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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO

1

CAPÍTULO I


INTRODUCCIÓN

Sin duda, la parte más apasionante de la matemática, la constituye el

cálculo, podemos mencionar sin lugar a equivocarnos que es la parte que

más aplicaciones tiene en la vida real, constituye parte de la formación

integral del ser humano, se aplica en el desarrollo de toda profesión

técnica, en el diario vivir de una persona y en todos los campos de

trabajo. Por ello, constituye un verdadero privilegio ingresar al estudio de

esta parte maravillosa de la ciencia.

1.1 CONJUNTOS DE NÚMEROS

El conjunto de los números enteros está constituido por los números

enteros positivos, negativos y el cero Z = {....-2, -1, 0 1, 2 .... }, el

conjunto de los naturales, está formado por los enteros positivos

N = {1, 2, 3, .....}, los racionales son aquellos que pueden expresarse

como el cociente de dos números enteros Q = {…2/3, -1/5, 4/97, …..}, y

los irracionales I = {… 2, 7 , π, e, ...} lo constituyen los que no pueden

ser expresados de la última forma, es decir, como el cociente de dos

enteros. Los números reales R, constituyen un conjunto que tiene por

subconjuntos a todos los anteriores, y que es a su vez, subconjunto del

conjunto de los números complejos C que incluye el número imaginario i

que es igual a la raíz cuadrada de menos uno. 𝑖 = √−1

Los números reales pueden ser representados mediante la recta real, cada

punto de la recta real corresponde a un sólo número real, existiendo una

correspondencia uno a uno. El cálculo se desarrolla en este conjunto.

La recta real está ordenada, de modo que es posible establecer

comparaciones como; -3 es menor que 0, 4 es mayor que -1, etc. En

general se puede decir que; a es menor que b, ( a < b ) o bien que: b es

1

1/2

3 4 0 -1 -2 -3 -4 -∞ -∞ 2

π -1,8 4,4 • •

a b


2

mayor que a ( b > a ). Si se considera un valor x, comprendido entre a y

b se expresa que:

a < x < b

Lo cual permite definir el intervalo abierto (a,b). Si el intervalo

comprende además los extremos, se tiene el intervalo cerrado [a,b]

a x b

Existen también intervalos semiabiertos (a,b] o bien [a,b), y aquellos

denominados intervalos infinitos (-,b] o bien, [a, ), también (-,).

Nótese que ± no puede aparecer como extremo de un intervalo cerrado,

siempre delimita el extremo de un intervalo abierto.

Estas comparaciones entre números reales permiten definir y desarrollar

las desigualdades, en las cuales rigen las siguientes propiedades:

1.- Si a < b y b < c entonces a < c

2.- Si a < b y c es un número cualquiera,

entonces a+c < b+c y a-c < b-c

3.- Si a < b y c < d, entonces a+c < b+d

4.- Si a < b, entonces

a c < b c, si c > 0

mientras que a c > b c, si c < 0 (es decir c negativo)

Ejemplo 1 Resolver la siguiente desigualdad

4x - 3 > 2x + 1

4x - 2x > 1 + 3

2x > 4

x > 2

o bien;

2 < x < ; (2, ) ;

0 1 2 3 4

La respuesta es mostrada de tres formas; como inecuación, intervalo y

gráficamente.


3

1.2 VALOR ABSOLUTO

Si x es un número real cualquiera, el valor absoluto de x, que se denota

por │x│, queda determinado por:

x, si x > 0

│x│ =

-x, si x < 0

Esto significa que: a a Además, a a

Por tanto 2 0a a a a a

también a b si y sólo si b a b

Ejemplo 2 Resolver │x│ 3

Obviamente, parte de la solución de este ejercicio es x 3, pero puede

observarse que

x -3 también resuelve la ecuación, por tanto puede escribirse;

-3 x 3 ; ( -,-3 ] o [ 3, )

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Ejemplo 3 -5 < 3x - 2 < 5

-3 < 3x < 7

-1 < x < 7/3

(-1 , 7/3)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

7/3

Nótese que, al resolver el anterior ejercicio se ha resuelto la desigualdad

│3x -2│< 5


4

Ejemplo 4

x/3 + x/4 > 6

4x + 3x > 6 (12)

7x >72

x > 72/7

( 72/7 , )

0 5 10 72/7 15 20 25

Ejemplo 5 Demostrar que:

│a + b│ │a│ + │b│ ( Desigualdad Triangular )

Sumemos las desigualdades

-│a│ a │a│

-│b│ b │b│

Entonces

-│a│-│b│ a + b │a│ + │b│

-(│a│ + │b│) ( a + b ) (│a│ + │b│)

Considerando ( a + b ) como una sola cantidad con valor absoluto, se

tiene:

│a + b│ │a│ + │b│ lqqd.

