INTEGRALES DE SUPERFICIE.Podemos imaginarlos la integral de superficie como el equivalente en dos dimensiones a una integral de lnea siendo la regin de integracin una superficie en lugar de una curva. Antes de estudiar las integrales de superficie, se requerir del conocimiento de algunos hechos bsicos acerca de las superficies. Se tiene tres maneras de representar una superficie.1. En forma implcita. Una superficie es un conjunto de puntos tal que , en la cual no se puede despejar ninguna variable.2. En forma explcita. Una superficie est dada en forma explcita, si a partir de la ecuacin , se despeja una de las variables en funcin de las otras dos. Por ejemplo .3. En forma paramtrica. Que es la ms utilizada en el estudio de las superficies, tambin llamada representacin vectorial, expresada por medio de tres ecuaciones que expresan en funcin de dos parmetros y :

El punto puede variar en un conjunto conexo bidimensional en el plano , y los puntos correspondientes contribuyen una porcin de superficie en el espacio . Este mtodo es anlogo al de la representacin de una curva mediante tres ecuaciones con un parmetro. La presencia de los dos parmetros en la relacin (1) permite transmitir dos grados de libertad al punto

Dos ejemplos sencillos de parametrizacin de superficies son los siguientes:

a) Parametrizacin del plano en coordenadas polares. El plano z = k se puede parametrizar utilizando coordenadas polares:

b) Parametrizacin de una esfera mediante coordenadas esfricas. Una esfera de radio R se puede parametrizar utilizando dos ngulos:

De modo que la esfera S es:

Observacin: Consideraremos en todo momento superficies diferenciables . Fijado uno de los parmetros, pongamos que v, al variar el otro obtendramos una curva en R3. Las tangentes a esta curva en cada punto se pueden obtener por derivacin respecto a u:

y de similar forma podramos obtener el vector tangente a la superficie a lo largo de la direccin de v:

Dado un punto de la superficie S, como ambos vectores Tu y Tv son tangentes a dos curvas contenidas en S, ambos son ortogonales al vector normal a la superficie en ese punto y por lo tanto, por las propiedades del producto vectorial,

es normal a las superficie, siempre, claro est, que en el punto en cuestin (si esto es as, diramos que la superficie parametrizada no es suave; consideraremos que esto no ocurre). Comentario: Esto nos permite obtener la ecuacin del plano tangente en un punto

Ejemplo: Considerando la parametrizacin de la esfera antes considerada, tendramos que

Integral de una funcin escalar sobre una superficie parametrizada:Definicin:Si es una funcin escalar continua, denida sobre una supercie S, estando S parametrizada por el campo vectorial , con u y v variando en un dominio D, se define la integral de f sobre S como:

Producto Vectorial Fundamental.

EJERCICIOS: