introducción a la lógica moderna

8/13/2019 Introduccin a la Lgica Moderna

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I N T R O D U C C I N

A L A L G I C A M O D E R N A

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ANDR S PEZ

INTRODUCC I N

A LA LG I CA MODERNA

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Primera edicin, mayo de 2007

Andrs Pez

Universidad de los Andes. Facultad de Ciencias Sociales,

Departamento de Filosofa

Telfonos: 3394949 / 3394999. Ext. 2530/2501Ediciones Uniandes

Carrera 1 N 19-27. Edificio AU 6Apartado Areo 4976

Bogot, D.C., ColombiaTelfonos: 3394949 - 3394999. Ext. 2181/ 2071 / 2099. Fax: ext. 2158Correo electrnico: [email protected] / [email protected]

ISBN: 978-958-695-272-9

Diagramacin electrnica: diter Estrategias Educativas Ltda.Bogot, D.C., [email protected]

Impresin: Corcas Editores Ltda.

Diseo de cubierta: Jos Miguel VargasEn la contraportada: De izquierda a derecha, Ludwig Wittgenstein, C. I. Lewis, Alonzo Church,Leopold Lwenheim, Charles Sanders Peirce, Gottlob Frege, Bertrand Russell,

Alfred North Whitehead, Saul Kripke, Kurt Gdel, Toralf Skolem y David Hilbert.

Impreso en Colombia / Printed in Colombia

Todos los derechos reservados. Esta publicacin no puede ser reproducida ni en su todoni en sus partes, ni registrada en o trasmitida por un sistema de recuperacin de informacin,

en ninguna forma o por ningn otro medio, sea mecnico, fotoqumico, electrnico,magntico, electroptico, por fotocopia o por cualquier otro,

sin el permiso previo por escrito de los editores.

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A Friederike

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Contenido

PREFACIO xiii

1. CONCEPTOSBSICOSDELALGICA 11.1 QUESLALGICA? 11.2 ENUNCIADOSYPROPOSICIONES 31.3 ARGUMENTOS 61.4 ARGUMENTOS INDUCTIVOS 101.5 SILOGISMOS CATEGRICOS 131.6 SORITES 171.7 SILOGISMOS HIPOTTICOS Y DISYUNTIVOS 191.8 PREMISAS NO AFIRMATIVAS 23

1.9 ENTIMEMAS 231.10 CONSISTENCIALGICADEUNCONJUNTO 261.11 VERDAD, FALSEDADYEQUIVALENCIALGICA 27

PRIMERAPARTELALGICAPROPOSICIONAL

2. INTRODUCCINALALGICAPROPOSICIONAL 31

2.1 LETRAS PROPOSICIONALES DELP 312.2 CONJUNCIN 332.3 DISYUNCIN 352.4 PUNTUACIN 362.5 NEGACIN 372.6 COMBINACIN DE CONECTORES LGICOS 382.7 CONDICIONALMATERIAL 412.8 BICONDICIONALMATERIAL 47

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P R E F A C I O

2.9 ENUNCIADOS CUANTIFICADOS 502.10 LASINTAXISDELP 53

3. SEMNTICADELLENGUAJELP 573.1 CONDICIONESDEVERDAD 573.2 TABLASDEVERDAD 593.3 TAUTOLOGAS, CONTRADICCIONES Y FRMULAS CONTINGENTES 623.4 EQUIVALENCIASEMNTICA 663.5 CONSISTENCIA SEMNTICA 683.6 VALIDEZEIMPLICACINSEMNTICA 703.7* LABARRADESHEFFERYLADAGADENICOD 79

4. RBOLESDEVERDADDELP 834.1 PROPIEDADES SEMNTICAS Y CONSISTENCIA SEMNTICA 834.2 LAESTRUCTURADEUNRBOLDEVERDAD 874.3 REGLASPARALACONJUNCIN, LADISYUNCINYLANEGACIN 924.4 REGLASPARAELCONDICIONALYELBICONDICIONAL 944.5 TAUTOLOGAS, CONTRADICCIONES Y FRMULAS INDETERMINADAS 1004.6 EQUIVALENCIASEMNTICA 1034.7 IMPLICACIN Y VALIDEZ SEMNTICA 105

5. DEDUCCINNATURALENLP 1095.1 LASREGLASDEDERIVACINDELSISTEMADEDEDUCCINNATURAL 1105.1.1 CONJUNCIN 1105.1.2 CONDICIONAL 1125.1.3 NEGACIN 1165.1.4 DISYUNCIN 1195.1.5 BICONDICIONAL 122

5.2 ESTRATEGIAS PARA CONSTRUIR DERIVACIONES 1245.3 CONCEPTOSBSICOS DEL SISTEMA DE DEDUCCIN NATURAL 130

5.3.1 DERIVABILIDADENSDN 1305.3.2 VALIDEZ 1315.3.3 TEOREMAS 1335.3.4 EQUIVALENCIA 1345.3.5 INCONSISTENCIA 135

5.4* SDN* 139

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SEGUNDAPARTE

LALGICADEPRIMERORDEN

6. INTRODUCCINALALGICADEPREDICADOS 1476.1 INTRODUCCININFORMALALC 148

6.1.1 TRMINOS SINGULARES 148

6.1.2 TRMINOSGENERALES 149

6.1.3 ENUNCIADOSSINGULARES 150

6.1.4 ENUNCIADOSGENERALES 152

6.2 INTRODUCCINFORMALALLENGUAJELC 153

6.3 SINTAXISFORMALDELC 162

6.4 ENUNCIADOSCATEGRICOS 168

6.5 ENUNCIADOSCATEGRICOSCOMPLEJOS 177

6.6 ENUNCIADOSCONCUANTIFICACINMLTIPLE 185

6.7* LAFORMANORMALPRENEXADEUNAFRMULADELC 193

6.8 LGICACUANTIFICADACONIDENTIDAD 200

6.9 DESCRIPCIONESDEFINIDAS 206

7. SEMNTICADELLENGUAJELC 212

7.1 LAVALUACINE INTERPRETACINDELASFRMULASDELC 213

7.1.1 ELUD 213

7.1.2 LA INTERPRETACINDELOSPREDICADOS 214

7.1.3 LA INTERPRETACINDELASCONSTANTES 217

7.1.4 VALUACIONESNO INTERPRETADAS 218

7.1.5 DEFINICINFORMALDEUNAVALUACIN 220

7.2 R EGLASDEVALUACINDELC 221

7.2.1 REGLASPARAFRMULASATMICAS 221

7.2.2 REGLASPARAFRMULASMOLECULARES 223

7.2.3 REGLAS PARA FRMULASCUANTIFICADAS 225

7.3 MODELOS 233

7.4 PROPIEDADESSEMNTICASDELASFRMULASDELC 239

7.5 EQUIVALENCIASEMNTICA 244

7.6 CONSISTENCIA SEMNTICA 247

7.7 VALIDEZE IMPLICACINSEMNTICA 249

7.8 SEMNTICAPARALCI 253

7.9* ELFRAGMENTOMONDICODELC 255

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P R E F A C I O

8. RBOLESDEVERDADDELC 263

8.1 REGLASDEDESCOMPOSICINDELOSCUANTIFICADORES 263

8.2 VALUACIONESENUNRBOLDEVERDAD 269

8.3 ELORDENDEDESCOMPOSICINDEUNRBOLDEVERDAD 2718.4 PROPIEDADESSEMNTICASYCONSISTENCIAENLC 274

8.5 ELPROBLEMADELOSRBOLES INFINITOS 282

8.6* RBOLESDEVERDADDELCI 288

9. DEDUCCINNATURALENLC 296

9.1 ELSISTEMADNC 296

9.1.1 ELIMINACINDELUNIVERSAL 296

9.1.2 INTRODUCCINDEL EXISTENCIAL 298

9.1.3 INTRODUCCINDELUNIVERSAL 3009.1.4 ELIMINACINDELEXISTENCIAL 303

9.2 CONCEPTOSBSICOSDEDNC 310

9.2.1 DERIVABILIDAD 310

9.2.2 VALIDEZ 312

9.2.3 TEOREMAS 314

9.2.4 EQUIVALENCIA 316

9.2.5 INCONSISTENCIA 318

9.3* ELSISTEMADNC* 321

9.4* ELSISTEMADNC

= 325

TERCERAPARTELALGICAMODALPROPOSICIONAL

10. INTRODUCCINALALGICAMODAL 331

10.1 ENUNCIADOSNECESARIOS, POSIBLESYCONTINGENTES 331

10.2 PROPIEDADESLGICASDELASMODALIDADES 336

10.3 MODALIDADESNOALTICAS 338

10.4 LOSAXIOMASDELALGICAMODALPROPOSICIONAL 34110.5 SEMNTICADELALGICAMODAL 346

10.5.1 SEMNTICALEIBNIZIANA 346

10.5.2 SEMNTICAKRIPKEANA 349

11. RBOLESDEVERDADMODALES 356

11.1 REGLASPARAELSISTEMAK 356

11.2 EXTENSIONESSIMPLESDEK 363

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P R E F A C I OC O N T E N I D O

11.2.1 ELSISTEMAT 363

11.2.2 ELSISTEMAKB 364

11.2.3 ELSISTEMAK4 366

11.2.4 ELSISTEMAD 367

11.3 EXTENSIONESCOMPUESTASDEK 370

11.3.1 ELSISTEMAB 370

11.3.2 ELSISTEMAS4 371

11.3.3 ELSISTEMAS5 372

12. DEDUCCINNATURALMODAL 375

12.1 ELSISTEMAT 375

12.2 LOSSISTEMASS4 YS5 385

APNDICE

RESPUESTASALOSEJERCICIOSPARES 389

BIBLIOGRAFA 523

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P R E F A C I O

Introduccin a la lgica moderna es un libro de texto dedicado al estudio de lalgica simblica elemental. No presupone familiaridad alguna con la lgica, las mate-mticas o la filosofa, y he hecho un esfuerzo deliberado por adaptarlo a los interesesde estudiantes provenientes de las ms diversas disciplinas. Al mismo tiempo, no heintentado ocultar las dificultades tcnicas y filosficas que hacen de la lgica un reade estudio interesante en s misma.

