introducción al tema 5. movimiento armónico simple (1º de

Introducción al Tema 5. Movimiento armónico simple Física

2º de Bachillerato

Cristina Fernández Sánchez www.nikateleco.es - [email protected]

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Introducción al Tema 5.

Movimiento armónico simple (1º de bachillerato)

1. Movimiento vibratorio

2. Movimiento armónico simple

2.1 Ley de Hooke 2.2 Ecuación fundamental del M.A.S. 2.2.1 Amplitud y periodo. Demo importante 2.3 Ecuación de la velocidad 2.3.1 Relaciones importantes 2.4 Ecuación de la aceleración 2.5 Dinámica del M.A.S. 2.6 Energía de un oscilador armónico simple 2.6.1 Energía cinética 2.6.2 Energía potencial 2.6.3 Energía mecánica 2.7 Dos ejemplos de osciladores mecánicos 2.7.1 Una masa colgada de un resorte vertical 2.7.2 El péndulo simple


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OBJETIVOS DIDÁCTICOS (basados en los CE)

• Conocerelsignificadofísicodelosparámetrosquedescribenelmovimientoarmónicosimple(M.A.S.)yasociarloalmovimientodeuncuerpoqueoscile.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y RELACIÓN CON LAS COMPETENCIAS CLAVE CE 6.9. Conocer el significado físicode losparámetrosquedescribenelM.A.S. yasociarloalmovimientodeuncuerpoqueoscile.CCL,CAA,CMCT.


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1. MOVIMIENTO VIBRATORIO

Unmovimiento periódico es aquel que pertenece al grupo de aquellosmovimientosqueserepitenaintervalosigualesdetiempo

Ejemplos:movimientodelaLunaalrededordelaTierra,movimientodela

TierraalrededordelSol,movimientodelasagujasdelreloj,etc.OJO,notodoslosmovimientos periódicos son circulares: movimiento de un péndulo simple, unamasacolgandodeunmuelle,loslatidosdelcorazón,etc.

Los movimientos periódicos en los que el cuerpo se desplaza

sucesivamente a un lado y a otro de su posición de equilibrio repitiendo aintervalos regulares de tiempo sus variables cinemáticas reciben el nombre deoscilatoriosovibratorios:elrecorridoqueelcuerporealizacuandovuelvea laposicióndepartidamoviéndoseenelmismosentidosedenominaoscilaciónydurauntiempoconstantellamadoperiodo,𝑇.

Enestemovimientoentredosposicionesextremassupondremos quenoexisterozamiento,porloquenohabrápérdidadeenergíamecánica.

*Diferenciaentremovimientososcilatoriosymovimientosvibratorios:losmovimientososcilatoriossonrelativamentelentos(péndulo,muellecolgando,etc.).Cuandolasoscilacionessonmuyrápidassedenominanvibracionesyelmovimientocorrespondiente es un movimiento vibratorio (alambre sujeto en su extremo). Ennuestrocaso,lostrataremosporigual. 2. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Detodos losmovimientosvibratoriosquetienen lugaren lanaturaleza,elmás importante es el armónico simple (M.A.S.). Se llama así porque se puedeexpresarmediantefuncionesarmónicas,comosonelsenoyelcoseno.


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2.1 Ley de Hooke

El M.A.S. es consecuencia de una fuerza recuperadora que reclama alcuerpo hacia la posición de equilibrio. Dicha fuerza es en todo momentoproporcionalaldesplazamientodelapartículaquevibra.SilapartículavibraalolargodelejeOX,porejemplo,secumplelaLeydeHooke:

Lafuerzaaplicadaaunresorteesproporcionalalalargamientoproducido.

�⃗� = −𝑘∆𝑥donde:

• ∆𝑥representaeldesplazamientoentrelaposiciónqueocupalapartículaylaposicióndeequilibrio(𝑥 − 𝑥!)

• El signonegativo indicaque la fuerza seoponea esedesplazamiento.Lossignosde𝐹y𝑥siguenelcriteriodesignosdecinemática.

2.2 Ecuación fundamental del M.A.S. Laecuación fundamentaldelM.A.S. o laecuaciónde laposición vienedadapor:

𝒙(𝒕) = 𝑨 · 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝝋𝟎)Magnitudesfundamentalesrelacionadas:

• Elongación, x (m): posición del móvil encualquier instante respecto al centro deoscilación. Será positiva o negativa según elcriteriodesignos.

