera tal que el tiempo que emplea la partícula en viajardesde P1 hasta P2 sea el menor posible. Si se escoge un sistema de coordenadas dereferencia cuyo origen coincide con el punto P1, entonces P1 = (x1; y1) = (0; 0) y P2 =(x2; y2) = (d;�h).

3Del griego Braquistos = “el más breve” y Cronos= tiempo.



Figura (3.8): Planteamiento gráfico del problema de la braquistócrona.

Puesto que el campo gravitacional es conservativo, entonces la energía mecáticatotal E de la partícula se mantiene constante durante todo el recorrido. En el punto P1

se tiene E = T + U = 0 y en cualquier otro punto P = (x; y),

E = T + U =1

2mv2 +mgy = 0 (3.70)

de la cual resulta,

v = (�2gy)12 (3.71)

Por otro lado se sabe que, (v = ds

dt

ds = (dx2 + dy2)12

(3.72)

entonces,

t =

Z (x2;y2)=(d;�h)

(x1;y1)=(0;0)

ds

v=

Z (d;�h)

(0;0)

(dx2 + dy2)12

(�2gy)12

=

Z x2=d

x1=0

��1 + y

02

2gy

� 12

dx (3.73)

El tiempo transcurrido durante todo el movimiento es la cantidad que se quiereminimizar, por lo tanto, de (3.73) la función f puede ser identificada como,

f =

��1 + y

02

2gy

� 12

(3.74)



que no depende explícitamente de la variable independiente x. Entonces, a partir dela forma integrada de la ecuación de Euler (3.66) resulta,�

�1 + y02

2gy

� 12

� y0 @@y0

"��1 + y

02

2gy

� 12

#= c

�1 + y02

� 12 � y02

(1 + y02)12

= (�2gy)12 c

�� 1

2gc2y� 1� 1

2

= y0

o,

x = �Z

y

� 12gc2� y

! 12

dy (3.75)

Ahora, al hacer el cambio de variable4,

y = � 1

2gc2Sen2

�

2(3.76)

la expresión (3.75) se puede escribir como,

x = � 1

2gc2

ZSen2

�

2d� =

1

4gc2(� � Sen �) + C (3.77)

donde se ha escogido el signo positivo para x en correspondencia al sistema de coor-denadas de referencia usado.

Como al inicio del movimiento (x; y) = (0; 0), entonces de (3.76) se obtiene � = 0 yde (3.77) C = 0, de manera que,

x =1

4gc2(� � Sen �) (3.78)

Además, la expresión (3.76) puede reescribirse como,

y = � 1

4gc2(1� Cos �) (3.79)

En conjunto, las expresiones (3.78) y (3.79) representan las ecuaciones paramétricasde una cicloide que pasa por el origen (ver figura 3.9), siendo éste el perfil que debetener la rampa para que la partícula se mueva de P1 hasta P2 en el menor tiempoposible. La constante c debe ser ajustada para permitir que la cicloide pase a través

4El signo negativo es por el sistema de coordenadas de referencia usado.



Figura (3.9): Camino resultante para que la partícula se mueva desde (x1; y1) = (0; 0) hasta (x2; y2) =

(d;�h) en el menor tiempo posible.

del punto de llegada P2. En efecto, al evaluar las expresiones (3.78) y (3.79) en P2 seobtiene,

Para x = d) � � Sen � = 4gc2d a partir de (3.78) (3.80)

Para y = �h) � = Cos�1�1� 4gc2h

�a partir de (3.79 (3.81)


Cos�1�1� 4gc2h

�= 2c

hp2gh (1� 2gc2h) + 2gcd

i(3.82)

expresión que proporciona el ajuste de la constante c.

La curva obtenida, la cicloide, recibe el nombre de Curva Braquistócrona o curvadel descenso más rápido. Esta curva coincide además con una Curva Tautócrona oCurva Isócrona ya que si se colocan varias partículas sobre ella en distintos puntos departida y se les suelta al mismo tiempo, llegan a encontrarse al mismo tiempo en unpunto posterior, es decir, tardan el mismo tiempo en alcazar una posición común.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.16Se tiene una película de jabón entre dos anillos paralelos con-

céntricos de radio a, separados por una distancia 2d (ver figura 3.10). Encuentre laforma adquirida por la película de jabón.

SOLUCION: la forma que adquirirá la película de jabón será aquella que minimicela energía del sistema (todo sistema al tender a la estabilidad, tiende a su estadode mínima energía), por lo tanto este estado debe corresponder a aquél donde lasuperficie de la película de jabón sea la mínima.



Figura (3.10): Película de jabón entre dos anillos concéntricos de radio a y separados por una distancia2d.

Es fácil ver de la figura 3.10 que las condiciones de frontera vienen dadas por y (d) =a y y (�d) = a. El elemento de superficie de la película de jabón vendrá dado por,

dS = 2�yds (3.83)

y,ds2 = dy2 + dz2 ) ds =

py02 + 1dz (3.84)

con y0 = dydz: Aquí y es la variable dependiente y z la independiente. Por lo tanto,

S = 2�

Z d

�dypy02 + 1dz (3.85)

que es la cantidad que se quiere minimizar. En (3.85) es posible identificar,

f = 2�ypy02 + 1 (3.86)

Ahora bien, como f no depende de la variable independiente z, entonces es posibleusar la forma integrada (3.66) de la ecuación de Euler. Entonces,

f � y0 @f@y0

= c, con y0 =dy

dz

2�ypy02 + 1� 2�y0 @

@y0

�ypy02 + 1

�= c

o,

y02 =y2

c21� 1 (3.87)



con c1 =c2�

. Al introducir el cambio de variable,

y = c1Coshu (3.88)

en (3.87) e integrando resulta,

y = c1Cosh

�z

c1+ c2

�(3.89)

con c2 una constante de integración. Esta es la curva que genera la superficie derevolución buscada.

Las constantes c1 y c2 se calculan aplicando las condiciones de frontera y (d) = a yy (�d) = a sobre (3.89). En efecto,

Para

8<: y (d) = a: a = c1Cosh�dc1+ c2

�y (�d) = a: a = c1Cosh

�� dc1+ c2

� (3.90)

de las cuales se deduce que c2 = 0 ya que d 6= 0. La constante c1 vendrá dada por,

a = c1Cosh

�d

c1

�(3.91)

que es una ecuación trascendental para dicha constante.

Por último (3.89) se puede escribir como,

y = c1Cosh

�z

c1

�(3.92)

con c1 dada por (3.91). La expresión (3.92) es la ecuación de una catenaria, por lotanto, en perfil la película de jabón toma esta forma, con una distancia mínima al ejede rotación dada por c1 (verificarlo).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.3. Para múltiples variables dependientes — Ecuaciones de Euler -Lagrange

En esta sección se determinarán las funciones yi (x) tales que la integral fun-cional J (3.9) tome un valor estacionario sin restricciones adicionales a las ya impues-tas por las condiciones de frontera x = x1(fijo) y x = x2(fijo). Para realizar lo anterior, sedebe calcular la variación de (3.9) para luego aplicar la condición (3.10). En efecto,



�J = �

Z x2

x1

f [yi (x) ; y0i (x) ; x] dx (3.93)

Al igual que en la sección anterior, puesto que los límites de integración son fijos, elsímbolo � sólo afecta al integrando resultando así,

�J =

Z x2

x1

�fdx =

Z x2

x1

nXi=1

�@f

@yi�yi +

@f

@y0i�y0i

�dx| {z }

Ver ejemplo 3.7

=

Z x2

x1

nXi=1

�@f

@yi�yi +

@f

@y0i�

�dyidx

��dx

=

nXi=1

Z x2

x1

�@f

@yi�yi +

@f

@y0i

d

dx(�yi)

�dx =

nXi=1

�Z x2

x1

@f

@yi�yidx+

Z x2

x1

@f

@y0i

d

dx(�yi) dx

�(3.94)

El segundo término de (3.94) puede ser integrado por partes,Zudv = uv �

Zvdu, con

(u = @f

@y0i) du = d

�@f@y0i

�= d

dx

�@f@y0i

�dx

dv = ddx(�yi) dx) v = �yi

(3.95)

de manera que, Z x2

x1

@f

@y0i

d

dx(�yi) dx =

@f

@y0i�yi

��x2x1

�Z x2

x1

d

dx

�@f

@y0i

��yidx (3.96)

pero,@f

@y0i�yi

��x2x1

= 0 (3.97)

ya que �yi debe anularse en x1 y x2 por ser una variación admisible. Entonces (3.96)resulta en, Z x2

x1

@f

@y0i

d

dx(�yi) dx = �

Z x2

x1

d

dx

�@f

@y0i

��yidx (3.98)


�J =nXi=1

�Z x2

x1

@f

@yi�yidx�

Z x2

x1

d

dx

�@f

@y0i

��yidx

�=

nXi=1

�Z x2

x1

�@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

��yidx

�(3.99)

Ahora, al aplicar la condición (3.10) para encontrar así el valor estacionario de J resul-ta,

�J =

nXi=1

�Z x2

x1

�@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

��yidx

�= 0 (3.100)



que es independiente de � ya que la anterior expresión está evaluada en � = 0 envirtud de haber aplicado la condición (3.10). Aquí la variación �yi es completamentearbitraria, entonces al aplicar el lema fundamental del cálculo de variaciones (3.36)resulta,

@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

�= 0, con i = 1; 2; 3; :::; n| {z }264 Ecuaciones de Euler-Lagrange para funcionales

de múltiples variables dependientes.

375

(3.101)

que son las ecuaciones de Euler para un funcional J de múltiple variables dependi-entes y conforman un conjunto de n ecuaciones diferenciales. Se les conoce tambiéncomo Ecuaciones de Euler-Lagrange.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


J =

Z �2

0

�y02 + z02 + 2yz

�dx

sabiendo que y (0) = 0, y��2

�= 1 y z (0) = 0, z

��2

�= �1.

SOLUCION: aquí,f = y02 + z02 + 2yz (3.102)

Ahora bien, f tiene dos variables dependientes y y z, por lo tanto, se debe escribiruna ecuación de Euler para cada una de estas variables. Al sustituir (3.102) en lasecuaciones de Euler (3.101) (para i = 1; 2 con y1 = y y y2 = z) resulta,

Para i = 1:@f

@y� d

dx

�@f

@y0

�= 0

@

@y

�y02 + z02 + 2yz

�� d

dx

�@

@y0�y02 + z02 + 2yz

��= 0

z � y00 = 0 (3.103)

y,

Para i = 2:@f

@z� d

dx

�@f

@z0

�= 0

@

@z

�y02 + z02 + 2yz

�� d

dx

�@

@z0�y02 + z02 + 2yz

��= 0

y � z00 = 0 (3.104)



Si entre (3.103) y (3.104) se elimina z resulta,

yIV � y = 0 (3.105)

que al integrarla produce,

y = c1ex + c2e

�x + c3Cosx+ c4 Sen x (3.106)

Para encontrar z, se sustituye (3.106) en (3.103) resultando,

z = c1ex + c2e

�x � c3Cosx� c4 Sen x (3.107)

Por último, al aplicar las condiciones de frontera sobre (3.106) en (3.107) resulta,8>>><>>>:c1 = 0

c2 = 0

c3 = 0

c4 = 1

(3.108)

por lo tanto, sustituyendo estos resultados en (3.106) y (3.107),(y = Senx

z = � Sen x(3.109)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.18Analizar el extremo de la funcional,

J =

Z x2

x1

[4x+ 2y � z + (2x� 2y + z) y0 + (�x+ y + 2z) z0] dx

sabiendo que y (x1) = yo, y (x2) = y1 y z (x1) = zo, z (x2) = z1.SOLUCION: la integral no depende del camino de integración ya que fdx es una

diferencial exacta, por lo tanto, problema variacional no tiene sentido. En efecto,

fdx = [4x+ 2y � z + (2x� 2y + z) y0 + (�x+ y + 2z) z0] dx

= (4x+ 2y � z) dx+ (2x� 2y + z) dy + (�x+ y + 2z) dz (3.110)

siendo, 8><>:M (x; y; z) = 4x+ 2y � zN (x; y; z) = 2x� 2y + z

R (x; y; z) = �x+ y + 2z

(3.111)

por lo tanto, 8><>:@M@y= @N

@x= 2

@M@z= @R

@x= �1

@N@z= @R

@y= 1

(3.112)

cumpliéndose así las condiciones (3.27) para que fdx sea una diferencial exacta.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


J =

Z 1

0

�y02 + z02

�dx

sabiendo que y (0) = 0, y (1) = 1 y z (0) = 0, z (1) = �2.SOLUCION: aquí,

f = y02 + z02 (3.113)


Para i = 1:@f

@y� d

dx

�@f

@y0

�= 0

@

@y

�y02 + z02

�� d

dx

�@

@y0�y02 + z02

��= 0

y00 = 0 (3.114)

y,

Para i = 2:@f

@z� d

dx

�@f

@z0

�= 0

@

@z

�y02 + z02

�� d

dx

�@

@z0�y02 + z02

��= 0

z00 = 0 (3.115)

Las soluciones de (3.114) y (3.115) son respectivamente,

y = c1x+ c2 (3.116)

z = c3x+ c4 (3.117)

Por último, al aplicar las condiciones de frontera sobre (3.116) en (3.117) resulta,8>>><>>>:c1 = 1

c2 = 0

c3 = �2c4 = 0

(3.118)

por lo tanto, sustituyendo estos resultados en (3.116) y (3.117) resulta finalmente,(y = x

z = �2x(3.119)



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


J =

Z x2

x1

f (y0; z0) dx

SOLUCION: aquí,f = f (y0; z0) (3.120)


Para i = 1:@

@yf (y0; z0)| {z }=0

� d

dx

�@

@y0f (y0; z0)

�= 0

d

dx

�@

@y0f (y0; z0)

�= 0

@

@y0

�@f

@y0

�dy0

dx+

@

@z0

�@f

@y0

�dz0

dx| {z }Por regla de la cadena

= 0

@2f

@y02y00 +

@2f

@z0@y0z00 = 0 (3.121)

y,

Para i = 2:@

@zf (y0; z0)| {z }=0

� d

dx

�@

@z0f (y0; z0)

�= 0

d

dx

�@

@z0f (y0; z0)

�= 0

@

@y0

�@f

@z0

�dy0

dx+

@

@z0

�@f

@z0

�dz0

dx| {z }Por regla de la cadena

= 0

@2f

@y0@z0y00 +

@2f

@z02z00 = 0 (3.122)

Por último, al resolver el sistema formado por (3.121) y (3.122) resulta,

y00 = 0

z00 = 0

)si�

@2f

@y0@z0

�2� @2f

@y02@2f

@z026= 0 (3.123)


3.5. CÁLCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES

de las cuales resulta, como se vió en el ejemplo anterior, lo siguiente,(y = c1x+ c2

z = c3x+ c4(3.124)

que es una familia de líneas rectas en el espacio. Como se puede ver, el ejemploanterior constituye un caso especial de éste.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5. Cálculo de extremales con restricciones

Existen aplicaciones en las que es natural considerar ciertas restricciones adi-cionales, a las ya impuestas por las condiciones de frontera, sobre el conjunto defunciones de las que depende el funcional integral J definido por (3.7). Por ejemp-lo, supóngase que se quiere buscar el camino más corto entre dos puntos sobre unasuperficie, entonces existe ahora la restricción de que el camino debe satisfacer laecuación de dicha superficie.

En una situación dada pueden existir más de una restricción. El número total derestriciones presentes será denotado por K y el subíndice l será utilizado para indicarcada una de las restricciones por separado, es decir, l = 1; 2; 3; : : : ; K. Debido a lautilidad que tendrán en capítulos posteriores, en el presente texto serán consideradasrestricciones de los siguientes tipos:

1. Restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0: son igualdades que expresan relaciones al-gebraicas entre las distintas yi (x) únicamente, no involucrando sus derivadas. Esdecir, ahora no todas las yi (x) son independientes pues algunas de ellas estaránrelacionadas unas a las otras mediante las ecuaciones Al [yi (x) ; x] = 0. Por ser rela-ciones algebraicas entre las yi (x), permiten eliminar (en general) todas aquellasyi (x) que son dependientes. Este tipo de restricciones corresponden con las ligadu-ras holónomas fl (qi; t) = 0 ya estudiadas en el capítulo 2 (sección 2.9.1) donde qi (t)

es ahora yi (x) y t es ahora x.

2. Restricciones del tipo Dl [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0: son igualdades que expresan relacionesentre las distintas yi (x) y sus correspondientes derivadas y0i (x), es decir, son ecua-ciones diferenciales de primer orden en las yi (x). Estas restricciones, por no ser rela-ciones algebraicas únicamente entre las yi (x), no permiten eliminar las yi (x) de-pendientes a menos que puedan ser integradas. De ocurrir lo último, entonces será



posible eliminar las y0i (x) resultando restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0. Este tipo derestricciones corresponden con las ligaduras no-holónomas fl

�qi;

�qi; t�= 0 ya estudi-

adas en el capítulo 2 (sección 2.9.2) donde qi (t) es ahora yi (x),�qi (t) es ahora y0i (x)

y t es ahora x.

3. Restricciones del tipoD�l =nPj=1

Alj [yi (x) ; x] y0j (x)+Bl [yi (x) ; x] = 0: representan un caso

menos general de las del tipo Dl [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0, por lo tanto, son igualdades queexpresan relaciones entre las distintas yi (x) y sus correspondientes derivadas y0i (x),es decir, son ecuaciones diferenciales de primer orden en las yi (x). Pueden ser ex-presadas también en forma diferencial. Igual que para las anteriores, por no serrelaciones algebraicas únicamente entre las yi (x), no permiten eliminar las yi (x) de-pendientes a menos que puedan ser integradas. De ocurrir lo último, entonces seráposible eliminar las y0i (x) resultando restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0. Este tipode restricciones corresponden con las ligaduras no-holónomas y semi-holónomas(3.262) o (3.263) ya estudiadas en el capítulo 2 (sección 2.9.2) donde qi (t) es ahorayi (x),

�qi (t) es ahora y0i (x) y t es ahora x.

4. Restricciones del tipoR x2x1Il [yi (x) ; y0i (x) ; x] dx = %l: son las denominadas Restriccio-

nes Isoperimétricas. En estas restricciones las %l son constantes y, al igual que (2)y (3), tampoco pueden ser usadas para eliminar algunas de las yi (x). Pueden serreducidas a restricciones del tipo Dl [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0 como se verá más adelante.

La manera de abordar este tipo de situaciones donde existen restricciones es trans-formar el problema con restricciones a uno equivalente sin restricciones. Esto se logra:

1. Usando las ecuaciones de las restricciones para despejar de ellas todas las yi (x)dependientes y sustituirlas en el integrando de J , resultando así una nueva eJ cuyointegrando ef es sólo función de las yi (x) independientes y sus derivadas. Despuésde realizado esto, es posible usar las ecuaciones de Euler (3.37), (3.65) y (3.66) enel caso de una variable yi (x) o de Euler-Lagrange (3.101) en el caso de varias va-riables, todas ellas encontradas para una situación sin restricciones. De los tipos derestriciones mencionados antes, esto es posible hacerlo sólo con las Al [yi (x) ; x] = 0o las Dl [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0 en los casos que sean integrables. Cuando se procedade esta forma se dirá que las restricciones son usadas en forma implícita.

2. Usando el Método de los Multiplicadores de Lagrange � de forma análoga a comose procede para hallar los valores extremales para las funciones en el curso básicode cálculo de varias variables. Más adelante serán encontradas las ecuacionesde Euler-Lagrange correspondientes. Aquí las restricciones, en ningún caso, serán



usadas para eliminar las yi (x) dependientes. Cuando se proceda de esta forma sedirá que las restricciones son usadas en forma explícita.

Las restricciones del tipo Dl [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0 (que en general no son integrables) ylas del tipo Z x2

x1

Il [yi (x) ; y0i (x) ; x] dx = %l

sólo pueden ser empleadas en forma explícita ya que, por no ser relaciones única-mente entre las yi (x), no permiten eliminar las yi (x) dependientes. Las restriccionesdel tipo Al [yi (x) ; x] = 0 y las del tipo D(Int)l [yi (x) ; y

0i (x) ; x] = 0 integrables5, pueden ser

usadas en las dos formas. Para estas dos últimas, la forma explícita proporciona infor-mación adicional contenida en los multiplicadores de Lagrange � que no es posibleobtenerla mediante la forma implícita.

3.5.1. Restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0

Forma implícita

Como se dijo antes, las restricciones presentes serán usadas para eliminar las yi (x)dependientes. Se indicará cómo se procede mediante algunos ejemplos.

Pasos a seguir cuando se usan las restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 en formaimplícita:

1. Se identifican las restricciones existentes.

2. Se indentifica f del integrando de la J dada o construida a partir de lacantidad que se desea extremar.

3. Se usan las restricciones para eliminar las yi (x) dependientes en la f iden-tificada en el paso anterior, escogiéndose las que se van a dejar comoindependientes entre sí. Esta nueva f sólo contendrá las yi (x) indepen-dientes entre sí.

4. Se encuentran y se resuelven las ecuaciones de Euler (3.37), (3.65) y (3.66)en el caso de una variable yi (x) o de Euler-Lagrange (3.101) en el caso devarias variables, usando la f hallada en el paso anterior. En el caso quesea necesario, se usan las ecuaciones de las restricciones para encontrarel resto de las yi (x) que fueron eliminadas en el paso 3.

5Aquí (Int) en Dl singnifica que las l ligaduras son integrables.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.21La geodésica. La geodésica es una línea que representa el camino

más corto entre dos puntos cuando el camino está restringido a una superficie en par-ticular. Hallar la longitud de la geodésica, es decir, la distancia más corta entre lospuntos P1 (1; 0;�1) y P2 (0;�1; 1) en el plano x+ y + z = 0.

SOLUCION: se utilizarán coordenadas Cartesianas.Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1)

que viene dada por la ecuación del plano,

A = x+ y + z = 0 (3.125)

siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.

Se indentifica f : el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado por,

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (3.126)

de aquí que la distancia venga dada por,

s =

Z (1;0;�1)

(0;�1;1)

�dx2 + dy2 + dz2

� 12 =

Z 1

0

�1 + y02 + z02

� 12 dx (3.127)

donde se ha escogido x como variable independiente. Esta es la cantidad que sequiere extremar, pudiéndose identificar f como,

f =�1 + y02 + z02

� 12 (3.128)

Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = y y y2 (x) = z (i = 1; 2) dependientes de la variableindependiente x. Las variables y y z no son independientes entre sí debido a la restric-ción (3.125).

Se usan las restricciones para eliminar las yi (x) dependientes en la f : al despejar zde la restricción (3.125) resulta,

z = �x� y (3.129)

de la cual,z0 = �1� y0 (3.130)

que al ser sustituida en (3.128) se obtiene,

f =h1 + y02 + (�1� y0)2

i 12



o,f = 2

12

�1 + y0 + y02

� 12 (3.131)

convirtiéndose el problema planteado a uno de un sola variable, y.

Se encuentran y se resuelven las ecuaciones de Euler-Lagrange sin restricciones: apartir de (3.37),

@f

@y� d

dx

�@f

@y0

�= 0 (3.132)

donde f es la dada por (3.131) y a partir de la cual,(@f@y= 0

@f@y0 = 2

� 12

1+2y0

(1+y0+y02)12

(3.133)

que al ser sustituidas en (3.132) se obtiene,

d

dx

"1 + 2y0

(1 + y0 + y02)12

#= 0

o integrando,1 + 2y0

(1 + y0 + y02)12

= c1 (3.134)

donde c1 es una constante de integración. Al despejar y0 de (3.134) se obtiene,

y0 = c2 (3.135)

donde c2 es una constante igual a una expresión algebraica que involucra a c1.

Finalmente, si se integra ahora (3.135) resulta,

y = c2x+ c3 (3.136)

donde c3 es una constante de integración. Esta es una de las extremales.

Falta la variable z que fue eliminada al usar la restricción (3.125) en (3.128). Parahallar z se sustituye (3.136) en (3.129) obteniéndose,

z = �x� (c2x+ c3)

o,z = � (1 + c2)x� c3 (3.137)

que es la otra extremal.



Para hallar las constantes c2 y c3 se aplican, sobre las extremales (3.136) y (3.137), lascondiciones de frontera y (0) = �1, y (1) = 0, z (0) = 1 y z (1) = 1 resultando,(

c2 = 1

c3 = �1(3.138)

de manera que (3.136) y (3.137) pueden ser escritas ahora como,(y = x� 1z = �2x+ 1

(3.139)

que son dos rectas y representan los caminos que hacen de (3.127) un extremal.

Por último, para hallar la distancia mínima se sustituye (3.139) en (3.127) y se evalúala integral resultante. En efecto,

s =

Z 1

0

�1 + (1)2 + (�2)2

� 12 dx

o,s =p6 (3.140)

que es la distancia mínima pedida.

Este caso puede ser resuelto, debido a que la f dada por (3.131) no dependeexplícitamente de la variable independiente x, mediante el uso de la forma integradade la Ecuación de Euler (3.66) deducida antes.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.22Encuentre la geodésica sobre una esfera de radio R.

SOLUCION: se utilizarán coordenadas esféricas.Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1)

que viene dada por la ecuación de la esfera de radio R,

r = R

es decir,A = r �R = 0 (3.141)


Se indentifica f : en la figura 3.11 se muestra la situación planteada en el enunciado.El elemento de longitud viene dado por,

ds2 = dr2 + r2d�2 + r2 Sen2 �d'2 (3.142)



Figura (3.11): Geodésicas sobre una esfera.

de aquí que la distancia s entre los puntos 1 y 2 venga dada por,

s =

Z Punto 2

Punto 1

�r02 + r2�02 + r2 Sen2 �

� 12 d' (3.143)

donde se ha escogido ' como variable independiente y r0 = drd'

, �0 = d�d'

. Esta es lacantidad que se quiere extremar, pudiéndose identificar f como,

f =�r02 + r2�02 + r2 Sen2 �

� 12 (3.144)

Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = r y y2 (x) = � (i = 1; 2) dependientes de la variableindependiente '.

Se usan las restricciones para eliminar las yi (x) dependientes en la f : en este casola restricción (3.141) sólo elimina la dependencia de f con respecto a r, haciendo r

constante. En efecto, al sustituir r = R a partir de la restricción (3.141) en (3.144) resulta,

f = R��02 + Sen2 �

� 12 (3.145)

convirtiéndose el problema planteado a uno de un sola variable, �.

Se encuentran y se resuelven las ecuaciones de Euler-Lagrange sin restricciones:puesto que @f

@'= 0 (f no depende explícitamente de la variable independiente '), se

puede usar la forma integrada de la ecuación de Euler (3.66),

f � �0 @f@�0

= c1 (3.146)



donde f es la dada por (3.145) y a partir de la cual,

@f

@�0=

R�0��02 + Sen2 �

� 12

(3.147)

que al ser sustituida en (3.146) se obtiene,��02 + Sen2 �

� 12 � �02�

�02 + Sen2 �� 12

= c2, con c2 =c1R

o,Sen2 � = c2

��02 + Sen2 �

� 12 (3.148)

de la cual resulta,d'

d�=

c2 csc2 �

(1� c22 csc2 �)12

(3.149)

y al integrar,

' = Sen�1�cot �

c3

�+ c4 (3.150)

donde c4 es la constante de integración y c23 =1c22� 1. El anterior resultado puede ser

escrito como,cot � = c3 Sen ('� c4) (3.151)

Para interpretar este resultado, se transforma a coordenadas rectangulares. Coneste fin, multiplicando (3.151) por R Sen � se obtiene,

RCos � = R Sen � (c3Cos c4) Sen'�R Sen � (c3 Sen c4) Cos'| {z }Aplicando la identidad Sen('��)=Sen'Cos��Cos' Sen�

(3.152)

y puesto que � y c3 son constantes, se puede escribir,(c3Cos c4 = A

c3 Sen c4 = B(3.153)

de modo que (3.152) queda escrita como,

A (R Sen � Sen')�B (R Sen �Cos') = (RCos �) (3.154)

Las cantidades en los paréntesis son justo las expresiones para y, x y z respectiva-mente, en coordenadas esféricas, por lo tanto resulta,

Ay �Bx = z (3.155)

que es la ecuación de un plano que pasa a través del centro de la esfera. Por lo tanto,la geodésica sobre una esfera es el camino que se origina al intersectar el plano (3.155)con la esfera, es decir, el círculo mayor. Nótese que el círculo mayor es el máximo a lavez que es la mínima distancia en “línea recta” entre dos puntos sobre la superficie deuna esfera.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.23Encuentre la ecuación de la geodésica en el plano xy, es decir,

de la línea que proporciona la distancia más corta entre dos puntos en dicho plano(ver figura 3.12).

Figura (3.12): Distancia más corta entre dos puntos del plano.

SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas.Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1)

que viene dada por la ecuación del plano xy,

A = z = 0 (3.156)



ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (3.157)


s =

Z (x2;y2)

(x1;y1)

�dx2 + dy2 + dz2

� 12 =

Z x2

x1

�1 + y02 + z02

� 12 dx (3.158)


f =�1 + y02 + z02

� 12 (3.159)



Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = y y y2 (x) = z (i = 1; 2) dependientes de la variableindependiente x.

Se usan las restricciones para eliminar las yi (x) dependientes en la f : al sustituir z dela restricción (3.156) en (3.159) resulta,

f =�1 + y02

� 12 (3.160)

convirtiéndose el problema planteado a uno de un sola variable, y.


@f

@y� d

dx

�@f

@y0

�= 0 (3.161)

donde f es la dada por (3.160) y a partir de la cual,(@f@y= 0

@f@y0 =

y0

(1+y02)12

(3.162)


d

dx

"y0

(1 + y02)12

#= 0

o integrando,y0

(1 + y02)12

= c1 (3.163)


y0 = c2 (3.164)

donde c2 es una constante igual a una expresión algebraica que involucra a c1.

Finalmente, al integrar (3.164), resulta,

y = c2x+ c3 (3.165)

donde c3 es otra constante de integración. En rigor, sólo se ha probado que la rec-ta es una trayectoria que hace que (3.158) dé un valor estacionario, aunque en esteproblema es obvio que se trata de un mínimo. Las constantes de integración c2 y c3

quedan determinadas por la condición de que la curva pase por los dos puntos fron-teras (x1; y1) y (x2; y2).

Este caso puede ser resuelto, debido a que la f dada por (3.160) no dependeexplícitamente de la variable independiente x, mediante el uso de la Forma Integradade la Ecuación de Euler (3.66) deducida antes.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.24Hallar las geodésicas del cilindro circular r = R.

Figura (3.13): Geodésicas en un cilindro circular recto de radio R.

SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas.Se identifican las restricciones existentes: en la figura 3.13 se muestra esquemática-

mente lo planteado. Existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1) que viene dada por laecuación del cilindro de radio R,

x2 + y2 = R2 (3.166)

de aquí que,A = x2 + y2 �R2 = 0 (3.167)



ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (3.168)


s =

Z Punto 2

Punto 1

�dx2 + dy2 + dz2

� 12 =

Z 1

0

�1 + y02 + z02

� 12 dx (3.169)


f =�1 + y02 + z02

� 12 (3.170)




Se usan las restricciones para eliminar las yi (x) dependientes en la f : al despejar yde la restricción (3.111) resulta,

y = ��R2 � x2

� 12 (3.171)

de la cual,y0 = � x

(R2 � x2)12

(3.172)

que al ser sustituida en (3.170) se obtiene,

f =

8<:1 +"� x

(R2 � x2)12

#2+ z02

9=;12

o,

f =

�R2

R2 � x2 + z02� 1

2

(3.173)

convirtiéndose el problema planteado a uno de un sola variable, z.


@f

@z� d

dx

�@f

@z0

�= 0 (3.174)

donde f es la dada por (3.173) y a partir de la cual,8<:@f@z= 0

@f@z0 =

z0�R2

R2�x2+z02� 12

(3.175)


d

dx

24 z0�R2

R2�x2 + z02� 12

35 = 0o integrando,

z0�R2

R2�x2 + z02� 12

= c1 (3.176)


z0 = � c2R

(R2 � x2)12

(3.177)



dondec2 =

c1

(1� c21)12

(3.178)

Finalmente, al integrar (3.177) se obtiene,

z = �c2R tan�1�

xpR2 � x2

�+ c3 (3.179)

donde c3 es otra constante de integración. Esta es la ecuación de la geodésica pedi-da, que es una hélice.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Forma explícita

Supóngase que se quiere encontrar las funciones yi (x) que hacen que la integral,

J=

Z x2

x1

f [yi (x) ; y0i (x) ; x] dx, con i = 1; 2; 3; :::; n (3.180)

tome un valor estacionario bajo las restricciones algebraicas impuestas por,

Al [yi (x) ; x] = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K y K < n (3.181)

donde, como fue mencionado antes, el subíndice l indica que puede haber más deuna restricción de este tipo (en total K).

La idea ahora es transformar el problema dado a uno equivalente sin restriccionespero sin usar las restricciones (3.181) para eliminar las yi (x) dependientes entre sí y dejarsólo las independientes entre sí (forma implícita) como se hizo en la sección anterior.Para realizar esto se usará el Método de los Multiplicadores de Lagrange �. El valorestacionario de (3.180) viene dado por,

�J=

Z x2

x1

�fdx = 0 (3.182)

de la cual se obtiene (ver sección ??*************************************),Z x2

x1

�fdx =

Z x2

x1

nXi=1

�@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

��yidx = 0 (3.183)

Aquí, como las funciones yi están sometidas a lasK restricciones independientes (3.181)de manera que K de las �yi pueden ser designadas como variables dependientes en-tre sí y espresadas en términos de las otras, las variaciones �yi no son arbitrarias por loque aún no es posible aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones.



Las variaciones �yi deben satisfacer las restricciones impuestas por (3.181). Para en-contrar las �yi que satisfacen estas restricciones se halla la variación de las ecuacionesde restricción (3.181). En efecto,

�Al =nXi=1

@Al@yi

�yi = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K (3.184)

que se mantienen para cualquier valor de x. En consecuencia, sólo n�K variaciones�yi se pueden considerar arbitrarias, es decir, �yK+1; �yK+2; �yK+3; : : : ; �yn; y el resto sedeterminan de (3.184).

De acuerdo al Método de los Multiplicadores de Lagrange, al multiplicar cada unade las ecuaciones (3.184) por un factor indeterminado �l resulta,

�l�Al = �l

nXi=1

@Al@yi

�yi = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K (3.185)

donde la suma es la que es nula, no sus términos individuales en general. Puesto quelas restricciones (3.181) están prescritas para cualquier valor de la variable indepen-diente x, los factores �l tienen que ser aplicados para cualquier valor de esta variable,haciéndolos dependientes de la misma �l = �l (x). Ahora, al ser sumadas miembro amiembro estas K ecuaciones y luego integradas desde x1 hasta x2 se obtiene,Z x2

x1

KXl=1

�l

nXi=1

@Al@yi

�yidx = 0 (3.186)

Si ahora se suman miembro a miembro (3.183) y (3.186) resulta,Z x2

x1

(nXi=1

�@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

��yi +

KXl=1

�l

nXi=1

@Al@yi

�yi

)dx = 0

o, Z x2

x1

nXi=1

"@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

�+

KXl=1

�l@Al@yi

#�yidx = 0 (3.187)

Esta movida no es trivial ya que, a pesar de haberse sumado cero, se ha adicionadorealmente una suma cuyos términos individuales no son nulos como se dijo antes. Aquíaún no se puede aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones, puestoque las variaciones �yi no son arbitrarias.

La eliminación de las K variaciones �yi dependientes entre sí, a diferencia de comose procedió en la forma implícita, puede ser llevada a cabo mediante la elección



apropiada de los K factores �l (x), de manera que los coeficientes de las �yi en (3.187)se anulen. Estos �l (x) se obtienen a partir de las K ecuaciones,

@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

�+

KXl=1

�l@Al@yi

= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; K (3.188)

que forman un sistema lineal de ecuaciones con respecto a las �l (x) cuyo determi-nante debe ser no singular,

D (A1;A2;A3; : : : ;AK)D (y1; y2; y3; : : : ; yK)

=D (Al)D (yi)

6= 0, con i; l = 1; 2; 3; : : : ; K (3.189)

garantizándose así que el sistema de ecuaciones posea solución �1; �2; �3; : : : ; �K .

Con las �l escogidas como antes, la condición para valor estacionario (3.187) que-da como, Z x2

x1

nXi=K+1

"@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

�+

KXl=1

�l@Al@yi

#�yidx = 0 (3.190)

donde todas las �yi son independientes entre sí. Ahora, es posible aplicar el Lema Fun-damental del Cálculo de Variaciones (cada uno de sus coeficientes se anulan porseparado) resultando,

@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

�+

KXl=1

�l@Al@yi

= 0, con i = K + 1; K + 2; K + 3; : : : ; n (3.191)

Finalmente, las condiciones sobre los �l (3.188) combinadas con las ecuaciones(3.191) conducen a la conclusión de que cada coeficiente de las �yi en (3.187) seanula justo como si todas las �yi fuesen independientes de manera que,

@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

�+

KXl=1

�l@Al@yi

= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; n

o,

d

dx

�@f

@y0i

�� @f

@yi= Qi, con i = 1; 2; 3; :::; n| {z }264 Ecuaciones de Euler-Lagrange para funcionales de múltiples

variables dependientes y restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.

375

(3.192)

donde,

Qi =KPl=1

�l@Al@yi

(3.193)



Las expresiones (3.192) son las Ecuaciones de Euler - Lagrange para restricciones deltipo Al [yi (x) ; x] = 0, cuando son usadas en forma explícita. Estas restricciones entranen forma explícita en los Qi dados por (3.193). Los Qi serán asociados, a partir delcapítulo 5, con las fuerzas generalizadas de ligadura.

La solución completa al problema depende ahora de la determinación de n fun-ciones yi y K funciones �l. Como hay K ecuaciones de restricción dadas por (3.181)y n ecuaciones dadas por (3.192), entonces existen suficientes ecuaciones (n + K entotal) para permitir una solución completa al problema planteado. Aquí las �l (x) sonconsideradas indeterminadas y pueden ser obtenidas como parte de la solución sa-tisfaciendo las restricciones (3.181).

El problema anterior puede ser planteado de otra forma. Es posible reobtener lasecuaciones (3.192) planteándose el problema variacional sin restricciones,

@ ef@yi� d

dx

�@ ef@y0i

�= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; n (3.194)

donde,

ef = f +KPl=1

�l (x)Al [yi (x) ; x] (3.195)

Pasos a seguir cuando se usan las restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 en formaexplícita:

1. Se identifican las restricciones existentes.

2. Se indentifica f del integrando de la J dada o construida a partir de lacantidad que se desea extremar, con las yi (x) dependientes e indepen-dientes. No deben usarse las restricciones para eliminar las yi (x) dependi-entes entre sí en f .

3. Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.192), usando la f hal-lada en el paso anterior.

4. Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange máslas restricciones, que son usadas para completar el sistema. Aquí se ob-tienen las extremales yi (x) y los multiplicadores de Lagrange �l que per-miten encontrar los Qi dados por (3.193).



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.25Resolver el ejemplo 3.21 usando la restricción presente en forma

explícita.SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas.Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1)

que viene dada por la ecuación del plano,

A = x+ y + z = 0 (3.196)



ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (3.197)


s =

Z (1;0;�1)

(0;�1;1)

�dx2 + dy2 + dz2

� 12 =

Z 1

0

�1 + y02 + z02

� 12 dx (3.198)


f =�1 + y02 + z02

� 12 (3.199)


Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.192), las ecua-ciones de Euler vendrán dadas por,

d

dx

�@f

@y0

�� @f

@y= Qy = �

@A@y

(3.200)

d

dx

�@f

@z0

�� @f

@z= Qz = �

@A@z

(3.201)

pero de (3.196) y (3.199), 8>><>>:@f@y= 0 @f

@z= 0

@f@y0 =

y0

(1+y02+z02)12

@f@z0 =

z0

(1+y02+z02)12

@A@y= 1 @A

@z= 1

(3.202)



entonces al sustituir estos resultados en (3.200) y (3.201) se obtiene,

d

dx

hy0�1 + y02 + z02

�� 12

i= � (3.203)

d

dx

hz0�1 + y02 + z02

�� 12

i= � (3.204)

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las res-tricciones: queda ahora resolver el sistema de ecuaciones diferenciales formado por(3.203) y (3.204) junto con la restricción (3.196). Restando miembro a miembro las dosecuaciones anteriores resulta,

d

dx

h(y0 � z0)

�1 + y02 + z02

�� 12

i= 0 (3.205)

que al ser integrada resulta en,

(y0 � z0)�1 + y02 + z02

�� 12 = c1 (3.206)

donde c1 es una constante de integración. Por otro lado, de la restricción (3.196),

z = �x� y ) z0 = �1� y0 (3.207)

entonces, al sustituir este resultado en (3.206) se puede escribir,

(1 + 2y0)�1 + 2y0 + 2y02

�� 12 = c1 (3.208)

de la cual,y0 = c2 (3.209)

donde la constante c2 es una constante que viene dada por una expresión en la queaparece c1 y que no vale la pena mostrar explícitamente ya que no es útil para ningúncálculo posterior.

Finalmente, al integrar (3.209) se obtiene,

y = c2x+ c3 (3.210)

donde c3 es una constante de integración. Usando este resultado en la restricción(3.196) resulta,

z = � (1 + c2)x� c3 (3.211)

Las constantes c2 y c3 se hayan al utilizar las condiciones de frontera y (0) = �1,y (1) = 0, z (0) = 1 y z (1) = 1 en (3.210) y (3.211) resultando,(

c2 = 1

c3 = �1(3.212)



de manera que (3.210) y (3.211) pueden ser escritas ahora como,(y = x� 1z = �2x+ 1

(3.213)

que son los mismos resultados obtenidos en 3.21. Es obvio que la distancia mínima serátambién la misma, es decir, s =

p6.

El multiplicador de Lagrange � puede ser encontrado sustituyendo (3.213) en (3.203)o (3.204) obteniéndose,

� = 0 (3.214)

que es una información que no podía ser obtenida al usar la restricción en forma im-plícita. En este caso particular, no se aporta mayor información.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.26Resolver el ejemplo 3.23, usando la restricción presente en forma


que viene dada por la ecuación del plano xy,

A = z = 0 (3.215)



ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (3.216)


s =

Z (x2;y2)

(x1;y1)

�dx2 + dy2 + dz2

� 12 =

Z x2

x1

�1 + y02 + z02

� 12 dx (3.217)


f =�1 + y02 + z02

� 12 (3.218)

Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = y y y2 (x) = z (i = 1; 2) dependientes de la variableindependiente x.




d

dx

�@f

@y0

�� @f

@y= Qy = �

@A@y

(3.219)

d

dx

�@f

@z0

�� @f

@z= Qz = �

@A@z

(3.220)

pero de (3.215) y (3.218), 8>><>>:@f@y= 0 @f

@z= 0

@f@y0 =

y0

(1+y02+z02)12

@f@z0 =

z0

(1+y02+z02)12

@A@y= 0 @A

@z= 1

(3.221)


d

dx

hy0�1 + y02 + z02

�� 12

i= 0 (3.222)

d

dx

hz0�1 + y02 + z02

�� 12

i= � (3.223)

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las res-tricciones: queda ahora resolver el sistema de ecuaciones diferenciales formado por(3.222) y (3.223) junto con la restricción (3.215).

Sustituyendo la restricción (3.215) en (3.222) y (3.223) resulta,

d

dx

hy0�1 + y02

�� 12

i= 0 (3.224)

� = 0 (3.225)

El resultado (3.225) es una información que no podía ser obtenida al usar la restric-ción en forma implícita. En este caso particular, no se aporta mayor información. Laecuación diferencial (3.224) al ser integrada resulta en,

y0�1 + y02

�� 12 = c1

donde c1 es una constante de integración. Esta ecuación diferencial es idéntica a la(3.163) del ejemplo 3.23, por lo tanto, el obvio que se llegará al mismo resultado (3.165),es decir,

y = c2x+ c3 (3.226)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



EJEMPLO 3.27Resolver el ejemplo 3.24, usando la restricción presente en forma


que viene dada por la ecuación del cilindro de radio R,

x2 + y2 = R2 (3.227)

de aquí que,A = x2 + y2 �R2 = 0 (3.228)



ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (3.229)


s =

Z Punto 2

Punto 1

�dx2 + dy2 + dz2

� 12 =

Z 1

0

�1 + y02 + z02

� 12 dx (3.230)


f =�1 + y02 + z02

� 12 (3.231)



d

dx

�@f

@y0

�� @f

@y= Qy = �

@A@y

(3.232)

d

dx

�@f

@z0

�� @f

@z= Qz = �

@A@z

(3.233)

pero de (3.228) y (3.231), 8>><>>:@f@y= 0 @f

@z= 0

@f@y0 =

y0

(1+y02+z02)12

@f@z0 =

z0

(1+y02+z02)12

@A@y= 2y @A

@z= 0

(3.234)




d

dx

hy0�1 + y02 + z02

�� 12

i= 2y� (3.235)

d

dx

hz0�1 + y02 + z02

�� 12

i= 0 (3.236)

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las res-tricciones: ahora bien, de (3.236) resulta,�

1 + y02 + z02�� 1

2 z0 = c1 (3.237)

y de la restricción (3.228),

y = ��R2 � x2

� 12 ) y0 = � x

(R2 � x2)12

(3.238)

entonces, al sustituir este resultado en (3.237) se puede escribir,

z0 = � c2R

(R2 � x2)12

(3.239)

con,

c2 =

�c21

1� c21

� 12

(3.240)

La ecuación (3.239) es idéntica a la ecuación diferencial (3.177) del ejemplo 3.24.Por lo tanto, es obvio que al integrarla el resultado será idéntico al (3.179), es decir,

z = �c2R tan�1�

xpR2 � x2

�+ c3 (3.241)

siendo la ecuación de la geodésica pedida una hélice.

Por último, la ecuación (3.235) permite encontrar � usando los resultados (3.238) y(3.241) obteniéndose,

� = � 1

2Rp(c22 + 1) (R

2 � x2)(3.242)

Este resultado es una información que no podía ser obtenida al usar la restricción enforma implícita.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.28Geodésicas en general. Sea � (x; y; z) = 0 la ecuación de una

superficie S dada y suponiendo que toda curva diferenciable definida sobre S admiteuna parametrización del tipo,

� (t) = (x (t) ; y (t) ; z (t)) , � : [t0; t1]! S



hallar las geodésicas sobre S.SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas.Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1)

que viene dada por la ecuación,

� (x; y; z) = 0 (3.243)

de aquí que,A = � (x; y; z) = 0 (3.244)

La restricción (3.244) es del tipo Al [yi (x) ; x] = 0, sin embargo sólo es posible tratarlaen forma explícita ya que no se posee la expresión de � (x; y; z).


ds2 = [dx (t)]2 + [dy (t)]2 + [dz (t)]2 (3.245)

de aquí que la longitud de la curva venga dada por,

s =

Z Punto 2

Punto 1

�[dx (t)]2 + [dy (t)]2 + [dz (t)]2

12

=

Z Punto 2

Punto 1

n[x0 (t)]

2+ [y0 (t)]

2+ [z0 (t)]

2o 1

2dt (3.246)

donde se ha escogido t como variable independiente y la prima indica derivada to-tal con respecto a dicha variable independiente. Esta es la cantidad que se quiereextremar, pudiéndose identificar f como,

f =n[x0 (t)]

2+ [y0 (t)]

2+ [z0 (t)]

2o 1

2(3.247)

Aquí se tienen 3 variables y1 (t) = x, y2 (t) = y y y2 (t) = z (i = 1; 2; 3) dependientes de lavariable independiente t. Las variables x, y y z no son independientes entre sí debidoa la restricción (3.244).


d

dt

�@f

@x0

�� @f

@x= Qx = �

@A@x

(3.248)

d

dt

�@f

@y0

�� @f

@y= Qy = �

@A@y

(3.249)

d

dt

�@f

@z0

�� @f

@z= Qz = �

@A@z

(3.250)



pero de (3.244) y (3.247),8>><>>:@f@x= 0 @f

@y= 0 @f

@z= 0

@f@x0 =

x0

(x02+y02+z02)12

@f@y0 =

y0

(x02+y02+z02)12

@f@z0 =

z0

(x02+y02+z02)12

@A@x= @�

@x@A@y= @�

@y@A@z= @�

@z

(3.251)

entonces al sustituir estos resultados en (3.248), (3.249) y (3.250) se obtiene,

d

dt

�@f

@x0

�= �

@�

@x(3.252)

d

dt

�@f

@y0

�= �

@�

@y(3.253)

d

dt

�@f

@z0

�= �

@�

@z(3.254)

pero como,d

dt=ds

dt

d

ds= s0

d

ds(3.255)

y de (3.246),ds

dt=�x02 + y02 + z02

� 12 (3.256)

entonces (3.252), (3.253) y (3.254) se pueden escribir como,8>><>>:d2x=ds2

@�=@x= �

s0

d2y=ds2

@�=@y= �

s0

d2z=ds2

@�=@z= �

s0

o,d2x=ds2

@�=@x=d2y=ds2

@�=@y=d2z=ds2

@�=@z=�

s0(3.257)

expresando que la normal a la curva coincide con la normal a la superficie, definiciónusual de geodésica en geometría diferencial.

En este caso no es posible resolver las ecuaciones diferenciales resultantes con lainformación suministrada.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.2. Restricciones del tipo Dl [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0

Supóngase ahora que se quieren encontrar las funciones yi (x) que hacen que laintegral,

J=

Z x2

x1




tome un valor estacionario bajo las restricciones impuestas por,

Dl [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K y K < n (3.259)

Estas restricciones sólo pueden ser usadas en forma explícita ya que no representanuna relación algebraica que sólo involucre las yi (x) a menos que sean integrables,convirtiéndose así en restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 como las estudiadas en lasección anterior.

Supóngase que se cumple,

D (D1;D2;D3; : : : ;DK)D (y01; y

02; y

03; : : : ; y

0K)

=D (Di)D (y0i)

6= 0 (3.260)

el cual representa uno de los determinantes funcionales de orden K, garantizándoseasí la independencia de las K restricciones (3.259). Debido a lo anterior es posible aho-ra, en virtud de (3.260), resolver las ecuaciones (3.259) con respecto a las y0i obtenién-dose,

y0l = Dl�yi; y

0j;x�

con l = 1; 2; 3; : : : ; K; i = 1; 2; 3; : : : ; n y j = K+1; K+2; K+3; : : : ; n (3.261)

y si adicionalmente se supone que,

yi, con i = K + 1; K + 2; K + 3; : : : ; n (3.262)

son funciones dadas en forma completamente arbitraria. Entonces, del sistema deecuaciones (3.261), es posible determinar las funciones,

yi, con i = 1; 2; 3; : : : ; K (3.263)

Por todo lo anterior, las funciones (3.262) son derivables arbitrarias con valores de fron-tera fijos y, en consecuencia, sus variaciones son también arbitrarias.

Dado un sistema admisible arbitrario de funciones yi (i = 1; 2; 3; : : : ; n) que satisfaceel sistema de ecuaciones de restricciones (3.259) se tiene que,

�Dl =nXi=1

@Dl@yi

�yi +nXi=1

@Dl@y0i

�y0i = 0, con l = 1; 2; 3; : : : ; K (3.264)

Si ahora se multiplican miembro a miembro todas las K ecuaciones anteriores por unfactor �l = �l (x) (por ahora indeterminado) se obtiene,

�l�Dl = �l

nXi=1

@Dl@yi

�yi + �l

nXi=1

@Dl@y0i

�y0i = 0, con l = 1; 2; 3; : : : ; K (3.265)



y al ser sumadas miembro a miembro estas K ecuaciones y luego integradas desde x1

hasta x2 se obtiene, Z x2

x1

KXl=1

�l

nXi=1

@Dl@yi

�yidx+

Z x2

x1

KXl=1

�l

nXi=1

@Dl@y0i

�y0idx

=nXi=1

KXl=1

�Z x2

x1

�l@Dl@yi

�yidx+

Z x2

x1

�l@Dl@y0i

d

dx(�yi) dx

�= 0 (3.266)

El segundo término entre corchetes de (3.266) puede ser integrado por partes,Zudv = uv �

Zvdu, con

(u = �l

@Dl@y0i

dv = ddx(�yi) dx) v = �yi

(3.267)

de manera que,Z x2

x1

�l@Dl@y0i

d

dx(�yi) dx = �l

@Dl@y0i

�yi

��x2x1

�Z x2

x1

d

dx

��l@Dl@y0i

��yidx (3.268)

pero,

�l@Dl@y0i

�yi

��x2x1

= 0 (3.269)

ya que �yi debe anularse en x1 y x2 por ser una variación admisible. Entonces (3.268)resulta en, Z x2

x1

�l@Dl@y0i

d

dx(�yi) dx = �

Z x2

x1

d

dx

��l@Dl@y0i

��yidx (3.270)


nXi=1

KXl=1

�Z x2

x1

�l@Dl@yi

�yidx�Z x2

x1

d

dx

��l@Dl@y0i

��yidx

�= 0

o, Z x2

x1

nXi=1

KXl=1

��l@Dl@yi� d

dx

��l@Dl@y0i

��yidx = 0 (3.271)

Por otro lado, el valor estacionario de (3.258) viene dado por,

�J=

Z x2

x1

�fdx = 0 (3.272)

de la cual se obtiene (ver sección ??),

�J=

Z x2

x1

nXi=1

�@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

��yidx = 0 (3.273)



Si ahora se suman miembro a miembro (3.271) y (3.273) resulta,Z x2

x1

nXi=1

�@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

��yidx+

Z x2

x1

nXi=1

KXl=1

��l@Dl@yi� d

dx

��l@Dl@y0i

��yidx = 0

o, Z x2

x1

nXi=1

(@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

�+

KXl=1

��l

�@Dl@yi� d

dx

�@Dl@y0i

�� 0l

@Dl@y0i

�)�yidx = 0 (3.274)

A este nivel aún no es aplicable el Lema Fundamental del Cálculo de Variacionesya que las variaciones �yi (i = 1; 2; 3; : : : ; n) no son arbitrarias. La eliminación de las Kvariaciones �yi dependientes entre sí puede ser llevada a cabo mediante la elecciónapropiada de los K factores �l, de manera que los coeficientes de las �yi en (3.274) seanulen. Estos �l se obtienen a partir de las K ecuaciones,

@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

�+

KXl=1

��l

�@Dl@yi� d

dx

�@Dl@y0i

�� 0l

@Dl@y0i

�= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; K (3.275)

que es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con respecto a �l y �0l =d�ldx

que posee, bajo las hipótesis planteadas al comienzo, la solución �l (l = 1; 2; 3; : : : ; K)que depende de K constantes arbitrarias de integración. Con las �l escogidas comoantes, la condición para valor estacionario (3.274) queda como,Z x2

x1

nXi=K+1

(@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

�+

KXl=1

��l

�@Dl@yi� d

dx

�@Dl@y0i

�� 0l

@Dl@y0i

�)�yidx = 0 (3.276)

donde ahora si son arbitrarias las variaciones �yi (i = K+1; K+2; K+3; : : : ; n) pudiéndoseaplicar ahora el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones resultando,

@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

�+

KXl=1

��l

�@Dl@yi� d

dx

�@Dl@y0i

�� 0l

@Dl@y0i

�, con i = K + 1; K + 2; K + 3; : : : ; n

(3.277)Finalmente, las condiciones sobre los �l (3.275) combinadas con las ecuaciones

(3.277) conducen a la conclusión de que cada coeficiente de las �yi en (3.274) seanula justo como si todas las �yi fuesen independientes de manera que,

@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

�+

KXl=1

��l

�@Dl@yi� d

dx

�@Dl@y0i

�� 0l

@Dl@y0i

�= 0 (3.278)

o,

d

dx

�@f

@y0i

�� @f


variables dependientes y restricciones del tipo Dl [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0.

375

(3.279)



donde,

Qi =KPl=1

n�l

h@Dl@yi� d

dx

�@Dl@y0i

�i� �0l @Dl@y0i

o(3.280)

Las expresiones (3.279) son las Ecuaciones de Euler - Lagrange para restricciones deltipo Dl [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0. Estas restricciones entran en forma explícita en los Qi dadospor (3.280).

La solución completa al problema depende ahora de la determinación de n fun-ciones yi y K funciones �l. Como hay K ecuaciones de restricción dadas por (3.259)y n ecuaciones dadas por (3.279), entonces existen suficientes ecuaciones (n + K entotal) para permitir una solución completa al problema planteado. Aquí las �l (x) sonconsideradas indeterminadas y pueden ser obtenidas como parte de la solución sa-tisfaciendo las restricciones (3.259).

Las ecuaciones (3.279) pueden ser obtenidas, al igual que en la sección anterior,planteándose el problema variacional sin restricciones,

@ ef@yi� d

dx

�@ ef@y0i

�= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; n (3.281)

donde,

ef = f +KPl=1

�l (x)Dl [yi (x) ; y0i (x) ; x] (3.282)

Existen restricciones menos generales a las del tipoDl [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0 cuyas Ecua-ciones de Euler-Lagrange no resultan en forma correcta, en general, a partir de (3.279)o (3.281). Estas restricciones serán el objeto de estudio de la siguiente sección.


Alj [yi (x) ; x] y0j (x) +Bl [yi (x) ; x] = 0

La derivada total de una restricción del tipo (3.181), es decir Al [yi (x) ; x] = 0, conrespecto a la variable independiente x y su diferencial total vienen dados respectiva-mente por,8>><>>:

dAl[yi(x);x]dx

=nPj=1

@Al[yi(x);x]@yj

y0j (x) +@Al[yi(x);x]

@x= 0

dAl [yi (x) ; x] =nPj=1

@Al[yi(x);x]@yj

dyj (x) +@Al[yi(x);x]

@xdx = 0

, con l = 1; 2; 3; :::; K (3.283)

Respectivamente, las expresiones (3.283) tienen la forma general,



8>><>>:D�(D)l [yi (x) ; y

0i (x) ; x] =

nPj=1

Alj [yi (x) ; x] y0j (x) +Bl [yi (x) ; x] = 0

D�(d)l [yi (x) ; y0i (x) ; x] =

nPj=1

Alj [yi (x) ; x] dyj (x) +Bl [yi (x) ; x] dx = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K

(3.284)donde (D) significa que aparecen las derivadas totales y0j (x) de las yj (x) y (d) queaparecen los diferenciales totales dyj (x) de las yj (x). Aquí los coeficientes Alj y Bl sonfunciones dadas que dependen, en general, de las yi (x) y la variable independientex como puede verse. Representan un caso menos general de restricciones del tipoDl [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0, por esta razón fue usado el � en D�l para distinguirlas de las Dl.En general no son integrables, impidiendo que puedan convertirse en relaciones al-gebraicas que solamente involucren a las yi (x). Es obvio que estas restricciones sepueden convertir en restriciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 [equivalentemente en (3.283)]sólo si son integrables, es decir, cuando se cumple que,(

Alj =@Al[yi(x);x]

@yj

Bl =@Al[yi(x);x]

@x

(3.285)

convirtiéndose (3.284) en una diferencial exacta o en una derivada total.

Como se dijo antes, las restricciones (3.284) son las mismas ligaduras no-holónomas y semi-holónomas (2.96) o (2.97) estudiadas en la sección 2.9.2,por lo tanto, las condiciones para que (3.284) representen una derivada to-tal o una diferencial exacta son las mismas estudiadas en dicha sección.Igualmente, cuando una restricción está expresada en la forma de la segun-da de las expresiones (3.284), se dice que está escrita en Forma Diferencialo en Forma Pfaffiana. Es obvio que ambas expresiones son equivalentes.

aSe dice que una restricción está escrita en la forma Pfaffian cuando está expresada enforma de diferenciales.

En general, como ya se había visto en la sección anterior, las restricciones del tipoDl [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0 deben satisfacer las ecuaciones (3.264), es decir,

�Dl =nXi=1

@Dl@yi

�yi +nXi=1

@Dl@y0i

�y0i = 0, con l = 1; 2; 3; : : : ; K (3.286)

que son las condiciones que deben cumplir los caminos yi (x) para ser geométricameteposibles bajo estas restricciones, es decir, aquellos caminos que las obedencen. Para



que las restricciones del tipo (3.284) puedan ser tratadas con las Ecuaciones de La-grange (3.279) o (3.281) deben satisfacer (3.286) lo cual, en efecto, lo hacen pero enforma parcial como será mostrado. Antes de mostrar esto, las ecuaciones (3.286) seránreescritas en una forma más manejable. Teniendo presente que �y0i =

ddx(�yi), al sumar

y restarnPi=1

ddx

�@Dl@y0i

��yi en las ecuaciones (3.286) resulta,

�Dl =nXi=1

d

dx

�@Dl@y0i

��yi �

nXi=1

d

dx

�@Dl@y0i

��yi +

nXi=1

@Dl@yi

�yi +nXi=1

@Dl@y0i

d

dx(�yi) = 0

=nXi=1

�d

dx

�@Dl@y0i

��yi +

@Dl@y0i

d

dx(�yi)

�| {z }

=nPi=1

ddx

�@Dl@y0i�yi

�+

nXi=1

�@Dl@yi� d

dx

�@Dl@y0i

��yi = 0

=nXi=1

d

dx

�@Dl@y0i

�yi

�+

nXi=1

Dli�yi = 0

o,

�Dl =d

dx

nXi=1

@Dl@y0i

�yi

!+

nXi=1

Gli�yi = 0 (3.287)

donde,

Gli =@Dl@yi� d

dx

�@Dl@y0i

�(3.288)

Se mostrará ahora si las restricciones del tipo (3.284) cumplen con las condiciones(3.287). Para que esto ocurra debe cumplirse que,

�D�l =d

dx

nXi=1

@D�l@y0i

�yi

!+

nXi=1

Gli�yi = 0 (3.289)

pero, a partir de (3.284) se obtiene,8>>>>>>>><>>>>>>>>:

@D�l@yi

= @@yi

nPj=1

Aljy0j +Bl

!=

nPj=1

@Alj@yi

y0j +@Bl@yi

@D�l@y0i

= @@y0i

nPj=1

Aljy0j +Bl

!=

nPj=1

Alj@y0j@y0i=

nPj=1

Alj�ji = Ali

ddx

�@D�l@y0i

�= dAli

dx=

nPj=1

@Ali@yj

y0j +@Ali@x

(3.290)

que al ser sustituidos en (3.289) resulta,

�D�l =d

dx

nXi=1

Ali�yi

!+

nXi;j=1

��@Alj@yi

y0j +@Bl

@yi� @Ali

@yjy0j �

@Ali@x

��yi = 0



o,

�D�l =d

dx

nXi=1

Ali�yi

!+

nXi;j=1

��@Alj@yi� @Ali

@yj

�y0j +

�@Bl

@yi� @Ali

@x

��yi = 0 (3.291)

que son las condiciones que deben cumplir las restricciones del tipo (3.284) para poderser tratadas con las Ecuaciones de Lagrange (3.279) o (3.281). Se puede verificar fácil-mente que (3.291) sólo se cumple cuando los coeficientes Ali y Bl sean los dados por

(3.285), teniéndose presente quenPi=1

Ali�yi = 0. Es decir:

Las restricciones (3.284) sólo pueden ser tratadas con las Ecuaciones deLagrange (3.279) o (3.281) cuando sean integrables!, convirtiéndose así es-encialmente en restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.

Por lo anteriormente mostrado, serán encontradas ahora las Ecuaciones de Euler-Lagrange particulares para las restricciones del tipo (3.284) sean integrables o no.Supóngase que se quieren encontrar las funciones yi (x) que hacen que la integral,

J=

Z x2

x1


tome un valor estacionario bajo las restricciones impuestas por (3.284). A partir de estasrestricciones,

�D�l =nXi=1

Ali�yi = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K (3.293)

que se cumplen para cualquier valor de x. Se usará el Método de los Multiplicadoresde Lagrange como se hizo en las secciones anteriores. Al multiplicar cada una de lasecuaciones (3.293) por un factor indeterminado �l resulta,

�lD�l = �l

nXi=1

Ali�yi = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K (3.294)

donde la suma es la que es nula, no sus términos individuales en general. Puesto quelas restricciones (3.284) están prescritas para cualquier valor de la variable indepen-diente x, los factores �l tienen que ser aplicados para cualquier valor de esta variable,haciéndolos dependientes de la misma �l = �l (x). Ahora, al ser sumadas miembro amiembro estas K ecuaciones y luego integradas desde x1 hasta x2 se obtiene,Z x2

x1

KXl=1

�l

nXi=1

Ali�yidx = 0 (3.295)



Por otro lado, la variación de (3.292) viene dada por (ver sección 3.4.3),

�J =

Z x2

x1

�fdx=

Z x2

x1

nXi=1

�@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

��yidx = 0 (3.296)

que se ha igualado a cero para así encontrar el valor estacionario de J . Si ahora sesuman miembro a miembro (3.295) y (3.296) resulta,Z x2

x1

(nXi=1

�@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

��yi +

KXl=1

�l

nXi=1

Ali�yi

)dx = 0

o, Z x2

x1

nXi=1

"@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

�+

KXl=1

�lAli

#�yidx = 0 (3.297)

Al igual que en la sección anterior, esta movida no es trivial. A pesar de haberse suma-do cero, se ha adicionado realmente una suma cuyos términos individuales no son nu-los. Aquí aún no se puede aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones,puesto que las variaciones �yi no son arbitrarias.

La eliminación de las K variaciones �yi dependientes entre sí puede ser llevada acabo mediante la elección apropiada de los K factores �l, de manera que los coefi-cientes de las �yi en (3.291) se anulen. Estos �l se obtienen a partir de las K ecuaciones,

@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

�+

KXl=1

�lAli = 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; K (3.298)

que forman un sistema lineal de ecuaciones con respecto a las �l cuyo determinantedebe ser no singular,

D (D�1;D�2;D�3; : : : ;D�K)D (y1; y2; y3; : : : ; yK)

=D (D�l )D (yi)

6= 0, con i; l = 1; 2; 3; : : : ; K (3.299)

garantizándose así que el sistema de ecuaciones posea solución �1; �2; �3; : : : ; �K .

Con las �l escogidas en (3.298), la condición para valor estacionario de J (3.297)queda como, Z x2

x1

nXi=K+1

"@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

�+

KXl=1

�l (x)Ali

#�yidx = 0 (3.300)

donde todas las �yi son independientes entre sí. Ahora, es posible aplicar el Lema Fun-damental del Cálculo de Variaciones (cada uno de los coeficientes de las �yi se anu-lan por separado) resultando,

@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

�+

KXl=1

�lAli con i = K + 1; K + 2; K + 3; : : : ; n (3.301)



Finalmente, las condiciones sobre los �l (3.298) combinadas con las ecuaciones(3.301) conducen a la conclusión de que cada coeficiente de las �yi en (3.297) seanula justo como si todas las �yi fuesen independientes entre sí de manera que,

@f

@yi� d

dx

�@f

@y0i

�+

KXl=1

�lAli = 0 con i = 1; 2; 3; : : : ; n

o,

d

dx

�@f

@y0i

�� @f


variables dependientes y restricciones del tipo D�l [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0.

375

(3.302)

donde,

Qi =KPl=1

�lAli (3.303)

Las expresiones (3.302) son las Ecuaciones de Euler - Lagrange buscadas para res-tricciones del tipo (3.284), sean no-holónomas o semi-holónomas. Estas restriccionesentran en forma explícita en los Qi dados por (3.303) mediante los coeficientes Ali. LosQi serán asociados, a partir del capítulo 5, con las fuerzas generalizadas de ligadura.

La solución completa al problema depende ahora de la determinación de n fun-ciones yi y K funciones �l. Aquí las �l son consideradas indeterminadas y pueden serobtenidas como parte de la solución.

Las restricciones tipo (3.284) integrables, previa integración, pueden sertratadas con las Ecuaciones de Euler-Lagrange (3.192) o (3.193). Sin embar-go, puede ocurrir que la integración no sea fácil y es en estos casos donderealmente son útiles las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.302) pues única-mente se requiere determinar los coeficientes Ali, lo cual es muy trivial. Tam-bién son útiles estas Ecuaciones de Euler-Lagrange cuando se tienen restric-ciones del tipoAl [yi (x) ; x] = 0 en las que se hace difícil despejar las variablesyi (x) dependientes en función de las independientes, resolviéndose el pro-blema al hallar la diferencial total de dichas restricciones para expresarlasen la forma diferencial (3.284) y luego aplicar (3.302).



Pasos a seguir cuando se tienen restricciones del tipo D�l [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0:

1. Se indentifica f del integrando de la J dada o construida a partir de lacantidad que se desea extremar.

2. Se identifican las restricciones existentes. Si se tienen restricciones deltipo Al [yi (x) ; x] = 0 pueden ser tratadas como restricciones del tipoD�l [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0 hallando su diferencial total sin realizar simplifica-ciones (esto haría que la diferencial hallada no fuese exacta aunque sigasiendo integrable).

3. Se identifican los coeficientes Ali mediante comparación directa de(3.284) con las restricciones dadas.

4. Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.302), usando la f hal-lada en el paso anterior.

5. Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange máslas ecuaciones de las restricciones, que son usadas para completar elsistema. Aquí se obtienen las extremales yi (x) y los multiplicadores de La-grange �l que permiten encontrar los Qi dados por (3.303).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.29Resolver el ejemplo 3.21 usando las ecuaciones de Euler-Lagrange

(3.296).SOLUCION:Se indentifica f : ya en el ejemplo 3.21 fue identificada f resultando,

f =�1 + y02 + z02

� 12 (3.304)

Aquí se tienen 2 variables y1 = y y y2 = z (i = 1; 2) dependientes de la variable indepen-diente x.

Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1)que viene dada por la ecuación del plano,

A = x+ y + z = 0 (3.305)

siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0. Puede ser tratada como una ligaduradel tipo D�(d)l [yi (x) ; y

0i (x) ; x] = 0 al hallar su diferencial total. En efecto,

D�(d)1 = dx+ dy + dz = 0 (3.306)



pudiendo ser vista ahora como una restricción del tipo D�(d)l [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0.

Se identifican los coeficientes Ali: se tienen n = 2 variables yi y una restricción l = 1.Entonces a partir de (3.284) para l = 1 se tiene que,

2Xi=1

A1idyi +B1dx = 0) A11dy1 + A12dy2 +B1dx = 0 (3.307)

o,A1ydy + A1zdz +B1dx = 0 (3.308)

Ahora, al comparar (3.306) con (3.308) se deduce que,

A1y = 1 A1z = 1 B1 = 1 (3.309)

Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.302), las ecua-ciones de Euler vendrán dadas por,8>><>>:

ddx

�@f@y0

�� @f

@y= Qy =

1Pl=1

�lAly = �A1y

ddx

�@f@z0

�� @f

@z= Qz =

1Pl=1

�lAlz = �A1z

(3.310)

ahora, al sustituir (3.304) y (3.309) en estas ecuaciones resulta,8<:ddx

hy0 (1 + y02 + z02)

� 12

i= �

ddx

hz0 (1 + y02 + z02)

� 12

i= �

(3.311)

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las res-tricciones: las ecuaciones (3.311) son idénticas a las ecuaciones (3.203) y (3.204) delejemplo 3.21. Por lo tanto, los resultados subsiguientes son igualmente idénticos a losobtenidos en dicho ejemplo.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.30Dada la funcional,

J =

Z b

a

�S1��02 + 02

�+ S2�02 + S3�02

�dx

sujeta a las restricciones,

�0 � S4 Sen ��0 = 0

0 + S4Cos ��0 = 0



encuéntrense las Qi. Aquí S1, S2, S3 y S4 son constantes positivas no nulas y la primaindica derivada total con respecto a x.

SOLUCION:Se indentifica f : en este caso,

f = S1��02 + 02

�+ S2�02 + S3�02 (3.312)

Aquí se tienen n = 4 variables y1 = �, y2 = , y3 = � y y4 = � (i = 1; 2; 3; 4) dependientesde la variable independiente x.

Se identifican las restricciones existentes: existen 2 restricciones (K = 2 ) l = 1; 2)que vienen dadas por,

D�(D)1 = �0 � S4 Sen ��0 = 0 (3.313)

D�(D)2 = 0 + S4Cos ��0 = 0 (3.314)

que no son integrables. Estas restricciones son del tipo D�(D)l [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0 y se ha

designado l = 1 a (3.313) y l = 2 a (3.314).

Se identifican los coeficientes Ali: se tienen n = 4 variables yi y dos restriccionesl = 1; 2. Entonces a partir de (3.284) se tiene que,

Para l = 1:

4Xi=1

A1iy0i +B1 = 0) A11y

01 + A12y

02 + A13y

03 + A14y

04 +B1 = 0

o,

A1��0 + A1

0 + A1��0 + A1��

0 +B1 = 0 (3.315)

Para l = 2:

4Xi=1

A2iy0i +B2 = 0) A21y

01 + A22y

02 + A23y

03 + A24y

04 +B2 = 0

o,

A2��0 + A2

0 + A2��0 + A2��

0 +B2 = 0 (3.316)

Ahora, al comparar (3.315) y (3.316) con (3.313) y (3.314) respectivamente se de-duce que,

A1� = 1 A1 = 0 A1� = �S4 Sen � A1� = 0 B1 = 0

A2� = 0 A2 = 1 A2� = S4Cos � A2� = 0 B2 = 0(3.317)



Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.302), las ecua-ciones de Euler vendrán dadas por,8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

ddx

�@f@�0

�� @f

@�= Q� =

2Pl=1

�lAl� = �1A1� + �2A2�

ddx

�@f@ 0

�� @f

@ = Q =

2Pl=1

�lAl = �1A1 + �2A2

ddx

�@f@�0

�� @f

@�= Q� =

2Pl=1

�lAl� = �1A1� + �2A2�

ddx

�@f@�0

�� @f

@�= Q� =

2Pl=1

�lAl� = �1A1� + �2A2�

(3.318)

pero a partir de (3.312),

@f@�= 0 @f

@ = 0 @f

@�= 0 @f

@�= 0

@f@�0 = 2S1�

0 @f@ 0 = 2S1

0 @f@�0 = 2S2�

0 @f@�0 = 2S3�

0

ddx

�@f@�0

�= 2S1�00 d

dx

�@f@ 0

�= 2S1 00 d

dx

�@f@�0

�= 2S2�00 d

dx

�@f@�0

�= 2S3�00

(3.319)

entonces, al sustituir los resultados (3.317) y (3.322) en las ecuaciones (3.318) resulta,8>>><>>>:2S1�00 = �1

2S1 00 = �2

2S2�00 = ��1S4 Sen � + �2S4Cos �2S3�00 = 0

(3.320)

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las res-tricciones: en este caso se deben encontrar los � ya que son necesarios, debido a(3.303), para encontrar los Qi pedidos. Al derivar con respecto a x las restricciones(3.312) y (3.313) y despejar �00 y 00 resulta,

�00 � S4�0Cos ��0 � S4 Sen ��00 = 0) �00 = S4�0Cos ��0 + S4 Sen ��00 (3.321)

00 � S4�0 Sen ��0 + S4Cos ��00 = 0) 00 = S4�0 Sen ��0 � S4Cos ��00 (3.322)

y al sustituirlos en las primeras dos ecuaciones (3.320) se obtiene,

�1 = 2S1S4 (�0Cos ��0 + Sen ��00) (3.323)

�2 = 2S1S4 (�0 Sen ��0 � Cos ��00) (3.324)

Al sustituir estos resultados en la tercera de las ecuaciones (3.320) resulta,

2S2�00 = �2S1S24 (�0Cos ��0 + Sen ��00) Sen � + 2S1S24 (�0 Sen ��0 � Cos ��00) Cos �= �2S1S24�00



o,

2�S2+S1S24

�| {z }6=0

�00 = 0)(�00 = 0

�0 = c1(3.325)

además, de la última de las ecuaciones (3.320) se obtiene,

�00 = 0) �0 = c2 (3.326)

Si ahora se sustituyen (3.325) y (3.326) en (3.323) y (3.324) resulta,

�1 = 2S2S4c1c2Cos � (3.327)

�2 = 2S2S4c1c2 Sen � (3.328)

Finalmente, a partir de (3.303) se tiene que teniendo presente los resultados (3.317),(3.327) y (3.328),8>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>:

Q� =2Pl=1

�lAl� = �1A1� + �2A2� = �1 = 2S1S4c1c2Cos �

Q =2Pl=1

�lAl = �1A1 + �2A2 = �2 = 2S1S4c1c2 Sen �

Q� =2Pl=1

�lAl� = �1A1� + �2A2� = ��1S4 Sen � + �2S4Cos �

= �2S1S24c1c2Cos � Sen � + 2S1S24c1c2 Sen �Cos � = 0

Q� =2Pl=1

�lAl� = �1A1� + �2A2� = 0

(3.329)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.31Resolver el ejemplo 3.27 usando las ecuaciones de Euler-Lagrange

(3.296).SOLUCION:Se indentifica f : ya en el ejemplo 3.27 fue identificada f resultando,

f =�1 + y02 + z02

� 12 (3.330)

Aquí se tienen 2 variables y1 = y y y2 = z (i = 1; 2) dependientes de la variable indepen-diente x.

Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1)que viene dada por la ecuación del cilindro,

A = x2 + y2 �R2 = 0 (3.331)



siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0. Su diferencial total viene dado por,

D�(d)1 = 2xdx+ 2ydy = 0 (3.332)

pudiendo ser vista ahora como una restricción del tipo D�(d)l [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0.

Se identifican los coeficientes Ali: se tienen n = 2 variables yi y una restricción l = 1.Entonces a partir de (3.284) para l = 1 se tiene que,

2Xi=1

A1idyi +B1dx = 0) A11dy1 + A12dy2 +B1dx = 0 (3.333)

o,

A1ydy + A1zdz +B1dx = 0 (3.334)


A1y = 2y A1z = 0 B1 = 2x (3.335)

Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.302), las ecua-ciones de Euler vendrán dadas por,8>><>>:

ddx

�@f@y0

�� @f

@y= Qy =

1Pl=1

�lAly = �A1y

ddx

�@f@z0

�� @f

@z= Qz =

1Pl=1

�lAlz = �A1z

(3.336)

pero de (3.330), (@f@y= 0 @f

@z= 0

@f@y0 =

y0

(1+y02+z02)12

@f@z0 =

z0

(1+y02+z02)12

(3.337)

entonces, al sustituir (3.335) y (3.337) en las ecuaciones (3.336) resulta,8<:ddx

hy0 (1 + y02 + z02)

� 12

i= 2y�

ddx

hz0 (1 + y02 + z02)

� 12

i= 0

(3.338)

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las res-tricciones: las ecuaciones (3.338) son idénticas a las ecuaciones (3.235) y (3.236) delejemplo 3.27. Por lo tanto, los resultados subsiguientes son igualmente idénticos a losobtenidos en dicho ejemplo.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



EJEMPLO 3.32Dada la funcional,

J =

Z b

a

�S1�z02 + y02

�+ S2'02 + S3z + S4Cos'

�dx

sujeta a la restricción,z0 Sen'� y0Cos' = 0

Encuéntrense las ecuaciones de Euler-Lagrange. Aquí S1, S2, S3 y S4 son constantespositivas no nulas y la prima indica derivada total con respecto a x.

SOLUCION:Se indentifica f : en este caso,

f = S1�z02 + y02

�+ S2'02 + S3z + S4Cos' (3.339)

Aquí se tienen n = 3 variables y1 = z, y2 = y y y3 = ' (i = 1; 2; 3) dependientes de lavariable independiente x.

