integración
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Integración
Integrales indefinidas
Hasta ahora, en nuestro estudio del cálculo, nos hemos interesado en este
problema: dada una función hallar su derivada. No obstante, muchas aplicaciones
importantes del cálculo están relacionadas con el problema inverso: dada una
derivada de una función F que tiene la siguiente derivada:
𝐹′(𝑥) = 3𝑥2
Una solución al problema anterior será 𝐹(𝑥) = 𝑥3, por que 𝑑
𝑑𝑥[𝑥3] = 3𝑥2. Por lo
tanto llamaremos a F una Antiderivada o primitiva para 𝐹′(𝑥). Por conveniencia
usaremos 𝑓(𝑥) = 𝐹′(𝑥), para expresar que 𝐹(𝑥) es una Antiderivada de 𝑓(𝑥).
Definición de Antiderivada
“se le llama a una función F Antiderivada o primitiva de la función f, si para todo x
del dominio de f se cumple que:
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)
Ahora bien, si F es una Antiderivada de f en un intervalo I, entonces, 𝐹(𝑥) + 𝑐, con
c como constante, también es una Antiderivada para todo x en I”
Notación de las Antiderivada
Si 𝑦 = 𝐹(𝑥) es una Antiderivada de 𝑓, entonces se dice lo siguiente:
𝒚 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝒄
∫ = 𝑆í𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙
𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜
𝐹(𝑥) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎
𝑐 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Algunas reglas básicas de integración:
1) ∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1
𝑛+1+ 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ∈ ℝ
2) ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
3) ∫ 0 𝑑𝑥 = 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ∈ ℝ
4) ∫ 𝑘 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∙ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
5) ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ∈ ℝ
6) ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ∈ ℝ
7) ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ∈ ℝ
Ejemplos:
1) ∫3𝑡3−5𝑡2+4 √𝑡3
3𝑡2 𝑑𝑡
2) ∫(𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 1) 𝑑𝑥