• Elcentrodeoscilación,O,eselpuntomediodelsegmentorecorridoporelmóvil(posicióndeequilibrio).

• Amplitud,A(m):eslamáximaelongaciónposible.• Período,T(s):tiempoquetardaelcuerpoenhacerunaoscilacióncompleta.• Frecuencia o frecuencia natural, 𝒇 o 𝝊 (Hz): número de oscilaciones

realizadasporunidaddetiempo.Eslainversadelperiodo:

𝒇 =𝟏𝑻

• Frecuencia angular o pulsación, 𝝎 (rad/s). Número de períodoscomprendidosen2𝜋unidadesdetiempo:

• Faseencualquierinstante(rad):(𝜔𝑡 + 𝜑#)• Faseinicialoconstantedefase,𝝋𝟎(rad):eslafasecuando𝑡 = 0𝑠.

Elvalordelaposiciónserepitealaumentarlafase2𝜋:

𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑#) = 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑# + 2𝜋)


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2.2.1 Amplitud y periodo. Demo importante PartimosdelaecuaciónfundamentaldelM.A.S.:

• En𝑡 = 0:𝑥(𝑡 = 0) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜑#) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜑# + 2𝜋)

• En𝑡 = 𝑇:

𝑥(𝑡 = 𝑇) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑇 + 𝜑#)Cuandoelcuerporealizaunaoscilacióncompletavuelveatenerlamismaposicióndelprincipio,porloquepodemosigualar:

𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜑# + 2𝜋) = 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑇 + 𝜑#)𝜑# + 2𝜋 = 𝜔𝑇 + 𝜑#

2𝜋 = 𝜔𝑇

𝝎 =𝟐𝝅𝑻 𝝎 = 𝟐𝝅𝒇

ComprobandoasíqueelperiododelM.A.S.esindependientedelaamplitud. 2.3 Ecuación de la velocidad Laecuacióndelavelocidad(instantánea)seconsiguederivandorespectodeltiempo:

𝒗(𝒕) =𝒅𝒙(𝒕)𝒅𝒕 = 𝑨 · 𝝎 · 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝝋𝟎)

2.3.1 Relaciones importantes

Apartirdelaposicióninicialydelavelocidadinicial(condicionesiniciales)sepuedencalcularlaamplituddelmovimientoylafaseinicial.

Lavelocidadesnula,𝒗 = 𝟎,cuando𝑥 𝑡 = ±𝐴,esdecir,

cuandolapartículasehallaenlosextremosdelatrayectoria.

Lavelocidadesmáxima,𝒗 = ±𝑨 · 𝝎,cuando𝑥 𝑡 = 0,esdecir,cuandolapartículasehallaenelcentrode

oscilación.


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Elevoalcuadradolasecuacionesdelaposiciónylavelocidadiniciales:

𝑥$(𝑡 = 0) = 𝐴$ · 𝑠𝑒𝑛$(𝜑#)𝑣$(𝑡 = 0) = 𝐴$ · 𝜔$ · 𝑐𝑜𝑠$(𝜑#)

Despejo:

𝑠𝑒𝑛$(𝜑#) =𝑥#$

𝐴$

𝑐𝑜𝑠$(𝜑#) =𝑣#$

𝐴$ · 𝜔$

• Detrigonometríasabemosque:

𝑠𝑒𝑛$(𝜑#) + 𝑐𝑜𝑠$(𝜑#) = 1dedondeseconsiguelaamplitud:

𝑥#$

𝐴$ +𝑣#$

𝐴$ · 𝜔$ = 1 → 𝑥#$ +𝑣#$

𝜔$ = 𝐴$ → 𝑨 = ±Q𝒙𝟎𝟐 +𝒗𝟎𝟐

𝝎𝟐

• Delafórmuladelatangentecalculamoslafaseinicial:

tan(𝜑#) =𝑠𝑒𝑛(𝜑#)cos(𝜑#)

=𝑥#𝐴𝑣#𝐴 · 𝜔

=𝑥# · 𝜔𝑣#

→ 𝝋𝟎 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 Z𝒙𝟎 · 𝝎𝒗𝟎

[

2.4 Ecuación de la aceleración Laecuacióndelaaceleración(instantánea)seconsiguederivandorespectodeltiempo:

𝒂(𝒕) =𝒅𝒗(𝒕)𝒅𝒕 = −𝑨 · 𝝎𝟐 · 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝝋𝟎)

quesepuedeescribirtambiéncomo:

𝒂(𝒕) = −𝝎𝟐 · 𝒙(𝒕)

Laaceleraciónesnula,𝐚 = 𝟎,cuando𝑥 𝑡 = 0,esdecir,cuandola

partículasehallaenelcenttrodeoscilación.