Se identifican las restricciones existentes: existe 1 restricción (K = 1 ) l = 1) queviene dada por,

D�(D)1 = z0 Sen'� y0Cos' = 0 (3.340)

que no es integrable. Esta restricción es del tipo D�(D)l [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0.

Se identifican los coeficientes Ali: se tienen n = 3 variables yi y una restricción l = 1.Entonces a partir de (3.284) se tiene que,

Para l = 1:

3Xi=1

A1iy0i +B1 = 0) A11y

01 + A12y

02 + A13y

03 +B1 = 0

o,A1zz

0 + A1yy0 + A1''

0 +B1 = 0 (3.341)


A1z = Sen' A1y = Cos'

A1' = 0 B1 = 0(3.342)

Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.302), las ecua-ciones de Euler vendrán dadas por,8>>>>>><>>>>>>:

ddx

�@f@z0

�� @f

@z= Qz =

1Pl=1

�lAlz = �1A1z

ddx

�@f@y0

�� @f

@y= Qy =

1Pl=1

�lAly = �1A1y

ddx

�@f@'0

�� @f

@'= Q' =

1Pl=1

�lAl' = �1A1'

(3.343)



pero a partir de (3.339),

@f@z= S3 @f

@y= 0 @f

@'= �S4 Sen'

@f@z0 = 2S1z

0 @f@y0 = 2S1y

0 @f@'0 = 2S2'

0

ddx

�@f@z0

�= 2S1z00 d

dx

�@f@y0

�= 2S1y00 d

dx

�@f@�0

�= 2S2'00

(3.344)

entonces, al sustituir los resultados (3.342) y (3.344) en las ecuaciones (3.343) resulta,8><>:2S1z00 � S3 = �1 Sen'

2S1y00 = ��1Cos'2S2'00 + S4 Sen' = 0

(3.345)

que son las ecuaciones de Euler-Lagrange pedidas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


0i (x) ; x] dx = %l

Se llaman problemas isoperimétricos a los problemas sobre la determinaciónde una figura geométrica de superficie máxima con perímetro dado.

Actualmente se les da este nombre a todos los problemas variacionalesen los cuales se pide hallar el extremo de la funcional,

J=

Z x2

x1


para que tome un valor estacionario pero bajo las llamadas RestriccionesIsoperimétricas,Z x2

x1

Il [yi (x) ; y0i (x) ; x] dx = %l, con l = 1; 2; 3; :::; K (3.347)

donde las %l son constantes, K puede ser mayor, menor o igual a n, y tam-bién problemas análogos para funcionales más complejas.

Los problemas isoperimétricos pueden ser reducidos a problemas con restriccionesdel tipo Dl [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0 por medio de la introducción de nuevas funciones des-conocidas. En efecto, a partir de (3.347) haciendo el límite superior de la integral iguala x, Z x

x1

Il [yi (ex) ; y0i (ex) ; ex] dex = hl (x) (3.348)



con, (hl (x1) = 0

hl (x2) = %l, por la condición (3.347)(3.349)

donde se ha colocado s en la variable de integración para distinguirla del límite su-perior de la integral. Ahora derivando hl (x) con respecto a x se obtiene,

h0l (x) = Il [yi (x) ; y0i (x) ; x]

o,Il [yi (x) ; y0i (x) ; x]� h0l (x) = 0 (3.350)

de manera que las restricciones isoperimétricas (3.347) se han reemplazado por res-tricciones del tipo Dl [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0, reduciéndose así al problema estudiado enla primera parte de la sección anterior. Por lo tanto, son aplicables las ecuaciones deEuler-Lagrange (3.279) para las restricciones,

Dl [yi (x) ; y0i (x) ; h

0l (x) ; x] = Il [yi (x) ; y0i (x) ; x]� h0l (x) = 0 (3.351)

Las variables son, en este caso, las yi (x) y las h0l (x). Las ecuaciones de Euler-Lagrange(3.279) correspondientes a estas dos variables vienen dadas por,

d

dx

�@f

@y0i

�� @f

@yi=

KXl=1

��l

�@Dl@yi� d

dx

�@Dl@y0i

�� 0l

@Dl@y0i

�, con i = 1; 2; 3; :::; n(3.352)

d

dx

�@f

@h0j

�� @f

@hj=

KXl=1

��l

�@Dl@hj� d

dx

�@Dl@h0j

�� 0l

@Dl@h0j

�, con j = 1; 2; 3; :::; K(3.353)

Entonces, al sustituir (3.351) en (3.352) resulta,

d

dx

�@f

@y0i

�� @f

@yi=

KXl=1

��l

�@ (Il � h0l)

@yi� d

dx

�@ (Il � h0l)

@y0i

�� 0l

@ (Il � h0l)@y0i

�o,

d

dx

�@f

@y0i

�� @f

@yi=

KXl=1

��l

�@Il@yi� d

dx

�@Il@y0i

�� 0l

@Il@y0i

�(3.354)

y al sustituir (3.351) en (3.353) resulta,

d

dx

�@f

@h0j

�� @f

@hj=

KXl=1

��l

�@ (Il � h0l)

@hj� d

dx

�@ (Il � h0l)

@h0j

�� 0l

@ (Il � h0l)@h0j

�

0 =KXl=1

8>><>>:�l�� d

dx(��lj)

�| {z }

=0

� �0l (��lj)

9>>=>>;0 =

KXl=1

�0l�lj



o,�0j = 0) �j = constantes (3.355)

Finalmente, debido al anterior resultado, las ecuaciones (3.354) se reducen a,

d

dx

�@f

@y0i

�� @f

@yi= Qi, con i = 1; 2; 3; :::; n| {z }2666664

Ecuaciones de Euler-Lagrange para funcionales de múltiplesvariables dependientes y restricciones del tipo

isoperimétricoR x2x1gl [yi (x) ; y

0i (x) ; x] dx = %l.

3777775

(3.356)

donde,

Qi =KPl=1

�l

h@Il@yi� d

dx

�@Il@y0i

�i(3.357)

que son las ecuaciones de Euler-Lagrange para el problema isoperimétrico plantea-do. Las restricciones del tipo isoperimétrico, como ya se mencionó antes, sólo puedenser usadas en forma explícita ya que no representan igualdades que únicamente in-volucren las yi (x).

Pasos a seguir cuando se tienen restricciones del tipo isoperimétrico:

1. Se identifican las Il a partir de los integrandos de las restricciones isoper-imétricas dadas o construidas y la f del integrando de la J dada o con-struida a partir de la cantidad que se desea extremar.

2. Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.356), usando la f y lasIl halladas en los pasos 1 y 2.

3. Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange máslas restricciones, que son usadas para completar el sistema.Aquí se ob-tienen las extremales yi (x) y los multiplicadores de Lagrange �l que per-miten encontrar los Qi dados por (3.357).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


J =

Z �

0

y02dx



sabiendo que y (0) = 0, y (�) = 0 y sujeta a la restricción isoperimétrica,Z �

0

y2dx = 1

SOLUCION: aquí se tiene n = 1 variable y1 = y (i = 1) dependiente de la variableindependiente x y existe K = 1 restricción (l = 1).

Se identifican la f y las Il: a partir del integrando de la J se tiene que,

f = y02 (3.358)

y a partir del integrando de la restricción isoperimétrica,

I1 = y2 (3.359)

Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: a partir de las ecuaciones deEuler-Lagrange (3.356) se puede escribir para este caso,

d

dx

�@f

@y0

�� @f

@y= Qy = �1

�@I1@y� d

dx

�@I1@y0

��(3.360)

pero de (3.358) y (3.359) se tiene que,8>><>>:@f@y= 0 @I1

@y= 2y

@f@y0 = 2y

0 @I1@y0 = 0

ddx

�@f@y0

�= 2y00 d

dx

�@I1@y0

�= 0

9>>=>>; (3.361)

resuldados que al ser sustituidos en (3.360) se obtiene,

y00 = �1y (3.362)

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las res-tricciones: la ecuación diferencial (3.363) representa un problema de autovalores. Lasraíces del polinomio característico son �

p�.

Se tienen dos casos posibles dos:

1. Si � � 0, la solución general viene dada por,

y (x) = c1ep�x + c2e

�p�x (3.363)

que no puede satisfacer las condiciones de frontera dadas (verificarlo), no existien-do así solución para � � 0.



2. Si � < 0, la solución general viene dada por,

y (x) = c1 Sen�p��x

�+ c2Cos

�p��x

�(3.364)

Esta es la solución útil. De la condición de frontera y (0) = 0 resulta,

y (0) = c2 = 0 (3.365)

y de y (�) = 0,

Sen�p��

�= 0) � = 0;�1;�4; : : : ;�n2, con n = 0;�1;�2;�3; : : : (3.366)

Ahora, al sustituir los resultados (3.365) y (3.366) en la restricción isoperimétrica resulta,Z �

0

hc1 Sen

�p��x

�+ c2Cos

�p��x

�i2dx = 1 (3.367)

de la cual,

c1 = �r2

�(3.368)

Finalmente, al sustituir los resultados (3.365), (3.366) y (3.368) en (3.364) se obtienefinalmente,

y (x) = �r2

�Sen (nx) , con n = �1;�2;�3; : : : (3.369)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.34Determinar la función y (x) de longitud ` limitada por el eje x en

la parte inferior, que pasa por los puntos P1 = (�a; 0), P2 = (a; 0) y que encierra la mayorárea.

SOLUCION: la figura 3.14 muestra la situación planteada en el enunciado del ejem-plo.

Se identifican la f y las Il: a partir de la figura 3.14 se tiene que,

dA = ydx (3.370)

de la cual,

A =

Z a

�aydx (3.371)

que es la cantidad a ser maximizada. De aquí,

f = y (3.372)



Figura (3.14): Función y (x) cuya área por ella encerrada ha de maximizarse.

teniéndose presente que y (x) debe cumplir con las condiciones y (�a) = 0 y y (a) = 0.

Por otro lado, y (x) debe tener longitud constante ` entonces,

ds =�dx2 + dy2

� 12 ) s =

Z a

�a

�1 + y02

� 12 dx = ` (3.373)

que es una restricción isoperimétrica. De aquí que,

I1 =�1 + y02

� 12 (3.374)

De todo lo anterior se puede observar que existe n = 1 variable y1 = y (i = 1) dependi-ente de la variable independiente x y existe K = 1 restricción (l = 1).


d

dx

�@f

@y0

�� @f

@y= Qy = �1

�@I1@y� d

dx

�@I1@y0

��(3.375)

pero de (3.372) y (3.374) se tiene que,8>><>>:@f@y= 1 @I1

@y= 0

@f@y0 = 0

@I1@y0 =

y0

(1+y02)12

ddx

�@f@y0

�= 0

9>>=>>; (3.376)


d

dx

"y0

(1 + y02)12

#=1

�1(3.377)



Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las res-tricciones: al integrar la ecuación diferencial (3.377) resulta,

�y0

(1 + y02)12

= x� c1 (3.378)

donde c1 es una constante de integración. Esta ecuación puede ser reescrita como,

y0 = � (x� c1)��2 � (x� c1)2

� 12

(3.379)

que al ser integranda resulta en,

y = ��2 � (x� c1)2

� 12 + c2 ) y =

��2 � (x� c1)2

� 12 + c2 (3.380)

donde c2 es otra constante de integración y se ha escogido el signo positivo para y enconcordancia con el sistema de coordenadas mostrado en la figura 3.14. Reordenan-do términos,

(x� c1)2 + (y � c2)2 = �2 (3.381)

La expresión (3.381) representa un círculo de radio � centrado en (c1; c2). El áreamáxima es un semicírculo limitado por la línea y = 0 (eje x). El semicírculo parte delpunto (�a; 0) y llega hasta el (a; 0) (o viceversa), lo cual significa que debe estar cen-trado en el origen (c1; c2) = (0; 0) y tiene radio � = a. La longitud del semicírculo es �a = `,por lo tanto, a = `=�. De todo lo anterior a partir de (3.380) se deduce que,

y =

"�`

�

�2� x2

# 12

(3.382)

es la función buscada.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 3.35Para atravesar un río se coloca, desde una orilla a la otra, una

cuerda de longitud ` de densidad de masa lineal �. Si la separación entre las orillas es2a (2a < `), ¿qué forma tomará la cuerda con el fin de minimizar la energía potencial?(ver figura 3.15).

SOLUCION:Se identifican la f y las Il: si ds es el elemento de longitud de la cuerda, entonces

su energía potencial vendrá dada por,

dU = ��gyds (3.383)



Figura (3.15): Cuerda de longitud ` colocada entre las orillas de un río de ancho 2a.

donde y > 0 ya que su signo negativo ha sido considerado explícitamente. Como,

ds =�dx2 + dy2

� 12 =

�1 + y02

� 12 dx (3.384)

entonces,

U = ��gZ a

�ay�1 + y02

� 12 dx (3.385)

que es la cantidad que se desea minimizar. La minimización de U está sujeta a larestricción de que la longitud de la cuerda permanezca constante e igual a `, es decir,Z

ds =

Z a

�a

�1 + y02

� 12 dx = ` (3.386)

que es una restricción de tipo isoperimétrica. De (3.385) y (3.386) se puede identificar,

f = ��gy�1 + y02

� 12 (3.387)

D1 =�1 + y02

� 12 (3.388)

Aquí se tiene n = 1 variable y1 = y (i = 1) dependiente de la variable independientex y existe K = 1 restricción (l = 1).


d

dx

�@f

@y0

�� @f

@y= Qy = �1

�@I1@y� d

dx

�@I1@y0

��(3.389)

pero de (3.387) y (3.388) se tiene que,��gy (1 + y02)12 (1 + y02)

128>>><>>>:

@f@y= ��g (1 + y02)

12 @I1

@y= 0

@f@y0 = ��g

yy0

(1+y02)12

@I1@y0 =

y0

(1+y02)12

ddx

�@f@y0

�= �g

�� y02

(1+y02)12+ yy0y00

(1+y02)32� yy00

(1+y02)12

�ddx

�@I1@y0

�= � y02y00

(1+y02)32+ y00

(1+y02)12

9>>>=>>>; (3.390)




y00�y � �

�g

�= 1 + y02 (3.391)

o,dy0

1 + y02=

dx

y � ��g

(3.392)

y puesto que dx = dxdydy = 1

y0dy, entonces resulta que,

y0dy0

1 + y02=

dy

y � ��g

(3.393)

Ahora bien, al integrar (3.393) se obtiene,

y02 = c1

�y � �

�g

�2� 1 (3.394)

donde c1 es una constante de integración. Al hacer ahora la sustitución,

y � �

�g=

1

c1=21

Coshu (3.395)

en (3.394) se obtiene,

u02 = c1 (3.396)

cuya solución es,

u = c1=21 x+ c2, c2 = constante de integración (3.397)

donde c2 es otra constante de integración. Entonces, de (3.395) y (3.397) se obtiene,

y =1

c1=21

Cosh�c1=21 x+ c2

�+

�

�g(3.398)

Las condiciones de frontera establecen que y (�a) = 0. Al aplicarlas sobre (3.398)resulta que,

Para

8<: y (a) = 0: 0 = 1

c1=21

Cosh�c1=21 a+ c2

�+ �

�g

y (�a) = 0: 0 = 1

c1=21

Cosh��c1=21 a+ c2

�+ �

�g

(3.399)

de las cuales se puede deducir que c2 = 0 ya que a 6= 0 y por lo tanto,

� = � �g

c1=21

Cosh�c1=21 a

�(3.400)



Por otro lado, para hallar c1 se usa la restricción isoperimétrica (3.386). En efecto, alsustituir (3.398) en dicha restricción resulta,Z a

�a

h1 + Senh2

�c1=21 x

�i 12dx = `) 2

c1=21

Senh�c1=21 a

�= ` (3.401)

que es una ecuación trascendental para c1.

Finalmente, de (3.398) y (3.400) resulta,

y =1

c1=21

hCosh

�c1=21 x

�� Cosh

�c1=21 a

�ique es una catenaria, con c1 dada por (3.401).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


3.6. PROBLEMAS

3.6. Problemas

1. Hallar la extremal del problema isoperimétrico,

J =

Z 1

0

�y02 + x2

�dx

con la restricción, Z 1

0

y2dx = 2

sabiendo que y (0) = 0 y y (1) = 0. Resp.:

y = �2 Sen (n�x)

donde n es un entero.

2. Hallar las extremales del problema isoperimétrico,

J =

Z 1

0

y02dx


0

ydx = a

donde a es una constante y sabiendo que y (0) = 0 y y (1) = 0. Resp.: y = 6ax (1� x).

3. Dada la funcional,

J =

Z 1

0

�ay02 � by2

�dx

donde a y b son costantes positivas y que satisface las condiciones de frontera y (0) =

0 y y (1) = 1.

a) Hallar el camino extremal de la funcional. Resp.: y = Csc�q

ba

�Sen

�qbax�

.

b) Encuentre el valor de J usando el camino extremal hallado en (a). Resp.: J =bCsc2

�qba

�.

4. Hallar el extremal de la funcional,

J =

Z �

0

�2y Sen x� y02

�dx

que satisface y (0) = 0 y y (�) = 0. Mostrar que este extremal hace que J tome unmáximo global. Resp.: y = Senx.



5. Hallar las curvas (caminos) extremales del problema isoperimétrico,

J =

Z 1

0

�y02 + z02 � 4xz0 � 4z

�dx


0

�y02 � xy0 � z02

�dx = 2

sabiendo que,y (0) = 0, z (0) = 0 y y (1) = 1, z (1) = 1

Resp.: y = �52x2 + 7

2x o y = 3x2 � 2x; z = x.

6. Analizar el extremo de la funcional,

J =

Z x2

x1

�y2 + 2xyy0

�dx

sabiendo que y (x1) = yo y y (x2) = y1. Resp.: la integral no depende del camino deintegración. El problema variacional no tiene sentido.

7. Hallar las extremales de la funcional,

J =

Z x2

x1

y0�1 + x2y0

�dx

Resp.: las extremales son las hipérbolas,

y = c21

x+ c3

con c2 =�1�c12

�y c3 una constante de integración.


J =

Z x2

x1

�y02 + 2yy0 � 16y2

�dx

Resp.: y = c1Cos (4x) + c2 Sen (4x) o también y = C1 Sen (4x� C2) donde C1 y C2 son en,general distintas, a c1 y c2.

9. Hallar la extremal de la funcional,

J =

Z 1

0

�y02 + x

�dx

bajo las condiciones de frontera,

y (0) = 1 y y (1) = 2

Resp.: y = x+ 1.


3.6. PROBLEMAS


J =

Z 1

0

�y02 + y2

�dx

bajo las condiciones de frontera y (0) = 1 y y (1) = e�1. Tener presente que e�x =

Coshx� Senhx. Resp.: y = Cosh x� Senhx.


J =

Z x2

x1

�xy0 + y02

�dx

Resp.: y = �x2

4+ c1x+ c2.


J =

Z `

0

y03ydx

bajo las condiciones de frontera y (0) = 0, y (`) = R. Resp.: y = R�x`

� 34 , que es una

parábola de grado 34.


J =

Z x2

x1

�y2 + y02 � 2y Sen x

�dx

Resp.: y = c1ex + c2e

�x + 12Sen x.


J =

Z �

0

�2yz � 2y2 + y02 � z02

�dx

bajo las condiciones de frontera y (0) = 0, y (�) = 1, z (0) = 0 y z (�) = 1. Resp.:

y = � 1�xCosx+ c Sen x

z = � 1�xCosx+

�2�+ c�Sen x

donde c es una constante arbitraria. Es una familia de extremales.

15. ¿En qué curva puede alcanzar su extremo la funcional

J =

Z 2�

0

�y02 � y2

�dx

sabiendo que y (0) = 1 y y (2�) = 1?. Resp.: y = Cos x+c Senx, donde c es una constan-te arbitraria, es decir, el problema variacional considerado tiene un conjunto infinitode soluciones.



16. ¿En qué curvas puede alcanzar su extremo la funcional

J =

Z 1

0

�1 + y02

� 12 dx

sabiendo que y (0) = 0 y y (1) = 1?. Resp.: y = x.

17. ¿En qué curvas puede alcanzar su extremo la funcional

J =

Z x2

x1

y2dx

sabiendo que y (x1) = yo y y (x2) = y1?. Resp.: y = 0. La extremal y = 0 pasa por lospuntos frontera sólo cuando yo = 0 y y1 = 0.


J =

Z 2

1

x2y02dx

que satisface y (1) = 0 y y (2) = 1. Resp.: y = 2�1� 1

x

�.


J =

Z 1

0

(1 + y2)2

y02dx

que satisface y (0) = 0 y y (1) = 1. Resp.: y = tan��

�4+ n�

�x+ n�

�, con n = 0; 1; 2; 3; : : :.


J =

Z 1

0

�y02 � y04

�dx

que satisface y (0) = 0 y y (1) = 0. Resp.: y = 0.


J =

Z 2

1

x3

y03dx

que satisface y (1) = 1 y y (2) = 4.


J =

Z �2

0

y (2x� y) dx

bajo las condiciones de frontera:


3.6. PROBLEMAS

a) y (0) = 0 y y��2

�= �

2. Resp.: y = x.

b) y (0) = 0 y y��2

�= 1. Resp.: la extremal y = x no pasará por los puntos frontera (0; 0)

y��2; 1�

de modo que el problema variacional con estas condiciones de fronterano tendrá solución.


J =

Z �2

0

�y2 � y02 � 8yCoshx

�dx

bajo las condiciones de frontera y (0) = 2 y y��2

�= 2Cosh �

2. Resp.: y = 2Coshx.


J =

Z x2

x1

�y2 � y02 � 2y Sen x

�dx

25. Obténgase la forma que adopta la ecuación de Euler-Lagrange en los siguientescasos particulares:

a) f sólo depende de y.

b) f no depende de y.

c) f = Q (x; y)p1 + y02.


J =

Z 2

1

�y02 � 2xy

�dx

bajo las condiciones de frontera y (1) = 0 y y (2) = �1. Resp.: y (x) = x6(1� x2).


J =

Z 3

1

(3x� y) ydx

bajo las condiciones de frontera y (1) = 1 y y (3) = 92. Resp.: y = 3

2x. La extremal en-

contrada no satisface la condición y (1) = 1, por lo tanto, este problema variacionalno tiene solución.


J =

Z 2

1

(y0 + y)2dx

bajo las condiciones de frontera y (1) = 1 y y (2) = 0. Resp.: y (x) = Senh(2�x)Senh 1

.




J =

Z 1

0

py (1 + y02)dx

bajo las condiciones de frontera y (0) = 1p2

y y (1) = 1p2. Resp.: Hay dos extremales

dadas por,

y (x) =1 +

�3� 2

p2�(2x� 1)2

4�p2� 1

�30. Hallar las extremales de la funcional,

J =

Z 1

0

yy02dx

bajo las condiciones de frontera y (0) = 1 y y (1) = 3p4. Resp.: Hay dos extremales

dadas por, y (x) = 3

q(x+ 1)2 y y (x) = 3

q(3x� 1)2.


J =

Z 1

0

�y02 � y2 � y

�e2xdx

bajo las condiciones de frontera y (0) = 0 y y (1) = e�1. Resp.:

y (x) =1

2

�e�x + (1 + e)xe�x � 1

�32. Hallar la extremal de la funcional,

J =

Z e

1

�xy02 + yy0

�dx

bajo las condiciones de frontera y (1) = 0 y y (e) = 1. Resp.: y (x) = lnx.


J =

Z b

a

�2xy +

�x2 + ey

�y0�dx

bajo las condiciones de frontera y (a) = A y y (b) = B. Resp.: La integral no dependedel camino de integración, por lo tanto, este problema variacional no tiene sentido.


J =

Z 1

0

(xy0 + ey) dx

bajo las condiciones de frontera y (0) = 0 y y (1) = �. Resp.: y (x) = 0 si � = 0; si � 6= 0no existe extremal suave.


3.6. PROBLEMAS


J =

Z 1

0

�2ey � y2

�dx

bajo las condiciones de frontera y (0) = 1 y y (1) = e. Resp.: No hay extremales, laecuación de Euler no tiene soluciones.

36. Considérese la funcional,

J =

Z x2

x1

f [y (x) ; y0 (x) ; x] dx

con las condiciones de frontera y (x1) = A y y (x2) = B. Demostrar que la ecuaciónde Euler se mantiene al agregar al integrando la derivada total de cualquier funciónu = u (x; y).


J =

Z b

a

xny02dx

y probar que para n > 1 no existen extremales que pasen por dos puntos distintossituados sobre el eje Oy.

38. Demuéstrese la invariancia de la ecuación de Euler frente a cambios de coorde-nadas.

39. Considerar la función f =�dy(x)dx

�2donde y (x) = x. Sumar a y (x) la función � (x) =

Sen (x), y (a) graficar y (x) y dos de sus variaciones y (�; x) en un mismo plano Carte-siano, (b) encontrar J (�) entre los límites x = 0 y x = 2�, (b) mostrar que el valorestacionario de J (�) se da cuando � = 0. Resp.:

(b) J (�) = ��2 + �2

�:

40. Considerar la función

f =

��dy (x)

dx

�� ex � 1

�2+ x2

donde y (x) = x + ex. Sumar a y (x) la función � (x) = x2 � Cos��2x�� 1, y (a) graficar

y (x) y dos de sus variaciones y (�; x) en un mismo plano Cartesiano, (b) encontrarJ (�) entre los límites x = �1 y x = 1, (b) mostrar que el valor estacionario de J (�) seda cuando � = 0. Resp.:

(b) J (�) =2

3+1

�

�1

4�3 +

8

3� + 16

��2:



41. Encuentre y resuelva las ecuaciones para las geodésicas sobre un plano usandocoordenadas polares planas (r; '), en términos de las cuales el elemento de dis-tancia ds es dado por ds2 = dr2 + r2d'2. Resp.: r = c1 Sec ('� c2), donde c1 y c2 sonconstantes de integración. Esta es la ecuacción de la recta en coordenadas po-lares.

42. Encuentre:

a) La expresión general para el camino más corto sobre la superficie de un conode semiángulo � mediante cálculo variacional. Tome la ecuación del caminoen la forma � = � ('), donde � es la distancia desde el vértice O y ' es el ángulopolar cilíndrico medido alrededor del eje del cono (ver figura 42a). La ecuaciónde un cono viene dada por z = 1 �

px2 + y2. Resp.: � = 1

bSen� sec [('� c) Sen�],

con c una constante.

Problema 43.

b) Encuentre el camino particular que satisface las condiciones de frontera ��2

�= a. Resp.: � =

aCos(�2 Sen�)Cos(' Sen�)

.

43. Un fabricante desea minimizar la funcional de costo,

C =

Z 4

0

[(3 + y0) y0 + 2y] dx

sujeta a las condiciones de frontera y (0) = 0 y y (4) = X, donde X es el volu-men deseado de producción. Encuentre el extremal de C que satisface las condi-


3.6. PROBLEMAS

ciones dadas y pruebe que ésta hace que C tome un mínimo global. Resp.: y =14x (2x+X � 8).

44. Considérese la propagación de los rayos de luz en un medio axialmente simétricodonde, en un sistema de coordenadas cilíndricas (r; '; z), el índice de refracción esn = n (r) y los rayos están en el plano z = 0. Para este caso el principio de Fermatresulta en la funcional,

� = c�1Z '1

'o

n�r2 + r02

� 12 d'

donde c es la velocidad de la luz en el vacío, � es el tiempo empleado por un rayode luz para ir de un punto a otro, r = r (') es la ecuación del camino seguido yr0 = dr

d'.

a) Mostrar que las extremales de � satisfacen la ecuación diferencial ordinaria,

nr2

(r2 + r02)12

= constante

b) Mostrar que si se escribe r0 = r tan ( ángulo entre la tangente al rayo y lasuperficie cilíndrica local r =constante), la anterior ecuación se transforma en,

rnCos = constante

que es la forma de la ley de Snell para este caso.

45. Muestre que al sustituir la funcional,

ef = f +KXl=1

�l (x)Al [yi (x) ; x]

en las ecuaciones de Euler-Lagrange,

@ ef@yi� d

dx

@ ef@y0i

!= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; n

se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange,

d

dx

�@f

@y0i

�� @f

@yi=

KXl=1

�l@Al@yi

46. Encuentre el camino más corto sobre la superficie de una esfera usando los multi-plicadores de Lagrange.



47. A partir de la forma usual (no integrada) de la ecuación de Euler, rehacer el proble-ma de encontrar la geodésica sobre la superficie de una esfera de radio R, usando� como variable dependiente y ' como independiente.

a) Mostrar que se obtiene la ecuación diferencial,

Cos �

Sen �� d

d'

��0

Sen2 �

�= 0

donde �0 = d�d'

. Use la restricción presente en forma implícita.

b) Mostrar que,d

d'

�Cos �

Sen �

�= � �0

Sen2 �

c) Use la expresión anterior para resolver la ecuación encontrada en (a). Resp.:z = c1x+ c2y, que es la ecuación de un plano que pasa a través del centro de laesfera. Por lo tanto, la geodésica sobre una esfera es el camino que se origina alintersectar este plano con la esfera, es decir, el círculo mayor.

48. Rehaga el problema de encontrar el camino más corto sobre la superficie de unaesfera usando ambas � y ' como variables dependientes, formulándolo como unproblema paramétrico escribiendo las condiciones de frontera apropiadas. Com-bine las dos Ecuaciones de Euler - Lagrange resultantes y muestre que se obtiene elcamino ya conocido.

49. Dada la superficie z = x32 ,

a) ¿cuál es la curva sobre esta superficie que une los puntos (x; y; z) = (0; 0; 0) y(1; 1; 1) que tiene la mínima longitud?. Resp.:

y =8

133=2 � 8

"�1 +

9

4x

�3=2� 1#

b) Use la computadora para generar una gráfica conjunta que muestre la superfi-cie dada y el camino más corto obtenido en (a).

50. Considérese la línea que une los puntos

(x1; y1) = (0; 0) y (x1; y1) = (1; 1)

Mediante los siguientes pasos, se mostrará explícitamente que la función y (x) =

x produce un camino de mínima longitud mediante el uso de la función variaday (�; x) = x+ � Sen [� (1� x)].


3.6. PROBLEMAS

a) Muestre que la longitud s de la curva y (�; x) que une los puntos (x1; y1) = (0; 0) y(x1; y1) = (1; 1) es,

s =

p2

�

Z �

0

�1� ��Cosu+ 1

2�2�2Cos2 u

� 12

du

donde se ha hecho el cambio � (1� x) = u. Aquí s es el funcional.

b) La anterior integral no puede resolverse directamente puesto que, de hecho,es una integral elíptica. Sin embargo, como � es pequeña podemos desarrollarel integrando en la forma (1� x)1=2 hasta el término cuadrático. Mostrar que elresultado de esta operación viene dado por,

s =

p2

�

Z �

0

�1� 1

2

��Cosu� 1

2�2�2Cos2 u

��18

��Cosu� 1

2�2�2Cos2 u

�2+ :::

#du

c) Ahora, si en la anterior expresión se dejan sólo los términos hasta Cos2 u y se inte-gra, mostrar que el resultado viene dado por,

s =p2

�1 +

1

16�2�2

�d) Por último, mostrar que cumple con la condición para que esta integral tome un

valor estacionario, es decir,@s

@�

��=0

= 0

mostrándose así que la función y (x) = x produce un camino de mínima longitud.

51. Encuéntrese la ecuación de la línea que proporciona la distancia más corta en-tre dos puntos en el espacio (x1; y1; z1) y (x2; y2; z2). Ayuda: Supóngase que x, y y z

dependen del parámetro ` y que los puntos extremos son expresados por,

(x1 (`1) ; y1 (`1) ; z1 (`1)) y (x2 (`2) ; y2 (`2) ; z2 (`2))

Resp.: x�x1x2�x1 =

y�y1y2�y1 =

z�z1z2�z1 que es la ecuación de la recta en el espacio que pasa

por los puntos (x1; y1; z1) y (x2; y2; z2).

52. Mostrar que la geodésica sobre la superficie de un cilindro circular recto de radioR (ver figura 52b) es un segmento de hélice,

' = c1z + c2

Usar coordenadas cilíndricas ds2 = dr2 + r2d'2 + dz2.



a) Usando la restricción presente en forma implícita.

b) Usando la restricción presente en forma explícita.

Problema 53.


J =

Z 1

0

�y2 + x2y0

�dx

bajo las condiciones de frontera y (0) = 0 y y (1) = a. Resp.: y = x. La primera condi-ción de frontera se cumple pero la segunda se satisface sólo cuando a = 1. Si a 6= 1,no existe ninguna extremal que satisfaga las condiciones de frontera.


J =

Z x1

x0

(y + xy0) dx

bajo las condiciones de frontera y (x0) = y0 y y (x1) = y1. Resp.: La integral no de-pende del camino de integración, por lo tanto el problema variacional no tienesentido.


J =

Z 2

1

�y02 + 2yy0 + y2

�dx

bajo las condiciones de frontera y (1) = 1 y y (2) = 0. Resp.: y = Senh(2�x)Senh 1

.


3.6. PROBLEMAS


J =

Z 1

0

�xy + y2 � 2y2y0

�dx

bajo las condiciones de frontera y (0) = 1 y y (1) = 2. Resp.: No hay extremo.


J =

Z x1

x0

�y2 + y02 +

2y

coshx

�dx

Resp.: y = c1Coshx+ c2 Senhx+ x Senhx� Coshx ln (Cosh x).


J =

Z x1

x0

�x2y02 + 2y2 + 2xy

�dx

Resp.: y = c1x+c2x2+ 1

3x ln jxj.


J =

Z 0

�1

�12xy � y02

�dx

bajo las condiciones de frontera y (�1) = 1 y y (0) = 0. Resp.: y = �x3.


J =

Z �

0

�4yCosx+ y02 � y2

�dx

bajo las condiciones de frontera y (0) = 0 y y (�) = 0. Resp.: y = (c+ x) Senx, donde c

es una costante arbitraria.


J =

Z 1

0

�y02 + 4y2

�dx

bajo las condiciones de frontera y (0) = e2 y y (1) = 1. Resp.: y = e2(1�x).


J =

Z b

a

�y +

y3

3

�dx

Resp.: no hay extremales.




J =

Z 2

1

�y02 + z2 + z02

�dx

bajo las condiciones de frontera y (1) = 1, y (2) = 2, z (1) = 0 y z (2) = 1. Resp.: y = x,z = Senh(x�1)

Senh 1.


J =

Z �4

0

�2z � 4y2 + y02 � z02

�dx

bajo las condiciones de frontera y (0) = 0, y��4

�= 1, z (0) = 0 y z

��4

�= 1. Resp.:

y = Sen (2x), z = �12x2 + 32+�2

8�x.


J =

Z 1

�1

�2xy � y02 + 1

3z03�dx

bajo las condiciones de frontera y (1) = 0, y (�1) = 2, z (1) = 1 y z (�1) = �1. Resp.: Lafamilia de extremales es:

y = �16(x3 + 5x� 6)

z = x


J =

Z �2

0

�y02 + z02 � 2yz

�dx

bajo las condiciones de frontera y (0) = 0, y��2

�= 1, z (0) = 0 y z

��2

�= 1. Resp.: La

familia de extremales es:y = Senx

z = Senx


J =

Z 1

0

�y02 + z02 + 2y

�dx

bajo las condiciones de frontera y (0) = 1, y (1) = 32, z (0) = 0 y z (1) = 1. Resp.: La

familia de extremales es:y = 1

2x2 + 1

z = 1


3.6. PROBLEMAS

68. Probar que la ecuación de Euler de la funcional,

J =

Z b

a

F (y; z; y0; z0;x) dx

tiene las siguientes primeras integrales:

a) @F@y0 = c (c constante) si F no comprende y;

b) F � y0 @F@y0 � z

0 @F@z0 = c si F no comprende x.

69. Un cohete de masa m, partiendo del reposo, ha de ser acelerado verticalmentehacia arriba desde la superficie de la Tierra hasta una altura h en un tiempo � (verfigura 3.16), mediante la fuerza generada por su motor mA (t) (A aceleración quele imprime al cohete los gases expulsados). Si se supone que m y g permanecenconstantes durante el vuelo, que y (0) =

�y (0) = 0 y que y (�) = h:


a) Mostrar que la aceleración resultante con la que sube el cohete viene dada por,

��y = A (t)� g



b) Mostrar que h viene dada por,

h = �12g�2 +

Z �

0

(T � t)A (t) dt

c) Si el consumo { de combustible del cohete viene dado por,

{ [A (t)] =Z �

0

A2 (t) dt

use el anterior resultado escrito en la forma,Z �

0

(T � t)A (t) dt = h+1

2g�2 = constante

como restricción isoperimétrica y muestre que la u (t) que minimiza dicho con-sumo viene dada por,

u (t) =3

�3

�h+

1

2g�2�(�� t)

d) ¿Durante cuánto tiempo (mínimo) se debería acelerar el cohete para consumirel mínimo posible de combustible y cuál sería el consumo para este tiempo?.Resp.:

� =

s6h

g

{ =4

3gp6gh

70. Dado el problema isoperimétrico,

J (x; y) =1

2

Z t1

to

�x�y � y �x

�dt

(el punto denota derivada total con respecto a t) con la restricción isoperimétrica,Z t1

to

q�x2+

�y2dt = L

mostrar que J representa el área encerrada bajo la circunferencia,

(x� c2)2 + (y � c1)2 = �2

con,� =

1

2�L


3.6. PROBLEMAS

71. Encuentre la extremal del problema isoperimétrico,

J (y) =

Z �

0

y02dx

con y (0) = y (�) = 0, sujeto a la restricción,Z �

0

y2dx = 1

72. Si f (x; y) = y + xy0 muéstrese que la funcional,

J =

Z b

a

(y + xy0) dx

no depende de y = y (x) y, por lo tanto, no tiene sentido econtrar un camino quehaga de J un valor extremo.

73. Hallar la distancia más corta entre los puntos P1 (�2; 1; 1) y P2 (6;�1;�2) en el plano�x+ 2y � 4z = 0. Use la restricción presente en forma explícita. Resp.:

p77.

74. Encuentre la extremal del problema isoperimétrico,

J (y) =

Z 1

0

y02dx

con y (0) = 0 y y (1) = 14, sujeto a la restricción,Z 1

0

�y � y02

�dx =

1

12

Resp.: y (x) = 14(2x� x2).

75. Muestre que al sustituir la funcional,

ef = f +

KXl=1

�l (x)Dl [yi (x) ; y0i (x) ; x]

en las ecuaciones de Euler-Lagrange,

@ ef@yi� d

dx

@ ef@y0i

!= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; n

se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange,

d

dx

�@f

@y0i

�� @f

@yi=

KXl=1

��l

�@Dl@yi� d

dx

�@Dl@y0i

�� 0l

@Dl@y0i

�76. Resuelva el problema 73 usando ahora la restricción presente en forma implícita.

Resp.:p77.


CAPÍTULO 4

Transformada de Legendre

La transformada de Legendre1 es una herramienta matemática comúnmenteutilizada en Mecánica Estadística y Termodinámica para definir los potenciales ter-modinámicos y en Mecánica Clásica para establecer la correspondencia entre losmarcos Lagrangiano y Hamiltoniano de los sistemas dinámicos.

Bajo algunas circunstancias, es útil almacenar la información contenida en unadeterminada función de una forma diferente. Dos ejemplos comunes son las transfor-maciones de Fourier y de Laplace. Estas expresan la función como la suma de ex-ponenciales (reales o complejas), mostrando la información contenida en la funciónen términos de la suma de cada componente contenida en la misma más que entérminos de su valor.

Contents4.1. De�nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

4.2. Convexidad y concavidad de funciones y propiedades . . . . . . . . . . 297

4.2.1. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

4.2.2. Funciones cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

4.2.3. Determinación de la convexidad y la concavidad de una función . . . . . 300

4.2.4. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

4.3. Transformada de Legendre para una variable independiente . . . . . . 311

1Reciben su nombre debido a Adrien-Marie Legendre (París, 18 de septiembre de 1752 - Auteuil, Francia,10 de enero de 1833), Matemático francés. Hizo importantes contribuciones a la estadística, la teoríade números, el álgebra abstracta y el análisis matemático.

293

CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE

4.4. Transformada de Legendre para más de una variable independiente . 316

4.5. Variables activas y pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

4.6. Algunas propiedades matemáticas de la transformada de Legendre . 325

4.6.1. La inversa de la transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 325

4.6.2. Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

4.6.3. Simetrías y relaciones entre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

4.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

4.1. Definición

En ciertos problemas matemáticos o físicos es deseable expresar una cierta mag-nitud F (como la energía interna) mediante una función diferente G en la que losargumentos sean precisamente las derivadas de la función respecto a las antiguasvariables.

Supóngase que se tiene una relación matemática cualquiera,

F = F (u1; u2; :::; un) = F (ui) , con i = 1; 2; 3; : : : ; n (4.1)

donde n es el número de variables. Esta expresión será llamada Relación Fundamentalpara señalar que contiene toda la información necesaria para caracterizar la relación.Ahora el objetivo es tomar las variables,

vi =@F (uj)

@ui(4.2)

como variables independientes sin perder nada de la información contenida en larelación fundamental, es decir, se quiere escribir F = F (vi). Esto no se logra por elsimple artilugio de escribir las ui en términos de las vi usando (4.2) y reemplazándolasen la relación fundamental (4.1).

Para comprender mejor lo inadecuado de este procedimiento piénsese en el casode una sola variable u. Si la relación fundamental F = F (u) está representada comose muestra en la figura 4.1(a) y se elimina u mediante la expresión para la pendiente v,

v =dF (u)

du(4.3)

una breve reflexión indica que con tal procedimiento se perdería algo del contenidomatemático de la relación fundamental F = F (u) puesto que:


4.1. DEFINICIÓN

Figura (4.1): (a) Representación de la relación fundamental F = F (u). (b) Representación de una familiade relaciones fundamentales F = F (v).

1. Desde el punto de vista geométrico es evidente que el conocimiento de F enfunción de la pendiente v no permitirá reconstruir la curva F = F (u). En efecto,cualquiera de las curvas de la figura 4.1(b) satisface la relación F = F (v).

2. Desde el punto de vista analítico la relación F = F (v) es una ecuación diferencialde primer orden y su integración da una F = F (u) en la que queda indeterminadauna constante de integración. Así pues, se ve que la aceptación de F = F (v) comorelación fundamental en lugar de F = F (u) implicaría la pérdida de parte de lainformación contenida originalmente en la relación fundamental.

A pesar de la conveniencia de disponer de v como variable independiente, estesacrificio del contenido informativo es completamente inaceptable. La solución acept-able al problema planteado es suministrada por la dualidad entre la geometría con-vencional del punto y la geometría de Plücker2 de las líneas3.

El concepto esencial en la geometría de Plücker de las líneas es que una curva da-da puede representarse igualmente bien como envolvente de una familia de líneas

2La geometría de Plücker propone una relación funcional para las rectas a través de los pares ordenados(v;G (v)) donde v es la pendiente y G (v) la ordenada al origen.

3Julius Plücker nació en Elberfeld (ahora parte de Wuppertal). Después de ser educado en Düsseldorfy las universidades de Bonn, Heidelberg y Berlín fue a París en 1823, donde encontró la influencia dela gran escuela de geómetras, cuyo fundador, Gaspard Monge, había muerto recientemente. En 1825volvió a Bonn, y en 1828 se hizo catedrático en matemática. En el mismo año publicó el primer volumende su Analytisch-geometrische Entwickelungen, que introdujo por primera vez el método de anotaciónabreviada. En 1831 publicó el segundo volumen, en el cual estableció la dualidad proyectiva en unabase sólida e independiente.



Figura (4.2): Una curva dada puede representarse igualmente bien como envolvente de una familia delíneas tangentes.

tangentes (ver figura 4.2) o como lugar geométrico de los puntos que satisfacen larelación fundamental F = F (u). Por consiguiente, cualquier expresión que permitaconstruir la familia de líneas tangentes determina la curva tan satisfactoriamente co-mo la relación F = F (u).

Del mismo modo que cualquier punto del plano está descrito por dos números (u,F (u)), así cualquier recta del plano puede describirse por los dos números (v;G (v)),donde G (v) es su intersección con el eje u. Por lo tanto, del mismo modo que larelación fundamental F = F (u) selecciona un subconjunto de todos los puntos posibles(u;G (u)), una relación G = G (v) selecciona un subconjunto de todas las rectas posibles(v;G (v)). El conocimiento de las intersecciones G de las líneas tangentes en función delas pendientes v permite construir la familia de líneas tangentes y, por consiguiente, lacurva que constituye su envolvente. Así la relación G = G (v) es completamente equiv-alente a la relación fundamental F = F (u). En G = G (v) la variable independiente es vpor lo que proporciona una solución completa y satisfactoria al problema, pudiéndoseconsiderar como una relación fundamental equivalente.

El procedimiento para encontrar G = G (v) lo proporciona la llamada Transformadade Legendre,


4.2. CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD DE FUNCIONES Y PROPIEDADES

Una Transformada de Legendre da como resultado una nueva funciónen la que se sustituye una o más variables independientes con la derivadade la función original respecto a esa variable.

4.2. Convexidad y concavidad de funciones y propieda-des

4.2.1. Funciones convexas

Un conjunto S es convexo si no existen puntos A y B en S tales que en elsegmento de recta entre A y B exista, al menos, un punto que no pertenecea S (ver figura 4.3).

Figura (4.3): (a) Conjunto S convexo, (b) conjunto S no convexo.

Es de hacer notar que se incluye el conjunto vacío dentro de la definición de con-vexidad. La definición también incluye conjuntos únicos donde A y B tienen que ser elmismo punto y por lo tanto la línea entre A y B es el mismo punto.

Ahora bien,

Sea S � Rn un conjunto convexo no vacío y sea F : S ! R, se dice queF es una Función Convexa en S si y sólo si,

F [�ua + (1� �)ub] 6 �F (ua) + (1� �)F (ub) (4.4)

8� 2 [0; 1] ^ 8ua; ub 2 S, como se muestra gráficamente en la figura 4.4.



Figura (4.4): Función F (u) convexa en el intervalo [ua; ub].

En otras palabras, una función es convexa si y sólo si su Epigrafo4 (el conjunto depuntos situados en o sobre el grafo como se muestra en la figura 4.5) es un conjuntoconvexo.

Figura (4.5): El epigrafo de una función de valor real es la zona "sobre"la curva.

4EL epigrafo de una función es la zona .arriba"de la función. Análogamente, el conjunto de puntos en opor debajo de esta función es un hipografo.



Una Función Estrictamente Convexa es aquella en que,

F [�ua + (1� �)ub] < �F (ua) + (1� �)F (ub) (4.5)

8� 2 (0; 1) ^ 8ua; ub 2 S con ua 6= ub.

Geométricamente, F = F (u) será convexa si el segmento que une dos puntos cua-lesquiera de la gráfica de la función se sitúa siempre encima o a la altura de ésta

4.2.2. Funciones cóncavas

Sea S � Rn un conjunto convexo no vacío y sea F : S ! R, se dice queF es una Función Cóncava en S si y solo si,

F [�ua + (1� �)ub] > �F (ua) + (1� �)F (ub) (4.6)

8� 2 [0; 1] ^ 8ua; ub 2 S, como se muestra gráficamente en la figura 4.6.

Figura (4.6): Función F (u) cóncava en el intervalo [ua; ub].

y además,



Una Función Estrictamente Cóncava es aquella en que,

F [�ua + (1� �)ub] > �F (ua) + (1� �)F (ub) (4.7)

8� 2 (0; 1) ^ 8ua; ub 2 S con ua 6= ub.

Geométricamente, F = F (u) será convexa si el segmento que une dos puntos cua-lesquiera de la gráfica de la función se sitúa siempre por debajo de ésta.

Figura (4.7): Gráfica de la finción F (u) = Cos (u). En el dominio��2 ;

3�2

�es una función estrictamente

convexa y en el dominio�3�2 ;

5�2

�es una función estrictamente cóncava.

Las funciones lineales son cóncavas y convexas a la vez, dado que cumplen ladefiniciones (4.4) y (4.6) como una igualdad entre los dos miembros. Sin embargo, porlo anterior, no son extrictamente convexas ni extrictamente cóncavas. Por el contrario,la función coseno F (u) = Cos (u), mostrada en la figura 4.7, no es cóncava ni convexasobre todo su dominio R pero. Sin embargo, sobre ciertos subdominios si tiene algunasde estas propiedades. Así, en el dominio

��2; 3�2

�es una función convexa, mientras que

en el dominio�3�2; 5�2

�es una función cóncava, siéndolo estrictamente en ambos casos.

4.2.3. Determinación de la convexidad y la concavidad de una fun-ción

Obsérvese que no es fácil demostrar la convexidad y la concavidad de una fun-ción por definición. Por ello es conveniente disponer de unas condiciones necesarias



y suficientes que nos permitan determinar si una función es convexa o cóncava, estu-diando otros elementos más operativos.

Siempre que la función dada sea al menos dos veces derivable, se puede determi-nar su carácter convexo o cóncavo.

En caso de funciones de una variable

Figura (4.8): Representación gráfica de la desigualdad (4.8) que expresa la condición de convexidad.

Si la función F = F (u) es derivable entonces la convexidad equivale a la condi-ción que expresa la desigualdad,

d

dxF (ua) 6

F (ub)� F (ua)ub � ua

6 d

dxF (ub) (4.8)

como se muestra gráficamente en la figura 4.8. Esto significa que la pendiente de lacurva entre los puntos ua y ub está contenida entre los valores extremos de la derivada,lo cual equivale a que la derivada sea creciente en todo el dominio de F . Si F esdos veces derivable, el carácter creciente de la primera derivada implica que que lasegunda derivada sea positiva,

d2

du2F (u) > 0

Para una funciónconvexa

(4.9)



y para una función estrictamente convexa,

d2

du2F (u) > 0

Para una funciónestrictamente convexa

(4.10)

Mediante un razonamiento análogo al anterior se puede encontrar que para lasfunciones cóncavas se debe cumplir que,

d2

du2F (u) 6 0

Para una funcióncóncava

(4.11)

y,

d2

du2F (u) < 0

Para una funciónestrictamente cóncava

(4.12)

para una función estrictamente cóncava.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 4.1Determinar si la función,

F (u) =1

u

con u > 0, es cóncava o covexa. Ver figura 4.9.SOLUCION: al hallar la segunda derivada de la función dada resulta,

d2

du2F (u) =

2

u3> 0

lo cual indica que es estrictamente convexa.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Figura (4.9): Gráfica de la función F (u) = 1u para u > 0.


F (u) = �e�u

con � 6 0 y u > 0 variable real, es cóncava o covexa. Ver figura 4.10.SOLUCION: al hallar la segunda derivada de la función dada resulta,

d2

du2F (u) = �3e�u 6 0

lo cual indica que es cóncava.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


F (u) = au2 + bu+ c

con a < 0 y u variable real, es cóncava o covexa. Ver figura 4.11.SOLUCION: al hallar la segunda derivada de la función dada resulta,

d2

du2F (u) = 2a < 0

lo cual indica que es estrictamente cóncava.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Figura (4.10): Gráfica de la función F (u) = �e�u para � 6 0 y u > 0.

Figura (4.11): Gráfica de la función F (u) = au2 + bu+ c con a < 0 y u variable real.


F (u) = e�u + u

con � > 0 y u variable real, es cóncava o covexa. Ver figura 4.12.

SOLUCION: al hallar la segunda derivada de la función dada resulta,

d2

du2F (u) = �2e�u > 0

lo cual indica que es convexa.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Figura (4.12): Gráfica de la función F (u) = e�u + u con � > 0 y u variable real.

En caso de funciones de varias variables

Antes de indicar cómo saber si una función de varias variables es convexa ocóncava se definirá la Matriz Hessiana H y sus menores principales.

La matriz Hessiana H de una función de n variables F = F (u1; u2; :::; un) =

F (ui), con i = 1; 2; 3; : : : ; n, es la matriz cuadrada simétricaa n � n formadapor las segundas derivadas de F (ui) y cuyos elementos vienen dados por,

Hij =@F (uk)

@ui@uj(4.13)

aUna matriz es simétrica es una matriz cuadrada cuya transpuesta es igual a ella misma.

Explícitamente la matriz Hessiana se escribe como,

H =

0BBBBBBBB@

@2F@u21

@2F@u1@u2

@2F@u1@u3

� � � @2F@u1@un

@2F@u2@u1

@2F@u22

@2F@u2@u3

� � � @2F@u2@un

@2F@u3@u1

@2F@u3@u2

@2F@u23

� � � @2F@u3@un

......

... . . . ...@2F

@un@u1@2F

@un@u2@2F

@un@�q3� � � @2F

@u2n

1CCCCCCCCA(4.14)

Se llaman Menores Principales Dominantes Dk de la matriz Hessiana H a los n deter-



minantes,

Dk =

��

@2F@u21

@2F@u1@u2

@2F@u1@u3

� � � @2F@u1@uk

@2F@u2@u1

@2F@u22

@2F@u2@u3

� � � @2F@u2@uk

@2F@u3@u1

@2F@u3@u2

@2F@u23

� � � @2F@u3@uk

......

... . . . ...@2F

@uk@u1@2F

@uk@u2@2F

@uk@�q3� � � @2F

@u2k

��, con k = 1; 2; 3; : : : ; n (4.15)

o explícitamente,

D1 =@2F@u21

�! D2 =

��@2F@u21

@2F@u1@u2

@2F@u2@u1

@2F@u22

�� ! D3 =

��@2F@u21

@2F@u1@u2

@2F@u1@u3

@2F@u2@u1

@2F@u22

@2F@u2@u3

@2F@u3@u1

@2F@u3@u2

@2F@u23

��

�! � � � �! Dn =

��

@2F@u21

@2F@u1@u2

@2F@u1@u3

� � � @2F@u1@un

@2F@u2@u1

@2F@u22

@2F@u2@u3

� � � @2F@u2@un

@2F@u3@u1

@2F@u3@u2

@2F@u23

� � � @2F@u3@un

......

... . . . ...@2F

@un@u1@2F

@un@u2@2F

@un@�q3� � � @2F

@u2n

��Ahora, es posible asociar el carácter de la función F = F (ui) con el estado de la

matriz Hessiana H la cual es mostrada en la siguiente tabla:

F (ui) H Valores propiosde H

Dk

1Estrictamente

convexaDefinidapositiva

> 0 Dk > 0, k = 1; 2; 3; : : : ; n

2 ConvexaSemidefinida

positiva> 0 Dk > 0, k = 1; 2; 3; : : : ; n

3 CóncavaSemidefinida

negativa6 0

8><>:Dk 6 0, k impar.

yDk > 0, k par.

4Estrictamente

cóncavaDefinidanegativa

< 0

8><>:Dk < 0, k impar.

yDk > 0, k par.

y si la función no es convexa ni cóncava, entonces se dice que es indefinida.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



EJEMPLO 4.5Determinar si la función F : R2 �! R,

F (u1; u2) = u21 + u22 � 2u1u2

es cóncava o covexa. Ver figura 4.13.

Figura (4.13): Gráfica de la función F (u1; u2) = u21 + u22 � 2u1u2.

SOLUCION: se halla la matriz Hessiana (4.14) a partir de la función dada,

H =

@2F@u21

@2F@u1@u2

@2F@u2@u1

@2F@u22

!=

2 �2�2 2

!(4.16)

y a partir de aquí se hallan los menores principales dominantes (4.15),264 D1 = 2 > 0

D2 =

�� 2 �2�2 2

�� = 0 (4.17)

cumpliéndose el caso 2 de la tabla, indicando que la matriz Hessiana es semidefinidapositiva en todo R2. Por lo tanto, F (u1; u2) es convexa en todo R2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


F (u1; u2) = u41 + u22



Figura (4.14): Gráfica de la función F (u1; u2) = u41 + u22.

es cóncava o covexa. Ver figura 4.14.SOLUCION: se halla la matriz Hessiana (4.14) a partir de la función dada,

H =

@2F@u21

@2F@u1@u2

@2F@u2@u1

@2F@u22

!=

12u21 0

0 2

!(4.18)

y a partir de aquí se hallan los menores principales dominantes (4.15),264 D1 = 12u21 > 0

D2 =

�� 12u21 0

0 2

�� = 24u21 > 0 (4.19)

cumpliéndose el caso 2 de la tabla, indicando que la matriz Hessiana es semidefinidapositiva en todo R2. Por lo tanto, F (u1; u2) es convexa en todo R2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


F (u1; u2) = u41 + u22 � 4u1u2


H =

@2F@u21

@2F@u1@u2

@2F@u2@u1

@2F@u22

!=

12u21 �4�4 2

!(4.20)



Figura (4.15): Gráfica de la función F (u1; u2) = u41 + u22 � 4u1u2.

y a partir de aquí se hallan los menores principales dominantes (4.15),264 D1 = 12u21 > 0

D2 =

�� 12u21 �4�4 2

�� = 24u21 � 16 > 0 (4.21)

El signo de D2 depende de u1 lo que indica que la matriz Hessiana no es semidefini-da positiva ni negativa en todo R2. Por esta razón la función F (u1; u2) es indefinida entodo R2, pudiendo ser convexa o cóncava en algunos subconjuntos de R2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 4.8Determinar si la función F : (0;1)� (0;1) �! R,

F (u1; u2) = lnu1 + lnu2


H =

@2F@u21

@2F@u1@u2

@2F@u2@u1

@2F@u22

!=

� 1u21

0

0 � 1u22

!(4.22)

y a partir de aquí se hallan los menores principales dominantes (4.15),2664D1 = � 1

u21< 0

D2 =

�� 1u21

0

0 � 1u22

�� = 1u21u

22> 0

(4.23)



Figura (4.16): Gráfica de la función F (u1; u2) = lnu1 + lnu2.

cumpliéndose el caso 4 de la tabla, indicando que la matriz Hessiana es definida neg-ativa en todo (0;1)� (0;1). Por lo tanto, F (u1; u2) es cóncava en todo (0;1)� (0;1).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.4. Algunas propiedades

Siguientemente se presentarán algunas propiedades, sin demostrarlas, relacionadascon el carácter cóncavo o convexo de las funciones.

1. Si la función F es cóncava en S, entonces �F es convexa en S.

2. Si la función F es convexa en S, entonces �F es cóncava en S.

3. Si la función F es estrictamente cóncava en S, entonces �F es estrictamente con-vexa en S.

4. Si la función F es estrictamente convexa en S, entonces �F es estrictamente cón-cava en S.

5. Si las n funciones Fi, i = 1; 2; 3; : : : ; n son convexas en S, entonces su combinación

linealnPi=1

�iFi con �i > 0 es convexa en S.

6. Si las n funciones Fi, i = 1; 2; 3; : : : ; n son cóncavas en S, entonces su combinación

linealnPi=1

�iFi con �i > 0 es cóncava en S.


4.3. TRANSFORMADA DE LEGENDRE PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

7. El producto de funciones cóncavas no ha de ser necesariamente una función cón-cava.

8. El producto de funciones convexas no ha de ser necesariamente una función con-vexa.

4.3. Transformada de Legendre para una variable indepen-diente

Dada una función F (u), la transformada de Legendre proporciona una formamás conveniente de almacenar la información en la función cuando son satisfechaslas siguientes condiciones:

1. La función F (u) es suave, es decir, tiene “suficientes” derivadas continuas.

2. La función F (u) es estrictamente convexa en el intervalo considerado.

3. Es más fácil medir, controlar o pensar sobre la derivada de F con respectoa u que medir o pensar directamente respecto a u.

Debido a la condición 1, la derivada de F (u) con respecto a u puede servir comoun sustituto de u, es decir, hay un mapeo uno a uno entre u y dF (u)

du. La transformada de

Legendre muestra cómo crear una función que contenga la misma información queF (u) pero que, en vez de ser función de u, sea función de v (u) = dF (u)

du.

Una forma gráfica de constatar cómo el valor de la pendiente v puede sustituir elvalor de u en una función convexa puede verse considerando el ejemplo mostradoen la figura 4.17(a). En dicha figura la curva dibujada representa una función F (u)

convexa. Al moverse a lo largo de la curva hacia la derecha (el sentido en que u se in-crementa), la pendiente v de la tangente a la curva se incrementa continuamente. Enotras palabras, si se grafica la pendiente v como una función de u, resultará una curvasuavemente creciente, como se muestra en la figura 4.17(b). Si la segunda derivadade F (u) existe en cualquier rango de u en la cual F (u) está definida (que es parte dela condición de que F (u) sea suave), entonces existe un valor único de la pendientev para cada valor de u y viceversa. En lenguaje matemático apropiado, se dice queexiste una relación 1� 1 entre v y u.

Para encontrar la forma de realizar esta transformación se tomará una ruta ge-ométrica. Considérese la gráfica de F (u) vs u mostrada en la figura 4.18. Escójase



Figura (4.17): (a) Gráfica de una función convexa F = F (u). (b) Gráfica de su tangente v = v (u).

ahora un valor de u que represente la abcisa del punto donde la recta tangente tocaa F (u), por lo tanto, F (u) será la ordenada de dicho punto. La ordenada del puntode corte de la tangente a la curva con el eje horizontal (“eje F”) está representadopor G. Es fácil entonces ver a partir del triángulo �ABC que,

Tg � = v =F +G

u=dF (u)

du(4.24)

de aquí que,

G (v) = uv � F (u)Transformada de Legendre

para una variable independiente

(4.25)

donde la función G (v) se denomina Transformada de Legendre de F (u).

Se tienen ahora dos posibles situaciones:

1. Se conoce la relación F (u) y se quiere hallar G (v): este es el caso que representala transformada de Legendre (4.25). Si se conoce F (u) entonces se tiene tambiénv = dF (u)

du, de donde se puede despejar u como función de v y reemplazarla en

(4.25). De esta manera G queda como una función sólo de v, G = G (v).

2. Se conoce la relación G (v) y se quiere hallar F (u): al diferenciar (4.25),

dG = vdu+ udv � dF (4.26)



Figura (4.18): Obtención geométrica de la transformada de Legendre para una relación fundamentalde una variable F = F (u).

y como por (4.24),dF = vdu (4.27)

entonces de (4.26) resulta,dG = udv (4.28)

de la cual,

u =dG (v)

dv(4.29)

Ahora, si se conoceG (v) entonces se tiene también u por (4.29), de donde se puededespejar v como función de u y reemplazarla en la ecuación que resulta de despe-jar F de (4.25),

F (u) = uv �G (v)Transformada de Legendre Inversapara una variable independiente

(4.30)

quedando de esta manera F como una función sólo de u, F = F (u). Esta es laTransformada de Legendre Inversa de la función G (v). Más adelante se hablará unpoco más de esta transformada.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



EJEMPLO 4.9Sea F (u) = u3, encontrar su transformada de Legendre.

SOLUCION: de (4.25),G (v) = uv � u3 (4.31)

y de (4.24),

v =dF (u)

du=

d

du

�u3�= 3u2 ) u (v) =

�v3

� 12

(4.32)

por lo tanto, al sustituir (4.32) en (4.31) resulta,

G (v) =�v3

� 12v �

�v3

� 32

o,

G (v) = 2�v3

� 32 (4.33)

que es la transformada de Legendre pedida.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 4.10Sea F (u) = au2 + bu + c (a, b y c constantes), encontrar su trans-

formada de Legendre.

SOLUCION: de (4.25),G (v) = uv �

�au2 + bu+ c

�(4.34)

y de (4.24),

v =dF (u)

du=

d

du

�au2 + bu+ c

�= 2au+ b) u (v) =

1

2a(v � b) (4.35)


G (v) =1

2a(v � b) v �

(a

�1

2a(v � b)

�2+ b

�1

2a(v � b)

�+ c

)o,

G (v) = 14a(v � b)2 � c (4.36)




. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 4.11Sea F (u) = eu + 1, encontrar su transformada de Legendre.

SOLUCION: de (4.25),G (v) = uv � (eu + 1) (4.37)

y de (4.24),

v =dF (u)

du=

d

du(eu + 1) = eu ) u (v) = ln v (4.38)


G (v) = v ln v � (v + 1)

o,

G (v) = v (ln v � 1)� 1 (4.39)


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 4.12Sea F (u) = u lnu, encontrar su transformada de Legendre.

SOLUCION: de (4.25),G (v) = uv � u lnu (4.40)

y de (4.24),

v =dF (u)

du=

d

du(u lnu) = lnu+ 1) u (v) = ev�1 (4.41)


G (v) = ev�1v � ev�1 ln�ev�1

�o,

G (v) = ev�1 (4.42)


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



4.4. Transformada de Legendre para más de una variableindependiente

Ahora bien, todo el desarrollo anterior es válido para el caso de más de unavariable independiente. Así, para una función de n variables independientes la trans-formada de Legendre tomará la forma,

G (vj) =nXi=1

uivi � F (uj) , j = 1; 2; 3; : : : ; n

Transformada de Legendrepara n variables independientes uj

(4.43)

con,

vj =@F (ui)@uj

(4.44)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 4.13Encuentre la transformada de Legendre G (v1; v2) de la función,

F (u1; u2) = eu1 + u22

SOLUCION: este es un caso de n = 2 variables independientes, por lo tanto, de(4.43) se puede escribir,

G (v1; v2) = u1v1 + u2v2 ��eu1 + u22

�(4.45)

y de (4.44),

v1 =@F

@u1=

@

@u1

�eu1 + u22

�= eu1 ) u1 = ln v1 (4.46)

v2 =@F

@u2=

@

@u2

�eu1 + u22

�= 2u2 ) u2 =

1

2v2 (4.47)

por lo tanto, al sustituir (4.46) y (4.47) en (4.45) resulta,

G (v1; v2) = v1 ln v1 +1

2v2v2 �

"v1 +

�1

2v2

�2#(4.48)

o,

G (v1; v2) = v1 (ln v1 � 1) + 14v22 (4.49)



4.4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE PARA MÁS DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 4.14Encuentre la transformada de Legendre G (v1; v2; v3) de la fun-

ción,F (u1; u2; u3) = u21 + cu3 Senu2

donde c es una constante.


G (v1; v2; v3) = u1v1 + u2v2 + u3v3 ��u21 + cu3 Senu2

�(4.50)

y de (4.44),

v1 =@F

@u1=

@

@u1

�u21 + cu3 Senu2

�= 2u1 ) u1 =

1

2v1 (4.51)

v2 =@F

@u2=

@

@u2

�u21 + cu3 Senu2

�= cu3Cosu2 ) u3 =

1

cv2 sec u2 (4.52)

v3 =@F

@u3=

@

@u3

�u21 + cu3 Senu2

�= c Senu2 ) u2 = Sen

�1�1

cv3

�(4.53)

de las cuales,

u1 =1

2v1 (4.54)

u2 = Sen�1�1

cv3

�(4.55)

u3 =1

cv2 sec

�Sen�1

�1

cv3

��=

v2pc2 � v23

(4.56)

por lo tanto, al sustituir (4.54) a (4.56) en (4.50) resulta,

G (v1; v2; v3) =1

2v1v1 + v2 Sen

�1�1

cv3

�+ v3

v2pc2 � v23

�(�

1

2v1

�2+ c

v2pc2 � v23

Sen

�Sen�1

�1

cv3

��)(4.57)

o,

G (v1; v2; v3) =14v21 + v2 Sen

�1 �1cv3�

(4.58)




. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 4.15Encuentre la transformada de Legendre G (v1; v2; v3; v4) de la

función,F (u1; u2; u3; u4) = u2 lnu1 � Cosu3 + u2u4

donde c es una constante.


G (v1; v2; v3; v4) = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4 � (u2 lnu1 � Cosu3 + u2u4) (4.59)

y de (4.44),

v1 =@F

@u1=

@

@u1(u2 lnu1 � Cosu3 + u2u4) =

u2u1

(4.60)

v2 =@F

@u2=

@

@u2(u2 lnu1 � Cosu3 + u2u4) = lnu1 + u4 (4.61)

v3 =@F

@u3=

@

@u3(u2 lnu1 � Cosu3 + u2u4) = Senu3 (4.62)

v4 =@F

@u4=

@

@u4(u2 lnu1 � Cosu3 + u2u4) = u2 (4.63)

de las cuales,

u1 =v4v1

(4.64)

u2 = v4 (4.65)

u3 = Sen�1 (v3) (4.66)

u4 = v2 � ln�v4v1

�(4.67)


G (v1; v2; v3; v4) =v4v1v1 + v4v2 + v3 Sen

�1 (v3) +

�v2 � ln

�v4v1

��v4

��v4 ln

�v4v1

�� Cos

�Sen�1 (v3)

�+ v4

�v2 � ln

�v4v1

��(4.68)

o,

G (v1; v2; v3; v4) = v4

h1 + v2 � ln

�v4v1

�i+p1� v23 + v3 Sen

�1 (v3) (4.69)


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


4.5. VARIABLES ACTIVAS Y PASIVAS

4.5. Variables activas y pasivas

A las variables que se incluyen en la sumatoria de (4.25), es decir, las va-riables que se transforman se les denominan Variables Activas y las variablesadicionales que no son parte de la transformación como tal, pero tienenestatus de parámetros, se les denominan Variables Pasivas.

Es posible encontrar cómo están relacionadas las derivadas parciales, con respectoa las variables pasivas, de las funciones F y G. En efecto, supóngase que se tieneF = F (u1; u2; w) y G = G (v1; v2; w), donde w es una variable pasiva, y que satisfacen lasexpresiones,

v1 =@F

@u1, v2 =

@F

@u2(4.70)

u1 =@G

@v1, u2 =

@G

@v2(4.71)

donde (4.70) define v1 y v2 como funciones de u1, u2 y w; y (4.71) define u1 y u2 comofunciones de v1, v2 y w, es decir,

v1 = v1 (u1; u2; w) , v2 = v2 (u1; u2; w)

u1 = u1 (u1; u2; w) , u2 = u2 (u1; u2; w)

De (4.43) se tiene que,

F (u1; u2; w) +G (v1; v2; w) = u1v1 + u2v2 (4.72)

y supóngase, además, que se sustituye en ella v1 y v2 por sus respectivas expresionesen términos de u1, u2 y w. Entonces, al derivar parcialmente (4.72) respecto a w, resulta,

@F

@w+@G

@v1

@v1@w

+@G

@v2

@v2@w

+@G

@w

@w

@w|{z}=1

= u1@v1@w

+ u2@v2@w

o,@F

@w+@G

@w=

�u1 �

@G

@v1

�| {z }=0 por (4.71)

@v1@w

+

�u2 �

@G

@v2

�| {z }=0 por (4.71)

@v2@w

= 0 (4.73)

de aquí que,@F

@w+@G

@w= 0 (4.74)



que es la relación buscada y se mantiene para cada una de las variables pasivas. Engeneral,

@F (uj ;wj)

@wk+

@G(vj ;wj)

@wk= 0, k = 1; 2; 3; : : : ;m (4.75)

donde las wj son las distintas variables pasivas que pueda contener F .

La expresión general para la transformación de una función con n variables activasy m variables pasivas queda ahora escrita como,

G (vj; wk) =

nXi=1

uivi � F (uj; wk) , j = 1; 2; 3; : : : ; n y k = 1; 2; 3; : : : ;m

Transformada de Legendre para n variables activas ujy m variables pasivas wk

(4.76)

con,

vj =@F (uj ;wk)

@uj(4.77)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 4.16Encuentre la transformada de Legendre G (v1; v2; w) de la fun-

ción,F (u1; u2; w) = 2u

21 � 3u1u2 + u22 + 3wu1

donde w es una variable pasiva. Verifique que,

@F

@w+@G

@w= 0

SOLUCION: de (4.76),

G (v1; v2; w) = u1v1 + u2v2 ��2u21 � 3u1u2 + u22 + 3wu1

�(4.78)

y de (4.77),

v1 =@F

@u1=

@

@u1

�2u21 � 3u1u2 + u22 + 3wu1

�= 4u1 � 3u2 + 3w (4.79)

v2 =@F

@u2=

@

@u2

�2u21 � 3u1u2 + u22 + 3wu1

�= �3u1 + 2u2 (4.80)



Al resolver el sistema formado por (4.79) y (4.80) para u1 y u2 resulta,

u1 = �2v1 � 3v2 + 6w (4.81)

u2 = �3v1 � 4v2 + 9w (4.82)

por lo tanto, al sustituir (4.81) y (4.82) en (4.78), y después de algunos cálculos alge-braicos elementales resulta,

G (v1; v2; w) = � (v1 � 3w)2 + v2 (9w � 3v1 � 2v2) (4.83)


Por otro lado,@F

@w+@G

@w=

@

@w

�2u21 � 3u1u2 + u22 + 3wu1

�+@

@w

�� (v1 � 3w)2 + v2 (9w � 3v1 � 2v2)

�= 3u1 + 6 (v1 � 3w) + 9v2= 3 (�2v1 � 3v2 + 6w)| {z }

por (4.81)

+ 6 (v1 � 3w) + 9v2 = 0

verificándose así que @F@w+ @G

@w= 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 4.17Encuentre la transformada de Legendre G (v1; v2; v3; w1; w2) de la

función,F (u1; u2; u3; w1; w2) = 7u1u3 + 2u

22 � 5w1u3 � w22

donde w1 y w2 son variables pasivas. Verifique además que,

@F

@w1+@G

@w1= 0 y

@F

@w2+@G

@w2= 0


G (v1; v2; v3; w1; w2) = u1v1 + u2v2 + u3v3 ��7u1u3 + 2u

22 � 5w1u3 � w22

�(4.84)

y de (4.77),

v1 =@F

@u1= 7u3 (4.85)

v2 =@F

@u2= 4u2 (4.86)

v3 =@F

@u3= 7u1 � 5w1 (4.87)



de las cuales se obtiene,

u1 =1

7(v3 + 5w1) (4.88)

u2 =1

4v2 (4.89)

u3 =1

7v1 (4.90)


G (v1; v2; v3; w1; w2) =18v22 +

17v1 (v3 + 5w1) + w22 (4.91)


Por otro lado,

@F

@w1+@G

@w1=

@F

@w1

�7u1u3 + 2u

22 � 5w1u3 � w22

�+

@

@w1

�1

8v22 +

1

7v1 (v3 + 5w1) + w22

�= �5u3 +

5

7v1

= �5�1

7v1

�| {z }

por (4.90)

+5

7v1 = 0

y,

@F

@w2+@G

@w2=

@

@w2

�7u1u3 + 2u

22 � 5w1u3 � w22

�+

@

@w2

�1

8v22 +

1

7v1 (v3 + 5w1) + w22

�= �2w2 + 2w2 = 0

verificándose así que @F@w1

+ @G@w1

= 0 y @F@w2

+ @G@w2

= 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 4.18Encuentre la transformada de Legendre G (v; w) de la función,

F (u;w) =1

2mR2u2 �mgRCosw



donde w es una variable pasiva, m y R son constantes. Verifique que,

@F

@w+@G

@w= 0


G (v; w) = uv ��1

2mR2u2 �mgRCosw

�(4.92)

y de (4.77),

v =@F

@u=

@

@u

�1

2mR2u2 �mgRCosw

�= mR2u) u =

v

mR2(4.93)

que al sustituir en (4.92) resulta,

G (v; w) =v

mR2v �

�1

2mR2

� v

mR2

�2�mgRCosw

�(4.94)

o,

G (v; w) = 12

v2

mR2+mgRCosw (4.95)


Por otro lado,

@F

@w+@G

@w=

@

@w

�1

2mR2u2 �mgRCosw

�+@

@w

�1

2

v2

mR2+mgRCosw

�= 0

verificándose así que @F@w+ @G

@w= 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 4.19Encuentre la transformada de Legendre G (v1; v2; v3; w1; w2; w3)

de la función,F (u1; u2; u3; w1; w2; w3) = w1u2 lnu1 � w3Cosu3 + w2u2

donde w1, w2 y w3 son variables pasivas. Verifique que,

@F

@w1+@G

@w1= 0,

@F

@w2+@G

@w2= 0 y

@F

@w3+@G

@w3= 0




G (v1; v2; v3; w1; w2; w3) = u1v1 + u2v2 + u3v3 � (w1u2 lnu1 � w3Cosu3 + w2u2) (4.96)

y de (4.77),

v1 =@F

@u1=

@

@u1(w1u2 lnu1 � w3Cosu3 + w2u2) =

w1u2u1

(4.97)

v2 =@F

@u2=

@

@u2(w1u2 lnu1 � w3Cosu3 + w2u2) = w1 lnu1 + w2 (4.98)

v3 =@F

@u3=

@

@u3(w1u2 lnu1 � w3Cosu3 + w2u2) = w3 Senu3 (4.99)

de las cuales resulta,

u1 = ev2�w2w1 (4.100)

u2 =v1w1ev2�w2w1 (4.101)

u3 = Sen�1�v3w3

�(4.102)


G (v1; v2; v3; w1; w2; w3) = v1ev2�w2w1 + v2

v1w1ev2�w2w1 + v3 Sen

�1�v3w3

��w1

v1w1ev2�w2w1 ln e

v2�w2w1 � w3Cos

�Sen�1

�v3w3

��+ w2

v1w1ev2�w2w1

�(4.103)

o,

G (v1; v2; v3; w1; w2; w3) =pw23 � v23 + v1e

v2�w2w1 + v3 Sen

�1�v3w3

�(4.104)


Por otro lado,

@F

@w1+@G

@w1=

@

@w1(w1u2 lnu1 � w3Cosu3 + w2u2)

+@

@w1

�qw23 � v23 + v1e

v2�w2w1 + v3 Sen

�1�v3w3

��= u2 lnu1 �

v1w21(v2 � w2) e

v2�w2w1

=v1w1ev2�w2w1 ln e

v2�w2w1 � v1

w21(v2 � w2) e

v2�w2w1 = 0


4.6. ALGUNAS PROPIEDADES MATEMÁTICAS DE LA TRANSFORMADA DE LEGENDRE

@F

@w2+@G

@w2=

@


+@

@w2

�qw23 � v23 + v1e

v2�w2w1 + v3 Sen

�1�v3w3

��= u2 �

v1w1ev2�w2w1

=v1w1ev2�w2w1| {z }

por (4.101)

� v1w1ev2�w2w1 = 0

y,

@F

@w3+@G

@w3=

@


+@

@w3

�qw23 � v23 + v1e

v2�w2w1 + v3 Sen

�1�v3w3

��= �Cosu3 +

w3pw23 � v23

� v23

w3pw23 � v23

= �Cos�Sen�1

�v3w3

��+

w3pw23 � v23

� v23

w3pw23 � v23

= 0

verificándose así que @F@w1

+ @G@w1

= 0, @F@w2

+ @G@w2

= 0 y @F@w3

+ @G@w3

= 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6. Algunas propiedades matemáticas de la transforma-da de Legendre

La construcción geométrica y las relaciones resultantes permiten mostrar rela-ciones elegantes y útiles. En particular considérense las siguientes:

4.6.1. La inversa de la transformada de Legendre

Ordinariamente, la inversa de una transformación es distinta de la transforma-ción en sí. La transformada de Legendre se distingue entre ellas ya que ella misma essu inversa. Si se lleva a cabo la transformada de Legendre por segunda vez, se recobrala función convexa y suave original.

Se mostrará esta propiedad, por simplicidad, para el caso de una variable indepen-diente pero el resultado es válido para el caso de más de una variable independiente.



Dada la función F = F (u), su transformada de Legendre viene dada según (4.25) por,

G (v) = uv � F (u) , con v =dF (u)

du

Ahora, supóngase que se quiere la transformada de Legendre de G (v). De formaanáloga, su transformada H se obtiene al estilo de (4.25) como sigue,

H (u�) = u�v �G (v) , con u� =dG (v)

dv(4.105)

Según la propiedad, debe cumplirse que H = F . En efecto, de (4.105),

H (u�) = u�v � [uv � F (u)]| {z }por (4.25)

= (u� � u) v + F (u) (4.106)

pero,

u� =dG (v)

dv=

d

dv[uv � F (u)]| {z }

por (4.25)

= u+ vdu

dv� dF (u)

du

du

dv

= u+ vdu

dv� v|{z}

por (4.24)

du

dv= u (4.107)

por lo tanto, al sustituir el resultado (4.107) en (4.106), resulta,

H (u) = F (u)

de aquí que,

La transformada de Legendre de una transformada de Legendre es lafunción original.

