breviario

de la Mecanica Clasica

Siguiendo el camino de H. Goldstein Adaptado a la UNED Físicas, 4º, "mecánica analítica"

Prefacio: Este documento no pretende sustituir al estudio del texto

base de esta asignatura, antes al contrario: si no se conoce el libro no se aprobará fácilmente. Es por el aspecto de ladrillo insufrible que ofrece por lo que hemos decidido editar esta breve guía aclaratoria de aquellos conceptos que aparecen nuevos o confusos para el estudiante que se acerca por vez primera a esta asignatura, por ejemplo con la cantidad de ecuaciones distintas que llevan el nombre de Lagrange, Legendre o Hamilton. En realidad, el germen de este archivo está en aquello de "si no lo escribo no me entero de nada…", es decir, explicarse a uno mismo detenidamente lo que está leyendo. Como además el texto está hecho a las bravas (usando el Office), sin copiar ni pegar, el repaso mental a cada tema es más minucioso, a la vez que se descubren algunas nuevas relaciones con material de años precedentes que creíamos menos útiles. Así que se ha exprimido a fondo el texto de Goldstein, en los capítulos que conciernen al estudiante de la UNED, a los que se les ha añadido una buena parte de cosecha personal, avalada por la experiencia reciente y siempre gratificante de haber superado con creces la asignatura.

Séneca, 2008

Contenidos: 1-. Repasillo de los conceptos

fundamentales 1.1-. Mecánica de una partícula ……………………..pg. 6 1.2-. Mecánica de un sistema de partículas … … ..pg. 9 1.3-. Ligaduras … ……………………………… ……..pg. 14 1.4-.Principio de D'Alembert y obtención de las ecuaciones de Lagrange ……………………………….pg. 16 1.5-. Función de disipación …………………………..pg. 19

2-. Principios variacionales y ecuaciones de Lagrange 2.1-. Principio de Hamilton ……………………………pg. 22 2.2-. Técnica del cálculo de variaciones ……………pg. 23 2.3-. Deducción de las ecuaciones de Lagrange a partir del principio integral de Hamilton …………………..pg. 29 2.4-. Extensión del principio de Hamilton a sistemas no holónomos ………………………………………………..pg. 31 2.5-. Teoremas de conservación y propiedades de simetría …………………………………………………….pg. 34

3-. Ecuaciones de movimiento de Hamilton 3.1-. Transformaciones de Legendre y ecuaciones del movimiento de Hamilton ………………………………pg. 40

3.2-. Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación relacionados ………………………………………………pg. 46 3.3-. La Routhiana………………………………………pg. 60 3.4-. Obtención de las ecuaciones de Hamilton a partir de un principio variacional …………………………… pg. 65 4-. Transformaciones canónicas 4.1-. Ecuaciones de transformación………………..pg. 67 4.2-. Corchetes de Poisson…………………………...pg. 73 4.3-. Ecuaciones del movimiento y teoremas de conservación…………………………………………… pg. 75 4.4-. La notación simpléctica………………pg. 78 5-. Teoría de Hamilton-Jacobi 5.1-. Ecuación de Hamilton-Jacobi para la función principal de Hamilton …………………………………pg. 90 5.2-. Solución por el método de Hamilton-Jacobi para el problema del oscilador armónico …………………..pg. 93 5.3-. Ecuación de Hamilton-Jacobi para la función característica de Hamilton ……………………………pg. 99 5.4-. Ejemplos de separación de variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi ……………… pg. 103 5.5-. Variables acción-ángulo para sistemas con un grado de libertad ………………………….pg. 108

6-. Epilogo

1-. Repaso de los conceptos fundamentales Colocaremos aquí, a modo de preámbulo y sin explicaciones,

aquellos conceptos y fórmulas de la mecánica clásica que resultan imprescindibles para la iniciación a la mecánica analítica, y que se supone que el lector de este documento conoce e incluso es posible que domine. Valga entonces este capítulo de recordatorio, o en el mejor de los casos, de entrenamiento o calentamiento de cara al nuevo curso académico. Así, lo primero que nos preguntamos es:

¿Recuerdas lo que era...? 1.1-. Mecánica de una partícula El vector de posición r (acuérdese de que los vectores y las

matrices se escriben en negrita), respecto de un punto origen O.

- El vector velocidad d .dt

=rv

- La cantidad de movimiento p = mv = m d

dtr .

- La 2ª ley de Newton: F = ddtp = m d

dtv = m d²

dt²r .

- El teorema de la conservación de la cantidad de movimiento o

momento lineal:

0 = F = ddtp ⇔ p es constante.

Debemos recordar aquí que, en un caso general: dp = d(mv) = m dv + v dm. A partir de este momento, y salvo que se especifique lo

contrario, siempre ocurrirá que m = cte., y por tanto dm = 0. - El momento cinético o momento angular, L, respecto

de un punto origen O: L = r x p. - El momento de una fuerza, N, respecto del origen O: N = r x F, y por tanto se cumple que:

N = ddtL .

- El teorema de conservación del momento cinético o

angular:

0 = N = ddtL ⇔ L es constante.

- El trabajo W efectuado por la fuerza F sobre una

partícula cuando ésta va del punto "a" al punto "b":

Wa,b = d∫b

aF s, donde ds = vdt es el

desplazamiento infinitesimal, y entonces:

b b b

a a a

t t va,b b a

t t v

d d d( ²)W dt m dt ½m dt ½m(v ² v ²)dt dt dt

= = = = −∫ ∫ ∫p v vv v

Lógicamente, los cambios de variables harán que se

tenga que acarrear el consiguiente cambio en los límites de integración, desde el espacio, pasando por el tiempo, para acabar en las velocidades.

-La energía cinética de una partícula, T, es

precisamente: T = ½ mv², de manera que el trabajo WT: WT(a, b) = Tb - Ta, es la diferencia de energías

cinéticas entre los puntos a y b. - La condición necesaria y suficiente para que un

sistema sea conservativo es que la fuerza F se derive de un potencial V:

F = -∇ V ⇔ F ds = - dV, y llevando esto

a la definición del trabajo:

WV(a,b) = b

ad dV= −∫ ∫

b

aF s = Vb - Va.

Como en el caso anterior, el trabajo es la diferencia de

energías potenciales entre los puntos a y b.

La consecuencia inmediata de esta situación es que si el punto inicial coincide con el punto final, pasando por cualesquiera puntos "b" que se deseen, el trabajo realizado siempre será 0, es decir, que el valor de la integral W es independiente del camino que une al punto a con el punto b:

=∫ dF s 0.

- Componiendo entonces las energías asociadas a la

posición (V) y las energías asociadas al movimiento (T) se deduce que:

Ea = Ta + Va y Eb = Tb + Vb, y la

diferencia en las energías totales E: ΔE = Eb - Ea = Tb - Ta + (Vb - Va) = WT - WV = 0,

en otras palabras: Ley de la conservación de la energía para una partícula: "Si las fuerzas que actúan sobre un sistema son

conservativas, la energía total de una partícula permanece constante".

1.2-. Mecánica de un sistema de partículas Vamos añadiendo algo de complejidad al mundo. A fin

de cuentas, todos tenemos la certeza de que en el Universo, además de uno mismo, existen a las menos otras partículas. Supongamos de momento que la interacción entre ellas y con nosotros se rige por la tercera ley de Newton en su formulación débil, es decir, la ley simple de la acción y la reacción. Demos por cierta, también, la existencia de fuerzas exteriores, de origen cualquiera y distinto al de las interacciones entre partículas. Aplicada a nosotros, la segunda ley de Newton toma la forma siguiente:

n extn jn

j

ddt

= + ∑p F F donde:

-. nd

dtp es la variación de la cantidad de movimiento de

la partícula que llamamos "nosotros" (n). -. ext

nF es la resultante de cuales fueran fuerzas exteriores aplicadas sobre nosotros.

-. jn

j∑F es la suma de las fuerzas ejercidas sobre

nosotros por las otras partículas (j) del sistema. Como este razonamiento se ha realizado para una

partícula "n" cualquiera, pero es de carácter absolutamente general, entonces la variación de la cantidad de movimiento

total para todas las partículas del sistema será la simple suma, es decir, abrimos un sumatorio en n para cada partícula:

n ext

n jnn n j,n

ddt

= +∑ ∑ ∑p F F

Ahora bien:

-. Fnn = 0: una partícula no interacciona consigo

misma. -. Fjn = -Fnj, según la tercera ley de Newton. Luego: jn

j,n

0=∑F , y por tanto

n next extn jn n n

n n j,n n n

d d²mdt dt²

= + = =∑ ∑ ∑ ∑ ∑p rF F F

Ahora resulta de utilidad el introducir el centro de

masas del sistema, definido por un vector R tal que:

n n n nn n

nn

m m

Mm= =∑ ∑∑

r rR , donde M es entonces la masa

total, porque así nos queda:

ext extn

n

d²Mdt²

= ≡∑R F F , es decir:

"El centro de masas se mueve como si las fuerzas

exteriores estuvieran aplicadas a la masa total del sistema concentrada en su centro de masas".

-. El momento lineal total P del sistema será entonces: dM M

dt= =

RP V .

y la variación de P: ext ext

nn

d d²Mdt dt²

= = ≡∑P R F F , luego si

ext d0

dt= =

PF ⇔ P es constante, y esto se llama:

-. Teorema de conservación de la cantidad de

movimiento para un sistema de partículas: "Cuando la resultante de las fuerzas exteriores

aplicadas sobre el centro de masas sea nula, la cantidad de movimiento del centro de masas permanece constante".

-. De manera análoga, para encontrar el momento cinético o angular de un sistema de partículas, abrimos un sumatorio para todos los productos vectoriales de la definición de L, uno por cada j partícula (en total, n):

extn

n nn n

d d ddt dt dt

× = × = =∑ ∑np Lr r p N .

Cuando efectuamos los productos del primer miembro, aparecen unos sumandos de la forma (rk - rj) x Fkj, que serán todos nulos si las fuerzas interiores obedecen la formulación fuerte de la tercera ley de Newton (además de ser iguales y opuestas, están sobre la recta que une las dos partículas). En este caso se puede enunciar el

-. Teorema de conservación del momento cinético o

angular: "Si el momento resultante aplicado de las fuerzas

exteriores Nˣ es nulo, entonces el momento angular de un sistema de partículas L se conserva".

De gran importancia es conocer que éste es un teorema

vectorial, es decir, Lz se conservará si Nˣz se conserva, aunque no lo hagan las otras componentes de L.

-. La energía cinética de un sistema de partículas, como el momento lineal, se compone de dos contribuciones: la energía cinética del centro de masas como si toda la masa del sistema estuviera concentrada en ese punto, más la energía cinética de cada partícula respecto del centro de masas:

T = ½ MV² +

n

½ m² ²∑ v .

-. Para encontrar las contribuciones a la energía

potencial sumamos la energía potencial de cada partícula por separado, es decir, la que se debe a su posición (n), más la

energía potencial que respecto de cada n es producida por la presencia del resto de partículas (j):

n j n jn

n j n n j

V (V V ) V ½ V= + = +∑ ∑ ∑ ∑∑ ,

donde el factor ½ se ha puesto para evitar sumar dos veces cada pareja de subíndices.

Se hace notar que en un cuerpo rígido el segundo sumatorio (el doble sumatorio) es constante en el tiempo, ya que las partículas que componen el cuerpo permanecen fijas en sus posiciones respecto del centro de masas.

1.3-. Ligaduras

Cuando se descubre por vez primera el libro de

Goldstein, este apartado resulta de lo más descorazonador. Parece que los físicos teóricos se han propuesto enmarañar al no iniciado dentro de un torbellino de términos que incluso pueden variar de significado cuando los enunciados de los problemas a los que se aplican son muy similares. Pues bien, no es más que la manera de decir que la gran complejidad de sistemas físicos que son susceptibles de estudio se debe a que los movimientos de las partes que lo componen están restringidos de cualquier forma. Naturalmente, los sistemas reales obedecen tales o cuales restricciones, y éste es el origen de su diversidad. También naturalmente (¡y cómo no!), las herramientas que utiliza la mecánica analítica son las adecuadas para tratar idealizaciones de estos sistemas reales. La primera idea que surge entonces es agrupar estas idealizaciones según

alguna característica importante, y en el libro de Goldstein se proponen las coordenadas del sistema, es decir, las espaciales y el tiempo, como elementos diferenciadores entre las ligaduras (en este punto quizás el lector encuentre conveniente refrescar sus conocimientos de etimología, filología, etc..).

Así, el taxos principal lo encontramos en ligaduras

holónomas y en ligaduras no holónomas: -. Ligaduras holónomas: son todas aquellas que se

pueden expresar como: f(r1, r2, ....., rn, t) = 0. Nótese que en casos

así, se puede leer esto como una ecuación implícita con el parámetro t, y se llaman entonces:

-. Ligaduras reónomas, si contiene a "t" como

variable explícita. -. Ligaduras esclerónomas, si no dependen

explícitamente de "t". -. Ligaduras no holónomas: Todas las demás. Desgraciadamente, no hay un método para resolver

todas las ligaduras no holónomas, siendo el de los multiplicadores de Lagrange uno de ellos (se verá más adelante). En cambio, con las ligaduras holónomas se puede seguir la siguiente línea:

-. Coordenadas generalizadas Desde este punto, y salvo que se especifique otra cosa,

vamos a tratar con ligaduras holónomas. Un concepto afín al de ligadura es el de grado de

libertad. Ya es sabido que un sistema de N partículas tiene un máximo de 3N grados de libertad. Cada condición de ligadura restringe un grado de libertad, de forma que si hay un número "k" de ellas, podremos utilizarlas para encontrar 3N-k ecuaciones del movimiento independientes, y para poder manipularlas posteriormente de la mejor manera, se introducen 3N-k nuevas variables que se llamarán las "coordenadas generalizadas", q1, q2, ...,q3N-k, que estarán relacionadas con las antiguas coordenadas rn mediante las "formulas de transformación":

r1 = r1 ( q1, q2, ...,q3N-k, t) . . .. .. .. . . .. .. .. rn = rn ( q1, q2, ...,q3N-k, t). Note el lector que este sistema es la representación en

paramétricas de un sistema de ecuaciones. Lo más interesante de este proceso es que ahora las

nuevas coordenadas no tienen porqué ser variables canónicas, sino que cualquier magnitud puede estar así representada, e incluso se pueden tomar como coordenadas las amplitudes de un desarrollo de Fourier. Naturalmente, hay que asegurarse de

que son consistentes con el problema físico que estemos abordando, de forma que siempre han de pasar por un análisis dimensional.

1.4 -. Principio de D'Alembert y ecuaciones

de Lagrange

-. Principio de D'Alembert: n

n nn

d( )δ 0dt

− =∑ pF r , donde:

-. − =nn

d( ) 0dtpF es otra forma de escribir la

ecuación del movimiento para cada partícula “n”. Visto así, el principio de D'Alembert no expresa otra cosa sino una condición de equilibrio.

-. δr es un incremento infinitesimal real del

desplazamiento. Nótese que estamos bajo un símbolo de sumatorio y no bajo una integral.