El libro est dividido en tres partes. La primera se ocupa de la lgica proposi-cional, la segunda de la lgica de primer orden y la tercera de la lgica modal propo-sicional. Los tres temas se estudian semnticamente utilizando rboles de verdad, ysintcticamente a travs de sistemas de deduccin natural. Al final de cada seccinhay numerosos ejercicios de prctica, la mitad de los cuales son resueltos en el apn-

dice. El texto est diseado para un curso de un ao de duracin y permite granflexibilidad en el diseo del mismo. Las secciones y los ejercicios marcados con unasterisco (*) contienen material que no es indispensable para la comprensin del temadel captulo correspondiente y su estudio depende de los intereses y necesidades delgrupo de estudiantes.

Este libro es el resultado de ms de una dcada dedicada a la enseanza de lalgica formal, inicialmente en el Queens College de The City University of New York,y durante los ltimos seis aos en la Universidad de los Andes en Bogot, Colombia.Los cientos de estudiantes que han utilizado los borradores de este texto han hecho

innumerables correcciones y contribuciones al mismo y con ellos tengo mi mayordeuda de gratitud. Durante los ltimos aos he tenido la fortuna de contar con lacolaboracin de Manuel de Zubira, quien ha ledo y corregido varias versiones dellibro durante el tiempo en que ha trabajado como mi asistente de docencia e investiga-cin. Ral Melndez y Vernica Muriel leyeron gran parte de los captulos y mesalvaron de varios errores vergonzosos.

El apoyo institucional en la Universidad de los Andes ha sido fundamental du-rante el largo proceso de escritura. Felipe Castaeda, director del Departamento de

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Filosofa, Carl Langebaek, decano de la Facultad de Ciencias Sociales, y lvaro Ca-macho, director del Centro de Estudios Socioculturales e Internacionales (CESO),apoyaron este proyecto desde el comienzo y sin su respaldo estas pginas no habran

llegado a ver la luz del da.Finalmente, quiero agradecerle a Jos Miguel Vargas el diseo de la portada y

a Csar Tovar su paciencia y dedicacin durante el difcil proceso de diagramacindel texto.

ANDRSPEZ

Bogot, mayo de 2007

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I N T R O D U C C I N A L A L G I C A M O D E R N A

Histricamente, dos preocupaciones concomitantes han guiado el desarrollo de la l-gica. Por una parte, desde la Antigedad los filsofos se han esforzado por estudiarlos principios y mtodos que nos permiten distinguir el razonamiento correcto del inco-rrecto. Por otra, el desarrollo de las matemticas y de la ciencia moderna ha hechonecesario buscar la formalizacin y sistematizacin de sus estructuras y de sus meca-nismos de prueba y corroboracin.

Sera incorrecto definir la lgica simplemente como el estudio del razonamien-to, pues lo que le interesa al lgico no es construir una teora acerca del procesoderazonamiento. ste es, ms bien, el propsito de la psicologa y de la ciencia cognitiva,

las cuales hacen un estudio descriptivode cmo pensamos, sin detenerse a juzgar silo hacemos correcta o incorrectamente. El lgico debe limitarse alproductopalpabledel razonamiento, el cual se expresa a travs de argumentos orales o escritos, y supropsito no es descriptivo sino normativo, al establecer reglas y principios para eva-luar estos argumentos.

El inters en determinar los cnones del razonamiento correcto encuentra suprimera manifestacin en la obra de Aristteles (384-322 A.C.). El filsofo griegoescribi seis tratados sobre el tema: Categoras, Sobre la interpretacin, Primerosanalticos, Analticos posteriores, Tpicos y Refutaciones sofsticas. La lgicaaristotlica est basada en la nocin de deduccin (sullogismus), que Aristteles

define de la siguiente manera:

Una deduccin es un discurso (logos) en el cual, suponiendo ciertascosas, resulta de necesidad otra cosa diferente de las cosas supuestasslo por haber sido stas supuestas (Primeros analticos24b18-20).

Cada una de las cosas supuestas es una premisa (prtasis) y lo que resulta denecesidad es la conclusin (sumprasma). El carcter necesario de la conexinentre las premisas y la conclusin es el elemento ms importante de la definicin: si

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suponemos que las premisas de una deduccin son verdaderas, es imposible que laconclusin sea falsa. El concepto de deduccin definido por Aristteles correspondehasta cierto punto al concepto moderno de validez lgica que estudiaremos en este

libro. En ambos casos lo que distingue el razonamiento correcto del incorrecto es lapreservacin de la verdad.

Durante el periodo helenstico, la lgica aristotlica fue opacada por la lgicaestoica, y en particular por las obras de Crisipo (280-207 A.C.), pero tras suredescubrimiento por parte de los comentaristas de finales de la Antigedad, la lgicade Aristteles recuper su posicin dominante. Los comentaristas agruparon los seistratados lgicos de Aristteles bajo el ttulo Organon(instrumento), un trmino queAristteles mismo nunca utiliz, y que refleja la forma en que los peripatticos inter-pretaron el papel de la lgica. A diferencia de los lgicos estoicos, que consideraban ala lgica como parte de la filosofa misma, los comentaristas de Aristteles vean elestudio de la lgica slo como una propedutica, una preparacin para el estudio de lafilosofa.

Durante ms de dos mil aos la lgica aristotlica fue considerada la nicalgica posible, y slo en el siglo XIX se hicieron evidentes sus limitaciones, en particu-lar, en sus aplicaciones en las matemticas. Gottlob Frege (1848-1925) y CharlesSanders Peirce (1839-1914) sentaron, independientemente, las bases para el desarro-llo de la lgica moderna. Sin embargo, la obra ms influyente en la historia tempranade la nueva lgica fue Principia Mathematica (1910-1913), escrita por BertrandRussell (1872-1970) y Alfred North Whitehead (1861-1947). El propsito de esta obra

era demostrar que la aritmtica puede ser reducida a la lgica, es decir, que cualquierverdad aritmtica puede ser expresada y probada en trminos puramente lgicos.Aunque el proyecto finalmente se enfrent a dificultades insalvables, su legado esindiscutible. En primer lugar, introdujo una notacin superior a la de Frege y Peirceque sac a la luz el poder expresivo de la lgica moderna. En segundo lugar, estimulel inters por el estudio de las propiedades de los sistemas formales, estudio queconducira al descubrimiento de resultados tericos tan importantes como el famosoTeorema de Gdel (1931). Finalmente, en la introduccin al libro Russell explor lasconexiones entre la nueva lgica y los problemas tradicionales de la metafsica y laepistemologa, develando sus aspectos ms interesantes desde un punto de vista filo-

sfico.La lgica se ha desarrollado ms rpidamente en los ltimos cien aos que

durante toda su historia anterior, y la lgica aristotlica slo constituye una parte me-nor de la lgica moderna. El sistema desarrollado por Whitehead y Russell se haconvertido en el sistema estndar, y es en ese sentido que se denomina lgica clsi-

ca, a pesar de tener una relacin muy tenue con la lgica de la Antigedad. Durantelos ltimos ochenta aos han aparecido mltiples sistemas lgicos que extienden lalgica clsica, o que intentan reemplazarla del todo, dando origen a lgicas no clsi-

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cas. En este libro nos limitaremos al estudio de la lgica clsica y de una de susextensiones, la lgica modal.

Comenzaremos nuestro estudio de la lgica introduciendo algunos de los trminosms importantes del vocabulario lgico. Generalmente los seres humanos razonamosy defendemos nuestras ideas utilizando oraciones declarativas, no oraciones interro-gativas, imperativas o exclamativas. Slo a travs de una oracin declarativa pode-mos decir algo que los dems pueden juzgar como verdadero o falso. Al formular unapregunta no estamos expresando algo verdadero o falso, y una orden nos puede pare-cer desagradable o inoportuna, pero nunca algo verdadero o falso. A aquellas oracio-nes que pueden ser utilizadas para decir algo verdadero o falso las llamaremos

enunciados. Los siguientes son ejemplos de enunciados:(1) Tres ms cinco es igual a nueve.

(2) El Everest es la montaa ms alta del mundo.

(3) Est lloviendo.

(4) Los elefantes vuelan.

Aunque generalmente hablamos de enunciados verdaderos o falsos, debemostener presente que los enunciados no son verdaderos o falsos en s mismos. La raznes que una y la misma oracin puede ser utilizada para expresar cosas completamente

diferentes dependiendo del hablante y del contexto espaciotemporal. Consideremos,por ejemplo, el enunciado:

(5) El presidente de Estados Unidos es hijo de un ex presidente.

Si alguien pronunci este enunciado en 1995, dijo algo falso, mientras que si lo pronun-ci en 2004, dijo algo verdadero. Del mismo modo, el enunciado:

(6) Yo soy profesor de filosofa.

es verdadero en boca de Jrgen Habermas y falso en boca de Fidel Castro.

Muchos filsofos han llamadoproposicionesa aquellas verdades o falsedadesque son expresadas por un enunciado. Segn este punto de vista, un mismo enunciadopuede expresar proposiciones diferentes, como en los ejemplos (5)y (6), y la mismaproposicin puede ser expresada utilizando enunciados diferentes, como en el siguien-te ejemplo:

(7) Martnez gan las elecciones.

(8) Las elecciones fueron ganadas por Martnez.

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Lo mismo ocurre con los siguientes tres enunciados:

(9) Snow is white.

(10) La nieve es blanca.(11) Schnee ist weiss.

Los enunciados (9), (10) y (11)afirman lo mismo. La verdad o falsedad de unaproposicin no depende del idioma al que pertenece el enunciado que la expresa.

El uso de las proposiciones ha sido cuestionado por varios filsofos que consi-deran que las proposiciones son entidades misteriosas de las cuales es mejor prescin-dir1. Es difcil decir qu es una proposicin. No son entidades lingsticas, pues nopertenecen a ningn lenguaje. Tampoco pueden ser entidades mentales, como ideas opensamientos, pues muchas proposiciones seguiran siendo verdaderas o falsas as no

hubiera vida inteligente en el universo. Algunos filsofos definen una proposicin comoun objeto abstracto con propiedades anlogas a las de los objetos matemticos. Peroesa definicin presenta varios inconvenientes. Por una parte, est el problema detratar de decir exactamente qu es un objeto abstracto, una tarea no desprovista dedificultades filosficas que no intentaremos resolver aqu. Por otra parte, si los enun-ciados expresan proposiciones, debemos preguntarnos cul es la relacin entre esosobjetos abstractos y los enunciados que utilizamos en la vida diaria. Cmo podemossaber cul proposicin abstracta est siendo expresada por un enunciado? Cmopodemos determinar que dos enunciados diferentes realmente expresan la misma

proposicin? As, aun si aceptramos que el verdadero objeto de la lgica es el estudiode las relaciones entre proposiciones, estas preguntas pondran en duda la utilidadprctica de la lgica. Cualquier razonamiento concreto debe partir necesariamente deuna serie de enunciados, y slo a partir de los enunciados es posible considerar lasproposiciones que stos expresan. Pero si no podemos conocer con certeza la rela-cin entre enunciados y proposiciones, nuestro anlisis lgico de los enunciados nopodr aplicarse sin ms a las proposiciones que stos expresan.

