Integración por partes: el método tabular

El método tabular hace que las integraciones por partes sean bastante sencillas, en especial en casos en los que se tienen que aplicar varias veces (como en el segundo ejemplo más arriba). Esta versión particular del método tabular fue desarrollada por Dan Rosen en la Universidad Hofstra.

Q ¿Cómo funcione? 

A Para calcular  f.g dx, construimos la siguiente tabla, in la que obtenemos las funciones en la columna "D" por diferenciar repetidamente la función f, y las en la columna "I" por integrar repetidamente la función g. (Las operaciones a la izquierda son alternandos signos de más y signos de menos).

D I

+ f g

- D(f) I(g)

+ D2(f) I2 (g)

  . . . 

 

  . . . 

 

± Dn  (f) In  (g)

Se continúa este proceso hasta que:

La función a la izquierda se convierte a cero (en el caso que sea f un polinomio)     o

El producto de los funciones en el último renglón se puede integrar     o

El producto de los funciones en el último renglón sea un múltiple constante del producto de los funciones en el primero renglón.

Para leer la tabla, multíplice las funciones conectadas por las flechas y sume o sustraiga por uso de los signos a la izquierda:

f.g dx = f.I(g) - D(f) .I2(g) + D2(f) .I3(g) - . . . ± Dn  (f) .In (g) dx

Nota Si está cero el termino al fondo a la izquierda (como cuando sea un polinomio la función f) entonces la integral a la derecha desaparece (pues está cero), y podemos sencillamente escribir la respuesta, como en el primero ejemplo a la derecha.

Ejemplos 

1.  x ex  dx = xI(ex  ) - D(x).I(ex  ) dx

= xex  - 1.ex   dx

= xex  - ex   + C

2.  x2 sin x dx = x2I(sin x) - D(x2).I(sin x) dx

= -x2cos x + 2x cos x dx

Debemos hacer otra vez integración por partes para evaluar la integral a la derecha.

= -x2cos x + 2x. sin x - 2sin x dx

= -x2cos x + 2xsin x + 2cos x + C

3. 9x e3x+2 dx = (3*x-1)*e^(3*x+2) + C

   

4. 4x(x+4)5 dx = x*(x+4)^4 - (x+4)^5/5 + C

   Ejemplos

1. Para calcular  3x2ex/2 dx, metimos la 3x2 en la columna "D" (porque está un polinomio y entonces desaparecerá después de diferenciación repetida) y entonces deberemos meter la ex/2 en la columna "I":

D I

+ 3x2 ex/2

- 6x 2ex/2

+ 6 4ex/2

- 0 8ex/2

Podemos ahora leer la respuesta en la tabla:

3x2ex/2 dx = 3x2.2ex/2 - 6x .4ex/2 + 6 .8 ex/2 + C

= (6x2 - 24x + 48)ex/2 + C

2. Para calcular  ln x dx, se escribe primero ln x como el producto (1)(ln x) y se mete ln x en la columna "D" (no podemos aún integrarlo) y 1 en la columna "I". Pues nunca llegamos a cero por diferenciar repetidamente ln x, nos detenemos en cuando podemos integrar el producto en el último renglón, que ocurre después de uno paso:

D I

+ ln x 1

- 1/x x

Entonces,

ln x dx = (ln x)(x) - (1/x)(x) dx

= x ln x - 1 dx

= x ln x - x + C

3. (x2+1)e-x dx = -(x^2+2*x+3)*e^(-x) + C

   

4. x ln x dx = (x^2/2)*ln(x) - x^2/4 + C