Para llegar a las ecuaciones de Lagrange a partir de este

principio es necesario primero transformar las coordenadas a unas nuevas coordenadas generalizadas. Estas coordenadas serán qn y nqi . Por conveniencia, designarán posiciones y derivadas respecto del tiempo de las posiciones, aunque generalmente puedan representar diversas magnitudes. Esto se consigue utilizando la regla de la cadena para derivadas parciales. A modo de recordatorio, vaya aquí un ejemplo:

n n i n

nii

d dqdt q dt t

∂ ∂≡ = +

∂ ∂∑r r rv .

nn i

ii

δ δqq

∂=

∂∑ rr .

Recordamos que el índice “n” se está reservando para partículas, y que el índice “i”, por tanto, pertenecerá a cada coordenada generalizada.

-.Sustituyendo esto y F = -∇V (léase lo posterior) en el

principio de D'Alembert se llega a "n" ecuaciones para la energía cinética T.

-.Tengamos en cuenta que estamos trabajando con

fuerzas que derivan de un potencial, y por tanto, F = -∇V. Cuando sustituimos esto encontramos que en esas "n" ecuaciones que cumple la energía potencial, todo lo que ocurre se produce en el segundo miembro de las ecuaciones que obtuvimos arriba (para ver esto, simplemente, llévese hasta este segundo miembro todas las expresiones que pueda de lo que haya surgido en las operaciones con el gradiente, y parezca estar relacionado con la energía potencial V. Si no es capaz a la primera, haga el camino a la inversa: parta de las ecuaciones de Lagrange y termine en el principio de D’Alembert). Por tanto, el primer miembro tiene la misma forma funcional que las ecuaciones para la energía cinética (que corresponderá a todo lo que en esas ecuaciones no haya surgido de la potencial). Parece adecuado entonces definir una nueva magnitud que relacione a T y V, llamada la lagrangiana L: L = T - V.

Las ecuaciones así obtenidas se llaman Ecuaciones de Lagrange:

-. i in

d L L( ) 0dt q q

∂ ∂− =

∂ ∂∑ i

¿Que para qué vale todo esto? ... Las ecuaciones de

Lagrange son una herramienta fácil de recordar para encontrar las ecuaciones de movimiento de un sistema. De momento, ya no es necesario el uso de los vectores, puesto que sólo utilizamos magnitudes escalares. El ahorro en tiempo, en papel y en tinta resulta evidente. Tampoco aparecen por ningún lado las ecuaciones de las ligaduras, ya que quedan englobadas en la transformación de las coordenadas, proceso más general y por tanto más potente. Se debe resaltar además el hecho de que la formulación resulte invariante respecto a la elección de distintos sistemas de coordenadas

Una aclaración antes de cerrar el epígrafe: por la naturaleza diferencial de estas ecuaciones, resulta lógico encontrar unas ecuaciones del movimiento determinadas a partir de varias lagrangianas distintas.

1.5-. Función de disipación Hasta ahora no habíamos incluido en el análisis los

sistemas que no son conservativos. Desde el bachillerato tenemos la idea de las fuerzas de rozamiento y el fenómeno de

disipación en la atmósfera del calor producido en la fricción, o de la ley de Joule, que relaciona la cantidad de corriente que atraviesa un conductor y el calor que se desprende debido a la resistencia que opone el material. En todos estos casos se "pierde" algo de la energía original, y además los sistemas conservativos tal y como los hemos visto no son más que aproximaciones a los eventos físicos reales. La solución inmediata (no tiene porqué ser la mejor) es añadir un nuevo término a las ecuaciones de Lagrange para "completarlas": -.

nn

[añadir ad L L( ) lgo a 0dt

u q

q ]q

í∂ ∂− + =

∂ ∂∑ i .

¿Qué clase de función tendría que ser?. Bueno, lo

primero que vemos es que se trata de una ecuación diferencial, así que será algo que nos diga cómo varía una función o variable cuando hacemos variar alguna otra función o variable, es decir, un término diferencial.

Acudamos ahora a la física real…¿de que tipo son los

rozamientos y otras fuerzas disipativas?. Bien, una buena mayoría de ellas dependen de la velocidad, o de la energía cinética, de la forma:

-. F = kv Esto no es extraño ni aleatorio en absoluto cuando se

tiene en cuenta que las fuerzas derivan (derivada) de un potencial (energía). Obsérvese también que k no es ninguna

constante, simplemente será una magnitud cuyas dimensiones no dependan de las coordenadas ni de las velocidades. El quid de la cuestión era separar estas contribuciones en las fuerzas disipativas. Definamos entonces a conveniencia una nueva función de v que pudiera encajar en el hueco planeado. No olvidemos que estamos bajo la ecuación de Lagrange, y que ésta está formada por derivadas respecto de coordenadas y velocidades generalizadas. Por tanto, estamos buscando una derivada, respecto a alguna de ellas, de alguna función todavía desconocida.... Lord Rayleigh (Essex, 1842-1919) buscó hace tiempo en esto mismo y encontró una función que poseía las características adecuadas, aunque como se podía sospechar, no se trataba de una energía: la función ℱ.

Función de disipación de Rayleigh ℱ para un sistema

de n partículas:

ℱ= ½ Σn (kxv²nx + kyv²ny +kzv²nz, de forma que derivando esto respecto de las velocidades generalizadas nqi obtenemos un término de la forma buscada: ∂ℱ/∂ nqi = F = kvn. Las dimensiones de ℱ son las de un flujo de energía o una potencia, es decir, kgm2s-3, y las de k son por tanto kgs-1.

Evidentemente, se han de utilizar las fórmulas de

transformación de v en nqi vistas más arriba. Cuando se hace esto, el desarrollo del cuadrado produce tres funciones homogéneas en nqi : T = T0 + T1 +T2, donde T0 es independiente en las velocidades generalizadas, T1 es lineal, y T2 es cuadrática. Esto será de utilidad más adelante.

Añadamos pues ∂ℱ/∂ nqi en el sitio planeado de la

ecuación y queda: Ecuaciones de Lagrange cuando incluyen la función de

disipación de Rayleigh:

n nn

d L L( ) 0dt qq q

∂ ∂ ∂− + =

∂ ∂ ∂∑ i iF

Es decir, para resolver un problema que incluya fuerzas disipativas, además de la lagrangiana necesitarás conocer una función escalar más, o al menos que en el problema tengas datos suficientes para deducir L y ℱ.

Esto se podrá ver con más detalle en uno de los ejemplos del capítulo 3.

2-. Principios variacionales y ecuaciones de Lagrange

2.1-. Principio de Hamilton

En el capítulo anterior veíamos cómo las ecuaciones de

Lagrange surgían de un principio diferencial (principio de D'Alembert), a través del uso de derivadas. Si echamos mano de la teoría de campos (cálculo vectorial, análisis matemático de 2º curso), recordaremos inmediatamente que todo lo que se podía

expresar con los gradientes, divergencias y rotacionales, tenía su contrapartida en forma integral. Esto se verificaba, por ejemplo, con el teorema de Gauss aplicado a las ecuaciones de Maxwell. Así que no es extraño que también haya un principio integral.

El principio integral de Hamilton dice que: "el movimiento del sistema entre los tiempos t1 y t2 es

tal que el valor de la integral curvilínea

2

1

t

tJ dt= ∫ L , donde L = T-V es la

lagrangiana, tiene un valor estacionario para el movimiento correcto".

A la integral J se le llama integral de acción. Por valor estacionario entendemos que es aquel para el

cual δJ = 0, esto es, que el valor de la integral curvilínea cuando recorre el camino correcto no varía respecto de los caminos vecinos infinitesimalmente próximos (al menos, cuando estos infinitésimos son de primer orden).

2.2-. Técnicas del cálculo de variaciones En este apartado se recogen tres ejemplos famosos del

uso del principio integral de Hamilton. Se encuentran las

ecuaciones del movimiento igualando a cero la derivada de cierta función, es decir, una condición de extremo, y usando el:

-.Lema fundamental del cálculo de variaciones:

“Si b

a0 J(a,b) M(x)η(x)dx= = ∫ , para cualquier función arbitraria

η(x) continua al menos hasta su derivada segunda, entonces M(x) ha de ser idénticamente nula en el intervalo (a,b)”.

Identifiquemos ahora estas dos funciones. Veámoslo en

una dimensión para no sobrecargar los cálculos (y = f(x) representará entonces el camino correcto, no y = f(t)). Con estas condiciones, de una manera general, la lagrangiana será de la forma

L = f( y, yi , x). ( dyydx

=i )

Hagamos variar entonces el camino correcto y(x) con un

parámetro pequeño αη(x), de manera que para cualquier variación ocurra que y = f(x,α). Para aplicar el principio integral de Hamilton, encontramos una J:

2

1

x

xJ(x,α) f(y(x,α), (x,α),x)dxy= ∫ i .

Lo que se está buscando es que J sea estacionaria cuando α varía. Esto se expresa, naturalmente, como:

2

1

x

x

dJ(x,α) d0 f(y(x,α), (x,α),x)dxydα dα

= = ∫ i .

=∫2

1

x

x

d f(y(x,α), (x,α),x)dxydα

i .

Realizando la derivación bajo el signo integral y cancelando términos nulos, se obtiene finalmente:

= −∫ i2

1

x

x

df d df dy0 [ ( )] dxdy dx d dαy

.

Comparando esto con el lema fundamental del cálculo

de variaciones:

=

= − i

dyη(x)dαdf d dfM(x) [ ( )]dy dx dy

y si M(x) es idénticamente nula:

= − idf d df0 [ ( )]dy dx dy

.

Esta forma se llama ecuación de Euler-Lagrange en una dimensión (se parece mucho a la ecuación de Lagrange), y expresa la condición de mínimo buscada.

Así que cuando nos propongamos usar este método,

fijaremos nuestra atención sobre la función f, ya que si cumple la ecuación anterior entonces el lema fundamental del cálculo de variaciones nos asegura que J es estacionaria. Veamos ahora los tres ejemplos:

-. Distancia más corta entre dos puntos del plano En un plano, el elemento de longitud que corresponde a

cualquier arco es = +d (dx)² (dy)²s , y la longitud de cualquier curva entre los puntos p y q es:

= = + = +∫ ∫ ∫ iq q q

p p p

dyL(p,q) d 1 ( )²dx 1 ² dxydx

s .

Tomemos f = ds = √( 1 + iy ²), entonces:

=

=+

ii i

df 0dydf ydy 1 ²y

Aplicando ahora la condición de extremo:

= − ⇒ = =+ +

i ii i

d y y0 0 [ ] a ' (a ' cte).dx 1 ² 1 ²y y

Resolviendo esto para iy :

= =−

i a 'ay1 a '²

y por tanto y = ax + b, que es la ecuación de una recta, evidentemente, la

distancia más corta entre dos puntos en el plano.

-.Superficie de revolución mínima: Sea una curva en el plano XY. Se hace girar la curva en torno al eje Y para formar un sólido de revolución, como se ve en la figura 1. Lo que se busca es la curva del plano XY, es decir, una y = f(x), entre los puntos "p" y "q" que hace que la superficie de revolución generada sea la menor posible. El área dA que ocupa un anillo cuyo eje coincide con el eje Y (luego su radio es x), y que tiene una anchura ds es = = +d πxd πx (dx)² (dy)²A 2 s 2 , y entonces, el área total de la superficie generada entre los puntos p y q de la curva cuando han girado una vuelta completa alrededor del eje Y es:

= = + = +∫ ∫ ∫ iq q q

p p pA(p,q) d 2πx (dx)² (dy)² 2π x 1 ²dxyA

Así que nuestra función f es en este caso: = + if 1 ²y . Apliquemos el método:

=

=+

ii i

df 0dydf xydy 1 ²y

Utilizamos ahora la condición de extremo:

= −

= −+

iii

df d df0 ( )dy dx dy

d xy( )dx 1 ²y

, o lo que es lo mismo:

= =+

ii

xya cte1 ²y

. Resolviendo para iy :

=−

i aya² x²

, y finalmente:

−= +1 xy acosh ( b)a

, que es la ecuación de la

catenaria. Como antes, los valores de las constantes de integración a y b dependen de los puntos "p" y "q" de la curva.

-. El problema de la braquistócrona: Se trata de hallar la curva entre dos puntos cualquiera

que describe una partícula desde el reposo, que cae por efecto de la gravedad, y que emplea un tiempo mínimo para recorrerla.

La longitud total de la curva entre los dos puntos es,

como antes = ∫b

aL(a,b) ds. Ahora el truquillo para recordar es

que ds = vdt, y que la condición de mínimos nos la han pedido sobre el tiempo t, por tanto vamos a calcular:

= ∫b

a

dT(a,b)vs . La relación para v la obtenemos

fácilmente de la ley de la conservación de la energía: cuando llega al punto más bajo, toda su energía potencial se ha convertido en energía cinética, esto es:

mgy = ½ mv², luego v =√(2gy), y la integral queda:

+= ∫

ib

a

1 ²yT(a,b) dx2gy

. Luego la famosa función f (fff):

+=

i1 ²yf2gy

.

Continuando el método y se habrá resuelto de

paso el ejercicio 2.3 del libro de Goldstein, así pues queda en manos del lector acabar el ejemplo.

2.3-. Deducción de las ecuaciones de Lagrange a partir del principio integral de Hamilton

Como ya se sugirió un poco más arriba, las ecuaciones

de Euler-Lagrange surgen del principio integral de Hamilton. Seguramente ya se le habrá ocurrido la siguiente transformación:

y → q

dy/dx → qi

x → t. ¿cual es la generalización

para n dimensiones?... pues claramente: yi → qi

dyi/dx → qi i

x → t, porque de esta manera, nuestra

función f: f (y, dy/dx, x) → L( qi, qi i , t), con lo que llegamos

nuevamente a las: -. Ecuaciones de Lagrange (una vez más):

∂ ∂= −

∂ ∂∑ ii in

L d L0 [ ( )].q dt q

2.4-. Extensión del principio de Hamilton a sistemas no holónomos

Ha llegado el momento de incluir en la condición de mínimo las consecuencias de las ligaduras que no se pueden expresar en función de t. La fórmula final es más sencilla de lo que en realidad parece indicar el libro de Goldstein. No obstante, algunas de las condiciones necesarias para poder utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange se ven mejor si se tienen en cuenta las propiedades de aquella función

=dyη(x)dα

, encontrada en la sección 2.2, en la que se resumen

las condiciones que debía cumplir el camino pequeñamente variado respecto del camino correcto. Evidentemente, no podremos tomar ningún camino variado que viole las restricciones impuestas por las ligaduras, así que las ecuaciones de Lagrange deben reflejar este hecho. Como en el caso de sistemas no conservativos, la solución inmediata (tampoco tiene porqué ser la mejor) es añadir un nuevo término que "complete" las ecuaciones:

-. ∂ ∂− + =

∂ ∂∑ ii in

d L L[ ( ) ] [añadir algo aquí] 0dt q q

.

Tengamos en cuenta, en primer lugar, que pueden

existir más de una ecuación de ligadura, por lo que este nuevo término incluirá un sumatorio cuyo índice las enumere. En

segundo lugar, la forma de la ecuación =dyη(x)dα

nos indica que

vamos a encontrar otra vez términos diferenciales.