La transformada de Legendre inversa para una función de n variables F (uj) vienedada por,

F (uj) =

nXi=1

uivi �G (vj) , j = 1; 2; 3; : : : ; n (4.108)

con,

uj =@G (vj)

@vj(4.109)

o en forma más general al incluir m variables pasivas,

F (uj; wk) =nXi=1

uivi �G (vj; wk) , j = 1; 2; 3; : : : ; n y k = 1; 2; 3; : : : ;m

Transformada de Legendre Inversapara n variables activas vj y m variables pasivas wk

(4.110)



con,

uj =@G(vj ;wk)

@vj(4.111)

cumpliendo cada variable pasiva con las condiciones (4.75).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 4.20Encuentre la transformada de Legendre de la transformada

encontrada en el ejemplo 4.9,

G (v) = 2�v3

� 32


F (u) = uv � 2�v3

� 32

(4.112)

y de (4.111),

u =dG (v)

dv=

d

dv

�2�v3

� 32

�=�v3

� 12 ) v = 3u2 (4.113)

por lo tanto, al sustituir (4.113) en (??) resulta,

F (u) = 3u2u� 2�1

33u2� 3

2

= u3 (4.114)

o,

F (u) = u3 (4.115)

que es, precisamente, la función cuya transformada de Legendre es la G (v) dada enel ejemplo 4.9.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



G (v1; v2) = v1 (ln v1 � 1) +1

4v22

SOLUCION: este es un caso de dos variables independientes, por lo tanto, de (4.110),

F (u1; u2) = u1v1 + u2v2 ��v1 (ln v1 � 1) +

1

4v22

�(4.116)



y de (4.111),

u1 =@G

@v1=

@

@v1

�v1 (ln v1 � 1) +

1

4v22

�= ln v1 ) v1 = eu1 (4.117)

u2 =@G

@v2=

@

@v2

�v1 (ln v1 � 1) +

1

4v22

�=1

2v2 ) v2 = 2u2 (4.118)

por lo tanto, al sustituir (4.117) y (4.118) en (4.116) resulta,

F (u1; u2) = u1eu1 + 2u2u2 �

�eu1 (ln eu1 � 1) + 1

4(2u2)

2

�(4.119)

o,

F (u1; u2) = eu1 + u22 (4.120)

que es, precisamente, la función cuya transformada de Legendre es la G (v1; v2) dadaen el ejemplo 4.13.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



G (v1; v2; v3; w1; w2) =1

8v22 +

1

7v1 (v3 + 5w1) + w22

SOLUCION: este es un caso de tres variables independientes, por lo tanto, de (4.110),

F (u1; u2; u3; w1; w2) = u1v1 + u2v2 + u3v3 ��1

8v22 +

1

7v1 (v3 + 5w1) + w22

�(4.121)

y de (4.111),

u1 =@G

@v1=

@

@v1

�1

8v22 +

1

7v1 (v3 + 5w1) + w22

�=1

7(v3 + 5w1)) v3 = 7u1 � 5w1 (4.122)

u2 =@G

@v2=

@

@v2

�1

8v22 +

1

7v1 (v3 + 5w1) + w22

�=1

4v2 ) v2 = 4u2 (4.123)

u3 =@G

@v3=

@

@v3

�1

8v22 +

1

7v1 (v3 + 5w1) + w22

�=1

7v1 ) v1 = 7u3 (4.124)


F (u1; u2; u3; w1; w2) = 7u3u1 + 4u2u2 + u3 (7u1 � 5w1)

��1

8(4u2)

2 +1

77u3 (7u1 � 5w1 + 5w1) + w22

�(4.125)



o,

F (u1; u2; u3; w1; w2) = 7u1u3 + 2u22 � 5w1u3 � w22 (4.126)

que es, precisamente, la función cuya transformada de Legendre es laG (v1; v2; v3; w1; w2)

dada en el ejemplo 4.17.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6.2. Valores extremos

Supóngase que la función F (u) es convexa (como en la figura 4.18), entoncesdebe tener un mínimo. Suponiendo que esto ocurre, entonces el mínimo es único.Denótese este punto por,

Fmín = F (umín) (4.127)

Por supuesto, la pendiente se anula en este punto, es decir, v (umín) = 0. Si se in-troduce este punto en la expresión (4.25), que define la transformada de Legendre,resulta que el valor mínimo de F es,

Fmín = �G (0) (4.128)

De forma similar, a partir del hecho de que F es la transformada de Legendre de G, sepuede concluir que el valor mínimo de G es,

Gmín = �F (0) (4.129)

Ahora bien, se puede usar (4.25) escrita en la forma,

G (v) + F (u) = uv (4.130)

(que muestra la simetría entre G (v) ; v y F (u) ; u explícitamente) para ver qué ocurrepara extremos generales. Supóngase que F (u) toma su valor extremo en uext, el cualcorresponde a una tangente horizontal, v = 0. De esta manera, a partir de (4.130),

G (0) + F (uext) = 0 (4.131)

De forma similar, G (v) tendrá un valor extremo en vext, donde u (vext) = 0 debido a(4.29), de manera que,

G (vext) + F (0) = 0 (4.132)

Para apreciar el significado geométrico de esta ecuación sólo se necesita exami-nar la figura 4.18 y ver que la intersección de la tangente a la curva F (u) con el ejevertical nunca alcanza más allá de F (0).



4.6.3. Simetrías y relaciones entre derivadas

Puesto que F (u) y G (v) son transformaciones de Legendre la una de la otra,es de esperarse que existan numerosas relaciones simétricas. Las primeras relacionesde simetría las constituyen las mismas relaciones que proporcionan la transformada deLaplace (4.25) y las relaciones entre v (4.24) y u (4.29),

G (v) + F (u) = uv

v = dF (u)du ! u = dG(v)

dv

(4.133)

A partir de estas expresiones se puede obtener un conjunto infinito de relaciones,entre F (u) y G (v), que conducen a algunas relaciones muy elegantes e interesantes.Al derivar (4.24) con respecto a u y (4.29) con respecto a v resultan,

dv (u)

du=

d2F (u)

du2(4.134)

du (v)

dv=

d2G (v)

dv2(4.135)

que al ser multiplicadas miembro a miembro dan como resultado,

du

dv

dv

du=d2G (v)

dv2d2F (u)

du2

o,

d2G(v)dv2

d2F (u)du2

= 1 (4.136)

que es una relación simétrica para la segunda derivada, ilustrando claramente la im-portancia de la covexidad estricta ya que ninguno de los dos factores pueden anu-larse.

Derivando (4.136) con respecto a u (igual resulta con respecto a v) se puede escribiruna relación simétrica para la tercera derivada,

d3Gdv3�

d2Gdv2

�3=2 + d3Fdu3�

d2Fdu2

�3=2 = 0 (4.137)

Es posible obtener un conjunto infinito de relaciones como (4.136) y (4.137) paraderivadas de orden superior derivando una y otra vez. Tal ejercicio también muestraque si F es suave, entonces G también lo es. Las relaciones para derivadas superioresson más y más complejas.


4.7. PROBLEMAS

4.7. Problemas

1. Sea F (u) = un, encontrar su transformada de Legendre. Resp.: G (v) = (n� 1)�vn

� nn�1 .

2. Sea F (u) = 12ku2 (k constante), encontrar su transformada de Legendre. Resp.:

G (v) = 12kv2.

3. Sea F (u) = 1�u� (� constante), encontrar su transformada de Legendre. Resp.:G (v) =�

1� 1�

�v

��1 .

4. Encuéntrese la transformada de Legendre,

G = G (v1; v2)

de la función,F (u1; u2) = 2u

21 + 3u1u2 + u22

Resp.: G (v1; v2) = �v21 + 3v1v2 � 2v22.


G = G (v1; v2; v3)

de la función,F (u1; u2; u3) = au21 + bu23 + u2u1

donde a y b son constantes. Resp.: G (v1; v2; v3) = v1v2 +14bv23 � av22


G = G (v; w)

de la función,F (u;w) = w

�u2w � 4

�donde w es una variable pasiva. Verifique que,

@F

@w+@G

@w= 0

Resp.: G (v; w) = 14w2

v2 + 4w.


G = G (v1; v2; w1; w2)



de la función,F (u1; u2; w1; w2) = 2u

21w1 + 3u1u2w2 + u22

donde w1 y w2 son variables pasivas. Verifique que,

@F

@w1+@G

@w1= 0,

@F

@w2+@G

@w2= 0

Resp.: G (v1; v2; w1; w2) =2v22w1+v

21�3v1w2v2

8w1�9w22.

8. Encuentre la transformada de Legendre,

G = G (v1; v2; v3; w1; w2; w3)

de la función,

F (u1; u2; u3; w1; w2; w3) = u2 (w1 + w2u1) + u3 (w2 � w3u3)

donde w1, w2 y w3 son variables pasivas. Verifique que,

@F

@w1+@G

@w1= 0,

@F

@w2+@G

@w2= 0

y@F

@w3+@G

@w3= 0

Resp.: G (v1; v2; v3; w1; w2; w3) = 1w2(v2 � w1) v1 + 1

4w3(2w2 � v3) v3 � w22.

9. Si G = G (v) es la transformada de Legendre de F = F (u), muestre la relación simétri-ca de las transformaciones de Legendre para la tercera derivada,

d3Gdv3�

d2Gdv2

�3=2 + d3Fdu3�

d2Fdu2

�3=2 = 0derivando la relación simétrica ya mostrada en el desarrollo del capítulo,

d2G (v)

dv2d2F (u)

du2= 1

a) con respecto a u y

b) con respecto a v.

10. Muestre que si G = G (vi) es la transformada de Legendre de F = F (ui), entoncesla transformada de Legendre de G = G (vi) es precisamente F = F (ui).

11. Encuentre la transformada de Legendre de la función G obtenida en el problema1 y verifique que se reobtiene la función F dada en dicho problema.


4.7. PROBLEMAS









Parte II

Mecánica de Lagrange y Hamilton

335

CAPÍTULO 5

Mecánica Lagrangiana

La aplicación directa de las Leyes de Newton al movimiento de sistemas mecáni-cos será ahora sustituido por una propuesta general, un método muy elegante y sofisti-cado para encontrar las ecuaciones de movimiento para todos los sistemas dinámicos,desarrollado por el matemático Joseph Louis Lagrange.

Contents5.1. Ecuaciones de Lagrange obtenidas partiendo del Principio de D�Alembert338


5.1.2. Para sistemas con ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

5.1.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . 349

5.2. Ecuaciones de Lagrange obtenidas a partir del Principio de Ostrogradski-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354




5.3. Condición de integrabilidad de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . 360

5.4. Ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . 362

5.4.1. Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en forma implícita 362

5.4.2. Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma explícita . . . . . . . 395

5.4.3. Sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . . . 419

5.5. Propiedades del Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

337

CAPÍTULO 5. MECÁNICA LAGRANGIANA

5.5.1. Invariancia bajo una transformación de Gauge . . . . . . . . . . . . . . 437

5.5.2. Aditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

5.5.3. Invariancia bajo una transformación de coordenadas . . . . . . . . . . . 441

5.6. Coordenadas cíclicas - Momentos Generalizados y su conservación . 442

5.6.1. Coordenadas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

5.6.2. Momentos Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

5.6.3. Conservación de los Momentos Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . 444

5.7. Integrales Primeras de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

5.8. Integrales Primeras de Movimiento para un sistema cerrado . . . . . 447

5.9. Teoremas de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

5.9.1. Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

5.9.2. Conservación del momento lineal y angular . . . . . . . . . . . . . . . . 451

5.10. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

5.10.1. Forma simpli�cada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

5.10.2. Forma más general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

5.11. Mecánica Lagrangiana vs la Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

5.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

5.1. Ecuaciones de Lagrange obtenidas partiendo del Prin-cipio de D’Alembert

Se comenzará por escribir el Principio de D’Alembert en Coordenadas Gene-ralizadas. A partir de (2.233) se puede escribir,

NXi=1

��!F i �

��!p i

�� !r i =

NXi=1

�!F i � ��!r i| {z }

Término A

�NXi=1

��!p i � ��!r i| {z }Término B

= 0 (5.1)

Por otro lado, la expresión para los desplazamientos virtuales ��!r i (ver sección 2.12.2)viene dada por,

��!r i =�Xj=1

@�!r i@qj

�qj, con i = 1; 2; 3; : : : ; N (5.2)

Ahora, al sustituir (5.2) en los términos A y B de (5.1) resulta,


5.1. ECUACIONES DE LAGRANGE OBTENIDAS PARTIENDO DEL PRINCIPIO DED’ALEMBERT

Desarrollo del Término A:

Término A =NXi=1

�!F i � ��!r i =

NXi=1

�!F i �

�Xj=1

@�!r i@qj

�qj

!=

NXi=1

�Xj=1

��!F i �

@�!r i@qj

�qj

�

=

�Xj=1

NXi=1

�!F i �

@�!r i@qj

!�qj =

�Xj=1

Qj�qj (5.3)

donde,

Qj =NXi=1

�!F i �

@�!r i@qj

(5.4)

son las componentes de las llamadas Fuerzas Generalizadas como ya se mencionó enla sección 2.8.4, ecuación (2.74).

Desarrollo del Término B:

Término B =NXi=1

��!p i � ��!r i =NXi=1

mi

��!r i ��Xj=1

@�!r i@qj

�qj

!=

�Xj=1

NXi=1

�mi

��!r i �@�!r i@qj

��qj (5.5)

pero al usar la propiedad,

d�!A

dt� �!B =

d

dt

��!A � �!B

��!A � d

�!B

dt, con

�!A =

��!r iy�!B =

@�!r i@qj

(5.6)

se tiene que,

��!r i �@�!r i@qj

=d��!r idt� @�!r i@qj

=d

dt

� ��!r i �@�!r i@qj

��

��!r i �d

dt

�@�!r i@qj

�(5.7)

entonces,

Término B =�Xj=1

NXi=1

�d

dt

�mi

��!r i �@�!r i@qj

��mi

��!r i �d

dt

�@�!r i@qj

��qj (5.8)

ahora aquí,8>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>:

ddt

�@�!r i@qj

�=

�Pl=1

@2�!r i@qj@ql

�ql +

@2�!r i@qj@t

= @@qj

�Xl=1

@�!r i@ql

�ql +

@�!r i@t

!| {z }

=��!r i

= @��!r i@qj

@��!r i@�qj= @

@�qj

�Xl=1

@�!r i@ql

�ql +

@�!r i@t

!| {z }

=��!r i

=�Pl=1

@�!r i@ql

@�ql

@�qj=

�Xl=1

@�!r i@ql

�lj| {z }@�ql

@�qj

=�lj

= @�!r i@qj

que suele

llamársele Regla de Supresión o Eliminación de Puntos.

(5.9)



entonces,

Término B =nXj=1

NXi=1

24 ddt

0@mi

��!r i �@��!r i

@�qj

1A�mi

��!r i �@��!r i

@qj

35 �qj (5.10)

y como, 8>>>>>>><>>>>>>>:

mi

��!r i � @��!r i@�qj= @

@�qj

�12mi

��!r i ��!r i�= @

@�qj

�12miv

2i

�= @Ti

@�qj

mi

��!r i �@��!r i

@qj|{z}6=0,

��!r i�qi;

�qi;t�= @

@qj

�12mi

��!r i ��!r i�= @

@qj

�12miv

2i

�= @Ti

@qj(5.11)

resulta en definitiva que,

Término B =

�Xj=1

(d

dt

"@

@�qj

NXi=1

Ti

!#� @

@qj

NXi=1

Ti

!)�qj

=

�Xj=1

"d

dt

@T

@�qj

!� @T

@qj

#�qj (5.12)

Ahora bien, al sustituir en (5.1) el resultado (5.3) obtenido para el Término A y el(5.12) obtenido para el Término B se obtiene,

�Xj=1

Qj�qj ��Xj=1

"d

dt

@T

@�qj

!� @T

@qj

#�qj = 0

o,�Xj=1

"d

dt

@T

@�qj

!� @T

@qj�Qj

#�qj = 0 (5.13)

que, al tratarse del Principio de D’Alembert, debe ser considerada como ecuaciónfundamental de la Dinámica.

Póngase atención ahora a las fuerzas generalizadas Qj presentes en (5.13). Lasfuerzas (5.4) pueden ser descompuestas en una parte QU

j provenientes de una función

de energía potencial (en el caso más general) del tipo U = U�qi;

�qi; t�

(ver sección2.8.4),

QUj

�qi;

�qi; t�=

d

dt

@U

@�qj

!� @U

@qj(5.14)

y una parte QNUj no proveniente de una función de energía potencial,

QNUj =

NXi=1

�!F NUi � @

�!r i@qj

(5.15)



es decir,Qj = QU

j +QNUj (5.16)

por lo que al sustituir (5.16) en (5.13) resulta que,

�Xj=1

"d

dt

@T

@�qj

!� @T

@qj�QU

j �QNUj

#�qj = 0

�Xj=1

8>>>><>>>>:d

dt

@T

@�qj

!� @T

@qj�"d

dt

@U

@�qj

!� @U

@qj

#| {z }

Por (5.14)

�QNUj

9>>>>=>>>>; �qj = 0

�Xj=1

(d

dt

"@

@�qj(T � U)

#� @

@qj(T � U)�QNU

j

)�qj = 0

o,

�Xj=1

"d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj�QNU

j

#�qj = 0| {z }264 Principio de D’Alembert en Coordenadas

Generalizadas.

375

(5.17)

donde,

L�qi;

�qi; t�= T

�qi;

�qi; t�� U

�qi;

�qi; t�

| {z }�Lagrangiana o Lagrangiano

�(5.18)

es una función que será llamada La Lagrangiana o El Lagrangiano del sistema a es-tudiar. A partir de aquí es necesario considerar dos casos: cuando se tiene un sistemacon ligaduras holónomas y cuando se tiene un sistema con ligaduras no-holónomas ysemi-holónomas.

5.1.1. Para sistemas sin ligaduras

En este caso todas las 3N coordenadas generalizadas qj son independientesya que no existen ligaduras, por lo tanto, lo son también todos los desplazamientosvirtuales �qj en (5.17). Entonces, para que se satisfaga esta última se requiere que cadacoeficiente de los �qj se anule por separado resultando,



d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj= QNU

j , con j = 1; 2; 3; :::; � = 3N| {z }264 Ecuaciones de Lagrangepara sistemas sin ligaduras

375

(5.19)

A estas ecuaciones se les denominan Ecuaciones de Lagrange o Ecuaciones deMovimiento de Lagrange para sistemas sin ligaduras. Hay � = s = 3N de estas ecua-ciones que junto con las condiciones iniciales que son impuestas (posiciones y veloci-dades iniciales, la energía total o ciertos momentos), permiten encontrar las � = s = 3N

coordenadas qi dando así completamente la configuración del sistema. En este proce-so se involucran 2� constantes de integración relacionadas a las condiciones inicialesantes mencionadas.

Es importante hacer notar que (5.19) no es, en realidad, un conjunto de ecuacionesdiferenciales para L. El Lagrangiano es una función dada con ayuda de la cual esposible encontrar las qi (t) mediante las ecuaciones (5.19).

Si se consideran sólo fuerzas que provienen de una función de energía potencial(QNU

j = 0), las ecuaciones (5.19) se reducen a,

d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj= 0, con j = 1; 2; 3; :::; � = 3N| {z }264 Ecuaciones de Lagrange

para sistemas sin ligaduras y QNUj = 0

375

(5.20)

Además, de (5.13) se obtiene también que,

d

dt

@T

@�qj

!� @T

@qj= Qj, con j = 1; 2; 3; :::; � = 3N| {z }264 Ecuaciones de Lagrange en su Forma Básica

para sistemas sin ligaduras

375

(5.21)

que son las llamadas Ecuaciones de Lagrange en su Forma Básica.



5.1.2. Para sistemas con ligaduras holónomas

Es posible que se presenten dos casos:

Cuando las ligaduras se usan en forma implícita

Se dirá que las ligaduras holónomas son empleadas en Forma Implícitacuando se utilicen para eliminar todas las coordenadas dependientes, re-duciéndose así la descripción matemática del sistema a sólo coordenadasindependientes.

Esto esposible realizarlo únicamente cuando el sistema de partículas objeto de estu-dio es holónomo. Por supuesto, dentro de este grupo se deben considerar los sistemasdonde no existen ligaduras, ya que todas sus coordenadas serán independientes porno existir relaciones matemáticas entre ellas.

Cuando las K(h) ligaduras holónomas (ver secciones 2.4.3 y 2.9.1),

f(h)l (qi; t) = 0, con i = 1; 2; 3; :::; �; l = 1; 2; 3; :::; K(h) (5.22)

son usadas para reducir el número de coordenadas generalizadas desde 3N (depen-dientes + independientes) a � = s = 3N � K(h) (independientes), todos los � despla-zamientos virtuales �qj en (5.17) se convierten en independientes los unos de los otrospudiendo así tomar cualquier valor arbitrario. Entonces, para que se satisfaga (5.17) serequiere que cada coeficiente de los �qj se anule por separado resultando,

d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj= QNU

j , con j = 1; 2; 3; :::; � = 3N �K(h)

| {z }2666664Ecuaciones de Lagrange

para sistemas con ligaduras holónomas usadasen forma implícita.

3777775

(5.23)

A estas ecuaciones se les denominan Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos.Hay � = s = 3N �K(h) de estas ecuaciones que junto con las K(h) ecuaciones de liga-dura y las condiciones iniciales que son impuestas (posiciones y velocidades iniciales,la energía total o ciertos momentos), permiten encontrar las � = s = 3N �K(h) coorde-nadas qi dando así completamente la configuración del sistema. En este proceso se



involucran 2� constantes de integración relacionadas a las condiciones iniciales antesmencionadas.

Si se consideran sólo fuerzas que provienen de una función de energía potencial(QNU

j = 0), las ecuaciones (5.23) se reducen a,

d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj= 0, con j = 1; 2; 3; :::; � = 3N �K(h)

| {z }2666664Ecuaciones de Lagrange para

sistemas con ligaduras holónomas, QNUj = 0 y

donde las ligaduras son usadas en forma implícita.

3777775

(5.24)

Además, de (5.13) se obtiene también que,

d

dt

@T

@�qj

!� @T

@qj= Qj, con j = 1; 2; 3; :::; � = 3N �K(h)

| {z }264 Ecuaciones de Lagrange en su Forma Básicacon ligaduras holónomas en forma implícita

375

(5.25)

que son las llamadas Ecuaciones de Lagrange en su Forma básica, con ligaduras ho-lónomas en forma implícita

Cuando las ligaduras se usan en forma explícita

Se dirá que las ligaduras holónomas son empleadas en Forma Explícitacuando no se utilicen para eliminar las coordenadas dependientes, efec-tuándose la descripción del sistema de partículas dado con la totalidad(dependientes + independientes) de sus coordenadas.

Para trabajar con las K(h) ligaduras holónomas (5.22) en forma explícita lo que sehace es convertir el sistema de partículas dado en un sistema equivalente sin ligaduras,no empleándolas para eliminar las coordenadas dependientes sino anexándolas enforma explícita a la expresión (5.17) mediante el uso del Método de los Multiplicadoresde Lagrange. Para hacer esto, se sigue un procedimiento semejante al descrito en



la sección 3.5.1 para restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 cambiando yi (x) ! qi (t) yx ! t pero partiendo de (5.17) y teniendo presente que en este caso el número decoordenadas a ser utilizadas es el número total del sistema, es decir, 3N .

En efecto, los desplazamientos virtuales �qj en (5.17) deben satisfacer las condi-ciones impuestas por las K(h) ligaduras holónomas (5.22). Estas condiciones sobre losdesplazamientos fueron encontradas en la sección 2.12.2 resultando,

�Xi=1

@f(h)l

@qj�qj = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K(h) (5.26)

que se mantienen para cualquier valor de t y representan los desplazamientos posiblesen presencia de las ligaduras f (h)l = 0. En consecuencia, sólo 3N�K(h) desplazamientos�qj se pueden considerar arbitrarios, es decir, �qK(h)+1; �qK(h)+2; �qK(h)+3; : : : ; �q�; y el restose determinan de (5.26).

De acuerdo al Método de los Multiplicadores de Lagrange, al multiplicar cada unade las ecuaciones (5.26) por un factor indeterminado �l resulta,

�l

�Xj=1

@f(h)l

@qj�qj = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K(h) (5.27)

donde la suma es la que es nula, no sus términos individuales en general. Puesto que lasligaduras (5.22) están prescritas para cualquier valor de la variable independiente t, losfactores �l tienen que ser aplicados para cualquier valor de esta variable, haciéndolosdependientes de la misma �l = �l (t). Ahora, al ser sumadas miembro a miembro estasK(h) ecuaciones se obtiene,

K(h)Xl=1

�l

�Xj=1

@f(h)l

@qj�qj

!= 0

o,�Xj=1

0@K(h)Xl=1

�l@f

(h)l

@qj�qj

1A = 0 (5.28)

Si ahora se resta miembro a miembro (5.28) a (5.17) resulta,

�Xj=1

"d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj�QNU

j

#�qj �

�Xj=1

0@K(h)Xl=1

�l@f

(h)l

@qj�qj

1A = 0

o,�Xj=1

24 ddt

@L

@�qj

!� @L

@qj�

K(h)Xl=1

�l@f

(h)l

@qj�QNU

j

35 �qj = 0 (5.29)



Esta operación no es trivial ya que, a pesar de haberse restado cero, se ha adi-cionado realmente una suma cuyos términos individuales no son nulos. Aquí aún losdesplazamientos virtuales �qj no son arbitrarios y, por lo tanto, los coeficientes de éstosno son nulos en general.

La eliminación de los K(h) desplazamientos �qj dependientes entre sí, a diferenciade como se procedió en la forma implícita, puede ser llevada a cabo mediante laelección apropiada de los K(h) factores �l (t), de manera que los coeficientes de los�qj en (5.29) se anulen. Estos �l (t) se obtienen a partir de las K(h) ecuaciones,

d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj�

K(h)Xl=1

�l@f

(h)l

@qj�QNU

j = 0, con j = 1; 2; 3; : : : ; K(h) (5.30)

que forman un sistema lineal de ecuaciones con respecto a las �l (t) cuyo determi-nante debe ser no singular,

D�f(h)1 ; f

(h)2 ; f

(h)3 ; : : : ; f

(h)

K(h)

�D (q1; q2; q3; : : : ; qK(h))

=D�f(h)l

�D (qj)

6= 0, con j; l = 1; 2; 3; : : : ; K(h) (5.31)

garantizándose así que el sistema de ecuaciones posea solución �1; �2; �3; : : : ; �K(h) .

Con las �l escogidas como antes, la expresión (5.30) queda como,

�Xj=K(h)+1

24 ddt

@L

@�qj

!� @L

@qj�

K(h)Xl=1

�l@f

(h)l

@qj�QNU

j

35 �qj = 0 (5.32)

donde ahora todos los desplazamientos �qj son independientes entre sí y, por lo tanto,los coeficientes de éstos son todos nulos de manera que,

d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj�

K(h)Xl=1

�l@f

(h)l

@qj�QNU

j = 0, con j = K(h) + 1; K(h) + 2; K(h) + 3; : : : ; � (5.33)

Finalmente, las condiciones sobre los �l (5.30) combinadas con las ecuaciones(5.33) conducen a la conclusión de que cada coeficiente de los desplazamientos �qjen (5.29) se anula justo como si todos los desplazamientos �qj fuesen independientesde manera que,

d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj�

K(h)Xl=1

�l@f

(h)l

@qj�QNU

j = 0, con j = 1; 2; 3; : : : ; �

o,



d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj= Q

(lig)j +QNU

j , con j = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N| {z }2666664Ecuaciones de Lagrange

para sistemas con ligaduras holónomas usadasen forma explícita.

3777775

(5.34)

donde,

Q(lig)j =

K(h)Pl=1

�l@f

(h)l

@qj(5.35)

Las expresiones (5.34) son las Ecuaciones de Lagrange para ligaduras holónomasf(h)l (qi; t) = 0, cuando son usadas en forma explícita. Representan un conjunto de� = 3N ecuaciones para el conjunto completo de coordenadas (dependientes + inde-pendientes) q1; q2; q3; : : : ; q�=3N . Estas ecuaciones en conjunto con las K(h) ecuacionesde ligadura dadas por (5.22) forman un sistema de 3N+K(h) ecuaciones para 3N+K(h)

incógnitas, 3N coordenadas qj y K(h) multiplicadores de Lagrange �l, quedando asídeterminado dicho sistema de ecuaciones (en principio). Aquí las ligaduras entran enforma explícita en los Q(lig)j dados por (5.35), que son fuerzas adicionales que actúansobre el sistema. Debido a que estas fuerzas están relacionadas con las ligaduras [deallí la etiqueta (lig) en Q

(lig)j ] se les da el nombre de Fuerzas Generalizadas de Liga-

dura, las cuales no realizan trabajo virtual como lo requiere la validez del Principio deD’Alembert.

Si se consideran sólo fuerzas que provienen de una función de energía potencial,las ecuaciones (5.34) se reducen a,

d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj= Q

(lig)j =

K(h)Xl=1

�l@f

(h)l

@qj, con j = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N| {z }2666664

Ecuaciones de Lagrangepara sistemas con ligaduras holónomas, QNU

j = 0 ydonde las ligaduras son usadas en forma explícita.

3777775

(5.36)

El problema planteado en esta sección es posible abordarlo de una forma distinta



a la anterior. Se puede escribir (5.19) como,

d

dt

@L

@�qj

!� @

@qj

0@L+ K(h)Xl=1

�lf(h)l

1A = QNUj (5.37)

además,

@

@�qj

0@K(h)Xl=1

�lf(h)l

1A = 0 (5.38)

por ser la cantidad entre parántesis independiente de las velocidades generalizadas�qj, entonces al sumar miembro a miembro (5.37) y (5.38) resulta,

d

dt

@L

@�qj

!� @

@qj

0@L+ K(h)Xl=1

�lf(h)l

1A+ @

@�qj

0@K(h)Xl=1

�lf(h)l

1A = QNUj

d

dt

24 @L@�qj

@

@�qj

0@K(h)Xl=1

�lf(h)l

1A35� @

@qj

0@L+ K(h)Xl=1

�lf(h)l

1A = QNUj

o,d

dt

@eL@�qj

!� @eL@qj

= QNUj , con j = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N (5.39)

donde,

eL = L+K(h)Xl=1

�lf(h)l (5.40)

Los resultados (5.39) y (5.40) indican que el problema de estudiar un sistema holónomousando las ligaduras en forma explícita puede ser abordado mediante el estudio deun sistema equivalente sin ligaduras pero cuyo Lagrangiano es ahora dado por (5.40).

La utilidad del Método de los Multiplicadores de Lagrange es doble:

1. Los multiplicadores de Lagrange están relacionados con las fuerzas deligadura, a través de (5.35), que son requeridas frecuentemente.

2. Cuando, para un sistema dado, no se desea un cojunto de coordenadasgeneralizadas propias o es muy difícil obtenerlas, este método puede serusado para incrementar el número de coordenadas generalizadas me-diante la inclusión explícita de las relaciones de ligadura entre las coor-denadas.



5.1.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas

Las ligaduras no-holónomas sólo pueden ser introducidas en forma ex-plícita ya que, por su naturaleza, no es posible usarlas para eliminar coorde-nadas dependientes. Las semi-holónomas son integrables pudiéndose, porlo tanto, ser utilizadas (en principio) para eliminar coordenadas dependi-entes. Sin embargo, las presentadas aquí serán utilizadas en forma explícitasin haber sido integradas.

Estudiar sistemas donde están presentes ligaduras no-holónomas es, en general,bastantante complicado ya que hay infinidad de ligaduras de este tipo y, por ende,no existe un procedimiento general para involucrarlas en las ecuaciones de Lagrangede un sistema de partículas dado. Como lo importante a este nivel es aprender a usarla herramienta presentada en este capítulo (La Mecánica de Lagrange), serán consi-deradas un conjunto muy especial de ligaduras no-holónomas y semi-holónomas. Enel presente texto, como fue mencionado en el capítulo 2, sólo serán consideradas lasligaduras de este tipo estudiadas en las secciones 2.4.3 y 2.9.2: ligaduras no-holónomasen forma diferencial f (nhd)l , semi-holónomas f (shd)l en forma diferencial, no-holónomasen forma de velocidad f

(nhD)l y semi-holónomas f (shD)l en forma de velocidad. Estas

ligaduras vienen dadas respectivamente por,

8<: f(nhd)l

�qk;

�qk; t

�f(shd)l

�qk;

�qk; t

� =�Pj=1

Alj (qk; t) dqj +Bl (qk; t) dt = 0, con l = 1; 2; 3; :::;

(K(nh)

K(h)

(5.41)que representan las restricciones lineales sobre los desplazamientos dqj y,

8<: f(nhD)l

�qk;

�qk; t

�f(shD)l

�qk;

�qk; t

� =�Pj=1

Alj (qk; t)�qj +Bl (qk; t) = 0, con l = 1; 2; 3; :::;

(K(nh)

K(h)(5.42)

que representan las restricciones lineales sobre las velocidades generalizadas�qj. Se

justifica esta elección en el hecho de que son las más frecuentes en los problemas deMecánica. Como ya se sabe, las ligaduras (5.41) y (5.42) no imponen ningún tipo decondiciones sobre las coordenadas qj restringiendo sólo sus derivadas

�qj o sus diferen-

ciales dqj respectivamente, permitiendo eliminar K(nh) o K(h) de las�qj o dqj.



Se hará el estudio para las ligaduras no-holónomas y semi-holónomas en la formadiferencial (5.41). Los resultados obtenidos serán aplicables también a las (5.42) ya queéstas son equivalentes a las diferenciales.

Las ligaduras holónomas pueden ser expresadas en cualquiera de lasdos formas mostradas en (5.41) o (5.42) hallando su diferencial total (en elprimer caso) o hallando su derivada total con respecto al tiempo t (en elsegundo caso).

Como se hizo en la sección anterior, para trabajar con las K(nh) ligaduras difer-enciales no holónomas f (nhd)l o las K(h) ligaduras diferenciales semi-holónomas f (shd)l

dadas por (5.41) lo que se hace es convertir el sistema de partículas dado en un sis-tema equivalente sin ligaduras, anexando estas en forma explícita a la expresión (5.17)mediante el uso del Método de los Multiplicadores de Lagrange. Para hacer esto, sesigue un procedimiento semejante al descrito en la sección 3.5.3 para restriccionesdel tipo D�l = 0 cambiando yi (x) ! qi (t), y0i (x) !

�qi (t) y x ! t pero partiendo de (5.17)

y teniendo presente que el número de coordenadas a utilizar es el número total delsistema, es decir, 3N .

En efecto, los desplazamientos virtuales �qj en (5.17) deben satisfacer las condi-ciones impuestas por las K(nh) ligaduras no-holónomas o K(h) semi-holónomas (5.41).Estas condiciones se encuentran al hacer dt = 0 en (5.41), en concordancia con ladefinición de desplazamiento virtual vista en la sección 2.12.2 resultando,

�Xj=1

Alj�qj = 0, con l = 1; 2; 3; :::;

(K(nh)

K(h)(5.43)

que se cumplen para cualquier valor de t. Se usará el Método de los Multiplicadoresde Lagrange como se hizo en las sección anterior. Al multiplicar cada una de las ecua-ciones (5.43) por un factor indeterminado �l resulta,

�l

�Xj=1

Alj�qj = 0, con l = 1; 2; 3; :::;

(K(nh)

K(h)(5.44)

donde la suma es la que es nula, no sus términos individuales en general. Puesto que lasligaduras (5.41) están prescritas para cualquier valor de la variable independiente t, losfactores �l tienen que ser aplicados para cualquier valor de esta variable, haciéndolosdependientes de la misma �l = �l (t). Ahora, al ser sumadas miembro a miembro estas



K(nh) o K(h) ecuaciones se obtiene,

K(nh);K(h)Xl=1

�l

�Xj=1

Alj�qj

!= 0

o,�Xj=1

0@K(nh);K(h)Xl=1

�lAlj�qj

1A = 0 (5.45)

Si ahora se resta miembro a miembro (5.45) a (5.17) resulta,

�Xj=1

"d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj�QNU

j

#�qj �

�Xj=1

0@K(nh);K(h)Xl=1

�lAlj�qj

1A = 0

o,�Xj=1

24 ddt

@L

@�qj

!� @L

@qj�

K(nh);K(h)Xl=1

�lAlj �QNUj

35 �qj = 0 (5.46)

Esta operación no es trivial ya que, a pesar de haberse restado cero, se ha adi-cionado realmente una suma cuyos términos individuales no son nulos. Aquí aún losdesplazamientos virtuales �qj no son arbitrarios y, por lo tanto, los coeficientes de éstosno son nulos en general.

La eliminación de losK(nh) oK(h) desplazamientos virtuales �qj dependientes entre sípuede ser llevada a cabo mediante la elección apropiada de los K(nh) o K(h) factores�l, de manera que los coeficientes de los desplazamientos �qj en (5.46) se anulen. Estos�l se obtienen a partir de las K(nh) o K(h) ecuaciones,

d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj�

K(nh);K(h)Xl=1

�lAlj �QNUj = 0, con j = 1; 2; 3; : : : ;

(K(nh)

K(h)(5.47)

que forman un sistema lineal de ecuaciones con respecto a las �l cuyo determinantedebe ser no singular,

D�f(nhd)1 ; f

(nhd)2 ; f

(nhd)3 ; : : : ; f

(nhd)

K(nh)

�D (q1; q2; q3; : : : ; qK(nh))

=D�f(nhd)l

�D (qj)

6= 0, con j; l = 1; 2; 3; : : : ; K(nh) (5.48)

para el caso no-holónomo o,

D�f(shd)1 ; f

(shd)2 ; f

(shd)3 ; : : : ; f

(shd)

K(h)

�D (q1; q2; q3; : : : ; qK(h))

=D�f(shd)l

�D (qj)

6= 0, con j; l = 1; 2; 3; : : : ; K(h) (5.49)



para el caso semi.holónomo, garantizándose así que el sistema de ecuaciones poseasolución �1; �2; �3; : : : ; �K(nh) o �1; �2; �3; : : : ; �K(h) .

Con los �l escogidas como antes, la expresión (5.46) queda como,

�Xj=K(nh)+1;K(h)+1

24 ddt

@L

@�qj

!� @L

@qj�

K(nh);K(h)Xl=1

�lAlj �QNUj

35 �qj = 0 (5.50)

donde ahora todos los desplazamientos �qj son independientes entre sí y, por lo tanto,los coeficientes de éstos son todos nulos de manera que,

d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj�

K(nh);K(h)Xl=1

�lAlj �QNUj = 0, con j =

(K(nh) + 1; K(nh) + 2; K(nh) + 3; : : : ; �

K(h) + 1; K(h) + 2; K(h) + 3; : : : ; �

(5.51)Finalmente, las condiciones sobre los �l (5.51) combinadas con las ecuaciones

(5.47) conducen a la conclusión de que cada coeficiente de los desplazamientos �qjen (5.46) se anula justo como si todos los desplazamientos �qj fuesen independientesde manera que,

d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj�

K(nh);K(h)Xl=1

�lAlj �QNUj = 0, con j = 1; 2; 3; : : : ; �

o,

d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj= Q

(lig)j +QNU

j , con j = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N| {z }2666664Ecuaciones de Lagrange

para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomasdel tipo (5.41) o (5.42)

3777775

(5.52)

donde,

Q(lig)j =

K(nh);K(h)Pl=1

�lAlj (5.53)

Las expresiones (5.52) son las Ecuaciones de Lagrange para ligaduras no-holónomasy semi-holónomas del tipo (5.41) o (5.42). Representan un conjunto de � = 3N ecua-ciones para el conjunto completo de coordenadas q1; q2; q3; : : : ; q�=3N . Estas ecuaciones



en conjunto con las K(nh) o K(h) ecuaciones de ligadura dadas por (5.41) o (5.42) for-man un sistema de 3N +K(nh) o 3N +K(h) ecuaciones para 3N +K(nh) o 3N +K(h) in-cógnitas, 3N coordenadas qj y K(nh) o K(h) multiplicadores de Lagrange �l, quedandoasí determinado dicho sistema de ecuaciones (en principio). Aquí las ligaduras entranen forma explícita en los Q(lig)j dados por (5.53), que son las Fuerzas Generalizadas deLigadura para este caso y no realizan trabajo virtual como lo requiere la validez delPrincipio de D’Alembert.

Si se consideran sólo fuerzas que provienen de una función de energía potencial U ,las ecuaciones (5.52) se reducen a,

d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj= Q

(lig)j =

K(nh);K(h)Xl=1

�lAlj, con j = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N| {z }2666664Ecuaciones de Lagrange

para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomasdel tipo (5.41) o (5.42) y QNU

j = 0.

3777775

(5.54)

Las ligaduras tipo (5.41) o (5.42) semi-holónomas, previa integración, pueden sertratadas con las Ecuaciones de Lagrange (5.23) o (5.34). Sin embargo, puede ocurrirque la integración no sea fácil y es en estos casos donde realmente son útiles las Ecua-ciones de Lagrange (5.54) pues únicamente se requiere determinar los coeficientesAli, lo cual es muy trivial. También son útiles estas Ecuaciones de Lagrange cuando setienen ligaduras holónomas en las que se hace difícil despejar las coordenadas de-pendientes en función de las independientes, resolviéndose el problema al hallar ladiferencial total de dichas ligaduras para expresarlas en la forma diferencial (5.41) yluego aplicar (5.54).

Puesto que las ligaduras del tipo (5.41) o (5.42) corresponden a las restricciones deltipo D�l = 0 estudiadas en la sección 3.5.3 del capítulo 3 con qi (t) = yi (x),

�qi (t) = y0i (x)

y x = t, vale aquí todo lo presentado sobre éstas en dicha sección. En consecuencia,para este tipo de ligaduras es incorrecto el sustituir el sistema dado por uno equivalentesin ligaduras con un Lagrangiano dado por,

eL = L+K(h)Xl=1

�lf(nh)l

�qi;

�qi; t�

(5.55)

ya que las ecuaciones así obtenidas son incapaces de reproducir las correctas ecua-ciones (5.54) obtenidas a partir del Principio de D’Alembert (5.17). Una explicaciónminuciosa y muy clara sobre lo anterior se presenta en la referencia [21].



5.2. Ecuaciones de Lagrange obtenidas a partir del Princi-pio de Ostrogradski-Hamilton

En términos del Cálculo Variacional, el Principio de Ostrogradski-Hamilton (sec-ción 2.14.3) se puede escribir como,

�S = �

Z t2

t1

L�qi;

�qi; t�dt = 0 (5.56)

donde L�qi;

�qi; t�

es el Lagrangiano ya definido en la sección 5.1 por la expresión (5.18).A (5.56) suele llamásele Principio Variacional de Ostrogradski-Hamilton. Esta versión espara sistemas donde no existen fuerzas que no provengan de una función de energíapotencial U , es decir, para QNU

i = 0.

Este principio puede ser escrito de una forma más general para QNUi 6= 0. En efecto,

al hallar la variación �L del Lagrangiano L = L�qi;

�qi; t�

resulta,

�L =

�Xj=1

@L

@qj�qj +

�Xj=1

@L

@�qj��qj (5.57)

pero,

��qj = �

�dqjdt

�=

d

dt(�qj) (5.58)

entonces,

�L =

�Xj=1

@L

@qj�qj +

�Xj=1

@L

@�qj

d

dt(�qj) (5.59)

Si en esta última expresión se suma y resta la cantidad�Pj=1

ddt

�@L

@�qj

��qj en su miembro

derecho se obtiene,

�L =

�Xj=1

d

dt

@L

@�qj

!�qj �

�Xj=1

d

dt

@L

@�qj

!�qj +

�Xj=1

@L

@qj�qj +

�Xj=1

@L

@�qj

d

dt(�qj)

=

�Xj=1

"d

dt

@L

@�qj

!�qj +

@L

@�qj

d

dt(�qj)

#| {z }

=�Pj=1

ddt

@L

@�qj

�qj

!+

�Xj=1

"@L

@qj� d

dt

@L

@�qj

!#�qj

o,

�L =d

dt

�Xj=1

@L

@�qj�qj

!�

�Xj=1

"� @L@qj

+d

dt

@L

@�qj

!#�qj (5.60)


5.2. ECUACIONES DE LAGRANGE OBTENIDAS A PARTIR DEL PRINCIPIO DEOSTROGRADSKI-HAMILTON

pero, a partir del Principio de D’Alembert (5.17) se puede escribir que,

�Pj=1

�ddt

�@L

@�qj

�� @L

@qj

��qj =

�Pj=1

QNUj �qj (5.61)

resultando,

�L =d

dt

�Xj=1

@L

@�qj�qj

!�

�Xj=1

QNUj �qj (5.62)

que es la Versión �L del Principio de D’Alembert. Por último, al integrar esta expresióndesde un tiempo t1 hasta uno t2 se obtiene,

Z t2

t1

�Ldt = �

Z t2

t1

Ldt =

Z t2

t1

d

dt

�Xj=1

@L

@�qj�qj

!dt�

Z t2

t1

�Xj=1

QNUj �qj

!dt

=

�Xj=1

@L

@�qj�qj

��t2

t1| {z }=0

�Z t2

t1

�Xj=1

QNUj �qj

!| {z }

=�WNU , trabajo virtual de las QNUj

dt

= �Z t2

t1

�WNUdt

o,

�

Z t2

t1

�L+WNU

�dt = 0 (5.63)

que es el Principio de Ostrogradski-Hamilton que incluye a las fuerzas QNUj no prove-

nientes de una función potencial U .


En esta sección se reobtendrán las Ecuaciones de Lagrange para sistemas departículas sin ligaduras y en presencia de fuerzas que no se derivan de una función deenergía potencial, es decir, las ecuaciones (5.19). En este caso � = s = 3N y partir de



(5.60) se puede escribir, Z t2

t1

��L+ �WNU

�dt = 0Z t2

t1

�Xj=1

@L

@qj�qj +

�Xj=1

@L

@�qj��qj +

�Xj=1

QNUj �qj

!dt = 0

Z t2

t1

�Xj=1

"@L

@qj�qj +

@L

@�qj

d

dt(�qj) +QNU

j �qj

#dt = 0

�Xj=1

Z t2

t1

"@L

@qj�qj +

@L

@�qj

d

dt(�qj)

#dt+

�Xj=1

Z t2

t1

QNUj �qj = 0 (5.64)

El primer sumando de la expresión anterior es análogo a la penúltima expresión enlas igualdades (3.94) de la sección 3.4.3 del Cálculo Variacional sin restricciones, conyi (x) = qi (t), y0i (x) =

�qi (t) y x = t resultando,

�Xj=1

(Z t2

t1

"@L

@qj� d

dt

@L

@�qj

!#�qjdt

)+

�Xj=1

Z t2

t1

QNUj �qjdt = 0

�Xj=1

Z t2

t1

"@L

@qj� d

dt

@L

@�qj

!+QNU

j

#�qjdt = 0 (5.65)

al seguir, para dicho sumando, el procedimiento empleado en la mencionada sec-ción. Ahora, como no existen ligaduras, todos los �qj en esta última expresión son com-pletamente independientes de manera que al aplicar el Lema Fundamental del Cál-culo de Variaciones resulta que,

@L

@qj� d

dt

@L

@�qj

!+QNU

j = 0, con j = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N

o,

d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj= QNU

j , con j = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N (5.66)

que son las mismas ecuaciones (5.19).


Como en la sección 5.1, es posible que se presenten dos casos:




En esta sección se reobtendrán las Ecuaciones de Lagrange para sistemas de partícu-las con ligaduras holónomas empleadas en forma implícita y en presencia de fuerzasque no se derivan de una función de energía potencial, es decir, las ecuaciones(5.25). Como las ligaduras holónomas f (h)l (qi; t) = 0 se utilizarán en forma implícita, las� = 3N �K(h) coordenadas generalizadas restantes serán totalmente independienteslas unas de las otras. A partir de (5.60) y siguiendo un procedimiento idéntico al de lasección anterior se obtiene,

�Xj=1

Z t2

t1

"@L

@qj� d

dt

@L

@�qj

!+QNU

j

#�qjdt = 0 (5.67)

que es idéntica a (5.65) con la diferencia de que ahora � = 3N �K(h). Como todos los�qj en esta última expresión son completamente independientes es posible aplicar elLema Fundamental del Cálculo de Variaciones resultando que,

@L

@qj� d

dt

@L

@�qj

!+QNU

j = 0, con j = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N �K(h)

o,d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj= QNU

j , con j = 1; 2; 3; : : : ; � = � = 3N �K(h) (5.68)

que son las mismas ecuaciones (5.23).


En esta sección se reobtendrán las Ecuaciones de Lagrange para sistemas departículas con ligaduras holónomas empleadas en forma explícita y en presencia defuerzas que no se derivan de una función de energía potencial, es decir, las ecua-ciones (5.34). Igual que en las dos secciones anteriores, a partir de (5.60) se llega aque,

�Xj=1

Z t2

t1

"@L

@qj� d

dt

@L

@�qj

!+QNU

j

#�qjdt = 0 (5.69)

con � = 3N ya que las ligaduras están siendo usadas en forma explícita. Este problemavariacional, de aquí en adelante, es el mismo que el planteado en la sección 3.5.1para las restricciones Al [yi (x) ; x] = 0 usadas en forma explícita, haciendo los cambiosyi (x)! qi (t), y0i (x)!

�qi (t) y x! t. Aquí (5.69) hace el papel de (3.183) en la menciona-

da sección obteniéndose así,

d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj=

K(h)Xl=1

�l@f

(h)l

@qj+QNU

j , con j = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N (5.70)



que son las mismas Ecuaciones de Lagrange dadas por (5.34).

También es posible, como se mostró al final de la sección 3.5.1, convertir el sistemadado a uno equivalente sin ligaduras mediante el Lagrangiano,

eL = L+K(h)Xl=1

�l (t) f(h)l (qi; t) (5.71)

en el cual se han introducido las ligaduras holónomas f (h)l (qi; t) = 0 en forma explíci-ta mediante el uso de los Multiplicadores de Lagrange �l. Por lo tanto, el problemavariacional puede escribirse en este caso como,

�Xj=1

Z t2

t1

"@eL@qj� d

dt

@eL@�qj

!+QNU

j

#�qjdt = 0 (5.72)

donde � = 3N , representando un problema variacional sin restricciones (sin ligaduras)como el estudiado en la sección 5.2.1.


En esta sección se reobtendrán las Ecuaciones de Lagrange para sistemas de partícu-las con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas del tipo (5.41) o (5.42) en presenciade fuerzas que no se derivan de una función de energía potencial, es decir, las ecua-ciones (5.52). Igual que en las tres secciones anteriores, a partir de (5.60) se llega aque,

�Xj=1

Z t2

t1

"@L

@qj� d

dt

@L

@�qj

!+QNU

j

#�qjdt = 0 (5.73)

con � = 3N ya que ligaduras (5.41) o (5.42) están siendo usadas en forma explícitaasí sean semi-holónomas. Este problema variacional, de aquí en adelante, es el mis-mo que el planteado en la sección 3.5.3 para las restricciones D�l = 0, haciendo loscambios yi (x) ! qi (t), y0i (x) !

�qi (t) y x ! t. Aquí (5.73) hace el papel de (3.296) en la

mencionada sección obteniéndose así,

d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj=

K(nh);K(h)Xl=1

�lAlj +QNUj , con j = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N (5.74)

que son las mismas Ecuaciones de Lagrange dadas por (5.52).

Valen aquí todas las limitaciones y consideraciones presentadas en la sección 3.5.3para las restricciones del tipo D�l = 0 y Dl = 0, entre las cuales está el que El Prin-cipio Variacional de Ostrogradski-Hamilton (5.63) no puede ser generalizado para li-gaduras no-holónomas generales del tipo f

(nh)l

�qi;

�qi; t�= 0 reemplazando L por eL =



L+ �lf(nh)l

�qi;

�qi; t�

. El hecho de que �f(nh)l 6= 0 implica que los caminos variados no son

geométricamente posibles. La generalización del Principio de Ostrogradski-Hamilton ydel Principio de D’Alembert se apoya en el Método de lo Multiplicadores de Lagrangeel cual exige que los caminos variados sean geométricamente posibles.

A manera de resumen, las ligaduras a ser consideradas y las ecuaciones de La-grange a ser usadas en el presente texto son las siguientes:

LIGADURAS

LigadurasHolónomas

�!

8><>:fl (qi; t) = 0

l = 1; 2; 3; :::; K(h)

i = 1; 2; 3; : : : ; 3N

(5.75)

Ligadurasno-holónomas ysemi-holónomas

�!

8>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>:

�Pj=1

Alj (qk; t) dqj +Bl (qk; t) dt = 0

Forma de diferencial

�Pj=1

Alj (qk; t)�qj +Bl (qk; t) = 0

Forma de derivada

donde, en ambos casos,

l = 1; 2; 3; :::;

(K(nh), no-holónomas.K(h), semi-holónomas.

(5.76)

ECUACIONES DE LAGRANGE



ddt

�@L

@�qj

�� @L

@qj

= Q(lig)j +QNU

j

!

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

Q(lig)j = 0 �!

(Sin ligaduras

j = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N

Q(lig)j = 0 �!

8><>:Ligaduras holónomas

en forma implícitaj = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N �K(h)

Q(lig)j =

K(h)Pl=1

�l@f

(h)l

@qj�!

8><>:Ligaduras holónomas en

forma explícita.j = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N

Q(lig)j =

K(nh);K(h)Pl=1

�lAlj �!

8><>:Ligaduras no-holónomas

y semi-holónomas.j = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N

(5.77)

5.3. Condición de integrabilidad de las ecuaciones de La-grange

Como se vió antes, si se conoce el Lagrangiano de un sistema determinadoes posible obtener las ecuaciones de movimiento de Lagrange correspondientes. Alintegrarlas y emplear las condiciones iniciales (por ejemplo las coordenadas genera-lizadas y las velocidades generalizadas en t = to) se obtiene su descripción única ycompleta, radicando aquí el origen del por qué es de gran interés conocer bajo quécondiciones son integrables dichas ecuaciones.

Al desarrollar la derivada total con respecto al tiempo t presente en las ecuacionesde Lagrange (5.77) resulta,

d

dt

@L

@�qj

!=

�Xi=1

@2L

@qi@�qj

�qi +

�Xi=1

@2L

@�qi@

�qj

��q i +

@2L

@t@�qj

(5.78)

pudiéndose así escribir como,�Xi=1

@2L

@�qj@

�qi

��q i = Fj

�qi;

�qi; t�

, con j = 1; 2; 3; : : : ; � (5.79)


5.3. CONDICIÓN DE INTEGRABILIDAD DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE

con,

Fj�qi;

�qi; t�= QNU

j +Q(lig)j �

�Xi=1

@2L

@�qj@qi

�qi �

@2L

@�qj@t

+@L

@qj(5.80)

que son funciones que se conocen si el Lagrangiano es conocido. El sistema (5.79) de� ecuaciones diferenciales de segundo orden puede pensarse como un sistema deecuaciones lineales en las aceleraciones

��q i,8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

@2L

@�q2

1

��q 1 +

@2L

@�q1@

�q2

��q 2 +

@2L

@�q1@

�q3

��q 3 + � � �+ @2L

@�q1@

�q�

��q � = F1

@2L

@�q2@

�q1

��q 1 +

@2L

@�q2

2

��q 2 +

@2L

@�q2@

�q3

��q 3 + � � �+ @2L

@�q2@

�q�

��q � = F2

@2L

@�q3@

�q1

��q 1 +

@2L

@�q3@

�q2

��q 2 +

@2L

@�q2

3

��q 3 + � � �+ @2L

@�q3@

�q�

��q � = F3

...@2L

@�q�@

�q1

��q 1 +

@2L

@�q�@

�q2

��q 2 +

@2L

@�q�@

�q3

��q 3 + � � �+ @2L

@�q2

�

��q � = F�

(5.81)

o matricialmente,0BBBBBBBBB@

@2L

@�q2

1

@2L

@�q1@

�q2

@2L

@�q1@

�q3� � � @2L

@�q1@

�q�

@2L

@�q2@

�q1

@2L

@�q2

2

@2L

@�q2@

�q3� � � @2L

@�q2@

�q�

@2L

@�q3@

�q1

@2L

@�q3@

�q2

@2L

@�q2

3

� � � @2L

@�q3@

�q�

......

... . . . ...@2L

@�q�@

�q1

@2L

@�q�@

�q2

@2L

@�q�@

�q3� � � @2L

@�q2

�

1CCCCCCCCCA| {z }

Matriz Hessiana H�qi;

�qi;t�

0BBBBBB@

��q 1��q 2��q 3...��q �

1CCCCCCA =

[email protected]�

1CCCCCCA (5.82)

A la matriz de los coeficientes de las aceleraciones��q i se le denomina Matriz Hes-

siana H. Estas aceleraciones podrán ser determinadas de manera única y en funciónde las coordenadas generalizadas qi y las velocidades generalizadas

�qi si y sólo si la

matriz Hessiana H es invertible. Para que lo anterior ocurra debe cumplirse que el Hes-siano (determinante de H) sea,

detH 6= 0 (5.83)

indicando que la matriz Hessiana debe ser no-singular.

A los Lagrangianos que cumplen con la condición (5.83) se les denominan La-grangianos Estándares. Quedan así excluidos en esta formulación los Lagrangianossingulares o de primer orden en las velocidades generalizadas

�qi por razones obvias.

Los Lagrangianos de interés que son definidos por (5.18), en su mayoría, cumplen conla condición (5.83). Sin embargo, no pocos Lagrangianos de sistemas relativistas o de



sistemas con infinitos grados de libertad (presentes en Teoría de Campos) no cumplendicha condición1.

Para los propósitos del presente texto sólo serán estudiados sistemas quepueden describirse mediante Lagrangianos estándares.

5.4. Ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Lagrange

En las siguientes secciones se mostrarán una serie de ejemplos de aplicaciónde las Ecuaciones de Lagrange.

5.4.1. Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en for-ma implícita

Los ejemplos siguientes representan sistemas sin ligaduras y sistemas con ligadu-ras holónomas en los que las ecuaciones de ligadura serán usadas en forma implícita.

Pasos a seguir cuando se tienen sistemas sin ligaduras: recuérdese que en estoscasos el número de coordenadas generalizadas a utilizar es � = 3N .

1. Se halla el número de grados de libertad, que es igual al número mínimo de coor-denadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema.

2. Se construye el Lagrangiano del sistema.

3. Se encuentran las ecuaciones de Lagrange (5.77).

4. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones forma-do por las Ecuaciones de Lagrange.

Pasos a seguir cuando se tienen sistemas con ligaduras holónomas a ser usadas enforma implícita: recuérdese que en estos casos el número de coordenadas generali-zadas a utilizar es � = e� = 3N �K(h).

1. Se identifican las ligaduras presentes en el sistema dado.

2. Se halla el número de grados de libertad y el número mínimo de coordenadas ge-neralizadas necesarias para fijar la configuración del sistema.

1Para el tratamiento de Lagrangianos no estándares, con frecuencia, es empleado el formalismo deDirac [17].


5.4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE

3. Se construye el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras.

4. Se usan las ligaduras para eliminar coordenadas dependientes en el Lagrangianoconstruido en el paso anterior, obteníéndose así el Lagrangiano con las ligadurasincluidas.


6. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones forma-do por las Ecuaciones de Lagrange y las ecuaciones de ligadura.

Los anteriores pasos son una simple guía para resolver los problemas, no pretendenser reglas de estricto cumplimiento y son introducidos como una guía para ordenar losconocimientos presentados en los siguientes ejemplos.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.1La figura 5.1 muestra un sistema donde una partícula masa m se

desliza sobre un plano inclinado sin rozamiento. Encuentre la ecuación de movimientode Lagrange del sistema y la aceleración de la partícula a lo largo del plano inclinado.

Figura (5.1): Partícula de masa m que se desplaza hacia abajo en un plano inclinado un ángulo � conrespecto a la horizontal.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras.Ligaduras: existen K(h) = 2 ligaduras holónomas,8><>:

z = 0) f(h)1 = z = 0, limita el movimiento de m al plano xy

y = �xTg � + h) f(h)2 = y + xTg � � h = 0, limita el movimiento

de m al plano inclinado.(5.84)



que son esclerónomas. La ligadura f(h)2 es sencilla de encontrar ya que es la ecuación

de la línea recta que define el plano inclinado.

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como exis-ten K(h) = 2 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad es,

s = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (5.85)

y el número mínimo de coordenadas generalizadas,

e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (5.86)


Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas Cartesianas se tiene que laenergía cinética viene dada por,

T =1

2mv2 =

1

2m��x2+

�y2+

�z2�

(5.87)

y la energía potencial (para el origen de potencial escogido) por,

U = mgy (5.88)

de manera que el Lagrangiano viene dado por,

L = T � U = 1

2m��x2+

�y2+

�z2��mgy (5.89)

que es el Lagrangiano del sistema sin considerar las ligaduras (5.84).

Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, seusarán las ligaduras (5.84) para eliminar dos de las coordenadas. Si se escoge x comocoordenada generalizada, al sustituir (5.84) en (5.89) el Lagrangiano se puede escribircomo,

L =1

2m

��x2+��xTg �

�2��mg (�xTg � + h)

ya que a partir de f(h)2 ,

�y = ��

xTg � (5.90)

por lo tanto,

L =1

2m�x2sec2 � +mgxTg � �mgh (5.91)

observándose que quedó en función de solamente una coordenada generalizada,en este caso x, lo cual está en concordancia con el resultado (5.86).



Ecuaciones de Lagrange: de (5.91) se tiene que,

@L@x= mgTg � @L

@�x= m

�x sec2 � d

dt

�@L

@�x

�= m

��x sec2 �

Entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QNUj = 0 (por no existir

este tipo de fuerzas) se obtiene,

d

dt

�@L

@�x

�� @L

@x= 0 (5.92)

de la cual resulta,��x = g Sen�Cos� (5.93)

que es la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema dado para la coordenadageneralizada x.

Cálculo de las cantidades pedidas: la ecuación para la aceleración en y vienedada al derivar (5.90) con respecto al tiempo, es decir,

��y = ��x Tg � = �g Sen2 �| {z }

por (5.92)

(5.94)

entonces la aceleración a lo largo del plano inclinado viene dada por,

a =

q��x2+��y2=

vuuut0@g Sen�Cos�| {z }

por (5.93)

1A2

+

0@�g Sen2 �| {z }por (5.94)

1A2

o,

a = g Sen� (5.95)

que es el resultado ya conocido de la Física Elemental. Es de hacer notar que estemétodo no permite encontrar la fuerza o fuerzas que mantienen unido a m a la super-ficie del plano inclinado. Nótese que si � = �

2en (5.93) y (5.94) resulta,( ��

x = 0��y = �g

(5.96)

indicando que la partícula está en caída libre como era de esperarse.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Figura (5.2): Partícula de masa m inmersa en un campo de fuerza conservativo.

EJEMPLO 5.2Encuentre las ecuaciones de movimiento de Lagrange de una

partícula de masa m que se encuentra inmersa en un campo de fuerza conservati-vo como se muestra en la figura figura 5.2, (a) en coordenadas Cartesianas y (b) encoordenadas esféricas.

SOLUCION: la figura 5.2 muestra la situación descrita en el problema. No existenligaduras.

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como noexisten ligaduras entonces el número de grados de libertad es,

s = 3N �K(h) = 3 (1)� 0 = 3 (5.97)


e� = N �K(h) = 3 (1)� 0 = 3 (5.98)

siendo e� = s como era de esperarse para un sistema sin ligaduras.

(a) En coordenadas Cartesianas:

Lagrangiano: la energía cinética total del sistema es dada por,

T =1

2mv2 =

1

2m��x2+

�y2+

�z2�

(5.99)



y la energía potencial total por,U = U (x; y; z) (5.100)


L = T � U = 1

2m��x2+

�y2+

�z2�� U (x; y; z) (5.101)

donde se tienen 3 coordenadas generalizadas x, y y z en concordancia con el resul-tado (5.98). De aquí que,

@L@x= �@U

@x= Fx

@L

@�x= m

�x) d

dt

�@L

@�x

�= m

��x

@L@y= �@U

@y= Fy

@L

@�y= m

�y ) d

dt

�@L

@�y

�= m

��y

@L@z= �@U

@z= Fz

@L

@�z= m

�z ) d

dt

�@L

@�z

�= m

��z

Ecuaciones de Lagrange: a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QNUj =

0 (por no existir este tipo de fuerzas) se obtiene,

8>>><>>>:ddt

�@L

@�x

�� @L

@x= 0) Fx = m

��x

ddt

�@L

@�y

�� @L

@y= 0) Fy = m

��y

ddt

�@L

@�z

�� @L

@z= 0) Fz = m

��z

(5.102)

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange pedidas, en coordenadas Carte-sianas.

(b) En coordenadas esféricas:

Lagrangiano: la energía cinética total del sistema resulta de,

T =1

2mv2 =

1

2m

��r2+ r2

��2

+ r2 Sen2 ��'2�

(5.103)

ya que en coordenadas esféricas v2 =�r2+ r2

��2

+ r2 Sen2 ��'2, y la energía potencial total

viene dada por,U = U (r; �; ') (5.104)

entonces, el Lagrangiano viene dado por,

L = T � U = 1

2m

��r2+ r2

��2

+ r2 Sen2 ��'2�� U (r; �; ') (5.105)

donde las coordenadas generalizadas son ahora r, � y ', que igualemente son 3 enconcordancia con el resultado (5.98).




@L

@r= mr

��2

+mr Sen2 ��'2� @U

@r@L

@�r

= m�r

d

dt

�@L

@�r

�= m

��r

@L

@�= mr2 Sen �Cos �

�'2� @U

@�@L

@��

= mr2��

d

dt

@L

@��

!= mr2

�� + 2mr

�r��

@L

@'= �@U

@'= F'

@L

@�'

= mr2 Sen2 ��'

d

dt

@L

@�'

!= 2mr

�r Sen2 �

�'+ 2mr2

��' Sen �Cos � +mr2 Sen2 �

��'



d

dt

�@L

@�r

�� @L

@r= 0) mr

��2

+mr Sen2 ��'2� @U

@r= m

��r (5.106)

d

dt

@L

@��

!� @L

@�= 0) mr2 Sen �Cos �

�'2� @U

@�= mr2

�� + 2mr

�r�� (5.107)

d

dt

@L

@�'

!� @L

@'= 0) �@U

@'= 2mr

�r Sen2 �

�'+ 2mr2

��' Sen �Cos �

+mr2 Sen2 ��' (5.108)

pero en coordenadas esféricas,

�!F = ��!rU = �@U

@rber � 1

r

@U

@�ber � 1

r Sen �

@U

@'be' (5.109)



de la cual,

� @U

@r= Fr (5.110)

�1r

@U

@�= F� ) �

@U

@�= rF� (5.111)

� 1

r Sen �

@U

@'= F' ) �

@U

@'= r Sen �F' (5.112)

entonces al sustituir (5.110) a (5.112) en (5.106) a (5.108) se obtiene finalmente,

8>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>:

Fr = m

��r � r

��2

� r Sen2 � �'2�

| {z }Componente r de la aceleración

F� = m

�r�� + 2

�r�� r Sen �Cos � �'

2�

| {z }Componente � de la aceleración

F' = m

�2�r Sen �

�'+ 2r

��'Cos � + r Sen �

��'

�| {z }

Componente ' de la aceleración

(5.113)

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange pedidas, en coordenadas esféri-cas.

No existen fuerzas de ligadura ya que no hay ligaduras presentes. De haberlas, estemétodo no permitiría encontrarlas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.3La Máquina de Atwood simple. Ecuentre la ecuación de movi-

miento de Lagrange y la aceleración de las partículas M1 y M2 en el sistema mostradoen la figura 5.3. Se desprecia el rozamiento en la polea y su masa, su tamaño, la masade la cuerda y su deformación.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras.Ligaduras: existen K(h) = 5 ligaduras holónomas,8>>>>>><>>>>>>:

(x1 = 0) f

(h)1 = x1 = 0

z1 = 0) f(h)2 = z1 = 0

, fijan el movimiento de M1 sobre el eje y.(x2 = 0) f

(h)3 = x2 = 0

z2 = 0) f(h)4 = z2 = 0

, fijan el movimiento de M2 sobre el eje y.

y1 + y2 = `) f(h)5 = y1 + y2 � ` = 0, acopla el movimiento de M1 al de M2.

(5.114)



Figura (5.3): La máquina simple de Atwood.

que son esclerónomas.


s = 3N �K(h) = 3 (2)� 5 = 1 (5.115)


e� = 3N �K(h) = 3 (2)� 5 = 1 (5.116)


Lagrangiano sin ligaduras incluidas: es fácil notar que la energía potencial total delsistema es,

U = �M1gy1 �M2gy2 (5.117)

y que la energía cinética total es,

T =1

2M1

��x2

1 +�y2

1 +�z2

1

�+1

2M2

��x2

2 +�y2

2 +�z2

2

�(5.118)

de aquí que el Lagrangiano venga dado por,

L = T � U = 1

2

hM1

��x2

1 +�y2

1 +�z2

1

�+M2

��x2

2 +�y2

2 +�z2

2

�i+ g (M1y1 +M2y2) (5.119)



Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, seusarán las ligaduras (5.114) para eliminar cinco de las coordenadas. Si se escoge y1

como coordenada generalizada, al sustituir (5.114) en (5.119) el Lagrangiano se puedeescribir como,

L =1

2(M1 +M2)

�y2

1 + (M1 �M2) gy1 +M2g` (5.120)

observándose que quedó en función de solamente una coordenada generalizada,en este caso y1, lo cual está en concordancia con el resultado (5.116).


@L@y1= (M1 �M2) g

@L

@�y1= (M1 +M2)

�y1 ) d

dt

�@L

@�y1

�= (M1 +M2)

��y 1



d

dt

@L

@�y1

!� @L

@y1= 0

(M1 +M2)��y 1-(M1 �M2) g = 0 (5.121)

que es la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema dado para la coordenadageneralizada y1.

Cálculo de las cantidades pedidas:de (5.121) se obtiene,

��y 1 =

�M1�M2

M1+M2

�g (5.122)

y al derivar dos veces con respecto al tiempo la ecuación de ligadura f(h)5 en (5.114) y

sustituir el resultado en la expresión (5.122) resulta,

��y 2 = �

�M1�M2

M1+M2

�g (5.123)

Los resultados (5.122) y (5.123) son las aceleraciones pedidas y constituyen el resul-tado familiar de los cursos de Física Elemental para este sistema. No es posible encon-trar la o las fuerzas de ligaduras presentes cuando las ligaduras son usadas en formaimplícita.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



EJEMPLO 5.4Encontrar la ecuación de movimiento de Lagrange de un anillo

de masam (tamaño despreciable) que se desliza por un alambre (masa despreciable)que gira uniformemente con una velocidad angular constante ! en una región librede fuerzas (ver figura 5.4).

Figura (5.4): Anillo de masa m que se desliza por un alambre, de masa despreciable, que gira uniforme-mente.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras y se usarán coordenadas Cartesianaspara la ubicación del anillo. Puede observarse que el ángulo ' coincide completa-mente con la coordenada cilíndrica o esférica ' y que ' = !t, la cual no es unaligadura ya que ' no representa una coordenada en el sistema de coordenadas es-cogido.

Ligaduras: existen K(h) = 2 ligaduras holónomas,8><>:z = 0) f

(h)1 = z = 0, fija el movimiento de m sobre plano xy.

y = xTg') f(h)2 = y � xTg' = y � xTg (!t) = 0, fija el movimiento

de m sobre el alambre giratorio e introduce la rotación del mismo.(5.124)

donde f(h)1 es esclerónoma y f (h)2 es reónoma.


s = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (5.125)




e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (5.126)


Lagrangiano sin ligaduras incluidas: como el movimiento se realiza en una regiónlibre de fuerzas se tiene que,

U = 0 (5.127)

y la energía cinética viene dada por,

T =1

2m��x2+

�y2+

�z2�

(5.128)

de aquí que el Lagrangiano sea,

L = T � U = 1

2m��x2+

�y2+

�z2�

(5.129)

En el caso de usarse, por ejemplo, coordenadas esféricas el Lagrangiano es,

L = T � U = 1

2m

��r2+ r2

��2

+ r2�'2Sen2 �

�(5.130)

y las ligaduras se pueden escribir para estas coordenadas como,(� = �

2) f

(h)1 = � � �

2= 0, fija el movimiento de m sobre plano xy.

' = !t) f(h)2 = '� !t = 0, que introduce la rotación.

(5.131)

Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, seusarán las ligaduras (5.124) para eliminar dos de las coordenadas. Si se escoge x comocoordenada generalizada, al sustituir (5.124) en (5.129) resulta,

L =1

2m

(�x2+

�d

dt(xTg')

�2)

=1

2m

��x2+h�xTg (!t) + x! sec2 (!t)

i2�(5.132)

Se observa que quedó en función de solamente 1 coordenada generalizada, en estecaso x, lo cual está en concordancia con el resultado (5.126).

En el caso del Lagrangiano (5.130) resulta,

L =1

2m��r2+ r2!2

�(5.133)



donde ahora la coordenada generalizada es r.

Ecuaciones de Lagrange: se usará el Lagrangiano (5.133) por ser más simple, obtenién-dose a partir de éste,

@L@r= mr!2 @L

@�r= m

�r ) d

dt

�@L

@�r

�= m

��r

Entonces, de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QNUj = 0 (por no existir este tipo

de fuerzas) se obtiene,d

dt

�@L

@�r

�� @L

@r= 0

��r = r!2 (5.134)

que es la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema dado para la coordena-da generalizada r. Esta ecuación expresa el resultado ya conocido de que el anillose mueve hacia afuera debido a la fuerza centrípeta. Como en el caso anterior, elmétodo no sirve para hallar las fuerzas de ligadura.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.5Considérese el caso del movimieno de un proyectil de masa m

bajo la acción de la gravedad en dos dimensiones (ver figura 5.5), el cual es lanzadocon un ángulo de tiro �. Encontrar las ecuaciones de movimiento de Lagrange en: (a)coordenadas Cartesianas y (b) en coordenadas esféricas.

Figura (5.5): Movimieno de un proyectil de masa m bajo la acción de la gravedad en dos dimensiones.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras.



Ligaduras: existe K(h) = 1 ligadura holónoma,

z = 0) f(h)1 = z = 0, fija el movimiento de m sobre plano xy. (5.135)

que es esclerónoma.

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como existeK(h) = 1 ligadura holónoma entonces el número de grados de libertad es,

s = 3N �K(h) = 3 (1)� 1 = 2 (5.136)


e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 1 = 2 (5.137)


(a) En coordenadas Cartesianas:

Lagrangiano sin ligaduras incluidas:

T =1

2m��x2+

�y2+

�z2�

(5.138)

U = mgy (5.139)

observándose aquí que U = 0 cuando y = 0. De esta manera el Lagrangiano vienedado por,

L = T � U = 1

2m��x2+

�y2+

�z2��mgy (5.140)

Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, seusará la ligadura (5.135) para eliminar una de las coordenadas. Al sustituir (5.135) en(5.140) el Lagrangiano se puede escribir como,

L =1

2m��x2+

�y2��mgy (5.141)

Se observa que quedó en función de dos coordenadas generalizadas, en este caso x

y y, lo cual está en concordancia con el resultado (5.137).


@L@x= 0 @L

@�x= m

�x) d

dt

�@L

@�x

�= m

��x

@L@y= �mg @L

@�y= m

�y ) d

dt

�@L

@�y

�= m

��y




este tipo de fuerzas) se obtiene, 8<:ddt

�@L

@�x

�� @L

@x= 0

ddt

�@L

@�y

�� @L

@y= 0

o, ( ��x = 0��y = �g

(5.142)

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrage pedidas, en coordenadas Carte-sianas.

(b) En coordenadas esféricas:

Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas esféricas la energía cinética(5.138) y la energía potencial (5.139) quedan escritas como,

T =1

2m

��r2+ r2

��2

+ r2�'2Sen2 �

�(5.143)

U = mgy = mgr Sen � Sen' (5.144)

ya que en estas coordenadas y = r Sen � Sen', observándose aquí que U = 0 cuando' = 0. De esta manera el Lagrangiano viene dado por,

L = T � U = 1

2m

��r2+ r2

��2

+ r2�'2Sen2 �

��mgr Sen � Sen' (5.145)

Lagrangiano con ligaduras incluidas: la ligadura es ahora,

� = �2) f

(h)1 = � � �

2= 0, fija el movimiento de m sobre plano xy. (5.146)

y como se va a usar el método implícito, se usará la ligadura (5.145) para eliminaruna de las coordenadas, en este caso �. En efecto, al sustituir (5.146) en (5.145) elLagrangiano se puede escribirse ahora como,

L =1

2m��r2+ r2

�'2��mgr Sen' (5.147)

Se observa que quedó en función de 2 coordenadas generalizadas, en este caso r y', lo cual está en concordancia con el resultado (5.137).


@L@r= mr

�'2�mg Sen' @L

@�r= m

�r ) d

dt

�@L

@�r

�= m

��r

@L@'= �mgrCos' @L

@�'= mr2

�') d

dt

�@L

@�'

�= 2mr

�r�'+mr2

��'





�@L

@�r

�� @L

@r= 0

ddt

�@L

@�'

�� @L

@'= 0

o, (r�'2� g Sen'� ��

r = 0

gCos'+ 2�r�'+ r

��' = 0

(5.148)

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange pedidas, en coordenadas po-lares.

Las ecuaciones de movimiento (5.142) claramente son más simples que las ecua-ciones (5.148). Por esta razón se escogerían coordenadas Cartesianas como coorde-nadas generalizadas para resolver este problema. La clave está en reconocer que enestas coordenadas la energía potencial sólo depende de la coordenada y, mientrasque en coordenadas esféricas depende de r y '.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.6Una partícula de masa m está obligada a moverse sobre la super-

ficie interna de un cono liso como se muestra en la figura 5.6, donde � es constante.La partícula está sometida a la fuerza gravitacional. Encuentre las ecuaciones de mo-vimiento de Lagrange para este sistema.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Se usarán coordenadas cilíndricasLigaduras: en el sistema dado existe K(h) = 1 ligadura holónoma,(

r = zTg�) f(h)1 = r � zTg� = 0, haciendo quem se mueva

sobre la superficie del cono (ecuación del cono).(5.149)

que es esclerónoma y, por lo tanto, el sistema es holónomo esclerónomo.

En el caso de usarse coordenadas Cartesianas la ligadura se puede expresar como,�x2 + y2

� 12 = zTg�) f

(h)1 =

�x2 + y2

� 12 � zTg� = 0 (5.150)


s = 3N �K(h) = 3 (1)� 1 = 2 (5.151)



Figura (5.6): Partícula de masa m que está obligada a moverse sobre la superficie interna de un conoliso.


e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 1 = 2 (5.152)


Lagrangiano sin ligaduras incluidas: las energías cinética y potencial vienen dadasrespectivamente en coordenadas cilíndricas por,

T =1

2mv2 =

1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2�

(5.153)

U = mgz (5.154)

de aquí que el Lagrangiano venga dado por,

L = T � U = 1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2��mgz (5.155)

Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a emplear el método implícito,se usará la ligadura (5.149) para eliminar una de las coordenadas. Si se escogen r y' como coordenadas generalizadas, al sustituir (5.149) en (5.155) el Lagrangiano sepuede escribir como,

L =1

2m��r2Csc 2�+ r2

�'2��mgrCtg� (5.156)



Se observa que quedó en función de dos coordenadas generalizadas, en este caso r

y ', lo cual está en concordancia con el resultado (5.152).