En la prctica, los lgicos tienden a ignorar la distincin entre enunciados yproposiciones. Si suponemos que cada enunciado es utilizado en un contexto biendefinido, es decir, por un hablante cuya identidad ha sido determinada y en circunstan-

cias espaciotemporales plenamente conocidas, se elimina la razn principal para esta-blecer una distincin entre enunciados y proposiciones, a saber, la variacin del valorde verdad de una oracin segn el contexto en el que sea utilizada.

Hay dos formas de interpretar lo que sucede cuando el contexto de un enuncia-do se define adecuadamente. Para los que defienden la existencia de las proposicio-

1. Para una discusin de los problemas filosficos en torno al concepto de proposicin desde puntos de vistaopuestos, vasePutnam (1971) y Quine (1973).

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nes, la definicin del contexto nos permite trasladar el valor de verdad de la proposi-cin al enunciado, y slo de ese modo es posible hablar de enunciados verdaderos ofalsos. Pero si uno desea evitar el uso de las proposiciones, en vez de decir que las

palabras verdadero y falso se aplican a las proposiciones o a los enunciados, sepuede afirmar que lo que propiamente se puede llamar verdadero o falso es el acto deemisin de un enunciado, es decir, la conjuncin de una oracin afirmativa, que es unaentidad lingstica, y su contexto pragmtico de emisin. Quine (1973), uno de loslgicos ms influyentes del siglo XX, ha propuesto que estos actos de emisin puedenser transformados en oraciones que incluyan informacin acerca de su contexto prag-mtico. As, en vez de decir: Est lloviendo, un enunciado cuyo valor de verdadpuede variar contextualmente, decimos: Est lloviendo en Bogot a la medianochedel 5 de abril de 2005 (el momento exacto en el que escribo estas lneas). A este tipode enunciados, Quine los llama oraciones eternas, y son ellas las que tienen lapropiedad de ser verdaderas o falsas.

La preferencia por alguna de las dos interpretaciones presentadas aqu estardeterminada por las convicciones filosficas del lector. El efecto prctico para elestudio de la lgica es que podemos concentrarnos exclusivamente en el estudio delos enunciados de nuestro lenguaje, y asignarle a stos las propiedades de verdad yfalsedad, siempre y cuando asumamos que el contexto de uso de cada enunciado hasido plenamente definido.

Dos aclaraciones finales son pertinentes. En primer lugar, cuando afirmamosque un enunciado posee cierta propiedad lgica, no le estamos asignando esa propie-

dad al enunciado en cuanto objeto fsico particular, es decir, en cuanto coleccin desonidos emitidos o manchas de tinta en un papel. Cada enunciado particular es unejemplarde un tipode oracin que se caracteriza por estar compuesta por las mis-mas palabras en el mismo orden y con la misma puntuacin. Por lo tanto, cuandohablamos de las propiedades lgicas de un enunciado, asumimos que esta propiedadse aplica a todos los ejemplares de ese tipo particular de enunciado. En segundo lugar,siempre debemos asumir que los enunciados que utilizamos son oraciones del espaol,nuestro lenguaje natural, tal y como es utilizado en el presente. Podra suceder queexactamente las mismas marcas en el papel o los mismos sonidos sean utilizados paraafirmar cosas enteramente distintas en diferentes momentos y en diferentes idiomas.

Por lo tanto, siempre debemos relativizar los enunciados que utilicemos a nuestracomunidad lingstica.

Siguiendo el uso tradicional, llamaremos al estudio lgico de las relaciones entreenunciados, lgica proposicional, sin que ello implique un compromiso del autor conla existencia de proposiciones.

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C A P T U L O 1

Indique cules de las siguientes oraciones son enunciados.

1. Dnde queda Samarcanda?2. No me vuelvas a llamar!

3. Beijing es una ciudad enorme.

4. Por favor cierra la puerta cuando salgas.

5. La autosuficiencia petrolera del pas slo durar cinco aos ms.

6. Quin va primero?

7. 4 + 6 = 10.

8. Este ejercicio es corto.

En el uso cotidiano, la palabra argumento se refiere a un razonamiento utilizadopara defender una tesis o para convencer a otros de la verdad de un enunciado.Generalmente decimos que la conclusin de un argumento se sigue de las premisas.En este texto partiremos de una definicin un poco ms amplia de la palabra:

Unargumentoes una secuencia finita de enunciados. El ltimo enun-ciado de la secuencia es laconclusin, mientras que los dems enuncia-dos son laspremisasdel argumento.

La definicin anterior no requiere que las premisas del argumento sean verdaderas, nisiquiera plausibles. Tampoco se requiere que haya relacin alguna entre las premisasy la conclusin, ni tampoco que el argumento pueda ser utilizado en la prctica. Porejemplo, los siguientes enunciados forman un argumento:

(12) Premisas: Mi dolor de cabeza es peor que mi dolor de muelas.

La estructura atmica del agua no es muy compleja.

Conclusin: En Tailandia los autos transitan por la izquierda.

El argumento anterior es un muy mal argumento, uno que nadie podra utilizar, pero esun argumento segn nuestra definicin. En gran medida, el estudio de la lgica consis-te en establecer qu es lo que distingue un buen argumento de uno que no lo es. Lossiguientes argumentos son ms cercanos a los utilizados en la vida diaria:

(13) Premisas: Todos los mamferos son vertebrados.

Algunas criaturas marinas son mamferos.

Conclusin: Algunas criaturas marinas son vertebradas.

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C A P T U L O 1

Este esquema siempre produce un razonamiento que preserva la verdad cuando lasletras A, B y C son reemplazadas por trminos generales que denotan conjun-tos o clases de cosas, como en el siguiente ejemplo:

(16) Todos los cirujanos plsticos son ricos.

Algunos mdicos son cirujanos plsticos.

Algunos mdicos son ricos.

A diferencia del argumento (13), en el que las premisas son de hecho verdaderas, eneste caso la primera premisa es cuestionable: no es cierto que absolutamente todos loscirujanos plsticos en el mundo sean ricos. Pero desde un punto de vista lgico, esirrelevante si la premisa es de hecho verdadera. La pregunta que debemos hacernoses: si las premisas fueran verdaderas, sera posible que la conclusin fuera falsa?

Tanto en el argumento (13)como en el (16)la respuesta es negativa. Por esa raznpodemos afirmar que el argumento (16)tambin es deductivamente vlido.

Consideremos otros dos argumentos que poseen esta misma forma lgica.

(17) Todos los peces son mamferos.

Algunos animales terrestres son peces.

Algunos animales terrestres son mamferos.

(18) Todos los bhos son sabios.

Algunos pjaros son bhos.

Algunos pjaros son sabios.

En el argumento (17), las dos premisas son falsas y la conclusin es verdadera. En el(18), una de las premisas y la conclusin son falsas. Pero aun as, los argumentos sondeductivamente vlidos porque, si asumimos contrafctica o hipotticamente que suspremisas son verdaderas, sera imposible que la conclusin fuera falsa.

Consideremos ahora un argumento con una forma lgica diferente:

(19) Todos los mamferos son vertebrados.

Algunas criaturas marinas son vertebradas.

Algunas criaturas marinas son mamferos.

El argumento es deductivamente invlido porque si asumimos la verdad de las premisas,no se garantiza la verdad de la conclusin. Supongamos que debido al calentamientoglobal, todos los mamferos del mar desaparecen. En tal caso, la conclusin del argu-mento sera falsa, pero seguira siendo cierto que todos los mamferos son vertebradosy que algunas criaturas marinas, como los peces, son vertebrados. Es decir, existe laposibilidad de que las premisas sean ciertas y la conclusin falsa. Por eso es un argu-mento deductivamente invlido. El argumento tiene la siguiente forma lgica:

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Todos losAsonB.

Algunos CsonB.

Algunos CsonA.

Reemplazando las letras A, B y C por trminos generales diferentes, obtene-mos el siguiente argumento, el cual es claramente invlido.

(20) Todos los pjaros tienen alas.

Algunos mamferos tienen alas.

Algunos mamferos son pjaros.

Por otra parte, el hecho de que toda la informacin contenida en un argumentosea de hecho cierta no afecta la validez o invalidez del mismo. Por ejemplo, el siguien-

te argumento es deductivamente invlido segn nuestra definicin a pesar de quetanto las premisas como la conclusin son de hecho verdaderas:

(21) Todos los quiteos viven en la capital de Ecuador.

Todos los bogotanos viven en la capital de Colombia.

Todos los caraqueos viven en la capital de Venezuela.

Todos los limeos viven en la capital de Per.

El problema reside en que es posible que los peruanos decidan cambiar de capital, asQuito siga siendo la capital de Ecuador, Bogot la de Colombia y Caracas la de Vene-

zuela. Es decir, es posible que las premisas sean ciertas y la conclusin falsa.La validez deductiva de un argumento generalmente no es suficiente para que

ste sea aceptado. Para poder defender adecuadamente una conclusin se necesitano slo que el argumento sea deductivamente vlido, sino tambin que las premisas orazones aducidas en su defensa sean de hecho verdaderas. Cuando esto ocurre,decimos que el argumento es deductivamente consistente:

Un argumento esdeductivamente consistentesi y slo si es deductiva-mente vlido y todas sus premisas son verdaderas. Esdeductivamenteinconsistenteen caso contrario.

Puede ocurrir que un argumento deductivamente vlido tenga una o ms premisasfalsas que pueden ser eliminadas sin afectar la validez del mismo. Por eso, antes dedesechar un argumento vlido pero deductivamente inconsistente, se debe examinarsi las premisas falsas son necesarias para su validez.

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Aunque sera deseable que todos los argumentos que utilizamos fueran deductiva-mente vlidos, en la mayora de los casos no contamos con evidencia suficiente oadecuada para garantizar la verdad de las afirmaciones que hacemos. Tan slo enlas ciencias formales, y quizs en la filosofa, es posible utilizar argumentos deduc-tivamente vlidos como base de las conclusiones obtenidas, pero en todas las cien-cias naturales y sociales debemos admitir siempre la posibilidad de que lasconclusiones basadas en la evidencia reunida a travs de la experiencia resulten serequivocadas. A pesar de eso, no se puede decir tampoco que la evidencia con la quecontamos carezca de valor. Un buen argumento puede aumentar en un alto grado laprobabilidad de que la conclusin sea verdadera. En tales casos decimos que el argu-mento es inductivamente fuerte:

Un argumento es inductivamente fuerte si y slo si su conclusin esaltamente probable dada la verdad de las premisas.