Recordaremos también que se usa la letra griega "λ" (lambda) para designar estos multiplicadores, así que el nuevo término tendrá la forma:

-.∑ kk

nk

dfλdq

, donde fk son las ecuaciones de las k

ligaduras. Esto es, para cada ecuación de las ligaduras existirá un

término diferencial respecto de cada coordenada generalizada independiente.

Es ahora cuando viene el punto realmente importante.

Cuando en un momento dado sustituyéramos las ligaduras por un conjunto de fuerzas exteriores Qˣn tales que las ecuaciones del movimiento fueran las mismas, las ecuaciones de Lagrange quedan:

∂ ∂− =

∂ ∂∑ ixn

i in

d L L[ ( ) ] Qdt q q

.

La similitud con la forma que buscamos es evidente.

Además, una de las primeras expresiones con la que nos encontramos en la mecánica es la de la fuerza Normal (la fuerza que ejerce, por ejemplo, una mesa sobre un objeto depositado encima de ella, de manera que le impide caer al suelo), que no es más que una ligadura. Por esto, la forma habitual de escribir esta ecuación es:

∂ ∂− + =

∂ ∂

∂ ∂− + =

∂ ∂

∑∑ ∑

i

i

xn

i in

kk

i i nn k

L d L[ ( )] Q 0q dt q

dfL d L[ ( )] λ 0q dt q dq

.

Atención al cambio de signo originado al mantener

positivo el término nuevo. Este método resulta también adecuado cuando se

quieren hallar las fuerzas de ligadura de un sistema usando la formulación lagrangiana, representadas en estos casos por los multiplicadores λk. Ya se debería saber que precisamente la formulación lagrangiana, al englobar a las ligaduras en la transformación de coordenadas, es incapaz de resolverlas. De todas formas, el propio Goldstein os aconseja no perder el tiempo usando este método para ello. Aún así, los ejercicios 2.11, 2.12, 2.13 y 2.14 son buenos ejemplos del uso de los multiplicadores de Lagrange para la resolución de problemas. El esquema general seguido es el siguiente:

1-. Identificar y escribir la lagrangiana en las nuevas

coordenadas que elijáis, según convenga más al problema. Haced dibujos aclaratorios del origen de coordenadas y del punto cero de la energía potencial, para evitar sustos posteriores con los signos.

2-. Escribir la o las ecuaciones de ligadura. Encontrarlas

suele ser más cuestión de oficio o inspiración que de unas reglas concretas. Nuevamente, el dibujo o esquema que hagáis

resultará de gran utilidad. 3-. Escribir las ecuaciones de Lagrange con el término

de los multiplicadores. Resolverlas para cada coordenada. 4-. Junto a las ecuaciones de la o las ligaduras, formar

un sistema de ecuaciones, que contendrá un número de ecuaciones independientes como coordenadas más multiplicadores haya.

5-. Resolver este sistema para lo que pida el problema:

En muchos casos, se buscan los λk representan a las ligaduras. En otros, es el ángulo u otra coordenada la que interesa encontrar en función de las demás, etc.

2.5-. Teoremas de conservación y

propiedades de simetría Los teoremas de conservación que se demuestran aquí

son los correspondientes del primer capítulo, traducidos al lenguaje de las coordenadas generalizadas. De momento, conocemos como son las expresiones de dichas magnitudes, q para las coordenadas, y iq para las derivadas respecto del tiempo. Vayamos introduciendo ahora las restantes para enunciar tales teoremas:

-. Cantidad de movimiento generalizada p. Consideremos primeramente un potencial que sólo

dependa de las posiciones qi. Se cumplirá entonces que:

L (T V) T mq pq q q

∂ ∂ − ∂= = = =

∂ ∂ ∂i

i i i , es decir, definimos p:

L pq

∂=

∂ i "Cantidad de movimiento generalizada o

cantidad de movimiento conjugada a la coordenada q". De manera que podemos enunciar el siguiente: Teorema de conservación del momento lineal

d L"cuando ( ) 0 p CTE."dt q

∂= ⇔ =

∂ i

Hay que tener cuidado con el siguiente aspecto: como p

se define a partir de la lagrangiana, no siempre va a corresponder al caso más conocido de la cantidad de movimiento mecánico p = mv, por ejemplo una partícula cargada en el seno de un campo eléctrico. Aquí la lagrangiana es de la forma:

eL ½mq² eφ(q) (q) qc

= + + Ai ii , donde:

"e" representa la carga eléctrica φ(q) es el potencial eléctrico escalar "A" es el potencial vectorial eléctrico, y por tanto p:

i

i

eA (q)Lp mqq c

∂= = +

∂i

i , o bien, la cantidad de movimiento

mecánica mas la electromagnética. -. Coordenadas cíclicas

Esta es una de esas ocasiones que uno le pone nombre a algo que no se ve. Cuando en una lagrangiana no aparezca alguna coordenada qn, aunque sí aparezca qi , diremos que tal coordenada es cíclica o ignorable, y el principal efecto que tiene esto en el sistema es que si en L no aparece qi:

-. ii

i i

dpd L L( ) 0 p CTE.dt q q dt

∂ ∂− = = ⇔ =

∂ ∂i , es decir:

"la cantidad de movimiento generalizada conjugada a una coordenada cíclica se conserva".

Otra consecuencia: como L = T- V, T = f(qi i), y V = f(qi),

entonces

idp Vdt q

∂=

∂, pero si esta q es cíclica:

ii

i

dpV 0 Fq dt

∂= = =

∂, es decir:

"La componente de las fuerzas aplicadas

correspondiente a una coordenada cíclica es 0".

Una característica especial tienen las coordenadas que expresen una rotación. Si una de tales coordenadas es cíclica, entonces la componente de L según el eje de rotación se conserva, como por ejemplo, se conserva Lz cuando la coordenada θ de unas coordenadas cilíndricas (r, θ, y z) es cíclica.

-.Teorema de conservación de la energía total. Función energía

Hasta ahora hemos visto que la función lagrangiana L es

la más importante, o la de rango superior, ya que es una fuente de las ecuaciones del movimiento de un sistema. Es lógico entonces pensar que su derivada respecto del tiempo estará implicada en algún teorema de conservación importante. En este caso, la derivada total de la lagrangiana respecto del tiempo es:

1 i

i in

dq dqdL L L L[ ]dt q dt q dt t

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂∑i

i , pero según las

ecuaciones de Lagrange:

i i

L d Lq dt q

∂ ∂=

∂ ∂ i.

Poniendo esto en lo anterior y recordando que por

definición ii

dq qdt

= i :

i

ii in

dqdL d L L L[( )q ]dt dt q q dt t

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂∑ii

i i , pero el término

general del sumatorio no es más que la aplicación de la regla de

la derivada del producto ii

L qq∂

∂iii , luego:

iin

dL d L L( q )dt dt q t

∂ ∂= +

∂ ∂∑ iii , o lo que es lo mismo:

iin

d L L[ ( q ) L]dt q t

∂ ∂− = −

∂ ∂∑ iii .

Se define ahora la función energía h:

ii

Lh [( q ) L]q∂

= −∂∑ iii , de tal manera que tenemos

como ley de conservación:

dh Ldt t

∂= −

∂.

A esta ecuación se le conoce como integral de Jacobi, y

es una de las integrales primeras del movimiento. Si la lagrangiana no depende explícitamente del tiempo, entonces dh 0dt

= y h se conserva.

¿Cuándo será la función energía h la energía total del

sistema?. Bien, la variación de h está relacionada con la de la lagrangiana, es decir, con la energía cinética T y con la energía potencial V. Más arriba se describió como la energía cinética T se descompone en tres contribuciones T0, T1 y T2, de manera que la lagrangiana también tendrá tres contribuciones de la forma:

0 1 2L(q,q ,t) L (q,t) L (q,q ,t) L (q,q ,t)= + +i i i , donde ahora L1 es una función homogénea de primer grado en qi y L2 es una función homogénea de segundo grado en qi .

La forma que tiene la función h sugiere el uso del

teorema de Euler del cálculo avanzado, que dice que para una función f homogénea de grado n se cumple que:

iin

fx nfx

∂=

∂∑ , aplicando esto a la función energía h:

i 2 1in

Lq 2L 1Lq∂

= +∂∑ ii ,

donde se ha tenido en cuenta que

0 1 2L(q,q ,t) L (q,t) L (q,q ,t) L (q,q ,t)= + +i i i , y finalmente:

h = 2 L2 + 1 L1 - L = L2 - L0. Ahora bien, si T no depende explícitamente de qi , o

lo que es lo mismo, la transformación de coordenadas a coordenadas generalizadas no depende explícitamente del tiempo, entonces T2 = T, y por tanto L2 = T. Si además el potencial no depende de las velocidades generalizadas, L0 = -V, y así nos queda:

h = T + V, es decir, la energía total. Así que la función h coincide con la energía total E

cuando el potencial no depende de las qi , y cuando la energía

cinética no contiene al tiempo como variable explícita (no posee términos lineales (T1) en las qi ).

3-. Ecuaciones de movimiento de

Hamilton

La formulación hamiltoniana de la mecánica no va un

paso más allá de donde fue la formulación lagrangiana en lo que a resolución de problemas concretos se refiere, sino más bien a un enfoque más general de la mecánica. No se debe creer que la formulación lagrangiana es un paso intermedio entre la mecánica newtoniana y la de Hamilton, sino que ésta se formula a partir de otros principios y siguiendo otros métodos, y abre el camino hacia la formulación moderna de las mecánicas cuántica y estadística.

3.1-. Transformaciones de Legendre y

ecuaciones de movimiento de Hamilton Quede claro que a partir de ahora siempre que se hable

del estado de un sistema, nos encontramos en el espacio fásico, ese espacio abstracto 2N dimensional en el que las coordenadas generalizadas y sus derivadas respecto del tiempo ocupan ejes de coordenadas ortogonales entre sí.

En la formulación lagrangiana para un sistema con n grados de libertad obteníamos n ecuaciones de Lagrange, que tenían la forma:

nn

d L L( ) 0dt qq

∂ ∂− =

∂ ∂∑ i , es decir, n ecuaciones de segundo

grado. La formulación hamiltoniana, en cambio, intenta ser

más simétrica y para ello pone en pie de igualdad a las coordenadas generalizadas qi y a cierta magnitud, de manera que las ecuaciones finales sean más generales, y además sean ecuaciones de primer grado. Resulta que cuando esta nueva magnitud es la cantidad de movimiento generalizada “p” las ecuaciones adquieren la simetría deseada. Recordemos entonces que p:

L(q,q ,t)p

q∂

=∂

ii , de manera que ahora manejaremos un

conjunto de 2n coordenadas generalizadas, n coordenadas q y n coordenadas p.

A las cantidades (q,p) se les llama variables canónicas. Con esto se va a construir una función (la hamiltoniana

o el hamiltoniano H) para trabajar con ella, al estilo de como lo hacíamos con la lagrangiana L en la formulación de Lagrange.

La primera diferencia entonces entre las formulaciones

lagrangiana y hamiltoniana es que para encontrar las ecuaciones del movimiento de un sistema:

-. en la formulación lagrangiana se usa la función

lagrangiana, que es una función de q, qi , y t, es decir, L( q,qi ,t).

-. en la formulación hamiltoniana se usa la función

hamiltoniana, que es una función de q, p y t, es decir, H(q,p,t).

El método para encontrar unas a partir de las otras se llama transformación de Legendre, que aplicado a la mecánica se constituye en el siguiente algoritmo:

Paso 1-. La función hamiltoniana H es función de q, p, y

t, así que en cualquier caso tendremos:

i ii i

H H HdH dq dp dtq p t

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂.

Paso 2-. Por otra parte, de las ecuaciones de Lagrange

tenemos que ii

L pq∂

=∂ i

y que i

L pq

∂=

∂i , donde dpp

dt=i , luego la

función energía se puede escribir como: h (q,qi ,t) = qi p - L(q,qi ,t). El uso de la transformación

de Legendre supone el formar una función (H por conveniencia) en las nuevas variables tal que tenga la forma:

H( q,p,t) =qi p - L(q,qi ,t). El paralelismo es evidente.... Entonces dH:

i i i i i ii i

L L LdH q dp pdq dq dq dt.q q t

∂ ∂ ∂= + − − −

∂ ∂ ∂i i i

i

Paso 3-. De las ecuaciones de Lagrange se deduce que

ii

L pq∂

=∂ i

, y que i ii i

L dV F pq dq

∂= = =

∂i , luego:

i i i i i i ii

L Ldq pdq dH q dp p dqq t∂ ∂

= ⇒ = − −∂ ∂

i i i ii .

La ecuación se nos ha quedado en tres términos....

Comparando con la otra forma de dH:

i i i i

i ii i

LdH p dq q dp (forma 2)t

H H HdH dq dp dt (forma 1)q p t

∂⎧ ⎫= − −⎪ ⎪∂⎪ ⎪⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎪ ⎪= + +

∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭

i i

La obtención ahora de las ecuaciones de Hamilton es

inmediata: -. Ecuaciones del movimiento de Hamilton:

i i i ii i

i i i ii i

H Hdp q dp qp pH Hdq p dq pq qH Lt t

∂ ∂= ⇔ =

∂ ∂

∂ ∂= − ⇔ = −

∂ ∂

∂ ∂= −

∂ ∂

i i

i i

Así que tenemos 2n + 1 ecuaciones, n por las coordenadas q, n por las coordenadas p, mas la del tiempo.

Bien, ya hemos visto qué es y qué se puede hacer con la

función hamiltoniana H. Veamos ahora cómo se obtiene.

Obtención de la hamiltoniana -. Paso 1: Obtener la lagrangiana del sistema en las

coordenadas que más nos convenga, es decir, cartesianas, cilíndricas, esféricas, o cualquier otra coordenada generalizada que definamos. Lo suyo es aplicar las fórmulas de transformación de coordenadas para cada caso, pero después de hacer las operaciones tres o cuatro veces, uno casi recuerda qué forma tienen las energías cinética y potencial en los distintos sistemas de coordenadas.

-. Paso 2: Obtener las cantidades de movimiento

conjugadas pi a partir de la lagrangiana. -. Paso 3: Obtener una hamiltoniana usando la función

energía: h (q,qi ,t) = qi p - L(q,qi ,t). Esto es una función de

qi ,p, q y t y por tanto no es todavía "la hamiltoniana",pues falta aún por eliminar la dependencia de qi .

-. Paso 4: Usamos precisamente las relaciones del paso

2 para eliminar las velocidades generalizadas qi . Se pueden reconocer ya cuales son las energías potencial y cinética, con lo que se puede nominar con propiedad a la hamiltoniana así obtenida H(q,p,t).

Ilustremos esto con el segundo ejemplo del libro de

Goldstein, una partícula cargada en un campo eléctrico, caso

visto ya más arriba. Recordemos que la lagrangiana en coordenadas cartesianas para este sistema era:

Paso 1. Escribir la lagrangiana-. i

i i i

dx[q x q ]dt

= ⇒ =i

ii i i

A eL(q,q ,t) T V ½mq ² q eφ(q).c

= − = + −i i i

Paso 2. Obtener p -.

ii i

i

A eLp mqq c∂

= = +∂

ii .

