IntegracinPara otros usos de este trmino, vaseIntegracin (desambiguacin).Integral redirige aqu. Para otras acepciones, vaseIntegral (desambiguacin).

La integral definida de una funcin representa el rea limitada por la grfica de la funcin, en un sistema decoordenadas cartesianascon signo positivo cuando la funcin toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos.Laintegracines unconcepto fundamentaldelclculoy delanlisis matemtico. Bsicamente, unaintegrales una generalizacin de lasumadeinfinitossumandos, infinitamente pequeos.Elclculo integral, encuadrado en elclculo infinitesimal, es una rama de lasmatemticasen el proceso de integracin o antiderivacin, es muy comn en la ingeniera y en la ciencia tambin; se utiliza principalmente para el clculo de reas y volmenes de regiones y slidos de revolucin.Fue usado por primera vez por cientficos comoArqumedes,Ren Descartes,Isaac Newton,Gottfried LeibnizeIsaac Barrow. Los trabajos de este ltimo y los aportes de Newton generaron elteorema fundamental del clculo integral, que propone que la derivacin y la integracin son procesos inversos.Principales objetivos del clculo integral[editar]Sus principales objetivos a estudiar son:Teora[editar]

se interpreta como el rea bajo la curva def, entreayb.Dada unafuncinde unavariablerealy unintervalode larecta real, laintegrales igual alreade la regin del planolimitada entre lagrficade, el eje, y las lneas verticalesy, donde son negativas las reas por debajo del eje.