Ejemplo 6 Resolver x² - 2x -8 > 0

( x - 4 ) ( x + 2) > 0

Esta desigualdad se verifica si

x - 4 > 0 y x + 2 > 0

x > 4 y x > -2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-───┴───┴───┴───┴───┴───

La intersección de estas dos soluciones es:

x > 4 a)


5

o bien

x - 4 < 0 y x + 2 < 0

x < 4 y x < -2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-───┴───┴───┴───┴───┴───

La intersección de estas dos soluciones es

x < -2 b)

La solución final vendrá dada por la unión de las soluciones a) y b)

x < -2 U x > 4

( - , -2 ) U ( 4 , )

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-───┴───┴───┴───┴───┴───

Las inecuaciones de segundo grado y superiores pueden resolverse

encontrando las raíces de la misma, ordenándolas en la recta real y

verificando la validez de la inecuación en un intervalo, los intervalos

vecinos tendrán validez contraria y serán alternados. Para evitar cualquier

confusión en la forma de solución se establece que, cuando la inecuación

tenga dos puntos en la recta real se debe hacer el análisis correspondiente

para determinar si se toma unión o intersección de soluciones, pues es

importante que se aprenda como elegir estas opciones, para tres puntos o

más aplique la solución abreviada.

La inecuación anterior para el valor x = 0 dará:

2 2 8 0 8 0x x FALSO

Por tanto

-3 -2 0 4 5

V F V


6

Ejemplo 7 Resolver x2 – 2 x – 8 < 0

( x - 4 ) ( x + 2) < 0

Esta desigualdad se verifica si

)202

404A

xx

xx

La intersección es el conjunto vacío

También

)42202

404Bx

xx

xx

La solución final vendrá dada por la unión de las soluciones A) y B)

∅ ∪ −2 < 𝑥 < 4 → −2 < 𝑥 < 4 ( -2 , 4 )

Ejemplo 8 Resolver │ x + 3 │ │2x + 8 │

- │ 2x + 8 │ x + 3 │ 2x + 8 │

Para la desigualdad de la izquierda se tiene:

│ 2x + 8 │ - x - 3

x + 3 2x + 8 - x - 3

3 - 8 2x - x 2x + x - 3 - 8

x - 5 x -11/3

( - , -5 ] [ -11/3 , )

La unión de estas dos soluciones será:

4 -2 -

4 -2 -

4 -2 -


7

V -5 F -11/3 V

( - , -5 ] ∪ [ -11/3 , ) A)

Para la desigualdad de la derecha tenemos:

x + 3 2x + 8 - x - 3

x -5 x -11/3

[ -5 , ) ( - , -11/3 ]

Considerando la unión de estas dos soluciones se tiene que;

V -5 V -11/3 V

x ε ( - , ) = R B)

Finalmente la intersección de las soluciones A) y B) nos da la solución

final

( - , -5 ] ∩ [ -11/3 , )

V -5 F -11/3 V

Un saludable hábito constituye el de verificar la solución final, pues en

ocasiones es fácil tomar inadecuadamente la intersección o unión de las

soluciones, si los valores extremos se hallaron sin incurrir en errores, será

suficiente verificar la inecuación para un sólo valor del intervalo, de este

modo se podrá también definir los restantes intervalos alternando valores

de falso y verdadero.

Ejemplo 9 Resolver

432

24

32

2

x

x

x

x


8

1282128

1282

3242

xxx

xx

xx

- │8x - 12│< x + 2 x + 2 < │8x - 12│

│8x - 12│> - x - 2 x + 2 < 8x - 12 < - x - 2

x + 2 > 8x - 12 > - x - 2 14 < 7x 9x < 10

14 > 7x 9x > 10 x > 2 x < 10/9

x < 2 x > 10/9 ( 2 , ) o ( - ,10 /9 )

( - , 2 ) o ( 10/9 , )

( - , )

La solución final vendrá dada por la intersección de estas dos soluciones:

( - , ) ∩ [( - ,10 /9 ) ∪ ( 2 , )]

