integral definida comision 130 - 2013´

INTEGRAL DEFINIDA

Comision 130 - 2013

Analisis Matematico 2 (FCEIA) 1 / 29

COMISION 130

Erica Hinrichsen, [email protected]

Monica Napolitano

Marcelo Severino

HORARIOS

Lunes de 15:05 a 18:15 T/P Aula 02

Martes de 15:05 a 17:10 T Aula 02

Jueves de 12:55 a 15:00 P Aula 28

http://www.facebook.com/groups/2013AM2comision130http://www.fceia.unr.edu.ar/∼ ericah/ ∼ (Alt Gr + 4 espacio)

C-VIRTUALusuario: lbasica contrasena: rosarioLaboratorio Basica → archivos → Analisis Matematico II


AREA DE POLIGONOS

Base×Altura


AREA DE POLIGONOS

Base×Altura

12

Base×Altura


AREA DE POLIGONOS

12

(Base Mayor + Base menor)×Altura


AREA DE POLIGONOS

12

(Base Mayor + Base menor)×Altura

metodo de exhaucion... los griegos hace 2500 anos...


M ETODO DE EXHAUCION

Eudoxo (siglo V a.C)

A = πr2



Arquımedes (287-212 A.C.)



A partir del siglo XVI se desplaza el sistema de numeracion romanopor los caracteres arabigos utilizados hoy, aparecen los signos +,−.Tambien se reconocen las ventajas del sistema decimal. Resultadosalgebraicos obtenidos por Tartaglia, Cardano y Ferrari animan a laaceptacion del nuevo y superior lenguaje algebraico.




Se revive el interes por el metodo de exhaucion y hay resultados deCavalieri, Torricelli, Fermat, Pascal y Wallis. Este metodo fuetransformandose y recibio su mayor impulso en el siglo XVII porNewton (1642-1727) y Leibnitz (1646-1716).




Se revive el interes por el metodo de exhaucion y hay resultados deCavalieri, Torricelli, Fermat, Pascal y Wallis. Este metodo fuetransformandose y recibio su mayor impulso en el siglo XVII porNewton (1642-1727) y Leibnitz (1646-1716).

Su desarrollo continuo en el siglo XIX hasta que Cauchy (1789-1857)y Riemann (1826-1866) le dieron una base matematica firme. Susafinamientos y extensiones llegan hasta la Matematicacontemporanea.


EL PROBLEMA DEL AREA - CALCULO INTEGRAL

area

volumen

longitud de una curva

masa

centro de gravedad

trabajo...


DEFINICIONES PREVIAS: FUNCION ACOTADA

Una funcion f es acotada superiormente en A si existe un numero stal que para todo x ∈ A resulta f (x)≤ s




s → es una cota superior de f en A.





Una funcion f es acotada inferiormente en A si existe un numero utal que para todo x ∈ A resulta u ≤ f (x)






u → es una cota inferior de f en A.







Si una funcion es acotada superior e inferiormente en un conjunto Ase dice que es acotada en A.








Definiciones equivalentes para f acotada en A:

existen u y s tales que para todo x ∈ A resulta u ≤ f (x)≤ s








Definiciones equivalentes para f acotada en A:

existen u y s tales que para todo x ∈ A resulta u ≤ f (x)≤ s

existe m > 0 tal que para todo x ∈ A resulta |f (x)| ≤ m



Ejercicio: En cada caso decir si la funcion es acotada, acotada inferiory/o superiormente.

1 f1(x) = senx , A1 = R




1 f1(x) = senx , A1 = R

Si existe una cota superior (inferior), hay INFINITAS cotassuperiores (inferiores).




1 f1(x) = senx , A1 = R


2 f2(x) = x2, A2 = R




1 f1(x) = senx , A1 = R


2 f2(x) = x2, A2 = R

3 g(x) = 1/x , A3 = [2,∞)




1 f1(x) = senx , A1 = R


2 f2(x) = x2, A2 = R

3 g(x) = 1/x , A3 = [2,∞)

4 g(x) = 1/x , A4 = (0,1)




1 f1(x) = senx , A1 = R


2 f2(x) = x2, A2 = R

3 g(x) = 1/x , A3 = [2,∞)

4 g(x) = 1/x , A4 = (0,1)

5 g(x) = 1/x , A5 = R


AREA BAJO UNA CURVA y = f (x)

Area de la region S = {(x ,y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}


AREA BAJO UNA CURVA y = f (x)

Area de la region S = {(x ,y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}

f (x) = x2, a = 0, b = 1

S = {(x ,y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2}



R4 = . . .



