5. INTEGRACIÓN

5.1 INTRODUCCIÓN

El tema de la integración es fundamental en cálculo y en el análisis matemático.

Principalmente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas

en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la

matemática en general.

La integración fue usada por científicos como Arquímedes, René descartes, Isaac newton,

Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de Isaac y los aportes de newton generaron

el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración

son procesos inversos. Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a, b] de

la recta real, la integral

Es igual al área de la región del plano (x, y) limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las

líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x. Esto es

una integral definida ya que tiene ciertos parámetros donde llega la integral y así obtener

un resultado final y concreto. En caso contrario se le conoce como integral indefinida ya

que no tiene un límite entonces se le coloca al final de la integral una constante la cual

indica que esta integral está resuelta aproximadamente ya que se le aumenta un valor

numérico más para alcanzar el resultado final.

5.2 INTEGRAL DE LINEA

La integral de línea surge, fundamentalmente, por:

a) Extensión de la noción de integral de Rieman estudiada en 1er curso. El intervalo [a; b] se reemplaza por un curva C en el espacio n-dimensional, y el integrando por un campo vectorial F definido y acotado en esa curva.

b) Al estudiar diversos conceptos físicos como, por ejemplo el trabajo realizado por un campo de fuerzas (gravitatorio, magnético, eléctrico) al mover una partícula (masa unitaria, polo, carga unitaria) a lo largo de una curva durante un cierto intervalo de tiempo.

Sea F(x, y) un campo vectorial y λ una curva paramétrica definida en [a, b]. Se define la integral de línea de F con respecto a la curva λ como

Si λ (t)=(x (t), y (t)) entonces λ´ (t) = (x´ (t), y´ (t)). Asimismo, F (λ (t)) = F(x (t), y (t)). Dando que F (λ (t)) y λ´ (t) son vectores, entonces su producto es el producto interno (o producto punto)

EJEMPLOS:

1.- Calcular la integral de linea de: F(x, y) = (x + y, y) λ (t) = (t, t2), t € [-1,2].

Por lo tanto:

2.- Encontrar la integral de línea de: F(x, y) = (x, y); λ (t) = (2cost, 2sin t), t € [0, π]

Por lo tanto la solución es:

3.- λ: [0, 2 π] → R2: t Ι→ (t − sin t, 1 − cos t) y F(x, y) = (y, −x)

4.- λ: [0, π] → R2: t Ι→ (cos3 t, sin3 t) y F(x, y) = (−y, x)

5.- Evaluar la integral de línea del campo vectorial sobre la

trayectoria de una hélice

Solución: se resuelve la integral de acuerdo a la definición

5.3 INTEGRALES ITERADAS, DOBLES Y TRIPLES

Integrales IteradasPodemos definir la integral de una función de dos variables del siguiente modo:

Para este caso se considera y como constante y se integra con respecto a x.

Es siempre una función de y del mismo modo se define:

Manteniendo x como constante e integrando con respecto a y.

EJEMPLOS:

1.-

2:

3:

4:

5:

Integrales dobles como volúmenes.

Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular r como el volumen del prisma sólido limitado abajo por r y arriba por la

superficie z = f(x, y). Cada termino f (x k, y k) "ak en la suma sn = "ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "ak. La suma sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como:

Teorema de fubini para calcular integrales dobles.

Suponga que queremos calcular el volumen bajo el plano z=4-x-y sobre la región

rectangular en el plano x y. Entonces el volumen es

Donde a(x) es el área de la sección transversal en x. para cada valor de x podemos calcular a(x) como la integral

que es el área bajo la curva z=4-x-y en el plano de la sección transversal en x. al calcular a(x), x se mantiene fija y la integración se efectúa respecto a y. al combinar (4) y (5), vemos que el volumen de todo es sólido es:

Si quisiéramos escribir sólo las instrucciones para calcular el volumen, sin llevar a cabo ninguno de las integraciones, podríamos escribir

La llamada integral repetida o iterada, dice que el volumen se obtiene integrando 4-x-y respecto a y de y=0 a y=1, manteniendo fija a x y luego integrando la expresión resultante en x respecto a x=0 a x=2.

¿Qué pasa si calculamos el volumen formando rebanadas con planos perpendiculares al eje? ¿Cómo función de y, el área transversal típica es?

Por tanto el volumen de todo el sólido es

Ejemplo 1. Calcule

Solución. Por el teorema de fubini,

Si invertimos el orden de integración se obtiene la misma respuesta:

INTEGRAL TRIPLE

Una integral triple es una generalización de una integral doble en el mismo sentido que una doble es una generalización de una integral sencilla.

Esto es, una integral triple extiende el concepto de una integral al caso en que f es una función de tres variables independientes cuyo dominio es una región cerrada acotada en el espacio de 3 dimensiones.