La fuerza de un argumento inductivo es una cuestin de grado. Al aadirle o quitarlepremisas a un argumento inductivo podemos alterar la probabilidad de que su conclu-sin sea verdadera. Esto no ocurre en el caso de los argumentos deductivos, en loscuales la validez del argumento no se ve afectada por la adicin de ms premisas. Porejemplo, el siguiente argumento es deductivamente vlido:

(22) Todos los hombres son mortales.Los griegos son hombres.

Los griegos son mortales.

Su validez no se ve afectada si agregamos una premisa adicional:

(23) La cabra salt sobre la luna.

Todos los hombres son mortales.

Los griegos son hombres.


El argumento sigue siendo deductivamente vlido incluso si le agregamos premisasque contradigan las premisas originales:

(24) Ningn hombre es mortal.

Todos los hombres son mortales.

Los griegos son hombres.


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Como veremos ms adelante, de una contradiccin lgica es posible deducir cualquiercosa. Por lo tanto, un argumento deductivo cuyas premisas sean contradictorias siem-pre ser vlido, pero carecer de cualquier utilidad.

En resumen, un argumento deductivo sigue siendo vlido sin importar qu msest sucediendo en el mundo. No sucede lo mismo con un argumento inductivo. Con-sideremos el siguiente ejemplo:

(25) La mayora de los jardineros carece de estudios universitarios.Ludwig es un jardinero.

[0.9]Ludwig carece de estudios universitarios.

Las dos lneas que separan a las premisas de la conclusin indican que se trata de unargumento inductivo y el nmero entre corchetes indica el grado de probabilidad quelas premisas le confieren a la conclusin, que puede ser cualquier nmero entre 0 y 1inclusive2. Observemos ahora lo que sucede cuando aadimos ms informacin:

(26) La mayora de los jardineros carece de estudios universitarios.

Ludwig es un jardinero.

Ludwig escribi uno de los libros ms influyentes en la historia dela filosofa.

Ludwig pertenece a una de las familias ms ricas de Viena.[0.1]

Ludwig carece de estudios universitarios.

El grado de probabilidad que el nuevo conjunto de premisas le confiere a la conclusines muy bajo. Si aadiramos ms informacin, el grado de probabilidad podra bajaran ms, o quizs subir un poco. El punto fundamental es que la fortaleza de unargumento inductivo siempre depender de la informacin de la que dispongamos, opor decirlo en trminos filosficos, de nuestra situacin epistmica.

Los argumentos por analogay los argumentos causalesnos proporcionanlos ejemplos ms claros de razonamientos inductivos3. En un argumento por analoga,hacemos una afirmacin acerca de un evento o de un objeto a partir de su similitud

con otros eventos u objetos que hemos experimentado en el pasado. Los siguientesson ejemplos informales de argumentos por analoga:

(27) En todas las clases que he tomado con el profesor Vargas, los exmeneshan sido de escogencia mltiple. Por lo tanto, en la prxima clase que tomecon el profesor Vargas los exmenes sern de escogencia mltiple.

2. Estas convenciones fueron propuestas por Hempel (1965).

3. En Un sistema de lgica, John Stuart Mill (1806-1873) propuso los mtodos de inferencia inductiva msconocidos, los cuales combinan argumentos analgicos y causales.

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(28) Un mdico concluye que el mejor tratamiento para los sntomas de la seoraChvez es la droga X porque esta droga ha tenido un efecto benfico entodos los pacientes con los mismos sntomas.

En ninguno de los dos argumentos las premisas garantizan que la conclusin sea ver-dadera: el profesor Vargas puede decidir cambiar el formato de sus exmenes, y ladroga X puede no ser efectiva en el caso de la seora Chvez. Sin embargo, la infor-macin proporcionada en las premisas nos da pie para pensar que la conclusin escierta. En trminos generales, un argumento analgico tiene la siguiente estructura.Partimos de cierta informacin conocida:

Un objeto o eventoxtiene las caractersticasABCD

Un objeto o eventoytiene las caractersticasABCD

Ahora consideramos una caracterstica E que xposee, pero que no sabemos si ytambin posee. Dadas las similitudes iniciales entrexyy, concluimos queyprobable-mente tambin posee la caracterstica E.

En los argumentos causales, la causa es inferida a partir de su efecto, o elefecto es inferido a partir de su causa. Pero en cada uno de estos casos la palabracausa es usada de manera diferente. Una causa puede ser entendida como unfactor necesario para la ocurrencia de un fenmeno, un factor sin el cual el fenmenono habra ocurrido. El oxgeno es unacausa necesariadel fuego, pues no ocurre ensu ausencia. Pero una causa tambin puede ser entendida como un factor que es

suficiente por s solo para que ocurra un fenmeno. La ingestin de un kilo de plutonioes causa suficientede una muerte desagradable, pero no es una causa necesariaporque existen muchas otras cosas que podran causar una muerte desagradable.

Para poder inferir una causa a partir de su efecto, la causa debe ser una causanecesaria, como en el siguiente ejemplo:

(29) Un profesor descubre que el ensayo de diez pginas entregado por uno desus estudiantes es idntico a un texto famoso de un autor argentino. Elprofesor concluye que el estudiante copi su ensayo porque sa es la nicacausa posible de tamaa coincidencia.

Y para poder inferir un efecto a partir de su causa, la causa debe ser una causasuficiente, como en el siguiente ejemplo:

(30) Un bilogo sella hermticamente un recipiente que contiene bacteriasaerbicas. Despus de una semana, y antes de abrir el recipiente, el bilogoconcluye que todas las bacterias aerbicas estn muertas.

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El efecto, la muerte de todas las bacterias aerbicas, es inferido a partir de una de lascausas suficientes de su muerte.

Aunque sea comn caracterizar la relacin causal en trminos de suficiencia y

necesidad, no existe ninguna forma de probar que las leyes causales implcitas en estetipo de argumentos sean verdaderas. La razn es que la relacin de causa y efecto noes una relacin lgica que pueda ser descubierta a priori. Las leyes causales sondescubiertas a travs de la experiencia, a partir de un nmero limitado de observacio-nes, y no existe ninguna garanta de que lo que se ha observado en esos casos serepita en aquellos casos anlogos que no han sido observados4.

Al igual que en el caso de los argumentos deductivos, en los cuales la validezdel argumento debe ser complementada con la verdad de las premisas, en el caso delos argumentos inductivos no basta con mostrar que un argumento es inductivamentefuerte. Para que sea aceptable, un argumento inductivo fuerte debe tener premisasverdaderas:

Un argumento es unargumento inductivoconsistentesi y slo si es unargumento inductivo fuerte y sus premisas son verdaderas.

Unsilogismoes un argumento deductivo en el que la conclusin se infiere de dos

premisas. Unsilogismo categricoes aqul en el que las premisas y la conclusinson enunciados categricos. Y un enunciado categricoes aqul que afirma o niegaque una clase, conjunto o categora de cosas est incluida en otra clase, conjunto ocategora, total o parcialmente. Por ejemplo, el enunciado: Todos los pintores fumanafirma la inclusin total de la clase de los pintores en la clase de los fumadores.

En general, existen cuatro formas en que una clase puede o no estar incluidaen otra:

1. Si todos los miembros de una clase son tambin miembros de la segunda,decimos que la primera est incluida en la segunda.

Ejemplo: Todos los toreros son vegetarianos.2. Si al menos un miembro de la primera clase es tambin miembro de la

segunda, decimos que la primera est parcialmente incluida en la segunda.

Ejemplo: Algunos toreros son vegetarianos.

4. El filsofo escocs David Hume (1711-1776) fue el primer filsofo moderno en formular claramente esteproblema en el Tratado de la naturaleza humana (1739).

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3. Si las dos clases no tienen ningn miembro en comn, las dos clases seexcluyen mutuamente.

Ejemplo: Ningn torero es vegetariano.

4. Si al menos un miembro de la primera clase no es miembro de la segunda,decimos que la primera est parcialmente excluida de la segunda.

Ejemplo: Algunos toreros no son vegetarianos.

El enunciado que expresa el primer tipo de relacin es universal afirmativo,mientras que el segundo es particular afirmativo. El enunciado: Algunos torerosson vegetarianos expresa la inclusin parcial de la clase de los toreros en la clase delos vegetarianos, pero el enunciado ni afirma ni niega su inclusin total. En algunoscontextos el enunciado tiene la connotacin de que no todos los toreros son vegetaria-

nos, slo algunos. Pero estrictamente hablando, lo nico que el segundo enunciadoafirma es que las dos clases tienen al menos un miembro en comn. Esa interpreta-cin estricta es la que adoptaremos. El tercer enunciado esuniversal negativo. Fi-nalmente, el cuarto enunciado esparticular negativo. Al igual que en el caso anterior,el enunciado ni niega ni afirma la exclusin total de las dos clases. Se limita tan slo aafirmar que al menos un miembro de la primera clase no est incluido en la segunda.

Dentro de la tradicin aristotlica, los cuatro tipos de enunciados se organiza-ron en un cuadro de oposiciones de la siguiente manera:

Todos losAsonB contrarios NingnAesBA Econtradictorios

subalternacin subalternacin

AlgunosAsonB subcontrarios AlgunosAno sonBI O

Las letras A e I se le asignan a los enunciados afirmativos, mientras Ey Oa losnegativos. Las letras corresponden a las primeras dos vocales en las palabras latinasaffirmoy nego. Los enunciados tipo Ay O, al igual que las de tipo Iy Esoncontra-

dictorios entre s porque es imposible que tengan el mismo valor de verdad. Porejemplo, si es cierto que Todos los toreros son vegetarianos, debe ser falso necesa-riamente que Algunos toreros no son vegetarianos. Y si es falso que Todos lostoreros son vegetarianos, debe ser cierto que Algunos toreros no son vegetaria-nos. Los dos enunciados siempre tendrn valores de verdad opuestos. Lo mismo

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ocurre en el caso de los enunciados Ningn torero es vegetariano y Algunos tore-ros son vegetarianos.