Laaceleraciónesmáxima,𝐚 = ±𝑨 · 𝝎𝟐,cuando𝑥 𝑡 = ±𝐴,esdecir,cuandolapartículasehallaenlosextremosdela

trayectoria


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Laaceleraciónesdirectamenteproporcionalalaelongación,perodesentido

contrarioaesta.EstarelaciónespropiadelM.A.S.ysirveparadeterminarsiunmovimiento es periódico o no. Todo sistema que semueva con esta aceleraciónrecibeelnombredeosciladorarmónicosimple. 2.5 Dinámica del M.A.S. Elmovimientoarmónicosimpleesaceleradoyesconsecuenciadeunafuerzarecuperadora,porloquepodemosusarla2ºLeydeNewtoncomosigue:

𝐹 = 𝑚 · 𝑎 = 𝑚 · (−𝜔$ · 𝑥)

𝑭 = −𝒎 · 𝝎𝟐 · 𝒙

Como 𝑚 y 𝜔 no varían, aparece una constante asociada a la fuerzarecuperadora y que es característica de cada oscilador: constante elástica orecuperadora.Amayor𝑘mayorfuerzaatraealmóvilalaposicióndeequilibrio.

𝒌 = 𝒎 · 𝝎𝟐[𝑁/𝑚]

LafuerzaqueproduceunM.A.S.esunafuerzacentral,dirigidahaciaelpuntodeequilibrioyproporcionalaladistanciaaeste. 2.6 Energía de un oscilador armónico simple 2.6.1 Energía cinética

Porqueelosciladorestáenmovimiento:

𝐸& =12𝑚 · 𝑣$ =

12𝑚 · 𝐴 · 𝜔 · 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑#) → 𝑬𝑪 =

𝟏𝟐𝒌 · 𝑨

𝟐 · 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝝋𝟎)

Por tanto, en un M.A.S. la energía cinética es periódica y depende de laelongaciónsihacemoselcambiodelpunto2.3.1.:

𝑬𝑪 =𝟏𝟐𝒌 · (𝑨

𝟐 − 𝒙𝟐)

Suvalormáximosedaenlaposicióndeequilibrio:

𝐸&()* =12 · 𝑘 · 𝐴

$


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2.6.2 Energía potencial

Porqueelmovimientoarmónicoesconsecuenciadelaaccióndeunafuerzaconservativa.

Teoremadelaenergíapotencial(asociadoaunafuerzaconservativacomoes

laelástica,TEMA 0):

𝑊+→- = i �⃗� · 𝑑�⃗�-

+= i (−𝑘 · 𝑥) · 𝑑𝑥

-

+= −𝑘 · l

𝑥$

2 m+

-

= −12𝑘(𝑥-$ − 𝑥+$) = −∆𝐸.

𝐸.- − 𝐸.+ =12𝑘(𝑥-$ − 𝑥+$)

dedondesededuceque:

𝑬𝑷 =𝟏𝟐𝒌𝒙

𝟐

Portanto,enunM.A.S.laenergíapotencialtambiénesperiódicaydependedelaelongación.Suvalormáximosedaenlosextremos:

𝐸.()* =12 · 𝑘 · 𝐴

$ 2.6.3 Energía mecánica Sumandolasenergíasanteriores:

𝐸0 = 𝐸& + 𝐸. =12𝑘 ·

(𝐴$ − 𝑥$) +12𝑘𝑥

$ → 𝑬𝑴 =𝟏𝟐𝒌 · 𝑨

𝟐

Enelmovimientoarmónicolaenergíamecánicanodependedelaposición.Solamentedependede lascaracterísticasdelosciladoryde laamplitud.Además,Como en el M.A.S. no existe rozamiento, la energía mecánica permanececonstante.