@L@'= 0 @L

@�'= mr2

�') d

dt

�@L

@�'

�= d

dt

�mr2

�'�

@L@r= mr

�'2�mgCtg� @L

@�r= m

�rCsc2 �) d

dt

�@L

@�r

�= m

��r Csc2 �



�@L

@�'

�� @L

@'= 0

ddt

�@L

@�r

�� @L

@r= 0

o, (mr2

�' = c (c = constante)

0 =��r � r �'

2Sen2 �+ g Sen�Cos�

(5.157)

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange pedidas. La primera ecuaciónexpresa la conservación del momento angular en torno al eje z y la segunda es laecuación de movimiento para la coordenada r. Existen fuerzas de ligadura pero estemétodo no permite calcularlas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.7Se consideran dos partículas de masas m1 y m2 unidas por tres

resortes de constantes de elasticidad k1, k2 y k3, como se muestra en la figura 5.7 ycuyas longitudes naturales respectivas son `1, `2 y `3. Los extremos 0 y A están fijos ydistan entre sí D. Encuentre las ecuaciones de movimiento de Lagrange del sistema.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Se usarán coordenadas Cartesianaspara ubicar a la masas m1 y m2.

Ligaduras: en el sistema dado se tienen las K(h) = 4 ligaduras holónomas,8>>>><>>>>:

(x1 = 0) f

(h)1 = x1 = 0

z1 = 0) f(h)2 = z1 = 0

, que obligan a m1 a moverse sobre el eje y.(x2 = 0) f

(h)3 = x2 = 0

z2 = 0) f(h)4 = z2 = 0

, que obligan a m2 a moverse sobre el eje y.(5.158)



Figura (5.7): Dos partículas de masas m1 y m2 unidas por tres resortes de constantes de elasticidad k1, k2y k3 a dos soportes fijos que está a una distancia D entre sí.

que son todas esclerónomas.


s = 3N �K(h) = 3 (2)� 4 = 2 (5.159)


e� = 3N �K(h) = 3 (2)� 4 = 2 (5.160)


Figura (5.8): Coordenadas generalizadas del sistema formado por dos masas m1 y m2 unidas por tresresortes de constantes de elasticidad k1, k2 y k3 a dos soportes fijos.



Lagrangiano sin ligaduras incluidas: usando coordenadas Cartesianas, las energíascinética y potencial totales vienen dadas por,

T =1

2m1

��x2

1 +�y2

1 +�z2

1

�+1

2m2

��x2

2 +�y2

2 +�z2

2

�(5.161)

U =1

2k1D21x +

1

2k1D21y +

1

2k1D21z +

1

2k2D22x +

1

2k2D22y +

1

2k2D22z

+1

2k3D23x +

1

2k3D23y +

1

2k3D23z (5.162)

dondeDix, Diy y Diz son las deformaciones en el eje x, y y z respectivamente para eli-ésimo (i = 1; 2; 3) resorte. Es fácil notar a partir de la figura 5.8 que,8><>:

D1y = y1 � `1D2y = y2 � y1 � `2D3y = D � y2 � `3

(5.163)

Finalmente el Lagrangiano del sistema dado se expresa como,

L = T � U = 1

2m1

��x2

1 +�y2

1 +�z2

1

�+1

2m2

��x2

2 +�y2

2 +�z2

2

�� 12k1D

21x

�12k1D

21y �

1

2k1D

21z �

1

2k2D

22x �

1

2k2D

22y �

1

2k2D

22z �

1

2k3D

23x

�12k3D

23y �

1

2k3D

23z (5.164)

Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, sepueden usar las ligaduras (5.158) para eliminar cuatro de las coordenadas en el La-grangiano (5.164). En efecto,

L = T � U = 1

2m1

�y2

1 +1

2m2

�y2

2 �1

2k1D

21y �

1

2k2D

22y �

1

2k3D

23y (5.165)

o,

L =1

2m1

�y2

1 +1

2m2

�y2

2 �1

2k1 (y1 � `1)2 �

1

2k2 (y2 � y1 � `2)2

�12k3 (D � y2 � `3)2 (5.166)

Ecuaciones de Lagrange: como se puede ver en el anterior Lagrangiano, las coor-denadas generalizadas para este sistema son y1 y y2. De (5.166) se tiene que,

@L@y1= �k1 (y1 � `1) + k2 (y2 � y1 � `2) @L

@x2= �k2 (y2 � y1 � `2) + k3 (D � y2 � `3)

@L

@�y1= m1

�y1

@L

@�x2= m2

�y2

ddt

�@L

@�y1

�= m1

��y 1

ddt

�@L

@�x2

�= m2

��y 2

(5.167)



entonces, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QNUj = 0 (por no existir


d

dt

@L

@�y1

!� @L

@y1= 0 (5.168)

d

dt

@L

@�y2

!� @L

@y2= 0 (5.169)

Finalmente, al sustituir los resultados (5.167) en las ecuaciones (5.168) y (5.169) resul-ta, (

m1��y 1 = �k1 (y1 � `1) + k2 (y2 � y1 � `2)

m2��y 2 = �k2 (y2 � y1 � `2) + k3 (D � y2 � `3)

(5.170)

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange pedidas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.8En la figura 5.9 se muestra un péndulo simple de longitud `, masa

pendular m y ángulo de desplazamiento � colocado dentro de un vagón que semueve con una aceleración constante a en la dirección +x. Encuentre la ecuaciónde movimiento de Lagrange del sistema y la frecuencia para pequeñas oscilacionesde la masa pendular m. Tómese

�x = vo y x = 0 en t = 0.

Figura (5.9): Péndulo simple colocado dentro de un vagón que se mueve con una aceleración cons-tante a en la dirección +x

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Se usarán coordenadas Cartesianaspara la ubicación de la masa pendular m.



Ligaduras: en el sistema dado existen K(h) = 2 ligaduras holónomas,8>>><>>>:z = 0) f

(h)1 = z = 0, que obliga a m a moverse sobre el plano xy.

(x� d)2 + y2 = `2 ) f(h)2 = (x� d)2 + y2 � `2 = 0, haciendo que

m se mueva describiendo un arco de circunferencia de radio `,acoplándola al origen 0.

(5.171)

que son esclerónomas. Aquí d = vot+12at2 que es la distancia recorrida por el vagón en

el tiempo t partiendo de xo = 0, en concordancia con el enunciado del problema.

Grados de Libertad y Coordenadas Generalizadas mínimas: como existen K(h) = 2

ligaduras holónomas, entonces el número de grados de liberdad es,

s = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (5.172)


� = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (5.173)

siendo � = s como era de esperarse para un sistema holónomo.

Figura (5.10): Coordenadas Cartesianas para el pédulo simple de la figura 5.9.

Lagrangiano sin ligaduras incluidas: usando coordenadas Cartesianas la energíacinética vendrá dada por,

T =1

2m��x2+

�y2+

�z2�

(5.174)

y la potencial por,U = �mgy (5.175)

donde se ha tomado y < 0, razón por la cual se ha colocado un signo menos paragarantizar que las energías U sean negativas como es requerido debido a la posición



del origen del sistema de coordenadas escogido. Nótese que U = 0 en y = 0 es-tableciéndose así el origen de potenciales en y = 0 como se indica en la figura 5.10.Entonces, el Lagrangiano se puede escribir como,

L = T � U = 1

2m��x2+

�y2+

�z2�+mgy (5.176)

que es el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras presentes.

Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, sepueden usar las ligaduras (5.171) para eliminar dos de las coordenadas en el anteriorLagrangiano. De la ligadura f

(h)2 en (5.171) se tiene que,

y =

q`2 � (x� d)2 (5.177)

Entonces, al sustituir (5.177) en (5.176) resulta,

L =1

2m

2664`2 �x2+ (x� d)2

�d

��d� 2�x

�`2 � (x� d)2

3775+mg

q`2 � (x� d)2 (5.178)

quedando x como coordenada generalizada del sistema y donde,

d = vot+1

2at2 (5.179)

debido a lo enunciado en el ejemplo.

Es posible cambiar la coordenada generalizada x por el ángulo variable �, aquirien-do este último estatus de coordenada generalizada del sistema y lográndose así obten-er un Lagrangiano más simple. A partir deltriángulo 4ABC en la figura 5.10 la relaciónentre x y � viene dada por,

Sen� =x� d`

o,x = d+ ` Sen� (5.180)

Ahora, al sustituir (5.180) en (5.178) resulta después de algunos arreglos,

L =1

2m

"��d+ `

��Cos�

�2+ `2

��2Sen2 �

#+mg`Cos� (5.181)

que al sustituirle (5.179) se transforma en,

L =1

2m

��vo + at+ `

��Cos�

�2+ `2

��2Sen2 �

�+mg`Cos� (5.182)



que es el Lagrangiano del sistema considerando las ligaduras (5.171) pero donde aho-ra � es la coordenada generalizada del sistema. Nótese que este Lagrangiano es mássimple que el (5.178).

Es de hacer notar que el resultado (5.182) pudo haber sido obtenido al sustituirdirectamente (como se puede deducir de la figura 5.10),(

x = d+ ` Sen� = vot+12at2 + ` Sen�

y = `Cos�(5.183)

en (5.176) considerando sólo la ligadura f(h)1 . No se consideraría la ligadura f

(h)2 ya que

está contenida en (5.183) debido a que estas ecuaciones la satisfacen.


@L

@�= �m` ��

�vo + at+ `

��Cos�

�Sen� +m`2

��2Sen�Cos�

�mg` Sen�@L

@��

= m`�vo + at+ `

��Cos�

�Cos� +m`2

�� Sen2 �

d

dt

�@L

@��

�= �m` ��

�vo + at+ `

��Cos�

�Sen�

+m`Cos��a+ `

�� Cos� � ` ��

2Sen�

�+ 2m`2

��2Sen�Cos�

+m`2�� Sen2 �



d

dt

�@L

@��

�� @L

@�= 0

�� = �1

`(g Sen� + aCos�) (5.184)

que es la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema.

Cálculo de las cantidades pedidas: se puede determinar el ángulo de equilibrio �e

al hacer�� = 0 en (5.184),

0 = g Sen�e + aCos�e (5.185)

tan�e = �ag

(5.186)



Por otro lado, debido a que las oscilaciones son pequeñas y se dan en torno alángulo de equilibrio se puede escribir,

� = �e + (5.187)

donde es un ángulo pequeño. Entonces, al sustituir (5.187) en (5.184) resulta,

�� = �g

`Sen (�e + )� a

`Cos (�e + ) (5.188)

Ahora, al usar las identidades para el seno y coseno de la suma de dos ángulos yusar la aproximación para ángulo pequeño Sen � 1 y Cos � se obtiene,

�� = �1

`[(g Sen�e + aCos�e) + (gCos�e � a Sen�e)] (5.189)

Pero el primer término entre paréntesis es nulo debido a (5.185) quedando,

�� = �

`(gCos�e � a Sen�e) (5.190)

y al usar (5.186) se reduce a,�� +

pa2 + g2

` = 0 (5.191)

que es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico simple con,

!2o =

pa2 + g2

`(5.192)

de donde,

!o =�a2+g2

`2

� 14

(5.193)

siendo esta la frecuencia pedida. Este resultado tiene sentido ya que para a = 0 �!!o =

pg=`, es decir, justamente la frecuencia angular del péndulo simple cuando el

vagón está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.9Una cuenta de masa m se desplaza a lo largo de un alambre liso

(de masa despreciable) que tiene la forma de la parábola z = c (x2 + y2) = cr2 (verfigura 5.11) que rota en torno a su eje vertical de simetría con una velocidad angularvariable. Encontrar: (a) las ecuaciones de movimiento de Lagrange del sistema y (b)el valor de c suponiendo ahora que la velocidad angular del alambre tiene un valorconstante !, haciendo que la cuenta rote en un círculo de radio constante R.



Figura (5.11): Cuenta de masa m se desplaza a lo largo de un alambre liso, de masa despreciable, quetiene la forma de la parábola z = cr2.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras.

Ligaduras: en el sistema dado existen K(h) = 1 ligadura holónoma,(z = c (x2 + y2) = cr2 ) f

(h)1 = z � c (x2 + y2) = z � cr2 = 0, haciendo

que m se mueva sobre la parábola.(5.194)


s = 3N �K(h) = 3 (1)� 1 = 2 (5.195)


e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 1 = 2 (5.196)


Lagrangiano sin ligaduras incluidas: usando coordenadas Cartesianas, las energíascinética y potencial totales vienen dadas por,

T =1

2m��x2+

�y2+

�z2�

(5.197)

U = mgz (5.198)



donde U = 0 en z = 0. Entonces, el Lagrangiano se puede escribir como,

L = T � U = 1

2m��x2+

�y2+

�z2��mgz (5.199)

y en coordenadas cilíndricas,

L =1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2��mgz (5.200)

Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, seusará la ligadura (5.194) para eliminar una de las coordenadas. Si se escogen r y ' co-mo coordenadas generalizadas, al sustituir (5.194) en (5.200) el Lagrangiano se puedeescribir como,

L =m

2

��r2+ 4c2r2

�r2+ r2

�'2��mgcr2 (5.201)


@L@r= m

�4c2r

�r2+ r!2 � 2gcr

�@L@'= 0

@L

@�r= m

2

�2�r + 8c2r2

�r�

@L

@�'= mr2

�'

ddt

�@L

@�r

�= m

2

�2��r + 16c2r

�r2+ 8c2r2

��r�

ddt

�@L

@�'

�= 2mr

�r�'+mr2

��'



�@L

@�r

�� @L

@r= 0

ddt

�@L

@�'

�� @L

@'= 0

o, ( ��r (1 + 4c2r2) +

�r24c2r + r

�2gc� �

'2�= 0

2r�r�'+ r2

��' = 0

(5.202)

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange del sistema dado.

Cálculo de las cantidades pedidas: como para�' = ! =constante se tiene que

r = R, las ecuaciones (5.202) se reducen a,

2gc� !2 = 0 (5.203)

a partir de la cual,

c = !2

2g(5.204)

que es la cantidad pedida.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.10Máquina de Atwood doble. Considérese el sistema de doble

polea mostrado en la figura 5.12. Se supone que las cuerdas tienen masa y defor-mación despreciable y que los radios, las masas y la fricción de las poleas son tambiéndespreciables. Encontrar las ecuaciones de Lagrange del sistema dado y la acelera-ción de cada masa.

Figura (5.12): Máquina de Atwood doble.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Aquí d es la distancia de la polea 2 alorigen 0 y las coordenadas de las masas m1, m2 y m3 son (x1 ; y1 ; z1), (x2 ; y2 ; z2) y (x3 ; y3 ; z3)respectivamente.



Ligaduras: en el sistema dado existen K(h) = 7 ligaduras holónomas,8>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>:

(x1 = 0) f

(h)1 = x1 = 0

z1 = 0) f(h)2 = z1 = 0

, que fijan a m1 sobre el plano xy.(x2 = 0) f

(h)3 = x2 = 0

z2 = 0) f(h)4 = z2 = 0

, que fijan a m2 sobre el plano xy.(x3 = 0) f

(h)5 = x3 = 0

z3 = 0) f(h)6 = z3 = 0

, que fijan a m3 sobre el plano xy.

2y1 + y2 + y3 = 2`1 + `2 ) f(h)7 = 2y1 + y2 + y3 � 2`1 � `2 = 0, que acopla el

movimiento de m1, m2 y m3 entre sí.

(5.205)

que son todas esclerónomas. La ligadura f(h)7 se obtiene al combinar,(

y1 + d = `1

y2 + y3 � 2d = `2

que son fáciles de deducir a partir de la figura dada.


s = 3N �K(h) = 3 (3)� 7 = 2 (5.206)


e� = 3N �K(h) = 3 (3)� 7 = 2 (5.207)


Lagrangiano sin ligaduras incluidas: la energía cinética total del sistema viene dadapor,

T =1

2m1

��x2

1 +�y2

1 +�z2

1

�+1

2m2

��x2

2 +�y2

2 +�z2

2

�+1

2m3

��x2

3 +�y2

3 +�z2

3

�(5.208)

Por otro lado, la energía potencial total U viene dada por,

U = �m1gy1 �m2gy2 �m3gy3 (5.209)

Entonces, a partir de (5.208) y (5.209), el Lagrangiano se puede escribir como,

L = T � U = 1

2m1

��x2

1 +�y2

1 +�z2

1

�+1

2m2

��x2

2 +�y2

2 +�z2

2

�+1

2m3

��x2

3 +�y2

3 +�z2

3

�+m1gy1 +m2gy2 +m3gy3 (5.210)

Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, seusarán las ligaduras (5.205) para eliminar siete de las coordenadas. Si se escogen y1



y y2 como coordenadas generalizadas, al sustituir (5.205) en (5.210) el Lagrangiano sepuede escribir como,

L =

�1

2m1 + 2m3

��y2

1 +1

2(m2 +m3)

�y2

2 + 2m3�y1�y2 + (m1 � 2m3) gy1

+(m2 �m3) gy2 +m3g (2`1 + `2) (5.211)

ya que a partir de la última de las ligaduras (5.205),�y3 = �2

�y1 �

�y2 (5.212)

Ecuaciones de Lagrange: de (5.211) se tiene que,@L@y1= (m1 � 2m3) g

@L@y2= (m2 �m3) g

@L

@�y1= (m1 + 4m3)

�y1 + 2m3

�y2

@L

@�y2= (m2 +m3)

�y2 + 2m3

�y1

ddt

�@L

@�y1

�= (m1 + 4m3)

��y 1 + 2m3

��y 2

ddt

�@L

@�y2

�= (m2 +m3)

��y 2 + 2m3

��y 1



�@L

@�y1

�� @L

@y1= 0

ddt

�@L

@�y2

�� @L

@y2= 0

o, ((m1 + 4m3)

��y 1 + 2m3

��y 2 � (m1 � 2m3) g = 0

(m2 +m3)��y 2 + 2m3

��y 1 � (m2 �m3) g = 0

(5.213)

que son las ecuaciones de Lagrange del sistema dado.

Cálculo de las cantidades pedidas: al resolver (5.213) para��y 1 y

��y 2 se obtiene,

��y 1 =

�m1m2+m1m3�4m2m3

m1m2+m1m3+4m2m3

�g (5.214)

��y 2 =

�m1m2�3m1m3+4m2m3

m1m2+m1m3+4m2m3

�g (5.215)

y como a partir de (5.212),��y 3 = �2

��y 1 �

��y 2 (5.216)

entonces,��y 3 =

��3m1m2+m1m3+4m2m3

m1m2+m1m3+4m2m3

�g (5.217)

Los resultados (5.214), (5.215) y (5.217) son las aceleraciones pedidas, coincidiendocon las obtenidas para el mismo sistema en los cursos de Física Elemental.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.11Considérese un disco sólido homogéneo de masa M , centro 00

y radio R1 que rueda sin resbalar dentro de la superficie semicircular fija con centro 0y radio R2 > R1 (ver figura 5.13). Encuentre la ecuación de movimiento de Lagrangepara el sistema dado y el período para pequeñas oscilaciones (� pequeño) del discoen torno a la posición de equilibrio.

Figura (5.13): Disco sólido de centro O0 y radio R1 que rueda sin resbalar dentro de la superficie semicir-cular fija con centro O y radio R2 > R1.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Un cuerpo rígido (ver sección 2.4.3 enlo referente a ligaduras holónomas en un cuerpo rígido) tiene 6 grados de libertadcuando no hay presencia de ligaduras que los reduzcan. Para el estudio del movi-miento del disco se considerará su centro de masa (que se encuentra posicionado enel centro geométrico del disco por ser homogéneo), cuyas coordenadas de posiciónson (R;'cm; zcm)2 en coordenadas cilíndricas.

Ligaduras: en el presente caso se tienen las K(h) = 5 ligaduras holónomas,

2Se usa R en vez de r para la coordenada radial para hacer incapié que R representa el módulo delvector de posición del centro de masa del disco.



8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:

zcm = 0) f(h)1 = zcm = 0, que limita el movimiento del disco al plano xy



(R2 �R1)� = R1�) f(h)4 = (R2 �R1)� �R2� = 0, hay rotación en torno

al eje z.R = R2 �R1 ) f

(h)5 = R�R2 +R1 = 0, que limita el movimiento del disco

a la superficie semicircular.

(5.218)

que son esclerónomas. Aquí �, � y � son los ángulos de rotación del disco en torno delos ejes coordenados x, y y z respectivamente.

Figura (5.14): Coordenadas del centro de masa del disco.

La ligadura f(h)5 es muy fácil de deducir de la figura 5.14. La ligadura f

(h)4 proviene

del hecho de que la longitud de arco es = R1� recorrida por el punto de contactoP sobre el borde del disco es igual (ya que el disco no desliza) a la longitud de arcos = (R2 �R1)� recorrida por el centro de masa. Por lo tanto,

(R2 �R1)� = R1�

o,f(h)4 = (R2 �R1)� �R1� = 0 (5.219)

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como exis-ten K(h) = 5 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad del disco



es,

s = 6�K(h) = 6� 5 = 1 (5.220)


e� = 6�K(h) = 6� 5 = 1 (5.221)

siendo e� = s como era de esperarse para un sistema holónomo. Por lo tanto, de usarseel método implícito, la descripción del sistema se podría hacer con una sola coorde-nada generalizada.

Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas cilíndricas se tiene que laenergía cinética total del sistema viene dada por,

T =1

2M

��R2

+R2�'2

cm +�z2

cm

�| {z }

T del centro de masa

+1

2I�

��2+1

2I�

��2

+1

2I�

��2

| {z }T rotacional

(5.222)

donde los tres últimos términos representan las energías cinéticas rotacionales del dis-co, con I�, I� e I� los momentos de inercia del mismo. La energía potencial (para elorigen de potencial escogido) viene dada por,

U =Mgycm =MgR Sen' =MgR Sen

�3�

2� �

�| {z }

=' (ver figura 5.14)

= �MgRCos� (5.223)


L = T � U = 1

2M

��R2

+R2�'2

cm +�z2

cm

�| {z }


+1

2I�

��2+1

2I�

��2

+1

2I�

��2

| {z }T rotacional

+MgRCos� (5.224)


Lagrangiano con ligaduras incluidas: como se va a usar el método implícito, seusarán lan ligaduras (5.218) para eliminar 5 de las coordenadas. Al sustituir (5.218) en(5.224) y teniendo presente que ' = 3�

2� �, el Lagrangiano se puede escribir como,

L =1

2M (R2 �R1)2

��2+1

2I�

�R2 �R1R1

�2��2+Mg (R2 �R1) Cos �

o,

L =1

2(R2 �R1)2

�M +

I�R21

��2+Mg (R2 �R1) Cos � (5.225)




@L@�= �Mg (R2 �R1) Sen�

@L

@��= (R2 �R1)2

�M +

I�R21

��

ddt

�@L

@��

�= (R2 �R1)2

�M +

I�R21

��



d

dt

�@L

@��

�� @L

@��= 0

(R2 �R1)�M +

I�R21

�� +Mg Sen� = 0 (5.226)

que es la ecuación de movimiento de Lagrange del sistema para la coordenada ge-neralizada �.

Cálculo de las cantidades pedidas: para � pequeño la ecuación (5.226) puede serescrita como,

�� +

2g

3 (R2 �R1)� = 0 (5.227)

ya que Sen� � � e I� =12MR21 (ver referencias [1], [59] [64] por ejemplo). Esta ecuación

es idéntica a la del oscilador armónico simple,�� + !2o� = 0 (5.228)

con,!2o =

2g

3 (R2 �R1)(5.229)

Por lo tanto, el período de oscilación � del disco vendrá dado por,

� = 2�!o= 2�

q32g(R2 �R1) (5.230)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.2. Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma explícita

Los ejemplos siguientes representan sistemas holónomos donde las ligadurasserán usadas en forma explícita. Recuérdese que en estos casos el número de coor-denadas generalizadas a utilizar es � = 3N .

Pasos a seguir cuando se tienen sistemas con ligaduras holónomas a ser usadas enforma explícita:





3. Se construye el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras y se iden-tifican estas últimas.


5. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones for-mado por las Ecuaciones de Lagrange y las ecuaciones de ligadura. Las fuerzasgeneralizadas de ligadura se calculan también a partir de (5.77).

Al igual que antes, los anteriores pasos son una simple guía para resolver los proble-mas no pretendiendo ser reglas de estricto cumplimiento.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.12Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura para el ejemplo

5.1.

SOLUCION:Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas:

todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.1 (5.84), (5.85) y (5.86) respectiva-mente,8><>:




s = 1 (5.232)e� = 1 (5.233)


Lagrangiano sin ligaduras incluidas y ligaduras: a partir de (5.89) el Lagrangiano sintomar en cuenta las ligaduras presentes viene dado por,

L =1

2m��x2+

�y2+

�z2��mgy (5.234)



Ecuaciones de Lagrange: de (5.231) y (5.234) se tiene que,8>>>>>>>><>>>>>>>>:

@L@x= 0 @L

@y= �mg @L

@z= 0

@L

@�x= m

�x @L

@�y= m

�y @L

@�z= m

�z

ddt

�@L

@�x

�= m

��x d

dt

�@L

@�y

�= m

��y d

dt

�@L

@�z

�= m

��z

@f(h)1

@x= 0

@f(h)1

@y= 0

@f(h)1

@z= 1

@f(h)2

@x= Tg �

@f(h)2

@y= 1

@f(h)2

@z= 0

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;(5.235)

Para este caso, a partir de las ecuaciones de Lagrange (5.77) con QNUj = 0 (por no

existir este tipo de fuerzas) se puede escribir,8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

ddt

�@L

@�x

�� @L

@x=

2Xl=1

�l@f

(h)l

@x= �1

@f(h)1

@x+ �2

@f(h)2

@x

ddt

�@L

@�y

�� @L

@y=

2Xl=1

�l@f

(h)l

@y= �1

@f(h)1

@y+ �2

@f(h)2

@y

ddt

�@L

@�z

�� @L

@z=

2Xl=1

�l@f

(h)l

@z= �1

@f(h)1

@z+ �2

@f(h)2

@z

(5.236)

ya que aquí K(h) = 2. Ahora, al sustituir los resultados (5.235) en (5.236) se obtiene,8><>:m��x = �2Tg �

m��y +mg = �2

m��z = �1

(5.237)


Cálculo de las cantidades pedidas: del sistema formado por las dos primeras ecua-ciones (5.237) es fácil encontrar que,

�2 = mgCos2 � (5.238)

y de la última en conjunto con la ligadura f(h)1 en (5.231) se obtiene que,

�1 = 0 (5.239)

Por lo tanto, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadaspor, 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

Qligx =

2Xl=1

�l@f

(h)l

@x= �2Tg � = mgCos� Sen�

Qligy =

2Xl=1

�l@f

(h)l

@y= �2 = mgCos2 �

Qligz =

2Xl=1

�l@f

(h)l

@z= �1 = 0

(5.240)



que representan las componentes en el referencial escogido.

Entonces, la magnitud de la resultante de las fuerzas generalizadas de ligaduravendrá dada por,

Qlig =

r�Qligx

�2+�Qligy

�2+�Qligz

�2= mgCos� (5.241)

que no es más que la fuerza normal ya calculada en cursos de Física Elemental parael sistema dado.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


5.3.


todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.3 (5.114), (5.116) y (5.116) respec-tivamente,8>>>>>><>>>>>>:

(x1 = 0) f

(h)1 = x1 = 0

z1 = 0) f(h)2 = z1 = 0

, fijan el movimiento de m1 sobre el eje y.(x2 = 0) f

(h)3 = x2 = 0

z2 = 0) f(h)4 = z2 = 0

, fijan el movimiento de m2 sobre el eje y.

y1 + y2 = `) f(h)5 = y1 + y2 � ` = 0, acopla el movimiento de m1 al de m2.

(5.242)

s = 1 (5.243)e� = 1 (5.244)


Lagrangiano sin ligaduras incluidas: a partir de (5.119) el Lagrangiano sin tomar encuenta las ligaduras presentes viene dado por,

L =1

2

hM1

��x2

1 +�y2

1 +�z2

1

�+M2

��x2

2 +�y2

2 +�z2

2

�i+ g (M1y1 +M2y2) (5.245)



Ecuaciones de Lagrange: de (5.242) y (5.245) se tiene que,8>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>:

@L@x1

= 0 @L@y1=M1g

@L@z1= 0

@L

@�x1=M1

�x1

@L

@�y1=M1

�y1

@L

@�z1=M1

�z1

ddt

�@L

@�x1

�=M1

��x1

ddt

�@L

@�y1

�=M1

��y 1

ddt

�@L

@�z1

�=M1

��z 1

@f(h)1

@x1= 1

@f(h)1

@y1= 0

@f(h)1

@z1= 0

@f(h)2

@x1= 0

@f(h)2

@y1= 0

@f(h)2

@z1= 1

@f(h)3

@x1= 0

@f(h)3

@y1= 0

@f(h)3

@z1= 0

@f(h)4

@x1= 0

@f(h)4

@y1= 0

@f(h)4

@z1= 0

@f(h)5

@x1= 0

@f(h)5

@y1= 1

@f(h)5

@z1= 0

9>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>;

(5.246)

8>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>:

@L@x2

= 0 @L@y2=M2g

@L@z2= 0

@L

@�x2=M2

�x2

@L

@�y2=M2

�y2

@L

@�z2=M2

�z2

ddt

�@L

@�x2

�=M2

��x2

ddt

�@L

@�y2

�=M2

��y 2

ddt

�@L

@�z2

�=M2

��z 2

@f(h)1

@x2= 0

@f(h)1

@y2= 0

@f(h)1

@z2= 0

@f(h)2

@x2= 0

@f(h)2

@y2= 0

@f(h)2

@z2= 0

@f(h)3

@x2= 1

@f(h)3

@y2= 0

@f(h)3

@z2= 0

@f(h)4

@x2= 0

@f(h)4

@y2= 0

@f(h)4

@z2= 1

@f(h)5

@x2= 0

@f(h)5

@y2= 1

@f(h)5

@z2= 0

9>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>;

(5.247)


existir este tipo de fuerzas) se puede escribir,

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

ddt

�@L

@�x1

�� @L

@x1=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@x1= �1

@f(h)1

@x1+ �2

@f(h)2

@x1+ �3

@f(h)3

@x1+ �4

@f(h)4

@x1+ �5

@f(h)5

@x1

ddt

�@L

@�y1

�� @L

@y1=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@y1= �1

@f(h)1

@y1+ �2

@f(h)2

@y1+ �3

@f(h)3

@y1+ �4

@f(h)4

@y1+ �5

@f(h)5

@y1

ddt

�@L

@�z1

�� @L

@z1=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@z1= �1

@f(h)1

@z1+ �2

@f(h)2

@z1+ �3

@f(h)3

@z1+ �4

@f(h)4

@z1+ �5

@f(h)5

@z1

ddt

�@L

@�x2

�� @L

@x2=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@x2= �1

@f(h)1

@x2+ �2

@f(h)2

@x2+ �3

@f(h)3

@x2+ �4

@f(h)4

@x2+ �5

@f(h)5

@x2

ddt

�@L

@�y2

�� @L

@y2=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@y2= �1

@f(h)1

@y2+ �2

@f(h)2

@y2+ �3

@f(h)3

@y2+ �4

@f(h)4

@y2+ �5

@f(h)5

@y2

ddt

�@L

@�z2

�� @L

@z2=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@z2= �1

@f(h)1

@z2+ �2

@f(h)2

@z2+ �3

@f(h)3

@z2+ �4

@f(h)4

@z2+ �5

@f(h)5

@z2

(5.248)



ya que aquí K(h) = 5. Ahora, al sustituir los resultados (5.246) y (5.247) en (5.248) seobtiene, 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

M2��x2 = �1

M1��y 1 �M1g = �5

M1��z 1 = �2

M2��x2 = �3

M2��y 2 �M2g = �5

M2��z 2 = �4

(5.249)


Cálculo de las cantidades pedidas: del sistema formado por la ligadura f(h)5 en

(5.242) más la segunda y quinta de las ecuaciones (5.249) es fácil encontrar que,

�5 = �2M1M2

M1 +M2

g (5.250)

y del resto de las ecuaciones (5.249) junto con las ligaduras (5.242) resulta,8>>><>>>:�1 = 0

�2 = 0

�3 = 0

�4 = 0

(5.251)

Por lo tanto, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadaspor, 8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

Qligx1=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@x1= �1 = 0

Qligy1=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@y1= �5 = � 2M1M2

M1+M2g

Qligz1=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@z1= �2 = 0

Qligx2=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@x2= �3 = 0

Qligy2=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@y2= �5 = � 2M1M2

M1+M2g

Qligz2=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@z2= �4 = 0

(5.252)

observándose que Qligy1= Qlig

y2, las cuales representan la tensión de la cuerda. Este

resultado coincide con la tensión de la cuerda que se calcula en cursos de Física Ele-mental. Las aceleraciones

��y 1 y

��y 2 se pueden encontrar al sustituir (5.250) en la segunda



y quinta ecuación (5.249), coincidiendo completamente con los resultados (5.122) y(5.123).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


5.9.


todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.9 (5.194), (5.195) y (5.196) respec-tivamente,

(z = c (x2 + y2) = cr2 ) f



s = 2 (5.254)e� = 2 (5.255)



L =1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2��mgz (5.256)

Ecuaciones de Lagrange: de (5.253) y (5.256) se tiene que,8>>>>><>>>>>:

@L@r= rm

�'2

@L@'= 0 @L

@z= �mg

@L

@�r= m

�r @L

@�'= mr2

�' @L

@�z= m

�z

ddt

�@L

@�r

�= m

��r d

dt

�@L

@�'

�= mr2

��' + 2mr

�r�' d

dt

�@L

@�z

�= m

��z

@f(h)1

@r= �2cr @f

(h)1

@'= 0

@f(h)1

@z= 1

9>>>>>=>>>>>;(5.257)



ddt

�@L

@�r

�� @L

@r=

1Xl=1

�l@f

(h)l

@r= �1

@f(h)1

@r

ddt

�@L

@�'

�� @L

@'=

1Xl=1

�l@f

(h)l

@'= �1

@f(h)1

@'

ddt

�@L

@�z

�� @L

@z=

1Xl=1

�l@f

(h)l

@z= �1

@f(h)1

@z

(5.258)



ya que aquí K(h) = 1. Ahora, al sustituir los resultados (5.257) en (5.258) se obtiene,8><>:m��r � rm �

'2= �2�1cr

r��' + 2

�r�' = 0

m��z +mg = �1

(5.259)

que son las ecuaciones de Lagrange o ecuaciones de movimiento del sistema dado.

Cálculo de las cantidades pedidas: si se tienen presentes las simplificaciones intro-ducidas al final del ejemplo 5.9 (r = R y

�' = !), el sistema de ecuaciones (5.259) se

reduce a, (m!2 = 2c�1

m��z +mg = �1

(5.260)

A partir de la segunda ecuación y teniendo presente la ligadura (5.253) resulta que,

�1 = mg (5.261)

cantidad que al ser sustituida en la primera de las ecuaciones (5.260) conduce a queel valor de c sea,

c =!2

2g(5.262)

observándose la completa concordancia con el resultado (5.204) obtenido en el ejem-plo 5.9. Aquí �1 proporciona información adicional que no era posible de obtener me-diante el método empleado en el mencionado ejemplo.

Finalmente, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadaspor, 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

Qligr =

1Xl=1

�l@f

(h)l

@r= �1

@f(h)1

@r= �m!2R

Qlig' =

1Xl=1

�l@f

(h)l

@'= �1

@f(h)1

@'= 0

Qligz =

1Xl=1

�l@f

(h)l

@z= �1

@f(h)1

@z= mg

(5.263)

donde la primera y la última representan, respectivamente, la fuerza centrípeta y elpeso.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



EJEMPLO 5.15Un disco sólido homogéneo, de masa M y radio R, rueda sin res-

balar hacia abajo en un plano inclinado (ver figura 5.15). Encontrar: (a) las ecuacionesde movimiento de Lagrange, (b) las fuerzas generalizadas de ligadura y (c) la acele-ración angular del disco.

Figura (5.15): Disco de masa M y radio R rueda, sin resbalar, hacia abajo en un plano inclinado.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. Un cuerpo rígido (ver sección 2.4.3en lo referente a ligaduras holónomas en un cuerpo rígido) tiene 6 grados de lib-ertad cuando no hay presencia de ligaduras que los reduzcan. Para el estudio delmovimiento del disco se considerará su centro de masa (que se encuentra en el cen-tro geométrico del disco, por ser homogéneo) cuyas coordenadas de posición son(xcm; ycm; zcm).

Ligaduras: en el presente caso se tienen las K(h) = 5 ligaduras holónomas,

8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:




(xcm �R Sen�) Sec� = R� ) f(h)4 = (xcm �R Sen�) Sec��R� = 0, hay

rotación en torno al eje z.ycm = �xcmTg �+R Sec�+ ` Sen�) f

(h)5 = ycm + xcmTg ��R Sec�� ` Sen� = 0,

que limita el movimiento del disco a la superficie del plano inclinado.(5.264)

que son esclerónomas. Aquí �, � y � son los ángulos de rotación del disco en torno delos ejes coordenados x, y y z respectivamente.



Figura (5.16): Detalles para encontrar las ecuaciones de ligadura f (h)4 y f (h)5 para el sistema mostrado enla figura 5.15.

La ligadura f(h)4 proviene del hecho de que la longitud de arco es = R� recorrida por

el punto de contacto P sobre el borde del disco es igual (ya que el disco no desliza) ala distancia s recorrida por el mismo sobre la superficie del plano inclinado. En efecto,de la figura 5.16 es fácil notar que,

xcm = x+ ex (5.265)

pero, (x = sCos�ex = R Sen�

(5.266)

entonces al sustituir (5.266) en (5.266) resulta,

s = (xcm �R Sen�) Sec� (5.267)

que debe ser igual a es = R� resultando,

(xcm �R Sen�) Sec� = R�

o,f(h)4 = (xcm �R Sen�) Sec��R� = 0 (5.268)



Por otro lado, la ligadura f(h)5 se construye al escribir la ecuación de la trayectoria

del centro de masa, es decir, la ecuación de la recta que la representa. En efecto, apartir de la figura 5.16 es fácil notar que el punto de corte b de la trayectoria del centrode masa con el eje y viene dado por,

b = h+ eh (5.269)

pero, (h = ` Sen�eh = R Sec�

(5.270)

entonces al sustituir (5.270) en (5.269) resulta,

b = ` Sen�+R Sec� (5.271)

de aquí que la ecuación de la recta que representa la trayectoria del centro de masavenga dada por,

ycm = �Tg �xcm + ` Sen�+R Sec� (5.272)

ya que su pendiente es �Tg �. Entonces,

f(h)5 = ycm + Tg �xcm � ` Sen��R Sec� (5.273)

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como exis-ten K(h) = 5 ligaduras holónomas entonces el número de grados de libertad del discoes,

s = 6�K(h) = 6� 5 = 1 (5.274)


e� = 6�K(h) = 6� 5 = 1 (5.275)

siendo e� = s como era de esperarse para un sistema holónomo. Por lo tanto, de usarseel método implícito, la descripción del sistema se podría hacer con una sola coorde-nada generalizada.

Lagrangiano sin ligaduras incluidas: en coordenadas Cartesianas se tiene que laenergía cinética total del sistema viene dada por,

T =1

2M��x2

cm +�y2

cm +�z2

cm

�| {z }


+1

2I�

��2+1

2I�

��2

+1

2I�

��2| {z }

T rotacional

(5.276)



donde los tres últimos términos representan las energías cinéticas rotacionales del dis-co, con I�, I� e I� los momentos de inercia del mismo. La energía potencial (para elorigen de potencial escogido) viene dada por,

U =Mgycm (5.277)


L = T � U = 1

2M��x2

cm +�y2

cm +�z2

cm

�+1

2

�I�

��2+ I�

��2

+ I��2��Mgycm (5.278)



@L@xcm

= 0 @L@ycm

= �Mg @L@zcm

= 0@L

@�xcm

=M�xcm

@L

@�ycm

=M�ycm

@L

@�zcm

=M�zcm

ddt

�@L

@�xcm

�=M

��xcm

ddt

�@L

@�ycm

�=M

��y cm

ddt

�@L

@�zcm

�=M

��z cm

@f(h)1

@xcm= 0

@f(h)1

@ycm= 0

@f(h)1

@zcm= 1

@f(h)2

@xcm= 0

@f(h)2

@ycm= 0

@f(h)2

@zcm= 0

@f(h)3

@xcm= 0

@f(h)3

@ycm= 0

@f(h)3

@zcm= 0

@f(h)4

@xcm= Sec�

@f(h)4

@ycm= 0

@f(h)4

@zcm= 0

@f(h)5

@xcm= Tg �

@f(h)5

@ycm= 1

@f(h)5

@zcm= 0

9>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>;

(5.279)

8>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

@L@�= 0 @L

@�= 0 @L

@�= 0

@L

@��= I�

�� @L

@��= I�

�� @L

@��= I�

��

ddt

�@L

@��

�= I�

�� d

dt

�@L

@��

�= I�

�� d

dt

�@L

@��

�= I�

��

@f(h)1

@�= 0

@f(h)1

@�= 0

@f(h)1

@�= 0

@f(h)2

@�= 1

@f(h)2

@�= 0

@f(h)2

@�= 0

@f(h)3

@�= 0

@f(h)3

@�= 1

@f(h)3

@�= 0

@f(h)4

@�= 0

@f(h)4

@�= 0

@f(h)4

@�= �R

@f(h)5

@�= 0

@f(h)5

@�= 0

@f(h)5

@�= 0

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>;

(5.280)





8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

ddt

�@L

@�xcm

�� @L

@xcm=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@xcm= �1

@f(h)1

@xcm+ �2

@f(h)2

@xcm+ �3

@f(h)3

@xcm+ �4

@f(h)4

@xcm+ �5

@f(h)5

@xcm

ddt

�@L

@�ycm

�� @L

@ycm=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@ycm= �1

@f(h)1

@ycm+ �2

@f(h)2

@ycm+ �3

@f(h)3

@ycm+ �4

@f(h)4

@ycm+ �5

@f(h)5

@ycm

ddt

�@L

@�zcm

�� @L

@zcm=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@zcm= �1

@f(h)1

@zcm+ �2

@f(h)2

@zcm+ �3

@f(h)3

@zcm+ �4

@f(h)4

@zcm+ �5

@f(h)5

@zcm

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@�= �1

@f(h)1

@�+ �2

@f(h)2

@�+ �3

@f(h)3

@�+ �4

@f(h)4

@�+ �5

@f(h)5

@�

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@�= �1

@f(h)1

@�+ �2

@f(h)2

@�+ �3

@f(h)3

@�+ �4

@f(h)4

@�+ �5

@f(h)5

@�

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@�= �1

@f(h)1

@�+ �2

@f(h)2

@�+ �3

@f(h)3

@�+ �4

@f(h)4

@�+ �5

@f(h)5

@�

(5.281)

ya que aquí K(h) = 5. Ahora, al sustituir los resultados (5.279) y (5.280) en (5.281) seobtiene, 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

M��xcm = �4 Sec�+ �5Tg �

M��y cm +Mg = �5

M��z cm = �1

I�� = �2

I�� = �3

I�� = ��4R

(5.282)


Cálculo de las cantidades pedidas:(a) Ecuaciones de movimiento: son las dadas por (5.282)

(b) Fuerzas generalizadas de ligadura: para hallarlas es necesario primero encon-trar los multiplicadores de Lagrange �1, �2, �3, �4 y �5 presentes en (5.282). Al sustituir lasligaduras f (h)1 , f (h)2 y f (h)3 en las mencionadas ecuaciones resulta,8><>:

�1 = 0

�2 = 0

�3 = 0

(5.283)

reduciéndose el sistema de ecuaciones de movimiento a,8><>:M

��xcm = �4 Sec�+ �5Tg �

M��y cm +Mg = �5

I�� = ��4R

(5.284)



Al hallar la segunda derivada total con respecto al tiempo t de las ligaduras f (h)4 yf(h)5 se obtiene, ( ��

xcm Sec��R�� = 0

��y cm +

��xcmTg � = 0

(5.285)

a partir de las cuales, ( ��xcm = R

�� Cos�

��y cm = �R

�� Sen�

(5.286)

que al ser sustituidas en (5.284) se obtiene,(�4 = �1

3Mg Sen�

�5 =Mg�1� 2

3Sen2 �

� (5.287)

Finalmente, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadaspor, 8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

Qligxcm =

5Xl=1

�l@f

(h)l

@xcm= �4 Sec�+ �5Tg � =

23Mg Sen�Cos�

Qligycm =

5Xl=1

�l@f

(h)l

@ycm= �5 =Mg

�1� 2

3Sen2 �

�Qligzcm =

5Xl=1

�l@f

(h)l

@zcm= �1 = 0

Qlig� =

5Xl=1

�l@f

(h)l

@�= �2 = 0

Qlig� =

5Xl=1

�l@f

(h)l

@�= �3 = 0

Qlig� =

5Xl=1

�l@f

(h)l

@�= ��4R = 1

3MgR Sen�

(5.288)

Estas son las fuerzas generalizadas de ligadura requeridas para mantener el disco ro-dando sobre el plano sin resbalar.

(c) La aceleración angular: a partir de la última de las ecuaciones (5.284) y delprimer resultado en (5.287) se obtiene que,

�� = 2

3Rg Sen� (5.289)

ya que I� =12MR2 (ver referencias [1], [59] [64] por ejemplo).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




5.11.

SOLUCION:

Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas:todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.11 (5.218), (5.220) y (5.221) respec-tivamente,

8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:








(5.290)

s = 1 (5.291)e� = 1 (5.292)



L =1

2M

��R2

+R2�'2

cm +�z2

cm

�+1

2I�

��2+1

2I�

��2

+1

2I�

��2

+MgRCos�

o,

L =1

2M

��R2

+R2��2+

�z2

cm

�+1

2I�

��2+1

2I�

��2

+1

2I�

��2

+MgRCos� (5.293)

ya que ' = 3�2� �.




@L@R=MR

��2+MgCos� @L

@�= �MgR Sen� @L

@zcm= 0

@L

@�R=M

�R @L

@��=MR2

�� @L

@�zcm

=M�zcm

ddt

�@L

@�R

�=M

��R d

dt

�@L

@��

�=MR2

�� + 2MR

�R�� d

dt

�@L

@�zcm

�=M

��z cm

@f(h)1

@R= 0

@f(h)1

@�= 0

@f(h)1

@zcm= 1

@f(h)2

@R= 0

@f(h)2

@�= 0

@f(h)2

@zcm= 0

@f(h)3

@R= 0

@f(h)3

@�= 0

@f(h)3

@zcm= 0

@f(h)4

@R= 0

@f(h)4

@�= R2 �R1 @f

(h)4

@zcm= 0

@f(h)5

@R= 1

@f(h)5

@�= 0

@f(h)5

@zcm= 0

9>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>;

(5.294)

8>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

@L@�= 0 @L

@�= 0 @L

@�= 0

@L

@��= I�

�� @L

@��= I�

�� @L

@��= I�

��

ddt

�@L

@��

�= I�

�� d

dt

�@L

@��

�= I�

�� d

dt

�@L

@��

�= I�

��

@f(h)1

@�= 0

@f(h)1

@�= 0

@f(h)1

@�= 0

@f(h)2

@�= 1

@f(h)2

@�= 0

@f(h)2

@�= 0

@f(h)3

@�= 0

@f(h)3

@�= 1

@f(h)3

@�= 0

@f(h)4

@�= 0

@f(h)4

@�= 0

@f(h)4

@�= �R1

@f(h)5

@�= 0

@f(h)5

@�= 0

@f(h)5

@�= 0

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>;

(5.295)



8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

ddt

�@L

@�R

�� @L

@R=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@R= �1

@f(h)1

@R+ �2

@f(h)2

@R+ �3

@f(h)3

@R+ �4

@f(h)4

@R+ �5

@f(h)5

@R

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@�= �1

@f(h)1

@�+ �2

@f(h)2

@�+ �3

@f(h)3

@�+ �4

@f(h)4

@�+ �5

@f(h)5

@�

ddt

�@L

@�zcm

�� @L

@zcm=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@zcm= �1

@f(h)1

@zcm+ �2

@f(h)2

@zcm+ �3

@f(h)3

@zcm+ �4

@f(h)4

@zcm+ �5

@f(h)5

@zcm

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@�= �1

@f(h)1

@�+ �2

@f(h)2

@�+ �3

@f(h)3

@�+ �4

@f(h)4

@�+ �5

@f(h)5

@�

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@�= �1

@f(h)1

@�+ �2

@f(h)2

@�+ �3

@f(h)3

@�+ �4

@f(h)4

@�+ �5

@f(h)5

@�

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

5Xl=1

�l@f

(h)l

@�= �1

@f(h)1

@�+ �2

@f(h)2

@�+ �3

@f(h)3

@�+ �4

@f(h)4

@�+ �5

@f(h)5

@�

(5.296)



ya que aquí K(h) = 5. Ahora, al sustituir los resultados (5.294) y (5.295) en (5.296) seobtiene, 8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

M��R�MR

��2�MgCos� = �5

MR2�� + 2MR

�R�� +MgR Sen� = �4 (R2 �R1)

M��z cm = �1

I�� = �2

I�� = �3

I�� = ��4R1

(5.297)


Cálculo de las cantidades pedidas: para calcular las fuerzas generalizadas de li-gadura es necesario encontrar primero el valor de los Multiplicadores de Lagrange �1,�2, �3, �4, y �5 en (5.297). Al sustituir las ligaduras f (h)1 , f (h)2 y f (h)3 de (5.290) en (5.297) seencuentra que, 8><>:

�1 = 0

�2 = 0

�3 = 0

(5.298)

reduciéndose el sistema de ecuaciones (5.297) a,8>><>>:M

��R�MR

��2�MgCos� = �5

MR2�� + 2MR

�R�� +MgR Sen� = �4 (R2 �R1)

I�� = ��4R1

(5.299)

Ahora, al sustituir las ligaduras f (h)4 (para sustituir �) y f (h)5 de (5.290) en (5.299) resulta,8><>:�M (R2 �R1)

��2�MgCos� = �5

M (R2 �R1)�� +Mg Sen� = �4

I��R2�R1

R1� �� = ��4R1

(5.300)

que para � pequeño (Sen� � �, Cos� � 1) se transforma en,8><>:�M (R2 �R1)

��2�Mg = �5

M (R2 �R1)�� +Mg� = �4

I��R2�R1

R1� �� = ��4R1

(5.301)

entonces a partir de la segunda y cuarta ecuación se obtiene,

�4 =1

3Mg� (5.302)



Al sustituir este resultado en la segunda de las ecuaciones (5.301) resulta,

�� +

2g

3 (R2 �R1)� = 0 (5.303)

que es idéntica a la ecuación (5.227) del ejemplo 5.11. De esta ecuación al hacer,

�� =

d��

dt=d��

d�

d�

dt=

��d��

d�(5.304)

se obtiene,��2=

2g

3 (R2 �R1)��2 � �2o

�(5.305)

donde se ha tomado�� = 0 para � = �o. Si ahora se sustituye (5.305) en la primera de

las ecuaciones (5.301) resulta,

�5 = �Mg

�2

3

��2 � �2o

�+ 1

�(5.306)

Finalmente, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadaspor, 8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

QligR =

5Xl=1

�l@f

(h)l

@R= �5 = �Mg

�23(�2 � �2o) + 1

�Qlig� =

5Xl=1

�l@f

(h)l

@ycm= �4 (R2 �R1) = 1

3Mg (R2 �R1)�

Qligzcm =

5Xl=1

�l@f

(h)l

@zcm= �1 = 0

Qlig� =

5Xl=1

�l@f

(h)l

@�= �2 = 0

Qlig� =

5Xl=1

�l@f

(h)l

@�= �3 = 0

Qlig� =

5Xl=1

�l@f

(h)l

@�= ��4R1 = �1

3MgR1�

(5.307)

Aquí Qlig� y Qlig

� son dos torques que representan las fuerzas generalizadas de ligadu-ra requeridas para mantener el disco sólido de radio R1 rodando, sin resbalar, sobre lasuperficie semicircular de radio R2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.17Una partícula de masa m comienza a moverse desde el reposo,

partiendo de la parte más alta de un hemisferio fijo y liso de radio a. Encuentre las



fuerzas generalizadas de ligadura y el ángulo en el cual la partícula abandona lasuperficie del hemisferio. Este es un problema clásico que se suele resolver en los cursosbásicos de Física General.

Figura (5.17): Partícula de masam que comienza a moverse desde el reposo, partiendo de la parte másalta de un hemisferio fijo y liso.



x2 + y2 = a2 ) f(h)2 = x2 + y2 � a2 = 0, limita el movimiento

de m a la superficie del hemisferio plano.(5.308)

que son esclerónomas. En coordenadas cilíndricas se puede escribir,(z = 0) f

(h)1 = z = 0

r = a) f(h)2 = r � a = 0

(5.309)


s = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (5.310)


e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (5.311)



T =1

2m��x2+

�y2+

�z2�

(5.312)




U = mgy (5.313)

de manera que el Lagrangiano es dado por,

L = T � U = 1

2m��x2+

�y2+

�z2��mgy (5.314)

que es el Lagrangiano del sistema sin considerar las ligaduras (5.308). En coordenadascilíndricas se tiene que,

L =1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2��mgr Sen' (5.315)


@L@r= mr

�'2�mg Sen' @L

@'= �mgrCos' @L

@z= 0

@L

@�r= m

�r @L

@�'= mr2

�' @L

@�z= m

�z

ddt

�@L

@�r

�= m

��r d

dt

�@L

@�'

�= 2mr

�r�'+mr2

��' d

dt

�@L

@�z

�= m

��z

@f(h)1

@r= 0

@f(h)1

@'= 0

@f(h)1

@z= 1

@f(h)2

@r= 1

@f(h)2

@'= 0

@f(h)2

@z= 0

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;(5.316)



ddt

�@L

@�r

�� @L

@r=

2Xl=1

�l@f

(h)l

@r= �1

@f(h)1

@r+ �2

@f(h)2

@r

ddt

�@L

@�'

�� @L

@'=

2Xl=1

�l@f

(h)l

@'= �1

@f(h)1

@'+ �2

@f(h)2

@'

ddt

�@L

@�z

�� @L

@z=

2Xl=1

�l@f

(h)l

@z= �1

@f(h)1

@z+ �2

@f(h)2

@z

(5.317)

ya que aquí K(h) = 2. Ahora, al sustituir los resultados (5.316) en (5.317) se obtiene,8><>:m��r �mr �'

2+mg Sen' = �2

2�'�r + r

��' + gCos' = 0

m��z = �1

(5.318)


Cálculo de las cantidades pedidas: al tener presentes las ligaduras (5.309) en lasecuaciones de movimiento (5.318) resulta,8><>:

�ma �'2+mg Sen' = �2

a��' + gCos' = 0

0 = �1

(5.319)



De la segunda ecuación se tiene que,

��' = �g

aCos' (5.320)

que se puede integrar para determinar�'2. Nótese primero que,

��' =

d�'

dt=d�'

d'

d'

dt=

�'d�'

d'(5.321)

entonces, al sustituir (5.321) en (5.320) e integrar,Z �'

0

�e'd �e' = �ga

Z '

�2

Cos e'de' (5.322)

ya que�' = 0 en t = 0 cuando ' = �

2y la tilde se usó para distinguir entre las variables

de integración y los límites de integración. De (5.322) resulta,

�'2=2g

a(1� Sen') (5.323)

Sustituyendo�'2

de (5.323) en la primera de las ecuaciones (5.319) se obtiene,

�2 = mg (3 Sen'� 2) (5.324)

por lo tanto, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadaspor, 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

Qligr =

2Xl=1

�l@f

(h)l

@r= �2 = mg (3 Sen'� 2)

Qlig' =

2Xl=1

�l@f

(h)l

@'= 0

Qligz =

2Xl=1

�l@f

(h)l

@z= �1 = 0

(5.325)

La partícula se desprenderá de la superficie del hemisferio en el ángulo 'd (el sub-índice d significa desprendimiento) cuando Qlig

r = 0. Entonces,

Qligr = 0 = mg (3 Sen'd � 2) (5.326)

de manera que,

'd = Sen�1 �2

3

�= 41; 8o (5.327)

o lo que es lo mismo 48; 2o con respecto al eje y.



Nótese que la fuerza generalizada de ligadura es Qligr = mg (peso) en ' = �

2, es

decir, cuando la partícula se encuentra en la parte más alta del hemisferio3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.18La figura 5.18 muestra una partícula de masa m sobre un plano

inclinado que se mueve con � constante. Encuéntrese la aceleración de m a lo largodel plano inclinado y las fuerzas generalizadas de ligadura .

Figura (5.18): Partícula de masa m que se mueve sobre un plano inclinado móvil.



y = xTg � + h (t)) f(h)2 = y � xTg � � h (t) = 0, limita el movimiento

de m a la superficie del plano inclinado móvil.(5.328)



s = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (5.329)

3Comparar el resultado aquí obtenido con el problema 8.39, página 236, de la referencia [1].




e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (5.330)



T =1

2m��x2+

�y2+

�z2�

(5.331)


U = mgy (5.332)


L = T � U = 1

2m��x2+

�y2+

�z2��mgy (5.333)



@L@x= 0 @L

@y= �mg @L

@z= 0

@L

@�x= m

�x @L

@�y= m

�y @L

@�z= m

�z

ddt

�@L

@�x

�= m

��x d

dt

�@L

@�y

�= m

��y d

dt

�@L

@�z

�= m

��z

@f(h)1

@x= 0

@f(h)1

@y= 0

@f(h)1

@z= 1

@f(h)2

@x= �Tg � @f

(h)2

@y= 1

@f(h)2

@z= 0

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;(5.334)



ddt

�@L@x

�� @L

@x=

2Xl=1

�l@f

(h)l

@x= �1

@f(h)1

@x+ �2

@f(h)2

@x

ddt

�@L

@�y

�� @L

@y=

2Xl=1

�l@f

(h)l

@y= �1

@f(h)1

@y+ �2

@f(h)2

@y

ddt

�@L

@�z

�� @L

@z=

2Xl=1

�l@f

(h)l

@z= �1

@f(h)1

@z+ �2

@f(h)2

@z

(5.335)

ya que aquí K(h) = 2. Ahora, al sustituir los resultados (5.334) en (5.335) se obtiene,8><>:m��x = ��2Tg �

m��y +mg = �2

m��z = �1

(5.336)




Cálculo de las cantidades pedidas: al tener presentes las ligaduras (5.328) en lasecuaciones de movimiento (5.336) resulta,8>>>>>>><>>>>>>>:

�2 = m

�g +

��h

�Cos2 �

��x = �

�g +

��h

�Cos� Sen�

��y =

��h Cos2 � � g Sen2 �

�1 = 0

(5.337)

Por lo tanto, de las ecuaciones segunda y tercera de (5.337) la aceleración a a lolargo del plano inclinado viene dada por,

a =

q��x2+��y2

a =

qg2 Sen2 � +

��h2

Cos2 � (5.338)

que es una de las cantidades pedidas. Nótese que si��h = 0 este resultado se reduce al

dado por (5.94), que es el correspondiente al plano inclinado en reposo.

Por último, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadaspor, 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

Qligx =

2Xl=1

�l@f

(h)l

@x= ��2Tg � = �m

�g +

��h

�Cos� Sen�

Qligy =

2Xl=1

�l@f

(h)l

@y= �2 = m

�g +

��h

�Cos2 �

Qligz =

2Xl=1

�l@f

(h)l

@z= �1 = 0

(5.339)

que son las requeridas para mantener a m sobre la superficie del plano inclinado y, eneste caso, corresponden a dos fuerzas. El módulo de la resultante de las fuerzas (5.339)viene dada por,

Qlig =

r�Qligx

�2+�Qligy

�2+�Qligz

�2= m

�g +

��h

�Cos� (5.340)

que es la fuerza de reacción normal al plano inclinado. Nótese que si��h = 0 este resul-

tado se reduce al dado por (5.237), que es el correspondiente al plano inclinado enreposo.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



5.4.3. Sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas

Los ejemplos siguientes representan sistemas con ligaduras holónomas escritasen la forma semi-holónoma y con ligaduras no-holónomas. Las ligaduras semi-holónomasno serán integradas por lo que se emplearán en forma explícita. Recuérdese que enestos casos el número de coordenadas generalizadas a utilizar es � = 3N .

Pasos a seguir cuando se tienen sistemas con ligaduras semi-holónomas y no-holónomas del tipo:



3. Se hallan los coeficientes Alj al comparar las ligaduras identificadas en 1 mediantesu comparación con la forma que corresponda en (5.76).



6. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones for-mado por las Ecuaciones de Lagrange y las ecuaciones de ligadura. Las fuerzasgeneralizadas de ligadura se calculan también a partir de (5.77).


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.19Resolver el ejemplo 5.15 pero expresando la ligaduras holónomas

presentes en forma de derivada, es decir, en forma semi-holónoma (en velocidades).SOLUCION:Ligaduras: para poder usar las ecuaciones de Lagrange (5.77) para ligaduras no-

holónomas y semi-holónomas es necesario que todas las ligaduras estén expresadasen forma de diferencial o en la forma de velocidades. Si se escoge la representaciónen forma de velocidades entonces las ligaduras vienen dadas al derivar las dadas por



(5.264) con respecto al tiempo t resultando,8>>>>>><>>>>>>:

�zcm = 0) f

(shD)1 =

�zcm = 0

�� = 0) f

(shD)2 =

�� = 0

�� = 0) f

(shD)3 =

�� = 0

�xcm Sec� = R

�� ) f

(shD)4 =

�xcm Sec��R

�� = 0

�ycm = �

�xcmTg �) f

(shD)5 =

�ycm +

�xcmTg � = 0

(5.341)

que son las ligaduras (5.264) escritas en forma semi-holónoma (en velocidades). Sunúmero total es K(h) = 5.

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: estas canti-dades fueron encontradas en el ejemplo 5.15 y son dadas por (5.274) y (5.275),

s = 1 (5.342)e� = 1 (5.343)


Coeficientes Alj: estos coeficientes se encuentran al comparar cada una de lasligaduras (5.341) con (5.76) por estar en forma de velocidades. En efecto, escogiendoq1 = xcm, q2 = ycm, q3 = zcm, q4 = �, q5 = � y q6 = �, a partir de (5.76) resulta,

f(shD)1 =

6Xj=1

A1j�qj +B1

= A11�q1 + A12

�q2 + A13

�q3 + A14

�q4 + A15

�q5 + A16

�q6 +B1

que al ser comparada con f(shD)1 en (5.341) resulta,(

A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1

A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0

)(5.344)

Si se realiza un procedimiento análogo para las restantes ligaduras resulta,8>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>:

A21 = 0 A22 = 0 A23 = 0

A24 = 1 A25 = 0 A26 = 0

A31 = 0 A32 = 0 A33 = 0

A34 = 0 A35 = 1 A36 = 0

A41 = Sec� A42 = 0 A43 = 0

A44 = 0 A45 = 0 A46 = �RA51 = Tg � A52 = 1 A53 = 0

A54 = 0 A55 = 0 A56 = 0

9>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>;(5.345)



Lagrangiano: el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes ya fueencontrado en el ejemplo 5.15 resultando,

L =1

2M��x2

cm +�y2

cm +�z2

cm

�+1

2I�

��2+1

2I�

��2

+1

2I�

��2�Mgycm (5.346)

dado por (5.278).

Ecuaciones de Lagrange: de (5.346) se tiene que,8>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:

@L@xcm

= 0 @L@ycm

= �Mg @L@zcm

= 0@L

@�xcm

=M�xcm

@L

@�ycm

=M�ycm

@L

@�zcm

=M�zcm

ddt

�@L

@�xcm

�=M

��xcm

ddt

�@L

@�ycm

�=M

��y cm

ddt

�@L

@�zcm

�=M

��z cm

@L@�= 0 @L

@�= 0 @L

@�= 0

@L

@��= I�

�� @L

@��= I�

�� @L

@��= I�

��

ddt

�@L

@��

�= I�

�� d

dt

�@L

@��

�= I�

�� d

dt

�@L

@��

�= I�

��

9>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>;(5.347)



8>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

ddt

�@L

@�xcm

�� @L

@xcm=

5Pl=1

�lAl1 = �1A11 + �2A21 + �3A31 + �4A41 + �5A51

ddt

�@L

@�ycm

�� @L

@ycm=

5Pl=1

�lAl2 = �1A12 + �2A22 + �3A32 + �4A42 + �5A52

ddt

�@L

@�zcm

�� @L

@zcm=

5Pl=1

�lAl3 = �1A13 + �2A23 + �3A33 + �4A43 + �5A53

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

5Pl=1

�lAl4 = �1A14 + �2A24 + �3A34 + �4A44 + �5A54

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

5Pl=1

�lAl5 = �1A15 + �2A25 + �3A35 + �4A45 + �5A55

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

5Pl=1

�lAl6 = �1A16 + �2A26 + �3A36 + �4A46 + �5A56

(5.348)

ya que aquí K(h) = 5. Ahora, al sustituir los resultados (5.344), (5.345) y (5.347) en (5.348)se obtiene, 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

M��xcm = �4 Sec�+ �5Tg �

M��y cm +Mg = �5

M��z cm = �1

I�� = �2

I�� = �3

I�� = ��4R

(5.349)



que son las mismas ecuaciones de Lagrange (5.282) obtenidas en el ejemplo 5.15.

Cálculo de las cantidades pedidas: por ser las ecuaciones (5.349) idénticas a lasecuaciones (5.282) los resultados son idénticos a los del ejemplo 5.15.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.20Un disco homogéneo de masa M rueda sin resbalar sobre el

plano horizontal xy (ver figura 5.19a), obligado a moverse de modo que su planopermanezca siempre vertical (el disco puede ser una de las dos ruedas de un eje).Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura.

Figura (5.19): (a) Movimiento de un disco homogéneo de masa M rodando sin resbalar sobre el planoxy. (b) Proyección del movimiento sobre el plano xy. La velocidad del centro de masa del disco tiene

las componentes��R

��Sen �;R

��Cos �

�sobre las direcciones x y y.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras que ya fue estudiado, en parte, en unejemplo de la sección 2.4.3 del capítulo 2. Se pueden escoger como coordenadas dela posición del disco las de su centro de masa xcm, ycm y zcm (que coinciden con las desu centro geométrico C por ser homogéneo), el ángulo � que forma el eje del disco(perpendicular al mismo y que pasa por C) con el plano xy, al ángulo � que formaeste mismo eje con la dirección 0x del plano horizontal que es variable respecto altiempo t y al ángulo � girado por el disco alrededor de su propio eje. Las anteriorescoordenadas son las coordenadas generalizadas requeridas para el presente caso.



Ligaduras: existen K(h) = 2 ligaduras holónomas y K(nh) = 2 ligaduras no-holónomasrespectivamente,8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

zcm = R) f(h)1 = zcm �R = 0, posición constante del centro de masa

del disco respecto al plano xy.� = 0) f

(h)2 = � = 0, disco perpendicular al plano xy.8<: vcmx =�xcm = �vcm Sen� = �R

�� Sen� ) f

(nhD)3 =

�xcm +R Sen�

�� = 0

vcmy =�ycm = vcmCos� = R

��Cos� ) f

(nhD)4 =

�ycm �RCos�

�� = 0

,

consecuencia de que el disco no resbala.

(5.350)

Es fácil encontrar f (nhD)3 y f (nhD)4 con la ayuda de la figura 5.19b y sabiendo que la

velocidad del disco v = R�� = vcm (velocidadad del centro de masa). Para poder usar

las ecuaciones de Lagrange (5.77) para ligaduras no-holónomas y semi-holónomas esnecesario que todas las ligaduras estén expresadas en forma de diferencial o en laforma de velocidades. Como f

(nhD)3 y f (nhD)4 están en forma de velocidades, es conve-

niente escribir f (h)1 y f (h)2 en la misma forma. Al hallar la derivada total con respecto altiempo t de f

(h)1 y f (h)2 resulta,8>>>><>>>>:

�zcm = 0) f

(shD)1 =

�zcm = 0

�� = 0) f

(shD)2 =

�� = 0

�xcm = �R

�� Sen� ) f

(nhD)3 =

�xcm +R Sen�

�� = 0

�ycm = R

��Cos� ) f

(nhD)4 =

�ycm �RCos�

�� = 0

(5.351)

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: el númerode grados de libertad es,

s = 6��K(h) +K(nh)

�= 6� 4 = 2 (5.352)


e� = 6�K(h) = 6� 2 = 4 (5.353)



f(shD)1 =

6Xj=1

A1j�qj +B1

= A11�q1 + A12

�q2 + A13

�q3 + A14

�q4 + A15

�q5 + A16

�q6 +B1




A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1

A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0

)(5.354)

Si se realiza un procedimiento análogo para las restantes ligaduras resulta,8>>>>>>>><>>>>>>>>:

A21 = 0 A22 = 0 A23 = 0

A24 = 1 A25 = 0 A26 = 0

A31 = 1 A32 = 0 A33 = 0

A34 = 0 A35 = R Sen� A36 = 0

A41 = 0 A42 = 1 A43 = 0

A44 = 0 A45 = �RCos� A46 = 0

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;(5.355)

Lagrangiano: la energía cinética total T del sistema viene dada por,

T =1

2M��x2

cm +�y2

cm +�z2

cm

�+1

2I�

��2+1

2I�

��2

+1

2I�

��2

(5.356)

y la energía potencial U viene dada por,

U =Mgzcm (5.357)

por lo tanto el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes viene dadopor,

L = T � U = 1

2M��x2

cm +�y2

cm +�z2

cm

�+1

2

�I�

��2+ I�

��2

+ I��2��Mgzcm (5.358)


@L@xcm

= 0 @L@ycm

= 0 @L@zcm

= �Mg@L

@�xcm

=M�xcm

@L

@�ycm

=M�ycm

@L

@�zcm

=M�zcm

ddt

�@L

@�xcm

�=M

��xcm

ddt

�@L

@�ycm

�=M

��y cm

ddt

�@L

@�zcm

�=M

��z cm

@L@�= 0 @L

@�= 0 @L

@�= 0

@L

@��= I�

�� @L

@��= I�

�� @L

@��= I�

��

ddt

�@L

@��

�= I�

�� d

dt

�@L

@��

�= I�

�� d

dt

�@L

@��

�= I�

��

9>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>;(5.359)





8>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

ddt

�@L

@�xcm

�� @L

@xcm=

4Pl=1

�lAl1 = �1A11 + �2A21 + �3A31 + �4A41

ddt

�@L

@�ycm

�� @L

@ycm=

4Pl=1

�lAl2 = �1A12 + �2A22 + �3A32 + �4A42

ddt

�@L

@�zcm

�� @L

@zcm=

4Pl=1

�lAl3 = �1A13 + �2A23 + �3A33 + �4A43

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

4Pl=1

�lAl4 = �1A14 + �2A24 + �3A34 + �4A44

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

4Pl=1

�lAl5 = �1A15 + �2A25 + �3A35 + �4A45

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

4Pl=1

�lAl6 = �1A16 + �2A26 + �3A36 + �4A46

(5.360)

ya que aquí K = K(h) + K(nhD) = 4. Ahora, al sustituir los resultados (5.359), (5.354) y(5.355) en (5.360) se obtiene,8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

M��xcm = �3

M��y cm = �4

M��z cm +Mg = �1

I�� = �2

I�� = �3R Sen� � �4RCos�

I�� = 0

(5.361)

que son las ecuaciones de movimiento del sistema dado.

Cálculo de las cantidades pedidas: para encontrar las fuerzas generalizadas deligadura es necesario encontrar primeramente los multiplicadores de Lagrange �1, �2,�3 y �4. Al tener presentes las ligaduras f (shD)1 y f

(shD)2 de (5.351) en las ecuaciones de

movimiento (5.361) resulta, (�1 =Mg

�2 = 0(5.362)

reduciéndose el sistema de ecuaciones (5.361) a,8>>>><>>>>:M

��xcm = �3

M��y cm = �4

I�� = �3R Sen� � �4RCos�

I�� = 0

(5.363)

Ahora bien, al sustituir las ligaduras f (shD)3 y f (shD)4 de (5.351) en la primera y segunda



ecuaciones de (5.363) respectivamente se obtiene,8>><>>:�3 =M

��x = �MR

�� Sen� +

��Cos�

��4 =M

��y =MR

�� Cos� �

�� Sen�

� (5.364)

que al sustituidos en la tercera de las ecuaciones (5.363) resulta,

I�� = MR2

�� Sen� +

��Cos�

�Sen� +MR2

�� Cos� �

�� Sen�

�Cos�

= �MR2��

o, �I� +MR2

�| {z }6=0

�� = 0 (5.365)

de aquí que,�� = 0!

�� = ! = constante (5.366)

Además, de la última de las ecuaciones (5.363) se obtiene,�� = 0! �

� = = constante (5.367)

Entonces, al sustituir los resultados (5.366) y (5.367) en (5.364) se encuentra que,(�3 = �MR!Cos�

�4 = �MR!Sen�(5.368)

Por último, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadaspor, 8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

Qligxcm =

4Xl=1

�lAl1 = �3 = �MR!Cos�

Qligycm =

4Xl=1

�lAl2 = �4 = �MR!Sen�

Qligzcm =

4Xl=1

�lAl3 = �1 =Mg

Qlig� =

4Xl=1

�lAl4 = �2 = 0

Qlig� =

4Xl=1

�lAl5 = �3R Sen� � �4RCos� = 0

Qlig� =

4Xl=1

�lAl5 = 0

(5.369)



La resultante de las fuerzas Qligxcm y Qlig

ycm es,

Qlig = Qligxcmbex +Qlig

ycmbey = �MR! (Cos �bex + Sen�bey)que es perpendicular a la velocidad �!v del disco, es decir, está dirigida a lo largo desu eje.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.214 La figura 5.20 muestra un carrito que consiste en un bloque rec-

tangular homogéneo plano de masa M , sobre una superficie horizontal (plano xy).El carrito posee dos ruedas de masa despreciable a la mitad de cada lado y quepueden girar en torno al eje L2 independientemente, de manera que el centro demasa está a la mitad de la distancia entre ambas. Además, el carrito tiene una cargapuntual +Q en su centro y cargas puntuales q1 = +q y q2 = �q a la mitad de su partefrontal y trasera (cada una a una distancia b del centro del rectángulo) y está inmersoen un campo eléctrico uniforme

�!E en la dirección +x. (a) Encuentre las ecuaciones

de movimiento de Lagrange y (b) las fuerzas generalizadas de ligadura. Las ruedas noresbalan y no se consideran los efectos del campo gravitacional.

Figura (5.20): Carrito rectangular homogéneo de masa M inmerso en un campo eléctrico uniforme�!E

dirigido a lo largo del eje x. Las ruedas no resbalan, así la fuerza de fricción estática entre ellas y lasuperficie proporcionan fuerzas

�!F a y

�!F b.

4Ver referencia [24].



SOLUCION: este es un sistema con ligaduras.Ligaduras: existen K(h) = 3 ligaduras holónomas y K(nh) = 1 ligadura no-holónoma,8>>>>>>>><>>>>>>>>:

zcm = 0) f(h)1 = zcm = 0, limita el movimiento del carrito al plano xy.



�!v cm ��!N = 0) f

(nh)4 = �!v cm �

�!N = 0, con�!N un versor normal al eje L1 del.

carrito. Esta obliga a que la velocidad �!v cm del centro de masa del carritoesté a lo largo del eje L1.

(5.370)por lo que el sistema dado es no-holónomo esclerónomo.

Póngase atención en la ligadura f(nh)4 . Las ruedas no resbalan, así la fuerza de fric-

ción estática entre ellas y la superficie proporcionan fuerzas�!F a y

�!F b (ver figura 5.20)

que son paralelas al eje L2 y, por lo ende, perpendiculares al eje L1. Estas fuerzas ase-guran que �!v cm esté a lo largo de L1, por lo tanto, un vector perpendicular a �!v cm

también lo será a la recta que contiene al eje L1. La ecuación de dicha recta vienedada por,

� (y2 � y1)| {z }A

x+ (x2 � x1)| {z }B

y + x1y2 � x2y1| {z }C

= 0 (5.371)

donde (x1; y1) y (x2; y2) son las posiciones de las cargas +q y �q respectivamente. Sesabe, a partir de la Geometría Analítica, que un vector perpendicular a la recta Ax +

By + C = 0 viene dado por�!N = Abex +Bbey. En este caso se tiene que,

�!N = � (y2 � y1) bex + (x2 � x1) bey (5.372)

por lo tanto,

f(nh)4 = �!v cm �

�!N =��xcmbex + �

ycmbey� � [� (y2 � y1) bex + (x2 � x1) bey] = 0o,

f(nh)4 = ��

xcm (y2 � y1) +�ycm (x2 � x1) = 0 (5.373)

que es una ligadura no-holónoma ya que no es integrable. Esta ligadura puede serexpresada en una forma diferente como se verá más adelante.

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: el númerode grados de libertad del sistema es,

s = 3N �K(h) �K(nh) = 3 (2)� 3� 1 = 2 (5.374)



y el número mínimo de coordenadas generalizadas necesarias para describir el sis-tema es, e� = 3N �K(h) = 3 (2)� 3 = 3 (5.375)

siendo e� > s como era de esperarse para un sistema no-holónomo. De este resultadose deduce que deben existir 3 coordenadas generalizadas capaces de describir porcompleto la configuración del sistema, debido a que la ligadura no-holónoma f

(nh)4

presente no reduce el número de coordenadas mínimas necesarias.

Podrían escogerse coordenadas generalizadas que eliminen las ligaduras holóno-mas pero no las no-holónomas. Es posible escoger como coordenadas generalizadaslas del centro de masa q1 = xcm, q2 = ycm y el ángulo q3 = � formado por L1 respecto aleje x, un total de tres coordenadas generalizadas.

Es fácil mostrar, a partir de la figura 5.20, que las coordenadas de la posición de lascargas puntuales q1 y q2 vienen dadas por,8>>>>>>>><>>>>>>>>:

x1 = xcm + bCos�

y1 = ycm + b Sen�

z1 = 0

x2 = xcm � bCos�y2 = ycm � b Sen�z2 = 0

(5.376)

y al sustituir estas transformaciones en (5.373) resulta finalmente,

f(nhD)4 = Sen�

�xcm � Cos�

�ycm = 0 (5.377)

que está en la forma de velocidades y en la cual se evidencia su no-integrabilidad.