Supongamos que:

Es una F= {(x, y, z; u)| u =|F(x, y, z), (x, y, z) € R3} función de tres variables independientes

cuyo dominio es una región cerrada acotada r3. Sea 𝑁𝑘3 una red de r3, sea:

Si existe un número i con la propiedad de qué dado un número 𝜀>0 existe un número 𝛿>0

tal que:

Para todas las redes 𝑁𝑘3 y aumentos 𝑇𝑘3 con forma 𝑁𝑘3<𝛿, entonces este único número es la triple integral (Riemann) de f sobre la región r3,

y la representamos

La existencia de una integral triple sobre una región r3 depende no sólo de la naturaleza de f sino también de la naturaleza de r3.

Teorema. Si f es continua sobre una región cerrada acotada r3 cuya frontera consiste de la

unión de un número finito de superficies uniformes entonces

5.4 APLICACIONES A ÁREAS Y SOLUCIÓN DE PROBLEMA.

Suma y resta de vectores: método gráfico y analítico.

Cuando necesitamos sumar 2 o más magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente.

Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero ambos casos se consideran además de la magnitud del vector, su dirección y su sentido.

Resolución de problemas de suma de vectores. Un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste.

Calcular:

¿Cuál es la diferencia total que recorren?, ¿Cuál es su desplazamiento?Solución:

Como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritméticamente las dos distancias:

dt = d1+ d2= 3km + 4km = 7km

Para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos(el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial.

Para ello, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte, representado por d1, después el segundo desplazamiento de 4 km.

Al oeste representado por d2. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos desplazamientos.

El origen del vector resultante r es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su extremo coincide con el vector d2.

Para calcular la magnitud de r medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su dirección se determina por el ángulo que forma.

Así, encontramos que r =5 km. con un ángulo de 37º en dirección noroeste.

Descomposición y composición rectangular de vectores por métodos gráficos y analíticos.

 Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener un número mayor o menor de vectores que el sistema considerado.

Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores, el procedimiento se llama descomposición. Si el sistema equivalente tiene un número menor de vectores, el procedimiento se denomina composición.

En la siguiente, se muestra un vector a cuyo punto de aplicación se ha colocado en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares.

Si a partir del extremo del vector a trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las x y otra hacia el eje de las y, los vectores a x y a y así formados, reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector a.se les llama rectangulares por que las componentes forman entre si un ángulo (90º).

Se llama componentes de un vector aquellas que los sustituyen en la composición. Un ejemplo: encontrar gráfica y analíticamente las componentes rectangulares del siguiente vector.

Solución por método grafico

Para encontrar de manera gráfica las componentes rectangulares o perpendiculares del vector, primero tenemos que establecer una escala. Para este caso puede ser: 1cm = 10n

Trazamos nuestro vector al medir el ángulo de 30º con el transportador.

Después a partir del extremo del vector, trazamos una línea perpendicular hacia el eje delas x y otra hacia el eje de las y.

En el punto de intersección del eje x quedara el extremo del vector componente fx.

En el punto de intersección del eje y quedara el extremo del vector componente fy.

En ambas componentes su origen será el mismo que tiene el vector f = 40n, el cual estamos descomponiendo:

Par encontrar el valor de la componente en x del vector f o sea fx, basta medir con regla la longitud, y de acuerdo con la escala encontrar su valor. En este caso mide aproximadamente 3.4cm que representan 34n.

Para hallar el valor de la componente de y del vector f o sea fy, es suficiente medir con la regla la longitud, y según la escala encontrar su valor que en este caso es de casi 2.0 cm., es decir, de 20n.

Solución por método analíticoCalculo de fy: sen 30º = cateto opuesto = fyHipotenusa fDespejemos f y: f y = f sen 30º = 40n x 0.5 = 20n Calculo de f x: cos 30º = cateto adyacente = f x hipotenusa fDespejemos f x: f x = f cos 30º = 40n x 0.8660 = 34.64n

Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcular el valor de fy y fx de manera gráfica y analítica, encontraremos una pequeña diferencia.

Esto se explica si consideramos que al hallar las componentes gráficamente estamos expuestos a cometer errores al trazar el vector y al medir el valor de las componentes.

En cambio, de manera analítica se eliminan estos errores y el valor de las componentes es obtenido con mayor precisión

EJEMPLOS:

1.- Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9

El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas

Hallamos los nuevos límites de integración.

x= 0 0=r sent sent =0 t= 0x= 3 3= 3 sent sent=1 t= π/2

2.- Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.Puntos de intersección:

4x – x2 = 0 x ( 4-x) = 0 (0, 0) (4, 0)

Ecuaciones de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):

y’ = 4 - 2x m = f’(0) = 4

y- 0 = 4 (x-0) y = 4x

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):

y’ = 4 - 2x m = f’(4) = -4y- 0 = 4 (x-4) y = 4x+16

3.- Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 – 3x3 y el eje de abscisas.

