Integrales definidas

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta

real, la integral definida  es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje

de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.

Se representa por  .

∫ es el signo de integración.

a l ímite inferior de la integración.

b l ímite superior de la integración.

f(x) es el integrando  o función a integrar.

dx es diferencial de x , e indica cuál es la variable de la función que se

integra.

Propiedades de la integrales definidas

1. El valor de la integral definida  cambia de signo si se permutan los

límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la  integral definida  vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida  se

descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y

[c, b].

4. La integral definida  de una suma de funciones es igual a la suma de

integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la

constante por la integral de la función.

 

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Ejercicios resueltos de integrales definidas

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Sea f(t) una función continua  en el intervalo [a, b]. A partir de esta

función se define lafunción integral :

que depende del límite superior de integración.

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la

llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.

Geométricamente la función integral , F(x), representa el  área del recinto

limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral , F(x), también se le llama función de áreas  de f en

el intervalo [a, b].

La derivada de la función integral de la función continua f(x) es la

propia f(x).

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo  nos indica que la derivación y la

integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra

y luego se deriva, se recupera la función original.

Ejemplos

Calcular la derivada de las funciones:

Regla de Barrow

Isaac Barrow  (1630-1677) fue un matemático inglés, cuya aportación más

importante a las Matemáticas fue la unión del cálculo diferencial e integral.

La regla de Barrow  dice que la integral definida de una función continua

f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que

toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

Ejemplos

Calcular las siguientes integrales definidas aplicando la  regla de Barrow .

Calculamos la integral definida por cambio de variable.

Hallamos los nuevos límites de integración.

Integramos por partes.

También se puede hacer sin transformar los límites de integración y

volviendo a la variable inicial.

http://books.google.com.mx/books?id=wwD5_lve6f4C&pg=PA347&lpg=PA347&dq=ejercicios+resueltos+integrales+definidas&source=bl&ots=Cgc200qnX7&sig=4keZ3nsTh5snaF28i6E3qb6xlqg&hl=es&sa=X&ei=sGHtUu_JKMnEyQHrsYCQAQ&ved=0CFAQ6AEwBzgK#v=onepage&q=ejercicios%20resueltos%20integrales%20definidas&f=false DIRECCION ELECTRONICA SOBRE INTEGRALES

http://www.youtube.com/watch?v=8G2fahBhJeY LIGA DE VIDEO DE UNA INTEGRAL DEFINADA

http://www.youtube.com/watch?v=NkJGUrafy1s VIDEO DE INTEGRAL DEFINIDA

http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/segundo_ciencias/integral_defi/problemas/p_integral_defi.html, DIRECCION SOBRE INTEGRALES DEFINIDAS

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Ejercicios resueltos

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S o l u c i o n e s

Enunciados

 

 

 

Enunciados

Enunciados

 

 

 

 

 

 

 

Enunciados

Enunciados

Enunciados

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Enunciados

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Teorema Fundamental de Cálculo

Los pasos para el Teorema fundamental del cálculo1.-Se verifica el dominio de la función de la integral dentro del intervalo a evaluar. ( el teorema sólo se puede aplicar si la función es continua para todo el intervalo.)2.- Se resuelve la integral de acuerdo a la función presente, puede ser cualquier método de integración. ( los límites de integración deben concondar con la variable a estudiar, es decir si se realiza un cambio de variable se deben cambiar los límites)3.- Se debe evaluar la función resultante, sustituyendo los límites  superior menos inferior, como se puede ver en la fugura es por la diferencia.Propiedades de la integral definida:

Integrales impropias

Hasta ahora se han estudiado integrales cuyos intervalos sean continuos y existententes, sin embargo no siempre eso ocurre, hay integrales que tiene inexistencias bien en los extremos o el un valor dentro del intervalo. Como se ve a continuación: 

Caso 1 El intevalo es semi abierto o semi cerrado (a,b] o[a.b)

Caso2  El intervalo es abierto. (a,b), para lo que se requiere de un valor c que pertenece a (a,b) para el cual si hay existencia de la función. (a,b)    a < c < b  y   fc existe

Caso3  El intervalo es cerrado [a,b], pero dentro del intervalo hay un valor c que no satisface la función.[a,b]   c pertenece y f(c) no exite. http://books.google.com.mx/books?id=YFXiagjvmDYC&pg=PA3&lpg=PA3&dq=ejercicios+resueltos+integrales+definidas&source=bl&ots=wEjguHZbWq&sig=hc6Cw2Lxj6HS_lX3fGxlcGOZyrw&hl=es&sa=X&ei=h2TtUu32JKS6yAHKsoGQDw&ved=0CFIQ6AEwBzgU#v=onepage&q=ejercicios%20resueltos%20integrales%20definidas&f=false DIRECCION ELECTRONICA DE 900 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES

http://matematica1.com/category/integral-definida/ IDRECCION ELECTRONICA DE EJERCICIOS DE INTEGRALES RESUELTOS