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INGENIERÍA ECONÓMICA Y FINANZAS

Interés Compuesto

PEDRO PRADA VEGA

2012 - I

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Interés Compuesto

niVAVF )1(

)1(...)1()1()1( iiiiVAVF

1)1( iVA 2)1( iVA 3)1( iVA )1()1( iiVA )1()1( 2 iiVA )1()1( 1 iiVA n

iVAVA iiVAiVA )1()1( iiVAiVA 22 )1()1( iiVAiVA nn 11 )1()1( iVA iiVA )1( iiVA 2)1( iiVA n 1)1(

(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) 1 2 3 4 ......… n-1 n VA

i por periodo

niVAVF )1(

VAVFI VAiVAI n )1( 1)1( niVAItambién:

3

Tasa Nominal y Tasa Proporcional

• Tasa Nominal (j)

• Tasa Proporcional (i)

%100m

ji

4

Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Constante

Actualización

niVAVF )1(

(1+i) (1+i) (1+i) (1+) (1+i) 1 2 3 4 ……… n-1 n

i

ni

VFVA

)1(

Capitalización

5

Valor Futuro en el Interés Compuesto con Tasa Constante

IVAVF

1)1( niVAVAVF

niVAVF )1(

)1(...)1()1()1( iiiiVAVF

niVAVF )1(

o también:

n factores

6

Valor Actual en el Interés Compuesto con Tasa Constante

IVAVF

IVFVA 1)1( niVAVFVA

ni

VFVA

)1(

)1(...)1()1()1( iiii

VFVA

ni

VFVA

)1(

o también:

n factores

7

Interés con Valor Futuro y Tasa Constante

IVAVF VAVFI

ni

VFVFI

)1(

ni

VFVFI

)1(1

Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:

8

Interés con Valor Actual Constante y Tasa Constante

1

1

n

VA

VFi

IVAVF VAVFI

Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:

VAiVAI n )1( 1)1( niVAI

Tasa de Interés (i) y el Tiempo (n)

)1( iLog

VA

VFLog

n

9

Tasa Efectiva (ie)

niVAVF )1(

(1+i) (1+i) (1+i) (1+i)

1 2 3 ……… n VA ie

%100

VA

VAVFi

%100)1(

VA

VAiVAi

n

e %1001)1( n

e ii

Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:

por periodo

10

Tasa Equivalente (ieq)

qe

peq ii )1()1(

%1001)1(

p

q

eeq ii por periodo

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Interés Devengado entre Periodos con Tasa Constante

(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)

0 k-1 k ………………… z n VA i por período

11 )1(

kk iVAVF z

z iVAVF )1(

1 kzkz VFVFI 1)1()1( kz

kz iVAiVAI

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Valor Futuro de un Valor Actual Variable con Tasa Constante

• En este caso el capital inicial varía durante el plazo de la operación financiera, es decir, se producen ingresos o egresos en referencia al capital inicial período a período, la variación del capital corresponde a la capitalización de intereses a la tasa constante cuando se produce un ingreso o un egreso.

• Para solucionar esta situación se fracciona la operación financiera en tramos, durante los cuales el valor actual y la tasa permanezcan constantes, es decir se hace un corte cuando se produzca un ingreso o un egreso y se resuelve como en los casos anteriores.

• También puede hallarse el valor futuro calculando el valor futuro de los ingresos y restándole el valor futuro de los egresos, a la correspondiente tasa de interés.

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Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Variable

VF (1+i1) ….. (1+i1) (1+i2) ….. (1+i2) (1+i3) ….. (1+i3) ….. (1+ik) ….. (1+ik)

0 VA …...

1i 2i 3i ki

1n 2n 3n kn

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Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Variable

• Valor Futuro de un Valor Actual Constante con Tasa Variable

• Valor Actual de un Valor Futuro con Tasa Variable

knk

nnn iiiiVAVF )1(.....)1()1()1( 321321

knk

nnn iiii

VFVA

)1(.....)1()1()1( 321321

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Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Variable

• Interés con Valor Actual Constante y Tasa Variable

• Interés con Valor Futuro y Tasa Variable

IVAVF

VAVFI

VAiiiiVAI knk

nnn )1(.....)1()1()1( 321321

1)1(.....)1()1()1( 321321 kn

knnn iiiiVAI

knk

nnn iiiiVFI

)1(.....)1()1()1(

11

321321

knk

nnn iiii

VFVFI

)1(.....)1()1()1( 321321

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Valor Futuro de un Valor Actual Variable con Tasa Variable

• En este caso el capital inicial varía durante el plazo de la operación financiera, es decir, se producen ingresos o egresos en referencia al capital inicial período a período, la variación del capital corresponde a la capitalización de intereses a las tasas variables y cuando se produce un ingreso o un egreso.

• Para solucionar esta situación se fracciona la operación financiera en tramos, durante los cuales el valor actual y la tasa permanezcan constantes, es decir se hace un corte cuando se produzca un ingreso, o un egreso o un cambio en la tasa de interés y se resuelve como en los casos anteriores.

• También puede hallarse el valor futuro calculando el valor futuro de los ingresos y restándole el valor futuro de los egresos, a las correspondientes tasas de interés.

Interés Devengado entre Periodos con Tasa Variable• Para determinar el interés devengado entre el periodo z-ésimo y el

periodo k-ésimo del horizonte temporal se debe restar el VFz del VFk-1 calculados a sus correspondientes tasa de interés.

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Ecuaciones de Valor Equivalente a Interés Compuesto • En el interés compuesto un flujo de ingresos y un flujo de

egresos ubicados en diferentes períodos de un horizonte temporal son equivalentes, si a una fecha determinada o fecha focal, sus respectivos valores actualizados, capitalizados, o uno actualizado y otro capitalizado; aplicando en todos los casos la misma tasa de interés, son iguales.

• VA(Ingresos) = VA(Egresos)• VF(Ingresos) = VF(Egresos)

• Propiedades– Si un flujo de ingresos y un flujo de egresos son

equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluación, también lo serán en cualquier otra fecha focal.

– Si un flujo de ingresos y un flujo de egresos no son equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluación, tampoco lo serán en cualquier otra fecha focal.

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Tasas de Interés en el Sistema Financiero Peruano

• Según el balance bancario: Activa (MN y ME) y Pasiva (MN y ME)

• Según el momento de cobro de intereses: Vencida y Adelantada.

• De acuerdo al cumplimiento de la obligación. Compensatoria y Moratoria.

• De acuerdo a su anuncio en la operación financiera: Explícita e Implícita.

• Para operaciones no financieras: Legal.