V 10/9 F 2 V

( - ,10 /9 ) ∪ ( 2 , )

x < 10 /9 ∪ x > 2

Ejemplo 10

Resolver 2 2

4

x x

x x

2 2 ( 2) ( 2)( 4)0 0

4 ( 4)

x x x x x x

x x x x

2 2( 2 ) ( 4 2 8)

0( 4)

x x x x x

x x

2 22 4 2 8 8

0 0( 4) ( 4)

x x x x x

x x x x

Esta inecuación se resuelve para los siguientes dos casos:

a) Los factores del denominador son ambos positivos


9

4 0 44

0

x xx

x

b) Los factores del denominador son ambos negativos

4 0 40

0

x xx

x

La solución final viene dada por la unión de las soluciones de a) y b)

0 4

( ,0) (4, )

x x

Ejemplo 11 Resolver 1 1 1

1 1x x x

2( 1) ( 1) ( 1)

0( 1)( 1)

x x x x x

x x x

2 2 210

( 1)( 1)

x x x x x

x x x

23 1

0( 1)( 1)

x

x x x

Esta inecuación puede resolverse aplicando la regla de los signos, que

consiste en ubicar las raíces en la recta real, verificar la solución en el

primer intervalo y alternar valores de verdad en los intervalos siguientes.

4 0 -

4 0 -

4 0 -


10

Para x = 2 se obtiene 1,83>0 que es verdadero, por tanto, en el intervalo

(1,) la inecuación se cumple y se alternan los valores de verdad de los

siguientes.

Ejemplo 12 Resolver (x+2)(x-1)(x-3)(x-4)>0

Con las mismas consideraciones del problema anterior que puede

aplicarse a inecuaciones se tiene:

Para x = -3 ; 168 > 0 que es verdadero, por tanto la solución será:

Ejemplo 13 03

2

9

3

x

x

x

x

3 2 ( 3)( 3)1

9 3 ( 9)( 2)

x x x x

x x x x

2

2

91

11 18

x

x x

2 29 11 18x x x

2 2 29 11 18 9x x x x

a) Para la desigualdad de la izquierda

( ( )

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

) -

V F V F V

-1 −1/√3 0 1/√3 1 2

3 4 ( ) ( ) -

F V F V F V

(


11

2 2

2 2 2

2

9 11 18

11 18 9 11 18

0 2 11 9 ; 9 1

2

1 18

(2 9)( 1) 0 ;

9 91

2 2

9

1

12

7

1

1

x x x

x x x x x

x x x

x x

x y x x

o bien

x y x

x

x

La intersección

𝑥 <27

11∩ ( 𝑥 < 1 ∪ 𝑥 >

9

2)

La intersección de estas dos soluciones es: 𝑥 < 1 a)

b) Para la desigualdad de la derecha se tiene

2 2

2 2

2 2 2

2

11 18 9

11 18 9

11 18 9 11 18

2 11 9 0 ; 9 11 18

(2 9)(27

111) 0 ;

x x x

x x x

x x x x x

x x x

x x x

( ) 9 0 -2 -1 5 4 3 2

1

10 8 6 7

V V

9/2

F

) 27/11


12

9 91

2 2

91 1

2

x y x x

o bien

x y x x

La intersección de soluciones

.

𝑥 >27

11∩ (1 < 𝑥 <

9

2)

La intersección es: 27

11< 𝑥 <

9

2 b)

La solución final será la unión de las soluciones a) y b):

𝑥 < 1 ∪ 27

11< 𝑥 <

9

2

El valor de x = 3 no corresponde a la solución porque hace indeterminado

uno de los términos de la inecuación.

También se podía resolver ubicando los valores críticos: 27/11 ; 1 ; 9/2 ;

para x = 0

3 20

9 3 que es verdadero

) ( 0 -2 -1 5 4 2 1 10 8 6 7 9

V F F

27/11 1

( 9/2

( 0 -2 -1 5 4 2 1 10 8 6 7 9

V V F

) F

3

9/2

) 27/11


13

Por tanto, se comprueba la solución hallada anteriormente

NOTA Es importante que el estudiante resuelva ejercicios por su propia

cuenta, ya que constituye la única forma de consolidar sus conocimientos,

se deben resolver los problemas 1 al 10 de la práctica No 1 página 295

1.4 GRÁFICAS DE ECUACIONES

Gráfica de una ecuación a dos variables x, y es la colección de todos los

puntos en el plano que son solución de la ecuación. Para dibujar dicha

gráfica se deben tomar en cuenta las siguientes consideraciones.