Los enunciados tipo Ay Esoncontrariosporque no es posible que los dos sean

verdaderos al mismo tiempo, aunque ambos pueden ser falsos5. Retomando el ejem-plo de los toreros, es imposible que los enunciados Todos los toreros son vegetaria-nos y Ningn torero es vegetariano sean ambos ciertos, pero es perfectamenteposible que ambos sean falsos. Algunos toreros comen carne y otros no.

Por otra parte, los enunciados tipo Iy Osonsubcontrariosporque no es posi-ble que los dos sean falsos al mismo tiempo, aunque ambos pueden ser verdaderos6.Los enunciados Algunos toreros son vegetarianos y Algunos toreros no son vege-tarianos pueden ser ambos verdaderos, pero es imposible que ambos sean falsos.

Finalmente, en la tradicin aristotlica la relacin entre los enunciados tipo Ae

I,y entre los enunciados tipo Ey O, era denominadasubalternacin. Los enuncia-dos universales eran llamadossuperalternosy los enunciados particularessubalter-nos. Un enunciado superalterno implica su respectivo enunciado subalterno, pero noal contrario. Es decir, si la afirmacin o la negacin universal es verdadera, la respec-tiva afirmacin o negacin particular tambin debe serlo; pero si el enunciado particu-lar es verdadero, no es permisible universalizarlo7.

Los enunciados categricos eran utilizados en la lgica aristotlica para la cons-truccin de silogismos. Un silogismo categrico relaciona exactamente tres clases otrminos, y cada trmino aparece exactamente en dos de los tres enunciados. Consi-deremos el siguiente ejemplo:

(31) Ningn espaol es protestante.

Algunos toreros son protestantes.

Algunos toreros no son espaoles.

El trmino espaoles que aparece como predicado de la conclusin se denominatrmino mayor. El trmino toreros que aparece como el sujeto de la conclusin sedenominatrmino menor. Y el trmino protestante, que no aparece en la conclu-sin, es eltrmino medio. La premisa que contiene el trmino mayor se denomina

5. Esta afirmacin no es correcta cuando alguno de los dos enunciados es una verdad necesaria, es decir, unenunciado que no puede ser falso, tal como Todos los tringulos son polgonos. Los enunciados de este tipono tienen enunciados contrarios. En lo que sigue asumiremos que ninguno de los enunciados es una verdadnecesaria.

6. Esta afirmacin no es correcta cuando uno de los enunciados es una falsedad necesaria, es decir, unenunciado que no puede ser verdadero, tal como Algunos crculos son cuadrados. Los enunciados de este tipono tienen enunciados subcontrarios. En lo que sigue asumiremos que ninguno de los enunciados es una falsedadnecesaria.

7. En el captulo 6 veremos que las relaciones de contrariedad, subcontrariedad y subalternacin slo secumplen en la lgica aristotlica, mas no en la lgica moderna.

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premisa mayor, y la que contiene el trmino menor, premisa menor. Los trminosmayor y menor no pueden aparecer en la misma premisa. La premisa mayor siemprese escribe primero. Cuando un silogismo categrico cumple las condiciones anteriores

decimos que est escrito en forma estndar.Estas condiciones no determinan completamente cmo debemos organizar el

silogismo porque existen cuatro formas de organizar el trmino medio. Un silogismopuede tener cuatro figurasdiferentes:

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

M P P M M P P MS M S M M S M SS P S P S P S P

M denota el trmino medio del silogismo, y S y P al sujeto y predicado de laconclusin, respectivamente.

Utilizando las letras asignadas a cada tipo de enunciado categrico, podemosidentificar fcilmente la estructura de un silogismo con una secuencia de tres letras.Por ejemplo, en el silogismo (31), la premisa mayor es de forma E, la premisa menores de forma I, y la conclusin es un enunciado de tipo O. Por lo tanto su estructura sepuede representar como EIO. A esta secuencia se le denomina el mododel silogis-mo. En total, existen 64 modos posibles. Si tenemos en cuenta las cuatro figuras delsilogismo, tenemos que hay 256 formas diferentes de silogismos categricos. Natural-

mente, slo algunos de ellos son lgicamente vlidos. Su validez depende tanto de suforma como de su figura.

La siguiente lista nos indica cules son los silogismos lgicamente vlidos den-tro de la lgica aristotlica:

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

AAA EAE IAI AEEEAE AEE AII IAIAII EIO OAO EIOEIO AOO EIO AEO

AAI AEO AAI EAOEAO EAO EAO AAI

Durante la Edad Media, los lgicos asociaron palabras en latn con las secuen-cias de letras que designan el modo del silogismo para que les fuera ms fcil recordarcules eran lgicamente vlidos. Por ejemplo, el silogismo que consiste de tres enun-ciados tipo Ase asoci con la palabra bArbArA, y el que consiste de enunciados tiposE, Ay Econ la palabra cElArEnt. Y para recordar bajo cul figuras eran vlidos, losorganizaron en forma de poema, de la siguiente manera:

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Barbara, Celarent, Darii, Ferioque prioris;

Cesare, Camestres, Festino, Baroco secundae;

Tertia, Darapti, Disamis, Datisi, Felapton,

Bocardo, Ferison, habet; quarta insuper addit

Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.

Al poema le faltan cinco de las formas listadas anteriormente. La razn es que loslgicos medievales las consideraban formas dbiles, es decir, formas en las que seobtiene una conclusin a partir de premisas que permitiran obtener una conclusinms fuerte. Por ejemplo, en la figura 1 se excluye a AAI a favor de AAA.

En muchas ocasiones, la informacin de la que disponemos no nos permite obtenerla conclusin deseada utilizando un solo silogismo categrico, y se requiere dividir elrazonamiento en dos o ms pasos. Consideremos, por ejemplo, los siguientes enun-ciados:

Todos los cantantes de rock tienen el pelo largo.

Algunos evanglicos son cantantes de rock.

Todos los evanglicos creen en Dios.

No es posible deducir de estos enunciados, por medio de un solo silogismo, que:

Algunas personas que creen en Dios tienen el pelo largo.

Se requiere dividir la deduccin en los siguientes dos silogismos:

(32) Todos los cantantes de rock tienen el pelo largo.

Algunos evanglicos son cantantes de rock.

Algunos evanglicos tienen el pelo largo.

(33) Algunos evanglicos tienen el pelo largo.

Todos los evanglicos creen en Dios.

Algunas personas que creen en Dios tienen el pelo largo.

La conclusin del silogismo (32)se convierte en una de las premisas del silogismo(33). De este modo tenemos dos silogismos vlidos, que tomados en conjunto arrojanla conclusin deseada.

Cuando en un argumento deductivo slo se incluyen las premisas y la conclu-sin sin hacer explcitos los eslabones de la cadena silogstica, el argumento resultantese denomina un sorites. Un sorites puede tener cualquier nmero de premisas, y en

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un argumento extenso los silogismos que forman la cadena pueden ser numerosos. Elsiguiente ejemplo de un sorites es tomado de libroLgica simblicade Lewis Carroll,el autor de Alicia en el pas de las maravillas8.

Los bebs son ilgicos.

Nadie que pueda dominar un cocodrilo es despreciado.

Las personas ilgicas son despreciadas.

Por lo tanto, los bebs no pueden dominar cocodrilos.

(34) Las personas ilgicas son despreciadas.

Los bebs son ilgicos.

Los bebs son despreciados.

(35) Nadie que pueda dominar un cocodrilo es despreciado.Los bebs son despreciados.

Los bebs no pueden dominar cocodrilos.

En las siguientes listas de enunciados, los tres primeros son las premisas de un sorites,y el cuarto la conclusin. El propsito del ejercicio es encontrar los dos silogismos deque consiste el sorites. Una vez construidos los silogismos, se debe indicar su modo yfigura. Todos los ejemplos, con ligeras variaciones, son tomados deLgica simblica

de Lewis Carroll (1977: 160-162).

1. Todos los oficiales bailan el vals.

Ningn pato baila el vals.

Todas mis aves son patos.

Ninguna de mis aves es un oficial.

2. Todos los que leen el Timesson educados.

Ningn topo puede leer.

Todos los que son educados pueden leer.

Ningn topo lee el Times.

8. Lewis Carroll (1832-1898) fue profesor de matemticas en Oxford. Su tratado de lgica fue escrito dentrode la tradicin aristotlica y no constituye una contribucin importante a la historia de la lgica moderna. Sinembargo, sus extraos silogismos, y los enigmas lgicos y filosficos presentes en sus historias, han sidoutilizados en la enseanza de la lgica y la filosofa desde el siglo XIX.

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3. Todos los picaflores son multicolores.

Ningn pjaro grande vive del nctar.

Todos los pjaros multicolores viven del nctar.

Ningn picaflor es grande.

4. Ninguna de las cosas rotas en esta repisa puede contener agua.

Todos los objetos antiguos en esta repisa estn rotos.

Todos los jarros en esta repisa son objetos antiguos.

Ningn jarro en la repisa puede contener agua.

5. Todas las frutas saludables estn maduras.

Todas estas manzanas son saludables.

Ninguna fruta que haya crecido en la sombra est madura.

Estas manzanas no crecieron en la sombra.

6. Las flores de colores siempre tienen aroma.

Todas las flores que me placen crecen al aire libre.

Todas las flores que crecen al aire libre tienen color.

Todas las flores que me placen tienen aroma.

Adems de los silogismos categricos que hemos estudiado en las dos seccionesanteriores, existen silogismos cuyas premisas contienen enunciados compuestos, esdecir, enunciados que contienen ms de una afirmacin o negacin. En los captulossiguientes nos ocuparemos en ms detalle de este tipo de enunciados; aqu slo losexplicar brevemente para mostrar cmo pueden ser utilizados en la construccin desilogismos no aristotlicos.

Existen varias formas de combinar enunciados para formar enunciados com-puestos. La ms sencilla de ellas es afirmar simultneamente dos enunciados:

(36) Mariana toca el violn y Pedro toca el piano.

Este enunciado compuesto est constituido por la conjuncin de dos enunciados:Mariana toca el violn y Pedro toca el piano. El enunciado compuesto afirma laverdad de los dos enunciados, y por ello la falsedad de uno de ellos entraa la falsedadde la conjuncin. En trminos generales, el valor de verdad de un enunciado compuestosiempre depende de los valores de verdad asignados a los enunciados que lo componen.

Existen otros enunciados compuestos en los que no se afirma la verdad deninguno de los enunciados incluidos, como en el siguiente ejemplo:

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(37) Mariana va al mercado los martes o los mircoles.