R4 =14

f (1/4)+14

f (1/2)+14

f (3/4)+14

f (1) =



R4 =14

f (1/4)+14

f (1/2)+14

f (3/4)+14

f (1) =

R4 =14(1/4)2 +

14(1/2)2 +

14(3/4)2 +

14

12 =1532

= 0,46875



R8 =18

f (1/8)+18

f (2/8)+18

f (3/8)+ . . .+18

f (8/8) =



R8 =18

f (1/8)+18

f (2/8)+18

f (3/8)+ . . .+18

f (8/8) =

R8 =8

∑i=1

18

f (i/8) =8

∑i=1

18(i/8)2 = 51/128 = 0,3984375



Recapitulemos...

P particion del intervalo [0,1] en 8 intervalos iguales,P = {0, 1/8, 2/8, . . . , 7/8, 8/8}



Recapitulemos...

P particion del intervalo [0,1] en 8 intervalos iguales,P = {0, 1/8, 2/8, . . . , 7/8, 8/8}En cada intervalo

[

i−18 , i

8

]

elegimos el extremo derecho

x∗i = i/8 (punto muestra )



Recapitulemos...

P particion del intervalo [0,1] en 8 intervalos iguales,P = {0, 1/8, 2/8, . . . , 7/8, 8/8}En cada intervalo

[

i−18 , i

8

]

elegimos el extremo derecho

x∗i = i/8 (punto muestra )

Consideramos el rectangulo de base 1/8 y altura f (i/8) y

A ≈ R8 =8

∑i=1

18

f (i/8).



Podemos elegir cualquier punto muestra x∗i del intervalo

[

i−18 , i

8

]

Extremo Izquierdo x∗i = (i −1)/8

Punto Medio x∗i = 1

2 [(i −1)/8+ i/8] = 12

2i−18 = 2i−1

16


EJERCICIO

Si la funcion graficada es f (x) = x2 en el intervalo [0,1] y losrectangulos se corresponden con una particion regular en 20intervalos, eligiendo como punto muestra x∗

i el extremo derecho decada intervalo, completar:

Area debajo de la grafica de f ≈20

∑i=1

. . .


EJERCICIO

Para f (x) = x2 en el intervalo [0,1], tomando como punto muestra elextremo derecho, escribir una formula para el caso general en que laparticion sea regular en n intervalos.

Rn = ∑ . . .


EJERCICIO

Recordando que 12 +22 + . . .+n2 =n(n+1)(2n+1)

6calcular

Rn =n

∑i=1

1n

(

in

)2


EJERCICIO

Calcular

lımn→∞

Rn = lımn→∞

(n+1)(2n+1)6n2


AREA

Definici on: Sean

f continua en [a,b] tal que f (x)≥ 0 para todo x ∈ [a,b],

la region S = {(x ,y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)},

∆x = b−an , x∗

i = a+ i∆x para i = 1, . . . ,n .

El Area de la region S es lımn→∞

n

∑i=1

f (x∗i )∆x


AREA

Definici on: Sean

f continua en [a,b] tal que f (x)≥ 0 para todo x ∈ [a,b],

la region S = {(x ,y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)},

∆x = b−an , x∗

i = a+ i∆x para i = 1, . . . ,n .

El Area de la region S es lımn→∞

n

∑i=1

f (x∗i )∆x

NOTA: Para una funcion continua, puede probarse que el lımite de ladefinicion existe.


EJERCICIO

A) Representar graficamente cada region y utilizando la definicion dearea, hallar una expresion para su area como lımite.

1 S1 = {(x ,y) : 1 ≤ x ≤ 16, 0 ≤ y ≤ 4√

x}2 S2 = {(x ,y) : 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ x cosx}

B)Representar graficamente, regiones cuyas areas sean:

1 A1 = lımn→∞

n

∑i=1

1n

√

in

2 A2 = lımn→∞

n

∑i=1

2n

(

2in

)2

3 A3 = lımn→∞

3n

n

∑i=1

e3in

4 A4 = lımn→∞

1n

n

∑i=1

11+ i/n


OBSERVACIONES

1 La suman

∑i=1

f (x∗i )∆x es una Suma de Riemann de f en [a,b].

(Bernhard Riemann, matematico aleman, 1826-1866)


OBSERVACIONES

1 La suman

∑i=1


(Bernhard Riemann, matematico aleman, 1826-1866)2 El valor de una Suma de Riemann para una f en [a,b], depende

de:la particion del intervalo,los puntos muestra.