Para poder usar las ecuaciones de Lagrange (5.77) para ligaduras no-holónomas ysemi-holónomas es necesario que todas las ligaduras estén expresadas en forma dediferencial o en la forma de velocidades. Como f

(nhD)4 está en forma de velocidad, es

conveniente escribir f (h)1 , f (h)2 y f(h)3 en la misma forma. Al hallar la derivada total con

respecto al tiempo t de las mencionadas ligaduras resulta,8>>>><>>>>:

�zcm = 0) f

(shD)1 =

�zcm = 0

�� = 0) f

(shD)2 =

�� = 0

�� = 0) f

(shD)3 =

�� = 0

Sen��xcm � Cos�

�ycm = 0) f

(nhD)4 = Sen �

�xcm � Cos�

�ycm = 0

(5.378)




f(shD)1 =

6Xj=1

A1j�qj +B1

= A11�q1 + A12

�q2 + A13

�q3 + A14

�q4 + A15

�q5 + A16

�q6 +B1


A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1

A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0

)(5.379)

Si se realiza un procedimiento análogo para las restantes ligaduras resulta,8>>>>>>>><>>>>>>>>:

A21 = 0 A22 = 0 A23 = 0

A24 = 1 A25 = 0 A26 = 0

A31 = 0 A32 = 0 A33 = 0

A34 = 0 A35 = 1 A36 = 0

A41 = Sen� A42 = �Cos� A43 = 0

A44 = 0 A45 = 0 A46 = 0

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;(5.380)

Lagrangiano: la energía cinética total T del sistema viene dada por,

T =1

2Mv2cm +

1

2I�

��2+1

2I�

��2

+1

2I�

��2

=1

2M��x2

cm +�y2

cm +�z2

cm

�+1

2I�

��2+1

2I�

��2

+1

2I�

��2

(5.381)

ya que la velocidad vcm del centro de masa es dada por v2cm =�x2

cm +�y2

cm +�z2

cm.

La energía potencial U viene dada por la energía potencial eléctrica de las cargasinvolucradas,

U = �QExcm � q1Ex1 � q2Ex2 (5.382)

o al sustituir x1 y x2 de (5.376),

U = �QExcm � 2qEbCos� (5.383)

tomándose U = 0 (origen de potencial) el origen del sistema de coordenadas. Por lotanto, el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes viene dado por,

L = T � U

=1

2M��x2

cm +�y2

cm +�z2

cm

�+1

2I�

��2+1

2I�

��2

+1

2I�

��2� (�QExcm � 2qEbCos�)



o,

L =1

2M��x2

cm +�y2

cm +�z2

cm

�+1

2

�I�

��2+ I�

��2

+ I��2�+QExcm + 2qEbCos� (5.384)


@L@xcm

= QE @L@ycm

= 0 @L@zcm

= 0@L

@�xcm

=M�xcm

@L

@�ycm

=M�ycm

@L

@�zcm

=M�zcm

ddt

�@L

@�xcm

�=M

��xcm

ddt

�@L

@�ycm

�=M

��y cm

ddt

�@L

@�zcm

�=M

��z cm

@L@�= 0 @L

@�= 0 @L

@�= �2qEb Sen�

@L

@��= I�

�� @L

@��= I�

�� @L

@��= I�

��

ddt

�@L

@��

�= I�

�� d

dt

�@L

@��

�= I�

�� d

dt

�@L

@��

�= I�

��

9>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>;(5.385)


existir este tipo de fuerzas) se puede escribir,8>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

ddt

�@L

@�xcm

�� @L

@xcm=

4Pl=1

�lAl1 = �1A11 + �2A21 + �3A31 + �4A41

ddt

�@L

@�ycm

�� @L

@ycm=

4Pl=1

�lAl2 = �1A12 + �2A22 + �3A32 + �4A42

ddt

�@L

@�zcm

�� @L

@zcm=

4Pl=1

�lAl3 = �1A13 + �2A23 + �3A33 + �4A43

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

4Pl=1

�lAl4 = �1A14 + �2A24 + �3A34 + �4A44

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

4Pl=1

�lAl5 = �1A15 + �2A25 + �3A35 + �4A45

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

4Pl=1

�lAl6 = �1A16 + �2A26 + �3A36 + �4A46

(5.386)

ya que aquí K = K(h) + K(nhD) = 4. Ahora, al sustituir los resultados (5.379), (5.380) y(5.385) en (5.386) se obtiene, 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

M��xcm �QE = �4 Sen�

M��y cm = ��4Cos�

M��z cm = �1

I�� = �2

I�� = �3

I�� + 2qEb Sen� = 0

(5.387)

que son las ecuaciones de movimiento de Lagrange del sistema dado. Nótese que laúltima es, formalmente, la misma que la del péndulo simple.



Cálculo de las cantidades pedidas:(a) Las ecuaciones de movimiento ya fueron dadas por (5.387).

(b) Para encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura es necesario encontrarprimeramente los multiplicadores de Lagrange �1, �2, �3 y �4. Al tener presentes lasligaduras f (shD)1 , f (shD)2 y f (shD)3 de (5.378) en las ecuaciones de movimiento (5.387) resul-ta, 8><>:

�1 = 0

�2 = 0

�3 = 0

(5.388)

reduciéndose el sistema de ecuaciones (5.387) a,8><>:M

��xcm �QE = �4 Sen�


I�� + 2qEb Sen� = 0

(5.389)

Queda ahora por encontrar �4. Al derivar la ligadura f(nhD)4 dada en (5.378) con

respecto al tiempo t resulta,

��xcmCos� +

��xcm Sen� +

��ycm Sen� �

��y cmCos� = 0

��xcmCos� +

��ycm Sen� +

��xcm Sen� �

��y cmCos�

�| {z }

=0

= 0 (5.390)

y al usar nuevamente la ligadura f(nhD)4 dada en (5.378) para sustituir

�xcm en la anterior

expresión se obtiene,

��ycm

Cos2

Sen�� +

��xcm Sen� = 0

��ycm = 0 (5.391)

de la cual,�ycm = 0 (5.392)

ya que�� 6= 0. Entonces, al sustituir el anterior resultado en el sistema de ecuaciones

(5.389) resulta,�4 = 0 (5.393)

reduciéndose así el mencionado sistema de ecuaciones a,(M

��xcm �QE = 0

I�� + 2qEb Sen� = 0

(5.394)



Por último, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadaspor, 8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

Qligxcm =

4Xl=1

�lAl1 = �4 Sen� = 0

Qligycm =

4Xl=1

�lAl2 = ��4Cos� = 0

Qligzcm =

4Xl=1

�lAl3 = �1 = 0

Qlig� =

4Xl=1

�lAl4 = �2 = 0

Qlig� =

4Xl=1

�lAl5 = �3 = 0

Qlig� =

4Xl=1

�lAl5 = 0

(5.395)

Aquí Qligs es la fuerza eléctrica resultante a lo largo del eje L1, que es la que controla

el movimiento del carrito.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.225 Encontrar las fuerzas generalizadas de ligadura en el ejemplo

5.21 pero usando como una de las coordenadas generalizadas la distancia s recorridapor el carrito a lo largo de su trayectoria (ver figura 5.21).

SOLUCION:

Ligaduras: existen K(h) = 3 ligaduras holónomas y K(nh) = 1 ligadura no-holónoma,8>>>>>><>>>>>>:

zcm = 0) f(h)1 = zcm = 0, limita el movimiento del carrito al plano xy.



�xcm =

�sCos� ) f

(nh)4 =

�xcm �

�sCos� = 0, que relaciona la coordenada

xcm con la nueva coordenada s.

(5.396)

donde�s es la velocidad del centro de masa del carrito en el plano xy. Al escribirlas

5Ver referencia [24].



Figura (5.21):�!F 1,�!F 2 y

�!F Q son las fuerzas eléctricas ejercidas por el campo eléctrico

�!E sobre las cargas

q1, q1 y Q respectivamente. La fuerza de fricción estática entrelas ruedas y la superficie proporcionanfuerzas

�!F a y

�!F b

todas en forma de velocidades,8>>>><>>>>:

�zcm = 0) f

(shD)1 =

�zcm = 0, limita el movimiento del carrito al plano xy.

�� = 0) f

(shD)2 =

�� = 0, no hay rotación en torno al eje x.

�� = 0) f

(shD)3 =

�� = 0, no hay rotación en torno al eje y.

�xcm =

�sCos� ) f

(nhD)4 = Cos�

�s� �

xcm = 0.

(5.397)

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: estas canti-dades ya fueron calculadas en el ejemplo 5.21 y dadas por (5.374) y (5.375),

s = 2 (5.398)e� = 3 (5.399)


Coeficientes Alj: estos coeficientes se encuentran al comparar cada una de lasligaduras (5.397) con (5.76) por estar en forma de velocidades. En efecto, escogiendoq1 = s, q2 = xcm, q3 = zcm, q4 = �, q5 = �, q6 = �, a partir de (5.76) resulta,

f(shD)1 =

6Xj=1

A1j�qj +B1

= A11�q1 + A12

�q2 + A13

�q3 + A14

�q4 + A15

�q5 + A16

�q6 +B1



que al ser comparada con f(shD)1 en (5.397) resulta,

(A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1

A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0

)(5.400)

Si se realiza un procedimiento análogo para las restantes ligaduras resulta,

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

A21 = 0 A22 = 0 A23 = 0

A24 = 1 A25 = 0 A26 = 0

A31 = 0 A32 = 0 A33 = 0

A34 = 0 A35 = 1 A36 = 0

A41 = Cos� A42 = �1 A43 = 0

A44 = 0 A45 = 0 A46 = 0

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;(5.401)

Lagrangiano: como�s es la velocidad del centro de masa del carrito en el plano xy

entonces,

v2cm =�s2+

�z2

cm (5.402)

por lo tanto el Lagrangiano (5.384) queda ahora escrito como,

L =1

2M��s2+

�z2

cm

�+1

2

�I�

��2+ I�

��2

+ I��2�+QExcm + 2qEbCos� (5.403)


8>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:

@L@s= 0 @L

@xcm= QE @L

@zcm= 0

@L

@�s=M

�s @L

@�xcm

= 0 @L

@�zcm

=M�zcm

ddt

�@L

@�s

�=M

��s d

dt

�@L

@�xcm

�= 0 d

dt

�@L

@�zcm

�=M

��z cm

@L@�= 0 @L

@�= 0 @L

@�= �2qEb Sen�

@L

@��= I�

�� @L

@��= I�

�� @L

@��= I�

��

ddt

�@L

@��

�= I�

�� d

dt

�@L

@��

�= I�

�� d

dt

�@L

@��

�= I�

��

9>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>;(5.404)





8>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

ddt

�@L

@�s

�� @L

@s=

4Pl=1

�lAl1 = �1A11 + �2A21 + �3A31 + �4A41

ddt

�@L

@�xcm

�� @L

@xcm=

4Pl=1

�lAl2 = �1A12 + �2A22 + �3A32 + �4A42

ddt

�@L

@�zcm

�� @L

@zcm=

4Pl=1

�lAl3 = �1A13 + �2A23 + �3A33 + �4A43

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

4Pl=1

�lAl4 = �1A14 + �2A24 + �3A34 + �4A44

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

4Pl=1

�lAl5 = �1A15 + �2A25 + �3A35 + �4A45

ddt

�@L

@��

�� @L

@�=

4Pl=1

�lAl6 = �1A16 + �2A26 + �3A36 + �4A46

(5.405)

ya que aquí K = K(h) + K(nhD) = 4. Ahora, al sustituir los resultados (5.400), (5.401) y(5.404) en (5.405) se obtiene,

8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

M��s = �4Cos�

QE = �4

M��z cm = �1

I�� = �2

I�� = �3

I�� + 2qEb Sen� = 0

(5.406)


Cálculo de las cantidades pedidas: para encontrar las fuerzas generalizadas deligadura es necesario encontrar primeramente los multiplicadores de Lagrange �1, �2,�3 y �4. Al tener presentes las ligaduras f (shD)1 , f (shD)2 y f (shD)3 de (5.397) en las ecuacionesde movimiento (5.406) resulta, 8>>><>>>:

�1 = 0

�2 = 0

�3 = 0

�4 = QE

(5.407)

reduciéndose este sistema de ecuaciones a,(M

��s = QE Cos�

I�� + 2qEb Sen� = 0

(5.408)

Por último, a partir de (5.77), las fuerzas generalizadas de ligadura vendrán dadas


5.5. PROPIEDADES DEL LAGRANGIANO

por, 8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

Qligs =

4Xl=1

�lAl1 = �4Cos� = QE Cos�

Qligxcm =

4Xl=1

�lAl2 = ��4 = �QE

Qligzcm =

4Xl=1

�lAl3 = �1 = 0

Qlig� =

4Xl=1

�lAl4 = �2 = 0

Qlig� =

4Xl=1

�lAl5 = �3 = 0

Qlig� =

4Xl=1

�lAl5 = 0

(5.409)

Aquí Qligs es la fuerza eléctrica resultante a lo largo del eje L1, que es la que controla

el movimiento del carrito.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5. Propiedades del Lagrangiano

5.5.1. Invariancia bajo una transformación de Gauge

El siguiente teorema enuncia esta importante propiedad del Lagrangiano:

Teorema 9 Si L = L�qi;

�qi; t�

y eL = eL�qi; �qi; t� son dos Lagrangianos tales que las ecua-ciones de movimiento obtenidas a partir de L sean exactamente las mismas que lasobtenidas a partir de eL, entonces L y eL difieren por la derivada total con respecto altiempo t de alguna función de la forma M =M (qi; t).

Demostración. en efecto, si se expresa eL mediante,

eL = L+�M (qi; t) (5.410)

entonces, al sustituir (5.410) en las ecuaciones de Lagrange (5.77) se obtiene,

d

dt

"@

@�qi

�L+

�M

�#� @

@qi

�L+

�M

��QNU

i �Q(lig)i = 0, con i = 1; 2; 3; :::; �



o,

d

dt

@L

@�qi

!� @L

@qi�QNU

i �Q(lig)i| {z }=0 en virtud de (5.77)

+d

dt

0@@ �M

@�qi

1A� @�M

@qi= 0

de la cual,

d

dt

0@@ �M

@�qi

1A� @�M

@qi= 0, con i = 1; 2; 3; :::; � (5.411)

Ahora bien, se sabe por la llamada regla de supresión de puntos (5.9) que,

@�M

@�qi=@M

@qi(5.412)

entonces al derivar con respecto a tiempo t se obtiene,

d

dt

0@@ �M

@�qi

1A =d

dt

�@M

@qi

�

=Xl

@

@ql

�@M

@qi

��ql +

@

@t

�@M

@qi

�=

@

@qi

Xl

@M

@ql

�ql +

@M

@t

!=@�M

@qi(5.413)

que es idéntico al segundo término del miembro izquierdo de (5.411) con signo con-trario, verificándose así la igualdad y por ende haciendo que las ecuaciones de La-grange no se alteren.

Así, por ejemplo, términos como,

C1�q1 =

d

dt(C1q1) ó C1q1

�q1 =

d

dt

�1

2C1q

21

�, con C1 constante (5.414)

sumados a L no aportan absolutamente nada a las ecuaciones de movimiento, puesno las modifican.

A las transformaciones del tipo (5.410) se les denominan Transforma-ciones de Gauge.

Es posible demostrar el teorema anterior partiendo de dos Lagrangianos L y eL paraluego encontrar cuál debe ser la condición para que ambos Lagrangianos dejen in-variantes las ecuaciones de Lagrange, concluyéndose que será posible cuando se lesume la derivada total con respecto al tiempo t de una función del tipo M (qi; t). Sedeja como tarea al estudiante.



Los siguientes Lagrangianos también conducen a las mismas ecuaciones de movi-miento:

1. eL = L + c, Lagrangianos que se diferencian en una constante c (es lo mismo que leocurre al potencial).

2. eL = cL, Lagrangianos entre los que hay un factor constante c.

3. eL = L+f (t), Lagrangianos que se diferencian en una función que sólo depende deltiempo t.

5.5.2. Aditividad

La propiedad de aditividad del Lagrangiano consiste en admitir que:

Si se tiene un sistema S compuesto de n subsistemas S1; S2; : : : ; Sn, aisla-dos, no interactuantes, no habrá relación entre las coordenadas generali-zadas de cada uno de los subsistemas. O también, las partes de un sistemaSi que no interactúan con otras de un sistema Sj, no pueden contener mag-nitudes pertenecientes a estas últimas.

Supóngose que se tienen n sistemas mecánicos S` cada uno con �` coordenadasmínimas que permiten describirlos y que no interactúan entre sí. Si el Lagrangiano paracada uno de estos sistemas viene dado por LS` = LS`

�q`i` ;

�q`i` ; t

�6 con i` = 1; 2; 3; : : : ; �`,

entonces las ecuaciones (5.77) de Lagrange correspondientes a cada uno de estossistemas vendrán dadas por,

Sintema S1 =ddt

�@LS1

@�q1i1

�� @LS1

@q1i1= Q

(lig)1i1

+QNU1i1

con i1 = 1; 2; 3; : : : ; �1

Sintema S2 =ddt

�@LS2

@�q2i2

�� @LS2

@q2i2= Q

(lig)2i2

+QNU2i2

con i2 = 1; 2; 3; : : : ; �2

......

...

Sintema Sn =ddt

�@LSn

@�qnin

�� @LSn

@qnin= Q

(lig)nin

+QNUnin con in = 1; 2; 3; : : : ; �n

9>>>>>>>>>=>>>>>>>>>;(5.415)

6El primer índice de q, ` = 1; 2; : : : ; n , indica el sitema y el segundo índice, i` = 1; 2; : : : ; �`, indica lacoordenada generalizada en particular.



Ahora, al sumar miembro a miembro las ecuaciones anteriores,

Q(lig)1i1

+QNU1i1+Q

(lig)2i2

+QNU2i2+ : : :+Q

(lig)nin

+QNUnin =

d

dt

@LS1

@�q1i1

!� @LS1@q1i1

+d

dt

@LS2

@�q2i2

!� @LS2@q2i2

+ � � �+ d

dt

@LSn

@�qnin

!� @LSn@qnin

o,nX`=1

�Q(lig)ì`

+QNUì`

�=

d

dt

@

@�qnin

nX`=1

LS`

!� @

@qnin

nX`=1

LS` (5.416)

que también puede ser escrita como,

d

dt

2664@LS��I ;

��I ; t

�@��I

3775� @LS

��I ;

��I ; t

�@�I

= Q(lig)I +QNU

I (5.417)

donde,

LS

��I ;

��I ; t

�= LS1

�q1i1 ;

�q1i1 ; t

�+ LS2

�q2i2 ;

�q2i2 ; t

�+ : : :+ LSn

�qnin ;

�qnin ; t

�=

nX`=1

LS`

�qì` ;

�qì` ; t

�(5.418)

y además,

f�Ig = fq1i1g [ fq2i2g [ : : : [ fqning , con

8>>>>>><>>>>>>:

I = 1; 2; 3; : : : ; � = �1 + �2 + : : :+ �ni1 = 1; 2; 3; : : : ; �1i2 = 1; 2; 3; : : : ; �2...in = 1; 2; 3; : : : ; �n

(5.419)

Q(lig)I = Q

(lig)1i1

+Q(lig)2i2

+ : : :+Q(lig)nin

=

nX`=1

Q(lig)ì`

(5.420)

QNUI = QNU

1i1+QNU

2i2+ : : :+QNU

nin =nX`=1

QNUì`

(5.421)

Por lo tanto, las ecuaciones (5.417) son las ecuaciones de Lagrange para un sistemaS formado por los subsistemas no interactuantes S1; S2; : : : ; Sn en conjunto S = S1 [ S2 [: : : [ Sn, siendo su Lagrangiano LS = LS

��I ;

��I ; t

�.



Si se tienen S1; S2; : : : ; Sn sistemas que no interactúan entre sí, entoncesel Lagrangiano del sistema conjunto S = S1 [ S2 [ : : : [ Sn vendrá dado porla suma de los Lagrangianos correspondientes a cada uno de ellos por sep-arado. Similarmente, si se tiene un sistema S cuyo Lagrangiano se puedadescomponer como la suma de dos o más Lagrangianos, entonces cadauno de ellos puede considerarse asociado a un subsistema S` de S, todosellos independientes entre sí.

Un ejemplo de lo anteriormente planteado es el caso de dos partículas que semueven en presencia de un campo externo sin interactuar entre sí. También en el casode un sistema de partículas que interaccionan entre sí pero no con un campo externo,L se puede descomponer en una parte que contiene sólo las coordenadas y veloci-dades del centro de masa y otra que contiene sólo las coordenadas y las velocidadesde las partículas respecto al centro de masa: no hay interacción del movimiento delcentro de masa con el movimiento respecto al centro de masa.

A la propiedad aditiva del Lagrangiano se le puede conferir un significado físico aladmitir que dado un sistema cerrado S compuesto de n subsistemas S1; S2; : : : ; Sn quese alejan, en el límite de separación infinita las interacciones mutuas desaparecen y elLagrangiano del sistema global ha de tender a (5.418),

l��mLS = LS1 + LS2 + : : :+ LSn (5.422)

En este límite se fija a cero a la posible derivada total respecto del tiempo que sepuede añadir a (5.418).

En el caso de que se tengan dos sistemas S1 y S2 que interactúan, entonces elLagrangiano del sistema conjunto S = S1 [ S2 puede escribirse como,

LS

��I ;

��I ; t

�= LS1

�q1i1 ;

�q1i1 ; t

�+ LS2

�q2i2 ;

�q2i2 ; t

�+ LInt

��I ;

��I ; t

�(5.423)

donde LInt = LInt

��I ;

��I ; t

�es un término de interacción. En una forma análoga se

tratarían los casos con más de dos sistemas.



5.5.3. Invariancia bajo una transformación de coordenadas

Una propiedad importante de las ecuaciones de Lagrange es que son inva-riantes7, es decir, su forma es la misma en cualquier sistema de referencia. En efecto,si se hace una transformación de las coordenadas generalizadas (incluso habiendodependencia explícita del tiempo) y se escriben las coordenadas qi en términos deunas nuevas coordenadas eqi,

qi = fi (eqj; t) = qi (eqj; t) (5.424)

y se reemplazan por las coordenadas viejas en el Lagrangiano, se obtiene éste en

función de las nuevas coordenadas eL = eL�eqi; �eqi; t�. Es claro que se deben reemplazar

también las velocidades generalizadas por,

�qi =

�Xj=1

@fi@eqj �eqj + @fi

@t(5.425)

que se obtienen derivando con respecto al tiempo t las trasformaciones (5.424).

A las transformaciones del tipo (5.424) se les denominan Transforma-ciones Puntuales o Transformaciones de contacto. Se les denominan asípara distinguirlas de otras de la forma

qi = qi

�eqj; �eqj; t� (5.426)

Como las coordenadas qi y eqi describen el mismo punto físico en el espacio deconfiguración, el valor de L y eL es el mismo en cada instante dado (sólo que expresadoen las nuevas coordenadas). Por lo tanto, al seguir los cálculos realizados en la sección5.2 a partir del Principio de Ostrogradski-Hamilton de para estas nuevas coordenadasdebe resultar que,

d

dt

0@ @eL@�eqj1A� @eL

@eqj = eQ(lig)j + eQNUj , con j = 1; 2; 3; :::; � (5.427)

que tiene la misma forma que las Ecuaciones de Lagrange (5.77) escritas usando lasviejas coordenadas.

7La invariacia se refiere a la propiedad de una cantidad o ley física de no variar bajo ciertas transforma-ciones u operaciones.


5.6. COORDENADAS CÍCLICAS - MOMENTOS GENERALIZADOS Y SU CONSERVACIÓN

Nótese que las nuevas coordenadas podrían ser, por ejemplo, coordenadas del sis-tema mecánico en un sistema de referencia no inercial y, sin embargo, no hay necesi-dad de incluir ninguna fuerza de inercia o algo equivalente. Aquí se ve la ventaja dela formulación variacional sobre el Principio de D’Alembert ya que, si se hubiese usa-do este principio, se habría tenido que calcular la aceleración de cada partícula y eltrabajo virtual de las fuerzas de inercia para poder llegar a (5.427) en un sistema noinercial. Por otro lado, la invariancia de las ecuaciones de Lagrange permite usar lascoordenadas mejor adaptadas al problema, siempre y cuando se pueda expresar elLagrangiano en términos de ellas.

5.6. Coordenadas cíclicas - Momentos Generalizados y suconservación

5.6.1. Coordenadas cíclicas

Una definición importante que se usará más adelante es el de CoordenadaCíclica o Coordenada Ignorable.

Se dice que una coordenada qi de un sistema de partículas es Cíclicao Ignorable si el Lagrangiano L no contiene dicha coordenada de formaexplícita, es decir,

@L

@qi= 0 (5.428)

aunque puede contener la correspondiente velocidad�qi.

5.6.2. Momentos Generalizados

Para tener una idea del origen de estas cantidades físicas considérese, como ejem-plo, un sistema de N partículas bajo la influencia de fuerzas derivables de energías po-tenciales que dependen únicamente de la posición U = U (x; y; z) y libres de ligaduras.El Lagrangiano para este sistema vendrá dado por,

L = T � U = 1

2

NXi=1

3X�=1

mi�x2

i;� �NXi=1

Ui (xi;1; xi;2; xi;3) (5.429)



Entonces la cantidad @L

@�xj;�

(con j = 1; 2; 3; : : : ; N y � = 1; 2; 3) viene dada por,

@L

@�xj;�

=@

@�xj;�

"1

2

NXi=1

3X�=1

mi�x2

i;� �NXi=1

Ui (xi;1; xi;2; xi;3)

#=1

2

NXi=1

3X�=1

mi

@�x2

i;�

@�xj;�

=NXi=1

3X�=1

mi�xi;��ij�� = mj

�xj;� = pj;� (5.430)

que no es más que la componente � del momento lineal de la j-ésima partícula.quees la componente xi del momento lineal.

El resultado (5.429) sugiere una generalización obvia del concepto de momentocomo sigue,

Se define el Momento Generalizado o Momento Canónico Conjugadoa la coordenada qi mediante,

pi =@L

@�qi

, con i = 1; 2; 3; : : : ; � (5.431)

Los momomentos generalizados pi no tienen necesariamente unidades de momen-to lineal, pueden también corresponder a momento angular e incluso a otras canti-dades puesto que las qi pueden no ser coordenadas Cartesianas. Aún más, si el po-tencial depende de las velocidades generalizadas

�qi, incluso si las qi son Cartesianas,

los momentos generalizados no serán idénticos a los momentos mecánicos ordinarios.

Si la coordenada generalizada es la posición lineal, el momento generalizado co-rrespondiente es el momento lineal o cantidad de movimiento. Si la coordenada ge-neralizada es la posición angular, el momento generalizado correspondiente es el mo-mento angular. La introducción de los momentos generalizados permite definir leyesde conservación gracias al Teorema de Noether que será estudiado más adelante enla sección 5.10.

Debido a la definición de momentos generalizados (5.431), las ecuaciones de La-


5.6. COORDENADAS CÍCLICAS - MOMENTOS GENERALIZADOS Y SU CONSERVACIÓN

grange (5.77) pueden ser escritas ahora como,

�pi =

@L@qi+Q

(lig)i +QNU

i !

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

Q(lig)i = 0 �!

(Sin ligaduras

i = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N

Q(lig)i = 0 �!


en forma implícitai = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N �K(h)

Q(lig)i =

K(h)Pl=1

�l@f

(h)l

@qi�!


forma explícita.i = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N

Q(lig)i =

K(nh);K(h)Pl=1

�lAli �!


y semi-holónomas.i = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N

(5.432)

5.6.3. Conservación de los Momentos Generalizados

Los momentos generalizados (5.431) se conservarán si se cumple que,

�pi =

d

dt

@L

@�qi

!= 0) pi = constante (5.433)

entonces, a partir de (5.432) debe cumplirse que,

�pi =

@L

@qi+Q

(lig)i +QNU

i = 0 (5.434)

en consecuencia,

El momento generarizado pi se conservará cuando la correspondientecoordenada qi es cíclica, se anulan la correspondiente fuerza generalizadade ligadura Q

(lig)i y la correspondiente fuerza generalizada no proveniente

de una energía potencial QNUi .

En el caso de los sistemas conservativos QNUi = 0 por lo tanto,



El momento generalizado pi se conservará cuando la correspondientecoordenada qi es cíclica y se anula la correspondiente fuerza generalizadade ligadura Q

(lig)i .

No existiendo fuerzas no provenientes de potenciales, en general:

1. Si la qi para la cual el momento generalizado pi se conserva representa un desplaza-miento en una dirección espacial dada, como consecuencia, la componente delmomento lineal correspondiente a esa dirección se conserva.

2. Si la qi para la cual el momento generalizado pi se conserva representa un ángulo derotación alrededor de un eje determinado, como consecuencia, la componentedel momento angular del sistema correspondiente a ese eje se conserva.

A estas cantidades que se conservan se les denominan Integrales Primeras de Mo-vimiento.

5.7. Integrales Primeras de Movimiento

A veces, las ecuaciones de movimiento podrán ser integrables por medio defunciones conocidas, pero no siempre será este el caso. En realidad, en la mayor partede los casos no son integrables. Sin embargo, aun cuando no puedan obtenerse solu-ciones completas es posible, con frecuencia, inferir abundante información sobre lanaturaleza física del movimiento del sistema. Además tal información entraña, a veces,más interés para el físico que la solución completa que proporcionan las coordenadasgeneralizadas en función del tiempo. Por tanto, es de gran importancia averiguar todolo que es posible decir acerca del movimiento de un sistema dado sin necesidad deintegrar por completo las ecuaciones de movimiento.

Durante el movimiento de un sistema mecánico, las 2� cantidades qi y�qi (i = 1; 2; 3; :::; �)

que especifican el estado del sistema varían con el tiempo. Sin embargo, hay muchosproblemas para los que pueden obtenerse inmediatamente cierto número de fun-ciones de estas cantidades Gk = Gk(qi;

�qi; t), de manera que,

Gk(qi;�qi; t) = constante (5.435)

que son ecuaciones diferenciales de primer orden.


5.7. INTEGRALES PRIMERAS DE MOVIMIENTO

Se denominan Integrales Primeras de Movimiento o simplemente Inte-grales de Movimiento a las funciones Gk(qi;

�qi; t) cuyos valores permanecen

constantes durante el movimiento de un sistema dado, correspondiendo acantidades físicas conservadas que dependen de las condiciones inicialesdel mismo.

El interés de estas integrales primeras radica en que suelen decir algo de ordenfísico sobre el sistema objeto de estudio y pueden usarse en la solución de un problemade varias formas. Por ejemplo:

1. Con estas k funciones se pueden eliminar el mismo número de variables dinámi-cas, velocidades o coordenadas y con esto disminuir el número de variables pordeterminar.

2. También, mediante estas integrales primeras de movimiento se pueden conoceralgunas propiedades dinámicas del sistema sin necesidad de resolver el conjuntode ecuaciones diferenciales de movimiento.

Hay algunas cuya constancia tienen un profundo origen y significado, ligado a laspropiedades fundamentales del espacio y tiempo, es decir, a su homogeneidad eisotropía.

Todas estas magnitudes que, como suele decirse, son conservativas tienen unapropiedad general muy importante:

Son aditivas, es decir, su valor para un sistema formado por varias partes,cuya interacción entre sí es insignificante, será igual a la suma de los valoresde cada una de dichas partes.

Debido a la anterior propiedad es que las integrales primeras de movimiento tienenuna importancia especial en Mecánica. Supóngase, por ejemplo, que dos cuerposinteractúan durante un cierto intervalo de tiempo. Puesto que cada una de las inte-grales aditivas de la totalidad del sistema son ambas, antes y después de la interación,igual a la suma de sus valores para los dos cuerpos separadamente, las leyes de con-servación para estas cantidades hacen inmediatamente posible obtener varias con-clusiones referentes al estado de los cuerpos después de la interacción, si sus estadosantes de la misma son conocidos.



5.8. Integrales Primeras de Movimiento para un sistema ce-rrado

Una propiedad importante de los sistemas cerrados (ver sección 1.3) es que lasecuaciones de evolución temporal, o ecuaciones de movimiento, de dicho sistemasólo dependen de variables y factores contenidos en el sistema. Para un sistema deese tipo, por ejemplo, la elección del origen de tiempos es arbitraria (homogeneidaddel tiempo) y por tanto las ecuaciones de evolución temporal son invariantes respectoa las traslaciones temporales, implicando que la energía total de dicho sistema seconserva como se verá en la sección 5.9. De hecho, un sistema cerrado no puedeintercambiar energía con nada externo a él por estar aislado.

El universo entero considerado como un todo es probablemente el único sistemarealmente cerrado, sin embargo, en la práctica muchos sistemas no completamenteaislados pueden estudiarse como sistemas cerrados con un grado de aproximaciónmuy bueno o casi perfecto.

El número de integrales de movimiento independientes para un sistema mecánicocerrado con s grados de libertad es 2s� 1, lo cual es evidente a partir de los siguientesargumentos simples: La solución general de las ecuaciones de movimiento contienen2s constantes arbitrarias, puesto que,

Las ecuaciones de movimiento para un sistema cerrado no involucranal tiempo de forma explícita.

La elección del origen del tiempo es completamente arbitraria, y una de las cons-tantes arbitrarias en la solución de las ecuaciones de movimiento puede tomarse siem-pre como una constante aditiva to en el tiempo. Eliminado t+ to de las 2s funciones,

qi = qi (t+ to; C1; C2; :::; C2s�1)

se pueden expresar las 2s � 1 constantes arbitrarias C1; C2; :::; C2s�1 como funciones deqi y

�qi, y estas funciones serán integrales de movimiento.

La siguiente tabla muestra tres de las más importantes de estas cantidades con-servadas para el caso de un sistema cerrado: la energía total, el momento lineal y elmomento angular; relacionándolas con las propiedades del el espacio, el tiempo (versección 2.1) y el Lagrangiano.


5.9. TEOREMAS DE CONSERVACIÓN

Característica del sistema inercial Propiedad del Lagrangiano Cantidad conservada

Tiempo homogéneo Función no explícita de t Energía total

Espacio homogéneo Invariante en traslaciones Momento lineal

Espacio isótropo Invariante en rotaciones Momento angular

5.9. Teoremas de conservación

5.9.1. Conservación de la energía

La homogeneidad del tiempo tiene como consecuencia la conservación dela energía en un sistema aislado.

En la formulación de Lagrange es posible demostrar un teorema de conservaciónpara el cual la conservación de la energía total representa sólo un caso especial. Con-sidérese un Lagrangiano general que depende de las coordenadas qi, las velocidades�qi y que podría depender explícitamente también del tiempo L = L

�qi;

�qi; t�

. Entonces,la derivada total de L con respecto del tiempo es,

dL

dt=

�Xj=1

@L

@qj

dqjdt+

�Xj=1

@L

@�qj

d�qjdt+@L

@t(5.436)

pero por las ecuaciones de Lagrange (5.77),

@L

@qj=

d

dt

@L

@�qj

!�Q(lig)j �QNU

j (5.437)

de manera que (5.436) queda escrita como,

dL

dt=

�Xj=1

"d

dt

@L

@�qj

!�Q(lig)j �QNU

j

#�qj +

�Xj=1

@L

@�qj

��q j +

@L

@t

=

�Xj=1

d

dt

�qj@L

@�qj

!+@L

@t�

�Xj=1

�Q(lig)j +QNU

j

��qj

o,d

dt

�Xj=1

�qj@L

@�qj� L

!+@L

@t�

�Xj=1

�Q(lig)j +QNU

j

��qj = 0 (5.438)

A la cantidad entre paréntesis es, en muchos casos, llamada Función de Energía h

de manera que,

h�qj;

�qj; t

�=

�Xj=1

�qj@L

@�qj� L (5.439)



entonces (5.438) se puede ahora escribir como,

dh

dt= �@L

@t+

�Xj=1

�Q(lig)j +QNU

j

��qj (5.440)

Ahora, supóngase que se tiene un sistema holónomo donde las ligaduras son us-adas en forma implícitaQ

(lig)j = 0 y donde no hay presencia de fuerzas que no provienen

de una función de energía potencial QNUj = 0. Si el Lagrangiano no depende explíci-

tamente del tiempo (consecuencia de la homogeneidad del tiempo en un sistemaaislado o cerrado) sino que depende sólo de manera implícita mediante la variacióncon respecto al tiempo de las qi y las

�qi, entonces la expresión (5.440) resulta en,

dh

dt= 0) h =constante

indicando que h se conserva, es decir, que es una integral primera de movimiento.

A un sistema cuyo Lagrangiano no depende explícitamente del tiempose le da el nombre de Sistema Autónomo.

Bajo ciertas circunstancias, la función h es la energía total del sistema. Para determi-nar cuáles son estas circunstancias, recuérdese (sección 2.8.5) que la energía cinéticatotal de un sistema puede escribirse siempre como,

T = To + T1 + T2 (5.441)

donde To = To (qi) es una función sólo de las coordenadas generalizadas, T1 = T1

�qi;

�qi

�es lineal con respecto a las velocidades generalizadas

�qi y T2 = T2

�qi;

�qi

�es una función

cuadrática de las�qi.

Para un amplio rango de sistemas y conjuntos de coordenadas generalizadas, elLagrangiano puede ser separado de forma semejante con respecto a su compor-tamiento funcional en relación a las

�qi,

L�qi;

�qi; t�= Lo (qi; t) + L1

�qi;

�qi; t�+ L2

�qi;

�qi; t�

(5.442)

donde L2 es una función homogénea de segundo grado (no meramente cuadráti-ca) respecto a las

�qi, mientras que L1 es una función homogénea de primer grado

respecto a las�qi. No existe una razón intrínseca en la Mecánica que requiera que el

Lagrangiano se ajuste a (5.442) pero, de hecho, lo hace para la mayoría de los pro-blemas de interés. Claramente el Lagrangiano tiene esta forma cuando las fuerzas



pueden ser derivables a partir de potenciales que no involucren las velocidades. In-cluso, con potenciales dependientes de las velocidades, se nota que el Lagrangianopara una partícula cargada en un campo electromagnético satisface (5.442).

Si se sustituye (5.442) en (5.439) resulta,

h =

�Xj=1

�qj

@

@�qj(Lo + L1 + L2)� (Lo + L1 + L2)

=

�Xj=1

�qj@L1

@�qj+

�Xj=1

�qj@L2

@�qj� Lo � L1 � L2

ahora, al aplicar el Teorema de Euler visto al final de la sección 2.8.5 resulta,

h = L1 + 2L2 � Lo � L1 � L2 = L2 � Lo (5.443)

Por otro lado, si el sistema es natural, es decir, si las ecuaciones de transforma-ción (2.58) que definen las coordenadas generalizadas no involucran explícitamenteel tiempo entonces, a partir de (2.81) resulta,

T = T2 (5.444)

y si, además, el potencial no depende de las velocidades generalizadas�qi se tiene

que8,L2 = T , Lo = �U (5.445)

Por último, al sustituir el resultado anterior en (5.443) resulta,

h = T + U = E (5.446)

y así la función de energía h es en verdad la energía del sistema. Bajo estas circuns-tancias, si U no involucra explícitamente al tiempo, tampoco lo hará L. De aquí que,debido a (5.440), h será conservada.

Nótese que las condiciones para la conservación de h son, en principio, bastantedistintas de aquellas que identifican h como la energía total. Se puede tener un con-junto de coordenadas generalizadas tal que, en un problema en particular, h se con-serve pero no sea la energía total. Por otro lado, h puede ser la energía total, en la

8L en (??) tiene que ser igual a T � U , es decir, Lo + L1 + L2 = T � U . Observemos que el único términodependiente sólo de las coordenadas generalizadas es Lo, por lo que puede ser identificado con �Uya que tiene la misma dependencia. El resto L1+L2 tiene que ser igual a T = T2, pero como T2 debe seruna función homogénea de segundo orden respecto a las velocidades generalizadas entonces, L1 = 0por lo que T = L2.



forma T + U , y no conservarse. Nótese también que mientras que el Lagrangiano estádefinido para cada sistema en la forma única,

L = T � U

independientemente de las coordenadas generalizadas, la función de energía h de-pende en magnitud y forma funcional de un conjunto específico de coordenadasgeneralizadas. Para un mismo sistema, se pueden generar varias funciones de energíade diferente contenido físico dependiendo de como sean elegidas las coordenadasgeneralizadas.

El caso más común es aquél en que todos los términos de energía cinética son de

la forma 12m�q2

i o�p2

i

2my la energía potencial depende sólo de las coordenadas qi En estas

condiciones, la función de energía es conservada y es también la energía total.

5.9.2. Conservación del momento lineal y angular

Supóngase que para una determinada coordenada generalizada qj se anulanla correspondiente fuerza generalizada de ligadura Q

(lig)j y la correspondiente fuerza

generalizada no proveniente de una energía potencial QNUj . Entonces, a partir de las

ecuaciones de Lagrange (5.432) se tiene que,

�pj =

@L

@qj= 0 (5.447)

que es justamente la definición de Coordenada Cíclica (5.428), por lo tanto, de in-mediato se puede establecer el siguiente teorema de conservación general,

El momento generalizado conjugado a una coordenada cíclica o igno-rable qj se conserva,

pj =@L

@�qj= constante (5.448)

La expresión (5.448) constituye una primera integral de movimiento de la forma(5.435) y puede ser usada formalmente para eliminar la coordenada cíclica del pro-blema, el cual puede ser resuelto completamente en términos de las coordenadasgeneralizadas restantes. En breves palabras, el procedimiento (debido a Routh) con-siste en modificar el Lagrangiano de modo que en vez de ser función de la velocidadgeneralizada correspondiente a la coordenada cíclica, lo sea sólo de su momentoconjugado. La ventaja que se obtiene es la posibilidad de considerar pj como una de



las constantes de integración, con lo que las integraciones restantes dependen sólode coordenadas no cíclicas.

Téngase presente que las condiciones para que se conserven los momentos gene-ralizados son más generales que los teoremas de conservación del momento lineal ymomento angular estudiados en Mecánica Newtoniana. Con suposiciones como: lahomogeneidad e isotropía del espacio, la expresión (5.448) se reduce a dichos teore-mas como se verá inmediatamente.

Conservación del momento lineal

La homogeneidad del espacio da lugar a otro teorema de conservación, eldel momento lineal. Debido a dicha homogeneidad, las propiedades mecánicas deun sistema aislado no deben variar si dicho sistema, en su conjunto, experimenta undesplazamiento paralelo (traslación) en el espacio.

Considérese una coordenada qj, en la que un cambio dqj represente una traslacióndel sistema en conjunto en una dirección dada. Un ejemplo de este caso podría seruna de las coordenadas Cartesianas del centro de masa del sistema.

Es claro que qj no aparecerá en T , pues las velocidades no se alteran al trasladarel origen y @T

@qj= 0 (homogeneidad del espacio). Se supondrá, además, que se trata

de sistemas (QNUj = 0) conservativos en los que U no depende de las velocidades, con

lo que se eliminarán anomalías tales como las fuerzas electromagnéticas y que la co-rrespondiente fuerza generalizada de ligadura Q

(lig)j es nula. Por tanto, las ecuaciones

de Lagrange (5.77) para una coordenada definida de esta forma serán,

d

dt

@L

@�qj

!� @L

@qj|{z}=�pjpor (5.432)

= 0

d

dt

@L

@�qj

!=

�pj

d

dt

"@ (T � U)

@�qj

#=

�pj

o,�pj = �

@U

@qj= QU

j|{z}por (2.77)

(5.449)

Ya establecidas las consideraciones adecuadas, se demostrará ahora ahora que:



1. La expresión (5.449) es la ecuación de movimiento para el momento lineal total, esdecir, que Qj representa la componente de la fuerza total a lo largo de la direcciónde traslación qj,

2. pj es la componente del momento lineal total en la misma dirección.

Figura (5.22): Cambio del vector de posición debido una traslación del sistema.

En general, la fuerza generalizada Qj, como se vio en la sección 2.8.4 expresión(2.74), viene dada por,

QUj =

NXi=1

��!F Ui �

@�!r i@qj

�pero como dqj corresponde a una traslación del sistema a lo largo de cierto eje, losvectores �!r i (qj) y �!r i (qj + dqj) están relacionados como se puede ver en la figura 5.22.Por definición de derivada,

@�!r i@qj

= L�{mdqj�!0

�!r i (qj + dqj)��!r i (qj)dqj

=dqjdqjbn = bn (5.450)

donde bn es un versor en la dirección de traslación. Así,

QUj =

NXi=1

�!F Ui

!� bn = bn � �!F

que es la componente de la fuerza total en la dirección bn.

Para probar la segunda parte, téngase en cuenta que con una energía cinéticade la forma,

T =1

2mj

�r2

j =1

2mj

��!r j ��!r j



el momento conjugado es,

pj =@L

@�qj=@ (T � U)

@�qj

=NXi=1

mi

��!r i �@��!r i

@�qj=

NXi=1

mi�!v i �

@�!r i@qj| {z }

Por supresión de puntos

que debido a (5.450) se convierte en,

pj = bn � NXi=1

mi�!v i = bn � �!p (5.451)

representando la componente del momento lineal total del sistema en la direccióndel versor bn.

Si se supone ahora que la coordenada de traslación qj es cíclica, qj no apareceráen L (y por ende tampoco en U) y, por tanto, a partir de (5.449) resulta,

�pj = QU

j = 0 (5.452)

que es precisamente el conocido teorema de conservación del momento lineal en laMecánica Newtoniana cuyo enunciado afirma que,

Si es nula una componente de la fuerza total aplicada, se conserva lacorrespondiente componente del momento lineal.

Conservación del momento angular

La isotropía del espacio da lugar a otro teorema de conservación, el del mo-mento angular. Debido a la isotropía del espacio, un sistema aislado sometido a uncambio de orientación no debería variar su comportamiento dinámico.

Procediendo de modo análogo a lo realizado para la conservación del momentolineal, se puede demostrar que si una coordenada cíclica qj es tal que dqj correspondea un giro del sistema alrededor de cierto eje, la conservación de su momento conju-gado corresponde a la conservación de un momento angular.

Por el mismo razonamiento utilizado anteriormente, qj no puede estar contenida enT , pues las magnitudes de las velocidades no se alteran al girar el sistema de refer-encia (isotorpía del espacio). Por tanto @T

@qj= 0, y como U es independiente de

�qj, se

encuentra nuevamente la expresión (5.449). Se probará ahora que:



Figura (5.23): Variación del vector de posición al rotar.

1. si qj es una coordenada de rotación, la fuerza generalizada (5.449) es la compo-nente del par resultante aplicado alrededor del eje de rotación,

2. pj es la componente del momento angular total respecto al mismo eje.

La fuerza generalizada está dada de nuevo por,

QUj =

NXi=1

��!F Ui �

@�!r i@qj

�teniendo la derivada ahora un significado diferente. En este caso el cambio de qj hade corresponder a un giro infinitesimal del vector �!r i, que deje inalterado su módulo.El módulo de la derivada se obtiene fácilmente a partir de la figura (5.23),

jd�!r ij = ri Sen �dqj

y ��@�!r i@qj

�� = ri Sen �

y su dirección es perpendicular a �!r i y a bn. Esta derivada se expresa también comoproducto vectorial como sigue,

@�!r i@qj

= bn��!r ide manera que la fuerza generalizada se convierte en,

QUj =

NXi=1

�!F Ui � (bn��!r i) = NX

i=1

bn � ��!r i ��!F Ui

�SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 456

5.10. TEOREMA DE NOETHER

o

QUj = bn � NX

i=1

�!N i = bn � �!N (5.453)

lo que prueba la primera parte.

Ahora, para demostrar la segunda parte,

pj =@L

@�qj=@ (T � U)

@�qj

=

NXi=1

mi�!v i �

@�!r i@qj

=

NXi=1

bn � �!r i �mi�!v i

= bn � NXi=1

�!L i = bn � �!L (5.454)

Si se supone ahora que la coordenada de rotación qj es cíclica, qj no apareceráen L (y por ende tampoco en U) y, por tanto,

� @U

@qj= QU

j = 0 (5.455)

que es precisamente el conocido teorema de conservación del momento angular enla Mecánica Newtoniana cuyo enunciado afirma que,

Si es nula una componente del torque aplicado en una dirección deter-minada, la componente del momento angular en la misma dirección seráconstante.

5.10. Teorema de Noether

En esta sección se supondrá que se cumplen las ecuaciones de Lagrange (5.77)con Q

(lig)j y QNU

j nulos.

5.10.1. Forma simplificada

El Teorema de Noether9 es un resultado central en Física Teórica. Este teoremaexpresa que cualquier simetría diferenciable, proveniente de un sistema físico, tiene su

9Amalie Emmy Noether (Erlangen, Baviera, Alemania, 23 de marzo de 1882 – Bryn Mawr, Pensilvania,Estados Unidos, 14 de abril de 1935) fue una matemática, alemana de nacimiento, conocida por suscontribuciones de fundamental importancia en los campos de la Física Teórica y el Algebra Abstracta.Considerada por David Hilbert, Albert Einstein y otros personajes como la mujer más importante en lahistoria de las matemáticas, revolucionó las teorías de anillos, cuerpos y álgebras. En física, el teoremade Noether explica la conexión fundamental entre la simetría en física y las leyes de conservación.



correspondiente ley de conservación. Además de permitir aplicaciones físicas prác-ticas, este teorema constituye una explicación del por qué existen leyes de conser-vación y magnitudes físicas que no cambian a lo largo de la evolución temporal deun sistema físico.

Considérense las transformaciones continuas de las coordenadas generalizadasdependientes de un parámetro real �,

eqi = fi (eqj; t; �) = eqi (qj; t; �) (5.456)

donde � puede variarse continuamente partiendo de un valor �o, tal que cuando � =

�o ! fi = eqi = qi. De esta manera se puede pensar que las coordenadas generalizadasson transformadas desde sus valores originales en forma continua al variar �.

El Teorema de Noether dice que,

Si el Lagrangiano de un sistema L = L�qi;

�qi; t�

es invariante bajo la trans-formación (5.456),

eL �eqi (qi; t; �) ; �eqi ��qi; t; �� ; t� = L�qi;

�qi; t�

indicando que no hay dependencia de �, entonces se tiene una cantidad I

conservada, o integral primera de movimiento, asociada con dicha simetríapor cada parámetro � de la transformación.

Estas cantidades pueden ser encontradas derivando cada coordenada nueva conrespecto al parámetro de la transformación en la vecindad inmediata de la transfor-mación identidad, multiplicándolas por el momento conjugado y sumando sobre losgrados de libertad,

Ii =

sXj=1

pjdeqjd�i

��i=�o

= constante (5.457)

donde los pj son los momentos generalizados o momentos conjugados. En el caso derotaciones espaciales (s = 3), las cantidades conservadas I1, I2 e I3 corresponden alas componentes Lx, Ly y Lz del momento angular

�!L .

A partir de las transformaciones (5.456) se encuentra que las transformaciones delas velocidades generalizadas vienen dadas por,

�eqi = �fi =

sXj=1

@fi@qj

�qj +

@fi@t

(5.458)



por lo que al reemplazarlas en el Lagrangiano eL = eL�eqi; �eqi; t� y evaluando en � = �o

se obtiene L = L�qi;

�qi; t�

que coincide con el Lagrangiano original.

Demostración: considérese ahora una variación infinitesimal �� en el entorno de� = �o que (a valores fijos de las qi) induce una variación infinitesimal en el Lagrangiano.Esta variación es posible escribirla como,

�eL �eqi (qi; t; �) ; �eqi ��qi; t; �� ; t� = sXi=1

0@@eL@eqi @eqi@�

+@L

@�eqi@�eqi@�

1A ��

que al evaluarla en � = �o queda como,

�L =sXi=1

0@@L

@qi

@eqi@�

+@L

@�qi

@�eqi@�

1A��=�o

�� (5.459)

donde se ha hecho eL = L, eqi = qi y�eqi = �

qi puesto que la evaluación de la suma sehace en � = �o. Nótese que el Lagrangiano eL varía, en general, al variar � porque laseqi varían como lo indican las transformaciones (5.456), aun manteniendo fijas las qi.

El segundo término en el argumento de la sumatoria de (5.459) puede ser escritocomo,

@L

@�qi

@�eqi@�

=d

dt

@L

@�qi

@eqi@�

!� d

dt

@L

@�qi

!@eqi@�

(5.460)

por lo tanto, al sustituir este resultado en (5.459) se obtiene,

�L =sXi=1

"@L

@qi

@eqi@�

+d

dt

@L

@�qi

@eqi@�

!� d

dt

@L

@�qi

!@eqi@�

#��=�o

��

=

sXi=1

266664"@L

@qi� d

dt

@L

@�qi

!#| {z }

=0 por (5.77)

@eqi@�

+d

dt

@L

@�qi

@eqi@�

!377775��=�o

��

=d

dt

sXi=1

@L

@�qi

@eqi@�

��=�o

!�� (5.461)

De esta expresión se obtiene un resultado de enorme importancia: si para algunatransformación continua de la forma (??) el Lagrangiano es invariante �L = 0 entoncesla magnitud,

I =

sXi=1

@L

@�qi

@eqi@�

��=�o

(5.462)



es una constante de movimiento o primera integral de movimiento. Además, tenien-do presente en esta expresión la definición de los momentos generalizados (5.431) yescribiéndola para el i-ésimo parámetro �,

Ii =sXj=1

pjdeqjd�i

��i=�o

= constante

que es la expresión (5.457) demostrándose así el teorema.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.23Encontrar las cantidades conservadas para un sistema cuyo La-

grangiano es L = L��qi

�, bajo las transformaciones eqi = qi + �ai (el Lagrangiano dado

es obviamente invariante bajo estas transformaciones), donde las ai son constantesarbitrarias.

SOLUCION: nótese que para � = 0 la transformación dada se convierte en la trans-formación identidad. De (5.457) y teniendo presente que para este caso i = 1 ya quehay un único parámetro � (por lo que se omite el índice),

I =sXj=1

pjdeqjd�

��=0

=sXj=1

pjd

d�(qj + �aj)

��=0

=sXj=1

pjaj = constante

y como los ai son arbitrarios, deben conservarse independientemente todos los mo-mentos generalizados,

pj =@L

@�qj

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.24Encontrar las cantidades conservadas para un sistema cuyo La-

grangiano es L = L�qi;

�qi

�si éste no depende de una de las coordenadas generaliza-

das, qk por ejemplo, o sea que es invariante bajo las transformaciones eqi = qi + ��ik (�ikes la delta de Kronecker).

SOLUCION: nótese que para � = 0 la transformación dada se convierte en la trans-formación identidad. De (5.457) y teniendo presente que para este caso i = 1 ya que



hay un único parámetro � (por lo que se omite el índice),

I =sXj=1

pjdeqjd�

��=0

=

sXj=1

pjd

d�(qj + ��jk)

��=0

=sXj=1

pj�jk = pk = constante

conservándose así el momento conjugado a la coordenada qk que no aparece en elLagrangiano, resultado que ya se conocía de la sección 5.9.2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.25Encontrar la cantidad conservada si el Lagrangiano del sistema

L = L

��!r ;

��!r�

es invariante bajo una rotación infinitesimal �!r 0 = �!r + d�bn��!r .

SOLUCION: nótese que para � = 0 la transformación dada se convierte en la trans-formación identidad. De (5.457) y teniendo presente que para este caso i = 1 ya quehay un único parámetro � (por lo que se omite el índice) y que existe un único gradode libertad s = 1,

I =1Xj=1

pjdeqjd�

��=0

= p1deq1d�

��=0

= prd�!r 0d�

��=0

= �!p r �d

d�[�!r + d� (bn��!r )]��

�=0

= �!p r � bn��!r = �!r ��!p r � bn = �!L � bn = constante

conservándose así la componente bn del momento angular, como se había visto en lasección 5.9.2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.26Considérese el Lagrangiano,

L =1

2m��r2+ r2

�'2�� U (r)

Muestre que: (a) es invariante bajo la transformaciones er (�) = r y e' (�) = ' + �. (b)Utilizando el Teorema de Noether, encontrar la cantidad conservada.

SOLUCION: el sistema tiene dos coordenadas generalizadas r y ', por lo tanto tienes = 2 grados de libertad. Nótese que para � = 0 las transformaciones dadas se con-vierten en la transformación identidad.



(a) Al sustituir las transformaciones en el Lagrangiano dado,

eL =1

2m

��er2 + er2 �e'2�� U (er)

eL =1

2m

(�r2+ r2

�d

dt('+ �)

�2)� U (r)

=1

2mn�r2+ r2

�'2o� U (r)

que es el Lagrangiano dado.

(b) De (5.457),

I =s=2Xj=1

pjdeqjd�

��=0

=

s=2Xj=1

@L

@�qj

deqjd�

��=0

=@L

@�r

derd�

��=0

+@L

@�'

d'

d�

��=0

=@

@�r

�1

2m��r2+ r2

�'2�� U (r)

�dr

d�

��=0

+@

@�'

�1

2m��r2+ r2

�'2�� U (r)

�d

d�('+ �)

��=0

= mr2�' = constante

que es la cantidad conservada pedida.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 5.27Considérese el Lagrangiano,

L =1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2�� U (r; a'+ z)

Muestre que: (a) es invariante bajo la transformaciones er (�) = r, e' (�) = ' + � y ez (�) =z � �a. (b) Utilizando el Teorema de Noether, encontrar la cantidad conservada.

SOLUCION: el sistema tiene tres coordenadas generalizadas r, ' y z, por lo tantotiene s = 3 grados de libertad. Nótese que para � = 0 las transformaciones dadas seconvierten en la transformación identidad.

(a) Al sustituir las transformaciones en el Lagrangiano dado,

eL =1

2m

��er2 + er2 �e'2 + �ez2�� U (er; ae'+ ez)

=1

2m

(�r2+ r2

�d

dt('+ �)

�2+

�d

dt(z � �a)

�2)� U [r; a ('+ �) + z � �a]

=1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2�� U (r; a'+ z)



que es el Lagrangiano dado.

(b) De (5.457),

I =s=3Xj=1

pjdeqjd�

��=0

=s=2Xj=1

@L

@�qj

deqjd�

��=0

=@L

@�r

derd�

��=0

+@L

@�'

d'

d�

��=0

+@L

@�z

dz

d�

��=0

=@L

@�r

�1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2�� U (r; a'+ z)

�dr

d�

��=0

+@

@�'

�1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2�� U (r; a'+ z)

�d

d�('+ �)

��=0

+@

@�z

�1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2�� U (r; a'+ z)

�d

d�(z � �a)

��=0

= m�r2

�'� a�z

�= constante

que es la cantidad conservada pedida.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.10.2. Forma más general

En esta sección se presentará una forma más general del Teorema de Noether.El detalle está en que la invariancia del Lagrangiano es, a veces, una condición muyrestrictiva. De hecho, un sistema mecánico poseerá una u otra simetría si las ecua-ciones de movimiento la tienen, para lo cual basta que la acción sea invariante aunqueel Lagrangiano no lo sea (la inversa no es cierta por la posibilidad de las transforma-ciones de Gauge).

Además, para generalizar aún más el tipo de transformación, permítase que seefectúe una transformación continua a la variable de integración de la acción, estoes, del tiempo t de la forma,

et = fo (qi; t; �) = et (qi; t; �) (5.463)

tal que para � = �o ! fo = et = t y que las coordenadas se transformen como,

eqi = fi (qi; t; �) = eqi (qi; t; �) (5.464)



Ahora se verá cómo se altera la acción por un cambio infinitesimal �� en el entornode � = �o, de manera que, et = t+ �o��eqi = qi + �i��

)(5.465)

donde,�o (qi; t) =

@fo@�

��=�o

= @et@�

��=�o

�i (qi; t) =@fi@�

��=�o

= eqi@�

��=�o

9=; (5.466)

en las que, por estar considerándose sólo términos hasta el primer orden en ��, susargumentos se han tomado como los qi y t (en lugar de los eqi y et).

Debe tenerse cuidado con las velocidades transformadas ya que éstas son deri-vadas de las eqirespecto a et (y no de t), por lo que es posible encontrar a partir de(5.465),

�eqi = deqidet = deqi

dt

dt

det =�qi +

��i��

1 +��o��

=

��qi +

��i��

��1 +

��o��

��1(5.467)

que al usar el desarrollo (1 + x)�1 ' 1� x se puede escribir como,

�eqi ' ��qi + ��i��

��1�

��o��

�' �qi +

��i �

��o�qi

�� (5.468)

donde se han dejado sólo los términos hasta el primer orden en ��.

Por otro lado, la acción transformada se escribe en general,

eS = Z et2et1eL�eqj; �eqj;et� det (5.469)

en la que los límites de integración et1 y et2 son los que corresponden a t1 y t2 en lasvariables originales. De esta manera, debido al cambio infinitesimal de coordenadas,se induce un cambio infinitesimal en la acción dado por,

�S = eS � S = Z et2et1eL�eqi; �eqi;et� det� Z t2

t1

L�qi;

�qi; t�dt (5.470)

Usando el desarrollo de Taylor para una función de tres variables hasta el primerorden en torno a (a; b; c) dada por,

f (x; y; z) ' f(a; b; c) +@f

@x

��(a;b;c)

(x� a) + @f

@y

��(a;b;c)

(y � b) + @f

@z

��(a;b;c)

(z � c) (5.471)



el desarrollo del Lagrangiano eL�eqi; �eqi; t� hasta el primer orden respecto a �� en el

entorno de � = �o con,

a = eqi��=�o

= qi b =�eqi��

�=�o

=�qi b = et��

�=�o= t (5.472)

vendrá dado por,

eL�eqi; �eqi; t� ' eL�qi; �qi; t�+ sXi=1

@eL@eqi��(qi;

�qi;t)

(eqi � qi) + sXi=1

@eL@�eqi��(qi;

�qi;t)

��eqi � �

qi

�

+@eL@et��(qi;

�qi;t)

�et� t� (5.473)

Ahora, al sustituir las transformaciones (5.465) y (5.468) en (5.473) resulta,

eL�eqi; �eqi; t� ' L+

(sXi=1

"�i@L

@qi+

��i �

��o�qi

�@L

@�qi

#+ �o

@L

@t

)| {z }

=�L

�� (5.474)

y como,

�L =

24 sXi=1

0@@L

@qi

@eqi@�

+@L

@�qi

@�eqi@�

1A+ @L

@t

@et@�

35 ��entonces, eL ' L+ �L (5.475)

teniendo presente ahora este resultado y que a partir de la primera de las transfor-maciones (5.465),

det = �1 + ��o��

�dt (5.476)

la variación de la acción (5.470) se puede reescribir hasta el primer orden en �� (loslímites de integración han vuelto a ser t1 y t2 porque la integración es en la variable t),

�S =

Z t2

t1

(L+ �L)

�1 +

��o��

�dt�

Z t2

t1

Ldt =

Z t2

t1

��L+ L

��o��

�dt (5.477)

La tarea siguiente es integrar (5.477). En efecto, al sustituir �L de (5.474) en (5.477)



resulta,

�S = ��

Z t2

t1

(sXi=1

"�i@L

@qi+

��i �

��o�qi

�@L

@�qi

#+ �o

@L

@t+ L

��o

)dt

= ��

sXi=1

Z t2

t1

�i@L

@qidt+ ��

Z t2

t1

�o@L

@tdt+ ��

sXi=1

Z t2

t1

��i@L

@�qidt| {z }

A

��sXi=1

Z t2

t1

��o�qi@L

@�qidt| {z }

B

+ ��

Z t2

t1

L��odt| {z }

C

(5.478)

Integral A: al integrar por partes con10,

u = @L

@�qi) du = d

�@L

@�qi

�dv =

��idt) v = �i

resulta,

A =

Z t2

t1

��i@L

@�qidt = �i

@L

@�qi

��t2

t1

�Z t2

t1

�id

@L

@�qi

!= �i

@L

@�qi

��t2

t1

�Z t2

t1

�id

dt

@L

@�qi

!dt (5.479)

Integral B: al integrar por partes con,

u =�qi@L

@�qi) du = @L

@�qid�qi +

�qid�@L

@�qi

�dv =

��odt) v = �o

resulta,

B =

Z t2

t1

��o�qi@L

@�qidt = �o

�qi@L

@�qi

��t2

t1

�Z t2

t1

�o

"@L

@�qid�qi +

�qid

@L

@�qi

!#

= �o�qi@L

@�qi

��t2

t1

�Z t2

t1

�o

"@L

@�qi

d�qidtdt+

�qid

dt

@L

@�qi

!dt

#

= �o�qi@L

@�qi

��t2

t1

�Z t2

t1

�o

"��q i@L

@�qi+

�qid

dt

@L

@�qi

!#dt (5.480)

Integral C: al integrar por partes con,

u = L) du = dL dv =��odt) v = �o

10Rudv = uv �

Rvdu



resulta,

C =

Z t2

t1

L��odt = �oL

��t2t1

�Z t2

t1

�odL = �oL

��t2t1

�Z t2

t1

�o�Ldt

= �oL

��t2t1

�Z t2

t1

�o

"sXi=1

@L

@qi

�qi +

@L

@�qi

d�qidt

!+@L

@t

#| {z }�L= d

dtL�qi;

�qi;t�

por regla de la cadena

dt

= �oL

��t2t1

�sXi=1

Z t2

t1

�o

@L

@qi

�qi +

@L

@�qi

��q i

!dt�

Z t2

t1

�o@L

@tdt (5.481)

Ahora, al sustituir los resultados (5.479), (5.480) y (5.481) en (5.478) resulta,

�S = ��sXi=1

Z t2

t1

�i@L

@qidt+ ��

Z t2

t1

�o@L

@tdt+ ��

sXi=1

�i@L

@�qi

��t2

t1

�sXi=1

Z t2

t1

�id

dt

@L

@�qi

!dt

��osXi=1

�qi@L

@�qi

��t2

t1

+ ��sXi=1

Z t2

t1

�o

"��q i@L

@�qi+

�qid

dt

@L

@�qi

!#dt

+�� oL

��t2t1

� ��sXi=1

Z t2

t1

�o

@L

@qi

�qi +

@L

@�qi

��q i

!dt� ��

Z t2

t1

�o@L

@tdt

= ��

"sXi=1

�i@L

@�qi� �o

�qi@L

@�qi

!+ �oL

��t2

t1

#+ ��

sXi=1

8>>>><>>>>:�iZ t2

t1

"@L

@qi� d

dt

@L

@�qi

!#| {z }

=0 por (5.77)

dt

9>>>>=>>>>;+��o

sXi=1

Z t2

t1

8>>>><>>>>:��q i@L

@�qi+

�qi

"d

dt

@L

@�qi

!� @L

@qi

#| {z }

=0 por (5.77)

� @L

@�qi

��q i

9>>>>=>>>>; dt

= ��

"sXi=1

�i@L

@�qi� �o

�qi@L

@�qi

!+ �oL

��t2

t1

#

de aquí que,

�S = ��"

sXi=1

@L

@�qi

�qi � L

!�o +

sXi=1

@L

@�qi�i

#��t2

t1

(5.482)

Como se sabe, la S acción es invariante ante la transformación (�S = 0) y en con-secuencia el término entre corchetes debe tener el mismo valor en t1 y en t2, es decir,



debe ser constante ya que t1 y t2 son arbitrarios. De esta manera se obtiene una cons-tante de movimiento o integral primera de movimiento dada por,

I =

sXi=1

@L

@�qi

�qi � L

!@et@�

��=�o| {z }

por (5.466)

+sXi=1

@L

@�qi

eqi@�

��=�o| {z }

por (5.466)

= constante

y para el i-ésimo parámetro �,

Ii =

sXj=1

@L

@�qj

�qj � L

!@et@�i

��i=�o

+sXj=1

@L

@�qj

eqj@�i

��i=�o

= constante (5.483)

que es el Teorema de Noether en una forma más general.

Nótese que si no se hace ningún cambio en t, con lo que la invariancia de S equiv-ale a la de L, se tiene �o =

@et@�i

��=�o

= 0 y se reobtiene la (5.457). Si no se hacen cambios

de las coordenadas (es decir �i = eqi@�

��=�o

= 0) y la acción no varía ante una traslación

temporal et = t+ � (lo que requiere que L no dependa de t), entonces �o = @et@�i

��=�o

= 1

y resulta la constancia de la energía,

E =sXi=1

pi�qi � L

Sin embargo, en forma mucho más general la acción puede ser invariante antetransformaciones combinadas de las coordenadas y del tiempo, en cuyo caso la utili-dad de (5.483) es enorme importancia.

Una versión más completa del Teorema de Noether involucra directamente la in-variancia de las ecuaciones de movimiento mismas, lo que implica que la acción eSdifiere de la S por sólo una Transformación de Gauge. El cambio infinitesimal de la ac-

ción será entonces �S = "G (qi; t)

��t2t1

, con G una función explícita de las coordenadas y

el tiempo. Ahora, usando (5.483) y haciendo " = ��, ya que cualquier diferencia puedeabsorberse en la definición de la función G (qi; t),

I =

sXi=1

@L

@�qi

�qi � L

!�o +

sXi=1

@L

@�qi�i +G = constante (5.484)


5.11. MECÁNICA LAGRANGIANA VS LA NEWTONIANA

5.11. Mecánica Lagrangiana vs la Newtoniana

Históricamente, las ecuaciones de movimiento de Lagrange expresadas en co-ordenadas generalizadas fueron derivadas antes de que el principio de Hamilton fueseenunciado.11

La Mecánica Lagrangiana no constituye una nueva teoría. Los resultados de unanálisis Lagrangiano o uno Newtoniano deberían ser los mismos para cualquier sistemamecánico dado. La única diferencia es el método usado para obtener los dichos re-sultados.

Mientras que el punto de vista Newtoniano enfatiza un agente externo que actúasobre un cuerpo (la fuerza), el método Lagrangiano utiliza sólo cantidades asociadascon el cuerpo (las energía cinética y potencial). De hecho, en ningún lugar de laformulación Lagrangiana entra el concepto de fuerza. Debido a que la energía esun escalar, la función Lagrangiana para un determinado sistema es invariante bajotrasformaciones de coordenadas. En verdad, tales transformaciones no están restrin-gidas a que se den entre sistemas de coordenadas ortogonales, también pueden sertransformaciones entre coordenadas ordinarias y coordenadas generalizadas. De estamanera, es posible pasar del espacio ordinario (donde las ecuaciones de movimien-to pueden ser bastante complicadas) a un espacio de configuración que puede serescogido de tal forma que rinda la máxima simplificación para un problema en par-ticular. Se está acostumbrado a estudiar los sistemas mecánicos en términos de canti-dades vectoriales tales como la fuerza, la velocidad, el momento angular, el momentolineal y el torque. Pero en la formulación Lagrangiana, las ecuaciones de movimientoson obtenidas completamente en términos de operaciones escalares en el espaciode configuración.

Otro aspecto importante del punto de vista fuerza-versus-energía es que en ciertassituaciones incluso puede no ser posible establecer explícitamente todas las fuerzasactuantes sobre un cuerpo (como es algunas veces el caso de las fuerzas de ligadura),mientras que es aún posible dar expresiones para las energía cinética y potencial.Justamente este hecho es el que hace que el principio de Hamilton sea útil para lossistemas mecánico-cuánticos donde normalmente se conocen las energías pero nolas fuerzas.

Se ha mostrado que la naturaleza diferencial contenida en las ecuaciones de New-ton y la naturaleza integral del principio de Hamilton (y las ecuaciones Lagrangianas

11En 1788 las ecuaciones de Lagrange y en 1834 el principio de Hamilton.



resultantes) son completamente equivalentes. Por lo tanto, no existe distinción entreestos puntos de vista, los cuales están basados en la descripción de los efectos físicos.Pero desde el punto de vista filosófico, se puede hacer una diferencia. En la formu-lación Newtoniana, cierta fuerza sobre un cuerpo produce un movimiento definido, esdecir, siempre se asocia un efecto con una causa. Sin embargo, de acuerdo con elprincipio de Hamilton el movimiento de un cuerpo resulta del intento de la naturalezade lograr cierto propósito, el cual es minimizar la integral temporal de la diferenciaentre las energías cinética y potencial. La solución operacional de los problemas enla Mecánica no depende de la adopción de uno u otro de estos puntos de vista,pero históricamente tales consideraciones han tenido una profunda influencia en eldesarrollo de la misma.


5.12. PROBLEMAS

5.12. Problemas

1. Una partícula de masa m está obligada a moverse sobre la superficie interna deun cono liso. Ver figura 1, donde � es constante. La partícula está sometida a unafuerza gravitacional. Encuentre las fuerzas de ligadura generalizadas.

Problema 1.

2. Un bloque de masa m se desplaza sobre un plano inclinado sin rozamiento (verfigura 2). Encontrar las ecuaciones de movimiento de Lagrange para el referencialmostrado y la aceleración del bloque a lo largo del plano inclinado.

Problema 2.

3. Encuentre las fuerzas de ligadura generalizadas en el problema 2.



4. Una pequeña esfera se desliza sin rozamiento en un alambre liso doblado en formade cicloide (ver figura 4) cuya ecuación es,

x = a (� � Sen �) , y = a (1 + Cos �)

donde 0 � � � 2�.

Problema 4.

a) Mostrar que la ecuación de movimiento viene dada por,

(1� Cos �)�� +

1

2Sen �

��2

� g

2aSen � = 0

b) Encuentre las fuerzas de ligadura generalizadas.

c) Mostrar que la ecuación de movimiento puede escribirse como,��u + !2u = 0

donde !2 = g4a

y u = Cos (�=2), que es la ecuación del oscilador armónico simple.

5. Mostrar que las ecuaciones de Lagrange,

d

dt

@T

@�qj

!� @T

@qj= Qj

vistas en clases, pueden ser escritas en la forma,

@�T

@�qj� 2@T

@qj= Qj

que es la llamada forma Nilsen de las ecuaciones de Lagrange.

6. Si L�q;�q; t�

es un Lagrangiano para un sistema de n grados de libertad que satisfacelas ecuaciones de Lagrange, mostrar mediante sustitución directa que,

L0�q;�q; t�= L

�q;�q; t�+dF (q1; q2;:::qn; t)

dt

también satisface las ecuaciones de Lagrange, donde F es una función arbitraria ydiferenciable.


5.12. PROBLEMAS

7. Sean q1; q2; :::; qn un conjunto de coordenadas generalizadas independientes paraun sistema de n grados de libertad, con Lagrangiano L = L

�q;�q; t�

. Supóngaseque transformamos a otro conjunto de coordenadas independientes s1, s2, ::: , snmediante las ecuaciones de transformación,

qi = qi (s1; s2; :::; sn; t) con i = 1; 2; :::; n.

(a este tipo de transformación se le denomina trasformación de punto). Mostrarque si el Lagrangiano es expresado como una función de sj;

�sjy t mediante las

ecuaciones de transformación, entonces L satisface las ecuaciones de Lagrangecon respecto a las coordenadas s,

d

dt

@L

@�sj

!� @L

@sj= 0

En otras palabras, la forma de las ecuaciones de Lagrange es invariante bajo unatransformación puntual.

8. Mostrar que la ecuación de movimiento de una partícula que cae verticalmentebajo la influencia de la gravedad cuando están presentes fuerzas de fricción quese pueden obtener de la función de disipasión 1

2kv2 viene dada por,

��z = �g � k

m

�z

Integrar la ecuación para obtener la velocidad como una función del tiempo ymostrar que la máxima velocidad posible para una caida desde el reposo es v = mg

k.

9. Mostrar que de las ecuaciones de Lagrange para un péndulo plano (ver figura 9)se obtiene, usando coordenadas polares,

�� +

g

`Sen � = 0

y,

��x +

x�x2

`2 � x2 +gx

`2

p`2 � x2 = 0

si se usan coordenadas cartesianas.



Problema 9.


11. Obtener las ecuaciones de Lagrange para un péndulo esférico (ver figura 11).Resp.:

�� Sen �Cos � �'

2+g

`Sen � = 0;

d

dt

�Sen2 �

�'�= 0

Problema 11.



5.12. PROBLEMAS

13. (a) Mostrar que el Lagrangiano para el péndulo doble mostrado en la figura 13viene dado por,

L =1

2(m1 +m2) `

21

��2

1 +1

2m2`

22

��2

2

�m2`1`2��1��2Cos (�1 � �2)

+ (m1 +m2) g`2Cos �1 +m2g`2Cos �2

(b) que las ecuaciones de movimiento son,

d

dt

�(m1 +m2) `

21

��1 �m2`1`2

��2Cos (�1 � �2)

�= � (m1 +m2) g`2 Sen �1

d

dt

�`2��2 � `1

��1Cos (�1 � �2)

�= �g Sen �2

y (c) mostrar que si��1 = 0, de tal manera que el soporte para el segundo péndu-

lo se hace fijo, entonces la segunda de estas ecuaciones se reduce a la primeraecuación obtenida en el problema 9.

Problema 13.

14. Encuentre las fuerzas generalizadas de ligadura en el problema 13.

15. Considérese el caso del movimieno de un proyectil de masa m bajo la acción dela gravedad en dos dimensiones (estudiado en Física I como lanzamiento de unproyectil con ángulo de elevación). Encontrar las ecuaciones de movimiento deLagrange en: (a) Coordeadas cartesianas y (b) polares. Muestre un diagrama de lasituación.



16. El Lagrangiano para un sistema físico particular puede ser escrito como,

L0 =m

2

�a�x2+ 2b

�x�y + c

�y2�� K

2

�ax2 + 2bxy

+cy2�

donde a, b y c son constantes arbitrarias pero sujetas a la condición b2 � ac 6= 0.

a) Mostrar que las ecuaciones de movimiento vienen dadas por,

m�a��x + b

��y�= �K (ax+ by)

m�b��x + c

��y�= �K (bx+ cy)

b) Examine particularmente los dos casos a = c = 0 y b = 0, c = �a. ¿Cuál es elsistema físico decrito por el anterior Lagrangiano?.

c) Mostrar que el lagrangiano usual para este sistema está relacionado con L0 (verproblema 6) por una trasformación puntual (ver problema 7).

d) ¿Cuál es el significado de la condición b2 � ac 6= 0?.

17. Dado el sistema mostrado en la figura 17c (no existe rozamiento),

a) Tome como coordenadas generalizadas las variables x y s. Muestre que el la-grangiano viene dado por,

L =1

2M

�x2+1

2m��x2+

�s2+ 2

�x�sCos �

�+mgs Sen �

y que,

��x = �1

2

mg Sen (2�)

M +m Sen2 ��s =

(M +m) g Sen �

M +m Sen2 �

b) El bloque de masa m parte del reposo respecto al plano inclinado y desde elpunto A. Demuestre que el tiempo que tarda la partícula en llegar al punto B

viene dado por,

t =

s2`�M +m Sen2 �

�(M +m) g Sen �

c) ¿Hay alguna coordenada cíclica?, ¿qué valor tiene su momento conjugado?,¿se conserva la función de energía h?, ¿es igual a la energía mecánica total?.


5.12. PROBLEMAS

Problema 17.

18. Dos masas m1 y m2 están unidas por una cuerda de longitud ` inextensible y demasa despreciable como se muestra en la figura 18. Encuentre las aceleraciones delos bloques a partir de las ecuaciones de Lagrange, (a) usando ` como coordenadageneralizada y (b) usando `1 como coordenada generalizada. No existe rozamientoalguno.

Problema 18.

19. Se tiene un péndulo simple plano cuyo punto de soporte se mueve verticalmentede acuerdo a ys = u (t) , donde u (t) es una función dada del tiempo (ver figura19c).

a) Mostrar que,

x = ` Sen �, y = u (t)� `Cos �



b) Mostrar que el Lagrangiano se puede escribir como,

L =1

2m

�`2��2

+ 2�u`

�� Sen � +

�u2�

�mg (u� `Cos �)

c) Mostrar, a partir de las ecuaciones de Lagrange, que,

�� +

g +

��u

`

!Sen � = 0

Problema 19.

20. El sistema mostrado en la figura 20b consta de una masa m sujeta a uno de losextremos de una vara liviana de longitud `. El otro extremo está sujeto a un aro,también liviano, de radio R que gira (en torno a su centro) en un plano con veloci-dad angular costante !, haciendo que la vara pivotee en el mismo plano. Ignore elcampo gravitacional.

a) Mostrar que la posición de la masa m viene dada por,

x = `Cos (!t+ �) +RCos (!t)

y = ` Sen (!t+ �) + Sen (!t)

b) Mostrar, a partir de las ecuaciones de Lagrange, que,

�� +

�R!2

`

�Sen � = 0

que es la ecuación de movimiento de un péndulo simple con g = R!2.