En este enunciado compuesto ninguno de los dos enunciados incluidos Mariana vaal mercado los martes y Mariana va al mercado los mircoles es afirmado. Lo

nico que se afirma es ladisyuncinde los dos enunciados, es decir, se afirma que almenos uno de ellos debe ser verdadero, pero no se afirma cul de ellos lo es. Elenunciado ser verdadero si slo uno de los enunciados es falso o si ambos enuncia-dos son verdaderos: desde un punto de vista lgico, la verdad de uno de los enunciadosque forman una disyuncin no excluye la verdad del otro.

De la misma manera, existen enunciados hipotticosocondicionalesen losque ninguno de los dos enunciados es afirmado, sino que ms bien se establece unarelacin de dependencia lgica entre ellos. Consideremos el siguiente ejemplo:

(38) Si no pagas impuestos, no tienes derecho a quejarte por el estado de las calles.

El enunciado compuesto no implica que la persona a quien va dirigida la frase nopague sus impuestos, ni tampoco que haya perdido el derecho a quejarse. Lo nicoque se afirma es que existe una relacin condicional entre los dos enunciados: si escierto que la persona en cuestin no paga impuestos, entonces debe ser cierto que esapersona no tiene derecho a quejarse, y esta relacin es verdadera incluso si los dosenunciados son de hecho falsos.

Finalmente, existen enunciados doblemente hipotticos, o bicondicionales,que son simplemente la conjuncin de dos enunciados condicionales. Por ejemplo, el

enunciado:

(39) Un nmero es par si y slo si no es impar.

es la conjuncin de los enunciados: Si un nmero es par, no es impar y Si unnmero no es impar, es par. Ninguno de los dos enunciados condicionales afirma laverdad o falsedad de los enunciados que lo constituyen porque no estamos hablando deningn nmero en particular. Pero el enunciado bicondicional s afirma la verdad de losdos enunciados condicionales que lo constituyen. Por esa razn, los enunciados un n-mero es par y un nmero no es impar deben ser ambos verdaderos o ambos falsos.

Los enunciados compuestos pueden servir de base para la construccin deciertos tipos de silogismos deductivamente vlidos. Cada tipo de silogismo deriva sunombre del tipo de enunciado en el que est basado. Los dos tipos ms usados son elsilogismo disyuntivo y el silogismo hipottico o condicional. Comencemos con elsilo-

gismo disyuntivo. En el siguiente ejemplo, la primera premisa es una disyuncin:

(40) O el canario se escap o se lo comi el gato.

El canario no se escap.

Se lo comi el gato.

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La primera premisa afirma que al menos uno de los dos enunciados que componen ladisyuncin es verdadero. Como la segunda premisa afirma que el primero de estosenunciados es falso, nos vemos obligados a concluir que el segundo enunciado es

verdadero. El siguiente silogismo, sin embargo, no es vlido:

(41) O el canario se escap o se lo comi el gato.

El canario se escap.

No se lo comi el gato.

El afirmar la verdad de uno de los dos enunciados que conforman la disyuncin no nospermite afirmar absolutamente nada acerca del segundo enunciado. Es perfectamen-te posible que el canario haya escapado y el gato se lo haya comido en el jardn. Comovimos anteriormente, la verdad de uno de los enunciados que forman una disyuncin

no excluye la verdad del otro. Sin embargo, el siguiente ejemplo parece contradecir loanteriormente dicho:

(42) Fernanda est en Cali o en Medelln.

Fernanda est en Cali.

Fernanda no est en Medelln.

Aunque el silogismo parece ser vlido, en realidad se trata de un argumento incomple-to. La conclusin depende de la siguiente premisa, que se asume tcitamente: Fernandano puede estar tanto en Cali como en Medelln. Este enunciado se puede expresar en

forma disyuntiva como: Fernanda no est en Cali o no est en Medelln. Con estanueva premisa, es posible construir el siguiente argumento:

(43) Fernanda no est en Cali o no est en Medelln.



El silogismo (43)tiene la misma estructura del (40)y es deductivamente vlido. Lapremisa Fernanda est en Cali o en Medelln no es necesaria para obtener la con-clusin, pero si queremos preservar el sentido original del argumento, podemos cons-

truir el siguiente argumento9

:(44) Fernanda no est en Cali o no est en Medelln.

Fernanda est en Cali o en Medelln.



9. Como el silogismo (43) es deductivamente vlido, podemos agregarle cualquier premisa sin afectar suvalidez. Sin embargo, el argumento resultante no es un silogismo porque tiene ms de dos premisas.

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Unsilogismo hipottico, por otra parte, contiene al menos un enunciado hipo-ttico o condicional, como en el siguiente ejemplo:

(45) Si Esteban pasa el examen mdico, lo contratarn en el Barcelona.Si lo contratan en el Barcelona, podr comprarle una casa a su mam.

Si Esteban pasa el examen mdico, podr comprarle una casa a su mam.

En el anterior silogismo se combinan dos enunciados condicionales. Tambin es posi-ble combinar un enunciado condicional con un enunciado no condicional:

(46) Si sigue lloviendo, vamos a perder la cosecha de maz.

No para de llover.

Vamos a perder la cosecha de maz.

La primera premisa afirma que si la condicin se cumple, la consecuencia se debecumplir tambin. La segunda premisa nos confirma que la condicin se cumpli, locual nos lleva a concluir que la consecuencia tiene que ser cierta.

El primer tipo de argumento es unsilogismo hipottico puro, mientras que elsegundo, que contiene un enunciado condicional y uno no condicional, es unsilogismo

hipottico mixto. Cuando un silogismo hipottico mixto tiene la forma del argumento(46), se dice que est enmodus ponens (la palabraponensviene del latn ponere,que significa afirmar). Es importante no confundir un argumento en modus ponenscon un argumento como el siguiente:

(47) Si el examen estaba difcil, la mitad de la clase lo perdi.

La mitad de la clase perdi el examen.

El examen estaba difcil.

Este argumento es una falacia conocida como afirmar el consecuente. El hecho deque se cumpla la consecuencia que hace parte del enunciado condicional no implicaque la condicin tambin se haya cumplido. La mitad de la clase pudo haber perdido elexamen simplemente por no haber estudiado.

Otra forma vlida del silogismo hipottico mixto es aqul que est enmodus

tollens(la palabra latina tollenssignifica negar). Veamos el siguiente ejemplo:

(48) Si la sustancia contiene sulfuro, la llama de un mechero Bunsen se tornaramarilla al entrar en contacto con ella.

La llama del mechero no se torn amarilla al entrar en contacto con la sustancia.

La sustancia no contiene sulfuro.

En este caso, la segunda premisa niega que la consecuencia se haya cumplido, por loque es imposible que la condicin sea cierta. Este tipo de argumentos constituyen la

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base del mtodo hipottico-deductivo que de una u otra forma es utilizado en lasciencias sociales y naturales para examinar la verdad de una hiptesis.

Una pregunta o una orden no es un enunciado porque no afirma absolutamente nada.Sin embargo, hay ocasiones en que una oracin no declarativa puede ser consideradauna premisa de un argumento. Esto ocurre cuando, por ejemplo, una pregunta esretrica. Consideremos el siguiente pasaje:

(49) Es falso asumir que las personas que dependen de la asistencia social estncontentas con su situacin. A quin le gusta ser pobre y desempleado? Aquin le gusta ser considerado un parsito de la sociedad?

Aqu el autor asume que la respuesta a las dos preguntas es obvia: ninguna personaquiere ser pobre, desempleada y considerada un parsito de la sociedad. Esas afirma-ciones deben ser tomadas como las premisas a partir de las cuales el autor quiereconstruir su argumento. El siguiente pasaje de un dilogo de Platn ejemplifica elmismo punto:

(50) Si no hay nadie que desee ser miserable, no hay nadie, Menn, que desee elmal. Porque, qu es la miseria sino el deseo y la posesin del mal?

Platn, Menn 78a

El uso de preguntas retricas en un argumento puede arrojar un manto de sospechasobre la conclusin. No es infrecuente que el autor intente eludir la responsabilidad dedefender una afirmacin, y se ampare bajo la supuesta obviedad de la respuesta a lapregunta retrica.

Otra forma muy frecuente de afirmaciones enmascaradas son las conclusionesexpresadas a travs de imperativos. Despus de exponer una serie de razones, elautor nos puede sugerir u ordenar la conclusin que se sigue de las premisas. Unenunciado como: Ni prestes ni pidas prestado es una orden que puede ser transfor-mada fcilmente en una afirmacin: No se debe prestar ni pedir prestado.

En la vida diaria frecuentemente utilizamos argumentos cuyas premisas o conclusinno se afirman explcitamente. Al exponer un argumento, siempre asumimos que nues-tra audiencia comparte con nosotros una gran cantidad de informacin, y si no dejra-mos sobreentendidas algunas de las partes de los argumentos que utilizamos, lacomunicacin se convertira en un proceso muy engorroso.

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Un entimemaes un argumento en el cual una o ms de sus partes no se haceexplcita. El anlisis de un entimema depende en gran medida del contexto en el queaparece y de la informacin de la que disponga el lector. Consideremos el siguiente

ejemplo. Un fiscal est tratando de convencer al juez de la culpabilidad del acusado ydice los siguiente:

(51) Solamente una persona que supiera la combinacin de la caja fuerte pudo ha-ber cometido el robo, y solamente el seor Martnez conoca la combinacin.

El argumento (51)es un entimema porque hace falta la conclusin del argumento. Eljuez debe concluir por s mismo que el seor Martnez es el autor del robo aunque elfiscal no lo diga explcitamente. En el siguiente ejemplo, el argumento es un entimemaporque hacen falta varias premisas y la conclusin:

(52) La construccin de esos edificios destruir el carcter rural de nuestro pue-blo. Hay estudios que demuestran que una densidad poblacional tan altaaumenta la tasa de criminalidad. Adems, no tenemos la infraestructurapara cubrir las necesidades de una poblacin tan grande.

En este argumento hace falta la conclusin que naturalmente se desprende de estosenunciados: No debemos permitir la construccin de esos edificios en nuestro pue-blo. Pero esta conclusin no se sigue lgicamentede los enunciados en el argumen-to original. Debemos agregar, adems, las siguientes premisas: Cualquier cosa quedestruya el carcter rural de nuestro pueblo no debe ser permitida, Cualquier cosa

que aumente la tasa de criminalidad no debe ser permitida y Si no tenemos la infra-estructura para cubrir las necesidades de una poblacin tan grande, no se debe permi-tir la construccin de esos edificios.