La palabra "integral" tambin puede hacer referencia a la nocin deprimitiva: una funcinF, cuyaderivadaes la funcin dada. En este caso se denominaintegral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artculo son lasintegrales definidas. Algunos autores mantienen una distincin entre integrales primitivas e indefinidas.Los principios de la integracin fueron formulados porNewtonyLeibniza finales delsiglo XVII. A travs delteorema fundamental del clculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integracin se conecta con laderivacin, y la integral definida de una funcin se puede calcular fcilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas bsicas delclculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniera.Bernhard Riemanndio una definicin rigurosa de la integral. Se basa en unlmiteque aproxima el rea de una regin curvilnea a base de partirla en pequeos trozos verticales. A comienzos delsiglo XIX, empezaron a aparecer nociones ms sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integracin. Laintegral curvilnease define para funciones vectoriales de una variable, y el intervalo de integracin [a,b] se sustituye por el de la parametrizacin de la curva sobre la cual se est integrando, la cual, conecta dos puntos del plano o del espacio. En unaintegral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de unasuperficieen el espacio tridimensional.Las integrales de lasformas diferencialesdesempean un papel fundamental en lageometra diferencialmoderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de lafsica, y tienen un papel importante en la formulacin de muchas leyes fsicas cmo, por ejemplo, las delelectromagnetismo. Los conceptos modernos de integracin se basan en la teora matemtica abstracta conocida comointegral de Lebesgue, que fue desarrollada porHenri Lebesgue.Historia[editar]Integracin antes del clculo[editar]La integracin se puede trazar en el pasado hasta elantiguo Egipto,circa1800a.C., con elpapiro de Mosc, donde se demuestra que ya se conoca una frmula para calcular el volumen de untroncopiramidal. La primera tcnica sistemtica documentada capaz de determinar integrales es elmtodo de exhauscindeEudoxo(circa370a.C.), que trataba de encontrar reas y volmenes a base de partirlos en un nmero infinito de formas para las cuales se conocieran el rea o el volumen. Este mtodo fue desarrollado y usado ms adelante porArqumedes, que lo emple para calcular reas de parbolas y una aproximacin al rea del crculo. Mtodos similares fueron desarrollados de forma independiente enChinaalrededor delsiglo IIIporLiu Hui, que los us para encontrar el rea del crculo. Ms tarde,Zu Chongzhius este mtodo para encontrar el volumen de unaesfera. En elSiddhanta Shiromani, un libro de astronoma delsiglo XIIdel matemticoindioBhaskara II, se encuentran algunas ideas de clculo integral.Hasta elsiglo XVIno empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el mtodo de exhauscin. En esta poca, por un lado, con el trabajo deCavaliericon sumtodo de los indivisiblesy, por otro lado, con los trabajos deFermat, se empez a desarrollar los fundamentos del clculo moderno. A comienzos delsiglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones deBarrowyTorricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexin entre la integracin y laderivacin.Newton y Leibniz[editar]Los principales adelantos en integracin vinieron en el siglo XVII con la formulacin delteorema fundamental del clculo, realizado de manera independiente porNewtonyLeibniz. El teorema demuestra una conexin entre la integracin y la derivacin. Esta conexin, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del clculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del clculo permite resolver una clase ms amplia de problemas. Tambin cabe destacar todo el marco estructural alrededor de las matemticas que desarrollaron tambin Newton y Leibniz. El llamado clculo infinitesimal permiti analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos. Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia elclculomoderno, cuya notacin para las integrales procede directamente del trabajo de Leibniz.Formalizacin de las integrales[editar]Aunque Newton y Leibniz proporcionaron un enfoque sistemtico a la integracin, su trabajo careca de un cierto nivel de rigor. Es memorable el ataque delobispo Berkeleycalificando losinfinitesimalescomo los "fantasmas de las cantidades que se desvanecen".El clculo adquiri una posicin ms firme con el desarrollo de loslmitesy, en la primera mitad delsiglo XIX, recibi una fundamentacin adecuada por parte deCauchy. La integracin fue rigurosamente formalizada por primera vez porRiemann, empleando lmites. A pesar de que todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo acotado, ms tarde se consideraron funciones ms generales para las cuales la definicin de Riemann no era aplicable y por tanto no eran integrables en el sentido de Riemann. PosteriormenteLebesguedio una definicin diferente de la integral1basada en lateora de la medidaque generalizaba la definicin de Riemann, as toda funcin integrable en el sentido de Riemann tambin lo es en el sentido de Lebesgue, aunque existen algunas funciones integrables en el sentido de Lebesgue que no lo son en el sentido de Riemann. Ms recientemente se han propuesto otras definiciones de integral an ms generales, que amplan las definiciones de Riemann y Lebesgue.Notacin[editar]Isaac Newtonusaba una pequea barra vertical encima de una variable para indicar integracin, o pona la variable dentro de una caja. La barra vertical se confunda fcilmente cono, que Newton usaba para indicar la derivacin, y adems la notacin "caja" era difcil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas.La notacin moderna de las integrales indefinidas fue presentada porGottfried Leibnizen1675.23Para indicarsumma(umma; enlatn, "suma" o "total"), adapt el smbolo integral, "", a partir de unaletra S alargada. La notacin moderna de la integral definida, con los lmites arriba y abajo del signo integral, la us por primera vezJoseph FourierenMmoiresde la Academia Francesa, alrededor de 181920, reimpresa en su libro de 1822.45En lanotacin matemtica en rabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido.6Terminologa y notacin[editar]Si una funcin tiene una integral, se dice que esintegrable. De la funcin de la cual se calcula la integral se dice que es elintegrando. Se denominadominio de integracina la regin sobre la cual se integra la funcin. Si la integral no tiene un dominio de integracin, se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida). En general, el integrando puede ser una funcin de ms de una variable, y el dominio de integracin puede ser un rea, un volumen, una regin de dimensin superior, o incluso un espacio abstracto que no tiene estructura geomtrica en ningn sentido usual.El caso ms sencillo, la integral de una funcin realfde una variable realxsobre el intervalo [a,b], se escribe

El signo , una "S" alargada, representa la integracin;aybson ellmite inferiory ellmite superiorde la integracin y definen el dominio de integracin;fes el integrando, que se tiene que evaluar al variarxsobre el intervalo [a,b]; ydxpuede tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teora que se emplee. Por ejemplo, puede verse simplemente como una indicacin de quexes la variable de integracin, como una representacin de los pasos en la suma de Riemann, una medida (en la integracin de Lebesgue y sus extensiones), uninfinitesimal(enanlisis no estndar) o como una cantidad matemtica independiente: unaforma diferencial. Los casos ms complicados pueden variar la notacin ligeramente.Conceptos y aplicaciones[editar]Este artculo o seccin tiene un estilo difcil de entender para los lectores interesados en el tema.Si puedes, por favoredtaloy contribuye a hacerlo ms accesible para el pblico general, sin eliminar los detalles tcnicos que interesan a los especialistas.