5.12. PROBLEMAS

Problema 20.

21. El sistema mostrado en la figura 21b consta de una masa m sujeta a un soporte fijomediante un resorte de constante de elasticidad k y de longitud ò cuando no estáperturbado. La masa m se mueve en un plano fijo.

a) Mostrar que el Lagrangiano, en coordenadas Cartesianas, viene dado por,

L =1

2m��x2+

�y2�+mgy

�12k�p

x2 + y2 � ò�2

y las correspondientes ecuaciones de Lagrange por,

m��x = �kx

1� òp

x2 + y2

!

m��y = mg � ky

1� òp

x2 + y2

!b) Mostrar que el Lagrangiano, en coordenadas polares, viene dado por,

L =1

2m

��r2+ r2

��2�+mgrCos �

�12k (r � ò)2

y las correspondientes ecuaciones de Lagrange por,

m��r = mr

��2

+mgCos �

�k (r � ò)

mr2�� + 2mr

�r�� = �mgr Sen �



Problema 21.

22. Una partícula de masa m describe, en el plano XY , una curva dada por la ecua-ción y = f (x) cuando está sometida a un potencial U = U (y). Si v0 es la proyecciónde la velocidad sobre el eje X, se pide:

a) Usando las ecuaciones de Lagrange, mostrar que la expresión general del po-tencial en función de f viene dada por,

U = c�mv2oZd2f (x)

dx2dy

donde c es una constante arbitraria.

b) Hallar U para el caso particular y =�xa

�3=2.23. Una cuenta de masa m desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre circular de

radio R. El alambre, situado verticalmente en un campo gravitatorio, gira alrededorde su diámetro vertical con velocidad angular !. Para una velocidad angular !mayor que un cierto valor crítico !c, la cuenta tiene un punto de equilibrio mecánicoestable en una posición dada por un ángulo �o respecto de la vertical. Se pide:

a) Mostrar que el Lagrangiano viene dado por,

L =1

2mR2

��2

+1

2mR2!2 Sen2 � �mgRCos �

donde � es el ángulo que forma la posición de la cuenta con el eje verticalde giro, correspondiendo � = 0 con la partícula en la posición más baja en elalambre.


5.12. PROBLEMAS

b) Usando las ecuaciones de Lagrange mostrar que,

!c =

rg

R

�o = Cos�1� g

R!2

�

c) Mostrar que la ecuación de movimiento para � = �o+�, donde � es un parámetropequeño, viene dada por,

�� + !2

�1� g2

R2!4

�� = 0

que es la ecuación de movimiento para pequeñas oscilaciones alrededor de �o.

24. Considere el caso (ver figura 24c) de un péndulo de masam y longitud ` sujeto a unbloque de masa despreciable el cual esta sujeto, a la vez, a una pared medianteun resorte de masa despreciable y constante k. El bloque se mueve sin fricción sobreun conjunto de rieles.

a) Mostrar que el Lagrangiano se puede escribir como,

L =1

2m

��x2+ `2

��2

+ 2`�x��Cos �

�� 12kx2

+mg`Cos �

b) Mostrar que las ecuaciones de movimiento vienen dadas por,

��x + !21x = `

��2

Sen � �� Cos �

�,

con !21 =k

m�� + !22� = �1

`

��x Cos �, con !22 =

g

l

c) ¿Qué ocurre en las ecuaciones anteriores cuando�� = 0 y

�x = 0?



Problema 24.

25. Demostrar el teorema que dice: "si L = L�qi;

�qi; t�

y eL = eL�qi; �qi; t� son dos La-grangianos tales que las ecuaciones de movimiento obtenidas a partir de L sean ex-actamente las mismas que las obtenidas a partir de eL, entonces L y eL difieren por laderivada total con respecto al tiempo t de alguna función de la formaM =M (qi; t)".Hágalo partiendo de dos Lagrangianos L y eL para luego encontrar cuál debe ser lacondición para que ambos Lagrangianos dejen invariantes las ecuaciones de La-grange, concluyéndose que será posible cuando se le sume la derivada total conrespecto al tiempo t de una función del tipo M (qi; t).

26. Mostrar que los Lagrangianos unidimensionales,

L1 =�q +

�q�2

L2 = q2 +�q2

(a) dan las mismas ecuaciones de movimiento y (b) que su diferencia satisface elteorema del problema 26. Supóngase que la fuerza generalizada no conservativaes QNU para ambos casos.

27. Muéstrese la invariancia de la energía total E como consecuencia de que el La-grangiano L = L

�qi;

�qi; t�

no dependa explícitamente del tiempo t.

28. Es posible demostrar el teorema anterior partiendo de dos Lagrangianos L y eL paraluego encontrar cuál debe ser la condición para que ambos Lagrangianos dejeninvariantes las ecuaciones de Lagrange, concluyéndose que será posible cuando


5.12. PROBLEMAS

se le sume la derivada total con respecto al tiempo t de una función del tipoM (qi; t).Se deja como tarea al estudiante.


CAPÍTULO 6

Mecánica Hamiltoniana

En el capítulo anterior se desarrolló y aplicó, con cierta profundidad, la Mecá-nica Lagrangiana. En el presente capítulo será desarrollada nuevamente la Mecánicapero mediante una formulación diferente a la Lagrangiana conocida con el nombrede Mecánica Hamiltoniana. Desde el punto de vista físico nada novedoso se va aagregar, eso sí, se va a adquirir un instrumento más potente para lidiar con los princi-pios físicos conocidos. La teoría Hamiltoniana conduce a una comprensión esencialde la estructura formal de la Mecánica.

En el siglo XIX, el irlandés William Rowan Hamilton, que había apreciado la potenciay elegancia con que Lagrange había dotado a la Mecánica, emprende el trabajo desistematización de la óptica, con objeto de someterla a un esquema parecido al dela Mecánica. No sólo consiguió su objetivo, sino que además apreció que los sistemasópticos y los sistemas mecánicos obedecen a un mismo principio variacional. La con-cepción sintética de Hamilton produjo una nueva visión de la Mecánica, más intrínse-ca que la Lagrangiana. La formulación Hamiltoniana, desarrollada posteriormente porJacobi, Poisson, etc., introdujo de nuevo una geometría en el espacio de fase (delcual se hablará en la sección 6.5) de los sistemas mecánicos, en la que las normaseuclídeas tradicionales de los espacios ordinarios se sustituyen por las formas simpléc-ticas, los productos escalares, por los corchetes de Poisson, etc. Gracias al estudio deesta nueva geometría científicos del siglo XX, como Poincaré y Burns, lograron resolverproblemas de Mecánica Celeste que habían permanecido sin resolver durante muchotiempo.

La formulación Hamiltoniana tiene como base el estudio de una función denomi-

485

CAPÍTULO 6. MECÁNICA HAMILTONIANA

nada Hamiltoniano, en la cual está la información dinámica del sistema mecánicoestudiado. Esta formulación fue de básica importancia para la transición desde la Me-cánica Clásica a la Mecánica Cuántica a comienzos del siglo XX, principalmente enlos modelos de De Broglie, Schrodinger, Heisenberg, etc. Aunque no pueden deducirselas leyes de la Mecánica Cuántica a partir de la formulación clásica Hamiltoniana,el principio de correspondencia1 proporciona información muy valiosa para inferir elHamiltoniano cuántico a partir del clásico (en ambos casos el Hamiltoniano determinala evolución del sistema).

Contents6.1. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485




6.2. Construcción de un Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

6.2.1. Pasos para construir un Hamiltoniano para sistemas conservativos y no

conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

6.2.2. Construcción de un Hamiltoniano para un sistema natural . . . . . . . . 497

6.2.3. Forma práctica de construir un Hamiltoniano para sistemas conservativos

y no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

6.3. Ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . 500

6.3.1. Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en forma implícita 500

6.3.2. Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma explícita . . . . . . . 529

6.3.3. Sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . . . 545

6.4. Ecuaciones de Hamilton a partir del Principio de Ostrogradski-Hamilton557

6.5. Espacio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

6.6. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

6.7. Forma simpléctica de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . 576

1Principio que afirma que una nueva teoría física debe explicar todos los fenómenos explicados porla teoría a la que complementa. Originalmente formulado por el físico danés Niels Bohr, se empleóinicialmente para describir la relación entre la teoría cuántica y la física clásica. En su formulación dela teoría cuántica, Bohr y otros teóricos lo emplearon para guiarse en sus trabajos. Los físicos formularonsus teorías de forma que, en situaciones en las que la física clásica es válida, las ecuaciones utilizadaspara la descripción de fenómenos cuánticos correspondieran a las ecuaciones obtenidas por la físicaclásica. Este principio se cumple en gran parte de la teoría cuántica, y también en otras teorías comola de la relatividad.


6.1. ECUACIONES DE HAMILTON

6.8. El Método de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

6.9. Dinámica Lagrangiana vs Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

6.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

6.1. Ecuaciones de Hamilton

Visto estrictamente como un problema matemático, la transición desde la for-mulación Lagrangiana a la Hamiltoniana corresponde a cambiar las variables en lasfunciones matemáticas desde las

�qi;

�qi; t�

a las (qi; pi; t), donde las pi están relacionadascon las qi mediante,

pi =@L�qi;

�qi; t�

@�qi

, con i = 1; 2; 3; : : : ; � (6.1)

que no son más que los momentos generalizados ya definidos en la sección 5.6.2 me-diante la expresión (5.431).

En la formulación Hamiltoniana a las cantidades (qi; pi) se les da el nom-bre de Variables Canónicas.

El procedimiento para el cambio de variables requerido es proporcionado por unatransformación de Legendre (ya estudiada en el capítulo 4), la cual está adaptadapara el cambio de variable mencionado antes. La nueva función H = H (qi; pi; t) se leda el nombre de Hamiltoniano del sistema y viene dado por la siguiente transforma-ción de Legendre,

H (qi; pi; t) =

�Xi=1

�qipi � L

�qi;

�qi; t�

(6.2)

que no es más que la función de energía h definida en la sección 5.9.1 por la expresión(5.439).

En este punto hay que hacer especial énfasis en que (6.2) constituye laforma general de construir un Hamiltoniano, sea el sistema a estudiar con-servativo o no.

En (6.2) tanto las coordenadas generalizadas qi como el tiempo t actúan como va-riables pasivas puesto que no sufren cambios por la acción de la transformación. Las



velocidades generalizadas�qi son las variables activas (ver sección 4.5 del capítulo 4)

ya que si cambian por la acción de la transformación hacia los momentos generaliza-dos pi.

Cuando un sistema admite un Hamiltoniano se le denomina SistemaCanónico.

Por supuesto, el Hamiltoniano H fue construido de la misma forma (y tiene idénticovalor) que la función de energía h pero son funciones de variables diferentes. Al igualque el Lagrangiano, h es una función de las qi y las

�qi (y posiblemente t) mientras que,

el Hamiltoniano H debe ser siempre expresado como una función delas qi y los pi (y posiblemente t), las cuales son consideradas como variableso coordenadas independientes.

Debe hacerse hincapié respecto a esta diferencia en el comportamiento funcional,a pesar de que ambas h yH tienen los mismos valores numéricos. En este contexto a lascoordenadas pi suelen denominárseles “Coordenadas de Momento”. A diferencia, elLagrangiano (como se estudió en el capítulo 5) tiene como variables independienteslas coordenadas generalizadas qi y las correspondientes velocidades generalizadas

�qi.

Bajo ciertas condiciones relacionadas con las características del sistema dado y lascoordenadas dadas, el Hamiltoniano puede identificarse con la energía mecánicatotal de dicho sistema como se verá más adelante en la sección 6.2.2.


En este caso todas las � = 3N coordenadas generalizadas qj son independien-tes ya que no existen ligaduras. Puesto que en la trasformación de Legendre las qi sonvariables pasivas debe cumplirse, como lo muestra la expresión ?? en la sección 4.5,que la suma de las derivadas parciales del Hamiltoniano H (qi; pi; t) y el LagrangianoL�qi;

�qi; t�

con respecto a las qi se anule. Debido a lo anterior se puede escribir que,

@H

@qi+@L

@qi= 0

@L

@qi= �@H

@qi(6.3)



que es también posible obtenerla al derivar parcialmente (6.2) con respecto a las qi.Entonces, al sumarle a ambos miembros la cantidad QNU

i (fuerzas que no provienende potenciales) resulta,

@L

@qi+QNU

i| {z }�pi por (5.432)

= �@H@qi

+QNUi

�pi = �@H

@qi+QNU

i (6.4)

donde se ha sustituido (5.432) para el caso correspondiente. Estas son las derivadas to-tales con respecto al tiempo t de los momentos generalizados para el caso de sistemassin ligaduras.2

Por otro lado, al derivar parcialmente (6.2) con respecto a los momentos generali-zados pi resulta,

@H (qi; pi; t)

@pi=

@

@pi

"�Xj=1

�qjpj � L

�qi;

�qi; t�#

=

�Xi=1

�qj@pj@pi�@L�qi;

�qi; t�

@pi| {z }=0

=

�Xi=1

�qj�ji

o,�qi =

@H

@pi(6.5)

Colocando las expresiones (6.4) y (6.5) en conjunto,

�pi = �@H

@qi+QNU

i�qi =

@H@pi

), con i = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N| {z }264 Ecuaciones de Hamilton

para sistemas sin ligaduras

375

(6.6)

reciben el nombre de Ecuaciones Canónicas de Hamilton o simplemente Ecuaciones

2Esto se debe a que la ecuación (5.432), usada para obtener este resultado, es válida cuando se con-sideran sistemas de este tipo.



de Movimiento de Hamilton3 que constituyen un conjunto de 2� ecuaciones de primerorden que reemplazan las � ecuaciones de Lagrange de segundo orden, reducién-dose el orden de las ecuaciones pero duplicándose el número de ellas. La segundamitad de las ecuaciones de Hamilton (6.6) proporcionan las

�qi como funciones de

(qj; pj; t),�qi =

�qi (qj; pj; t), formando la inversa de las ecuaciones (6.1) que a su vez de-

finen los momentos pi como funciones de�qj;

�qj; t

�, pi = pi

�qj;

�qj; t

�. La primera mitad

dice lo mismo para los�pi.

Si se consideran sólo fuerzas que provienen de una función de energía potencial U(QNU

i = 0) las ecuaciones (6.6) se reducen a,

�pi = �@H

@qi�qi =

@H@pi

), con i = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N| {z }264 Ecuaciones de Hamilton

para sistemas sin ligaduras y QNUi = 0

375

(6.7)

Se verá ahora qué ocurre cuando el Lagrangiano y, en consecuencia, el Hamilto-niano no dependen explícitamente del tiempo t (sistemas autónomos). En la transfor-mación (6.2) t también es una variable pasiva, por lo tanto, también debe cumplirse(al igual que con las qi como se hizo antes) que la suma de las derivadas parciales deH (qi; pi; t) y L

�qi;

�qi; t�

con respecto t sea nula pudiéndose escribir,

@H

@t+@L

@t= 0

@H

@t= �@L

@t(6.8)

además, al hacer la derivada total con respeto al tiempo de la función H (qi; pi; t)

(usando la regla de la cadena) resulta,

�H =

dH

dt=

�Xi=1

�@H

@qi

�qi +

@H

@pi

�pi

�+@H

@t(6.9)

3Estas ecuaciones fueron primeramente obtenidas por Lagrange en el año 1809 y, en este mismo año,Poisson obtuvo unas ecuaciones similares. Sin embargo ninguno de ellos reconoció a éstas como uncojunto básico de ecuaciones de movimiento, habiéndolo hecho por primera vez en 1831, Cauchy.Fue Hamilton en el año 1834 quien obtuvo por primera vez estas ecuaciones a partir de un principiovariacional fundamental y convirtiéndolas en la base de una amplia teoría de la dinámica. Así, la de-signación ecuaciones de Hamilton es totalmente merecida.



de manera que al sustituir aquí (6.6) se obtiene,

�H =

�Xi=1

h��pi +QNU

i

��qi +

�qi�pi

i+@H

@t

=

�Xi=1

��qi�pi �

�pi�qi

�| {z }

=0

+

�Xi=1

QNUi

�qi +

@H

@t

=

�Xi=1

QNUi

�qi +

@H

@t

o,�H =

@H

@t+

�Xi=1

QNUi

�qi (6.10)

que por (6.8) también se puede escribir como,

�H = �@L

@t+

�Xi=1

QNUi

�qi (6.11)

En el caso particular de que no existan fuerzas que no provengan de una funciónde energía potencial U (QNU

i = 0) , de las expresiones (6.10) y (6.11) se concluye que,

�H =

@H

@t= �@L

@t(6.12)

que expresa lo siguiente:

Si el tiempo no aparece explícitamente en el Lagrangiano o en el Hamil-toniano, es decir, si el sistema es autónomo entonces H =constante. Paraestos sistemas H = H (qi; pi) = E (como se verá más adelante en la sección6.2.2) y las ecuaciones (6.7) determinan la evolución del sistema confinadoa un sub-espacio (de energía constante) del espacio definido por las qi y lospi, denominado Espacio de Fase, del cual se hablará más adelante en lasección 6.5.



Al igual que en la sección 5.1.2, cuando las K(h) ligaduras holónomas (ver sec-ciones 2.4.3 y 2.9.1),

f(h)l (qi; t) = 0, con i = 1; 2; 3; :::; �; l = 1; 2; 3; :::; K(h) (6.13)



son usadas para reducir el número de coordenadas generalizadas, entonces el sis-tema considerado pasa de tener 3N coordenadas generalizadas (dependientes + in-dependientes) a � = s = 3N �K(h) (independientes). Como ya se sabe, la desventanjaen este caso radica en que no se obtiene información alguna sobre las fuerzas deligadura actuantes en el sistema. Ya efectuado el procedimiento de eliminar las coor-denadas dependientes entonces las ecuaciones de Hamilton para el sistema serán lasmismas (6.6) y (6.7) sólo que ahora i = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N �K(h), es decir,

�pi = �@H

@qi+QNU

i�qi =

@H@pi

), con j = 1; 2; 3; :::; � = 3N �K(h)

| {z }2666664Ecuaciones de Hamilton

para sistemas con ligaduras holónomas usadasen forma implícita.

3777775

(6.14)

y,

�pi = �@H

@qi�qi =

@H@pi

), con j = 1; 2; 3; :::; � = 3N �K(h)

| {z }2666664Ecuaciones de Hamilton para

sistemas con ligaduras holónomas, QNUi = 0 y

donde las ligaduras son usadas en forma implícita.

3777775

(6.15)

Es obvio que las ecuaciones (6.8) a la (6.12) y su consecuencia final siguen siendociertas para este caso.


Cuando las K(h) ligaduras holónomas (6.13) no son usadas, como en la sección5.1.2, para reducir las coordenadas generalizadas a sólo aquellas que son indepen-dientes sino que son anexadas en forma explícita, entonces el sistema consideradosigue teniendo 3N coordenadas generalizadas (dependientes + independientes).

Al sustituir (6.3) en (5.432) para el caso correspondiente y al derivar parcialmente



(6.2) con respecto a los pi resultan respectivamente,

�pi = �@H

@qi+Q

(lig)i +QNU

i�qi =

@H@pi

), con i = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N| {z }2666664

Ecuaciones de Hamiltonpara sistemas con ligaduras holónomas usadas

en forma explícita.

3777775

(6.16)

donde,

Q(lig)i =

K(h)Pl=1

�l@f

(h)l

@qi(6.17)

que son las fuerzas generalizadas de ligadura al igual que en la sección 5.1.2. El con-junto de ecuaciones (6.16) constituyen las ecuaciones de Hamilton para este caso.Nótese que al hacer Qlig

i = 0 y QNUi = 0 en estas ecuaciones, se reducen a las (6.7)

como era de esperarse.

Si se consideran sólo fuerzas provenientes de una función de energía potencial U ,las ecuaciones (6.16) se reducen a,

�pi = �@H

@qi+Q

(lig)i

�qi =

@H@pi

), con i = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N| {z }2666664

Ecuaciones de Hamiltonpara sistemas con ligaduras holónomas, QNU

i = 0 ydonde las ligaduras son usadas en forma explícita.

3777775

(6.18)

Por otro lado, al sustituir las ecuaciones (6.16) en (6.9) resulta,

�H =

�Xi=1

h��pi +Q

(lig)i +QNU

i

��qi +

�qi�pi

i+@H

@t

=

�Xi=1

Q(lig)i

�qi +

�Xi=1

QNUi

�qi +

@H

@t

o,�H =

K(h)Xl=1

�l (t)

�Xi=1

@fl@qi

�qi

!| {z }

Por (6.17)

+

�Xi=1

QNUi

�qi +

@H

@t(6.19)



y como la derivada total de fl (qi; t) = 0 con respecto al tiempo t viene dada por,

dfldt

=

�Xi=1

@fl@qi

�qi +

@fl@t= 0

�Xi=1

@fl@qi

�qi = �@fl

@t(6.20)

entonces (6.19) puede ser escrita como,

�H =

@H

@t�

K(h)Xl=1

�l (t)@fl@t+

�Xi=1

QNUi

�qi (6.21)

que en virtud de (6.8) finalmente se puede escribir como,

�H = �@L

@t�

K(h)Xl=1

�l (t)@fl@t+

�Xi=1

QNUi

�qi (6.22)

Las ecuaciones (6.21) y (6.22) son las equivalentes, para el presente caso, a las ex-

presiones (6.10) y (6.11) y nótese que se reducen a estas últimas cuandoK(h)Pl=1

�l (t)@fl@t=

0.

Si no existen fuerzas que no provengan de una función de energía potencial U(QNU

i = 0), entonces las ecuaciones (6.21) y (6.22) se pueden escribir como,

�H =

@H

@t�

K(h)Xl=1

�l (t)@fl@t

(6.23)

�H = �@L

@t�

K(h)Xl=1

�l (t)@fl@t

(6.24)


Serán consideradas, para este caso, las ligaduras no-holónomas y semi-holónomasdel tipo,8<: f

(nhd)l

�qk;

�qk; t

�f(shd)l

�qk;

�qk; t

� =�Pj=1


(K(nh)

K(h)8<: f(nhD)l

�qk;

�qk; t

�f(shD)l

�qk;

�qk; t

� =�Pj=1


(K(nh)

K(h)

(6.25)



como se hizo en Mecánica Lagrangiana para el mismo caso en la sección 5.1.3.

Al sustituir (6.3) en (5.432) para el caso correspondiente y al derivar parcialmente(6.2) con respecto a los pi resultan respectivamente,

�pi = �@H

@qi+Q

(lig)i +QNU

i�qi =

@H@pi

), con i = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N| {z }2666664

Ecuaciones de Hamiltonpara sistemas con ligaduras no-holónomas y

semi-holónomas del tipo (6.25)

3777775

(6.26)

donde,

Q(lig)i =

K(nh);K(h)Pl=1

�lAli (6.27)

Aquí, al igual que en la sección 5.1.3, (6.27) representan las fuerzas generalizadasde li-gadura. El conjunto de ecuaciones (6.26) constituyen las ecuaciones de Hamilton paraeste caso. Nótese que al hacer Qlig

i = 0 y QNUi = 0 en estas ecuaciones, se reducen a

las (6.7) como era de esperarse.

Si se consideran sólo fuerzas que provienen de una función de energía potencial U ,las ecuaciones (6.26) se reducen a,

�pi = �@H

@qi+Q

(lig)i

�qi =

@H@pi

), con i = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N| {z }2666664

Ecuaciones de Hamiltonpara sistemas con ligaduras no-holónomasy semi-holónomas del tipo (6.25) y QNU

i = 0.

3777775

(6.28)

Por otro lado, al sustituir las ecuaciones (6.26) en (6.9) resulta,

�H =

�Xi=1

h��pi +Q

(lig)i +QNU

i

��qi +

�qi�pi

i+@H

@t

=

�Xi=1

Q(lig)i

�qi +

�Xi=1

QNUi

�qi +

@H

@t



o,�H =

K(nh);K(h)Xl=1

�l (qi; t)

�Xi=1

Ali�qi

!| {z }

Por (6.27)

+

�Xi=1

QNUi

�qi +

@H

@t(6.29)

que al usar (6.25) también puede ser escrita como,

�H =

@H

@t�

K(nh);K(h)Xl=1

�l (qi; t)Bl (qi; t) +

�Xi=1

QNUi

�qi (6.30)

o finalmente en virtud de (6.8),

�H = �@L

@t�

K(nh);K(h)Xl=1

�l (qi; t)Bl (qi; t) +

�Xi=1

QNUi

�qi (6.31)

Las ecuaciones (6.30) y (6.31) son las equivalentes, para el presente caso, a las ex-

presiones (6.10) y (6.11) y nótese que se reducen a estas últimas cuandoK(nh);K(h)P

l=1

�l (qi; t)Bl (qi; t) =

0.

Si no existen fuerzas que no provengan de una función de energía potencial U(QNU

i = 0), entonces las ecuaciones (6.30) y (6.31) se pueden escribir como,

�H =

@H

@t�

K(nh);K(h)Xl=1

�l (qi; t)Bl (qi; t) (6.32)

�H = �@L

@t�

K(nh);K(h)Xl=1

�l (qi; t)Bl (qi; t) (6.33)

A manera de resumen, las ligaduras a ser consideradas y las ecuaciones de Hamil-ton a ser usadas en el presente texto son las siguientes:

LIGADURAS

LigadurasHolónomas

�!

8><>:fl (qi; t) = 0

l = 1; 2; 3; :::; K(h)

i = 1; 2; 3; : : : ; 3N

(6.34)



Ligadurasno-holónomas ysemi-holónomas

�!

8>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>:

�Pi=1

Ali (qk; t) dqi +Bl (qk; t) dt = 0

Forma de diferencial

�Pi=1

Ali (qk; t)�qi +Bl (qk; t) = 0

Forma de derivada

donde, en ambos casos,

l = 1; 2; 3; :::;

(K(nh), no-holónomas.K(h), semi-holónomas.

(6.35)

ECUACIONES DE HAMILTON

�pi = �@H

@qi

+Q(lig)i +QNU

i�qi =

@H@pi

9>=>;!

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

Q(lig)i = 0 �!

(Sin ligaduras

i = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N

Q(lig)i = 0 �!


en forma implícitai = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N �K(h)

Q(lig)i =

K(h)Pl=1

�l@f

(h)l

@qi�!


forma explícita.i = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N

Q(lig)i =

K(nh);K(h)Pl=1

�lAli �!


y semi-holónomas.i = 1; 2; 3; : : : ; � = 3N

(6.36)



6.2. Construcción de un Hamiltoniano

6.2.1. Pasos para construir un Hamiltoniano para sistemas conserva-tivos y no conservativos

Supóngase que se tiene un sistema al cual se le ha construido el Lagrangianodespués de escogido un conjunto de coordenadas generalizadas qi, entonces los pa-sos generales a seguir para construir un Hamiltoniano para sistemas conservativos y noconservativos son los siguientes:

1. Partiendo del Lagrangiano del sistema y mediante (6.1),

pi =@L�qi;

�qi; t�

@�qi

se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas genera-lizadas como funciones de las qi,

�qi y t. En el caso de estar considerando ligaduras

holónomas en forma implícita, el Lagrangiano a utilizar debe ser aquél donde sehan eliminado las coordenadas dependientes.

2. A partir de los momentos generalizados encontrados en el paso anterior se despe-jan las

�qi como funciones de qi, pi y t.

3. Se usa (6.2),

H (qi; pi; t) =

�Xi=1

�qipi � L

�qi;

�qi; t�

y el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras presentes para en-contrar su correspondiente Hamiltoniano y, en el caso de ser necesario, se contruyeel Hamiltoniano considerando las ligaduras a partir de éste último. En este paso ob-tiene H como una función mixta de las qi,

�qi pi y t, sin embargo, se necesita que H

sea una función sólo de qi, pi y t, por lo cual deben eliminarse las�qi.

4. Los resultados del paso 2 se usan ahora para eliminar las�qi del Hamiltoniano obtenido

en el paso anterior. Con esto se obtiene el Hamiltoniano final sólo como función deqi, pi y t, que es lo requerido.

Después de efectuados los pasos anteriores se estará listo para usar las Ecuacionesde Hamilton (6.36) y así encontrar las ecuaciones de movimiento del sistema segúnsean las características del mismo.


6.2. CONSTRUCCIÓN DE UN HAMILTONIANO

6.2.2. Construcción de un Hamiltoniano para un sistema natural

Para muchos sistemas físicos es posible acortar los pasos mostrados en la secciónanterior. Como se mostró en la sección 5.9.1, en muchos problemas el Lagrangianoes la suma de funciones cada una homogénea en las velocidades generalizadas

�qi

de grado 0, 1 y 2 como lo indica la expresión (5.442). Debido a (6.35), en este caso elHamiltoniano H viene dado por la expresión,

H =

�Xi=1

�qipi �

hLo (qi; t) + L1 (qi; t)

�ql + L2 (qi; t)

�ql�qm

i(6.37)

donde Lo es la parte del Lagrangiano que es independiente de las velocidades gene-ralizadas, L1 representa el coeficiente de la parte del Lagrangiano que es homogénearespecto a

�qi en primer grado y L2 representa el coeficiente de la parte del Lagrangiano

que es homogénea respecto a�qi en segundo grado.

Ahora bien, como para un sistema natural las expresiones que definen las coorde-nadas generalizadas no dependen explícitamente del tiempo entonces L2

�ql�qm = T

como se mostró con la expresión (2.83) en la sección 5.9 y si, además, las fuerzasson derivables de una función de energía potencial U de un campo conservativo(el trabajo es independiente del camino), entonces Lo = �U . Cuando las anteriorescondiciones son satisfechas el Hamiltoniano es automáticamente la energía total Edel sistema H = E = T + U .

Cuando el sistema objeto de estudio es conservativo el Hamiltonianodel sistema se puede encontrar directamente mediante,

H = T + U| {z }[Para sistemas conservativos]

(6.38)

en vez de usar (6.2).

Luego, se eliminan las�qi mediante su despeje a partir de los momentos conjugados

a cada una de las coordenadas generalizadas encontrados mediante (6.1). Hay quehacer énfasis que esto es sólo posible para los sistemas conservativos (QNU

i = 0).



6.2.3. Forma práctica de construir un Hamiltoniano para sistemas con-servativos y no conservativos

Hay una forma práctica alternativa de obtener el Hamiltoniano a la dada por laexpresión (6.2). Esta nueva forma también es general, es decir, sirve tanto para sistemasconservativos como no conservativos.

En muchos casos la eliminación de las velocidades generalizadas�qi de la expresión

del Hamiltoniano H (pasos 2 y 4 de la sección 6.2.1) es, en realidad, extremadamentesencilla. Sin embargo, en un caso general, la eliminación de las velocidades gene-ralizadas puede resultar algo más engorrosa debido a que la expresión de H puedeincluir términos de segundo grado en las velocidades generalizadas. En efecto, de(6.2) y teniendo presente la definición de Lagrangiano (5.18) es posible escribir,

H =

�Xi=1

�qipi � L =

�Xi=1

�qipi � T + U (6.39)

y al usar (2.81) para sustituir T ,

H =

�Xi=1

�qipi �

ao +

�Xi=1

ai�qi +

�Xi;j=1

aij�qi�qj

!+ U (6.40)

De esta expresión habrían que eliminar las�qi mediante sus expresiones en función de

las pi dadas por (6.1) para poder expresar H sólo como función de qi, pi y t. En (6.40) es-tán presentes términos cuadráticos de las

�qi pudiendo ser, la eliminación de las mismas,

un desarrollo bastante engorroso.

El objetivo ahora es encontrar una expresión equivalente, más sencilla, que serálineal en las velocidades

�qi. Para tal fin se comenzará por desarrollar el primer término

de (6.40). En efecto,

�Xi=1

�qipi =

�Xi=1

0BBBB@�qi

@L

@�qi|{z}

Por (6.1)

1CCCCA =

�Xi=1

266664�qi@ (T � U)@�qi| {z }

Por (5.18)

377775 =�Xi=1

�qi@T

@�qi

(6.41)


6.2. CONSTRUCCIÓN DE UN HAMILTONIANO

que al usar (2.81) para sustituir T resulta en,�Xi=1

�qipi =

�Xi=1

"�qi@

@�qi

ao +

�Xj=1

aj�qj +

�Xj;k=1

ajk�qj�qk

!#

=

�Xi=1

"�qi

�Xj=1

aj@�qj

@�qi+

�Xj;k=1

ajk@�qj

@�qi

�qk +

�Xj;k=1

ajk�qj@�qk

@�qi

!#

=

�Xi=1

"�qi

�Xj=1

aj�ji +

�Xj;k=1

ajk�ji�qk +

�Xj;k=1

ajk�qj�ki

!#

=

�Xi=1

266664�qi0BBBB@ai +

�Xk=1

aik�qk +

�Xj=1

aji�qj| {z }

Términos iguales

1CCCCA377775

=

�Xi=1

"�qi

ai + 2

�Xk=1

aik�qk

!#o,

�Xi=1

�qipi =

�Xi=1

ai�qi + 2

�Xi;k=1

aik�qi�qk (6.42)

pero, nuevamente de (2.81),�X

i;k=1

aik�qi�qk = T � ao �

�Xi=1

ai�qi (6.43)

entonces, al sustituir (6.43) en (6.42) resulta,�Xi=1

�qipi =

�Xi=1

ai�qi + 2

T � ao �

�Xi=1

ai�qi

!y de aquí que,

T =1

2

�Xi=1

��qipi + ai

�qi

�+ ao (6.44)

Por último, al sustituir (6.44) en (6.39),

H =

�Xi=1

�qipi � T + U =

�Xi=1

�qipi �

1

2

�Xi=1

��qipi + ai

�qi

�+ ao

!+ U

o finalmente,

H =1

2

�Xi=1

��qipi � ai

�qi

�� ao + U| {z }�

Para sistemas conservativos y no conservativos�

(6.45)



Obsérvese que la eliminación de las velocidades�qi resulta más fácil en esta últi-

ma expresión que en (6.40) pues ya no aparecen términos de segundo grado en lavelocidades generalizadas

�qi.

En el caso de un sistema natural, como se sabe, T es homogénea cuadrática en�qi

(lo que en la práctica es bastante común) por lo que la expresión anterior se simplificapara dar,

H =1

2

�Xi=1

�qipi + U| {z }�

Para sistemas naturales�

(6.46)

ya que ao = 0 para este tipo de sistemas como se mostró en la sección 2.8.5.

6.3. Ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Hamilton

En las siguientes secciones se mostrarán una serie de ejemplos de aplicaciónde las Ecuaciones de Hamilton.

6.3.1. Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en for-ma implícita

Los ejemplos siguientes representan sistemas sin ligaduras y sistemas con ligadu-ras holónomas en los que las ecuaciones de ligadura serán usadas en forma implícita.

Pasos a seguir cuando se tienen sistemas sin ligaduras: recuérdese que en estoscasos el número de coordenadas generalizadas a utilizar es � = 3N .

1. Se halla el número de grados de libertad, que es igual al número mínimo de coor-denadas generalizadas necesarias para fijar la configuración del sistema.


3. Se construye el Hamiltoniano siguiendo los pasos mostrados en la sección 6.2.1. Enel caso de que el sistema considerado sea conservativo, en vez de usar (6.2) en elpaso 3 de la mencionada sección, se usará (6.38) para construir el Hamiltoniano.

4. Se encuentran las Ecuaciones de Hamilton (6.36) a partir del Hamiltoniano encon-trado en el paso anterior según sean las características del sistema.


6.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON

5. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones forma-do por las Ecuaciones de Hamilton obtenidas en el paso anterior.

Pasos a seguir cuando se tienen sistemas con ligaduras holónomas a ser usadas enforma implícita: recuérdese que en estos casos el número de coordenadas generali-zadas a utilizar es � = e� = 3N �K(h).



3. Se construye el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras presentesen el sistema. Luego, a partir de éste, se construye el correspondiente Lagrangianodonde se consideran las ligaduras.

4. Se construye el Hamiltoniano siguiendo los pasos mostrados en la sección 6.2.1. Enel caso de que el sistema considerado sea conservativo, en vez de usar (6.2) en elpaso 3 de la mencionada sección, se usará (6.38) para construir el Hamiltoniano.Aquí se obtiene el Hamiltoniano con las ligaduras incluidas.


6. Se encuentran las cantidades requeridas a partir del sistema de ecuaciones forma-do por las Ecuaciones de Hamilton obtenidas en el paso anterior y las ecuacionesde ligadura.

Los anteriores pasos son una simple guía para resolver los problemas, no pretendenser reglas de estricto cumplimiento y son introducidos como una guía para ordenar losconocimientos presentados en los siguientes ejemplos.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 6.1Se tiene una partícula de masa m obligada a moverse sobre la

superficie de un cilindro definido por x2 + y2 = R2. La partícula está sujeta a una fuerzadirigida hacia el origen y proporcional a la distancia de la partícula a dicho origen:�!F = �K�!r (no existe fricción alguna y no se considera el campo gravitacional). En-contrar las ecuaciones de movimiento de Hamilton y muestre que el movimiento a lolargo del eje z es armónico simple con frecuencia !o =

qKm

.



SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. La figura 6.1 ilustra lo descrito en elenunciado del ejemplo. Por la obvia simetría del problema serán escogidas coorde-nadas cilíndricas (r0; '; z) para ubicar la partícula de masa m (se ha escrito r0 en vez der para distinguirla del vector de posición �!r y su módulo r en

�!F = �K�!r ).

Ligaduras: existe K(h) = 1 ligadura holónoma,8><>:r0 = R) f

(h)1 = r0 �R = 0, que es la ecuación del cilindro

en coordenadas cilíndricas y obliga a que el movimientode m sea sobre un cilindro de radio R.

(6.47)


Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como exis-ten K(h) = 2 ligaduras holónomas, entonces el número de grados de liberdad es,

s = 3N �K(h) = 3 (1)� 1 = 2 (6.48)


e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 1 = 2 (6.49)


Figura (6.1): Partícula de masa m obligada a moverse sobre la superficie del cilindro x2 + y2 = R2.



Se construye el Lagrangiano: se hallan la energía potencial total y energía cinéticatotal del sistema. La energía potencial total del sistema es la correspondiente a lafuerza

�!F ,

U = �Z r

0

Fdr =1

2Kr2 =

1

2K�x2 + y2 + z2

�(6.50)

que en coordenadas cilíndricas se escribe como,

U =1

2K�r02 + z2

�(6.51)

La energía cinética total, en coordenadas cilíndricas, viene dada por,

T =1

2mv2 =

1

2m��r02+ r02

�'2+

�z2�

(6.52)

entonces,L = T � U = 1

2m��r02+ r02

�'2+

�z2�� 12K�r02 + z2

�(6.53)

que es el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta la ligadura (6.47).

Como en este caso se va a usar la ligadura en forma implícita entonces, a este nivel,será empleada para eliminar coordenadas dependientes en el Lagrangiano (6.53). Enefecto, al introducir la ligadura (6.47) en (6.53) resulta,

L =1

2m�R2

�'2+

�z2�� 12K�R2 + z2

�(6.54)

observándose que ' es cíclica ya que no aparece explícitamente en el Lagrangianoy, por lo tanto, tampoco va a aparecer en el Hamiltoniano. Nótese que, sin embargo,aparece la correspondiente velocidad

�'.

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas gene-ralizadas: las coordenadas generalizadas son ', z, y los momentos conjugados (6.1) adichas coordenadas son,

p' =@L

@�'= mR2

�' (6.55)

pz =@L

@�z= m

�z (6.56)

donde se ha usado (6.54).

Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conju-gados: al despejar

�' y

�z a partir de (6.55) y (6.56) se obtienen respectivamente,

�' =

p'mR2

(6.57)�z =

pzm

(6.58)



Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo (el campode fuerza considerado es central y no existen fuerzas de fricción) y que las ecuacionesde transformación entre las coordenadas Cartesianas y cilíndricas no involucran ex-plícitamente al tiempo, el Hamiltoniano H es la energía total del sistema (6.38). Por lotanto, al sustituir (6.51) y (6.52) en (6.38) resulta,

H = T + U =1

2m��r02+ r02

�'2+

�z2�+1

2K�r02 + z2

�(6.59)

que es el Hamiltoniano del sistema sin haber sustituido la ligadura. Al introducir la liga-dura (6.47) en (6.59) resulta,

H =1

2m�R2

�'2+

�z2�+1

2K�R2 + z2

�(6.60)

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y losmomentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.57) y (6.58) en el Hamilto-niano (6.60) resulta,

H =1

2m

�p2'R2+ p2z

�+1

2K�R2 + z2

�(6.61)

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecua-ciones de movimiento son obtenidas a partir de las Ecuaciones de Hamilton (6.36)resultando, 8>>>><>>>>:

�p' = �@H

@'= 0) p' = c (c constante)

�pz = �@H

@z= �Kz

�' = @H

@p'= p'

mR2�z = @H

@pz= pz

m

(6.62)

que son las ecuaciones de movimiento Hamilton del sistema dado.

El momento p' (en torno al eje z) conjugado a la coordenada ' se conserva (esuna costante de movimiento), ya que esta coordenada es cíclica. Obsérvese que lasdos últimas ecuaciones (6.62) son las mismas (6.57) y (6.58) respectivamente.

Al despejar p' y pz de las dos últimas ecuaciones (6.62) para sustituirlos en las primerasdos se obtiene, (

mR2�' = c) �

' = cmR2

m��z = �Kz ) ��

z + !2oz = 0 con !2o =Km

(6.63)

La primera de las ecuaciones (6.63) indica que la velocidad angular�' es constan-

te y la segunda indica que el movimiento en la dirección z es armónico simple confrecuencia !o =

qKm

.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 6.2Resolver el ejemplo 5.1 por el método Hamiltoniano.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras.Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas:

todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.1 por (5.84), (5.85) y (5.86) respec-tivamente,8><>:




s = 1 (6.65)e� = 1 (6.66)


Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano para este sistema considerando lasligaduras presentes viene dado por (5.91),

L = T � U = 1

2m�x2sec2 � +mgx tan� �mgh (6.67)

donde se ha escogido x como coordenada generalizada.

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas gene-ralizadas: la coordenada generalizada es x y el momento conjugado (6.1) a dichacoordenada es entonces,

px =@L

@�x= m

�x sec2 � (6.68)


�x a partir de (6.68) se obtiene,

�x =

pxmCos2 � (6.69)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo (el campode fuerza es central y no existen fuerzas de fricción) y que las coordenadas Cartesianasx y y no involucran explícitamente al tiempo, el Hamiltoniano H es la energía total delsistema (6.38). Por lo tanto, al sustituir (5.87) y (5.88) en (6.38) resulta,

H = T + U =1

2m��x2+

�y2+

�z2�+mgy (6.70)



que es el Hamiltoniano sin tomar en cuenta las ligaduras presentes. Ahora, al usar lasligaduras (6.64) en (6.70) para eliminar las coordenadas y y z resulta,

H =1

2m�x2Sec2 � �mgx tan� +mgh (6.71)

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y losmomentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.69) en (6.71) resulta,

H =1

2mp2xCos

2 � �mgx tan� +mgh (6.72)

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecua-ciones de movimiento son obtenidas a partir de las Ecuaciones de Hamilton (6.36)resultando, ( �

px = �@H@x= mg tan�

�x = @H

@px= px

mCos2 �

(6.73)

que son las ecuaciones de movimiento de Hamilton para el sistema dado.

Al despejar px de la segunda de las ecuaciones (6.73) y sustituirlo en la primeraresulta,

��x = g Sen�Cos� (6.74)

(la expresión para��y se halla a partir de la ecuación de la ligadura) que coincide con

(5.93) obtenida a partir de las ecuaciones de movimiento de Lagrange. De aquí enadelante los cálculos son idénticos a los realizados en el ejemplo 5.1, obteniéndoseque la aceleración a lo largo del plano inclinado es,

a = g Sen� (6.75)

en coincidencia con (5.95) obtenida a partir de las ecuaciones de Lagrange.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 6.3Resolver la parte (a) del ejemplo 5.2 por el método Hamiltoniano.

SOLUCION: este es un sistema sin ligaduras.



Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas:no existen ligaduras mientras que los Grados de Libertad y el número mínimo de Co-ordenadas Generalizadas están dados en el ejemplo 5.2 por (5.97) y (5.98) respectiva-mente,

s = 3 (6.76)e� = 3 (6.77)

siendo e� = s como era de esperarse para un sistema sin ligaduras.

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano viene dado por (5.101),

L = T � U = 1

2m��x2+

�y2+

�z2�� U (x; y; z) (6.78)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas genera-lizadas: las coordenadas generalizadas son x, y, z y los momentos conjugados (6.1) adichas coordenadas son,

px =@L

@�x= m

�x (6.79)

py =@L

@�y= m

�y (6.80)

pz =@L

@�z= m

�z (6.81)

Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos con-jugados: al despejar

�x,

�y y

�z a partir de las ecuaciones (6.79), (6.80) y (6.81) resulta

respectivamente,�x =

pxm

(6.82)�y =

pym

(6.83)�z =

pzm

(6.84)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoni-ano H es la energía total del sistema (6.38),

H = T + U =1

2m��x2+

�y2+

�z2�+ U (x; y; z) (6.85)

donde se han empleado (5.99) y (5.100).

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y losmomentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.82), (6.83) y (6.84) en (6.85)resulta,

H =1

2m

�p2x + p2y + p2z

�+ U (x; y; z) (6.86)



Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecua-ciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36),

8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

�px = �@H

@x= �@U

@x= Fx

�py = �@H

@y= �@U

@y= Fy

�pz = �@H

@z= �@U

@z= Fz

�x = @H

@px= px

m�y = @H

@py= py

m�z = @H

@pz= pz

m

(6.87)

que son las ecuaciones de movimiento de Hamilton del sistema dado.

Al despejar px, py y pz de las tres últimas ecuaciones (6.87) para sustituirlos en las tresprimeras se obtiene, 8><>:

Fx = m��x

Fy = m��y

Fz = m��z

(6.88)

en coincidencia con las ecuaciones (5.102) obtenidas a partir de las ecuaciones demovimiento de Lagrange.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.3 por (5.114), (5.115) y (5.116)respectivamente,8>>>>>><>>>>>>:

(x1 = 0) f

(h)1 = x1 = 0

z1 = 0) f(h)2 = z1 = 0

, fijan el movimiento de M1 sobre el eje y.(x2 = 0) f

(h)3 = x2 = 0

z2 = 0) f(h)4 = z2 = 0

, fijan el movimiento de M2 sobre el eje y.

y1 + y2 = `) f(h)5 = y1 + y2 � ` = 0, acopla el movimiento de M1 al de M2.

(6.89)

s = 1 (6.90)e� = 1 (6.91)




Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano ya simplificado con las ligaduras (6.89)viene dado por (5.120),

L =1

2(M1 +M2)

�y2

1 + (M1 �M2) gy1 +M2g` (6.92)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas gene-ralizadas: la coordenada generalizada es y1 y el momento conjugado (6.1) a dichacoordenada es,

py1 =@L

@�y1= (M1 +M2)

�y1 (6.93)


�y1a partir de la ecuación (6.93) resulta,

�y1 =

py1(M1 +M2)

(6.94)


H = T + U =1

2

�M1

�y2

1 +M2�y2

2

�| {z }

Por (5.118)

�g (M1y1 +M2y2)| {z }Por (5.117)

(6.95)

donde aún no se han usado las ligaduras para eliminar coordenadas dependientes.Ahora, al usar las ligaduras (6.89) en (6.95) resulta,

H =1

2(M1 +M2)

�y2

1 + (M2 �M1) gy1 �M2g` (6.96)


H =p2y1

2 (M1 +M2)+ (M2 �M1) gy1 �M2g` (6.97)


( �py1 = �

@H@y1= (M1 �M2) g

�y1 =

@H@py1

=py1

M1+M2

(6.98)




Al despejar py1 de la segunda de las ecuaciones (6.98) y sustituirlo en la primera seobtiene,

��y 1 =

�M1 �M2

M1 +M2

�g (6.99)

y al derivar dos veces con respecto al tiempo t la ligadura f(h)5 en (6.89) y sustituir el

resultado en (6.99) se obtiene,

��y 2 = �

�M1 �M2

M1 +M2

�g (6.100)

Puede observarse que (6.99) y (6.100) son idénticas, respectivamente, a (5.122) y(5.123) obtenidas a partir de las ecuaciones de movimiento de Lagrange.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.4 por (5.124), (5.125) y (5.126)respectivamente,8><>:

z = 0) f(h)1 = z = 0, fija el movimiento de m sobre plano xy.

y = xTg') f(h)2 = y � xTg' = y � xTg (!t) = 0, fija el movimiento

de m sobre el alambre giratorio e introduce la rotación del mismo.(6.101)


s = 1 (6.102)e� = 1 (6.103)


Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano con las ligaduras incluidas viene dadopor (5.133),

L =1

2m��r2+ r2!2

�(6.104)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas gene-ralizadas: la coordenada generalizada es r y el momento conjugado (6.1) a dichacoordenada es,

pr =@L

@�r= m

�r (6.105)




�r a partir de la ecuación (6.105) resulta,

�r =

prm

(6.106)


H = T + U =1

2m��x2+

�y2+

�z2�

| {z }Por (5.128)

+ 0|{z}Por (5.127)

=1

2m��x2+

�y2+

�z2�

que en coordenadas esféricas queda expresado como,

H =1

2m

��r2+ r2

��2

+ r2�'2Sen2 �

�(6.107)

donde aún no se han usado las ligaduras para eliminar coordenadas dependientes.Ahora, al usar las ligaduras (6.101) en (6.107) resulta,

H =1

2m��r2+ r2!2

�(6.108)


H =1

2

�p2rm+mr2!2

�(6.109)


( �pr = �@H

@r= �mr!2

�r = @H

@pr= pr

m

(6.110)


Al despejar pr de la segunda de las ecuaciones (6.110) y sustituirlo en la primeraresulta,

��r = �r!2 (6.111)

que es idéntica a (5.134) obtenida por el método de Lagrange.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .





todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.5 por (5.135), (5.136) y (5.137)respectivamente,

z = 0) f(h)1 = z = 0, fija el movimiento de m sobre plano xy. (6.112)


s = 2 (6.113)e� = 2 (6.114)


(a) Coordenadas Cartesianas:

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano tomando en cuenta la ligadura pre-sente viene dado por (5.141),

L = T � U = 1

2m��x2+

�y2��mgy (6.115)

observándose que x es cíclica.

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas gene-ralizadas: las coordenadas generalizadas son x, y y los momentos conjugados (6.1) adichas coordenadas son,

px =@L

@�x= m

�x (6.116)

py =@L

@�y= m

�y (6.117)


�x y

�x a partir de las ecuaciones (6.116) y (6.117) resulta,

�x =

pxm

(6.118)�y =

pym

(6.119)




H = T + U =1

2m��x2+

�y2+

�z2�

| {z }Por (5.138)

+ mgy|{z}Por (5.139)

(6.120)

donde aun no se han usado la ligadura para eliminar coordenadas. Ahora, al usar laligadura (6.112) en (6.120),

H =1

2m��x2+

�y2�+mgy (6.121)

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y losmomentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.118) y (6.119) en (6.121)resulta,

H =1

2m

�p2x + p2y

�+mgy (6.122)

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecua-ciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36),8>>>><>>>>:

�px = �@H

@x= 0) px = constante

�py = �@H

@y= �mg

�x = @H

@px= px

m�y = @H

@py= py

m

(6.123)


De la primera de las ecuaciones (6.123) se observa que el momento conjugado ala coordenada x se conserva, consecuencia de que esta coordenada sea cíclica.

Al despejar px y py de las dos últimas ecuaciones (6.123) para sustituirlos en las dosprimeras resulta, ( ��

x = 0��y = �g

(6.124)

que coinciden completamente con las ecuaciones (5.142) obtenidas a partir de lasecuaciones de movimiento de Lagrange.

(b) Coordenadas esféricas:

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano incluyendo la ligadura viene dado por(5.147),

L = T � U = 1

2m��r2+ r2

�'2��mgr Sen' (6.125)



Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas gene-ralizadas: las coordenadas generalizadas son r, ' y los momentos conjugados (6.1) adichas coordenadas son,

pr =@L

@�r= m

�r (6.126)

p' =@L

@�'= mr2

�' (6.127)


�r y

�' a partir de las ecuaciones (6.126) y (6.127) resulta,

�r =

prm

(6.128)�' =

p'mr2

(6.129)


H = T + U =1

2m

��r2+ r2

��2

+ r2�'2Sen2 �

�| {z }

por (5.143)

+mgr Sen � Sen'| {z }por (5.144)

(6.130)

donde aun no se ha usado la ligadura para eliminar coordenadas. Ahora, al usar laligadura (6.127) en (6.130) ,

H =1

2m��r2+ r2

�'2�+mgr Sen' (6.131)


H =1

2m

�p2r+p2'r2

�+mgr Sen' (6.132)


8>>>><>>>>:

�pr = �@H

@r=

p2'mr3�mg Sen'

�p' = �@H

@'= �mgrCos'

�r = @H

@pr= pr

m�' = @H

@p'= p'

mr2

(6.133)




Al despejar pr y p' de las dos últimas ecuaciones (6.133) para sustituirlos en las dosprimeras resulta, (

r�'2� g Sen'� ��

r = 0

gCos'+ 2�r�'+ r

��' = 0

(6.134)


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



todas estas cantidades están dadas en el ejemplo 5.6 por (5.149), (5.151) y (5.152)respectivamente,(

r = zTg�) f(h)1 = r � zTg� = 0, haciendo quem se mueva

sobre la superficie del cono (ecuación del cono).(6.135)

que es esclerónoma y, por lo tanto, el sistema es holónomo esclerónomo.

s = 2 (6.136)e� = 2 (6.137)

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano tomando en cuenta la ligadura vienedado por (5.156),

L =1

2m��r2Csc 2�+ r2

�'2��mgrCtg� (6.138)

observándose que ' es cíclica.


pr =@L

@�r= m

�r csc2 � (6.139)

p' =@L

@�'= mr2

�' (6.140)




�r y

�' a partir de las ecuaciones (6.139) y (6.140),

�r =

prmSen2 � (6.141)

�' =

p'mr2

(6.142)


H = T + U =1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2�

| {z }por (5.153)

+ mgz|{z}por (5.154)

(6.143)

donde aun no se ha usado la ligadura para eliminar coordenadas. Ahora, al usar laligadura (6.135) en (6.143) para eliminar la coordenada z resulta,

H =1

2m��r2csc2 �+ r2

�'2�+mgr cot� (6.144)


H =1

2m

�p2r Sen

2 �+p2'r2

�+mgr cot� (6.145)

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecua-ciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36),8>>>><>>>>:

�pr = �@H

@r=

p2'mr3�mg cot�

�p' = �@H

@'= 0) p' = c (c = constante)

�r = @H

@pr= pr

mSen2 �

�' = @H

@p'= p'

mr2

(6.146)


El momento generalizado conjugado a la coordenada ' se conserva, ya que estacoordenada es cíclica. Al despejar pr y p' de las últimas dos ecuaciones (6.146) parasustituirlos en las primeras dos resulta,(

mr2�' = c (c = constante)

0 =��r � r �'

2Sen2 �+ g Sen�Cos�

(6.147)




Figura (6.2): Péndulo esférico de masa pendular m y longitud b.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 6.8Encuentre las ecuaciones de movimiento de Hamilton para el pén-

dulo esférico de masa pendular m y longitud constante b mostrado en la figura 6.2 detal manera que el ángulo � aparezca en éstas.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. La figura 6.2 ilustra lo descrito en elenunciado del ejemplo. Por la obvia simetría del problema serán escogidas coorde-nadas esféricas (r; �; ') para ubicar la partícula de masa m, colocando el origen en elpunto de soporte del péndulo como se muestra en la figura 6.3. De esta figura se ob-serva que � = �� y es de hacer notar que esta ecuación no representa una ligaduraya que � no es una coordenada en el sistema de coordenadas escogido.

Ligaduras: existe K(h) = 1 ligadura holónoma,8><>:r = b) f

(h)1 = r � b = 0, que fija el movimiento de la masa

m al punto de soporte del péndulo, manteniéndola a unadistancia constante b del mismo.

(6.148)

que es esclerónoma.Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: como exis-

ten K(h) = 2 ligaduras holónomas, entonces el número de grados de liberdad es,

s = 3N �K(h) = 3 (1)� 1 = 2 (6.149)


e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 1 = 2 (6.150)



Figura (6.3): Coordenadas esféricas de la masa pendular m en un pédulo esférico.


Se construye el Lagrangiano: la energía cinética total del sistema (en coordenadasesféricas) es,

T =1

2mv2 =

1

2m

��r2+ r2

��2

+ r2 Sen2 ��'2�

(6.151)

Por otro lado, la única fuerza que actúa sobre el péndulo es la de gravedad y si sedefine el origen de potencial en el punto de soporte (y = 0 o � = 0) del péndulo,

U = �mgy| {z }Con y>0

= mgrCos � (6.152)

debido a que, en coordenadas esféricas, y = rCos �. Se ha suprimido el signo negativoen mgrCos � ya que esta cantidad será negativa para � > �

2reproduciendo así las

energías negativas dadas por U = �mgy.

Es posible cambiar la coordenada ' por el ángulo variable � haciendo que ésteactúe como coordenada al tener presente que � = � � � en (6.151) y (6.152). Enefecto,

T =1

2mv2 =

1

2m

(�r2+ r2

�d

dt(� � �)

�2+ r2 Sen2 (� � �) �'

2

)=

1

2m��r2+ r2

��2+ r2 Sen2 �

�'2�

(6.153)

U = mgrCos (� � �) = �mgrCos� (6.154)



Entonces,L = T � U = 1

2m��r2+ r2

��2+ r2 Sen2 �

�'2�+mgrCos� (6.155)

que es el Lagrangiano del sistema donde no se ha considerado la ligadura. Al sustituirla ligadura (6.148) en el Lagrangiano (6.155) resulta,

L =1

2mb2

��2+ Sen2 �

�'2�+mgbCos� (6.156)

De aquí se observa que las coordenadas generalizadas son � y ', notándose que lacoordenada ' es cíclica.

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas gene-ralizadas: las coordenadas generalizadas son �, ' y los momentos conjugados (6.1) adichas coordenadas son,

p� =@L

@��= mb2

�� (6.157)

p' =@L

@�'= mb2 Sen2 �

�' (6.158)



�� y

�' a partir de las ecuaciones (6.157) y (6.158) resulta,

�� =

p�mb2

(6.159)�' =

p'

mb2 Sen2 �(6.160)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo, el Hamilto-niano H es la energía total del sistema (6.38),

H = T + U =1

2m��r2+ r2

��2+ r2 Sen2 �

�'2�

| {z }+por (6.153)

(�mgrCos�)| {z }por (6.154)

(6.161)

que es el Hamiltoniano del sistema sin considerar la ligadura. Al sustituir la ligadura(6.148) en (6.161) resulta,

H =1

2mb2

��2+ Sen2 �

�'2��mgbCos� (6.162)

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y losmomentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.159) y (6.160) en (6.162) seobtiene,

H =1

2mb2

�p2� +

p2'

Sen2 �

��mgbCos� (6.163)




8>>>><>>>>:

�p� = �@H

@�=

p2' Cos�

mb2 Sen3 ��mgb Sen�

�p' = �@H


�� = @H

@p�= p�

mb2�' = @H

@p'= p'

mb2 Sen2 �

(6.164)

que son las ecuaciones de movimiento de Hamilton pedidas.

Como ' es cíclica, el momento p' referente al eje de simetría es constante. Al de-spejar p� y p' de las dos últimas ecuaciones (6.164) para sustituirlos en las dos primerasresulta, (

mb2 Sen2 ��' = c (c = constante)

0 = b�� b �'

2Sen�Cos�+ g Sen�

(6.165)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 6.9Obtenga las ecuaciones de movimiento de Hamilton para una

partícula de masa m que se mueve a lo largo del eje x sometida a una fuerza �kx (kconstante positiva).

Figura (6.4): Partícula de masa m que se mueve a lo largo del eje x sometida a una fuerza �Kx.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. La figura 6.4 ilustra lo descrito en elenunciado del ejemplo. Por la obvia simetría del problema serán escogidas coorde-nadas Cartesianas (x; y; z) para ubicar la partícula de masa m, colocando el origencomo se muestra en la mencionada figura.



Ligaduras: existen K(h) = 2 ligaduras holónomas,8><>:(y = 0) f

(h)1 = y = 0

z = 0) f(h)2 = z = 0

, que fijan el movimiento de la partícula

de masa m al eje x.

(6.166)



s = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (6.167)


e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (6.168)


Se construye el Lagrangiano: la energía cinética total del sistema viene dada por,

T =1

2mv2 =

1

2m��x2+

�y2+

�z2�

(6.169)

y la energía potencial total por,

U =1

2k�x2 + y2 + z2

�(6.170)

ya que la única fuerza que actúa sobre la partícula es �kx, donde se ha definido laenergía potencial cero en el origen x = 0. Entonces, el Lagrangiano del sistema vendrádado por,

L = T � U = 1

2m��x2+

�y2+

�z2�

| {z }Por (6.169)

� 12k�x2 + y2 + z2

�| {z }

Por (6.170)

(6.171)

que es el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras (6.166). Ahora, al tener pre-sentes las ligaduras se reduce a,

L =1

2m�x2� 12kx2 =

1

2

�m�x2� kx2

�(6.172)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas gene-ralizadas: la coordenada generalizada es x y el momento conjugado (6.1) a dichacoordenada es,

px =@L

@�x= m

�x (6.173)





�x a partir de la ecuación (6.173) resulta,

�x =

pxm

(6.174)


H = T + U =1

2m��x2+

�y2+

�z2�

| {z }por (6.169)

+1

2k�x2 + y2 + z2

�| {z }

por (6.170)

(6.175)

que es el Hamiltoniano del sistema sin considerar las ligaduras. Al sustituir las ligaduras(6.166) en (6.175) resulta,

H =1

2m�x2+1

2kx2 =

1

2

�m�x2+ kx2

�(6.176)


H =1

2

�p2xm+ kx2

�(6.177)


( �px = �@H

@x= �kx

�x = @H

@px= px

m

(6.178)


Al despejar px de la segunda de las ecuaciones (6.178) y sustituirlo en la primera seobtiene,

��x + !2ox = 0 (6.179)

con,!2o =

K

m(6.180)

que es la familiar resultado para el oscilador armónico simple.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Figura (6.5): Partícula de masa m que se mueve en un plano, inmersa en un campo con energía poten-cial U = U (r)

EJEMPLO 6.10Obtener las ecuaciones de movimiento de Hamilton para una

partícula de masa m que se mueve en el plano xy, inmersa en un campo de energíapotencial U = U (r) como muestra la figura 6.5.

SOLUCION: este es un sistema con ligaduras. La figura 6.5 ilustra lo descrito en elenunciado del ejemplo. Por la obvia simetría del problema serán escogidas coorde-nadas esféricas (r; �; ') para ubicar la partícula de masa m, colocando el origen en ellugar donde está la fuente del campo.

Ligaduras: existe K(h) = 1 ligadura holónoma,(� = �

2) f

(h)1 = � � �

2= 0, que fija el movimiento de la

partícula de masa m al plano xy.(6.181)



s = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (6.182)


e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (6.183)


Se construye el Lagrangiano: la energía potencial total del sistema es,

U = U (r) (6.184)



y la energía cinética total viene dada por,

T =1

2mv2 =

1

2m

��r2+ r2

��2

+ r2�'2Sen2 �

�(6.185)

entonces,

L = T � U = 1

2m

��r2+ r2

��2

+ r2�'2Sen2 �

�� U (r) (6.186)

que es el Lagrangiano sin tomar en cuenta la ligadura (6.181). Ahora, al tener presentela ligadura se reduce a,

L =1

2m��r2+ r2

�'�� U (r) (6.187)

observándose que ' es cíclica.


pr =@L

@�r= m

�r (6.188)

p' =@L

@�'= mr2

�' (6.189)

donde se a usado (6.187).


�r y

�' a partir de las ecuaciones (6.188) y (6.189) se obtiene,

�r =

prm

(6.190)�' =

p'mr2

(6.191)


H = T + U =1

2m

��r2+ r2

��2

+ r2�'2Sen2 �

�| {z }

por (6.185)

+ U (r)| {z }por (6.184)

(6.192)

que es el Hamiltoniano del sistema sin considerar las ligaduras. Al sustituir las ligadura(6.181) en (6.192) resulta,

H =1

2m��r2+ r2

�'2�+ U (r) (6.193)




H =1

2m

�p2r +

p2'r2

�+ U (r) (6.194)


8>>>><>>>>:

�pr = �@H

@r=

p2'mr3� @U(r)

@r�p' = �@H


�r = @H

@pr= pr

m�' = @H

@p'= p'

mr2

(6.195)


La segunda de las ecuaciones (6.195) indica que el momento conjugado a la coor-denada ' (momento angular) es constante o se conserva (el momento angular en uncampo central es constante). Al despejar pr y p' de las dos últimas ecuaciones (6.195)y sustituirlos en las dos primeras resulta,(

mr2�' = c (c = constante)

0 = m��r �mr �'

2+ Fr

(6.196)

con Fr = �@U(r)@r

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 6.11Encuentre las ecuaciones de movimiento de Hamilton para un

péndulo simple de masa pendular m y longitud ` como el mostrado en la figura 6.6.SOLUCION: este es un sistema con ligaduras y se usarán coordenadas cilíndricas

(r; '; z) para indicar la posición de la masa pendular m con el origen ubicado como seindica en la figura 6.6.

Ligaduras: existen K(h) = 2 ligaduras holónomas,8>>><>>>:z = 0) f

(h)1 = z = 0, que fija el movimiento de la masa pendular

al plano xy.r = 2` Sen') f

(h)2 = r � 2` Sen' = 0, que obliga a la masa pendular

a moverse describiendo un arco de circunferencia.

(6.197)



Figura (6.6): Péndulo simple de masa pendular m y longitud `.


La ligadura f(h)2 es fácil de obtener a partir de la figura 6.7. Un trivial an+alisis ge-

ométrico del triángulo 4ABC permite escribir,

(`� y)2 + x2 = `2 (6.198)

que representa la ecuación del arco de circunferencia descrito por la masa pendulardurante su movimiento. Pero en coordenadas cilíndricas,

x = rCos' (6.199)

y = r Sen' (6.200)

entonces (6.198) se puede escribir ahora como,

(`� r Sen')2 + (rCos')2 = `2 (6.201)

o,r = 2` Sen' (6.202)

que es la ligadura f(h)2 .


s = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (6.203)


e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (6.204)



Figura (6.7): Coordenadas Cartesianas y cilíndricas para la masa pendular m del péndulo mostrado enla figura 6.6.


Se construye el Lagrangiano: en coordenadas cilíndricas la energía cinética totaldel sistema es,

T =1

2mv2 =

1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2�

(6.205)

y la energía potencial total viene dada por,

U = mgy = mgr Sen' (6.206)

donde se ha usado (6.200). Entonces,

L = T � U = 1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2��mgr Sen' (6.207)

que es el Lagrangiano del sistema donde no se han considerado las ligaduras (6.197).Ahora, al tener presentes la ligaduras se reduce a,

L = 2m`�`�'2� g Sen2 '

�(6.208)

donde se puede observar que la coordenada generalizada es '.

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas gene-ralizadas: la coordenada generalizada es ' y el momento conjugado (6.1) a dichacoordenada es,

p' =@L

@�'= 4m`2

�' (6.209)




�' a partir de la ecuación (6.209) se obtiene,

�' =

p'4m`2

(6.210)


H = T + U =1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2�

| {z }Por (6.205)

+mgr Sen'| {z }Por (6.206)

(6.211)


H = 2m`�`�'2+ g Sen2 '

�(6.212)


H =p2'8m`2

+mg` Sen2 ' (6.213)


( �p' = �@H

@'= �4mg` Sen'Cos'

�' = @H

@p'= p'

4m`2

(6.214)


Al despejar p' de la segunda de las ecuaciones (6.214) y sustituirlo en la primeraresulta,

��' +

g

`Sen'Cos' = 0 (6.215)

La coordenada generalizada usada para describir el sistema fue la coordenadacilíndrica '. Sin embargo, la coordenada ' puede ser cambiada por el ángulo variable�, adquiriendo éste estatus de coordenada generalizada del sistema. De los triángulos4ABC y 4AC0 se deduce que,

`

Cos'=

r

Sen�(6.216)

en virtud de que ambos comparten el cateto x. Al sustituir (6.202) en (6.216) resulta,

Sen� = 2Sen'Cos' (6.217)



que es la ecuación que relaciona ' con �. De esta expresión se obtiene que,

Sen2 ' =1

2(1� Cos�) (6.218)

y al derivar la misma con respecto al tiempo t resulta,

�' =

1

2

�� (6.219)

Ahora al sustituir (6.218) y (6.219) en (6.208) y (6.212) se puede escribir,

L =1

2m`2

��2�mg` (1� Cos�) (6.220)

H =1

2

p2�m`2

+mg` (1� Cos�) (6.221)

que es el Lagrangiano y el Hamiltoniano del sistema en función ahora de la coordena-da generalizada � y donde se han tomado encuenta las ligaduras (6.197). Si se partede (6.220) y (6.221) las ecuaciones de movimiento de Hamilton resultan en,

( �p� = �@H

@�= �mg` Sen�

�� = @H

@p�= p�

m`2

(6.222)

y de aquí,�� +

g

`Sen� = 0 (6.223)

que es la familiar ecuación de movimiento para el péndulo.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.2. Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma explícita

Los ejemplos siguientes representan sistemas holónomos donde las ligadurasserán usadas en forma explícita. Recuérdese que en estos casos el número de coor-denadas generalizadas a utilizar es � = 3N .

Pasos a seguir cuando se tienen sistemas con ligaduras holónomas a ser usadas enforma explícita:





3. Se construye el Lagrangiano del sistema sin tomar en cuenta las ligaduras presentesen el sistema.

4. Se construye el Hamiltoniano siguiendo los pasos mostrados en la sección 6.2.1. Enel caso de que el sistema considerado sea conservativo, en vez de usar (6.2) en elpaso 3 de la mencionada sección, se usará (6.38) para construir el Hamiltoniano.Aquí se obtiene el Hamiltoniano sin tomar en cuenta las ligaduras.




. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


5.12 usando el método de Hamilton.


todas estas cantidades están calculadas, originalmente, en el ejemplo 5.1 (5.84), (5.85)y (5.86) respectivamente ya que el ejemplo 5.12 se basa en éste,8><>:




s = 1 (6.225)e� = 1 (6.226)


Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras (6.224)viene dado por (5.89),

L = T � U = 1

2m��x2+

�y2+

�z2��mgy (6.227)




px =@L

@�x= m

�x (6.228)

py =@L

@�y= m

�y (6.229)

pz =@L

@�z= m

�z (6.230)


�x,

�y,

�z a partir de las ecuaciones (6.228) a (6.230) se obtiene,

�x =

pxm

(6.231)�y =

pym

(6.232)�z =

pzm

(6.233)


H = T + U =1

2m��x2+

�y2+

�z2�+mgy (6.234)

obtenido a partir de la energía cinética (5.87) y la potencial (5.88), en el cual no sehan considerado las ligaduras.

Se escribe el Hamiltoniano sólo en función de las coordenadas generalizadas y losmomentos conjugados a dichas coordenadas: al sustituir (6.231) a (6.233) en (6.234)resulta,

H =1

2m

�p2x + p2y + p2z

�+mgy (6.235)

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecua-ciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36),8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

�px = �@H

@x+ �1

@f1@x+ �2

@f2@x= �2 tan�

�py = �@H

@y+ �1

@f1@y+ �2

@f2@y= �mg + �2

�pz = �@H

@z+ �1

@f1@z+ �2

@f2@z= �1

�x = @H

@px= px

m�y = @H

@py= py

m�z = @H

@pz= pz

m

(6.236)



que son las ecuaciones de Hamilton del sistema dado.

Al despejar px, py y pz de las últimas tres ecuaciones (6.236) para sustituirlos en lastres primeras resulta, 8><>:

m��x = �2 tan�

m��y = �mg + �2

m��z = �1

(6.237)

Estas ecuaciones son idénticas a las (5.237), por lo tanto, es de esperarse que lasfuerzas generalizadas de ligadura sean las mismas que las mostradas en (5.240).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




todas estas cantidades están calculadas, originalmente, en el ejemplo 5.3 (5.114),(5.116) y (5.116) respectivamente ya que el ejemplo 5.13 se basa en éste,

8>>>>>><>>>>>>:

(x1 = 0) f

(h)1 = x1 = 0

z1 = 0) f(h)2 = z1 = 0

, fijan el movimiento de m1 sobre el eje y.(x2 = 0) f

(h)3 = x2 = 0

z2 = 0) f(h)4 = z2 = 0

, fijan el movimiento de m2 sobre el eje y.

y1 + y2 = `) f(h)5 = y1 + y2 � ` = 0, acopla el movimiento de m1 al de m2.

(6.238)

s = 1 (6.239)e� = 1 (6.240)


Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin tomar en cuenta las ligaduras (6.238)viene dado por (5.119),

L =1

2

hM1

��x2

1 +�y2

1 +�z2

1

�+M2

��x2

2 +�y2

2 +�z2

2

�i+ g (M1y1 +M2y2) (6.241)



Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas genera-lizadas: las coordenadas generalizadas son x1, y1, z1, x2, y2, z2 y los momentos conjuga-dos (6.1) a dichas coordenadas son,

px1 =@L

@�x1=M1

�x1 (6.242)

py1 =@L

@�y1=M1

�y1 (6.243)

pz1 =@L

@�z1=M1

�z1 (6.244)

px2 =@L

@�x2=M2

�x2 (6.245)

py2 =@L

@�y2=M2

�y2 (6.246)

pz2 =@L

@�z2=M2

�z2 (6.247)


�x1,

�y1,

�z1,

�x2,

�y2,

�z2 a partir de las ecuaciones (6.242) a (6.247) se

obtiene,�x1 =

px1M1

(6.248)

�y1 =

py1M1

(6.249)

�z1 =

pz1M1

(6.250)

�x2 =

px2M2

(6.251)

�y2 =

py2M2

(6.252)

�z2 =

pz2M2

(6.253)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoni-ano H es la energía total del sistema (6.38). A partir de la energía cinética (5.118) y lapotencial (5.117) el Hamiltoniano sin incluir las ligaduras viene dado por,

H = T + U =1

2M1

��x2

1 +�y2

1 +�z2

1

�+1

2M2

��x2

2 +�y2

2 +�z2

2

�� g (M1y1 +M2y2) (6.254)


H =1

2M1

�p2x1 + p2y1 + p2z1

�+

1

2M2

�p2x2 + p2y2 + p2z2

�� g (M1y1 +M2y2) (6.255)



Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecua-ciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36) resultando,8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

�px1 = �

@H@x1+ �1

@f1@x1+ �2

@f2@x1+ �3

@f3@x1+ �4

@f4@x1+ �5

@f5@x1

= �1�py1 = �

@H@y1+ �1

@f1@y1+ �2

@f2@y1+ �3

@f3@y1+ �4

@f4@y1+ �5

@f5@y1= gM1 + �5

�pz1 = �

@H@z1+ �1

@f1@z1+ �2

@f2@z1+ �3

@f3@z1+ �4

@f4@z1+ �5

@f5@z1= �2

�px2 = �

@H@x2+ �1

@f1@x2+ �2

@f2@x2+ �3

@f3@x2+ �4

@f4@x2+ �5

@f5@x2

= �3�py2 = �

@H@y2+ �1

@f1@y2+ �2

@f2@y2+ �3

@f3@y2+ �4

@f4@y2+ �5

@f5@y2= gM2 + �5

�pz2 = �

@H@z2+ �1

@f1@z2+ �2

@f2@z2+ �3

@f3@z2+ �4

@f4@z2+ �5

@f5@z2= �4

�x1 =

@H@px1

=px1M1

�y1 =

@H@py1

=py1M1

�z1 =

@H@pz1

=pz1M1

�x2 =

@H@px2

=px2M2

�y2 =

@H@py2

=py2M2

�z3 =

@H@pz3

=pz2M2

(6.256)

Al despejar px1 , py1 , pz1 , px2 , py2 y pz2 de las últimas seis ecuaciones (6.256) para susti-tuirlos en las primeras seis resulta, 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

M1��x1 = �1

M1��y 1 = gM1 + �5

M1��z 1 = �2

M2��x2 = �3

M2��y 2 = gM2 + �5

M2��z 2 = �4

(6.257)


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




todas estas cantidades están calculadas, originalmente, en el ejemplo 5.9 (5.194),(5.195) y (5.196) respectivamente ya que el ejemplo 5.14 se basa en éste,



(z = c (x2 + y2) = cr2 ) f



s = 2 (6.259)e� = 2 (6.260)


Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano viene dado por (5.200),

L =1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2��mgz (6.261)

en el cual no se ha considerado la ligadura (6.258).

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas genera-lizadas: las coordenadas generalizadas son r, ', z y los momentos conjugados (6.1) adichas coordenadas son,

pr =@L

@�r= m

�r (6.262)

p' =@L

@�'= mr2

�' (6.263)

pz =@L

@�z= m

�z (6.264)


�r,

�',


�r =

prm

(6.265)�' =

p'mr2

(6.266)�z =

pzm

(6.267)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoni-ano H es la energía total del sistema (6.38). A partir de la energía cinética (5.197) y lapotencial (5.198) el Hamiltoniano viene dado por,

H = T + U =1

2m��x2+

�y2+

�z2�+mgz (6.268)

donde no se ha usado las ligadura. En coordenadas cilíndricas se escribe como,

H =1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2�+mgz (6.269)




H =1

2m

�p2r +

p2'r2+ p2z

�+mgz (6.270)

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecua-ciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36) resultando,

8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

�pr = �@H

@r+ �1

@f1@r=

p2'mr3� 2cr�1

�p' = �@H

@'+ �1

@f1@'= 0

�pz = �@H

@z+ �1

@f1@z= �mg + �1

�r = @H

@pr= pr

m�' = @H

@p'= p'

mr2�z = @H

@pz= pz

m

(6.271)

Al despejar pr, p' y pz de las últimas tres ecuaciones (6.271) para sustituirlos en lastres primeras resulta, 8><>:

m��r �mr �'

2= �2cr�1

2�r�'+ r

��' = 0

m��z +mg = �1

(6.272)

Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.259), por lo tanto, es de esper-arse que las fuerzas generalizadas de ligadura sean las mismas que las mostradas en(5.263) con r = R y

�' = !.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



SOLUCION:

Ligaduras, Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas:todas estas cantidades están calculadas en el ejemplo 5.15 (5.264), (5.274) y (5.275)



respectivamente,8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:




(xcm �R Sen�) Sec� = R� ) f(h)4 = (xcm �R Sen�) Sec��R� = 0, hay

rotación en torno al eje z.ycm = �xcmTg �+R Sec�+ ` Sen�) f

(h)5 = ycm + xcmTg ��R Sec�� ` Sen� = 0,

que limita el movimiento del disco a la superficie del plano inclinado.(6.273)


s = 1 (6.274)e� = 1 (6.275)


Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin ligaduras incluidas viene dado por(5.278),

L = T � U = 1

2M��x2

cm +�y2

cm +�z2

cm

�+1

2

�I�

��2+ I�

��2

+ I��2��Mgycm (6.276)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas genera-lizadas: las coordenadas generalizadas son xcm, ycm, zcm, �, �, � y los momentos conju-gados (6.1) a dichas coordenadas son,

pxcm =@L

@�xcm

=M�xcm (6.277)

pycm =@L

@�ycm

=M�ycm (6.278)

pzcm =@L

@�zcm

=M�zcm (6.279)

p� =@L

@��= I�

�� (6.280)

p� =@L

@��= I�

�� (6.281)

p� =@L

@��= I�

�� (6.282)

Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conju-

gados: al despejar�xcm,

�ycm,

�zcm,

��,

��,

�� a partir de las ecuaciones (6.277) a (6.282) se



obtiene,�xcm =

pxcmM

(6.283)�ycm =

pycmM

(6.284)�zcm =

pzcmM

(6.285)�� =

p�I�

(6.286)

�� =

p�I�

(6.287)

�� =

p�I�

(6.288)


H = T + U =1

2M��x2

cm +�y2

cm +�z2

cm

�+1

2

�I�

��2+ I�

��2

+ I��2�+Mgycm (6.289)

sin haber usado las ligaduras.