No se trata, sin embargo, de aadir todo aquello que el autor est asumiendo enel momento de formular el argumento. Sin duda, el autor asume muchas cosas dife-rentes; por ejemplo, que el lector entiende espaol. Pero la mayora de las cosas queel autor asume no hacen parte del argumento como tal. El anlisis de un entimemadebe estar guiado por el Principio de Caridad: al completar el argumento debe-mos propender para que sea el mejor argumento posible. En particular, el princi-

pio de caridad requiere (i) la identificacin de la(s) premisa(s) necesaria(s) para queel argumento sea deductivamente vlido, o al menos inductivamente fuerte; o (ii) laidentificacin de la conclusin que se sigue deductiva o inductivamente de las premisasdadas. Los siguientes pasajes son ejemplos de entimemas.

(53) Todos los estudiantes se oponen al nuevo reglamento, por lo tanto losprimparos se oponen.

(54) Marcos naci en Argentina y cualquier persona que haya nacido en Argen-tina tiene derecho a la nacionalidad argentina.

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(55) El alma es inmortal en todo su ser, pues aquello que est siempre en movi-miento es inmortal.

Platn, Fedro245c

Las premisas o la conclusin que hacen falta en cada caso son las siguientes:

(53) Premisa: Todos los primparos son estudiantes.

(54) Conclusin: Marcos tiene derecho a la nacionalidad argentina.

(55) Premisa: El alma est siempre en movimiento.

El uso de entimemas no se debe solamente a que las personas generalmente evitenafirmar lo que es obvio para todos. Tambin tienen un valor retrico, como Aristteles

mismo lo afirma: los [discursos] basados en entimemas generan los mayores aplau-sos (Retrica, 1356b).

Los siguientes pasajes contienen argumentos incompletos, o entimemas. Identifiquelas premisas y la conclusin, y encuentre la premisa que hace falta para que el argu-mento sea deductivamente vlido.

Ejemplo: La planta necesita agua. Se le estn marchitando las hojas.

Cuando se marchitan las hojas de una planta, sta necesita agua.

Las hojas de la planta se estn marchitando.La planta necesita agua.

1. Fabio tiene buenos modales. Tuvo una buena educacin.2. Luca es brillante, as que sacar buena nota.3. Debi llover anoche porque hay charcos por todas partes.4. O el perro tiene pulgas o tiene la piel muy seca. Se est rascando como loco.5. Les sobr mucha comida, as que la fiesta no debi ser muy exitosa.6. Creo que podemos concluir que la batera todava est buena. La luz todava

es brillante.7. Jaramillo fue un buen senador, as que va a ser un buen presidente.8. Hilary Putnam es uno de los mejores filsofos del mundo. Su trabajo es

publicado por la editorial de la Universidad de Harvard.9. Los precios en el nuevo almacn de la esquina van a ser altos. Venden slo

productos importados.10. Tena el promedio en 3.0, pero la nota del curso me tiene que quedar por lo

menos en 4.0 porque saqu 5.0 en el final.

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11. Es un buen guitarrista. Sabas que estudi con Pepe Romero?12. Ruddy no tiene la menor posibilidad de ser elegido alcalde. Todo el mundo

sabe que es un dspota.

13. La mitad de los que se sientan en la primera fila creen en Dios, as que lamitad de la clase debe creer en Dios.

14. No sabas que Mauricio se casa? Acaso no lo viste quemando todas lascartas de sus ex novias?

15. Si no creyramos en su inocencia no le estaramos devolviendo su em-pleo, declar el Procurador.

Existe otra forma de examinar varios enunciados al mismo tiempo sin que exista entreellos ninguna de las relaciones lgicas mencionadas hasta ahora en este captulo. Setrata de examinar si los enunciados forman un conjunto lgicamente consistente. Laconsistencia lgica se puede definir de la siguiente manera:

Un conjunto de enunciados es lgicamente consistentesi y slo si esposible que todos los miembros del conjunto sean verdaderos. Es lgica-

mente inconsistentesi esto es imposible.

Consideremos el siguiente conjunto de afirmaciones:

(56) {Mxico es ms grande que Espaa, Bla Bartk naci en el siglo

XIX, El precio del arroz se ve afectado por el fenmeno de El Nio}

Este conjunto es lgicamente consistente porque es posible que los tres enunciadossean verdaderos al mismo tiempo. En cambio, consideremos el siguiente conjunto deafirmaciones:

(57) {Daniel es ms alto que Alberto, Carlos es ms alto que Daniel,

Beatriz es ms alta que Carlos, Alberto es ms alto que Beatriz}

El conjunto es lgicamente inconsistente porque es imposible que los cuatro enuncia-dos sean ciertos. Para que las relaciones de altura pudieran cumplirse, tendramos queeliminar alguno de los cuatro enunciados. Veamos otro ejemplo:

(58) {Cualquier persona que crea en la astrologa es un tonto, Alicia es mi her-mana y ninguna de mis hermanas tiene un marido que sea tonto, Hernandoes el marido de Alicia y l lee el horscopo todas las maanas, Cualquierpersona que lea el horscopo todas las maanas cree en la astrologa}

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Varias de las afirmaciones contenidas en este conjunto pueden ser consideradas fal-sas por muchas personas. Pero lo importante, desde el punto de vista lgico, no esevaluar su verdad individualmente, sino ms bien considerar si es posible que todas

ellas sean ciertas simultneamente. En este caso, si la primera, la tercera y la ltimaafirmacin son ciertas, entonces la segunda tiene que ser falsa. Y si la segunda esverdadera, entonces la tercera o la cuarta o la primera tiene que ser falsa. La lgicano nos puede decir cul es la forma correcta de modificar el conjunto para volverloconsistente. Tan solo nos muestra cules son las posibilidades.

Aunque normalmente la verdad o falsedad de un enunciado slo se puede determinarde manera emprica, hay algunos casos en que la lgica por s sola basta para determi-

nar su valor de verdad. Por ejemplo, la afirmacin:

(59) A Julia la contratarn en la Contralora o no la contratarn.

es verdadera en virtud de su forma lgica; su valor de verdad es independiente de ladecisin que tome el Contralor. Ni siquiera es necesario que Julia haya solicitadoempleo en la Contralora. Otros ejemplos incluyen enunciados tales como: Si a Juliala contratan, entonces la contratan, Si todos pasan, entonces Paula pasa y Si Sarale apuesta al boxeador panameo si y slo si Ana lo hace, entonces si Ana no hace laapuesta, Sara tampoco. Enunciados como stos se denominan verdades lgicaso

tautologas.As como hay enunciados que son verdaderos en virtud de su forma lgica, hay

otros que son falsos por la misma razn. Por ejemplo, el enunciado:

(60) Todos los filsofos fuman pero en Estados Unidos casi ninguno lo hace.

es siempre falsa sin importar si los enunciados constituyentes lo son. Otros ejemplosincluyen enunciados como Hoy llueve pero no llueve y Aqu estoy pero no haynadie aqu. Estos enunciados se denominan falsedades lgicas o contradiccio-

nes .

Aquellos enunciados que no son ni lgicamente verdaderos ni lgicamente fal-sos se denominan enunciados lgicamenteindeterminados. La mayora de las afir-maciones acerca del mundo son lgicamente indeterminadas. Por ejemplo:

(61) Hace calor hoy.

(62) Michael Schumacher no gan el campeonato de la Frmula 1 este ao.

Finalmente, hay pares de enunciados que estn relacionados entre s de talmodo que si el primero es verdadero o falso, el segundo tambin lo es, y viceversa. En

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tales casos decimos que los dos enunciados son lgicamente equivalentes. Los si-guientes son ejemplos de tales pares de enunciados:

(63) Romeo ama a Julieta.Julieta es amada por Romeo.

(64) Romeo y Julieta mueren al final de la historia

Julieta y Romeo mueren al final de la historia.

(65) No todos los tumores son cancerosos.

Algunos tumores no son cancerosos.

Podemos resumir las definiciones de estos conceptos en el siguiente cuadro:

Un enunciado es lgicamente verdaderoo tautolgico si y slo si esimposible que sea falso.

Un enunciado es lgicamentefalso o contradictorio si y slo si esimposible que sea verdadero.

Un enunciado es lgicamente indeterminadosi y slo si no es ni lgi-camente verdadero ni lgicamente falso.

Un par de enunciados son lgicamente equivalentes si y slo si esimposible que uno de las enunciados sea verdadero y el otro falso.

Es importante anotar que todo enunciado es lgicamente equivalente a s mis-mo, que todos los enunciados lgicamente verdaderos son lgicamente equivalentes,al igual que todos los lgicamente falsos. Esto no ocurre, por supuesto, en el caso delos enunciados lgicamente indeterminados, as stos posean de hecho el mismo valorde verdad. Los enunciados:

(66) Aruba est al norte de Venezuela.

En la China el consumo de perros es legal.

no son lgicamente equivalentes as ambos sean de hecho ciertos. Lo importante noes el valor de verdad de los enunciados en cuestin, sino ms bien si ese valor deverdad debe ser necesariamente el mismo.

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PRIMERA PARTE

LA LGICA PROPOSICIONAL

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Algunas disciplinas, como la msica y las matemticas, han recurrido a lenguajesartificiales para simplificar la expresin de ideas complejas. A diferencia de los len-guajes naturales, como el espaol o el quechua, que sirven como herramientas genera-les de comunicacin, los lenguajes artificiales son diseados con un propsito especficoy nos permiten expresar ideas en trminos precisos, carentes de ambigedades y decontenido emotivo.

En este captulo estudiaremos un lenguaje artificial llamadoLP(Lgica Propo-sicional) que ha sido concebido para sacar a la luz la estructura lgica de las afirma-ciones y razonamientos que hacemos utilizando los lenguajes naturales. Inicialmenteexaminaremos cul es la relacin entre los enunciados del espaol y las frmulas dellenguajeLP. Al mismo tiempo, estudiaremos cmo se determina el valor de verdad de

las frmulas de este lenguaje lgico. El objetivo es entender qu quiere decir que LPsea un lenguaje veritativo-funcional. Finalmente, en la ltima seccin establecere-mos las reglas gramaticales o la sintaxis de este lenguaje formal.

Comenzaremos el estudio de la relacin entre los enunciados del espaol y las frmu-las deLPestableciendo una distincin entre enunciados simplesy enunciados com-

puestos. Un enunciado simple es una oracin declarativa cuyo sujeto es una persona,animal o cosa individual y concreta de la cual se predica un solo atributo o propiedad.