Aproximaciones a la integral deentre 0 y 1, con5 muestras por la izquierda (arriba) y12 muestras por la derecha (abajo).Las integrales aparecen en muchas situaciones prcticas. Considrese una piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fcilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el rea de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (si se requiere saber su medida). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades anteriores no son sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales.Para el clculo integral de reas se sigue el siguiente razonamiento:1. Por ejemplo, consideremos la curva mostrada en la figura de arriba, grfica de la funcin, acotada entrey.2. La respuesta a la pregunta Cul es el rea bajo la curva de funcin, en el intervalo desdehasta? es: que el rea coincidir con laintegralde. La notacin para esta integral ser.Una primera aproximacin, muy grosera por cierto, para obtener esta rea, consiste en determinar el rea del cuadrado unidad cuyo lado lo da la distancia desdex=0 hastax=1 o tambin la longitud entrey=f(0)=0 yy=f(1)=1. Su rea es exactamente 1x1 = 1. Tal como se puede inferir, el verdadero valor de la integral tendr que ser ms pequeo. Particionando la superficie en estudio, con trazos verticales, de tal manera que vamos obteniendo pequeos rectngulos, y reduciendo cada vez ms el ancho de los rectngulos empleados para hacer la aproximacin, se obtendr un mejor resultado; por ejem. dividamos el intervalo en cinco partes, empleando los puntos 0,15,25,35,45y, finalmente la abscisa 1. Se obtienen cinco rectngulos cuyas alturas se determinan aplicando la funcin con las abscisas anteriormente descritas (del lado derecho de cada pedazo de la curva), as,, y as hasta. Sumando las reas de estos rectngulos, se obtiene una segunda aproximacin de la integral que se est buscando,

Ntese que se est sumando una cantidad finita de valores de la funcinf, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximacin sucesivos. Se puede ver fcilmente que las continuas aproximaciones continan dando un valor ms grande que el de la integral. Empleando ms pasos se obtiene una aproximacin ms ajustada, pero no ser nunca exacta. Si en vez de 5 subintervalos se toman doce y ahora tomamos las abscisas de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un estimado para el rea, de 0,6203, que en este caso es de menor valor que el anteriormente determinado. La idea clave es la transicin desde la suma deuna cantidad finitade diferencias de puntos de aproximacin multiplicados por los respectivos valores de la funcin, hasta usar pasos infinitamente finos, oinfinitesimales. La notacin

concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la funcin multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamadosdiferenciales(indicados pordx).Con respecto alclculo real de integrales, elteorema fundamental del clculo, debido a Newton y Leibniz, es el vnculo fundamental entre las operaciones dederivacine integracin. Aplicndolo a la curva raz cuadrada, se tiene que mirar la funcin relacionaday simplemente tomar, dondeyson las fronteras delintervalo[0,1]. (ste es un ejemplo de una regla general, que dice que paraf(x)=xq, conq 1, la funcin relacionada, la llamadaprimitivaesF(x)= (xq+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del rea bajo la curva se calcula formalmente como

Como se puede ver, la segunda aproximacin de 0,7 (con cinco rectangulitos), arroj un valor superior al valor exacto; en cambio la aproximacin con 12 rectangulitos de 0,6203 es una estimacin muy por debajo del valor exacto (que es de 0,666...).Histricamente, despus de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann defini formalmente las integrales como ellmitede sumas ponderadas, de forma que eldxsugiere el lmite de una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la definicin de Riemann de los intervalos y la continuidad motiv la aparicin de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho ms flexibles. As, la notacin

hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la funcin, donde mide el peso que se tiene que asignar a cada valor. (AquAindica la regin de integracin.) Lageometra diferencial, con su "clculo devariedades", proporciona otra interpretacin a esta notacin familiar. Ahoraf(x) ydxpasan a ser unaforma diferencial, =f(x)dx, aparece un nuevooperador diferenciald, conocido como laderivada exterior, y el teorema fundamental pasa a ser el (ms general)teorema de Stokes,

a partir del cual se deriva elteorema de Green, elteorema de la divergencia, y elteorema fundamental del clculo.Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a travs de innovaciones modernas como elanlisis no estndar. Estos mtodos no solo reivindican la intuicin de los pioneros, tambin llevan hacia las nuevas matemticas, y hacen ms intuitivo y comprensible el trabajo con clculo infinitesimal.A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un solapamiento considerable. As, el rea de la piscina oval se puede hallar como una elipse geomtrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido con el clculo ser el mismo en todos los casos