Unosciladoresunsistemaconservativo:• La energía potencial aumenta a medidaque la energía cinética disminuye, yviceversa.• Existendosvaloresdelaelongaciónparaloscualesambasenergíasvalenlomismo:

12 𝑘 ·

(𝐴$ − 𝑥$) =12𝑘𝑥

$


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𝐴$ − 𝑥$ = 𝑥$ → 𝐴$ = 2𝑥$ → 𝒙 = ±𝑨√𝟐

2.7 Dos ejemplos de osciladores mecánicos 2.7.1 Una masa colgada de un resorte vertical

Unmuelledeconstantekestásuspendidodeunextremo.Deélsecuelgaunamasamysedejadescendersuavementehastaqueelsistemaalcanzaelequilibrio.En estas condiciones el muelle se ha estirado una longitud ∆𝑙 y una fuerzarecuperadora elástica aparece en el muelle (Ley de Hooke). Por la 2ª Ley deNewtonsecumple:

𝑭𝒆𝒍𝒂𝒔 − 𝒑 = 𝟎 → 𝒌∆𝒍 = 𝒎𝒈dedondepodemosdespejarlaconstanteelásticadelmuelle.

Siahoralamasasedesplazaverticalmenteunadistanciaydesuposicióndeequilibrio,lafuerzaelásticaesmayorqueelpeso,ysielsistemasedejaenlibertad,la masa se acelera comenzando un movimiento de vaivén. Las característicasprincipalesdelmovimientoseresumenenlatablasiguiente:

POSICIÓN 1 POSICIÓN 2 POSICIÓN 3 POSICIÓN 4 𝒚 −𝐴 0 +𝐴 0

Velocidad 0 𝑣()* > 0 0 𝑣()* < 0

Apartirdeeseinstante

Lavelocidadaumenta

Lavelocidaddisminuye

Lavelocidadaumentaenvaloresnegativos

Lavelocidaddisminuyeenvaloresnegativos

𝑭𝒆𝒍𝒂𝒔 𝐹()* 0 𝐹()* 0𝒂 𝑎()* > 0 0 𝑎()* < 0 0

Apartirdeeseinstante

Laaceleracióndisminuye

Laaceleraciónaumentaenvaloresnegativos

Laaceleracióndisminuyeenvaloresnegativos

Laaceleraciónaumenta


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*Laposición5esexactamenteigualalaposición1soloquesealcanzadenuevotranscurridounperiodo. 2.7.2 El péndulo simple Recibeelnombredepéndulosimpleelsistemaformadoporunapequeñabolacolgadadeunhilo inextensibleyquesemuevesin rozamiento.Sielhiloesrelativamentelargo(unmetro,porejemplo)yelángulodelasoscilacionesesmuypequeño, podemos asumir que el movimiento pendular se corresponde con unM.A.S.1

Elpénduloestáenreposoenlaposicióninicial,yaqueenellaelpesodelabola y la tensión del hilo se equilibran. En cambio, en la posición 1 se rompe elequilibrioy,aldescomponerelpeso,seobservaquelacomponentenormaldeesteseanulaconlatensión.Sinembargo,lacomponentetangencialdelpesoharáquelabola se acelere para volver a la posición de inicio: esta fuerza será la fuerzarecuperadoradelmovimiento.

𝐹6 = 𝑝* = −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛(∝)Paraángulos∝≤ 14° ≈ 0,245𝑟𝑎𝑑, sepuedeasumirque𝑠𝑒𝑛(∝) ≈∝ con loquesepuedesustituirelsenoporelánguloenradianes:𝐹6 = −𝑚 · 𝑔 ·∝Siademásrecordamoslafórmuladelarco:∝= 𝑥

𝑙� ,nosqueda:

𝐹6 = −𝑚 · 𝑔 ·𝑥𝑙

quepodemosigualarconlaLeydeHooke:

−𝑚 · 𝑔 ·𝑥𝑙 = −𝑘 · 𝑥 → 𝒌 =

𝒎𝒈𝒍

1Enrealidad,latrayectoriadelpénduloesunarcodecircunferencia,peropuedesuponerseunarectaparavaloresmuypequeñosde∝.

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