Los enunciados simples pueden ser combinados de mltiples maneras para formarenunciados compuestos. En espaol existen muchas palabras y frases que sirven paracombinar enunciados, tales como y, o, slo si, antes de, a causa de, si yslo si y muchas otras. No todas estas palabras y frases establecen una relacinlgica entre los enunciados. Algunas palabras establecen relaciones temporales,causales y de otros tipos. Aquellas palabras y frases que establecen una conexinlgica entre dos enunciados se denominanconectoreslgicos. Hay otras palabras yfrases que no conectan dos enunciados sino que se anteponen a uno solo de ellos. Al

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aadir expresiones como no, no es el caso que o no es cierto que a un enuncia-do, se genera un enunciado nuevo con un valor de verdad opuesto al del enunciadooriginal. Tales frases se denominan operadores de negacin.

Los conectores lgicos y los operadores de negacin son losoperadores lgi-cosde la lgica clsica proposicional. Podemos definir un enunciado simple de mane-ra negativa como aqul que no contiene ningn operador lgico. El siguiente enunciadoes un enunciado simple:

(1) Lucien Freud es un pintor.

Pero ninguno de los siguientes enunciados lo es:

(2) Freud y Bacon son pintores.

(3)

Freud es un pintor y escritor.(4) Freud no es austriaco.

(5) Si Freud es un pintor, no es muy conocido.

El enunciado (2)es la unin de los enunciados simples Freud es un pintor y Bacones un pintor. En el (3) tenemos la unin de Freud es un pintor y Freud es unescritor. El (4)es la negacin del enunciado simple Freud es austriaco. Y en el (5)se establece una relacin lgica entre Freud es pintor y la negacin de Freud esmuy conocido.

Nuestro objetivo inicial al estudiar el lenguajeLPes entender cmo los enuncia-

dos simples y compuestos del espaol pueden ser representados enLPa travs defrmulas atmicasyfrmulas moleculares, respectivamente. EnLPutilizaremosletras maysculas para simbolizar los enunciados simples. A estas letras las llama-remos letras proposicionales. Las letras proposicionales son las frmulas atmi-cas deLP.

El enunciado Lucien Freud es un pintor puede ser simbolizado en LPcon laletra F. Hubiramos podido escoger cualquier otra letra mayscula, pero lo msconveniente es escoger siempre una letra que nos recuerde el enunciado original. As,la letra F nos ayuda a recordar que el enunciado es acerca de Lucien Freud, aunqueno debemos caer en el error de pensar que F slo simboliza el sujeto o el predicadodel enunciado. Cada letra proposicional corresponde a un enunciado simple completo.

Para asegurarnos de tener un nmero suficiente de letras para simbolizar cual-quier cantidad de enunciados, tambin admitiremos letras maysculas con subndices.As, todas las siguientes frmulas atmicas o letras proposicionales pueden ser usadaspara simbolizar enunciados simples:

F, J, T, A23

, Y9, F

5935

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En ciertos casos tendremos que referirnos a las frmulas del lenguaje LPengeneral, sin mencionar ninguna en particular. Para ese fin introduciremos el uso devariables proposicionales, o metavariables1, que escribiremos en letra cursiva de la

siguiente manera:

Una metavariable puede ser utilizada para hacer referencia a frmulas atmicas y afrmulas moleculares deLP.

Podramos ajustar el lenguajeLPpara que un enunciado como:

(6) Tolstoi y Kandinsky son rusos.

pudiera ser simbolizado utilizando una sola letra proposicional. Sin embargo, al hacerloestaramos ignorando informacin importante. En realidad se trata de dos enunciadossimples, Tolstoi es ruso y Kandinsky es ruso, que son afirmados simultneamen-te. La afirmacin simultnea de dos enunciados es la conjuncinde los mismos.Utilizaremos el signo & para simbolizar la conjuncin de dos enunciados enLP.As, si T representa al enunciado Tolstoi es ruso y K al enunciado Kandinskyes ruso, el enunciado (6)se podra simbolizar como:

(6a) T & KAdems de la palabra y, hay otras palabras y frases en espaol que nos indican queun enunciado compuesto es una conjuncin. Entre ellas estn: pero, sin embargo,aunque, an ms, no slo, a pesar de y tambin. La mayora de estasexpresiones se usan para crear un contraste entre dos enunciados. Por ejemplo, elenunciado:

(7) Juan quiere viajar a Ro de Janeiro pero est muy ocupado.

nos da a entender que Juan no va a poder cumplir su deseo de viajar a Ro. Sin

embargo, estrictamente hablando lo nico que dice la oracin es que Juan quiereviajar a Ro y que Juan est muy ocupado, conjuncin que podramos simbolizar como:

1. Cuando utilizamos un lenguaje para estudiar otro lenguaje, decimos que el primero es el metalenguaje y elsegundo el lenguaje objeto. Si un mexicano toma clases de japons, el japons es el lenguaje objeto y el espaolel metalenguaje. En el caso de la lgica en general, y del lenguaje LP en particular, el metalenguaje queutilizamos es el espaol y las metavariables utilizadas para hacer referencia a las frmulas de LP hacen partede ese metalenguaje.

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(7a) R & O

Las connotaciones que tiene la palabra pero se pierden en la traduccin a LP.

Cmo se determina el valor de verdad de una conjuncin? Al considerar estapregunta debemos tener en cuenta dos elementos. En primer lugar, la lgicaproposicional clsica es un lenguaje veritativo-funcional. Un lenguaje es veritativo-funcional cuando el valor de verdad de cualquier enunciado compuesto est comple-tamente determinado por los valores de verdad asignados a los enunciados simplesque lo componen. El lenguajeLPes una simbolizacin de los enunciados del espaol yrefleja sus propiedades veritativo-funcionales. En segundo lugar, la lgica proposicionalclsica es una lgica bivalente, es decir, a cada enunciado en espaol y a cadafrmula deLPslo se le puede asignar uno de dos valores de verdad: verdadero ofalso2.

Como una conjuncin es la afirmacin simultnea de dos enunciados, una con-juncin es verdadera si y slo si los dos enunciados que la componen son verdaderos,y falsa en caso contrario. En consecuencia, una frmula cuya forma lgica sea:

&

donde y son frmulas arbitrarias deLP, es verdadera si y slo si las frmulas sonverdaderas, y falsa en caso contrario Esta idea se resume en la siguiente tabla:

&

V V VV F FF V FF F F

Este tipo de tabla se denomina una tabla de verdad caractersticaporque muestracmo se determina el valor de verdad de las conjunciones de LP. La tabla se leehorizontalmente, fila por fila. Cada fila representa una interpretacino valuacindecualquier frmula que tenga la forma & :

Una valuacinde una frmula de LPes la asignacin de un valor deverdad Vo Fa cada una de las letras proposicionales que ocurran en lafrmula.

2. Es necesario advertir que durante el siglo XX se desarrollaron muchas lgicas polivalentes en respuesta a lasaparentes limitaciones de la lgica clsica. Estos sistemas no sern estudiados en este libro. Los lectoresinteresados en las lgicas no clsicas pueden consultar Haack (1982), Nolt (1997), Pea (1993) y Priest(2001), entre otros.

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La tabla rene todas las posibles asignaciones de valor de verdad de las frmulas y .La columna de la derecha nos indica cul es el valor de verdad de la frmula & en cada caso. Por ejemplo, la tercera fila nos indica que cuando es falsa y es

verdadera, cualquier frmula de la forma & es falsa.

El segundo conector lgico que estudiaremos es aqul que genera la disyuncindedos enunciados. Este conector generalmente se expresa en espaol por medio de lapalabra o. Consideremos el siguiente ejemplo:

(8) Cervantes era escritor o pintor.

El enunciado est compuesto por dos enunciados simples, Cervantes era escritor yCervantes era pintor. EnLPutilizaremos el smbolo para representar el conectorlgico que genera la disyuncin de dos enunciados. As, si E representa el enuncia-do Cervantes era escritor y P a Cervantes era pintor, el enunciado (8) sepodra simbolizar enLPcomo:

(8a) E P

Una disyuncin es verdadera si y slo si al menos uno de los dos enunciadosque la componen es verdadero, y falsa en caso contrario. La siguiente tabla de verdadresume las condiciones de verdad de la disyuncin enLP:

V V VV F VF V VF F F

Segn las condiciones de verdad de la disyuncin, el enunciado (8)es verdade-ro si Cervantes era tanto escritor como pintor, una consecuencia que rie con la formaen que normalmente utilizamos la palabra o en espaol. Suponga que el mesero de

un restaurante le dice lo siguiente:

(9) La cena incluye crme brleo pastel de manzana.

El ofrecimiento implcitamente excluye la posibilidad de ordenar los dos postres, esdecir, en espaol la disyuncin tiene un sentido exclusivo. En la lgica clsica, por elcontrario, la disyuncin siempre tiene un sentido inclusivo. Segn la tabla de verdadcaracterstica de la disyuncin, es posible ordenar los dos postres. Ms adelante vere-

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mos cmo expresar el sentido exclusivo de la disyuncin utilizando una combinacinde conectores lgicos, y discutiremos por qu la lgica clsica prefiere el sentidoinclusivo de la disyuncin.

Cuando un enunciado compuesto contiene ms de dos enunciados simples, es impor-tante entender cabalmente la forma en que dichos enunciados estn conectados. Su-ponga que el men en un restaurante dice:

(10) El almuerzo incluye ensalada o papas a la francesa y postre.

La ausencia de comas genera un enunciado ambiguo. En este caso tenemos tres

enunciados diferentes que podramos simbolizar de la siguiente manera:E: El almuerzo incluye ensalada.

P: El almuerzo incluye papas a la francesa.

T: El almuerzo incluye postre.

La ambigedad se presenta porque no sabemos si el enunciado es una disyuncin ouna conjuncin. En el primer caso, podramos parafrasear el enunciado como:

(11) El almuerzo incluye ensalada, o incluye papas a la francesa y postre.

Si se trata de una conjuncin, la parfrasis sera:

(12) El almuerzo incluye ensalada o papas a la francesa, y adems postre.

La diferencia entre los dos enunciados se debe ver reflejada al representarlosenLP; para tal fin, introduciremos el uso de parntesis. As, la disyuncin se simbolizacomo:

(11a) E (P & T)

Y la conjuncin se simboliza como:

(12a) (E P) & T

La disyuncin sera verdadera si, por ejemplo, el almuerzo es servido nicamente conensalada, mientras que la conjuncin requiere que si el comensal escoge la ensalada,sta sea servida con postre.

Cuando se requiera utilizar ms de un par de parntesis, combinaremos su usocon el de par

introducción a la lógica moderna

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