fisica i - movimiento armónico simple
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Fisica I - Movimiento Armónico SimpleTRANSCRIPT
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MOVIMIENTO ARMÓNICOSIMPLE
2015
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PROPOSITO:
• Reconoce objetos que se mueven conmovimiento armónico simple.
• Describe el movimiento de lospéndulos
• Realiza modelos matemáticos deobjetos que se mueven con M.A.S.
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MOVIMIENTO PERIÓDICO
¿QUÉ ES UN MOVIMIENTO PERIODICO?
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MOVIMIENTO PERIÓDICO
El movimiento periódico simple es aquel movimientoen el que un cuerpo se mueve de ida y vuelta sobreuna trayectoria fija y regresa a cada posición yvelocidad después de un intervalo de tiempo definido.
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Periodo (T): Es el tiempo correspondiente a unaoscilación completa en un movimiento oscilatorio. Semide en segundos ( s )
ELEMENTOS DEL MOVIMIENTOPERIÓDICO
Amplitud (A): Es el módulo de la máxima elongaciónalcanzada por la partícula durante su movimientooscilatorio.
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Frecuencia angular (ω)
Frecuencia de las oscilaciones periódicas (f): Es elnúmero de oscilaciones completas realizadas en launidad de tiempo.
para una oscilación f= Hz
para una oscilación ω= rad/s
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EJEMPLO 1: LA MASA SUSPENDIDA REALIZA 30OSCILACIONES COMPLETAS EN 15 s. ¿CUÁLESSON EL PERIODO Y LA FRECUENCIA DELMOVIMIENTO?
Periodo: T = 0.500 s
Frecuencia: f = 2.00 Hz
Hz2.00s15
ciclos30
t
nf
x F
s0.50s2.00
111-
fT
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
M.A.S.
Observa, luego indica los elementos delmovimiento armónico simple
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MOVIMIENTO ARMÓNICOSIMPLE, M.A.S.
El movimiento armónico simple es movimientoperiódico en ausencia de fricción y producido poruna fuerza restauradora que es directamenteproporcional al desplazamiento y de direcciónopuesta.
Una fuerza restauradora, F,actúa en la direcciónopuesta al desplazamientodel cuerpo en oscilación.
F = -kx
x F
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LEY DE HOOKE
Cuando un resorte se estira, hay unafuerza restauradora que es proporcional aldesplazamiento.
F = -kx
La constante de resorte kes una propiedad delresorte dada por:
k =DF
Dx
x F
m
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TRABAJO REALIZADO PARA ESTIRARUN RESORTE
F
x
m
El trabajo realizado SOBRE el resortees positivo; el trabajo DEL resorte esnegativo.
De la ley de Hooke la fuerza F es:
F (x) = kx
F
x2x1
Para estirar el resorte dex1 a x2 , el trabajo es:
212
1222
1 kxkxTrabajo
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EJEMPLO 2: UNA MASA DE 4 Kg,SUSPENDIDA DE UN RESORTE, PRODUCEUN DESPLAZAMIENTO DE 20 cm. ¿CUÁL ESLA CONSTANTE DE RESORTE?
F20 cm
m
La fuerza que estira es el peso(W = mg) de la masa de 4 kg:
F = (4 kg)(9.8 m/s2) = 39.2 N
Ahora, de la ley de Hooke, laconstante de fuerza k del resorte es:
k = =ΔF
Δx
39.2 N
0.2 mk = 196 N/m
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EJEMPLO 2 : LA MASA m AHORA SE ESTIRA UNADISTANCIA DE 8 cm Y SE SOSTIENE. ¿CUÁL ES LAENERGÍA POTENCIAL? (K = 196 N/m)
F8 cm
m
U = 0.627 J
LA ENERGÍA POTENCIAL ES IGUALAL TRABAJO REALIZADO PARAESTIRAR EL RESORTE:
02
1212
221 kxkxTrabajo
2212
221 )08.0)(196( mkxU
m
N
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DESPLAZAMIENTO EN M.A.S.
m
x = 0 x = +Ax = -A
x
• El desplazamiento es positivo cuando la posiciónestá a la derecha de la posición de equilibrio (x = 0)y negativo cuando se ubica a la izquierda.
• Al desplazamiento máximo se le llama laamplitud A.
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VELOCIDAD EN MAS
m
x = 0 x = +Ax = -A
v (+)
• La velocidad es positiva cuando se mueve a laderecha y negativa cuando se mueve a laizquierda.
• La velocidad es cero en los puntos finales y unmáximo en el punto medio en cualquierdirección (+ o -).
v (-)
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ACELERACIÓN EN MAS
m
x = 0 x = +Ax = -A
• La aceleración está en la dirección de la fuerzarestauradora. (a es positiva cuando x esnegativa, y negativa cuando x es positiva.)
• La aceleración es un máximo en los puntosfinales y es cero en el centro de oscilación.
+x-a
-x+a
F ma kx F ma kx
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ACELERACIÓN CONTRA DESPLAZAMIENTO
m
x = 0 x = +Ax = -A
x va
Dados la constante de resorte, el desplazamientoy la masa, la aceleración se puede encontrar de:
o
Nota: La aceleración siempre es opuesta aldesplazamiento.