1.4.1 INTERSECCIONES CON LOS EJES1

Para hallar la intersección con el eje x se hace y=0 y se resuelve la

ecuación en x hallando un punto (a,0), mientras que la intersección con el

eje y se halla haciendo x=0 y resolviendo para y, definiendo un punto de

la forma (0,b). Estos puntos son fáciles de hallar y se debe tratar de

ubicarlos en primera instancia.

1.4.2 SIMETRÍA

La gráfica de una ecuación es simétrica respecto del:

a) Eje y, si al sustituir x por -x se obtiene una ecuación equivalente.

b) Eje x, si al sustituir y por -y se obtiene una ecuación equivalente.

c) Al origen, si al sustituir x por -x e y por -y se obtiene una ecuación

equivalente.

En los siguientes problemas dibujar las gráficas de cada una de las

siguientes ecuaciones, determinando simetría e intersecciones con los ejes

Ejemplo 14 y = 1 - x²

La ecuación corresponde a una parábola que abre hacia abajo.

x y

- y = 1 - x² → No es simétrica al eje x 0 1

y = 1 - (-x)² → Es simétrica al eje y ±1 0

- y = 1 - (-x)² → No es simétrica al origen

1 LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica. Mc Graw Hill, 1987


14

Ejemplo 15 y = x3 + 2

- y = x3 + 2 → No es simétrica al eje x x y

y = (-x)3 + 2 → No es simétrica al eje y 0 2

- y = (-x)3 + 2 → No es simétrica al origen 3-2 0

Ejemplo 16 x² + 4y² = 4

La ecuación corresponde a una elipse con centro en el origen

(-x)² + 4y² = 4 → Es simétrica al eje y x y

x² + 4(-y)² = 4 → Es simétrica al eje x 0 ±1

(-x)² + 4(-y)² = 4 → Es simétrica al origen ±2 0

y = x3 + 2

21y x


15

Ejemplo 17 y = x3 - 3x y = x(x² -3)

- y = x3 - 3x → No es simétrica al eje x x y

y =(- x)3 - 3(-x) → No es simétrica al eje y 0 0

- y =(- x)3 - 3(-x) → Es simétrica al origen ±√3 0

1 -2

1.5 FUNCIONES

Una función es una relación entre dos variables tal que a cada valor de la

variable independiente le corresponde un solo valor de la variable

dependiente.

La colección de todos los valores que toma la variable independiente se

x² + 4y² = 4


16

llama dominio ( dominio de definición) de la función, y la colección de

todos los valores que toma la variable dependiente se llama recorrido

(rango) de la función.

Si a cada valor en el recorrido le corresponde un sólo valor en el dominio,

se dice que la función es uno a uno.

La tabla siguiente permite identificar claramente las funciones:

Ecuación

inicial

y=f(x) ¿Es

función? x=f(y) ¿Es

función? ¿Es 1-

1? 3 2 3x y 3 3

2 2y x

Si 21

3x y

Si Si

2 2x y 2 2y x Si 2x y No No

23 3x y

13

xy

No

23 3x y

Si

No

2 24 4x y

2

14

xy

No

24 4x y

No

No

3 0y x 3y x Si 3x y Si Si

La condición de una función también puede determinarse gráficamente,

para ello se dibuja una gráfica de todas las ecuaciones planteadas en la

tabla, para determinar si y=f(x) se dibuja una recta vertical que corte a las

gráficas, si existe un solo punto de corte se trata de una función.

Si se traza una recta vertical que corte a las gráficas se puede determinar

si x=f(y) constatando que la recta corte a cada una de las gráficas en un

solo punto.


17

Puede observarse que la hipérbola 2 24 4x y y la parábola 23 3x y

son cortadas en dos puntos por la recta 3x por tanto no son funciones

de la forma y=f(x) Las otras gráficas corresponden a funciones ya que la

recta vertical x=0.5 corta las gráfica en un solo punto.

Para determinar cuáles de las ecuaciones corresponden a funciones de la

forma x=f(y) se ha dibujado la recta horizontal y=-0.5 que corta a la

hipérbola 2 24 4x y y a la parábola 2 2x y en dos puntos, por

tanto dejan de ser funciones, mientras que las otras gráficas si lo son.