OBSERVACIONES

1 La suman

∑i=1




Pero puede probarse que el lımite cuando n → ∞ de una suma deRiemann para una funcion continua en el intervalo no dependedel punto muestra .


OBSERVACIONES

1 La suman

∑i=1





3 En la definicion de area elegimos como punto muestra. el extremoderecho

x∗i = a+ i∆x


OBSERVACIONES

1 La suman

∑i=1





3 En la definicion de area elegimos como punto muestra. el extremoderecho

x∗i = a+ i∆x

...pero el valor del area (el lımite) no depende de los puntosmuestra elegidos.


SUMA DE RIEMANN

Una Suma de Riemann tiene sentido aunque los valores f (x) no seanpositivos...


SUMA DE RIEMANN

Una Suma de Riemann tiene sentido aunque los valores f (x) no seanpositivos...

f (x) = x3 −x , 0 ≤ x ≤ 1,2

n

∑i=1

1,220

f(

1,2i20

)

=−0,184464


INTEGRAL DEFINIDA

Definici on (para funciones continuas)Sean

f continua en [a,b],∆x = b−a

n y para i = 1, . . . ,n sea x∗i = a+ i∆x .

Al numero

lımn→∞

n

∑i=1

f (x∗i )∆x (1)

se lo llama integral definida de f en [a,b] y lo notamos con∫ b

af (x)dx


INTEGRAL DEFINIDA




Al numero

lımn→∞

n

∑i=1

f (x∗i )∆x (1)


af (x)dx

Ejemplo:∫ 1

0x2dx = 1/3


INTEGRAL DEFINIDA




Al numero

lımn→∞

n

∑i=1

f (x∗i )∆x (1)


af (x)dx

Ejemplo:∫ 1

0x2dx = 1/3

Observacion: Puede probarse que el lımite (1) siempre existe si lafuncion es continua en [a,b].


INTEGRAL DEFINIDA

Definici on Sean

f definida en [a,b]

∆x =b−a

n,

para cada i = 0, 1, . . . , n, xi = a+ i∆x , x∗i ∈ [xi−1,xi ].

Si existe un numero I que satisface que,para todo ε > 0 existe un entero N tal que:

si n > N entonces∣

∣I −∑ni=1 f (x∗

i )∆x∣

∣< ε

se dice que f es integrable en [a,b] y notamos al numero I como

I =∫ b

af (x)dx


INTEGRAL DEFINIDA

Para todo ε > 0 existe un entero N tal que:

n > N ⇒∣

∣

∣

∣

∣

I −n

∑i=1

f (x∗i )∆x

∣

∣

∣

∣

∣

< ε

Aun si f no es continua, es posible que exista el numero I.


INTEGRAL DEFINIDA


n > N ⇒∣

∣

∣

∣

∣

I −n

∑i=1

f (x∗i )∆x

∣

∣

∣

∣

∣

< ε


Con esta definicion mas general, se prueba que:


INTEGRAL DEFINIDA


n > N ⇒∣

∣

∣

∣

∣

I −n

∑i=1

f (x∗i )∆x

∣

∣

∣

∣

∣

< ε



Toda funcion continua en [a,b] es integrable en [a,b].


INTEGRAL DEFINIDA


n > N ⇒∣

∣

∣

∣

∣

I −n

∑i=1

f (x∗i )∆x

∣

∣

∣

∣

∣

< ε



Toda funcion continua en [a,b] es integrable en [a,b].

Si una funcion es integrable en [a,b] (es decir, existe el numero I),entonces la funcion es acotada en [a,b].


INTEGRAL DEFINIDA

Teorema 3Si f es una funcion continua o tiene un numero finito dediscontinuidades evitables en [a,b], entonces f es integrable.


INTEGRAL DEFINIDA


Ejemplos:

La funcion f (x) = 1/x es integrable en [1,2].

La funcion g(x) =

{

−x3 −1 si x 6= 1

2 si x = 1es integrable en [−2,3]


INTEGRAL DEFINIDA


Ejemplos:


La funcion g(x) =

{

−x3 −1 si x 6= 1


TeoremaSi f no es acotada en [a,b], entonces f no es integrable en [a,b].


INTEGRAL DEFINIDA


Ejemplos:


La funcion g(x) =

{

−x3 −1 si x 6= 1


TeoremaSi f no es acotada en [a,b], entonces f no es integrable en [a,b].

Ejemplo: La funcion f (x) = 1/x no es integrable en [-1,2].


