la expresión de la fórmula de integración por partes es
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METODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
La expresión de la fórmula de integración por partes es:
!𝑢𝑑𝑣 = 𝑢 ⋅ 𝑣 − !𝑣𝑑𝑢
Vamos a crear un esquema para determinar en cada momento a que llamamos 𝑢 y a que llamamos 𝑑𝑣, de esta elección dependerá que hagamos bien o mal la integral.
Llamaremos 𝑢a una función dependiendo del siguiente orden descendiente:
𝐴𝐿𝑃𝐸𝑆
→ 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝐴𝑟𝑐𝑜→ 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑖𝑐𝑎𝑠
→ 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠→ 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
→ 𝑆𝑒𝑛𝑜, 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜, 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
En muchas ocasiones tendremos que aplicar este método de integración en mas de una ocasión.
La regla mnemotécnica que podemos utilizar para aprender esta expresión es la siguiente:
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METODO DE CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIÓN
Este método es uno de los mas amplios para el calculo de integrales, debido a la gran variedad de sustituciones que podemos hacer.
El éxito o fracaso en el calculo de la integral con este método, dependerá de la función elegida, ya que una sustitución mala nos llevará frecuentemente a integrales mas complicadas que la propuesta por el enunciado.
INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
CASO 1.- POTENCIAS PARES DE SENO Y COSENO
Tenemos que aplicar la formula del ángulo mitad tanto de seno como de coseno:
𝑠𝑒𝑛!𝑥 =1 − cos 2𝑥
2𝑐𝑜𝑠!𝑥 =
1 + cos 2𝑥2
!𝑐𝑜𝑠!𝑥𝑑𝑥 = !GH1 + cos 2𝑥
2I
!
𝑑𝑥 = !1 + cos 2𝑥
2𝑑𝑥 =
12!1 + cos 2𝑥𝑑𝑥 =
12J𝑥 +
12𝑠𝑒𝑛2𝑥K + 𝐶
Integral !𝑎"𝑑𝑥 !𝑒"𝑑𝑥 !𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 !𝑥𝑎𝑟𝑐 … 𝑑𝑥 !(𝑠𝑖𝑛𝑥)#(𝑐𝑜𝑠𝑥)$
Cambio recomendado
𝑡 = 𝑎" 𝑡 = 𝑒" 𝑡 = 𝑙𝑛𝑥 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 … 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑚𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑡 = 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑠𝑖𝑚, 𝑛𝑝𝑎𝑟
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CASO 2.- POTENCIAS IMPARES DE SENO Y COSENO
Tenemos que recordar la identidad trigonométrica:
𝑠𝑒𝑛!𝑥 + 𝑐𝑜𝑠!𝑥 = 1
!𝑠𝑒𝑛%𝑥𝑑𝑥 = !J1 − cos 2𝑥
2K!𝑑𝑥 = !
1 − 2 cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠!2𝑥4
𝑑𝑥 =
14!𝑑𝑥 −
24! cos 2𝑥𝑑𝑥 +
14! 𝑐𝑜𝑠!2𝑥𝑑𝑥 =
14𝑥 −
14𝑠𝑒𝑛2𝑥 +
14!1 + cos 4𝑥
2𝑑𝑥 =
14𝑥 −
14𝑠𝑒𝑛2𝑥 +
18𝑥 +
132𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 𝐶
CASO 3.- CON EXPONENTE PAR E IMPAR
El exponente que sea impar se transforma en uno par y otro impar.
!𝑠𝑒𝑛&𝑥𝑑𝑥 = !𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛!𝑥𝑑𝑥 = !𝑠𝑒𝑛𝑥(1 − 𝑐𝑜𝑠!𝑥)𝑑𝑥 = !𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠!𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 +13𝑐𝑜𝑠&𝑥 + 𝐶
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INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Cuando tengamos una integral de una función racional tenemos que seguir el siguiente procedimiento:
• ¿Arriba tengo la derivada o puedo tener la derivada de los de abajo? o Si → 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜𝑐𝑜𝑛𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑛𝑒𝑝𝑒𝑟𝑖𝑎𝑛𝑜. o 𝑁𝑜 → 𝑆𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑝𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎 →
• ¿El grado de lo de arriba es mas grande o igual al grado de lo de abajo? o Si → 𝐻𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠𝑙𝑎𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠. ∫ !(#)
%(#)𝑑𝑥 = ∫𝑍(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ &(#)%(#)
𝑑𝑥
o 𝑁𝑜 → 𝑆𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑝𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎 → • ¿El grado de arriba es mas pequeño que el grado de abajo?
o S𝑖 → 𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠𝑞𝑢𝑒𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑟𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜𝑙𝑎𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑑𝑒𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜𝑄(𝑥) = 0. § Tiene raíces reales entonces aplicamos uno de los tres procedimientos
• Raíces simples • Raíces múltiples • Raíces simples y múltiples
§ No tiene raíces reales, estamos trabajando con arco tangente. En algunas ocasiones también tendrás un integral del tipo arco tangente + logaritmo.
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