Paso 3. Escribir la función energía h-.

i i

i i i i i i

i

A e Aeh(q,q ,p,t) q p L (mq² q ) (½mq ² q eφ(q))c c

½mq² eφ(q)

= − = + − + −

= +

i i i i i i

i

Paso 4. Sustituir p e identificar las contribuciones a la

hamiltoniana:

ii

ii i i

i

ii

ii

A epAeL cp mq qq c m

AepcH(q,p,t) ½m( )² eφ(q)

mAe1 (p )² eφ(q)

2m cT V

−∂= = + ⇔ =

∂

−= +

= − +

= +

i ii

Ahora ya se pueden usar esta hamiltoniana y las ecuaciones de Hamilton para obtener las ecuaciones de movimiento del sistema. Si se quiere hallar la trayectoria en función del tiempo, simplemente se resuelven dichas ecuaciones.

3.2-. Coordenadas cíclicas y teoremas de

conservación relacionados

Según la definición, una coordenada "q" cíclica es

aquella que no aparece explícitamente en la lagrangiana. Ahora bien, como hemos definido:

h (q,qi ,t) = qi p - L(q,qi ,t). Entonces si una coordenada "q" no está en L, tampoco

estará en H. El resultado de esto es que todas las leyes de

conservación que hemos obtenido antes, se cumplen sin más que sustituir H por L, esto es:

-.Teorema de conservación del momento lineal d H dp"cuando 0 p CTE.

dt q dt∂

= = ⇒ =∂ i

"

-. Coordenadas cíclicas Esta es otra de esas ocasiones que uno le pone

nombre a algo que no se ve. Cuando en una hamiltoniana no aparezca alguna coordenada qn, aunque sí aparezca qi , diremos que tal coordenada es cíclica o ignorable, y el principal efecto que tiene esto en el sistema es que si en H no aparece qn:

"la cantidad de movimiento generalizada conjugada a

una coordenada cíclica se conserva". Otra consecuencia: como L = T-V, T = f(qi ), y V = f(qn),

entonces

idp Vdt q

∂=

∂, pero si esta q es cíclica:

ii

i

dpV 0 Fq dt

∂= = =

∂, es decir:

"La componente de las fuerzas aplicadas

correspondiente a una coordenada cíclica es 0". -.Teorema de la conservación de la energía La variación total de la hamiltoniana en el tiempo:

dH H dp H q Hdt p dt q t t

H H Hp qp q t

∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

i i

Si ahora utilizamos en esta expresión las ecuaciones de Hamilton:

H Hq pp q

∂ ∂= = −

∂ ∂i i , nos queda:

dH Hdt t

∂=

∂, y por la integral de Jacobi:

dH H Ldt t t

∂ ∂= = −

∂ ∂,

así que si la lagrangiana no depende explícitamente del tiempo, tampoco lo hará la hamiltoniana, y en ese caso se dice que la hamiltoniana es una constante del movimiento:

dH0dt

= ⇔ H se conserva.

Recordemos ahora que cuando las coordenadas no

dependen del tiempo, y el potencial no depende de las velocidades:

H = T + V. Como apunte final, hacer notar que mientras que para

la lagrangiana existe una fórmula definida L = T - V, y su magnitud es independiente del sistema de coordenadas utilizado, para la hamiltoniana esto no ocurre, y es posible que una hamiltoniana que se conserva en un determinado sistema

de referencia no lo haga en otro sistema de coordenadas, por ejemplo en sistemas de referencia acelerados.

A continuación se muestran algunos ejemplos del uso

del formalismo hamiltoniano para algunos sistemas mecánicos simples:

Ejemplo 1.- Sean los tres sistemas mecánicos de las

correspondientes figuras. En todos ellos el campo g es paralelo al eje Z, como habitualmente se describe, y paralelamente al eje X, y en su sentido positivo, se dispone un campo E. Ambas masas son también cargas, siendo idénticas para estos dos campos.

-.¿Cuántas ligaduras y cuántos grados de libertad tiene cada uno de ellos?

-.¿Cuántas ecuaciones de Hamilton son necesarias en cada caso? Sistema1

Se trata de dos partículas libres, moviéndose en tres dimensiones. Así que hay seis grados de libertad sin restricción alguna. Como coordenadas generalizadas sirven bien las cartesianas, y por tanto el hamiltoniano será de la forma: H = H(xn, yn, zn; pxn, pyn, pzn; t) (n = 1,2), lo que significa que hay doce ecuaciones de Hamilton. Sistema 2

Primeramente, consideremos que el movimiento no tiene porqué efectuarse en un plano. Usando coordenadas esféricas se puede definir completamente la posición de la masa 1mediante los dos ángulos θ1 y φ1, ya que la restricción del sistema obliga a la coordenada r a permanecer constante. Como la masa 1 se mueve en tres dimensiones, pero bastan dos coordenadas para definir su posición, se deduce que el subsistema de la masa 1 tiene dos grados de libertad, y por tanto una ligadura. El mismo razonamiento aplicado a la masa 2 lleva a las mismas conclusiones. En este caso además hay que decir que las

coordenadas para la masa 2 tienen su origen en unos ejes paralelos a los de la masa 1, y que se mueven solidarios con ésta. Como en total son dos partículas que se mueven en tres dimensiones, pero bastan cuatro coordenadas generalizadas, se deduce que el sistema tiene cuatro grados de libertad, y por tanto dos ligaduras. El hamiltoniano tendrá la forma H = H(θn, φn; pθn, pφn; t), lo que significa que hay ocho ecuaciones de Hamilton. Si se considera que el movimiento se realiza en el plano XZ, entonces la coordenada φ estará obligada por esta nueva restricción a tener un valor fijo, y el movimiento quedará descrito únicamente por la coordenada θ, para cada masa. El hamiltoniano es entonces de la forma H = H(θ1, θ2; pθ1, pθ2; t), lo que significa que ahora hay cuatro ecuaciones de Hamilton. Sistema 3

Para este último caso volvemos a la situación inicial. Se han eliminado las restricciones que estaban impuestas sobre las coordenadas r, que ahora pueden tomar cualquier valor que permita la elongación de los muelles. A fin de cuentas, si los muelles no tienen masa, las fuerzas que aquellos aplican sobre éstas resultan indistinguibles de las del tipo de acción a distancia, como las gravitatorias o electromagnéticas. Si ahora se puede dar valores a la coordenada r, es que la ligadura que había en el caso anterior también ha desaparecido, tenemos otra vez seis grados de libertad y por tanto el hamiltoniano será de la forma: H = H(rn, θn, φn; prn, pθn, pφn t), Lo que significa que habrá doce ecuaciones de Hamilton. Ejemplo 2-. Veamos ahora cómo se van incorporando magnitudes al hamiltoniano de un sistema cualquiera, por ejemplo, este: Varillas y bastidor sin masa: Unas varillas L que sujetan un bastidor BD en el que se desplaza una masa m unida al bastidor mediante un muelle de constante k, y todo ello, colgado de un techo. Para ir introduciendo suavemente nuevos términos, comencemos sin masa en las varillas ni el bastidor, y dejemos también para un poco más adelante el término con las fuerzas disipativas que surge del rozamiento de m con el bastidor:

Supongamos que el movimiento se efectúa en un plano. Las coordenadas generalizadas serán el ángulo θ que forma el péndulo con la vertical, con el cero de potencial en el plano XY (el techo), y la coordenada “x”, con su cero correspondiente en el extremo del muelle en equilibrio (su longitud natural). Para encontrar el hamiltoniano, realizamos los pasos siguientes: Paso 1-. Escribir la lagrangiana L:

θ mT ½m ² ½m( )² ½m(θ Lcosθ θ Lsenθ x )²= = + = + +xv v v z xi i i

½m(θ ²L² x ² 2θ x Lcosθ)= + +i ii i .

V ½kx² mg(L Lcosθ)= + − −

kT V ½m[θ ²L² x ² 2θ x Lcosθ x² 2gL(1 cosθ)]m

= − = + + − + −i ii iL .

Paso 2-. Procedamos ahora a utilizar las ecuaciones de Hamilton para encontrar los momentos p asociados:

-. θLp m(L²θ x Lcosθ)θ

∂= = +

∂

i ii

-. xLp m(x θ Lcosθ)x

∂= = +

∂

iii .

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones mediante el método

de Cramer para xi y θi:

θx pp1x ( cosθ)

sen²θ m mL= −i

θ xp p1θ ( cosθ)Lsen²θ mL m

= −i

Paso 3-. Ahora la función energía h = h(θ,x;θ ,x )

i i es: h(θ,x;θ ,x ) θm(L²θ x Lcosθ) x m(x θ Lcosθ)= + + + −

i i i ii i i i i L . ½mx² ½mL²θ² mLcosθx θ ½kx² mgL(1 cosθ)= + + + − −

i ii i

Paso 4-. Sustituyendo ahora xi y θi, obtenemos finalmente el

hamiltoniano:

θ θx x4 4

p pp p1 1H ½m[ ( cosθ)²] ½mL²[ ( cosθ)²]m mL mL msen θ L²sen θ

= − + − +

θ θx xp pp p1 1mL cosθ[ ( cosθ)][ ( cosθ)] ½kx² mgL(1 cosθ)

sen²θ m mL Lsen²θ mL m− − + − −+

Tras agrupar términos, la hamiltoniana presenta este aspecto más manejable:

θ θx x4

p pp pmH [( )² ( )² ( )( )cosθsen²θ] ½kx² mgL(1 cosθ)m mL m mL2sen θ

= + − + − −

Varillas con masa. Fuerzas disipativas:

¡Obsérvese cuántas cosas hay que saber antes de poder tomar el paso 1! El problema es similar al anterior. Las diferencias que encontramos son que ahora las varillas tienen masa, y por tanto se ha de aplicar su momento de inercia respecto del eje de giro

en los extremos del bastidor, y que ahora la masa m se ve afectada por el rozamiento. Entonces la energía cinética T:

θ x θ

1(2 ML²)3T ½ ² ½m( )²L²

= + +v v v , donde los vectores velocidad

son los mismos que en el ejemplo anterior. Esto nos lleva a:

MT L²θ ² ½m(θ ²L² x ² 2θ x Lcosθ)3

= + + +i i ii i

Para calcular la energía potencial tenemos que ver cuales son las coordenadas de las varillas. Supuestas de densidad uniforme, se pueden considerar como masas puntuales en su punto medio. Tomando el mismo origen de potencial que el ejemplo anterior, es decir, el plano XY, se obtiene que la aportación a V de cada varilla será:

BL L LV Mg Mg cosθ Mg (1 cosθ)2 2 2

= − = − ,

y por tanto, la energía potencial V:

B mV 2V V MgL(1 cosθ) mgL(1 cosθ) ½kx²= + = − − − − + gL(1 cosθ)(M m) ½kx²= − − + + , de forma que la lagrangiana de este sistema (sin amortiguar, aun) es: ¿Paso 1? Aún no…Ahora la receta ya no es L = T – V.

MT V L²θ ² ½m(θ ²L² x ² 2θ x L cosθ) [½kx² gL(1 cosθ)(M m)]

3= − = + + + − − − +

i i ii iL'

M m( )(Lθ)² ½mx² mθxLcosθ [½kx² gL(1 cosθ)(M m)]3 2

= + + + − − − +i ii i

Sea ahora una fuerza tipo Rayleigh ½cx²= − iF (¿¿esto es una fuerza??). Nos asalta la duda siguiente: ¿Qué dimensiones tiene c? por su nomenclatura pareciera una constante, pero la forma de la función de disipación de Rayleigh sugiere que tenga las de una masa (si es que acaso se trata una energía). En la página 30 del Goldstein se dice que 2F es la cantidad de energía disipada en una unidad de tiempo, así que la propia F debe tener esas dimensiones (tampoco le hubiera ocupado al señor Goldstein más de una línea el explicitarlas). Esto implica que las dimensiones de c son las de masa partida por tiempo. Estas también son coherentes con las que definen a las fuerzas disipativas Qx= -cxi . Con estas dimensiones en mente (kgs-1), se nos ocurre ingeniar una nueva lagrangiana L en la que quede incluida esta nueva función, a ver qué pasa (es decir, a ver si hay suerte y se puede seguir sin problemas el algoritmo del ejemplo anterior). Para esto hagamos lo siguiente: dt ½cx² t= −∫ iF = F , pues así se puede poner:

d ( )( ) 0dt x x

∂ ∂− =

∂ ∂iL' + F L'

Como esta F solo depende de xi , se puede fabricar una lagrangiana que sea coherente con esta ecuación haciendo:

Paso 1-. La Lagrangiana, por fin! L = L' + F , resultando

M m( )(Lθ)² ½mx² mθxLcosθ ½ctx² [½kx² gL(1 cosθ)(M m)]3 2

+ + + − − − − +i ii i iL =

Ahora tenemos una lagrangiana dependiente del tiempo. Suena a adecuada, teniendo en cuenta que una fuerza disipativa es no conservativa, y que al final el sistema llegará al reposo, es decir, la lagrangiana va a sufrir una evolución temporal. Paso 2-. Utilizando las ecuaciones de Hamilton sobre esta lagrangiana, se hallan los momentos asociados:

θp 2 L²θ mLcosθx ,θ

∂= = +

∂

i iiL

M con M m( )3 2

= +M ,

xp mLcosθθ ½(m ct)xx

∂= = + −

∂

i iiL .

Resolviendo por Cramer este sistema:

θ x1 c( t)p p Lcosθ2 mθ cL²( - t mcos²θ)

m

− −=

−

i

M M

,

x θ2 Lp mp cosθx cmL( t mcos²θ)

m

−=

− −

i M

M M

.

Paso 3-. La función energía h es: h θ [2 L²θ mx Lcosθ] x [mLcosθθ ½(m ct)x ]= + + + − −

i i ii i iM L L²θ ² mLcosθx θ ½kx² gL(1 cosθ)(M m)= + + − − +

i iiM . Sustituyendo los valores obtenidos arriba para las velocidades generalizadas, se obtiene finalmente el hamiltoniano: Paso 4-. Obtención de H.

θ x1 c( t)p p Lcosθ2 mH L²[ ]²cL²( - t mcos²θ)

m

− −= +

−M

M M

θ xx θ

1 c( t)p p L cosθ2 Lp mp cosθ 2 mmL cosθ[ ][ ] ½kx² gL(1 cosθ)(M m)

c cmL( t mcos²θ) L²( - t mcos²θ)

m m

− −−+ + − − +

− − −

M

M M M M

Tras reagrupar términos, presenta este aspecto menos horroroso, pero no mucho:

3θ x θ x2

1 1 ct 1 ctH [p ²( )( mcos²θ) p ²L²cos²θ 2p p mL( )cos θ]2 m 2 mL²

= − − − + − +MA

½kx² gL(1 cosθ)(M m)− − ++

donde A significa, para hacerlo más manejable:

c(θ,t) ( - t mcos²θ)m

= −A M M .