6x2 – 3x3 = 0 3x2(2-x) = 0 x1 = 0 x2=2

4.- Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.

5.- Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX.x2 – 4x + 3 = 0 x=1 x=3

5.5 INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES

En ocasiones las integrales son más fáciles de evaluar si se cambia a coordenadas polares. En esta sección se muestra como hacer el cambio y como evaluar las integrales sobre regiones con fronteras dadas por ecuaciones polares.

En la definición de la integral doble de una función sobre una región R en el plano xy utilizamos rectángulos con lados paralelos para dividir la región. En coordenadas polares la forma natural es un sector polar cuyos lados tienen valores de r y θ constantes.

Para definir la integral doble de una función continua z=f(x.y) en coordenadas polares, la región R está acotada por las curvas r=g1(θ) y r=g2(θ) y las rectas θ=α y θ=β. La región R se divide en múltiples sectores polares (en lugar de rectángulos). El área de un sector específico i es

La suma de Riemann (convirtiendo a polares x y y) es

El límite de la sumatoria cuando n ∞ es la integral doble

En forma análoga a las regiones en coordenadas rectangulares, se pueden definir regiones r-simples en las cuales la región está limitada por ángulos fijos θ1 y θ2, y por r constante o función de θ y se especifican como

En las regiones θ-simples, la región está acotada por valores constantes de r (r1 y r2) y por ángulos funciones de r y se especifican de la siguiente forma

Para definir los límites de regiones polares, se utiliza un rayo desde el origen (en lugar de una recta), si el rayo entra y sale por las mismas curvas en toda la región R, entonces es

Sector polar

una región r-simple. Si los límites en r son constantes y los _ángulos mínimo y máximo de la región son funciones de r, entonces es una región θ-simple.

EJEMPLOS:

1. Determine los límites en forma polar de la región acotada por el círculo x2 + y2 = 4 y la recta y =√2

Solución.Se procede de la misma manera que para identificar las regiones en coordenadas rectangulares, esto es, se hace un dibujo de la región y se traza el rayo de prueba.

2. Calculemos la integral donde

Ahora describiremos la misma integral en coordenadas polares:

Necesitamos describir R como un rectángulo polar.

Por lo tanto la integral es:

3. Consideremos la integral , donde R es la misma región del ejemplo anterior.

En coordenadas rectangulares

Ahora cambiando a coordenadas polares:

4. , donde R es el círculo de radio 1 centrado en el origen.

Por lo tanto

En coordenadas polares

Por lo tanto

Esta integral es fácil; ya que solamente se debe realizar la sustitución u = 4 – r2

Entonces

5.6 COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFÉRICAS.

COORDENADAS CILINDRICAS

En un sistema de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio se representa por un ordenado (r, θ, z)Donde 1 (r, θ) es una representación polar de la proyección P en el plano (x, y).2 “z” es la distancia orientada de (r, θ) a P.

CORDENADA ESFÉRICAS

Un punto P del espacio se representa por un trío ordenado donde:

a) es la distancia orientada desde O hasta P.

b) Θ es el mismo ángulo que el usado en coordenadas cilíndricas.

c) Ø es el ángulo entre el eje z y el segmento .

Coordenadas esféricas a rectangulares Coordenadas rectangulares a esféricas

EJEMPLOS:

En Coordenadas cilíndricas:Si f es una función continúa en una región R del espacio, entonces:

En coordenadas esféricas:Si f es una función continúa en una región R del espacio, entonces:

5.7APLICACIONES DE LA INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CARTESIANAS, CILINDRICAS Y ESFÉRICAS.

Si f es continua en una región sólida, acotada la integral triple de f sobre D, se define como:

Siempre que exista el límite. Elemento de volumen: dV = dx dy dz

Propiedades de las integrales triples

EJEMPLOS

1.- Calcular , donde D está limitada por los planos coordenados y el plano x + y + z = 1.

2.- Hallar la integral triple de f (x, y, z) = z, extendida a la región D, del 1er octante, limitada por los planos y = 0, x + y = 2, 2y + x = 6 y el cilindro y2 + z2 = 4.

3.- Calcular donde R está limitada por una esfera de radio a.

CONCLUSION

La integración es algo muy importante en cuanto al cálculo vectorial además de que se presenta en distintos espacios como en rectangulares, polares, cilíndricas y esféricas dependiendo de cuantas variables se pueden realizar la integrales dobles y triples cada una respecto a sus variables. No son difíciles de resolver siempre y cuando sea en un plano (x, y) ya que si se muestra en plano (x, y, z) es más complicado las integrales dobles como las triples porque se da lugar a lo que son las coordenadas cilíndricas y esféricas.

Esta última unidad es algo muy interesante pero a la vez complicada ya que todos sus principios están desde derivar hasta llegar a este variado de integrales.

BIBLIOGRAFÍA

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