Ejemplo 18

Si f(x) = 3x² - 8x + 2 Determinar si la función es uno a uno y hallar f(2);

f(x+5) , f(z-2)

Puesto que 3x² - 8x + 2 es una ecuación de segundo grado con dos raíces

reales, existirán dos valores de x para un solo y, por tanto la función no es

uno a uno

3 2 3x y

2 2x y 23 3x y

2 24 4x y 2 24 4x y

3 0y x

0.5x 3x

0.5y


18

f(2) = 3 (2)² - 8 (2) + 2 = 12 - 16 + 2 = -2

f(x+5) = 3 (x + 5)² - 8(5) + 2 = 3x² + 30x + 75 - 40 +2 = 3x² + 30x + 37

f(z-2) = 3 (z - 2)² - 8 (z - 2) + 2 = 3z² - 12z + 12 - 8z + 16 + 2 =

= 3z² - 20z + 30

Ejemplo 19

Grafique la función parte entera de x (escalera) f(x) =║x║

Esta función asigna, para todo número real x, f(x) el mayor entero que sea

igual o menor que x, Ejemplo f(-1/3) = -1 , f(1,7) = 1 , f(5) = 5 , etc. Su

gráfica es:

1.6 FUNCIÓN COMPUESTA La función f º g = f (g(x)) se llama función compuesta de f con g, en ellas

se supone que el recorrido de g está en el dominio de f.

Ejemplo 20

Si f(x) = 3x - 4 , g(x) = x3 + 4 Hallar f º g y g º f

f º g = f( g(x)) = f (x3 + 4) = 3(x3 + 4) - 4 = 3x3 + 12 - 4 = 3x3 + 8

g º f = g( f(x)) = g (3x - 4) = (3x - 4)3 + 4 = 27 x3 - 108 x² + 144 x + 68

Claramente se ve que f º g ╪ g º f


19

1.7 FUNCIÓN INVERSA

f(x) y g(x) son funciones inversas una de otra si

f( g(x)) = x para cada x en el dominio de g

g( f(x)) = x para cada x en el dominio de f

La función inversa se denota por f -1, que se lee inversa de f

Ténganse en cuenta que para dos funciones inversas f y g, el recorrido de

g ha de ser igual al dominio de f y viceversa.

Ejemplo 21 Hallar la inversa de f(x) = x - 3 dibujar f y f -1

Sea f(x) = y = x - 3

f -1(x) = x = y + 3 o bien f -1(x) = g(x) = x + 3

f( g(x)) = f(x + 3) = x + 3 - 3 = x

g( f(x)) = f(x - 3) = x - 3 + 3 = x

Operación que sugiere la siguiente interpretación geométrica

La gráfica de f contiene el punto ( a , b ) si y solo si la gráfica de f -1

contiene el punto ( b , a ).

Las funciones f(x) y g(x) son inversas una de la otra.

4

3

2

1

-4

-3

-2

-1 -5 -4 -3 -2 -1 5 4 3 2 1


20

Ejemplo 22 Hallar la función inversa de xxf )( definida en el

primer cuadrante.

Claramente la función inversa será: 21 )( xxf Sus gráficas son:

Nótese que; las funciones directa y su inversa tienen gráficas simétricas al

origen.

1.8 FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Son funciones que se basan en las funciones exponenciales ex y e-x y

se definen como sigue:

sinh ; cosh2 2

sinh coshtanh ; coth

cosh sinh

x x x x

x x x x

x x x x

e e e ex x

x e e x e ex x

x xe e e e

1 2 1 2csch ; sech

sinh coshx x x xx x

x xe e e e


21

sinh2

x xe ex

( )2

xef x

( )2

xeg x

cosh2

x xe ex

( )2

xef x

( )2

xeg x


22

1 2sech

cosh x xx

x e e

1 2csch

sinh x xx

x e e


23

sinhtanh

cosh

x x

x x

x e ex

x e e

coshcoth

sinh

x x

x x

x e ex

x e e


24

Ejemplo 23 Graficar las siguientes ecuaciones: La circunferencia de

centro en el origen y radio cuatro; 2 2 4x y , la hipérbola de centro en

el origen y ecuación 2 24 2x y , la elipse de centro en el origen

2 24 6x y , la elipse cuyo centro está desplazado sobre el eje x

2 24 7 6x y x

Observe que la aparición en la elipse del término 7x ocasiona un

desplazamiento de la elipse sobre el eje x, además de la modificación de

su diámetro, un término de la forma Ey, afecta de manera similar

produciendo un desplazamiento sobre el eje y. El efecto de estos términos

es similar para las otras ecuaciones.

NOTA Concluir la práctica No 1 ejercicios 11 al 20 página 294

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