INTEGRAL DEFINIDA

Observaciones

1

∫ b

af (x)dx

a: lımite inferior de integracionb: lımite superior de integraciondx : indica que la variable independiente es x


INTEGRAL DEFINIDA

Observaciones

1

∫ b

af (x)dx


2 La suma de Riemann puede interpretarse como una suma deareas solo si f (x)≥ 0 para todo x ∈ [a,b].


INTEGRAL DEFINIDA

Observaciones

1

∫ b

af (x)dx



3

∫ b

af (x)dx =

∫ b

af (z)dz =

∫ b

af (w)dw .


INTEGRAL DEFINIDA

Observaciones

1

∫ b

af (x)dx



3

∫ b

af (x)dx =

∫ b

af (z)dz =

∫ b

af (w)dw .

4 La suma de Riemann tambien se define para particiones noregulares (ejercicio 14 seccion 5.1)


INTEGRAL DEFINIDA

Observaciones

1

∫ b

af (x)dx



3

∫ b

af (x)dx =

∫ b

af (z)dz =

∫ b

af (w)dw .

4 La suma de Riemann tambien se define para particiones noregulares (ejercicio 14 seccion 5.1)

5 Existen funciones acotadas que no son integrables (Ejercicio 67seccion 5.2)


INTEGRAL DEFINIDA

Teorema (funciones que difieren en un numero finito de puntos)Si f es integrable en [a,b] y el conjunto {x ∈ [a,b] : g(x) 6= f (x)} esfinito, entonces g es integrable en [a,b] y

∫ b

ag(x)dx =

∫ b

af (x)dx


INTEGRAL DEFINIDA


∫ b

ag(x)dx =

∫ b

af (x)dx

Ejemplo: La funcion g(x) =

{

x2 si x 6= 0,5

−8 si x = 0,5es integrable en [0,1] y

∫ b

ag(x)dx = 1/3


INTEGRAL DEFINIDA


∫ b

ag(x)dx =

∫ b

af (x)dx


{

x2 si x 6= 0,5


∫ b

ag(x)dx = 1/3

Teorema Las funciones seccionalmente continuas en [a,b] sonintegrables en [a,b].


INTEGRAL DEFINIDA


∫ b

ag(x)dx =

∫ b

af (x)dx


{

x2 si x 6= 0,5


∫ b

ag(x)dx = 1/3

Teorema Las funciones seccionalmente continuas en [a,b] sonintegrables en [a,b].

Ejemplo: La funcion h(x) =

{

x3 si x ≤ 1

−x si x > 1es integrable en [−1,1].


INTEGRAL DEFINIDA - EJERCICIOS

1 Estimar el area debajo de la grafica de f (x) = cosx desde x = 0 hasta x = π/2,usando cuatro rectangulos de aproximacion y como puntos muestra, losextremos derechos de los intervalos. Dibuje la curva y los rectangulos deaproximacion. ¿Su estimacion es una subestimacion o una sobrestimacion?

2 Determinar una region cuya area sea igual an

∑i=1

2n(5+2i/n)10.

3 Determinar una region cuya area sea igual an

∑i=1

π4n

taniπ4n

.

4 Evaluar la integral siguiente interpretando en terminos de area:∫ 0

−2

√

4−x2dx

5 Escribir la suma de Riemann para la funcion f (x) = x3 en [0,1], considerandouna particion regular en cuatro subintervalos y tomando como punto muestra elextremo izquierdo.

6 Escribir una expresion de una suma de Riemann para un funcion f de unavariable en [a,b] y dar un ejemplo. Definir Integral Definida para una funcioncontinua en un intervalo cerrado.



1 Probar por el metodo de exhaucion que∫ 10 x2 = 1/3.

2 Definir area de la region que se encuentra debajo de una funcion continuapositiva.

3 ¿Puede una funcion no continua ser integrable en un intervalo cerrado?

4 Dar un ejemplo de una funcion definida en un intervalo cerrado que no esintegrable en dicho intervalo.

5 ¿Todas las funciones son integrables en un intervalo cerrado? Si es verdadero,justifique y si es falso, dar un ejemplo.

6 Evaluar la integral siguiente interpretando en terminos de area:∫ 10

√

1−x2dx



Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas,justificando la respuesta.

1 La expresion∫ 2

0 (x −x3)dx representa el area entre las curvasy = x −x3, y = 0, x = 0 y x = 2.

2∫ 1−2 x−4dx =−3/8

3∫ 3−1 x−2dx =−4/3

4 Todos los metodos de integracion numerica usan particiones ensubintervalos de igual medida.


integral definida comision 130 - 2013´

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