3.3-. La Routhiana Esta es una variante de la función hamiltoniana que es

especialmente útil cuando se tienen una o varias coordenadas ignorables. En esencia es el método natural a seguir una vez que se conocen las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana de la mecánica, pues aprovecha las ventajas que la formulación de Hamilton ofrece en cuanto a las coordenadas cíclicas se refiere, y utiliza la formulación lagrangiana para el resto. Para empezar a utilizar este método se define la función R, llamada función de Routh o Routhiana, y que por tanto es una función mixta de q,qi ,p y t, de la siguiente manera:

n

1 2 n 1 2 s s 1 s 2 n k k n nk s 1

R(q ,q ,.....,q ; , ,....., ;p ,p ,...,p ;t) ( p L(q , ,t))q q q q q+ += +

= −∑i i i i i

donde: -.1<s<n -. Hasta el índice s son coordenadas "normales". -. A partir del s+1 son coordenadas cíclicas. Obsérvese que el sumatorio está definido a partir de

s+1. Entonces la diferencial de R:

n n s

k k k kk kk s 1 k 1 k 1

L L LdR p d dq d dtq qq tq

= + = =

∂ ∂ ∂= − − −

∂ ∂ ∂∑ ∑ ∑i ii .

Obsérvense de nuevo los índices ya que aquí está la dificultad. Se ha de tener en cuenta que:

-. El término de la forma kqi dpk no aparece porque la

Routhiana no está definida para todo el índice “k”, sino para los posteriores al índice “s”, y las sqi terminan precisamente en este

índice. -. Los sumandos hasta el índice s (coordenadas

"normales") provienen todos de la lagrangiana, ya que el primer sumatorio está definido a partir del índice s+1. Por esta razón se puede poner:

-.k k

R Lq q

∂ ∂= −

∂ ∂.

-.k k

R Lq q∂ ∂

= −∂ ∂i i .

Como por definición qi = dq/dt, esto es lo mismo que:

-.k k

d R R( ) 0dt qq

∂ ∂− =

∂ ∂i , es decir, R obedece las

ecuaciones de Lagrange para las coordenadas no ignorables. Igualmente se podría decir que R sustituye a la lagrangiana L.

-. Los sumandos a partir de s+1 son todos de

coordenadas cíclicas. Para estos subíndices se obtiene:

-. kk

R qp

∂=

∂i , del tercer sumatorio y

-.k

Rq∂

= −∂ i kpi , del primero, ya que el

término que contiene a d kqi no está definido para estos

subíndices. Es decir, R obedece las ecuaciones de Hamilton para las coordenadas ignorables. Igualmente se podría decir que R sustituye a la hamiltoniana H, en lo referente a dichas coordenadas cíclicas.

Recordando ahora la definición de coordenada cíclica o

ignorable, que era aquella que no aparecía explícitamente en la lagrangiana, y por tanto no va a aparecer ni en la hamiltoniana ni en la Routhiana, y que de la formulación de Hamilton se deducía que la cantidad de movimiento conjugada pi (i>k) a la coordenada qi es una constante (que llamaremos αs+i), podemos definir finalmente a la función Routhiana R como una función únicamente de las coordenadas y de sus velocidades generalizadas, más el tiempo, es decir:

-. 1 2 n 1 2 s s 1 s 2 nR(q ,q ,.....,q ; , ,....., ;α ,α ,...,α ;t)q q q + +

i i i

El problema se ha reducido a un problema de

lagrangianas para las s coordenadas "normales" mientras que las coordenadas ignorables son todas constantes, y merecen como nunca su nombre (ignórense, pues).

Como ejemplo veamos la Routhiana que obedece una

partícula que se mueve en un plano y en un campo de fuerzas central que derivan de un potencial V(r):

Paso 1: Lo primero es obtener la lagrangiana en

coordenadas polares planas (r,θ):

-.L T V ½m[r² r²θ² ] V(r)= − = + −ii , donde θ

i= dθ

dt.

Paso 2: Escribir las cantidades de movimiento conjugadas de las coordenadas ignorables. En este caso es θ, y la cantidad de movimiento conjugada a dicha coordenada será un momento angular constante l, es decir, los índices del sumatorio serán n = 2 (estamos en un plano), s = 1(sólo hay una coordenada no cíclica). Las coordenadas generalizadas son q1 = r, y q2 =θ:

-. θLp l mr²θθ

∂= = =

∂

ii .

Paso 3: Escribir la Routhiana en función de r, ri y θ

i, es

decir, introduciendo las coordenadas ignorables:

-.2

s sk s 1 2

R ( p L) mr²θ² ½m(r² r²θ² ) V(r)q= + =

= − = − + +∑ i iii , esto

es, la suma de los productos s sq pi para cada coordenada

ignorable, menos la lagrangiana original. Paso 4: Escribir la Routhiana en función de r, ri , y l, es

decir, sustituyendo las coordenadas ignorables por las constantes que lleven asociadas:

-. ll mr²θ θ² ( )²mr²

= ⇔ =i i

-. l²R ½ V(r) ½mr²mr²

= + + i .

Ahora ya se puede usar esta función para la coordenada

que no era ignorable, es decir, "r", como la lagrangiana, y las ecuaciones de Lagrange para hallar las ecuaciones del movimiento.

3.4-. Obtención de las ecuaciones de

Hamilton a partir de principios variacionales Veamos un ejemplo de cómo y porqué se verifica esto: -. Sea H(qi, pi) el hamiltoniano de un cierto sistema de n

grados de libertad (n = 1,2,…,n), cuya acción J está descrita por:

f

i

Nt

i i i i i it i 1

J(q,p ) pq H(q,p ) dt=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∫ i .

-.Parte a) Mostrar que las pequeñas variaciones que

hacen que i i ip p δp→ + y que i i iq q δq= + pueden dejar invariable la acción J, a primer orden en δqi y δpi, si las variables qi y pi satisfacen las ecuaciones de Hamilton.

La variación en J, δJ, es evidentemente:

i i i i i iδJ J(q δq,p δp ) J(q,p )= + + − . Aplicado esto a la integral, ésta queda:

f

i

Nt

i i i i i i i i i i i it i 1

δJ (p δp )(q δq ) pq H(q δq,p δp ) H(q,p ) dt=

⎛ ⎞= + + − − + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∫ i i i

El decir a primer orden significa que se despreciará el

término de la forma i iδpδqi . Teniendo en cuenta además la definición de derivada parcial de una función de dos variables, lo anterior es aproximadamente lo mismo que:

f

i

f

i

Nt

i i i i i it i ii 1

Nt

i i i i it i ii 1

H HδJ q δp pδq δq δpq p

H H(q )δp pδq δqp q

=

=

⎛ ⎞∂ ∂≅ + − −⎜ ⎟

∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂

= − + −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∑∫

∑∫

i i

i i

Como queremos que se vaya asemejando a las

ecuaciones de Hamilton, tenemos que hacer algo con los términos que incluyen al hamiltoniano. El primero de ellos ya está en la forma deseada. Para ver cual es la dependencia total respecto de cada qi hemos de resolver primero el “asunto” del sumando i ipδqi . Integrando por partes:

f ff

ii i

N Nt tti i i i

i i i i i itt ti i i ii 1 i 1

u p du ppδq [pδq p δq]

δq dv v δq|

= =

= ⇔ =⎧ ⎫= = −⎨ ⎬= ⇔ =⎩ ⎭

∑ ∑∫ ∫i

i ii

Sustituyendo y reagrupando:

f

i

f ff

ii i

Nt

i i i i it i ii 1

N t tt

i i i i i it t ti ii 1

H HδJ (q )δp pδq δqp q

H Hpδq (q )δp (p )δqp q

|=

=

⎛ ⎞∂ ∂= − + −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂= + − + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∑∫

∑ ∫ ∫

i i

i i

Los dos últimos sumandos ya están en la forma que queríamos. Ahora se puede concluir que si cada qi y pi satisfacen las ecuaciones de Hamilton, entonces la acción queda invariada cuando:

f

i

N t

i i ti 1

0 δJ pδq|=

= = ∑ , que no es otra cosa sino el principio

de D’Alembert. Parte b)-. Impongamos ahora las condiciones q(ti=0)=0

y q(tf)=0 para cumplir de manera obvia el principio de D’Alembert, y apliquémoslo al siguiente hamiltoniano H ½p² ½(ωq)²= + en una dimensión. ¿Para cuáles tf se cumple?:

Una vez comprobado que las qi y las pi son variables

canónicas, se pueden resolver las ecuaciones de Hamilton:

iωt iωt1 2 1 2

Hq pp d²q dp ω²q

dt² dtHp ω²qq

d²q ω²q 0 luego :dt²q(t) Ce C e C cosωt C senωt−

∂⎧ ⎫= =⎪ ⎪∂⎪ ⎪ ⇒ = = −⎨ ⎬∂⎪ ⎪= − = −

⎪ ⎪∂⎩ ⎭

+ =

= + = +

i

i

Con las condiciones iniciales q(ti=0)=0 y q(tf)=0 esto

se reduce a:

1 2

f f f

q(0) 0 C 0 q(t) C senωtkπq(t ) 0 ωt kπ (k ) tω

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ∈ ⇒ =

Parte c)-. Para estas soluciones, que tienen de

característica especial que se anulan en los extremos y este mismo hamiltoniano…¿Cuánto vale la acción J?

Sustituyendo directamente en la integral las ecuaciones

y los valores de t que hemos hallado más arriba, y resolviendo:

kπ kπω ω

0 0kπω 2

20

kπ kπω2 2 ω2 2 00

p² ω²q²J [pq H(q,p)]dt ( )dt2 2

½Cω²(cos²ωt sen²ωt)dt

1½Cω² cos2ωtdt Cω² sen2ωt 04

= − = −

= −

= = =⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫∫

∫

i

Es decir, la familia de soluciones que se anulan en los

extremos tiene acción nula. 4-. Transformaciones canónicas

4.1-. Ecuaciones de transformación El objetivo que se persigue cuando se transforman unas

coordenadas por otras es que resulte más fácil la resolución de algún sistema físico. Como en la formulación de Hamilton las coordenadas cíclicas daban como resultado que sus cantidades de movimiento conjugadas fueran constantes, la integración de las ecuaciones de Hamilton es inmediata. Así, lo que se busca son unas ecuaciones que transformen las variables q y p en

unas nuevas Q y P tal que: Qi = Qi(q,p,t) Pi = Pi(q,p,t). Y también nos interesa, por supuesto, que cumplan las

ecuaciones de Hamilton, es decir, que sean variables canónicas:

i ii i

K KQ Pp q

∂ ∂= = −

∂ ∂i i , donde K hace las

veces de hamiltoniana, y a veces recibe el nombre de kamiltoniana.

En lo que resta de este apartado, que quede claro que la función kamiltoniana es la que nos interesa.

La relación entre ambos sistemas de coordenadas se

puede encontrar desde el principio integral de Hamilton. Si recordamos que i iH pq L= −i , el principio toma la forma:

2 2

1 1

t t

i it t

J Ldt (pq H)dt= = −∫ ∫ i .

Pues.... también para Q y P:

2

1

t

i it

J (PQ K)dt= −∫ i .

Se ha de resaltar que los integrandos no son iguales. En cambio, la variación en los extremos de la integral para ambos debe ser nula, según se vio en el apartado 3.4. Por tanto, para que la transformación sea canónica satisfarán una relación del tipo:

i i i i

dFpq H PQ Kdt

− = − +ii ,

es decir, si el valor de la lagrangiana es el mismo para

ambos sistemas de coordenadas, pero no lo son los integrandos del principio integral, es que a uno de ellos le falta un término diferencial. Aquí, F representa una función que hará de "puente" entre los dos sistemas de coordenadas, llamada función generatriz de la transformación. Son de varios tipos dependiendo de la clase de coordenadas que estemos transformando:

-. F1(q,Q,t), que se usa cuando nos encontramos un

sistema de coordenadas tal que la coordenada Q es cíclica, y por tanto, no aparece.

-. F2(q,P,t), análogamente, cuando la cíclica perseguida es la P. Este tipo de transformaciones no son capaces de efectuar la transformación de permuta, es decir, coordenadas por momentos, o momentos por coordenadas, pero si la de la identidad.

-.F3(p,Q,t), como en el primer caso, si es que en el problema no nos aparece la coordenada q. Estas transformaciones y las del tipo 1 no son capaces de la transformación identidad, pero sí lo son de la transformación de permuta,

-.F4(p,P,t), como en el segundo caso, si es que en el problema no nos aparece la coordenada p.

Veamos con cierto detalle cada caso:

Caso 1: F = F1(q,Q,t) Si sustituimos una F1 en la igualdad que relaciona las

lagrangianas en uno y otro sistema:

1

i i i i

1 1 1i i

dFpq H PQ Kdt

F F Fdq dQPQ K [ ]q dt Q dt t

− = − +

∂ ∂ ∂= − + + +

∂ ∂ ∂

ii

i

Como las variables q y Q son independientes por

separado, esto sólo se puede cumplir si sus coeficientes son iguales, es decir:

1 1

i ii i

F Fp Pq Q

∂ ∂= = −

∂ ∂.

Esta condición recuerda a las ecuaciones de Hamilton.

De esta manera tendremos que:

1FK Ht

∂= +

∂.

Caso 2: F = F2(q,P,t) - QiPi La forma que tiene esta función F se debe a que

cuando se sustituye en la relación de las lagrangianas:

i i i i

2i i i i i i

2 i 2 i 2i i

i i

dFpq H PQ KdtdFPQ K [ QP PQ ]dt

F dq F dP FK QP [ ]q dt P dt t

− = − +

= − + − −

∂ ∂ ∂= − − + + +

∂ ∂ ∂

ii

i i i

i

Y esto solo se puede cumplir, por las mismas razones

que en el caso anterior, cuando:

2 i 2i i i

i i

2 i i 2i i

i i

F dq Fpq pq dt qF dP dP FQ QP dt dt P

∂ ∂= ⇔ =

∂ ∂

∂ ∂= ⇔ =

∂ ∂

i

pues de esta manera:

2FK Ht

∂= −

∂.

Caso 3 : F = F3(p,Q,t) + qipi. Veamos qué ocurre cuando se sustituye esta F en la

igualdad de las lagrangianas:

i i i i

3i i i i i i

dFpq H PQ KdtdFPQ K ( qp pq )dt

− = − +

= − + + +

ii

i i i

luego:

3 3 3i i i i i i

i i

F F FH PQ K ( p Q qp )p Q t

∂ ∂ ∂− = − + + + +

∂ ∂ ∂i ii i .

Como en los casos anteriores, la igualdad solo se cumple si:

3

ii

3i

i

F qpF PQ

∂= −

∂

∂= −

∂

para que nos quede finalmente:

3FK Ht

∂= −

∂.

Caso 4: F = F4(p,P,t) + qipi - QiPi. Sustituyendo esta F en las lagrangianas:

i i i i

4i i i i i i i i i i

4 4 4i i i i i i

i i

dFpq H PQ KdtdFPQ K ( pq qp PQ QP )dt

F F FH K qp QP ( p P )p P t

− = − +

= − + + + − −

∂ ∂ ∂− = − + − + + +

∂ ∂ ∂

ii

i i ii i

i ii i

lo que implica que:

4i

i

4i

i

F qpF QP

∂= −

∂

∂=

∂

pues así tendremos:

4FK Ht

∂= −

∂

Hay que recordar, finalmente, que estamos

manipulando ecuaciones en derivadas parciales, por lo que en toda integración tendremos que añadir una función que lo sea del resto de variables no afectadas por la integral, muy al modo de cómo en el bachillerato se nos olvidaba añadir la constante de integración.