F ma kx F ma kx kx
am
kxa
m
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EJEMPLO 3: UNA MASA DE 2 Kg CUELGA EN EL EXTREMODE UN RESORTE CUYA CONSTANTE ES K = 400 N/m. LAMASA SE DESPLAZA UNA DISTANCIA DE 12 cm Y SELIBERA. ¿CUÁL ES LA ACELERACIÓN EN EL INSTANTECUANDO EL DESPLAZAMIENTO ES X = +7 cm?
m+x
(400 N/m)(+0.07 m)
2 kga
a = -14.0 m/s2a
Nota: Cuando el desplazamiento es +7 cm (hacia abajo),la aceleración es -14.0 m/s2 (hacia arriba)independiente de la dirección de movimiento.
kxa
m
kxa
m
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EJEMPLO 4: ¿CUÁL ES LA ACELERACIÓN MÁXIMA PARA LAMASA DE 2 Kg DEL PROBLEMA ANTERIOR? (A = 12 cm,K = 400 N/m)
m+x
La aceleración máxima ocurre cuando lafuerza restauradora es un máximo; esdecir: cuando el alargamiento ocompresión del resorte es mayor.
F = ma = -kx xmax = A
400 N( 0.12 m)
2 kg
kAa
m
amax = ± 24.0 m/s2Máximaaceleración:
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CONSERVACIÓN DE ENERGÍA
La energía mecánica total (U + K) de un sistema envibración es constante; es decir: es la misma encualquier punto en la trayectoria de oscilación.
m
x = 0 x = +Ax = -A
x va
Para cualesquier dos puntos A y B, se puede escribir:
½mvA2 + ½kxA
2 = ½mvB2 + ½kxB
2
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ENERGÍA DE SISTEMA EN VIBRACIÓN:
m
x = 0 x = +Ax = -A
x va
U + K = kA2 = constante (1)
• En los puntos A y B, la velocidad es cero y laaceleración es un máximo. La energía total es:
A B
U + K = kx2 + mv2 si x = A y v = 0.
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ENERGÍA DE SISTEMA EN VIBRACIÓN:
• En cualquier otro punto:
U + K = kx2 + mv2 = constante ………..(2)
• De (1) y 2) la energía total es:
U + K = kx2 + mv2 = mA2
En cualquierpunto
En x=A
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VELOCIDAD COMO FUNCIÓN DE LAPOSICIÓN.
m
x = 0 x = +Ax = -A
x va
kv A
m
vmax
cuandox = 0:
2 2kv A x
m 2 2 21 1 1
2 2 2mv kx kA
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EJEMPLO 5: UNA MASA DE 2 kg CUELGA EN EL EXTREMO DE UNRESORTE CUYA CONSTANTE ES K = 800 N/m. LA MASA SEDESPLAZA UNA DISTANCIA DE 10 CM Y SE LIBERA. ¿CUÁL ES LAVELOCIDAD EN EL INSTANTE CUANDO EL DESPLAZAMIENTO ESX = +6 CM?
m+x
½mv2 + ½kx 2 = ½kA2
2 2kv A x
m
2 2800 N/m(0.1 m) (0.06 m)
2 kgv
v = ±1.60 m/s
De la ley de conservación de la energía:
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EJEMPLO 5: ¿CUÁL ES LA VELOCIDAD MÁXIMA PARA ELPROBLEMA ANTERIOR? (A = 10 cm, K = 800 N/m, m = 2 Kg.)
m+x
v2 + kx 2 = kA2
800 N/m(0.1 m)
2 kg
kv A
m
v = ± 2.00 m/s
0
La velocidad es máxima cuando
x = 0:
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EL CÍRCULO DE REFERENCIACOMPARA EL MOVIMIENTOCIRCULAR DE UN OBJETO CON SUPROYECCIÓN HORIZONTAL.
w = 2f
EL CÍRCULO DE REFERENCIA
cos(2 )x A ft cos(2 )x A ft
x = Desplazamientohorizontal.
A = Amplitud (xmax).
q = Ángulo de referencia.
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VELOCIDAD EN MAS
LA VELOCIDAD (V) DE UN CUERPOEN OSCILACIÓN EN CUALQUIERINSTANTE ES EL COMPONENTEHORIZONTAL DE SU VELOCIDADTANGENCIAL (VT).
vT = wR = wA; w = 2f , R=A
v = -vT sen ; = wt
v = -w A sen w t
v = -2f A sen 2f t
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LA ACELERACIÓN (a) DE UN
CUERPO EN OSCILACIÓN ENCUALQUIER INSTANTE ES ELCOMPONENTE HORIZONTAL DE SU
ACELERACIÓN CENTRÍPETA (ac).
ACELERACIÓN Y CÍRCULO DE REFERENCIA
a = -ac cos q = -ac cos(wt)
2 2 22;c c
v Ra a R
R R
R = Aa = -w2A cos(wt)
2 24 cos(2 )a f A ft 2 24a f x
V=ωR
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EL PERIODO Y LA FRECUENCIA COMOFUNCIÓN DE A Y X.