H =1

2M

�p2xcm + p2ycm + p2zcm

�+1

2

�p2�I�+p2�I�+p2�I�

�+Mgycm (6.290)


�pxcm = �

@H@xcm

+ �1@f1@xcm

+ �2@f2@xcm

+ �3@f3@xcm

+ �4@f4@xcm

+ �5@f5@xcm

= �4 Sec�+ �5Tg ��pycm = �

@H@ycm

+ �1@f1@ycm

+ �2@f2@ycm

+ �3@f3@ycm

+ �4@f4@ycm

+ �5@f5@ycm

= �Mg + �5�pzcm = �

@H@zcm

+ �1@f1@zcm

+ �2@f2@zcm

+ �3@f3@zcm

+ �4@f4@zcm

+ �5@f5@zcm

= �1�p� = �@H

@�+ �1

@f1@�+ �2

@f2@�+ �3

@f3@�+ �4

@f4@�+ �5

@f5@�= �2

�p� = �@H

@�+ �1

@f1@�+ �2

@f2@�+ �3

@f3@�+ �4

@f4@�+ �5

@f5@�= �3

�p� = �@H

@�+ �1

@f1@�+ �2

@f2@�+ �3

@f3@�+ �4

@f4@�+ �5

@f5@�= ��4R

�xcm =

@H@pxcm

= pxcmM

�ycm =

@H@pycm

= pycmM

�zcm =

@H@pzcm

= pzcmM

�� = @H

@p�= p�

I�� = @H

@p�=

p�I�

�� = @H

@p�= p�

I�

(6.291)



Al despejar pxcm , pycm , pzcm , p�, p�, p� de las últimas seis ecuaciones (6.291) para susti-tuirlos en las primeras seis resulta,8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

M��xcm = �4 Sec�+ �5Tg �

M��y cm = �Mg + �5

M��z cm = �1

I�� = �2

I�� = �3

I�� = ��4R

(6.292)


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




todas estas cantidades están calculadas, originalmente, en el ejemplo 5.11 (5.218),(5.220) y (5.221) respectivamente ya que el ejemplo 5.16 se basa en éste,8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:








(6.293)

s = 1 (6.294)e� = 1 (6.295)


Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin incluir las ligaduras viene dado por(5.224),

L = T � U = 1

2M

��R2

+R2��2+

�z2

cm

�+1

2

�I�

��2+ I�

��2

+ I��2�+MgRCos� (6.296)



Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas generali-zadas: las coordenadas generalizadas son R, �, zcm, �, �, � y los momentos conjugados(6.1) a dichas coordenadas son,

pR =@L

@�R=M

�R (6.297)

p� =@L

@��=MR2

�� (6.298)

pzcm =@L

@�zcm

=M�zcm (6.299)

p� =@L

@��= I�

�� (6.300)

p� =@L

@��= I�

�� (6.301)

p� =@L

@��= I�

�� (6.302)

Se encuentran las velocidades generalizadas en función de los momentos conjuga-

dos: al despejar�R,

��,

�zcm,

��,

��,

�� a partir de las ecuaciones (6.297) a (6.302) se obtiene,

�R =

pRM

(6.303)�� =

p�MR2

(6.304)�zcm =

pzcmM

(6.305)�� =

p�I�

(6.306)

�� =

p�I�

(6.307)

�� =

p�I�

(6.308)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoni-ano H es la energía total del sistema (6.38). A partir de la energía cinética (5.222) y lapotencial (5.223) el Hamiltoniano sin incluir las ligaduras viene dado por,

H = T + U =1

2M

��R2

+R2��2+

�z2

cm

�+1

2

�I�

��2+ I�

��2

+ I��2��MgRCos� (6.309)


H =1

2M

�p2R +

p2�R2+ p2zcm

�+1

2

�p2�I�+p2�I�+p2�I�

��MgRCos� (6.310)




�pR = �@H

@R+ �1

@f1@R+ �2

@f2@R+ �3

@f3@R+ �4

@f4@R+ �5

@f5@R= p2�

MR3+MgCos� + �5

�p� = �@H

@�+ �1

@f1@�+ �2

@f2@�+ �3

@f3@�+ �4

@f4@�+ �5

@f5@�= �MgR Sen� + �4 (R2 �R1)

�pzcm = �

@H@zcm

+ �1@f1@zcm

+ �2@f2@zcm

+ �3@f3@zcm

+ �4@f4@zcm

+ �5@f5@zcm

= �1�p� = �@H

@�+ �1

@f1@�+ �2

@f2@�+ �3

@f3@�+ �4

@f4@�+ �5

@f5@�= �2

�p� = �@H

@�+ �1

@f1@�+ �2

@f2@�+ �3

@f3@�+ �4

@f4@�+ �5

@f5@�= �3

�p� = �@H

@�+ �1

@f1@�+ �2

@f2@�+ �3

@f3@�+ �4

@f4@�+ �5

@f5@�= ��4R1

�R = @H

@pR= pR

M�� = @H

@p�= p�

MR2�zcm =

@H@pzcm

= pzcmM

�� = @H

@p�= p�

I�� = @H

@p�=

p�I�

�� = @H

@p�=

p�I�

(6.311)

Al despejar pR, p�, pzcm , p�, p�, p� de las últimas seis ecuaciones (6.311) para sustituirlosen las primeras seis resulta,8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

M��R =MR

��2+MgCos� + �5

MR2�� + 2MR

�R�� = �MgR Sen� + �4 (R2 �R1)

M��z cm = �1

I�� = �2

I�� = �3

I�� = ��4R1

(6.312)

Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.297), por lo tanto, es de esper-arse que las fuerzas generalizadas de ligadura sean las mismas que las mostradas en(5.307).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




todas estas cantidades fueron calculadas en el ejemplo 5.17 (5.309), (5.310) y (5.311)



respectivamente, (z = 0) f

(h)1 = z = 0

r = a) f(h)2 = r � a = 0

(6.313)

que son holónomas esclerónomas.

s = 1 (6.314)e� = 1 (6.315)


Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano en coordenadas cilíndricas y sin liga-duras incluidas viene dado por (5.315),

L =1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2��mgr Sen' (6.316)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas genera-lizadas: las coordenadas generalizadas son r, ', z y los momentos conjugados (6.1) adichas coordenadas son,

pr =@L

@�r= m

�r (6.317)

p' =@L

@�'= mr2

�' (6.318)

pz =@L

@�z= m

�z (6.319)


�r,

�',


�r =

prm

(6.320)�' =

p'mr2

(6.321)�z =

pzm

(6.322)

Se construye el Hamiltoniano: debido a que el sistema es conservativo el Hamiltoni-ano H es la energía total del sistema (6.38). A partir de la energía cinética (5.312) y lapotencial (5.313) el Hamiltoniano en coordenadas Cartesianas y sin incluir las ligadurasviene dado por,

H = T + U =1

2m��x2+

�y2+

�z2�+mgy (6.323)

que en coordenadas cilíndricas se escribe como,

H =1

2m��r2+ r2

�'2+

�z2�+mgr Sen' (6.324)




H =1

2m

�p2r +

p2'r2+ p2z

�+mgr Sen' (6.325)

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecua-ciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36) resultando,8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

�pr = �@H

@r+ �1

@f1@r+ �2

@f2@r=

p2'mr3�mg Sen'+ �2

�p' = �@H

@'+ �1

@f1@'+ �2

@f2@'= mgrCos'

�pz = �@H

@z+ �1

@f1@z+ �2

@f2@z= �1

�r = @H

@pr= pr

m�' = @H

@p'= p'

mr2�z = @H

@pz= pz

m

(6.326)

Al despejar pr, p', pz de las últimas tres ecuaciones (6.326) para sustituirlos en lasprimeras tres resulta, 8><>:

m��r = mr

�'2�mg Sen'+ �2

r��' + 2

�r�' = gCos'

m��z = �1

(6.327)


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




todas estas cantidades fueron calculadas en el ejemplo 5.18 (5.328), (5.329) y (5.330)respectivamente,8><>:


y = xTg � + h (t)) f(h)2 = y � xTg � � h (t) = 0, limita el movimiento

de m a la superficie del plano inclinado móvil.(6.328)



donde f(h)1 es holónoma esclerónoma y f (h)2 es holónoma reónoma.

s = 1 (6.329)e� = 1 (6.330)


Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin incluir las ligaduras viene dado por(5.333),

L = T � U = 1

2m��x2+

�y2+

�z2��mgy (6.331)


px =@L

@�x= m

�x (6.332)

py =@L

@�y= m

�y (6.333)

pz =@L

@�z= m

�z (6.334)


�x,

�y,


�x =

pxm

(6.335)�y =

pym

(6.336)�z =

pzm

(6.337)


H = T + U =1

2m��x2+

�y2+

�z2�+mgy (6.338)

en el cual no se ha hecho uso de las ligaduras.


H =1

2m

�p2x + p2y + p2y

�+mgy (6.339)



Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecua-ciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36) resultando,8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

�px = �@H

@x+ �1

@f1@x+ �2

@f2@x= ��2Tg �

�py = �@H

@y+ �1

@f1@y+ �2

@f2@y= �mg + �2

�pz = �@H

@z+ �1

@f1@z+ �2

@f2@z= �1

�x = @H

@px= px

m�y = @H

@py= py

m�z = @H

@pz= pz

m

(6.340)

Al despejar px, py, pz de las tres últimas ecuaciones (6.340) para sustituirlos en las tresprimeras resulta, 8><>:

m��x = ��2Tg �

m��y +mg = �2

m��z = �1

(6.341)


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.3. Sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas

Los ejemplos siguientes representan sistemas con ligaduras holónomas escritasen la forma semi-holónoma y con ligaduras no-holónomas. Las ligaduras semi-holónomasno serán integradas por lo que se emplearán en forma explícita. Recuérdese que enestos casos el número de coordenadas generalizadas a utilizar es � = 3N .

Pasos a seguir cuando se tienen sistemas con ligaduras semi-holónomas y no-holónomas del tipo:





3. Se hallan los coeficientes Alj al comparar las ligaduras identificadas en el paso 1mediante su comparación con,

8>>>>>>>><>>>>>>>>:

8<: f(nhd)l

�qk;

�qk; t

�f(shd)l

�qk;

�qk; t

� =�Pj=1


(K(nh)

K(h)

8<: f(nhD)l

�qk;

�qk; t

�f(shD)l

�qk;

�qk; t

� =�Pj=1


(K(nh)

K(h)

en la forma que corresponda.


5. Se construye el Hamiltoniano siguiendo los pasos mostrados en la sección 6.2.1. Enel caso de que el sistema considerado sea conservativo, en vez de usar (6.2) en elpaso 3 de la mencionada sección, se usará (6.38) para construir el Hamiltoniano.



Las ligaduras en los sistemas holónomos o las ligaduras holónomas enaquellos sistemas no-holónomos donde existan ligaduras holónomas y no-holónomas, pueden ser convertidas a la forma semi-holónoma al hallar sudiferencial total (ligadura semi-holónoma en forma diferencial) o al derivar-las con respecto al tiempo t (ligadura semi-holónoma en forma de derivadao de velocidad) y así aplicar el presente esquema.


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .





SOLUCION:Ligaduras, Grados de Libertad, número mínimo de Coordenadas Generalizadas

y coeficientes A`i: todas estas cantidades están en el ejemplo 5.19 (5.341), (5.342),(5.342), (5.344) y (5.345) respectivamente. Observar (5.264), (5.274) y (5.275) ya que elejemplo 5.19 se basa en el ejemplo 5.15. Las ligaduras, Grados de Libertad, númeromínimo de Coordenadas Generalizadas y los coeficientes A`i vienen dados por,8>>>>>><>>>>>>:

�zcm = 0) f

(shD)1 =

�zcm = 0

�� = 0) f

(shD)2 =

�� = 0

�� = 0) f

(shD)3 =

�� = 0

�xcm Sec� = R

�� ) f

(shD)4 =

�xcm Sec��R

�� = 0

�ycm = �

�xcmTg �) f

(shD)5 =

�ycm +

�xcmTg � = 0

(6.342)

s = 1 (6.343)e� = 1 (6.344)

siendo e� = s como era de esperarse para un sistema holónomo.8>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1

A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0

A21 = 0 A22 = 0 A23 = 0

A24 = 1 A25 = 0 A26 = 0

A31 = 0 A32 = 0 A33 = 0

A34 = 0 A35 = 1 A36 = 0

A41 = Sec� A42 = 0 A43 = 0

A44 = 0 A45 = 0 A46 = �RA51 = Tg � A52 = 1 A53 = 0

A54 = 0 A55 = 0 A56 = 0

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>;

(6.345)

con q1 = xcm, q2 = ycm, q3 = zcm, q4 = �, q5 = � y q6 = �.

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin considerar ligaduras viene dadopor (5.278),

L = T � U = 1

2M��x2

cm +�y2

cm +�z2

cm

�+1

2

�I�

��2+ I�

��2

+ I��2��Mgycm (6.346)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas genera-lizadas: las coordenadas generalizadas son xcm, ycm, zcm, �, �, � y los momentos conju-



gados (6.1) a dichas coordenadas son,

pxcm =@L

@�xcm

=M�xcm (6.347)

pycm =@L

@�ycm

=M�ycm (6.348)

pzcm =@L

@�zcm

=M�zcm (6.349)

p� =@L

@��= I�

�� (6.350)

p� =@L

@��= I�

�� (6.351)

p� =@L

@��= I�

�� (6.352)



�ycm,

�zcm,

��,

��,


obtiene,

�xcm =

pxcmM

(6.353)�ycm =

pycmM

(6.354)�zcm =

pzcmM

(6.355)�� =

p�I�

(6.356)

�� =

p�I�

(6.357)

�� =

p�I�

(6.358)


H = T + U =1

2M��x2

cm +�y2

cm +�z2

cm

�+1

2

�I�

��2+ I�

��2

+ I��2�+Mgycm (6.359)

sin haber usado ligaduras.


H =1

2M


�+1

2

�p2�I�+p2�I�+p2�I�

�+Mgycm (6.360)




�pxcm = �

@H@xcm

+ �1A11 + �2A21 + �3A31 + �4A41 + �5A51 = �4 Sec�+ �5Tg ��pycm = �

@H@ycm

+ �1A12 + �2A22 + �3A32 + �4A42 + �5A52 = �5�pzcm = �

@H@zcm

+ �1A13 + �2A23 + �3A33 + �4A43 + �5A53 = �1�p� = �@H

@�+ �1A14 + �2A24 + �3A34 + �4A44 + �5A54 = �2

�p� = �@H

@�+ �1A15 + �2A25 + �3A35 + �4A45 + �5A55 = �3

�p� = �@H

@�+ �1A16 + �2A26 + �3A36 + �4A46 + �5A56 = ��4R

�xcm =

@H@pxcm

= pxcmM

�ycm =

@H@pycm

= pycmM

�zcm =

@H@pzcm

= pzcmM

�� = @H

@p�= p�

I�� = @H

@p�=

p�I�

�� = @H

@p�= p�

I�

(6.361)


M��xcm = �4 Sec�+ �5Tg �

M��y cm +Mg = �5

M��z cm = �1

I�� = �2

I�� = �3

I�� = ��4R

(6.362)

Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones (5.349), por lo tanto, es de esper-arse que las fuerzas generalizadas de ligadura sean las mismas que las mostradas enel ejemplo 5.19 y, por ende, en el 5.15.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




y coeficientes A`i: todas estas cantidades están en el ejemplo 5.20 (5.351), (5.352),



(5.353), (5.354) y (5.355) respectivamente,8>>>><>>>>:

�zcm = 0) f

(shD)1 =

�zcm = 0

�� = 0) f

(shD)2 =

�� = 0

�xcm = �R

�� Sen� ) f

(nhD)3 =

�xcm +R Sen�

�� = 0

�ycm = R

��Cos� ) f

(nhD)4 =

�ycm �RCos�

�� = 0

(6.363)

s = 2 (6.364)e� = 4 (6.365)8>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>:

A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1

A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0

A21 = 0 A22 = 0 A23 = 0

A24 = 1 A25 = 0 A26 = 0

A31 = 1 A32 = 0 A33 = 0

A34 = 0 A35 = R Sen� A36 = 0

A41 = 0 A42 = 1 A43 = 0

A44 = 0 A45 = �RCos� A46 = 0

9>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>;(6.366)


Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin usar ligaduras viene dado por(5.358),

L = T � U = 1

2M��x2

cm +�y2

cm +�z2

cm

�+1

2

�I�

��2+ I�

��2

+ I��2��Mgzcm (6.367)


pxcm =@L

@�xcm

=M�xcm (6.368)

pycm =@L

@�ycm

=M�ycm (6.369)

pzcm =@L

@�zcm

=M�zcm (6.370)

p� =@L

@��= I�

�� (6.371)

p� =@L

@��= I�

�� (6.372)

p� =@L

@��= I�

�� (6.373)





�ycm,

�zcm,

��,

��,


obtiene,

�xcm =

pxcmM

(6.374)�ycm =

pycmM

(6.375)�zcm =

pzcmM

(6.376)�� =

p�I�

(6.377)

�� =

p�I�

(6.378)

�� =

p�I�

(6.379)


H = T + U =1

2M��x2

cm +�y2

cm +�z2

cm

�+1

2

�I�

��2+ I�

��2

+ I��2�+Mgzcm (6.380)



H =1

2M


�+1

2

�p2�I�+p2�I�+p2�I�

�+Mgzcm (6.381)

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecua-



ciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36) resultando,8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

�pxcm = �

@H@xcm

+ �1A11 + �2A21 + �3A31 + �4A41 = �3�pycm = �

@H@ycm

+ �1A12 + �2A22 + �3A32 + �4A42 = �4�pzcm = �

@H@zcm

+ �1A13 + �2A23 + �3A33 + �4A43 = �1�p� = �@H

@�+ �1A14 + �2A24 + �3A34 + �4A44 = �2

�p� = �@H

@�+ �1A15 + �2A25 + �3A35 + �4A45 = �3R Sen� � �4RCos�

�p� = �@H

@�+ �1A16 + �2A26 + �3A36 + �4A46 = 0

�xcm =

@H@pxcm

= pxcmM

�ycm =

@H@pycm

= pycmM

�zcm =

@H@pzcm

= pzcmM

�� = @H

@p�= p�

I�� = @H

@p�=

p�I�

�� = @H

@p�= p�

I�

(6.382)


M��xcm = �3

M��y cm = �4

M��z cm +Mg = �1

I�� = �2

I�� = �3R Sen� � �4RCos�

I�� = 0

(6.383)


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 6.21Encuentre las ecuaciones de Hamilton para el ejemplo 5.21.






�zcm = 0) f

(shD)1 =

�zcm = 0

�� = 0) f

(shD)2 =

�� = 0

�� = 0) f

(shD)3 =

�� = 0

Sen��xcm � Cos�

�ycm = 0) f

(nhD)4 = Sen �

�xcm � Cos�

�ycm = 0

(6.384)

s = 2 (6.385)e� = 3 (6.386)

siendo e� > s como era de esperarse para un sistema no-holónomo.8>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>:

A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1

A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0

A21 = 0 A22 = 0 A23 = 0

A24 = 1 A25 = 0 A26 = 0

A31 = 0 A32 = 0 A33 = 0

A34 = 0 A35 = 1 A36 = 0

A41 = Sen� A42 = �Cos� A43 = 0

A44 = 0 A45 = 0 A46 = 0

9>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>;(6.387)



L = T �U = 1

2M��x2

cm +�y2

cm +�z2

cm

�+1

2

�I�

��2+ I�

��2

+ I��2�+QExcm+2qEbCos� (6.388)


pxcm =@L

@�xcm

=M�xcm (6.389)

pycm =@L

@�ycm

=M�ycm (6.390)

pzcm =@L

@�zcm

=M�zcm (6.391)

p� =@L

@��= I�

�� (6.392)

p� =@L

@��= I�

�� (6.393)

p� =@L

@��= I�

�� (6.394)





�ycm,

�zcm,

��,

��,


obtiene,

�xcm =

pxcmM

(6.395)�ycm =

pycmM

(6.396)�zcm =

pzcmM

(6.397)�� =

p�I�

(6.398)

�� =

p�I�

(6.399)

�� =

p�I�

(6.400)


H = T +U =1

2M��x2

cm +�y2

cm +�z2

cm

�+1

2

�I�

��2+ I�

��2

+ I��2��QExcm�2qEbCos� (6.401)



H =1

2M


�+1

2

�p2�I�+p2�I�+p2�I�

��QExcm � 2qEbCos� (6.402)

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecua-



ciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36) resultando,8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

�pxcm = �

@H@xcm

+ �1A11 + �2A21 + �3A31 + �4A41 = QE + �4 Sen��pycm = �

@H@ycm

+ �1A12 + �2A22 + �3A32 + �4A42 = ��4Cos��pzcm = �

@H@zcm

+ �1A13 + �2A23 + �3A33 + �4A43 = �1�p� = �@H

@�+ �1A14 + �2A24 + �3A34 + �4A44 = �2

�p� = �@H

@�+ �1A15 + �2A25 + �3A35 + �4A45 = �3

�p� = �@H

@�+ �1A16 + �2A26 + �3A36 + �4A46 = �2qEb Sen�

�xcm =

@H@pxcm

= pxcmM

�ycm =

@H@pycm

= pycmM

�zcm =

@H@pzcm

= pzcmM

�� = @H

@p�= p�

I�� = @H

@p�=

p�I�

�� = @H

@p�= p�

I�

(6.403)


M��xcm �QE = �4 Sen�


M��z cm = �1

I�� = �2

I�� = �3

I�� + 2qEb Sen� = 0

(6.404)


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .








�zcm = 0) f

(shD)1 =

�zcm = 0, limita el movimiento del carrito al plano xy.

�� = 0) f

(shD)2 =

�� = 0, no hay rotación en torno al eje x.

�� = 0) f

(shD)3 =

�� = 0, no hay rotación en torno al eje y.

�xcm =

�sCos� ) f

(nhD)4 = Cos�

�s� �

xcm = 0.

(6.405)

s = 2 (6.406)e� = 3 (6.407)

siendo e� > s como era de esperarse para un sistema no-holónomo.8>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>:

A11 = 0 A12 = 0 A13 = 1

A14 = 0 A15 = 0 A16 = 0

A21 = 0 A22 = 0 A23 = 0

A24 = 1 A25 = 0 A26 = 0

A31 = 0 A32 = 0 A33 = 0

A34 = 0 A35 = 1 A36 = 0

A41 = Cos� A42 = �1 A43 = 0

A44 = 0 A45 = 0 A46 = 0

9>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>;(6.408)

con q1 = s, q2 = xcm, q3 = zcm, q4 = �, q5 = �, q6 = �.


L = T � U = 1

2M��s2+

�z2

cm

�+1

2

�I�

��2+ I�

��2

+ I��2�+QExcm + 2qEbCos� (6.409)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas genera-lizadas: las coordenadas generalizadas son s, xcm, zcm, �, �, � y los momentos conjuga-dos (6.1) a dichas coordenadas son,

ps =@L

@�s=M

�s (6.410)

pxcm =@L

@�xcm

= 0 (6.411)

pzcm =@L

@�zcm

=M�zcm (6.412)

p� =@L

@��= I�

�� (6.413)

p� =@L

@��= I�

�� (6.414)

p� =@L

@��= I�

�� (6.415)




gados: al despejar�s,

�xcm,

�zcm,

��,

��,


obtiene,�s =

psM

(6.416)�xcm = 0 (6.417)�zcm =

pzcmM

(6.418)�� =

p�I�

(6.419)

�� =

p�I�

(6.420)

�� =

p�I�

(6.421)


H = T + U =1

2M��s2+

�z2

cm

�+1

2

�I�

��2+ I�

��2

+ I��2��QExcm � 2qEbCos� (6.422)



H =1

2M

�p2s + p2zcm

�+1

2

�p2�I�+p2�I�+p2�I�

��QExcm � 2qEbCos� (6.423)

Por último, se encuentran las ecuaciones de movimiento de Hamilton: las ecua-ciones de movimiento de Hamilton son obtenidas a partir de (6.36) resultando,8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

�ps = �@H

@s+ �1A11 + �2A21 + �3A31 + �4A41 = �4Cos�

�pxcm = �

@H@xcm

+ �1A12 + �2A22 + �3A32 + �4A42 = QE � �4�pzcm = �

@H@zcm

+ �1A13 + �2A23 + �3A33 + �4A43 = �1�p� = �@H

@�+ �1A14 + �2A24 + �3A34 + �4A44 = �2

�p� = �@H

@�+ �1A15 + �2A25 + �3A35 + �4A45 = �3

�p� = �@H

@�+ �1A16 + �2A26 + �3A36 + �4A46 = �2qEb Sen�

�s = @H

@ps= ps

M�xcm =

@H@pxcm

= 0�zcm =

@H@pzcm

= pzcmM

�� = @H

@p�= p�

I�� = @H

@p�=

p�I�

�� = @H

@p�= p�

I�

(6.424)



Al despejar ps, pxcm , pzcm , p�, p�, p� de las últimas seis ecuaciones (6.424) para sustituir-los en las primeras seis resulta, 8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

M��s = �4Cos�

QE = �4

M��z cm = �1

I�� = �2

I�� = �3

I�� = �2qEb Sen�

(6.425)


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4. Ecuaciones de Hamilton a partir del Principio de Ostrogradski-Hamilton

El principio de Hamilton establece que,

�

Z t2

t1

L�qi;

�qi; t�dt = 0 (6.426)

y al usar (6.2),

�

Z t2

t1

"Xi

�qipi �H (qi; pi; t)

#dt = 0

o, Z t2

t1

Xi

��pi

�qi + pi�

�qi �

@H

@pi�pi �

@H

@qi�qi

�dt = 0 (6.427)

El segundo término de (6.427) puede ser integrado por partes como sigue,Z t2

t1

pi��qidt =

Z t2

t1

pid

dt�qidt = pi�qiHjt2t1 �

Z t2

t1

�pi�qidt (6.428)

donde el primer término se anula puesto que las variaciones en los extremos se anulan�qi (t1) = �qi (t2) = 0, por lo tanto (6.427) se convierte en,

0 = �

Z t2

t1

Ldt =

Z t2

t1

Xi

��qi �

@H

@pi

��pi +

��pi �

@H

@qi

��qi

�dt (6.429)


6.5. ESPACIO DE FASE

y puesto que las variaciones �pi y �qi son independientes las unas de las otras (porquea lo largo de un camino en el espacio de fase los caminos vecinos pueden tenerdiferentes coordenadas o/y direrentes momentos) resultan,

�qi =

@H@pi�

pi = �@H@qi

)(6.430)

que son las ecuaciones de Hamilton para QNUi = 0.

Se deja como ejercicio al estudiante tratar los restantes casos estudiados antes par-tiendo del Principio de Ostrogradski-Hamilton que incluye a las fuerzas QNU

j mostradopor (5.63) en la sección 5.2.

6.5. Espacio de fase

En el formalismo Hamiltoniano, el estado del movimiento de un sistema mecáni-co con � coordenadas generalizadas en un tiempo definido t está completamentecaracterizado mediante la especificación de � coordenadas generalizadas y � mo-mentos generalizados: q1; q2; q3; : : : ; q� y p1; p2; p3; : : : ; p�.

Figura (6.8): Trayectoria de fase en un espacio de fase.



Se denomina Espacio de Fase al espacio Cartesiano cuyas coorde-nadas son las coordenadas generalizadas qi y los momentos generalizadospi. Este espacio es de dimensión 2�.

El subespacio de dimensión � de las coordenadas qi es el Espacio de Configuracióny el subespacio de dimensión � de los momentos pi es llamado Espacio de Momentos.En el curso del movimiento de un sistema, el punto representativo describe una curvaque es la denominada Trayectoria de Fase (ver figura 6.8). A la representación deuna trayectoria de fase en el espacio de fase, para un determinado sistema, se ledenomina Diagrama de Fase.

Si el Hamiltoniano es conocido, entonces la trayectoria de fase completa puedeser calculada únicamente a partir de las coordenadas de un punto. Por lo tanto, acada punto le pertenece sólo una trayectoria y dos trayectorias diferentes no se inter-sectarán. En el espacio de fase un camino está dado en representación paramétricamediante qi (t), pi (t) (i = 1; 2; 3; :::; �). Debido a la singularidad de las soluciones delas ecuaciones de Hamilton, el sistema se desarrolla a partir de varias condiciones defrontera a lo largo de varias trayectorias. Para sistemas conservativos el punto repre-sentavivo está confinado a una hipersuperfície de dimensión 2��1 del espacio de fasemediante la condición H (qi; pi) = E =constante.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 6.23Construir el diagrama de fase para la partícula del ejemplo 6.1.

SOLUCION: la partícula tiene 2 grados de libertad ('; z), así el espacio de fase paraeste ejemplo es de 4 dimensiones ', p', z, pz. Pero p' es constante según la primera delas ecuaciones (6.62), por lo que puede ser suprimido.

El Hamiltoniano viene dado por (6.61),

H =1

2m

�p2'R2+ p2z

�+1

2K�R2 + z2

�= E = constante (6.431)

Se verá la proyección del camino de fase sobre el plano zpz. Al hacer p' = 0 en laecuación anterior,

p2z2m(E� 1

2KR2)

+ z22EK�R2 = 1 (6.432)



Figura (6.9): Diagrama de fase para la partícula de masa m obligada a moverse sobre la superficie deun cilindro, mostrada en la figura (6.1).

que es la ecuación de una elipse y, así, la proyección del camino de fase sobre elplano zpz para cualquier E es una elipse. Esto era de esperarse ya que el movimientoen la dirección z es armónico simple.

Por otro lado, debido a que�' =constante, el camino de fase debe representar

un movimiento que se incrementa uniformemente con '. Así, el camino de fase sobrecualquier superficie H = E =constante es una espiral elíptica uniforme (ver figura 6.9).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 6.24Construir el diagrama de fase para el ejemplo 6.4.

SOLUCION: el Hamiltoniano viene dado por (6.97) con la posición y1 tomado comocoordenada generalizada del sistema,

H =p2y1

2 (M1 +M2)+ (M2 �M1) gy1 �M2g` (6.433)

Ahora, para encontrar el diagrama de fase del sistema dado, se iguala el Hamilto-niano (6.433) a la energía total del sistema E. En efecto,

p2y12 (M1 +M2)

+ (M2 �M1) gy1 �M2g` = E = constante (6.434)

y a partir de aquí se puede obtener la ecuación para la trayectoria de fase py1 =

py1 (y1),py1 = �

p2 (M1 +M2) (E +M1gy1 +M2g (`� y1)) (6.435)



Figura (6.10): Diagrama de fase para la máquina simple de Atwood de la figura 5.3.

obteniéndose así un conjunto de curvas donde la energía E actúa como parámetro.Estas curvas son mostradas en la figura 6.10.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 6.25Construir el diagrama de fase para una partícula de masa m que

se desliza bajo la acción de la gravedad y sin fricción sobre un alambre que tieneforma de parábola como se muestra en la figura 6.11.

Figura (6.11): Partícula de masa m que se desliza bajo la acción de la gravedad y sin fricción sobre unalambre que tiene forma de parábola y = x2

2 .



SOLUCION: este sistema es conservativo y con ligaduras. Para construir el diagra-ma de fase se necesita encontrar el Hamiltoniano del sistema para lo cual serán em-pleadas coordenadas Cartesianas con el origen en la posición mostrada en la figura6.11.

Ligaduras: existen K(h) = 2 ligaduras holónomas,8>>><>>>:z = 0) f

(h)1 = z = 0, que fija el movimiento de la partícula de masa

m al plano xy.y = 1

2x2 ) f

(h)2 = y � 1

2x2 = 0, que obliga a la partícula a moverse

sobre el alambre.

(6.436)



s = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (6.437)


e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (6.438)


Se construye el Lagrangiano: en coordenadas Cartesianas la energía cinética totaldel sistema es,

T =1

2mv2 =

1

2m��x2+

�y2+

�z2�

(6.439)

y la energía potencial total viene dada por,

U = mgy (6.440)

que establece el origen de potencial (U = 0) en y = 0. Entonces,

L = T � U = 1

2m��x2+

�y2+

�z2��mgy (6.441)

que es el Lagrangiano del sistema donde no se han considerado las ligaduras (6.436).Ahora, al tener presentes la ligaduras se reduce a,

L =1

2m�x2 �1 + x2

�� 12mgx2 (6.442)

donde se puede observar que la coordenada generalizada es x.



Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas gene-ralizadas: la coordenada generalizada es x y el momento conjugado (6.1) a dichacoordenada es,

px =@L

@�x= m

�x�1 + x2

�(6.443)


�x a partir de la ecuación (6.443) se obtiene,

�x =

pxm (1 + x2)

(6.444)

Figura (6.12): Diagrama de fase para el sistema mostrado en la figura (6.11).


H = T + U =1

2m��x2+

�y2+

�z2�

| {z }Por (6.439)

+ mgy|{z}Por (6.440)

(6.445)


H =1

2m�x2 �1 + x2

�+1

2mgx2 (6.446)


H =1

2

p2xm (1 + x2)

+1

2mgx2 (6.447)




1

2

p2xm (1 + x2)

+1

2mgx2 = E = constante (6.448)

y a partir de aquí se puede obtener la ecuación para la trayectoria de fase px = px (x),

px = �pm (1 + x2) (2E �mgx2) (6.449)

obteniéndose así un conjunto de curvas con la energía E como parámetro. Estas cur-vas son mostradas en la figura 6.12.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 6.26Construir el diagrama de fase para el péndulo del ejemplo 6.8

pero con�' = ! (! constante). Este es el llamado pédulo cónico.

SOLUCION: este sistema es conservativo y con ligaduras. Para construir el diagramade fase se necesita encontrar el Hamiltoniano del sistema. La figura 6.3 muestra lascoordenadas a usar.

Ligaduras: existen K(h) = 2 ligaduras holónomas,8><>:�' = ! = constante) f

(h)1 =

�'� ! = 0

r = `) f(h)2 = r � ` = 0, que obliga a masa pendular a moverse a una

distancia fija ` del punto de soporte del pédulo.(6.450)


s = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (6.451)


e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (6.452)


Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano sin incluir ligaduras viene dado por(6.155),

L = T � U = 1

2m��r2+ r2

��2+ r2 Sen2 �

�'2�+mgrCos� (6.453)



Figura (6.13): Diagrama de fase para el péndulo de la figura 6.2 con�' = ! = constante. La figura 6.13(a)

es para ! <pg=` y la 6.13(b) es para ! >

pg=`.

y ahora al sustituir las ligaduras (6.450) resulta,

L =1

2m`2

��2+ !2 Sen2 �

�+mg`Cos� (6.454)

observándose que la coordenada generalizada es �.Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas gene-

ralizadas: la coordenada generalizada es � y el momento conjugado (6.1) a dichacoordenada es,

p� =@L

@��= m`2

�� (6.455)


�� a partir de la ecuación (6.455) se obtiene,

�� =

p�m`2

(6.456)


H = T + U =1

2m��r2+ r2

��2+ r2 Sen2 �

�'2�

| {z }Por (6.153)

�mgrCos�| {z }Por (6.154)

(6.457)


H =1

2m`2

��2+ !2 Sen2 �

��mg`Cos� (6.458)




H =p2�m`2

+1

2m`2!2 Sen2 ��mg`Cos� (6.459)


p2�2m`2

+1

2m`2!2 Sen2 ��mg`Cos� = E = constante (6.460)

y a partir de aquí se puede obtener la ecuación para la trayectoria de fase p� = p� (�),

p� = �`mq

2Em� `2!2 Sen2 �+ 2g`Cos� (6.461)

obteniéndose así un conjunto de curvas con la energía E como un parámetro. Estascurvas son mostradas en la figura 6.13.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 6.27Construir el diagrama de fase para el péndulo simple del ejemplo

6.11.

SOLUCION: el Hamiltoniano viene dado por (6.221) con el ángulo � tomado comocoordenada generalizada del sistema,

H = T + U =1

2

p2�m`2

+mg` (1� Cos�) (6.462)

Ahora, para encontrar el diagrama de fase del sistema dado, se iguala el Hamilto-niano (??) a la energía total del sistema E. En efecto,

1

2

p2�m`2

+mg` (1� Cos�) = E = constante (6.463)

y a partir de aquí se puede obtener la ecuación para la trayectoria de fase p� = p� (�),

p� = �p2m`2 [E �mg` (1� Cos�)] (6.464)

obteniéndose así un conjunto de curvas donde la energía E actúa como parámetro.Estas curvas son mostradas en la figura 6.14.



Figura (6.14): Diagrama de fase para el péndulo simple de la figura (6.6).

Para � y momento p� pequeños el péndulo oscila, apareciendo en el diagramade fase como elipses. Para � y momento p� grandes el péndulo da vueltas comple-tas apareciendo como líneas que envuelven a las elipses. Separando los anterioresmovimientos se encuentra el caso especial en el cual el péndulo comienza en la partemás alta, cae y regresa a la posición más alta.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6. Teorema de Liouville

En esta sección se supondrá que los sistemas a considerar son holónomos,cuyas ligaduras son usadas en forma implícita, Q(lig)i = 0, en las ecuaciones para elim-inar las coordenadas generalizadas dependientes y donde no existen fuerzas que noprovengan de una función de energía potencial U , QNU

i = 0. El número de grados delibertad es s = 3N �K(h) = �.

Cuando el número de grados de libertad es muy grande se hace imposible (yademás inútil) una descripción microscópica del sistema, ya que no es posible encon-trar ni siquiera las condiciones iniciales (las posiciones y momentos de cada una de laspartículas en el tiempo t). Este es el punto de partida de la Mecánica Estadística.

En general habrá un gran número de estados iniciales posibles, cada uno de loscuales está representado por un punto en el espacio de fase. Cuando el número de


6.6. TEOREMA DE LIOUVILLE

grados de libertad es realmente grande (> 1024) el número de estados iniciales posi-bles N se hará tan grande y tan denso que será posible caracterizarlo mediante unadensidad de estados �,

� =dN

dV(6.465)

con,

dV = �dq1dp1dq2dp2dq3dp3 : : : dq�dp� =

�Yj=1

dqjdpj (6.466)

El Teorema de Liouville4 realmente pertenece a la Mecánica Estadística y es básicopara su estudio, pero es de interés considerarlo aquí debido a que es una consecuen-cia directa de las ecuaciones de Hamilton. Este teorema es básico para la Mecánicade Sistemas tales que:

1. El número de grados de libertad es muy grande.

2. No se pueden determinar las 2� condiciones iniciales, por lo tanto tampoco el esta-do del sistema en sentido clásico. Solamente se conoce el Hamiltoniano del sistema,las ligaduras y, a lo sumo, siete de las 2� constantes de movimiento (las aditivas: E,�!L , �!p ).

3. Respecto a las condiciones iniciales, o sea a las posibles trayectorias del espacio defase, sólo se pueden hacer suposiciones estadísticas. En particular se puede asumirque todas las trayectorias de fase compatibles con las ligaduras y con los valoresde las siete constantes aditivas son igualmente probables (distribución uniforme).En general, habrá una región del espacio de fase que es accesible al sistema y sepuede postular alguna distribución de probabilidades de las distintas trayectoriasde fase dentro de la región accesible (las trayectorias externas a la región accesibletienen probabilidad cero).

Antes de enunciar y demostrar el Teorema de Liouville, es importante definir Con-junto Estadístico, noción útil en los casos donde hay 2� � 7 constantes de movimientono determinadas5.

4Liouville se graduó en la École Polytechnique de París en 1827. Tras varios años como asistente envarias instituciones logró ser profesor en la École Polytechnique en el año 1838. Obtuvo la cátedra deMatemáticas en el Collège de France en 1850 y la de Mecánica en la Faculté des Sciences en 1857. Tra-bajó en una cantidad muy diversa de campos en matemáticas, incluyendo teoría de números, análisiscomplejo, topología diferencial, pero también en física matemática e incluso astronomía. Se le recuer-da en particular por el teorema que lleva su nombre.

5El 7 viene de que exiten tres componentes de la costante de movimiento aditiva�!L , tres de la �!p y un

valor para E.



Un Conjunto Estadístico consiste en un conjuto de sistemas iguales, quer-iéndose decir con esto, que tengan el mismo número de grados de libertad,la misma clase de partículas y de interacciones, las mismas ligaduras y losmismos valores de las constantes de movimiento aditivas.

De lo anterior, dos sistemas de un conjunto estadístico sólo pueden diferir por losvalores de las 2� � 7 constantes no aditivas. Se considera que el número de sistemases muy grande, de modo que es una muestra estadísticamente representativa de ladistribución de los valores de las 2� � 7 constantes indeterminadas.

En cada instante de tiempo, el estado de cada sistema del conjunto será represen-tado por un punto en el espacio de fase y su estado de movimiento por una trayectoriade fase. El cojunto estadístico de sistemas de s grados de libertad estará representa-do en cada instante por un “enjambre” de puntos en el espacio de fase. Como lossistemas del conjunto estadístico no interactúan, cada punto se mueve independien-temente de los demás en el espacio de fase 2s-dimensional.

Figura (6.15): Evolución de una región en el espacio de fase.

Considérense ahora un gran número N de sistemas mecánicos conservativos quetienen el mismo Hamiltoniano (cojunto estadístico de sistemas). En estos sistemas elHamiltoniano, como ya se sabe, es la energía total y es constante, es decir,

H (qi; pi) = constante = E (6.467)



que puede representarse por una superficie en el espacio de fase.

Supóngase ahora que las energías de todos estos N sistemas están comprendidasentre E1 y E2, entonces las trayectorias de todos estos sistemas estarán comprendidasentre las dos superficies H = E1 y H = E2 como es mostrado en la figura 6.15. Puestoque cada uno de los sistemas tienen condiciones iniciales diferentes, se desplazaránen el espacio de fase describiendo trayectorias diferentes. Supóngase (ver figura 6.15)que los puntos de configuraciones iniciales t = to de los sistemas están contenidos enuna región R1 y después de un tiempo t > to estos puntos ocupan ahora la región R2.Si se observa, por ejemplo, el punto representativo correspondiente a uno de los Nsistemas, se observará que el punto se desplaza desde el punto A hasta el punto B.

El volumen de cada una de las regiones es posible calcularlo mediante,

�V = �q1:::�q�:�p1:::�p� =

�Yj=1

�qj�pj (6.468)

y la densidad de puntos se puede definir como,

� =�N

�V(6.469)

Es obvio que el número de puntos representativos en R1 y R2 es igual. Lo que no estan obvio es lo que expresa el siguiente teorema, denominado Teorema de Liouville:

El volumen de una región R1 del espacio de fase es igual al de la regiónes R2 (es decir, se conserva) si los puntos representativos de su frontera semueven de acuerdo a las ecuaciones de Hamilton. O, si se define la den-sidad � como el número de puntos por unidad de volumen, entonces ladensidad es constante.

o en equivalentemente,

En cada elemento de volumen del espacio de fase, la densidad � depuntos representativos del conjunto estadístico permanece constante en eltiempo.

Demostración:Para demostrarlo, se investiga el “movimiento” de un sistema de puntos a través de

un elemento de volumen del espacio de fase. Considérense primero las componentes



del flujo de puntos representativos a lo largo de las direcciones qi y pi. En la figura 6.16,el área ABCD representa la proyección del elemento de volumen dV de dimensión 2�sobre el plano qi; pi.

Figura (6.16): Proyección del elemento de volumen sobre el plano qipi.

El el flujo j de puntos representativos (número de puntos representativos por unidadde tiempo) que se mueven entrando en la dirección qi a través de la “cara lateral”(con proyección AD sobre el plano qi; pi) es,

jEAD = �

dqidtdpidVi = �

�qidpidVi (6.470)

con,

dVi =

�Yj=1i6=j

dqjdpj (6.471)

el restante elemento de volumen de dimensión 2� � 2, dpidVi es la magnitud de lasuperficie lateral con proyección AD en el plano qi; pi y el superíndice E indica entrante.

De forma análoga, el flujo entrante en la dirección pi (que entra por AB) es,

jEAB = �

dpidtdqidVi = �

�pidqidVi (6.472)

de manera que el flujo entrante total de puntos representativos hacia adentro del áreadqidpi es,

jE (qi; pi) = jEAD + jE

AB = ��qidpi +

�pidqi

�dVi (6.473)

Para hallar los puntos que salen, se deben considerar los que se mueven dentro delelemento hacia las caras BC y CD. Esto se puede obtener de (6.473) mediante un



desarrollo en series de Taylor alrededor de (qi; pi) para así hallarla en (qi + dqi; pi + dpi).Por lo tanto, el flujo total saliente de puntos representativos es (aproximadamente),

jS = jE (qi + dqi; pi + dpi) = jE (qi; pi) +@jE (qi; pi)

@qidqi

+@jE (qi; pi)

@pidpi (6.474)

donde el superíndice S indica saliente y donde se ha usado el desarrollo de Taylor(hasta el primer orden) para una función de dos variables alrededor de (a; b),

f (x; y) ' f(a; b) +@f

@x

��(a;b)

(x� a) + @f

@y

��(a;b)

(y � b) (6.475)

con x = qi + dqi, y = pi + dpi, a = qi, b = pi, j (qi + dqi; pi + dpi) = jS y j (qi; pi) = jE.

Ahora, al sustituir (6.473) en (6.474) resulta,

jS = ��qidpi +

�pidqi

�dVi +

@

@qi

h��qidpi +

�pidqi

�dVi

idqi

+@

@pi

h��qidpi +

�pidqi

�dVi

idpi

= ��qidpidVi + �

�pidqidVi +

@��qi

�@qi

dpidqidVi| {z }=dV

+@��pi

�@pi

dqidpidVi| {z }=dV

= ��qidpidVi + �

�pidqidVi +

24@��qi

�@qi

+@��pi

�@pi

35 dV (6.476)

así el número de puntos representativos por unidad de tiempo que se atascan en elelemento de volumen.es la diferencia entre las ecuaciones (6.473) y (6.476),

jE � jS = ��@

@qi

��qi

�+

@

@pi

��pi

��dV =

@�

@tdV (6.477)

Sumando sobre todas las i = 1; 2; 3; :::; � se obtiene el número de puntos represen-tativos que se atascan en total. Esta cantidad corresponde, justamente, al cambiocon el tiempo (derivada temporal) de la densidad multiplicada por dV . Por lo tanto, sepuede concluir que,

@�

@t= �

�Xi=1

�@

@qi

��qi

�+

@

@pi

��pi

��(6.478)



que es una ecuación de continuidad de la forma6,

div

��!r�+@�

@t= 0 (6.479)

donde la divergencia se refiere al espacio de fase de dimensión 2�,

r =�Xi=1

@

@qi+

�Xi=1

@

@pi(6.480)

Ahora, al desarrollar las derivadas en (6.478) y reordenar se obtiene,

�Xi=1

@�

@qi

�qi + �

@�qi@qi

+@�

@pi

�pi + �

@�pi@pi

!+@�

@t= 0 (6.481)

Pero como de las ecuaciones de Hamilton (6.36) para las características de los sistemasconsiderados en esta sección se tiene que,

�pi = �@H

@qi) @

�pi@pi

= � @2H

@pi@qi= � @2H

@qi@pi(6.482)

�qi =

@H

@pi) @

�qi@qi

=@2H

@qi@pi(6.483)

(si las segundas derivadas parciales de H son continuas) entonces (6.481) se puedeescribir como,

�Xi=1

�@�

@qi

�qi +

@�

@pi

�pi

�+@�

@t= 0 (6.484)

que es justamente la derivada total de � con respecto al tiempo,

d�

dt= 0 (6.485)

indicando que � =constante. Esto establece que la densidad de puntos representa-tivos, en el espacio de fase correspondiente al movimiento de un sistema de partículas,permanece constante durante el movimiento.

Se debe resaltar que se pudo establecer la invariancia de la densidad sólo debidoa que el problema fue formulado en el espacio de fase. No existe un teorema equiv-alente para el espacio de configuraciones estudiado en la sección 2.7.4 del capítulo2, lo que muestra la importancia del formalismo Hamiltoniano para los sistemas con ungran número de partículas. Así se puede usar la dinámica Hamiltoniana (en lugar dela Lagrangiana) para trabajar en Mecánica Estadística.

6Las ecuaciones de continuidad de este tipo aparecen a menudo en física de flujos (Hidrodinámica,Electrodinámica, Mecánica Cuántica). Estas ecuaciones siempre expresan una ley de conservación.



El Teorema de Liouville es importante no sólo para agregados de partículas mi-croscópicas, como en la Mecánica Estadística de los sistemas gaseosos y las propie-dades de la concentración de partículas cargadas en los aceleradores de partículas,sino también en ciertos sistemas macroscópicos. Por ejemplo, en dinámica estelar, elproblema se invierte y mediante el estudio de la función de distribución � de las estrel-las en una galaxia, puede inferirse el potencial U del campo gravitacional galáctico.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 6.28Mostrar que se cumple el Teorema de Liouville para un conjunto

de partículas de masa m que se mueven inmersas en un campo gravitacional cons-tante.

SOLUCION: este sistema es conservativo y sin ligaduras. Para construir el diagramade fase se necesita encontrar el Hamiltoniano del sistema.

Grados de Libertad y número mínimo de Coordenadas Generalizadas: se suponeque es un sistema con un número N muy grande de partículas y, por lo tanto, con ungrados de libertad igualmente grande.

Se construye el Lagrangiano: el Lagrangiano viene dado por,

L = T � U = 1

2m�q2+mgq (6.486)

Se encuentran los momentos conjugados a cada una de las coordenadas gene-ralizadas: la coordenada generalizada es q y el momento conjugado (6.1) a dichacoordenada es,

pq =@L

@�q= m

�q (6.487)


�q a partir de la ecuación (6.455) se obtiene,

�q =

pqm

(6.488)


H = T + U =1

2m�q2�mgq (6.489)




H =p2q2m�mgq (6.490)


p2q2m�mgq = E = constante (6.491)

y a partir de aquí se puede obtener la ecuación para la trayectoria de fase pq = pq (q),

p = �mq2�Em+ gq

�(6.492)

obteniéndose así un conjunto de parábolas con la energía E como un parámetrocomo se muestra en la figura 6.17.

Figura (6.17): Diagrama de fase para un conjunto de partículas de masa m moviéndose inmersas en uncampo gravitacional constante.

Considérense un número de partículas con momentos en t = 0 entre los límitesp1 � p0 � p2 y energías entre E1 � E � E2. Ellas cubren el área A en el espacio de fase.Un tiempo t después las partículas cubren el área A0, como se muestra en la figura 6.17.En este instante ellas tienen momento,

p0 = p+mgt (6.493)


6.7. FORMA SIMPLÉCTICA DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON

de manera que A0 es el área entre las parábolas limitadas por p1 +mgt � p0 � p2 +mgt.Con,

q =1

mg

�p2

2m� E

�(6.494)

se pueden calcular las áreas A y A0 como sigue,

A =

Z p2

p1

Z 1mg

�p212m�E1

�1mg

�p222m�E2

� dpdq =E2 � E1mg

(p2 � p1) (6.495)

y de la misma forma,

A0 =E2 � E1mg

(p02 � p01) =E2 � E1mg

(p2 � p1) (6.496)

que es justo el enunciado del Teorema de Liouville,A = A0, expresando que la densidaddel sistema de partículas en el espacio de fase permanece constante.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.7. Forma simpléctica de las Ecuaciones de Hamilton

Una elegante y poderosa herramienta para manipular las ecuaciones de Hamil-ton y expresiones asociadas lo constituye la Forma Simpléctica.7

Se llama Forma Simpléctica a aquella que utiliza el lenguaje matricial,que es muy útil debido a su carácter compacto y su potencia para operarcon una buena cantidad de información de manera automática.

Esta notación permite escribir las ecuaciones de Hamilton en forma compacta. Enefecto, para un sistema de � coordenadas generalizadas mínimas, se puede definiruna matriz columna � con 2� elementos tales que,(

�i = qi

�i+� = pi, con i � � (6.497)

7El término simpléctico viene del griego para “entrelazado”, que es particularmente apropiado paralas ecuaciones de Hamilton donde las

�qi están relacionadas con las derivadas con respecto a los pi y

los�pi lo hacen de la misma forma con las derivadas negativas con respecto a las qi. Este término fue

introducido por primera vez en 1939 por H. Weyl en su libro The Classical Groups.



es decir,

� =

2666666666666666666664

�1...�i...��1+�

...�i+�

...�2�

3777777777777777777775

=

2666666666666666666664

q1...qi...q�

p1+�...

pi+�...p2�

3777777777777777777775

(6.498)

y, similarmente, la matriz columna @H@�

con 2� elementos tales que,

8<:�@H@�

�i= @H

@qi�Q(lig)i �QNU

i�@H@�

�i+�= @H

@pi

, con i � � (6.499)

es decir,

@H

@�=

266666666666666666666666664

�@H@�

�1

...�@H@�

�i

...�@H@�

��

@H@�

�1+�

...�@H@�

�i+�

...�@H@�

�2�

377777777777777777777777775

=

26666666666666666666664

@H@q1�Q(lig)1 �QNU

1

...@H@qi�Q(lig)i �QNU

i

...@H@q��Q(lig)� �QNU

�

@H@p1+�

...@H@pi+�

...@H@p2�

37777777777777777777775

(6.500)

entonces las ecuaciones de Hamilton (6.497) pueden ser escritas en forma compactacomo,

�� = J@H

@�(6.501)


6.7. FORMA SIMPLÉCTICA DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON

cuyos elementos vienen dados por,

��i =

�Pj=1

�Jij

@H@�j

�(6.502)

y donde J es una matriz cuadrada 2� � 2�, frecuentemente denominada Matriz Sim-pléctica, compuesta por cuatro matrices � � �,

J =

"0 1

�1 0

#(6.503)

con 0 la matriz nula, 1 la matriz identidad y cuyos elementos vienen dados por,

Jij =

8><>:0 si (i > � y j > �) o (� � i y � � j)

�1 si (i > � y j = i� �)1 si (� � i y j = i+ �)

(6.504)

La matriz J tiene las siguientes propiedades:

1. Es ortogonal,

JT = J�1 (6.505)

2. Es antisimétrica,

JT = �J (6.506)

3. Su determinante es la unidad,

jJj = +1 (6.507)

4. Se cumple que,

J2 = JJ = �1 (6.508)

Para un sistema de dos coordenadas generalizadas q1 y q2 se tiene que,266664�q1�q2�p1�p2

377775 =266640 0 1 0

0 0 0 1

�1 0 0 0

0 �1 0 0

37775266664


1


2

@H@p1@H@p2

377775 (6.509)



6.8. El Método de Routh

La formulación de la mecánica basada en las ecuaciones canónicas resultaespecialmente sencilla para las coordenadas que son cíclicas. En efecto, las coorde-nadas cíclicas en sí no aparecen en H ni en las ecuaciones de Hamilton y los mo-mentos correspondientes son constantes. Por tanto, las coordenadas cíclicas quedantotalmente “eliminadas” de la formulación que en la práctica viene a tener 2 gradosde libertad menos por cada coordenada cíclica. En cambio, en la formulación deLagrange es preciso considerar las velocidades generalizadas correspondientes en elLagrangiano L y en las ecuaciones de Lagrange ya que las velocidades

�qino tienen

por qué ser constantes aunque las coordenadas sean cíclicas.

El Método de Routh es un tratamiento mixto entre las formulaciones deLagrange y Hamilton: emplea las ecuaciones de Hamilton para las coorde-nadas cíclicas y las ecuaciones de Lagrange para el resto de ellas (las nocíclicas).

Supóngase un sistema con � coordenadas generalizadas de las cuales las k primerascoordenadas son cíclicas:(

@L@qi= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; k (cíclicas)

@L@qi6= 0, con i = k + 1; k + 2; k + 3; : : : ; � (no cíclicas)

(6.510)

Los momentos correspondientes a las coordenadas cíclicas serán constantes, porlo tanto,

pi = ci, con i = 1; 2; 3; : : : ; k (6.511)

Se realiza ahora una transformación de Legendre del Lagrangiano L sólo respec-to de las coordenadas cíclicas, definiendo así la denominada Función Routhiana oRouthiano,

R =kPi=1

ci�qi � L (6.512)

haciéndose notar que la sumatoria se realiza sólo para los k primeros índices, es decir,sólo para las coordenadas cíclicas. Esta es la misma expresión general (6.2) para H

donde los momentos conjugados pi se han cambiado por las constantes ci y donde lasumatoria sólo involucra las k coordenadas cíclicas del Lagrangiano.


6.8. EL MÉTODO DE ROUTH

Como se pudo ver en la sección 6.1, en el caso de la construcción delHamiltoniano del sistema se exige que éste quede únicamente en funciónde qi, pi (i = 1; 2; 3; : : : ; �) y el tiempo t. En el caso del Routhiano se exigeque quede únicamente en función de las coordenadas no cíclicas qi (i =k + 1; k + 2; k + 3; : : : ; �) y sus correspondientes velocidades generalizadas

�qi

(i = k + 1; k + 2; k + 3; : : : ; �), los momento generalizados de las coordenadascíclicas pi = ci (i = 1; 2; 3; : : : ; k) y el tiempo,

R = R�qk+1; qk+2; qk+3; : : : ; q�;

�qk+1;

�qk+2;

�qk+3; : : : ;

�q�; c1; c2; c3; : : : ; ck; t

�

Obsérvese que las coordenadas qi (i = k + 1; k + 2; k + 3; : : : ; �) y el tiempo t sonvariables pasivas en la transformación de Legendre (6.511) por lo cual debe cumplirseque,

@R

@qj+@L

@qj= 0, con j = k + 1; k + 2; k + 3; : : : ; � (6.513)

o,@L

@qj= �@R

@qj, con j = k + 1; k + 2; k + 3; : : : ; � (6.514)

Por otro lado, al derivar (6.511) parcialmente con respecto a las velocidades gene-ralizadas referentes a las coordenadas no cíclicas resulta,

@R

@�qj=

@

@�qj

kXi=1

ci�qi

!� @

@�qjL, con j = k + 1; k + 2; k + 3; : : : ; � (6.515)

donde la derivada de la sumatoria es nula ya que ésta sólo involucra las velocidadesreferentes a las coordenadas cíclicas y la derivada se está efectuando con respectoa las velocidades referentes a las coordenadas no cíclicas. Por esta razón de (6.514)resulta,

@L

@�qj= �@R

@�qj

, con j = k + 1; k + 2; k + 3; : : : ; � (6.516)

Ahora bien, al sustituir las derivadas parciales dadas en (6.513) y (6.515) en las ecua-ciones de Lagrange (5.77) se obtiene,

ddt

�@R

@�qj

�� @R

@qj= �Q(lig)j �QNU

j , con i = k + 1; k + 2; k + 3; : : : ; � (6.517)

y una vez integradas estas � � k ecuaciones para obtener R como función de lasconstantes cj y de t se puede calcular el valor de las k coordenadas cíclicas a partir de



las ecuaciones de Hamilton (6.36) para las coordenadas cíclicas qi (i = 1; 2; 3; : : : ; k)8,( �ci = � @R

@qi+Q

(lig)i +QNU

i�qi =

@R@pi

, con i = 1; 2; 3; : : : ; k (6.518)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 6.29Aplicar el Método de Routh para encontrar la ecuación de mo-

vimiento de una partícula de masa m que se mueve en un plano bajo la influencia deuna fuerza F (r) (ver figura 6.18) que se deriva del potencial U (r) = � C

rn(C constante

positiva).

Figura (6.18): Partícula de masa m que se mueve en un plano bajo la influencia de una fuerza F (r) quese deriva del potencial U (r) = � C

rn .

SOLUCION: este es un sistema conservativo QNUi = 0 con ligaduras, las cuales serán

usadas en forma implícita Q(lig)i = 0. La figura 6.18 ilustra lo descrito en el enunciado del

ejemplo. Por la obvia simetría del problema serán escogidas coordenadas esféricas(r; �; ') para ubicar la partícula de masa m, colocando el origen en el lugar dondeestá la fuente del campo.

Ligaduras: existe K(h) = 1 ligadura holónoma,(� = �

2) f

(h)1 = � � �

2= 0, que fija el movimiento de la

partícula de masa m al plano xy.(6.519)

8Como la definición de R dada por (6.511) es análoga a la definición de H dada por (6.2), es obvio quese cumplen las ecuaciones de Hamilton (6.36) cambiando H �! R.


6.8. EL MÉTODO DE ROUTH



s = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (6.520)


e� = 3N �K(h) = 3 (1)� 2 = 1 (6.521)


Se construye el Lagrangiano: la energía potencial total del sistema es segun elenunciado del ejemplo,

U = �Crn

(6.522)

y la energía cinética total viene dada por,

T =1

2mv2 =

1

2m

��r2+ r2

��2

+ r2�'2Sen2 �

�(6.523)

entonces,

L = T � U = 1

2m

��r2+ r2

��2

+ r2�'2Sen2 �

�+C

rn(6.524)

que es el Lagrangiano sin tomar en cuenta la ligadura (6.523). Ahora, al tener presentela ligadura se reduce a,

L =1

2m��r2+ r2

�'�+C

rn(6.525)

notándose que aquí la coordenada cíclica es '.

Se construye el Routhiano: el Routhiano se construye únicamente para las coorde-nadas cíclicas. Por lo tanto de (6.512),

R = c'�'� 1

2m��r2+ r2

�'2�� C

rn(6.526)

donde c' = p'. Ahora por la definición de momentos gereralizados (5.431),

c' = p' =@L

@�'= mr2

�' (6.527)

entonces (6.526) se puede escribir como,

R =c2'2mr2

� 12m�r2� C

rn(6.528)



Finalmente al usar las ecuaciones de Lagrange (6.517) con el anterior Routhianoresulta,

d

dt

�@R

@�r

�� @R

@r= 0

��r � c2'

mr3+ nC

rn+1= 0 (6.529)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

El Método de Routh no proporciona física adicional al problema pero hace su análi-sis más automático. En problemas complicados con sistemas de muchos grados delibertad este procedimiento puede suministrar una considerable ventaja. Por lo tanto,no es sorprendente que el procedimiento de Routh tenga gran utilidad en la solucióndirecta de problemas relacionados con las aplicaciones a la Ingeniería. Sin embar-go, como se mencionó antes, el Routhiano es un híbrido estéril que combina algunosrasgos de la dinámica Lagrangiana y Hamiltoniana. Para el desarrollo de muchos for-malismos de la Mecánica Clásica la formulación Hamiltoniana es más fructífera.

6.9. Dinámica Lagrangiana vs Hamiltoniana

Existen algunas diferencias entre el sistema de ecuaciones de Hamilton y el deecuaciones de Lagrange:

1. Las ecuaciones de Lagrange son � ecuaciones y las de Hamilton son 2�ecuaciones.

2. Las ecuaciones de Lagrange tienen � incógnitas q1 (t) ; q2 (t) ; : : : ; q� (t),en tanto que las ecuaciones de Hamilton tienen 2� incógnitasq1 (t) ; q2 (t) ; : : : ; q� (t) ; p1 (t) ; p2 (t) ; : : : ; p� (t).

3. Las ecuaciones de Lagrange son de segundo orden en sus incógnitas, esdecir, se necesita conocer dos condiciones iniciales por incógnita parafijar las constantes arbitrarias (posición y velocidad inicial, por ejemplo);las ecuaciones de Hamilton son de primer orden en sus incógnitas, esdecir, se necesita conocer una condición inicial por incógnita para fijarlas constantes arbitrarias (posición inicial, por ejemplo).

Además, las ecuaciones de Hamilton son tan sencillas en su formato que algunosautores las distinguen como más elegantes que las de Lagrange. Subyaciendo bajo


6.9. DINÁMICA LAGRANGIANA VS HAMILTONIANA

los aspectos estéticos, puede decirse que la forma de las ecuaciones de Hamilton su-giere que los papeles de posición y momento pueden intercambiarse (esto quedaráclaro al estudiar las transformaciones canónicas en el capítulo siguiente) dejando laforma de las ecuaciones sin variación. De hecho, el conjunto de cambios de variablesque pueden realizarse en las ecuaciones de Hamilton sin alterarlas, es decir la var-iedad de perspectivas desde las que se pueden contemplar y por tanto la cantidadde simetrías que se pueden utilizar es infinitamente más grande que en las ecuacionesde Lagrange y en esto radica su mayor potencia. Realmente el marco hamiltonianoes el más amplio bajo el que se pueden contemplar los sistemas que evolucionan sa-tisfaciendo un principio variacional que en Mecánica se identifica con el principio deHamilton.

La formulación de Hamilton es más potente que la de Lagrange según el criteriocitado en el párrafo anterior y se emplea con preferencia cuando se trata de resolvercuestiones sobre la existencia de integrales primeras de un sistema, comportamien-tos estables, caóticos, etc. No obstante, para la resolución de problemas elementalesde Mecánica, donde el objetivo sea la obtención del sistema de ecuaciones diferen-ciales, aporta frecuentemente un camino más largo que el Lagrangiano.



6.10. Problemas

1. Obtener la expresión (6.3) derivando (6.2) con respecto a las coordenadas genera-lizadas qi.

2. Una partícula de masa m está obligada a moverse sobre la superficie interna deun cono liso. Ver figura 1, donde � es constante. La partícula está sometida a unafuerza gravitacional. Encuentre las ecuaciones de movimiento por el método deHamilton.

Problema 2.

3. (a) Encuentre la aceleración del sistema mostrado en la figura 3 por el método deHamilton, (b) dibuje el diagrama de fase. Se desprecia el rozamiento y tamaño dela polea.


6.10. PROBLEMAS

Problema 3.

4. Una partícula de masa m se desplaza sobre un plano inclinado (ver figura 2). Encon-trar las ecuaciones de movimiento por el método Hamiltoniano y la aceleración alo largo de plano inclinado.

Problema 4.

5. Una pequeña esfera se desliza sin rozamiento en un alambre liso doblado en formade cicloide (ver figura 4) cuya ecuación es,



Problema 5.

x = a (� � Sen �) , y = a (1 + Cos �)

donde 0 � � � 2�. Mostrar, usando el método de Hamilton, que la ecuación demovimiento viene dada por,

(1� Cos �)�� +

1

2Sen �

��2

� g

2aSen � = 0

6. Considérese el caso del movimieno de un proyectil de masa m bajo la acción dela gravedad en dos dimensiones (estudiado en Física I como lanzamiento de unproyectil con ángulo de elevación). Encontrar las ecuaciones de movimiento deHamilton. Muestre el sistema de referencia usado.

7. Obtener las ecuaciones de movimiento de Hamilton para el oscilador armóminounidimensional. Muestre el sistema de referencia usado.

8. Una partícula de masa m se mueve en una dimensión bajo la influencia de unafuerza,

F (x; t) =k

x2e�t=�

donde k y � son constantes positivas. Encuentre el Hamiltoniano ¿es igual a T +

U?. Compare el Hamiltoniano con la energía total, y discuta la conservación de laenergía para el sistema. Muestre el sistema de referencia usado.

9. Considere el péndulo simple mostrado en la figura 9, el cual consiste de una nasa m

sujeta a una cuerda de longitud l. Después que el péndulo es puesto en movimien-to, la longitud de la cuerda es acortada en una rata constante dada por,


6.10. PROBLEMAS

Problema 9.

dl

dt= �� = constante

El punto de soporte permanece fijo. Encuentre el Hamiltoniano. Compare el Hamil-toniano con la energía total, y discuta la conservación de la energía para estesistema. Muestre el sistema de referencia usado.

10. Una partícula de masa m se mueve bajo la influencia de la gravedad a lo largode la espiral z = k', r =constante (ver figura 10), donde k es una constante y z

es vertical. Obtener las ecuaciones de Hamilton. Muestre el sistema de referenciausado.

Problema 10.



11. Una partícula de masa m es atraida a un centro de fuerza con una fuerza�!F de

magnitud,F = k=r2

Use coordenadas polares planas y encuentre las ecuaciones de movimiento deHamilton. Muestre el sistema de referencia usado.


CAPÍTULO 7

Transformaciones canónicas

Contents7.1. De�nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

7.2. Ecuaciones de transformación canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

7.2.1. Caso 1: Función generatriz F1 = F1 (qi; eqi; t) . . . . . . . . . . . . . . . . 594

7.2.2. Caso 2: Función generatriz F2 = F2 (qi; epi; t) . . . . . . . . . . . . . . . . 595

7.2.3. Caso 3: Función generatriz F3 = F3 (pi; eqi; t) . . . . . . . . . . . . . . . . 596

7.2.4. Caso 4: Función generatriz F4 = F4 (pi; epi; t) . . . . . . . . . . . . . . . 597

7.3. Invariante integral universal de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

7.4. Corchetes de Lagrange y Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

7.4.1. Corchetes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

7.4.2. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

7.4.3. Ecuaciones de Hamilton en corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . 617

7.5. Transformaciones canónicas in�nitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . 619

7.6. Forma simpléctica de las transformaciones canónicas . . . . . . . . . . 622

7.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

7.1. Definición

La elección de las coordenadas generalizadas y de los correspondientes mo-mentos canónicos, no es única. Es entonces de importancia contestar la siguiente

593

CAPÍTULO 7. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS

pregunta,

¿Es posible transformar las coordenadas y momentos de tal modo que sepreserve la estructura de las ecuaciones de Hamilton?

La respuesta es SI, conduciendo a las llamadas transformaciones canónicas.

Una transformación canónica es una transformación de las coorde-nadas qi y pi del espacio de fase a unas nuevas coordenadas eqi y epi, quepreservan la estructura de las ecuaciones de Hamilton (??), con un nuevoHamiltoniano eH (eqi; epi; t).

Por otro lado, se dirá que:

Una expresión cualquiera es un invariante canónico cuando no se mod-ifica su estructura bajo una transformación canónica.

Se vio, en la sección ??, que las trasformaciones puntuales no cambian la formade las ecuaciones de Lagrange. Se quiere ver ahora qué tipo de transformacioneshace lo propio con las ecuaciones de Hamilton. Si de las variables (qi; pi), en las que elHamiltoniano es H, se cambia a las variables (eqi; epi), en las que el Hamiltoniano pasa aser eH, la cuestión es cuáles transformaciones llevan a que en las nuevas variables lasecuaciones sean,

�eqi = @ eH@epi , �epi = �@ eH@eqi

Este tipo de transformaciones permiten, en principio, disponer de un alto grado deflexibilidad en la selección de las variables que se utilizan para describir un sistemamecánico. Una selección adecuada de estas variables permite, en numerosos casos,simplificar el sistema de ecuaciones diferenciales de movimiento y, en consecuencia,simplificar el problema de su integración (total o parcial).

La razón fundamental para definir una transformación canónica es para ver si esposible encontrar una transformación de variables en la que el Hamiltoniano sea cícli-co en alguna de la variables, lo que implica que,

�epi = �@eH

@eqi = 0 �! epi = �i = constante

�eqi =@ eH@epi = vi (t) �! eqi = Z t2

t1

vi (t) dt+ �i, con �i = constante

o a ver si es posible encontrar cómo reducir el Hamiltoniano a una forma en que todaslas coordenadas qi sean cíclicas.


7.2. ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN CANÓNICAS

7.2. Ecuaciones de transformación canónicas

Para lograr lo dicho anteriormente, se habrá pues de ampliar el concepto detransformación de coordenadas para incluir la transformación simultánea de las co-ordenadas y momentos independientes1 qi, pi a otro nuevo conjunto eqi, epi, con lasecuaciones de transformación,

eqi = eqi (ql; pl; t)epi = epi (ql; pl; t))

(7.1)

así, las nuevas coordenadas quedarán definidas no sólo en función de las antiguascoordenadas, sino también de los antiguos momentos.

Si las eqi y epi deben ser coordenadas canónicas, habrán de satisfacer un principiode Hamilton modificado, de la forma,

�

Z t2

t1

eL�eqi; �eqi; t� dt = �

Z t2

t1

"Xi

epi�eqi � eH (eqi; epi; t)#dt = 0 (7.2)

y, al mismo tiempo, las antiguas coordenadas satisfacen un principio análogo,

�

Z t2

t1

L

�qi;

�eqi; t� dt = �

Z t2

t1

"Xi

pi�qi �H (qi; pi; t)

#dt = 0 (7.3)

Al restar (7.2) de (7.3), resulta,

�

Z t2

t1

�L� eL� dt = 0 (7.4)

pudiéndose cumplir si existe una función F tal que,

�

Z t2

t1

dFdtdt = � [F (t2)�F (t1)] = 0

es decir,L� eL = dF

dt(7.5)

donde la función arbitraria F recibe el nombre de función generatriz de la transforma-ción pues, como se verá, una vez conocida F , las ecuaciones de transformación (7.1)quedan determinadas por completo. De lo anterior, se nota que los integrandos de(7.2) y (7.3) están ligados por la relación,X

i

pi�qi �H =

Xi

epi�eqi � eH +d

dtF

1Recordemos que en la formulación hamiltoniana los momentos son también variables independientes,con idéntica categoría que las coordenadas generalizadas.



o,dF =

Xi

pidqi �Xi

epideqi + � eH �H� dt (7.6)

de la cual se infiere la siguiente condición:

Para que una transformación, eqi = eqi (ql; pl; t), epi = epi (ql; pl; t) sea canóni-ca, la expresión

Xipidqi �

Xiepideqi debe ser una diferencial exacta.

Para efectuar la transformación entre los dos conjuntos de variables canónicas, Fha de ser función tanto de las nuevas coordenadas como de las antiguas. Aparte deltiempo t, la función generatriz será función de 4n variables en total. Pero de estas, sólo2n son independientes, ya que ambos conjuntos están relacionados por las 2n ecua-ciones de transformación (7.1). La función generatriz puede, por tanto, expresarse deuna de las siguientes cuatro formas, como función de las variables independientes,

F1 (qi; eqi; t) F2 (qi; epi; t) F3 (pi; eqi; t) F4 (pi; epi; t)dondeF2,F3 yF4 se, obtienen mediante una transformación de Legendre, deF1 comose verá más adelante.

Las características del problema indicarán cuál ha de elegirse. Así, por ejemplo, sise trata de una transformación puntual tal como la definida por eqi = eqi (ql; t), las qi y laseqi no son independientes, por lo que habrán de excluirse las funciones generatrices dela forma F1, pudiéndose utilizar cualquiera de las restantes.

7.2.1. Caso 1: Función generatriz F1 = F1 (qi; eqi; t)Si la forma adecuada es la F1, entonces de (7.6),

dF1 (qi; eqi; t) =Xi

pidqi �Xi


y, por otro lado, el diferencial total de F1 puede desarrollarse en la forma,

dF1 =Xi

@F1@qi

dqi +Xi

@F1@eqi deqi + @F1

@tdt (7.8)

Ahora, al comparar (7.8) con (7.7) resulta,

pi =@

@qiF1 (qi; eqi; t) (7.9)



epi = � @

@eqiF1 (qi; eqi; t) (7.10)

y, eH = H +@

@tF1 (qi; eqi; t) (7.11)

Las n ecuaciones (7.9) son n relaciones entre pi, qi, eqi y t, que podrán re-solverse para las n eqi en función de pi, qi, y t; obteniéndose con ello la primeramitad de las ecuaciones de transformación (7.1). Una vez establecidas lasrelaciones entre eqi y (qi; pi; t), las ecuaciones (7.10) proporcionan la mitadrestante de las ecuaciones de transformación, dando los epi en función de(qi; pi; t). Para completar el proceso, la ecuación (7.11) da la relación entreel nuevo hamiltoniano eH y el antiguo H.

7.2.2. Caso 2: Función generatriz F2 = F2 (qi; epi; t)Si las variables independientes de F han de ser las qi y epi, la función generatriz

será del tipo F2.A partir de (7.7) se tiene que,

dF1 (qi; eqi; t) =Xi

pidqi � d X

i

epieqi!+Xi

eqidepi + � eH �H� dto,

d

"F1 (qi; eqi; t) +X

i

epieqi# =Xi

pidqi +Xi

eqidepi + � eH �H� dtdonde el argumento del diferencial en el miembro izquierdo es F2 (qi; epi; t) obtenidomediante una transformación de Legendre, es decir,

F2 (qi; epi; t) = F1 (qi; eqi; t) +Xi

epieqipor lo tanto,

dF2 =Xi

pidqi +Xi

eqidepi + � eH �H� dt (7.12)


dF2 =Xi

@F2@qi

dqi +Xi

@F2@epi depi + @F2

@tdt (7.13)


pi =@

@qiF2 (qi; epi; t) (7.14)



eqi = @

@epiF2 (qi; epi; t) (7.15)

y, eH = H +@

@tF2 (qi; epi; t) (7.16)

De las ecuaciones (7.14) se obtienen los epi en función de las qi, pi y t,correspondiendo, por lo tanto, a la segunda mitad de las ecuaciones detransformación (7.1). La mitad restante de las ecuaciones de transformaciónse deduce a partir de (7.15).

7.2.3. Caso 3: Función generatriz F3 = F3 (pi; eqi; t)Si las variables independientes de F han de ser las pi y eqila función generatriz

será del tipo F3. A partir de (7.7) se tiene que,

dF1 (qi; eqi; t) = d

Xi

piqi

!�Xi

qidpi �Xi

epideqi + � eH �H� dto,

d

"F1 (qi; eqi; t)�X

i

piqi

#= �

Xi

qidpi �Xi

epideqi + � eH �H� dtdonde el argumento del diferencial en el miembro izquierdo es F3 (pi; eqi; t) obtenidomediante una transformación de Legendre, es decir,

F3 (pi; eqi; t) = F1 (qi; eqi; t)�Xi

piqi

por lo tanto,dF3 = �

Xi

qidpi �Xi



dF3 =Xi

@F3@pi

dpi +Xi

@F3@eqi deqi + @F3

@tdt (7.18)


qi = �@

@piF3 (pi; eqi; t) (7.19)

epi = � @

@eqiF3 (pi; eqi; t) (7.20)



y, eH = H +@

@tF3 (pi; eqi; t) (7.21)

Aquí, las ecuaciones (7.19) dan las eqi como funciones de las qi, pi y t, quecorresponden a la primera mitad de las ecuaciones de transformación (7.1),y las (7.20) los epi en función de las qi, pi y t propocionando la mitad restante.