4.2-. Corchetes de Poisson Esto de los corchetes de Poisson es otra manera, más

compacta y genérica, de establecer las leyes de conservación y las ecuaciones del movimiento de un sistema. Abre el paso a la formulación más rigurosa de la mecánica cuántica, donde las distintas magnitudes físicas están representadas por operadores matriciales, según la visión de Heisenberg de dicha mecánica, así que el corchete de Poisson obedece ese tipo particular de álgebra no asociativa que se llama álgebra de Lie. El corchete de Poisson de dos funciones, que ahora llamaremos "u" y "v", respecto de las variables canónicas p y q se define como:

q,pi i i i

u v u u[u,v]q p p q

∂ ∂ ∂ ∂= −

∂ ∂ ∂ ∂

Sean ahora u(q,p), v(q,p).Los corchetes entonces

cumplen las siguientes propiedades:

i j i j

i j ij j i

[q,q ] 0 [p ,p ][q,p ] δ [p ,q ]

= =

= = −

donde δ es la delta de Kronecker. De una manera general, las propiedades que cumplen

son: -. [u,u] = 0 -. [u,v] = -[v,u] (antisimetria) -. [au + bv, w] = a[u,v] + b[v,w] (linealidad) -. [uv,w] = u[v,w] + [u,w]v -. [u,[v,w]] + [w,[u,v]] + [v,[w,u]] = 0 (identidad de

Jacobi). La identidad de Jacobi quiere decir que " la suma de las

permutaciones cíclicas de los corchetes de Poisson dobles de tres funciones es cero", y que se cumplirá siempre que tales funciones posean derivada segunda continua. Esta es una propiedad importante, necesaria para deducir las ecuaciones del movimiento, como se verá en el siguiente apartado.

La ventaja que ofrece esta formulación de la mecánica es que los corchetes de Poisson son invariantes ante cualquier transformación canónica, con lo que se constituye entonces en una herramienta poderosa que se ha de considerar cuando se efectúen dichas transformaciones.

4.3-. Ecuaciones del movimiento y teoremas de conservación

Sea una función u(q,p,t). Entonces su derivada total:

i ii i

du u u uq pdt q p t

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂i i .

Usando las ecuaciones de Hamilton:

i i i i

du u dH u dH udt q dp p dq t

∂ ∂ ∂= − +

∂ ∂ ∂,

pero según lo que acabamos de ver: du u[u,H]dt t

∂= +

∂,

de manera que cuando la función u(q,p,t) es una

constante del movimiento, y por tanto dudt

= 0:

u[H,u]t

∂=

∂ (atención al cambio de orden dentro del corchete)

"El corchete de Poisson de H con cualquier constante del

movimiento es igual a la derivada explícita de esa constante respecto del tiempo", así que si la función u no contiene al tiempo, evidentemente tendremos:

-. [H,u] = 0.

Como caso particular, pero importante, veamos qué pasa cuando la función u es una de las variables canónicas q o p:

dq q [q,H] 0 [q,H]dtdp p [p,H] 0 [p,H]dt

= = + =

= = + =

i

i

-. Obtención de las ecuaciones de movimiento de un

sistema siguiendo el método de los corchetes de Poisson La ecuación diferencial du u[u,H]

dt t∂

= +∂

, obtenida más

arriba admite como solución formal el desarrollo de Taylor en torno a las condiciones iniciales t =t0:

0 0 0

du t² d²uu(t) u t( ) ( ) ...dt 2! dt²

= + + + , o bien, según acabamos

de ver ahora (recuérdese que la derivada respecto a t de algo, es el corchete de ese algo con la hamiltoniana):

0 0 0

t²u(t) u t[u,H] [[u,H],H] ...2

= + + +

y se acaba la serie a partir del término que resulte ya constante.

Apliquemos esto como ejemplo a una partícula de masa "m" que se mueve uniformemente acelerada con aceleración "a" en una dimensión, con coordenadas generalizadas "p" y "x", y que por tanto su hamiltoniana es:

p²H T V T Fdx max2m

= + = + − = −∫ .

La ecuación del movimiento que buscamos es de la forma x(t):

x(t) = x0 + t[x,H]0 + t²2

[[x,H],H]0 + ....

Los corchetes de Poisson necesarios se obtienen

fácilmente:

dx p[x,H]dt m

d 1 dp F[[x,H],H] [x,H] adt m dt m

= =

= = = =

Como "a" es constante, las derivadas de orden superior

son todas nulas y aquí acaba la serie. Sustituimos ahora los valores obtenidos en el desarrollo

de Taylor, y finalmente obtenemos:

0 0 0

p 1x(t) x (t t ) a(t t )²m 2

= + − − − , que es la reconocible

ecuación de un movimiento uniformemente acelerado. -. Teorema de Poisson

Es ahora cuando la identidad de Jacobi empieza a adquirir importancia. Apoyándose en ésta, se enuncia el teorema de Poisson:

-. [H,[u,v]] = 0 "El corchete de Poisson de dos constantes del

movimiento es también una constante del movimiento".

4.4-. La notación simpléctica

Se llama notación simpléctica aquella que utiliza el

lenguaje matricial, debido a su concisión y su potencia para operar con una buena cantidad de información de manera automática. Veamos suavemente qué significan y cómo se van ordenando los distintos coeficientes dentro de esa caja que llamamos matriz. La primera pista hemos de buscarla en la apariencia que tiene el producto desarrollado del corchete de Poisson. Sin duda se puede expresar como un determinante:

q,p

u uq pu v u v (u,v)[u,v]

q p p q (q,p)v vq p

∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

∂ ∂

La última igualdad pone de manifiesto que este es el determinante jacobiano de una transformación, tal y como se estudia en los cursos de álgebra lineal de primer grado. Para dar el siguiente paso es necesario el teorema de Liouville. Este teorema adquiere pleno significado dentro de la Mecánica Estadística, y será en esa parte donde se discuta. A grandes rasgos, dice que la evolución temporal del volumen fásico V de un estado de un sistema conservativo es constante en el tiempo.

Si NDV

= es la densidad de estados (N), entonces:

dD D D0 [D,H] [D,H] [H,D]dt t t

∂ ∂= = + ⇒ = − =

∂ ∂

Y si esa densidad D no depende explícitamente del tiempo, es decir, en una situación de equilibrio, entonces:

0 [H,D]= . Pues bien, si no ha de variar el volumen fásico en una

transformación canónica, el determinante jacobiano debe valer la unidad, ya que es precisamente el valor del determinante jacobiano el factor por el cual está relacionado cierto volumen en las coordenadas iniciales, con el correspondiente volumen en las coordenadas finales. Cuando las funciones (u, v) son las ecuaciones de transformación en las nuevas variables (Q, P) este teorema permite discernir sobre si una transformación es canónica o no. Es decir, la condición de canonicidad en la notación simpléctica queda:

q,p

Q Qq p1 [Q,P]P Pq p

∂ ∂∂ ∂

= =∂ ∂∂ ∂

Hay otra manera más de expresar el corchete de

Poisson, esta vez utilizando matrices. En efecto, es fácil ver que se cumple que:

v v0 1p pu u u u[u,v]

q p q pv 1 0 vq q

,

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂ − ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂=

∂ ∂u vJη η

donde η ( recuérdese que los vectores y las matrices se escriben en negrita) representa cada pareja de coordenadas (q, p), y J es una matriz antisimétrica compuesta por 4 cajas, cuyos coeficientes son unos y ceros. Esta matriz es fácil y conveniente recordarla. Como ejemplos de su importancia, válganos decir que las ecuaciones de Hamilton pueden escribirse mediante esta matriz en la forma compacta:

1 2 n 1 2 n

H (q ,q ,...,q ;p ,p ,...,p )∂= =

∂η J η

ηi , y que las coordenadas

transformadas también lo hacen:

1 2 n 1 2 n

H (Q ,Q ,...,Q ;P,P ,...,P )∂= =

∂Ψ J Ψ

Ψi

Cuando tengamos dos parejas de coordenadas (dos grados de libertad, dos dimensiones, etc…), el corchete de Poisson correspondiente de dos funciones (u, v) de esas dos parejas tiene esta forma:

1 1 2 2

1

2q ,p q ,p

1 2 1 2

1

2

vq

0 0 1 0 vq0 0 0 1u u u u [u,v] [u,v]

q q p p 1 0 0 0 vp0 1 0 0vp

∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂−⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

u vJη η

para tres grados de libertad ya se ve que:

1 1 2 2 3 3q ,p q ,p q ,p

u v [u,v] [u,v] [u,v]∂ ∂= + +

∂ ∂Jη η

,

Entonces, para N grados de libertad:

i i

N

q ,pi 1

u v [u,v]=

∂ ∂=

∂ ∂ ∑Jη η

En los siguientes ejemplos se muestra cómo se utilizan estas propiedades para describir el estado de un sistema, para ilustrar una breve aproximación a la teoría de perturbaciones, y para averiguar si una transformación es canónica. -.Ejemplo 1: a-.) Describir explícitamente las ecuaciones de Hamilton en la notación simpléctica. Tal y como se apuntó más arriba, la forma que se obtiene es:

1 2 n 1 2 n

H (q ,q ,...,q ;p ,p ,...,p )∂= =

∂η J η

ηi

Evidentemente, se trata de definir la matriz J. Llamémosle Z para recalcar el hecho de que aún no la conocemos. Usemos también el símbolo x para poner de relieve que tanto las posiciones como sus momentos asociados son tratados equitativamente en la formulación hamiltoniana. Con estas consideraciones, la ecuación que estamos buscando es:

1

11 12 1N 1,2N1

22 21

N1

n 1

n 1n 2N,1 2N2N

n

Hx

Hq

a a a aq Hqq a

ap H

pp a aHp

−

−

∂=

∂∂⎛ ⎞

⎜ ⎟∂⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Zx

i

ii

ii

En vista de cómo son las ecuaciones de Hamilton, por simple inspección se puede construir la matriz Z:

i,n i i,n ii

n i,i n i,ii

jki

i jk

a δH q a δpa 0 si j n,k nH p

q a 0 si j n,k n

+ +

+ +

=⎧ ⎫∂⎧ ⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ = −∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬= < <∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪= −⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂ = > >⎩ ⎭ ⎩ ⎭

i

i,

pero estos son los coeficientes que tienen cada caja de la matriz J. Así que en notación simpléctica:

H H [ ,H]∂ ∂= = =

∂ ∂x Z J x

x xi

b-.) Si la solución ya conocida x es una constante x = φ, y se le perturba con un término infinitesimal, es decir, despreciable salvo a primer grado, de la forma i(t) φ (t)= +x y , ¿qué ecuación en función de y, J, y un tercer factor ha de satisfacer entonces la variación temporal de la perturbación yi :

Como la solución no perturbada es constante, al hacer un desarrollo de Taylor para y(t) en torno a xi = φi, enseguida se aprecia que los primeros términos no nulos son los de segundo grado. En este caso, podemos decir que el término general de los coeficientes de la matriz es:

2

iji j

HH i, j 1,2,...,2Nx x∂

= =∂ ∂

La misma teoría de transformaciones define otro determinante, el Hessiano H, cuyos coeficientes vienen a corresponder con los recién obtenidos. Una vez realizados los cálculos, el aspecto de la matriz hessiana H puede ser la siguiente, para un sistema holónomo conservativo:

2 2 2

21 1 2 1 N

2 2

22 1 2

2 2 2

2N 1 N 2 N

H H H 0 0 0x x x x xH H

x x x

H H H 0 0x x x x x

10 0 0 0m

10m

1m

10 0m

10 0 0 0m

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

H

Utilizando esta matriz, la condición que ha de cumplir yi será: ddt

= =y JHyyi

Ejemplo 2: a-.)Encontrar las condiciones que han de satisfacer α, β, γ y δ para que la siguiente transformación:

α γQ p sinhβq, P p coshδq= = , sea canónica. b-.) Comprobar que para α = γ =½ y β=δ =2 la transformación es canónica. c-.) Encontrar una función generatriz F1(q, Q) para esta transformación. d-.) Dado el hamiltoniano H = psinh2qcosh2q, encontrar q(t) y p(t) cuando q(0) = 3/2 y p(0) = 1 Aplicaremos la condición de canonicidad 1 = [Q,P]q,p.

α γ 1Q P Q P1 p (βγchδqchβq αδshδqshβq)q p p q

+ −∂ ∂ ∂ ∂= − = −

∂ ∂ ∂ ∂.

Incidentalmente, en este punto ya es fácil (ch²x-sh²x=1) ver que se cumplen las condiciones del apartado b). Recordando con unas tablas (Spiegel y Abellanas) las fórmulas de adición de las funciones hiperbólicas, se puede hacer un poco más compacta y simétrica esta expresión:

α γ 1

α γ 1

βγ αδ1 p [ [ch(β δ)q ch(β δ)q] [ch(β δ)q ch(β δ)q]]2 2

½p [(βγ αδ)ch(β δ)q (βγ αδ)ch(β δ)q]

+ −

+ −

= + + − − + − −

= − + + + −

Cuando α=γ= ½, β=δ=2, se obtiene: 1 ½(1)[0ch4q 2ch0] ch0.= + =

Por tanto, esta transformación es canónica. Escribiendo ahora p y P en función de q y Q en esta transformación particular, e integrando, se obtiene la función generatriz F1:

11

11

FQ²p F ½Q²cth2qsh²2q q

FQP ch2q Qcth2q F ½Q²cth2qsh2q Q

∂= = ⇒ = −

∂∂

= = = − ⇒ = −∂

Para encontrar unas expresiones de q(t) y p(t), se acude a las ecuaciones de Hamilton y a la hamiltoniana que se nos ofrece:

pH psh2qch2q sh4q2

dq H dqq ½sh4q ½dtdt p sh4qdp H dpp 2pch4q 2ch4qdtdt q p

= =

∂= = = ⇒ =

∂∂

= = − = − ⇒ = −∂

i

i

Resolviendo para q(t) y p(t):

1 2tt 1A ' lnth2q q(t) ½th (Ae )2 4lnp 2tch4q B' p(t) Bexp[ 2tch4q]

−+ = ⇒ =

= − + ⇒ = −,

donde A y B son las constantes de integración. Se ha dejado para más tarde la tarea de eliminar la dependencia de p respecto de q.

Imponiendo ahora las condiciones iniciales se obtienen dichas constantes, y posteriormente, las expresiones buscadas:

1 1

2t

2t

ln ln

4t

t

a

4

ab b

3 1 xq(0) ½th A A th3, como th x ½ln :2 1 x

1 1 e th3 1q(t) ln ln4 41 e th3

e ep(0) B 1 p(t) exp[ 2tchln ] exp[ 2t ]2

a .b

ab

a bb

1 e th²3exp[ t( )] exp[ 2t ]1 e th²3a

− −

−

+= = ⇒ = =

−+

= =−

+= = ⇒ = − = −

+= − + = −

−

donde ya finalmente se ha eliminado la dependencia que nos faltaba, quedando p en función únicamente de t.