PARA CUALQUIER CUERPO QUE EXPERIMENTE MOVIMIENTOARMÓNICO SIMPLE:
Dado que a = -4p2f2x y T = 1/f
1
2
af
x
1
2
af
x
2
xT
a
2
xT
a
La frecuencia y el periodo se puedenencontrar si se conocen el desplazamiento y
la aceleración. Note que los signos de a y xsiempre serán opuestos.
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PERIODO Y FRECUENCIA COMO FUNCIÓN DE LAMASA Y LA CONSTANTE DE RESORTE.
Para un cuerpo en vibración con unafuerza restauradora elástica:
Recuerde que F = ma = -kx:
1
2
kf
m
1
2
kf
m 2
mT
k 2
mT
k
La frecuencia f y el periodo T se puedenencontrar si se conocen la constante deresorte k y la masa m del cuerpo envibración. Use unidades SI consistentes.
La frecuencia f y el periodo T se puedenencontrar si se conocen la constante deresorte k y la masa m del cuerpo envibración. Use unidades SI consistentes.
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EJEMPLO 6: EL SISTEMA SIN FRICCIÓN QUE SE MUESTRA ABAJOTIENE UNA MASA DE 2 Kg UNIDA A UN RESORTE (K = 400 N/m).LA MASA SE DESPLAZA UNA DISTANCIA DE 20 cm HACIA LADERECHA Y SE LIBERA. ¿CUÁL ES LA FRECUENCIA DELMOVIMIENTO?
m
x = 0 x = +0.2 m
x va
x = -0.2 m
1 1 400 N/m
2 2 2 kg
kf
m
f = 2.25 Hz
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EJEMPLO 6: SUPONGA QUE LA MASA DE 2 Kg DEL PROBLEMAANTERIOR SE DESPLAZA 20 cm Y SE LIBERA (K = 400 N/m).¿CUÁL ES LA ACELERACIÓN MÁXIMA? (F = 2.25 Hz)
m
x = 0 x = +0.2 m
x va
x = -0.2 m
2 2 2 24 4 (2.25 Hz) ( 0.2 m)a f x
La aceleración es un máximo cuando x = A
a = 40 m/s2
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EJEMPLO 6: LA MASA DE 2 Kg DEL PROBLEMA ANTERIOR SEDESPLAZA INICIALMENTE A X = 20 cm Y SE LIBERA. ¿CUÁL ESLA VELOCIDAD 2.69 s DESPUÉS DE LIBERADA? (RECUERDE QUEf = 2.25 Hz.)
s2.69Hz2.252m0.2Hz2.252 senv
m
x = 0 x = +0.2 m
x va
x = -0.2 m
v = -0.916 m/s
v = -2f A sen 2f t
(Nota: q en rads) 2 (2.25 Hz)(0.2 m)(0.324)v
El signo menos significaque se mueve hacia laizquierda.
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EJEMPLO 7: ¿EN QUÉ TIEMPO LA MASA DE 2 Kg SE UBICARÁ 12cm A LA IZQUIERDA DE X = 0?(A = 20 cm, F = 2.25 HZ)
m
x = 0 x = +0.2 m
x va
x = -0.2 m
t = 0.157 s
cos(2 )x A ft
-0.12 m
10.12 mcos(2 ) ; (2 ) cos ( 0.60)
0.20 m
xft ft
A
2.214 rad2 2.214 rad;
2 (2.25 Hz)ft t
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EL PÉNDULO SIMPLE
El periodo de un péndulosimple está dado por:
mg
L
2L
Tg
Para ángulos pequeños q.
1
2
gf
L
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EJEMPLO 8. ¿CUÁL DEBE SER LA LONGITUD DE UN PÉNDULOSIMPLE PARA UN RELOJ QUE TIENE UN PERIODO DE DOSSEGUNDOS)?
2L
Tg
L
22 2
24 ; L =
4
L T gT
g
2 2
2
(2 s) (9.8 m/s )
4L
L = 0.993 m
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F ma kx F ma kx kx
am
kxa
m
m
x = 0 x = +Ax = -A
x va
mvA2 + kxA
2 = mvB2 + kxB
2
Conservación de energía:
RESUMEN (MAS)
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RESUMEN (MAS)
2 2kv A x
m 2 2k
v A xm
2 2 21 1 12 2 2mv kx kA 2 2 21 1 12 2 2mv kx kA
0
kv A
m0
kv A
m
cos(2 )x A ft cos(2 )x A ft 2 24a f x 2 24a f x
ftfAv 2sen2
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RESUMEN: PERIODO Y FRECUENCIAPARA RESORTE EN VIBRACIÓN.
m
x = 0 x = +Ax = -A
x va
1
2
af
x
1
2
af
x
2
xT
a
2
xT
a
2m
Tk
2m
Tk
1
2
kf
m
1
2
kf
m
![Page 40: Fisica I - Movimiento Armónico Simple](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042506/56d6bfbf1a28ab301697854c/html5/thumbnails/40.jpg)
RESUMEN: PÉNDULO SIMPLE
2L
Tg
1
2
gf
L
L
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CONCLUSIÓNES