7.2.4. Caso 4: Función generatriz F4 = F4 (pi; epi; t)Finalmente, si las variables independientes de F han de ser las pi y epila función

generatriz será del tipo F4.A partir de (7.7) se tiene que,

dF1 (qi; eqi; t) = d

Xi

piqi

!�Xi

qidpi �"d

Xi

epieqi!�Xi

eqidepi#+ � eH �H� dto,

d

"F1 (qi; eqi; t) +X

i

epieqi �Xi

piqi

#= �

Xi

qidpi +Xi

eqidepi + � eH �H� dtdonde el argumento del diferencial en el miembro izquierdo es F4 (pi; epi; t) obtenidomediante una transformación de Legendre, es decir,

F4 (pi; epi; t) = F1 (qi; eqi; t) +Xi

epieqi �Xi

piqi

por lo tanto,dF4 = �

Xi

qidpi +Xi

eqidepi + � eH �H� dt (7.22)


dF4 =Xi

@F4@pi

dpi +Xi

@F4@epi depi + @F4

@tdt (7.23)


qi = �@

@piF4 (pi; epi; t) (7.24)

eqi = @

@epiF4 (pi; epi; t) (7.25)

y, eH = H +@

@tF4 (pi; epi; t) (7.26)



Por último, las ecuaciones (7.24) dan los epi como funciones de las qi, piy t, proporcionando la segunda mitad de las ecuaciones de transformación(7.1) y las (7.25) determinan las eqi en función de las antiguas variables pro-porcionando así la mitad restante.

La siguiente tabla resume todo lo obtenido anteriormente,

Función generatriz Ecuaciones de transformación

F1 = F1 (qi; eqi; t) pi =@F1@qi

, epi = �@F1@eqi

F2 = F2 (qi; epi; t) pi =@F2@qi

, eqi = @F2@epi

F3 = F3 (pi; eqi; t) qi = �@F3@pi

, epi = �@F3@eqi

F4 = F4 (pi; epi; t) qi = �@F4@pi

, eqi = @F4@epi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 7.1Considérese una función generatriz del segundo caso con la for-

ma particularF2 =

Xi

qiepiEncuéntrense las tranformaciones canónicas.

SOLUCION: a partir de las ecuaciones (7.14), (7.15) y (7.16) resulta respectivamente,

pi =@F2@qi

=@

@qi

Xj

qjepj! = epi (7.27)

eqi = @F2@epi = @

@epi X

j

qjepj! = qi (7.28)

y, eH = H +@

@t

Xj

qjepj! = H (7.29)

de aquí que, eqi = qiepi = pi

)(7.30)

eH = H (7.31)

de donde se observa que las coordenadas antiguas y nuevas son las mismas.

De lo anterior, se nota que F2 genera la transformación identidad, ex-presando que este tipo de transformación es canónica.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 7.2Considérese una función generatriz del segundo caso con la for-

ma más generalF2 =

Xi

fi (ql; t) epidonde las fi son funciones arbitrarias. Encuéntrense las tranformaciones canónicas.


pi =@F2@qi

=@

@qi

Xj

fj (ql; t) epj! =Xj

@fj@qiepj (7.32)

eqi = @F2@epi = @

@epi X

j

fj (ql; t) epj! = fi (ql; t) (7.33)

y, eH = H +@

@t

Xj

fj (ql; t) epj! = H +Xj

@fj@tepj (7.34)

de aquí que, eqi = fi (ql; t)Xj

@fj@qiepj = pi

9=; (7.35)

eH = H +Xj

@fj@tepj (7.36)

por lo tanto, con esta función generatriz las nuevas coordenadas eqi sólo dependen delas antiguas y del tiempo, pero no de los momentos antiguos.

La anterior transformación es un ejemplo de las transformaciones pun-tuales definidas por eqi = eqi (ql; t) y, como las fi son totalmente arbitrarias, sepuede concluir que todas las transformaciones puntuales son canónicas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 7.3Las transformaciones ortogonales son casos especiales de trans-

formaciones puntuales con,fi = eqi =X

l

�ilql



donde los �il son los elementos de la matriz de transformación que cumplen con lacondición de ortogonalidad, X

l

�il�ml = �im

Encuéntrense las tranformaciones canónicas.

SOLUCION: en base al ejemplo anterior, se puede escribir la función generatriz co-mo,

F2 =Xi;l

�ilqlepi (7.37)

de manera que, a partir de las ecuaciones (7.14),

pi =@F2@qi

=@

@qi

Xm;l

�mlqlepm! =Xm;l

�ml@ql@qiepm =X

m;l

�ml�liepm =Xm

�miepm (7.38)

de las cuales se puede despejar las epm multiplicando por �li y sumando sobre i enambos miembros, X

i

pi�li =Xi;m

�mi�liepm =Xm

�mlepm = epl (7.39)

y además, de las (7.15),

eqi = @F2@epi = @

@epi X

m;l

�mlqlepm! =Xm;l

�mlql@epm@epi =X

l

�ilql (7.40)

Por último, de (7.16) resulta,

eH = H +@

@t

Xm;l

�mlqlepm! = H (7.41)

de aquí que, eqi =Xl

�ilql

epl =Xi

pi�li

9>>=>>; (7.42)

eH = H (7.43)

de manera que los momentos también se transforman ortogonalmente, según cabíaesperar a priori.

De todo lo anterior se puede decir que las transformaciones ortogonalesson transformaciones canónicas.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 7.4Considérese una función generatriz del primer caso, de la forma,

F1 =Xi

qieqiEncuéntrense las tranformaciones canónicas.


pi =@F1@qi

=@

@qi

Xl

qleql! = eqi (7.44)

epi = �@F1@eqi = � @

@eqi X

l

qleql! = �qi (7.45)

y, eH = H +@F1@t

= H +@

@t

Xl

qleql! = H (7.46)

de aquí que, eqi = piepi = �qi)

(7.47)

eH = H (7.48)

Esta transformación permuta coordenadas y momentos, es una transfor-mación de intercambio; las nuevas coordenadas son los antiguos momen-tos, mientras que los nuevos momentos son esencialmente las antiguas coor-denadas, poniendo de manifiesto la independencia entre las coordenadasy momentos generalizados.

En efecto, se puede ver que esta transformación de intercambio es canónica apartir de las ecuaciones de Hamilton (??),

�qi =

@H@pi�

pi = �@H@qi

)

puesto que, al sustituir los pi por qi, las ecuaciones conservan su forma canónica sinmás que cambiar las qi por los �pi.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 7.5Demostrar que la transformación,

ep = 1

2

�p2 + q2

�, eq = tan�1�q

p

�

es canónica.

SOLUCION: una transformación es canónica si es capaz de mantener la forma delas ecuaciones de Hamilton. Pártase supondiendo que ep y eq son canónicas, por lotanto,

�eq =@ eH@ep (7.49)

�ep = �@eH@eq (7.50)

y al hallar todas las derivadas planteadas (teniendo presente que eH = H [q (eq; ep) ; p (eq; ep)]por no haber dependencia explícita respecto al tiempo puesto que en las transforma-ciones dadas no lo hay) resulta,

�eq =@eq@q

�q +

@eq@p

�p (7.51)

@ eH@ep =

@H

@ep = @H

@q

@q

@ep + @H

@p

@p

@ep (7.52)

�ep =@ep@q

�q +

@ep@p

�p (7.53)

@ eH@eq =

@H

@eq = @H

@q

@q

@eq + @H

@p

@p

@eq (7.54)

Por otro lado, de las ecuaciones de transformación dadas,

@eq@q=

p

p2 + q2,@eq@p= � q

p2 + q2,@ep@q= q,

@ep@p= p (7.55)

y, al hallar la derivada parcial de las ecuaciones de transformación respecto a ep y eqSOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 604


respectivamente,

@ep@ep = 1 =

@ep@q

@q

@ep + @ep@p

@p

@ep = q@q

@ep + p@p

@ep| {z }Por (7.55)

(7.56)

@eq@ep = 0 =

@eq@q

@q

@ep + @eq@p

@p

@ep = p

p2 + q2@q

@ep � q

p2 + q2@p

@ep| {z }Por (7.55)

(7.57)

@ep@eq = 0 =

@ep@q

@q

@eq + @ep@p

@p

@eq = q@q

@eq + p@p

@eq| {z }Por (7.55)

(7.58)

@eq@eq = 1 =

@eq@q

@q

@eq + @eq@p

@p

@eq = p

p2 + q2@q

@eq � q

p2 + q2@p

@eq| {z }Por (7.55)

(7.59)

de las cuales se obtiene,

@q

@eq = p,@p

@eq = �q, @q

@ep = q

p2 + q2,@p

@ep = p

p2 + q2(7.60)

Ahora, al sustituir (7.55) y (7.60) en las ecuaciones (7.51) a (7.54), resulta,

�eq =p

p2 + q2�q +� q

p2 + q2�p (7.61)

@ eH@ep =

q

p2 + q2@H

@q+

p

p2 + q2@H

@p(7.62)

�ep = q�q + p

�p (7.63)

@ eH@eq = p

@H

@q� q@H

@p(7.64)

y finalmente, al sustituir las ecuaciones (7.61) y (7.62) en (7.51) y (7.52) resulta,

p�q +�q�p = q

@H

@q+ p

@H

@p(7.65)

q�q + p

�p = �p@H

@q+ q

@H

@p(7.66)

de las cuales se obtiene,�q = @H

@p�p = �@H

@q

)(7.67)

Estas ecuaciones son correctas ya que de antemano se sabe que q y p son canóni-cas. Con esto queda mostrado que las transformaciones dadas son canónicas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Otra forma de mostrar que la transformación dada es canónica es verificando queXi

pidqi �Xi

epideqi (7.68)

es una diferencial exacta. En efecto, para el anterior ejemplo se tiene que i = 1,

pdq � epdeq = pdq � 12

�p2 + q2

��pdq � qdpp2 + q2

�=

1

2(pdq + qdp) = d

�1

2pq

�(7.69)

que es una diferencial exacta, por lo tanto la transformación es canónica.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 7.6Considerar la trasformación canónica generada por la función

generatriz del tipo,F1 =

m

2!q2 cot eq

en la resolución del oscilador armónico unidimensional. Aquí m es la masa de la partí-cula que oscila y ! =

pK=m con K la constante recuperadora de la fuerza.


p =@F1@q

=@

@q

�m2!q2 cot eq� = m!q cot eq (7.70)

ep = �@F1@eq = � @

@eq �m2 !q2 cot eq� = m!q2

2 Sen2 eq (7.71)

y, eH = H +@F1@t

= H +@

@t

�m2!q2 cot eq� = H (7.72)

Las ecuaciones (7.70) y (7.71) permiten obtener eq y ep en función de q y p, pero parael presente propósito conviene más expresar las antiguas variables en función de lasnuevas. Según (7.71), q está dada por,

q =

r2epm!

Sen eq (7.73)

que sustituida en (7.70), proporciona,

p =p2m!epCos eq (7.74)

Como la función generatriz F1 no depende explícitamente del tiempo, el valor delHamiltoniano [ver (7.72)] no es afectado por la transformación y bastará con expresar



H en función de las nuevas variables eq y ep mediante las ecuaciones (7.73) y (7.74). Laenergía potencial del oscilador viene dada por,

U =1

2Kq2

de manera que el Hamiltoniano tiene la forma,

H = T + U =1

2m�q2+1

2Kq2 =

p2

2m+1

2m!2q2 (7.75)

Ahora, al sustituir (7.73) y (7.74) en (7.75), se obtiene el Hamiltoniano en función delas nuevas variables,

H = !ep (7.76)

observándose que es cíclico en eq implicando que el momento conjugado ep es cons-tante. En efecto, según (7.76),

ep = E

!(7.77)

La ecuación de movimiento para eq [(??) para las nuevas variables] se reduce a laforma sencilla,

�eq = @H

@ep = ! (7.78)

con la solución inmediata, eq = !t+ � (7.79)

donde � es una constante de integración que puede ser determinada por las condi-ciones iniciales. Ahora bien, de (7.73) la solución para q es,

q =

r2E

m!2Sen (!t+ �) (7.80)

que es la conocida solución para el oscilador armónico.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lo más probable es que el procedimiento usado respecto al problema escogidoparezca como “clavar una tachuela usando una mandarria”. Sin embargo, suminis-tra un ejemplo sencillo de cómo reducir el Hamiltoniano, mediante transformacionescanónicas, a una forma en que todas las coordenadas son cíclicas.



7.3. Invariante integral universal de Poincaré

Como ya se vio, las transformaciones canónicas se definen como aquellas queconservan la forma de las ecuaciones de Hamilton. Ahora se plantea la siguiente in-terrogante,

¿Existirán otras expresiones que sean invariantes respecto de las transfor-maciones canónicas además de las ecuaciones de Hamilton?

La respuesta es SI. Poincaré2 halló un conjunto de ellas, llamadas invariantes inte-grales.

Poincaré llamó “invariante integral” a cualquier integral asociada al es-pacio de fase que se mantuviera constante a lo largo del movimiento delsistema.

El teorema de Poincaré dice que:

La integral,

J1 =

ZS

Z Xi

dqidpi (7.81)

es invariante un invariante canónico, indicando por S que las integrales sehan de calcular sobre una superficie arbitraria bidimensional del espacio defase.

Demostración:

Iníciese la demostración con la observación de que la posición de un punto enuna superficie bidimensional queda completamente determinada por sólo dos pará-metros. Sean u y v tales parámetros, apropiados a la superficie S, de modo que sobreésta qi = qi (u; v) y pi = pi (u; v). Cómo se sabe del cáculo elemental, el elemento deárea dqidpi se transforma en el elemento de área dudv mediante el Jacobiano,

@ (qi; pi)

@ (u; v)=

�� @qi@u

@pi@u

@qi@v

@pi@v

�� (7.82)

2Jules Henri Poincaré (Nancy, Francia, 29 de abril de 1854 – París, 17 de julio de 1912), generalmenteconocido como Henri Poincaré, fue un prestigioso matemático, científico teórico y filósofo de la ciencia.Poincaré es descrito a menudo como el último «universalista» (después de Gauss) capaz de entendery contribuir en todos los ámbitos de la disciplina matemática. En 1894 descubrió el grupo fundamentalde un espacio topológico.


7.3. INVARIANTE INTEGRAL UNIVERSAL DE POINCARÉ

de acuerdo con la relación,

dqidpi =@ (qi; pi)

@ (u; v)dudv (7.83)

Se quiere mostrar que J1 es invariante bajo una transformación canónica, por lotanto, una forma de hacerlo es partiendo de que el teorema es cierto. Así pues, laafirmación de que J1 tiene el mismo valor para todas las coordenadas canónicas sepuede escribir como, Z

S

Z Xi

dqidpi =

ZS

Z Xj

deqjdepj (7.84)

que, en virtud de (7.83), puede expresarse como,ZS

Z Xi

@ (qi; pi)

@ (u; v)dudv =

ZS

Z Xj

@ (eqj; epj)@ (u; v)

dudv (7.85)

y como la región de integración es arbitraria, las integrales sólo serán iguales si losintegrandos son idénticos, por lo tanto,X

i

@ (qi; pi)

@ (u; v)=Xj

@ (eqj; epj)@ (u; v)

(7.86)

Como se puede ver, la demostración de la invariancia de J1 se ha reducido ademostrar que la suma de los Jacobianos es invariante. Para demostrar esto, se partirádel primer miembro de (7.86) para llegar al segundo miembro de la misma.

Por conveniencia, se supondrá que la transformación canónica de las qi, pi a las eqi,epi tiene como función generatríz F una del tipo del caso 2 (ver sección 7.2.2), es decir,F2 = F2 (qi; epi; t) (esta suposición no es limitante pues puede efectuarse la demostraciónusando otras funciones generatrices).

Los elementos de la segunda columna del determinante en el primer miembro de(7.86) [ver también (7.82)] se expresan entonces en función de las nuevas variablesmediante la función generatriz. Según (7.14) se tiene que,

pi =@F2 (qi; epi; t)

@qi!

@pi@u= @

@u

h@F2(qi;epi;t)

@qi

i@pi@v= @

@v

h@F2(qi;epi;t)

@qi

i (7.87)

donde las magnitudes entre corchetes son funciones sólo de u y v a través de lasvariables qi y epi, por lo que,

@pi@u

=Xl

@2F2@qi@epl @epl@u

+Xl

@2F2@qi@ql

@ql@u

(7.88)

@pi@v

=Xl

@2F2@qi@epl @epl@v

+Xl

@2F2@qi@ql

@ql@v

(7.89)



por lo que se puede escribir el primer miembro de (7.86) como,

Xi

@ (qi; pi)

@ (u; v)=Xi

��@qi@u

Xl

@2F2@qi@epl @epl@u

+Xl

@2F2@qi@ql

@ql@u

@qi@v

Xl

@2F2@qi@epl @epl@v +

Xl

@2F2@qi@ql

@ql@v

�� (7.90)

Ahora, en virtud de la regla del cálculo de determinantes (ver apéndice E) quedice,

Si los elementos de una fila (columna) de una matriz se pueden descom-poner en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos de-terminantes que tienen iguales todas las filas (columnas) excepto dicha fila(columna) cuyos sumandos pasan, respectivamente, a cada uno de los de-terminantes.

entonces,

Xi

@ (qi; pi)

@ (u; v)=Xi

��@qi@u

Xl

@2F2@qi@epl @epl@u

@qi@v

Xl

@2F2@qi@epl @epl@v

��+Xi

��@qi@u

Xl

@2F2@qi@ql

@ql@u

@qi@v

Xl

@2F2@qi@ql

@ql@v

�� (7.91)

y en virtud de otra regla del cálculo de determinantes que dice,

Si los elementos de una fila (columna) de una matriz se multiplican por unnúmero, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número.

resulta,

Xi

@ (qi; pi)

@ (u; v)=

Xi;l

@2F2@qi@epl

�� @qi@u

@ql@u

@qi@v

@ql@v

��| {z }Antisimétrica al permutar los índices i y l

+Xi;l

@2F2@qi@ql

�� @qi@u

@epl@u

@qi@v

@epl@v

�� (7.92)

Los términos de la primera suma, como se puede notar por simple inspección, sonantisimétricos al permutar i y l, pues al hacerlo se intercambian las columnas del deter-minante [si en una matriz cuadrada se permutan dos filas(columnas), su determinantecambia de signo]. De esta manera, es fácil notar que ¡toda la suma se anula! porquesiempre cada término de la suma tendrá su contraparte de signo contrario, así el valorde la suma no queda afectado si se cambia qi ! epi y ql ! epl pues la suma seguirásiendo nula, X

i

@ (qi; pi)

@ (u; v)=Xi;l

@2F2@epi@epl

�� @epi@u

@epl@u

@epi@v

@epl@v

��+Xi;l

@2F2@qi@ql

�� @qi@u

@epl@u

@qi@v

@epl@v

�� (7.93)


7.3. INVARIANTE INTEGRAL UNIVERSAL DE POINCARÉ

Se revertirá ahora el proceso que permitió pasar de (7.90) a (7.93). Para hacer esto,se aplicarán las propiedades que se han usado de los determinantes, pero en sentidoinverso en su orden de aplicación, pero ahora la suma se hará respecto i y no a l.Entonces, a partir de (7.93),

Xi

@ (qi; pi)

@ (u; v)=Xl

��Xi

@2F2@epi@epl @epi@u @epl

@uXi

@2F2@epi@epl @epi@v @epl

@v

��+Xl

��Xi

@2F2@qi@ql

@qi@u

@epl@uX

i

@2F2@qi@ql

@qi@v

@epl@v

��o, X

i

@ (qi; pi)

@ (u; v)=Xl

��Xi

@2F2@epi@epl @epi@u +

Xi

@2F2@qi@ql

@qi@u

@epl@uX

i

@2F2@epi@epl @epi@v +

Xi

@2F2@qi@ql

@qi@v

@epl@v

�� (7.94)

pero, Xi

@2F2@epi@epl @epi@u

+Xi

@2F2@qi@ql

@qi@u

=@

@u

�@F2@epl

�=

@eql@u|{z}

por (7.15)

(7.95)


Xi

@ (qi; pi)

@ (u; v)=Xl

�� @eql@u

@epl@u

@eql@u

@epl@v

�� =Xl

@ (eql; epl)@ (u; v)

(7.96)

que es el segundo miembro de (7.86), demostrándose así el teorema de Poincaré.

De una forma análoga, pero aún más complicada, se demuestra que,

J2 =

Z ZS

Z Z Xi;l

dqidpidqldpl (7.97)

es invariante respecto de una transformación canónica, donde S es una superficiearbitraria tetradimensional en el espacio de fase de 2s dimensiones.

Puede prolongarse esta cadena de invariantes integrales llegándose finalmente a,

Jn =

Z� � �Zdq1 : : : dqsdp1 : : : dps (7.98)

donde la integral se halla extendida a una región arbitraria del espacio de fase.

La invariancia de Jn equivale a decir que el volumen en el espacio defase es invariante respecto de las transformaciones canónicas.



7.4. Corchetes de Lagrange y Poisson

7.4.1. Corchetes de Lagrange

La condición de invariancia de la suma de los jacobianos (7.86) puede es-cribirse como, X

i

�@qi@u

@pi@v� @pi@u

@qi@v

�=Xi

�@eqi@u

@epi@v� @epi@u

@eqi@u

�(7.99)

Cada uno de los miembro de de la anterior expresión define lo que se denominacorchete de Lagrange de u y v, representado por,

fu; vgq;p =Xi

�@qi@u

@pi@v� @pi@u

@qi@v

�(7.100)

de manera que, en virtud de (7.99), se puede decir que los corchetes de Lagrange soninvariantes canónicos. Por lo tanto, es indiferente el conjunto de variables canónicasque se utilice para expresar los corchetes de Lagrange, por esta razón en adelanteserán omitidos los subíndices q y p. Es fácil probar que se cumple la siguiente relacióngeneral,

fu; vg = �fv; ug (7.101)

indicando que los corchetes de Lagrange son antisimétricos.

Recuérdese de la sección 7.3 que u y v son las coordenadas de una región bidimen-sional del espacio de fase, de manera que no hay ningún inconveniente en considerarcomo tal región el plano qi, qj; pi, pj o qi, pj. Por lo tanto, se pueden verificar (por cáculodirecto) los llamados corchetes de Lagrange fundamentales,

fqi; qjg = 0 (7.102)

fpi; pjg = 0 (7.103)

fqi; pjg = �ij (7.104)

recordándose que las qi, pi son tratadas como variables independientes en el formalis-mo Hamiltoniano. Estas expresiones son evidentemente válidas para todos los conjun-tos de variables canónicas.


7.4. CORCHETES DE LAGRANGE Y POISSON

7.4.2. Corchetes de Poisson

Aún más que los corchetes de Lagrange, son los llamados corchetes de Pois-son3, que son definidos por,

[u; v]q;p =Xi

�@u

@qi

@v

@pi� @u

@pi

@v

@qi

�(7.105)

verificándose, en analogía con (7.101), la identidad,

[u; v] = � [v; u] (7.106)

indicando, al igual que los corchetes de Lagrange, que los corchetes de Lagrange sonantisimétricos.

Al igual que con los corchetes de Lagrange, u y v son las coordenadas de unaregión bidimensional del espacio de fase, de manera al considerar como tal regiónel plano qi, qj; pi, pj o qi, pj, se pueden verificar (por cálculo directo) los llamadoscorchetes de Poisson fundamentales,

[qi; qj] = 0 (7.107)

[pi; pj] = 0 (7.108)

[qi; pj] = �ij (7.109)

En base a las expresiones (7.100) y (7.105) es de esperarse que exista una estrecharelación entre los corchetes de Lagrange y de Poisson. En efecto, si se consideran úni-camente como expresiones matemáticas, prescindiendo de cualquier significado físi-co, puede demostrarse el siguiente teorema,

Si ul, l = 1; :::; 2s es un conjunto de es un conjunto de 2s funciones inde-pendientes, tales que cada u es función de las 2s variables q1; :::; qs; p1; :::; ps,se cumple que,

2sXl

ful; uig [ul; uj] = �ij (7.110)

La demostración de este teorema no es en realidad difícil, pero si es algo laboriosa:

3Siméon Denis Poisson (Pithiviers, Francia, 21 de junio de 1781-Sceaux, Francia, 25 de abril de 1840), fueun físico y matemático francés al que se le conoce por sus diferentes trabajos en el campo de la elec-tricidad, también hizo publicaciones sobre la geometría diferencial y la teoría de probabilidades.



Demostración:

2sXl

ful; uig [ul; uj] =2sXl

266664sXk

�@qk@ul

@pk@ui� @pk@ul

@qk@ui

� sXm

�@ul@qm

@uj@pm

� @ul@pm

@uj@qm

�| {z }

Por (7.100) y (7.105)

377775=

2sXl

sXk;m

��@qk@ul

@pk@ui� @pk@ul

@qk@ui

��@ul@qm

@uj@pm

� @ul@pm

@uj@qm

��

=2sXl

sXk;m

@qk@ul

@pk@ui

@ul@qm

@uj@pm| {z }

Término 1

�2sXl

sXk;m

@qk@ul

@pk@ui

@ul@pm

@uj@qm| {z }

Término 2

�2sXl

sXk;m

@pk@ul

@qk@ui

@ul@qm

@uj@pm| {z }

Término 3

+2sXl

sXk;m

@pk@ul

@qk@ui

@ul@pm

@uj@qm| {z }

Término 4

(7.111)

Primero se simplificarán cada uno de los términos indicados.Término 1:

Término 1 =2sXl

sXk;m

@qk@ul

@pk@ui

@ul@qm

@uj@pm

=sXk;m

@pk@ui

@uj@pm

2sXl

@qk@ul

@ul@qm

pero, es fácil ver que,2sXl

@qk@ul

@ul@qm

=@qk@qm

= �km

entonces,

Término 1 =sXk;m

@pk@ui

@uj@pm

�km =

sXk

@pk@ui

@uj@pk

(7.112)

Término 2:

Término 2 =2sXl

sXk;m

@qk@ul

@pk@ui

@ul@pm

@uj@qm

=

sXk;m

@pk@ui

@uj@qm

2sXl

@qk@ul

@ul@pm

pero,2sXl

@qk@ul

@ul@pm

=@qk@pm

= 0

recordándose que en el formalismo Hamiltoniano las qi y los pi son variables totalmenteindependientes. Entonces,

Término 2 = 0 (7.113)



Término 3: Procediendo de forma análoga que con el término 1,

Término 3 =sXk

@uj@qk

@qk@ui

(7.114)

Término 4: Procediendo de forma análoga que con el término 2,

Término 4 = 0 (7.115)

Ahora, al sustituir los resultados (7.112) al (7.115) en (7.111), resulta,2sXl

ful; uig [ul; uj] =sXk

�@uj@pk

@pk@ui

+@uj@qk

@qk@ui

�=@uj@ui

= �ij

con lo cual queda demostrado el teorema.

La demostración anterior es independiente del particular sistema coordenado qi,pi elegido; cualquier otro sistema de 2s coordenadas independientes eqi y epi hubieseservido de la misma forma. Por tal razón, (7.110) es invariante respecto a todas lastransformaciones de coordenadas, sean o no canónicas.

Por lo anteriormente expuesto, este teorema permite calcular ciertos corchetes dePoisson sin necesidad de utilizar un sistema coordenado particular. Si se eligen comofunciones ul el conjunto de 2s funciones q1; :::; qs; p1; :::; ps; entonces:

1. Al hacer que las ui sean las pi y las uj las qj, (7.110) puede ser escrita como,sXl

fql; pig [ql; qj]| {z }cuando las ul son las ql

+sXl

fpl; pig [pl; qj]| {z }cuando las ul son los pl

= �ij

que en virtud de (7.103) y (7.104) [teniendo presente (7.101)] se obtiene (7.107).

2. Al hacer que las ui sean las qi y las uj los pj, (7.110) puede ser escrita como,sXl

fql; qig [ql; pj]| {z }cuando las ul son las ql

+

sXl

fpl; qig [pl; pj]| {z }cuando las ul son los pl

= �ij


3. Por último, al hacer que las ui sean las qi y las uj las qj, (7.110) puede ser escritacomo,

sXl

fql; qig [ql; qj]| {z }cuando las ul son las ql

+

sXl

fpl; qig [pl; qj]| {z }cuando las ul son los pl

= �ij




De lo anterior, debido a la naturaleza del teorema expresado por(7.110), queda claro que los corchetes fundamentales de Poisson no depen-den del conjunto particular de variables canónicas escogidas en su deduc-ción, demostrándose así gue son invariantes canónicos.

Sólo queda por mostrar que el valor de cualquier corchete de Poisson es inde-pendiente del sistema coordenado en que esté expresado. Para mostrarlo, se em-pleará la ya mostrada independencia de los corchetes de Poisson fundamentales. SiF = F (qi; pi; t) y G = G (qi; pi; t) son dos funciones arbitrarias, su corchete de Poissonrespecto del sistema q, p es,

[F;G]q;p =Xi

�@F

@qi

@G

@pi� @F

@pi

@G

@qi

�(7.116)

y, respecto del sistema eq, ep (que es una transformación canónica del sistema q, p),

[F;G]eq;ep =Xi

�@F

@eqi @G@epi � @F

@epi @G@eqi�

(7.117)

ahora, considerando qi y pi como funciones del conjunto de variables transformadaseqj, epj, se quiere mostrar que,[F;G]q;p = [F;G]eq;ep (7.118)

En efecto, se tiene que,

@G

@pi=

Xj

@G

@eqj @eqj@pi+Xj

@G

@epj @epj@pi

@G

@qi=

Xj

@G

@eqj @eqj@qi+Xj

@G

@epj @epj@qi

por lo tanto la expresión (7.116) se puede escribir como,

[F;G]q;p =Xi;j

�@F

@qi

�@G

@eqj @eqj@pi+@G

@epj @epj@pi

�� @F

@pi

�@G

@eqj @eqj@qi+@G

@epj @epj@qi

��que, reagrupando adecuadamente los términos, se convierte en,

[F;G]q;p =Xj

�@G

@eqj [F; eqj]q;p + @G

@epj [F; epj]q;p�

(7.119)

Esta misma expresión sirve para calcular los corchetes de Poisson que aparecenentre paréntesis. En efecto, si se sustituye F por eqj, y se reemplaza G por F , (7.119) seconvierte en,

[eqj; F ]q;p =Xi

@F

@eqi [eqj; eqi] +Xi @F

@epi [eqj; epi]SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 616


donde se han omitido los subíndices en los corchetes del segundo miembro, por queson precisamente los fundamentales y ya se ha mostrado que estos son invariantes.Como consecuencia de (7.107) y (7.109), la expresión (7.119) se reduce a,

[eqj; F ]q;p =Xi

@F

@epi �jio, en virtud de (7.106),

[F; eqj] = �@F@epj (7.120)

que es un resultado canónicamente invariante.

De forma análoga, si se sustituye F por epj, y se reemplaza G por F , (7.119) se con-vierte en,

[epj; F ]q;p =Xi

�@F

@eqi [epj; eqi] + @F

@epi [epj; epi]�

Como consecuencia de (7.108) y (7.109), la expresión (7.119) se reduce a,

[epj; F ]q;p = �Xi

@F

@eqi �ijo, en virtud de (7.106),

[F; epj] = @F

@eqj (7.121)

Por último, al sustituir (7.120) y (7.121) en (7.119),

[F;G]q;p =Xj

�@F

@eqj @G@epj � @F

@epj @G@eqj�= [F;G]eq;ep

que demuestra el planteamiento inicial expresado por (7.118).

De todo lo anterior se puede decir que los corchetes de Poisson soninvariantes ante transformaciones canónicas o invariantes canónicos, por loque los subíndices pueden ser omitidos.

De lo anterior y de (7.107) a (7.109) también se puede concluir que:

Si se cumple que,

[eqi; eqj]q;p = 0 [epi; epj]q;p = 0 [eqi; epj]q;p = �ij (7.122)

entonces la transformación que pasa del sistema q, p al sistema eq, ep escanónica.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 7.7Resolver el ejemplo 7.5 pero ahora desde el punto de vista de las

expresiones (7.122).

SOLUCION: para este caso i = j = 1, entonces las expresiones (7.122) quedan es-critas como,

[eq; eq]q;p = 0 [ep; ep]q;p = 0 [eq; ep]q;p = 1 (7.123)

entonces, a partir de la definición de un corchete de Poisson dada por (7.105), las dosprimeras se cumplen de forma obvia,

[eq; eq]q;p =@eq@q

@eq@p� @eq@p

@eq@q= 0 (7.124)

[ep; ep]q;p =@ep@q

@ep@p� @ep@p

@ep@q= 0 (7.125)

y la tercera,

[eq; ep]q;p = @eq@q

@ep@p� @eq@p

@ep@q

(7.126)

pero,@eq@q= p

p2+q2@ep@p= p @eq

@p= � q

p2+q2@ep@q= q

entonces, al sustituir estos resultados en (7.126) resulta,

[eq; ep]q;p = p2

p2 + q2+

q2

p2 + q2= 1

lo cual demuestra que la transformación dada es canónica. En fin, sólo hay que probarla tercera de las expresiones (7.122), ya que las dos primeras son independientes de laforma explícita de la transformación.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Las siguientes son algunas propiedades de los corchetes de Poisson,

1. [u; u] = 0.

2. [u; �] = 0, donde � es una magnitud que no depende explícitamente de q y/o p.

3. Regla de Leibniz:

([u; vw] = [u; v]w + v [u;w]

[uv; w] = [v; w]u+ v [u;w].



4. Linealidad:

([�u; v] = � [u; v]

[u+ v; w] = [u;w] + [v; w] :, donde � es una magnitud que no depende

explícitamente de q y/o p.

5. @@t[u; v] =

�@u@t; v�+�u; @v

@t

�6. CIdentidad de Jacobi (ver apéndice F), [u; [v; w]] + [v; [w; u]] + [w; [u; v]] = 0.

Las propiedades 1 hasta la 5 se pueden demostrar fácilmente a partir de la defini-ción de corchete de Poisson (7.105). La 6 puede verificarse directamente por fuerzabruta, pero el cálculo es brutalmente extenso.

7.4.3. Ecuaciones de Hamilton en corchetes de Poisson

Si la función F de (7.120) y (7.121) es el Hamiltoniano, entonces se puede es-cribrir que,

[qi; H] =@H

@pi=

�qi (7.127)

[pi; H] = �@H@qi

=�pi (7.128)

que son las ecuaciones canónicas del movimiento o ecuaciones de Hamilton escritasen función de los corchetes de Poisson. Esto pone en evidencia la gran simetría de estaformulación.

Las anteriores expresiones son un caso especial de una expresión general que dala derivada total respecto al tiempo de una función u (qi; pi; t). En efecto,

du

dt=Xi

�@u

@qi

�qi �

@u

@pi

�pi

�+@u

@t

y si se expresan�qi y

�pi en función del Halmiltoniano usando las ecuaciones de Hamilton

(??)du

dt=Xi

�@u

@qi

@H

@pi� @u

@pi

@H

@qi

�+@u

@t

o,du

dt= [u;H] +

@u

@t(7.129)

y se observa que, evidentemente, las expresiones (7.127) y (7.128) se deducen de estarelación si si se hace u igual a qi y pi, respectivamente.



Por otro lado, Igualando u al Hamiltoniano se obtiene otro resultado conocido, puéssegún la propiedad 1 de los corchetes de Poisson mencionada en la sección 7.4.2 setiene que,

dH

dt=@H

@t

que es idéntica a la expresión (??).

Para sistemas en los cuales t no aparece explícitamente en las magnitudes de in-terés, la derivada total respecto al tiempo se reduce al corchete de Poisson con H. Enefecto, si u es una de esas magnitudes de interés, entonces a partir de (7.129),

du

dt= [u;H] , si t no aparece explícitamente. (7.130)

Por lo tanto, de (7.130) se puede concluir que todas las funciones ucuyo corchete de Poisson con H se anule serán constantes de movimien-to y, recíprocamente, los corchetes de las constantes de movimiento conH se anulan. Esto constituye, por lo tanto, un procedimiento general parabuscar e identificar las constantes de movimiento del sistema.

La identidad de Jacobi permite, conocidas dos constantes de movimiento, hallaruna tercera. Este resultado es conocido como teorema de Jacobi-Poisson y estableceque,

Si u y v son dos constantes conocidas cualesquiera de movimiento queno dependen explícitamente del tiempo, entonces [u; v] es también unaconstante de movimiento.

Demostración:La demostración es sencilla y se basa en la identidad de Jacobi. En efecto, al hacer

w = H en la identidad de Jacobi,

[u; [v;H]] + [v; [H; u]] + [H; [u; v]] = 0

pero,[v;H] = 0 y [H; u] = 0

puesto que los corchetes de una constante de movimiento con H se anulan, quedan-do,

[u; 0] + [v; 0] + [H; [u; v]] = 0


7.5. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS INFINITESIMALES

y por la segunda propiedad de los corchetes de Poisson,

[u; 0] = 0 y [v; 0] = 0

resultando por último,[H; [u; v]] = 0 (7.131)

entonces [u; v] es una constante de movimiento, es decir, el corchete de Poisson dedos constantes de movimiento es también una constante de movimiento; ya que to-das las funciones (en este caso [u; v]) cuyo corchete de Poisson con H se anule seránconstantes de movimiento.

Debe entenderse, sin embargo, que la nueva constante de movimiento que sepueda hallar por este procedimiento, bien puede ser idénticamente nula, o conducira una constante o función de constantes ya conocidas.

7.5. Transformaciones canónicas infinitesimales

Comiécese definiendo lo que es una transformación canónica infinitesimal.

Se denomina transformación canónica infinitesimal a aquella transfor-mación canónica que difiere infinitesimalmente de la transformación iden-tidad, es decir, una transformación en la que las nuevas variables sólo sediferencian de las antiguas en un infinitésimo.

En base a lo anteriormente expuesto, se pueden escribir las ecuaciones de transfor-mación como, eqi = qi + �qiepi = pi + �pi

)(7.132)

cuidándose de tener presente que �qi y �pi no representan desplazamientos virtuales,sino sencillamente cambios infinitesimales de las coordenadas y los momentos.

Es evidente pensar que la función generatriz de la transformación sólo diferirá enun infinitésimo de la correspondiente a la identidad, dada por F2 =

Xi

qiepi estudiada

en el ejemplo 7.1. Por lo tanto, la función generatriz podrá escribirse, para el presentecaso, como,

F2 =Xi

qiepi + � (ql; pl) (7.133)



donde � es cierto parámetro infinitesimal de la transformación que permite controlarel valor absoluto de �qi = jeqi � qij y �pi = jepi � pij y hacerlo tan pequeño como sedesee si las funciones (ql; pl) están acotadas en el rango de interés. En adelante,serán considerados sólo términos hasta el primer orden en �.

Las ecuaciones de transformación se hallan a partir de (7.14) y (7.15),

pi =@F2@qi

=@

@qi

Xm

qmepm + � (ql; pl)

!= epi + �

@

@qi

o, epi = pi � �@

@qi

eqi = @F2@epi = @

@epi X

m


!= qi + �

@

@epicuyo segundo miembro es una mezcla entre las antiguas y nuevas variables. Se quieredejarlo de tal forma que sólo aparezcan las antiguas, lo cual se logra observando queel segundo miembro es ya de primer orden en � y los epi sólo difieren en un infinitésimode los pi, entonces es correcto reemplazar epi ! pi en la derivada, quedando,

eqi = qi + �@

@qi

considerándose ahora únicamente como función de las qi y pi. Y además de (7.16),

eH = H +@F2@t

= H +@

@t

Xm


!= H (7.134)

de manera que el Hamiltoniano no sufre cambios bajo esta transformación. Por lo tan-to, las trasformaciones infinitesimales buscadas vendrán dadas por,

eqi = qi + � @@qiepi = pi � � @@qi

)(7.135)

y aunque, rigurosamente hablando, el calificativo de función generatriz es sólo reser-vado para F , también suele designarse de esta forma.

En virtud de (7.132), las expresiones (7.135) pueden ser escritas como,

�qi = � @@pi

�pi = �� @@qi

)(7.136)


7.5. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS INFINITESIMALES

Una interesante aplicación de las expresiones (7.136) se tiene cuando se considerauna transformación canónica infinitesimal en la que (qi; pi) = H (qi; pi), siendo � unpequeño intervalo de tiempo dt. En este caso, a partir de (7.136) se tiene,

�pi = ��@@qi

= �@H@qi

dt =�pidt = dpi (7.137)

�qi = �@

@pi=@H

@pidt =

�qidt = dqi (7.138)

donde se han usado las expresiones (7.19). Con esto se ha mostrado que el Hamiltoni-ano es el generador infinitesimal para la evolución dinámica en el tiempo.

Las expresiones (7.137) y (7.138) proporcionan los valores de las qi y los pi en el in-stante t + dt, conocidos los que tienen en el instante t, permitiendo describir el mo-vimiento del sistema en un intervalo dt mediante una trasformación canónica infin-itesimal generada por el Hamiltoniano. Por consiguiente, el movimiento del sistemaen un intervalo finito, comprendido entre to y t, vendrá representado por una suce-sión de transformaciones canónicas infinitesimales. Como el resultado de dos trans-formaciones canónicas aplicadas sucesivamente equivale a una sola transformacióncanónica, podrán obtenerse los valores de las qi y los pi en cualquier instante t, a partirde sus valores iniciales, mediante una trasnformación canónica que sea función con-tinua del tiempo. De acuerdo con este punto de vista, el movimiento de un sistemamecánico corresponde a una evolución continua de una transformación canónica.

Por otro lado, considerando el cambio que experimenta cierta función u (qi; pi) co-mo resultado de una transformación canónica infinitesimal, aparece un resultado en-tre dicha transformación y los corchetes de Poisson. En efecto, el cambio de dichafunción como resultado de una transformación canónica infinitesimal es,

�u (qi; pi) = u (qi + �qi; pi + �pi)� u (qi; pi)

pero si se consideran sólo infinitésimos de primer orden, entonces un desarrollo en seriede Taylor demuestra que la diferencia es,

�u =Xi

�@u

@qi�qi +

@u

@pi�pi

�y al usar (7.137) y (7.138) resulta,

�u = �Xi

�@u

@qi

@

@pi� @u

@pi

@

@qi

�o, en virtud de la definición de los corchetes de Poisson (7.105),

�u = � [u;] (7.139)



por lo tanto, en consecuencia, si se hace u = H, el cambio del Hamiltoniano comoresultado de una transformación canónica infinitesimal es,

�H = � [H;] (7.140)

Anteriormente se encontró que si una función (qi; pi) es una constante de mo-vimiento, su corchete de Poisson con H se anula. La expresión (7.140) dice que talconstante engendra una transformación canónica infinitesimal que no altera el valordel Hamiltoniano, es decir:

Las constantes de movimiento son las funciones generatrices de aque-llas transformaciones canónicas infinitesimales que dejan invariante el Hamil-toniano.

7.6. Forma simpléctica de las transformaciones canónicas

Además de que por la existencia de una función generatriz y por la invarianzade los corchetes de Lagrange y Poisson se han caracterizado las transformacionescanónicas, se desarrolló en esta sección otra condición necesaria y suficiente quegarantiza el que una transformación sea canónica.

También se pueden ver transformaciones que dejan invariantes a las ecuacionesde Hamilton (transformaciones canónicas) desde el punto de vista estudiado en lasección ??. La transformación del sistema q, p al sistema eq, ep puede escribirse ahoracomo, e�i = e�i (�i) , con i = 1; :::; 2s (7.141)

donde �i = qi, �i+s = pi y e�i = eqi, e�i+s = epi con i � s. Entonces,

de�idt=

�e�i = @e�i@�l

d�ldt=@e�i@�l

��l (7.142)

y al usar (??) resulta,�e�i = @e�i

@�lJlk

@H

@�k=@e�i@�l

Jlk@H

@e�j @e�j@�k(7.143)

o matricialmente,�e� = �J JJ T

� @H@e� (7.144)

donde Jij = @e�i@�j

es el Jacobiano de la transformación. Ahora bien, si la transformaciónrealizada es canónica, significa que la expresión (7.144) debe ser igual en forma a la


7.6. FORMA SIMPLÉCTICA DE LAS TRANSFORMACIONES CANÓNICAS

(??), por lo tanto debe cumplirse que,

J JJ T = J ) @e�i@�l

Jlk@e�j@�k

= Jij (7.145)

donde se dice que J es simpléctico.

Un cambio de variables con un Jacobiano J simpléctico, es decir, quecumple con (7.145), se dice que es una transformación canónica.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 7.8Resolver el ejemplo 7.5 pero ahora desde el punto de vista de las

expresiones (7.145).

SOLUCION: se debe mostrar que J JJ T = J . La transformación dada representa unsistema de un grado de libertad, por lo tanto, el Jacobiano viene dado por,

J ="J11 J12J21 J22

#=

"@eq@q

@eq@p

@ep@q

@ep@p

#(7.146)

pero como,@eq@q= p

p2+q2@ep@p= p @eq

@p= � q

p2+q2@ep@q= q (7.147)

entonces,

J ="

pp2+q2

� qp2+q2

q p

#) J T =

"p

p2+q2q

� qp2+q2

p

#(7.148)

Por otro lado, de la definición de J (??), para esta caso particular se puede escribir,

J =

"0 1

�1 0

#(7.149)

por lo tanto,

J JJ T =

"p

p2+q2� qp2+q2

q p

#"0 1

�1 0

#"p

p2+q2q

� qp2+q2

p

#=

"0 1

�1 0

#= J (7.150)

de aquí que la transformación sea canónica.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



EJEMPLO 7.9Supóngase que se tiene la transformación qi �! eqi (qj). Encontrar

la forma de la transformación pi �! epi (qj; pj) que mantiene invariantes las ecuacionesde Hamilton.

SOLUCION: el Jacobiano viene dado por,

J ="J11 J12J21 J22

#=

"@eqi@qj

@eqi@pj

@epi@qj

@epi@pj

#=

"@eqi@qj

0@epi@qj

@epi@pj

#(7.151)

Ahora, la condición para que la transformación dada sea canónica es que J JJ T = J ,por lo tanto,

J JJ T =

"@eqi@qj

0@epi@qj

@epi@pj

#"0 1

�1 0

#"@eqi@qj

@epi@qj

0 @epi@pj

#=

"0 1

�1 0

#

de aquí que, "0 @eqi

@qj

@epi@pj

� @epi@pj

@eqi@qj

0

#=

"0 1

�1 0

#(7.152)

por lo tanto,@eqi@qj

@epi@pj

= 1 (7.153)

entonces, epi = @qj@eqi pj (7.154)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


7.7. PROBLEMAS

7.7. Problemas

1. Demostrar, por cálculo directo y por corchetes de Poisson, que la transformación,

eq = log�1qSen p

�, ep = q cot p

es canónica.

2. Las ecuaciones de transformación entre dos sistemas coordenados son,

eq = log�1 + q1=2Cos p

�ep = 2

�1 + q1=2Cos p

�q1=2 Sen p

(a) Demuéstrese directamente a partir de estas ecuaciones de transformación queeq y ep son variables canónicas si lo son q y p. (b) Pruébese que la función que engen-dra esta transformación es,

F3 = ��eeq � 1�2 tan p

3. Para qué valores de � y � representan las ecuaciones,

eq = q�Cos (�p)ep = q� Sen (�p)

una transformación canónica? ¿Cuál es la forma de la función generatriz F3 en estecaso?.

4. Mostrar directamente que para un sistema de un grado de libertad, la transforma-ción,

eq = tan�1��q

p

�ep =

�q2

2

�1 +

p2

�2q2

�es canónica, donde � es una constante arbitraria de dimensiones adecuadas. Useel método simpléctico.

5. Muestre las siguientes propiedades de los corchetes de Poisson:Las siguientes sonalgunas propiedades de los corchetes de Poisson,

a) [u; u] = 0.

b) [u; �] = 0, donde � es una magnitud que no depende explícitamente de q y/o p.



c) Regla de Leibniz: ([u; vw] = [u; v]w + v [u;w]

[uv; w] = [v; w]u+ v [u;w]

d) Linealidad: ([�u; v] = � [u; v]

[u+ v; w] = [u;w] + [v; w] :

donde � es una magnitud que no depende explícitamente de q y/o p.

e) @@t[u; v] =

�@u@t; v�+�u; @v

@t

�6. Mostrar que el corchete de Poisson de las componentes x y y del momento angular

es igual al valor de su componente z con signo negativo,

[Lx; Ly] = �Lz


CAPÍTULO 8

Teoría de Hamilton-Jacobi

La ecuación de Hamilton-Jacobi1 es una ecuación diferencial en derivadasparciales usada en Mecánica Clásica y Mecánica Relativista que permite encontrarlas ecuaciones de evolución temporal o de "movimiento".

La ecuación de Hamilton-Jacobi permite una formulación alternativa a la Mecáni-ca Lagrangiana y la Mecánica Hamiltoniana (y por tanto a la Mecánica Newtoniana,basada en el intento de integración directa de las ecuaciones de movimiento). El em-pleo de la ecuación de Hamilton-Jacobi resulta ventajoso cuando se conoce algunaintegral primera de movimiento.

Además la formulación basada en la ecuación de Hamilton-Jacobi es la únicaformulación de la Mecánica en la que el movimiento de una partícula y el de unaonda se describen en los mismos términos. Es por esto que ecuación de Hamilton-Jacobi constituye una meta largamente perseguida de la física teórica, desde JohannBernoulli en el siglo XVIII buscó una analogía entre la propagación de ondas y partícu-las. Esta razón fue la que llevo a Schrödinger a buscar una ecuación para la "MecánicaOndulatoria.o Mecánica Cuántica generalizando la ecuación de Hamilton-Jacobi (enlugar de usar los otros enfoques alternativos de la Mecánica Clásica). Incluso la primeraecuación para Mecánica Cuántica Relativista, la ecuación de Klein-Gordon, se basóen la ecuación de Hamilton-Jacobi relativista en lugar de otros enfoques alternativos.

1Carl Gustav Jacobi (1804-1851), matemático alemán, uno de los fundadores de la teoría de las fun-ciones elípticas. Nació en Potsdam y estudió en la Universidad de Berlín. Fue profesor de matemáticasen la Universidad de Königsberg (hoy Kaliningrado, Rusia) desde 1827 hasta 1842. Hizo grandes aporta-ciones a la teoría de números y al estudio de los determinantes, estableciendo la teoría de los determi-nantes funcionales, que se llamaron jacobianos. También investigó las ecuaciones diferenciales.

629

CAPÍTULO 8. TEORÍA DE HAMILTON-JACOBI

Como se dijo antes, las ecuaciones de Lagrange para un sistema descrito por s(grados de libertad) coordenadas generalizadas son s ecuaciones de segundo ordende derivadas respecto del tiempo. El mismo sistema puede ser estudiado de acuerdoa Hamilton con 2s ecuaciones de primer orden de derivadas respecto del tiempo.Existe una notable alternativa, la descripción de Hamilton-Jacobi, que se reduce auna única ecuación en derivadas parciales.

La teoría de las transformaciones canónicas estudiada en el capítulo anterior con-duce directamente al resultado más importante de la teoría de sistemas dinámicos, laecuación de Hamilton-Jacobi.

Contents8.1. Ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628

8.2. Solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . 631

8.2.1. Para sistemas con H independiente del tiempo . . . . . . . . . . . . . . 632

8.2.2. Para sistemas con H independiente del tiempo y alguna coordenada cíclica 633

8.2.3. Para sistemas con H independiente del tiempo y coordenadas no cíclicas 633

8.3. Ejemplos de aplicación de la ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . 635

8.4. Variables acción-ángulo en sistemas con un grado de libertad . . . . . 635

8.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

8.1. Ecuación de Hamilton-Jacobi

Considérese un sistema holónomo que obedece las ecuaciones canónicas deHamilton,

�qi =

@H

@pi,

�pi = �

@H

@qicon i = 1; 2; 3; :::; s (8.1)

donde s = 3N � k es, como ya se sabe, el número de grados de libertad del sistemamecánico holónomo a estudiar. Se tratará ahora de determinar una transformacióncanónica de manera que en el sistema Hamiltoniano transformado,

�eqi = @ eH@epi , �epi = �@ eH@eqi con i = 1; 2; 3; :::; s (8.2)

la función eH sea cero, eH = 0 (8.3)


8.1. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI

de modo que, a partir de (8.2),�eqi = 0, �epi = 0 (8.4)

de forma que el sistema (8.4) se pueda integrar directamente resultando,

eqi = �i, epi = �i con i = 1; 2; 3; :::; s (8.5)

donde �i y �i son 2s constantes arbitrarias.

Con la finalidad de llevar a cabo la transformación de coordenadas, se necesitauna función generatriz. Por razones históricas (Jacobi hizo esta elección) se adopta,entre las cuatro posibles tipos, la función F2 = F2 (qi; epi; t) = S (qi; epi; t) que ya se es-tudió en el capítulo anterior (sección 7.2.2), la cual es conocida como la función deacción de Hamilton. Conocidas ya las transformaciones, se pueden expresar todaslas qi y pi como funciones del tiempo t de las 2s constantes arbitrarias �i, �i, es de-cir, se pueden encontrar completamente las ecuaciones de movimiento finales de unsistema holónomo dado [todas las soluciones del sistema (8.1)].

Para la función generatriz que se ha elegido, como ya se sabe, se cumplen lasecuaciones (7.14) a (7.16). Ahora bien, al aplicar el requerimiento (8.3) a la expresión(7.16) se obtiene,

@

@tS (qi; epi; t) +H (qi; pi; t) = 0

o también, en virtud de (7.14) y (8.5),

@

@tS�qj; �j; t

�+H

�qi;

@

@qiS�qj; �j; t

�; t

�= 0 (8.6)

que es la denominada ecuación diferencial de Hamilton-Jacobi. Mediante esta ecua-ción diferencial se puede determinar la función generatriz S. Es de hacer notar queesta ecuación es una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden con s+ 1

variables qi, t. La no linealidad es debida a que H depende cuadráticamente de losmomentos que entran como derivadas de la función de acción de Hamilton S conrespecto a las coordenadas de posición qi. Aqui aparecen sólo primeras derivadascon respecto a las qi y el tiempo t.

¿Qué se ha ganado con la ecuación de Hamilton-Jacobi?. Pues ahora el dobleproblema de encontrar las ecuaciones de movimiento y luego integrar ese sistema deecuaciones diferenciales ordinarias, que es finalmente lo que está en el fondo de cual-quier otra construcción formal de la dinámica (como la de Lagrange y la de Hamiltonpor ejemplo), aquí se reduce a un único problema de encontrar la solución de unaúnica ecuación en derivadas parciales.



Para determinar la función de acción de Hamilton S, se tiene que integrar la ecua-ción diferencial (8.6) s + 1 veces (cada derivada @S=qi, @S=@t requiere de una inte-gración), obteniéndose así s+1 constantes de integración. Pero como S aparece sólocomo una derivada en dicha ecuación diferencial, significa que puede ser encontra-da pero con una constante de integración a sumada a élla, es decir, S = S0 + a; porlo cual una de las s+ 1 constantes de integración debe ser una constante aditiva a S.Esto no es, sin embargo, esencial para la transformación. Así se obtiene como solución,

S = S�qj; �j; t

�(8.7)

En virtud de (7.14), (7.15) y en analogía a (8.5), las nuevas coordenadas eqi y epi ven-drán dadas por,

epi = �i, eqi = @S

@epi = @

@�iS�qj; �j; t

�= �i (8.8)

Para resolver un problema por este método se siguen los pasos siguientes:


8.2. SOLUCIÓN COMPLETA DE LA ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI

1. Se encuentra una solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi(8.6); esto es, una solución que contenga s constantes de integración �i:S (qi; �i; t).

2. Se encuentran las variables qi y pi, las cuales resultan de las transforma-ciones (7.14) y (7.15) como sigue:

a) A partir de,

�i =@

@�iS�qj; �j; t

�(8.9)

se obtienen lasqi; qi = qi

��j; �j; t

�(8.10)

b) y al introducirlas en,

pi =@

@qiS (qj; epj; t) = pi

�qj; �j; t

�(8.11)

producen finalmente los pi,

pi = pi��j; �j; t

�(8.12)

Como las qi��j; �j; t

�y los pi

��j; �j; t

�son ya funciones conocidas del tiem-

po t y de las constantes de integración �j, �j, entonces se tiene la solucióndinámica completa del problema del sistema de partículas caracterizadopor el Hamiltoniano H (qi; pi; t), ya que se encuentran las s coordenadas ge-neralizadas como funciones explícitas del tiempo y de las 2s constantes deintegración que permiten ajustar condiciones iniciales genéricas.

8.2. Solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi

Para cumplir con el paso 1 de la sección anterior, se debe resolver por comple-to la ecuación de Hamilton-Jacobi (8.6). No existen métodos generales para obtenersoluciones completas de dicha ecuación; sin embargo, existen casos importantes enlos que es posible obtener una solución completa de ésta mediante el método deseparación de variables. El método de separación de variables de la ecuación deHamilton-Jacobi representa una forma general (y a menudo la única factible) de re-solverlas.



8.2.1. Para sistemas con H independiente del tiempo

En el caso de un sistema autónomo, H no depende explícitamente del tiempo(@H=@t = 0), entonces (8.6) puede ecribirse como,

@

@tS�qj; �j; t

�+H

�qi;

@

@qiS�qj; �j; t

��= 0 (8.13)

En este caso el tiempo puede ser separado de forma inmediata si se escoge paraS una solución de la forma,

S (qi; �i; t) = So (qi; �i) + T (t) (8.14)

es decir, la suma de una función So (qi; �i) que depende sólo de qi y �i y es la llamadaacción reducida y otra función T que depende sólo del tiempo t. Al sustituir (8.14) enla ecuación (8.13) se encuentra que,

H

�qi;

@

@qiSo (qi; �i)

�= �dT (t)

dt(8.15)

donde se puede observar que el miembro izquierdo no depende explícitamente det, mientras que el miembro derecho sólo depende de t, por lo tanto ambos miembrosdeben ser igual a una constante que será denotada por . Entonces de (8.15),

dT (t)

dt= � (8.16)

H

�qi;

@

@qiSo (qi; �i)

�= (8.17)

La segunda des estas expresiones se denonomina ecuación de Hamilton-Jacobi inde-pendiente del tiempo. La constante es el valor constante del Hamiltoniano, que encasos comunes es la energía total E del sistema. Es conveniente algunas veces tomar como una de las s constantes �i y en otros casos un conjunto (�1; �2; :::; �s) sin incluir es más conveniente; entonces es alguna función de éstas, = (�1; �2; :::; �s) = (�i).La expresión para la dependencia del tiempo (8.16) puede ser integrada trivialmente,de manera que una solución completa a la ecuación de Hamilton-Jacobi (8.13) tienela forma,

S (qi; �i; t) = So (qi; �i)� (�i) t (8.18)

Cuando se tenga una solución completa de (8.17), el sistema Hamiltoniano deriva-do de H puede ser considerado como resuelto. En efecto, en el “nuevo” espacio de


8.2. SOLUCIÓN COMPLETA DE LA ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI

fase (�i; �i) el sistema es trivial y se tiene que,

��i = �@H

@�i= �

@ ��j�

@�i�! �i = �i (0) (8.19)

��i =

@H

@�i=@ ��j�

@�i= �i (�) �! �i = �it+ �i (0) (8.20)

Por supuesto, excepto en casos excepcionales, el problema de encontrar una solu-ción completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi es, al menos, tan difícil como elproblema de resolver el sistema original de ecuaciones diferenciales ordinarias.

8.2.2. Para sistemas con H independiente del tiempo y alguna coorde-nada cíclica

Si H no depende de alguna coordenada (coordenada cíclica), por ejemploq`, entonces se puede plantear,

S (qi; �i; t) = S0 (qi6=`; �i; t) + �`q` (8.21)

entonces, al sustituir (8.21) en (8.13) queda todavía la ecuación,

H

�qi6=`;

@

@qi6=`S0 (qi6=`; �i; t)

�+@

@tS0 (qi6=`; �i; t) = 0 (8.22)

con una variable menos, la q`.

8.2.3. Para sistemas con H independiente del tiempo y coordenadasno cíclicas

Para lograr la separación de las variables de posición (para coordenadas nocíclicas) la idea es proponer que la acción reducida sea de la forma,

So (qi; �i) =Xi

Si (qi; �i) = S1 (q1; �1) + :::+ Ss (qs; �s) (8.23)

lo que significa que la función de acción de Hamilton se divide en una suma de fun-ciones parciales Si, cada una dependiente sólo de un par de variables. Ahora, al susti-tuir (8.23) en (8.18) y el resultado de esto en (8.13) [o equivalentemente sustituir (8.23)en (8.17)], la ecuación de Hamilton-Jacobi se transforma en,

H

�q1; :::; qs;

@

@q1S1 (q1; �1) ; :::;

@

@qsSs (qs; �s)

�= (�1; :::; �s)



o también,

H

�qi;

@

@qiSi (qi; �i)

�= (�i) (8.24)

Bien, ahora para asegurar que esta ecuación diferencial también se separa en s

ecuaciones diferenciales para los Si (qi; �i), el Hamiltoniano H debe obedecer ciertascondiciones. Por ejemplo, si H tiene la forma,

H (qi; �i) =Xi

Hi (qi; �i) = H1 (q1; �1) + :::+Hs (qs; �s) (8.25)

la separación es verdaderamente posible. Un Hamiltoniano de esta forma describeun sistema de grados de libertad independientes; es decir, en (8.25) no hay términosde interacción, por ejemplo de la forma H

�qi; �i; qj; �j

�, que describe una interacción

entre el i-ésimo y el j-ésimo grado de libertad.

En virtud de (8.25) la ecuación diferencial (8.24) se puede escribir como,

H1

�q1;

@

@q1S1 (q1; �1)

�+ :::+Hs

�qs;

@

@qsSs (qs; �s)

�= (�i)

o también, Xi

Hi

�qi;

@

@qiSi (qi; �i)

�= (�i) (8.26)

Esta ecuación diferencial puede ser satisfecha haciendo separadamente cada tér-mino Hi igual a una constante �i como sigue,

Hi

�qi;

@

@qiSi (qi; �i)

�= �i; :::; Hs

�qs;

@

@qsSs (qs; �s)

�= �s (8.27)

donde,�1 + �2 + :::+ �s =

Xi

�i = (8.28)

existiendo así s constantes de integración �i en total.

Debido a que el término del Hamiltoniano relacionado con la energía cinética in-volucra el momento pi = @Si=@qi en forma cuadrática, las ecuaciones diferenciales(8.28) son de primer orden y segundo grado. Como solución se obtienen las s fun-ciones de acción,

Si = Si (qi; �i) (8.29)

que, aparte de depender de las constantes de separación �i, depende sólo de lacoordenada qi. En virtud de (7.14), (8.29) conduce inmediatamente al momento con-jugado pi = @Si=@qi a la coordenada qi. El punto esencial [ver (8.26)] es que el parcoordenado (qi; pi) no está acoplado a otras coordenadas

�qj 6=i; pj 6=i

�, de forma que el

movimiento en estas coordenadas puede ser considerado completamente indepen-diente de cada uno de los otros.


8.3. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI

8.3. Ejemplos de aplicación de la ecuación de Hamilton-Jacobi

8.4. Variables acción-ángulo en sistemas con un grado delibertad

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EJEMPLO 8.1Resolver el oscilador armónico simple por el método de Hamilton-

Jacobi.

SOLUCION: una transformación es canónica si es capaz de mantener la forma delas ecuaciones de Hamilton.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



8.5. Problemas


APÉNDICE A

Teorema de Steiner

639

APÉNDICE A. TEOREMA DE STEINER


APÉNDICE B

Teorema de Euler

Se define una función homogénea de grado p en n variables cuando ella cumple,

f (�y1; �y2; :::; �yn) = �pf (y1; y2; :::; yn) (B.1)

siendo � 6= 0. Si se deriva con respecto a �,

@f (�yi)

@�= p�p�1f (yi)X

j

�@f (�yi)

@�yj

@�yj@�

�= p�p�1f (yi)

Xj

�yj@f (�yi)

@�yj

�= p�p�1f (yi)

ahora, si � = 1 entonces, Xj

�yj@f (yi)

@yj

�= pf (yi) (B.2)

641

APÉNDICE B. TEOREMA DE EULER


APÉNDICE C

Funciones monótonas y continuidad

Definición 1 (Funciones monótonas) Una función y = f (x) para la cual un incrementoen el valor de x resulta siempre en un incremento en el valor de y, esto es, para lacual f (x) < f (x0) siempre que x < x0, se denomina función monótona creciente; si,por otra parte, un incremento en el valor de x implica siempre un decremento en elvalor de y, la función se denomina función monótona decreciente. Tales funcionesson representadas gráficamente por curvas que siempre ascienden o bien siempredescienden conforme x recorre el intervalo de definición hacia valores crecientes.Una función monótona transforma siempre valores distintos de x en diferentes y; estoes, la transformación es biunívoca o 1� 1.

Definición 2 (Definición "� � de límite de una función) Se dice que el límite de la fun-ción f en el punto xo es ` si,

limx�!xo

f (x) = `, 8 " > 0, 9 � > 0 : 8 x 2 R, 0 < jx� xoj < � ) jf (x)� `j < " (C.1)

Definición 3 (Definición de continuidad de una función en un punto) Una función

f : R �! R

es continua en el punto xo 2 R si se verifican las tres condiciones siguientes:

1. f está definida en xo, es decir, xo 2 domf .

2. Existe limx�!xo

f (x). En particular, obsérvese que xo ha de ser punto de acumulación de

domf .

643

APÉNDICE C. FUNCIONES MONÓTONAS Y CONTINUIDAD

3. El limx�!xo

f (x) = f (xo).

que se puede resumir escribiendo,

f es continua en xo , limx�!xo

f (x) = f (xo) (C.2)

Definición 4 (Definición de continuidad en un intervalo abierto) Se dice que una fun-ción f es continua en un intervalo abierto si y sólo si es continua en cada número delintervalo abierto.

Definición 5 (Definición de continuidad por la derecha) Se dice que una funció f escontinua por la derecha en el número a si y sólo si se cumplen las tres condicionessiguientes:

1. f (a) existe;

2. l�{mx�!a+

f (x) existe;

3. l�{mx�!a+

f (x) = f (a) :

Definición 6 (Definición de continuidad por la izquierda) Se dice que una funció f escontinua por la izquierda en el número a si y sólo si se cumplen las tres condicionessiguientes:

1. f (a) existe;

2. l�{mx�!a�

f (x) existe;

3. l�{mx�!a�

f (x) = f (a) :

Definición 7 (Definición de continuidad en un intervalo cerrado) Se dice que una fun-ción f , cuyo dominio contiene al intervalo cerrado [a; b], es continua en el intervalocerrado [a; b] si y sólo si es continua en el intervalo abierto (a; b), así como continua porla derecha en a y continua por la izquierda en b.

Teorema 10 (Teorema de Bolzano-Weierstrass ) Si f es una función continua en el inter-valo cerrado [a; b] entonces,

1. Existe al menos un punto x1 del intervalo [a; b] donde f alcanza su valor mínimo, esdecir: f (d) � f (x) 8 x 2 [a; b].

2. Existe al menos un punto x2 del intervalo [a; b] donde f alcanza su valor máximo, esdecir: f (c) � f (x) 8 x 2 [a; b].

En resumen,f (x1) � f (x) � f (x2) 8 x 2 [a; b] (C.3)


APÉNDICE D

Lema fundamental del cálculo de variaciones

Ahora bien, teniendo presente lo anterior, se pasará a enunciar y demostrar el lemafundamental del cálculo de variaciones1:

Lema 11 (Lema fundamental del cálculo de variaciones) Si para cada función contin-ua � (x) se tiene, Z b

a

f (x) � (x) dx = 0

siendo f (x) una función continua en el intervalo [a; b], entonces,

f (x) = 0

en dicho segmento.

Demostración. La afirmación del lema y su demostración no varían si a la función � (x)

se le imponen las siguientes limitaciones: � (a) = � (b) = 0; � (x) tiene derivadas continuashasta orden p,

��(s) (x)�� < " (s = 0; 1; :::; q; q � p). Ahora bien, suponiendo que en el puntox = x contenido en el intervalo [a; b], sea f (x) 6= 0, se llega a una contradicción. Enefecto, de la continuidad de la función f (x) se deduce que si f (x) 6= 0, entonces f (x)conserva su signo en cierto entorno

�a; b�

del punto x. Pero entonces, tomando unafunción � (x) que también conserve su signo en este entorno y sea igual a cero fueradel mismo (ver figura D.1), se obtiene,Z b

a

f (x) � (x) dx =

Z b

a

f (x) � (x) dx 6= 0 (D.1)

1Ver [18] págs. 302-303.

645

APÉNDICE D. LEMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO DE VARIACIONES

Figura (D.1): Función arbitraria � (x).

ya que el producto f (x) � (x) conserva su signo en el intervalo�a; b�

y se anula fuera delmismo. De este modo, se ha llegado a una contradicción, por lo tanto, f (x) = 0, conlo cual queda demostrado el lema.


APÉNDICE E

Propiedades de los determinantes

El proceso para calcular un determinante de orden superior a 3 es muy largo y en-gorroso. En general el determinante de orden "n"seria el resultado de sumar todos losposibles productos de "n.elementos, uno de cada fila y de cada columna, afectadodel signo + o � según si el número de inversiones es par o impar. Así pues, para simpli-ficar dicho cálculo se aplican las siguientes propiedades:

1. El determinante de una matriz es igual al determinante de la matriz traspuesta. Porejemplo, ��

a11 a12 : : : a1n

a21 a22 : : : a2n...

......

...an1 an2 : : : ann

��=

��a11 a21 : : : an1

a12 a22 : : : an2...

......

...a1n a2n : : : ann

��(E.1)

2. Si los elementos de una fila/columna de una matriz se multiplican por un número, eldeterminante de la matriz queda multiplicado por dicho número. Por ejemplo, si semultiplica la segunda fila por k,

��a11 a12 : : : a1n

ka21 ka22 : : : ka2n...

......

...an1 an2 : : : ann

��= k

��a11 a12 : : : a1n

a21 a22 : : : a2n...

......

...an1 an2 : : : ann

��(E.2)

647

APÉNDICE E. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

y si se multiplica la segunda columna por k,

��a11 ka12 : : : a1n

a21 ka22 : : : a2n...

......

...an1 kan2 : : : ann

��= k

��a11 a12 : : : a1n

a21 a22 : : : a2n...

......

...an1 an2 : : : ann

��(E.3)

3. Si los elementos de una fila/columna de una matriz se pueden descomponer endos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tieneniguales todas las filas/columnas excepto dicha fila/columna cuyos sumandos pasan,respectivamente, a cada uno de los determinantes. Por ejemplo, si se descompo-nen los elementos de la segunda columna,

��a11 a12 + b12 : : : a1n

a21 a22 + b22 : : : a2n...

......

...an1 an2 + bn2 : : : ann

��=

��a11 a12 : : : a1n

a21 a22 : : : a2n...

......

...an1 an2 : : : ann

��+

��a11 b12 : : : a1n

a21 b22 : : : a2n...

......

...an1 bn2 : : : ann

��(E.4)

y si se descomponen los elementos de la segunda fila,

��a11 a12 : : : a1n

a21 + b21 a22 + b22 : : : a2n + b2n...

......

...an1 an2 : : : ann

��=

��a11 a12 : : : a1n

a21 a22 : : : a2n...

......

...an1 an2 : : : ann

��+

��a11 a12 : : : a1n

b21 b22 : : : b2n...

......

...an1 an2 : : : ann

��(E.5)

4. El determinante de un producto de dos matrices cuadradas coincide con el pro-


ducto de los determinantes de ambas matrices:��

266664a11 a12 : : : a1n

a21 a22 : : : a2n...

......

...an1 an2 : : : ann

377775266664b11 b12 : : : b1n

b21 b22 : : : b2n...

......

...bn1 bn2 : : : bnn

377775��

=

��a11 a12 : : : a1n

a21 a22 : : : a2n...

......

...an1 an2 : : : ann

��

��b11 b12 : : : b1n

b21 b22 : : : b2n...

......

...bn1 bn2 : : : bnn

��(E.6)

5. Si en una matriz cuadrada se permutan dos filas/columnas (consecutivas), su deter-minante cambia de signo. Por ejemplo, si se intercambian las dos primeras filas,��

a11 a12 : : : a1n

a21 a22 : : : a2n...

......

...an1 an2 : : : ann

��= �

��a21 a22 : : : a2n

a11 a12 : : : a1n...

......

...an1 an2 : : : ann

��(E.7)

y si se intercambian las dos primeras columnas,��a11 a12 : : : a1n

a21 a22 : : : a2n...

......

...an1 an2 : : : ann

��= �

��a12 a11 : : : a1n

a22 a21 : : : a2n...

......

...an2 an1 : : : ann

��(E.8)

6. Si los elementos de una fila/columna de una matriz cuadrada son combinación li-neal de las filas/columnas restantes, es decir son el resultado de sumar los elementosde otras filas/columnas multiplicadas por números reales, su determinante es cero.

7. Si a los elementos de una fila/columna de una matriz cuadrada se le suma unacombinación lineal de otras filas/columnas, su determinante no varía.

8. Si una matriz cuadrada tiene dos filas/columnas iguales, entonces su determinantees nulo.

9. Si todos los elementos de una fila/columna de una matriz cuadrada son cero, eldeterminante de dicha matriz es cero. (ya que en el desarrollo de un determinante,aparece un factor de cada fila y de cada columna, y por tanto, en cada términoaparecerá un cero como factor).


APÉNDICE E. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

10. Todo determinante de una matriz cuadrada se puede convertir en otro del mismovalor que el dado, tal que todos los elementos de una fila/columna, previamenteelegida, sean cero excepto uno de ellos.


APÉNDICE F

Identidad de Jacobi

A continuación se presentan dos formas de verificar la identidad de Jacobi.

F.1. Por transformaciones canónicas infinitesimales

En 2000, en su artículo “Short Proof of Jacobi’s Identity for Poisson Brackets”, NivaldoA. Lemos [43], presentó una prueba de la identidad de Jacobi de una forma realmentesencilla a partir de las transformaciones canónicas infinitesimales, la cual es presentadaa continuación:

Si A (qi; pi) y B (qi; pi) son dos variables dinámicas cualesquiera y además una trans-formación canónica infinitesimal generada por C (qi; pi), entonces a partir de (7.139)con u = [A;B] se puede escribir,

� [A;B] = � [[A;B] ; C] (F.1)

Por otro lado, debido a que el corchete de Poisson [A;B] no depende de las va-riables canónicas escogidas para su cálculo (como se mostró en la sección 7.4.2), sucambio se debe sólo a las variaciones de A y B, por lo tanto al usar la propiedad 5,

� [A;B] = [�A;B] + [A; �B] (F.2)

Por otro lado, al usar nuevamente (7.139),

� [A;B] = � [[A;C] ; B] + � [A; [B;C]] (F.3)

Ahora bien, comparando (??) con (??) y haciendo algunos arreglos,

[A; [B;C]] + [B; [C;A]] + [C; [A;B]] = 0 (F.4)

651

APÉNDICE F. IDENTIDAD DE JACOBI

F.2. Por cálculo directo

Se quiere mostrar que la expresión,

Jacobi = [A; [B;C]] + [B; [C;A]] + [C; [A;B]] (F.5)

es nula, donde A (qi; pi), B (qi; pi) y C (qi; pi) son tres variables dinámicas cualesquiera. Enefecto, al desarrollar el último término usando (7.105),

[C; [A;B]] =

"C;Xi

�@A

@qi

@B

@pi� @A

@pi

@B

@qi

�#=Xi

��C;@A

@qi

@B

@pi

��C;

@A

@pi

@B

@qi

��| {z }

Por la propiedad 4 (linealidad)

=

0BBBBBBBBB@Xi

@B

@pi

�C;@A

@qi

�| {z }

Término 1

+Xi

@A

@qi

�C;@B

@pi

�| {z }

Término 2| {z }Por propiedad 3 (regla de Leibniz)

�Xi

@B

@qi

�C;

@A

@pi

�| {z }

Término 3

�Xi

@A

@pi

�C;@B

@qi

�| {z }

Término 4| {z }Por propiedad 3 (regla de Leibniz)

1CCCCCCCCCA(F.6)


F.2. POR CÁLCULO DIRECTO

pero, por propiedad 5,

Término 1 =Xi

@B

@pi

�C;@A

@qi

�=Xi

�@B

@pi

�@

@qi[C;A]�

�@C

@qi; A

��=

Xi

@B

@pi

@

@qi[C;A]�

Xi

@B

@pi

�@C

@qi; A

�Término 2 =

Xi

@A

@qi

�C;@B

@pi

�=Xi

�@A

@qi

�@

@pi[C;B]�

�@C

@pi; B

��=

Xi

@A

@qi

@

@pi[C;B]�

Xi

@A

@qi

�@C

@pi; B

�Término 3 = �

Xi

@B

@qi

�C;

@A

@pi

�= �

Xi

�@B

@qi

�@

@pi[C;A]�

�@C

@pi; A

��= �

Xi

@B

@qi

@

@pi[C;A] +

Xi

@B

@qi

�@C

@pi; A

�Término 4 = �

Xi

@A

@pi

�C;@B

@qi

�= �

Xi

�@A

@pi

�@

@qi[C;B]�

�@C

@qi; B

��= �

Xi

@A

@pi

@

@qi[C;B] +

Xi

@A

@pi

�@C

@qi; B

�y si se suman,

Término 1+ Término 3 =Xi

�@

@qi[C;A]

@B

@pi� @

@pi[C;A]

@B

@qi

�| {z }=�[B;[C;A]] por (7.105) y propiedad (7.106)

+Xi

��@B@pi

�@C

@qi; A

�+@B

@qi

�@C

@pi; A

��= � [B; [C;A]] +

Xi

��@B@pi

�@C

@qi; A

�+@B

@qi

�@C

@pi; A

��(F.7)

Término 2+ Término 4 =Xi

�@A

@qi

@

@pi[C;B]� @A

@pi

@

@qi[C;B]

�| {z }=�[A;[B;C]] por (7.105) y propiedad (7.106)

+Xi

��@A@qi

�@C

@pi; B

�+@A

@pi

�@C

@qi; B

��= � [A; [B;C]] +

Xi

��@A@qi

�@C

@pi; B

�+@A

@pi

�@C

@qi; B

��(F.8)

entonces, al sustituir (F.7) y (F.8) en (F.6), y el resultado de esto en (F.5), queda,

Jacobi =Xi

��@B@pi

�@C

@qi; A

�+@B

@qi

�@C

@pi; A

�� @A

@qi

�@C

@pi; B

�+@A

@pi

�@C

@qi; B

��(F.9)


APÉNDICE F. IDENTIDAD DE JACOBI

pero, por (7.105),

� @B

@pi

�@C

@qi; A

�= �@B

@pi

Xj

�@2C

@qj@qi

@A

@pj� @2C

@pj@qi

@A

@qj

�=

Xj

��@B@pi

@2C

@qj@qi

@A

@pj+@B

@pi

@2C

@pj@qi

@A

@qj

�(F.10)

@B

@qi

�@C

@pi; A

�=

@B

@qi

Xj

�@2C

@qj@pi

@A

@pj� @2C

@pj@pi

@A

@qj

�=

Xj

�@B

@qi

@2C

@qj@pi

@A

@pj� @B

@qi

@2C

@pj@pi

@A

@qj

�(F.11)

�@A@qi

�@C

@pi; B

�= �@A

@qi

Xj

�@2C

@qj@pi

@B

@pj� @2C

@pj@pi

@B

@qj

�=

Xj

��@A@qi

@2C

@qj@pi

@B

@pj+@A

@qi

@2C

@pj@pi

@B

@qj

�(F.12)

@A

@pi

�@C

@qi; B

�=

@A

@pi

Xj

�@2C

@qj@qi

@B

@pj� @2C

@pj@qi

@B

@qj

�=

Xj

�@A

@pi

@2C

@qj@qi

@B

@pj� @A

@pi

@2C

@pj@qi

@B

@qj

�(F.13)

Entonces, por último, al sustituir (F.10) a (F.13) en (F.9), resulta,

J = 0

demostrándose así la identidad de Jacobi.


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introducción a la mecánica de lagrange y de hamilton. t. soldovieri

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