Fijémonos ahora de nuevo en los subíndices. Sería una gran ventaja que los de los elementos de alguna matriz fueran a corresponder con los de los corchetes de Poisson respecto de las variables canónicas. Haciendo corresponder dichos índices, se define la matriz corchete de Poisson de dos funciones cualquiera (u, v), de las variables canónicas (q, p) de la manera que sigue:

N N

j jk kjk 2Nx2N j k q,p

i i i ii 1 i 1

u uv u(P ) [u ,v ] ( )q p p q= =

∂ ∂∂ ∂= = = −

∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑P

Es decir, cada elemento Pjk estará conformado por el

corchete de Poisson de dichas jk funciones. Como es bien sabido, las parejas de subíndices de los elementos de una matriz se crean a partir de los subíndices de dos vectores a los que se ha efectuado un producto diádico, y en este caso cada

uno tiene 2N componentes. Se roza de esta manera el álgebra de tensores, y se abre una puerta para su exploración distinta de la puramente matemática, y que debemos hacer discurrir hacia la geometría subyacente en el álgebra de Riemann y en la Relatividad General. Recuérdese que desde este enfoque las matrices representan a operadores.

Con una nomenclatura similar a la anterior se define la matriz corchete de Lagrange, en la que los coeficientes de la matriz L están formados por los corchetes de Lagrange de dos funciones:

{ }N N

i i i ijk 2Nx2N j k

j k v ki 1 i 1

q p p q(L ) u ,v ( )u v u v= =

∂ ∂ ∂ ∂= = = −

∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑L

Veamos de una forma algo más detallada cómo se ve la relación existente entre estos dos corchetes bajo la notación simpléctica. Para cualquier pareja de funciones (uj, uk) de las variables canónicas (qi, pi), donde j,k∈{1,2,…2N}, y i∈{1,2,…,N} los elementos de la matriz P serán:

i i i i i i

N N N

11 1 1 q ,p 12 1 2 q ,p 13 1 3 q,pi 1 i 1 i 1

[u ,u ] [u ,u ] [u ,u ]= = =

= = =∑ ∑ ∑p p p ….,

y en general i i

N

jk j k q ,pi 1

[u ,u ]=

= ∑p .

De la misma manera se escriben los coeficientes de la matriz L mediante los corchetes de Lagrange:

{ }i i

N

jk j k q ,pi 1

u ,u=

= ∑l .

Veamos ahora cómo es la matriz P, utilizando las propiedades de los corchetes:

i i

i i i i

N

jj j j q ,pi 1N N

jk j k q ,p k j q ,p kji 1 i 1

[u ,u ] 0

[u ,u ] [u ,u ]

=

= =

= =

= = − = −

∑

∑ ∑

p

p p

Es decir, P es una matriz antisimétrica, luego:

t = −P P Esta matriz se puede “visualizar” también de la siguiente manera: Sea υk la matriz columna de orden 2N formada por todas las funciones uk. Despliéguese ahora para cada función una fila con 2N elementos, pertenecientes a cada coordenada qi y pi, con lo que obtenemos una matriz υ cuadrada de orden 2N. Entonces el corchete de Poisson:

[ , ] ∂ ∂=

∂ ∂υ υυ υ Jη η

= P

Lo mismo se aplica a la matriz L:

{ }, ∂ ∂=

∂ ∂η ηυ υ Jυ υ

= L

Aplicando entonces la relación existente entre estos dos corchetes de Lagrange y de Poisson:

{ }

{ } t

1 [ , ] ,

[ , ] , 1

− = − =

= =

⇔⇔ − =

υ υ υ υ

υ υ υ υ

I PL

- PL P L I

Para intentar justificar este resultado, extendamos los elementos de la matriz PtL para ver que forma tienen:

2N 2Nt t

11 12h1 h1 h1 h2h 1 h 12N 2N

t t21 22h2 h1 h2 h2

h 1 h 1

= =

= =

= =∑ ∑

= =∑ ∑

(p (p

(p (p

l) p l l) p l

l) p l l) p l……

y en general:

{ } { }i i i i

2N N NNt

lm h l q ,p h mhl hm q,ph 1 h 1 i 1 i 1

( [u ,u ] )( u ,u ) l,m 1,2,...,2N= = = =

⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦= ∑ ∑ ∑ ∑(p l) p l

Como se ve, hay que efectuar el producto de las dos series finitas sobre las coordenadas y posteriormente comprobar que se cumple:

tlm lmδ=(p l)

donde δ es la delta de Kronecker. A pesar de la complejidad de la notación, las propiedades de los corchetes de Poisson hacen de su resolución una cuestión más de organización que de dificultad matemática.

5-. Teoría de Hamilton-Jacobi Después de haber visto las transformaciones en el

capítulo anterior, resulta de la máxima utilidad el estudiar algunas de ellas que por su definición se conviertan en soluciones de problemas concretos. Si, por ejemplo, se conserva la hamiltoniana H, se puede intentar una transformación a unas nuevas coordenadas que sean todas cíclicas, y el problema se reduce entonces a simples cuadraturas. Otra transformación interesante es aquella donde las coordenadas que se transforman lo hacen en unas cantidades constantes. Si estas constantes son la posición inicial "q0" y la cantidad de movimiento inicial "p0", la inversa de la transformación será de la forma:

-. q = q (q0,p0,t) -. p = p (q0,p0,t), que, evidentemente, es la solución del problema. Esta segunda transformación es más general que la

anterior porque no se exige que se conserve la hamiltoniana. Veámoslo con un poco de detalle:

5.1-. Ecuación de Hamilton-Jacobi para la

función principal de Hamilton

La condición que han de satisfacer las nuevas

coordenadas q0i y p0i, que desde ahora llamaremos Q y P, resaltando que esta es una transformación de las del capítulo anterior, para que sean constantes, es que la hamiltoniana transformada, esto era, la kamiltoniana K, cumpla que:

i

i

ii

K P 0QK Q 0P

∂= =

∂

∂= =

∂

i

i

Podemos asegurar esto si K es idénticamente nula.

Recordando ahora cómo estaban relacionadas H y K:

i i i i

FK(Q ,P,t) H(q,p ,t) entonces si :t

FK 0 H 0t

∂= +

∂∂

= ⇒ + =∂

Esta F será, por conveniencia, la F2 del apartado 4.1, es decir, aquella del segundo caso donde interesa que la cantidad de movimiento transformada sea cíclica, y por tanto constante. Recuérdese entonces que:

2i

i

F pq

∂=

∂ y por tanto, tenemos la denominada:

-. Ecuación de Hamilton-Jacobi: 2 2 2 2

1 2 n1 2 n

F F F FH(q ,q ,...,q ; , ,..., ;t) 0q q q t

∂ ∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂ ∂

Sin cargar tanto la notación, enseguida se aprecia que:

22

FH 0 Hdt F W( )t

∂+ = ⇔ = − +

∂ ∫ q .

A la solución "S" (que según esto último coincide con F2) de la ecuación de Hamilton-Jacobi se le llama Función principal de Hamilton:

-.S = S(q1,q2,...qn;α1,α2,...αn;t), donde cada αi = pi, de

manera que las ecuaciones de la transformación quedan:

i i

i

i ii

S( , ,t)p αq

S( , ,t)q βα

∂= =

∂

∂= =

∂

q α

q α

Invirtiendo ahora estas ecuaciones: -. pi = pi(α,β,t) -. qi = qi(α,β,t), que como decíamos antes, constituye una solución

completa del problema. Por lo visto hasta ahora, podría parecer que la

introducción de la función S es un tanto artificiosa. Sin embargo, posee una propiedad importante: ya que S queda definida únicamente en función de las coordenadas qi y del tiempo, su derivada total:

ii

i i

dS S Sqdt q t

pq H L

∂ ∂= +

∂ ∂

= − =

i

i

y por tanto: S Ldt cte.= +∫

Como siempre, y para alivio del lector, ha llegado el

momento de ilustrar el uso de esta primera técnica mediante un ejemplo.

5.2-. Solución por el método de Hamilton-

Jacobi para el problema del oscilador armónico

Vaya por delante que un oscilador armónico es un

sistema conservativo, lo que implica que se conserve H, y por tanto que los dos métodos de resolución sean aplicables. Es por el carácter académico por lo que Goldstein lo ha elegido, y por ser exactamente resoluble.

Nominemos a este primer método como el "método de

la función S". -.Método de la función S Lo que estamos buscando es una transformación

canónica que nos dé las expresiones de α y β en función de q y p, con lo que se resuelve el problema. Una vez logrado esto, se encuentra la expresión de la función principal de Hamilton "S", es decir, la función generatriz de esa transformación. Para que quede claro, lo que se hace es trabajar con la función S sin tener que calcularla sino a posteriori, y si acaso nos la piden. Se aprovecha por tanto la invariancia formal que tienen las ecuaciones de las transformaciones canónicas para definir las nuevas coordenadas y momentos. Una vez resuelto el problema, se podrá comprobar que S satisface las ecuaciones de la transformación:

ii

ii

S(α,β,t) αβ

S(α,β,t) βα

∂=

∂

∂=

∂

Paso 1-. Condiciones para la función principal de

Hamilton S Sabemos que la solución S tiene que cumplir que:

SH 0t

∂+ =

∂

La hamiltoniana para un oscilador armónico en una

dimensión es:

1H (p² m²ω²q²)2m

= + , donde ω² = k/m es la frecuencia

natural del oscilador.

Paso 2-. La función S hace las veces del hamiltoniano.

Sustitución de p. Sustituyendo ahora p = (∂S/∂q):

1 SH [( )² (mωq)²]2m q

∂= +

∂,

de forma que la condición exigible a S queda:

1 S S[( )² (mωq)²] 02m q t

∂ ∂+ + =

∂ ∂.

Ya que de momento S = S(q,t), la teoría de derivadas en

ecuaciones parciales nos dice que cuando cada sumando es función únicamente de cada una de las variables, entonces son idénticamente iguales a una constante. Aprovechamos esto para definir α:

Paso 3-. Separación de variables. Identificación del

hamiltoniano con la energia H = E y aparición de W(q,α) S α

t∂

= −∂

1 S[( )² (mωq)²] α2m q

∂+ =

∂

De esta forma, α = H = E De la primera de estas igualdades se obtiene:

-. S = -αt + W(q,α). Sustituyendo esto en la segunda:

1 W[( )² (mωq)²] α2m q

∂+ =

∂,

que se puede integrar inmediatamente:

2mαW mω dq ( ) q²m²ω²

= −∫ , y por tanto:

2mαS mω dq ( ) q² αtm²ω²

= − −∫ .

Esta integral es fácil de calcular (aunque es más fácil

aún consultar las tablas de Spiegel y Abellanas), pero lo que nos interesa ahora es utilizar la segunda ecuación de Hamilton en las nuevas variables, es decir, β = dS/dα (tal y como se dijo arriba, no necesitamos resolver la integral de S):

Paso 4.- Uso de la segunda ecuación de Hamilton

para obtener las coordenadas qi.

½

1

dS d 2mαβ [mω dq q² αt]dα dα m²ω²

d 2mαmω [dq q² t]dα m²ω²

2 2mαmω½ [ q²] dq tmω² m²ω²

1 mωqsin tω 2mα

−

−

= = − −

= − −

= − −

= −

∫∫

∫

Finalmente, al despejar q(α,β,t):

2mαq(α,β,t) sinω(β t) (β ' ωβ)mω2mα sin(ωt β ')mω

= + =

= +

, que es la

conocida solución del oscilador armónico. Paso 5.- Obtención de la cantidad de movimiento p Para encontrar la cantidad de movimiento, usamos la

relación:

ii i

S Wp (α,β,t)q q2mα m²ω²q²

∂ ∂= =

∂ ∂

= −

Y ahora sustituimos la q obtenida más arriba: ip (α,β,t) 2mα cos(ωt β ')= + , y se comprueba

fácilmente que p = m(dq/dt). Paso 6.- Determinar las constantes α y β a partir de las

condiciones iniciales es hallar la energía E y el ángulo de fase θ. Sólo queda entonces encontrar la relación entre α y β

con las condiciones iniciales p0 y q0. La forma que tienen p y q sugieren elevar al cuadrado y comparar, a ver qué pasa:

p² 2mαcos²(ωt β ')2mαq² sin²(ωt β '), entonces

(mω)²p² (mωq)² 2mα(cos²(ωt β ') sin²(ωt β ')

= +

= +

+ = + + +

o bien, teniendo en cuenta que en las condiciones iniciales t=0: -. p0² + (mωq0)² = 2mα[cos²β' + sen²β'], luego:

0 0p ² (mωq )²α E H.2m

+= = =

Para hallar la β' volvemos a tener en cuenta que las

condiciones iniciales son para un tiempo t = 0:

0

0

1 0

0

mωq tgβ ', o bien :p

mωqβ ' tgp

−

=

=

Así que la función principal de Hamilton S, como

coincide con la F2 del capítulo de las transformaciones canónicas, no es más que una función generatriz de una transformación, que en este caso transforma las coordenadas q y p a las coordenadas α y β', energía total y ángulo de fase inicial, respectivamente.

Paso 7.- Obtención final de la función principal de

Hamilton S a partir de la lagrangiana Una vez determinados q(α,β,t) y p(α,β,t) se puede

escribir la lagrangiana, y desde ésta, mediante una integración temporal, se encuentra la función principal de Hamilton S:

1L T V [p² (mωq)²]

2m1 [2mαcos²(ωt β ') 2mαsin²(ωt β ')]

2mαcos2(ωt β ')

= − = +

= + − +

= +

y finalmente:

S Ldt α cos2(ωt β ')dt

α sin2(ωt β ').2ω

= = +

= +

∫ ∫

5.3-. Ecuación de Hamilton-Jacobi para la

función característica de Hamilton En el apartado anterior nos encontrábamos con una

función W que surgía como necesidad en una integración de una derivada parcial, y que por tanto era una función de todas las demás variables que no estaban afectadas por el proceso de integración. En ese caso veíamos que:

i

SH 0 Hdt S W(q )t

∂+ = ⇒ = − +

∂ ∫ .

En el proceso posterior aplicamos la condición de separabilidad que la función S debe cumplir. Ahora se ve claramente que la separación entre las coordenadas espaciales

qi y el tiempo que se practicó a la ecuación:

i

1 S S[( )² (mωq)²] 02m q t

∂ ∂+ + =

∂ ∂

siempre será posible si la hamiltoniana no depende

explícitamente del tiempo, de forma que tendremos:

ii

S SH(q, ) 0q t

∂ ∂+ =

∂ ∂,

es decir, un sumando es función únicamente de las coordenadas qi y el otro es función únicamente del tiempo.

Una vez separada la ecuación encontrábamos que S era

de la forma: -. S(qi,α,t) = W(qi,α) - αt. A la función W se le llama "Ecuación característica de

Hamilton". Después, se sustituía esta S en la condición de las

coordenadas, es decir, la que debe cumplir la hamiltoniana, resultando que:

i ii

SH(q, ) αq

∂=

∂, es decir, H es constante.

Hasta aquí nos han valido las cuentas que echamos con

el oscilador armónico. Al principio de ese apartado se hacía notar que era un ejemplo resoluble con los dos métodos. Utilizaremos el hecho de que la hamiltoniana es constante para explicar el segundo método, que exige que la hamiltoniana se

conserve. Nominaremos a este segundo método el "método de la

función W". -. Método de la función W La transformación que se persigue ahora es aquella en

la cual todas las nuevas cantidades de movimiento αi sean constantes, pues así la resolución de las ecuaciones de la transformación es trivial. Si hacemos que la función generatriz (en este caso W) sea de la forma W(q, P) tendremos que:

i

i

ii i

WpqW WQP α

∂=

∂

∂ ∂= =

∂ ∂

de manera que cuando se toma como valor particular α1 = H, según se indicaba más arriba, la hamiltoniana será:

i ii

WH H(q, ) αq

∂= =

∂.

A esta ecuación también se le llama de Hamilton-Jacobi,

ya que se deduce de aquella como consecuencia de la forma de W.

Ahora bien, W no contiene al tiempo, luego W 0t

∂=

∂, y si

recordamos como están relacionadas las hamiltonianas H y K:

WK Ht

∂= +

∂ ⇔ K = H = α1,

o lo que es lo mismo, las nuevas cantidades de movimiento Pi = αi conjugadas a las nuevas coordenadas cíclicas Qi, son todas constantes:

ii i

i

P K 0 P αt Q

∂ ∂= − = ⇔ =

∂ ∂

De la otra mitad de las ecuaciones canónicas se deduce que:

i

i i

1, si i 1Q K Kt P α 0, si i 1

=⎧ ⎫∂ ∂ ∂= = = ⎨ ⎬∂ ∂ ∂ ≠⎩ ⎭

, ya que K = α1.

Evidentemente, tienen como solución:

1 11

i ii

WQ t βα

WQ βα

∂⎧ ⎫= + ≡⎪ ⎪∂⎪ ⎪⎨ ⎬

∂⎪ ⎪= ≡⎪ ⎪∂⎩ ⎭

Obsérvense con atención los

subíndices!! Lo único que falta ya por hacer es relacionar α y β con

los valores iniciales de pi y qi, usando las mismas ecuaciones que en ejemplo de más arriba, evaluadas sabiendo que en las condiciones iniciales t=0.

Finalmente, como W no depende del tiempo tenemos

que:

i

i ii

i i i i

dqdW W pq , luego :dt q dt

W pq dt pdq

∂= =

∂

= =∫ ∫

i

i

Apliquemos esto a un sistema conocido: una partícula en un campo de fuerzas central. 5.4-. Ejemplos de separación de variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi

Se dice que la ecuación de Hamilton-Jacobi es

completamente separable, o abreviadamente, separable, si todas las coordenadas del sistema son separables. Entonces una solución S para la función principal de Hamilton será de la forma:

n

i i ii 1

S S (q;α ;t)=

= ∑ ,

que da lugar a "n" ecuaciones de Hamilton-Jacobi:

i i 1 2 n ii

SH(q;α ,α ,... ,...,α ;t) αq

∂=

∂.

A las constantes αi se les llama ahora constantes de

separación. Cada una de estas ecuaciones es una ecuación

diferencial de primer orden y por tanto su resolución será posible mediante cuadraturas, lo que resuelve el problema.

Hay que decir que la separabilidad de un sistema,

además de la naturaleza propia del mismo, depende de la elección de las coordenadas generalizadas. Por ejemplo, en un problema con fuerzas centrales, el sistema será separable en coordenadas polares cuando V = V(r), pero no en coordenadas cartesianas. Hay otros problemas, como el de los tres cuerpos, que no son separables en ningún sistema de coordenadas. Este es el motivo principal por el que se usan distintos sistemas de coordenadas en la Física: hacer más fácil la resolución de problemas.

Veamos finalmente un ejemplo en el que el potencial es de una forma particularmente sencilla: un campo de fuerzas central. Como ya se ha dicho antes, un sistema así es separable en coordenadas polares planas, ya que la órbita del movimiento se realiza en un plano. Por tanto, el sistema tiene dos grados de libertad, y la hamiltoniana es de la forma:

Paso 1-. Determinación del Hamiltoniano

2φ2

r 2

p1H (p ) V(r)2m r

= + + .

Como no aparece la coordenada φ, entonces es cíclica,

y por tanto su momento cinético conjugado pφ es constante. Sea αφ = pφ, de manera que la función característica de Hamilton W, una vez separada, va a ser de la forma:

Paso 2-. Formación de la ecuación característica de

Hamilton W y su uso en la ecuación de Hamilton-Jacobi -. W = W1(r) + αφψ,

Sustituyendo esta W en la ecuación de Hamilton-Jacobi

i 1i

WH H(q, ) αq

∂= =

∂:

2φ1

12

αW( )² 2mV(r) 2mαr r

∂+ + =

∂.

Se puede ya resolver esto para W, y queda:

2φ

1 φ2

αW dr 2m(α V) α φ

r= − − +∫ .

Ahora ya tenemos W en función de las nuevas variables. Entonces al usar las ecuaciones de la transformación para Qi obtenemos las ecuaciones del movimiento:

Paso 3-. Obtención de las nuevas coordenadas α1 y αφ

usando la función característica de Hamilton W como si fuera el Hamiltoniano.

11 1

φ2 2 2

φ φ1 2

dW mdrt βdα 2m(α V)

αdW drβ φdα r α

2m(α V)r

= + =−

= = −

− −

∫

∫

Si identificamos α1 = E, αφ = l, y recordamos también que βi = Qi, la primera de estas ecuaciones es la solución encontrada en el capítulo 3 del Goldstein para el problema de los dos cuerpos (ecuación 3-18, fuera de programa):

0

r

0 2r

2

drt[r ,r]2 l(E V )m 2mr

=

− −∫ .

Cuando disponemos que φ=θ, β2=θ0, y hacemos el

cambio de variable 1ur

= u, la segunda de estas ecuaciones nos

da la ecuación de la órbita (ecuación 3-37, fuera de programa):

0 02

2 2

duθ(u ,u) θ2mE 2mV u

l l

= −− −

∫ .

Para que quede aún más claro el proceso de separación

de variables, analicemos este mismo ejemplo sin dar por sentado que el movimiento se va a efectuar en un plano. Usaremos entonces coordenadas esféricas para reflejar el hecho de que el movimiento nos es, en principio, desconocido. En este sistema de coordenadas la hamiltoniana H y la función característica de Hamilton W tienen la forma:

22φ2 θ

r 2 2 2

r θ φ

pp1H (p )2m r r sen θ

W W (r) W (θ) W (φ)

= + +

= + +

Según se puede ver, en la hamiltoniana no aparece la

coordenada φ, por tanto esta coordenada es cíclica, y esto implica que pφ =αφ= cte, y entonces el sumando correspondiente a dicha componente es Wφ(φ) = αφφ.

Así que la ecuación de Hamilton-Jacobi, sabiendo ya

que i 1i

WH H(q, ) α Eq

∂= = =

∂, nos queda:

2φ2 2 2 2θr2

αWWr ( ) [( ) ] 2mr (E V(r)) 0r θ sen θ

∂∂+ + − − =

∂ ∂

Como cada sumando es función únicamente de una

variable, cada uno de ellos es igual a una constante. Por conveniencia, definimos como αθ² dicha constante. Esto es:

2φ2 2θ

θ 2

αWα [( ) ]θ sen θ

∂= +

∂,

y finalmente:

22 θr

2

αW( ) 2m(E V(r))r r

∂+ = −

∂.

Estas ecuaciones se pueden resolver para W,

obteniéndose Wr(r) y Wθ(θ) respectivamente, mediante cuadraturas, para posteriormente encontrar las ecuaciones del movimiento utilizando las ecuaciones de transformación.

Cada una de las tres constantes de integración

necesarias tiene su significado físico claro como consecuencia de los diversos teoremas o leyes de conservación:

-. α1 = H = E, como ya se había mencionado antes.

Obsérvese que la última ecuación es entonces una forma de enunciar el teorema de conservación de la energía.

-. φφ φ

Wα p

φ∂

= =∂

es el momento cinético alrededor del

eje polar, es decir, la tercera componente del momento angular Lz es constante.

-. 2φ2 2 2

θ θ 2

αα p l

sen θ= + = , es el cuadrado del módulo del

momento angular, que también es constante. Cuando se sustituyen los valores de pφ y de pθ en la

hamiltoniana se descubre que el movimiento se produce en un plano. Efectivamente:

2 2φ φ2 2

r θ2 2 2 2

22 θr 2

α α1 1H [p (α ) ]2m r sen θ r sen θ

α1 (p ).2m r

= + − +

= +

Es decir, el movimiento se describe únicamente con

dos coordenadas. Comparando esta hamiltoniana con la anterior, obtenida en el caso del uso de coordenadas polares planas, se puede identificar a αθ = pψ = l, el módulo del momento angular.

5.5-. Variables acción-ángulo para sistemas

con un grado de libertad Por la importancia que tiene en diversas ramas de la mecánica, veamos finalmente una transformación especial: es aquella en la que las coordenadas generalizadas van a ser, como el título del apartado indica, la acción J y el ángulo de fase φ. Como todo

sistema de referencia en que una de las coordenadas es un ángulo, el uso de esta pareja de variables será especialmente útil en el caso de sistemas que lleven asociados ejes de simetría. Se podría aducir que para conseguir esta ventaja ya disponemos de sistemas de referencia más conocidos, pero un vistazo al aspecto que presentaban las hamiltonianas de los ejemplos del capítulo 3 son suficientes, para convencer al más conservador, de las bondades de estas nuevas variables, como al final del apartado se podrá comprobar. Al igual que sucede en el resto de los capítulos, el entramado elemental necesario para poder atacar esta sección reside en aquella otra donde una vez domadas las transformaciones canónicas, encontrábamos algunas que parecían ayudar en la resolución de sistemas didácticos. Retomemos la senda abierta en la sección 5.2., e intentemos describir el comportamiento de un oscilador armónico bajo estas nuevas variables. Sin duda, parte del trabajo realizado allí será de utilidad ahora. Necesitaremos saber cómo es el hamiltoniano de un oscilador en una dimensión, así como las coordenadas tal y como quedaron en forma de esféricas, o de polares planas, si así se prefirió. También será necesario recordar la definición de la acción J, y de la del nuevo ángulo, φ.

Usando las expresiones de p, de q y de α ≡ H = E obtenidas en los pasos 3, 4 y 5 del apartado 5.2., es decir:

i

1H (p² m²ω²q²)2m

2mαq(α,β,t) sin(ωt β ')mω

p (α,β,t) 2mα cos(ωt β ')

= +

= +

= +

y de la definición de la variable acción J cuando el hamiltoniano se conserva, se deduce que:

2π

0

2mH(θ ωt β ') J pdq 2mHcosθ cosθdθmω

2H 2πcos²θdθ H J(H)ω ω

= + = =

= = =

∫ ∫∫

Por tanto el Hamiltoniano será:

ωJH( J)2π

= , y la frecuencia dφ H ων φdt J 2π

∂= = = =

∂

i.

Como vemos, el hamiltoniano es independiente de la coordenada φ, es decir, esta es una coordenada cíclica. Su momento asociado es entonces constante. La otra ecuación de Hamilton queda:

dJ HJ 0 J cte.dt φ

∂= = = ⇒ =

∂i

Es decir, para un sistema holónomo (conservativo), la acción se conserva en el tiempo.

Para encontrar las ecuaciones que transforman q y p en J y φ tenemos en cuenta que el ángulo φ se puede escribir como φ = ντ+β’ = (ωτ/2π)+β’, donde τ=1/T y β’ es el ángulo inicial. Sustituyendo esto y el valor de J encontrado más arriba, nos queda:

ωJ2m J2πq( J,φ) sin2πντ sin2π(φ β ')mω mωπωJ mωJp( J,φ) 2m cos2πντ cos2π(φ β ')2π π

= = +

= = +

6-. Epílogo

Como se ha podido comprobar, existe una formulación

de la mecánica más potente que la que pudo desarrollar Isaac Newton con los métodos matemáticos de los que se disponía en su época. Mientras que la formulación newtoniana hace hincapié en una representación euclidiana del mundo, y donde un punto material “posee” características propias de su estado, como la cantidad de movimiento, energía y momento angular, hemos pasado a trabajar en un espacio de fases, construcción matemática abstracta multidimensional donde el espacio euclidiano en el que se desarrollaba la mecánica newtoniana queda reducido a la proyección correspondiente a las coordenadas espaciales. Hemos pasado también de utilizar el álgebra vectorial, la geometría y los datos experimentales para encontrar una explicación de ciertas leyes naturales, a la deducción de estas mismas leyes a partir de los principios matemáticos simples que cumple una función escalar, que además es fácilmente definible. La lagrangiana se convierte entonces en una fuente de la cual, mediante las derivaciones respecto a la variable que nos interese, podemos obtener toda la

información que necesitemos. Yendo un escalón más arriba, la construcción del hamiltoniano requiere que una gran parte de la información física relativa a un sistema sea puesta en juego antes de determinar qué es lo que va a ocurrir a continuación. En este sentido, cada término que se añade al hamiltoniano debido a las posibles interacciones electromagnéticas o nucleares contribuirá en su medida a las ecuaciones del movimiento, incluso con sus propias variables, a las que se habrá de dar cabida en el espacio de las fases. Se evitan así engorrosos cálculos por separado, puesto que el uso de las coordenadas generalizadas y la formulación hamiltoniana hacen que el tratamiento para cada variable sea idéntico al de las demás.

Las constantes del movimiento surgen de manera natural cuando se sigue avanzando en la formulación hamiltoniana. La condición de separabilidad para las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que obliga a las funciones S y W surgidas del hamiltoniano desemboca en la inevitabilidad matemática de la aparición de estas constantes. La consecuencia que sigue a esto es que un problema concreto será más fácil de resolver cuantas más constantes del movimiento se hayan podido determinar, y la más deseable será en la que lo consigamos con todas.

Para alcanzar este objetivo, y ya que estamos tratando con coordenadas generalizadas, probamos con una transformación de coordenadas de las de toda la vida, teniendo en cuenta que en todo momento tenemos que efectuar isometrías, y por tanto tales transformaciones han de ser canónicas. La condición por todos conocida que ha de cumplir su determinante jacobiano se puede escribir de manera muy

compacta mediante los corchetes de Poisson, de forma que cuando intentamos transformar unas coordenadas (magnitudes), inevitablemente también transformamos el hamiltoniano, y tales corchetes no van a expresar sino la compatibilidad de las distintas constantes del movimiento con dicho hamiltoniano, es decir, si las magnitudes que queríamos transformar en constantes efectivamente lo han hecho.

Finalmente, la mecánica clásica no es capaz de describir correctamente, como es sabido, la complejidad del mundo cuántico. Sin embargo, la mecánica cuántica usará los conmutadores cuánticos, equivalentes a los corchetes de Poisson, para formular de una manera muy compacta las leyes de conservación y las ecuaciones del movimiento de aquellos sistemas a los que la mecánica clásica no llega. Como contrapartida, la invariancia de los corchetes de Poisson asegura que estas leyes cumplen con el principio de correspondencia, y serán válidas, y por tanto equivalentes, a las obtenidas por otros medios en la aproximación clásica.

Tirso Cano Navarro, Seneca Madrid, diciembre 2007